九年级数学二次函数单元考试题
人教版初中数学九年级上册第二十二章二次函数单元测试卷含答案解析
第二十二章《二次函数》单元测试卷一、选择题（每小题只有一个正确答案） 1．下列函数中，是二次函数的为（ ）A ． y =2x +1B ． y =(x −2)2−x 2C ． y =2x 2 D ． y =2x(x +1) 2．二次函数y=2（x ﹣1）2+3的图象的对称轴是（ ） A ． x=1 B ． x=﹣1 C ． x=3 D ． x=﹣33．将抛物线y=x 2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（ ） A ． y=（x +2）2﹣5 B ． y=（x +2）2+5 C ． y=（x ﹣2）2﹣5 D ． y=（x ﹣2）2+5 4．（已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a +b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a ﹣b +c ＞0，其中正确的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 45．已知二次函数y =ax 2−bx −2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a ﹣b 为整数时，ab 的值为（ ）A ． 34或1 B ． 14或1 C ． 34或12 D ． 14或34 6．下列具有二次函数关系的是( )A ． 正方形的周长y 与边长xB ． 速度一定时，路程s 与时间tC ． 三角形的高一定时，面积y 与底边长xD ． 正方形的面积y 与边长x7．给出下列四个函数：y=，2x，y=2x，1，y=3x ，x，0，，y=，x 2+3，x，0），其中y 随x 的增大而减小的函数有（ ）A ． 3个B ． 2个C ． 1个D ． 0个8．在直角坐标系xOy 中，二次函数C 1，C 2图象上部分点的横坐标、纵坐标间的对应值如下表： x … ，1 0 1 2 2.5 3 4 … y 1 … 0 m 1 ，8 n 1 ，8.75 ，8 ，5 … y 2…5m 2，11n 2，12.5，11，5…则关于它们图象的结论正确的是（）A．图象C1，C2均开口向下B．图象C1的顶点坐标为（2.5，，8.75，C．当x，4时，y1，y2D．图象C1，C2必经过定点（0，，5，9．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x=1，给出以下结论：①abc ＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c≥ax2+bx+c；④若M（x2+1，y1）、N（x2+2，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④10．已知二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y=ax+b的图象是（）A．B．C．D．11．如图，抛物线y=−23x2+103x+4分别交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，动点P从D(0,2)出发，先到达x轴上的某点E，再到达抛物线对称轴上的某点F，最后运动到点C，求点P运动的最短路径长为()A．√61B．8C．7D．912．二维码已经给我们的生活带来了很大方便，它是由大小相同的黑白两色的小正方形（如图1中C）按某种规律组成的一个大正方形，现有25×25格式的正方形如图1，角上是三个7×7的A型大黑白相间正方形，中间右下一个5×5的B型黑白相间正方形，除这4个正方形外，若其他的小正方形白色块数y与黑色块数x正好满足如图2所示的函数图象，则该25×25格式的二维码共有多少块黑色的C型小正方形（）A．153B．218C．100D．216二、填空题13．二次函数y，kx2，x，2经过点(1，5)，则k，_________.14．若函数y，(m，3)x m2＋2m－13是二次函数，则m，______.15．若抛物线y=x2−6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是______，16．已知抛物线y=ax2+bx+c，a，0）的顶点为（2，4），若点（﹣2，m，，，3，n）在抛物线上，则m_____n（填“，”，“=”或“，”，，17．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长20m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是_____m2．三、解答题18．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣2hx+h的图象的顶点为点D．（1）当h=﹣1时，求点D的坐标；（2）当﹣1≤x≤1时，求函数的最小值m．（用含h的代数式表示m）19．二次函数y=，m+1，x2，2，m+1，x，m+3，，1）求该二次函数的对称轴；，2）过动点C，0，n）作直线l，y轴，当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n关于m的函数表达式；，3）若对于每一个给定的x值，它所对应的函数值都不大于6，求整数m，20．某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元.经调查发现，每天的销售量y(个）与每个商品的售价x(元）满足一次函数关系，其部分数据如下表所示：，1，求y与x之间的函数关系式；，2，设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式；，3，不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？21．已知二次函数y=kx2+（k+1）x+1（k≠0）．（1）求证：无论k取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；（2）如果该函数的图象与x轴交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k值．22．如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．(1)求这条抛物线对应的函数解析式；(2)求直线AB对应的函数解析式．23．如图所示，二次函数y=﹣2x2+4x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B．且与y轴交于点C．（1）求m的值及点B的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）该二次函数图象上有一点D（x，y），使S△ABD=S△ABC，请求出D点的坐标．参考答案1．D【解析】【分析】先把它们整理成一般形式，再根据二次函数的定义解答．【详解】A选项：一次函数，错误；B选项：原函数可化为：y=-4x+4，一次函数，错误；C选项：不是整式，错误；D选项：原函数可化为：y=2x2+2x，正确．故选：D．【点睛】考查二次函数的定义，一般地，把形如y=ax2+bx+c(a≠0)（a、b、c是常数）的函数叫做二次函数. 2．A【解析】【分析】由抛物线解析式可求得其顶点坐标及对称轴．【详解】∵y，2，x−1，2，3，∴抛物线顶点坐标为（1，3），对称轴为x，1，故选：A，【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y，a，x−h，2，k中，对称轴为x，h，顶点坐标为（h，k，，3．A【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣5．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键．4．D【解析】【分析】由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①∵抛物线对称轴是y轴的右侧，∴ab＜0，∵与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵a＞0，x=﹣b＜1，2a∴﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故②正确；③∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③正确；④当x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．5．A【解析】【分析】首先根据题意确定a，b的符号，然后进一步确定a的取值范围，根据a，b为整数确定a，b的值，从而确定答案．【详解】，0，a+b，2=0，依题意知a，0，b2a故b，0，且b=2，a，a，b=a，，2，a，=2a，2，于是0，a，2，∴，2，2a，2，2，又a，b为整数，∴2a，2=，1，0，1， 故a=12，1，32，b=32，1，12，∴ab=34或1，故选A， 【点睛】根据开口和对称轴可以得到b 的范围。
九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)
九年级数学 二次函数 单元试卷（一）时间90分钟 满分：100分一、选择题（本大题共10小题，每小题３分，共30分） 1．下列函数不属于二次函数的是（ ）A.y=(x －1)(x+2)B.y=21(x+1)2C. y=1－3x 2D. y=2(x+3)2－2x 22. 函数y=-x 2-4x+3图象顶点坐标是（ ）A.（2，-1）B.（-2，1）C.（-2，-1）D.（2， 1）3. 抛物线()12212++=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，-1） D ．（-2，-1）4. y=(x －1)2＋2的对称轴是直线（ ） A ．x=－1 B ．x=1 C ．y=－1 D ．y=15．已知二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为 （ ） A ． 0或2 B ． 0 C ． 2 D ．无法确定6. 二次函数y ＝x 2的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ）A. y ＝x 2＋3B. y ＝x 2－3C. y ＝(x ＋3)2D. y ＝(x －3)27．函数y=2x 2-3x+4经过的象限是（ ）A.一、二、三象限B.一、二象限C.三、四象限D.一、二、四象限 8．下列说法错误的是（ ）A ．二次函数y=3x 2中，当x>0时，y 随x 的增大而增大B ．二次函数y=－6x 2中，当x=0时，y 有最大值0 C ．a 越大图象开口越小，a 越小图象开口越大D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y=ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点9．如图，小芳在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝－15x 2＋3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是（ ）A ．3.5mB ．4mC ．4.5mD ．4.6m10．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A ．a ＞0． B ．b ＞0． C ．c ＜0． D ．abc ＞0．(第9题) (第10题)3.05m yx y o二、填空题（本大题共4小题，每小题３分，共12分）11．一个正方形的面积为16cm 2，当把边长增加x cm 时，正方形面积为y cm 2，则y 关于x 的函数为 。
九年级数学《二次函数》单元测试卷(含答案)
正确；∵ b2－ 4ac>0，且对称轴在 y 轴左侧，故图象与 x 轴的交点有一个在 y 轴的右侧，∴
①③正确．
10． C
11． － 5 12.4 13． y＝－ 2x2－ 4x＋ 5 14.(2 ，－ 1) 15.四
16． y＝－ 12x2＋ 4x
解析： S△AEF ＝ S 正方形 ABCD －S△ABE－ S△ADF － S△ECF ，即
25．已知，如图 22-11 抛物线 y＝ax2＋ 3ax＋ c(a>0) 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A， B 两点，点 A 在点 B 左侧．点 B 的坐标为 (1,0)， OC＝3OB.
(1)求抛物线的解析式； (2)若点 D 是线段 AC 下方抛物线上的动点，求四边形 ABCD 面积的最大值； (3)若点 E 在 x 轴上，点 P 在抛物线上．是否存在以 A， C， E， P 为顶点且以 AC 为一 边的平行四边形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
5 23．解： (1) 把 (－5,0)， 0， 2 ，(1,6)分别代入抛物线，解得
a＝
12，b＝
3，
c＝
52，∴
y＝
1 2
x2＋
3
x＋
5 .
2
(2)
令
1 2
x2＋
3x＋
5 2
＝
2x－
3，整理后，得
12x2＋ x＋ 121＝ 0，∵ Δ<0 ，∴抛物线与直线无交点．
(3)
令
1 2
x2＋
3x＋
5 2
《二次函数》检测题
(满分： 120 分 时间： 100 分钟 )
一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 )
人教版九年级数学上册第22章《二次函数》单元测试题含答案
人教版九年级数学上册第22章《二次函数》单元测试题一、选择题：（每题3，共30分） 1.抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是( ). A ．（1，2）B ．（1，-2）C ．（-1， 2）D ．（-1，-2）2. 把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线( ). A ．()231y x =+- B ．()233y x =++ C ．()231y x =-- D ．()233y x =-+3、抛物线y=(x+1)2＋2的对称轴是（ ） A ．直线x=－1 B ．直线x=1 C ．直线y=－1 D ．直线y=14、二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35、若,,,,,123351A yB yC y 444⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为二次函数2y x 4x 5=+-的图象上的三点，则123y y y 、、的大小关系是（ ）A.123y y y <<B.213y y y <<C.312y y y <<D.132y y y <<6、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+c 的图象大致为（ ）OxyOxyOxyOxy(A)(B)(C)(D)7.〈常州〉二次函数y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数且a ≠0）中的x 与y 的部分对x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 y 12 5 0 －3 －4 －3 0 5 12 （1）二次函数y =ax 2+bx +c 有最小值，最小值为－3；（2）当－12＜x ＜2时，y ＜0；（3）二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧.则其中正确结论的个数是（ ）A.3B.2C.1D.08.〈南宁〉已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图3所示，下列说法错误的是（ ）A.图象关于直线x =1对称B.函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的最小值是－4C.－1和3是方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两个根D.当x ＜1时，y 随x 的增大而增大9、二次函数与882+-=x kx y 的图像与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A.2<kB.02≠<k k 且C.2≤kD.02≠≤k k 且10. 如图，菱形ABCD 中，AB =2，∠B =60°，M 为AB 的中点．动点P 在菱形的边上从点B 出发，沿B →C →D 的方向运动，到达点D 时停止．连接MP ，设点P 运动的路程为x ，MP 2 ＝y ，则表示y 与x 的函数关系的图象大致为（ ）.二、填空题：（每题3，共30分）11.已知函数()x x m y m 3112+-=+，当m = 时，它是二次函数.12、抛物线3842-+-=x x y 的开口方向向 ，对称轴是 ，最高点的坐标是 ，函数值得最大值是 。
2024年九年级数学上册《二次函数》单元测试及答案解析
第二十二章二次函数(单元重点综合测试)班级___________姓名___________学号____________分数____________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x厘米：当x=3时，y=18，那么当成本为3.2×105元时，边长为()A.1.6×103厘米B.4×102厘米C.0.4×103厘米D.2×103厘米2.如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是()x....-1034....y....0-5-8-5....A.图象的开口向下B.有最小值-8C.图象与x轴的一个交点是5,0D.图象的对称轴是x=3 23.一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是()A. B.C. D.4.坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点M、N皆在x轴上，且有一水平线与两图像相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，若AB=12，BC=4，CD=6，则MN的长度是()A.8B.9C.10D.115.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为1,n，且与x轴的一个交点在点3,0和4,0之间．则下列结论：①a-b+c>0；②3a+b=0；③b2=4a c-n；④一元二次方程ax2+bx+c =n -1有两个不相等的实数根；⑤若方程ax 2+bx +c =0的两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=2．其中正确结论的个数有()A.5个B.4个C.3个D.2个6.如图，在正方形ABCD 中，点B ，C 的坐标分别是(-2,1)，(2,0)，点D 在抛物线y =13x 2+bx 的图像上，则b 的值是()A.23B.13C.73D.437.如图，排球运动员站在点O 处练习发球，球从点O 正上方2m 的A 处发出，其运行的高度y (m )与水平距离x (m )满足关系式y =-160x -6 2+2.6．已知球网与点O 的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距点O 的水平距离为18m ．下列判断正确的是()A.球运行的最大高度是2.43mB.球不会过球网C.球会过球网且不会出界D.球会过球网且会出界8.如图，抛物线G :y 1=a (x +1)2+2与抛物线H :y 2=-(x -2)2-1交于点B (1,-2)，且分别与y 轴交于点D ，E ．过点B 作x 轴的平行线，交抛物线于点A ，C ．则以下结论：①抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；②无论x取何值，y2总是负数；③当-3<x<1时，随着x的增大，y1-y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.49.设二次函数y=a x+mx+m-k(a<0，m，k是实数)，则()A.当k=2时，函数y的最大值为-4aB.当k=2时，函数y的最大值为-2aC.当k=4时，函数y的最大值为-4aD.当k=4时，函数y的最大值为-2a10.如图，已知点A-1,0，点B2,3．若抛物线y=ax2-x+2(a为常数，a≠0)与线段AB有两个不同的公共点，则a的取值范围是()A.a≥3B.a≤-3或34≤a<1C.-3<a<1或a≥3D.34≤a<1二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11.标准大气压下，质量一定的水的体积V cm3与温度t°C之间的关系满足二次函数V=18t2+104t>0，则当温度为4°C时，水的体积为cm3．12.已知二次函数y=x2-2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P2,y1，Q3,y2在抛物线C 上，则y1y2(填“>”或“<”)；13.在单位为1的正方形网格中，存在一平面直角坐标系．二次函数y1=a1x2+b1x+c1，y2=a2x2+b2x+c2的图象位于如图位置上，若它们的图象位置关系具有对称性，请描述它们的对称关系：，求出y2与直线y=32x+7的交点坐标为．14.如图，将抛物线y =x 2-2x -3在x 轴下方部分沿x 轴翻折，其余部分保持不变，得到图像C 1,当直线y =x +b 与图像C 1恰有两个公共点时，b 的取值范围是．15.九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙AB ⊥CD 于点O (如图)，其中AB 上的EO 段围墙空缺．同学们测得AE =6.6m ，OE =1.4m ，OB =6m ，OC =5m ，OD =3m ．班长买来可切断的围栏16m ，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是cm 2．16.如图，二次函数y =33x 2-433x +3的图象交x 轴于点A ,B (点A 在点B 的左侧)，交y 轴于点C ．现有一长为3的线段DE 在直线y =32上移动，且在移动过程中，线段DE 上始终存在点P ，使得三条线段P A ,PB ,PC 能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段DE 左端点D 的橫坐标为t ，则t 的取值范围是．三、(本大题共4小题，每小题6分，共24分)17.已知二次函数的图像以A-1,4．为顶点，且过点B2,-5(1)求该函数图像与坐标轴的交点坐标；(2)将函数图像向左平移几个单位，该函数图像恰好经过原点．18.飞机降落后滑行的距离S(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是S=at²+bt，当t=5时，S=262.5；当t=10时，S=450．(1)求该函数的解析式；(2)请结合平面直角坐标系中给出的点，画出符合题意的函数图象，并写出飞机降落后滑行到停下来前进了多远？19.已知一次函数y=ax+b的图像上有两点A、B，它们的横坐标分别是2、-1，若二次函数y=x 2的图像经过A、B两点．(1)求一次函数解析式并在平面直角坐标系内画出两个函数的图像；(2)若P m,y1两点都在二次函数y=x 2的图像上，试比较y1与y2的大小． ，Q m+1,y220.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A-1,0两点，交y轴于点C，点P m,n，B3,0在抛物线上．(1)求抛物线的表达式及顶点坐标；(2)若此抛物线点P右侧的部分(不含点P)上恰好有三个点到x轴的距离均为2，请直接写出m的取值范围．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)21.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的解析式是y1=x2，直线l的解析式是y2=-14，点F0,1 4，点P是在该抛物线上的动点，连接PF，过P作PN⊥l．(1)求证：PF=PN；(2)设点E-2,6，求PE+PF的最小值及此时点P的坐标．22.甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车，另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费-月维护费；在两公司租出的汽车数量相等且都为x(单位：辆，0<x≤50)的条件下，甲的利润用y1表示(单位：元)，乙的利润用y2(单位：元)表示，根据上述信息，解决下列问题：(1)分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？(2)甲公司最多比乙公司利润多多少元？(3)甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元(a>0)给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为16辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．23.为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设BD的读数为x，CD读数为y，抛物线的顶点为C．(1)(Ⅰ)列表：①②③④⑤⑥x023456y01 2.254 6.259(Ⅱ)描点：请将表格中的x,y描在图2中；(Ⅲ)连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=a x-h2+k的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为AB，竖直跨度为CD，且AB=m，CD=n，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：方案一：将二次函数y=a x-h2+k平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为y=ax2．①此时点B 的坐标为；②将点B 坐标代入y=ax2中，解得a=；(用含m，n的式子表示)方案二：设C点坐标为h,k①此时点B的坐标为；②将点B坐标代入y=a x-h2+k中解得a=；(用含m，n的式子表示)(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系xOy中有A，B两点，AB=4，且AB∥x轴，二次函数C1:y1=2x+h2+k和C2:y2=a x+h2+b都经过A，B两点，且C1和C2的顶点P，Q距线段AB的距离之和为10，求a的值．五、(本大题共2小题，每小题12分，共24分)24.中新社上海3月21日电(记者缪璐)21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C(向后翻腾三周半抱膝)．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A3,10起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)近似满足函数关系式y=a x-h．2+k a<0(1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m03 3.54 4.5竖直高度y/m1010k10 6.25根据上述数据，直接写出k的值为，直接写出满足的函数关系式：；(2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-5x2+40x-68，记她训练的入水点的水平距离为d1，比赛当天入水点的水平距离为d2，请通过计算比较d1与d2的大小；(3)在(2)的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y=-5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？25.综合与实践问题提出某兴趣小组开展综合实践活动，如图1，在正方形ABCD中，E,F分别是AB,AD上一点，且AF=2AE．点M从点E出发，沿正方形ABCD的边顺时针运动；点N同时从点F出发，沿正方形ABCD的边逆时针运动．若两动点的运动速度相同，都为每秒1个单位长度，相遇时M,N两点都停止运动，设点M运动的时间为t秒，△AMN的面积为S，探究S与t的关系．初步感知根据运动的变化，绘制了如图2所示的图象，按不同的函数解析式，图象可分为四段，还有最后一段未画出．(1)AE的长为，AB的长为．(2)a的值为，S的最大值为．延伸探究(3)请求出图2中未画出的最后一段图象对应的函数解析式，并将图象补充完整．(4)求b的值，并求出当S>3时，t的取值范围．第二十二章二次函数(单元重点综合测试)班级___________姓名___________学号____________分数____________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x厘米：当x=3时，y=18，那么当成本为3.2×105元时，边长为()A.1.6×103厘米B.4×102厘米C.0.4×103厘米D.2×103厘米【答案】B【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式的运用，求出函数的解析式是解答本题的关键．设y=kx2，由待定系数法就可以求出解析式，把y=3.2×105代入函数解析式就可以求出结论．【详解】解：设y=kx2，∵当x=3时，y=18，∴9k=18，k=2，∴y=2x2，当成本为3.2×105元时，有2x2=3.2×105，x2=1.6×105，x=4×102．故选：B．2.如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是()x....-1034....y....0-5-8-5....A.图象的开口向下B.有最小值-8C.图象与x轴的一个交点是5,0D.图象的对称轴是x=3 2【答案】C【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质等知识点，学会根据表格中的信息求得函数的解析式是解题的关键．由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质即可得出结果．【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)，由题意可知a-b+c=0c=-59a+3b+c=-8 ，解得a=1b=-4 c=-5 ，∴二次函数的解析式为y=x2-4x-5 =x-5x+1=x -2 2-9，∴函数的图象开口向上，顶点为2,-9 ，图象与x 轴的交点分别为-1,0 和5,0 ，∴图象的对称轴是x =2，函数有最小值-9，∴选项A 、B 、D 不符合题意，选项C 符合题意．故选：C ．3.一次函数y =ax +b 和二次函数y =ax 2+bx 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是()A. B.C. D.【答案】B 【分析】本题考查抛物线和直线的性质，本题可先由一次函数y =ax +b 图象得到字母系数的正负，再与二次函数y =ax 2+bx 的图象相比是否一致．【详解】解：A 、由抛物线可知，a <0，x =-b 2a<0，得b <0，由直线可知，a >0，b >0，故本选项不符合题意；B 、由抛物线可知，a >0，x =-b 2a <0，得b >0，由直线可知，a >0，b >0，故本选项符合题意；C 、由抛物线可知，a <0，x =-b 2a <0，得b <0，由直线可知，a <0，b >0，故本选项不符合题意；D 、由抛物线可知，a >0，x =-b 2a>0，得b <0，由直线可知，a <0，b >0，故本选项不符合题意．故选：B4.坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点M 、N 皆在x 轴上，且有一水平线与两图像相交于A 、B 、C 、D 四点，各点位置如图所示，若AB =12，BC =4，CD =6，则MN 的长度是()A.8B.9C.10D.11【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，线段长度的相关计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由AB ，BC ，CD 的长度以及根据二次函数的对称性可以知道，M 和C ，N 和B ，C 和B 横坐标的差，从而推出M 和N 的横坐标之差，得到MN 的长度．【详解】由A、B、C、D四点在同一水平线，可以知道四点纵坐标相同∵AB=12，BC=4，CD=6，∴AC=AB+BC=16,BD=4+6=10∴x C-x M=AC2=8，x N-x B=BD2=5又∵x C-x B=BC=4∴MN=x N-x M=(x N-x B)+(x C-x M)-(x C-x B)=5+8-4=9．故选：B．5.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为1,n，且与x轴的一个交点在点3,0和4,0之间．则下列结论：①a-b+c>0；②3a+b=0；③b2=4a c-n；④一元二次方程ax2+bx+ c=n-1有两个不相等的实数根；⑤若方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=2．其中正确结论的个数有()A.5个B.4个C.3个D.2个【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的性质等等，根据开口向下得到a<0，再根据顶点坐标结合对称轴公式得到b=-2a>0，即b+2a=0，则可判断②；由对称性可得当x=-1时，y=a-b+c>0，则可判断②；根据函数图象可知抛物线与直线y=n-1有两个交点，则可判断④；根据二次函数与一元二次方程之间的关系可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵顶点坐标为1,n，∴抛物线对称轴为直线x=-b2a=1，∴b=-2a>0，即b+2a=0，∴3a+b=2a+b+a=a<0，②错误；∵当x=3时y>0，抛物线对称轴为直线x=1，∴当x=-1时，y=a-b+c>0，①正确；∵抛物线顶点纵坐标为n，∴4ac-b24a=n，∴b2=4ac-4an=4a c-n，③正确；由图象可得抛物线与直线y=n-1有两个交点，∴ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，④正确；∵抛物线对称轴为直线x=1，方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2，，∴x1+x22=1，∴x1+x2=2，⑤正确．故选：B ．6.如图，在正方形ABCD 中，点B ，C 的坐标分别是(-2,1)，(2,0)，点D 在抛物线y =13x 2+bx 的图像上，则b 的值是()A.23B.13C.73D.43【答案】B【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，作BE ⊥x 轴，DF ⊥x 轴，证明△BEC ≌△CFD ，进而求出D 点坐标，代入解析式进行求解即可．【详解】解：如图所示，作BE ⊥x 轴，DF ⊥x 轴，则：∠BEO =∠CFD =90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =CD ，∠BCD =90°，∴∠BCE =∠CDF =90°-∠DCF ，∴△BEC ≌△CFD ，∴CF =BE ,DF =CE ，∵点B ，C 的坐标分别是(-2,1)，(2,0)，∴BE =CF =1,OC =2,DF =CE =2+2=4，∴OF =3，∴D 3,4 ，∵点D 在抛物线y =13x 2+bx 的图像上，∴4=13×32+3b ，∴b =13；故选B ．7.如图，排球运动员站在点O 处练习发球，球从点O 正上方2m 的A 处发出，其运行的高度y (m )与水平距离x (m )满足关系式y =-160x -6 2+2.6．已知球网与点O 的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距点O 的水平距离为18m ．下列判断正确的是()A.球运行的最大高度是2.43mB.球不会过球网C.球会过球网且不会出界D.球会过球网且会出界【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据顶点式的特点可知球运行的最大高度为2.6m，由此即可判断A；求出当x=9时，y的值，再与2.43m进行比较即可判断B；求出当x=18时，y的值，再与0比较即可判断C、D．【详解】解：∵抛物线解析式为y=-160x-62+2.6，∴球运行的最大高度为2.6m，故A说法错误，不符合题意；在y=-160x-62+2.6中，当x=9时，y=-1609-62+2.6=2.45>2.43，∴球会过球网，故B说法错误，不符合题意；在y=-160x-62+2.6中，当x=18时，则y=-16018-62+2.6=0.2>0，∴球会过球网且会出界，故C说法错误，不符合题意，D说法正确，符合题意；故选D．8.如图，抛物线G:y1=a(x+1)2+2与抛物线H:y2=-(x-2)2-1交于点B(1,-2)，且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：①抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；②无论x取何值，y2总是负数；③当-3<x<1时，随着x的增大，y1-y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】①先求抛物线G的解析式，再根据抛物线G,H的顶点坐标，判断平移方向和平移距离即可判断②；②根据非负数的相反数或者直接由图像判断即可；③先根据题意得出-3<x<1时，观察图像可知y1 >y2，然后计算y1-y2，进而根据一次函数的性质即可判断；④分别计算出A,E,C,D的坐标，根据正方形的判定定理进行判断即可．【详解】①∵抛物线G:y1=a(x+1)2+2与抛物线H:y2=-(x-2)2-1交于点B1,-2，∴x=1,y=-2，即-2=a(1+1)2+2，解得a=-1，∴抛物线G:y1=-x+12+2，∴抛物线G的顶点(-1,2)，抛物线H的顶点为(2,-1)，将(-1,2)向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为(2,-1)，即抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到，故①正确；②∵(x-2)2≥0，∴-(x-2)2≤0，∴y2=-x-22-1≤-1，∴无论x取何值，y2总是负数，故②正确；③∵B1,-2，∵将y=-2代入抛物线G:y1=-x+12+2，解得x1=-3,x2=1，∴A(-3,-2)，将y=-2代入抛物线H:y2=-x-22-1，解得x1=3,x2=1，∴C(3,-2)，∵-3<x<1，从图像可知抛物线G的图像在抛物线H图像的上方，∴y1>y2∵y1-y2=-(x+1)2+2-[-(x-2)2-1]=-6x+6∴当-3<x<1，随着x的增大，y1-y2的值减小，故③不正确；④设AC与y轴交于点F，∵B1,-2，∴F(0,-2)，由③可知∴A(-3,-2)，C(3,-2)，∴AF=CF，AC=6，当x=0时，y1=1,y2=-5，即D(0,1),E(0,-5)，∴DE=6，DF=EF=3，∴四边形AECD是平行四边形，∵AC=DE,AC⊥DE，∴四边形AECD是正方形，故④正确，综上所述，正确的有①②④，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图像与性质，一次函数的性质，平移，正方形的判定定理，解题的关键是综合运用以上知识．9.设二次函数y =a x +m x +m -k (a <0，m ，k 是实数)，则()A.当k =2时，函数y 的最大值为-4aB.当k =2时，函数y 的最大值为-2aC.当k =4时，函数y 的最大值为-4aD.当k =4时，函数y 的最大值为-2a【答案】C【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、求二次函数的最值，求出二次函数y =a x +m (x +m -k )与x 轴的交点坐标是-m ，0 ,-m +k ，0 ．得到二次函数的对称轴是直线x =-m -m +k 2=-2m +k 2．根据开口方向进一步求出最值即可．【详解】解：由题意，令y =0，∴a x +m (x +m -k )=0，∴x 1=-m ，x 2=-m +k ．∴二次函数y =a x +m (x +m -k )与x 轴的交点坐标是-m ，0 ,-m +k ，0 ．∴二次函数的对称轴是：直线x =-m -m +k 2=-2m +k 2．∵a <0，∴y 有最大值．当x =-2m +k 2，y 最大，即y =a -2m +k 2+m -2m +k 2+m -k =-k 24a 当k =4时，函数y 的最大值为-4a ；当k =2时，函数y 的最大值为-a ．综上，C 选项正确．故选：C ．10.如图，已知点A -1,0 ，点B 2,3 ．若抛物线y =ax 2-x +2(a 为常数，a ≠0)与线段AB 有两个不同的公共点，则a 的取值范围是()A.a ≥3B.a ≤-3或34≤a <1C.-3<a <1或a ≥3D.34≤a <1【答案】B【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合问题，先求出直线AB 的解析式，令x +1=ax 2-x +2，根据有两个交点求出a 的取值范围，再分a >0和a <0两种情况讨论即可得到答案；【详解】解：设AB 所在直线为y =kx +b ，∵A -1,0 ，B 2,3 ，∴-k +b =02k +b =3，解得：k =1b =1 ，∴y =x +1，当x +1=ax 2-x +2时，∵二次函数与线段AB 有两个不同的公共点，∴(-2)2-4a ×1>0，解得：a <1，①当0<a <1时，此时函数的开口向上，∴a ×(-1)2-(-1)+2≥0，a ×22-2+2≥3，解得：34≤a <1，②当a <0时此时函数的开口向下，∴a ×(-1)2-(-1)+2≤0，a ×22-2+2≤3，解得：a ≤-3，综上所述得：34≤a <1，a ≤-3，故选：B ．二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11.标准大气压下，质量一定的水的体积V cm 3 与温度t °C 之间的关系满足二次函数V =18t 2+104t >0 ，则当温度为4°C 时，水的体积为cm 3．【答案】106【分析】本题考查二次函数的应用，细心计算是解题的关键．将t =4代入解析式求值即可．【详解】解：∵V =18t 2+104t >0 ，当t =4°C 时，V =18×42+104=106cm 3 ，∴水的体积为106cm 3．故答案为：106．12.已知二次函数y =x 2-2x +1的图象向左平移两个单位得到抛物线C ，点P 2,y 1 ，Q 3,y 2 在抛物线C 上，则y 1y 2(填“>”或“<”)；【答案】<【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线C 的解析式为y =x +1 2，再利用二次函数图象的性质可得出答案．【详解】解：y =x 2-2x +1=x -1 2，∵二次函数y =x 2-2x +1的图象向左平移两个单位得到抛物线C ，∴抛物线C 的解析式为y =x +1 2，∴抛物线开口向上，对称轴为x =-1，∴当x >-1时，y 随x 的增大而增大，∵2<3，∴y 1<y 2，故答案为：<．13.在单位为1的正方形网格中，存在一平面直角坐标系．二次函数y 1=a 1x 2+b 1x +c 1，y 2=a 2x 2+b 2x +c 2的图象位于如图位置上，若它们的图象位置关系具有对称性，请描述它们的对称关系：，求出y 2与直线y =32x +7的交点坐标为．【答案】关于点-32,0 成中心对称-1,112 ，8,19 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，以及二次函数与一次函数的交点等知识．(1)根据抛物线图像可求出y 1顶点坐标为-5,-1 ，开口向下；抛物线y 2顶点坐标为2，1 ，开口向上，根据点坐标与二次函数的图像可得出答案．(2)用待定系数法求出抛物线y 2的函数解析式，再令32x +7=12x -2 2+1，进一步求解即可求出y 2与直线y =32x +7的交点坐标．【详解】解：由图象可得抛物线y 1顶点坐标为-5,-1 ，开口向下；抛物线y 2顶点坐标为2，1 ，开口向上，∵点-5,-1 与点2，1 关于点-32，0对称，∴抛物线y 1与抛物线y 2关于点-32，0成中心对称．设抛物线y 2解析式为y 2=a x -2 2+1，由图象可得抛物线经过(4，3)，将(4，3)代入y 2=a x -2 2+1得3=4a +1，解得a =12，∴y 2=12x -2 2+1，令32x +7=12x -2 2+1，解得x 1=-1，x 2=8，将x 1=-1代入y =32x +7得y =112，把x 2=8代入y =32x +7得y =19，∴y 2与直线y =32x +7的交点坐标为-1,112 ，8，19 ，故答案为：-1,112 ，8，19 ．14.如图，将抛物线y =x 2-2x -3在x 轴下方部分沿x 轴翻折，其余部分保持不变，得到图像C 1,当直线y =x +b 与图像C 1恰有两个公共点时，b 的取值范围是．【答案】b >134或-3<b <1【分析】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 是常数，a ≠0)与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程，也考查了抛物线与直线的交点问题．解决本题的关键是利用数形结合的思想的运用．通过解方程x 2-2x -3=0得到A 、B 的坐标，利用二次函数的性质得到顶点的坐标，可写出图象y =x -1 2-4-1<x <3 沿x 轴翻折所得图象的解析式为y =-x -1 2+4=-x 2+2x +3-1<x <3 ，然后求出直线y =x +b 与y =-x 2+2x +3-1<x <3 相切b 的值，直线y =x +b 过A 和过B 点所对应的b 的值，再利用图象可判断直线y =x +b 与此图象有且只有两个公共点时b 的取值范围．【详解】解：当y =0时，x 2-2x -3=0，解得x 1=-1，x 2=3，则A -1,0 ，B 3,0 ，y =x 2-2x -3=x -1 2-4，则顶点坐标为1,-4 ，把图象y =x -1 2-4-1<x <3 沿x 轴翻折所得图象的解析式为y =-x -1 2+4=-x 2+2x +3-1<x <3 ，如图，当直线y =x +b 与y =-x 2+2x +3-1<x <3 相切时，直线与新函数图象有三个交点，此时x +b =-x 2+2x +3有两个相等的实数解，方程整理得x 2-x +b -3=0，Δ=(-1)2-4(b -3)=0，解得b =134，∴当b >134时，直线y =x +b 与图像C 1恰有两个公共点，当直线y =x +b 过A -1,0 时，-1+b =0，解得b =1，当直线y =x +b 过B 3,0 时，3+b =0，解得b =-3，所以，当-3<b <1时，直线y =x +b 与此图象有且只有两个公共点．综上可知，当直线y =x +b 与图像C 1恰有两个公共点时，b 的取值范围是b >134或-3<b <1．故答案为：b >134或-3<b <1．15.九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙AB ⊥CD 于点O (如图)，其中AB 上的EO 段围墙空缺．同学们测得AE =6.6m ，OE =1.4m ，OB =6m ，OC =5m ，OD =3m ．班长买来可切断的围栏16m ，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是cm 2．【答案】46.4【分析】本题考查了二次函数的应用．要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那就必须尽量使用原来的围墙，观察图形，利用AO 和OC 才能使该矩形菜地面积最大，分情况，利用矩形的面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：要使该矩形菜地面积最大，则要利用AO 和OC 构成矩形，设矩形在射线OA 上的一段长为xm ，矩形菜地面积为S ，当x ≤8时，如图，则在射线OC 上的长为16-x -1.4+52=19.6-x 2则S =x ⋅19.6-x 2=-12x 2+9.8x =-12x -9.8 2+48.02，∵-12<0，∴当x ≤9.8时，S 随x 的增大而增大，∴当x =8时，S 的最大值为46.4；当x >8时，如图，则矩形菜园的总长为16+6.6+5 =27.6m ，则在射线OC 上的长为27.6-2x 2则S =x ⋅13.8-x =-x 2+13.8x =-x -6.9 2+47.61，∵-1<0，∴当x <6.9时，S 随x 的增大而减少，∴当x >8时，S 的值均小于46.4；综上，矩形菜地的最大面积是46.4cm 2；故答案为：46.4．16.如图，二次函数y =33x 2-433x +3的图象交x 轴于点A ,B (点A 在点B 的左侧)，交y 轴于点C ．现有一长为3的线段DE 在直线y =32上移动，且在移动过程中，线段DE 上始终存在点P ，使得三条线段P A ,PB ,PC 能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段DE 左端点D 的橫坐标为t ，则t 的取值范围是．【答案】-32≤t ≤2【分析】本题考查了二次函数的性质，两点距离公式，轴对称的性质，三角形三边关系，先求出点A ，点B ，点C 坐标，分三种情况讨论，由两点间距离公式和三角形三边关系可求解．【详解】解：∵二次函数y =33x 2-433x +3的图象交x 轴于点A ,B (点A 在点B 的左侧)，交y 轴于点C 当x =0时，y =3，当y =0时，33x 2-433x +3=0，解得：x 1=1,x 2=3∴A 1,0 ,B 3,0 ,C 0,3 ，对称轴为直线x =2如图所示，∵线段DE 上始终存在点P ，使得三条线段P A ,PB ,PC 能与某个等腰三角形的三条边对应相等∴P A =PB 或PB =PC 或PC =P A ，∵段DE 在直线y =32上移动，∴点P 的纵坐标为32,设P x ,32①若PC =P A ，∴x 2+3-322=x -1 2+32 2解得：x =12∴P 12,32∴P A =PC =1,PC =7∵P A +PB =2<7∴不能构成三角形，舍去；②若PB =PC ，∴x 2+3-322=x -3 2+32 2解得：x =32∴P 32,32∵PB =PC =3,P A =1∴能构成三角形，③若P A =PB∴x-12+322=x-32+322解得：x=2∴P A=PB=72,PC=194∵P A+PB>PC，∴P A，PB，PC能组成三角形；∵点P在长为3的线段DE上，∴线段DE左端点D的横坐标为t的取值范围为32-3≤t≤2，即-32≤t≤2故答案为：-32≤t≤2．三、(本大题共4小题，每小题6分，共24分)17.已知二次函数的图像以A-1,4为顶点，且过点B2,-5．(1)求该函数图像与坐标轴的交点坐标；(2)将函数图像向左平移几个单位，该函数图像恰好经过原点．【答案】(1)与y轴的交点坐标为(0,3)；与x轴的交点坐标为(-3,0),(1,0)(2)向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．(1)设顶点式y=a(x+1)2+4，然后把(2,-5)代入求出a的值即可得出二次函数解析式；通过解方程-(x+1)2+4=0可得抛物线与x轴的交点坐标，通过计算自变量为0时的函数值可得到抛物线与y轴的交点坐标；(2)由于抛物线与x轴的交点坐标为(-3,0),(1,0)，把点(1,0)向左平移1个单位到原点，所以把抛物线解析式y=-(x+1)2+4向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点．【详解】(1)解：设抛物线解析式为y=a(x+1)2+4，把(2,-5)代入得9a+4=-5，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-(x+1)2+4；当x=0时，y=-(x+1)2+4=-1+4=3，则抛物线与y轴的交点坐标为(0,3)；当y=0时，-(x+1)2+4=0，解得x1=1,x2=-3，则抛物线与x轴的交点坐标为(-3,0),(1,0)；(2)解：因为抛物线与x轴的交点坐标为(-3,0),(1,0)，所以把抛物线解析式y=-(x+1)2+4向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点．18.飞机降落后滑行的距离S(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是S=at²+bt，当t=5时，S=262.5；当t=10时，S=450．。
人教版九年级数学上册《第22章二次函数》单元测试卷(含答案)
人教版九年级上册第22章二次函数单元测试卷一、选择题（共8题；共24分）1.二次函数y=x 2-2x+3顶点坐标是（ ）A. （-1，-2）B. （1，2）C. （-1，2）D. （0，2） 2.已知抛物线y=13(x−4)2-3与y 轴交点的坐标是（ ）A. （0，3）B. （0，-3）C. （0，73）D. （0， -73） 3.二次函数y= -2x 2+4x +1的图象如何移动就得到y =-2x 2的图象（ ）A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位 4.在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线y=2x 2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的解析式为（ ）A. y=2(x-1)2-3B. y=2(x-1)2+3C. y=2(x+1)2-3D. y=2(x+1)2+35.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如下图所示，则四个代数式abc ，b 2−4ac ，2a +b ，a −b +c 中，值为正数的有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个6.如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），B （3，0）．下列结论：①2a ﹣b=0；②（a+c ）2＜b 2；③当﹣1＜x ＜3时，y ＜0；④当a=1时，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y=（x ﹣2）2﹣2．其中正确的是（ ）A. ①③B. ②③C. ②④D. ③④ 7.已知一次函数y=ax 2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc ＜0；②b 2﹣4ac=0；③a ＞2；④4a ﹣2b+c ＞0．其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48.如图，已知顶点为（-3，-6）的抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（-1，-4），则下列结论中错误的是（ ）A. b 2＞4acB. ax 2+bx+c≥-6C. 若点（-2，m ），（-5，n ）在抛物线上，则m ＞nD. 关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=-4的两根为-5和-1二、填空题（共10题；共30分）9.若抛物线y =(a −2)x 2的开口向上，则a 的取值范围是________．10.抛物线y =2x 2−1的顶点坐标是________．11.若A （−134，y 1），B （−54，y 2），C （1，y 3）为二次函数y= x 2 +4x ﹣5的图象上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是________．12.抛物线与x 轴交于点（1，0），（﹣3，0），则该抛物线可设为：________．13.把二次函数y=﹣2x 2+4x+3化成y=a （x ﹣m ）2+k 的形式是________．14.如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为________．15.将二次函数y ＝x 2－2x 化为y ＝(x －h)2＋k 的形式，结果为________16.二次函数y=x 2+（2m+1）x+（m 2﹣1）有最小值﹣2，则m=________．17.若二次函数y=mx 2+2x+1的图象与x 轴只有一个公共点，则常数m 的值是________．18.抛物线y=ax 2+bx+c 满足下列条件：（1）4a ﹣b=0；（2）a ﹣b+c ＞0；（3）与x 轴有两个交点，且两交点的距离小于2．以下有四个结论：①a ＜0；②c ＞0；③ac=b 2；④ ＜a ＜．则其中正确结论的序号是________． 三、解答题（共9题；共66分）19.如图，一块矩形草地的长为100m ，宽为80m ，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x （m ）的小路，这时草坪的面积为y （m 2）．求y 与x 的函数关系式，并求出x 的取值范围．20.已知抛物线C1：y1=2x2﹣4x+k与x轴只有一个公共点．（1）求k的值；（2）怎样平移抛物线C1就可以得到抛物线C2：y2=2（x+1）2﹣4k？请写出具体的平移方法；（3）若点A（1，t）和点B（m，n）都在抛物线C2：y2=2（x+1）2﹣4k上，且n＜t，直接写出m的取值范围．x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，过A、B两点的抛物线m与x轴的另一个交点为C，21.直线l：y=﹣34（C在B的左边），如果BC=5，求抛物线m的解析式，并根据函数图像指出当m的函数值大于0的函数值时x的取值范围．22.如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），B两点，交y轴于点D．（1）求点B、点D的坐标，（2）判断△ACD的形状，并求出△ACD的面积．23.某产品每件成本28元，在试销阶段产品的日销售量y（件）与每件产品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线所示．为维持市场物价平衡，最高售价不得高出83元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）要使每日的销售利润w最大，每件产品的日销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？24.已知，抛物线y=ax²+bx+4与x轴交于点A（-3，0）和B（2，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点D为CB的中点，将线段DB绕点D旋转，点B的对应点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求点G的坐标；（3）如图2，若点D为直线BC或直线AC上的一点，E为x轴上一动点，抛物线y=a x2+bx+4对称轴上是否存在点F，使以B，D，F，E为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．25.如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求点A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过Q作QN⊥x轴于N，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方），若FG=2 √2DQ，求点F的坐标．26.甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．27.已知如图，在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，M是AC的中点，点N在AB上（不同于A、B），将△ANM 绕点M逆时针旋转90°得△A1PM（1）画出△A1PM（2）设AN=x，四边形NMCP的面积为y，直接写出y关于x的函数关系式，并求y的最大或最小值．参考答案一、单选题1.B2.C3.C4.C5.A6.D7.C8.C二、填空题9.a＞2 10.（0，-1）11.y2＜y1＜y312.y=a（x﹣1）（x+3）（a≠0）17.1 18.①13.y=﹣2（x﹣1）2+5 14.直线x=2 15.y=(x−1)2−116.34三、解答题19.解：设中间修筑两条互相垂直的宽为x（m）的小路，草坪的面积为y（m2），根据题意得出：y=100﹣80﹣80x﹣100x+x2=x2﹣180x+8000（0＜x＜80）20.解：（1）根据题意得：△=16﹣8k=0，解得：k=2；（2）C1是：y1=2x2﹣4x+2=2（x﹣1）2，抛物线C2是：y2=2（x+1）2﹣8．则平移抛物线C1就可以得到抛物线C2的方法是向左平移2个单位长度，向下平移8个单位长度；（3）当x=1时，y2=2（x+1）2﹣8=0，即t=0．在y2=2（x+1）2﹣8中，令y=0，解得：x=1或﹣3．则当n＜t时，即2（x+1）2﹣8＜0时，m的范围是﹣3＜m＜1．21.解：∵y=﹣x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，∴x=0时，y=6，∴A（0，6），y=0时，x=8，∴B（8，0），∵过A、B两点的抛物线m与x轴的另一个交点为C，（C在B的左边），BC=5，∴C（3，0）．设抛物线m的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8），将A（0，6）代入，得24a=6，解得a= ，∴抛物线m的解析式为y= （x﹣3）（x﹣8），即y= x2﹣x+6；函数图像如下：当抛物线m的函数值大于0时，x的取值范围是x＜3或x＞8．22.解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y=a （x ﹣1）2+4，∵与x 轴交于点A （3，0），∴0=4a+4，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x ﹣1）2+4=﹣x 2+2x+3，令y=0，可得﹣x 2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，令x=0，可得y=3∴B 点坐标为（﹣1，0），D 点坐标为（0，3）；（2）∵A （3，0），D （0，3），C （1，4），∴AD=√32+32=3√2，CD=√(1−0)2+(4−3)2=√2，AC=√(1−3)2+(4−0)2=2√5，∴AD 2+CD 2=（3√2）2+（√2）2=20=（2√5）2=AC 2，∴△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形，∴S △ACD =12AD•CD=12×3√2×√2=3．23.解：（1）当30＜x≤40时，设此段的函数解析式为：y=kx+b ，{30k +b =6640k +b =36解得，k=﹣3，b=156∴当30＜x≤40时，函数的解析式为：y=﹣3x+156；当40＜x≤80时，设此段函数的解析式为：y=mx+n ，{40m +n =3680m +n =16解得，m=−12，n=56，∴当40＜x≤80时，函数的解析式为：y=−12x +56；当80＜x≤83时，y=16；由上可得，y 与x 之间的函数关系式是：y={−3x +15630<x ≤40−12x +5640<x ≤801680<x ≤83；（2）当30＜x≤40时，w=（x ﹣28）y=（x ﹣28）（﹣3x+156）=﹣3x 2+240x ﹣4368=﹣3（x ﹣40）2+432∴当x=40时取得最大值，最大值为w=432元；当40＜x≤80时，w=（x ﹣28）y=（x ﹣28）（−12x +56）=−12x 2+70−1586=−12(x −70)2+882，∴当x=70时，取得最大值，最大值为w=882元；当80＜x≤83时，w=（x ﹣28）×16∴当x=83时，取得最大值，最大值为w=880元；由上可得，当x=70时，每日点的销售利润最大，最大为882元，即要使每日的销售利润w 最大，每件产品的日销售价应定为70元，此时每日销售利润是882元． 24.（1）由A （-3，0）和B （2，0），得：y =a (x +3)(x −2)即y =ax 2+ax −6a = ax²+bx+4∴ −6a =−4∴ a =−23∴ y =−23x 2−23ax −4 .（2）易得C （0,4），则BC= √42+22=2√5 .由y =−23x 2−23ax −4可对称轴为x= −−232×(−23)=−12 , 则可设点G 的坐标为（−12，y)，∵点D 是BC 的中点∴点D 的坐标为（1，2)，DB =12CB =√5由旋转可得，DG =DB∴ (1+12)2+(y −2)2=(√5)2 ……………∴ y =2±√112 ……… ∴点G 的坐标为（−12，2+√112)或（−12，2−√112) （3）①当BE 为对角线时，因为菱形的对角线互相垂直平分，所以此时D 即为对称轴与AC 的交点或对称轴对BC 的交点，F 为点D 关于x 轴的对称点，设y AC =kx +b ，∵C （0，4)，A （−3，0)，∴ {b =4−3k +b =0， ∴ {b =4k =43，∴ y AC =43x +4，∴当x =−12时，y =103，∴D （−12，103)，∴F（−12，−103)；易得y BC=−2x+4∴当x=−12时，y=5，∴D（−12，5)，∴F（−12，−5)；②当BE为菱形的边时，有DF∥BEI)当点D在直线BC上时y BC=−2x+4设D（a，−2a+4)，则点F（−12，−2a+4)∵四边形BDFE是菱形∴FD=DB根据勾股定理得，（a+12)2=(a−2)2+(−2a+4)2整理得：4a2−21a+794=0，解得：a1=21+5√58，a2=21−5√58∴F（−12，−5−5√54)或（−12，−5+5√54)II）当点D在直线AC上时设D（a，43a+4)，则点F（−12，43a+4)∵四边形BFDE是菱形，∴FD=FB ，根据勾股定理得，(a+12)2=(2+12)2+(43a+4)2整理得：7a2+87a+198=0，解得：a1=−3(舍去)，a2=−667∴F（−12，−607)，综上所述，点F的坐标分别为：（−12，−103)，（−12，−5)，（−12，−5−5√54)，（−12，−5+5√54)，（−12，−607).25.（1）解：当y=0时，﹣x2﹣2x+3=0，解得x1=1，x2=﹣3，则A（﹣3，0），B（1，0）；当x=0时，y=﹣x2﹣2x+3=3，则C（0，3）；（2）解：抛物线的对称轴为直线x=﹣1，设M（x，0），则点P（x，﹣x2﹣2x+3），（﹣3＜x＜﹣1），∵点P 与点Q 关于直线=﹣1对称，∴点Q （﹣2﹣x ，﹣x 2﹣2x+3），∴PQ=﹣2﹣x ﹣x=﹣2﹣2x ，∴矩形PMNQ 的周长=2（﹣2﹣2x ﹣x 2﹣2x+3）=﹣2x 2﹣8x+2=﹣2（x+2）2+10， 当x=﹣2时，矩形PMNQ 的周长最大，此时M （﹣2，0），设直线AC 的解析式为y=kx+b ，把A （﹣3，0），C （0，3）代入得{−3k +b =0b =3，解得{k =1b =3， ∴直线AC 的解析式为y=3x+3，当x=﹣2时，y=x+3=1，∴E （﹣2，1），∴△AEM 的面积= 12 ×（﹣2+3）×1= 12；（3）解：当x=﹣2时，Q （0，3），即点C 与点Q 重合，当x=﹣1时，y=﹣x 2﹣2x+3=4，则D （﹣1，4），∴DQ= √12+(3−4)2 = √2，∴FG=2 √2 DQ=2 √2 × √2 =4，设F （t ，﹣t 2﹣2t+3），则G （t ，t+3），∴GF=t+3﹣（﹣t 2﹣2t+3）=t 2+3t ，∴t 2+3t=4，解得t 1=﹣4，t 2=1，∴F 点坐标为（﹣4，﹣5）或（1，0）．26.解：由题意得：C （0，1），D （6，1.5），抛物线的对称轴为直线x=4， 设抛物线的表达式为：y=ax 2+bx+1（a≠0），则据题意得：{−b 2a =41.5=36a +6b +1， 解得：{a =−124b =13， ∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为：y=﹣124 x 2+ 13 x+1， ∵y=﹣124（x ﹣4）2+ 53， ∴飞行的最高高度为53米 27.（1）解：如图所示：△A 1PM ，即为所求；（2）解：过点M 作MD ⊥AB 于点D ， ∵AB=BC=4，∠ABC=90°，M 是AC 的中点， ∴MD=2，设AN=x ，则BN=4﹣x ，故四边形NMCP 的面积为： y= 12 ×4×4﹣12 x×2﹣12 x×（4﹣x ） = 12 x 2﹣3x+8= 12（x ﹣3）2+ 72，故y 的最小值为：72。
人教新版九年级上册数学第22章 《二次函数》单元测试卷【含答案】
人教新版九年级上册数学第22章《二次函数》单元测试卷一．选择题1．下列函数中是二次函数的为（）A．y＝3x﹣1B．y＝3x2﹣1C．y＝（x+1）2﹣x2D．y＝x3+2x﹣32．函数y＝（m﹣n）x2+mx+n是二次函数的条件是（）A．m、n是常数，且m≠0B．m、n是常数，且m≠nC．m、n是常数，且n≠0D．m、n可以为任何常数3．若函数y＝a是二次函数且图象开口向上，则a＝（）A．﹣2B．4C．4或﹣2D．4或34．若y＝2是二次函数，则m等于（）A．﹣2B．2C．±2D．不能确定5．在同一坐标系中，作y＝x2，y＝﹣x2，y＝x2的图象，它们的共同特点是（）A．抛物线的开口方向向上B．都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大C．都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小D．都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点6．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c7．关于二次函数y＝﹣（x+1）2+2的图象，下列判断正确的是（）A．图象开口向上B．图象的对称轴是直线x＝1C．图象有最低点D．图象的顶点坐标为（﹣1，2）8．在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+m，则m的值是（）A．1或7B．﹣1或7C．1或﹣7D．﹣1或﹣79．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2k和二次函数y＝﹣kx2+2x﹣4（k是常数且k≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．10．二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．二．填空题11．若y＝（2﹣m）是二次函数，且开口向上，则m的值为．12．如果函数是关于x的二次函数，那么k的值是．13．当m＝时，函数y＝（m﹣1）是关于x的二次函数．14．如果y＝（m﹣2）是关于x的二次函数，则m＝．15．抛物线y＝ax2﹣3x+a2﹣1如图所示，则a＝．16．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）和B（2，0），当y＜0时，x的取值范围是．17．已知抛物线y＝x2+4x+5的对称轴是直线x＝．18．在正方形的网格中，抛物线y1＝x2+bx+c与直线y2＝kx+m的图象如图所示，请你观察图象并回答：当﹣1＜x＜2时，y1y2（填“＞”或“＜”或“＝”号）．19．如图是二次函数y＝a（x+1）2+2图象的一部分，该图在y轴右侧与x轴交点的坐标是．20．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是．三．解答题21．画出函数y＝x2﹣2x﹣8的图象．（1）先求顶点坐标：（，）；（2）列表x……y……（3）画图．22．函数是关于x的二次函数，求m的值．23．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？24．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？25．已知是x的二次函数，求出它的解析式．26．已知二次函数y＝ax2+bx+c．（1）当a＝1，b＝﹣2，c＝1时，请在图上的直角坐标系中画出此时二次函数的图象；（2）用配方法求该二次函数的图象的顶点坐标．27．下图是数值转换机的示意图，小明按照其对应关系画出了y与x的函数图象．（1）分别写出当0≤x≤4与x＞4时，y与x的函数关系式；（2）小明说：“所输出y的值为3时，输入x的值为0或5．”你认为他说的对吗？试结合图象说明．答案与试题解析一．选择题1．解：A、y＝3x﹣1是一次函数，故A错误；B、y＝3x2﹣1是二次函数，故B正确；C、y＝（x+1）2﹣x2不含二次项，故C错误；D、y＝x3+2x﹣3是三次函数，故D错误；故选：B．2．解：根据二次函数的定义可得：m﹣n≠0，即m≠n．故选：B．3．解：∵函数y＝a是二次函数且图象开口向上，∴a2﹣2a﹣6＝2，且a＞0，解得a＝4．故选：B．4．解：由y＝2是二次函数，得m2﹣2＝2，解得m＝±2，故选：C．5．解：因为y＝ax2形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点，所以它们的共同特点是：关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点．故选：D．6．解：由函数图象已知a＞0，c＜0，∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴b＞a，∴b＞a＞c，故选：D．7．解：∵﹣1＜0，∴函数的开口向下，图象有最高点，∵这个函数的顶点是（﹣1，2），∴对称轴是直线x＝﹣1，故选：D．8．解：∵一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+m，∴这条抛物线的顶点为（2，m+4），∴关于x轴对称的抛物线的顶点（2，﹣m﹣4），∵它们的顶点相距6个单位长度．∴|m+4﹣（﹣m﹣4）|＝6，∴2m+8＝±6，当2m+8＝6时，m＝﹣1，当2m+8＝﹣6时，m＝﹣7，∴m的值是﹣1或﹣7．故选：D．9．解：A、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴二次函数的图象开口应该向下，故A 选项不合题意；B、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，，∴二次函数的图象开口向下，且对称轴在x轴的正半轴，故B选项不合题意；C、由一次函数图象可知，k＜0，∴﹣k＞0，，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴在x轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x＝2时，二次函数值y ＝﹣4k＞0，故C选项符合题意；D、由一次函数图象可知，k＜0，∴﹣k＞0，，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴在x轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x＝2时，二次函数值y ＝﹣4k＞0，故D选项不合题意；故选：C．10．解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除A、B；当a＞0时，二次函数y＝ax2开口向上，一次函数y＝ax+a经过一、二、三象限，当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；故选：D．二．填空题11．解：根据题意得，m2﹣3＝2，解得m＝±，∵开口向上，∴2﹣m＞0，解得m＜2，∴m＝﹣．故﹣．12．解：由题意得：k2﹣3k+2＝2，解得k＝0或k＝3；又∵k﹣3≠0，∴k≠3．∴k的值是0时．故0．13．解：依题意可知m2+1＝2得m＝1或m＝﹣1又因为m﹣1≠0∴m≠1∴当m＝﹣1时，这个函数是二次函数．14．解：根据二次函数的定义：m2﹣m＝2，m﹣2≠0，解得：m＝﹣1，故﹣1．15．解：∵二次函数的图象过原点（0，0），代入抛物线解析式，得a2﹣1＝0，解得a＝1或a＝﹣1，又∵抛物线的开口向下，故a＜0，∴a＝﹣1．16．解：观察图象可知，抛物线与x轴两交点为（﹣1，0），（2，0），y＜0，图象在x轴的下方，所以答案是x＜﹣1或x＞2．17．解：由对称轴公式：对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝﹣2，故﹣2．18．解：根据图示知，①当x≤﹣1时，y2≤y1；②当﹣1＜x＜2时，y2＜y1；③当x≥2时，y2≥y1；故＜．19．解：由y＝a（x+1）2+2可知对称轴x＝﹣1，根据对称性，图象在对称轴左侧与x轴交点为（﹣3，0），所以该图在对称轴右侧与x轴交点的坐标是（1，0）．20．解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故（2，3）三．解答题21．解：（1）y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9∴其顶点坐标为（1，﹣9）故1，﹣9（2）列表x…﹣2﹣101234…y…0﹣5﹣8﹣9﹣8﹣50…（3）画图：22．解：由题意可知解得：m＝2．23．解：（1）依题意得∴∴m＝0；（2）依题意得m2﹣m≠0，∴m≠0且m≠1．24．解：（1）根据一次函数的定义，得：m2﹣m＝0解得m＝0或m＝1又∵m﹣1≠0即m≠1；∴当m＝0时，这个函数是一次函数；（2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0解得m1≠0，m2≠1∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数．25．解：由二次函数的定义，可知m2+m≠0，即m≠0，m≠﹣1又因为m2﹣2m﹣1＝2，m2﹣2m﹣3＝0解得m＝3或m＝﹣1（不合题意，舍去）所以m＝3故y＝12x2+9．26．解：（1）当a＝1，b＝﹣2，c＝1时，y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴该二次函数的顶点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝1，利用函数对称性列表如下：x…﹣10123…y…41014…在给定的坐标中描点，画出图象如下．（2）由y＝ax2+bx+c是二次函数，知a≠0y＝a（x2+x）+c＝a[x2+x+（）2]+c﹣a×（）2＝a（x+）2+∴该二次函数图象的顶点坐标为．27．解：（1）当0≤x≤4时，y＝x+3；当x＞4时，由图表可知y＝（x﹣6）2+k，由函数图象可知，当x＝4时，y＝x+3＝6，此时（4﹣6）2+k＝6，解得k＝2，所以，当x＞4时，y＝（x﹣6）2+2；（2）他说的错误．把y＝3代入y＝x+3中，得x+3＝3，解得x＝0，把y＝3代入y＝（x﹣6）2+2中，得（x﹣6）2+2＝3，解得x＝5或7，正确说法是：所输出y的值为3时，输入x的值为0或5或7．。
九年级 数学二次函数单元测试题及答案
九年级数学二次函数单元测试题及答案二次函数单元测评一、选择题(每题3分，共30分)1.下列关系式中，属于二次函数的是()A。
y=2x+1B。
y=3x-2C。
y=x2-4x+3D。
y=1/x2.函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是()A。
(1，-4)B。
(-1，2)C。
(1，2)D。
(0，3)3.抛物线y=2(x-3)2的顶点在()A。
第一象限B。
第二象限C。
x轴上D。
y轴上4.抛物线的对称轴是()A。
x=-2B。
x=2C。
x=-4D。
x=45.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是()A。
ab>0，c>0B。
ab>0，c<0C。
ab0D。
ab<0，c<06.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第二象限()7.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是()A。
4+mB。
mC。
2m-8D。
8-2m8.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是()无法确定9.已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线上的点，且-1<x1<x2，x3<-1，则y1，y2，y3的大小关系是()B。
y2<y3<y110.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是()C。
y=(x+2)2+3二、填空题(每题4分，共32分)11.二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是x=1.12.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=(x-1)2+2.13.若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为4.选B.3.考点：二次函数解析式的确定.选C.4.考点：二次函数图象的性质.选D.5.考点：二次函数解析式的确定.选B.6.考点：二次函数图象的性质.选A.7.考点：二次函数图象的性质.选C.8.考点：二次函数图象的性质.选B.9.考点：二次函数图象的性质.选D.10.考点：二次函数图象的性质.选C.二、填空题14.抛物线经过点A(-1,0)和B(3,0)，解析式为y=x^2+1.15.解析式为y=-3x^2+18x-9.16.最高点距地面20m.17.解析式为y=-(x-2)^2+3.18.点为(-1,b^2).三、解答题19.(1)对称轴方程为x=0，点A关于对称轴对称的点A'为A'(0,4)，点B(4,0)关于对称轴对称的点B'为B'(-4,0).2)解析式为y=-x^2-4.20.(1)解得x1=-1,x2=-7，代入二次函数解析式得y=x^2-3x+2.2)平移后的顶点为P(2,-2)，交点为C(4,0)，△POC的面积为4.21.(1)解析式为y=-x^2+6x+5.2)△MCB的面积为12.22.设单价为x元，销售量为y件，根据题意得到方程组：x=2.5+(13.5-x)/200x=2.5+((13.5-x-1)*700)/200解得x=11.5，销售量为900件，获利为(11.5-2.5)*900=8100元，故销售单价为11.5元时可以获利最大。
九年级数学：《二次函数》单元测试卷(含答案)
九年级数学：《二次函数》单元测试卷（含答案）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1 •在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A. y=x2B. y= °C. y=kx2D. y=k2xx2.尸吸石加是二次函数，贝U m的值为（）A. 0,- 2B. 0，2C. 0D.- 23.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可x …—5 —4 —3 —2 —1 …y …—7.5 —2.5 0.5 1.5 0.5 …根据表格提供的信息，下列说法错误的是（）A.该抛物线的对称轴是直线x= —2B.该抛物线与y轴的交点坐标为（0，- 2.5 ）C.b2—4ac=0D.若点A （0，5，y1）是该抛物线上一点.则y1< —2.55.关于抛物线y=x2-2x+1，下列说法错误的是（）A.开口向上B.与x轴有两个重合的交点C.对称轴是直线x=1D.当x > 1时，y随x的增大而减小6 .已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y<0,则x的取值范围是（）A.— 1v xv 4B.— 1v xv 3C. xv — 1 或x >4D. xv— 1 或x >37.二次函数y=x2- 2x—2与坐标轴的交点个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个8.已知关于x的方程ax+b=O(a^0)的解为x= —2,点(1,3)是抛物线y=ax2+bx+c(a^ 0) 上的一个点，贝U下列四个点中一定在该抛物线上的是( )A.( 2, 3)B.( 0, 3)C. (—1, 3)D. (—3, 3)9.二次函数y - x2+2x+4的最大值为( )A. 3B. 4C. 5D. 610.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc> 0;②a +b+c=2;③av丄；④b> 1.其中正确的结论是( )A.①②B•②③ C.③④ D.②④二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)11.已知函数…［「-」：厂、是关于x的二次函数，贝U m的值为 -1 .12.如图是二次函数y1=ax2+bx+c (a^ 0)和一次函数y?二mx+n( m^ 0)的图象，当y2 >y1, x的取值范围是—2v xv 1 .13.若二次函数的图象开口向下，且经过(2,- 3)点.符合条件的一个二次函数的解析式为y二-x2- 2x+5 .14.已知点P (m n)在抛物线y=ax2- x - a上，当m>- 1时，总有nW 1成立, 则a的取值范围是-£w av0 .15.二次函数y=ax2(a>0)的图象经过点(1, yj、( 2, y2),贝U y v 屮(填“>”或“<”).16.二次函数y=x2+2x+2的最小值为1 .三、解答题(共8题，共72分)17.已知抛物线经过点(2, 3),且顶点坐标为(1, 1),求这条抛物线的解析式.18.已知函数y=u+v,其中u与x的平方成正比，v是x的一次函数，(1)根据表格中的数据，确定v的函数式；(2)如果x=- 1时，函数y取最小值，求y关于x的函数式；19.如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A (- 1, 0)、B (3, 0)两点.(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)当0v xv 3时，求y的取值范围；(3)点P为抛物线上一点，若S A PA=10，求出此时点P的坐标.20.如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,经过点A的直线交该抛物线于点B,交y轴于点C,且点C是线段AB的中点.(1)求这条抛物线对应的函数解析式；(2)求直线AB对应的函数解析式.刀1yL r21.如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD设AB边长为x米，则菜园的面积y (单位：米2)与x (单位：米)的函数关系式为多少？22.某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克.(1)设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；(2)若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？23.如图，顶点为M的抛物线y=a (x+1) 2-4分别与x轴相交于点A，B (点A在点B 的右侧)，与y轴相交于点C (0，- 3).(1)求抛物线的函数表达式；(2)判断△ BCM是否为直角三角形，并说明理由.24.如图1,在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+1经过点A (4,- 3),顶②当P 点在抛物线上运动时，猜想 PO 与PH 有什么数量关系，并证明你的猜想; (3)如图2,设点C( 1,- 2),问是否存在点P ,使得以P, O, H 为顶点的三角 形与△ABC 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.k$i ------------- / \r|mirv /点为点B ，点P 为抛物线上的一个动点, 过P 作PHL I ，垂足为H,连接PO(1) 求抛物线的解析式，并写出其顶点 (2) ①当P 点运动到A 点处时，计算:PH (填或“=”)；I 是过点(0, 2)且垂直于y 轴的直线，B 的坐标； PO= 5 , PH= 5 ，由此发现，PO =参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1 •在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A. y=x2B. y= °C. y=kx2D. y=k2x【考点】二次函数的定义.【分析】根据二次函数的定义形如y=ax2+bx+c （a^ 0）是二次函数.【解答】解：A、是二次函数，故A符合题意；B是分式方程，故B错误；C k=0时，不是函数，故C错误；D k=0是常数函数，故D错误；故选：A.【点评】本题考查二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c （a^ 0）是二次函数.2.尸即右“是二次函数，贝U m的值为（）A. 0，- 2B. 0，2C. 0D.- 2【考点】二次函数的定义.【分析】根据二次函数的定义知道其系数不为零且指数为2,从而求得m的值. 【解答】解：•••尸叶是二次函数，.■■-■.丁「-〉.二.…〔尸亠1解得：m=- 2，故选D.【点评】本题考查了二次函数的定义，特别是遇到二次函数的解析式中二次项含有字母系数时，要注意字母系数的取值不能使得二次项系数为0.3.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为（）【分析】本题可先由二次函数y=ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=ax+b的图象相比较看是否一致.【解答】解：A、由抛物线可知，av0, x=-圭v0,得bv0,由直线可知，av0, bv 0,故本选项正确；B由抛物线可知，a> 0,由直线可知，av 0,故本选项错误；C由抛物线可知，a>0, x=-备〉0,得bv0,由直线可知，a>0, b>0,故本选项错误；D由抛物线可知，a> 0,由直线可知，av 0,故本选项错误.故选：A.【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法.4.某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出下面的表格:x …-5 - 4 - 3 - 2 - 1y …-7.5 - 2.5 0.5 1.5 0.5根据表格提供的信息，下列说法错误的是（）A.该抛物线的对称轴是直线x=- 2B.该抛物线与y轴的交点坐标为（0,- 2.5 ）C.b2- 4ac=0D.若点A （0, 5, y i）是该抛物线上一点.则y i v- 2.5【考点】二次函数的图象.【分析】根据表格提供的信息以及抛物线的性质一一判断即可.【解答】解：A、正确•因为x=- 1或-3时，y的值都是0.5，所以对称轴是 -x= 2.B正确•根据对称性，x=0时的值和x=- 4的值相等.C错误.因为抛物线与x轴有交点，所以b2- 4ac>0.D正确.因为在对称轴的右侧y随x增大而减小.故选C.【点评】本题考查二次函数的图象以及性质，需要灵活应用二次函数的性质解决问题，读懂信息是解题的关键，属于中考常考题型.5.关于抛物线y=x2-2x+1，下列说法错误的是( )A.开口向上B.与x轴有两个重合的交点C.对称轴是直线x=1D.当x > 1时，y随x的增大而减小【考点】二次函数的性质；二次函数的图象.【分析】根据抛物线的解析式画出抛物线的图象，根据二次函数的性质结合二次函数的图象，逐项分析四个选项，即可得出结论.【解答】解：画出抛物线y=x2- 2x+1的图象，如图所示.A、・a=1，•••抛物线开口向上，A正确；B'••令x2- 2x+1=0,A = (- 2) 2-4X 1 X 仁0,•••该抛物线与x轴有两个重合的交点，B正确；c b [-2LC•—鮎=^^r=1，•••该抛物线对称轴是直线x=1, C正确；D：抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为x=1,•••当x> 1时，y随x的增大而增大，D不正确.故选D.【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，解题的关键是结合二次函数的性质及其图象分析四个选项.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的解析式画出函数图象，利用数形结合来解决问题是关键.6.已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y v0,则x的取值范围是（）A.— 1 vxv 4B.— 1 vxv 3C. xv- 1 或x >4D. xv- 1 或x >3【考点】抛物线与x轴的交点.【专题】计算题.【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标及对称轴求出它与x轴的另一交点坐标，求当yv 0, x的取值范围就是求函数图象位于x轴的下方的图象相对应的自变量x 的取值范围.【解答】解：由图象知，抛物线与x轴交于（-1，0），对称轴为x=1，•••抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），••• y v0时，函数的图象位于x轴的下方，且当-1vxv 3时函数图象位于x轴的下方，•当-1 vxv 3 时，y v0.故选B.【点评】本题考查了二次函数的图象的性质及学生的识图能力，是一道不错的考查二次函数图象的题目.7.二次函数y=x2- 2x- 2与坐标轴的交点个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【考点】抛物线与x轴的交点.【分析】先计算根的判别式的值，然后根据b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数进行判断.【解答】解：•••△ = (- 2) 2 - 4X1X( - 2) =12> 0,•••二次函数y=x2- 2x - 2与x轴有2个交点，与y轴有一个交点.•••二次函数y=x2-2x - 2与坐标轴的交点个数是3个.故选D.【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c (a, b, c是常数，a^0)与x轴的交点坐标，令y=0,即ax2+bx+c=0,解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标.二次函数y=ax2+bx+c (a, b, c是常数，a^ 0)的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系：△二b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△ =b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△二b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△二b2- 4acv 0时，抛物线与x轴没有交点.8.已知关于x的方程ax+b=0(a^0)的解为x=- 2,点(1,3)是抛物线y=ax2+bx+c(a^ 0) 上的一个点，贝U下列四个点中一定在该抛物线上的是( )A.( 2, 3)B.( 0, 3)C. (- 1, 3)D. (- 3, 3)【考点】二次函数图象上点的坐标特征.【分析】根据一次方程ax+b=0 (a^ 0)的解为x=- 2得出b=2a,由此即可得出抛物线y=ax2+bx+c (a^0)的对称轴为x=- 1,找出点(1, 3)关于对称轴对称的点，即可得出结论.【解答】解：•••关于x的方程ax+b=0 (aM0)的解为x=- 2,•有-2a+b=0,即b=2a.2 b I•••抛物线y=ax +bx+c (aM0)的对称轴x=-石=-1.•••点(1, 3)是抛物线上的一点，•••点(-3, 3)是抛物线上的一点.故选D.【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出抛物线的对称轴为x=- 1.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出抛物线的对称轴，找出已知点关于对称轴对称的点即可.9.二次函数y= - X2+2X+4的最大值为( )A. 3B. 4C. 5D. 6【考点】二次函数的最值.【专题】计算题.【分析】先利用配方法得到y=- (x - 1)2+5,然后根据二次函数的最值问题求解. 【解答】解：y=-(x- 1) 2+5，•/ a=- 1v 0，•••当x=1时，y有最大值，最大值为5.故选：C.【点评】本题考查了二次函数的最值：当a> 0时，抛物线在对称轴左侧，y随x 的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-上时，y=「；当av 0时，抛物线在对称轴左侧，y4a随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所b 4冋〜'以函数有最大值，当x=-石时，y ----- ---- ;确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值.10.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc> 0;②a+b+c=2;③av丄；④b> 1.其中正确的结论是( )A.①②B.②③C.③④D.②④【考点】二次函数图象与系数的关系.【专题】压轴题.【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结 论进行判断.【解答】解：①•••抛物线的开口向上，••• a > 0,•••与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上，••• cv0，•••对称轴为x 二 一- v0，A a 、b 同号，即b >0， ••• abcv 0,故本选项错误;②当x=1时，函数值为2, • a+b+c=2；故本选项正确;故本选项错误;④当x=- 1时，函数值v 0, 即 a- b+cv0,( 1)又 a+b+c=2,将 a+c=2 - b 代入(1),2- 2bv0,••• b >1③•••对称轴x= >-1,•••故本选项正确；综上所述，其中正确的结论是②④；故选D.【点评】二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：(1)a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，贝U a>0;否则av0.(2)b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=，丄-判断符号.(3)c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c>0;否则cv0.(4)b2- 4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2- 4ac>0; 1 个交点，b2- 4ac=0;没有交点，b2- 4acv0.(5)当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=- 1时，可确定a- b+c的符号.(6)由对称轴公式x= •丄-，可确定2a+b的符号.二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)11 .已知函数n」!-是关于x的二次函数，贝U m的值为 -1【考点】二次函数的定义.【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可.【解答】解：根据题意得：旷1护0'解得：m=- 1.故答案是：-1.【点评】本题考查二次函数的定义，注意到m- 1工0是关键.12.如图是二次函数y i=ax2+bx+c （a^ 0）和一次函数y?=mx+n（ m^ 0）的图象，当y2>y i, x的取值范围是—2vxv 1 .【考点】二次函数的图象；一次函数的图象.【分析】关键是从图象上找出两函数图象交点坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，判断y2>y i时，x的取值范围.【解答】解：从图象上看出，两个交点坐标分别为（- 2, 0），（1, 3），二当有y2>y i 时，有-2vxv 1，故答案为：-2v xv 1.【点评】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力.解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势.13.若二次函数的图象开口向下，且经过（2，- 3）点.符合条件的一个二次函数的解析式为y二-x2- 2x+5 .【考点】二次函数的性质.【专题】开放型.【分析】由于二次函数的图象开口向下，所以二次项系数是负数，而图象还经过（2，- 3）点，由此即可确定这样的函数解析式不唯一.【解答】解：•••若二次函数的图象开口向下，且经过（2，- 3）点，••• y=- x2- 2x+5 符合要求.答案不唯一.例如：y=- x2- 2x+5.【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键根据图象的性质确定解析式的各项系数.14.已知点P （m n）在抛物线y=ax2- x - a上，当m>- 1时，总有nW 1成立, 则a 的取值范围是-护av0 .【考点】二次函数图象上点的坐标特征.【分析】依照题意画出图形，结合函数图形以及已知条件可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出a的取值范围.【解答】解：根据已知条件，画出函数图象，如图所示.故答案为：-av0.【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是画出函数图象，依照数形结合得出关于a的不等式组.本题属于基础题, 难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质画出函数图象，利用数形结合解决问题是关键.15.二次函数y=ax2（a>0）的图象经过点（1，yj、（2，y?），则y v y?（填“>”或“<”）.【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质.【分析】根据a>0，结合二次函数的性质即可得出“当x>0时，二次函数y值随着x 值的增大而增大”，再由0v 1v2即可得出结论.【解答】解：：a>0，且二次函数的对称轴为x=0，•••当x> 0时，二次函数y值随着x值的增大而增大，•/ 0< 1V 2,•-y i< y2.故答案为：<•【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是找出当x>0时，函数为增函数.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的系数结合二次函数的性质找出其单调区间是关键.16.二次函数y=x2+2x+2的最小值为1 .【考点】二次函数的最值.【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出最小值即可.【解答】解：配方得：y=x2+2x+2=y=x2+2x+12+仁（x+1）2+1，当x= - 1时，二次函数y=x2+2x+2取得最小值为1.故答案是：1.【点评】本题考查了二次函数的最值.求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法.三、解答题（共8题，共72分）17.已知抛物线经过点（2，3），且顶点坐标为（1，1），求这条抛物线的解析式. 【考点】待定系数法求二次函数解析式.【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，贝U可设顶点式y=a （x+1）2+2,然后把（0，4）代入求出a的值即可.【解答】解：•••顶点坐标为（1，1），设抛物线为y=a （x - 1）2+1，•••抛物线经过点（2, 3），•3=a （2- 1）2+1，解得：a=2.2 2•y=2 （x - 1）+1=2x - 4x+3.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解•一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.18.已知函数y=u+v，其中u与x的平方成正比，v是x的一次函数,(1)根据表格中的数据，确定V的函数式；(2)如果x=- 1时，函数y取最小值，求y关于x的函数式；(3)在(2)的条件下，写出y的最小值.X01V-11【考点】二次函数的最值；待定系数法求一次函数解析式.【专题】计算题.【分析】(1) V是x的一次函数，可设v=kx+b，然后把表中两组数据代入得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b即可；(2)由于u与x的平方成正比，则设u=ax2，所以y=ax2+2x- 1，根据二次函数的I 2最值问题得到-右=-1,解得a=1，由此得到y关于x的函数式；(3)把x=- 1代入y关于x的函数式中计算出对应的函数值即可.Cb- _1【解答】解：(1)设v=kx+b，把 (0，- 1)、(1, 1)代入得—••• v=2x- 1 ；(2)设u=ax2，则y=ax2+2x- 1，•••当x=- 1 时，y=ax2+2x - 1 取最小值，7 9 一•••抛物线的对称轴为直线x=- 1,即一亠二一1 ,--a=1,•y=x2+2x - 1,(3)把x= - 1 代入y=x2+2x- 1 得y=1 - 2- 1 = - 2,即y的最小值为-2.【点评】本题考查了二次函数 y=ax 2+bx+c (a ^ 0)的最值：当a >0时，抛物线在 对称轴左侧，y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，因为图 象有最低点，所以函数有最小值，当 x=」¥~时，y 一—；当av 0时，抛物阴 q 呂线在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随x 的增大而减少，因 为图象有最高点，所以函数有最大值，当 x= 时，y=5 ' ■.19•如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 经过A (- 1, 0)、B (3, 0)两点.(1) 求抛物线的解析式和顶点坐标；(2) 当0v xv 3时，求y 的取值范围；(3) 点P 为抛物线上一点，若S A PAB =10，求出此时点P 的坐标.【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质.【分析】(1)由点A 、B 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利 用配方法即可求出抛物线顶点坐标；(2) 结合函数图象以及 A B 点的坐标即可得出结论；(3) 设P (x ，y )，根据三角形的面积公式以及 S APAB =10,即可算出y 的值，代入 抛物线解析式即可得出点P 的坐标.【解答】解：(1)把A (- 1，0)、B (3, 0)分别代入y=x 2+bx+c 中，•••抛物线的解析式为y=x 2- 2x - 3.■/ y=x 2- 2x - 3= (x - 1) 2- 4,•顶点坐标为(1,- 4).(2)由图可得当0vxv3时，-4Wyv 0.得: \9+3b+c=0 ，解得:（3）v A （- 1, 0）、B （3, 0）,••• AB=4设P （x, y），则S A PAB=--AB?|y|=2|y|=10 ,•|y|=5 ,•y=± 5.①当y=5 时，x2- 2x- 3=5,解得：x i=- 2, X2=4,此时P点坐标为（-2, 5）或（4, 5）;②当y=-5时，x2- 2x - 3=- 5,方程无解；综上所述，P点坐标为（-2, 5）或（4, 5）.【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据函数图象解不等式；（3）找出关于y的方程.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键.20.如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,经过点A的直线交该抛物线于点B,交y轴于点C,且点C是线段AB的中点.（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线AB对应的函数解析式.【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式.【专题】计算题.【分析】（1）利用△ =b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点得到4a2-4a=0, 然后解关于a的方程求出a,即可得到抛物线解析式；（2）利用点C是线段AB的中点可判断点A与点B的横坐标互为相反数，则可以利用抛物线解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求直线AB的解析式.【解答】解：（1）：抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,•••△ =4a2- 4a=0,解得a i=0 （舍去），比=1,•••抛物线解析式为y=x2+2x+1;（2）v y= （x+1）2,•顶点A的坐标为（-1, 0）,•••点C是线段AB的中点，即点A与点B关于C点对称，•B点的横坐标为1,当x=1 时，y=x2+2x+ 仁1+2+仁4 贝U B (1, 4),设直线AB的解析式为y=kx+b,把A (- 1, 0), B (1, 4)代入得解得丿•直线AB的解析式为y=2x+2.【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c （a, b, c是常数，a^ 0）,A =b2- 4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△ =b2- 4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△ =b2- 4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△ =b2-4ac v0时，抛物线与x轴没有交点.也考查了利用待定系数法求函数解析式.21.如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD设AB边长为x米，则菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关系式为多少？【考点】根据实际问题列二次函数关系式.【分析】由AB边长为x米根据已知可以推出BC=「（30 - x）,然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式.【解答】解：：AB边长为x米，而菜园ABCD1矩形菜园，二BC=- （30 - x）,菜园的面积=ABX BC丄（30- x）?x,则菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关系式为：y二-丄X2+15X. 【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，禾用矩形的周长公式用x 表示BC,然后利用矩形的面积公式即可解决问题，本题的难点在于得到BC长.22.某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克.（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；（2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？【考点】二次函数的应用.【分析】（1）根据“每天利润=每天销售质量X每千克的利润”即可得出y关于x 的函数关系式；（2）将y=960代入（1）中函数关系式中，得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论.【解答】解：（1）根据题意得：y= （200+20x）X（ 6 -x） =- 20x2- 80x+1200.（2）令y二-20x2- 80X+1200 中y=960，则有960=- 20x2- 80x+1200,即X2+4X- 12=0,解得：x=- 6 （舍去），或x=2.答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元.【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出函数关系式；（2）将y=960代入函数关系式得出关于x的一元二次方程.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时结合数量关系找出函数关系式是关键.23.如图，顶点为M的抛物线y=a （x+1）2-4分别与x轴相交于点A，B （点A在点B的右侧），与y轴相交于点C （0，- 3）.（1）求抛物线的函数表达式；(2)判断△ BCM是否为直角三角形，并说明理由.【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式.【分析】(1)将点C坐标代入解析式求得a即可；(2)先根据抛物线解析式求得点M B、C的坐标，继而可得线段BC CM BM的长，根据勾股定理的逆定理即可判断.【解答】解：(1)v抛物线y=a (X+1) 2-4与y轴相交于点C (0,- 3).•••- 3=a- 4,--a=1,•••抛物线解析式为y= (x+1) 2- 4=X2+2X- 3,(2)A BCM是直角三角形•••由(1)知抛物线解析式为y= (x+1) 2-4,•- M(- 1,- 4),令y=0,得：x2+2x - 3=0,•X1= —3, X2=1,•A (1, 0), B (- 3, 0),•BC=9+9=18, CM=1+ 仁2, BM=4+14=20,•B C+C M=B M,•△ BCM是直角三角形.【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式及勾股定理逆定理，根据题意求得抛物线解析式是解题的根本，掌握勾股定理逆定理是解题的关键.24.如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A (4,- 3),顶点为点B,点P为抛物线上的一个动点，I是过点(0, 2)且垂直于y轴的直线，过P作PHL I，垂足为H,连接PO(1)求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；(2)①当P点运动到A点处时，计算：PO= 5 , PH= 5 ，由此发现，PO = PH (填或“=”)；②当P点在抛物线上运动时，猜想P0与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；(3)如图2,设点C( 1，- 2),问是否存在点P,使得以P, O, H为顶点的三角形与△ ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.副国2【考点】二次函数综合题.【分析】(1)禾U用待定系数法即可解决问题.(2)①求出PO PH即可解决问题. (2)②结论：PO=PH设点P坐标(m -二m2+1)，利用两点之间距离公式求出PH P0即可解决问题.(3)首先判断PH与BC P0与AC是对应边，设点P (m -寺m2+1)，由半=- 列出方程即可解决问题.【解答】(1)解：•••抛物线y=ax2+1经过点A (4,- 3),•'•- 3=16a+1,•••抛物线解析式为y=-^x2+1，顶点B (0,1).(2)①当P点运动到A点处时PO=5 PH=5•PO=PH故答案分别为5, 5,=.②结论：PO=PH1 2理由：设点P坐标(m - v m+1),••• PH=2-(-+ rm+1)斗m+1PO 新+(-寺石1严今卅+1,••• PO=PH(3)v BC =：「-卜:, AC= i - '=J ' JJ , AB= L =4. ■■: ••• BC=AC ••• PO=PH又•••以P , O, H 为顶点的三角形与△ ABC 相似,••• PH 与BC, PO 与AC 是对应边,解得m=± 1,P 11- *P) rrv 7h【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知 识，解题的关键是记住两点之间的距离公式，学会转化的思想，用方程去解决问 题，属于中考压轴题. ••宀弋，设点 丄亦+1）,。
数学九年级上学期《二次函数》单元测试(带答案)
A.(1, 0)B.(-1, 0)C.(2, 0)D.(-2, 0)
4.如图,已知二次函数 在坐标平面上的图象经过 、 两点．若 , ,则 的值可能为()
A. 1B. 3C. 5D. 7
5.已知二次函数 的图象过点 , , ．若点 , , 也在二次函数 的图象上,则下列结论正确的是()
∴y=x2+x−2,
当y=0时,
x2+x−2=0,
解得x1=1,x2=−2.
故另一个交点坐标是(−2,0).
故答案选D.
[点睛]本题考查了抛物线与坐标轴的交点,解题的关键是熟练的掌握抛物线与坐标轴的交点的知识点.
4.如图,已知二次函数 在坐标平面上的图象经过 、 两点．若 , ,则 的值可能为()
A.1B.3C.5D.7
[答案]B
[解析]
[分析]
先由A(1,2),B(3,2),C(5,7),代入y=Ax2+Bx+C,得到二次函数得到二次函数的解析式,再比较y1、y2、y3的大小．
[详解]把A(1,2),B(3,2),C(5,7)代入y=Ax2+Bx+C得
,
解得 .
∴函数解析式为y= x2− x+ = (x−2)2+ .
人教版数学九年级上学期
《二次函数》单元测试
[考试时间：90分钟分数：120分]
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)、
1.下列函数中,是二次函数的有()
① ② ③ ④
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.已知二次函数 图象如图所示,给出以下结论：① ；② ；③ ；④ ,其中结论正确有()个．
九年级数学上册二次函数单元测试卷含答案
九年级数学上册二次函数单元测试卷含答案Love and liking, January 6, 2019二次函数单元测试卷满分：100分时间：60分钟一、选择题每题3分;共21分1．由二次函数y＝－x2＋2x;可知A．图象的开口向上B．图象的对称轴为直线x＝1C．最大值为－1 D．图象的顶点坐标为－1;1 2．已知函数y＝x2－x－4;当函数值y随x的增大而减小时;x的取值范围是 A．x<1 B．x>1 C．x>－2 D．－2<x<43．把二次函数y＝12x2＋3x＋52的图象向右平移2个单位后;再向上平移3个单位;所得函数图象的顶点坐标是A．－5;1 B．1;－5 C．－1;1 D．－1;34．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c a<0过A－2;0、O0;0、B－3;y1、C3;y2四点;则y1与y2的大小关系是A．y1>y2 B．y1＝y2 C．y1<y2 D．不能确定5．二次函数y＝ax＋k2＋k;当k取不同的实数值时;图象顶点所在的直线是A．y＝x B．x轴C．y＝－x D．y轴6．已知二次函数y＝ax－12＋b有最小值－1;则a与b之间的大小关系是A．a<b B．a＝b C．a>b D．不能确定7．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示;下列结论错误的是A．ab<0B．a c<0C．当x<2时;函数值随x的增大而增大；当x>2时;函数值随x的增大而减小D．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c ＝0的根二、填空题每题3分;共21分8．二次函数y＝x－12－2的图象的对称轴是直线______．9．若抛物线y＝x2－2x－2的顶点为A;与y轴的交点为B;则过A、B两点的直线所对应的函数关系式为______________．10．将抛物线y＝－12x2向上平移2个单位;再向右平移1个单位后;得到的抛物线所对应的函数关系式为_______．11．若抛物线y＝ax2＋bx＋c a≠0的图象与抛物线y＝x2－4x＋3的图象y轴对称;则抛物线y＝ax2＋bx＋c所对应的函数关系式为______________．12．若抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点A;与x轴正半轴交于B、C两点;且BC＝2;S△ABC＝3;则b＝_______．13．二次函数y＝x2－6x＋c图象的顶点与原点的距离为5;则c＝______．14．某厂2015年创利320万元;若以后每年以相同的增长率x递增;2016年和2017年两年共创利y万元;则yx的函数关系式是______用y＝ax2＋bx＋c 的形式表示．三、解答题共58分15．8分已知二次函数图象的顶点坐标为3;－2;且与y轴交于点0;52．1求函数的关系式;并画出它的图象．2当x为何值时;y随x的增大而增大16．8分用长度为20 m的金属材料制成如图所示的金属框;下部为矩形;上部为等腰直角三角形;其斜边长为2x m;当该金属框围成的图形面积最大时;图形中矩形的相邻两边长各为多少请求出金属框围成的图形的最大面积．17．10分已知抛物线y＝－x2＋2x＋2．1该抛物线的对称轴是_______;顶点坐标是_______；2选取适当的数据填入下表;并在如图所示的平面直角坐标系内描点画出该抛物线；3若该抛物线上两点A x1;y1、B x2;y2的横坐标满足x1>x2>1;试比较y1与y2的大小．18．10分已知二次函数的图象以A－1;4为顶点;且过点B2;－5．1求该函数的关系式；2求该函数图象与两坐标轴的交点坐标；3将该函数图象向右平移;当图象经过原点时;A、B两点随图象移至A'、B';求△OA'B'的面积．19．10分某宾馆有50个房间供游客住宿;当每个房间的房价为每天180元时;房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时;就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定;每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x 元x为10的正整数倍．1设一天订住的房间数为y;直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；2设宾馆一天的利润为w元;求w与x之间的函数关系式；3一天订住多少个房间时;宾馆每天的利润最大最大利润是多少元20．12分如图;抛物线y＝ax2＋bx＋c a≠0的顶点为C1;1;且过原点O．过抛物线上一点P x;y向直线y＝54作垂线;垂足为M．1求a、b、c的值；2在直线x＝1上有一点F1;34;连接FM;求以PM为底边的等腰△PFM上点P 的坐标;并证明此时△PFM为正三角形；3对抛物线上任意一点P;是否总存在一点N1;t;使PM ＝PN 恒成立;若存在;请求出t 的值；若不存在;请说明理由．参考答案一、1．B 2．A 3．C 4．A 5．C 6．C 7．B二、8．x ＝1 9．y ＝－x －2 10．y ＝－12x 2＋x ＋32 11．y ＝x 2＋4x ＋3 12．－413．5或13 14．y ＝320x 2＋960x ＋640三、15．1y ＝12x －32－2 图略 2当x ≥3时;y 随x 的增大而增大16．一边长60－m;相邻边长为－10m ;最大面积为300－m 217． 1直线x ＝1 1;3 2如图 3y 1<y 218．1 y ＝－x 2－2x ＋3 20;3;－3;0;1;0 315 19．1y ＝50－110x 0≤x ≤160;且x 为10的正整数倍 2w ＝－110x 2＋34x ＋8 000 3一天订住34个房间时;宾馆每天的利润最大;最大利润是10880元20．1a ＝－1;b ＝2;c ＝0 2P 的纵坐标为14;横坐标为1＋12 3存在N1;34使PM ＝PN 恒成立。
九年级数学二次函数全章测试题及答案
二次函数 全章测试一、填空题（每小题4分，共24分）1．抛物线y ＝－x 2＋15有最______点，其坐标是______．2．若抛物线y ＝x 2－2x －2的顶点为A ，与y 轴的交点为B ，则过A ，B 两点的直线的解析式为____________．3．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与抛物线y ＝x 2－4x ＋3的图象关于y 轴对称，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式为______．4．若抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于B ，C 两点，且BC ＝2，S △ABC ＝3，则b ＝______．5．二次函数y ＝x 2－6x ＋c 的图象的顶点与原点的距离为5，则c ＝______．6．二次函数22212--=x x y 的图象在坐标平面内绕顶点旋转180°，再向左平移3个单位，向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为____________．二、选择题（每小题4分，共28分）7．把二次函数253212++=x x y 的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象顶点是( )A ．(－5，1)B ．(1，－5)C ．(－1，1)D ．(－1，3)8．若点(2，5)，(4，5)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，则它的对称轴是( )A ．a bx -= B ．x ＝1 C ．x ＝2 D ．x ＝39．已知函数4212--=x x y ，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是( )A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ＞－2D ．－2＜x ＜410．二次函数y ＝a (x ＋k )2＋k ，当k 取不同的实数值时，图象顶点所在的直线是( )A ．y ＝xB ．x 轴C ．y ＝－xD ．y 轴11．图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是( )A ．h ＝mB ．k ＞nC ．k ＝nD ．h ＞0，k ＞012．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a ＋b ＋c ＝2；21>a ③；④b ＜1．其中正确的结论是( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④13．下列命题中，正确的是( )①若a ＋b ＋c ＝0，则b 2－4ac ＜0；②若b ＝2a ＋3c ，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根；③若b 2－4ac ＞0，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3；④若b ＞a ＋c ，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，有两个不相等的实数根．A ．②④B ．①③C ．②③D ．③④三、解答题（14-16每小题12分，17-18每小题16分共68分）14．把二次函数43212+-=x x y 配方成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，并求出它的图象的顶点坐标、对称轴方程，y ＜0时x 的取值范围，并画出图象．15．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过一次函数323+-=x y 的图象与x 轴、y 轴的交点，并也经过(1，1)点．求这个二次函数解析式，并求x 为何值时，有最大(最小)值，这个值是什么?16．已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点分别为A (m ，0)，B (n ，0)，且4=+n m ，⋅=31n m (1)求此抛物线的解析式；(2)设此抛物线与y 轴的交点为C ，过C 作一条平行x 轴的直线交抛物线于另一点P ，求△ACP 的面积．17．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (－1，0)，且经过直线y ＝x －3与x轴的交点B 及与y 轴的交点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标；(3)若点M 在第四象限内的抛物线上，且OM ⊥BC ，垂足为D ，求点M 的坐标．18．某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M (元)与时间t (月)的关系可用一条线段上的点来表示(如图甲)，一件商品的成本Q (元)与时间t (月)的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高(如图乙)．根据图象提供的信息解答下面问题：(1)一件商品在3月份出售时的利润是多少元?(利润＝售价－成本) (2)求出图(乙)中表示的一件商品的成本Q (元)与时间t (月)之间的函数关系式；(3)你能求出3月份至7月份一件商品的利润W (元)与时间t (月)之间的函数关系式吗?若该公司能在一个月内售出此种商品30000件，请你计算该公司在一个月内最少获利多少元?参考答案1．高，(0，15)． 2．y ＝－x －2． 3．y ＝x 2＋4x ＋3． 4．b ＝－4．5．c ＝5或13． 6．⋅+--=21212x x y7．C ． 8．D ． 9．A ． 10．C ． 11．C ． 12．B ． 13．C ．14．221)3(21--=x y 顶点坐标)21,3(-，对称轴方程x ＝3，当y ＜0时，2＜x＜4，图略．15．,325212+-=x x y 当25=x 时，⋅-=81最小值y16．(1)由31,4==+n m n m 得m ＝1，n ＝3．∴y ＝－x 2＋4x －3；(2)S △ACP ＝6．17．(1)直线y ＝x －3与坐标轴的交点坐标分别为B (3，0)，C (0，－3)，以A 、B 、C三点的坐标分别代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-,3,039,0c c b a c b a 解 得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==.3,2,1c b a ∴所求抛物线的解析式是y ＝x 2－2x －3． (2)y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴抛物线的顶点坐标为(1，－4)．(3)经过原点且与直线y ＝x －3垂直的直线OM 的方程为y ＝－x ，设M (x ，－x )，因为M 点在抛物线上，∴x 2－2x －3＝－x ．{因点M 在第四象限，取,2131+=x ).2131,2131(+-+∴M18．解：(1)一件商品在3月份出售时利润为：6－1＝5(元)．(2)由图象可知，一件商品的成本Q (元)是时间t (月)的二次函数，由图象可知，抛物线的顶点为(6，4)，∴可设Q ＝a (t －6)2＋4．又∵图象过点(3，1)，∴1＝a (3－6)2＋4，解之⋅-=31a,84314)6(3122-+-=+--=∴t t t Q 由题知t ＝3，4，5，6，7．(3)由图象可知，M (元)是t (月)的一次函数，∴可设M ＝kt ＋b ． ∵点(3，6)，(6，8)在直线上， ⎩⎨⎧=+=+∴.86,63b k b k 解之⎪⎩⎪⎨⎧==.4,32b k .432+=∴t M)8431(4322-+--+=-=∴t t t Q M W 12310312+-=t t 311)5(312+-=t 其中t ＝3，4，5，6，7．∴当t ＝5时，311=最小值W 元∴该公司在一月份内最少获利11000030000311=⨯元．。
数学九年级上学期《二次函数》单元测试卷(附答案)
12.若实数A、B满足A+B2=2，则A2+5B2的最小值为_____．
13.某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为__________元时，获得的利润最多．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若在抛物线上存在点Q，使得C D平分∠A CQ，请求出点Q 坐标；
（3）在直线C D的下方的抛物线上取一点N，过点N作NG∥y轴交C D于点G，以NG为直径画圆在直线C D上截得弦GH，问弦GH的最大值是多少？
（4）一动点P从C点出发，以每秒1个单位长度的速度沿C﹣A﹣D运动，在线段C D上还有一动点M，问是否存在某一时刻使PM+AM=4？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
人教版数学九年级上学期
《二次函数》单元测试
（满分120分，考试用时120分钟）
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共9小题）
1.对于二次函数y=2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（ ）
A.图象的开口向下B.函数的最大值为1
C.图象的对称轴为直线x=﹣2D.当x＜2时y随x的增大而减小
2.抛物线y=﹣3x2向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线解析式为（ ）
A.8Cm2B.9Cm2C.16Cm2D.18Cm2
6.在抛物线y＝Ax2－2Ax－3A上有A(－0.5，y1)、B(2，y2)和C(3，y3)三点，若抛物线与y轴的交点在正半轴上，则y1、y2和y3的大小关系为（）
初中数学九年级上册《二次函数》单元测试+解析
第1章二次函数单元测试卷（A卷基础篇）【浙教版】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________满分：120分考试时间：100分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2019•九龙坡区校级模拟）二次函数y＝x2﹣2x的顶点坐标是（）A．（1，1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，﹣1）D．（﹣1，1）2．（3分）（2019•雁塔区校级模拟）已知两点A（﹣6，y1），B（2，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y0≥y1＞y2，则x0的取值范围是（）A．x0＜﹣6 B．x0＜﹣2 C．﹣6＜x0＜﹣2 D．﹣2＜x0＜23．（3分）（2019•镇平县三模）对于二次函数y＝﹣x2﹣4x+5，以下说法正确的是（）A．x＜﹣1时，y随x的增大而增大B．x＜﹣5或x＞1时，y＞0C．A（﹣4，y1），B（，y2）在y＝﹣x2﹣4x+5的图象上，则y1＜y2D．此二次函数的最大值为84．（3分）（2019•周口二模）在抛物线y＝x2﹣4x+m的图象上有三个点（﹣3，y1），（1，y2），（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y2＜y3＜y1B．y1＜y2＝y3C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y15．（3分）（2019•平房区三模）已知，二次函数y＝（x+h）2+k向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到二次函数y＝（x﹣1）2+1，则原函数的顶点坐标为（）A．（2，﹣4）B．（1，﹣4）C．（1，4）D．（2，4）6．（3分）（2019•河池）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，则下列结论中，错误的是（）A．ac＜0 B．b2﹣4ac＞0 C．2a﹣b＝0 D．a﹣b+c＝07．（3分）（2019•呼和浩特）二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．8．（3分）（2019•南昌模拟）如图，直线y1＝mx+n和抛物线y2＝ax2+bx+c交于A（﹣3，1）和B（1，2）两点，使得y1＞y2的x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＞﹣3 C．﹣3＜x＜1 D．x＞1或x＜﹣39．（3分）（2019•潍坊）抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A．2≤t＜11 B．t≥2 C．6＜t＜11 D．2≤t＜610．（3分）（2019•杭州模拟）关于x的二次函数y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k（k≠0），在某次数学研究课上得到以下结论：①当k＝1时，二次函数图象顶点为（0，﹣2）；②当k＜0时，二次函数y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k（k≠0）图象对称轴在直线x＝左侧；③当k＜0时，二次函数y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k（k≠0）图象在x轴上截得线段长小于；④当k＞0时，点M（x0，y0）是二次函数y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k（k≠0）图象上一点，若＜x0＜1，则y0＜0；则以上研究正确的是（）A．①③B．②③④C．①④D．①③④第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．（4分）（2019•道里区校级模拟）抛物线y＝（x+3）2+4的对称轴是．12．（4分）（2019春•滨州期末）将抛物线y＝4x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为．13．（4分）（2019•大洼区三模）若二次函数y＝（m﹣1）x的图象开口向下，则m的值为．14．（4分）（2019•中原区校级三模）二次函数y＝x2﹣2mx+1在x≤1时y随x增大而减小，则m的取值范围是．15．（4分）（2019•福建三模）已知二次函数y＝（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为4，则h的值为．16．（4分）（2019•南关区校级一模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想帮助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），设AB＝m，若在P处有一棵树与墙CD、AD的距高分别是18m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积的最大值为．三．解答题（共7小题，满分66分）17．（6分）（2018秋•宁乡市期中）已知：抛物线y＝﹣x2+x﹣（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？18．（8分）（2019•兰坪县二模）已知：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣1，与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，其中A（﹣3，0）、C（0．﹣2）．求这条抛物线的函数表达式．19．（8分）（2018秋•黔东南州期末）将抛物线y1＝2x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到抛物线y2．（1）直接写出平移后的抛物线y2的解析式；（2）求出y2与x轴的交点坐标；（3）当y2＜0时，写出x的取值范围．20．（10分）（2019春•雨花区校级月考）我校上个月进行了义卖活动，某班购进了一批单价为20元的某种商品在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给希望工程，经实验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件：若每件按29元的价格销售时，每天都能卖出21件，假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数．（1）求y与x满足的函数表达式（不要求写出x的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润p最大？21．（10分）（2019春•日照期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴、y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）连接BC，求△ABC的面积；（3）若点M为抛物线上一动点，连接MA、MB，当点M运动到某一位置时，△ABM面积为△ABC的面积的倍，求此时点M的坐标．22．（12分）（2019•蜀山区校级三模）如图，二次函数＝ax2+bx﹣3的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．与y轴相交于点C（1）求这个二次函数的解析式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点AM，请问：当点P的坐标为多少时，线段PM的长最大？并求出这个最大值．23．（12分）（2019•天门）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m 的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．第1章二次函数单元测试卷（A卷基础篇）【浙教版】参考答案与试题解析1．（3分）（2019•九龙坡区校级模拟）二次函数y＝x2﹣2x的顶点坐标是（）A．（1，1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，﹣1）D．（﹣1，1）【思路点拨】先把该二次函数化为顶点式的形式，再根据其顶点式进行解答即可．【答案】解：∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴二次函数y＝x2+4x的顶点坐标是：（1，﹣1），故选：B．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质和求抛物线的顶点坐标的方法，熟练配方是解题关键．2．（3分）（2019•雁塔区校级模拟）已知两点A（﹣6，y1），B（2，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y0≥y1＞y2，则x0的取值范围是（）A．x0＜﹣6 B．x0＜﹣2 C．﹣6＜x0＜﹣2 D．﹣2＜x0＜2【思路点拨】由抛物线顶点纵坐标最大可得出a＜0，对称轴在A、B之间，结合y1＜y2≤y0可得出点A 到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，得到x0≤﹣6或﹣6＜x0＜2，即x0≤﹣6或x0﹣（﹣6）＜2﹣x0，解之即可得出结论．【答案】解：∵点C（x0，y0）是该抛物线的顶点．且y0≥y1＞y2，∴a＜0，x0≤﹣6或﹣6＜x0＜2，∴x0﹣（﹣6）＜2﹣x0，∴x0＜﹣2，∴x0≤﹣6或x﹣6＜x0＜﹣2，∴x0＜﹣2故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，由y0≥y1＞y2找出x0﹣（﹣6）＜2﹣x0是解题的关键．3．（3分）（2019•镇平县三模）对于二次函数y＝﹣x2﹣4x+5，以下说法正确的是（）A．x＜﹣1时，y随x的增大而增大B．x＜﹣5或x＞1时，y＞0C．A（﹣4，y1），B（，y2）在y＝﹣x2﹣4x+5的图象上，则y1＜y2D．此二次函数的最大值为8【思路点拨】y＝﹣x2﹣4x+5的对称轴为x＝﹣2，x≤﹣2时，y随x的增大而增大；当﹣5＜x＜1时，y ＞0；点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，则y1＜y2；当x＝﹣2时，y有最大值9；【答案】解：y＝﹣x2﹣4x+5的对称轴为x＝﹣2，∴x≤﹣2时，y随x的增大而增大；A不正确；﹣x2﹣4x+5＝0时的两个根为x＝﹣5，x＝1，当﹣5＜x＜1时，y＞0；B不正确；∵﹣4＜﹣2，﹣＞﹣2，点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，∴y1＜y2；C正确；当x＝﹣2时，y有最大值9；D不正确；故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．4．（3分）（2019•周口二模）在抛物线y＝x2﹣4x+m的图象上有三个点（﹣3，y1），（1，y2），（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y2＜y3＜y1B．y1＜y2＝y3C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1【思路点拨】由已知确定函数的对称轴为x＝2，三点到对称轴的距离分别为5，1，2，即可求解；【答案】解：y＝x2﹣4x+m的对称轴为x＝2，（﹣3，y1），（1，y2），（4，y3）三点到对称轴的距离分别为5，1，2，∴y1＞y3＞y2，故选：A．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；理解开口向上的函数，点到对称轴的距离越大则对应的函数值越大是解题的关键．5．（3分）（2019•平房区三模）已知，二次函数y＝（x+h）2+k向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到二次函数y＝（x﹣1）2+1，则原函数的顶点坐标为（）A．（2，﹣4）B．（1，﹣4）C．（1，4）D．（2，4）【思路点拨】此题实际上求“把抛物线y＝（x﹣1）2+1向右平移1个单位，再向上平移3个单位”后的抛物线的顶点坐标，根据“左加右减”的规律进行解答即可．【答案】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1），则向右平移1个单位，再向上平移3个单位后的坐标为：（2，4），∴则原函数的顶点坐标为（2，4），故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．6．（3分）（2019•河池）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，则下列结论中，错误的是（）A．ac＜0 B．b2﹣4ac＞0 C．2a﹣b＝0 D．a﹣b+c＝0【思路点拨】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【答案】解：A、由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可得c＞0，因此ac＜0，故本选项正确，不符合题意；B、由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故本选项正确，不符合题意；C、由对称轴为x＝﹣＝1，得2a＝﹣b，即2a+b＝0，故本选项错误，符合题意；D、由对称轴为x＝1及抛物线过（3，0），可得抛物线与x轴的另外一个交点是（﹣1，0），所以a﹣b+c＝0，故本选项正确，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．7．（3分）（2019•呼和浩特）二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．【思路点拨】由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），即可排除A、B，然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断．【答案】解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除A、B；当a＞0时，二次函数y＝ax2开口向上，一次函数y＝ax+a经过一、二、三象限，当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；故选：D．【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系．8．（3分）（2019•南昌模拟）如图，直线y1＝mx+n和抛物线y2＝ax2+bx+c交于A（﹣3，1）和B（1，2）两点，使得y1＞y2的x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＞﹣3 C．﹣3＜x＜1 D．x＞1或x＜﹣3【思路点拨】写出直线在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．【答案】解：∵直线y1＝mx+n和抛物线y2＝ax2+bx+c交于A（﹣3，1）和B（1，2）两点，∴由图象可知，直线y1＝mx+n在抛物线y2＝ax2+bx+c上方时，自变量x的为﹣3＜x＜1，∴使得y1＞y2的x的取值范围是﹣3＜x＜1，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围．9．（3分）（2019•潍坊）抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A．2≤t＜11 B．t≥2 C．6＜t＜11 D．2≤t＜6【思路点拨】根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝x2﹣2x+3，将一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看做y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，再由﹣1＜x＜4的范围确定y的取值范围即可求解；【答案】解：∵y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，∴b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x+3，∴一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看做y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，∵方程在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，当x＝﹣1时，y＝6；当x＝4时，y＝11；函数y＝x2﹣2x+3在x＝1时有最小值2；∴2≤t＜11；故选：A．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．10．（3分）（2019•杭州模拟）关于x的二次函数y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k（k≠0），在某次数学研究课上得到以下结论：①当k＝1时，二次函数图象顶点为（0，﹣2）；②当k＜0时，二次函数y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k（k≠0）图象对称轴在直线x＝左侧；③当k＜0时，二次函数y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k（k≠0）图象在x轴上截得线段长小于；④当k＞0时，点M（x0，y0）是二次函数y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k（k≠0）图象上一点，若＜x0＜1，则y0＜0；则以上研究正确的是（）A．①③B．②③④C．①④D．①③④【思路点拨】①当k＝1时y＝2x2﹣2，则顶点为（0，﹣2）；②当k＜0时y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k的对称轴x＝＝＞，对称轴在x＝的右侧；③当k＜0时，y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k，，，则有|x1﹣x2|＝＝＜；④M（x0，y0）是二次函数y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k上的点，y0＝2kx02+（1﹣k）x0﹣1﹣k＝2k（x0﹣）2﹣，当＜＜1时，y的最小值为﹣＜0，即y0＜0；当＞1时，当x＝1时有y＝2k﹣2，当x＝时，y＝∴＞y0＞2k﹣2，y0＜0；当＜时，＜y0＜2k﹣2，y0＜0；【答案】解：①当k＝1时y＝2x2﹣2，则顶点为（0，﹣2）；①正确；②当k＜0时y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k的对称轴x＝＝＞，∴x＞，对称轴在x＝的右侧，∴②错误；③当k＜0时，y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k，△＝（3k+1）2≥0，，，∴|x1﹣x2|＝＝＜，∴③正确；④M（x0，y0）是二次函数y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k上的点，∴y0＝2kx02+（1﹣k）x0﹣1﹣k＝2k（x0﹣）2﹣，∵＜x0＜1，k＞0，∴当＜＜1时，y的最小值为﹣＜0，即y0＜0；当＞1时，当x＝1时有y＝2k﹣2，当x＝时，y＝∴＞y0＞2k﹣2，∴y0＜0；当＜时，＜y0＜2k﹣2，∴y0＜0；综上所述，y0＜0；④正确；故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的性质，数形结合解题，灵活运用韦达定理是解题的关键．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．（4分）（2019•道里区校级模拟）抛物线y＝（x+3）2+4的对称轴是直线x＝﹣3．【思路点拨】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出对称轴．【答案】解：∵y＝2（x+3）2﹣4为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的对称轴为直线x＝﹣3故答案为：直线x＝﹣3．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，用到的知识点：二次函数y＝a（x﹣h）2+k的对称轴是直线x ＝h．12．（4分）（2019春•滨州期末）将抛物线y＝4x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为y＝4（x+2）2+3．【思路点拨】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．【答案】解：抛物线y＝4x2向上平移3个单位得到解析式：y＝4x2+3，再向左平移2个单位得到抛物线的解析式为：y＝4（x+2）2+3．故答案为y＝4（x+2）2+3．【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．13．（4分）（2019•大洼区三模）若二次函数y＝（m﹣1）x的图象开口向下，则m的值为﹣1．【思路点拨】根据二次函数y＝（m﹣1）x的图象开口向下，可以求得m的值．【答案】解：∵二次函数y＝（m﹣1）x的图象开口向下，∴，解得，m＝﹣1，故答案为：﹣1．【点睛】本题考查二次函数的性质、定义和图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．14．（4分）（2019•中原区校级三模）二次函数y＝x2﹣2mx+1在x≤1时y随x增大而减小，则m的取值范围是m≥1．【思路点拨】可求二次函数的对称轴，由于抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，然后根据对称轴和“在x≤1时y随x增大而减小”做出判断，得出答案．【答案】解：二次函数y＝x2﹣2mx+1的对称轴为x＝m，∵a＝1＞0，∴在对称轴的左侧（即当x≤m），y随x的增大而减小，又∵在x≤1时y随x增大而减小，∴m的取值范围为m≥1．故答案为：m≥1．【点睛】考查二次函数的图象和性质、一元一次不等式等知识，掌握二次函数的性质，特别增减性是解决问题的关键，15．（4分）（2019•福建三模）已知二次函数y＝（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为4，则h的值为﹣3或5．【思路点拨】由解析式可知该函数在x＝h时取得最小值0，x＞h时，y随x的增大而增大；当x＜h时，y随x的增大而减小；根据﹣1≤x≤3时，函数的最小值为4可分如下两种情况：①若h＜﹣1≤x≤3，x ＝﹣1时，y取得最小值4；②若﹣1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值4，分别列出关于h的方程求解即可．【答案】解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜﹣1≤x≤3，x＝﹣1时，y取得最小值4，可得：（﹣1﹣h）2＝4，解得：h＝﹣3或h＝1（舍）；②若﹣1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值4，可得：（3﹣h）2＝4，解得：h＝5或h＝1（舍）；③若﹣1＜h＜3时，当x＝h时，y取得最小值为0，不是4，∴此种情况不符合题意，舍去．综上，h的值为﹣3或5，故答案为：﹣3或5．【点睛】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．16．（4分）（2019•南关区校级一模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想帮助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），设AB＝m，若在P处有一棵树与墙CD、AD的距高分别是18m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积的最大值为180．【思路点拨】本题是通过构建函数模型解答面积的问题．只要根据题意，列出矩形面积的函数关系式即可【答案】解：∵P在矩形ABCD内，P的坐标为（18，6）∴AB＝m≥6，BC＝28﹣m≥18，得6≤m≤10矩形的面积为S＝m•（28﹣m）＝﹣m2+28m整理得S＝﹣（m﹣14）2+196∵6≤m≤10，在x＝14的左侧，a＜0∴S随m的增大而减小∴m＝10时，取得最大值，代入解得S＝﹣（10﹣14）2+196＝180故答案为：180【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝时取得．三．解答题（共7小题，满分66分）17．（6分）（2018秋•宁乡市期中）已知：抛物线y＝﹣x2+x﹣（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？【思路点拨】（1）把二次函数的一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题；（2）计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，通过判断方程﹣x2+x﹣＝0没有实数得到抛物线与x轴没有交点；（3）利用二次函数的性质确定x的范围．【答案】解：（1）y＝﹣x2+x﹣＝﹣（x﹣1）2﹣2，所以抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣2）；（2）当x＝0时，y＝﹣x2+x﹣＝﹣，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣）；当y＝0时，﹣x2+x﹣＝0，△＜0，方程没有实数解，则抛物线与x轴没有交点；即抛物线与坐标轴的交点坐标为（0，﹣）；（3）当x＜1时，y随x的增大而增大．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．18．（8分）（2019•兰坪县二模）已知：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣1，与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，其中A（﹣3，0）、C（0．﹣2）．求这条抛物线的函数表达式．【思路点拨】根据抛物线对称轴得到关于a、b的一个方程，再把点A、B的坐标代入抛物线解析式，然后解方程组求出a、b、c的值，即可得解．【答案】解：根据题意得，，解得，，∴这条抛物线的函数表达式：．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，难度不大．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．19．（8分）（2018秋•黔东南州期末）将抛物线y1＝2x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到抛物线y2．（1）直接写出平移后的抛物线y2的解析式；（2）求出y2与x轴的交点坐标；（3）当y2＜0时，写出x的取值范围．【思路点拨】（1）利用点平移规律写出平移后的顶点坐标为（3，﹣2），然后利用顶点式写出抛物线y2的解析式；（2）通过解方程2（x﹣3）2﹣2＝0得y2与x轴的交点坐标；（3）利用函数图象写出抛物线在x轴上方对应的自变量的范围即可．【答案】解：（1）平移后的抛物线y2的解析式为y2＝2（x﹣3）2﹣2；（2）当y2＝0时，2（x﹣3）2﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝4，所以y2与x轴的交点坐标为（2，0），（4，0）；（3）当2＜x＜4时，y2＜0．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．20．（10分）（2019春•雨花区校级月考）我校上个月进行了义卖活动，某班购进了一批单价为20元的某种商品在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给希望工程，经实验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件：若每件按29元的价格销售时，每天都能卖出21件，假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数．（1）求y与x满足的函数表达式（不要求写出x的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润p最大？【思路点拨】（1）设y与x满足的函数关系式为：y＝kx+b．，由题意可列出k和b的二元一次方程组，解出k和b的值即可；（2）根据题意：由“总利润＝每件利润×销售量”列出函数解析式，再配方成顶点式可得答案．【答案】解：（1）根据题意，设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b，将x＝24、y＝36和x＝29、y＝21代入，得：，解得：，∴y与x之间的函数解析式为y＝﹣3x+108；（2）p＝（x﹣20）（﹣3x+108）＝﹣3x2+168x﹣2160＝﹣3（x﹣28）2+192，∵a＝﹣3＜0，∴当x＝28时，P取得最大值，最大值为192，答：销售价格定为28元时，才能使每天获得的利润p最大，最大利润为192元．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及最值得求法，注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．21．（10分）（2019春•日照期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴、y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）连接BC，求△ABC的面积；（3）若点M为抛物线上一动点，连接MA、MB，当点M运动到某一位置时，△ABM面积为△ABC的面积的倍，求此时点M的坐标．【思路点拨】（1）利用直线y＝﹣5x+5求点A、C坐标，再用待定系数法即可求抛物线解析式，进而求得点B坐标．（2）由A、B、C坐标可知AB、OC的长，根据△ABC面积等于AB与OC乘积的一半即求得答案．（3）过点M作x轴的垂线段MD，故△ABM面积等于AB与MD乘积的一半．由△ABM面积为△ABC 的面积的倍列式可求得MD＝OC＝4，即点M纵坐标绝对值等于4．把y＝4和y＝﹣4分别代入抛物线解析式，解方程即求得点M的横坐标．【答案】解：（1）∵直线y＝﹣5x+5中当x＝0时，y＝5∴C（0，5）当y＝0时，﹣5x+5＝0，解得：x＝1∴A（1，0）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点∴解得：∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，解得：x1＝1，x2＝5∴B（5，0）（2）∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5∴S△ABC＝AB•OC＝×4×5＝10（3）如图2，过点M作MD⊥x轴于点D∴S△ABM＝AB•MD∵△ABM面积为△ABC的面积的倍∴AB•MD＝AB•OC∴|y M|＝MD＝OC＝4当y M＝4时，x2﹣6x+5＝4解得：x1＝3+2，x2＝3﹣2当y M＝﹣4时，x2﹣6x+5＝﹣4解得：x1＝x2＝3∴点M的坐标为（3+2，4），（3﹣2，4），（3，﹣4）．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数与方程的关系，解二元一次方程组和一元二次方程．函数图象上三角形面积为定值求动点坐标时，一般要考虑动点坐标的正负性进行分类讨论计算，是较基础的二次函数综合题．22．（12分）（2019•蜀山区校级三模）如图，二次函数＝ax2+bx﹣3的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．与y轴相交于点C（1）求这个二次函数的解析式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点AM，请问：当点P的坐标为多少时，线段PM的长最大？并求出这个最大值．【思路点拨】（1）利用待定系数法求二次函数解析式；（2）先确定C点坐标，则可求出直线BC的解析式，设P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3）（0＜t＜3），M的坐标为（t，t﹣3），所以PM＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝t2+3t，然后利用二次函数的性质解决问题．【答案】解：（1）由题意得：，解得，∴这个二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，（2）当x＝0时，y＝3，则C为（0，﹣3），易得直线BC的函数解析式为：y＝x﹣3，设P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3）（0＜t＜3），则M的坐标为（t，t﹣3），∴PM＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝t2+3t＝（t﹣）2+，∵﹣1＜0且0＜t＜3，∴当t＝时，PM取得最大值，最大值为，此时P的坐标为（，﹣）．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质．23．（12分）（2019•天门）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m 的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．【思路点拨】（1）点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）代入y＝kx+b，求出y＝x﹣；联立y＝ax2+2x﹣1与y＝x﹣，则有2ax2+3x+1＝0，△＝9﹣8a≥0即可求解；（2）根据题意可得，y＝﹣x2+2x﹣1，当y＝﹣4时，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4，x＝﹣1或x＝3；①在x＝1左侧，y随x的增大而增大，x＝m+2＝﹣1时，y有最大值﹣4，m＝﹣3；②在对称轴x＝1右侧，y随x最大而减小，x＝m＝3时，y有最大值﹣4；（3））①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1，即a≤﹣2；②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，即a≥，直线AB的解析式为y＝x﹣，抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1＝x﹣，△＝﹣2a＞0，则a＜，即可求a的范围；【答案】解：（1）点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）代入y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣；联立y＝ax2+2x﹣1与y＝x﹣，则有2ax2+3x+1＝0，∵抛物线C与直线l有交点，∴△＝9﹣8a≥0，∴a≤且a≠0；（2）根据题意可得，y＝﹣x2+2x﹣1，∵a＜0，∴抛物线开口向下，对称轴x＝1，∵m≤x≤m+2时，y有最大值﹣4，∴当y＝﹣4时，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4，∴x＝﹣1或x＝3，①在x＝1左侧，y随x的增大而增大，∴x＝m+2＝﹣1时，y有最大值﹣4，∴m＝﹣3；②在对称轴x＝1右侧，y随x最大而减小，∴x＝m＝3时，y有最大值﹣4；综上所述：m＝﹣3或m＝3；（3）①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1，即a≤﹣2；②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，即a≥，直线AB的解析式为y＝x﹣，抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1＝x﹣，∴ax2+x+＝0，△＝﹣2a＞0，∴a＜，∴a的取值范围为≤a＜或a≤﹣2；【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求解析式，数形结合，分类讨论函数在给定范围内的最大值是解题的关键．。
数学九年级上学期《二次函数》单元测试(含答案)
人教版数学九年级上学期《二次函数》单元测试考试总分: 120 分考试时间: 120 分钟一、选择题(共10 小题，每小题 3 分，共30 分)1.函数(是常数)是二次函数的条件是( )A .B .C .D .2.如图，二次函数的图象经过点和，下列关于此二次函数的叙述，正确的是( )A . 当时，的值小于B . 当时，的值大于C . 当时，的值等于D . 当时，的值大于3.函数的图象大致为( )A .B .C .D .4.已知二次函数(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的条件下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为( ).A . 1或-5B . -1或5C . 1或-3D . 1或35.抛物线的顶点坐标是( )A . (3, 1)B . (-3, 1)C . (1, -3)D . (1, 3)6.二次函数的图象的对称轴是直线，其图象的一部分如图所示则:①;②;③;④;⑤当时，．其中判断正确的有( )个．A . 2B . 3C . 4D . 57.如图所示为二次函数的图象，在下列选项中错误的是( )A .B . 时，随的增大而增大C .D . 方程的根是，8.二次函数、、是常数的大致图象如图所示，抛物线交轴于点，．则下列说法中，正确的是( )A . ABC >0 B . B -2A =0C . 3A +C >0D . 9A +6B +4C >09.二次函数的图象如图所示，若点，是图象上的两点，则与的大小关系是( )A . y1<y2B . y1=y2C . y1>y2D . 不能确定10.物体在地球的引力作用下做自由下落运动，它的运动规律可以表示为:．其中表示自某一高度下落的距离，表示下落的时间，是重力加速度．若某一物体从一固定高度自由下落，其运动过程中下落的距离和时间函数图象大致为( )A .B .C .D .二、填空题(共10 小题，每小题 3 分，共30 分)11.已知某商品销售利润(元)与该商品销售单价(个)满足，则该商品获利最多为________元．12.已知二次函数y＝A x 2＋B x ＋C 中，函数y与自变量x的部分对应值如下表:x …－4－3－2－10…y…3－2－5－6－5…则x＜－2时， y的取值范围是▲ ．13.已知二次函数(为常数)，当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当，，，时二次函数的图象，它们的顶点在一条直线上，则这条直线的解析式是________．14.将二次函数配方成的形式，则y=_________________.15.如图所示，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论:①;②;③;④．其中正确的结论有________．(填写正确结论的序号)16.已知二次函数的图象如图所示，下列结论:①;②;③;④;⑤;⑥当时，随的增大而增大．其中正确的说法有________(写出正确说法的序号)17.如图，已知点，，…，在函数位于第二象限的图象上，点，，…，在函数位于第一象限的图象上，点，，…，在轴的正半轴上，若四边形、，…，都是正方形，则正方形的边长为________．18.二次函数的部分对应值如下表:…………①抛物线的顶点坐标为;②与轴的交点坐标为;③与轴的交点坐标为和;④当时，对应的函数值为．以上结论正确的是________．19.已知点、三点都在抛物线的图象上，则、的大小关系是________．(填“、、”)20.如图，是二次函数的图象的一部分，给出下列命题:①;②;③的两根分别为和;④．其中正确的命题是________．(只要求填写正确命题的序号)三、解答题(共6 小题，每小题10 分，共60 分)21.某校为绿化校园，在一块长为米，宽为米的长方形空地上建造一个长方形花圃，如图设计这个花圃的一边靠墙(墙长大于米)，并在不靠墙的三边留出一条宽相等的小路，设小路的宽为米，花圃面积为为平方米，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域．22.某企业是一家专门生产季节性产品的企业，经过调研预测，它一年中获得的利润(万元)和月份之间满足函数关系式．若利润为万元，求的值．哪一个月能够获得最大利润，最大利润是多少？当产品无利润时，企业会自动停产，企业停产是哪几个月份？23.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设的长度为米，矩形区域的面积为米．求证:;求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围;为何值时，有最大值？最大值是多少？24.已知二次函数的图象与坐标轴交点的坐标分别为，，．求此函数的解析式;求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标;根据图象直接写出时的取值范围．25.如图，已知二次函数的图象过点和点，对称轴为直线．求该二次函数的关系式和顶点坐标;结合图象，解答下列问题:①当时，求函数的取值范围．②当时，求的取值范围．26.在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，点、的坐标分别是、，将此平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形．如抛物线经过点、、，求此抛物线的解析式;在情况下，点是第一象限内抛物线上的一动点，问:当点在何处时，的面积最大？最大面积是多少？并求出此时的坐标;在的情况下，若为抛物线上一动点，为轴上的一动点，点坐标为，当、、、构成以作为一边的平行四边形时，求点的坐标．参考答案一、选择题(共10 小题，每小题 3 分，共30 分)1.函数(是常数)是二次函数的条件是( )A .B .C .D .[答案]D[解析]试题解析:根据二次函数定义中对常数A ，B ，C 的要求，只要A ≠0，B ，C 可以是任意实数，故选D ．2.如图，二次函数的图象经过点和，下列关于此二次函数的叙述，正确的是()A . 当时，的值小于B . 当时，的值大于C . 当时，的值等于D . 当时，的值大于[答案]B[解析][分析]根据抛物线与y轴的交点位置对A 进行判断;根据二次函数的性质，当x=-2时，y=1，则x=-3时，y＞1，于是可对B 进行判断;根据图象，当x=5时，不能确定函数值等于0，则可对C 进行判断;根据二次函数图象上点的坐标特征对D 进行判断．[详解]解:A 、抛物线与y轴的交点在x轴下方，且在点(1，-1)上方，所以x=0时，-1＜y＜0，所以A 选项错误;B 、当x=-3时，y＞1，所以B 选项正确;C 、当x=5时，不能确定函数值等于0，所以C 选项错误;D 、当x=1时，y=-1，所以D 选项错误．故选:B ．[点睛]本题考查了二次函数图象上点的坐标特征:二次函数图象上点的坐标满足其解析式．3.函数的图象大致为()A .B .C .D .[答案]B[解析]分析:本题考查二次函数的图形问题.解析:函数的二次项系数为-1，所以开口向下，抛物线与y轴的交点为(0，1).故选B .4.已知二次函数(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的条件下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为().A . 1或-5B . -1或5C . 1或-3D . 1或3[答案]B[解析]分析:由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x>h时，y随x的增大而增大、当x<h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况:①若h<1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5;②若1≤x≤3<h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．详解:本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键.5.抛物线的顶点坐标是()A . (3, 1)B . (-3, 1)C . (1, -3)D . (1, 3)[答案]A[解析][分析]直接根据二次函数的顶点式可得出结论．[详解]解:∵抛物线的解析式为:y=2(x-3)2+1，∴其顶点坐标为(3，1)．故选:A ．[点睛]本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．6.二次函数的图象的对称轴是直线，其图象的一部分如图所示则:①;②;③;④;⑤当时，．其中判断正确的有()个．A . 2B . 3C . 4D . 5[答案]C[解析][分析]由抛物线的开口方向判断A 与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断C 与0的关系，然后根据对称轴判定B 与0的关系以及2A +B =0;当x=-1时，y=A -B +C ;然后由图象确定当x取何值时，y＞0．[详解]解:①∵开口向下，∴A ＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴-＞0，∴B ＞0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴C ＞0，∴A B C ＜0，故正确;②∵对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点横坐标在2与3之间，∴另一个交点的横坐标在0与-1之间;∴当x=-1时，y=A -B +C ＜0，故正确;③∵对称轴x=-=1，∴2A +B =0;故正确;④∵2A +B =0，∴B =-2A ，∵当x=-1时，y=A -B +C ＜0，∴A -(-2A )+C =3A +C ＜0，故正确;⑤如图，当-1＜x＜3时，y不只是大于0．故错误．∴正确的有4个．故选:C ．[点睛]此题考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．7.如图所示为二次函数的图象，在下列选项中错误的是()A .B . 时，随的增大而增大C .D . 方程的根是，[答案]C[解析][分析]由抛物线的开口方向判断A 的符号，由抛物线与y轴的交点得出C 的值，根据开口方向及对称轴判断二次函数的增减性，然后根据图象经过的点的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．[详解]解:A 、由二次函数的图象开口向上可得A ＞0，由抛物线与y轴交于x轴下方可得C ＜0，所以A C ＜0，正确;B 、由A ＞0，对称轴为x=1，可知x＞1时，y随x的增大而增大，正确;C 、把x=1代入y=A x2+B x+C 得，y=A +B +C ，由函数图象可以看出x=1时二次函数的值为负，错误;D 、由二次函数的图象与x轴交点的横坐标是-1或3，可知方程A x2+B x+C =0的根是x1=-1，x2=3，正确．故选:C ．[点睛]由图象找出有关A ，B ，C 的相关信息以及抛物线的交点坐标，会判断二次函数的增减性，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如:y=A +B +C ，y=A -B +C ，然后根据图象判断其值．8.二次函数、、是常数的大致图象如图所示，抛物线交轴于点，．则下列说法中，正确的是()A . ABC >0 B . B -2A =0C . 3A +C >0D . 9A +6B +4C >0[答案]D[解析][分析]由抛物线的开口方向判断A 与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断C 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．[详解]解:A 、∵根据图示知，抛物线开口方向向下，∴A ＜0;∵抛物线交x轴于点(-1，0)，(3，0)，∴对称轴x==-=1，∴B =-2A ＞0．∵根据图示知，抛物线与y轴交于正半轴，∴C ＞0，∴A B C ＜0．故本选项错误;B 、∵对称轴x==-=1，∴B =-2A ，∴B +2A =0．故本选项错误;C 、根据图示知，当x=-1时，y=0，即A -B +C =A +2A +C =3A +C =0．故本选项错误;D 、∵A ＜0，C ＞0，∴-3A ＞0，4C ＞0，∴-3A +4C ＞0，∴9A +6B +4C =9A -12A +4C =-3A +4C ＞0，即9A +6B +4C ＞0．故本选项正确．故选:D ．[点睛]本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=A x2+B x+C 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．9.二次函数的图象如图所示，若点，是图象上的两点，则与的大小关系是()A . y1<y2B . y1=y2C . y1>y2D . 不能确定[答案]C[解析][分析]直接利用二次函数的性质得出其增减性，再利用A ，B 点横坐标得出答案．[详解]解:如图所示:x＞-3时，y随x的增大而减小，∵1＜2，∴y1＞y2．故选:C ．[点睛]此题主要考查了二次函数的性质，正确得出二次函数增减性是解题关键．10.物体在地球的引力作用下做自由下落运动，它的运动规律可以表示为:．其中表示自某一高度下落的距离，表示下落的时间，是重力加速度．若某一物体从一固定高度自由下落，其运动过程中下落的距离和时间函数图象大致为()A .B .C .D .[答案]B[解析][分析]先根据函数关系式为h=gt2确定图象属于那一类函数的图象，再根据g、t的取值范围确定图象的具体形状．[详解]解:t为未知数，关系式h=gt2为二次函数，∵g为正常数∴抛物线开口方向向上，排除C 、D ;又∵时间t不能为负数，∴图象只有右半部分．故选:B ．[点睛]根据关系式判断属于哪一类函数，关键要会判断未知数及未知数的指数的高低．二、填空题(共10 小题，每小题 3 分，共30 分)11.已知某商品销售利润(元)与该商品销售单价(个)满足，则该商品获利最多为________元．[答案][解析][分析]由题意知利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系式，化为顶点式求出y的最大值．[详解]解:利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-20x2+1400x-2000=-20(x-35)2+22500．∵-20＜0∴当x=35元时，y最大为22500元．即该商品获利最多为22500元．故答案为:22500．[点睛]本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数的顶点式解决实际问题．12.已知二次函数y＝A x2＋B x＋C 中，函数y与自变量x的部分对应值如下表:x …－4－3－2－10…y…3－2－5－6－5…则x＜－2时， y的取值范围是▲．[答案]y＞－5[解析]考点:待定系数法求二次函数解析式;二次函数的性质．分析:根据图表知二次函数的顶点坐标是(-1，-6)，可将二次函数的解析式设为顶点式，任取一点坐标代入即可求得二次函数的解析式，然后根据二次函数的性质填空．解:由图表知，二次函数的顶点坐标是(-1，-6)，可设二次函数的解析式为:y=A (x+1)2-6;∵二次函数经过点(0，-5)，∴-5=A -6，解得，A =1，∴二次函数的解析式为:y=(x+1)2-6;∴当x＜-2时，y＞-5;故答案为:y＞-5．13.已知二次函数(为常数)，当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当，，，时二次函数的图象，它们的顶点在一条直线上，则这条直线的解析式是________．[答案][解析][分析]已知抛物线的顶点式，写出顶点坐标，用x、y代表顶点的横坐标、纵坐标，消去A 得出x、y的关系式．[详解]解:y=x2-4A x+4A 2+A -1=(x-2A ) 2+A -1，∴抛物线顶点坐标为:(2A ，A -1)，设x=2A ①，y=A -1②，①-②×2，消去A 得，x-2y=2，即y=x-1．故答案为:y=x-1．[点睛]此题主要考查了根据顶点式求顶点坐标的方法，消元的思想．主要利用x、y代表顶点的横坐标、纵坐标，消去A 得出是解题关键．14.将二次函数配方成的形式，则y=_________________.[答案][解析]试题解析:利用配方法将一次项和二次项组合，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，即=x2-2x+1+2=(x-1)2+2.15.如图所示，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论:①;②;③;④．其中正确的结论有________．(填写正确结论的序号)[答案]①②[解析][分析]由抛物线的开口方向判断A 与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断C 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．[详解]解:①根据图象知，当x=-2时，y＜0，即4A -2B +C ＜0;故①正确;②∵该函数图象的开口向下，∴A ＜0;又∵对称轴-1＜x=-＜0，∴2A -B ＜0，故②正确;③∵A ＜0，-＜0，∴B ＜0．∵抛物线交y轴与正半轴，∴C ＞0．∴A B C ＞0，故③错误．④∵y=＞2，A ＜0，∴4A C -B 2＜8A ，即B 2+8A ＞4A C ，故④错误．综上所述，正确的结论有①②．故答案为:①②．[点睛]本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，掌握相关性质是解题的关键．16.已知二次函数的图象如图所示，下列结论:①;②;③;④;⑤;⑥当时，随的增大而增大．其中正确的说法有________(写出正确说法的序号)[答案]②④⑤[解析][分析]由抛物线的开口方向判断A 与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出C 的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．[详解]解:①由二次函数的图象开口向下可得A ＜0，由抛物线与y轴交于x轴上方可得C ＞0，由对称轴0＜x＜1，得出B ＞0，则A B C ＜0，故①错误;②∵对称轴0＜x＜1，-＜1，A ＜0，∴-B ＞2A ，∴2A +B ＜0，故②正确;③把x=-1时代入y=A x2+B x+C =A -B +C ，结合图象可以得出y＞0，即A -B +C ＞0，故③错误;④把x=-1时代入y=A x2+B x+C =A -B +C ，结合图象可以得出y＞0，即A -B +C ＞0，A +C ＞B ，∵B ＞0，∴A +C ＞0，故④正确;⑤∵图象与x轴有两个交点，∴B 2-4A C ＞0，∴B 2＞4A C ，故⑤正确;⑥当x＞1时，y随x的增大而减小，故⑥错误;故答案为:②④⑤．[点睛]此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如:y=A +B +C ，然后根据图象判断其值．17.如图，已知点，，…，在函数位于第二象限的图象上，点，，…，在函数位于第一象限的图象上，点，，…，在轴的正半轴上，若四边形、，…，都是正方形，则正方形的边长为________．[答案][解析][分析]根据正方形对角线平分一组对角可得OB 1与y轴的夹角为45°，然后表示出OB 1的解析式，再与抛物线解析式联立求出点B 1的坐标，然后求出OB 1的长，再根据正方形的性质求出OC 1，表示出C 1B 2的解析式，与抛物线联立求出B 2的坐标，然后求出C 1B 2的长，再求出C 1C 2的长，然后表示出C 2B 3的解析式，与抛物线联立求出B 3的坐标，然后求出C 2B 3的长，从而根据边长的变化规律解答即可．[详解]解:∵OA 1C 1B 1是正方形，∴OB 1与y轴的夹角为45°，∴OB 1的解析式为y=x联立，解得或，∴点B 1(1，1)，OB 1==，∵OA 1C 1B 1是正方形，∴OC 1=OB 1=×=2，∵C 1A 2C 2B 2是正方形，∴C 1B 2的解析式为y=x+2，联立，解得，或，∴点B 2(2，4)，C 1B 2==2，∵C 1A 2C 2B 2是正方形，∴C 1C 2= C 1B 2=×2=4，∴C 2B 3的解析式为y=x+(4+2)=x+6，联立，解得，或，∴点B 3(3，9)，C 2B 3==3，…，依此类推，正方形C 2010A 2011C 2011B 2011的边长C 2010B 2011=2011．故答案为:2011．[点睛]本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键．18.二次函数的部分对应值如下表:…………①抛物线的顶点坐标为;②与轴的交点坐标为;③与轴的交点坐标为和;④当时，对应的函数值为．以上结论正确的是________．[答案]①②④[解析][分析]由上表得与y轴的交点坐标为(0，-8);与x轴的一个交点坐标为(-2，0);函数图象有最低点(1，-9);有抛物线的对称性可得出可得出与x轴的另一个交点坐标为(4，0);当x=-1时，对应的函数值y为-5．从而可得出答案．[详解]根据上表可画出函数的图象，由图象可得，①抛物线的顶点坐标为(1，-9);②与y轴的交点坐标为(0，-8);③与x轴的交点坐标为(-2，0)和(4，0);④当x=-1时，对应的函数值y为-5．故答案是:①②④．[点睛]考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，体现了数形结合的思想方法．19.已知点、三点都在抛物线的图象上，则、的大小关系是________．(填“、、”)[答案][解析][分析]本题需先根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据点A 、B 的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系．[详解]解:∵二次函数y=x2+2的图象的对称轴是y轴，在对称轴的左面y随x的增大而减小，∵点A (-4，y1)、B (-3，y2)是二次函数y=x2+2的图象上两点，-4＜-3，∴y1＞y2．故答案为:y1＞y2．[点睛]本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键．20.如图，是二次函数的图象的一部分，给出下列命题:①;②;③的两根分别为和;④．其中正确的命题是________．(只要求填写正确命题的序号)[答案]①③[解析][分析]由图象可知过(1，0)，代入得到A +B +C =0;根据-=-1，推出B =2A ;根据图象关于对称轴对称，得出与X 轴的交点是(-3，0)，(1，0);由A -2B +C =A -2B -A -B =-3B ＜0，根据结论判断即可．[详解]解:由图象可知:过(1，0)，代入得:A +B +C =0，∴①正确;-=-1，∴B =2A ，∴②错误;根据图象关于对称轴x=-1对称，与X轴的交点是(-3，0)，(1，0)，∴③正确;∵B =2A ＞0，∴-B ＜0，∵A +B +C =0，∴C =-A -B ，∴A -2B +C =A -2B -A -B =-3B ＜0，∴④错误．故答案为:①③．[点睛]本题主要考查对二次函数与X轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定系数的正负是解此题的关键．三、解答题(共6 小题，每小题10 分，共60 分)21.某校为绿化校园，在一块长为米，宽为米的长方形空地上建造一个长方形花圃，如图设计这个花圃的一边靠墙(墙长大于米)，并在不靠墙的三边留出一条宽相等的小路，设小路的宽为米，花圃面积为为平方米，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域．[答案][解析][分析]设小路的宽为x米，那么长方形花圃的长为(15-2x)，宽为(10-x)，花圃面积为y平方米，根据长方形面积公式即可列出方程，进而求出函数的定义域．[详解]解:设小路的宽为米，那么长方形花圃的长为，宽为，根据题意得，由，解得．[点睛]本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是设出小路的宽，表示出长方形花圃的长和宽，根据面积这个等量关系可列出方程．22.某企业是一家专门生产季节性产品的企业，经过调研预测，它一年中获得的利润(万元)和月份之间满足函数关系式．若利润为万元，求的值．哪一个月能够获得最大利润，最大利润是多少？当产品无利润时，企业会自动停产，企业停产是哪几个月份？[答案](1)或;(2)月能够获得最大利润，最大利润是万;(3) 该企业一年中应停产的月份是月、月、月[解析][分析](1)把y=21代入，求出n的值即可;(2)根据解析式，利用配方法求出二次函数的最值即可;(3)根据解析式，求出函数值y等于0时对应的月份，依据开口方向以及增减性，再求出y小于0时的月份即可解答．[详解]解:由题意得:，解得:或;，∵，∴开口向下，有最大值，即时，取最大值，故月能够获得最大利润，最大利润是万;)∵，当时，或者．又∵图象开口向下，∴当时，，当时，，当时，，则该企业一年中应停产的月份是月、月、月．[点睛]此题主要考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是熟练运用配方法求二次函数的最大值，借助二次函数解决实际问题．23.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设的长度为米，矩形区域的面积为米．求证:;求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围;为何值时，有最大值？最大值是多少？[答案](1)见解析;(2)y=;(3)当时，有最大值，最大值为平方米[解析][分析](1)根据三个矩形面积相等，得到矩形A EFD 面积是矩形B C FE面积的2倍，可得出A E=2B E;(2)设B E=A ，则有A E=2A ，表示出A 与2A ，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可;(3)利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．[详解]解:∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形面积是矩形面积的倍，又∵是公共边，∴;设，则，∴，∴，，∴，∵，∴，∴∵，且二次项系数为，∴当时，有最大值，最大值为平方米．[点睛]此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．24.已知二次函数的图象与坐标轴交点的坐标分别为，，．求此函数的解析式;求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标;根据图象直接写出时的取值范围．[答案](1)函数的解析式即;(2)抛物线的开口向上，对称轴为直线=1, 顶点坐标;(3)当时，．[解析][分析](1)设抛物线的解析式为y=A (x-x1)(x-x2)，再把A (-1，0)，B (3，0)，C (0，-3)代入即可得出此函数的解析式;(2)根据A 的符号判断抛物线的开口方向、由顶点公式得出对称轴及顶点坐标;(3)由题意把函数转化为不等式，得x2-2x-3＞0，从而求出x的取值范围．[详解]解:设抛物线的解析式为，把，，代入得，解得，∴此函数的解析式即;∵，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，，顶点坐标;∵，即图象在轴的下方，∴由图象可知:当时，．[点睛]本题考查了二次函数的性质，以及用待定系数法求二次函数的解析式，求抛物线的顶点坐标的方法，是中考的常见题型．25.如图，已知二次函数的图象过点和点，对称轴为直线．求该二次函数的关系式和顶点坐标;结合图象，解答下列问题:①当时，求函数的取值范围．②当时，求的取值范围．[答案](1)抛物线的顶点坐标为;(2)①当时，;②当时，或．[解析][分析](1)把A 点和C 点坐标代入y=A x2+B x+C 得到两个方程，再加上对称轴方程即可得到三元方程组，然后解方程组求出A 、B 、C 即可得到抛物线解析式，再把解析式配成顶点式即可得到顶点坐标;(2)①先分别计算出x为-1和2时的函数值，然后根据二次函数的性质写出对应的函数值的范围;②先计算出函数值为3所对应的自变量的值，然后根据二次函数的性质写出y＜3时，x的取值范围．[详解]解:根据题意得，解得，所以二次函数关系式为，因为，所以抛物线的顶点坐标为;①当时，;时，;而抛物线的顶点坐标为，且开口向下，所以当时，;②当时，，解得或，所以当时，或．[点睛]本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．26.在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，点、的坐标分别是、，将此平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形．如抛物线经过点、、，求此抛物线的解析式;在情况下，点是第一象限内抛物线上的一动点，问:当点在何处时，的面积最大？最大面积是多少？并求出此时的坐标;在的情况下，若为抛物线上一动点，为轴上的一动点，点坐标为，当、、、构成以作为一边的平行四边形时，求点的坐标．[答案](1)抛物线的解析式为:;(2) 当时，的面积最大，最大值，的坐标为:;(3) 点的坐标为:，，，[解析][分析](1)由平行四边形A B OC 绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A ′B ′O C ′，且点A 的坐标是(0，4)，可求得点A ′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点C 、A 、A ′的抛物线的解析式;(2)首先连接A A ′，设直线A A ′的解析式为:y=kx+B ，利用待定系数法即可求得直线A A ′的解析式，再设点M的坐标为:(x，-x2+3x+4)，继而可得△A MA ′的面积，继而求得答案;(3)分别从B Q为边与B Q为对角线去分析求解即可求得答案．[详解]解:∵平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形，且点的坐标是，∴点的坐标为:，∵点、的坐标分别是、，抛物线经过点、、，。
九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)
1、抛物线y =x 2-2x +1的对称轴是( )(A )直线x =1 (B )直线x =-1(C )直线x =2 (D )直线x =-22、对于2)3(22+-=x y 的图象下列叙述正确的是 （ ）A 、顶点坐标为(－3，2) B 、对称轴为y=3C 、当3≥x 时y 随x 增大而增大D 、当3≥x 时y 随x 增大而减小3、函数y =ax 2(a ≠0)的图象经过点(a ，8)，则a 的值为 （ ）A.±2 B.－2 C.2 D.3 4、自由落体公式h =21gt 2(g 为常量)，h 与t 之间的关系是 （ ） A.正比例函数 B.一次函数C.二次函数 D.以上答案都不对 5、对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是 （ ）A ．22)1(x m y -=B ．22)1(x m y +=C ．22)1(x m y +=D ．22)1(x m y -= 6、二次函数y=x 2图象向右平移3个单位，得到新图象的函数表达式是 （ ） Ａ.y=x 2+3 Ｂ.y=x 2-3Ｃ.y=（x+3）2Ｄ.y=（x-3）27、某工厂第一年的利润是20万元，第三年的利润是y 万元，与平均年增长率x 之间的函数关系式是＿＿＿＿＿。
8、某学校去年对实验器材投资为2万元，预计今明两年的投资总额为y 万元，年平均增长率为x 。
则y 与x 的函数解析式＿＿＿＿＿。
9、m 取＿＿＿时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数. 10、已知二次函数y=－41x 2+x+2指出 (1)函数图像的对称轴和顶点坐标；(2)把这个函数的图像向左、向下平移2个单位，得到哪一个函数的图像？1、抛物线y=x2-2x+1的对称轴是( )(A)直线x=1 (B)直线x=-1(C)直线x=2 (D)直线x=-22、对于2)3(22+-=x y 的图象下列叙述正确的是 （ ）A 、顶点坐标为(－3，2) B 、对称轴为y=3C 、当3≥x 时y 随x 增大而增大D 、当3≥x 时y 随x 增大而减小3、函数y =ax 2(a ≠0)的图象经过点(a ，8)，则a 的值为 （ ）A.±2 B.－2 C.2 D.3 4、自由落体公式h =21gt 2(g 为常量)，h 与t 之间的关系是 （ ） A.正比例函数 B.一次函数C.二次函数 D.以上答案都不对 5、对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是 （ ）A ．22)1(x m y -=B ．22)1(x m y +=C ．22)1(x m y +=D ．22)1(x m y -= 6、二次函数y=x 2图象向右平移3个单位，得到新图象的函数表达式是 （ ） Ａ.y=x 2+3 Ｂ.y=x 2-3Ｃ.y=（x+3）2Ｄ.y=（x-3）27、某工厂第一年的利润是20万元，第三年的利润是y 万元，与平均年增长率x 之间的函数关系式是＿＿＿＿＿。
九年级数学二次函数专项训练含答案精选5篇
九年级上册数学二次函数同步练习一、单选题1．下列函数中，是二次函数的是（ ） A ．y ＝（2x ﹣1）2 B ．y ＝（x +1）2﹣x 2 C ．y ＝ax 2D ．y ＝2x +32．若抛物线258(3)23m m y m x x -+=-+-是关于x 的二次函数，那么m 的值是（ ）A ．3B ．2-C ．2D ．2或33．若抛物线y =x 2-x -2经过点A （3，a ），则a 的值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．84．已知二次函数2135y x x =-+，则其二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 分别是（ ） A ．1,3,5a b c ==-= B ．1,3,5a b c ===C ．5,3,1a b c ===D ．5,3,1a b c ==-=5．如果函数2(2)25y a x x =-+-是二次函数，则a 的取值范围是（ ） A ．2a ≠ B ．a≥0C ．a=2D ．a>06．下列函数中①31y x ；①243y x x =-；①1y x=；①225=-+y x ，是二次函数的有（） A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①7．若抛物线2y x bx c =-++经过点()2,3-，则247c b --的值是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．208．函数y=ax2+bx+c(a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是( ) A ．a≠0，b≠0，c≠0 B ．a<0，b≠0，c≠0 C ．a>0，b≠0，c≠0 D ．a≠0二、填空题 9．若()2321m m y m x --=+是二次函数，则m 的值为______．10．若22ay x -=是二次函数，则=a ________．11．在二次函数21y x =-+中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为_____． 12．下列函数一定是二次函数的是__________．①2y ax bx c =++；①3y x =-；①2431y x x =-+；①2(1)y m x bx c =-++；①y =(x -3)2-x 213．当常数m ≠______时，函数y =（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m +2）x +2是二次函数；当常数m =___时，这个函数是一次函数． 14．已知函数2135m y x -=-① 当m ＝ _________时，y 是关于x 的一次函数； ① 当m ＝_________时，y 是关于x 的二次函数 ．15．二次函数()22339y m x x m =+++-的图象经过原点，则m =__________．16．已知二次函数2y x bx 3=-++，当x 2=时，y 3=．则这个二次函数的表达式是________． 三、解答题17．下列函数中（x ，t 是自变量），哪些是二次函数？ 22322113,25,22,1522y x y x x y x s t t =-+=-+=+=++．18．已知函数y =（m 2-2）x 2+（m x +8． （1）若这个函数是一次函数，求m 的值； （2）若这个函数是二次函数，求m 的取值范围.19．若函数y=（a -1）x b+1+x 2+1是二次函数，试讨论a 、b 的取值范围.20．篱笆墙长30m ，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m 2)与长x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围.参考答案：1．A 2．C 3．B 4．D 5．A 6．B 7．B 8．D 9．4 10．2± 11．0 12．①13． 4，-2 4 14． 1 3215．316．2y x 2x 3=-++17．2132y x =-+和215s t t =++是二次函数18．（1）m （2）m ≠m ≠19．①a≠0；①b=0或-1，a 取全体实数①当a=1，b 为全体实数时，y=x 2+1是二次函数 20．y= 21152x x -+, x 的取值范围为0<x<30.九年级数学上册二次函数单元综合测试卷一．选择题（共10小题）1．下列各式中，是y 关于x 的二次函数的是（ ） A ．y ＝4xB ．y ＝3x ﹣5C ．y ＝D ．y ＝2x 2+12．已知：a ＞b ＞c ，且a +b +c ＝0，则二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象可能是下列图象中的（ ）A．B．C．D．3．二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（）A．（2，6）B．（4，6）C．（3，﹣5）D．（3，5）4．将二次函数y＝x2+2x﹣1转化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x﹣1）2B．y＝（x+1）2C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣2 5．已知0≤x≤，则函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣66．顶点坐标为（3，1），形状与函数y＝的图象相同且开口方向相反的抛物线的解析式为（）A．y＝+1B．y＝+1C．y＝﹣+1D．y＝﹣+17．已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1 8．抛物线y＝ax2+bx+c纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…则下列说法中正确的个数是（）①方程ax2+bx+c＝0，有两根为x1＝﹣2，x2＝3；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是直线x＝1；④抛物线开口向上．A．1B．2C．3D．49．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（）结论Ⅰ：∠BOF始终是90°；结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错B．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅱ错C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错D．三个结论都对10．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0＜x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．37.5°B．40°C．42.5°D．45°二．填空题（共6小题）11．函数是二次函数，则m的值为．12．已知抛物线y＝x2﹣4x+c．与直线y＝m相交于A，B两点，若点A的横坐标；x A＝﹣1，则点B的横坐标．x B的值为．13．已知二次函数y＝ax2开口向上，且|2﹣a|＝3，则a＝．14．已知抛物线y＝x2﹣3x+1的图象上有一点A（m，n），则m﹣n的最大值是．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，若AB+CD＝3，则c的值为．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝10，点G是EF的中点，AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为．三．解答题（共7小题）17．看图回答．（1）当y＝0时，求x的值；（2）当y＞5时，求x的范围；（3）y随x的增大而增大时，求x的范围．18．已知二次函数y＝x2﹣6x+8．（1）将解析式化成顶点式；（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．19．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5r2+20t，求小球飞行高度达到最高时的飞行时间．20．“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种，在云南省广泛种植．长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．（1）若降价2元，则每天的销售利润是多少元（2）若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤多少元？（其它成本忽略不计）（3）将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？21．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，已知线段DE与线段BC关于平面内某点成中心对称，其中DE的两端点刚好一个落在抛物线上，一个落在对称轴上，求落在对称轴上的点的坐标；（3）如图2，点M为第二象限抛物线上，作MN∥BC交抛物线于点N，直线NB、MC 交于点P，求P点的横坐标．22．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：若y'＝，则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为；（2）若点P在函数y＝﹣x2+16的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′是7，求“可控变点”Q的横坐标；（3）若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，求实数a的取值范围．23．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．（1）求抛物线解析式；（2）直线AB的函数解析式为，点M的坐标为．（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小，具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA′交y轴于点Q，连接AM，AQ，此时△AMQ的周长最小，请求出点Q的坐标；（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A，O，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题）1．下列各式中，是y关于x的二次函数的是（）A．y＝4x B．y＝3x﹣5C．y＝D．y＝2x2+1解：A．根据二次函数的定义，y＝4x是一次函数，不是二次函数，故A不符合题意．B．根据二次函数的定义，y＝3x﹣5不是二次函数，是一次函数，故B不符合题意．C．根据二次函数的定义，y＝是反比例函数，不是二次函数，故C不符合题意．D．根据二次函数的定义，y＝2x2+1是二次函数，故D符合题意．故选：D．2．已知：a＞b＞c，且a+b+c＝0，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．解：A、由图知a＞0，﹣＝1，c＞0，即b＜0，∵已知a＞b＞c，故本选项错误；B、由图知a＜0，而已知a＞b＞c，且a+b+c＝0，必须a＞0，故本选项错误；C、图C中条件满足a＞b＞c，且a+b+c＝0，故本选项正确；D、∵a+b+c＝0，即当x＝1时a+b+c＝0，与图中与x轴的交点不符，故本选项错误．故选：C．3．二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（）A．（2，6）B．（4，6）C．（3，﹣5）D．（3，5）解：∵二次函数可化为y＝（x﹣3）2+5，∴二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（3，5），故选：D．4．将二次函数y＝x2+2x﹣1转化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x﹣1）2B．y＝（x+1）2C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣2解：y＝x2+2x﹣1＝（x2+2x+1）﹣2＝（x+1）2﹣2，即y＝（x+1）2﹣2．故选：D．5．已知0≤x≤，则函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣6解：y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2，∴当x＜2时，y随着x增大而增大，∴当x＝时有最大值y＝﹣2（﹣2）2+2＝﹣2.5，故选：C．6．顶点坐标为（3，1），形状与函数y＝的图象相同且开口方向相反的抛物线的解析式为（）A．y＝+1B．y＝+1C．y＝﹣+1D．y＝﹣+1解：设所求的抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+1，∵所求抛物线与函数y＝的图象相同且开口方向相反，∴a＝﹣，∴所求的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+1．故选：D．7．已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1解：当x＝﹣1时，y1＝（x﹣1）2＝（﹣1﹣1）2＝4；当x＝1时，y2＝（x﹣1）2＝（1﹣1）2＝0；当x＝2时，y3＝（x﹣1）2＝（2﹣1）2＝1，所以y2＜y3＜y1．故选：C．8．抛物线y＝ax2+bx+c纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…则下列说法中正确的个数是（）①方程ax2+bx+c＝0，有两根为x1＝﹣2，x2＝3；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是直线x＝1；④抛物线开口向上．A．1B．2C．3D．4解：根据表格数据可知：抛物线的对称轴是直线x＝＝，∴③错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0有两根为x1＝﹣2，x2＝3；故①正确；从表格可知当x＝0时，y＝6，∴抛物线与y轴的交点为（0，6）；∴②正确；从表格可知：当x＜时，y随x的增大而增大，当x＞时，y随x的增大而减小，∴抛物线开口向下，故④错误．故选：B．9．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（）结论Ⅰ：∠BOF始终是90°；结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错B．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅱ错C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错D．三个结论都对解：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∴∠OBE＝∠OCF＝45°，∵BE＝CF，∴△BOE≌△COF，∴OE＝OF，∠BOE＝∠COF，∴∠BOE+∠COE＝∠COF+∠COE，即∠EOF＝∠BOC＝90°，且S△COE+S△COF＝S△COE+S△BOE，即S四边形OECF＝S△BOC＝S正方形ABCD＝×4×4＝4，由垂线段最短可得，当OE⊥BC时，OE＝BC＝×4＝2，△OEF面积取最小值为×2×2＝2，∴结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错，故选：A．10．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0＜x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．37.5°B．40°C．42.5°D．45°解：把（25，0.725），（50，0.06），（60，0.09）代入y＝ax2+bx+c得：，解得，∴y＝0.0001x2﹣0.008x+0.21＝0.0001（x﹣40）2+0.05，∵0.0001＞0，∴x＝40时，y最小为0.05，∴燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为40°，故选：B．二．填空题（共6小题）11．函数是二次函数，则m的值为3．解：∵函数是二次函数，∴m2﹣7＝2且m+3≠0，解得：m＝3．则m的值为3．故答案为：3．12．已知抛物线y＝x2﹣4x+c．与直线y＝m相交于A，B两点，若点A的横坐标；x A＝﹣1，则点B的横坐标．x B的值为5．解：∵y＝x2﹣4x+c，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝2，∴点A，B关于直线x＝2对称，∵点A横坐标为﹣1，∴点B横坐标为5，故答案为：5．13．已知二次函数y＝ax2开口向上，且|2﹣a|＝3，则a＝5．解：∵|2﹣a|＝3，∴2﹣a＝±3，解得：a＝﹣1或5，又二次函数y＝ax2开口向上，则a＞0，故a＝5．故答案为：5．14．已知抛物线y＝x2﹣3x+1的图象上有一点A（m，n），则m﹣n的最大值是3．解：∵点A（m，n）在抛物线y＝x2﹣3x+1上，∴n＝m2﹣3m+1，∴m﹣n＝﹣m2+4m﹣1＝﹣（m﹣2）2+3，∴当m＝2时，m﹣n有最大值为3，故答案为：3．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，若AB+CD＝3，则c的值为﹣．解：设A（x1，0），B（x2，0），令y＝0，则y＝﹣x2+2x+c＝0，由根与系数的关系得：x1+x2＝2，x1•x2＝﹣c，则AB＝|x1﹣x2|＝＝＝2，令x＝0，则y＝c，∴C（0，c），∵CD∥x轴，∴点D纵坐标为c，当y＝c时，则﹣x2+2x+c＝c，解得：x＝2，或x＝0，∴D（2，c），∴CD＝2，∵AB+CD＝3，∴2+2＝3，解得：c＝﹣，故答案为：﹣．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝10，点G是EF的中点，AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为142．解：连接AC，过B作BH⊥AC于H，以B为圆心，BG为半径作圆，交BH于G'，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠EBF＝90°，∵EF＝10，点G是EF的中点，∴BG＝EF＝10＝5，∴G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到G'时，S△ACG最小，此时四边形AGCD 面积的最小值，最小值即为四边形AG'CD的面积，∵AB＝12＝CD，BC＝16＝AD，∴AC＝20，S△ACD＝×12×16＝96，∴BH＝＝，∴G'H＝BH﹣5＝﹣5＝，∴S△ACG'＝AC•G'H＝×20×＝46，∴S四边形AG'CD＝S△ACD+S△ACG'＝46+96＝142，即四边形AGCD面积的最小值是142．故答案为：142．三．解答题（共7小题）17．看图回答．（1）当y＝0时，求x的值；（2）当y＞5时，求x的范围；（3）y随x的增大而增大时，求x的范围．解：（1）由图象可知，抛物线经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴当y＝0时，x的值为﹣1和3；（2）∵抛物线经过点（﹣1，0），（3，0），（0，﹣3），∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），代入（0，﹣3）得，﹣3＝﹣3a，解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣3），令y＝5得5＝（x+1）（x﹣3），解得x1＝4，x2＝﹣2，∴当y＞5时，求x的范围是x＞4或x＜﹣2；（3）∵y＝（x+1）（x﹣3）＝（x﹣1）2+4，∴抛物线开口向上，顶点为（1，4），对称轴为直线x＝1，∴y随x的增大而增大时，x的范围是x＞1．18．已知二次函数y＝x2﹣6x+8．（1）将解析式化成顶点式；（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．解：（1）y＝x2﹣6x+8＝x2﹣6x+9﹣1＝（x﹣3）2﹣1；（2）开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，﹣1）；（3）x＞3时，y随x的增大而增大；x＜3时，y随x增大而减小．19．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5r2+20t，求小球飞行高度达到最高时的飞行时间．解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，且﹣5＜0，∴当t＝2时，h取最大值20，答：小球飞行高度达到最高时的飞行时间为2s．20．“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种，在云南省广泛种植．长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．（1）若降价2元，则每天的销售利润是多少元（2）若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤多少元？（其它成本忽略不计）（3）将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？解：（1）根据题意，降价2元则销售量为60+2×10＝80（斤），销售利润为：（30﹣15﹣2）×80＝1040（元），答：若降价2元，则每天的销售利润是1040元；（2）设每斤“阳光玫瑰葡萄”应降价x元，根据题意得：（30﹣15﹣x）（60+10x）＝1100，整理得：x2﹣9x+20＝0，解得x1＝4，x2＝5，∵为了尽快减少库存，∴x＝5，此时30﹣x＝25，答：每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤25元；（3）设水果商每天获得的利润为y元，根据题意得：w＝（30﹣x﹣15）（60+10x）＝﹣10x2+90x+900＝﹣10（x﹣）2+1102.5，∵﹣10＜0，∴当x＝时，y有最大值，最大值为1102.5，此时30﹣x＝30﹣4.5＝25.5，答：将商品的销售单价定为25.5元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大，最大利润是1102.5元．21．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，已知线段DE与线段BC关于平面内某点成中心对称，其中DE的两端点刚好一个落在抛物线上，一个落在对称轴上，求落在对称轴上的点的坐标；（3）如图2，点M为第二象限抛物线上，作MN∥BC交抛物线于点N，直线NB、MC 交于点P，求P点的横坐标．解：（1）把A（﹣1，0）、B（4，0）代入得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；（2）∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，∴抛物线的对称轴是直线x＝，在y＝x2﹣x﹣2中，令x＝0得y＝﹣2，∴C（0，﹣2），①若线段DE与线段BC关于点K成中心对称，C的对应点D在对称轴上，B的对应点在抛物线上，如图：设D（，m），E（n，n2﹣n﹣2），而B（4，0），C（0，﹣2），∵K是DC的中点，也是BE的中点，∴，解得，∴D（，）；②若线段DE与线段BC关于点T成中心对称，B的对应点D在对称轴上，C的对应点在抛物线上，如图：设D（，m'），E（n'，n'2﹣n'﹣2），而B（4，0），C（0，﹣2），∵T是EC的中点，也是BD的中点，∴，解得，∴D（，）；综上所述，落在对称轴上的点的坐标为（，）或（，）；（3）由B（4，0），C（0，﹣2）可得直线BC解析式为y＝x﹣2，设M（t，t2﹣t﹣2），由M（t，t2﹣t﹣2），C（0，﹣2）可得直线MC解析式为：y＝（t﹣）x﹣2，由MN∥BC设直线MN解析式为y＝x+p，将M（t，t2﹣t﹣2）代入得：t2﹣t﹣2＝t+p，∴p＝t2﹣2t﹣2，∴直线MN解析式为y＝x+t2﹣2t﹣2，由得或，∴N（﹣t+4，t2﹣t），由B（4，0），N（﹣t+4，t2﹣t）可得直线NB的解析式为y＝（﹣t+）x+2t﹣10，解（﹣t+）x+2t﹣10＝（t﹣）x﹣2得x＝2，∴P的横坐标为2．22．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：若y'＝，则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为（﹣5，2）；（2）若点P在函数y＝﹣x2+16的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′是7，求“可控变点”Q的横坐标；（3）若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，求实数a的取值范围．解：（1）∵﹣5＜0，∴y'＝﹣y＝2，∴点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为（﹣5，2），故答案为：（﹣5，2）；（2）依题意，y＝﹣x2+16图象上的点P的“可控变点”必在函数的图象上．∵“可控变点”Q的纵坐标y′是7，∴当﹣x2+16＝7时，解得x＝3；当x2﹣16＝7，解得x＝﹣；综上所述“可控变点”Q的横坐标为或3；（3）依题意，y＝﹣x2+16图象上的点P的“可控变点”必在函数的图象上，∵﹣16≤y'≤16，∴﹣16＝﹣x2+16，∴x＝，当x＝﹣5时，x2﹣16＝9，当y'＝9时，x＝，∴a的取值范围是．23．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．（1）求抛物线解析式；（2）直线AB的函数解析式为y＝x+4，点M的坐标为（﹣2，﹣2）．（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小，具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA′交y轴于点Q，连接AM，AQ，此时△AMQ的周长最小，请求出点Q的坐标；（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A，O，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把A（﹣4，0），C（2，6）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+2x；（2）设直线AB解析式为y＝mx+n，把A（﹣4，0），C（2，6）代入得：，解得，∴直线AB解析式为y＝x+4，∵y＝x2+2x＝（x+2）2﹣2，∴抛物线的顶点M坐标为（﹣2，﹣2）；故答案为：y＝x+4，（﹣2，﹣2）；（3）∵A（﹣4，0），A，A'关于y轴对称，∴A'（4，0），设直线A'Q解析式为y＝m'x+n'，把A'（4，0），M（﹣2，﹣2）代入得：，解得，∴直线A'Q解析式为y＝x﹣，令x＝0得y＝﹣，∴Q（0，﹣）；（4）存在点N，使以点A，O，C，N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：设N（p，q），又A（﹣4，0），O（0，0），C（2，6），①若AN，OC为对角线，则AN，OC的中点重合，∴，解得，∴N（6，6）；②若ON，AC为对角线，则ON，AC的中点重合，∴，解得，∴N（﹣2，6）；③若CN，AO为对角线，则CN，AO的中点重合，∴，解得，∴N（﹣6，﹣6）．综上所述，N的坐标为（6，6）或（﹣2，6）或（﹣6，﹣6）．九年级数学上册《二次函数》专题测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（）A．1B．﹣5C．﹣1D．﹣5或﹣12．下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论错误的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．该函数的图象一定经过点（0，1）C．该函数图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上D．该函数图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同3．已知：抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2+1，则抛物线的对称轴是直线（）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝2D．x＝﹣24．将二次函数y＝2x2向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为（）A．y＝2（x+5）2﹣3B．y＝2（x+5）2+3C．y＝2（x﹣5）2﹣3D．y＝2（x﹣5）2+35．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：（1）4ac＜b2；（2）abc＜0；（3）2a+b＜0；（4）（a+c）2＜b2其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．46．已知抛物线y＝ax2+4ax﹣8与直线y＝n相交于A，B两点（点A在点B左侧），AB＝4，且抛物线与x轴只有一个交点，则n的值为（）A．﹣8B．﹣4C．4D．87．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m ＝0（m＞0）有两个整数根，其中一个根是3，则另一个根是（）A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．38．物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：①小球在空中经过的路程是40m②小球抛出3s后，速度越来越快③小球抛出3s时速度为0④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s其中正确的是（）A．①②③B．①②C．②③④D．②③二．填空题（共8小题，满分32分）9．已知抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝2对称，设x＝1，2，4时对应的函数值依次为y1，y2，y4，那么y1，y2，y4的大小关系是．（用“＜”连接）10．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）（I）抛物线的对称轴为；（2）若当﹣2≤x≤2时，y的最大值是1，求当﹣2≤x≤2时，y的最小值是．11．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x 的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两根之积是．12．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是．13．将抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣1向右平移5个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为．14．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1），则方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是．15．抛物线y＝ax2+bx+tc（a＜0）交x轴于点A、B，交y轴于点C（0，3），其中点B坐标为（1，0），同时抛物线还经过点（2，﹣5）．（1）抛物线的解析式为；（2）设抛物线的对称轴与抛物线交于点E，与x轴交于点H，连接EC、EO，将抛物线向下平移n（n＞0）个单位，当EO平分∠CEH时，则n的值为．16．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y （个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为元（利润＝总销售额﹣总成本）．三．解答题（共6小题，满分56分）17．已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．（1）求m的值；（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．18．对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：h＝v0t﹣gt2（h是物体离起点的高度，v0是初速度，g是重力系数，取10m/s2，t是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以10m/s的初速度把球向上抛出．（1）球抛出后经多少秒回到起点？（2）几秒后球离起点的高度达到1.8m？（3）球离起点的高度能达到6m吗？请说明理由．19．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1．（1）若该函数的图象经过点（1，2），求该二次函数图象的顶点坐标．（2）若（x1，y1），（x1，y2）为此函数图象上两个不同点，当x1+x2＝﹣2时，恒有y1＝y2，试求此函数的最值．（3）当a＜0且a≠﹣1时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．20．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？21．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（4，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点D、N．（1）求直线AB的表达式和抛物线的表达式；（2）若DN＝3DM，求此时点N的坐标；（3）若点P为直线AB上方的抛物线上一个动点，当∠ABP＝2∠BAC时，求点P的坐标．22．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣2），点C（0，﹣5），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交二次函数y＝x2+bx+c的图象于点B，连接BC．（1）求该二次函数的表达式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）若E为线段AB上一点，且BE：EA＝3：1，P为直线AC上一点，在抛物线上是否存在一点Q，使以B、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，∴|a+3|＝2且a+1≠0，解得a＝﹣5，故选：B．2．解：A．∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数），∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，∴x＞m时，y随x增大而减小，故A错误，符合题意；∵当x＝0时，y＝1，∴该函数的图象一定经过点（0，1），故B正确，不合题意；∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，∴抛物线顶点坐标为（m，m2+1），∴抛物线顶点在抛物线y＝x2+1上，故C正确，不合题意；∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1与y＝﹣x2的二次项系数都为﹣1，∴两函数图象形状相同，故D正确，不合题意．故选：A．3．解：∵y＝﹣3（x﹣2）2+1，∴抛物线对称轴为直线x＝2．故选：C．4．解：将二次函数y＝2x2向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为y＝2（x+5）2+3，故选：B．5．解：根据图象知道抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，故（1）正确．∵抛物线开口朝下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∴abc＜0，故（2）正确；∵对称轴x＝﹣＞1，∴2a+b＞0，故（3）错误；根据图象知道当x＝1时，y＝a+b+c＞0，根据图象知道当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴（a+c）2﹣b2＝（a+c+b）（a+c﹣b）＜0，故（4）正确；故选：C．6．解：∵抛物线与x轴只有一个交点，∴a≠0且Δ＝16a2﹣4a×（﹣8）＝0，∴a＝﹣2，∴抛物线解析式为y＝﹣2x2﹣8x﹣8，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，而AB平行x轴，AB＝4，∴A点的横坐标为﹣4，B点的横坐标为0，当x＝0时，y＝﹣8，∴n的值为﹣8．故选：A．7．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，∴函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝﹣m的一个交点的横坐标为3，∵对称轴是直线x＝﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝﹣m的另一个交点的横坐标为﹣5，∴关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根是﹣5，故选：A．8．解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得，∴函数解析式为，把h＝30代入解析式得，，解得：t＝4.5或t＝1.5，∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误；故选D．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：∵抛物线y＝x2+bx+c的开口向上，对称轴是直线x＝2，∴当x＝2时取最小值，又|1﹣2|＜|4﹣2|，∴y1＜y4，故答案为：y2＜y1＜y4．10．解：（1）抛物线的对称轴为：直线x＝﹣＝1，故答案为：直线x＝1；（2）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1（a＜0），∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，当x＝1时，取得最大值﹣a﹣1，∵当﹣2≤x≤2时，y的最大值是1，∴x＝1时，y＝﹣a﹣1＝1，得a＝﹣2，∴y＝﹣2（x﹣1）2+1，∵﹣2≤x≤2，∴x＝﹣2时，取得最小值，此时y＝﹣2（﹣2﹣1）2+1＝﹣17，故答案为：﹣17．11．解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴该函数的对称轴是直线x＝﹣＝1，∴该函数图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两实数根是x1＝﹣1，x2＝3，∴两根之积为﹣3，故答案为：﹣3．12．解：如图，当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+1）（x﹣5），即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程x2﹣4x﹣5＝﹣x+b有相等的实数解，解得b＝﹣，所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为﹣＜b＜﹣1．故答案为：﹣＜b＜﹣1．13．解：将抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣1向右平移5个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3﹣5）2﹣1+2，即y＝﹣（x﹣8）2+1，故答案为：y＝﹣（x﹣8）2+1．14．解：∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1），∴方程ax2＝bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝1，∴ax2﹣bx﹣c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．15．解：（1）将点C（0，3）、B（1，0）、（2，﹣5）代入抛物线y＝ax2+bx+tc中，得：a+b+c＝0，c＝3，4a+2b+c＝﹣5；解得：a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）抛物线向下平移n个单位后，E为（﹣1，4﹣n），C为（0，3﹣n），∴EC＝，∵CO∥EH，∴当CO＝CE＝时，∠CEO＝∠COE＝∠OCH，∴3﹣n＝或n﹣3＝，即n＝3﹣或3+．16．解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：，解得，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，故答案为：121．三．解答题（共6小题，满分56分）17．解：（1）将（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，解得m1＝1，m2＝﹣3，又∵m＞0，∴m＝1．（2）∵m＝1，∴y＝x2+x﹣2，∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，∴二次函数图象与x轴有2个交点．18．解：∵初速度为10m/s，g取10m/s2，∴h＝10t﹣×10t2＝10t﹣5t2，（1）当h＝0时，。
九年级数学《二次函数》单元测试卷及答案
九年级数学《二次函数》单元测试卷一、选择题1、二次函数y ＝(x －1) 2+2的最小值是（ ）A.－2 B.2 C.－1 D.12、已知抛物线的解析式为y ＝(x －2)2＋1，则抛物线的顶点坐标是（ ） A(－2,1) B(2，1) C(2，－1)D(1，2) 3、函数2+y ax b y ax bx c =+=+与在同一直角坐标系内的图象大致是 （ ）4、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s ＝5t 2+2t ，则当t ＝4时，该物体所经过的路程为（ ） A.28米 B.48米 C.68米 D.88米5、已知二次函数y ＝ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图2所示，给出以下结论：① a+b+c ＜0；② a －b+c ＜0；③ b+2a ＜0；④ abc ＞0 .C. ①④D. ①②③6、二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图3所示，若M ＝4a+2b+c ，N ＝a －b+c ，P＝4a+2b ，则（ ） A.M ＞0，N ＞0，P ＞0B. M ＞0，N ＜0，P ＞0C. M ＜0，N ＞0，P＞0 D. M ＜0，N ＞0，P ＜07、如果反比例函数y＝k x的图象如图4所示，那么二次函数y ＝kx 2－k 2x －1的图象大致为（ ）8、用列表法画二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象时先列一个表，当表中对自变量x 的值以相等间隔的值增加时，函数y 所对应的函数值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650.其中有一个值不正确，这个不正确的值是 ( ) A. 506 B.380 C.274 D.189、二次函数y ＝x 2的图象向上平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（ ） A. y ＝x 2－2 B. y ＝(x －2)2 C. y ＝x 2+2 D. y ＝(x+2)210、如图6，小敏在跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h ＝3.5t －4.9t 2（t 的单位：s ，h 的单位：m ）可以描述他跳跃图1时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ）A.0.71s B.0.70s C.0.63s D.0.36s11．函数y=ax 2+bx+c 的图象如图8所示，那么关于一元二次方程ax 2+bx+c-3=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根 12．已知a<－1，点（a －1，y 1），（a ，y 2），（a+1，y 3）都在函数y=x 2的图象上，则（ ） A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 1<y 3<y 2 C ．y 3<y 2<y 1 D ．y 2<y 1<y 313、当k 取任意实数时，抛物线 的顶点所在曲线是 （ ）A ．y=x 2B ．y=-x 2C ．y=x 2(x>0) D ．y= -x 2(x>0)14、把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2-3x+5，则有（ ）A ，3=b ，7=c B ，9-=b ，15-=c C ，3=b ，3=c D ，9-=b ，21=c 15、已知函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，则下列关系成立且能最精确表述的是( )A ．012b a <-< B ．022b a <-< C ．122b a <-< D ．12b a -= 16．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c<0；②a －b+c<0；③b+2a<0；④abc>0，其中所有正确结论的序号是（ ） A ．③④ B ．②③ C ．①④ D ．①②③ 二、填空题17，形如y ＝ (其中a ，b 、c 是 )的函数，叫做二次函数. 18，抛物线y ＝(x –1)2–7的对称轴是直线 .19，如果将二次函数y ＝2x 2的图象沿y 轴向上平移1个单位，那么所得图象的函数解析式是 . 20，平移抛物线y ＝x 2+2x －8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式 21，若二次函数y ＝x 2－4x ＋c 的图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝____(只要求写出一个).22，现有A 、B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）.用小莉掷A 立方体朝上的数字为x 、小明掷B 立方体朝上的数字为y 来确定点P （x ，y ），那么它们各掷一次所确定的点P 落在已知抛物线y ＝－x 2+4x 上的概率为＿＿＿.23，已知抛物线y ＝x 2－6x +5的部分图象如图8，则抛物线的对称轴为直线x ＝ ，满足y ＜0的x 的取值范围是 .图8图6Oyx图722)(54k k x y +-=x15题16题图24,若二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点（-2，10），且一元二次方程02=++c bx ax 的根为21-和2，则该二次函数的解析关系式为 。
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第二章 二次函数 单元综合测试
一、选择题：(每题4分，共40分) 1. （2011甘肃兰州）抛物线2
21y x x =
-+的顶点坐标是
A ．（1，0）
B ．（－1，0）
C ．（－2，1）
D ．（2，－1） 2. （2011湖南永州）由二次函数1
)
3(22
+-=x y ，可知（ ）
A ．其图象的开口向下
B ．其图象的对称轴为直线3-=x
C ．其最小值为1
D ．当3<x 时，y 随x 的增大而增大 3. （2011广东肇庆）二次函数522
-+=
x x y 有
A ．最大值5-
B ．最小值5-
C ．最大值6-
D ．最小值6- 4. （2011湖北襄阳）已知函数1
2)3(2
++-=x x
k y 的图象与x 轴有交点，
则k 的取值范围是 A.4<k
B.4≤k
C.4<k 且3≠k
D.4≤k 且3≠k
5. （2011江苏无锡）下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( )
A ．y = (x − 2)2 + 1
B ．y = (x + 2)2 + 1
C ．y = (x − 2)2 − 3
D ．y = (x + 2)2 − 3
6. （2011山东滨州）抛物线()
2
23y x =+-可以由抛物线2
y x
=平移得
到,则下列平移过程正确的是( ) A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位
D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位
7．（2011四川广安）若二次函数2
=--．当x≤l时，y随x的增
y x m
()1
大而减小，则m的取值范围是（）
A．m=l B．m>l C．m≥l D．m≤l
9. （2011山东菏泽）如图为抛物线2
y ax bx c
=++的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是A．a＋b=－1 B．a－b=－1 C．b<2a D．ac<0
10．（2011四川重庆）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )
A．a>0 B．b＜0 C．c＜0
D．a＋b＋c>0
二、填空题(每题5分，共25分)
11. （2011山东济宁）将二次函数245
y x h k
=-+的形
()
=-+化为2
y x x
式，则y=．
12.（2011江苏淮安）抛物线y=x2－2x－3的顶点坐标是.
13. （2011宁波市）将抛物线y＝x的图象向上平移1个单位，则平
移后的抛物线的解析式为
14．（2011重庆江津）将抛物线y=x2－2x向上平移3个单位,再向右
平移4个单位等到的抛物线是_______.
的图象经过15. （2011浙江省嘉兴）如图，已知二次函数c
=2
+
y+
bx
x
点（－1，0），（1，－2），该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为．
17. （2011广东中山）已知抛物线2
12
y x
x c
=++与x 轴有两个不同的交
点．
(1)求c 的取值范围； (2)抛物线2
12
y x
x c
=++与x 轴两交点的距离为2，求c 的值．
B
两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论；
⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值．
⎩
∴抛物线的解析式为：y=－3
3
2312
++
x x ·
(2)描点画图
S △ABC =2
1(1+6)×5－2
1×1×1－2
1×6×4=
12
2
12
35--
=5·
17. 【解】（1）∵抛物线与x 轴有两个不同的交点
∴⊿＞0，即1－2c ＞0 解得c ＜1
2
(2)设抛物线2
12
y x
x c
=++与x 轴的两交点的横坐标为12,x x ，
∵两交点间的距离为2， ∴12
2x x -=，
B
∴OA = 1, OB = 4, AB = 5.
∵AB 2 = 25, AC 2 = OA 2 + OC 2 = 5, BC 2 = OC 2 + OB 2 = 20, ∴AC 2 +BC 2 = AB 2. ∴△ABC 是直角三角形. （3）作出点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′（0，2），OC ′=2，连接C ′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两
点之间线段最短可知，MC + MD的值最小。