九年级数学下册二次函数100题突破
2020年九年级中考数学 临考突破练习：二次函数专题(含答案)
2021中考数学临考突破练习：二次函数专题（含答案）一、选择题（本大题共6道小题）1. 二次函数y=(x-1)2+3的图象的顶点坐标是 ()A.(1，3)B.(1，-3)C.(-1，3)D.(-1，-3)2. 在平面直角坐标系中，对于二次函数y=(x-2)2+1，下列说法中错误的是 () A.y 的最小值为1B.图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x=2C.当x<2时，y 的值随x 值的增大而增大，当x≥2时，y 的值随x 值的增大而减小D.它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到3. 若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为直线x=-1，则使函数值y>0成立的x 的取值范围是 () A.x<-4或x>2B.-4≤x≤2 C.x≤-4或x≥2D.-4<x<24. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连.最高的钢拱如图所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线型钢拱的函数表达式为 ()A.y=26675x2B.y=-26675x2 C.y=131350x2D.y=-131350x25. 已知二次函数y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7(其中x 是自变量)的图象与x 轴没有公共点，且当x<-1时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是 ()A.a<2B.a>-1C.-1<a≤2D.-1≤a<26. 如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x-12x2刻画，斜坡可以用一次函数y=12x 刻画，下列结论错误的是 ()A.当小球抛出高度达到7.5 m 时，小球距O 点水平距离为3 mB.小球距O 点水平距离超过4 m 时呈下降趋势C.小球落地点距O 点水平距离为7 mD.斜坡的坡度为1∶2二、填空题（本大题共6道小题）7. 已知二次函数y=x2-4x+k 的图象的顶点在x 轴下方，则实数k 的取值范围是.8. 如图，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开.已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB=m 时，矩形土地ABCD 的面积最大.9. 某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现:当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件，当每件的定价为元时，该服装店平均每天的销售利润最大.10. 若方程(x －m)(x －n)＝3(m ，n 为常数，且m ＜n)的两实数根分别为a 、b(a ＜b)，则m 、n 、a 、b 的大小关系为______________．11. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x 和y 满足下表:x … -1 0 1 2 3 … y … 3 0 -1 0 m …(1)观察上表可求得m 的值为; (2)这个二次函数的解析式为;(3)若点A(n+2，y1)，B(n ，y2)在该抛物线上，且y1>y2，则n 的取值范围为.12. 如图，抛物线y=-14x2+12x+2与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，点D 在抛物线上，且CD∶AB.AD 与y 轴相交于点E ，过点E 的直线PQ 平行于x 轴，与拋物线相交于P ，Q 两点，则线段PQ 的长为.三、解答题（本大题共5道小题） 13. 如图，二次函数的图象与x 轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，交y 轴于点C(0，3)，点C ，D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B ，D. (1)请直接写出点D 的坐标; (2)求二次函数的解析式;(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围.14. 如图，抛物线y=-x2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交于点N ，过A 点的直线l:y=kx+n 与y 轴交于点C ，与抛物线y=-x2+bx+c 的另一个交点为D ，已知A(-1，0)，D(5，-6)，P 点为抛物线y=-x2+bx+c 上一动点(不与A ，D 重合).(1)求抛物线和直线l 的解析式;(2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∶x轴交直线l于点E，作PF∶y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值;(3)设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N，C，M，P为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.15. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，-2)，点A的坐标是(2，0)，P为抛物线上的一个动点，过点P作PD∶x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x=-1.(1)求抛物线的函数表达式.OD，求∶PBE的面积.(2)若点P在第二象限内，且PE=14(3)在(2)的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使∶BDM是以BD为腰的等腰三角形?若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.16. 已知函数y=x2+bx+c(b，c为常数)的图象经过点(-2，4).(1)求b，c满足的关系式;(2)设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当b的值变化时，求n关于m的函数解析式;(3)若该函数的图象不经过第三象限，当-5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值.17. 已知抛物线y=ax2+bx-4经过点A(2，0)，B(-4，0)，与y轴交于点C.(1)求这条抛物线的解析式.(2)如图，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标.2021中考数学临考突破练习：二次函数专题-答案一、选择题（本大题共6道小题）1. 【答案】A2. 【答案】C[解析]根据二次函数的性质进行判断，由二次函数y=(x-2)2+1，得它的顶点坐标是(2，1)，对称轴为直线x=2，当x=2时，函数的最小值是1，图象开口向上，当x≥2时，y的值随x值的增大而增大，当x<2时，y的值随x值的增大而减小，可由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，所以选项C是错误的，故选C.3. 【答案】D[解析]∶二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为直线x=-1，∶二次函数的图象与x 轴另一个交点为(-4，0)， ∶a<0，∶抛物线开口向下，则使函数值y>0成立的x 的取值范围是-4<x<2.4. 【答案】B[解析]设二次函数的表达式为y=ax2，由题可知，点A 的坐标为(-45，-78)，代入表达式可得:-78=a×(-45)2，解得a=-26675，∶二次函数的表达式为y=-26675x2，故选B.5. 【答案】D[解析]y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7=x2-2ax+a2-3a+6，∶抛物线与x 轴没有公共点，∶Δ=(-2a)2-4(a2-3a+6)<0，解得a<2. ∶抛物线的对称轴为直线x=--2a 2=a ，抛物线开口向上，而当x<-1时，y 随x 的增大而减小，∶a≥-1，∶实数a 的取值范围是-1≤a<2.故选D.6. 【答案】A[解析]根据函数图象可知，当小球抛出的高度为7.5 m 时，二次函数y=4x-12x2的函数值为7.5，即4x-12x2=7.5，解得x1=3，x2=5，故当抛出的高度为7.5 m 时，小球距离O 点的水平距离为3 m 或5 m ，A 结论错误;由y=4x-12x2，得y=-12(x-4)2+8，则抛物线的对称轴为直线x=4，当x>4时，y 随x 值的增大而减小，B 结论正确;联立方程y=4x-12x2与y=12x ，解得{x =0，y =0或{x =7，y =72.则抛物线与直线的交点坐标为(0，0)或7，72，C 结论正确;由点7，72知坡度为72∶7=1∶2也可以根据y=12x 中系数12的意义判断坡度为1∶2，D 结论正确.故选A.二、填空题（本大题共6道小题）7. 【答案】k<4[解析]∶二次函数y=x2-4x+k 的图象的顶点在x 轴下方， ∶二次函数y=x2-4x+k 的图象与x 轴有两个公共点. ∶b2-4ac>0，即(-4)2-4×1×k>0.解得k<4.8. 【答案】150[解析]设AB=x m ，矩形土地ABCD 的面积为y m2，由题意，得y=x·900-3x 2=-32(x-150)2+33750，∶-32<0，∶该函数图象开口向下，当x=150时，该函数有最大值.即AB=150 m 时，矩形土地ABCD 的面积最大.9. 【答案】22[解析]设每件的定价为x 元，每天的销售利润为y 元. 根据题意，得y=(x-15)[8+2(25-x)]=-2x2+88x-870. ∶y=-2x2+88x-870=-2(x-22)2+98. ∶a=-2<0，∶抛物线开口向下，∴当x=22时，y 最大值=98.故答案为22.10. 【答案】a ＜m ＜n ＜b 【解析】如解图，解方程(x －m)(x －n)＝3可以看作是求y ＝(x －m)(x －n)与y ＝3这两个函数图象的交点，由解图易得a ＜m ＜n ＜b.11. 【答案】解:(1)3[解析]观察表格，根据抛物线的对称性可得x=3和x=-1时的函数值相等，∶m 的值为3，故答案为:3.(2)y=(x-1)2-1[解析]由表格可得，二次函数y=ax2+bx+c 图象的顶点坐标是(1，-1)，∶y=a(x-1)2-1.又当x=0时，y=0，∶a=1，∶这个二次函数的解析式为y=(x-1)2-1.(3)n>0[解析]∶点A(n+2，y1)，B(n ，y2)在该抛物线上，且y1>y2，∶结合二次函数的图象和性质可知n>0.12. 【答案】2√5[解析]当y=0时，-14x2+12x+2=0，解得x1=-2，x2=4，∶点A 的坐标为(-2，0).当x=0时，y=-14x2+12x+2=2，∶点C 的坐标为(0，2). 当y=2时，-14x2+12x+2=2，解得x1=0，x2=2， ∶点D 的坐标为(2，2).设直线AD 的解析式为y=kx+b(k≠0)， 将A(-2，0)，D(2，2)代入y=kx+b ，得{-2k +b =0，2k +b =2，解得{k =12，b =1，∶直线AD 的解析式为y=12x+1.当x=0时，y=12x+1=1，∶点E 的坐标为(0，1). 当y=1时，-14x2+12x+2=1，解得x1=1-√5，x2=1+√5，∶点P的坐标为(1-√5，1)，点Q的坐标为(1+√5，1)，∶PQ=1+√5-(1-√5)=2√5.三、解答题（本大题共5道小题）13. 【答案】解:(1)D(-2，3).(2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)，根据题意，得{9a-3b+c=0，a+b+c=0，c=3，解得{a=-1，b=-2，c=3，∶二次函数的解析式为y=-x2-2x+3.(3)x<-2或x>1.14. 【答案】[分析] (1)将点A，D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解;(2)设出P点坐标，用参数表示PE，PF的长，利用二次函数求最值的方法.求解;(3)分NC是平行四边形的一条边或NC是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可.解:(1)将点A，D的坐标代入y=kx+n得:{-k+n=0，5k+n=-6，解得:{k=-1，n=-1，故直线l的表达式为y=-x-1.将点A，D的坐标代入抛物线表达式，得{-1-b+c=0，-25+5b+c=-6，解得{b=3，c=4.故抛物线的表达式为:y=-x2+3x+4.(2)∶直线l的表达式为y=-x-1，∶C(0，-1)，则直线l与x轴的夹角为45°，即∶OAC=45°，∶PE∶x轴，∶∶PEF=∶OAC=45°.又∶PF∶y轴，∶∶EPF=90°，∶∶EFP=45°.则PE=PF.设点P坐标为(x，-x2+3x+4)，则点F(x，-x-1)，∶PE+PF=2PF=2(-x2+3x+4+x+1)=-2(x-2)2+18，∶-2<0，∶当x=2时，PE+PF有最大值，其最大值为18. (3)由题意知N(0，4)，C(0，-1)，∶NC=5，∶当NC是平行四边形的一条边时，有NC∶PM，NC=PM.设点P坐标为(x，-x2+3x+4)，则点M的坐标为(x，-x-1)，∶|yM-yP|=5，即|-x2+3x+4+x+1|=5，解得x=2±√14或x=0或x=4(舍去x=0)，则点M坐标为(2+√14，-3-√14)或(2-√14，-3+√14)或(4，-5);∶当NC是平行四边形的对角线时，线段NC与PM互相平分.由题意，NC的中点坐标为0，32，设点P坐标为(m，-m2+3m+4)，则点M(n'，-n'-1)，∶0=m+n'2，32=-m2+3m+4-n'-12，解得:n'=0或-4(舍去n'=0)，故点M(-4，3).综上所述，存在点M，使得以N，C，M，P为顶点的四边形为平行四边形，点M的坐标分别为:(2+√14，-3-√14)，(2-√14，-3+√14)，(4，-5)，(-4，3).15. 【答案】[分析] (1)根据点A(2，0)、抛物线对称轴，可得点B(-4，0)，则可设函数表达式为:y=a(x-2)(x+4)，根据点C(0，-2)，即可求解;(2)设出点D坐标，表示出PE的长，根据PE=14OD，求得:点D(-5，0)，利用S∶PBE=12PE×BD即可求解;(3)∶BDM 是以BD 为腰的等腰三角形，则分BD=BM 和BD=DM 两种情况求解. 解:(1)由题意得点A 的坐标是(2，0)，抛物线的对称轴是直线x=-1，则点B(-4，0)，设函数表达式为:y=a(x-2)(x+4)=a(x2+2x-8)， 将C(0，-2)的坐标代入，得-8a=-2， 解得:a=14，故抛物线的表达式为:y=14x2+12x-2. (2)易得直线BC 的表达式为:y=-12x-2. 设点D(x ，0)，则点P x ，14x2+12x-2，点E x ，-12x-2， ∶PE=14OD ，点P 在直线BC 上方， ∶PE=14x2+12x-2+12x+2=14(-x)， 解得:x=0或-5(舍去x=0)，则点D(-5，0). 故S∶PBE=12×PE×BD=12×14OD×BD=12×54×1=58.(3)由题意得∶BDM 是以BD 为腰的等腰三角形，存在:BD=BM 和BD=DM 两种情况，易得BD=1.∶当BD=BM ，M 点在线段CB 的延长线上时，过点M 作MH∶x 轴于点H ， 易得∶MHB∶∶COB ，则MH MB =COBC ， 即MH 1=2√5，解得MH=√55.令y=-12x-2=√55，解得x=-20+2√55， 故点M (-20+2√55，√55). ∶当BD=DM'时，设点M'(x ，-12x -2)，其中x<-4.则M'D2=[x-(-5)]2+(-12x -2-0)2=1.整理得x2+485x+1125=0.解得x1=-4(舍去)，x2=-285.当x=-285时，-12x-2=45.故点M'(-285，45). 综上所述，点M 坐标为(-20+2√55，√55)或(-285，45).16. 【答案】 解:(1)将(-2，4)代入y=x2+bx+c ，得4=(-2)2-2b+c ，∶c=2b ，∶b ，c 满足的关系式是c=2b.(2)把c=2b 代入y=x2+bx+c ，得y=x2+bx+2b ，∶顶点坐标是(m ，n)，∶n=m2+bm+2b ，且m=-b 2，即b=-2m ，∶n=-m2-4m.∶n 关于m 的函数解析式为n=-m2-4m.(3)由(2)的结论，画出函数y=x2+bx+c 和函数y=-x2-4x 的图象.∶函数y=x2+bx+c 的图象不经过第三象限，∶-4≤-b 2≤0.∶当-4≤-b 2≤-2，即4≤b≤8时，如图∶所示，当x=1时，函数取到最大值y=1+3b ，当x=-b 2时，函数取到最小值y=8b -b 24， ∶(1+3b)-8b -b 24=16，即b2+4b-60=0，∶b1=6，b2=-10(舍去);∶当-2<-b 2≤0，即0≤b<4时，如图∶所示，当x=-5时，函数取到最大值y=25-3b，当x=-b2时，函数取到最小值y=8b-b24，∶(25-3b)-8b-b24=16，即b2-20b+36=0，∶b1=2，b2=18(舍去).综上所述，b的值为2或6.17. 【答案】.[解析](1)直接把点A(2，0)，B(-4，0)的坐标代入y=ax2+bx-4，可求得解析式;(2)连接OP，设点P x，12x2+x-4，其中-4<x<0，四边形ABPC的面积为S，则S=S∶AOC+S∶OCP+S∶OBP=-(x+2)2+16，再根据二次函数的性质求S最大时P 点的坐标.解:(1)∶抛物线y=ax2+bx-4经过点A(2，0)，B(-4，0)，∶{4a+2b-4=0，16a-4b-4=0，解得{a=12，b=1，∶这条抛物线的解析式为y=12x2+x-4.(2)如图，连接OP，设点P x，12x2+x-4，其中-4<x<0，设四边形ABPC的面积为S，由题意得C点坐标为(0，-4)，∶S=S∶AOC+S∶OCP+S∶OBP=12×2×4+12×4·(-x)+12×4·-12x2-x+4=4-2x-x2-2x+8=-x2-4x+12=-(x+2)2+16.∶-1<0，开口向下，∶S有最大值，∶当x=-2时，四边形ABPC的面积最大，此时，y=12x2+x-4=-4，即P(-2，-4).∶当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为(-2，-4).。
部编数学九年级下册专题02二次函数(满分突破卷)【满分王】(解析版)含答案
专题02 二次函数（满分突破卷）1．将抛物线y＝3x2向上平移4个单位，再向右平移2个单位，所得抛物线的函数解析式为 ．【答案】y＝3（x﹣2）2+4．【解答】解：将抛物线y＝3x2向上平移4个单位，再向右平移2个单位，所得抛物线的函数解析式为y＝3（x﹣2）2+4，故答案是：y＝3（x﹣2）2+4．2．当m﹣2≤x≤m时，函数y＝x2﹣4x+4的最小值为4，则m的值为 ．【答案】：0或6．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，∴该函数的对称轴是直线x＝2，∵当m﹣2≤x≤m时，函数y＝x2﹣4x+4的最小值为4，且x＝0和x＝4时，y＝4，①当m≤0，得m＝0时，当m﹣2≤x≤m时，函数y＝x2﹣4x+4的最小值为4；②当m﹣2≥4，得m＝6时，当m﹣2≤x≤m时，函数y＝x2﹣4x+4的最小值为4；由上可得，m的值是0或6，故答案为：0或6．3．已知二次函数y＝﹣（x﹣k）2+h，当x＞2时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是（ ）A．k≥2B．k≤2C．k＝2D．k≤﹣2【答案】B【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝k，因为a＝﹣1＜0，所以抛物线开口向下，所以当x＞k时，y的值随x值的增大而减小，而x＞2时，y的值随x值的增大而减小，所以k≤2．故选：B．4．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知点A的坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线交于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线交于点A4，…，依此规律进行下去，则点A2020的坐标为 ．【解答】解：∵A点坐标为（1，1），∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），∵A1A2∥OA，∴直线A1A2为y＝x+2，解得或，∴A2（2，4），∴A3（﹣2，4），∵A3A4∥OA，∴直线A3A4为y＝x+6，解得或，∴A4（3，9），∴A5（﹣3，9）…，∴A2020（1011，10112），故答案为（1011，10112）．5．（2022•莱芜区一模）将抛物线y＝﹣（x+1）2的图象位于直线y＝﹣4以下的部分向上翻折，得到如图所示的图象，若直线y＝x+m与图象只有四个交点，则m的取值范围是（ ）A．﹣1＜m＜1B．1＜m＜C．﹣1＜m＜D．﹣1＜m＜【答案】C【解答】解：令y＝﹣4，则﹣4＝﹣（x+1）2，解得x＝﹣3或1，∴A（﹣3，﹣4），平移直线y＝x+m知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点．①当直线位于l1时，此时l1过点A（﹣3，﹣4），∴﹣4＝﹣3+m，即m＝﹣1．②当直线位于l2时，此时l2与函数y＝﹣（x+1）2的图象有一个公共点，∴方程x+m＝﹣x2﹣2x﹣1，即x2+3x+1+m＝0有两个相等实根，∴△＝9﹣4（1+m）＝0，即m＝．由①②知若直线y＝﹣x+m与新图象只有四个交点，m的取值范围为﹣1＜m＜．故选：C．6．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点P和点Q分别从点B和点C出发，沿射线BC向右运动，且速度相同，过点Q作QH⊥BD，垂足为H，连接PH，设点P运动的距离为x（0＜x≤2），△BPH的面积为S，则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，∴∠DBC＝60°，∵BQ＝2+x，QH⊥BD，∴BH＝BQ＝1+x，过H作HG⊥BC，∴HG＝BH＝+x，∴S＝PB•GH＝x2+x，（0＜x≤2），故选：A．7．（2022•日照一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③2c＜3b；④a+2b＞m（am+b）（m≠1）；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，①错误．∵抛物线与x轴有2个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，②错误．∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∵b＝﹣2a，∴a＝﹣，∴﹣b+c＜0，∴2c＜3b，③正确．∵x＝1时，y＝a+b+c为函数最大值，∴a+b+c＞m（am+b）+c（m≠1），∴a+b＞m（am+b）（m≠1），∵b＞0，∴a+2b＞a+b＞m（am+b）（m≠1），④正确．方程|ax2+bx+c|＝1的四个根分别为ax2+bx+c＝1和ax2+bx+c＝﹣1的根，∵抛物线y＝ax2+bx+c关于直线x＝1对称，∴抛物线与直线y＝1的交点的横坐标为之和为2，抛物线与直线y＝﹣1的交点横坐标为之和为2，∴方程|ax2+bx+c|＝1的四个根的和为4，⑤错误．故选：A8．“燃情冰雪，拼出未来”，北京冬奥会将于2022年2月4日如约而至．某商家已提前开始冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元；（3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）根据题意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）根据题意得：（﹣10x+740）（x﹣40）＝2400，整理得：x2﹣114x+3200＝0，解得：x1＝50，x2＝64，∵44≤x≤52，∴x＝50，∴当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元；（3）根据题意得：w＝（﹣10x+740）（x﹣40）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890，∵﹣10＜0，∴当x＜57时，w随x的增大而增大，∵44≤x≤52，∴当x＝52时，w有最大值，最大值为2640，∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元．9．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝，D为斜边BC上的一点（D与B、C均不重合），连接AD，把△ABD绕点A按逆时针旋转后得到△ACE，连接DE，设BD＝x．（1）求证∠DCE＝90°；（2）当△DCE的面积为1.5时，求x的值；（3）试问：△DCE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并指出此时x 的取值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵△ABD绕点A按逆时针旋转后得到△ACE，∴△ACE≌△ABD，∴∠ABD＝∠ACE，（2分）又∵△ABC是等腰直角三角形，且BC为斜边，∴∠ABD+∠ACD＝90°，（3分）∴∠ACE+∠ACD＝90°，即：∠DCE＝90°；（5分）（2）∵AC＝AB＝，∴BC2＝AC2+AB2＝，∴BC＝4．（6分）∵△ACE≌△ABD，∠DCE＝90°，∴CE＝BD＝x，而BC＝4，∴DC＝4﹣x，∴Rt△DCE的面积为：DC•CE＝（4﹣x）x．∴（4﹣x）x＝1.5，（8分）即x2﹣4x+3＝0．解得x＝1或x＝3．（10分）（3）△DCE存在最大值．（11分）理由如下：设△DCE的面积为y，于是得y与x的函数关系式为：y＝（4﹣x）x（0＜x＜4），（12分）＝﹣（x﹣2）2+2，∵a＝﹣＜0，∴当x＝2时，函数y有最大值2．（13分）又∵x满足关系式0＜x＜4，故当x＝2时，△DCE的最大面积为2．（14分）10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C （0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入可得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，∴PO＝PC，此时P点即为满足条件的点，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4＝﹣2，解得x＝（小于0，舍去）或x＝，∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；（3）∵点P在抛物线上，∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），过P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点F ，如图2，∵B （4，0），C （0，﹣4），∴直线BC 解析式为y ＝x ﹣4，∴F （t ，t ﹣4），∴PF ＝（t ﹣4）﹣（t 2﹣3t ﹣4）＝﹣t 2+4t ，∴S △PBC ＝S △PFC +S △PFB ＝PF •OE +PF •BE ＝PF •（OE +BE ）＝PF •OB ＝（﹣t 2+4t ）×4＝﹣2（t ﹣2）2+8，∴当t ＝2时，S △PBC 最大值为8，此时t 2﹣3t ﹣4＝﹣6，∴当P 点坐标为（2，﹣6）时，△PBC 的最大面积为8．11．如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+mx +m ﹣2的顶点为A ，且经过点B （3，﹣3）．（1）求顶点A 的坐标；（2）在对称轴左侧的抛物线上存在一点P ，使得∠PAB ＝45°，求点P 坐标；（3）如图（2），将原抛物线沿射线OA 方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA 交于C ，D 两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD 的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）依题意﹣32+3m+m﹣2＝﹣3∴m＝2，∴y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1∴顶点A（1，1）；（2）过B作BQ⊥BA交AP于Q，过B作GH∥y轴分别过A，Q作AG⊥GH于G，QH⊥GH于H，∠AGB＝∠ABQ＝∠BHQ＝90°，∴∠ABG＝∠BQH．∵∠PAB＝45°，∴BA＝BQ．在△ABG和△BQH中，，∴△ABG≌△BQH（AAS），∴AG＝BH＝3﹣1＝2，BG＝QH＝1﹣（﹣3）＝4∴Q（﹣1，﹣5）∴直线AP的解析式为y＝3x﹣2联立抛物线与AP，得∴﹣x2+2x＝3x﹣2∴x1＝1（不符合题意的解要舍去），x2＝﹣2∴P（﹣2，﹣8）；（3）在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是为定值，∵直线OA的解析式为y＝x，∴可设新抛物线解析式为y＝﹣（x﹣a）2+a联立抛物线与OA，，∴﹣（x﹣a）2+a＝x，∴x1＝a，x2＝a﹣1，x1﹣x2＝1；y1＝x1＝a，y2＝x2＝a﹣1，y1﹣y2＝1；即C，D两点横坐标的差是常数1，C，D两点纵坐标的差是常数1，∴CD＝＝＝＝，∴在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是定值．12．如图，直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，与直线y＝x﹣3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上有一点M，当∠MBE＝75°时，求点M的横坐标；（3）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，则A（3，0）B（0，﹣3），把B、E点坐标代入二次函数方程，解得：抛物线的解析式y＝x2﹣x﹣3…①，则：C（6，0）；（2）符合条件的有M和M′，如下图所示，当∠MBE＝75°时，∵OA＝OB，∴∠MBO＝30°，此时符合条件的M只有如图所示的一个点，MB直线的k为﹣，所在的直线方程为：y＝﹣x﹣3…②，联立方程①、②可求得：x＝4﹣4，即：点M的横坐标4﹣4；当∠M′BE＝75°时，∠OBM′＝120°，直线M′B的k值为﹣，其方程为y＝﹣x﹣3，将M′B所在的方程与抛物线表达式联立，解得：x＝，故：即：点M的横坐标4﹣4或．（3）存在．①当BC为矩形对角线时，矩形BP′CQ′所在的位置如图所示，设：P′（m，n），n＝m2﹣m﹣3…③，P′C所在直线的k1＝，P′B所在的直线k2＝，则：k1•k2＝﹣1…④，③、④联立得：＝0，解得：m＝0或6，这两个点分别和点B、C重合，与题意不符，故：这种情况不存在，舍去．②当BC为矩形一边时，情况一：矩形BCQP所在的位置如图所示，直线BC所在的方程为：y＝x﹣3，则：直线BP的k为﹣2，所在的方程为y＝﹣2x﹣3…⑤，联立①⑤解得点P（﹣4，5），则Q（2，8），情况二：矩形BCP″Q″所在的位置如图所示，此时，P″在抛物线上，其坐标为：（﹣10，32），Q″坐标为（﹣16，29）．故：存在矩形，点Q的坐标为：（2，8）或（﹣16，29）．13．直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a ＜0）交于点B，如图所示．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，四边形OAMB的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；（3）若点D在平面内，点C在直线AB上，平面内是否存在点D使得以O，B，C，D 为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，∴A（1，0）、B（0，3）；∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B，∴a+4＝3，∴a＝﹣1，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）过点M作MH⊥x轴于点H，如图所示：设点M （m ，﹣m 2+2m +3），则S ＝S 梯形BOHM ﹣S △AMH＝（3﹣m 2+2m +3）×m ﹣（m ﹣1）×（﹣m 2+2m +3）＝﹣m 2+m +，∵﹣＜0，∴S 有最大值，当m ＝时，S 的最大值是．∴S 与m 的函数表达式为S ＝﹣m 2+m +，S 的最大值是；（3）设点C 的坐标为（m ，﹣3m +3），而点B 和点O 的坐标分别为（0，3）和（0，0），①当OB 是菱形的一条边时，∵OB ＝BC ＝3，或OB ＝OC ＝3，∴9＝（m ﹣0）2+（﹣3m +3﹣3）2，或m 2+（﹣3m +3）2＝9，∴m ＝±或m ＝或m ＝0（舍），∴点D的坐标为（﹣，）或（，﹣）或（，）；②当OB是菱形的对角线时，CD必在OB的中垂线上，∴y C＝，∴点C（，），此时BC2＝+＝＝CO2，此时以O、C、B、D为顶点的四边形是菱形，则点D（﹣，）．综上所述，点D的坐标为（﹣，）或（，﹣）或（，）或（﹣，）．。
二次函数培优100题突破
初三数学培优卷：二次函数考点分析培优★★★二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点： 开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点．★★二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）一般式：y=ax 2+bx+c ，三个点顶点式：y=a （x －h ）2+k ，顶点坐标对称轴顶点坐标（－2ba，244ac b a -）．顶点坐标（h ，k ）★★★a b c 作用分析│a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，│a │越小，开口越大，a ，b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时，对称轴x=－2ba <0，即对称轴在y 轴左侧，当a ，b•异号时，对称轴x=－2ba>0，即对称轴在yc•的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y 轴交于正半轴；c<0时，与y•轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．交点式：y=a(x- x 1)(x- x 2)，（有交点的情况） 与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2对称轴为221x x h +=1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为２.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与抛物线y= - 2x 2相同，这个函数解析式为________。
３.如果函数1)3(232++-=+-kx x k y k k 是二次函数,则k 的值是______４.（08绍兴）已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线21y x =-上，下列说法中正确的是（ ）A ．若12y y =，则12x x =B ．若12x x =-，则12y y =-C ．若120x x <<，则12y y >D ．若120x x <<，则12y y >５.(兰州10) 抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2★６.抛物线5)43()1(22+--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。
2023年中考高频数学专题突破--二次函数的最值问题(含解析)
2023年中考高频数学专题突破--二次函数的最值问题1．永嘉某商店试销一种新型节能灯，每盏节能灯进价为18元，试销过程中发现，每周销量y（盏）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣进价）（1）写出每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间函数解析式；（2）当销售单价定为多少元时，这种节能灯每周能够获得最大利润？最大利润是多少元？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于30元．若商店想要这种节能灯每周获得350元的利润，则销售单价应定为多少元？2．经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表；已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？．3．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？4．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现：每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的关系可近似地看作一次函数y＝－10x＋500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%.（1）设小明每月获得利润为w(元)，求每月获得利润w(元)与销售单价x(元/件)之间的函数表达式，并确定自变量x的取值范围；（2）当销售单价定为多少元/件时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？5．自2020年3月开始，我国生猪、猪肉价格持续上涨，某大型菜场在销售过程中发现，从2020年10月1日起到11月9日的40天内，猪肉的每千克售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示：猪肉的进价与上市时间的关系用图2的一段抛物线()2=-+表示.y a x30100（1）a=；（2）求图1表示的售价P与时间x的函数关系式；（3）问从10月1日起到11月9日的40天内第几天每千克猪肉利润最低，最低利润为多少？6．2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示，设每月获得的利润为W（元）．（1）求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）为了扩大冬奥会的影响，物价部门规定这种文化衫的销售单价不高于60元，该商店销售这种文化衫每月要获得最大利润，销售单价应定为多少元？每月的最大利润为多少元？7．我市绿色和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，外贸商李经理按市场价格10元/千克在我市收购了2000千克香菇存放入冷库中.请根据李经理提供的预测信息（如下图）帮李经理解决以下问题：（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额．．．．．为y 元，试写出y与x之间的函数表达式；（销售总金额=销售单价×销售量）（2）将这批香菇仔放多少天后出售可获得最大利润．．?最大利润是多少?8．“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行，某自行车店在销售某型号自行车时，标价1500元已知拔标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同。
50 搞定二次函数压轴100题(含详解)
搞定二次函数压轴100题1. 若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A 在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有个；（2）①求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点；②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”．（3）试探究a1与a2满足的数量关系．2. 已知二次函数y=x2+2bx+c（b，c为常数）．（1）当b=1，c=−3时，求二次函数在−2≤x≤2上的最小值；（2）当c=3时，求二次函数在0≤x≤4上的最小值；（3）当c=4b2时，若在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．3. 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(2,0)，直线y=x+1与二次函数的图象交于A、B两点，其中点A在y轴上．（1）二次函数的解析式为y=；（2）证明点不在（1）中所求的二次函数的图象上；（3）若C为线段AB的中点，过C点作轴于E点，CE与二次函数的图象交于D点．①y轴上存在点K，使以K、A、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则K点的坐标是；②二次函数的图象上是否存在点P，使得?若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．x和直线y= 4. 二次函数y=x2+px+q的顶点M是直线y=−12x+m的交点．（1）若直线y=x+m过点D(0,−3)，求M点的坐标及二次函数y=x2+px+q的解析式；（2）试证明无论m取任何值，二次函数y=x2+px+q的图象与直线y=x+m总有两个不同的交点；（3）在（1）的条件下，若二次函数y=x2+px+q的图象与yx上求异于轴交于点C，与x的右交点为A，试在直线y=−12 M的点P，使P在△CMA的外接圆上．5. 已知二次函数y=−x2+bx+c+1．（1）当b=1时，求这个二次函数的对称轴方程；（2）若c=−14b2−2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切；（3）若c=0，二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0)，B(x2,0)，且x1<x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好经过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别相交于点D，E，F且满足DEEF =13，求二次函数的表达式．6. 如图，已知二次函数y=−x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A(3,1)，点C(0,4)，顶点为M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m（m>0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC 的边界），求m的取值范围；（3）点P是直线AC上的动点，若以点P，点C，点M构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．7. 已知二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点P(0,1)与Q(2,−3)．（1）求此二次函数的解析式；（2）若点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．①求正方形的ABCD的面积；②联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：△PAD∽△PEA．8. 如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=x2+mx+ 2的图象与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，且OA:OB=1:2．设此二次函数图象的顶点为D．（1）求这个二次函数的解析式；（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90∘后，点B落到点C的位置．将上述二次函数图象沿y轴向上或向下平移后经过点C．请直接写出点C的坐标和平移后所得图象的函数解析式；（3）设（2）中平移后所得二次函数图象与y轴的交点为B1，顶点为D1．点P在平移后的二次函数图象上，且满足△PBB1的面积是△PDD1面积的2倍，求点P的坐标．9. 如图，已知二次函数y=−x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A(3,1)，点C(0,4)，顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m(m>0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．10. 已知二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)，x1<0<x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，tan∠CAO−tan∠CBO=1．（1）求证：n+4m=0；（2）求m，n的值；（3）当p>0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．11. 如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B．（1）求二次函数的解析式；（2）连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；（3）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M(4,m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．，当x=0和x=2时，12. 已知二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+32函数值相等．（1）求二次函数的表达式．（2）若一次函数y＝kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A(−3,m)，求m和k的值．（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n(n＞0)个单位长度后得到的图象记为G，同时将2中得到的直线y=kx＋6向上平移n个单位长度．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围是多少?13. 已知二次函数y=x2−2ax−2a−6(a为常数,a≠0)．（1）求证：该二次函数的图象与x轴有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x轴交于点A(−2,0)和点B，与y轴交于点C，线段BC的垂直平分线l与x轴交于点D．①求点D的坐标；②设点P是抛物线上的一个动点，点Q是直线l上的一个动点．以点B，D，P，Q为顶点的四边形是否可能为平行四边形?若能，直接写出点Q的坐标．14. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(−1,0)，B(4,0)，C(0,2)三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O 是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA 分别交BC，y轴于点E，F，若△PEB，△CEF的面积分别为S1，S2，求S1−S2的最大值．15. 已知二次函数y=(t−4)x2−(2t−5)x+4在x=0与x=5的函数值相等．（1）求二次函数的解析式；（2）若二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，一次函数y=kx+b经过B，C两点，求一次函数的表达式；（3）在（2）的条件下，过动点D(0,m)作直线l∥x轴，其中m>−2．将二次函数图象在直线l下方的部分沿直线l向上翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象M．若直线y=kx+b与新图象M恰有两个公共点，请直接写出m的取值范围．)，A(5,0)，16. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点P(0,−52 B(1,0)．（1）求该二次函数的解析式；（2）点C在该二次函数的图象上，当△ABC的面积为12时，求点C坐标；（3）在（2）的条件下，求△ABC外接圆圆心点D的坐标．17. 如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；（3）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M(4,m)是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．18. 如图1，一次函数y=kx+k与二次函数y=kx2+kx(k>0)交于A，B两点，二次函数图象的顶点为P．（1）写出三条与系数k无关的一次函数与二次函数共有的结论．（2）当k为何值时，△AOP为等边三角形?（3）若一次函数y=kx+k的图象与二次函数y=kx2+2kx的图象交于点C，D，与y轴交于点F，如图2，某数学学习小组探究k=1时得出以下结论，其中正确结论的序号有．①AF=BF；②点C是BF的黄金分割点；③AFAD =√5+12；④△CFO与△ADO的面积相等．（4）在（3）中，若去掉k=1，以上正确的结论还成立吗?若成立，请选择两个加以说明．19. 如图，顶点为P(4,−4)的二次函数图象经过原点(0,0)，点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M，N关于点P对称，连接AN，ON．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点A的坐标是(6,−3)，求△ANO的面积．（3）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请解答下列问题：①证明：∠ANM=∠ONM；②△ANO能否为直角三角形?如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标，如果不能，请说明理由．20. 对于二次函数y=x2−3x+2和一次函数y=−2x+4，把y=t(x2−3x+2)+(1−t)(−2x+4)称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E，现有点A(2,0)和抛物线E上的点B(−1,n)，请完成下列任务：（1）【尝试】（1）当t=2时，抛物线y=t(x2−3x+2)+(1−t)(−2x+4)的顶点坐标为；（2）判断点A是否在抛物线E上；（3）求n的值.（2）【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为．（3）【应用】（1）二次函数y=−3x2+5x+2是二次函数y=x2−3x+2和一次函数y=−2x+4的一个“再生二次函数”吗?如果是，求出t的值；如果不是，说明理由；（2）以AB为边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上；若抛物线E经过A，B，C，D其中的三点，求出所有符合条件的t的值．与y=x2−mx−21. 已知关于x的二次函数y=x2−mx+m2+12m2+2，这两个二次函数图象中的一条与x轴交于A、B两个不同2的点．（1）试判断哪个二次函数的图象经过A、B两点（写出判断过程）；（2）若A点坐标为(−1,0)，求点B的坐标；（3）在（2）的条件下，设点C是抛物线上的一点，且△ABC的面积为10，直接写出点C的坐标．22. 已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A(1,0)与点C(0,−3)，其顶点为P．（1）求二次函数的解析式；（2）若Q为对称轴上的一点，且QC平分∠PQO，求Q点坐标；（3）当m≤x≤m+1时，y的取值范围是−4≤y≤2m，求m 的值．23. 如图，在直角坐标系中，O为原点．点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，tan∠OAB=2．二次函数y=x2+mx+2的图象经过点A，B，顶点为D．（1）求这个二次函数的解析式；（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90∘后，点B落到点C的位置．将上述二次函数图象沿y轴向上或向下平移后经过点C．请直接写出点C的坐标和平移后所得图象的函数解析式；（3）设（2）中平移后所得二次函数图象与y轴的交点为B1，顶点为D1．点P在平移后的二次函数图象上，且满足△PBB1的面积是△PDD1面积的2倍，求点P的坐标．24. 在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A(−3,0)，B(0,−3)两点，二次函数y=x2+mx+n 的图象经过点A．（1）求一次函数y=kx+b的解析式；（2）若二次函数y=x2+mx+n图象的顶点在直线AB上，求m，n的值；（3）当−3≤x≤0时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为−4，求m，n的值．在x=0和x=2时25. 已知二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+32的函数值相等．（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A(−3,m)，求m和k的值；（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n(n>0)个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y=kx+6向上平移n个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围．26. 如图，在平面直角坐标系中，点A，C的坐标分别为(−1,0)，(0,−√3)，点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A，B，C 三点，且它的对称轴为直线x=1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B，C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF的长；（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．27. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(−1,0)，B(3,0)，N(2,3)三点，且与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点M及点C的坐标；（2）若直线y=kx+d经过C，M两点，且与x轴交于点D．试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A，B两点，并且与直线CD相切?如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．28. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=−x2+mx+n的图象经过点A(3,0)，B(m,m+1)，且与y轴相交于点C．（1）求这个二次函数的解析式并写出其图象顶点D的坐标；（2）求∠CAD的正弦值；（3）设点P在线段DC的延长线上，且∠PAO=∠CAD，求点P 的坐标．x2+bx+c的图象29. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−14与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为(0,8)，点B的坐标为(−4,0)．（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；（2）点D的坐标为(0,4)，点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．(1)求S的最大值；(2)在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值．30. 已知二次函数y1=x2−2x−3及一次函数y2=x+m．（1）求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；（2）将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你在图中画出这个新图象，并求出新图象与直线y2=x+m有三个不同公共点时m的值；（3）当0≤x≤2时，函数y=y1+y2+(m−2)x+3的图象与x轴有两个不同的公共点，求m的取值范围．31. 如图，已知二次函数y=ax2−4x+c的图象与坐标轴交于点A(−1,0)和点B(0,−5)．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．32. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−1,0)，B(4,0)，C(−2,−3)，直线BC与y轴交于点D，E为二次函数图象上任一点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点E在直线BC的上方，过点E分别作BC和y轴的垂线，交直线BC于不同的两点F，G（F在G的左侧），求△EFG的周长的最大值；（3）是否存在点E，使得△EDB是以BD为直角边的直角三角形，如果存在，求点E的坐标；如果不存在，请说明理由．x+3的图象33. 已知平面直角坐标系xOy（如图），一次函数y=34x的图象上，且MO=与y轴交于点A，点M在正比例函数y=32MA．二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A、M．（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数x+3的图象上，且四边形的图象上，点D在一次函数y=34ABCD是菱形，求点C的坐标．34. 如图，二次函数y=a(x2−2mx−3m2)（其中a，m为常数，且a>0，m>0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B左侧），与y轴交于点C(0,−3)，点D在二次函数图象上，且CD∥AB，连接AD；过点A作射线AE交二次函数于点E，使AB 平分∠DAE．（1）当a=1时，求点D的坐标；（2）证明：无论a，m取何值，点E在同一直线上运动；（3）设该二次函数图象顶点为F，试探究：在x轴上是否存在点P，使以PF，AD，AE为边构成的三角形是以AE为斜边的直角三角形?如果存在，请用含m的代数式表示点P的横坐标；如果不存在，请说明理由．m+1（m为常数）．35. 已知：二次函数y=x2−mx+34（1）若这个二次函数的图象与x轴只有一个公共点A，且A点在x轴的正半轴上．①求m的值；②四边形AOBC是正方形，且点B在y轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B，C 两点，求平移后的图象对应的函数解析式；m+1的最小值（2）当0≤x≤2时，求函数y=x2−mx+34（用含m的代数式表示）．36. 如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2−1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N．（1）求N的函数表达式；（2）设点P(m,n)是以点C(1,4)为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A，B，求PA2+PB2的最大值；（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．x2+bx+c的图象经过点A(−3,6)，并与x轴37. 已知二次函数y=12交于点B(−1,0)和点C，与y轴交于点E，顶点为P，对称轴与x 轴交于点D．（1）求这个二次函数的解析式；（2）连接CP，△DCP是什么特殊形状的三角形?并加以说明；（3）点Q是第一象限的抛物线上一点，且满足∠QEO=∠BEO，求出点Q的坐标．38. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−1,0)，B(4,0)，C(−2,−3)，直线BC与y轴交于点D，E为二次函数上任一点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点E在直线BC的上方，过E分别作BC和y轴的垂线，交直线BC于不同的两点F，G（F在G的左侧），求△EFG周长的最大值；（3）是否存在点E，使得△EDB是以BD为直角边的直角三角形，如果存在，求点E的坐标；如果不存在，请说明理由．39. 已知关于x的二次函数y=x2+(k2−3k−4)x+2k的图象与x轴从左到右分别交于A，B两点，且这两点关于原点对称．（1）求k的值；（2）在（1）的条件下，若反比例函数y=m的图象与二次函数xy=x2+(k2−3k−4)x+2k的图象从左到右交于Q，R，S三点，且点Q的坐标为(−1,−1)，点R(x R,y R)，S(x S,y S)中的纵坐标y R，y S分别是一元二次方程y2+my−1=0的解，求四边形AQBS的面积S；四边形AQBS（3）在（1），（2）的条件下，在x轴下方是否存在二次函数y=x2+(k2−3k−4)x+2k图象上的点P使得S△PAB=2S△RAB，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．40. 如图是二次函数y=(x+m)2+k的图象，其顶点坐标为M(1,−4)．（1）求出图象与轴的交点A，B的坐标；S△MAB，若（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB=54存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y= x+b（b<1）与此图象有两个公共点时，的取值范围．41. 下图是二次函数y=(x+m)2+k的图象，其顶点坐标为M(1,−4)．（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标．S△MAB?若存（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB=54在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b(b<1)与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．42. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(1,0)，B(3,0)，C(0,−3)．（1）求此二次函数的解析式以及顶点D的坐标；（2）如图①，过此二次函数抛物线图象上一动点P(m,n)(0<m<3)作y轴平行线，交直线BC于点E，是否存在一点P，使线段PE的长最大?若存在，求出PE长的最大值；若不存在，说明理由．（3）如图②，过点A作y轴的平行线交直线BC于点F，连接DA，DB，四边形OAFC沿射线CB方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点F重合时立即停止运动，求运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积S的最大值．)，点F(0,1)在y轴上，43. 二次函数的顶点在原点O，经过点A(1,14直线y=−1与y轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=−1交于点M，求证：FM平分∠OFP；（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．44. 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为D(1,1)，直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A，C两点，且A(0,2)，直线与x，点P是线段AC上一动点，轴的交点为B，满足sin∠ABO=√55且不与A，C两点重合，PG∥y轴交抛物线于点G．（1）求k，m和这个二次函数的解析式；（2）点E是直线BC与抛物线对称轴的交点，当△PGE∽△AOB 时，求点P的坐标；（3）若PG=21时，另外一点F在抛物线上，当S△ACF=S△ACG时，16求点F的坐标．45. 如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A，C分别是一次x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数函数y=−34x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D，使y=18四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b，c的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，△APQ是直角三角形?②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?46. 如图，二次函数y=x2+px+q(p<0)的图象与x轴交于A，B．两点，与y轴交于点C(0,−1)，△ABC的面积为54（1）求该二次函数的解析式；（2）过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线，若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点，求m的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ACBD为直角梯形?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．47. 如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0)．（1）求a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2<x<6)．写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．48. 如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A，C分别x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二是一次函数y=−34x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一次函数y=18点D使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，有PQ⊥AC?②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?49. 如图，已知二次函数y=12x2+bx+c的图象经过点A(3,6)，并与x轴交于点B(1,0)和点C．（1）求二次函数的解析式及点C的坐标；（2）若D为线段AC上一点，且以D，O，C为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；（3）设直线y=1为直线l，将该二次函数的图象在直线l下方的部分沿直线l翻折到直线l上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．是否存在与新图象恰有三个不同公共点且平行于AC 的直线?若存在，请求出所有符合条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由．50. 已知二次函数y=ax2−2ax+c(a<0)的最大值为4，且抛物线过点(72,−94)．点P(t,0)是x轴上的动点，抛物线与y轴的交点为C，顶点为D．（1）求该二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）求∣PC−PD∣的最大值及对应的点P的坐标；（3）设Q(0,2t)是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=a∣x∣2−2a∣x∣+c的图象只有一个公共点，求t的取值．51. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B(−2,0)，点C(8,0)，与y轴交于点A．（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．52. 如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A，C分别x+3的图象与y轴，x轴的交点，点B在二是一次函数y=−34x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一次函数y=18点D使四边形ABCD为平行四边形．（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，有PQ⊥AC?②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?53. 已知关于x的二次函数y=x2+(k2−3k−4)x+2k的图象与x轴分别交于A，B两点（点A在点B左侧），且这两点关于原点对称．（1）求k的值．的图象与二次函数（2）在（1）的条件下，若反比例函数y=mxy=x2+(k2−3k−4)x+2k的图象从左到右分别交于Q，R，S三点，且点Q的坐标为(−1,−1)，点R(x R,y R)，S(x S,y S)的纵坐标y R，y S分别是一元二次方程y2+my−1=0的解，求四边形AQBS的面积．（3）在（1）（2）的条件下，在x轴下方的二次函数y=x2+ (k2−3k−4)x+2k的图象上是否存在点P，使得S△PAB=2S△RAB?若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．54. 如图，二次函数y=ax2−6ax+4a+3的图象与y轴交于点A，点B是x轴上一点，其坐标为(1,0)，连接AB，tan∠ABO=2．（1）则点A的坐标为,a=；（2）过点A作AB的垂线与该二次函数的图象交于另一点C，求点C的坐标；（3）连接BC，过点A作直线l交线段BC于点P，设点B，点C 到l的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值．55. 二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A，B，与y轴交于点C，且A(−1,0)，B(4,0)．（1）求此二次函数的表达式．（2）如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足,0)，动点N在线段DE上运动，连接CF，为点D，点F(−76CN，FN，若以点C，D，N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标．（3）如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，点P为抛物线上一动点，若∠PMA=45∘，求点P的坐标．56. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y=ax+b的图象与二次函数y=ax2+bx的图象交于点A，B．其中a，b均为非零实数．（1）当a=b=1时，求AB的长；（2）当a>0时，请用含a，b的代数式表示△AOB的面积；（3）当点A的横坐标小于点B的横坐标时，过点B作x轴的垂线，垂足为Bʹ．若二次函数y=ax2+bx的图象的顶点在反比例函的图象上，请用含a的代数式表示△BBʹA的面积．数y=ax57. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(3,0)，B(−1,0)，C(0,−3)，顶点为D．（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；（2）在y轴上找一点P（点P与点C不重合），使得∠APD= 90∘，求点P坐标；（3）在（2）的条件下，将△APD沿直线AD翻折，得到△AQD，求点Q坐标．58. 已知：二次函数y=ax2+bx+6(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是方程x2−4x−12=0的两个根．（1）求出该二次函数的表达式及顶点坐标；（2）如图，连接AC、BC，点P是线段OB上一个动点（点P不与点O、B重合），过点P作PQ∥AC交BC于点Q，当△CPQ的面积最大时，求点P的坐标．59. 如图，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于点B(−3,0)，与y轴交于点C(0,−3)．（1）求直线BC及二次函数的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，与x轴的另一个交点为A．点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．60. 如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数x刻画．y=−x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=12（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O，A得△POA．求△POA的面积；。
专题突破——二次函数 北师大版数学九年级下册
（3）在（2）的结论下，试问抛物线上是否存在点 N（不同于点 Q），使 △BCN 的面积等于△BCQ 的面积？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请 说明理由．
∵ 抛物线 y=a（x+2）2+k 的对称轴为直线 x=-2，
∴E（-2，0），∴OE=2，∴AD=OE=2，∴AB=4， ∴ 等边三角形 ABC 的周长为 4×3=12．
解析图
答案：12
易错：18
错因：没有找到正确的解题思路.
满分备考：把抛物线性质与图形元素联系起来是解决此类问题的关键，如：
本题就把抛物线对称性及对称轴与 x 轴交点坐标与求等边三角形边长联系起来，
（1）根据信息填表：
产品种类
每天工人数 （人）
每天产量 （件）
每件产品可获利润 （元）
甲
15
乙
x
x
（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多 550 元，求每件乙产品可获得的利润；
（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两 种产品的产量相等．已知每人每天可生产 1 件丙（每人每天只能生产一件产品 ），丙产品每件可获利 30 元，求每天生产三种产品可获得的总利润 W（元） 的最大值及相应的 x 值．
-17-
专题突破——二次函数
■专题六 二次函数综合压轴题 二次函数综合压轴题，是二次函数综合问题中最难解决的问题，它通常
综合其他数学知识，尤其是几何图形，步步设问，层层递进，通过图形与函 数相结合，探究图形状态、函数状态、存在性、变化性、极端值等探究性问 题.解决此类问题需从每一步骤的基础问题着手，根据已经求出的基础结论， 结合题干进一步去探究更深层次的问题.
初中数学二次函数难点100题
二次函数难点100题未命名一、单选题1．已知二次函数f （x ）=x 2+bx+c ，若对任意的x 1，x 2∈[-1，1]，有|f （x 1）-f （x 2）|≤6，则b 的取值范围是（ ）A ．[−5,5]B ．[−4,4]C ．[−3,3]D ．[−2,2]2．已知二次函数f(x)=ax 2+bx (|b |≤2|a |)，定义f 1(x)=max {f(t)|−1≤t ≤x ≤1}，f 2(x)=min {f(t)|−1≤t ≤x ≤1}，其中max {a,b }表示a,b 中的较大者，min {a,b }表示a,b 中的较小者，下列命题正确的是A ．若f 1(−1)=f 1(1)，则f(−1)>f(1)B ．若f 2(−1)=f 2(1)，则f(−1)>f(1)C ．若f 2(1)=f 1(−1)，则f 1(−1)<f 1(1)D ．若f 2(1)=f 1(-1)，则f 2(−1)>f 2(1) 3．已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．若函数在上存在极小值点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数f(x)={x +k(1−a 2),x ≥0x 2−4x +(3−a)2,x <0，其中a ∈R ，若对任意的非零实数x 1，存在唯一的非零实数x 2（x 1≠x 2），使得f(x 1)=f(x 2)成立，则k 的取值范围为（ ） A ．0≤k ≤8 B ．k ≥8 C ．k ≤0或k ≥8 D ．k ≤06．已知函数f(x)=cos(2π3x)+(a −1)sin(π3x)+a,g(x)=2x −x 2，若f[g(x)]≤0对()y f x =()()()g x ff x=()32233f x x ax bx b =+-+()0,1b (]1,0-()1,-+∞[)0,+∞()1,+∞x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,√3−1]B ．(−∞,0]C ．[0√3−1]D ．(−∞,1−√3] 7．已知函数，若不等式对任意上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．8．若函数在其图象上存在不同的两点，，其坐标满足条件：0，则称为“柯西函数”，则下列函数：①：②：③:④.其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为( )AB ．C ．D ．10．已知函数，若恒成立，则实数m 的取值范围是A ．B ．C． D ． 11．若函数f(x)={2|x−2|,x ≤2log 2(x 2−ax +a 23),x >2 的最小值为f(2)，则实数a 的取值范围为（ ）A ．a ≤3+√3或a ≥3√3；B ．a ≤3−√3或a ≥3√3；C ．a ≤3+√3或a ≥2√6；D ．a ≤3−√3或a ≥2√6；12．在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(asinA −csinBcosA)=bsinB ，且30λcos(B +C)+9cos2A +16λ2+5≤0恒成立，则λ的取值范围是（ ） A ．[−12,12] B ．[−1,78] C ．[78,1]D ．[78,5√28]13．函数f(x)定义域为D ，若满足①f(x)在D 内是单调函数；②存在[a,b]⊆D 使f(x)在23ln ,1()46,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩()2f x x a ≥-(0,)x ∈+∞a 13,3e⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[3,3ln 5]+[3,4ln 2]+[2,5]()f x ()11,A x y ()22,B x y 1212|]x x y y +()f x 1()f x x x=+(0)x >()ln (0)f x x x e =<<()cos f x x =2()4f x x =-422x y +=34()xxf x e me -=-()'f x ≥()[)0,+∞[)2,+∞[)3,+∞(],3-∞[a,b]上的值域为[a 2,b2]，那么就称y =f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)=log a (a x +t 2)(a >0且a ≠1)是“半保值函数”，则t 的取值范围为( ) A ．(0,14) B ．(−12,0)∪(0,12) C ．(0,12) D ．(−12,12)14．已知f (x )=m (x −2m )(x +m +3)，g (x )=4x −2，若对任意x ∈R ,f (x )<0或g (x )<0，则m 的取值范围是（ ）A ．(−72,+∞)B ．(−∞,14)C ．(−72,0)D ．(0,14)15．已知1是函数f （x ）=ax 2+bx+c （a ＞b ＞c ）的一个零点，若存在实数x 0．使得f （x 0）＜0．则f （x ）的另一个零点可能是（ ） A ．x 0−3 B ．x 0−12 C ．x 0+32 D ．x 0+216．设函数f(x)＝g(x)＝x 2f(x －1)，则函数g(x)的递减区间是( )A ．(－∞，0]B ．[0，1)C ．[1，＋∞)D ．[－1，0]17．已知函数f(x)=2cosx ⋅(m −sinx)−3x 在(−∞,+∞)上单调递减，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[−1,1]B ．[−1,12] C ．[−12,12] D ．(−12,12)18．设奇函数f(x)在[−1,1]上是增函数，且f(−1)=−1，若对所有的x ∈[−1,1]及任意的m ∈[−1,1]都满足f(x)≤t 2−2mt +1，则t 的取值范围是( ) A ．[−2,2] B ．[−12,12]C ．(−∞,−12]∪[12,+∞)∪{0} D ．(−∞,−2]∪[2,+∞)∪{0}19．设函数f(x)=ax 2+bx +c(a,b,c ∈R,a >0)，则“f (f (−b2a ))<0”是“f(x)与f(f(x))”都恰有两个零点的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件20．给出定义：若m −12<x ≤m +12（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }=m .设函数f(x)=x −{x }，二次函数g(x)=ax 2+bx ，若函数y =f(x)与y =g(x)的图象有且只有一个公共点，则a,b 的取值不可能是（ ）A ．a =−4,b =1B ．a =−2,b =−1C ．a =−5,b =−1D ．a =5,b =121．已知集合M={ ( x ，y ) | y =f (x ) }，若对于任意( x 1 ，y 1 )∈M，都存在( x 2 ，y 2 )∈M，使得x 1 x 2 ＋y 1 y 2 ＝0成立，则称集合M 是“理想集合”，则下列集合是理想集合的是( )A ．M={ ( x ，y ) | y =1x }B ．M={ ( x ，y ) | y =log 2 (x －1) }C ．M={ ( x ，y ) | y =x 2－2x +2 }D ．M={ ( x ，y ) | y =cos x }22．设a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，对任意实数x ，f(x)＝b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2，有( )A ．f(x)＝0B ．f(x)＞0C ．f(x)≤0D ．f(x)＜023．函数f (x )=13x 3+12bx 2+cx +d 在(0,2)内既有极大值又有极小值，则c 2+2bc +4c 的取值范围是（ ）A ．(0,116) B ．(0,14) C ．(0,12) D ．(0,1)24．已知函数f (x )=x 3+ax 2−9x +1,a ∈R ，当x 0≠1时，曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))与点(2−x 0,f (2−x 0))处的切线总是平行时，则由点(a,a )可作曲线y =f (x )的切线的条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．无法确定25．若对任意的x ∈[1,+∞),不等式2x 2−|x 2−ax +2|>1恒成立,则实数a 的取值范围是( )A ．(−2√3,2√3)B ．(0,2)C ．(2,2√3)D ．(2,4)26．f(x)=x 2+bx +c ，若方程f(x)=x 无实根，则方程f(f(x))=x （ ） A ．有四个相异实根 B ．有两个相异实根 C ．有一个实根 D ．无实数根27．已知函数f(x)=alnx +12x 2，对任意不等实数x 1,x 2∈(0,+∞)，不等式f(x 1+a)−f(x 2+a)x 1−x 2>3恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[2,+∞)B ．(2,+∞)C ．[94,+∞) D ．(94,+∞)28．设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”．下列结论错误．．的是（ ） A ．函数存在“和谐区间”()f x D [],a b D ⊆()f x ()f x [],a b ()f x [],a b []2,2a b [],a b ()f x ()()20f x xx =≥B ．函数不存在“和谐区间”C ．函数存在“和谐区间”D ．函数 （且）不存在“和谐区间”29．令，函数，满足以下两个条件：①当时， 或；②， ， ，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．30．若在定义域内存在实数x 0，满足f(−x 0)=−f(x 0)，则称f(x)为“有点奇函数”，若f(x)=4x −m2x+1+m 2−3为定义域R 上的“有点奇函数”，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．1−√3≤m ≤1+√3B ．1−√3≤m ≤2√2C ．−2√2≤m ≤2√2D ．−2√2≤m ≤1−√331．如果函数f (x )=12(2−m )x 2+(n −8)x +1(m >2)在区间[−2,−1]上单调递减，那么mn 的最大值为（ ）A ．16B ．18C ．25D ．3032．若区间[x 1,x 2]的长度定义为|x 2−x 1|，函数f(x)=(m 2+m)x−1m x(m ∈R,m ≠0)的定义域和值域都是[a,b] (b >a)，则区间[a,b]的最大长度为( ) A ．2√33B ．√33 C ．√3 D ．333．已知函数满足： ，且， 分别是上的偶函数和奇函数，若使得不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． ()()3f x x x R =+∈()()2401xf x x x =≥+()1log 8xc f x c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭0c >1c ≠11t x dx-=⎰()()12241332{1log 2x x f x x t x ⎛⎫+≤- ⎪⎝⎭=⎛⎫+>- ⎪⎝⎭()()()21422{ 12xx ax a x g x x -+≤=->0x ≤()0f x <()0g x <(){}0A f x x =(){}0B g x x =A B R ⋃=a 11,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦11,23⎡⎫--⎪⎢⎣⎭1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦()xF x e =()()()F x g x h x =+()g x ()h x R (]02x ∀∈，()()20g x ah x -≥a (-∞(-∞(()+∞34．已知函数， ，若对任意的实数， 与中至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 35．若函数为定义域上的单调函数，且存在区间（其中），使得当时， 的取值范围恰为，则称函数是上的正函数.若函数是上的正函数，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ． 36．函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在区间，使在区间上的值域为，那么就称函数为“铁山函数”，若函数 是“铁山函数”，则的取值范围为（ ） A ． B ． C ． D ．37．函数的定义域为，对于内的任意都有成立，则的值为A ．B ．C ．D ．以上答案均不正确38．已知函数若，且，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．39．记为三个数中的最小数，若二次函数有零点，则 的最大值为（ ） A ．2 B ．C ．D ．1 40．已知函数的两个零点满足，集合，则（ ）A ．∀m ∈A ，都有f (m ＋3)>0B ．∀m ∈A ，都有f (m ＋3)<0C ．∃m 0∈A ，使得f (m 0()f x tx =()()2241g x t x x =--+0x ()0f x ()0g x t ()(],20,2-∞-⋃()(]2,00,2-⋃(]2,2-()0,+∞()f x D []a b D ⊆，a b <[]x a b ∈，()f x []a b ，()f x D ()2g x x m =+()0-∞，514⎛⎫-- ⎪⎝⎭，5344⎛⎫-- ⎪⎝⎭，314⎛⎫-- ⎪⎝⎭，304⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ()f x D [],a b ()f x [],a b ,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()y f x =()()log 2x c f x c t =+()c 0c 1>≠，t ()0,1(]0,11,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦108⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x =D D x ()()()11f f x f -≤≤()3b c f ⋅+605()223,f x x x =--1a b <<()()f a f b =3a b +3-4-4-5-(),,M x y z ,,x y z ()2(,,0)f x ax bx c a b c =++>,,b c c a a b M ab c +++⎛⎫⎪⎝⎭5432()2f x x bx c =++12,x x 123x x -<()}{0A m f m =<＋3)＝0 D ．∃m 0∈A ，使得f (m 0＋3)<041．已知是实数，关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围为（ ）A ． B. C ． D ． 42．已知若存在互不相同的四个实数0＜a ＜b ＜c ＜d 满足f （a ）＝f （b ）＝f （c ）＝f （d ），则ab ＋c ＋2d 的取值范围是（） A ．（，B ．（，15） C ．[，15] D ．（15）43．已知且， ， ，则的最小值为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．2044．设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 45．若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ．D ．46．设函数f(x)＝{m +x 2,|x |≥1x,|x |<1的图象过点(1,1)，函数g(x)是二次函数，若函数f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则函数g(x)的值域是( ) A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞) C ．[0，＋∞) D ．[1，＋∞),a b x 21x ax b x +=-a b +()2,+∞()2,2-()2,6(),2-∞()2,02,{814,2,x f x x x x <≤=-+>1313+1313+13(),,0,a b c ∈+∞a b c ≥≥12a b c ++=45ab bc ca ++=a ()22122,0{ 2log ,0x x x f x x x ++≤=>x ()f x a =1234,,,x x x x 1234x x x x <<<1224341x x x x x ++()3,-+∞(),3-∞[)3,3-(]3,3-()()3212113xx x f x e me m e =++++m 1,12⎛-⎝1,12⎡--⎢⎣(,1-∞((),11-∞⋃+∞47．已知函数，方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．48．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．49．已知在(−∞,1]上单调递减的函数f (x )=x 2−2tx +1，对任意的x 1,x 2∈[0,t +1]，总有|f (x 1)−f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为（ ） A ．[−√2,√2] B ．[1,√2] C ．[2,3] D ．[1,2]50．已知函数，且f(a 2−4)=f(2a −8)，则的最小值为A ．374B ．358 C ．D ．27451．实系数一元二次方程x 2+ax +b =0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上，则2−b3−a 的取值范围是 （ ）A ．(2,+∞)B ．(−∞,12) C ．(12,2) D ．(0,12)52．设函数f(x)={2x 2−x,x ≤0−x 2+2x,x >0，且关于x 的方程f(x)=m(m ∈R)恰有3个不同的实数根x 1,x 2,x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是( ) A ．(−1,0) B ．(−12,+∞) C ．(0,1) D ．(−12,0)53．已知函数y =√1−x -√x +3的最大值为M ，最小值为m ，则M +m = ( ) A ．−2 B ．2 C ．0 D ．1−√354．已知函数f(x)={e |x−1|，x >0−x 2−2x +1，x ≤0，若关于x 的方程f 2(x)−3f(x)+a =0(a ∈R)有8个不等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．(0，14) B ．(13，3) C ．(1，2) D ．(2，94)()x f x xe =()()()210f x tf x t R ++=∈t 21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭21,2e e ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭212,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭21,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭()()()1cos23sin cos 412f x x a x x a x =+-+-,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦a 1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦11,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦][1,1,7⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭[)1,+∞55．已知f(x)={x +1，(0≤x <1)2x −12，(x ≥1)，设a >b ≥0，若f(a)=f(b)，则b ⋅f(a)的取值范围是（ ）A ．(1，2]B ．(34，2] C ．[34，2) D ．(12，2)56．已知实数a <b <c ，设方程1x−a +1x−b +1x−c =0的两个实根分别为x 1,x 2(x 1<x 2)，则下列关系中恒成立的是（ ）A ．x 1<a <b <x 2<cB ．a <x 1<b <x 2<cC ．a <x 1<x 2<b <cD ．a <x 1<b <c <x 2二、填空题57．已知是定义在上的函数, 若在定义域上恒成立，而且存在实数满足：且，则实数的取值范围是_______58．若二次函数f(x)=ax 2+bx +c (a >0)在区间[1,2]上有两个不同的零点，则f(1)a的取值范围为_____．59．若不等式对任意都成立，则实数的最小值为________．60．已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是___．61．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围为_________.62．对满足的任意x ，y ，恒有，成立，则a的取值范围为_____.63．若存在实数a ∈[−12,12]，使函数f(x)=|x|(x −a)−t(1−a)有3个不同的零点，则实数t 的取值范围为______________.64．函数f (x +12)=x 3+2019x −2019−x +1，若f(sinθ+cosθ)+f(sin2θ−t)<2对2()22f x x x b =++[-1,0][()]0f f x ≤0x 00[()]f f x x =00()f x x ≠b 2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>ABC ∆k ()221f x ax x =++(),0x R f f x ⎡⎤∈≥⎣⎦a ()240{ 30x x x f x x x-≥=<，，()()3g x f x x b =-+2221y x ax a ≥-++22320220x xy y x y ⎧--≤⎨+-≥⎩∀θ∈R 恒成立，则实数t 的取值范围是_____．65．设二次函数（为实常数）的导函数为，若对任意不等式恒成立，则的最大值为_____．66．已知f(x)=x 2−ax ，若对任意的 a ∈R ，存在 x 0 ∈[0，2] ，使得|f(x 0)|≥k 成立，则实数k 的最大值是_____67．若f (x )＝cos 2x ＋a cos (π2+x)在区间(π6,π2)上是增函数，则实数a 的取值范围为________.68．已知函数g(x)=log 2x,x ∈(0,2) ，若关于x 的方程|g(x)|2+m|g(x)|+2m+3=0有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是__________________． 69．当0＜x ＜12时，恒有x 2＜log a x 成立，则a 的取值范围为_______．70．已知函数f (x )={|x 2−1| , x ≥0x +1, x <0 ，若方程[f (x )]2+af (x )+1=0有四个不等的实数根，则实数a 的取值范围是___________．71．已知函数f(x)=x|x|，若存在x ∈[t 2−2 ， t 2]，不等式f(x +t)≥4f(x)成立，则实数t 的取值范围是__________．72．已知函数f (x )=−2x 2+bx +c 在x =1时有最大值1，0<m <n ，并且x ∈[m,n ]时，f (x )的取值范围为[1n ,1m ]，则m +n =__________．73．若关于x 的方程x 2+x +|a −14|+|a|=0有实根，则实数a 的取值范围是________.74．已知a,b,c ∈R +(a >c)，关于x 的方程|x 2−ax +b|=cx 恰有三个不等实根，且函数f(x)= |x 2−ax +b|+cx 的最小值是c 2，则ac =_______．75．设函数f (x )=|x 2−2x −1|，若a >b ≥1，f (a )=f (b )，则对任意的实数c ， (a +c 2)2+(b −c 2)2的最小值为_________________．76．已知函数f(x)=mx 2+(1−3m)x −4，m ∈R ．当m <0时，若存在x 0∈(1,+∞)，使得f(x 0)>0，则m 的取值范围为__________．77．已知函数f (x )=x 2+(1−2a )x +a 2，若关于x 的不等式f(f (x ))≥0恒成立，则实数a 的取值范围是__________．78．已知二次函数y =a(a +1)x 2−(2a +1)x +1，a =1，2，⋯，n ，⋯时，其对应的抛物线在x 轴上截得的线段长依次为d 1，d 2，⋯，d n ，⋯，则d 1+d 2+⋯+d n =__________．79．已知实数a,b,c ∈[−2,2]，且满足a +b +c =0，则a 3+b 3+c 3的取值范围是()2f x ax bx c =++,,a b c ()f x 'x ∈R ()()f x f x '≤222b a c+__________.80．已知函数f(x)={|x +a|+|x −1|,x >0,x 2−ax +2,x ≤0的最小值为a ，则实数a 的取值集合为__________．81．已知f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (b,c,d ∈Z,b ≠c )，若f (b )a =b 3，f (c )a =c 3，则d =____________．82．已知f(x)为二次函数，且不等式f(x)<0的解集是(−2017,2019)，若f(t −1)>f(1+t 2)，则实数t 的取值范围是__________．83．已知函数f(x)=x 2−5x +7，若对于任意的正整数n ，在区间[1,n +5n ]上存在m +1个实数a 0、a 1、a 2、⋅⋅⋅、a m ，使得f(a 0)>f(a 1)+f(a 2)+⋅⋅⋅+f(a m )成立，则m 的最大值为________84．已知函数f (x )=x |x −4|+2x ，存在x 3>x 2>x 1≥0，使得f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)，则x 1⋅x 2⋅f (x 3)的取值范围是__________．85．已知函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______．86．已知函数，函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围为__________．87．若函数在定义域内某区间i 上是增函数，且在i 上是减函数，则称的在i 上是“弱增函数”．已知函数的上是“弱增函数”，则实数的值为____________．88．已知函数若对于任意实数x ， 与的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是__________.89．若， ，满足，则的最小值__________.90．若在定义域内存在实数，满足，称为“局部奇函数”.若为定义域上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是__________．()()21f x x a x a =+--x ()()0f f x <a ()2,0{ 115,024x x f x a x x >=+-≤()2g x x =()()y f x g x =-a ()f x D ()f x x ()y f x =()()24g x x m x m =+-+(]0,2m ()()()212,,4f x mx m xg x mx =+-+=()f x ()g x m n R ∈10m n ++=x ()()f x f x -=-()f x ()12423x x f x m m +=-+-R m91．若二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象和直线y =x 无交点，现有下列结论： ①方程f [f (x )]=x 一定没有实数根；②若a >0，则不等式f [f (x )]>x 对一切实数x 都成立；③若a <0，则必存在实数x 0，使f [f (x 0)]>x 0；④若a +b +c =0，则不等式f [f (x )]<x 对一切实数都成立；⑤函数g (x )=ax 2−bx +c 的图象与直线y =−x 也一定没有交点，其中正确的结论是__________．(写出所有正确结论的编号)92．若函数f (x )＝ (a ，b ，c ∈R)的部分图象如图所示，则b ＝________.93．在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为， ， ，其面积这里．已知在中， ， ，其面积取最大值时__________．94．设， 在上恒成立，则的最大值为__________．95．若函数f(x)={3x −a ，x <1x 2−3ax +2a 2，x ≥1恰有两个零点，则实数a 的取值范围为__________．96．函数f(x)的定义域为D ，若满足：①f(x)在D 内是单调函数；②存在[a,b]⊂D ，使得f(x)在[a,b]上的值域为[2a,2b]，则称函数f(x)为“成功函数”，若函数f(x)=log c (c 4x +3t) (c >0,c ≠1)是“成功函数”，则t 的取值范围为_________.三、解答题97．设函数y =f (x )的定义域为D ，值域为A ，如果存在函数x =g (t )，使得函数y =f [g (t )]的值域仍是A ，那么称x =g (t )是函数y =f (x )的一个等值域变换．（1）判断下列函数x =g (t )是不是函数y =f (x )的一个等值域变换？说明你的理由； ①f (x )=log 2x,x >0,x =g (t )=t +1t ,t >0；②f (x )=x 2−x +1,x ∈R,x =g (t )=2t ,t ∈R ．（2）设f (x )=log 2x 的定义域为x ∈[2,8]，已知x =g (t )=mt 2−3t+nt +1是y =f (x )的一个21ax bx c++a b c S =()12p a b c =++ABC ∆6BC =2AB AC =sin A =0a <()()2201720160x a x b ++≥()a b ，b a -等值域变换，且函数y =f [g (t )]的定义域为R ，求实数m 、n 的值．98．对于函数f(x)，若f(x 0)=x 0，则称x 0为f(x)的“不动点”；若f[f(x 0)]=x 0，则称x 0为f(x)的“稳定点”．函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即A ={x|f(x)=x }，B ={x|f[f(x)]=x }．（1）设函数f(x)=3x +4，求集合A 和B ．（2）求证：A ⊆B ．（3）设函数f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0)，且A =∅，求证：B =∅．99．设x ∈[2,8]时，函数f (x )=12log a (ax )⋅log a (a 2x ) (a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是−18，求a 的值．100．对于函数,若存在实数对(),使得等式对定义域中的每一个都成立,则称函数是“()型函数”.(1) 判断函数是否为 “()型函数”，并说明理由；(2) 若函数是“()型函数”,求出满足条件的一组实数对； (3)已知函数是“()型函数”,对应的实数对为(1,4).当 时, ,若当时,都有,试求的取值范围.101．对于区间和函数,若同时满足：①在上是单调函数；②函数， 的值域还是，则称区间为函数的“不变”区间.（1）求函数的所有“不变”区间. （2）函数是否存在“不变”区间？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.102．若函数的图象关于直线对称，求函数的最大值. ()f x ,a b ()()f a x f a x b +⋅-=x ()f x ,a b ()1f x x =,a b ()24x f x =,a b (),a b ()g x ,a b (),a b []0,1x ∈()2g x x =()11m x --+(0)m >[]0,2x ∈()14g x ≤≤m [],a b ()y f x =()f x [],a b ()y f x =[],x a b ∈[],a b [],a b ()f x ()20y xx =≥()20y x m x =+≥m ()()()221f x xx ax b =-++2x =-()f x参考答案1．C【来源】浙江省湖州市八校联盟2018-2019学年高一上学期期中联考数学试题【解析】【分析】若对任意的x1，x2∈[-1，1]，有|f（x1）-f（x2）|≤6，则当x1，x2∈[-1，1]，函数值的极差不大于6，进而可得答案。
二次函数培优100题突破
0 2 3-xy33(2)若在抛物线上有一点M ，使△ABM 的面积是△ABC 的面积的２倍。
求M 点坐标(得分点的把握)34（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.35(4)在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBAC 是等腰梯形，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由二次函数图象与系数关系+增减性 36.二次函数c bx ax y +-=2图象如下，则a,b,c 取值范围是37已知y=ax 2+bx+c 的图象如下， 则：a____0 b___0 c___0a+b+c____0，a-b+c__0。
2a+b____0 b 2-4ac___0 4a+2b+c 038.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示． 有下列结论： ①240b ac -<； ②0ab >；③0a b c -+=； ④40a b +=；⑤当2y =时，x 等于0．⑥02=++c bx ax 有两个不相等的实数根 ⑦22=++c bx ax 有两个不相等的实数根 ⑧0102=-++c bx ax 有两个不相等的实数根 ⑨42-=++c bx ax 有两个不相等的实数根 其中正确的是（ ）39.（天津市）已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，下列结论：① 0>abc ；② c a b +<；③024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ）。
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个40.小明从右边的二次函数c bx ax y ++=2图象中，观察得出了下面的五条信息：①0a <，②0c =，③函数的最小值为3-，④当0x <时，0y >，⑤当1202x x <<<时，12y y >．你认为其中正确的个数为（ ）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．541.已知二次函数c bx ax y ++=2，其中a b c ，，满足0a b c ++=和930a b c -+=，则该二次函数图象的对称轴是直线 ．42.直已知y=ax 2+bx+c 中a<0，b>0，c<0 ，△<0，函数的图象过 象限。
二次函数解答题通关100题(含答案)
10. 如图 1， ht∥ 㤵 ， 设线段 （其中 R
th 与
的长为 ， ，
th 沿 㤵 方向运动，开始时点 th 与 R h， h R
㤵 均为等腰直角三角形，其中 h t 瞨 㤵 瞨 与点 重合，当点
，点
㤵 重叠部分的面积为 ， 关于
和点 㤵 重合时运动停止，
的函数图象如图 2 所示
在线段 㤵 上，
时，函数的解析式不同）．
（1）填空：h 的值为 （2）求 关于
； 的取值范围．
的函数关系式，并写出
11. 如图 1，点 接 ，过点
和点 㤵 重合时运动停止，设线段 所示（其中 ， ＜
是线段 㤵 的中点，以线段 㤵 为边作矩形 㤵 作 的垂线，交射线 于点 ，点 的长为 ，
，点
从点
的面积为 ， 关于
出发，沿 㤵 方向运动，当点
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4. 如图，直线
上异于 ， 的动点，过点
瞨
与抛物线
作 㤵
瞨
t
相交于
轴于点 ，交抛物线于点 㤵．
t‴ 和
th ，点
是线段
（1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的 请说明理由． 点，使线段 㤵 的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，
元，乙商
件．经调查，甲、乙两种商品零售单
件．为了提高销售量，小明决定把甲、乙两 （元）之间的函数关系式：
种商品的零售单价都降价 瞨 ， 瞨
（ 1 ）直接写出甲、乙两种商品每周的销售量
甲 乙
． （元）与降价 （元）之间的函数关系 定为多少元时，才能使小
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初三数学培优卷：二次函数考点分析培优★★★二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点： 开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点．★★二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）一般式：y=ax 2+bx+c ，三个点顶点式：y=a （x －h ）2+k ，顶点坐标对称轴顶点坐标（－2ba，244ac b a -）．顶点坐标（h ，k ）★★★a b c 作用分析│a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，│a │越小，开口越大，a ，b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时，对称轴x=－2ba <0，即对称轴在y 轴左侧，当a ，b•异号时，对称轴x=－2ba>0，即对称轴在yc•的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y 轴交于正半轴；c<0时，与y•轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．交点式：y=a(x- x 1)(x- x 2)，（有交点的情况） 与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2 对称轴为221x x h +=1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为２.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与抛物线y= - 2x 2相同，这个函数解析式为________。
３.如果函数1)3(232++-=+-kx x k y k k 是二次函数,则k 的值是______４.（08绍兴）已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线21y x =-上，下列说法中正确的是（ ）A ．若12y y =，则12x x =B ．若12x x =-，则12y y =-C ．若120x x <<，则12y y >D ．若120x x <<，则12y y >５.(兰州10) 抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2★６.抛物线5)43()1(22+--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。
M ＝７.二次函数52-+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。
且函数值有最小值，则m 的取值范围是8.函数245(5)21a a y a x x ++=-+-, 当a =_______时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是二次函数.9.抛物线2)13(-=x y 当x 时，Y 随X 的增大而增大10.抛物线42++=ax x y 的顶点在X 轴上，则a 值为★11.已知二次函数2)3(2--=x y ，当X 取1x 和2x 时函数值相等，当X 取1x +2x 时函数值为12.若二次函数k ax y +=2，当X 取X1和X2（21x x ≠）时函数值相等,则当X 取X1+X2时，函数值为13.若函数2)3(-=x a y 过（２.９）点，则当X ＝４时函数值Y ＝★14.若函数k h x y ---=2)(的顶点在第二象限则， h 0 ，k 015.已知二次函数当x=2时Y 有最大值是１.且过（３.０）点求解析式？16.将121222--=x x y 变为n m x a y +-=2)(的形式，则n m ⋅=_____。
★17.已知抛物线在X 轴上截得的线段长为６.且顶点坐标为（２，３）求解析式？（讲解对称性书写）的顶点到x 轴的距离是3,那么c 的值等于（ ）（A ）8 （B ）14 （C ）8或14 （D ）-8或-1419.二次函数y=x 2-(12-k)x+12,当x>1时，y 随着x 的增大而增大，当x<1时，y 随着x 的增大而减小，则k 的值应取（ ）（A ）12 （B ）11 （C ）10 （D ）920.若0<b ，则二次函数12-+=bx x y 的图象的顶点在（ A ）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限21.不论x 为何值,函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的值恒大于0的条件是( )A.a>0,△>0B.a>0, △<0C.a<0, △<0D.a<0, △<0★22.已知二次函数)1(3)1(2-++-=a a x x a y 的图象过原点则a 的值为23.二次函数432--=x x y 关于Y 轴的对称图象的解析式为 关于X 轴的对称图象的解析式为 关于顶点旋转１８０度的图象的解析式为 24. 二次函数y=2(x+3)(x-1)的x 轴的交点的个数有__个，交点坐标为_______。
25.已知二次函数222--=x ax y 的图象与X 轴有两个交点，则a 的取值范围是26.二次函数y=(x-1)(x+2)的顶点为___,对称轴为 _。
27.抛物线y=(k-1)x 2+(2-2k)x+1，那么此抛物线的对称轴是直线_________，它必定经过________和____ 28.若二次函数3622+-=x x y 当X 取两个不同的值X1和X2时，函数值相等，则X1+X2=29.若抛物线22y x x a =++的顶点在x 轴的下方，则a 的取值范围是（ ）Ａ．1a > Ｂ．1a < Ｃ．1a ≥ Ｄ．1a ≤30.抛物线y= (k 2-2)x 2+m-4kx 的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= -21+2上，求函数解析式。
31.已知二次函数图象与x 轴交点（2,0）(-1,0)与y 轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。
32.y= ax 2+bx+c 图象与x 轴交于A 、B 与y 轴交于C ，OA=2，OB=1 ，OC=1，求函数解析式32. ★★★★★抛物线562-+-=x x y 与x 轴交点为A ，B ，（A 在B 左侧）顶点为C.与Y 轴交于点D (1)求△ABC 的面积。
33(2)若在抛物线上有一点M ，使△ABM 的面积是△ABC 的面积的２倍。
求M 点坐标(得分点的把握)34（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.35(4)在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBAC 是等腰梯形，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由OxyC A y xO二次函数图象与系数关系+增减性 36.二次函数c bx ax y +-= 图象如下，则a,b,c 取值范围是37已知y=ax 2+bx+c 的图象如下， 则：a____0 b___0 c___0a+b+c____0，a-b+c__0。
2a+b____0 b 2-4ac___0 4a+2b+c 038.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示． 有下列结论： ①240b ac -<； ②0ab >； ③0a b c -+=； ④40a b +=；⑤当2y =时，x 等于0．⑥02=++c bx ax 有两个不相等的实数根 ⑦22=++c bx ax 有两个不相等的实数根 ⑧0102=-++c bx ax 有两个不相等的实数根 ⑨42-=++c bx ax 有两个不相等的实数根 其中正确的是（ ）39.（天津市）已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，下列结论：① 0>abc ；② c a b +<；③024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ）。
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个40.小明从右边的二次函数c bx ax y ++=2图象中，观察得出了下面的五条信息：①0a <，②0c =，③函数的最小值为3-，④当0x <时，0y >，⑤当1202x x <<<时，12y y >．你认为其中正确的个数为（ ）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．541.已知二次函数c bx ax y ++=2，其中a b c ，，满足0a b c ++=和930a b c -+=，则该二次函数图象的对称轴是直线 ．42.直已知y=ax 2+bx+c 中a<0，b>0，c<0 ，△<0，函数的图象过 象限。
43.若),41(),,45(),,413(321y C y B y A --为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y << B ．213y y y <<C ．312y y y<< D ．132y y y<< 44.在同一平面直角坐标系中，一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+45.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则直线y bx c =+的图象不经过（ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限46.抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图，OA=OC ，则 （ ）（A ） ac+1=b （B ） ab+1=c （C ）bc+1=a （D ）以上都不是47.已知二次函数y=a 2x +bx+c,且a ＜0,a-b+c ＞0,则一定有（ ）Ａ 24b ac - ＞0 Ｂ24b ac -＝０Ｃ24b ac -＜０ Ｄ24b ac -≤０48.若二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0），则S=a+b+c 的变化范围是 ( )（A ）0<S<2 (B) S>1y O x y O x y O x y OxＡＢＣＤ(C) 1<S<2 (D)-1<S<149.（10包头）已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 个．50.（10 四川自贡）y=x 2＋（1－a ）x ＋1是关于x 的二次函数，当x 的取值范围是1≤x ≤3时，y 在x ＝1时取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ）。