宁波市镇海中学2018-2019学年下学期开学考高一数学试卷附答案解析
浙江省宁波市镇海中学2019届高三下学期开学考试数学试题(无答案)
2019学年镇海中学高三下开学考数学 试题卷本试卷分选择题和非选择题两部分．考试时间120分钟，试卷总分为150分．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+V Sh =如果事件A 、B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()()10,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-=L球的表面积公式台体的体积公式24S R π=()1213V S S h =⋅球的体积公式其中1S 、2S 表示台体的上、下底面积，h 表示 343V R π=棱台的高其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、 选择题：每小题4分，共40分1. 设集合{}2|230A x x x =∈--<Z ，集合{}1,0,1B =-，则集合A B =I （ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1-2. 已知双曲线()22210y x b b-=>）A ．3B ．2 CD3. 设实数x ，y 满足25100050x y x x y +-≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则实数42x y z =的最小值是（ ）A ．1024B ．14 C ．132 D ．11024 4. 设0ω>，将函数sin 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移3π个单位长度后与函数cos 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为（ ）A ．12B ．32C ．52 D ．15. 设m 、n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题： ①若m α⊥，n α∥，则m n ⊥； ②若m α⊥，m n ⊥，则n α∥；③若αβ⊥，m αβ=I ，m n ⊥，则n α⊥； ④若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥．其中正确的命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46. 在一个箱子中装有大小形状完全相同的4个红球和2个白球，现从中有放回的摸取6次，每次随机摸一球，设摸得红球个数为X ，白球个数为Y ，则（ ） A ．()()E X E Y >，()()D X D Y = B ．()()E X E Y >，()()D X D Y >C ．()()E X E Y >，()()D X D Y <D ．()()E X E Y <，()()D X D Y <7. 下列命题中是真命题的是（ ） A ．“1x ≥”是“1x >”的充分不必要条件 B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈RC ．“若1x >，则10x ->”的否命题是“若1x >，则10x -≤”D ．“2x ≠或3y ≠”是“5x y +≠”的必要不充分条件8. 已知数列{}n a 满足0n a >，221114n n n n a a a a ++++=+，且112a =，则该数列的前2020项的和等于（ ） A ．30272 B ．1514 C ．30292 D ．15159. 已知长方形ABCD 中，AB BC >，现将ABC △沿AC 翻折至AB'C △（B'与B 不重合），设直线AB'与CD 所成角为α，二面角A B'C D --为β，则（ ）A ．αβ<B ．αβ>C ．αβ=D ．以上都不对10. 已知向量m ，n 满足()()20+-=m n m n ，()()210-++=m n m n ，则n 的最小值为（ ）A ．14B ．12CD ．1非选择题部分（共110分）二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11. 已知i 是虚数单位，且112i z =-，23+i z m =()m ∈R ，则1z = ，若21z z 是实数，则实数m = ．12. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ，表面积是 ．13. 若()()()()727012732111x a a x a x a x --=+++++⋅⋅⋅++，则127=a a a ++⋅⋅⋅+ ，6=a ．（用数字表示）14. 已知向量a ，b ，c 满足++=a b c 0，=c ，c 与-a b 所成的角为56π，若t ∈R ，则()1t t -a +b 的最小值是 ；此时()1t t --=a +b c ．15. 学校水果店有苹果、梨、香蕉、石榴、橘子、葡萄、西柚等7种水果，西柚数量不多，只够一个人购买，甲乙丙丁戊5位同学去购买，每人只能选择其中一种，这5位同学购买后，恰好买了其中三种水果，则他们购买水果的可能情况有 种．16. 已知椭圆r ：()222210x y a b a b+=>>，△ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设△ABC 三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k 、2k 、3k 且均不为0，O 为坐标原点，若直线OD 、OE 、OM 的斜率之和为2，则123111k k k ++= ．17. 已知函数()()cos sin f x x a x x =--，对于任意的()10,x π∈，存在[]20,x π∈，使得()122cos 3f x x x >+-，则a 的取值范围是 ．三、解答题：5小题，共74分18. （本题满分14分）已知函数()sin cos f x x x -．（1）求函数()f x 的值域；（2）在ABC △中A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，且满足()1f B =，a 1b =，求c 的值．19. （本题满分15分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，AB DE P ，ACD △为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点．（1）求证：AF P 平面BCE ；（2）求直线AD 和平面BCE 所成角的正弦值．FEDCB A20. （本题满分15分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()()222220n n S n n S n n -+-++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列n b =，证明：121n b b b ++⋅⋅⋅+≤．21. （本题满分15分）已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的离心率为12，并且经过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）一条斜率为k 的直线交椭圆于A ，B 两点（不同于P ），直线AP 和BP 的斜率分别为1k ，2k ，满足123k k +=，试判断直线AB 是否经过定点，请说明理由．22. （本题满分15分）已知函数()()ln 1sin f x x a x =+-，a ∈R ．（1）若()y f x =在()0,0处的切线为30x y -=，求a 的值； （2）若存在[]1,2x ∈，使得()2f x a ≥，求实数a 的取值范围．。
高中数学2019学年镇海中学高三下开学考
2019学年镇海中学高三下开学考数学 试题卷本试卷分选择题和非选择题两部分．考试时间120分钟，试卷总分为150分．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+V Sh =如果事件A 、B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()()10,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-=L球的表面积公式台体的体积公式24S R π=()1213V S S h =⋅球的体积公式其中1S 、2S 表示台体的上、下底面积，h 表示 343V R π=棱台的高其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、 选择题：每小题4分，共40分1. 设集合{}2|230A x x x =∈--<Z ，集合{}1,0,1B =-，则集合A B =I （ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1-2. 已知双曲线()22210y x b b-=>）A ．3B ．2 CD3. 设实数x ，y 满足25100050x y x x y +-≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则实数42x y z =的最小值是（ ）A ．1024B ．14 C ．132 D ．11024 4. 设0ω>，将函数sin 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移3π个单位长度后与函数cos 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为（ ）A ．12B ．32C ．52 D ．15. 设m 、n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题： ①若m α⊥，n α∥，则m n ⊥； ②若m α⊥，m n ⊥，则n α∥；③若αβ⊥，m αβ=I ，m n ⊥，则n α⊥； ④若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥．其中正确的命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46. 在一个箱子中装有大小形状完全相同的4个红球和2个白球，现从中有放回的摸取6次，每次随机摸一球，设摸得红球个数为X ，白球个数为Y ，则（ ） A ．()()E X E Y >，()()D X D Y = B ．()()E X E Y >，()()D X D Y >C ．()()E X E Y >，()()D X D Y <D ．()()E X E Y <，()()D X D Y <7. 下列命题中是真命题的是（ ） A ．“1x ≥”是“1x >”的充分不必要条件 B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈RC ．“若1x >，则10x ->”的否命题是“若1x >，则10x -≤”D ．“2x ≠或3y ≠”是“5x y +≠”的必要不充分条件8. 已知数列{}n a 满足0n a >，221114n n n n a a a a ++++=+，且112a =，则该数列的前2020项的和等于（ ） A ．30272 B ．1514 C ．30292 D ．15159. 已知长方形ABCD 中，AB BC >，现将ABC △沿AC 翻折至AB'C △（B'与B 不重合），设直线AB'与CD 所成角为α，二面角A B'C D --为β，则（ ）A ．αβ<B ．αβ>C ．αβ=D ．以上都不对10. 已知向量m ，n 满足()()20+-=m n m n ，()()210-++=m n m n ，则n 的最小值为（ ）A ．14B ．12CD ．1非选择题部分（共110分）二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11. 已知i 是虚数单位，且112i z =-，23+i z m =()m ∈R ，则1z = ，若21z z 是实数，则实数m = ．12. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ，表面积是 ．13. 若()()()()727012732111x a a x a x a x --=+++++⋅⋅⋅++，则127=a a a ++⋅⋅⋅+ ，6=a ．（用数字表示）14. 已知向量a ，b ，c 满足++=a b c 0，=c ，c 与-a b 所成的角为56π，若t ∈R ，则()1t t -a +b 的最小值是 ；此时()1t t --=a +b c ．15. 学校水果店有苹果、梨、香蕉、石榴、橘子、葡萄、西柚等7种水果，西柚数量不多，只够一个人购买，甲乙丙丁戊5位同学去购买，每人只能选择其中一种，这5位同学购买后，恰好买了其中三种水果，则他们购买水果的可能情况有 种．16. 已知椭圆r ：()222210x y a b a b+=>>，△ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设△ABC 三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k 、2k 、3k 且均不为0，O 为坐标原点，若直线OD 、OE 、OM 的斜率之和为2，则123111k k k ++= ．17. 已知函数()()cos sin f x x a x x =--，对于任意的()10,x π∈，存在[]20,x π∈，使得()122cos 3f x x x >+-，则a 的取值范围是 ．三、解答题：5小题，共74分18. （本题满分14分）已知函数()sin cos f x x x -．（1）求函数()f x 的值域；（2）在ABC △中A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，且满足()1f B =，a 1b =，求c 的值．19. （本题满分15分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，AB DE P ，ACD △为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点．（1）求证：AF P 平面BCE ；（2）求直线AD 和平面BCE 所成角的正弦值．FEDCB A20. （本题满分15分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()()222220n n S n n S n n -+-++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列n b =，证明：121n b b b ++⋅⋅⋅+≤．21. （本题满分15分）已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的离心率为12，并且经过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）一条斜率为k 的直线交椭圆于A ，B 两点（不同于P ），直线AP 和BP 的斜率分别为1k ，2k ，满足123k k +=，试判断直线AB 是否经过定点，请说明理由．22. （本题满分15分）已知函数()()ln 1sin f x x a x =+-，a ∈R ．（1）若()y f x =在()0,0处的切线为30x y -=，求a 的值； （2）若存在[]1,2x ∈，使得()2f x a ≥，求实数a 的取值范围．。
镇海中学2018-2019学年第二学期高一期末数学试卷
镇海中学2018学年第二学期高一年级数学期末试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.如图是一个正四棱锥,它的俯视图是 A. B. C. D.2.已知点(1,a)(a>0)到直线l :x+y-2=0的距离为1,则a 的值为 A.2 B.2-2 C. 2-1 D.2+13.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,异面直线AB 1与BC 1所成的角是A.30°B.45°C.60°D.120°4.在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD,AB ⊥BC,AB=5,BC=4,CD=2,则梯形ABCD 绕着BC 旋转而成的几何体的体积为A.π52B.π3116C. π3100 D.3)10428(π+ 5.已知直线倾斜角的范围是]32,2()2,3[ππππα ∈,则此直线的斜率的取值范围是 A.]3,3[- B.),3[]3,(+∞--∞ C.]33,33[- D. ),33[]33,(+∞--∞ 6.正三角形ABC 的边长为2cm,如图,△A'B'C'为其水平放置的直观图,则△A'B'C'的周长为A 8cm B.6cm C.)62(+cm D. )322(+cm7.某几何体的三视图如图所示,其外接球体积为A.π24B.π68C.π6D.π68.已知m,n 表示两条不同的直线,α,β,γ表示三个不同的平面,给出下列四个命题 ①α∩β=m,n ⊂α,n ⊥m,则α⊥β②α⊥β,α∩γ=m, β∩γ=n,则m ⊥n③α⊥β,α⊥γ,β∩γ=m,则m ⊥α;④m ⊥α,n ⊥β,m ⊥n,则α⊥β其中正确的命题个数是A.1B.2C.3D.49.若实数xy 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥130y x y x y ,则z=2|x|-y 的最小值是A.1-B.0C.1D.210.已知圆1Γ与2Γ交于两点,其中一交点的坐标为(3,4),两圆的半径之积为9,x 轴与直线y=mx(m>0)都与两圆相切,则实数m= A.815 B.47 C.532 D.53 非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分。
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一(下)期末数学试卷
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一（下）期末数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）如图是一个正四棱锥.它的俯视图是（）A.B.C.D.2.（单选题.4分）已知点（1.a）（a＞0）到直线l：x+y-2=0的距离为1.则a的值为（）A. √2B. 2−√2C. √2−1D. √2+13.（单选题.4分）如图.正方体ABCD-A1B1C1D1中.直线AB1与BC1所成角为（）A.30°B.45°C.60°4.（单选题.4分）在直角梯形ABCD中.AB || CD.AB⊥BC.AB=5.BC=4.CD=2.则梯形ABCD绕着BC旋转而成的几何体的体积为（）A.52πB. 1163πC. 1003πD. (28+4√10)3π5.（单选题.4分）已知直线倾斜角的范围是α∈[π3，π2)∪(π2，2π3] .则此直线的斜率的取值范围是（）A. [−√3，√3]B. (−∞，−√3]∪[√3，+∞)C. [−√33，√33]D. (−∞，−√33]∪[√33，+∞)6.（单选题.4分）正三角形ABC的边长为2cm.如图.△A'B'C'为其水平放置的直观图.则△A'B'C'的周长为（）A.8cmB.6cmC. (2+√6) cmD. (2+2√3) cm7.（单选题.4分）一个几何体的三视图如图所示.则该几何体的外接球的体积为（）A.24πC.8 √6 πD. √6 π8.（单选题.4分）已知m.n 表示两条不同的直线.α.β.γ表示三个不同的平面.给出下列四个命题： ① α∩β=m .n⊂α.n⊥m .则α⊥β； ② α⊥β.α∩γ=m .β∩γ=n .则m⊥n ； ③ α⊥β.α⊥γ.β∩γ=m .则m⊥α； ④ m⊥α.n⊥β.m⊥n .则α⊥β 其中正确命题的序号为（ ） A. ① ② B. ② ③ C. ③ ④ D. ② ④9.（单选题.4分）若实数x.y 满足不等式组 {y ≥0x +y ≤3x −y ≥−1 .则z=2|x|-y 的最小值是（ ）A.-1B.0C.1D.210.（单选题.4分）已知圆Γ1与Γ2交于两点.其中一交点的坐标为（3.4）.两圆的半径之积为9.x 轴与直线y=mx （m ＞0）都与两圆相切.则实数m=（ ） A. 158 B. 74 C.2√35 D. 3511.（填空题.6分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1.O 2.过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形.则该圆柱的表面积为___ .体积为___ ．12.（填空题.6分）若直线y=kx+1-2k 与曲线 y =√1−x 2 有交点.则实数k 的最大值为___ .最小值为___ ．13.（填空题.6分）若过点（1.1）的直线l 被圆x 2+y 2=4截得的弦长最短.则直线l 的方程是___ .此时的弦长为___ ．14.（填空题.6分）已知点P（2.1）和圆C：x2+y2+ax-2y+2=0.若点P在圆C上.则实数a=___ ；若点P在圆C外.则实数a的取值范围为 ___ ．.过空间一点O的直线l与直线a.b所成角均为θ. 15.（填空题.4分）异面直线a.b所成角为π3若这样的直线l有且只有两条.则θ的取值范围为___ ．16.（填空题.4分）在棱长均为2的三棱锥A-BCD中.E、F分别AB、BC上的中点.P为棱BD上的动点.则△PEF周长的最小值为___ ．17.（填空题.4分）在三棱锥P-ABC中.AB⊥BC.PA=PB=2. PC=AB=BC=2√2 .作BD⊥PC交PC于D.则BD与平面PAB所成角的正弦值是___ ．18.（问答题.14分）正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等.E为PC中点．（1）求证：PA || 平面BDE；（2）求异面直线PA与DE所成角的余弦值．19.（问答题.15分）已知圆C：（x-2）2+（y-3）2=2．（1）过原点O的直线l被圆C所截得的弦长为2.求直线l的方程；（2）过圆C外的一点P向圆C引切线PA.A为切点.O为坐标原点.若|PA|=|OP|.求使|PA|最短时的点P坐标．20.（问答题.15分）如图.在四棱锥P-ABCD中.PA⊥底面ABCD.AD⊥AB.AB ||DC.AD=DC=AP=2.AB=1.点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．21.（问答题.15分）如图.在正方体ABCD-A1B1C1D1中.M是AB的中点.E在CC1上.且CE=2C1E．（1）求证：AC1⊥平面A1BD；（2）在线段DD1上存在一点P.DP=λD1P.若PB1 || 平面DME.求实数λ的值．22.（问答题.15分）已知点A（1.0）.B（4.0）.曲线C上任意一点P满足|PB|=2|PA|．（1）求曲线C的方程；（2）设点D（3.0）.问是否存在过定点Q的直线l与曲线C相交于不同两点E.F.无论直线l如何运动.x轴都平分∠EDF.若存在.求出Q点坐标.若不存在.请说明理由．2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）如图是一个正四棱锥.它的俯视图是（）A.B.C.D.【正确答案】：D【解析】：该几何体直观图为一个正四棱锥.所以其俯视图轮廓为正方形.并且能够看到其四个侧棱.构成正方形的对角线.只有D选项符合．【解答】：解：该几何体直观图为一个正四棱锥.所以其俯视图轮廓为正方形.并且能够看到其四个侧棱.构成正方形的对角线.故选：D．【点评】：本题考查了由正四棱锥的直观图得到其俯视图.属于基础题．2.（单选题.4分）已知点（1.a）（a＞0）到直线l：x+y-2=0的距离为1.则a的值为（）A. √2B. 2−√2C. √2−1D. √2+1【正确答案】：D【解析】：利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】：解：点（1.a）（a＞0）到直线l：x+y-2=0的距离为1.=1.解得a=1+ √2∴ |1+a−2|√2故选：D．【点评】：本题考查了点到直线的距离公式.考查了推理能力.属于基础题．3.（单选题.4分）如图.正方体ABCD-A1B1C1D1中.直线AB1与BC1所成角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°【正确答案】：C【解析】：由AB1 || DC1.知∠DC1B是直线AB1与BC1所成角.由此能求出直线AB1与BC1所成角．【解答】：解：∵AB1 || DC1.∴∠DC1B是直线AB1与BC1所成角.∵△BDC1是等边三角形.∴直线AB1与BC1所成角60°．故选：C．【点评】：本题考查异面直线所成角的大小的求法.是基础题.解题时要注意空间思维能力的培养．4.（单选题.4分）在直角梯形ABCD中.AB || CD.AB⊥BC.AB=5.BC=4.CD=2.则梯形ABCD绕着BC旋转而成的几何体的体积为（）A.52ππB. 1163πC. 1003πD. (28+4√10)3【正确答案】：A【解析】：梯形ABCD绕着BC旋转而成的几何体是圆台.圆台的高h=BC=4.上底面圆半径r=CD=2.下底面圆半径R=AB=5.由此能求出梯形ABCD绕着BC旋转而成的几何体的体积．【解答】：解：梯形ABCD绕着BC旋转而成的几何体是圆台.圆台的高h=BC=4.上底面圆半径r=CD=2.下底面圆半径R=AB=5.∴梯形ABCD绕着BC旋转而成的几何体的体积：V= 1πh（R2+Rr+r2）3π×4×（25+10+4）= 13=52π．故选：A．【点评】：本题考查旋转体的体积的求法.考查圆台的体积公式等基础知识.考查运算求解能力.考查数形结合思想.是中档题．5.（单选题.4分）已知直线倾斜角的范围是α∈[π3，π2)∪(π2，2π3] .则此直线的斜率的取值范围是（）A. [−√3，√3]B. (−∞，−√3]∪[√3，+∞)C. [−√33，√33]D. (−∞，−√33]∪[√33，+∞)【正确答案】：B【解析】：根据题意.由直线的斜率与倾斜角的关系k=tanα.结合正切函数的性质分析可得答案．【解答】：解：根据题意.直线倾斜角的范围是α∈[π3，π2)∪(π2，2π3] .其斜率k=tanα.则k≤- √3或k≥ √3 .即k的取值范围为（-∞.- √3）∪（√3 .+∞）；故选：B．【点评】：本题考查直线的倾斜角与斜率的关系.注意直线斜率的计算公式.属于基础题．6.（单选题.4分）正三角形ABC的边长为2cm.如图.△A'B'C'为其水平放置的直观图.则△A'B'C'的周长为（）A.8cmB.6cmC. (2+√6) cmD. (2+2√3) cm【正确答案】：C【解析】：根据平面图形的直观图画法.利用余弦定理求出B′C′和A′C′.再计算△A'B'C'的周长．【解答】：解：正△ABC 的边长为2cm.则它的直观图△A'B'C'中.A′B′=2.O′C′= 12 •2•sin60°= √32； ∴B′C′2=O′B′2+O′C′2-2O′B′•O′C′•cos45°=1+ 34 -2×1× √32 × √22 = 7−2√64 = (√6−12)2 . ∴B′C′= √6−12； 又A′C′2=O′A′2+O′C′2-2O′A′•O′C′•cos135°=1+34-2×1× √32 ×（- √22 ）= 7+2√64 = (√6+12)2. ∴A′C′=√6+12； ∴△A'B'C'的周长为2+ √6−12 + √6+12=（2+ √6 ）（cm ）． 故选：C ．【点评】：本题考查了平面图形的直观图画法与应用问题.也考查了余弦定理的应用问题.是基础题．7.（单选题.4分）一个几何体的三视图如图所示.则该几何体的外接球的体积为（ ）A.24πB.6πC.8 √6 πD. √6 π【正确答案】：D【解析】：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥.求出其外接球的半径.代入球的体积公式.可得答案．【解答】：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥. 其四个顶点是以俯视图为底面.以1为高的三棱锥的四个顶点.如图是长方体的一部分. 故其外接球.相当于一个长2.宽1.高1的长方体的外接球.故外接球的半径R 12×√12+22+12 = √62 .故球的体积V= 43π×(√62)3= √6π.故选：D．【点评】：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积.解决本题的关键是得到该几何体的形状．8.（单选题.4分）已知m.n表示两条不同的直线.α.β.γ表示三个不同的平面.给出下列四个命题：① α∩β=m.n⊂α.n⊥m.则α⊥β；② α⊥β.α∩γ=m.β∩γ=n.则m⊥n；③ α⊥β.α⊥γ.β∩γ=m.则m⊥α；④ m⊥α.n⊥β.m⊥n.则α⊥β其中正确命题的序号为（）A. ① ②B. ② ③C. ③ ④D. ② ④【正确答案】：C【解析】：根据空间线面关系的定义及几何特征.逐一分析给定四个命题的真假.可得答案．【解答】：解：① α∩β=m.n⊂α.n⊥m.则n⊥β不一定成立.进而α⊥β不一定成立.故错误；② 令α.β.γ为底面为直角三角形的三棱柱的三个侧面.且α⊥β.α∩γ=m.β∩γ=n.则m || n.即m⊥n不一定成立.故错误；③ α⊥β.α⊥γ.β∩γ=m.则m⊥α.故正确；④ 若m⊥α.m⊥n.则n || α.或n⊂α.又由n⊥β.则α⊥β.故正确；故选：C．【点评】：本题考查的知识点是空间线面关系.命题的真假判断与应用.难度中档．9.（单选题.4分）若实数x.y 满足不等式组 {y ≥0x +y ≤3x −y ≥−1.则z=2|x|-y 的最小值是（ ） A.-1B.0C.1D.2【正确答案】：A【解析】：画出可行域.求出A.B 、C 坐标.利用角点法求解即可．【解答】：解：画出实数x.y 满足不等式组 {y ≥0x +y ≤3x −y ≥−1的可行域如图所示. 可得B （1.2）A （-1.0）.C （3.0）.D （0.1）当目标函数z=2|x|-y 经过点D （0.1）时.z 的值为-1.故选：A ．【点评】：本题考查线性规划的简单应用.角点法求法具体目标函数的最值的求法的应用.考查数形结合思想以及计算能力．10.（单选题.4分）已知圆Γ1与Γ2交于两点.其中一交点的坐标为（3.4）.两圆的半径之积为9.x 轴与直线y=mx （m ＞0）都与两圆相切.则实数m=（ ）A. 158B. 74C. 2√35D. 35【正确答案】：A【解析】：设直线y=tx.设两圆与x 轴的切点分别为x 1.x 2.由题意得到 (3−x 1)2+(4−tx 1)2=(tx 1)2 .(3−x 2)2+(4−tx 2)2=(tx 2)2 . |tx 1|•|tx 2|=|x 1x 2|t 2=9 .进一步得到x 1.x 2是方程（3-x ）2+（4-tx ）2=（tx ）2的两根.求得t 值.从而求出m 的值．【解答】：解：∵两切线均过原点.∴连心线所在直线经过原点.该直线设为y=tx.设两圆与x 轴的切点分别为x 1.x 2.则两圆方程分别为： {(x −x 1)2+(y −tx 1)2=(tx 1)2(x −x 2)2+(y −tx 2)2=(tx 2)2. ∵圆Γ1与Γ2交点的坐标为P （3.4）.∴P （3.4）在两圆上．∴ (3−x 1)2+(4−tx 1)2=(tx 1)2 ① .(3−x 2)2+(4−tx 2)2=(tx 2)2 ② .又两圆半径之积为9.∴ |tx 1|•|tx 2|=|x 1x 2|t 2=9 ③ .联立 ① ② ③ .可得x 1.x 2是方程（3-x ）2+（4-tx ）2=（tx ）2的两根.化简得x 2-（6+8t ）x+25=0.即x 1x 2=25．代入 ③ .得 t 2=925 .即t= 35 ．由于所求直线的倾斜角是连心线所在直线倾斜角的两倍.即m= 2t 1−t 2 ．∴m= 158 ．故选：A ．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系.考查推理论证能力、运算求解能力.考查化归与转化思想、函数与方程思想.是中档题．11.（填空题.6分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1.O 2.过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形.则该圆柱的表面积为___ .体积为___ ．【正确答案】：[1]6π; [2]2π【解析】：利用圆柱的截面是面积为4的正方形.求出圆柱的底面直径与高.然后求解圆柱的表面积．【解答】：解：设圆柱的底面直径为2R.则高为2R.圆柱的上、下底面的中心分别为O 1.O 2.过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形.∴4R2=4.解得R=1.∴该圆柱的表面积S=π×12×2+2×π×1×2=6π.体积V=π×12×2=2π．故答案为：6π.2π．【点评】：本题考查圆柱的表面积、体积的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．12.（填空题.6分）若直线y=kx+1-2k与曲线y=√1−x2有交点.则实数k的最大值为___ .最小值为___ ．【正确答案】：[1]1; [2]0【解析】：直线y=kx+1-2k.即y=k（x-2）+1经过定点P（2.1）．曲线y=√1−x2表示圆x2+y2=1的上半部分.A（1.0）.B（0.1）．∵直线y=kx+1-2k与曲线y=√1−x2有交点.利用斜率的意义即可得出．实数k的最大值为k PA.最小值为k PB．【解答】：解：直线y=kx+1-2k.即y=k（x-2）+1经过定点P（2.1）．曲线y=√1−x2表示圆x2+y2=1的上半部分.A（1.0）.B（0.1）．∵直线y=kx+1-2k与曲线y=√1−x2有交点.=1.最小值为k PB=0．则实数k的最大值为k PA= 1−02−1故答案为：1.0．【点评】：本题考查了直线与圆的方程、斜率的几何意义、数形结合方法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．13.（填空题.6分）若过点（1.1）的直线l被圆x2+y2=4截得的弦长最短.则直线l的方程是___ .此时的弦长为___ ．【正确答案】：[1]x+y=2; [2] 2√2 【解析】：联立直线与圆后韦达定理求解弦长.求出k 值即可． 【解答】：解：直线I 的方程为y-1=k （x-1）.与圆联立可得出两点M.N.即x 2+（kx-k+1）2=4.韦达定理求解得 x 1+x 2=2k 2−2k k 2+1 . x 1•x 2=k 2−2k−3k 2+1 .MN= √k 2+1√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 = √43k 2+2k+3k 2+1 = 2√(k+1)2k 2+1+2 .当k=-1时.MN 最短.直线I 为x+y=2.弦长为 2√2 .故填：x+y=2； 2√2 ．【点评】：本题主要考查韦达定理的运用.以及两点间距离公式.属于中档题．14.（填空题.6分）已知点P （2.1）和圆C ：x 2+y 2+ax-2y+2=0.若点P 在圆C 上.则实数a=___ ；若点P 在圆C 外.则实数a 的取值范围为 ___ ．【正确答案】：[1]- 52 ; [2]-2＞a - 52 或a ＞2【解析】：根据点与圆的直角坐标关系求解即可．【解答】：解： ① P 在圆C 上.将P 点代入圆的方程.即22+12+a•2-2+2=0.解得a=- 52 .代入圆检验成立.② P 在圆C 外.则22+12+a•2-2+20.解得a - 52 .圆的方程为 (x +a 2)2+(y −1)2=a 24−1 . ∴ a 24−1＞0 .解得a ＞2或a ＜-2.∴-2＞a - 52或a ＞2.故答案为:- 52 ；-2＞a - 52 或a ＞2．【点评】：本题主要考查点与圆的直角坐标关系.熟知点在圆上和圆外的关系是解决本题的关键．15.（填空题.4分）异面直线a.b 所成角为 π3 .过空间一点O 的直线l 与直线a.b 所成角均为θ.若这样的直线l 有且只有两条.则θ的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]（ π6 . π3 ）【解析】：由最小角定理可得：θ的取值范围为 π6 ＜θ＜π3 .得解．【解答】：解：由最小角定理可得：异面直线a.b所成角为π3.过空间一点O的直线l与直线a.b所成角均为θ.若这样的直线l有且只有两条.则θ的取值范围为：π6＜θ ＜π3.故答案为：（π6 . π3）．【点评】：本题考查了最小角定理.属简单题．16.（填空题.4分）在棱长均为2的三棱锥A-BCD中.E、F分别AB、BC上的中点.P为棱BD 上的动点.则△PEF周长的最小值为___ ．【正确答案】：[1]1+ √3【解析】：首先把空间图形转换为平面图形.进一步利用余弦定理的应用求出三角形的边长.最后求出三角形周长的最小值．【解答】：解：棱长均为2的三棱锥A-BCD中.E、F分别AB、BC上的中点.首先把三棱锥转换为平面图形.即转换为平面图形在平面展开图.棱长均为2的三棱锥A-BCD中.EF分别为AB.BC的中点（中位线定理）得EF=1.因为所求周长最小为PE+PF+EF的值.所以要求PE+PF的值最小故EF2=BE2+BF2-2BE•BF•cos120°.由于BE=BF=1.解得EF= √3 .由于E、F分别为AB.BC的中点（中位线定理）得EF=1.所以△PEF周长的最小值1+ √3．故答案为：1+ √3【点评】：本题考查的知识要点：空间图形和平面图形之间的转换.解三角形的应用.余弦定理的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．17.（填空题.4分）在三棱锥P-ABC中.AB⊥BC.PA=PB=2. PC=AB=BC=2√2 .作BD⊥PC交PC于D.则BD与平面PAB所成角的正弦值是___ ．【正确答案】：[1] √2114【解析】：取AB中点E.AC中点F.连接EF.PE.AF. AP=PB=2，AB=2√2 .可得cos ∠PAC=−PC2+AP2+AC22AP•AC = 34．PF= √AP2+AF2−2AP•AFcos∠PAC = √2 .求得点C到面ABP的距离.即可得点D到面ABP的距离.即可得BD与平面PAB所成角的正弦值．【解答】：解：如图.取AB中点E.AC中点F.连接EF.PE.AF.∵ AP=PB=2，AB=2√2 .∴PE= √2．∵AB⊥BC.AB=BC=2 √2 .∴AC=4.在△APC中.余弦定理可得cos ∠PAC=−PC 2+AP2+AC22AP•AC= 34．在△APF中.余弦定理可得PF= √AP2+AF2−2AP•AFcos∠PAC = √2 . 在△PEF中.PE=PF=EF= √2．且AB⊥面PEF.过F作FO⊥EP.易得FO⊥面ABP.且FO= √62.∴点C到面ABP的距离为√6 .∵ S△△PBC=12×2×√8−1=√7．∴ 1 2×PC×BD=√7 .∴ BD=√142.PD= √22.∴PD：PC=1：4.∴点D到面ABP的距离为√64．故BD与平面PAB√64√142= √2114.故答案为：√2114．【点评】：本题考查考查空间中线线、线面间的位置关系.考查几何法求线面角.属于难题．18.（问答题.14分）正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等.E为PC中点．（1）求证：PA || 平面BDE；（2）求异面直线PA与DE所成角的余弦值．【正确答案】：【解析】：（1）由线面平行的判定定理得：OE || PA.又OE⊂面EBD.故AP || 面BDE. （2）由异面直线所成角的求法得：∠DEO为异面直线PA与DE所成的角.设AB=2.则EO=1.OD= √2 .DE= √3 .则cos∠DEO= OEDE =√3= √33.得解．【解答】：解：（1）连接AC. 设AC.BD的交点为O.连接OE.因为OE || PA.PA⊄面EBD.又OE⊂面EBD.故AP || 面BDE.（2）由（1）可得：∠DEO为异面直线PA与DE所成的角. 设AB=2.则EO=1.OD= √2 .DE= √3 .由勾股定理可得：△ODE为直角三角形.则cos∠DEO= OEDE = 1√3= √33.故异面直线PA与DE所成角的余弦值为√33．【点评】：本题考查了线面平行的判定定理及异面直线所成角的求法.属中档题．19.（问答题.15分）已知圆C：（x-2）2+（y-3）2=2．（1）过原点O的直线l被圆C所截得的弦长为2.求直线l的方程；（2）过圆C外的一点P向圆C引切线PA.A为切点.O为坐标原点.若|PA|=|OP|.求使|PA|最短时的点P坐标．【正确答案】：【解析】：（1）由题意设出直线方程.利用垂径定理列式求解；（2）由两点间距离公式及切线长公式.可由|PA|=|PO|得到.化简可得x= 114−32y .则|PA|=|PO|=√x2+y2 = √(114−32y)2+y2 .然后利用配方法求解．【解答】：（1）原点O在圆C：（x-2）2+（y-3）2=2外.可得直线l的斜率存在. 设直线方程为y=kx.即kx-y=0．由直线l被圆C所截得的弦长为2.得圆心（2.3）到直线的距离为1．由 |2k−3|√k 2+1=1 .解得k= 6±2√33 ． ∴直线l 的方程为y= 6−2√33x 或y= 6+2√33x ； （2）由圆的切线长公式可得|PA|2=|PC|2-R 2=（x-2）2+（y-3）2-2.由|PA|=|PO|得.（x-2）2+（y-3）2-2=x 2+y 2.即4x+6y-11=0.即x= 114−32y .此时|PA|=|PO|= √x 2+y 2 = √(114−32y)2+y 2 = 12√13(y −3326)2+12113 . ∴当y= 3326 .即P （ 1113 . 3326 ）时.|PA|最短．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系.考查分析解决问题的能力.考查计算能力.考查数学转化思想方法.属于中档题．20.（问答题.15分）如图.在四棱锥P-ABCD 中.PA⊥底面ABCD.AD⊥AB .AB ||DC.AD=DC=AP=2.AB=1.点E 为棱PC 的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC ；（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）取PD 中点M.连接EM.AM ．由已知得四边形ABEM 为平行四边形.由此能证明BE⊥CD ．（Ⅱ）连接BM.由已知条件推导出∠EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角.由此能求出直线BE 与平面PBD 所成的角的正弦值．【解答】：（Ⅰ）证明：如图.取PD 中点M.连接EM.AM ．由于E.M 分别为PC.PD 的中点.故EM || DC.且EM= 12DC .又由已知.可得EM || AB.且EM=AB.故四边形ABEM 为平行四边形.所以BE || AM ．因为PA⊥底面ABCD.故PA⊥CD .而CD⊥DA .从而CD⊥平面PAD.因为AM⊂平面PAD.于是CD⊥AM .又BE || AM.所以BE⊥CD ．…（6分）（Ⅱ）解：连接BM.由（Ⅰ）有CD⊥平面PAD.得CD⊥PD .而EM || CD.故PD⊥EM ．又因为AD=AP.M 为PD 的中点.故PD⊥AM .可得PD⊥BE .所以PD⊥平面BEM.故平面BEM⊥平面PBD ．所以直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM.而BE⊥EM .可得∠EBM 为锐角.故∠EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角．…（9分）依题意.有PD=2 √2 .而M 为PD 中点.可得AM= √2 .进而BE= √2 ．故在直角三角形BEM 中.tan∠EBM= EM BE =AB BE =√2=√22 . 所以直线BE 与平面PBD√2√2+4 = √33 ．…（12分）【点评】：本题考查异面直线垂直的证明.考查直线与平面所成角的正切值的求法.解题时要认真审题.注意空间思维能力的培养．21.（问答题.15分）如图.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.M 是AB 的中点.E 在CC 1上.且CE=2C 1E ．（1）求证：AC 1⊥平面A 1BD ；（2）在线段DD 1上存在一点P.DP=λD 1P.若PB 1 || 平面DME.求实数λ的值．【正确答案】：【解析】：（1）以D 为原点.分别以DA.DC.DD 所在直线为x.y.z 轴.建立空间直角坐标系.利用向量法能证明AC 1⊥平面A 1BD ．（2）设DP=t （0≤t≤6）.求出平面DME 的法向量.利用向量法能求出λ的值．【解答】：证明：（1）以D 为原点.分别以DA.DC.DD 所在直线为x.y.z 轴.建立空间直角坐标系.设AB=6.则A （6.0.0）.C 1（0.6.6）.A 1（6.0.6）.B （6.6.0）.D （0.0.0）.AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-6.6.6）. DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（6.0.6）. DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（6.6.0）.AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.∴AC 1⊥DA 1.AC 1⊥DB .∵DA 1∩DB=D .∴AC 1⊥平面A 1BD ．解：（2）在线段DD 1上存在一点P.DP=λD 1P.设DP=t （0≤t≤6）.则P （0.0.t ）.B 1（6.6.6）.M （6.3.0）.E （0.6.4）.PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（6.6.6-t ）. DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（6.3.0）. DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.6.4）.设平面DME 的法向量 n ⃗ =（x.y.z ）.则 {n ⃗ •DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6x +3y =0n ⃗ •DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =6y +4z =0.取x=1.得 n ⃗ =（1.-2.3）. ∵PB 1 || 平面DME.∴ PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n⃗ =6-12+18-3t=0.解得t=4. ∴λ=2．【点评】：本题考查线面垂直的证明.考查实数值的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．22.（问答题.15分）已知点A （1.0）.B （4.0）.曲线C 上任意一点P 满足|PB|=2|PA|．（1）求曲线C 的方程；（2）设点D （3.0）.问是否存在过定点Q 的直线l 与曲线C 相交于不同两点E.F.无论直线l 如何运动.x 轴都平分∠EDF .若存在.求出Q 点坐标.若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设P （x.y ）.由|PB|=2|PA|．可得 √(x −4)2+y 2 =2 √(x −1)2+y 2 .化简即可得出．（2）设存在定点Q 满足条件.设直线l 的方程为y=kx+b ．设E （x 1.y 1）.F （x 2.y 2）．直线l 的方程与圆的方程联立化为：（1+k 2）x 2+2kbx+b 2-4=0.由无论直线l 如何运动.x 轴都平分∠EDF .可得k DE +k DF =0.可得 y 1x 1−3 + y 2x 2−3=0．（kx 1+b ）（x 2-3）+（kx 2+b ）（x 1-3）=0.利用根与系数的关系代入即可得出．直线的斜率不存在直线过定点Q 时.满足题意．【解答】：解：（1）设P （x.y ）.∵|PB|=2|PA|．∴ √(x −4)2+y 2 =2 √(x −1)2+y 2 .化为：x 2+y 2=4．（2） ① 设存在定点Q 满足条件.设直线l 的方程为y=kx+b ．设E （x 1.y 1）.F （x 2.y 2）．联立 {y =kx +b x 2+y 2=4. 化为：x 2+（kx+b ）2=4.∴（1+k 2）x 2+2kbx+b 2-4=0.△＞0．∴x 1+x 2=- 2kb 1+k 2 .x 1x 2= b 2−41+k 2 .无论直线l 如何运动.x 轴都平分∠EDF .则k DE +k DF =0.∴ y 1x 1−3+ y 2x 2−3 =0． ∴（kx 1+b ）（x 2-3）+（kx 2+b ）（x 1-3）=0.∴2kx 1x 2+（b-3k ）（x 1+x 2）-6b=0.∴2k• b 2−41+k 2 -（b-3k ） 2kb 1+k 2 -6b=0. 化为：4k+3b=0．∴k=- 34 b ．∴y=b （- 34 x+1）.可得直线经过定点（ 43 .0）．② 如果斜率不存在时.直线过定点Q 时.满足题意．∴存在过定点Q （ 43 .0）的直线l 与曲线C 相交于不同两点E.F.无论直线l 如何运动.x 轴都平分∠EDF ．【点评】：本题考查了圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式、斜率计算公式、直线经过定点问题.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．。
浙江省宁波市镇海中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题
浙江省宁波市镇海中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图是一个正四棱锥，它的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知点()()1,0a a >到直线:20+-=l x y 的距离为1，则a 的值为（ ） AB．2C1 D1 3．正方体1111ABCD A B C D -中，则异面直线1AB 与1BC 所成的角是A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 4．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，5AB =，4BC =，2CD =，则梯形ABCD 绕着BC 旋转而成的几何体的体积为（ ）A ．52πB ．1163πC ．1103π D．(283π+5．已知直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦，则此直线的斜率的取值范围是（ ） A．⎡⎣ B．(,-∞)+∞C．⎡⎢⎣⎦ D．,⎛-∞ ⎝⎦⎫+∞⎪⎪⎣⎭6．正三角形ABC 的边长为2cm ，如图，A B C '''∆为其水平放置的直观图，则A B C '''∆的周长为（ ）A ．8cmB ．6cm C．(2cm D．(2cm + 7．某几何体的三视图如图所示，其外接球体积为（ ）A ．24π B． C ．6π D8．已知,m n 表示两条不同的直线，,,αβγ表示三个不同的平面，给出下列四个命题： ①m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥；②αβ⊥，m αγ=，n βγ=，则m n ⊥； ③αβ⊥，αγ⊥，m βγ=，则m α⊥；④m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．若实数,x y 满足不等式组031y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．210．已知圆1Γ与2Γ交于两点，其中一交点的坐标为()3,4，两圆的半径之积为9，x 轴与直线()0y mx m =>都与两圆相切，则实数m =（ ）A ．158B ．74C ．5D ．3511．已知圆柱的上、下底面的中心分别为12,O O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形，则该圆柱的表面积为________，体积为________.12．若直线12y kx k =+-与曲线y =k 的最大值为________，最小值为________.13．若过点()1,1的直线l 被圆224x y +=截得的弦长最短，则直线l 的方程是________，此时的弦长为________14．已知点()2,1和圆22:220C x y ax y ++-+=，若点P 在圆C 上，则实数a = ________；若点P 在圆C 外，则实数a 的取值范围为________.15．异面直线a ，b 所成角为3π，过空间一点O 的直线l 与直线a ，b 所成角均为θ，若这样的直线l 有且只有两条，则θ的取值范围为___________________.16．在棱长均为2的三棱锥A BCD -中，,E F 分别为,AB BC 上的中点，P 为棱BD 上的动点，则PEF ∆周长的最小值为________.17．在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，2PA PB ==，PC AB BC ===BD PC ⊥交PC 于D ，则BD 与平面PAB 所成角的正弦值是________.18．正四棱锥P ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 为PC 中点.(1)求证：//PA 平面BDE ；(2)求异面直线PA 与DE 所成角的余弦值.19．已知圆()()22:232C x y -+-=.(1)过原点O 的直线l 被圆C 所截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)过C 外的一点P 向圆C 引切线PA ，A 为切点，O 为坐标原点，若PA OP =，求使PA 最短时的点P 坐标.20．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.(1)求证：BE DC ⊥；(2)求直线PC 与平面PDB 所成角的正弦值.21．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是AB 的中点，E 在1CC 上，且12CE C E =.(1)求证：1AC ⊥平面1A BD ；(2)在线段1DD 上存在一点P ，1DP D P λ=，若1//PB 平面DME ，求实数λ的值. 22．已知点1,0A ，()4,0B ，曲线C 任意一点P 满足2PB PA =.(1)求曲线C 的方程；(2)设点()3,0D ，问是否存在过定点Q 的直线l 与曲线C 相交于不同两点,E F ，无论直线l 如何运动，x 轴都平分EDF ∠，若存在，求出Q 点坐标，若不存在，请说明理由.。
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一(下)期中数学试卷附答案
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1．（4分）直线x﹣y﹣1＝0的倾斜角大小（）A ．B ．C ．D ．2．（4分）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7＝450，则a5＝（）A．45B．90C．180D．3003．（4分）若a＜0＜b，则下列不等式恒成立的是（）A ．B．|a|＞b C．a2＞b2D ．4．（4分）函数的值域为（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，2]∪[2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]D．R5．（4分）直线3x+4y+5＝0被圆x2+y2＝4截得的弦长为（）A．1B．2C ．D ．6．（4分）已知等差数列共有99项，其中奇数项之和为300，则偶数项之和为（）A．300B．298C．296D．2947．（4分）设S n是等差数列{a n}的前n 项和，若，则＝（）A ．B．﹣1C．1D．28．（4分）已知a＞b＞c，2a+b+c＝0，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．9．（4分）若圆C：（x﹣a）2+（y﹣a﹣1）2＝a2与两条直线y＝x和y＝﹣x都有公共点，则实数a的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．10．（4分）若函数f（x）＝x|x﹣2a|﹣a有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）第1页（共14页）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．（6分）倾斜角为120°，在y轴上的截距为1的直线l的方程为；直线ax+y+1＝0与直线l垂直，则a＝．12．（6分）直线l1：2mx+（m﹣2）y+4＝0（m∈R）恒过定点；若过原点作直线l2∥l1，则当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的方程为．13．（6分）若实数x，y 满足约束条件，则点A（x，y）构成的区域面积为；点B（x+y，x﹣y）构成的区域面积为．14．（6分）已知，则＝；x+2y的最小值为．15．（4分）已知数列{a n}满足，则a n＝．16．（4分）一条光线从点（﹣2，1）射出，经x轴反射后与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为．17．（4分）已知首项为a1，公比为q的等比数列{a n}满足q4+a4+a3+a2+1＝0，则首项a1的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分18．已知直线l经过点P（1，2）．（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若A（1，﹣1），B（3，1）两点到直线l的距离相等，求直线l的方程．19．已知x，y 满足约束条件．（1）求目标函数z＝x﹣3y的最值；（2）当目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取得最大值5时，求a2+b2的最小值．20．已知过点P（0，1）的直线与圆C：x2+y2+6x﹣2y+6＝0相交于A，B两点．（1）若|AB|＝2，求直线AB的方程；（2）设线段AB的中点为M，求点M的轨迹方程．21．已知等差数列{a n}满足a2＝3，a5＝9，数列{b n}满足b1＝2，．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；第2页（共14页）。
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一期末数学试卷
2021-2021学年浙江省宁波市镇海中学高一〔下〕期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题,每题4分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.A. 30B. 45C. 60D. 904. 〔4分〕在直角梯形ABCD中,AB//CD , AB形ABCD绕着BC旋转而成的几何体的体积为〔〕1. 〔4分〕如图是一个正四棱锥,它的俯视图是2. 〔4分〕点〔1, a〕〔a 0〕到直线l：x y 20的距离为1,那么a的值为〔〕3. 〔4分〕如图,正方体ABCD AB1C1D1中,直线AB与BC1所成角为〔BC , AB 5 , BC 4 , CD 2 ,那么梯116B .—— C.100 (28 4 10)35. 〔4分〕直线倾斜角的范围是[--〕〔-,—],那么此直线的斜率的取值范围是B.(,向U[«,)6. 〔4分〕正三角形ABC 的边长为2cm,如图,△ A B C 为其水平放置的直观图, 那么4ABC7. 〔4分〕一个几何体的三视图如下图,那么该几何体的外接球的体积为10. 〔4分〕圆1与2交于两点,其中一交点的坐标为〔3,4〕,两圆的半径之积为 9, xC.[3 _3] 3,3]D.(的周长为〔C. (2 V6) cmD. (2 2.3)cmD.娓个命题:n 表示两条不同的直线,表示三个不同的平面,给出以下四其中正确命题的序号为 A.①②B.②③C.③④D.②④9. 〔4分〕假设实数y 满足不等式组y, y... ,那么 z 2|x| 1y 的最小值是〔 〕B. 0C. 1D. 2)8. 〔4分〕 m , 6轴与直线y mx〔m 0〕都与两圆相切,那么实数m 〔D. 35二、填空题：本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11. 〔6分〕圆柱的上、下底面的中央分别为.1,.2,过直线.1.2的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形,那么该圆柱的外表积为12. 〔6分〕假设直线y kx 1 2k与曲线y / x2有交点,那么实数k的最大值为小值为2 13. 〔6分〕假设过点〔1,1〕的直线l被圆2 .................... . .y 4截得的弦长最短,那么直线l的方程是此时的弦长为2 214. 〔6分〕点〔2,1〕和圆C:x y ax2y 2 0 ,假设点P在圆C上,那么实数a假设点P在圆C外,那么实数a的取值范围为15. 〔4分〕异面直线a, b所成角为y,过空间一点O的直线l与直线a,b所成角均为, 假设这样的直线l有且只有两条,那么的取值范围为16. 〔4分〕在棱长均为2的三棱锥A BCD中,E、F分另ij AB、BC上的中点,P为棱BD上的动点,那么PEF周长的最小值为17. 〔4分〕在三^麴t P ABC 中,AB BC , PA PB 2 , PC AB BC 272,作BD PC交PC于D ,那么BD与平面PAB所成角的正弦值是三、解做题：本大题共5小题,共74分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.18. 〔14分〕正四棱锥P ABCD的侧棱长与底面边长都相等, E为PC中点.〔1〕求证：PA//平面BDE;(1)过原点O 的直线l 被圆C 所截得的弦长为2,求直线l 的方程；(2)过圆C 外的一点P 向圆C 引切线PA, A 为切点,O 为坐标原点,假设|PA| |OP|,求 使| PA |最短时的点P 坐标.P ABCD 中,PA 底面 ABCD , AD AB, AB//DC , AD DC AP 2, AB 1,点E 为棱PC 的中点. (I )证实：BE DC ;21 .( 15分)如图,在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中,M 是AB 的中点,E 在CC i 上,且CE (1)求证：AC 1 平面ABD ；22 . (15分)点A(1,0), B(4,0),曲线C 上任意一点P 满足|PB| 2| PA| . (1)求曲线C 的方程；(2)设点D(3,0),问是否存在过定点 Q 的直线l 与曲线C 相交于不同两点 E , F ,无论直 线l 如何运动,x 轴都平分 EDF ,假设存在,求出Q 点坐标,假设不存在,请说明理由.20. (15分)如图,在四棱锥2C i E .(2)在线段DD 1上存在一点P, DPDF,假设PB"/平面DME ,求实数 的值.(n)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值.2021-2021学年浙江省宁波市镇海中学高一〔下〕期末数学试卷参考答案与试题解析、选择题：本大题共10小题,每题4分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 〔4分〕如图是一个正四棱锥,它的俯视图是〔〕【解答】解：该几何体直观图为一个正四棱锥,所以其俯视图轮廓为正方形,并且能够看到其四个侧棱,构成正方形的对角线,应选：D .2. 〔4分〕点〔1, a〕〔a 0〕到直线l:x y 2 0的距离为1,那么a的值为〔〕B. 2 72 C, V2 1 D.豉1【解答】解：点〔1 , a〕〔a 0〕到直线l:x y 2 0的距离为1,|1 a 2| 23. 〔4分〕如图,正方体ABCD AB1C1D1中,直线AB与BC1所成角为〔C. 60D. 90【解答】解：QAB 1//DC 1,DC i B 是直线A0与BC i 所成角, Q BDC i 是等边三角形, 直线AB 与BC i 所成角604. 〔4分〕在直角梯形 ABCD 中,AB//CD , AB 形ABCD 绕着BC 旋转而成的几何体的体积为 〔 〕【解答】解：梯形ABCD 绕着BC 旋转而成的几何体是圆台, 圆台的高h BC 4,上底面圆半径 r CD 2 ,下底面圆半径 R AB 5,梯形ABCD 绕着BC 旋转而成的几何体的体积: 1 22V - h(R Rr r )3 14 (25 10 4)3 52 . 应选：A.5.〔4分〕直线倾斜角的范围是[--〕〔一,2-],那么此直线的斜率的取值范围是 〔 3 22 3BC , AB 5 , BC 4 , CD 2 ,那么梯A. 52116 B. 一C.100D.(28 4 10)3应选：C .B. ( , V3]U[布,)C.[3 .31, ]3 3解：根据题意,直线倾斜角的范围是3 3D. ( , ^-]UHr,)3 324w) (万其斜率k即k的取值范围为〔△ ABC为其水平放置的直观图, 那么4 ABC 的周长为〔6. 〔4分〕正三角形ABC的边长为2cm,如图,C. (2 V6)cmD. (2 2.3) cm 【解答】解：ABC的边长为2cm , 那么它的直观图△ABC 中,__ 1 3OC -g?gsin60 — 2 2BC 2OB2OC22O B gD Cgcos45 7 2. 62BCp 2 又AC2OC 2O AgO Cgcos1357 2、6 6 12--------- ( ----------- ),4 2AC△ ABC的周长为2(2 J6)(cm).7. 〔4分〕一个几何体的三视图如下图,那么该几何体的外接球的体积为【解答】 解：由的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥, 其四个顶点是以俯视图为底面,以 1为高的三棱锥的四个顶点,如图是长方体的一局部,R 1 12—22—12 -6, 2 2 故球的体积V 4 (—)3旄,3 2C. 876D. 66故其外接球,相当于一个长1的长方体的外接球,故外接球的半径8. 〔4分〕 n 表本两条不同的直线,表示三个不同的平面,给出以下四个命题:其中正确命题的序号为A.①②B.②③C.③④D.②④r故错误;②令 ,,为底面为直角三角形的三棱柱的三个侧面, 且 那么m//n,即m n 不一定成立,故错误;③ ,,I m ,那么m,故正确;④假设m , m n ,那么n// ,或n ,又由n ,那么y 09. 〔4分〕假设实数x, y 满足不等式组 x y, 3 ,那么z 2|x| y 的最小值是〔〕x y (1)A .1 B. 0 C. 1 D. 2y 0【解答】 解：画出实数x, y 满足不等式组 x y, 3的可行域如下图, x y …1 可得 B(1 , 2)A( 1,0), C(3,0) , D(0,1)当目标函数z 2 |x | y 经过点D 〔0,1〕时,z 的值为1 , 应选：A.10. 〔4分〕圆1与2交于两点,其中一交点的坐标为 〔3,4〕,两圆的半径之积为 9,轴与直线y mx 〔m 0〕都与两圆相切,那么实数【解答】 解：Q 两切线均过原点,【解答】解：①I m , n , n m ,那么n 不一定成立,进而 不一定成立,15B.D.5连心线所在直线经过原点,该直线设为 y tx,设两圆与x 轴的切点分别为xi, X2,222那么两圆方程分别为：(X X 1)2(y *I ⑼2 , (X X 2)(y tX 2) (tX 2)Q 圆1与2交点的坐标为P(3,4), P(3,4)在两圆上. 一 2 2 2 - (3 X i ) (4 tX i ) (tX i )①, (3 X 2)2 (4 tX 2)2 (tX 2)2 ②, 又两圆半径之积为9,2|tX i |g|tX 2 | |X 1X 2 |t 9③,联立①②③,可得X i , X 2是方程(3 X)2 (4 tX)2 (tX)2的两根, 化简得 X 2 (6 8t)X 25 0 ,即 X 1X 2 25 . 代入③,得t 2 ~9■,即t 3 . 25 5由于所求直线的倾斜角是连心线所在直线倾斜角的两倍,即15 m —.8应选：A.、填空题：本大题共 7小题,多空题每题 6分,单空题每题 4分,共36分. 11. (6分)圆柱的上、下底面的中央分别为O i, O 2,过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形,那么该圆柱的外表积为 _6 体积为.【解答】 解：设圆柱的底面直径为 2R,那么高为2R, 圆柱的上、下底面的中央分别为 Q, 02,过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形,4R 2 4,解得 R 1,2该圆柱的外表积 S 1 2 2 126,体积V12 2 2 .故答案为：612. (6分)假设直线y kx 1 2k 与曲线y /T 有交点,那么实数k 的最大值为 1 ,最小值为.【解答】 解：直线y kx 1 2k ,即y k(x 2) 1经过定点P(2,1).2t 21 t曲线y J1 x1 2表示圆x2 y2 1的上半局部,A(1,0), B(0,1).Q直线y kx 1 2k与曲线y 小―x^有交点,那么实数k的最大值为k PA 1 0 1 ,最小值为k pB 0 .故答案为：1, 0.2 213. (6分)假设过点(1,1)的直线l被圆x y 4截得的弦长最短,那么直线l的方程是x y 2 此时的弦长为.【解答】解：直线I的方程为y 1 k(x 1),与圆联立可得出两点M , N ,即2 22 八 ,/、2 2k 2k k 2k 3x (kx k 1) 4 ,韦达TE理求解得x1 x2 -2 --------------------------------------------------------------------------- , --------- 2------- ,k 1 k 1 MN J k2 1 而~x2)2 4x1x2 j3、22k 3 2^(k2 1) 2 ,当k 1 时,MN 最短,直线I为x y 2 ,弦长为272 ,故填：x y 2 ; 272 .14. (6分)点(2,1)和圆C：x2 y2 ax 2y 2 0 ,假设点P在圆C上,那么实数a _假设点P在圆C外,那么实数a的取值范围为 .故答案为：〔―,_〕6 3上的动点,那么PEF周长的最小值为_243【解答】解：棱长均为2的三棱锥A BCD中, E、F分别AB、BC上的中点,首先把三棱锥转换为平面图形,即②P在圆C外,将P点代入圆的方程,即22 21 ag2 2 2- 0 ,解得a…5 ,圆的方程为2(X |)2 (y 1)2 04 0,解得a故填5；215. (4 分)异面直线a , b所成角为过空间一点O的直线l与直线a , b所成角均为,假设这样的直线l有且只有两条,那么的取值范围为【解答】解: 由最小角定理可得:b所成角为—,过空间一点O的直线l与直线a , b所成角均为,假设这样的直线l有且只有两条,那么的取值范围为：一616. 〔4分〕在棱长均为的三棱锥A BCD中, E、F分另ij AB、BC上的中点,P为棱BD在平面展开图,棱长均为2的三棱锥A BCD中,EF分别为AB, BC 理〕得EF 1 ,由于所求周长最小为PE PF EF的值,所以要求PE PF的值最小故EF2 BE3 4BF22BE gBF gsos120 ,由于由于E、F分别为AB , BC的中点〔中位线定理〕得EF 1 ,所以PEF周长的最小值EG FG EF 1 褥.故答案为：1 .3【解答】解：如图,取AB中点E , AC中点F ,连接EF , PE , AF , Q AP PB 2, AB 2拒, PE 衣.Q AB BC , AB BC 272 , AC 4 ,__ 2 _ 2 _2 _c PC AP AC 3PAC - •2APgAC 4T AP~AF^~2APgAFcos PAC 行,在PEF 中,PE PF EF 72 .且AB 面PEF ,过F作FO EP ,易得FO 面ABP,且FO —,2 点C到面ABP的距离为J6 ,Q S V PBC1 2 88~i 6.2_6 —故BD与平面PAB所成角的正弦值是一jL 上2114 143 - 、：吊4 .2一PC BD 力, BD ——,PD ——,4 2 2 的中点〔中位线定BE BF 1 ,17. 〔4分〕在三棱锥P ABC中,AB BC , PA PB 2 , PC AB BC 2y/2,作BD PC交PC于D ,那么BD与平面PAB所成角的正弦值是21 -74-在APC中,余弦定理可得cos在APF中,余弦定理可得PFPD : PC 1:4 , 点D到面ABP的距离为—4三、解做题：本大题共5小题,共74分.解容许写出文字说明、18. 〔14分〕正四棱锥P ABCD的侧棱长与底面边长都相等,〔1〕求证：PA//平面BDE；〔2〕求异面直线PA与DE所成角的余弦值.【解答】解：〔1〕连接AC ,设AC , BD的交点为O ,连接OE ,由于OE //PA,PA 面EBD ,又OE 面EBD ,故AP//面BDE,〔2〕由〔1〕可得：DEO为异面直线PA与DE所成的角,设AB 2 ,那么EO 1 , OD 夜,DE 用,由勾股定理可得:证实过程或演算步骤.E为PC中点.ODE为直角三角形,那么cos必°! £冬2 一_ _ 2 _19. (15 分)圆C ：(x 2) (y 3) 2 .(1)过原点O的直线l被圆C所截得的弦长为2,求直线l的方程;(2)过圆C外的一点P向圆C引切线PA, A为切点,O为坐标原点,假设|PA| |OP|,求使|PA|最短时的点P坐标.2)2 (y 3)2 2外,可得直线l的斜率存在,设直线方程为y kx ,即kx y由雪且1,解得k位6 2.33 x '(2)由圆的切线长公式可得|PA|2|PC|2 R2 (x 2)2 (y 3)2 2,由|PA||PO|得,(x 2)2 2(y 3)2 2 x2 y2,即4x 6y 11 0 ,即11 x —4此时| PA | | PO | x2113 、2 2(4 2y) y332「3(y26) 212113 '出33当y —,即2611P(一,13昼)时,|PA|最短. 26【解答】(1)原点O在圆C : (x由直线l被圆C所截得的弦长为2,得圆心(2,3)到直线的距离为1.直线l的方程为y20. 〔15分〕如图,在四棱锥 P ABCD 中,PA 底面ABCD , AD AB, AD DC AP 2 , AB 1 ,点E 为棱PC 的中点. 〔I 〕证实：BE DC ;【解答】〔I 〕证实：如图,取 PD 中点M ,连接EM , AM . 由于E , M 分别为PC , PD 的中点,故 EM / /DC , L 1 且 EM -DC , 2又由,可得 EM //AB ,且EM AB ,故四边形ABEM 为平行四边形,所以 BE //AM . 由于PA 底面 ABCD ,故PA CD , 而CD DA,从而CD 平面PAD , 由于AM 平面PAD ,于是CD AM , 又 BE / /AM ,所以 BE CD .〔 6 分〕〔n 〕解：连接 BM ,由〔I 〕有 CD 平面PAD ,得CD PD , 而 EM / /CD ,故 PD EM .又由于 AD AP, M 为PD 的中点,故 PD AM ,AB//DC ,〔n 〕求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值.故平面BEM 平面PBD .(1)求证：AC 1 平面ABD ；【解答】证实：(1)以D 为原点,分别以 DA, DC, DD 所在直线为x, y, z 轴,建立 空间直角坐标系, 设 AB 6,那么 A(6, 0, 0), CM .,6, 6), A(6, 0, 6), B(6 , 6, 0), D(0 , 0, 0), uuiu uuur(6, 6, 6) , DA 1 (6 ,0, 6) , DB (6 ,6, 0),所以直线BE 在平面PBD 内的射影为直线 BM , 而BE EM ,可得 EBM 为锐角, 故 EBM 为直线 BE 与平面 PBD 所成的角. 依题意,有PD 2j2,而M 为PD 中点, 可得AM 进而BE /. 故在直角三角形BEM 中,tan EBM -EM BE 9 9分)AB 1 2BE 衣 T , 走.(12分)2所以直线BE 与平面PBD 所成的角的正切值为 P 21.( 15分)如图,在正方体 ABCDA 1B 1C 1D 1中,M 是AB 的中点,E 在CC 〔上,且CE 2&E .(2)在线段DD 1上存在一点P, DP DF,假设PB"/平面DME ,求实数 的值.uuu u ACuuuu uurn uuuu uur AC i gDA i 0, AC i gDB 0, AC 1 DA 1 , AC 1 DB , QDA 1I DB D ,AC 1 平面 A 1BD .解：(2)在线段DD i 上存在一点P, DP D i P,B i (6, 6, 6), M(6, 3, 0), E(0 ,6, 4),设平面DME 的法向量I (x, y, z), r uuurntt ngDM 6x 3y 0r 那么「Vur ,取 x 1 ,得 n (1 , 2,3),ngDE 6y 4z 0 Q PB 1// 平面 DME ,uuur rPB 1gn 6 12 18 3t 0 ,解得 t 4 ,22. (15分)点 A(1,0), B(4,0),曲线C 上任意一点 P 满足|PB| 2| PA| . (1)求曲线C 的方程；(2)设点D(3,0),问是否存在过定点 Q 的直线l 与曲线C 相交于不同两点 E , F ,无论直 线l 如何运动,x 轴都平分 EDF ,假设存在,求出Q 点坐标,假设不存在,请说明理由. 【解答】 解：(1)设 P(x,y), Q|PB| 2|PA|.7(x 4)2~y 2 2&x 1)2~y 2,化为： x 2 y 4 .(2)设存在定点Q 满足条件,设直线l 的方程为y kx b . 设 E(Xi , yj , FM, V2) .设 DP t(0釉 6),那么 P(0 ,0, t),uu ur PBuuur (6,6, 6 t) , DM uuur(6, 3, 0), DE (0,6, 4),2 .y kx b联立2 2 ,,x y 42 2化为：x (kx b) 4 ,2 2 _ 2(1 k )x 2kbx b 4 0 ,△ 0.2 kb b2 4x i x2 -------- 2, x i x2 -------------------- 尸,1k 1k无论直线l如何运动,x轴都平分EDF ,那么k DE k DF 0 ,上上0.x i 3 x2 3(kx i b)(x2 3) (kx2 b)(x i 3) 0,2kx1x2 (b 3k)(x1 x2) 6b 0, 2b 4 2kb2kg ----- 工(b 3k) ----------- 2 6b 0 ,1 k 1 k化为：4k 3b 0 .k 3b. 4,,3y b( -x 1), 4可得直线经过定点(4 , 0). 3 (4)存在过定点Q(- , 0)的直线l与曲线C相交于不同两点 E , F ,无论直线l如何运动,x 3轴都平分EDF .【解答】解：①P在圆C上,将P点代入圆的方程,即22 12 ag2 2 2 0 ,解得a -, 代入圆检验成立,。
浙江省宁波市镇海中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题
是第一象限， ，
是第二象限， ，且 ，
，
是第二象限， ，
，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查利用三角函数值的符号比较大小.
利用定义求三角函数值问题的常见类型及解法:
(1)已知角 终边上一点 的坐标，根据三角函数的定义求出相应的值即可．
(2)若已知角 的终边所在直线的方程求三角函数值，可以先设出终边上一点的坐标，再根据定义求相应的值．
【详解】
根据题意建立平面直角坐标系，如图所示；
则 ， ， ，
即 ；
又 ，
，作 于E，
则H的纵坐标 ；
又 ，作 于F，
则 ；
设 ，则 ，…①
，…②
，
即
求得 ，
点H的横坐标 ，
，
， ，
.
故答案为：
【点睛】
本题考查平面向量与几何综合问题
其求解方法：
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
【详解】
解： ， ；
.
故选：D.
【点睛】
本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.
简单对数不等式问题的求解策略：
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按 和 进行分类讨论．
当 时，由 得 ，即 ，
作出函数 与 在， 上的图象如图：
由图象知两个函数在 上共有7个交点，加上一个 ，
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一下学期开学考试数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一下学期开学考试数学试题一、单选题1．已知函数2,3()3,3x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则()()()15f f f -的值为A ．1B ．2C ．3D ．–3【答案】A【解析】根据自变量所属的取值范围代入分段函数对应的解析式求解即可. 【详解】由函数解析式可得：()1122f ==，()5532f =-=()()()()005112f f f f -===∴本题正确选项：A 【点睛】本题考查分段函数的函数值的求解问题，属于基础题. 2．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<，212Q x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则P Q I 为( )A ．()0,2B ．()1,9C ．()1,4D ．()1,2【答案】D【解析】集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分. 【详解】解：{}19P x x =<<，{}02Q x x =<<；()1,2P Q ∴⋂=.故选：D. 【点睛】本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 简单对数不等式问题的求解策略：(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0. 3．下列函数的周期不为π的是( )A ．2sin y x = B ．y =C ．()2sin cos y x x =- D ．cos cos y x x =+【答案】D【解析】利用三角函数的诱导公式、和差倍角公式，将三角函数化为标准式求解周期. 对选项,A C 运用二倍角公式化简再求周期，对B 化简降次求周期，对D 化简得2cos y x =直接求周期.【详解】Q 函数21cos 2sin 2x y x -==的最小正周期为22ππ=，满足条件；函数tan y x ==的最小正周期为π，满足条件；函数()2sin cos 1sin 2y x x x =-=-最小正周期为22ππ=，满足条件； 函数cos cos 2cos y x x x =+=的最小正周期为221ππ=，不满足条件， 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数周期. 三角函数周期的求解方法公式法 (1)三角函数= = = y sin x y cos x y tan x ，，的最小正周期分别为22πππ，，； (2)(=)y Asin x ωϕ＋和(=)y Acos x ωϕ＋的最小正周期为2||πω，()=y tan x ωϕ＋的最小正周期为||πω 图象法 利用三角函数图象的特征求周期．如：相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期.4．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r方向上的投影为( )A ．165-B ．165C ．1613-D ．1613【答案】C【解析】先计算出16a b r r⋅=-，再求出b r ，代入向量a r 在b r 方向上的投影a b b⋅r rr 可得【详解】()4,3a =r Q ，()5,12b =-r，4531216a b ⋅=⨯-⨯=-r r，则向量a r 在b r方向上的投影为1613a b b⋅-=r rr ，故选：C. 【点睛】本题考查平面向量的数量积投影的知识点. 若,a b r r的夹角为θ，向量a r 在b r方向上的投影为cos a θ⋅r 或a b b⋅r r r5．下列关系正确的是( ) A ．tan 20sin1cos8<<< B ．0cos8sin1tan 2<<< C ．tan 2cos80sin1<<< D ．tan 20cos8sin1<<<【答案】C【解析】先分别判断弧度制1,2,8所在的象限，根据三角函数的定义判断函数值的符号. 【详解】1Q 是第一象限，sin10∴>，2Q 是第二象限，tan 20∴<，且tan 21<-，()cos8cos 82π=-，82π-Q 是第二象限，()cos8cos 820π∴=-<， tan 2cos80sin1∴<<<，故选：C. 【点睛】本题主要考查利用三角函数值的符号比较大小. 利用定义求三角函数值问题的常见类型及解法:(1)已知角α终边上一点P 的坐标，根据三角函数的定义求出相应的值即可．(2)若已知角α的终边所在直线的方程求三角函数值，可以先设出终边上一点的坐标，再根据定义求相应的值．(3)若角α终边上的点的坐标中含参数，要讨论参数的各种情况，以确定角α终边所在的象限，进一步正确得出各个三角函数值．此时注意不要漏解或多解． 认清角的终边所在的象限，以确定三角函数值的符号，防止出现错误．6．若非零向量a b r r，满足a b b +=r r r ，则（ ）A ．22a a b >+r r rB ．22a a b <+r r rC ．22b a b >+r r rD ．22b a b <+r r r【答案】C 【解析】【详解】由已知22()a b b r r r ＋＝，即220a b a ⋅r r r ＋＝.22222||2242a b a a b b b a ⋅r r r r r r r r Q ＋－＝＋＝－符号不能确定，∴A 、B 均不对． 222||224a b b a a b ⋅r r r r r r Q ＋－＝＋ 22220a a a <r r r ＝－＝－.故选C.7．在ABC ∆中，5sin 13A =，3cos 5B =，则cosC =（ ） A ．5665B ．3365- C ．5665或1665-D ．1665-【答案】D【解析】根据B 的范围和同角三角函数关系求得sin B ，由大边对大角关系可知A 为锐角，从而得到cos A ；利用诱导公式和两角和差余弦公式可求得结果. 【详解】()0,B π∈Q ，3cos 5B =4sin 5B ∴= sin sin A B <Q A ∴为锐角，又5sin 13A = 12cos 13A ∴= ABC π++=Q()1235416cos cos cos cos sin sin 13513565C A B A B A B ∴=-+=-+=-⨯+⨯=- 本题正确选项：D 【点睛】本题考查三角形中三角函数值的求解，涉及到同角三角函数关系、三角形中大边对大角的关系、诱导公式和两角和差余弦公式的应用；易错点是忽略角所处的范围，造成求解三角函数值时符号发生错误.8．向量a r ，b r 满足2a b a b ==⋅=r r r r ，当实数1t ≥时，向量a r 和a tb -r r的夹角范围是( ) A ．[0,)3π B ．2[,)33ππC ．[,)32ππ D ．[,)3ππ【答案】B【解析】利用2a b a b ==⋅=r r r r 求出,3a b π<>=r r ，几何法作出=CA a tb -u u u r r r ,得,=a a C b A t O r r -∠<>，当1t =时，=3,a a tb OAB r r π<>∠=-,当t →+∞时//OC AC 即23OAC π∠< 【详解】由2a b a b ==⋅=r r r r ，得a r ，b r 的夹角为3π，不妨设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，()1OC tb t =≥u u r u r ， 不妨设()1OC tb t =≥u u ru r ，则点C 在OB 的延长线上运动，向量a r 和a tb -r r 的夹角可用OAC ∠表示，由图知：2[,)33OAC ππ∠∈， 故选：B. 【点睛】应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可．注意加法的三角形法则要求“首尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”；减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”；数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．9．已知函数()sin cos ()f x x a x a R =+∈对任意x ∈R 都满足()()44f x f x ππ+=-，则函数()sin ()g x x f x =+的最大值为A ．5B ．3C 5D 3【答案】C【解析】∵函数()()sin cos f x x a x a R =+∈对任意x R ∈都满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴函数()f x 的对称轴为4x π=，且()()21sin f x a x θ=++∴2221422f a a π⎛⎫=+=±+⎪⎝⎭ ∴1a =∴函数()()()sin 2sin cos 5sin g x x f x x x x β=+=+=+ ∴函数()g x 最大值为5 故选C点睛：本题考查函数的对称性及辅助角公式的应用.对于函数的对称性，若函数()y f x =满足()()f a x f a x =-+或(2)()f a x f x -=，则函数图象关于直线x a =对称；研究函数()sin cos f x A x B x ωω=+的图象和性质的关键一步是利用辅助角公式将函数的形式变成()()22sin f x A B x ωϕ=++的形式.10．定义在R 上的奇函数()f x 满足，当(0,2)x ∈时，()cos((1))2f x x π=-，且2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，则函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为( ) A ．9 B ．8C ．7D ．6【答案】B【解析】先由奇函数性质求出函数()f x 在[]2,2-上的解析式，再利用1()(2)2f x f x =-.得到[2,5]-的图象，2()()F x x f x x =-的零点个数，等价于求1()f x x=的解的个数.根据两函数交点个数即可求解.【详解】当(0,2)x ∈时，()cos((1))cos()sin()2222f x x x x ππππ=-=-=，()f x Q 是奇函数，()00f ∴=，当2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-， ()()12002f f ∴==，()()14202f f ==， 若()2,0x ∈-，则()0,2x -∈，则()sin()(in ()22)s x f x f x x ππ-=-=-=-， 即()sin()2f x x π=，()2,0x ∈-即当22x -≤≤时，()sin()2f x x π=，当24x ≤≤时，022x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin()2222222f x f x x x x ππππ=-=-=-=-， 当45x ≤≤时，223x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin(44)24222f x f x x x x ππππ=-=--=--=， 由2()()0F x x f x x =-=，得：当0x =时，由(0)0F =，即0x =是()F x 的一个零点， 当0x ≠时，由2()0f x xx -=得1()xf x =，即1()f x x=， 作出函数()f x 与1()g x x=在，[2,5]-上的图象如图： 由图象知两个函数在[2,5]-上共有7个交点，加上一个0x =， 故函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为8个， 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用. 判断函数零点个数的方法:直接法:即直接求零点，令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点 定理法:即利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <g ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点图象法:即利用图象交点的个数，画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数()h x 和()g x 的差，根据()0()()f x h x g x Û＝＝，则函数f(x)的零点个数就是函数()y h x =和()y g x ＝的图象的交点个数性质法:即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.二、填空题11．函数sin y x x =-的图象可由函数cos y x x =+的图象至少向左平移________个单位长度得到. 【答案】32π【解析】利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据函数()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论． 【详解】Q 函数，cos 2sin()6y x x x π==+5sin 2sin()2sin()33y x x x x ππ==-=+，故把函数cos y x x =+的图象至少向左平移53362πππ-=个单位，可得sin y x x =的图象，故答案为：32π. 【点睛】本题主要考查函数y Asin x ωϕ=+（）的图象变换.三角函数图象变换主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x ，如果x 的系数不是1，则需把x 的系数提取后再确定平移的单位长度和方向.12．函数1()(2f x =________.【答案】)+∞ 【解析】先求出函数的定义域，利用复合函数的单调性之间的关系进行求解. 【详解】Q 函数()1(2f x =210x x ∴--≥，求得12x ≤12x +≥，故函数的定义域为x x ⎧⎪≤⎨⎪⎩x ≥⎪⎭，本题即求21t x x =--在定义域内的增区间，再根据二次函数的性质可得21t x x =--在定义域内的增区间为1[)2++∞，故答案为：)+∞. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性. 复合函数单调性的规律:若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．13．已知()0,απ∈，sin α与cos α是关于x 的一元二次方程21370x x m ++=的两根，则()1tan tan 1cos 2ααα-+⋅的值为________.【答案】16949【解析】由已知结合根与系数的关系求得sin cos αα+，进一步求得sin cos αα-，联立求得sin α，cos α的值，得到tan α及cos2α的值，则问题可解． 【详解】sin αQ 与cos α是关于x 的一元二次方程21370x x m ++=的两根，7sin cos 13αα∴+=-，两边平方得：1202sin cos 169αα=-， ()0,απ∈Q ，sin 0α∴>，cos 0α<，则17sin cos 13αα-===. 联立7sin cos 1317sin cos 13αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得5sin 13α=，12cos 13α=-. 5tan 12α∴=-.则()511tan 287316912525tan 1cos 283349(1)(12)12169ααα+-===+⋅-⨯-⨯.故答案为：16949. 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系.利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．14．已知2a b +=r r ，4a b -=r r ，则a b +r r的范围是________.【答案】【解析】设a m =r ，b n =u u r．对2a b +=r r ，4a b -=r r 两边平方，可得2210m n +=，再利用向基本不等式的性质即可得出． 【详解】设a m =r ，b n =r ，a b θ<>=r r ，. 2a b +=Q r r ，4a b -=r r， 222cos 4m n mn θ∴++=，222cos 16m n mn θ+-=， 2210m n ∴+=，则4a b ≤+≤=r r ，a b ∴+r r的范围是4,⎡⎣.故答案为：4,⎡⎣.【点睛】本题主要考查向量的模的运算.（1）向量的平方等于模的平方：0a a a a cos r r r r g ⋅=2a a a =⋅=，（2）基本不等式及其有关变形：0,0)2a ba b +>>当且仅当a b =时取等号. 15．在ABC ∆中，AD 为BC 上的中线，1AB =，5AD =，45ABC ∠=︒，则sin ADC ∠=________，AC =________.【答案】10【解析】由已知在ABD ∆中，利用正弦定理可得sin ADB ∠，进而可求sin ADC ∠的值，在ABD ∆中，由余弦定理解得BD ，可求BC ，由余弦定理可得AC 的值. 【详解】1AB =Q ，5AD =，45ABC ∠=︒，∴在ABD ∆中，由正弦定理可得：1sin 2sin 510AB ABCADB AD⋅∠∠===. sin sin 10ADC ADB ∴∠=∠=. Q 在ABD ∆中，由余弦定理2222cos AD AB BD AB AD ABC =+-⋅⋅∠，可得：2251212BD BD =+-⨯⨯⨯，即：2240BD -=， ∴解得：BD =-，2BC BD ∴==∴由余弦定理可得：AC ===，【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在平面几何中的综合应用. 平面几何中解三角形问题的求解思路:(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． 16．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意12x x <，有1212()()1f x f x x x ->--，且(1)1f =，则不等式22(log 31)2log 31xxf -<--的解集为________. 【答案】(,0)(0,1)-∞U【解析】由条件()()12121f x f x x x ->--移项变形得112212[()][()]0f x x f x x x x +-+>-， 则()()g x f x x =+在R 上为增函数，再把问题不等式转化为()g x 函数不等式，利用单调性求解. 【详解】根据题意，设()()g x f x x =+， 若函数()f x 满足对任意12x x <，有()()12121f x f x x x ->--，则112212[()][()]0f x x f x x x x +-+>-，则函数()g x 在R 上为增函数，又由(1)1f =，则(1)112g =+=，2222(log 31)2log 31(log 31)log 312x x x x f f -<--⇒-+-< 22(log 31)(1)log 311x x g g ⇒-<⇒-<，则有0312x<-<，解可得：1x <且0x ≠，即不等式的解集为(,0)(0,1)-∞U ； 故答案为：(,0)(0,1)-∞U . 【点睛】(())(())f g x f h x >不等式的解法：利用函数性质得到(())y f g x = 函数的单调性利用利用单调性去掉“f ” 原不等式化为()()g x h x >或()()g x h x <从而得解. 17．在ABC ∆中，4AB =，5AC =，3BAC π∠=，H 为ABC ∆内一点，::2:3:5HAB HCB HAC S S S ∆∆∆=，则HA HC ⋅=u u u r u u u r________.【答案】92-【解析】根据题意建立平面直角坐标系，利用数形结合与面积的比求出点H 的坐标，再用坐标表示出向量，从而求出平面向量的数量积． 【详解】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示；则(0,0)A ，(4,0)B ，(5cos 60,5sin 60)C ︒︒，即553(,22C ； 又::2:3:5HAB HCB HAC S S S ∆∆∆=，15HAB ABC S S ∆∆∴=，作HE AB ⊥于E ，则H 的纵坐标133522y HE ==⨯=； 又12HAC ABC S S ∆∆=，作HF AC ⊥于F ， 则1sin6032HF AB =⨯⨯︒= 设HAE α∠=，则3sin 2HA α=，…① sin(60)3HA α︒-=…②sin(60)2sin αα︒-∴=，即31cos sin 222sin ααα-= 求得sin 3tan s co ααα==，∴点H的横坐标tan 52HE x AE α====，(,225H ∴，5(,2HA ∴=-u u u r，(0,HC =u u u r ，50(32HA HC ∴⋅=-⨯+⨯=-u u u r u u u r .故答案为： 3- 【点睛】本题考查平面向量与几何综合问题 其求解方法：(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．三、解答题18．已知α，β为锐角，且1tan 7α=，sin β=. （1）求sin()αβ+； （2）求2αβ+. 【答案】(1)(2) 4π【解析】分析：(1)先根据同角三角函数关系得sin 10α=，cos 10α=，cos 10β=，再根据两角和正弦公式化简得结果，(2) 根据二倍角公式得sin2β，cos2β，再根据两角和余弦公式得()cos 2αβ+，最后根据范围求结果.详解： 由于,αβ为锐角，1tan 7α=，sin 10β=，∴sin 10α=，cos 10α=，cos 10β=，sin()sin cos cos sin 1010αβαβαβ+=+=+=（2）3sin22sin cos 25βββ===，24cos212sin 5ββ=-=，∴()43cos 255αβ+==由于,αβ为锐角，∴3022παβ<+<，∴24παβ+= 点睛：在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数. ①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是π(0,)2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0,π)，选余弦函数较好；若角的范围为ππ(,)22-，选正弦函数较好 19．已知(2sin ,1)a x =+r ，(2,2)b =-r ，(sin 3,1)c x =-r ，(1,)(,)d k x R k R =∈∈u r.（1）若[,]22x ππ∈-，且//()a b c +r r r，求x 的值；（2）是否存在实数k 和x ，使()()a d b c +⊥+r u r r r？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）6π-；（2）存在，[5,1]--. 【解析】（1）先根据2231b c sinx =-=-r r （，），（，），求出b c +r r的坐标，再根据()a b c ⋅+r r r，找到向量坐标满足的关系式，根据x 的范围，就可求出x 的值.（2）先假设存在实数k 和x ，使()()a d b c +⊥+r u r r r ，则可得()a d b c +⋅+r u r r r()=0，再用向量数量积的坐标公式计算，若能解出k 的值，则存在，否则不存在. 【详解】（1）(2,2)b =-r Q ，(sin 3,1)c x =-r， (sin 1,1)b c x ∴+=--r r，//()a b c +r r rQ ，(2sin )sin 1x x ∴-+=-，2sin 1x ∴=-，1sin 2x =-，[,]22x ππ∈-Q ，6x π∴=-.（2）(3sin ,1)a d x k +=++r u r ，(sin 1,1)b c x +=--r r若()()a d b c +⊥+r u r r r，即(3sin )(sin 1)(1)0x x k +--+=，2sin 2sin 4sin [1,1]k x x x =+-=∈-，sin 1[0,2]x +∈，()2sin 15x +-，x ∈R ，2(sin 1)[0,4]x +∈，[5,1]k ∈--，存在[5,1]k ∈--使()()a d b c +⊥+r u r r r. 【点睛】本题主要考查了平面向量、三角函数有关知识.平面向量平行、垂直与三角函数综合问题求解思路：利用向量平行(共线)、垂直关系得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解．20．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知22222202b c a ca b c b c+-+=+-+. （1）求角A 的值；（2）若2a =，求三角形周长的取值范围.【答案】（1）23π；（2）(4,2]3+. 【解析】（1）由正弦定理，余弦定理化简已知等式可求cosA ，结合A 的范围可求A 的值.（2）由正弦定理可求33c sinC b sinB ==，，设周长为y ，利用三角函数恒等变换的应用化简得()23y B π=++，可求范围2333B πππ<+<，利用正弦函数的性质可求取值范围. 【详解】（1）22222202b c a ca b c b c+-+=+-+Q ，∴由余弦定理可得：2cos 02cos 2bc A cab C b c +=+，∴由正弦定理可得：sin cos sin 0sin cos 2sin sin C A CA CBC +=+，整理可得：02sin cos sin cos cos sin B A C A C A =++，02sin cos sin B A B ∴=+， sin 0B >Q ，∴可得：1cos 2A =-，()0,A π∈Q ， 23A π∴=（2）2a =Q ，23A π=，22sin sin 3sin 3b c B C π===Q，3c C ∴=，b B =， 设周长为y ，则y a c b =++233B C =++2sin sin()333B B π=++-22cos 3B B =++，)23B π=++， 03B π<<Q ，2333B πππ∴<+<，sin()123B π<+≤，)22]3y B π∴=++∈+.∴周长的取值范围是(4,2]3+.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的灵活运用. 三角形中最值范围问题的解题思路：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．注意要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．21．已知定义在[]22-,上的偶函数()f x 满足：当[]0,2x ∈时，()f x x =-+ （1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()20g x ax a a =-->，若对于任意的[]12,2,2x x ∈-，都有()()12g x f x <成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()[)[]2,00,2x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨-+∈⎪⎩；（2）02a <<. 【解析】【详解】试题分析：（1）当[]2,0x ∈-时，[]0,2x -∈，从而()f x x -=+()f x 为偶函数可得()f x 在[]2,0-上的解析式，进而可得()f x 在[]22-,上的解析式．（2）将问题转化为()()max min g x f x <处理．由于()f x 为偶函数，故只可求出当[]2,0x ∈-时()f x 的最小值即可，可得()min 0f x =．又()()max 22g x g a ==-，由20a -<，得2a <，即为所求． 试题解析：（1）设[]2,0x ∈-，则[]0,2x -∈， ∴()f x x -=+∵()f x 定义[]2,2x ∈-在偶函数， ∴()()f x f x x =-=+∴()[)[]2,00,2x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨-+∈⎪⎩ ． （2）由题意得“对任意[]12,2,2x x ∈-，都有()()12g x f x <成立”等价于“()()max min g x f x <”．又因为()f x 是定义在[]22-,上的偶函数. 所以()f x 在区间[]2,0-和区间[]0,2上的值域相同. 当[]2,0x ∈-时，()f x x =+设t =t ⎡∈⎣令22()23(1)4,h t t t t t ⎡=+-=+-∈⎣，则当1t =时，函数()h t 取得最小值(1)0h =， 所以()min 0f x =． 又()()max 22g x g a ==- 由20a -<，解得2a <， 因此实数a 的取值范围为()0,2. 点睛：（1）利用偶函数的性质可求函数的解析式，对于偶函数的值域根据其对称性只需求在y 轴一侧的值域即可，体现了转化的思想在解题中的应用．（2）本题中，将“对任意[]12,2,2x x ∈-，都有()()12g x f x <成立”转化为“()()max min g x f x <”来处理，是数学中常用的解题方法，这一点要好好体会和运用． （3）形如y ax b =+±可根据换元法转化为二次函数的值域问题求解．22．已知向量,cos )a x x ωω=r ，(sin ,cos )b x x ωω=-r ，且函数()f x a b =⋅r r的两个对称中心之间的最小距离为2π. （1）求()3f π；（2）若函数()1()2x G x m =+在[0,]π上恰有两个零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）12；（2）[1,1)2--. 【解析】(1)根据向量数量积的定义结合辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性质求出的周期和ω即可.(2)求出函数()G x 的解析式，利用参数法，结合三角函数的图象和性质进行求解即可. 【详解】（1）()21()sin cos 21cos 22f x a b x x x x x ωωωωω=⋅=-=-+r r112cos 222ωx ωx =-- 1sin(2)62x πω=--，Q 函数()f x a b =⋅r r 的两个对称中心之间的最小距离为2π，22T π∴=，得T π=， 即22T ππω==，得1ω=， 即()1sin(2)62f x x π=--.则111()sin(2)1336222f πππ=⨯--=-=；（2）函数1()1()1)]0262x G x m m x π=+=+---=，得)162m x π=---，当0x π≤≤时，5666x πππ-≤-≤， 当5666x πππ≤-≤且62x ππ-≠时，sin()6y x π=-才有两个交点， 此时1sin()126x π≤-<，则)26x π≤-<，即0)622x π≤--<，1)11622x π-≤---<-，即112m -≤<-，即实数m 的取值范围是[1,1)2--. 【点睛】 本题主要考查了三角函数图象与性质的综合问题.先将()y f x ＝化为si (n )y A x B w j ＝＋＋的形式，再借助(n )si y A x w j ＝＋的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题,注意活用辅助角公式准确化简；“x ωϕ＋”整体处理；数形结合，分离参数，活用函数图象．。
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一下学期期中数学试题(解析版)
， ， ， ，
， ， ；
又 ， ；
综上所述： .
故选： .
【点睛】
本题考查利用不等式的性质求范围的问题，关键是能够利用等式确定 的正负.
9．若圆 与两条直线 和 都有公共点，则实数a的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据圆与பைடு நூலகம்线有公共点可知圆心到直线的距离小于半径，由此可构造不等式组求得结果.
可看作原点与直线上的点的距离的平方，
原点到直线 的距离的平方为 ，此时 ， ，满足 ，
；
③当 时，当 与 重合时，在 轴截距最大，
， ， ；
综上所述： 的最小值为 .
【点睛】
本题考查线性规划中的最值问题以及根据最值求解参数值的问题；关键是熟练掌握所求目标函数的几何意义，将问题转化为截距型和距离型的最值的求解问题.
【详解】
将圆 方程整理为： ，则圆心 ，半径 ，
（1）若过点 的直线 斜率不存在，则方程为 ，此时直线与圆无交点，不合题意，
过点 的直线 斜率存在，设直线 方程为 ，即 ，
则圆心到直线距离 ， ，解得： ，
直线 的方程为： 或 .
（2）由圆的性质可知： ，即 .
设 ，则 ， ，
，整理可得： ，
由 得： ，
四、解答题
18．已知直线l经过点 .
（1）若直线 在两坐标轴上的截距相等，求直线 的方程；
（2）若 ， 两点到直线 的距离相等，求直线 的方程.
【答案】（1） 或 （2） 或
【解析】（1）讨论直线是否过原点，利用截距相等进行求解即可．
（2）根据点到直线的距离相等，分直线平行和直线过A，B的中点两种情况进行求解即可．
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一(下)期初数学试卷(2月份)
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一（下）期初数学试卷（2月份）试题数：22.满分：01.（单选题.4分）已知函数f（x）= {2x，x≤3x−3，x＞3.则f（f（1）-f（5））的值为A.1B.2C.3D.-32.（单选题.4分）已知集合P={x|0＜lgx＜2lg3}.Q={x| 22−x＞1}.则P∩Q为（）A.（0.2）B.（1.9）C.（1.4）D.（1.2）3.（单选题.4分）下列函数的周期不为π的是（）A.y=|sin2x|B.y= √tan2xC.y=（sinx-cosx）2D.y=cosx+cos|x|4.（单选题.4分）已知a⃗ =（4.3）. b⃗⃗ =（5.-12）则向量a⃗在b⃗⃗方向上的投影为（）A. −165B. 165C. −1613D. 16135.（单选题.4分）下列关系正确的是（）A.tan2＜0＜sin1＜cos8B.0＜cos8＜sin1＜tan2C.tan2＜cos8＜0＜sin1D.tan2＜0＜cos8＜sin16.（单选题.4分）若非零向量 a ⃗ . b ⃗⃗ 满足| a ⃗ + b ⃗⃗ |=| b ⃗⃗ |.则（ ） A.|2 a ⃗ |＞|2 a ⃗ + b ⃗⃗ | B.|2 a ⃗ |＜|2 a ⃗ + b ⃗⃗ | C.|2 b ⃗⃗ |＞| a ⃗ +2 b ⃗⃗ | D.|2 b ⃗⃗ |＜| a ⃗ +2 b⃗⃗ | 7.（单选题.4分）在△ABC 中.sinA= 513.cosB= 35.则cosC=（ ） A.- 1665B.- 5665C.± 1665D.± 56658.（单选题.4分）向量 a ⃗ . b ⃗⃗ 满足| a ⃗ |=| b ⃗⃗ |= a ⃗ •b ⃗⃗ =2.当实数t≥1时.向量 a ⃗ 和 a ⃗ −tb ⃗⃗ 的夹角范围是（ ） A.[0. π3 ） B.[ π3，2π3 ） C.[ 2π3，π ） D.[ π3，π ）9.（单选题.4分）已知函数f （x ）=sinx+acosx （a∈R ）对任意x∈R 都满足 f (π4+x)=f (π4−x) .则函数g （x ）=sinx+f （x ）的最大值为（ ） A.5 B.3 C. √5 D. √310.（单选题.4分）定义在R 上的奇函数f （x ）满足.当x∈（0.2）时.f （x ）=cos （ π2 （x-1））.且x≥2时.有f （x ）= 12f （x-2）.则函数F （x ）=x 2f （x ）-x 在[-2.5]上的零点个数为（ ） A.9 B.8 C.7 D.611.（填空题.5分）函数y=sinx- √3 cosx 的图象可由函数y=cosx+ √3 sinx 的图象至少向左平移___ 个单位长度得到．12.（填空题.5分）函数f （x ）=（ 12 ） √x2−x−1的单调递减区间为___ ．13.（填空题.5分）已知α∈（0.π）.sinα与cosα是关于x 的一元二次方程13x 2+7x+m=0的两根.则 1−tanα(tanα+1)•cos2α 的值为___ ．14.（填空题.5分）已知| a ⃗ +b ⃗⃗ |=2.| a ⃗ −b ⃗⃗ |=4.则| a ⃗ |+| b ⃗⃗ |的范围是___ ． 15.（填空题.5分）在△ABC 中.AD 为BC 上的中线.AB=1.AD=5.∠ABC=45°.则sin∠ADC=___ .AC=___ ．16.（填空题.5分）已知函数f （x ）的定义域为R.对任意x 1＜x 2.有 f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2＞-1.且f （1）=1.则不等式f （log 2|3x -1|）＜2-log 2|3x -1|的解集为___ ．17.（填空题.5分）在△ABC 中.AB=4.AC=5.∠BAC= π3 .H 为△ABC 内一点.S △HAB ：S △HCB ：S △HAC =2：3：5.则 HA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 18.（问答题.0分）已知α.β为锐角.且tan α=17 .sin β=√1010． （Ⅰ）求sin （α+β）； （Ⅱ）求α+2β．19.（问答题.0分）已知 a ⃗ =（2+sinx.1）. b ⃗⃗ =（2.-2）. c ⃗ =（sinx-3.1）. d ⃗ =（1.k ）（x∈R .k∈R ）．（Ⅰ）若 x ∈[−π2，π2] .且 a ⃗ || （ b ⃗⃗+c ⃗ ）.求x 的值；（Ⅱ）是否存在实数k 和x.使（ a ⃗ + d ⃗ ）⊥（ b ⃗⃗+c ⃗ ）？若存在.求出k 的取值范围；若不存在.请说明理由．20.（问答题.0分）在△ABC 中.a.b.c 分别为角A.B.C 的对边.已知 b 2+c 2−a 2a 2+b 2−c 2 +c2b+c =0．（1）求角A 的值；（2）若a=2.求三角形周长的取值范围．21.（问答题.0分）已知定义在[-2.2]上的偶函数f（x）满足：当x∈[0.2]时. f(x)=−x+2√3−x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=ax-2-a（a＞0）.若对于任意的x1.x2∈[-2.2].都有g（x1）＜f（x2）成立.求实数a的取值范围．22.（问答题.0分）已知向量a⃗ =（√3cosωx.cosωx）. b⃗⃗ =（sinωx.-cosωx）.且函数f（x）= a⃗．•b⃗⃗的两个对称中心之间的最小距离为π2）；（1）求f（π3）在[0.π]上恰有两个零点.求实数m的取值范围．（2）若函数G（x）=m+1- √2 f（x22018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一（下）期初数学试卷（2月份）参考答案与试题解析试题数：22.满分：01.（单选题.4分）已知函数f （x ）= {2x ，x ≤3x −3，x ＞3.则f （f （1）-f （5））的值为A.1B.2C.3D.-3【正确答案】：A【解析】：推导出f （1）=2.f （5）=2.由此能求出f （f （1）-f （5））．【解答】：解：∵函数f （x ）= {2x ，x ≤3x −3，x ＞3 .∴f （1）=2. f （5）=5-3=2.∴f （f （1）-f （5））=f （0）=20=1. 故选：A ．【点评】：本题考查函数值的求法.考查函数性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题． 2.（单选题.4分）已知集合P={x|0＜lgx ＜2lg3}.Q={x| 22−x ＞1}.则P∩Q 为（ ） A.（0.2） B.（1.9） C.（1.4） D.（1.2） 【正确答案】：D【解析】：可解出集合P.Q.然后进行交集的运算即可．【解答】：解：P={x|1＜x＜9}.Q={x|0＜x＜2}；∴P∩Q=（1.2）．故选：D．【点评】：考查描述法、区间的定义.对数函数的单调性.分式不等式的解法.以及交集的运算．3.（单选题.4分）下列函数的周期不为π的是（）A.y=|sin2x|B.y= √tan2xC.y=（sinx-cosx）2D.y=cosx+cos|x|【正确答案】：D【解析】：由题意根据三角函数的周期性.得出结论．【解答】：解：∵函数y=|sin2x|=| 1−cos2x2 |的最小正周期为2π2=π.满足条件；函数y= √tan2x =|tanx|的最小正周期为π.满足条件；函数y=（sinx-cosx）2=1-sin2x 的最小正周期为2π2=π.满足条件；函数y=cosx+cos|x|=2cosx的最小正周期为2π1=2π.不满足条件.故选：D．【点评】：本题主要考查三角函数的周期性.属于基础题．4.（单选题.4分）已知a⃗ =（4.3）. b⃗⃗ =（5.-12）则向量a⃗在b⃗⃗方向上的投影为（）A. −165B. 165C. −1613D. 1613【正确答案】：C【解析】：由向量a⃗在b⃗⃗方向上的投影为a⃗⃗•b⃗⃗|b⃗⃗|.根据向量数量积的性质的坐标表示代入可求．【解答】：解：∵ a⃗ =（4.3）. b⃗⃗ =（5.-12）.a⃗•b⃗⃗ =4×5-3×12=-16.则向量a⃗在b⃗⃗方向上的投影为a⃗⃗•b⃗⃗|b⃗⃗| = −1613.故选：C．【点评】：本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示.属于基础试题．5.（单选题.4分）下列关系正确的是（）A.tan2＜0＜sin1＜cos8B.0＜cos8＜sin1＜tan2C.tan2＜cos8＜0＜sin1D.tan2＜0＜cos8＜sin1【正确答案】：C【解析】：根据三角函数的图象和函数值的关系.分别判断角2.1.8的象限即可．【解答】：解：∵1是第一象限.∴sin1＞0.∵2是第二象限.∴tan2＜0.且tan2＜-1.cos8=cos（8-2π）.∵8-2π是第二象限.∴cos8=cos（8-2π）＜0.∴tan2＜cos8＜0＜sin1.故选：C．【点评】：本题主要考查三角函数值的大小比较.利用条件判断角的象限是解决本题的关键．6.（单选题.4分）若非零向量a⃗ . b⃗⃗满足| a⃗ + b⃗⃗ |=| b⃗⃗ |.则（）A.|2 a⃗ |＞|2 a⃗ + b⃗⃗ |B.|2 a⃗ |＜|2 a⃗ + b⃗⃗ |C.|2 b⃗⃗ |＞| a⃗ +2 b⃗⃗ |D.|2 b⃗⃗ |＜| a⃗ +2 b⃗⃗ |【正确答案】：C【解析】：本题是对向量意义的考查.根据|| a⃗ |-| b⃗⃗||≤| a⃗ + b⃗⃗|≤| a⃗ |+| b⃗⃗ |进行选择.题目中注意| a⃗ +2 b⃗⃗ |=| a⃗ + b⃗⃗ + b⃗⃗ |的变化.和题目所给的条件的应用．【解答】：解：∵| a⃗ +2 b⃗⃗ |=| a⃗ + b⃗⃗ + b⃗⃗|≤| a⃗ + b⃗⃗ |+| b⃗⃗ |=2| b⃗⃗ |.∵ a⃗ . b⃗⃗是非零向量.∴必有a⃗ + b⃗⃗≠ b⃗⃗ .∴上式中等号不成立．∴|2 b ⃗⃗ |＞| a ⃗ +2 b ⃗⃗ |. 故选：C ．【点评】：大小和方向是向量的两个要素.分别是向量的代数特征和几何特征.借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．7.（单选题.4分）在△ABC 中.sinA= 513 .cosB= 35 .则cosC=（ ） A.- 1665 B.- 5665 C.± 1665 D.± 5665【正确答案】：A【解析】：由B 为三角形的内角.以及cosB 的值大于0.可得出B 为锐角.由cosB 的值.利用同角三角函数间的基本关系求出sinB 的值.由sinB 的值大于sinA 的值.利用正弦定理得到b 大于a.根据大角对大边可得B 大于A.由B 为锐角可得出A 为锐角.再sinA.利用同角三角函数间的基本关系求出cosA 的值.最后利用诱导公式得到cosC=-cos （A+B ）.再利用两角和与差的正弦函数公式化简后.将各自的值代入即可求出值．【解答】：解：∵B 为三角形的内角.cosB= 35 ＞0.∴B 为锐角. ∴sinB= √1−cos 2B = 45 .又sinA= 513 . ∴sinB ＞sinA.可得A 为锐角. ∴cosA= √1−sin 2A = 1213 .则cosC=cos[π-（A+B ）]=-cos （A+B ）=-cosAcosB+sinAsinB=- 1213 × 35 + 513 × 45 =- 1665 ． 故选：A ．【点评】：此题考查了两角和与差的余弦函数公式.诱导公式.同角三角函数间的基本关系.以及正弦定理.熟练掌握定理及公式是解本题的关键．8.（单选题.4分）向量 a ⃗ . b ⃗⃗ 满足| a ⃗ |=| b ⃗⃗ |= a ⃗ •b ⃗⃗ =2.当实数t≥1时.向量 a ⃗ 和 a ⃗ −tb ⃗⃗ 的夹角范围是（ ） A.[0. π3） B.[ π3，2π3 ）C.[ 2π3，π ） D.[ π3，π ） 【正确答案】：B【解析】：由共线向量得：不妨设 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = tb ⃗⃗ （t≥1）.则点C 在OB 的延长线上运动. 由数量积表示两向量的夹角得：向量 a ⃗ 和 a ⃗ −tb ⃗⃗ 的夹角可用∠OAC 表示.由图知：∠OAC∈[ π3. 2π3）.得解【解答】：解：由| a ⃗ |=| b ⃗⃗ |= a ⃗ •b ⃗⃗ =2. 得 a ⃗ . b ⃗⃗ 的夹角为 π3. 不妨设 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ . OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗⃗ . OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = tb ⃗⃗ （t≥1）. 不妨设 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = tb ⃗⃗ （t≥1）. 则点C 在OB 的延长线上运动.向量 a ⃗ 和 a ⃗ −tb ⃗⃗ 的夹角可用∠OAC 表示. 由图知：∠OAC∈[ π3 . 2π3 ）. 故选：B ．【点评】：本题考查了共线向量、数量积表示两向量的夹角.属中档题9.（单选题.4分）已知函数f （x ）=sinx+acosx （a∈R ）对任意x∈R 都满足 f (π4+x)=f (π4−x) .则函数g （x ）=sinx+f （x ）的最大值为（ ） A.5 B.3 C. √5 D. √3【正确答案】：C【解析】：由题意可得f（π4）=± √1+a2 .求出a=1.可得函数g（x）=2sinx+cosx.从而得到g （x）的最大值．【解答】：解：∵函数f（x）=sinx+acosx（a∈R）对任意x∈R都满足f(π4+x)=f(π4−x) .∴f（x）的图象关于直线x= π4对称.∴f（π4）=± √1+a2 = √22+ √22a.解得a=1．则函数g（x）=sinx+f（x）=2sinx+cosx 的最大值为√22+12 = √5 .故选：C．【点评】：本题考查三角函数的最大值的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意三角函数性质的合理运用．10.（单选题.4分）定义在R上的奇函数f（x）满足.当x∈（0.2）时.f（x）=cos（π2（x-1））.且x≥2时.有f（x）= 12f（x-2）.则函数F（x）=x2f（x）-x在[-2.5]上的零点个数为（）A.9B.8C.7D.6【正确答案】：B【解析】：根据函数奇偶性和递推关系.分别取出f（x）在[-2.5]上解析式和图象.利用数形结合确定两个图象的交点个数即可．【解答】：解：当x∈（0.2）时.f（x）=cos（π2（x-1））=cos（π2x- π2）=sin（π2x）.∵f（x）是奇函数.∴f（0）=0.当x≥2时.有f（x）= 12f（x-2）.∴f（2）= 12f（0）=0.f（4）= 12f（2）=0.若x∈（-2.0）.则-x∈（0.2）.则f（-x）=sin（- π2 x）=-sin（π2x）=-f（x）.即f（x）=sin（π2x）.x∈（-2.0）即当-2≤x≤2时.f（x）=sin（π2x）.当2≤x≤4时.0≤x-2≤2.此时f（x）= 12f（x-2）= 12sin[ π2（x-2）]= 12sin（π2x-π）=- 12sin（π2x）.当4≤x≤5时.2≤x-2≤3.此时f（x）= 12f（x-2）=- 14sin[ π2（x-2）]=- 14sin（π2x-π）= 14sin（π2x）.由F（x）=x2f（x）-x=0.得：当x=0时.由F（0）=0.即x=0是F（x）的一个零点.当x≠0时.由x2f（x）-x=0得xf（x）=1.即f（x）= 1x.作出函数f（x）与g（x）= 1x在.[-2.5]上的图象如图：由图象知两个函数在[-2.5]上共有7个交点.加上一个x=0.故函数F（x）=x2f（x）-x在[-2.5]上的零点个数为8个.故选：B．【点评】：本题主要考查函数与方程的应用.利用函数奇偶性和递推关系求出函数的解析式和图象.利用函数与方程的关系转化为两个函数图象交点个数问题是解决本题的关键．综合性较强.运算量较大.有一定的难度．11.（填空题.5分）函数y=sinx- √3 cosx的图象可由函数y=cosx+ √3 sinx的图象至少向左平移___ 个单位长度得到．【正确答案】：[1] 3π2【解析】：利用两角和差的三角公式化简函数的解析式.再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.得出结论．【解答】：解：∵函数y=cosx+ √3 sinx=2sin （ π6 +x ）.y=sinx- √3 cosx=2sin （x- π3 ）=2sin （x+ 5π3）.故把函数y=cosx+ √3 sinx 的图象至少向左平移 5π3 - π6 = 3π2个单位.可得y=sinx- √3 cosx 的图象.故答案为： 3π2 ．【点评】：本题主要考查两角和差的三角公式.函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律.属于基础题．12.（填空题.5分）函数f （x ）=（ 12） √x 2−x−1的单调递减区间为___ ．【正确答案】：[1][1+√52.+∞） 【解析】：先求出函数的定义域.再利用二次函数、指数函数的性质可得.本题即求t=x 2-x-1在定义域内的增区间.再根据二次函数的性质可得结论．【解答】：解：∵函数f （x ）=（ 12 ） √x 2−x−1.∴x 2-x-1≥0.求得x≤1−√52 .或 x≥ 1+√52. 故函数的定义域为{x|x≤1−√52 .或 x≥ 1+√52}.本题即求t=x 2-x-1在定义域内的增区间.再根据二次函数的性质可得t=x 2-x-1在定义域内的增区间为[ 1+√52.+∞）. 故答案为：[ 1+√52.+∞）．【点评】：本题主要考查复合函数的单调性.二次函数、指数函数的性质.属于中档题． 13.（填空题.5分）已知α∈（0.π）.sinα与cosα是关于x 的一元二次方程13x 2+7x+m=0的两根.则 1−tanα(tanα+1)•cos2α 的值为___ ． 【正确答案】：[1]16949【解析】：由已知结合根与系数的关系求得sinα+cosα.进一步求得sinα-cosα.联立求得sinα.cosα的值.得到tanα的值.则 1−tanα(tanα+1)•cos2α的值可求．【解答】：解：∵sinα与cosα是关于x 的一元二次方程13x 2+7x+m=0的两根. ∴sin α+cosα=−713 .两边平方得： 2sinαcosα=−120169 . ∵α∈（0.π）. ∴sinα＞0.cosα＜0.则sinα-cosα= √(sinα−cosα)2=√1−2sinαcosα = 1713 ． 联立 {sinα+cosα=−713sinα−cosα=1713.解得sinα= 513 .cosα= −1213． ∴tanα= −512 ．则 1−tanα(tanα+1)•cos2α = 1+512(1−512)×(1−2×25169)= 2873833 = 16949 ． 故答案为： 16949 ．【点评】：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值.考查同角三角函数基本关系式的应用.是中档题．14.（填空题.5分）已知| a ⃗ +b ⃗⃗ |=2.| a ⃗ −b ⃗⃗ |=4.则| a ⃗ |+| b ⃗⃗ |的范围是___ ． 【正确答案】：[1]（4.2 √5 ]【解析】：设 |a ⃗| =m.| b ⃗⃗ |=n. ＜a ⃗，b ⃗⃗＞ =θ．根据| a ⃗ +b ⃗⃗ |=2.| a ⃗ −b⃗⃗ |=4.可得m 2+n 2+2mncosθ=4.m 2+n 2-2mncosθ=16.利用向量三角形法则、基本不等式的性质即可得出．【解答】：解：设 |a ⃗| =m.| b ⃗⃗ |=n. ＜a ⃗，b ⃗⃗＞ =θ． ∵| a ⃗ +b ⃗⃗ |=2.| a ⃗ −b ⃗⃗ |=4. ∴m 2+n 2+2mncosθ=4. m 2+n 2-2mncosθ=16. ∴m 2+n 2=10.则4＜| a ⃗ |+| b ⃗⃗ |≤ √2(m 2+n 2) =2 √5 . ∴| a ⃗ |+| b ⃗⃗ |的范围是（4.2 √5 ]． 故答案为：（4.2 √5 ]．【点评】：本题考查了向量三角形法则、基本不等式的性质.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．15.（填空题.5分）在△ABC 中.AD 为BC 上的中线.AB=1.AD=5.∠ABC=45°.则sin∠ADC=___ .AC=___ ． 【正确答案】：[1] √210 ; [2] √113【解析】：由已知在△ABD中.利用正弦定理可得sin∠ADB.进而可求sin∠ADC的值.在△ABD中.由余弦定理解得BD.可求BC.由余弦定理可得AC的值．【解答】：解：∵AB=1.AD=5.∠ABC=45°.∴在△A BD中.由正弦定理可得：sin∠ADB= AB•sin∠ABCAD = 1×√225= √210．∴sin∠ADC=sin∠ADB= √210．∵在△ABD中.由余弦定理AD2=AB2+BD2-2AB•AD•cos∠ABC.可得：25=1+BD2-2× 1×BD×√22.即：BD2- √2 BD-24=0.∴解得：BD=4 √2 .或-3 √2（舍去）.∴BC=2BD=8 √2 .∴由余弦定理可得：AC= √AB2+BC2−2AB•BC•cos∠ABC= √1+128−2×1×8√2×√22= √113 .故答案为：√210. √113．【点评】：本题主要考查了正弦定理.余弦定理在解三角形中的综合应用.考查了计算能力和数形结合思想.属于中档题．16.（填空题.5分）已知函数f（x）的定义域为R.对任意x1＜x2.有f(x1)−f(x2)x1−x2＞-1.且f（1）=1.则不等式f（log2|3x-1|）＜2-log2|3x-1|的解集为___ ．【正确答案】：[1]（-∞.0）∪（0.1）【解析】：根据题意.设g（x）=f（x）+x.将f(x1)−f(x2)x1−x2＞-1变形可得[f(x1)+x1]−[f(x2)+x2]x1−x2＞0.分析可得函数g（x）在R上为增函数.结合f（1）的值可得g（1）的值.则f（log2|3x-1|）＜2-log2|3x-1|可以转化为g（log2|3x-1|）＜g（1）.进而可得log2|3x-1|＜1⇒|3x-1|＜2.解可得x的值.即可得答案．【解答】：解：根据题意.设g（x）=f（x）+x.若函数f（x）满足对任意x1＜x2.有f(x1)−f(x2)x1−x2＞-1.则[f(x1)+x1]−[f(x2)+x2]x1−x2＞0.则函数g（x）在R上为增函数.又由f（1）=1.则g（1）=1+1=2.f （log 2|3x -1|）＜2-log 2|3x -1|⇒f （log 2|3x -1|）+log 2|3x -1|＜2 ⇒g （log 2|3x -1|）＜g （1）⇒log 2|3x -1|＜1. 则有0＜|3x -1|＜2.解可得：x ＜1且x≠0.即不等式的解集为（-∞.0）∪（0.1）； 故答案为：（-∞.0）∪（0.1）．【点评】：本题考查函数单调性的判断.关键是构造新函数.并分析函数的单调性.属于综合题． 17.（填空题.5分）在△ABC 中.AB=4.AC=5.∠BAC= π3 .H 为△ABC 内一点.S △HAB ：S △HCB ：S △HAC =2：3：5.则 HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 【正确答案】：[1]-3【解析】：根据题意建立平面直角坐标系.利用数形结合与面积的比求出点H 的坐标. 再用坐标表示出向量.从而求出平面向量的数量积．【解答】：解：根据题意建立平面直角坐标系.如图所示； 则A （0.0）.B （4.0）.C （5cos60°.5sin60°）. 即C （ 52 .5√32）； 又S △HAB ：S △HCB ：S △HAC =2：3：5. ∴S △HAB = 15 S △ABC .作HE⊥AB 于E. 则H 的纵坐标y=HE= 15 ×5√32 = √32； 又S △HAC = 12 S △ABC .作HF⊥AC 于F. 则HF= 12 ×AB×sin60°= √3 ； 设∠HAE=α.则HAsinα= √32 .… ① HAsin （60°-α）= √3 .… ② ∴sin (60°−α)sinα=2. 即√32cosα−12sinαsinα=2.求得tanα= sinαcosα = √35 . ∴点H 的横坐标x=AE= HE tanα = √32√35 = 52.∴H （ 52 . √32 ）.∴ HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（- 52.- √32）. HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.2 √3 ）.∴ HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =- 52 ×0+（- √32 ）×2 √3 =-3． 故答案为：-3【点评】：本题考查了平面向量的数量积与应用问题.也考查了三角形面积计算问题.是难题． 18.（问答题.0分）已知α.β为锐角.且tan α=17 .sin β=√1010． （Ⅰ）求sin （α+β）； （Ⅱ）求α+2β．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意利用同角三角函数的基本关系求得α的正弦、余弦.再求出β的余弦.利用两角和的正弦公式求出sin （α+β）的值．（Ⅱ）先求出α+2β的余弦值.再根据α+2β的范围.求出α+2β的值．【解答】：解：（Ⅰ）∵α.β为锐角.且tan α=17 = sinαcosα .sin 2α+cos 2α=1.∴sinα=1√50= √210 .cosα= √50= 7√210 ． ∵sin β=√1010.∴cosβ= √1−sin 2β =3√1010 . 求sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ= √210•3√1010 + 7√210•√1010 = √55． （Ⅱ）∴sin2β=2sinβcosβ= 35 .cos2β=2cos 2β-1= 45 .∴2β还是锐角.∴0＜α+2β＜π． ∴cos （α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β=7√210 • 45 - √210 • 35 = √22.∴α+2β= π4 ．【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的三角公式.二倍角公式的应用.根据三角函数的值求角.属于中档题．19.（问答题.0分）已知 a ⃗ =（2+sinx.1）. b ⃗⃗ =（2.-2）. c ⃗ =（sinx-3.1）. d ⃗ =（1.k ）（x∈R .k∈R ）．（Ⅰ）若 x ∈[−π2，π2] .且 a ⃗ || （ b ⃗⃗+c ⃗ ）.求x 的值；（Ⅱ）是否存在实数k 和x.使（ a ⃗ + d ⃗ ）⊥（ b ⃗⃗+c ⃗ ）？若存在.求出k 的取值范围；若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（I ）先根据 b ⃗⃗ =（2.-2）. c ⃗ =（sinx-3.1）.求出 b ⃗⃗+c ⃗ 的坐标.再根据 a ⃗∥ (b ⃗⃗+c ⃗) .找到向量坐标满足的关系式.根据x 的范围.就可求出x 的值．（II ）先假设存在实数k 和x.使（ a ⃗+d ⃗ ）⊥（ b ⃗⃗+c ⃗ ）.则可得（ a ⃗+d ⃗ ）•（ b ⃗⃗+c ⃗ ）=0.再用向量数量级积的坐标公式计算.若能解出k 的值.则存在.否则.不存在．【解答】：解：∵ b ⃗⃗ =（2.-2）. c ⃗ =（sinx-3.1）. ∴ b ⃗⃗+c ⃗ =（sinx-1.-1）.∵ a ⃗∥ (b ⃗⃗+c ⃗) .∴-（2+sinx ）=sinx-1. ∴2sinx =−1，sinx =−12，∵x ∈[−π2，π2]， ∴ x =−π6．（II ） a ⃗+d ⃗ =（3+sinx.1+k ）. b ⃗⃗+c ⃗ =（sinx-1.-1）若（ a ⃗+d ⃗ ）⊥（ b ⃗⃗+c ⃗ ）.则即（3+sinx ）（sinx-1）-（1+k ）=0.k=sin 2x+2sinx-4=（sinx+1）2-5.x∈R . sinx ∈[−1，1]，sinx +1∈[0，2]，(sinx+1)2∈[0，4]，k ∈[−5，−1]，存在k∈[-5.-1]使（ a ⃗+d ⃗ ）⊥（ b ⃗⃗+c ⃗ ）．【点评】：本题考查了向量共线以及向量平行的充要条件.两者不要混淆．20.（问答题.0分）在△ABC 中.a.b.c 分别为角A.B.C 的对边.已知 b 2+c 2−a 2a 2+b 2−c 2 +c2b+c =0． （1）求角A 的值；（2）若a=2.求三角形周长的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由正弦定理.余弦定理化简已知等式可求cosA.结合A 的范围可求A 的值． （2）由正弦定理可求c= 4√33 sinC.b= 4√33sinB.设周长为y.利用三角函数恒等变换的应用化简得y= 4√33 sin （B+ π3 ）+2.可求范围 π3 ＜B+ π3 ＜ 2π3.利用正弦函数的性质可求取值范围．【解答】：（本题满分为12分） 解：（1）∵ b 2+c 2−a 2a 2+b 2−c 2 +c2b+c =0. ∴由余弦定理可得： 2bccosA 2abcosC +c2b+c =0. ∴由正弦定理可得： sinCcosA sinAcosC + sinC2sinB+sinC =0. 整理可得：0=2sinBcosA+sinCcosA+cosCsinA. ∴0=2sinBcosA+sinB . ∵sinB ＞0. ∴可得：cosA=- 12 . ∵A∈（0.π）.∴A= 2π3 ．-----（6分） （2）∵a=2.A= 2π3 . ∵ bsinB =csinC =2sin2π3=4√33. ∴c=4√33 sinC.b= 4√33sinB.----（7分）设周长为y.则y=a+c+b =2+ 4√33 sinB+ 4√33sinC =2+4√33 sinB+ 4√33 sin （ π3-B ）=2+2cosB+ 2√33sinB.----（8分） =4√33 sin （B+ π3）+2.-------（9分）∵0＜B ＜ π3 . ∴ π3 ＜B+ π3 ＜ 2π3 . ∴ √32＜sin （B+ π3）≤1. ∴y=4√33 sin （B+ π3 ）+2∈（4. 4√33+2]． ∴周长的取值范围是（4. 4√33+2]．-------（12分）【点评】：本题主要考查了正弦定理.余弦定理.三角函数恒等变换的应用.正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用.考查了转化思想.属于中档题．21.（问答题.0分）已知定义在[-2.2]上的偶函数f （x ）满足：当x∈[0.2]时. f (x )=−x +2√3−x ．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）设函数g （x ）=ax-2-a （a ＞0）.若对于任意的x 1.x 2∈[-2.2].都有g （x 1）＜f （x 2）成立.求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意.设x∈[-2.0].则-x∈[0.2].由函数的解析式可得f （-x ）的解析式.进而利用函数奇偶性的性质分析可得f （x ）的表达式.综合即可得答案；（2）根据题意.求出函数f （x ）的最小值与g （x ）的最大值.分析可得f （x ）min ＞g （x ）max .解即可得答案．【解答】：解：（1）根据题意.设x∈[-2.0].则-x∈[0.2]. 从而 f (−x )=x +2√3+x . 因为f （x ）定义x∈[-2.2]在偶函数. 所以 f (x )=f (−x )=x +2√3+x 因此. f (x )={x +2√3+x ，x ∈[−2，0)−x +2√3−x ，x ∈[0，2]（2）因为对任意x1.x2∈[-2.2].都有g（x1）＜f（x2）成立.所以g（x）max＜f（x）min又因为f（x）是定义在[-2.2]上的偶函数．所以f（x）在区间[-2.0]和区间[0.2]上的值域相同．当x∈[-2.0]时. f(x)=x+2√3+x．设t=√3+x .则t∈[1，√3]函数化为y=t2+2t−3，t∈[1，√3] .则f（x）min=0又g（x）max=g（2）=a-2所以a-2＜0即a＜2.因此.a的取值范围为0＜a＜2．【点评】：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用.涉及函数的恒成立问题.注意将恒成立问题转化为函数的最值问题．22.（问答题.0分）已知向量a⃗ =（√3cosωx.cosωx）. b⃗⃗ =（sinωx.-cosωx）.且函数f（x）= a⃗•b⃗⃗的两个对称中心之间的最小距离为π2．（1）求f（π3）；（2）若函数G（x）=m+1- √2 f（x2）在[0.π]上恰有两个零点.求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据向量数量积的定义结合辅助角公式进行化简.结合三角函数的对称性质求出的周期和ω即可．（2）求出函数G（x）的解析式.利用参数法.结合三角函数的图象和性质进行求解即可．【解答】：解：（1）f（x）= a⃗•b⃗⃗ = √3cosωxsinωx-cos2ωx= √32sin2ωx- 12（1+cos2ωx）= √32sin2ωx- 12cos2ωx- 12=sin（2ωx- π6）- 12.∵函数f（x）= a⃗•b⃗⃗的两个对称中心之间的最小距离为π2.∴T 2 = π2.得T=π.即T= 2π2ω=π.得ω=1.即f（x）=sin（2x- π6）- 12．则f（π3）=sin（2× π3- π6）- 12=1- 12= 12.（2）函数G（x）=m+1- √2 f（x2）=m+1- √2 [sin（x- π6）- 12]=0.得m= √2 sin（x- π6）- √22-1.当0≤x≤π时.- π6≤x- π6≤ 5π6.当π6≤x- π6≤ 5π6且x- π6≠ π2时.y=sin（x- π6）才有两个交点.此时12≤sin（x- π6）＜1.则. √22≤ √2 sin（x- π6）＜√2 .即0≤ √2 sin（x- π6）- √22＜√22.-1≤ √2 sin（x- π6）- √22-1＜√22-1.即-1≤m＜√22-1.即实数m的取值范围是[-1. √22-1）．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质.利用向量数量积的定义结合辅助角公式进行化简是解决本题的关键．运算量较大．。
2018-2019高一第二学期开学考试试题含答案
2018-2019高一第二学期开学考试试题一、选择题：（每题5分，共60分）1.已知集合A {|1}x x =<，{1，2}，B {|31}xx =<则（ ） A ．A{|0}B x x =< B ．A R B = C ．A {|1}B x x => D ．A B =?2.角α的终边为直线2y x =，则cos2α=（ ） A.45±B.35±C.45-D.35- 3.已知二次函数()f x 满足(+2)f x =(2)f x -，且()f x 在[0,2]上是增函数，若()(0)f a f ³，则实数a 的取值范围是（ ）A ． [0,)+?B ．(,0]-?C ．[0,4]D ．(,0][4,)-??4.若函数()sin()+sin()36f x x a x p p =+-的一条对称轴方程是2x p=，则a 的值是（ ）A ．1BC ．2D ．35.若一系列的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为2y x =，值域为{1,4,9}的“同族函数”有（ ）A.3 个B.6个C.9 个D.27个6.点O 是ABC 内一点，且3570OA OB OC ++=,已知ABC 的面积为15，则AOB 的面积为（ ） A.5 B.6 C.7 D.87.已知三个函数2()2,()2,()log xf x xg x xh x x x =+=-=+的零点依次为,,a b c ，则（ ） A.a b c << B.a c b << C.b a c << D.c a b <<8.已知A 、B 、C 是圆O 上的不同的三点，且OA OB ⊥，OC 与线段AB 相交于点D ，若OC x O A y O B =+，则x y+的取值范围是（ ）A （0,1）B （1+∞，） C.（0 D.（]9. 已知函数2()|log |1||f x x =-，若函数2()[()]()2g x f x af x b =++有6个不同的零点，则这6个零点之和为（ ）A.6B.7C.8D.910.已知函数()f x 满足①对任意(0,)x ∈+∞恒有(2)2()f x f x =成立；②当(1,2]x ∈时，()2f x x =-，若()(2020)f a f =，则满足条件的最小的正实数a 的值为（ ）A.28B.34C.36D.100 11.已知函数22||,2,()(2),2x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩函数()(2),g x b f x =--其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A.704（，） B.74（，2） B.74（，3） D. 2（，3）12.已知平面四边形ABCD ，BC=2，且A=75B C ︒∠∠=∠=，则边AB 的取值范围是（ ）A.1)B.C.D. 二、填空题：（每题5分，共20分） 13.若函数()sin(2)(0)3f x x p j j p =+-<<是偶函数，则=ϕ .14.函数20.5()log (35)f x x ax =-+在∞（-1,+)上是减函数，则实数a 的取值范围是 . 15.已知a R ∈，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是 .16.若函数())f x x =，则不等式2(3)(2)0f x f x -+?的解集为 .三、解答题：（6大题，共70分）17、（10分）已知a =（4，3），b =（5，-12）． （1）求|a +b |的值；（2）求a 与b 的夹角的余弦值．18、（12分）已知集合2{|lg(3)A x R y x x =∈=--2}，2{|0}4B x x x a a R =+=∈﹣，． （1）若AB ≠∅，求a 的取值范围；（2）若A ∩B=B ，求a 的取值范围．19、（12分）已知函数24cos sin cos 2f x x x x =++（）﹣，若f x （）的图象关于点(,0)12π对称．（1）求实数a ，并求出f x （）的单调减区间；（2）求f x （）在[,]46ππ-上的值域．20、（12分）已知函数2ln 2ln 3f x x a ex =+（）﹣（），12[,]x e e -∈. （1）当a =1时，求函数f x （）的值域；（2）若ln 4f x a x ≤+（）﹣恒成立，求实数a 的取值范围．21、（12分）设向量(3sin 2cos sin )a x x x =+，，1cos sin b x x =（，-），其中x R ∈，函数=f x a b ⋅（）．（1）求f x （）的最小正周期； （2）若1f θ=（），其中02πθ＜＜，求6cos πθ（﹣）的值．22、（12分，普通班做）已知函数log 1log 1a a f x x x =+（）（）-（-）（a ＞0，且a ≠1）． （1）写出函数f x （）的定义域，判断f x （）奇偶性，并证明； （2）当0＜a ＜1时，解不等式f x （）＞0．22、（12分，特长班做）已知函数15)1(2)(22+++-=x k k x x f ，k x k x g -=2)(，其中R k ∈。
浙江省宁波市镇海中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题(解析版)
镇海中学2018学年第二学期高一年级数学期末试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图是一个正四棱锥，它的俯视图是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据正四棱锥的特征直接判定即可.【详解】正四棱锥俯视图可以看到四条侧棱与顶点,且整体呈正方形. 故选：D【点睛】本题主要考查了正四棱锥俯视图,属于基础题.2.已知点()()1,0a a >到直线:20+-=l x y 的距离为1，则a 的值为（ ） A.2 B. 22- C.21D.21【答案】D 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式列式求解参数即可.【详解】由题11a =⇒=因为0a >,故1a =.故选：D【点睛】本题主要考查了点到线的距离公式求参数的问题,属于基础题. 3.正方体1111ABCD A B C D -中，则异面直线1AB 与1BC 所成的角是 A. 30° B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C 【解析】连接A 1D ，易知：1BC 平行 A 1D ，∴异面直线1AB 与1BC 所成的角即异面直线1AB 与A 1D 所成的角， 连接11B D ，易知△11AB D 为等边三角形， ∴异面直线1AB 与1BC 所成的角是60° 故选C4.在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，5AB =，4BC =，2CD =，则梯形ABCD 绕着BC 旋转而成的几何体的体积为（ ） A. 52πB. 1163πC.1103πD.(283π+【答案】A 【解析】 【分析】易得梯形ABCD 绕着BC 旋转而成的几何体为圆台,再根据圆台的体积公式求解即可.【详解】易得梯形ABCD 绕着BC 旋转而成的几何体为圆台,圆台的高4h BC ==,上底面圆半径2r CD ==,下底面圆半径5h AB ==.故该圆台的体积()()222211455445233V h R Rr r πππ=++=⋅⋅+⋅+=故选：A【点睛】本题主要考查了旋转体中圆台的体积公式,属于基础题. 5.已知直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭U 2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦，则此直线的斜率的取值范围是（ ） A. 3,3⎡⎤-⎣⎦B. (,3⎤-∞-⎦U )3,⎡+∞⎣C. 33,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 3,⎛⎤-∞- ⎥ ⎝⎦U 3,⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值求解即可.【详解】因为直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭U 2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦,又直线的斜率tan k α=,,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭U 2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦.故tan tan 33πα≥=或2tan tan33πα≤=-. 故(,3k ⎤∈-∞-⎦U )3,⎡+∞⎣.故选：B【点睛】本题主要考查了直线斜率与倾斜角的关系,属于基础题.6.正三角形ABC 的边长为2cm ，如图，A B C '''∆为其水平放置的直观图，则A B C '''∆的周长为（ ）A. 8cmB. 6cmC. (26cm +D. (223cm +【答案】C【解析】 【分析】根据斜二测画法以及正余弦定理求解各边长再求周长即可.【详解】由斜二测画法可知,''''1O A O B ==,'''45C O B ∠=︒, 13''2sin 322C O π=⨯⨯=. 所以222''''''2''''cos 45B C O C O B O C O B =+-⋅︒2332726611214⎛⎫--=+-⨯⨯⨯== ⎪ ⎪⎝⎭.故61''2B C -=. 222''''''2''''cos135A C O C O A O C O A =+-⋅︒2332726611214⎛⎫++=++⨯⨯⨯== ⎪ ⎪⎝⎭.故61''2A C +=. 所以A B C '''∆的周长为()6161262cm -+++=+.故选：C【点睛】本题主要考查了斜二测画法的性质以及余弦定理在求解三角形中线段长度的运用.属于基础题. 7.某几何体的三视图如图所示，其外接球体积为（ ）A. 24πB. 86πC. 6πD.6π【答案】D 【解析】 分析】易得该几何体为三棱锥,再根据三视图在长方体中画出该三棱锥,再根据此三棱锥与长方体的外接球相同求解即可.【详解】在长方体中画出该几何体,易得为三棱锥,且三棱锥与该长方体外接球相同.又长方体体对角线等于外接球直径22226R AD CD BC =++=,故62R =. 故外接球体积33446633V R πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题主要考查了三视图还原几何体以及求外接球体积的问题,属于基础题. 8.已知,m n 表示两条不同的直线，,,αβγ表示三个不同的平面，给出下列四个命题： ①m αβ=I ，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥； ②αβ⊥，m αγ=I ，n βγ=I ，则m n ⊥； ③αβ⊥，αγ⊥，m βγ=I ，则m α⊥； ④m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ 其中正确的命题个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据线面和线线平行与垂直的性质逐个判定即可.【详解】对①, m αβ=I ,n ⊂α,n m ⊥不一定有n β⊥,故αβ⊥不一定成立.故①错误.对②,令,,αβγ为底面为直角三角形的直三棱柱的三个侧面,且αβ⊥,m αγ=I ,n βγ=I ,但此时m n P ,故m n ⊥不一定成立.故②错误.对③, αβ⊥,αγ⊥,m βγ=I ,则m α⊥成立.故③正确.对④,若m α⊥,m n ⊥,则n αP ,或n ⊂α,又n β⊥,则αβ⊥.故④正确. 综上,③④正确. 故选：B【点睛】本题主要考查了根据线面、线线平行与垂直的性质判断命题真假的问题,需要根据题意举出反例或者根据判定定理判定,属于中档题.9.若实数,x y 满足不等式组031y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】画出不等式组031y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩的可行域,再根据线性规划的方法,结合2y x z =-的图像与z 的关系判定最小值即可.【详解】画出可行域,又2z x y =-求最小值时, 故2y x z =-的图形与可行域有交点,且2y x z =-往上方平移到最高点处.易得此时在()0,1处取得最值2011z =⨯-=-.故选：A【点睛】本题主要考查了线性规划与绝对值函数的综合运用,需要根据题意画图,根据函数的图形性质分析.属于中档题.10.已知圆1Γ与2Γ交于两点，其中一交点的坐标为()3,4，两圆的半径之积为9，x 轴与直线()0y mx m =>都与两圆相切，则实数m =（ ）A.158B.74C.5D.35【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的切线性质可知连心线过原点,故设连心线y tx =,再代入()3,4,根据方程的表达式分析出12,x x 是方程()()()22234x tx tx -+-=的两根,再根据韦达定理结合两圆的半径之积为9求解即可.【详解】因为两切线均过原点,有对称性可知连心线所在的直线经过原点,设该直线为y tx =,设两圆与x 轴的切点分别为12,x x ,则两圆方程为：()()()()()()222111222222x x y tx tx x x y tx tx ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩,因为圆1Γ与2Γ交于两点,其中一交点的坐标为()3,4. 所以()()()22211134x tx tx -+-=①,()()()22222234x tx tx -+-=②. 又两圆半径之积为9,所以212129tx tx x x t ⋅==③联立①②可知12,x x 是方程()()()22234x tx tx -+-=的两根,化简得()268250x t x -++=,即1225x x =.代入③可得2925t =,由题意可知0t >,故35t =.因为y tx =的倾斜角是连心线所在的直线的倾斜角的两倍.故221tm t =-,故158=m . 故选：A【点睛】本题主要考查了圆的方程的综合运用,需要根据题意列出对应的方程,结合韦达定理以及直线的斜率关系求解.属于难题.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.已知圆柱的上、下底面的中心分别为12,O O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形，则该圆柱的表面积为________，体积为________. 【答案】 (1). 6π (2). 2π 【解析】 分析】根据题意可知正方形的边长为2,从而计算出圆柱的底面半径与高即可.【详解】由题,因为过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形,故此正方形的边长为2.故圆柱底面半径为1,高为2.故圆柱的表面积221226S πππ=⨯⨯+⨯=,体积2122V ππ=⨯⨯=.故答案为：(1)6π；(2)2π【点睛】本题主要考查了圆柱截面以及表面积体积的计算,属于基础题.12.若直线12y kx k =+-与曲线21y x -k 的最大值为________，最小值为________. 【答案】 (1). 1 (2). 0 【解析】 【分析】易得曲线21y x -为半圆, 直线12y kx k =+-过定点()2,1,再数形结合分析可知直线与半圆相切时斜率k 最小,过右顶点时斜率最大再计算即可.【详解】直线()1221y kx k k x =+-=-+,过定点()2,1.()2221,01x y y x y +=-⇒≥=为以()0,0为圆心,1为半径的上半圆.由图可知,当直线过()1,0时斜率k 最大,此时10121k -==-. 当直线120kx y k -+-=与半圆相切时k 最小,()21213401k k k k-=⇒-=+,由图可知0k =.即此时k最小为0故答案为：(1)1；(2)0【点睛】本题主要考查了直线与圆相切的问题,需要数形结合确定临界条件,包括相切与过定点求解斜率的方法,属于中档题.13.若过点()1,1的直线l 被圆224x y +=截得的弦长最短，则直线l 的方程是________，此时的弦长为________【答案】 (1). 20x y +-= (2). 22 【解析】 【分析】因为点()1,1在圆内,故当过圆心与()1,1的直线与直线l 垂直时截得的弦长最短,再根据垂径定理求解即可.【详解】由垂径定理可知, 若过点()1,1P 的直线l 被圆224x y +=截得的弦长最短,则圆心到直线l 的距离d 最长,又d OP ≤,故当d OP =即直线OP 与l 垂直时弦长最短.此时10110OP k -==-,111l k -==-.故直线l 的方程是()11120y x x y -=--⇒+-=. 此时弦长24222-=.故答案为：(1)20x y +-=；(2)22【点睛】本题主要考查了过圆内一点的弦长最值问题,需要根据题意判断出直线的位置再求解.属于基础题.14.已知点()2,1和圆22:220C x y ax y ++-+=，若点P 在圆C 上，则实数a = ________；若点P 在圆C 外，则实数a 的取值范围为________. 【答案】 (1). 52- (2). 522a -<<-或2a >【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系,将点()2,1代入圆的方程左边,再解其等于0与大于0的解集即可. 【详解】由题, ()222222201124a a x y ax y x y ⎛⎫++-+=⇒++-=- ⎪⎝⎭, 故2104a ->,解得2a >或2a <- 当点P 在圆C 上时, 22212220a ++-+=,解得52a =-.满足2a <- 当点P 在圆C 外时, 22212220a ++-+>,解得52a >-.故此时522a -<<-或2a >故答案为：(1) 52-；(2) 522a -<<-或2a >【点睛】本题主要考查了根据点与圆的位置关系求解参数的问题,属于基础题. 15.异面直线a ，b 所成角为3π，过空间一点O 的直线l 与直线a ，b 所成角均为θ，若这样的直线l 有且只有两条，则θ的取值范围为___________________.【答案】,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】将直线a ，b 平移到交于O 点，设平移后的直线为a '，b '，如图，过O 作a Ob ''∠及其外角的角平分线，根据题意可以求出θ的取值范围.【详解】将直线a ，b 平移到交于O 点，设平移后的直线为a '，b '，如图，过O 作a Ob ''∠及其外角的角平分线，异面直线a ，b 所成角为3π，可知3a Ob π''∠=，所以16l Ob π'∠=，23l Oa π'∠=所以在1l 方向，要使l 有两条，则有：6πθ>，在2l 方向，要使l 不存在，则有3πθ<，综上所述，63ππθ<<.故答案为：,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查了异面直线的所成角的有关性质，考查了空间想象能力.16.在棱长均为2的三棱锥A BCD -中，,E F 分别为,AB BC 上的中点，P 为棱BD 上的动点，则PEF ∆周长的最小值为________. 【答案】31+ 【解析】 【分析】易证明PEF ∆中PE PF =,且PEF ∆周长为PE PF EF ++,其中EF 为定值,故只需考虑PE 的最小值即可. 【详解】由题, 棱长均为2的三棱锥A BCD -,故该三棱锥的四个面均为正三角形. 又因为,,60PB PB BE BF EBP FBP ==∠=∠=︒,故PBE PBF ≅V V .故PE PF =. 且,E F 分别为,AB BC 上的中点,故112EF AC ==. 故PEF ∆周长为21PE PF EF PE ++=+. 故只需求PE 的最小值即可.易得当PE DB ⊥时PE 取得最小值为3sin 60BE ⋅︒=. 故PEF ∆周长的最小值为32131⨯+=+.1【点睛】本题主要考查了立体几何中的距离最值问题,需要根据题意找到定量以及变量的最值情况即可.属于中档题.17.在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，2PA PB ==，PC AB BC ===，作BD PC ⊥交PC 于D ，则BD 与平面PAB 所成角的正弦值是________.【解析】 【分析】取AB 中点E ,AC 中点F ,易得AB ⊥面PEF ,再求出,F C 到平面PAB 的距离,进而求解:PD PC 再得出D 到平面PAB 的距离.从而算得BD 与平面PAB 所成角的正弦值即可.【详解】如图,取AB 中点E ,AC 中点F ,连接,,EF PE PF .因为2PA PB ==,AB =所以PE =.因为AB BC ⊥,AB BC ==所以4AC =.在APC △中,余弦定理可得2223cos 24AP AC PC PAC AP AC +-∠==⋅.在APF V 中,余弦定理可得2222cos 2PF AP AF AP AF PAC =+-⋅∠=,故PF =在PEF V 中,PE PF EF ===且AB ⊥面PEF .故F 到面PAB 的距离1sin 60d EF =⋅︒=.C 到面PAB 的距离22d ==又因为122PBC S =⨯=V 所以12PC BD BD ⨯⨯==,所以2PD =,所以:1:4PD PC =,故D 到面PAB 的距离34d =.故BD 与平面PAB 所成角的正弦值是314d BD =故答案为：21 【点睛】本题主要考查了空间中线面垂直的性质与运用,同时也考查了余弦定理在三角形中求线段与角度正余弦值的方法,需要根据题意找到点到面的距离求解,再求出线面的夹角.属于难题.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.正四棱锥P ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 为PC 中点.(1)求证：//PA 平面BDE ；(2)求异面直线PA 与DE 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)3【解析】 【分析】(1)连接AC 交BD 于O ,连接EO ,再证明PA EO P 即可.(2)根据(1)中的PA EO P 可知异面直线PA 与DE 所成角的为DEO ∠,再计算DEO V 的各边长分析出DEO V 为直角三角形,继而求得cos DEO ∠即可.【详解】(1) 连接AC 交BD 于O ,连接EO .则O 为AC 中点因为,O E 分别为,AC PC 中点,故OE 为APC △中位线,故PA EO P . 又PA ⊄面BED ,EO ⊂面BED . 故//PA 平面BDE .(2)由(1)有异面直线PA 与DE 所成角即为OE 与DE 所成角即DEO ∠,设正四棱锥P ABCD -的各边长均为2,则112OE AP ==,22122222OD BD +===,sin 603DE PD =⋅︒=因为222OE OD DE +=,故EO OD ⊥.则3cos 33OE DEO DE ∠===.即异面直线PA 与DE 3【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及异面角的余弦求解,需要根据题意找到中位线证明线面平行,同时要将异面角利用平行转换为平面角,利用三角形中的关系求解.属于基础题. 19.已知圆()()22:232C x y -+-=.(1)过原点O 的直线l 被圆C 所截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)过C 外的一点P 向圆C 引切线PA ，A 为切点，O 为坐标原点，若PA OP =，求使PA 最短时的点P 坐标.【答案】(1) 623y x +=或623y x -=;(2) 1133,1326P ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】(1)利用垂径定理求出圆心到直线l 的距离,再分过原点O 的直线l 的斜率不存在与存在两种情况,分别根据点到线的距离公式求解即可.(2)设(),P x y ,再根据圆的切线长公式以及PA OP =求出关于关于,x y 的关系,再代入PA 的表达式求取得最小值时的(),P x y 即可.【详解】(1) 圆()()22:232C x y -+-=圆心为()2,3,2.当直线l 的斜率不存在时,圆心到直线的距离22d =>故不存在.当直线l 的斜率存在时,设l 的方程：y kx =,即0kx y -=.则圆心()2,3到l 的距离2231k d k -=+,由垂径定理得()2222+22d ⎛⎫=⎪⎝⎭,即()222311k k -=+,即231280k k -+=,解得6233k ±=. 故l的方程为6233y x +=或6233y x -= (2) 如图,设(),P x y , 因为PA OP =,故22PA OP =,则222CP CA OP -=, 即()()2222232x y x y -+--=+,化简得46110x y +-=,即11342x y =-. 此时22222113112113334224PA OP x y y y y y ⎛⎫==+=-+=-+⎪⎝⎭, 故当333321326y ==⨯,即1133,1326P ⎛⎫⎪⎝⎭时PA 最短.此时1133,1326P ⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,包括垂径定理以及设点根据距离公式求距离最值的问题.需要根据题意列出关系式化简,并用二次函数在对称轴处取最值的方法.属于中档题.20.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.(1)求证：BE DC ⊥；(2)求直线PC 与平面PDB 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)2 3【解析】【分析】(1)取PD中点M,连接,EM AM,可得四边形ABEM为平行四边形.再证明AB⊥平面PAD得到AB AM⊥,进而得到BE DC⊥即可.(2)利用等体积法,求出三棱锥P BCD-的体积,进而求得C到平面PDB的距离,再得出直线PC与平面PDB所成角的正弦值即可.【详解】(1) 取PD中点M,连接,EM AM,则12ME DCP.又12AB DC∥,故AB MEP.故四边形ABEM为平行四边形.故BE AMP.又2AD AP==,故AM PD⊥,又PA⊥底面ABCD,DC⊂平面ABCD,故PA DC⊥.又AD AB⊥,//AB DC,故PA AB⊥,又PA AD A⋂=,故AB⊥平面PAD.又AM⊂平面PAD,故AB AM⊥.又AB DCP,AM BEP,故BE DC⊥(2)因为PA⊥底面ABCD,故114323P BCDV DC AD PA-=⨯⋅⋅=.又222PD AP AD=+=225PB AP AB=+=225BD AB AD=+=故1225262PDBS=⨯-=V设C到平面PDB的距离为d,则41633P BCDV d-==,解得63d=.故直线PC与平面PDB所成角的正弦值为2226233dPC PA AC==+【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明以及利用等体积法求点到面的距离以及线面角的求解,需要根据题意利用线面线线垂直的判定与性质证明,同时也需要在等体积法时求解对应的面的面积等.属于中档题. 21.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是AB 的中点，E 在1CC 上，且12CE C E =.(1)求证：1AC ⊥平面1A BD ；(2)在线段1DD 上存在一点P ，1DP D P λ=，若1//PB 平面DME ，求实数λ的值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 2λ=【解析】 【分析】(1)分别证明11AC A B ⊥与11AC A D ⊥即可.(2)设平面DME 与1BB 的交点为F ,利用线面与面面平行的判定与性质可知只需满足1//PB DF ,再利用平行所得的相似三角形对应边成比例求解即可.【详解】(1)连接11,AB AD .因为正方体1111ABCD A B C D -,故11AD A D ⊥,且111C D A D ⊥,又1111C D AD D ⋂=.故1A D ⊥平面11AD C .又1AC ⊂平面11AD C ,故11A D AC ⊥.同理11AB A B ⊥,111C B A B ⊥,1111AB C B B ⋂=,故11A B AC ⊥. 又111A D A B A ⋂=,11,A D A B ⊂平面1A BD .故1AC ⊥平面1A BD .(2) 设平面DME 与1BB 的交点为F ,连接111,,DF PB D B .因为1111ABB A CDD C P ,平面11ABB A DMFE MF ⋂=,11CDD C DMFE DE ⋂=, 故MF DE P .又,MB DC BF CE P P ,故MBF DCE V :V . 设正方体边长为6,则因为12CE C E =,故 故32DC MB CE BF ==, 所以223BF MB ==. 又1//PB 平面DME 则只需1//PB DF 即可.此时又因为1DP FB P ,故四边形1DPB F 为平行四边形.故114DP FB BB BF ==-=.此时12D P =.故12DP D P =.故2λ=【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明以及根据线面平行求解参数的问题,需要根据题意找到线与所证平面内的一条直线平行,并利用平面几何中的相似方法求解.属于中档题. 22.已知点()1,0A ，()4,0B ，曲线C 任意一点P 满足2PB PA =. (1)求曲线C 的方程；(2)设点()3,0D ，问是否存在过定点Q 的直线l 与曲线C 相交于不同两点,E F ，无论直线l 如何运动，x 轴都平分EDF ∠，若存在，求出Q 点坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 224x y +=；(2) 4,03Q ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】(1)设(),P x y ,再根据2PB PA =化简求解方程即可.(2)设过定点Q 的直线l 方程为y kx b =+,根据x 轴平分EDF ∠可得0DE DF k k +=.再联立直线与圆的方程,化简0DE DF k k +=利用韦达定理求解y kx b =+中参数的关系,进而求得定点Q 即可.【详解】(1)设(),P x y ,因为2PB PA =,=即()()22224441x y x y -+=+-,整理可得224x y +=.(2)当直线l 与x 轴垂直,且Q 在圆内时,易得,E F 关于x 轴对称,故必有x 轴平分EDF ∠. 当直线l 斜率存在时,设过定点Q 的直线l 方程为y kx b =+.设()()1122,,,E x y F x y .联立()2222212404y kx b k x kbx b x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩, 2121222240,,11kb b x x x x k k--∆>+=⋅=++. 因为无论直线l 如何运动,x 轴都平分EDF ∠,故0DE DF k k +=, 即1212033y y x x +=--,所以1212033kx b kx b x x +++=--,()()()()1221330kx b x kx b x +-++-=. 所以()()12122360kx x b k x x b +-+-=代入韦达定理有()22242236011b kb k b k b k k -⋅---=++,化简得430k b +=. 故4433y kx b kx k k x ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭,恒过定点4,03⎛⎫⎪⎝⎭.即4,03Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解方法以及联立直线与圆的方程,利用韦达定理代入题中所给的关系式,化简求直线中参数的关系求得定点的问题.属于难题.。
镇海中学高一下开学考数学试卷
A．9
B．8
C．7
D．6
第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分） 二. 填空题: 本大题共 7 小题，每题 5 分，共 35 分．
11．函数 y sin x 3 cos x 的图象可由函数 y cos x 3 sin x 的图象至少向左平移
_____________个单位长度得到．
12．函数
f (x) 1
请说明理由．
20．在 △ABC
中， a,b, c
分别为角
A, B,C
b2
的对边，已知
a2
c2 a2 b2 c2
c 2b c
0
（1）求角 A 的值； （2）若 a 2 ，求三角形周长的取值范围．
21．已知定义在2, 2上的偶函数 f x 满足：当 x 0, 2 时， f x x 2 3 x . （1）求函数 f x 的解析式； （2）设函数 g x ax 2 a a 0 ，若对于任意的 x1, x2 2, 2 ，都有 g x1 f x2
18．已知 ， 为锐角，且 tan 1 ， sin
10
.
7
10
（1）求 sin( ) ；（2）求 2 .
19．已知
a
2
sin
x,1
，
b
2,
2
，
c
sin
x
3,1
，
d
1,
k
（x∈R，k∈R）．
（1）若
x
2
,
2
，且
a
b c ，求 x 的值；
（2）是否存在实数 k 和 x，使得 a d b c ？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，
A． 16 65
56
浙江省宁波市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题 含解析
宁波市2018学年第二学期期末考试高一数学试卷一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列{}n a 中，132,4a a ==，则公差d =（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】利用通项得到关于公差d 的方程，解方程即得解. 【详解】由题得2+24,1d d =∴=. 故选：C【点睛】本题主要考查数列的通项的基本量的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.不等式|1|1x <-的解集为（ ） A. (,2)-∞B. (0,2)C. (1,2)-D.(,0)(2,)-∞+∞【答案】B 【解析】 【分析】由题得-1＜x-1＜1，解不等式即得解. 【详解】由题得-1＜x-1＜1，即0＜x ＜2. 故选：B【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若 3 : 4 : 5a : b : c =，则c o s C 的值为（ ） A.35B.45C.34D. 0【答案】D 【解析】 【分析】设3,4,5,a k b k c k ===利用余弦定理求cosC 的值. 【详解】设3,4,5,a k b k c k ===所以22291625cos 0234k k k C k k+-==⋅⋅.故选：D【点睛】本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，公比2q =，则4S 的值为（ ） A. 15 B. 16C. 30D. 31【答案】A 【解析】 【分析】直接利用等比数列前n 项和公式求4S .【详解】由题得4412=1512S -=-.故选：A【点睛】本题主要考查等比数列求和，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.若非零实数,a b 满足a b <，则下列不等式成立的是（ ） A.1ab< B.2b aa b+≥ C.2211ab a b< D.22a a b b +<+【答案】C【解析】 【分析】对每一个不等式逐一分析判断得解.【详解】A,1a a b b b--=不一定小于0，所以该选项不一定成立； B,如果a ＜0，b ＜0时， 2b aa b+≥不成立，所以该选项不一定成立；C, 2222110a bab a b a b --=<，所以2211ab a b<，所以该不等式成立；D, 22()()()()(1)a a b b a b a b a b a b a b +-=+-+-=-++-不一定小于0，所以该选项不一定成立. 故选：C【点睛】本题主要考查不等式性质和比较法比较实数的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.设{}n a 为等比数列，给出四个数列：①{}2n a ，②{}2n a ，③{}2na ，④{}2log||n a .其中一定为等比数列的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①②【答案】D 【解析】 【分析】设11n n a a q -=，再利用等比数列的定义和性质逐一分析判断每一个选项得解. 【详解】设11n n a a q -=，①,112=2n n a a q-,所以数列{}2n a 是等比数列；②，222222111=()n n n a a qa q --=，所以数列{}2n a 是等比数列； ③，11112111211222=2,222n n n n n n n n a a q a a qa q a q a a q -------==不是一个常数，所以数列{}2n a不是等比数列； ④，122122121log ||log |q |log ||log |q |n n n n a a a a ---=不是一个常数，所以数列{}2log ||n a 不是等比数列.故选：D【点睛】本题主要考查等比数列的判定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.若不等式2(1)0mx m x m +-+>对实数x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围（ ） A. 1m <-或13m > B. 1m > C. 13m >D. 113m -<<【答案】C 【解析】 【分析】对m 分m ≠0和m=0两种情况讨论分析得解.【详解】由题得0m =时，x ＜0，与已知不符，所以m ≠0. 当m ≠0时，220(1)40m m m >∆=--<且， 所以13m >. 综合得m 的取值范围为13m >. 故选：C【点睛】本题主要考查一元二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.已知各个顶点都在同一球面上的正方体的棱长为2，则这个球的表面积为（ ） A. 12π B. 16π C. 20π D. 24π【答案】A 【解析】 【分析】先求出外接球的半径，再求球的表面积得解. 【详解】由题得正方体的对角线长为23 所以223=2,3,=43=12R R S ππ∴=∴球. 故选：A【点睛】本题主要考查多面体的外接球问题和球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，890, 0S <S =.若n k S S ≥对*n N ∈恒成立，则正整数k 构成的集合是（ ） A. {4,5} B. {4}C. {3,4}D. {5,6}【答案】A 【解析】 【分析】先分析出540,0a a =<，即得k 的值. 【详解】因为9550,90,0.S a a =∴=∴= 因为8184580,()0,02S a a a a <∴+<∴+< 所以40a <.所以()45min n S S S ==,所以正整数k 构成的集合是{4,5}. 故选：A【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和的最小值的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.记max{,,}a b c 为实数,,a b c 中的最大数.若实数,,x y z 满足222363x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩则max{||,||,||}x y z 的最大值为（ ）A.32B. 1 7 D.23【答案】B 【解析】 【分析】先利用判别式法求出|x|,|y|,|z|的取值范围，再判断得解.【详解】因为2220363x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，所以22236()3x y x y +++=，整理得：()2222912730,(12)49730y xy x x x ++-=∆=-⨯⨯-≥， 解得21x ≤， 所以||1x ≤，同理，72||1,|z |13y ≤<≤<. 故选：B【点睛】本题主要考查新定义和判别式法求范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分. 11.若关于x 的不等式20x ax b -+<的解集是(1,2)-，则a =________，b =_______. 【答案】 (1). 1 (2). -2 【解析】 【分析】由题得12(1)2ab -+=⎧⎨-⋅=⎩，解方程即得解.【详解】由题得12(1)2ab-+=⎧⎨-⋅=⎩，所以a =1,b =-2. 故答案： (1). 1 (2). -2【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.已知数列{}n a 的前n 项和31nn S =-，则首项1a =_____，通项式n a =______.【答案】 (1). 2 (2). 123n -⋅【解析】 【分析】当n=1时，即可求出1a ，再利用项和公式求n a .【详解】当n=1时，11312a S ==-=,当2n ≥时，11n-1==3323n n n n n a S S ----=⋅，适合n=1. 所以123n n a -=⋅.故答案为：(1). 2 (2). 123n -⋅【点睛】本题主要考查项和公式求数列的通项，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.13.ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,3,23A a b π===，则B =___，ABC ∆的面积S =____. 【答案】 (1). 2π3【解析】 【分析】由正弦定理求出B ，再利用三角形的面积公式求三角形的面积.【详解】由正弦定理得32=,sin 1,sin 2sin3B B B ππ∴=∴=.所以C=,16c π=，所以三角形的面积为1313=2⋅. 故答案为：(1).2π3【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.如图所示为某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为_____，体积为______.【答案】 (1). 383【解析】 【分析】先找到三视图对应的几何体原图，再求最长的棱长和体积. 【详解】由三视图得几何体原图是如图所示的四棱锥P-ABCD,底面是边长为2的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD,PA=2, 所以最长的棱为222(22)23+=几何体体积2182233V =⋅⋅=.故答案为：(1). 383【点睛】本题主要考查三视图还原几何体和几何体体积是计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.已知正实数,x y 满足3x+y+=xy ，则x y +的最小值为__________． 【答案】6【解析】 【分析】由题得2)34x y x+y+=xy +≤（，解不等式即得x+y 的最小值.【详解】由题得2)34x y x+y+=xy +≤（,所以2)4(x y x y +-+≥（）-120，所以6)(2)0x y x y +-++≥（， 所以x+y ≥6或x+y ≤-2(舍去)， 所以x+y 的最小值为6. 当且仅当x=y=3时取等. 故答案为：6【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 16.记1()(1)(2)()nk f k f f f n ==+++∑，则函数41()||k g x x k ==-∑的最小值为__________．【答案】4 【解析】 【分析】利用|1||4||2||31(4)||2(3)|x x x x ||x x x x -+-+-+-≥---+---求解. 【详解】()=1234g x |x |+|x |+|x |+|x |----|1||4||2||31(4)||2(3)|x x x x ||x x x x =-+-+-+-≥---+---4=，当23x ≤≤时，等号成立故答案为：4【点睛】本题主要考查绝对值不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.17.在ABC ∆中，角B 为直角，线段BA 上的点M 满足2BM 2 MA ==，若对于给定的,ACM ABC ∠∆是唯一确定的，则sin ACM ∠=_______．【答案】15【解析】 【分析】 设,BC x ACM =∠=θ，根据已知先求出x 的值，再求sin ACM ∠的值.【详解】设,BC x ACM =∠=θ，则t a n t a n ()A C B M C Bθ=∠-∠232132661x x x x x x x x-===++⋅+.依题意，若对于给定的,ACM ABC ∠∆是唯一的确定的，函数16x x+在（166，+∞）是减函数，所以6x =1tan 526θ=θ=.故答案为：15【点睛】本题主要考查对勾函数的图像和性质，考查差角的正切的计算和同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题 ：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且142,14a S ==.（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和，求n T .【答案】（I ）1n a =n+；（II ）2(2)n nT n =+.【解析】 【分析】（I ）根据已知的两个条件求出公差d,即得数列{}n a 的通项公式；（II ）先求出111(1)(2)n n a a n n +=++，再利用裂项相消法求和得解. 【详解】（I ）由题得4342+14,12d d ⋅⋅⋅=∴=， 所以等差数列的通项为2+1)11n a =n n+-⋅=（；（II ）因为11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++， 所以11111111233412222(2)n n T n n n n =-+-++-=-=++++. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项的求法，考查等差数列前n 项和基本量的计算，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos cos 2a B b AC c+=.（I ）求角C 的大小；（II ）若4ab =，求c 的最小值. 【答案】（I ）3C π=；（II ）最小值为2.【解析】 【分析】（I ）sin cos sin cos cos 2sin A B B AC C+=,化简即得C 的值；（II ）【详解】（I ）因为sin cos sin cos sin )sin 1cos =2sin 2sin 2sin 2A B B A A B C C C C C ++===（， 所以3C π=；（II ）由余弦定理可得，222c a b ab =+-，因为222a b ab +≥，所以24c ab ≥=， 当且仅当2,a =b= c 的最小值为2.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知函数21()1()f x x a x x R a ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭.（I ）当12a =时，求不等式()0f x <的解集； （II ）若关于x 的不等式()0f x <有且仅有一个整数解，求正实数．．．a 的取值范围.【答案】（I ）1,22⎛⎫⎪⎝⎭；（II ）12a <≤，或112a ≤<【解析】 【分析】（I ）直接解不等式25102x x -+<得解集；（II ）对a 分类讨论解不等式分析找到a 满足的不等式，解不等式即得解. 【详解】（I ）当12a =时，不等式为25102x x -+<， 不等式的解集为1,22⎛⎫⎪⎝⎭， 所以不等式()0f x <的解集为1,22⎛⎫⎪⎝⎭； （II ）原不等式可化为1()0x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭， ①当1a a=，即1a =时，原不等式的解集为∅，不满足题意； ②当1a a >，即1a >时，1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时101a <<，所以12a <≤；③当1a a <，即01<a <时，1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以只需112a <≤，解得112a ≤<；综上所述，12a <≤，或112a ≤<. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法和解集，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3,6,2a b B A ===. （I ）求cos A 的值； （II ）求c 的值.【答案】（1；（2）5 【解析】试题分析：（1）依题意，利用正弦定理326sin A =及二倍角的正弦即可求得cosA 的值； （2）易求3sinB=13，从而利用两角和的正弦可求得sin （A+B ）53，在△ABC 中，此即sinC 的值，利用正弦定理可求得c 的值． 试题解析：( 1）由正弦定理可得，即：326sin sin2A A =，∴326sin 2sin cos A A A =，∴6cos 3A =. （2由（1）6cos A =，且0180A ︒<<︒，∴2263sin 1cos 13A A ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴3622sin sin22sin cos 2B A A A ====2261cos cos22cos 1213B A A ==-=⨯-=⎝⎭∴()()sin sin sin C A B A B π⎡⎤=-+=+⎣⎦=sin cos cos sin A B A B +=3162233339+⨯=. 由正弦定理可得：sin sin c aC A=，∴533sin 95sin 3a C c A ===。
浙江省宁波市镇海中学2019年高一下开学考数学试卷
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一（下）开学数学试卷（2月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知函数()2,33,3x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则的值为（ ）A.1B.2C.3D.3-【答案】B【解析】解：函数()2,33,3x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，()12f ∴=，，()5532f =-=，. 故选：B.推导出()12f =，，()5532f =-=，由此能求出.本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 2.已知集合{}0lg 2lg 3P x x =<<，，则P Q 为（ ）A. B.C.D.【答案】D 【解析】解：，；()1,2P Q ∴=.故选：D.可解出集合P ，Q ，然后进行交集的运算即可.考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，分式不等式的解法，以及交集的运算. 3.下列函数的周期不为π的是（ ）A.2sin y x =B.y =C.D.cos cos y x x =+【答案】D【解析】解：函数21cos 2sin 2x y x -==的最小正周期为22ππ=，满足条件；函数tan y x ==的最小正周期为π，满足条件；函数()2sin cos 1sin 2y x x x =-=-最小正周期为22ππ=，满足条件； 函数cos cos 2cos y x x x =+=的最小正周期为221ππ=，不满足条件， 故选：D.由题意根据三角函数的周期性，得出结论. 本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题.4.已知()4,3a =，()5,12b =-则向量a 在b 方向上的投影为（ ） A.165-B.C.1613-D.【答案】C 【解析】解：()4,3a =，()5,12b =-，，则向量a 在b 方向上的投影为1613a b b⋅-=， 故选：C.由向量a 在b 方向上的投影为，根据向量数量积的性质的坐标表示代入可求. 本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示，属于基础试题. 5.下列关系正确的是（ ） A. B.0cos8sin1tan 2<<< C. D.【答案】C【解析】解：1是第一象限，sin10∴>，2是第二象限，tan 20∴<，且，()cos8cos 82π=-，82π-是第二象限，，， 故选：C.根据三角函数的图象和函数值的关系，分别判断角2，1，8的象限即可. 本题主要考查三角函数值的大小比较，利用条件判断角的象限是解决本题的关键.6.若非零向量a ，b 满足a b b +=，则（ ） A.22a a b >+ B.22a a b <+C.22b a b >+D.22b a b <+【答案】C 【解析】解：， ，b 是非零向量， 必有，上式中等号不成立.22b a b ∴>+，故选：C.本题是对向量意义的考查，根据进行选择，题目中注意2a b a b b +=++的变化，和题目所给的条件的应用.大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化. 7.在ABC ∆中，5sin 13A =，3cos 5B =，则cos C =（ ） A.1665-B.5665- C.1665±D.5665±【答案】A 【解析】解：B 为三角形的内角，3cos 05B =>，B ∴为锐角，4sin 5B ∴=，又5sin 13A =， sin sinB A ∴>，可得A 为锐角，， 则. 故选：A.由B 为三角形的内角，以及cos B 的值大于0，可得出B 为锐角，由cos B 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，由的值大于sin A 的值，利用正弦定理得到b 大于a ，根据大角对大边可得B 大于A ，由B 为锐角可得出A 为锐角，再sin A ，利用同角三角函数间的基本关系求出cos A 的值，最后利用诱导公式得到()cos cos C A B =-+，再利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值.此题考查了两角和与差的余弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.8.向量a ，b 满足2a b a b ==⋅=，当实数1t ≥时，向量a 和的夹角范围是（ ） A. B.C.D.【答案】B 【解析】解：由2a b a b ==⋅=， 得a ，b 的夹角为3π， 不妨设，OB b =，()1OC tb t =≥， 不妨设()1OC tb t =≥， 则点C 在OB 的延长线上运动， 向量a 和的夹角可用OAC ∠表示，由图知：2,33OAC ππ⎡⎫∠∈⎪⎢⎣⎭， 故选：B.由共线向量得：不妨设()1OC tb t =≥，则点C 在OB 的延长线上运动，由数量积表示两向量的夹角得：向量a 和的夹角可用OAC ∠表示，由图知：2,33OAC ππ⎡⎫∠∈⎪⎢⎣⎭，得解 本题考查了共线向量、数量积表示两向量的夹角，属中档题 9.已知函数对任意x R ∈都满足，则函数的最大值为（ ）A.5B.3【答案】C【解析】解：函数对任意x R ∈都满足，()f x ∴的图象关于直线4x π=对称，，解得1a =.= 故选：C.由题意可得4f π⎛⎫⎪⎝⎭=1a =，可得函数，从而得到()g x 的最大值. 本题考查三角函数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用. 10.定义在R 上的奇函数()f x 满足，当()0,2x ∈时，，且2x ≥时，有()()122f x f x =-，则函数在上的零点个数为（ ） A.9 B.8C.7D.6【答案】B【解析】解：当()0,2x ∈时，，()f x 是奇函数，()00f ∴=，当2x ≥时，有()()122f x f x =-， ()()12002f f ∴==，()()14202f f ==，若()2,0x ∈-，则()0,2x -∈，则， 即，()2,0x ∈- 即当时，，当24x ≤≤时，，此时， 当时，，此时， 由，得：当0x =时，由()00F =，即0x =是()F x 的一个零点， 当0x ≠时，由()20x f x x -=得()1xf x =，即()1f x x=， 作出函数()f x 与()1g x x=在，上的图象如图： 由图象知两个函数在上共有7个交点，加上一个0x =， 故函数在上的零点个数为8个， 故选：B.根据函数奇偶性和递推关系，分别取出()f x 在上解析式和图象，利用数形结合确定两个图象的交点个数即可.本题主要考查函数与方程的应用，利用函数奇偶性和递推关系求出函数的解析式和图象，利用函数与方程的关系转化为两个函数图象交点个数问题是解决本题的关键.综合性较强，运算量较大，有一定的难度. 二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）11.函数sin y x x =的图象可由函数cos y x x =的图象至少向左平移________个单位长度得到. 【答案】【解析】解：函数，，故把函数cos y x x =的图象至少向左平移个单位，可得sin y x x =的图象， 故答案为：.利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再根据函数的图象变换规律，得出结论. 本题主要考查两角和差的三角公式，函数的图象变换规律，属于基础题.12.函数()12f x ⎛= ⎪⎝⎭的单调递减区间为________.【答案】【解析】解：函数()12f x ⎛= ⎪⎝⎭，210x x ∴--≥，求得12x ≤12x ≥， 故函数的定义域为，本题即求21t x x =--在定义域内的增区间， 再根据二次函数的性质可得21t x x =--在定义域内的增区间为， 故答案为：.先求出函数的定义域，再利用二次函数、指数函数的性质可得，本题即求21t x x =--在定义域内的增区间，再根据二次函数的性质可得结论.本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、指数函数的性质，属于中档题.13.已知()0,απ∈，sin α与cos α是关于x 的一元二次方程21370x x m ++=的两根，则的值为________. 【答案】 【解析】解：sin α与cos α是关于x 的一元二次方程21370x x m ++=的两根，7sin cos 13αα∴+=-，两边平方得：1202sin cos 169αα=-， ()0,απ∈，sin 0α∴>，cos 0α<，则.联立，解得5sin 13α=，12cos 13α=-. 5tan 12α∴=-. 则.故答案为：.由已知结合根与系数的关系求得sin cos αα+，进一步求得sin cos αα-，联立求得sin α，cos α的值，得到tan α的值，则的值可求.本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题. 14.已知2a b +=，4a b -=，则a b +的范围是________. 【答案】【解析】解：设a m =，b n =，,a b θ=.2a b +=，4a b -=， 2222cos 4m m n mn θ∴++=， 222cos 16m n mn θ+-=， 2210m n ∴+=，则， 的范围是. 故答案为：.设a m =，b n =，,a b θ=.根据2a b +=，4a b -=，可得2222cos 4m m n mn θ++=，222cos 16m n mn θ+-=，利用向量三角形法则、基本不等式的性质即可得出.本题考查了向量三角形法则、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.15.在ABC ∆中，AD 为BC 上的中线，1AB =，5AD =，，则sin ADC ∠=________，AC =________.【答案】 【解析】解：1AB =，5AD =，，在ABD ∆中，由正弦定理可得：1sin 2sin 510AB ABCADB AD⋅∠∠===. sin sin ADC ADB ∴∠=∠=. 在ABD ∆中，由余弦定理2222cos AD AB BD AB AD ABC =+-⋅⋅∠，可得：225121BD BD =+-⨯⨯2240BD -=，解得：BD =-2BC BD ∴==由余弦定理可得： ，由已知在ABD 中，利用正弦定理可得，进而可求sin ADC ∠的值，在ABD 中，由余弦定理解得BD ，可求BC ，由余弦定理可得AC 的值.本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题.16.已知函数()f x 的定义域为R ，对任意12x x <，有，且()11f =，则不等式的解集为________. 【答案】【解析】解：根据题意，设， 若函数()f x 满足对任意12x x <，有， 则，则函数()g x 在R 上为增函数， 又由()11f =，则， ，则有0312x<-<，解可得：1x <且0x ≠，即不等式的解集为； 故答案为：.根据题意，设，将变形可得，分析可得函数()g x 在R 上为增函数，结合()1f 的值可得()1g 的值，则可以转化为()()2log 311xg g -<，进而可得2log 311312x x -<⇒-<，解可得x 的值，即可得答案.本题考查函数单调性的判断，关键是构造新函数，并分析函数的单调性，属于综合题. 17.在ABC ∆中，4AB =，5AC =，3BAC π∠=，H 为ABC ∆内一点，，则________.【答案】【解析】解：根据题意建立平面直角坐标系，如图所示；则，，()5cos60,5sin60C ︒︒，即52C ⎛ ⎝⎭； 又，110HAB ABC S S ∆∆∴=，作HE AB ⊥于E ， 则H的纵坐标11024y HE ==⨯=； 又12HAC ABC S S ∆∆=，作HF AC ⊥于F ，则1sin602HF AB =⨯⨯︒=设，则sin HA α=，…① ()sin 60HA α︒-=，…②，即1sin 224sin ααα-=，求得sin tan cos ααα==点H的横坐标9tan 4HE x AE α====，9,44H ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，9,4HA ⎛∴=- ⎝⎭，14HC ⎛= ⎝⎭，91944HA HC ⎛∴⋅=-⨯+=- ⎝⎭. 故答案为：根据题意建立平面直角坐标系，利用数形结合与面积的比求出点H 的坐标， 再用坐标表示出向量，从而求出平面向量的数量积.本题考查了平面向量的数量积与应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是难题. 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知α，β为锐角，且1tan 7α=，sin β=（Ⅰ）求； （Ⅱ）求2αβ+.【答案】解：（Ⅰ）α，β为锐角，且1sin tan7cos ααα==，22sin cos 1αα+=，sin 10α∴==，cos10α==.sin β=cos β∴==，求()sin sin cos cos sin 101010105αβαβαβ+=+=⋅+=. （Ⅱ）3sin 22sin cos 5βββ∴==，24cos 22cos 15ββ=-=，2β∴还是锐角，02αβπ∴<+<.()43cos 2cos cos 2sin sin 21051052αβαβαβ∴+=-=-=， 24παβ∴+=.【解析】（Ⅰ）由题意利用同角三角函数的基本关系求得α的正弦、余弦，再求出β的余弦，利用两角和的正弦公式求出的值.（Ⅱ）先求出2αβ+的余弦值，再根据2αβ+的范围，求出2αβ+的值.本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的三角公式，二倍角公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题.19.已知，()2,2b =-，，. （Ⅰ）若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且()//a b c +，求x 的值； （Ⅱ）是否存在实数k 和x ，使？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】解：()2,2b =-，，()sin 1,1b c x ∴+=--，()//a b c +，()2sin sin 1x x ∴-+=-，2sin 1x ∴=-，1sin 2x =-， ， 6x π∴=-.（Ⅱ）()3sin ,1a d x k +=++，()sin 1,1b c x +=--若，则即，，[]sin 10,2x +∈，()2sin 15x +-，x R ∈，，[]5,1k ∈--， 存在[]5,1k ∈--使.【解析】（Ⅰ）先根据()2,2b =-，，求出的坐标，再根据()//a b c +，找到向量坐标满足的关系式，根据x 的范围，就可求出x 的值.（Ⅱ）先假设存在实数k 和x ，使，则可得，再用向量数量级积的坐标公式计算，若能解出k 的值，则存在，否则，不存在.本题考查了向量共线以及向量平行的充要条件，两者不要混淆.20.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知.（1）求角A 的值；（2）若2a =，求三角形周长的取值范围.【答案】（本题满分为12分）解：（1），由余弦定理可得：，由正弦定理可得：，整理可得：，02sin cos sin B A B ∴=+，sin 0B >， 可得：1cos 2A =-， ()0,A π∈，23A π∴= 6分 2a =，23A π=， ，3c C ∴=，3b B =， 7分 设周长为y ，则y a c b =++2sin 33B C =++22cos B B =+， 8分 ， 9分 03B π<<，，，223y B π⎛⎤⎛⎫∴=++∈+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦. 周长的取值范围是. 12分【解析】（1）由正弦定理，余弦定理化简已知等式可求cos A ，结合A 的范围可求A 的值.（2）由正弦定理可求3c C =，3b B =，设周长为y ，利用三角函数恒等变换的应用化简得，可求范围2333B πππ<+<，利用正弦函数的性质可求取值范围.本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题.21.已知定义在上的偶函数()f x 满足：当[]0,2x ∈时，()f x x =-+（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数，若对于任意的1x ，[]22,2x ∈-，都有成立，求实数a 的取值范围.【答案】解：（1）根据题意，设[]2,0x ∈-，则[]0,2x -∈，从而()f x x -=+因为()f x 定义[]2,2x ∈-在偶函数，所以()()f x f x x =-=+因此，()[)[]2,00,2x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨-+∈⎪⎩ （2）因为对任意1x ，[]22,2x ∈-，都有成立，所以()()max min g x f x <又因为()f x 是定义在上的偶函数.所以()f x 在区间和区间上的值域相同.当[]2,0x ∈-时，()f x x =+设t =，则函数化为223y t t =+-，，则()min 0f x =又所以20a -<即2a <，因此，a 的取值范围为02a <<.【解析】（1）根据题意，设[]2,0x ∈-，则[]0,2x -∈，由函数的解析式可得()f x -的解析式，进而利用函数奇偶性的性质分析可得()f x 的表达式，综合即可得答案；（2）根据题意，求出函数()f x 的最小值与()g x 的最大值，分析可得()()min max f x g x >，解即可得答案. 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的恒成立问题，注意将恒成立问题转化为函数的最值问题.22.已知向量，，且函数()f x a b =⋅的两个对称中心之间的最小距离为2π.（1）求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭；（）2若函数()12x G x m ⎛⎫=+-⎪⎝⎭在上恰有两个零点，求实数m 的取值范围. 【答案】解：， 函数()f x a b =⋅的两个对称中心之间的最小距离为2π， 22T π∴=，得T π=， 即22T ππω==，得1ω=， 即.则，（2）函数，得162m x π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭， 当时，， 当且62x ππ-≠时，sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭才有两个交点， 此时，则，，即0622x π⎛⎫≤--< ⎪⎝⎭，111622x π⎛⎫-≤---<- ⎪⎝⎭，即11m -≤<-， 即实数m 的取值范围是.【解析】（1）根据向量数量积的定义结合辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性质求出的周期和ω即可.（2）求出函数()G x 的解析式，利用参数法，结合三角函数的图象和性质进行求解即可.本题主要考查三角函数的图象和性质，利用向量数量积的定义结合辅助角公式进行化简是解决本题的关键.运算量较大.。
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宁波市镇海中学2018-2019学年下学期开学考高一数学试卷一、单选题1．已知函数2,3()3,3x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则()()()15f f f -的值为A ．1B ．2C ．3D ．–32．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<，212Q xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则P Q I 为( )A ．()0,2B ．()1,9 C ．()1,4D ．()1,23．下列函数的周期不为π的是( )A ．2sin y x = B ．y =C ．()2sin cos y x x =-D ．cos cos y x x =+4．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r方向上的投影为( )A ．165-B ．165C ．1613-D ．16135．下列关系正确的是( ) A ．tan 20sin1cos8<<< B ．0cos8sin1tan 2<<< C ．tan 2cos80sin1<<<D ．tan 20cos8sin1<<<6．若非零向量a b r r，满足a b b +=r r r ，则（ ）A ．22a a b >+r r rB ．22a a b <+r r rC ．22b a b >+r r rD ．22b a b <+r r r7．在ABC ∆中，5sin 13A =，3cos 5B =，则cosC =（ ） A ．5665 B ．3365- C ．5665或1665-D ．1665- 8．向量a r ，b r 满足2a b a b ==⋅=r r r r ，当实数1t ≥时，向量a r 和a tb -r r的夹角范围是( )A ．[0,)3π B ．2[,)33ππC ．[,)32ππ D ．[,)3ππ9．已知函数()sin cos ()f x x a x a R =+∈对任意x ∈R 都满足()()44f x f x ππ+=-，则函数()sin ()g x x f x =+的最大值为A ．5B ．3CD．10．定义在R 上的奇函数()f x 满足，当(0,2)x ∈时，()cos((1))2f x x π=-，且2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，则函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为( ) A ．9 B ．8C ．7D ．6二、填空题11．函数sin y x x =的图象可由函数cos y x x =+的图象至少向左平移________个单位长度得到. 12．函数1()(2f x =________.13．已知()0,απ∈，sin α与cos α是关于x 的一元二次方程21370x x m ++=的两根，则()1tan tan 1cos 2ααα-+⋅的值为________.14．已知2a b +=r r ，4a b -=r r ，则a b +r r的范围是________.15．在ABC ∆中，AD 为BC 上的中线，1AB =，5AD =，45ABC ∠=︒，则sin ADC ∠=________，AC =________.16．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意12x x <，有1212()()1f x f x x x ->--，且(1)1f =，则不等式22(log 31)2log 31x x f -<--的解集为________.17．在ABC ∆中，4AB =，5AC =，3BAC π∠=，H 为ABC ∆内一点，::2:3:5HAB HCB HAC S S S ∆∆∆=，则HA HC ⋅=u u u r u u u r________.三、解答题18．已知α，β为锐角，且1tan 7α=，sin β=. （1）求sin()αβ+； （2）求2αβ+.19．已知(2sin ,1)a x =+r ，(2,2)b =-r ，(sin 3,1)c x =-r ，(1,)(,)d k x R k R =∈∈u r.（1）若[,]22x ππ∈-，且//()a b c +r r r，求x 的值；（2）是否存在实数k 和x ，使()()a d b c +⊥+r u r r r？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.20．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知22222202b c a ca b c b c+-+=+-+. （1）求角A 的值；（2）若2a =，求三角形周长的取值范围.21．已知定义在[]22-,上的偶函数()f x 满足：当[]0,2x ∈时，()f x x =-+（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()20g x ax a a =-->，若对于任意的[]12,2,2x x ∈-，都有()()12g x f x <成立，求实数a的取值范围.22．已知向量,cos )a x x ωω=r ，(sin ,cos )b x x ωω=-r ，且函数()f x a b =⋅r r的两个对称中心之间的最小距离为2π. （1）求()3f π；（2）若函数()1()2x G x m =+-在[0,]π上恰有两个零点，求实数m 的取值范围.解析宁波市镇海中学2018-2019学年下学期开学考高一数学试卷一、单选题1．已知函数2,3()3,3x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则()()()15f f f -的值为A ．1B ．2C ．3D ．–3 【答案】A【解析】根据自变量所属的取值范围代入分段函数对应的解析式求解即可. 【详解】由函数解析式可得：()1122f ==，()5532f =-=()()()()005112f f f f -===∴本题正确选项：A【点睛】本题考查分段函数的函数值的求解问题，属于基础题. 2．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<，212Q xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则P Q I 为( )A ．()0,2B ．()1,9 C ．()1,4D ．()1,2【答案】D【解析】集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分. 【详解】解：{}19P x x =<<，{}02Q x x =<<；()1,2P Q ∴⋂=.故选：D. 【点睛】本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.简单对数不等式问题的求解策略：(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0. 3．下列函数的周期不为π的是( )A ．2sin y x = B ．y =C ．()2sin cos y x x =- D ．cos cos y x x =+【答案】D【解析】利用三角函数的诱导公式、和差倍角公式，将三角函数化为标准式求解周期. 对选项,A C 运用二倍角公式化简再求周期，对B 化简降次求周期，对D 化简得2cos y x =直接求周期. 【详解】Q 函数21cos 2sin 2xy x -==的最小正周期为22ππ=，满足条件；函数tan y x ==的最小正周期为π，满足条件；函数()2sin cos 1sin 2y x x x =-=-最小正周期为22ππ=，满足条件； 函数cos cos 2cos y x x x =+=的最小正周期为221ππ=，不满足条件， 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数周期. 三角函数周期的求解方法公式法 (1)三角函数= = = y sin x y cos x y tan x ，，的最小正周期分别为22πππ，，； (2)(=)y Asin x ωϕ＋和(=)y Acos x ωϕ＋的最小正周期为2||πω，()=y tan x ωϕ＋的最小正周期为||πω 图象法 利用三角函数图象的特征求周期．如：相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期.4．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r方向上的投影为( )A ．165-B ．165C ．1613-D ．1613【答案】C【解析】先计算出16a b r r⋅=-，再求出b r ，代入向量a r 在b r 方向上的投影a b b⋅r rr 可得【详解】()4,3a =r Q ，()5,12b =-r，4531216a b ⋅=⨯-⨯=-r r，则向量a r 在b r方向上的投影为1613a b b⋅-=r rr ，故选：C. 【点睛】本题考查平面向量的数量积投影的知识点. 若,a b r r的夹角为θ，向量a r 在b r 方向上的投影为cos a θ⋅r 或a b b⋅r rr5．下列关系正确的是( ) A ．tan 20sin1cos8<<< B ．0cos8sin1tan 2<<< C ．tan 2cos80sin1<<< D ．tan 20cos8sin1<<<【答案】C【解析】先分别判断弧度制1,2,8所在的象限，根据三角函数的定义判断函数值的符号. 【详解】1Q 是第一象限，sin10∴>，2Q 是第二象限，tan 20∴<，且tan 21<-，()cos8cos 82π=-，82π-Q 是第二象限，()cos8cos 820π∴=-<， tan 2cos80sin1∴<<<，故选：C. 【点睛】本题主要考查利用三角函数值的符号比较大小. 利用定义求三角函数值问题的常见类型及解法:(1)已知角α终边上一点P 的坐标，根据三角函数的定义求出相应的值即可．(2)若已知角α的终边所在直线的方程求三角函数值，可以先设出终边上一点的坐标，再根据定义求相应的值． (3)若角α终边上的点的坐标中含参数，要讨论参数的各种情况，以确定角α终边所在的象限，进一步正确得出各个三角函数值．此时注意不要漏解或多解．认清角的终边所在的象限，以确定三角函数值的符号，防止出现错误．6．若非零向量a b r r，满足a b b +=r r r ，则（ ）A ．22a a b >+r r rB ．22a a b <+r r rC ．22b a b >+r r rD ．22b a b <+r r r【答案】C 【解析】【详解】由已知22()a b b r r r ＋＝，即220a b a ⋅r r r ＋＝.22222||2242a b a a b b b a ⋅r r r r r r r r Q ＋－＝＋＝－符号不能确定，∴A 、B 均不对． 222||224a b b a a b ⋅r r r r r r Q ＋－＝＋22220a a a <r r r ＝－＝－.故选C.7．在ABC ∆中，5sin 13A =，3cos 5B =，则cosC =（ ） A ．5665B ．3365- C ．5665或1665-D ．1665-【答案】D【解析】根据B 的范围和同角三角函数关系求得sin B ，由大边对大角关系可知A 为锐角，从而得到cos A ；利用诱导公式和两角和差余弦公式可求得结果. 【详解】()0,B π∈Q ，3cos 5B =4sin 5B ∴= sin sin A B <Q A ∴为锐角，又5sin 13A = 12cos 13A ∴= ABC π++=Q()1235416cos cos cos cos sin sin 13513565C A B A B A B ∴=-+=-+=-⨯+⨯=- 本题正确选项：D 【点睛】本题考查三角形中三角函数值的求解，涉及到同角三角函数关系、三角形中大边对大角的关系、诱导公式和两角和差余弦公式的应用；易错点是忽略角所处的范围，造成求解三角函数值时符号发生错误.8．向量a r ，b r 满足2a b a b ==⋅=r r r r ，当实数1t ≥时，向量a r 和a tb -r r的夹角范围是( )A ．[0,)3π B ．2[,)33ππC ．[,)32ππ D ．[,)3ππ【答案】B【解析】利用2a b a b ==⋅=r r r r 求出,3a b π<>=r r ，几何法作出=CA a tb -u u u r r r ,得,=a a C b A t O r r -∠<>，当1t =时，=3,a a tb OAB r r π<>∠=-,当t →+∞时//OC AC 即23OAC π∠< 【详解】由2a b a b ==⋅=r r r r ，得a r ，b r 的夹角为3π，不妨设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，()1OC tb t =≥u u r u r ，不妨设()1OC tb t =≥u u ru r ，则点C 在OB 的延长线上运动，向量a r 和a tb -r r 的夹角可用OAC ∠表示，由图知：2[,)33OAC ππ∠∈， 故选：B.应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可．注意加法的三角形法则要求“首尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”；减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”；数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．9．已知函数()sin cos ()f x x a x a R =+∈对任意x ∈R 都满足()()44f x f x ππ+=-，则函数()sin ()g x x f x =+的最大值为A ．5B ．3C D ．【答案】C 【解析】∵函数()()sin cos f x x a x a R =+∈对任意x R ∈都满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴函数()f x 的对称轴为4x π=，且()()f x x θ=+∴422f a π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴1a =∴函数()()()sin 2sin cos g x x f x x x x β=+=++∴函数()g x 故选C点睛：本题考查函数的对称性及辅助角公式的应用.对于函数的对称性，若函数()y f x =满足()()f a x f a x =-+或(2)()f a x f x -=，则函数图象关于直线x a =对称；研究函数()sin cos f x A x B x ωω=+的图象和性质的关键一步是利用辅助角公式将函数的形式变成()()f x x ωϕ=+的形式.10．定义在R 上的奇函数()f x 满足，当(0,2)x ∈时，()cos((1))2f x x π=-，且2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，则函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为( ) A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】B【解析】先由奇函数性质求出函数()f x 在[]2,2-上的解析式，再利用1()(2)2f x f x =-.得到[2,5]-的图象，2()()F x x f x x =-的零点个数，等价于求1()f x x=的解的个数.根据两函数交点个数即可求解.当(0,2)x ∈时，()cos((1))cos()sin()2222f x x x x ππππ=-=-=，()f x Q 是奇函数，()00f ∴=，当2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-， ()()12002f f ∴==，()()14202f f ==， 若()2,0x ∈-，则()0,2x -∈，则()sin()(in ()22)s x f x f x x ππ-=-=-=-， 即()sin()2f x x π=，()2,0x ∈-即当22x -≤≤时，()sin()2f x x π=，当24x ≤≤时，022x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin()2222222f x f x x x x ππππ=-=-=-=-，当45x ≤≤时，223x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin(44)24222f x f x x x x ππππ=-=--=--=， 由2()()0F x x f x x =-=，得：当0x =时，由(0)0F =，即0x =是()F x 的一个零点，当0x ≠时，由2()0f x xx -=得1()xf x =，即1()f x x=， 作出函数()f x 与1()g x x=在，[2,5]-上的图象如图： 由图象知两个函数在[2,5]-上共有7个交点，加上一个0x =， 故函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为8个， 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用. 判断函数零点个数的方法:直接法:即直接求零点，令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点定理法:即利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <g ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点图象法:即利用图象交点的个数，画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数()h x 和()g x 的差，根据()0()()f x h x g x Û＝＝，则函数f(x)的零点个数就是函数()y h x =和()y g x ＝的图象的交点个数性质法:即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.二、填空题11．函数sin y x x =的图象可由函数cos y x x =+的图象至少向左平移________个单位长度得到. 【答案】32π【解析】利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据函数()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】Q 函数，cos 2sin()6y x x x π==+5sin 2sin()2sin()33y x x x x ππ==-=+，故把函数cos y x x =+的图象至少向左平移53362πππ-=个单位，可得sin y x x =的图象， 故答案为：32π. 【点睛】 本题主要考查函数y Asin x ωϕ=+（）的图象变换.三角函数图象变换主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x ，如果x 的系数不是1，则需把x 的系数提取后再确定平移的单位长度和方向.12．函数1()(2f x =________.【答案】1[,)2++∞ 【解析】先求出函数的定义域，利用复合函数的单调性之间的关系进行求解. 【详解】Q 函数()1()2f x =，210x x ∴--≥，求得x ≤x ≥，故函数的定义域为12x x ⎧-⎪≤⎨⎪⎩或12x +≥⎪⎭，本题即求21t x x =--在定义域内的增区间，再根据二次函数的性质可得21t x x =--在定义域内的增区间为1[,)2++∞，故答案为：1[)2++∞. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性. 复合函数单调性的规律:若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．13．已知()0,απ∈，sin α与cos α是关于x 的一元二次方程21370x x m ++=的两根，则()1tan tan 1cos 2ααα-+⋅的值为________.【答案】16949【解析】由已知结合根与系数的关系求得sin cos αα+，进一步求得sin cos αα-，联立求得sin α，cos α的值，得到tan α及cos2α的值，则问题可解． 【详解】sin αQ 与cos α是关于x 的一元二次方程21370x x m ++=的两根，7sin cos 13αα∴+=-，两边平方得：1202sin cos 169αα=-， ()0,απ∈Q ，sin 0α∴>，cos 0α<，则17sin cos 13αα-===. 联立7sin cos 1317sin cos 13αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得5sin 13α=，12cos 13α=-. 5tan 12α∴=-.则()511tan 287316912525tan 1cos 283349(1)(12)12169ααα+-===+⋅-⨯-⨯. 故答案为：16949. 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系.利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．14．已知2a b +=r r ，4a b -=r r ，则a b +r r的范围是________.【答案】【解析】设a m =r ，b n =u u r．对2a b +=r r ，4a b -=r r 两边平方，可得2210m n +=，再利用向基本不等式的性质即可得出． 【详解】设a m =r ，b n =r ，a b θ<>=r r ，. 2a b +=Q r r ，4a b -=r r， 222cos 4m n mn θ∴++=，222cos 16m n mn θ+-=， 2210m n ∴+=，则4a b ≤+≤=r ra b ∴+r r的范围是4,⎡⎣.故答案为：4,⎡⎣.【点睛】本题主要考查向量的模的运算.（1）向量的平方等于模的平方： 0a a a a cos r r r r g⋅=2a a a =⋅=，（2）基本不等式及其有关变形：0,0)2a ba b +>>当且仅当a b =时取等号. 15．在ABC ∆中，AD 为BC 上的中线，1AB =，5AD =，45ABC ∠=︒，则sin ADC ∠=________，AC =________.【解析】由已知在ABD ∆中，利用正弦定理可得sin ADB ∠，进而可求sin ADC ∠的值，在ABD ∆中，由余弦定理解得BD ，可求BC ，由余弦定理可得AC 的值.【详解】1AB =Q ，5AD =，45ABC ∠=︒， ∴在ABD ∆中，由正弦定理可得：1sin 2sin 5AB ABCADB AD⨯⋅∠∠===sin sin 10ADC ADB ∴∠=∠=. Q 在ABD ∆中，由余弦定理2222cos AD AB BD AB AD ABC =+-⋅⋅∠，可得：2251212BD BD =+-⨯⨯⨯，即：2240BD -=， ∴解得：BD =-2BC BD ∴==，∴由余弦定理可得：AC ===故答案为：10【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在平面几何中的综合应用. 平面几何中解三角形问题的求解思路:(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． 16．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意12x x <，有1212()()1f x f x x x ->--，且(1)1f =，则不等式22(log 31)2log 31x x f -<--的解集为________.【答案】(,0)(0,1)-∞U【解析】由条件()()12121f x f x x x ->--移项变形得112212[()][()]0f x x f x x x x +-+>-， 则()()g x f x x =+在R 上为增函数，再把问题不等式转化为()g x 函数不等式，利用单调性求解. 【详解】根据题意，设()()g x f x x =+，若函数()f x 满足对任意12x x <，有()()12121f x f x x x ->--，则112212[()][()]0f x x f x x x x +-+>-，则函数()g x 在R 上为增函数，又由(1)1f =，则(1)112g =+=，2222(log 31)2log 31(log 31)log 312x x x x f f -<--⇒-+-< 22(log 31)(1)log 311x x g g ⇒-<⇒-<，则有0312x<-<，解可得：1x <且0x ≠，即不等式的解集为(,0)(0,1)-∞U ； 故答案为：(,0)(0,1)-∞U . 【点睛】(())(())f g x f h x >不等式的解法：利用函数性质得到(())y f g x = 函数的单调性利用利用单调性去掉“f ”原不等式化为()()g x h x >或()()g x h x <从而得解. 17．在ABC ∆中，4AB =，5AC =，3BAC π∠=，H 为ABC ∆内一点，::2:3:5HAB HCB HAC S S S ∆∆∆=，则HA HC ⋅=u u u r u u u r________.【答案】92-【解析】根据题意建立平面直角坐标系，利用数形结合与面积的比求出点H 的坐标，再用坐标表示出向量，从而求出平面向量的数量积． 【详解】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示；则(0,0)A ，(4,0)B ，(5cos 60,5sin 60)C ︒︒，即5(,22C ； 又::2:3:5HAB HCB HAC S S S ∆∆∆=，15HAB ABC S S ∆∆∴=，作HE AB ⊥于E ，则H的纵坐标15y HE ===； 又12HAC ABC S S ∆∆=，作HF AC ⊥于F ，则1sin602HF AB =⨯⨯︒= 设HAE α∠=，则sin 2HA α=，…①sin(60)HA α︒-=…②sin(60)2sin αα︒-∴=，即1sin 222sin ααα-=求得sin tan s co ααα==， ∴点H的横坐标tan 52HE x AE α====，(25H ∴，5(,22HA ∴=--u u u r ，(0,HC =u u u r ， 50()322HA HC ∴⋅=-⨯+-⨯=-u u u r u u u r .故答案为： 3-【点睛】本题考查平面向量与几何综合问题 其求解方法：(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．三、解答题18．已知α，β为锐角，且1tan 7α=，sin 10β=. （1）求sin()αβ+； （2）求2αβ+.【答案】(1)(2) 4π【解析】分析：(1) 先根据同角三角函数关系得sin α=，cos α=，cos β=，再根据两角和正弦公式化简得结果，(2) 根据二倍角公式得sin2β，cos2β，再根据两角和余弦公式得()cos 2αβ+，最后根据范围求结果.详解： 由于,αβ为锐角，1tan 7α=，sin 10β=∴sin 10α=，cos 10α=，cos 10β=，sin()sin cos cos sin 101010105αβαβαβ+=+=⨯+=（2）3sin22sin cos 25βββ===，24cos212sin 5ββ=-=，∴()43cos 255αβ+=-=由于,αβ为锐角，∴3022παβ<+<，∴24παβ+= 点睛：在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数.①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是π(0,)2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0,π)，选余弦函数较好；若角的范围为ππ(,)22-，选正弦函数较好 19．已知(2sin ,1)a x =+r ，(2,2)b =-r ，(sin 3,1)c x =-r ，(1,)(,)d k x R k R =∈∈u r.（1）若[,]22x ππ∈-，且//()a b c +r r r，求x 的值；（2）是否存在实数k 和x ，使()()a d b c +⊥+r u r r r？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）6π-；（2）存在，[5,1]--.【解析】（1）先根据2231b c sinx =-=-r r （，），（，），求出b c +r r的坐标，再根据()a b c ⋅+r r r ，找到向量坐标满足的关系式，根据x 的范围，就可求出x 的值.（2）先假设存在实数k 和x ，使()()a d b c +⊥+r u r r r ，则可得()a d b c +⋅+r u r r r()=0，再用向量数量积的坐标公式计算，若能解出k 的值，则存在，否则不存在. 【详解】（1）(2,2)b =-r Q ，(sin 3,1)c x =-r，(sin 1,1)b c x ∴+=--r r ，//()a b c +r r r Q ，(2sin )sin 1x x ∴-+=-，2sin 1x ∴=-，1sin 2x =-，[,]22x ππ∈-Q ，6x π∴=-.（2）(3sin ,1)a d x k +=++r u r ，(sin 1,1)b c x +=--r r若()()a d b c +⊥+r u r r r ，即(3sin )(sin 1)(1)0x x k +--+=，2sin 2sin 4sin [1,1]k x x x =+-=∈-，sin 1[0,2]x +∈，()2sin 15x +-，x ∈R ，2(sin 1)[0,4]x +∈，[5,1]k ∈--，存在[5,1]k ∈--使()()a d b c +⊥+r u r r r.【点睛】本题主要考查了平面向量、三角函数有关知识.平面向量平行、垂直与三角函数综合问题求解思路：利用向量平行(共线)、垂直关系得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解．20．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知22222202b c a ca b c b c+-+=+-+. （1）求角A 的值；（2）若2a =，求三角形周长的取值范围. 【答案】（1）23π；（2）2]+. 【解析】（1）由正弦定理，余弦定理化简已知等式可求cosA ，结合A 的范围可求A 的值. （2）由正弦定理可求33c sinC b sinB ==，，设周长为y，利用三角函数恒等变换的应用化简得()23y sin B π=++，可求范围2333B πππ<+<，利用正弦函数的性质可求取值范围.【详解】（1）22222202b c a ca b c b c+-+=+-+Q ， ∴由余弦定理可得：2cos 02cos 2bc A cab C b c +=+，∴由正弦定理可得：sin cos sin 0sin cos 2sin sin C A CA CB C+=+，整理可得：02sin cos sin cos cos sin B A C A C A =++， 02sin cos sin B A B ∴=+， sin 0B >Q ， ∴可得：1cos 2A =-，()0,A π∈Q ， 23A π∴=（2）2a =Q ，23A π=，22sin sin 3sin 3b c B C π===Q，sin 3c C ∴=，b B =， 设周长为y ，则y a c b =++2B C =+2sin()333B B π=++-22cos 3B B =++，)233B π=++， 03B π<<Q ，2333B πππ∴<+<，sin()123B π∴<+≤，)2(4,2]333y B π∴=++∈+. ∴周长的取值范围是2]+.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的灵活运用. 三角形中最值范围问题的解题思路：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．注意要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大． 21．已知定义在[]22-,上的偶函数()f x 满足：当[]0,2x ∈时，()f x x =-+（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()20g x ax a a =-->，若对于任意的[]12,2,2x x ∈-，都有()()12g x f x <成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）()[)[]2,00,2x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨-+∈⎪⎩；（2）02a <<. 【解析】【详解】试题分析： （1）当[]2,0x ∈-时，[]0,2x -∈，从而()f x x -=+()f x 为偶函数可得()f x 在[]2,0-上的解析式，进而可得()f x 在[]22-,上的解析式．（2）将问题转化为()()max min g x f x <处理．由于()f x 为偶函数，故只可求出当[]2,0x ∈-时()f x 的最小值即可，可得()min 0f x =．又()()max 22g x g a ==-，由20a -<，得2a <，即为所求．试题解析： （1）设[]2,0x ∈-，则[]0,2x -∈，∴()f x x -=+∵()f x 定义[]2,2x ∈-在偶函数， ∴()()f x f x x =-=+∴()[)[]2,00,2x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨-+∈⎪⎩ ． （2）由题意得“对任意[]12,2,2x x ∈-，都有()()12g x f x <成立”等价于“()()max min g x f x <”．又因为()f x 是定义在[]22-,上的偶函数. 所以()f x 在区间[]2,0-和区间[]0,2上的值域相同.当[]2,0x ∈-时，()f x x =+设t =t ⎡∈⎣令22()23(1)4,h t t t t t ⎡=+-=+-∈⎣，则当1t =时，函数()h t 取得最小值(1)0h =，所以()min 0f x =．又()()max 22gx g a ==-由20a -<，解得2a <， 因此实数a 的取值范围为()0,2.点睛：（1）利用偶函数的性质可求函数的解析式，对于偶函数的值域根据其对称性只需求在y 轴一侧的值域即可，体现了转化的思想在解题中的应用． （2）本题中，将“对任意[]12,2,2x x ∈-，都有()()12g x f x <成立”转化为“()()max min g x f x <”来处理，是数学中常用的解题方法，这一点要好好体会和运用．（3）形如y ax b =+±22．已知向量,cos )a x x ωω=r ，(sin ,cos )b x x ωω=-r ，且函数()f x a b =⋅r r 的两个对称中心之间的最小距离为2π. （1）求()3f π；（2）若函数()1()2xG x m =+-在[0,]π上恰有两个零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）12；（2）[1,1)2--. 【解析】(1)根据向量数量积的定义结合辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性质求出的周期和ω即可.(2)求出函数()Gx 的解析式，利用参数法，结合三角函数的图象和性质进行求解即可. 【详解】（1）()21()sin cos 21cos 222f x a b x x x x x ωωωωω=⋅=-=-+r r112cos 2222ωx ωx =-- 1sin(2)62x πω=--， Q 函数()f x a b =⋅r r 的两个对称中心之间的最小距离为2π， 22T π∴=，得T π=， 即22Tππω==，得1ω=， 即()1sin(2)62f x x π=--. 则111()sin(2)1336222f πππ=⨯--=-=；（2）函数1()1()1)]0262x G x m m x π=+=+--=，得)162m x π=---，当0x π≤≤时，5666x πππ-≤-≤， 当5666x πππ≤-≤且62x ππ-≠时，sin()6y x π=-才有两个交点，此时1sin()126x π≤-<，则)26x π≤-<即0)622x π≤--<，1)11622x π-≤---<-，即112m -≤<-，即实数m 的取值范围是[1,1)2--. 【点睛】本题主要考查了三角函数图象与性质的综合问题.先将()y f x ＝化为si (n )y A x B w j ＝＋＋的形式，再借助(n )si y A x w j ＝＋的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题,注意活用辅助角公式准确化简；“x ωϕ＋”整体处理；数形结合，分离参数，活用函数图象．。