高考数学《三角函数》专题 平面向量章节测试学案
高考数学(理)二轮复习提优导学案第一部分专题一三角函数和平面向量平面向量、解三角形
第2讲平面向量、解三角形【课前热身】第2讲平面向量、解三角形(本讲对应学生用书第4~6页)1.(必修4 P76习题7改编)在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若B C=e1，D C=e2，则O C=.【答案】12(e1+e2)【解析】因为O是矩形ABCD对角线的交点，B C=e1，D C=e2，所以O C=12(B C+D C)=12(e1+e2).2.(必修4 P90习题19改编)已知向量a=(6，-3)，b=(2，x+1)，若a⊥b，则实数x=.【答案】3【解析】因为a⊥b，所以a·b=0，所以12-3x-3=0，解得x=3.3.(必修5 P10练习2改编)在锐角三角形ABC中，设角A，B所对的边分别为a，b.若2a sin B=3，则角A=.【答案】π3【解析】在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B=3sin B ，因为B 为△ABC的内角，所以sin B ≠0，所以sinA=32.又因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以A=π3.4.(必修4 P80例5改编)已知向量a =(1，0)，b =(2，1)，则当k= 时，向量k a -b 与a +3b 平行.【答案】-13【解析】由题设知向量a 与b 不平行，因为向量k a -b 与a +3b 平行，所以1k =-13，即k=-13.5.(必修5 P16习题1(3)改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=7，b=43，c=13，则△ABC 最小的内角为 .【答案】π6【解析】因为13<43<7，所以C<B<A ，又因为cos C=222-2a b c ab +=2743⨯⨯=3，所以C=π6.【课堂导学】平面向量与三角函数综合例1 (2016·淮安5月信息卷)已知向量m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，α∈(0，π).(1)若m ⊥n ，求角α的大小； (2)求|m +n |的最小值.【解答】(1)因为m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，且m ⊥n ，所以3cos α-sin α=0，即tan α=3.又因为α∈(0，π)，所以α=π3.(2)因为m +n =(cos α+3，sin α-1)，所以|m +n |=22(cos 3)(sin -1)αα++=523cos -2sin αα+=π54cos 6α⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 因为α∈(0，π)，所以α+ππ7π666⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故当α+π6=π，即α=5π6时，|m +n |取得最小值1.正弦定理、余弦定理的应用例2 (2016·苏州暑假测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin 2-2A B+sin A sin B=224.(1)求角C的大小；(2)若b=4，△ABC的面积为6，求c的值.【解答】(1)sin2-2A B+sin A sin B=1-cos(-)2A B+2sin sin2A B=1-cos cos-sin sin2A B A B+2sin sin2A B=1-cos cos sin sin2A B A B+=1-(cos cos-sin sin)2A B A B=1-cos()2A B+=1-cos(π-)2C=1cos2C+=224+，所以cos C=22.又0<C<π，所以C=π4.(2)因为S=12ab sin C=12a×4×sinπ4=2a=6，所以a=32.因为c2=a2+b2-2ab cos C=(32)2+42-2×32×4×22=10，所以c=10.变式1(2016·南通一调)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a+b-c)(a+b+c)=ab.(1)求角C的大小；(2)若c=2a cos B，b=2，求△ABC的面积.【解答】(1)在△ABC中，由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得222-2a b cab+=-12，即cos C=-1 2.因为0<C<π，所以C=2π3.(2)方法一：因为c=2a cos B，由正弦定理，得sin C=2sin A cos B.因为A+B+C=π，所以sin C=sin(A+B)，所以sin(A+B)=2sin A cos B，即sin A cos B-cos A sin B=0，所以sin(A-B)=0.又-π3<A-B<π3，所以A-B=0，即A=B，所以a=b=2.所以△ABC的面积为S△ABC =12ab sin C=12×2×2×sin2π3=3.方法二：由c=2a cos B及余弦定理，得c=2a×222-2a c bac+，化简得a=b，所以△ABC的面积为S△ABC =12ab sin C=12×2×2×sin2π3=3.变式2(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在斜三角形ABC中，tan A+tan B+tan A tan B=1.(1)求角C的大小；(2)若A=15°，AB=2，求△ABC的周长.【解答】(1)因为tan A+tan B+tan A tan B=1，即tan A+tan B=1-tan A tan B.因为在斜三角形ABC中，1-tan A tan B≠0，所以tan(A+B)=tan tan1-tan tanA BA B+=1，即tan(180°-C )=1，tan C=-1. 因为0°<C<180°，所以C=135°.(2)在△ABC 中，A=15°，C=135°，则B=180°-A-C=30°.由正弦定理sin BC A =sin CA B =sin ABC ，得sin15BC =°sin30CA=°2sin135=2，故BC=2sin 15°=2sin(45°-30°)=2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=6-22， CA=2sin 30°=1.所以△ABC 的周长为AB+BC+CA=2+1+6-22=2622++.平面向量与解三角形综合例3 (2016·无锡期末)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量a =(sin B-sin C ，sin C-sin A )，b =(sin B+sin C ，sin A )，且a ⊥b .(1)求角B 的大小；(2)若b=c ·cos A ，△ABC 的外接圆的半径为1，求△ABC 的面积. 【解答】(1)因为a ⊥b ，所以a ·b =0， 即sin 2B-sin 2C+sin A (sin C-sin A )=0， 即sin A sin C=sin 2A+sin 2C-sin 2B ， 由正弦定理得ac=a 2+c 2-b 2，所以cos B=222-2a c b ac +=12. 因为B ∈(0，π)，所以B=π3.(2)因为c·cos A=b，所以bc=222-2b c abc，即b2=c2-a2，又ac=a2+c2-b2，b=2R sin B=3，解得a=1，c=2.所以S△ABC =12ac sin B=32.变式(2016·苏锡常镇二调)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m=(cos B，cos C)，n=(4a-b，c)，且m∥n.(1)求cos C的值；(2)若c=3ABC的面积S=154，求a，b的值.【解答】(1)因为m∥n，所以c cos B=(4a-b)cos C，由正弦定理，得sin C cos B=(4sin A-sin B)cos C，化简得sin(B+C)=4sin A cos C.因为A+B+C=π，所以sin(B+C)=sin A.又因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos C=1 4.(2)因为C∈(0，π)，cos C=1 4，所以sin21-cos C11-16154.因为S=12ab sin C=154，所以ab=2.①因为33=a2+b2-12ab，所以a2+b2=4，②由①②，得a4-4a2+4=0，从而a2=2，a=2(2)，所以a=b=2.【课堂评价】1.(2016·镇江期末)已知向量a=(-2，1)，b=(1，0)，则|2a+b|=.13【解析】因为2a+b=(-3，2)，所以|2a+b22(-3)2132.(2016·南京学情调研)已知向量a=(1，2)，b=(m，4)，且a∥(2a+b)，则实数m=.【答案】2【解析】方法一：由题意得a=(1，2)，2a+b=(2+m，8)，因为a∥(2a+b)，所以1×8-(2+m)×2=0，故m=2.方法二：因为a∥(2a+b)，所以存在实数λ，使得λa=2a+b，即(λ-2)a=b，所以(λ-2，2λ-4)=(m，4)，所以λ-2=m且2λ-4=4，解得λ=4，m=2.3.(2016·南京、盐城一模)在△ABC中，设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a=5，A=π4，cos B=35，则c=.【答案】7【解析】因为cosB=35，所以B∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，从而sin B=45，所以sin C=sin(A+B)=sinA cosB+cos A sin B=22×35+22×45=7210，又由正弦定理得sinaA=sincC，即52 2=7210c，解得c=7.4.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cos A=.(第4题)【答案】-10 10【解析】如图，作AD⊥BC交BC于点D，设BC=3，则AD=BD=1，AB=2，AC=5.由余弦定理得32=(2)2+(5)2-2×2×5×cos A，解得cos A=-10 10.5.(2016·南通一调)已知在边长为6的正三角形ABC中，B D=12BC，A E=13AC，AD与BE交于点P，则P B·P D的值为.(第5题)【答案】27 4【解析】如图，以BC为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，不妨设B(-3，0)，C(3，0)，则D(0，0)，A(0，3)，E(1，2)，P2⎛⎫⎪⎪⎝⎭，，所以P B·P D=|P D|2=22⎛⎫⎪⎪⎝⎭=274.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第3～4页.【检测与评估】第2讲平面向量、解三角形一、填空题1.(2016·苏州暑假测试)设x，y∈R，向量a=(x，1)，b=(2，y)，且a+2b=(5，-3)，则x+y=.2.(2016·盐城三模)已知向量a，b满足a=(4，-3)，|b|=1，|a-b，则向量a，b的夹角为.3.(2016·全国卷Ⅱ)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b= .4.(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB=13，BC=3，∠C=120°，则AC= .5.(2016·南京三模)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，AD=3，CD=2，AM=2MD .若AC ·BM =-3，则AB ·AD = .(第5题)6.(2016·无锡期末)已知平面向量α，β满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则α的模的取值范围为 .7.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若b a +ab =6cos C ，则tan tan C A +tan tan CB = .8.(2016·苏北四市摸底)在△ABC 中，AB=2，AC=3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO =x AB +y AC (x ，y ∈R )，则x+y 的值为 .二、 解答题9.(2016·苏北四市期末)已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin A=35，tan(A-B)=-12.(1)求tan B的值；(2)若b=5，求c的值.10.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=1，BD=210，∠CAD=π4，tan∠ADC=-2.(1)求CD的长；(2)求△BCD的面积.(第10题)11.(2016·南京三模)在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边.若向量m=(a，cos A)，向量n=(cos C，c)，且m·n=3b cos B.(1)求cos B的值；(2)若a，b，c成等比数列，求1tan A+1tan C的值.【检测与评估答案】第2讲平面向量、解三角形一、 填空题1. -1 【解析】由题意得a +2b =(x+4，1+2y )=(5，-3)，所以4512-3x y +=⎧⎨+=⎩，，解得1-2x y =⎧⎨=⎩，，所以x+y=-1.2. π3 【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，由|a -b|=，得21=(a -b )2=a 2+b 2-2a ·b =25+1-2·5·cos θ，即cos θ=12，所以向量a ，b 的夹角为π3.3. 2113 【解析】因为cos A=45，cos C=513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A=35，sin C=1213，所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=6365.由正弦定理得sin b B =sin a A ，解得b=2113.4. 1 【解析】设AC=x ，由余弦定理得cos 120°=29-1323x x +⋅⋅=-12，即x 2+3x-4=0，解得x=1或x=-4(舍去)，所以AC=1.5. 32 【解析】方法一：设A B =4a ，AD =3b ，其中|a |=|b |=1，则D C =2a ，AM =2b .由A C ·BM =(AD +D C )·(B A +AM )=-3，得(3b +2a )·(2b -4a )=-3，化简得a ·b =18，所以A B ·AD =12a ·b =32.方法二：建立平面直角坐标系，使得A(0，0)，B(4，0)，设D(3cos α，3sin α)，则C(3cos α+2，3sin α)，M(2cos α，2sin α).由A C·BM=-3，得(3cos α+2，3sinα)·(2cos α-4，2sin α)=-3，化简得cos α=18，所以A B·AD=12cos α=32.6.23⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】如图，设α=A B，β=A C，则β-α=B C，∠ABC=60°，设α与β的夹角为θ，则0°<θ<120°，由正弦定理可得°||sin(120-)θα=°||sin60β，所以|α|= 23sin(120°-θ).因为0°<θ<120°，所以0°<120°-θ<120°，所以0<sin(120°-θ)≤1，所以0<|α|≤23.(第6题)7.4【解析】ba+ab=6cos C⇒6ab cos C=a2+b2⇒3(a2+b2-c2)=a2+b2⇒a2+b2=232c，所以tantanCA+tantanCB=sincosCC·cos sin sin cossin sinB A B AA B+=sincosCC·sin()sin sinA BA B+=1cos C·2sinsin sinCA B=2222-aba b c+·2cab=22223-2ccc=2222cc=4.8. 58 【解析】如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，CE 为AB 边上的中线，且AD ∩CE=O.在△AEO 中，由正弦定理得sin AE AOE ∠=sin EOEAO ∠.在△ACO 中，由正弦定理得sin AC AOC ∠=sin CO CAO ∠，两式相除得AE AC =EO OC .因为AE=12AB=1，AC=3，所以EO OC =13，所以C O =3O E ，即A O -A C =3(A E -A O )，即4A O =3A E+A C ，所以4A O =32AB +A C ，从而A O =38AB +14AC.因为A O =x A B +y A C ，所以x=38，y=14，所以x+y=58.(第8题)二、 解答题9. (1) 方法一：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos 21-sinA 45，所以tan A=sin cos A A =34.由tan(A-B )=tan -tan 1tan ?tan A B A B +=-12，得tan B=2.方法二：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos 21-sinA 45，所以tan A=sin cos A A =34.又因为tan(A-B )=-12，所以tan B=tan[A-(A-B )]=tan -tan(-)1tan tan(-)A A B A A B +=31--42311-42⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=2. (2) 由(1)知tan B=2，得sin B=255，cos B=55， 所以sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=11525，由正弦定理sin b B =sin c C ，得c=sin sin b C B =112.10. (1) 因为tan ∠ADC=-2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC=255，cos ∠ADC=-55. 所以sin ∠ACD=sinππ--4ADC ∠⎛⎫ ⎪⎝⎭ =sin ∠ADC+π4=sin ∠ADC ·cos π4+cos ∠ADC ·sin π4=1010，在△ADC 中，由正弦定理得CD=·sin sin AD DACACD ∠∠=5(2) 因为AD ∥BC ，所以cos ∠BCD=-cos ∠ADC=55，sin ∠BCD=sin ∠ADC=55.在△BDC 中，由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos ∠BCD ， 即BC 2-2BC-35=0，解得BC=7，所以S △BCD =12BC ·CD ·sin ∠BCD=12×7525=7.11. (1) 因为m ·n =3b cos B ，所以a cos C+c cos A=3b cos B. 由正弦定理得sin A cos C+sin C cos A=3sin B cos B ， 所以sin(A+C )=3sin B cos B ， 所以sin B=3sin B cos B.因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B=13.(2) 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2=ac. 由正弦定理得sin 2B=sin A ·sin C.因为cos B=13，B 是△ABC 的内角，所以sinB=3，又1tan A +1tan C =cos sin A A +cos sin C C =cos ?sin sin ?cos sin sin A C A CA C +⋅ =sin()sin sin A C A C +⋅ =sin sin sin B A C ⋅=2sin sin B B =1sin B=4.。
浙江高考数学专题一三角函数、解三角形与平面向量第1讲三角函数的图象与性质学案
第1讲 三角函数的图象与性质[考情考向分析] 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x(x ≠0)．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．同角基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 3．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1 (1)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (2，1)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4等于( )A ．－7B ．－17 C.17 D ．7答案 A解析 由角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (2,1)，可得x ＝2，y ＝1，tan α＝y x ＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝11－14＝43， ∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝43＋11－43×1＝－7.(2)已知曲线f (x )＝x 3－2x 2－x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－2cos 2α－3sin(2π－α)·cos(π＋α)的值为( ) A.85 B ．－45 C.43 D ．－23 答案 A解析 由f (x )＝x 3－2x 2－x 可知f ′(x )＝3x 2－4x －1，∴tan α＝f ′(1)＝－2，cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－2cos 2α－3sin ()2π－αcos ()π＋α＝(－sin α)2－2cos 2α－3sin αcos α ＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos α ＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝tan 2α－3tan α－2tan 2α＋1 ＝4＋6－25＝85. 思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．跟踪演练1 (1)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π3，cos 5π3，则sin(π＋α)等于( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案 B解析 由诱导公式可得，sin 5π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝－sin π3＝－32，cos 5π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝cos π3＝12， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12， 由三角函数的定义可得，sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，则sin ()π＋α＝－sin α＝－12.(2)已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，则sin (π－α)－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)等于( )A.12B.13C.16 D ．－16 答案 D解析 ∵sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α，∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，则sin (π－α)－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)＝sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝2cos α－4cos α10cos α＋2cos α＝－212＝－16.热点二 三角函数的图象及应用 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换：(先平移后伸缩)y ＝sin x ――――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ) ―――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变 y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． (先伸缩后平移)y ＝sin x ――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变 y ＝sin ωx ―――――――→向左(φ>0)或右(φ<0)平移|φ|ω个单位长度y ＝sin(ωx ＋φ) ――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 例2 (1)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cosωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移5π12个单位长度D ．向右平移5π12个单位长度答案 A解析 由题意知，函数f (x )的最小正周期T ＝π， 所以ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )＝cos 2x . 把g (x )＝cos 2x 变形得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π3，所以只要将f (x )的图象向左平移π12个单位长度，即可得到g (x )＝cos 2x 的图象，故选A.(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)()ω>0，|φ|<π的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向右平移5π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，θ上的值域为[－1,2]，则θ＝________.答案π3解析 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)()ω>0，|φ|<π的部分图象如题图所示，则A ＝2，T 2＝13π12－7π12＝π2，解得T ＝π，所以ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 当x ＝712π，f⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ＝2， ∴7π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝－23π＋2k π，k ∈Z ， 又|φ|<π，解得φ＝－2π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3， 因为函数f (x )的图象向右平移5π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，所以g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －5π12－2π3＝2cos 2x ， 若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，θ上的值域为[－1,2]，则2cos 2θ＝－1，则θ＝k π＋π3，k ∈Z 或θ＝k π＋2π3，k ∈Z ，所以θ＝π3.思维升华 (1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度数和方向． 跟踪演练2 (1)若将函数y ＝cos ωx (ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sinωx 的图象重合，则ω的最小值为( ) A.12 B.32 C.52 D.72 答案 B解析 将函数y ＝cos ωx (ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后得到函数的解析式为y ＝cos ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3. ∵平移后得到的函数图象与函数y ＝sin ωx 的图象重合， ∴－ωπ3＝2k π－π2(k ∈Z )，即ω＝－6k ＋32(k ∈Z )．∴当k ＝0时，ω＝32.(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝________；函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上的零点为________．答案 27π12解析 从图中可以发现，相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为π3，－π6，从而求得函数的最小正周期为T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，根据T ＝2πω可求得ω＝2.再结合题中的条件可以求得函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2x －π6＝k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，结合所给的区间，整理得出x ＝7π12.热点三 三角函数的性质 1．三角函数的单调区间y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )；y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )；y ＝tan x 的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )．2．y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数； 当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数．例3 (2017·浙江)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解 (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－23×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2.(2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x 得，f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以f (x )的最小正周期是π. 由正弦函数的性质得，π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．思维升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用类题目的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．跟踪演练3 (2018·宁波模拟)已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋1－2sin 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值与最小值．解 (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期为π. (2)因为－π3≤x ≤π4，所以－5π12≤2x ＋π4≤3π4.当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π4＝－5π12，即x ＝－π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝－3＋12， 即f (x )的最小值为－3＋12.真题体验1．(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________． 答案 －332解析 f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵cos x ＋1≥0，∴当－1≤cos x <12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当12<cos x ≤1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， ∴当cos x ＝12时，f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， ∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值， 即f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－32×⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝－332.2．(2018·全国Ⅱ改编 )若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是________． 答案π4解析 f (x )＝cos x －sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·22－cos x ·22 ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4单调递增， f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4单调递减．∵函数f (x )在[－a ，a ]上是减函数，∴[－a ，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，∴0<a ≤π4，∴a 的最大值为π4.3．(2018·天津改编)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数________．(填序号) ①在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增；②在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减； ③在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2上单调递增；④在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递减． 答案 ①解析 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10＋π5＝sin 2x ，则函数y ＝sin 2x 的一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4，一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，7π4.由此可判断①正确．4．(2018·全国Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为______．答案 3解析 由题意可知，当3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )时， f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＝0.∵x ∈[0，π]， ∴3x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，19π6，∴当3x ＋π6的取值为π2，3π2，5π2时，f (x )＝0，即函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为3.押题预测1．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(x ∈R ，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移3π20个单位长度B ．向右平移3π20个单位长度C ．向左平移π5个单位长度D ．向右平移π5个单位长度押题依据 本题结合函数图象的性质确定函数解析式，然后考查图象的平移，很有代表性，考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错． 答案 A解析 由于函数f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则其最小正周期T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5，g (x )＝cos 2x . 把g (x )＝cos 2x 变形得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π20＋π5，所以要得到函数g (x )的图象，只要将f (x )的图象向左平移3π20个单位长度即可．故选A.2.如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，|φ|≤π2 与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π4，M 为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为( )A.83 3 B.1633 C ．8 D ．16 押题依据 由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求A ，考查数形结合思想． 答案 B解析 由题意设Q (a,0)，R (0，－a )(a >0)．则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a2，由两点间距离公式，得PM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝25， 解得a 1＝8，a 2＝－4(舍去)，由此得T 2＝8－2＝6，即T ＝12，故ω＝π6，由P (2,0)得φ＝－π3，代入f (x )＝A sin(ωx ＋φ)， 得f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3，从而f (0)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－8， 得A ＝1633.3．已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x . (1)若x 是某三角形的一个内角，且f (x )＝－22，求角x 的大小； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的最小值及取得最小值时x 的值．押题依据 三角函数解答题的第(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或对称中心)等，这些都可以由三角函数解析式直接得到，因此此类命题的基本方式是利用三角恒等变换得到函数的解析式．第(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值)，特别是指定区间上的值域(或最值)，是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式． 解 (1)∵f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ＝(cos 2x ＋sin 2x )(cos 2x －sin 2x )－sin 2x ＝cos 2x －sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22cos 2x －22sin 2x＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－22，可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－12.由题意可得x ∈(0，π)， ∴2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，9π4，可得2x ＋π4＝2π3或4π3，∴x ＝5π24或13π24.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22， ∴f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈[－2，1]．∴f (x )的最小值为－2，此时2x ＋π4＝π，即x ＝3π8.A 组 专题通关1．函数y ＝sin x (cos x －sin x )，x ∈R 的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－22，－1＋22答案 D解析 y ＝sin x cos x －sin 2x ＝12sin 2x －1－cos 2x 2＝－12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－22，－1＋22， 故选D.2．(2018·浙江金华十校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(x ∈R ，ω>0)与g (x )＝cos(2x＋φ)的对称轴完全相同．为了得到h (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象，只需将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度答案 A解析 由ωx ＋π3＝π2＋k 1π，k 1∈Z 得函数f (x )的对称轴为x ＝π6ω＋k 1πω，k 1∈Z ，由2x ＋φ＝k 2π，k 2∈Z 得函数g (x )的对称轴为x ＝－φ2＋k 2π2，k 2∈Z .因为两函数的对称轴完全相同，所以⎩⎪⎨⎪⎧π6ω＝－φ2，1ω＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，h (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度后得到的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故选A.3.(2018·浙江省金丽衢十二校联考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则φ等于( )A ．－π3B ．－π6C.π6D.π3答案 B解析 由题图易得函数f (x )的最小正周期为2πω＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，解得ω＝2，则f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又因为当x ＝π3时，f (x )取得最大值，所以2×π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝－π6＋2k π，k ∈Z ，又因为|φ|<π2，所以φ＝－π6，故选B.4．(2018·浙江教育绿色评价联盟适应性考试)设函数f (x )＝sin 2x ＋a cos x ＋b 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，且与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，且与b 有关 答案 B解析 令t ＝cos x ，则g (t )＝－t 2＋at ＋b ＋1(0≤t ≤1)，由题意得，①当a2<0，即a <0时，g (0)为最大值，g (1)为最小值，此时M －m ＝1－a ；②当a2>1，即a >2时，g (0)为最小值，g (1)为最大值，此时M －m ＝a －1; ③当12≤a 2≤1，即1≤a ≤2时，M 取g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，m 取g (0)，此时M －m ＝a 24；④当0≤a 2<12，即0≤a <1时，M 取g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，m 取g (1)，此时M －m ＝a 24＋1－a .综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关，故选B.5．函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)图象的相邻对称轴之间的距离为π2，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的最大值为1 B ．f (x )的图象关于直线x ＝5π12对称 C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2的一个零点为x ＝－π3D ．f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减 答案 D解析 因为f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的相邻的对称轴之间的距离为π2， 所以2πω＝π，得ω＝2，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x )的最大值为2，所以A 错误； 当x ＝5π12时，2x ＋π6＝π，所以f⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝0，所以x ＝5π12不是函数图象的对称轴，所以B 错误；由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π6＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当x ＝－π3时，f⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2≠0，所以x ＝－π3不是函数的一个零点，所以C 错误；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，7π6，f (x )单调递减，所以D 正确．6．(2018·浙江省金华十校模拟)在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (－3，－1)，则tan α＝________，cos α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝________. 答案330 解析 ∵角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (－3，－1)，∴x ＝－3，y ＝－1， ∴tan α＝y x ＝33， cos α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝cos α－cos α＝0. 7．已知tan α＝2，则sin 22α－2cos 22αsin 4α＝________.答案112解析 ∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43， ∴sin 22α－2cos 22αsin 4α＝sin 22α－2cos 22α2sin 2αcos 2α＝tan 22α－22tan 2α＝169－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝112. 8．(2017·全国Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．答案 1解析 f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0,1]，∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1. 9．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x －π)＝f (x )－sin x ，当－π<x ≤0时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫2 018π3＝________.答案32解析 ∵f (x －π)＝f (x )－sin x ， ∴f (x )＝f (x －π)＋sin x ，则f (x ＋π)＝f (x )＋sin(x ＋π)＝f (x )－sin x . ∴f (x ＋π)＝f (x －π)，即f (x ＋2π)＝f (x )． ∴函数f (x )的周期为2π， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2 018π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫672π＋2π3＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋sin 2π3. ∵当－π<x ≤0时，f (x )＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2 018π3＝0＋sin 2π3＝32. 10．已知向量m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，设函数f (x )＝m ·n ＋b . (1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)在(1)的条件下，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，求实数b 的取值范围．解 m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，f (x )＝m ·n ＋b ＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋1＋b＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋32＋b ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32＋b .(1)∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得ω＝3k ＋1(k ∈Z )， ∵ω∈[0,3]，∴ω＝1，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b ， 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，4π3，∴当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，函数f (x )单调递增；当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，4π3，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π12时，函数f (x )单调递减．又f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， ∴当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>0≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0时，函数f (x )有且只有一个零点， 即sin 4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0，∴b 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52. B 组 能力提高11.如图，单位圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35，∠AOC ＝α，若BC ＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为( )A.45B.35 C ．－45 D ．－35 答案 B解析 ∵点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35，设∠AOB ＝θ，∴sin(2π－θ)＝－35，cos(2π－θ)＝45，即sin θ＝35，cos θ＝45，∵∠AOC ＝α，BC ＝1，∴θ＋α＝π3，则α＝π3－θ，则3cos2α2－sin α2cos α2－32＝32cos α－12sin α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ＝35. 12．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为π，若f (x )>2对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，π3恒成立，则φ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 C.⎝⎛⎭⎪⎫π12，π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6 答案 D解析 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为π，所以函数的周期为T ＝π，ω＝2， 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π24，π3时，2x ＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋φ，2π3＋φ，且|φ|≤π2，由f (x )>2知，sin(2x ＋φ)>12，所以⎩⎪⎨⎪⎧π6≤π12＋φ，2π3＋φ≤5π6，解得π12≤φ≤π6.13．已知2sin αtan α＝3，且0<α<π. (1)求α的值；(2)求函数f (x )＝4cos x cos(x －α)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的值域．解 (1)由已知得2sin 2α＝3cos α， 则2cos 2α＋3cos α－2＝0， 所以cos α＝12或cos α＝－2(舍)，又因为0<α<π，所以α＝π3. (2)由(1)得f (x )＝4cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 由0≤x ≤π4，得π6≤2x ＋π6≤2π3，所以当x ＝0时，f (x )取得最小值f (0)＝2， 当x ＝π6时，f (x )取得最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝3， 所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的值域为[2,3]．14．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1， 因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， ∴g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. 又由lg g (x )>0，得g (x )>1， ∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z 时，g (x )单调递增；当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z 时，g (x )单调递减．∴g (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
高考数学大二轮复习 专题一 平面向量、三角函数与解三角形 第二讲 三角函数的图象与性质限时规范训练
第二讲 三角函数的图象与性质1．(2019·豫南九校联考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位，则所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－5π24B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－5π12 D.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π12 解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4经伸长变换得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，再作平移变换得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.答案：B2．(2019·某某亳州一中月考)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )解析：由题意得函数的周期为T ＝2π，故可排除B ，D.对于C ，图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，代入解析式，不成立，故选A. 答案：A3．(2019·某某某某十校期末测试)要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos 2x的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向右平移π3个单位长度解析：∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度．答案：B4．(2019·东北三省三校一模)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离是π2，则该函数的一个单调增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3解析：由题意得2πω＝2×π2，解得ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z)，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π.当k ＝0时，有x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6.故选A.答案：A5．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( ) A ．2B.32 C ．1D.12解析：由题意及函数y ＝sin ωx 的图象与性质可知， 12T ＝3π4－π4，∴T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2. 故选A. 答案：A6．(2019·某某某某一模)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( ) A ．1 B.π2C ．2D.π解析：∵函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，∴π3ω＋π3＝k π，k ∈Z ，∴ω＝3k －1，k ∈Z ，由ω∈(1,3)，得ω＝2.由题意得|x 1－x 2|的最小值为函数的半个周期，即T 2＝πω＝π2.答案：B7．(2019·某某平遥中学调研)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，已知点A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，若将它的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝π12B.x ＝π4C ．x ＝π3D.x ＝2π3解析：由题意知图象过A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0， 即f (0)＝2sin φ＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6·ω＋φ＝0，又ω>0，|φ|<π，并结合图象知φ＝2π3，π6·ω＋φ＝π＋2k π(k ∈Z)，得ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3， 移动后g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋2π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z)，解得x ＝π12＋k π2(k ∈Z)，所以满足条件的一条对称轴方程是x ＝π12，故选A.答案：A8．(2019·某某某某适应性统考)已知A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2一个周期内的图象上的五个点，如图所示，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B.ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D.ω＝12，φ＝π12解析：由题意知T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π，所以ω＝2.因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，所以0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ. 又0<φ<π2，所以φ＝π3.答案：A9．(2019·某某某某3月模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)，f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，若f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有且仅有三个零点，则ω的可能取值为( )A.23 B.2 C.143D.263解析：∵函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)，f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω－π6＝－12，∴π2ω－π6＝2k π＋π6或π2ω－π6＝2k π＋5π6，k ∈Z ，∴ω＝4k ＋23或ω＝4k ＋2，k ∈Z.∵函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有且仅有三个零点，∴ωx －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，ωπ2－π6，∴2π<ωπ2－π6≤3π，∴133<ω≤193，∴ω＝143或ω＝6.故选C.答案：C10．(2019·贺州一模)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(φ∈R)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f (x )，且f (π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，则函数f (x )取得最大值时x 的可能值为( )A.π6B.π5C.π3D.π2解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f (x )， 即y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，即函数f (x )在x ＝π6时取得最值，①当函数f (x )在x ＝π6时取得最大值时，又因为函数f (x )的周期为π，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝f (π)，满足题意， ②当函数f (x )在x ＝π6时取得最小值时，又因为函数f (x )的周期为π，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝f (π)，不满足题意， 综合①②得：函数f (x )取得最大值时x 的可能值为π6.故选A. 答案：A11．(2019·某某一模)若函数f (x )＝sinωx2·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx 2＋π2(ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内有且仅有一个最大值，则ω的取值X 围是( ) A ．(0,5)B.[1,5)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，92 解析：f (x )＝sinωx2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx 2＋π2＝12sin ωx ，当ωx ＝2k π＋π2，即x ＝2k π＋π2ω(k ∈Z)时函数取最大值，又函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内有且仅有一个最大值，即有两种情况，一是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内只有一个极值点，二是函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内单调递增，所以有⎩⎪⎨⎪⎧π2≤ωπ2<5π2，－3π2<－ωπ3或⎩⎪⎨⎪⎧π2≥ωπ2，－π2≤－ωπ3，解得ω∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，92或ω∈(－∞，1]，又∵ω>0，所以ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92，故选C. 答案：C12．(2019·某某一模)函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋cos 2x ，若f (x )最大值为G (θ)，最小值为g (θ)，则( )A ．∃θ0∈R ，使G (θ0)＋g (θ0)＝πB ．∃θ0∈R ，使G (θ0)－g (θ0)＝πC ．∃θ0∈R ，使|G (θ0)·g (θ0)|＝πD ．∃θ0∈R ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎪G (θ0)g (θ0)＝π解析：f (x )＝sin(2x ＋θ)＋cos 2x ＝cos θ·sin 2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋12·cos 2x ＋12＝54＋sin θsin(2x ＋φ)＋12，所以G (θ)＝54＋sin θ＋12，g (θ)＝－54＋sin θ＋12， ①对于选项A ，G (θ0)＋g (θ0)＝54＋sin θ＋12－54＋sin θ＋12＝1，显然不满足题意，即A 错误，②对于选项B ，G (θ0)－g (θ0)＝54＋sin θ＋12＋54＋sin θ－12＝254＋sin θ∈[1,3]，显然不满足题意，即B 错误， ③对于选项C ，G (θ0)·g (θ0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋sin θ＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋sin θ－12＝1＋sin θ∈[0,2]，显然不满足题意，即C 错误，④对于选项D ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪G (θ)g (θ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪154＋sin θ－12＋1∈[2，＋∞)，即∃θ0∈R ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎪G (θ0)g (θ0)＝π，故D 正确， 故选D. 答案：D13．(2019·某某模拟)函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1(x ∈R)的最大值为________．解析：∵f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f (x )max ＝2. 答案：214．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．若函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则函数f (x )的最小正周期为________． 解析：∵f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， ∴x ＝π2和x ＝2π3均不是f (x )的极值点，其极值应该在x ＝π2＋2π32＝7π12处取得，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴x ＝π6也不是函数f (x )的极值点，又f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性， ∴x ＝π6－⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π2＝π12为f (x )的另一个相邻的极值点，故函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π.答案：π15．(2019·某某某某武邑中学模拟)将f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位，得到y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上为增函数，则ω的最大值为________．解析：将f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位，得到y ＝g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4ω＋π4＝2sin ωx 的图象，若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上为增函数，则满足T 4≥π4，即T ≥π，即2πω≥π，所以0<ω≤2，即ω的最大值为2.答案：216．已知函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≠0，ω>0，|φ|≤π2，直线y ＝a 与f (x )的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题： ①该函数在[2,4]上的值域是[a ，2a ]；②在[2,4]上，当且仅当x ＝3时函数取得最大值； ③f (x )的图象可能过原点． 其中真命题的个数为________．解析：对于①，∵直线y ＝a 与函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别为2和4，∴结合图象可以看出，当a >0时，f (x )在[2,4]上的值域为[a ，2a ]，当a <0时，f (x )在[2,4]上的值域为[2a ，a ]，①错误；对于②，根据三角函数图象的对称性，显然x ＝2和x ＝4的中点是x ＝3，即当a >0时，f (x )在x ＝3处有最大值f (3)＝2a ，当a <0时，f (x )在x ＝3处有最小值f (3)＝2a ，②错误； 对于③，f (0)＝2a sin φ，令f (0)＝0，得φ＝0，此时f (x )＝2a sin πωx ，由2a sin πωx ＝a 得sin πωx ＝22，则πωx ＝2k π＋π4(k ∈Z)或πωx ＝2k π＋3π4(k ∈Z)，∴x ＝2k ＋14ω(k ∈Z)或x ＝2k ＋34ω(k ∈Z)，∵直线y ＝a 与函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别为2和4，∴令⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋14ω＝2，2k ＋34ω＝4，解得k ＝18∉Z ，即不存在这样的k 符合题意，③错误． 综上，没有真命题． 答案：0。
数学二轮复习专题3 三角函数与平面向量(学案)
2011届高考数学二轮专题三三角函数与平面向量高考中，三角函数主要考查学生的运算能力、灵活运用能力，在客观题中，突出考察基本公式所涉及的运算、三角函数的图像基本性质，尤其是对角的范围及角之间的特殊联系较为注重。
解答题中以中等难度题为主，涉及解三角形、向量及简单运算。
三角函数部分，公式较多，易混淆，在运用过程中，要观察三角函数中函数名称的差异、角的差异、关系式的差异，确定三角函数变形化简方向。
平面向量的考察侧重平面向量的数量积以及平面向量的平行、垂直关系的坐标运算。
向量是数学中的重要概念，并和数一样，也能运算。
但同时，平面向量的工具性不容忽视。
以向量的平行、垂直、所成角为载体，与三角、解析几何、不等式等知识点的综合是我们值得注意的方向。
关于三角向量命题方向：（1）三角函数、平面向量有关知识的运算；（2）三角函数的图像变换；（3）向量与三角的综合运用及解三角形。
（4）与其它知识的结合，尤其是与解析几何的结合。
小题大都以考察基本公式、基本性质为主，解答题以基础题为主，中档题可能有所涉及，压轴题可能性不大。
1、同角的三角函数关系：平方关系222222sin cos111tancos11cotsinαααααα⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩；倒数关系sin csc1cos sec1tan cot1αααααα⋅=⎧⎪⋅=⎨⎪⋅=⎩；商数关系sin tan cos cos cot sin αααααα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2、诱导公式可以概括为一句口诀：奇变偶不变，符号看象限。
诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sin α与cos α对偶，“奇”、“偶”是对诱导公式中2k π⋅+α的整数k 来讲的，象限指2k π⋅+α中，将α看作锐角时，2k π⋅+α所在象限，如将cos(23π+α)写成cos （32π⋅+α），因为3是奇数，则“cos ”变为对偶函数符号“sin ”，又23π+α看作第四象限角，cos(23π+α)为“+”，所以有cos(23π+α)=sin α。
浙江高考数学专题一三角函数、解三角形与平面向量第3讲平面向量学案
第3讲 平面向量[考情考向分析] 1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，且为基础题.2.考查平面向量数量积及模的最值问题，以选择题、填空题为主，难度为中高档，是高考考查的热点内容.3.向量作为工具，还常与解三角形、不等式、解析几何等结合，进行综合考查．热点一 平面向量的线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．2．在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1 (1)如图，在△ABC 中，AB ＝3DB ，AE ＝2EC ，CD 与BE 交于点F .设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，25B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫37，37 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，920 答案 A解析 由D ，F ，C 三点共线，可得存在实数λ，使得DF →＝λDC →，即AF →－AD →＝λ(AC →－AD →)， 则AF →＝(1－λ)AD →＋λAC →＝23(1－λ)AB →＋λAC →＝23(1－λ)a ＋λb . 由E ，F ，B 三点共线，可得存在实数μ，使得EF →＝μEB →， 即AF →－AE →＝μ(AB →－AE →)，则AF →＝μAB →＋(1－μ)AE →＝μAB →＋23(1－μ)AC →＝μa ＋23(1－μ)b .又a ，b 不共线，由平面向量基本定理可得 ⎩⎪⎨⎪⎧23(1－λ)＝μ，λ＝23(1－μ)，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝25，μ＝25，所以AF →＝25a ＋25b .所以x ＝25，y ＝25，即(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，25，故选A. (2)已知A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，过点P (m,0)的直线分别与线段AC ，BC 交于点M ，N (点M ，N 不同于点A ，B ，C )，且OA →＝xOM →＋yON →(x ，y ∈R )，若2≤|m |≤3，则x ＋y 的取值范围是____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12解析 设OP →＝λOA →，则有|λ|＝|OP →||OA →|＝|m |.∵M ，N ，P 三点共线，且点O 不在直线MN 上， ∴OP →＝nOM →＋(1－n )ON →.从而有nOM →＋(1－n )ON →＝λxOM →＋λyON →， 又OM →与ON →是不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧λx ＝n ，λy ＝1－n ，得x ＋y ＝1λ.由2≤|λ|≤3，得x ＋y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12.思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1 (1)在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m的值为( ) A ．－4B ．－1C ．1D ．4答案 B解析 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－k )AB →＋k 5AC →，且AP →＝mAB →＋25AC →，又AB →，AC →不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k ＝m ，k 5＝25，解得k ＝2，m ＝－1，故选B.(2)如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，M ，N 分别为线段BC ，CD 上的点，且满足1CM2＋1CN 2＝1，若AC →＝xAM →＋yAN →，则x ＋y 的最小值为________．答案 54解析 连接MN 交AC 于点G .由勾股定理知，MN 2＝CM 2＋CN 2，所以1＝1CM 2＋1CN 2＝MN 2CM 2·CN 2，即MN ＝CM ·CN ，所以C 到直线MN 的距离为定值1，此时MN 是以C 为圆心，1为半径的圆的一条切线(如图所示).AC →＝xAM →＋yAN →＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＋y AM →＋y x ＋y AN →. 由向量共线定理知， AC →＝(x ＋y )AG →，所以x ＋y ＝|AC →||AG →|＝5|AG →|，又因为|AG →|max ＝5－1＝4，所以x ＋y 的最小值为54.热点二 平面向量的数量积1．数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. 2．三个结论(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)若非零向量a ＝(x 1，y 1)，非零向量b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 例2 (1)已知在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝2CD ＝2，∠ADC ＝90°，若点M 在线段AC 上，则|MB →＋MD →|的取值范围为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,2)，D (0,2)， 设AM →＝λAC →(0≤λ≤1)，则M (λ，2λ)， 故MD →＝(－λ，2－2λ)，MB →＝(2－λ，－2λ)， 则MB →＋MD →＝(2－2λ，2－4λ)， ∴|MB →＋MD →|＝(2－2λ)2＋(2－4λ)2 ＝20⎝⎛⎭⎪⎫λ－352＋45， 当λ＝0时，|MB →＋MD →|取得最大值22， 当λ＝35时，|MB →＋MD →|取得最小值255，∴|MB →＋MD →|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22.(2)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB→|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值为________． 答案 13解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )， AP →＝AB→|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)，PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4t ≤17－21t·4t ＝13，当且仅当t ＝12时“＝”成立．思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义． (2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算． 跟踪演练2 (1)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为1，E 为AB 的中点，若F 为正方形内(含边界)任意一点，则OE →·OF →的最大值为________．答案 32解析 ∵E 为AB 的中点，正方形OABC 的边长为1，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，得OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，又F 为正方形内(含边界)任意一点，设F (x ，y )，∴OF →＝(x ，y )，满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，则OE →·OF →＝x ＋12y ，结合线性规划知识可知，当F 点运动到点B (1,1)处时，OE →·OF →取得最大值32.(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，∠ADC ＝45°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰CD 上的动点，则||3PA →＋BP →的最小值为__________． 答案522解析 以DA 为x 轴，D 为原点，过D 与DA 垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．由AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，∠ADC ＝45°，AD ＝2，BC ＝1， 可得D (0,0)，A (2,0)，B (2,1)，C (1,1)， ∵P 在CD 上，∴可设P (t ，t )(0≤t ≤1)， 则PA →＝(2－t ，－t )，BP →＝(t －2，t －1)， 3PA →＋BP →＝(4－2t ，－2t －1)，∴||3PA →＋BP →＝(4－2t )2＋(－2t －1)2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －342＋252≥252＝522(当且仅当t ＝34时取等号)，即||3PA →＋BP →的最小值为522.真题体验1．(2017·浙江)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________． 答案 4 2 5解析 设a ，b 的夹角为θ， ∵|a |＝1，|b |＝2，∴|a ＋b |＋|a －b |＝(a ＋b )2＋(a －b )2＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 则y 2＝10＋225－16cos 2θ. ∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0,1]， ∴y 2∈[16,20]，∴y ∈[4,25]，即|a ＋b |＋|a －b |∈[4,25]．2．(2017·浙江改编)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则I 1，I 2，I 3的大小关系是________________．答案 I 3<I 1<I 2解析 ∵I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →， ∵AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3， ∴OB →与CA →所成的角为钝角， ∴I 1－I 2<0，即I 1<I 2. ∵I 1－I 3＝OA →·OB →－OC →·OD →＝|OA →||OB →|cos∠AOB －|OC →||OD →|cos∠COD ＝cos∠AOB (|OA →||OB →|－|OC →||OD →|)， 又∠AOB 为钝角，OA <OC ，OB <OD ， ∴I 1－I 3>0，即I 1>I 3.∴I 3<I 1<I 2.3．(2016·浙江)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a·e |＋|b·e |≤6，则a·b 的最大值是________． 答案 12解析 由于e 是任意单位向量，可设e ＝a ＋b|a ＋b |，则|a·e |＋|b·e |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a·(a ＋b )|a ＋b |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b·(a ＋b )|a ＋b |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a·(a ＋b )|a ＋b |＋b·(a ＋b )|a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(a ＋b )·(a ＋b )|a ＋b |＝|a ＋b |.∵|a·e |＋|b·e |≤6，∴|a ＋b |≤6， ∴(a ＋b )2≤6，∴|a |2＋|b |2＋2a·b ≤6. ∵|a |＝1，|b |＝2，∴1＋4＋2a·b ≤6， ∴a·b ≤12，∴a·b 的最大值为12.4．(2017·北京)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________． 答案 6解析 方法一 根据题意作出图象，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )．由点P 向x 轴作垂线交x 轴于点Q ，则点Q 的坐标为(x,0)． AO →·AP →＝|AO →|·|AP →|cos θ， |AO →|＝2，|AP →|＝(x ＋2)2＋y 2， cos θ＝AQ AP＝x ＋2(x ＋2)2＋y2，所以AO →·AP →＝2(x ＋2)＝2x ＋4.点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1,1]． 所以AO →·AP →的最大值为2＋4＝6. 方法二 因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上， 所以可设P (cos α，sin α)(0≤α<2π)， 所以AO →＝(2,0)，AP →＝(cos α＋2，sin α)， AO →·AP →＝2cos α＋4≤2＋4＝6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”成立． 押题预测1．已知向量a ，b 满足|a |＝3，且向量b 在向量a 方向上的投影为2，则a·(a －b )的值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1押题依据 向量的数量积是高考命题的热点，常常考查平面向量的运算、化简、证明及其几何意义和平面向量平行、垂直的充要条件及其应用等几个方面． 答案 B解析 由向量b 在向量a 方向上的投影为2，得a·b |a |＝2，即a·b ＝6，则a·(a －b )＝a 2－a·b ＝9－6＝3.2．如图，在△ABC 中，AD →＝13AB →，DE ∥BC 交AC 于点E ，BC 边上的中线AM 交DE 于点N ，设AB→＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AN →，则AN →等于( )A.12(a ＋b ) B.13(a ＋b ) C.16(a ＋b ) D.18(a ＋b ) 押题依据 平面向量基本定理是向量表示的基本依据，而向量表示(用基底或坐标)是向量应用的基础． 答案 C解析 因为DE ∥BC ，所以DN ∥BM ， 则△AND ∽△AMB ，所以AN AM ＝ADAB.因为AD →＝13AB →，所以AN →＝13AM →.因为M 为BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )，所以AN →＝13AM →＝16(a ＋b )．故选C.3．已知两个单位向量OA →，OB →的夹角为60°，向量OP →＝λOA →＋μOB →，且1≤λ≤2,1≤μ≤2，设向量OA →，OP →的夹角为α，则cos α的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤55，255B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤64，63 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤277，5714 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤328，528押题依据 平面向量基本定理在向量中应用广泛，可与数量积等知识结合起来应用． 答案 C解析 如图，由题意知，动点P 在平行四边形CDEF 区域(含边界)内运动．易知∠AOD ≤α≤∠FOA . ∵|OF →|＝|OA →＋2OB →| ＝OA →2＋4OA →·OB →＋4OB →2＝7，∴cos∠FOA ＝OF →·OA →|OF →|·|OA →|＝OA →2＋2OA →·OB →7＝277.∵|OD →|＝|2OA →＋OB →| ＝4OA →2＋4OA →·OB →＋OB →2＝7，∴cos∠DOA ＝OD →·OA →|OD →|·|OA →|＝2OA →2＋OA →·OB →7＝5714.故277≤cos α≤5714，故选C. 4．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是_________________________________________________．押题依据 本题将向量与平面几何、最值问题等有机结合，体现了高考在知识交汇点命题的方向，本题解法灵活，难度适中． 答案 －116解析 因为OP →＝OB →＋BP →，所以OP →·BP →＝(OB →＋BP →)·BP →＝OB →·BP →＋BP →2. 又因为∠AOB ＝60°，OA ＝OB ， 所以∠OBA ＝60°，OB ＝1.所以OB →·BP →＝|BP →|cos 120°＝－12|BP →|.所以OP →·BP →＝－12|BP →|＋|BP →|2＝⎝⎛⎭⎪⎫|BP →|－142－116≥－116，当且仅当|BP →|＝14时，OP →·BP →取得最小值－116.A 组 专题通关1．(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →等于( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC → 答案 A解析 作出示意图如图所示．EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →. 故选A.2．设向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R )，则λ＋x 的值为( ) A ．－112 B.112 C ．－292 D.292答案 C解析 由已知可得(1,2)＋(－3,5)＝λ(4，x )⇒⎩⎪⎨⎪⎧4λ＝－2，x λ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－14⇒λ＋x ＝－292，故选C.3．已知向量a ，b ，其中a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，则b 在a 方向上的投影为( ) A.43 B ．－43 C.23 D ．－23 答案 C解析 由a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，得a ·(a －3b )＝0， 即a 2－3a ·b ＝4－3a·b ＝0，a·b ＝43，所以b 在a 方向上的投影为a·b |a |＝432＝23，故选C.4.(2018·天津)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0答案 C解析 如图，连接MN .∵BM →＝2MA →， CN →＝2NA →， ∴AM AB ＝13＝AN AC， ∴MN ∥BC ，且MN BC ＝13，∴BC →＝3MN →＝3(ON →－OM →)，∴BC →·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2)＝3(2×1×cos 120°－12)＝－6.故选C.5．(2018·宁波模拟)已知向量OA →，OB →满足|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝π3，M 为△OAB 内一点(包括边界)，OM →＝xOA →＋yOB →，若OM →·BA →≤－1，则以下结论一定成立的是( ) A.23≤2x ＋y ≤2 B.12x ≤y C ．－1≤x －3y D.23≤x ＋y ≤1 答案 B解析 因为|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝π3，则不妨设OA →＝(1,0)，OB →＝(1，3)，则OM →＝xOA →＋yOB →＝(x ＋y ，3y )，BA →＝(0，－3)， 所以OM →·BA →＝－3y ≤－1，解得y ≥13.又因为点M 为△OAB 内一点(包含边界)，所以x ，y 满足的关系式为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥13，x ＋y ≤1，取x ＝0，y ＝13，此时2x ＋y ＝13<23，故A 选项不一定成立；由y ≥13，x ＋y ≤1，得x ≤23，所以x 2≤13≤y ，故B 选项一定成立；取x ＝0，y ＝1，此时x －3y ＝－3<－1，故C 选项不一定成立；取x ＝0，y ＝13，此时x ＋y ＝13<23，故D 选项不一定成立，综上所述，选B.6．(2018·浙江省金丽衢十二校联考)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为π3，则|a ＋2b |＝________；a 与a －2b 的夹角为__________． 答案 2 3π3解析 由题意得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝1，所以|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝23，|a －2b |＝(a －2b )2＝|a |2－4a ·b ＋4|b |2＝2，则cos 〈a ，a －2b 〉＝a ·(a －2b )|a ||a －2b |＝|a |2－2a ·b |a ||a －2b |＝12，所以a 与a －2b 的夹角为π3. 7．若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________． 答案 －98解析 由向量减法的三角形法则知，当a 与b 共线且反向时，|2a －b |的最大值为3. 此时设a ＝λb (λ<0)，则有|2a －b |＝|2λb －b |＝3， ∴|b |＝3|2λ－1|，|a |＝3|λ||2λ－1|.又由a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉，知 当a 与b 共线且反向时，a ·b 最小． ∴a ·b ＝|a |·|b |·cos π＝－9|λ|(2λ－1)2＝9λ4λ2－4λ＋1＝9－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4λ－1λ－4≥－98⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当λ＝－12时取“＝”， ∴a ·b 的最小值为－98.8.如图，半圆的直径AB ＝6，O 点为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值是________．答案 －92解析 ∵PA →＋PB →＝2PO →， ∴(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝2|PO →|·|PC →|cos π＝－2|PO →|·|PC →|， 由AB ＝6，得|CO →|＝3. 设|PO →|＝x (0≤x ≤3)，则－2|PO →|·|PC →|＝－2x (3－x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－92，当x ＝32时有最小值，最小值为－92.9．已知平面内三个单位向量OA →，OB →，OC →，〈OA →，OB →〉＝60°，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的最大值是______． 答案233解析 由已知条件OC →＝mOA →＋nOB →，两边平方可得1＝m 2＋mn ＋n 2＝(m ＋n )2－mn ，∴(m ＋n )2－1＝mn ，根据向量加法的平行四边形法则，判断出m ，n >0， ∴(m ＋n )2－1＝mn ≤14(m ＋n )2，当且仅当m ＝n 时取等号．∴34(m ＋n )2≤1，则m ＋n ≤233， 即m ＋n 的最大值为233.10．(2018·浙江省重点中学联考)已知矩形ABCD ，AB ＝2，BC ＝1，点E 是AB 的中点，点P 是对角线BD 上的动点，若AC →＝xAP →＋yDE →，则AC →·AP →的最小值是________，x ＋y 的最大值是________． 答案 1 5解析 如图，建立平面直角坐标系，则AC →＝(2,1)，DE →＝(1，－1)，直线BD 的方程为x 2＋y ＝1，∴设点P (2－2t ，t )(0≤t ≤1)， 则AP →＝(2－2t ，t )，∴AC →·AP →＝4－4t ＋t ＝4－3t (0≤t ≤1)， ∴当t ＝1时，AC →·AP →取得最小值1. 由AC →＝xAP →＋yDE →，得⎩⎪⎨⎪⎧(2－2t )x ＋y ＝2，tx －y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32－t ，y ＝4t －22－t ，∴x ＋y ＝4t ＋12－t ＝92－t －4(0≤t ≤1)，∴当t ＝1时，x ＋y 取得最大值5.B 组 能力提高11.(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为( )A.2116B.32C.2516 D ．3 答案 A解析 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系．连接AC ，由题意知∠CAD ＝∠CAB ＝60°，∠ACD ＝∠ACB ＝30°，则D (0,0)，A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，C (0，3)．设E (0，y )(0≤y ≤3)，则AE →＝(－1，y )，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，y －32，∴AE →·BE →＝32＋y 2－32y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342＋2116(0≤y ≤3)，∴当y ＝34时，AE →·BE →有最小值2116. 故选A.12.如图，已知圆O 的半径为2，A ，B 是圆O 上任意两点，且∠AOB ＝2π3，PQ 是圆O 的直径，若点C 满足OC →＝3λOA →＋3(1－λ)OB →(λ∈R )，当CP →·CQ →取得最小值时，λ的值为( )A.12 B.13 C.14 D.15答案 A解析 由已知得OP →＋OQ →＝0，OP →·OQ →＝－4，OA →·OB →＝2×2×cos 2π3＝－2，OA →2＝OB →2＝4，所以CP →·CQ →＝(CO →＋OP →)·(CO →＋OQ →)＝CO →2＋(OP →＋OQ →)·CO →＋OQ →·OP →＝CO →2＋OQ →·OP →＝[3λOA →＋3(1－λ)·OB →]2－4＝9λ2OA →2＋9(1－λ)2OB →2＋18λ(1－λ)OA →·OB →－4＝36λ2＋36(1－λ)2－36λ(1－λ)－4＝36(3λ2－3λ＋1)－4＝108⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋5≥5，当且仅当λ＝12时取等号，所以当λ＝12时，CP →·CQ →取得最小值5.故选A.13．(2018·嘉兴市、丽水市教学测试)已知|c |＝2，向量b 满足2|b －c |＝b ·c .当b ，c 的夹角最大时，|b |＝________________________________________________________________________. 答案 2 2解析 设〈b ，c 〉＝θ，则由2|b －c |＝b ·c 得 4(b －c )2＝(b ·c )2，即4|b |2sin 2θ－16|b |cos θ＋16＝0，则4cos θ＝|b |sin 2θ＋4|b |≥2|b |sin 2θ·4|b |＝4sin θ，当且仅当|b |sin 2θ＝4|b |，即|b |＝2sin θ时，等号成立， 则tan θ＝sin θcos θ≤1，所以θ≤π4，当θ＝π4时，|b |＝2 2.14．已知平面向量α，β(α≠0，α≠β)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，233解析 如图所示，记θ＝〈β，β－α〉，由正弦定理得|β|sin 60°＝|α|sin θ，∴|α|＝sin θ×23＝233sin θ. 又0°<θ<120°，∴0<sin θ≤1. 即0<|α|≤233.15．已知平面向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，c ＝(－cos x ，－sin x )，x ∈R ，函数f (x )＝a·(b －c )． (1)求函数f (x )的单调递减区间； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝22，求sin α的值．解 (1)因为a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，c ＝(－cos x ，－sin x )，所以b －c ＝(sin x ＋cos x ，sin x －cos x )，f (x )＝a·(b －c )＝sin x (sin x ＋cos x )＋cos x (sin x －cos x )＝sin 2x ＋2sin x cos x －cos 2x ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 当2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8，k ∈Z 时，函数f (x )单调递减．所以函数f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z .(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝22，则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12. 因为sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝±32. 又sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin π4，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32时，sin α＝12×22＋32×22＝2＋64；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－32时， sin α＝12×22－32×22＝2－64.综上，sin α＝2±64. 16．已知向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos x ，－12，函数f (x )＝(m ＋n )·m . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝23，c ＝4，且f (A )恰是f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值，求A ，b 和△ABC 的面积S .解 (1)f (x )＝(m ＋n )·m ＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12＝1－cos 2x 2＋1＋32sin 2x ＋12 ＝32sin 2x －12cos 2x ＋2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2.由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )．(2)由(1)知f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＋2，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，由正弦函数图象可知，当2x －π6＝π2时f (x )取得最大值3.所以2A －π6＝π2，A ＝π3.由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得12＝b 2＋16－2×4b ×12，所以b ＝2.所以S ＝12bc sin A ＝12×2×4sin 60°＝2 3.。
数学高三复习三角函数与平面向量专题检测
数学高三复习三角函数与平面向量专题检测三角函数是数学中罕见的一类关于角度的函数，以下是三角函数与平面向量专题检测，希望考生仔细练习。
圈套清点1 三角函数的定义了解不清致误三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置有关，只由角的终边位置决议.[回扣效果1]角的终边经过点P(3，-4)，那么sin +cos 的值为________.圈套清点2 求y=Asin(x+)与y=Acos (x+)的单调区间，无视符号致错0时，应先应用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解;在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2k时，不要忘掉kZ，所求区间普通为闭区间.[回扣效果2]函数y=sin的递减区间是________.圈套清点3 求三角函数值效果，无视隐含条件对角的范围的制约招致增解[回扣效果3]已cos =，sin(+)=，0，那么cos =________. 圈套清点4 关于三角函数性质看法缺乏致误(1)三角函数图象的对称轴、对称中心不独一.①函数y=sin x的对称中心为(k，0)(kZ)，对称轴为x=k+(kZ).②函数y=cos x的对称中心为(kZ)，对称轴为x=kZ).③函数y=tan x的对称中心为(kZ)，没有对称轴.(2)求y=Asin(x+)，y=Acos (x+)的最小正周期易无视的符号. [回扣效果4]设函数f(x)=Asin(x+)的图象关于x=对称，且最小正周期为，那么y=f(x)的对称中心为________.圈套清点5 无视解三角形中的细节效果致误应用正弦定了解三角形时，留意在△ABC中，Asin Asin B. [回扣效果5]△ABC的内角A，B，C所对的边区分为a，b，c 假定B=，a=1，b=，那么c=________.圈套清点6 无视零向量与向量的运算律致误当ab=0时，不一定失掉ab，当ab 时，aab=cb，不能失掉a=c，消去律不成立;(ab)c与a(bc)不一定相等，(ab)c与c 平行，而a(bc)与a平行.[回扣效果6]以下各命题：①假定ab=0，那么a、b中至少有一个为0;②假定a0，ab=ac，那么b=c;③对恣意向量a、b、c，有(ab)ca(b④对任一向量a，有a2=|a|2.其中正确命题是________(填序号).圈套清点7 向量夹角范围不清解题失误设两个非零向量a，b，其夹角为，那么：ab0是为锐角的必要非充沛条件;当为钝角时，ab0，且a，b 不反向;ab0是为钝角的必要非充沛条件.[回扣效果7]a=(，2)，b=(3，2)，假设a与b的夹角为锐角，那么的取值范围是________.圈套清点8①++=0P为△ABC的重心;②==P为△ABC的垂心;③向量(0)所在直线过△ABC的内心;④||=||=||P为△ABC的外心.[回扣效果8]假定O是△ABC所|-|=|+-2|，那么△ABC的外形为________.回扣三三角函数与平面向量1.- [由|OP|=5，得sin =-，cos =，sin +cos =-.]2.，kZ [y=sin=-sin.由2k2x-+，得kx+，kZ.y=sin的单调减区间为，kZ.]3. [∵0且cos =+，又sin(+，.cos(+)=-=-，sin ==.cos =cos[(+)-]=cos(+)cos +sin(+)sin =.]4.(kZ) [由T==，得=2，所以f(x)=Asin(2x+).∵y=f(x)的图象关于x=对称，+，且-，那么=，f(x)=Asin 令2x+=k，x=-，kZ，因此y=f(x)的对称中心为(kZ).]5.2 [由正弦定理，=，sin A==.又a6.④7. [由ab=(，2)(3，2)=32+40，得0或-.又a=kb，得=，因此〈a，b〉为锐角，应有-或0且.]8.直角三角形三角函数与平面向量专题检测及答案的一切内容就是这些，查字典数学网预祝考生可以取得更好的效果。
2019高考数学二轮复习 专题一 三角函数、解三角形与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质学案
第1讲 三角函数的图象与性质[考情考向分析] 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．同角基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .3．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1 (1)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (2，1)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4等于( )A ．－7B ．－17 C.17 D ．7答案 A解析 由角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (2,1)，可得x ＝2，y ＝1，tan α＝y x ＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝11－14＝43， ∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝43＋11－43×1＝－7.(2)已知曲线f (x )＝x 3－2x 2－x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－2cos 2α－3sin(2π－α)·cos(π＋α)的值为( ) A.85 B ．－45 C.43 D ．－23 答案 A解析 由f (x )＝x 3－2x 2－x 可知f ′(x )＝3x 2－4x －1， ∴tan α＝f ′(1)＝－2，cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－2cos 2α－3sin ()2π－αcos ()π＋α＝(－sin α)2－2cos 2α－3sin αcos α ＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos α ＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝tan 2α－3tan α－2tan 2α＋1 ＝4＋6－25＝85. 思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．跟踪演练1 (1)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π3，cos 5π3，则sin(π＋α)等于( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案 B解析 由诱导公式可得，sin 5π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝－sin π3＝－32，cos 5π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝cos π3＝12， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12， 由三角函数的定义可得，sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，则sin ()π＋α＝－sin α＝－12.(2)已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，则sin (π－α)－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)等于( ) A.12 B.13 C.16 D ．－16 答案 D解析 ∵sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α，∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，则sin (π－α)－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)＝sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝2cos α－4cos α10cos α＋2cos α＝－212＝－16.热点二 三角函数的图象及应用 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换：(先平移后伸缩)y ＝sin x ――――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ) ―――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变 y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． (先伸缩后平移)y ＝sin x ――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变 y ＝sin ωx ―――――――→向左(φ>0)或右(φ<0)平移|φ|ω个单位长度y ＝sin(ωx ＋φ) ――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 例2 (1)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移5π12个单位长度D ．向右平移5π12个单位长度答案 A解析 由题意知，函数f (x )的最小正周期T ＝π， 所以ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )＝cos 2x .把g (x )＝cos 2x 变形得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π3，所以只要将f (x )的图象向左平移π12个单位长度，即可得到g (x )＝cos 2x 的图象，故选A.(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)()ω>0，|φ|<π的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向右平移5π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，θ上的值域为[－1,2]，则θ＝________.答案π3解析 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)()ω>0，|φ|<π的部分图象如题图所示，则A ＝2，T 2＝13π12－7π12＝π2，解得T ＝π，所以ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 当x ＝712π，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ＝2，∴7π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝－23π＋2k π，k ∈Z ， 又|φ|<π，解得φ＝－2π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3， 因为函数f (x )的图象向右平移5π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，所以g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π12－2π3＝2cos 2x ， 若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，θ上的值域为[－1,2]， 则2cos 2θ＝－1，则θ＝k π＋π3，k ∈Z 或θ＝k π＋2π3，k ∈Z ，所以θ＝π3.思维升华 (1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度数和方向．跟踪演练2 (1)若将函数y ＝cos ωx (ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为( ) A.12 B.32 C.52 D.72 答案 B解析 将函数y ＝cos ωx (ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后得到函数的解析式为y ＝cos ω ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3.∵平移后得到的函数图象与函数y ＝sin ωx 的图象重合， ∴－ωπ3＝2k π－π2(k ∈Z )，即ω＝－6k ＋32(k ∈Z )．∴当k ＝0时，ω＝32.(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝________；函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上的零点为________．答案 27π12解析 从图中可以发现，相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为π3，－π6，从而求得函数的最小正周期为T＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，根据T ＝2πω可求得ω＝2.再结合题中的条件可以求得函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2x －π6＝k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，结合所给的区间，整理得出x ＝7π12.热点三 三角函数的性质 1．三角函数的单调区间y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )；y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )；y ＝tan x 的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )．2．y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数； 当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数．例3 (2017·浙江)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解 (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－23×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2.(2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x 得，f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以f (x )的最小正周期是π. 由正弦函数的性质得，π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．思维升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用类题目的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．跟踪演练3 (2018·宁波模拟)已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋1－2sin 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值与最小值． 解 (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期为π. (2)因为－π3≤x ≤π4，所以－5π12≤2x ＋π4≤3π4.当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π4＝－5π12，即x ＝－π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝－3＋12，即f (x )的最小值为－3＋12.真题体验1．(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________． 答案 －332解析 f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵cos x ＋1≥0，∴当－1≤cos x <12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当12<cos x ≤1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， ∴当cos x ＝12时，f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， ∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值， 即f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－32×⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝－332.2．(2018·全国Ⅱ改编 )若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是________．答案π4解析 f (x )＝cos x －sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·22－cos x ·22 ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4单调递增， f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4单调递减．∵函数f (x )在[－a ，a ]上是减函数，∴[－a ，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，∴0<a ≤π4，∴a 的最大值为π4.3．(2018·天津改编)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数________．(填序号) ①在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增；②在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减； ③在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2上单调递增；④在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递减． 答案 ①解析 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10＋π5＝sin 2x ，则函数y ＝sin 2x 的一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4，一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，7π4.由此可判断①正确．4．(2018·全国Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为______． 答案 3解析 由题意可知，当3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＝0.∵x ∈[0，π]， ∴3x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，19π6，∴当3x ＋π6的取值为π2，3π2，5π2时，f (x )＝0，即函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为3.押题预测1．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(x ∈R ，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.为了得到函数g (x )＝cosωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移3π20个单位长度B ．向右平移3π20个单位长度C ．向左平移π5个单位长度D ．向右平移π5个单位长度押题依据 本题结合函数图象的性质确定函数解析式，然后考查图象的平移，很有代表性，考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错． 答案 A解析 由于函数f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则其最小正周期T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5，g (x )＝cos 2x . 把g (x )＝cos 2x 变形得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π20＋π5，所以要得到函数g (x )的图象，只要将f (x )的图象向左平移3π20个单位长度即可．故选A.2.如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，|φ|≤π2 与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π4，M 为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为( )A.83 3B.1633 C ．8 D ．16 押题依据 由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求A ，考查数形结合思想． 答案 B解析 由题意设Q (a,0)，R (0，－a )(a >0)．则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a2，由两点间距离公式，得PM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝25， 解得a 1＝8，a 2＝－4(舍去)，由此得T 2＝8－2＝6，即T ＝12，故ω＝π6，由P (2,0)得φ＝－π3，代入f (x )＝A sin(ωx ＋φ)， 得f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3，从而f (0)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－8， 得A ＝1633.3．已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x . (1)若x 是某三角形的一个内角，且f (x )＝－22，求角x 的大小； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的最小值及取得最小值时x 的值．押题依据 三角函数解答题的第(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或对称中心)等，这些都可以由三角函数解析式直接得到，因此此类命题的基本方式是利用三角恒等变换得到函数的解析式．第(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值)，特别是指定区间上的值域(或最值)，是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式．解 (1)∵f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ＝(cos 2x ＋sin 2x )(cos 2x －sin 2x )－sin 2x ＝cos 2x －sin 2x＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－22，可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－12.由题意可得x ∈(0，π)， ∴2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，9π4，可得2x ＋π4＝2π3或4π3，∴x ＝5π24或13π24.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22， ∴f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈[－2，1]．∴f (x )的最小值为－2，此时2x ＋π4＝π，即x ＝3π8.A 组 专题通关1．函数y ＝sin x (cos x －sin x )，x ∈R 的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－22，－1＋22答案 D解析 y ＝sin x cos x －sin 2x ＝12sin 2x －1－cos 2x 2＝－12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－22，－1＋22，故选D.2．(2018·浙江金华十校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(x ∈R ，ω>0)与g (x )＝cos(2x ＋φ)的对称轴完全相同．为了得到h (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象，只需将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度答案 A解析 由ωx ＋π3＝π2＋k 1π，k 1∈Z 得函数f (x )的对称轴为x ＝π6ω＋k 1πω，k 1∈Z ，由2x ＋φ＝k 2π，k 2∈Z 得函数g (x )的对称轴为x ＝－φ2＋k 2π2，k 2∈Z .因为两函数的对称轴完全相同，所以⎩⎪⎨⎪⎧π6ω＝－φ2，1ω＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－π6，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，h (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度后得到的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故选A.3.(2018·浙江省金丽衢十二校联考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则φ等于( )A ．－π3B ．－π6C.π6D.π3答案 B解析 由题图易得函数f (x )的最小正周期为2πω＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，解得ω＝2，则f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又因为当x ＝π3时，f (x )取得最大值，所以2×π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝－π6＋2k π，k ∈Z ，又因为|φ|<π2，所以φ＝－π6，故选B.4．(2018·浙江教育绿色评价联盟适应性考试)设函数f (x )＝sin 2x ＋a cos x ＋b 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，且与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，且与b 有关 答案 B解析 令t ＝cos x ，则g (t )＝－t 2＋at ＋b ＋1(0≤t ≤1)，由题意得，①当a2<0，即a <0时，g (0)为最大值，g (1)为最小值，此时M －m ＝1－a ；②当a 2>1，即a >2时，g (0)为最小值，g (1)为最大值，此时M －m ＝a －1; ③当12≤a2≤1，即1≤a ≤2时，M 取g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，m 取g (0)，此时M －m ＝a 24；④当0≤a 2<12，即0≤a <1时，M 取g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，m 取g (1)，此时M －m ＝a 24＋1－a .综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关，故选B.5．函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)图象的相邻对称轴之间的距离为π2，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的最大值为1B ．f (x )的图象关于直线x ＝5π12对称C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2的一个零点为x ＝－π3D ．f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减 答案 D解析 因为f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的相邻的对称轴之间的距离为π2， 所以2πω＝π，得ω＝2，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x )的最大值为2，所以A 错误； 当x ＝5π12时，2x ＋π6＝π，所以f⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝0，所以x ＝5π12不是函数图象的对称轴，所以B 错误；由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π6 ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当x ＝－π3时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2≠0，所以x ＝－π3不是函数的一个零点，所以C 错误；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，7π6，f (x )单调递减，所以D 正确．6．(2018·浙江省金华十校模拟)在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (－3，－1)，则tan α＝________，cos α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝________.答案330 解析 ∵角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (－3，－1)， ∴x ＝－3，y ＝－1， ∴tan α＝y x ＝33， cos α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝cos α－cos α＝0. 7．已知tan α＝2，则sin 22α－2cos 22αsin 4α＝________.答案112解析 ∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43， ∴sin 22α－2cos 22αsin 4α＝sin 22α－2cos 22α2sin 2αcos 2α＝tan 22α－22tan 2α＝169－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝112. 8．(2017·全国Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．答案 1解析 f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0,1]，∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1. 9．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x －π)＝f (x )－sin x ，当－π<x ≤0时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018π3＝________.答案32解析 ∵f (x －π)＝f (x )－sin x ， ∴f (x )＝f (x －π)＋sin x ，则f (x ＋π)＝f (x )＋sin(x ＋π)＝f (x )－sin x . ∴f (x ＋π)＝f (x －π)，即f (x ＋2π)＝f (x )． ∴函数f (x )的周期为2π， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2 018π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫672π＋2π3＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋sin 2π3. ∵当－π<x ≤0时，f (x )＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2 018π3＝0＋sin 2π3＝32. 10．已知向量m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，设函数f (x )＝m ·n ＋b . (1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)在(1)的条件下，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，求实数b 的取值范围．解 m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，f (x )＝m ·n ＋b ＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋1＋b＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋32＋b ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32＋b .(1)∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得ω＝3k ＋1(k ∈Z )， ∵ω∈[0,3]，∴ω＝1， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b ，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，4π3，∴当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，函数f (x )单调递增；当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，4π3，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π12时，函数f (x )单调递减．又f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， ∴当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>0≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0时，函数f (x )有且只有一个零点， 即sin 4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0，∴b 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52. B 组 能力提高11.如图，单位圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35，∠AOC ＝α，若BC ＝1，则3cos2α2－sin α2cos α2－32的值为( )A.45B.35 C ．－45 D ．－35 答案 B解析 ∵点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35，设∠AOB ＝θ，∴sin(2π－θ)＝－35，cos(2π－θ)＝45，即sin θ＝35，cos θ＝45，∵∠AOC ＝α，BC ＝1，∴θ＋α＝π3，则α＝π3－θ，则3cos2α2－sin α2cos α2－32＝32cos α－12sin α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ＝35. 12．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为π，若f (x )>2对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，π3恒成立，则φ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3C.⎝⎛⎭⎪⎫π12，π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6 答案 D解析 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为π，所以函数的周期为T ＝π，ω＝2， 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π24，π3时，2x ＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋φ，2π3＋φ，且|φ|≤π2，由f (x )>2知，sin(2x ＋φ)>12，所以⎩⎪⎨⎪⎧π6≤π12＋φ，2π3＋φ≤5π6，解得π12≤φ≤π6.13．已知2sin αtan α＝3，且0<α<π. (1)求α的值；(2)求函数f (x )＝4cos x cos(x －α)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的值域．解 (1)由已知得2sin 2α＝3cos α， 则2cos 2α＋3cos α－2＝0， 所以cos α＝12或cos α＝－2(舍)，又因为0<α<π，所以α＝π3.(2)由(1)得f (x )＝4cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 由0≤x ≤π4，得π6≤2x ＋π6≤2π3，所以当x ＝0时，f (x )取得最小值f (0)＝2， 当x ＝π6时，f (x )取得最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝3， 所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的值域为[2,3]．14．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1， 因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，∴g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.又由lg g (x )>0，得g (x )>1， ∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z 时，g (x )单调递增；当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z 时，g (x )单调递减．∴g (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
高考数学二轮复习 专题三 三角函数、平面向量 2.3.3 平面向量学案 理-人教版高三全册数学学案
2.3.3 平面向量1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0[解析] 因为|a |＝1，a ·b ＝－1，所以a ·(2a －b )＝2|a |2－a ·b ＝2×12－(－1)＝3.故选B.[答案] B2．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5 D ．2[解析] 分别以CB 、CD 所在的直线为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则A (2,1)，B (2,0)，D (0,1)．∵点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上，∴可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫25cos θ，25sin θ.则AB →＝(0，－1)，AD →＝(－2,0)， AP →＝⎝⎛⎭⎪⎫25cos θ－2，25sin θ－1.又AP →＝λAB →＋μAD →， ∴λ＝－25sin θ＋1，μ＝－15cos θ＋1，∴λ＋μ＝2－25sin θ－15cos θ＝2－sin(θ＋φ)，其中tan φ＝12，∴(λ＋μ)max ＝3.[答案] A3．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.[解析] 由已知得2a ＋b ＝(4,2)．又c ＝(1，λ)，c ∥(2a ＋b )，所以4λ－2＝0，解得λ＝12.[答案] 124．(2018·上海卷)在平面直角坐标系中，已知点A (－1,0)、B (2,0)，E 、F 是y 轴上的两个动点，且|EF →|＝2，则AE →·BF →的最小值为________．[解析] 设E (0，m )，F (0，n )， 又A (－1,0)，B (2,0)， ∴AE →＝(1，m )，BF →＝(－2，n )． ∴AE →·BF →＝－2＋mn ，又知|EF →|＝2，∴|m －n |＝2.①当m ＝n ＋2时，AE →·BF →＝mn －2＝(n ＋2)n －2＝n 2＋2n －2＝(n ＋1)2－3.∴当n ＝－1，即E 的坐标为(0,1)，F 的坐标为(0，－1)时，AE →·BF →取得最小值－3.②当m ＝n －2时，AE →·BF →＝mn －2＝(n －2)n －2＝n 2－2n －2＝(n －1)2－3.∴当n ＝1，即E 的坐标为(0，－1)，F 的坐标为(0,1)时，AE →·BF →取得最小值－3.综上可知，AE →·BF →的最小值为－3. [答案] －35．(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB→(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．[解析] 解法一：如图，由BD →＝2DC →得AD →＝13AB →＋23AC →，所以AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝13λAB →·AC →－13AB →2＋23λAC →2－23AB →·AC →，又AB →·AC →＝3×2×cos60°＝3，AB →2＝9，AC →2＝4，所以AD →·AE →＝λ－3＋83λ－2＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.解法二：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，因为AB ＝3，AC ＝2，∠A ＝60°，所以B (3,0)，C (1，3)，又BD →＝2DC →，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，所以AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，而AE →＝λAC →－AB →＝λ(1，3)－(3,0)＝(λ－3，3λ)，因此AD →·AE →＝53(λ－3)＋233×3λ ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.[答案]3111.平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题或填空题)，一般出现在第3～7或第13～15题的位置上，难度较低．主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是其考查的热点．2．有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等其他知识相交汇综合命题，难度中等．。
最新高考数学二轮复习学案：三角函数与平面向量 含解析
回顾3 三角函数与平面向量[必记知识]诱导公式“奇、偶”指的是π2的倍数是奇数，还是偶数，“变与不变”指的是三角函数名称的变化，“变”是指正弦变余弦（或余弦变正弦）.“符号看象限”的含义是：把角α看作锐角，看n ·π2±α（n ∈Z ）是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号.三种三角函数的性质[提醒])求函数f（x）＝A sin（ωx＋φ）的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω＜0时，需把ω的符号化为正值后求解.三角函数图象的变换由函数y＝sin x的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种方法[提醒]图象变换的实质是点的坐标的变换，所以三角函数图象的伸缩、平移变换可以利用两个函数图象上的特征点之间的对应确定变换的方式，一般选取离y轴最近的最高点或最低点，当然也可以选取在原点左侧或右侧的第一个对称中心点，根据这些点的坐标即可确定变换的方式、平移的单位与方向等.两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β(平方正弦公式)．cos(α＋β)cos(α－β)＝cos2α－sin2β.二倍角、辅助角及半角公式(1)二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan 2α＝2tan α1－tan2α.①1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2.②1－sin 2α＝(sin α－cos α)2.(2)辅助角公式y＝a sin x＋b cos x＝a2＋b2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中角φ的终边所在象限由a ，b 的符号确定，角φ的值由tan φ＝ba(a ≠0)确定．正、余弦定理及其变形[提醒]) 在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.平面向量数量积的坐标表示已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角．[提醒] （1）要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行.,（2）a ·b ＞0是〈a ，b 〉为锐角的必要不充分条件；,a ·b ＜0是〈a ，b 〉为钝角的必要不充分条件.[必会结论]降幂、升幂公式 (1)降幂公式①sin 2α＝1－cos 2α2；②cos2α＝1＋cos 2α2；③sin αcos α＝12sin 2α.(2)升幂公式①1＋cos α＝2cos 2α2；②1－cos α＝2sin 2α2；③1＋sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22；④1－sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22.常见的辅助角结论 (1)sin x ±cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π4. (2)cos x ±sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ∓π4. (3)sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π3. (4)cos x ±3sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ∓π3. (5)3sin x ±cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π6. (6)3cos x ±sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ∓π6. [必练习题]1．已知tan α＝3，则cos （π－α）cos ⎝⎛⎭⎫α－π2的值为( )A ．－13B ．－3 C.13D ．3解析：选A.cos （π－α）cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝－cos αsin α＝－1tan α＝－13.2．已知x ∈(0，π)，且cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝⎛⎭⎫x －π4等于( ) A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选A.由cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，因为x ∈(0，π)，所以tan x ＝2，所以tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13.3．函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为( ) A.34 B ．1 C.32D ．2解析：选C.y ＝cos 2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1.设t ＝sin x (－1≤t ≤1)，则原函数可以化为y ＝－2t 2＋2t ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫t －122＋32，所以当t ＝12时，函数取得最大值32. 4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π2的值为( )A ．2 2 B. 2 C ．－22D ．－24解析：选 D.依题意得f ′(x )＝Aωcos(ωx ＋φ)，结合函数y ＝f ′(x )的图象可知，T ＝2πω＝4⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π，ω＝2.又Aω＝1，因此A ＝12.因为0＜φ＜π，3π4＜3π4＋φ＜7π4，且f ′⎝⎛⎭⎫3π8＝cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝－1，所以3π4＋φ＝π，所以φ＝π4，f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12sin ⎝⎛⎭⎫π＋π4＝－12×22＝－24，故选D. 5．已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0＜φ＜x )图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值为( )A ．－2B ．－1C ．－ 2D ．－ 3解析：选B.因为x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，所以π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，因为0＜φ＜π，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以g (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝⎛⎭⎫π6＝－1.6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B＝2，则△ABC 的外接圆面积为( )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π解析：选C.由题意知c ＝b cos A ＋a cos B ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝csin C＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π，故选C. 7．已知非零单位向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b －a 的夹角可能是( ) A.π6 B.π3 C.π4D.3π4解析：选D.由|a ＋b |＝|a －b |可得(a ＋b )2＝(a －b )2，即a ·b ＝0，而a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝－|a |2＜0，即a 与b －a 的夹角为钝角，故选D.8．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝________． 解析：a ＋2b ＝(－3，3＋2k )，3a －b ＝(5，9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6.答案：－69．已知向量a ＝(1，0)，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，若c ＝a ＋b ，d ＝a －b ，则c 在d 方向上的投影为________．解析：依题意得|a |＝1，a ·b ＝1×2×cos 45°＝1，|d |＝（a －b ）2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝1，c ·d ＝a 2－b 2＝－1，因此c 在d 方向上的投影等于c ·d |d |＝－1.答案：－110．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω＞0)，A ，B 是函数y ＝f (x )图象上相邻的最高点和最低点，若|AB |＝22，则f (1)＝________．解析：设f (x )的最小正周期为T ，则由题意，得22＋⎝⎛⎭⎫T 22＝22，解得T ＝4，所以ω＝2πT ＝2π4＝π2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π3，所以f (1)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π3＝sin 5π6＝12. 答案：1211．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则csin C＝______．解析：依题意得，12bc sin A ＝34c ＝3，则c ＝4.由余弦定理得a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，因此a sin A ＝13sin 60°＝2393.由正弦定理得c sin C ＝2393.答案：2393。
高考数学《三角函数》专题 平面向量章节测试学案
平面向量章节测试题一、选择题1. 若A （2，-1），B （-1，3），则AB 的坐标是 ( )A.（1，2）B.（-3，4）C. （3，-4）D. 以上都不对 2.与a=（4，5）垂直的向量是 ( )A.（-5k,4k ）B. (-10，2）C. (54,k k-) D.（5k, -4k ） 3. △ABC 中,BC =a, AC =b,则AB 等于 ( )A.a+bB.-(a+b)C.a-bD.b-a4.化简52(a －b)－31(2a+4b)+152(2a+13b)的结果是 ( )A.51a ±51bB.0C. 51a+51bD. 51a －51b 5.已知|p|=22,|q|=3, p 与q 的夹角为4π,则以a=5p+2q,b=p －3q 为邻边的平行四边形的一条对角线长为 ( )A.15B.15C. 16D.146.已知A(2,- 2),B(4,3),向量p 的坐标为(2k-1,7)且p∥AB ,则k 的值为 ( )A.109-B.109C.1019-D.10197. 已知△ABC 的三个顶点，A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，则点P 与△ABC 的关系是 ( )A. P 在△ABC 的内部B. P 在△ABC 的外部C. P 是AB 边上的一个三等分点D. P 是AC 边上的一个三等分点8.已知△ABC 的三个顶点，A (1,5)，B(-2,4)，C(-6,-4)，M 是BC 边上一点,且△ABM 的面积是△ABC 面积的41,则线段AM 的长度是 ( )C.259.设e 1,e 2是夹角为450的两个单位向量,且a=e 1+2e 2,b=2e 1+e 2,,则|a+b|的值 ( ) A.23 B.9 C.2918+ D.223+10.若b)⊥a,则a 与b 的夹角为 ( )A.300B.450C.600D.7511.把一个函数的图象按向量a=(3π,-2)平移后，得到的图象对应的函数解析式为y=sin(x+6π)-2,则原函数的解析式为 ( )A.y=sinxB.y=cosxC.y=sinx+2D.y= -cosx12.在△ABC 中，AB =c, BC= a, CA=b,则下列推导中错误的是 ( ) A.若a·b<0,则△ABC 为钝角三角形 B. 若a·b=0,则△ABC 为直角三角形C. 若a·b=b·c,则△ABC 为等腰三角形D. 若c·( a+b+c)=0,则△ABC 为等腰三角形 二、填空题13.在△ABC,4且,8=⋅AC AB 则这个三角形的形状是 . 14.一艘船从A 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为h km /2，则船实际航行的速度的大小和方向是 .15. 若向量)4,7(),1,2(),2,3(-=-=-=c b a ,现用a 、b 表示c,则c= . 16.给出下列命题:①若a 2+b 2=0,则a=b=0; ②已知A ),,(11y x B ),(22y x ,);2,2(2121y y x x ++= ③已知a,b,c 是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c|④已知0,021>>λλ,e 1,e 2是一组基底,a=λ1e 1+λ2e 2则a 与e 1不共线,a 与e 2也不共线; ⑤若a 与b 共线,则a·b=|a|·|b|.其中正确命题的序号是 . 三、解答题17.如图,ABCD 是一个梯形,AB 、N 分别是AB DC ,的中点,已知=AB a,=AD b,试用a 、b 表示,DC BC 和.MN18.设两个非零向量e 1、e 2不共线.如果AB =e 1+e 2,=BC 2e 1+8e 2,CD =3(e 1-e 2) ⑴求证:A 、B 、D 共线;⑵试确定实数k,使ke 1+e 2和e 1+ke 2共线.19.已知△ABC 中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC 边上的高为AD.⑴求证:AB⊥AC;⑵求点D 与向量AD 的坐标.20.已知△ABC 的三个顶点为A (1,2),B(4,1),C(3,4).⑴求AB 边上的中线CM 的长;⑵在AB 上取一点P,使过P 且平行与BC 的直线PQ 把ABC ∆的面积分成4:5两部分,求P 点的坐标ABNMDC21.已知a 、b 是两个非零向量，证明：当b 与a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb 的模取得最小值.22.已知二次函数f(x) 对任意x∈R，都有f (1-x)=f (1+x)成立，设向量a=(sinx,2),b=(2sinx,21),c=(cos2x,1),d=(1,2)。
高考数学二轮复习考前回扣3三角函数解三角形平面向量学案20
3.三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．[问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________． 答案 －152．同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限[问题2]cos9π4＋tan⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6＋sin 21π的值为______________________________________． 答案22－333．正弦、余弦和正切函数的常用性质[问题3] 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间是________________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )4．三角函数化简与求值的常用技巧解答三角变换类问题要灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值．常用到切化弦、降幂、拆角拼角等技巧．如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]．α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4. [问题4] 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. 答案 －56655．解三角形(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；(ⅲ)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(ⅳ)a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝2R .②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sin B .(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理判定三角形的形状．[问题5] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________.答案 45°6．求三角函数最值的常见类型、方法(1)y ＝a sin x ＋b (或a cos x ＋b )型，利用三角函数的值域，须注意对字母a 的讨论． (2)y ＝a sin x ＋b sin x 型，借助辅助角公式化成y ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)的形式，再利用三角函数有界性解决．(3)y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 型，配方后转化为二次函数求最值，应注意|sin x |≤1的约束． (4)y ＝a sin x ＋bc sin x ＋d型，反解出sin x ，化归为|sin x |≤1解决．(5)y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d型，化归为A sin x ＋B cos x ＝C 型或用数形结合法(常用到直线斜率的几何意义)求解．(6)y ＝a (sin x ＋cos x )＋b sin x ·cos x ＋c 型，常令t ＝sin x ＋cos x ，换元后求解(|t |≤2)．[问题6] 函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 解析 ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋122－54，又sin x ∈[－1,1]， ∴当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1. 7．向量的平行与平面向量的数量积(1)向量平行(共线)的充要条件：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ⇔(a·b )2＝(|a||b |)2⇔x 1y 2－y 1x 2＝0.(2)a·b ＝|a ||b |cos θ， 变形：|a |2＝a 2＝a·a ， cos θ＝a·b|a||b |.注意：〈a ，b 〉为锐角⇔a·b >0且a ，b 不同向； 〈a ，b 〉为钝角⇔a·b <0且a ，b 不反向．[问题7] 如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．答案 22解析 由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2，即2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AD →·AB →＝22.8．向量中常用的结论(1)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若λ＋μ＝1，则三点A ，B ，C 共线．反之也成立． (2)在△ABC 中，若D 是BC 边的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)．(3)已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内．若|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，则O 为△ABC 的外心；若NA →＋NB →＋NC →＝0，则N 为△ABC 的重心；若PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则P 为△ABC 的垂心． [问题8] 在△ABC 中，D 是边AB 的中点，E 是边AC 的中点，CD 与BE 交于点F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则x ，y 的值分别为______________．答案 13，13解析 由题意知，点F 为△ABC 的重心， 如图，设H 为BC 的中点，则AF →＝23AH →＝23×12(AB →＋AC →)＝13a ＋13b ，所以x ＝13，y ＝13.易错点1 忽视角的范围例1 已知方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0(a 为大于1的常数)的两根为tan α，tan β，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则tan α＋β2的值是________．易错分析 本题易忽略隐含条件tan α，tan β是方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0的两个负根，α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，从而导致错误．解析 ∵a >1，∴tan α＋tan β＝－4a <0， tan α·tan β＝3a ＋1>0，∴tan α，tan β是方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0的两个负根．又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，即α＋β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0. 由tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－4a 1－(3a ＋1)＝43，可得tan α＋β2＝－2.答案 －2易错点2 图象变换方向或变换量把握不准例2 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，为了得到函数g (x )＝cos 2x 的图象，只要将y ＝f (x )的图象向__________平移________个单位长度．易错分析 (1)没有将f (x )，g (x )化为同名函数；(2)平移时看2x 变成了什么，而没有认识到平移过程只是对“x ”而言．解析 g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4，∴y ＝f (x )的图象向左平移π8个单位长度即可得到y ＝g (x )的图象．答案 左π8易错点3 三角函数单调性理解不透例3 求函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调区间． 易错分析 对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的函数，如果ω<0，要求其单调区间，必须先提出负号，然后去求解，否则单调区间正好相反． 解 y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .∴函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z .同理，函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z .易错点4 解三角形时漏解或增解例4 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，c ＝ 3. (1)若角C ＝π3，则角A ＝________；(2)若角A ＝π6，则b ＝________.易错分析 在用正弦定理解三角形时，易出现漏解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c 边比a 边大，在求得sin A ＝a sin C c ＝12后，得出角A ＝π6或5π6；在第(2)问中没有考虑角C 有两解，由sin C ＝c sin A a ＝32，只得出角C ＝π3，所以角B ＝π2，解得b ＝2，这样就出现漏解的错误．解析 (1)由正弦定理a sin A ＝csin C ，得sin A ＝a sin C c ＝12， 又a <c ，所以A <C .所以A ＝π6. (2)由正弦定理a sin A ＝csin C ，得sin C ＝c sin A a ＝32，得C ＝π3或2π3， 当C ＝π3时，B ＝π2，可得b ＝2；当C ＝2π3时，B ＝π6，此时得b ＝1.答案 (1)π6(2)2或1易错点5 忽视题目中的制约条件例5 已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6，若在△ABC 中，满足f (A )＝32，b ＋c ＝2，求边长a 的取值范围．易错分析 本题中有两点易错：确定角A 时忽视范围；求边长a 的取值范围时，忽视三角形中两边之和大于第三边的条件． 解 f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6＝1＋cos 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－32sin 2x ＋12cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1. 由题意，f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝32，化简得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12.因为A ∈(0，π)，所以2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2A ＋π6＝5π6，所以A ＝π3.在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2知，bc ≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝1，即a 2≥1，当且仅当b ＝c ＝1时取等号． 又由b ＋c >a ，得a <2， 所以a 的取值范围是[1,2)．易错点6 忽视向量共线例6 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是________________________________________________________________________． 易错分析 误认为θ为锐角⇔cos θ>0，没有排除θ＝0，即两向量同向的情况．解析 由θ为锐角，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ·b >0，2≠λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋1>0，λ≠2，∴λ的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫λ⎪⎪⎪λ>－12且λ≠2. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫λ⎪⎪⎪λ>－12且λ≠21．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．答案7π4解析 tan θ＝cos 3π4sin 3π4＝－cosπ4sinπ4＝－1，又sin 3π4>0，cos 3π4<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.2．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，则sin θcos θ－3cos 2θ的值为________．答案 －2解析 由题意得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12.∴sin θcos θ－3cos 2θ＝sin θcos θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ－3tan 2θ＋1＝12－3⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝－2. 3．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan α＝________. 答案 3或－13解析 因为sin α＋2cos α＝102， 所以sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52，所以3cos 2α＋4sin αcos α＝32，所以3cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝32， 即3＋4tan α1＋tan 2α＝32， 即3tan 2α－8tan α－3＝0， 解得tan α＝3或tan α＝－13.4．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 解析 由对称轴完全相同知，两函数周期相同， ∴ω＝2，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得－π6≤2x －π6≤5π6，∴－32≤f (x )≤3.5．在斜△ABC 中，若1tan A ＋1tan B ＋tan C ＝0，则tan C 的最大值是________．答案 －2 2解析 在斜△ABC 中，∵A ＋B ＋C ＝π， ∴C ＝π－(A ＋B )，∴tan C ＝tan(π－(A ＋B ))＝－tan(A ＋B ) ＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B，又∵1tan A ＋1tan B ＋tan C ＝0，∴tan C ＝－⎝⎛⎭⎪⎫1tan A ＋1tan B ＝－tan A ＋tan B tan A tan B ，∴－tan A ＋tan B tan A tan B ＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B∴tan A tan B ＝1－tan A tan B ， ∴tan A tan B ＝12，∵tan A tan B ＝12>0，tan A 与tan B 同号，又∵在△ABC 中，tan A >0，tan B >0，∴tan C ＝－2(tan A ＋tan B )≤－2×2tan A tan B ＝－2×2×22＝－22， 当且仅当tan A ＝tan B ＝22时“＝”成立， ∴tan C 的最大值为－2 2.6．(2018·苏州模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，(a ＋b )·c ＝52，则a ，c 的夹角大小为________．答案 120°解析 设a 与c 的夹角为θ，∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，则b ＝－2a ，∴(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝52， ∴a ·c ＝－52， ∴cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525·5＝－12， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.7．已知f 1(x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋x cos x ，f 2(x )＝sin x sin(π＋x )，若设f (x )＝f 1(x )－f 2(x )，则f (x )的单调增区间是____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) 解析 由题意知，f 1(x )＝－cos 2x ，f 2(x )＝－sin 2x ， f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ，令2x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )， 故f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )． 8．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________． 答案 27 解析 由正弦定理知，AB sin C ＝3sin 60°＝BC sin A， ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C )＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C )＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C ) ＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角， 由于0°<C <120°，且α是第一象限角，因此AB ＋2BC 有最大值27.9．已知tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝2，则sin 2αcos 2β的值为________． 答案 1解析 tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝2，sin 2αcos 2β＝sin[(α＋β)＋(α－β)]cos[(α＋β)－(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)， 分式同除以cos(α＋β)cos(α－β)，tan (α＋β)＋tan (α－β)1＋tan (α＋β)tan (α－β)＝1＋21＋1×2＝1. 10．在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝1，AD ＝3，P 为平行四边形内一点，且AP ＝32，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则λ＋3μ的最大值为________． 答案 1解析 ∵AP →＝λAB →＋μAD →，∴|AP →|2＝(λAB →＋μAD →)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝λ2|AB →|2＋μ2|AD →|2＋2λμAB →·AD →. 又AB ＝1，AD ＝3，∠BAD ＝60°，∴AB →·AD →＝|AB →||AD →|cos 60°＝32， ∴34＝λ2＋3μ2＋3λμ， ∴(λ＋3μ)2＝34＋3λμ≤34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋3μ22， ∴(λ＋3μ)2≤1，∴λ＋3μ的最大值为1， 当且仅当λ＝12，μ＝36时取等号． 11．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12. (1)求f (x )的最小正周期； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，求函数f (x )的值域； (3)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的解析式． 解 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)所以最小正周期T ＝2π2＝π. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1， 所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22. (3)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度， 得到g (x )＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＝22sin 2x . 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的值；(2)若cos A sin C ＝3－14，求角A 的值． 解 (1)因为a sin A ＝b sin B，所以b sin A ＝a sin B ， 又b sin A ＝3a cos B ，所以3a cos B ＝a sin B ，即tan B ＝3，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3. (2)因为cos A sin C ＝3－14，所以cos A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝3－14， cos A ⎝⎛⎭⎪⎫32cos A ＋12sin A ＝32cos 2A ＋12sin A ·cos A ＝32·1＋cos 2A 2＋14sin 2A ＝34＋34cos 2A ＋14sin 2A ＝34＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝3－14， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－12，因为B ＝π3，所以0<A <2π3，所以2A ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π3， 所以2A ＋π3＝7π6，A ＝5π12. 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
(浙江专用)2019高考数学二轮复习 专题一 平面向量、三角函数与解三角形学案
专题一 平面向量、三角函数与解三角形[析考情·明重点]小题考情分析大题考情分析常考点1.平面向量的数量积及应用(5年5考)2.三角函数的图象与性质及应用(5年5考)3.利用正、余弦定理解三角形(5年3考) 浙江高考对此部分内容在解答题中的考查主要集中在三角恒等变换、解三角形、三角函数的性质．三角恒等变换一般不单独考查，常结合正、余弦定理考查解三角形，结合三角函数的性质考查三角函数，近两年三角函数的概念、性质和三角恒等变换是考查的热点，试题难度中档偏下.偶考点1.平面向量的线性运算2.三角恒等变换与求值第一讲 小题考法——平面向量考点(一) 平面向量的线性运算主要考查平面向量的加、减、数乘等线性运算以及向量共线定理的应用.[典例感悟][典例] (1)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b)∥(3a －b)，则实数k ＝( ) A ．4 B ．－5 C ．6D ．－6(2)(2018·浙江三模)已知向量e 1＝(1,2)，e 2＝(3,4)，且x ，y ∈R ，x e 1＋y e 2＝(5,6)，则x －y ＝( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1(3)(2019届高三 ·浙江名校联考)若点P 是△ABC 的外心，且PA ―→＋PB ―→＋λPC ―→＝0，∠ACB ＝120°，则实数λ的值为( )A.12 B ．－12C ．－1D ．1[解析] (1)a ＋2b ＝(－3,3＋2k )，3a －b ＝(5,9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6.故选D.(2)∵向量e 1＝(1,2)，e 2＝(3,4)，且x ，y ∈R ，x e 1＋y e 2＝(5,6)，则(x ＋3y,2x ＋4y )＝(5,6)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝5，2x ＋4y ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，∴x －y ＝－3.故选B.(3)设AB 的中点为D ，则PA ―→＋PB ―→＝2PD ―→.因为PA ―→＋PB ―→＋λPC ―→＝0，所以2PD ―→＋λPC ―→＝0，所以向量PD ―→，PC ―→共线．又P 是△ABC 的外心，所以PA ＝PB ，所以PD ⊥AB ，所以CD ⊥AB .因为∠ACB ＝120°，所以∠APB ＝120°，所以四边形APBC 是菱形，从而PA ―→＋PB ―→＝2PD ―→＝PC ―→，所以2PD ―→＋λPC ―→＝PC ―→＋λPC ―→＝0，所以λ＝－1，故选C.[答案] (1)D (2)B (3)C[方法技巧]掌握平面向量线性运算的2种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b ≠0时，a ∥b ⇔存在唯一实数λ，使得a ＝λb)来判断．[演练冲关]1．(2019届高三·台州检测)已知e 1，e 2是平面内两个不共线向量，AB ―→＝e 1－k e 2，CB ―→＝2e 1－e 2，CD ―→＝3e 1－3e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为( )A ．2B ．－3C ．－2D ．3解析：选A ∵CB ―→＝2e 1－e 2，CD ―→＝3e 1－3e 2， ∴BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝(3e 1－3e 2)－(2e 1－e 2)＝e 1－2e 2. ∵A ，B ，D 三点共线， ∴AB ―→与BD ―→共线，∴存在唯一的实数λ，使得e 1－k e 2＝λ(e 1－2e 2)．即⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，－k ＝－2λ，解得k ＝2.2.(2018·浙江模拟)如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD ―→＋AE ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，则1x ＋4y的最小值为( )A．32 B ．2 C ．52D ．92解析：选D 设AD ―→＝m AB―→＋n AC ―→，AE ―→＝λAB ―→＋μAC ―→， ∵B ，D ，E ，C 共线，∴m ＋n ＝1，λ＋μ＝1. ∵AD ―→＋AE ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，则x ＋y ＝2， ∴1x ＋4y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (x ＋y )＝12⎝⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y x ·4x y ＝92.则1x ＋4y的最小值为92.3．(2018·衢州期中)已知D 为△ABC 的边AB 的中点，M 在DC 上满足5AM ―→＝AB ―→＋3AC ―→，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )A.15B.25C.35D.45解析：选C 因为D 是AB 的中点，所以AB ―→＝2AD ―→， 因为5AM ―→＝AB ―→＋3AC ―→，所以2AM ―→－2AD ―→＝3AC ―→－3AM ―→，即2DM ―→＝3MC ―→， 所以5DM ―→＝3DM ―→＋3MC ―→＝3DC ―→，所以DM ―→＝35DC ―→，设h 1，h 2分别是△ABM ，△ABC 的AB 边上的高， 所以S △ABM S △ABC ＝12×AB ×h 112×AB ×h 2＝h 1h 2＝DM DC ＝|DM ―→||DC ―→|＝35.考点(二)平面向量的数量积及应用主要考查数量积的运算、夹角，向量模的计算问题及平面向量中的最值问题.[典例感悟][典例] (1)(2018·遂宁模拟)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ―→＝ 3 BD ―→，|AD ―→|＝1，则AC ―→·AD ―→的值为( )A ．2 3B ．32C ．33D ． 3(2)向量a ，b 满足|a|＝4，b ·(a －b)＝0.若|λa －b|的最小值为2(λ∈R)，则a ·b ＝( )A ．0B ．4C ．8D ．16(3)(2018·杭州二模)记M 的最大值和最小值分别为M max 和M min .若平面向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝a ·b ＝c ·(a ＋2b －2c)＝2，则( )A ．|a －c|max ＝3＋72 B ．|a ＋c|max ＝7－32 C ．|a －c|min ＝3＋72D ．|a ＋c|min ＝7－32[解析] (1)∵在△ABC 中，AD ⊥AB ， ∴AB ―→·AD ―→＝0，AC ―→·AD ―→＝(AB ―→＋BC ―→)·AD ―→ ＝AB ―→·AD ―→＋BC ―→·AD ―→ ＝BC ―→·AD ―→ ＝ 3 BD ―→·AD ―→ ＝3(AD ―→－AB ―→)·AD ―→＝ 3 AD ―→·AD ―→－ 3 AB ―→·AD ―→ ＝ 3.(2)法一：由已知得a ·b ＝b 2，则|λa －b|＝a 2λ2－2λa ·b ＋b 2＝16λ2－2λa ·b ＋a ·b (λ∈R)，当且仅当λ＝a ·b16时，|λa －b|有最小值2，所以16⎝⎛⎭⎪⎫a ·b 162－2⎝⎛⎭⎪⎫a ·b 16a ·b ＋a ·b ＝4，所以(a ·b －8)2＝0，故a ·b ＝8.故选C.法二：向量a ，b 满足|a|＝4，b ·(a －b)＝0，即a ·b ＝b 2.由题意知|λa －b|＝a 2λ2－2λa ·b ＋b 2＝16λ2－2λa ·b ＋a ·b ≥2(λ∈R)，即16λ2－2λa ·b ＋a ·b －4≥0对于λ∈R 恒成立，所以对于方程16λ2－2λa ·b ＋a ·b －4＝0，Δ＝4(a ·b)2－64(a ·b －4)≤0，即(a ·b －8)2≤0，所以(a ·b －8)2＝0，所以a ·b ＝8.故选C.(3)由a ·b ＝2×2cos〈a ，b 〉＝2， 可得cos 〈a ，b 〉＝12，sin 〈a ，b 〉＝32，设OA ―→＝a ＝(2,0)，OB ―→＝b ＝(1，3)，OC ―→＝c ＝(x ，y )， 可得(x ，y )·(4－2x,23－2y )＝2， 即x (4－2x )＋y (23－2y )＝2， 可化为x 2＋y 2－2x －3y ＋1＝0， 则C 在以圆心P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，半径r ＝32的圆上运动， 且|a －c|表示点A 与点C 的距离， 显然最大值为|AP |＋r ＝ 1＋34＋32＝3＋72， 最小值为|AP |－r ＝1＋34－32＝7－32. 设D (－2,0)，则|a ＋c|＝|OA ―→＋OC ―→|＝|－OD ―→＋OC ―→|＝|DC ―→|， 则|a ＋c|表示点D (－2,0)与点C 的距离， 显然最大值为|DP |＋r ＝ 9＋34＋32＝39＋32， 最小值为|DP |－r ＝39－32. [答案] (1)D (2)C (3)A[方法技巧]在求解与向量的模有关的问题时，往往会涉及“平方”技巧，注意对结论(a ±b)2＝|a|2＋|b|2±2a ·b ，(a ＋b ＋c)2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a ·b ＋b ·c ＋a ·c)的灵活运用．另外，向量作为工具性的知识，具备代数和几何两种特征，求解此类问题时可以使用数形结合的思想，从而加快解题速度．[演练冲关]1．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝2，DC ―→＝13AB ―→，AC 与BD 相交于点O ，E 是BD 的中点，若AO ―→·AE ―→＝8，则AC ―→·BD―→＝( )A ．－9B ．－293C ．－10D ．－323解析：选D 由DC ―→＝13AB ―→，可得DC ∥AB ，且DC ＝2，则△AOB ∽△COD ，AO ―→＝34AC ―→＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→＋13AB ―→ ＝34AD ―→＋14AB ―→，又E 是BD 的中点，所以AE ―→＝12AD ―→＋12AB ―→，则AO ―→·AE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34AD ―→＋14AB ―→ ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD ―→＋12AB ―→ ＝38AD 2―→＋18AB 2―→＋12AD ―→·AB ―→＝32＋92＋12AD ―→·AB ―→＝8，则AD ―→·AB ―→＝4，则AC ―→·BD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→＋13AB ―→ ·()AD ―→－AB ―→ ＝AD 2―→－13AB 2―→－23AD ―→·AB ―→＝4－13×36－23×4＝－323.2．(2018·温州二模)已知向量a ，b 满足|a|＝1，且对任意实数x ，y ，|a －x b|的最小值为32，|b －y a|的最小值为3，则|a ＋b|＝( ) A.7 B.5＋2 3C.7或 3D.5＋23或5－2 3解析：选C 取a ＝(1,0)，b ＝(c ，d )， 则|a －x b|＝1－xc2＋x 2d 2＝ c 2＋d 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c c 2＋d 22＋1－c 2c 2＋d 2≥32， ∴1－c 2c 2＋d 2＝34， 又|b －y a|＝c －y2＋d 2≥3，可得d 2＝3，解得c 2＝1. ∴|a ＋b|＝1＋c2＋d 2＝5＋2c ＝3或7.3．(2019届高三·湖州五校模拟)设a ，b 满足|a|＝1，|a ＋2b|＝2，则|2a －b|的取值范围是________．解析：设|2a －b|＝t ，则4a 2－4a ·b ＋b 2＝t 2， ∵|a ＋2b|＝2，则a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4， ∴5a 2＋5b 2＝t 2＋4， ∵|a|＝1，∴t 2＝1＋5b 2， ∵|a ＋2b|＝2，|a|＝1，∴由|a ＋2b |≤|a|＋2|b|＝1＋2|b|，得|b |≥12，由|2b ＋a |≥2|b|－|a|＝2|b|－1，得|b |≤32，∴14≤b 2≤94， ∴t 2＝1＋5b 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤94，494，∴32≤t ≤72， ∴|2a －b|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，72.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，72 [必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb(b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 2．平面向量的性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a|＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB ―→|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. (4)|a ·b |≤|a |·|b|. (二) 二级结论要用好 1．三点共线的判定(1)A ，B ，C 三点共线⇔AB ―→，AC ―→共线．(2)向量PA ―→，PB ―→，PC ―→中三终点A ，B ，C 共线⇔存在实数α，β使得PA ―→＝αPB ―→＋βPC ―→，且α＋β＝1.[针对练1] 在▱ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF ―→＝m AB ―→＋n AD ―→(m ，n ∈R)，则m n＝________.解析：如图，∵AD ―→＝2AE ―→，EF ―→＝m AB ―→＋n AD ―→，∴AF ―→＝AE ―→＋EF ―→＝m AB ―→＋(2n ＋1)AE ―→，∵F ，E ，B 三点共线，∴m ＋2n ＋1＝1，∴m n＝－2. 答案：－22．中点坐标和三角形的重心坐标(1)设P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则线段P 1P 2的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22. (2)三角形的重心坐标公式：设△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33.3．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则(1)O 为△ABC 的外心⇔|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|＝a 2sin A.(2)O 为△ABC 的重心⇔OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→. (4)O 为△ABC 的内心⇔a OA ―→＋b OB ―→＋c OC ―→＝0. (三) 易错易混要明了1．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意向量平行；λ0＝0(λ∈R)，而不是等于0；0与任意向量的数量积等于0，即0·a ＝0；但不说0与任意非零向量垂直．2．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，即消去律不成立；(a ·b )·c 与a ·(b ·c)不一定相等，(a ·b )·c 与c 平行，而a ·(b ·c)与a 平行．3．两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价． [针对练2] 已知向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是________．解析：依题意，当a 与b 的夹角为钝角时，a ·b ＝－2λ－1<0，解得λ>－12.而当a 与b 共线时，有－2×1＝－λ，解得λ＝2，即当λ＝2时，a ＝－b ，a 与b 反向共线，此时a与b 的夹角为π，不是钝角，因此，当a 与b 的夹角为钝角时，λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞) [课时跟踪检测]A 组——10＋7提速练一、选择题1．已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12，若a ∥b ，则实数x 为( ) A ．－23B ．23C ．38D ．－38解析：选C ∵a ∥b ，∴3×12＝4x ，解得x ＝38，故选C.2．(2019届高三·杭州六校联考)已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a －b )·a ＝( )A ．9B ．10C ．12D ．13解析：选D ∵向量a 和b 的夹角为120°， 且|a|＝2，|b|＝5，∴a ·b ＝2×5×cos 120°＝－5， ∴(2a －b )·a ＝2a 2－a ·b ＝2×4＋5＝13， 故选D.3．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ―→＝( ) A.34AB ―→－14AC ―→ B.14AB ―→－34AC ―→ C.34AB ―→＋14AC ―→ D.14AB ―→＋34AC ―→ 解析：选A 作出示意图如图所示．EB ―→＝ED ―→＋DB ―→＝12AD ―→＋12CB ―→＝12×12(AB ―→＋AC ―→)＋12(AB ―→－AC ―→)＝34AB ―→－14AC ―→.故选A. 4．设向量a ＝(－2,1)，a ＋b ＝(m ，－3)，c ＝(3,1)，若(a ＋b)⊥c ，则cos 〈a ，b 〉＝( )A ．－35B ．35C ．55 D ．－255解析：选D 由(a ＋b)⊥c 可得，m ×3＋(－3)×1＝0，解得m ＝1.所以a ＋b ＝(1，－3)，故b ＝(a ＋b)－a ＝(3，－4)．所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－2×3＋1×－4－22＋12×32＋－42＝－255，故选D. 5．P 是△ABC 所在平面上一点，满足|PB ―→－PC ―→|－|PB ―→＋PC ―→－2PA ―→|＝0，则△ABC 的形状是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：选B ∵P 是△ABC 所在平面上一点，且|PB ―→－PC ―→|－|PB ―→＋PC ―→－2PA ―→|＝0， ∴|CB ―→|－|(PB ―→－PA ―→)＋(PC ―→－PA ―→)|＝0， 即|CB ―→|＝|AB ―→＋AC ―→|， ∴|AB ―→－AC ―→|＝|AB ―→＋AC ―→|， 两边平方并化简得AB ―→·AC ―→＝0， ∴AB ―→⊥AC ―→，∴∠A ＝90°， 则△ABC 是直角三角形．6.(2018·浙江二模)如图，设A ，B 是半径为2的圆O 上的两个动点，点C 为AO 中点，则CO ―→·CB ―→的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．[1,3]C ．[－3，－1]D ．[－3,1]解析：选A 建立平面直角坐标系如图所示，可得O (0,0)，A (－2,0)，C (－1,0)，设B (2cos θ，2sin θ)．θ∈[0,2π)．则CO ―→·CB ―→＝(1,0)·(2cos θ＋1，2sin θ)＝2cos θ＋1∈[－1,3]．故选A.7．(2019届高三·浙江名校联考)已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点，点P 满足AP ―→＝1a AC ―→＋a －1aAD ―→，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值为( )A ．－2B ．－289C ．－258D ．－72解析：选C 由AP ―→＝1a AC ―→＋a －1aAD ―→知点P 在直线CD 上，以点C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则C (0,0)，A (0,2)，B (23，0)，D (3，1)，∴直线CD 的方程为y ＝33x ，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，33x ，则PA ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫－x ，2－33x ，PB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－x ，－33x ，PC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－33x ，∴PB ―→＋PC ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫23－2x ，－233x ，∴PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝－x (23－2x )＋23x 2－433x ＝83x 2－1033x ＝83⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5382－258，∴当x ＝538时，PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)取得最小值－258.8．已知单位向量a ，b ，c 是共面向量，a ·b ＝12，a ·c ＝b ·c<0，记m ＝|λa －b|＋|λa－c|(λ∈R)，则m 2的最小值是( )A ．4＋ 3B ．2＋ 3C ．2＋ 2D ．4＋ 2解析：选B 由a ·c ＝b ·c ，可得c ·(a －b)＝0，故c 与a －b 垂直，又a ·c ＝b ·c<0，记OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，以O 为坐标原点，OA ―→的方向为x 轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，设OD ―→＝λa ，则|λa －b|＋|λa －c|＝|BD ―→|＋|CD ―→|≥|b －c|＝|BC―→|，由图可知最小值为BC ，易知∠OBC ＝∠BCO ＝15°，所以∠BOC ＝150°，在△BOC 中，BC 2＝BO 2＋OC 2－2BO ·OC ·cos∠BOC ＝2＋ 3.所以m 2的最小值是2＋ 3.9．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．2解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为222＋12＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45.因为P 在圆C 上，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ.又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.10．如图，在四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，设AD ―→·BC ―→＝m ，AC ―→·BD ―→＝n .若AB ＝2，EF ＝1，CD ＝3，则( )A ．2m －n ＝1B ．2m －2n ＝1C ．m －2n ＝1D ．2n －2m ＝1解析：选 D AC ―→·BD ―→＝(AB ―→＋BC ―→)·(－AB ―→＋AD ―→)＝－AB ―→2＋AB ―→·AD ―→－AB ―→·BC ―→＋AD ―→·BC ―→＝－AB ―→2＋AB ―→·(AD ―→－BC ―→)＋m ＝－AB ―→2＋AB ―→·(AB ―→＋BC ―→＋CD ―→－BC ―→)＋m ＝AB ―→·CD ―→＋m .又EF ―→＝EA ―→＋AB ―→＋BF ―→，EF ―→＝ED ―→＋DC ―→＋CF ―→，两式相加，再根据点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，化简得2EF ―→＝AB ―→＋DC ―→，两边同时平方得4＝2＋3＋2AB ―→·DC ―→，所以AB ―→·DC ―→＝－12，则AB ―→·CD ―→＝12，所以n ＝12＋m ，即2n －2m＝1，故选D.二、填空题11．(2018·龙岩模拟)已知向量a ，b 夹角为60°，且|a|＝1，|2a －b|＝23，则|b|＝________.解析：∵|2a －b|＝23，∴4a 2－4a ·b ＋b 2＝12， ∴4×12－4×1×|b |cos 60°＋|b|2＝12， 即|b|2－2|b|－8＝0， 解得|b|＝4. 答案：412.(2019届高三·宁波效实模拟)如图，在平面四边形ABCD 中，|AC |＝3，|BD |＝4，则(AB ―→＋DC ―→)·(BC ―→＋AD ―→)＝________.解析：∵在平面四边形ABCD 中，|AC |＝3，|BD |＝4，∴AB ―→＋DC ―→＝AC ―→＋CB ―→＋DB ―→＋BC ―→＝AC ―→＋DB ―→＝AC ―→－BD ―→， BC ―→＋AD ―→＝BD ―→＋DC ―→＋AC ―→＋CD ―→＝AC ―→＋BD ―→，∴(AB ―→＋DC ―→)·(BC ―→＋AD ―→)＝(AC ―→－BD ―→)(AC ―→＋BD ―→)＝AC ―→2－BD ―→2＝9－16＝－7. 答案：－713．设向量a ，b 满足|a ＋b|＝2|a －b|，|a|＝3，则|b|的最大值是________；最小值是________．解析：由|a ＋b|＝2|a －b|两边平方，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝4(a 2－2a ·b ＋b 2)，化简得到3a 2＋3b 2＝10a ·b ≤10|a||b|，|b|2－10|b|＋9≤0，解得1≤|b |≤9.答案：9 114．(2018·嘉兴期末)在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝2，D 为AB 边上的点，且ADBD＝2，则CD ―→·CA ―→＝________；若CD ―→＝x CA ―→＋y CB ―→，则xy ＝________.解析：以A 为坐标原点，AB ―→，AC ―→分别为x 轴，y 轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (0,2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，0，所以CD ―→·CA―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－2·(0，－2)＝4.由CD ―→＝x CA ―→＋y CB ―→，得⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－2＝x (0，－2)＋y (2，－2)，所以43＝2y ，－2＝－2x －2y ，解得x ＝13，y ＝23，所以xy ＝29.答案：4 2915．(2018·温州二模)若向量a ，b 满足(a ＋b)2－b 2＝|a|＝3，且|b |≥2，则a ·b ＝________，a 在b 方向上的投影的取值范围是________．解析：向量a ，b 满足(a ＋b)2－b 2＝|a|＝3， ∴a 2＋2a ·b ＋b 2－b 2＝3， ∴9＋2a ·b ＝3，∴a ·b ＝－3； 则a 在b 方向上的投影为|a|cos θ＝a ·b |b|＝－3|b|， 又|b |≥2，∴－32≤－3|b |<0，∴a 在b 方向上的投影取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0. 答案：－3 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0 16．(2018·温州适应性测试)已知向量a ，b 满足|a|＝|b|＝a ·b ＝2，向量x ＝λa ＋(1－λ)b ，向量y ＝m a ＋n b ，其中λ，m ，n ∈R ，且m >0，n >0.若(y －x )·(a ＋b)＝6，则m 2＋n 2的最小值为________．解析：法一：依题意得，[ma ＋nb －λa －(1－λ)b ]·(a ＋b)＝6，所以[(m －λ)a ＋(n －1＋λ)b ]·(a ＋b)＝6，因为|a|＝|b|＝a ·b ＝2，所以4(m －λ)＋4(n －1＋λ)＋2[(m －λ)＋(n －1＋λ)]＝6，所以m ＋n －1＝1，即m ＋n ＝2，所以m 2＋n 2＝m 2＋(2－m )2＝2m 2－4m ＋4＝2(m －1)2＋2≥2，当且仅当m ＝1时取等号， 所以m 2＋n 2的最小值为2.法二：依题意得，[ma ＋nb －λa －(1－λ)b ]·(a ＋b)＝6， 即[(m －λ)a ＋(n －1＋λ)b ]·(a ＋b)＝6，因为|a|＝|b|＝a ·b ＝2，所以4(m －λ)＋4(n －1＋λ)＋2[(m －λ)＋(n －1＋λ)]＝6，所以m ＋n －1＝1，即m ＋n ＝2，所以m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝4－2mn ≥4－2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，所以m 2＋n 2的最小值为2.答案：217．已知在△ABC 中，AC ⊥AB ，AB ＝3，AC ＝4.若点P 在△ABC 的内切圆上运动，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值为________，此时点P 的坐标为________．解析：因为AC ⊥AB ，所以以A 为坐标原点，以AB ，AC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (3,0)，C (0,4)．由题意可知△ABC 内切圆的圆心为D (1,1)，半径为1.因为点P在△ABC 的内切圆上运动，所以可设P (1＋cos θ，1＋sinθ)(0≤θ<2π)．所以PA ―→＝(－1－cos θ，－1－sin θ)，PB ―→＋PC―→＝(1－2cos θ，2－2sin θ)，所以PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝(－1－cos θ)(1－2cos θ)＋(－1－sin θ)(2－2sin θ)＝－1＋cos θ＋2cos 2θ－2＋2sin 2θ＝－1＋cos θ≥－1－1＝－2，当且仅当cos θ＝－1，即P (0,1)时，PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)取到最小值，且最小值为－2.答案：－2 (0,1)B 组——能力小题保分练1．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ―→·BC ―→的值为( )A ．－58B.18C.14D.118解析：选B 如图所示，AF ―→＝AD ―→＋DF ―→.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD ―→＝12AB ―→，DF―→＝12AC ―→＋14AC ―→＝34AC ―→， 所以AF ―→＝12AB ―→＋34AC ―→.又BC ―→＝AC ―→－AB ―→，则AF ―→·BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB ―→＋34AC ―→·(AC ―→－AB ―→)＝12AB ―→·AC ―→－12AB ―→2＋34AC ―→2－34AC ―→·AB ―→＝34AC ―→2－12AB ―→2－14AC ―→·AB ―→＝34|AC ―→|2－12|AB ―→|2－14×|AC ―→|×|AB ―→|×cos∠BAC . 又|AB ―→|＝|AC ―→|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF ―→·BC ―→＝34－12－14×1×1×12＝18.2.如图，在等腰梯形ABCD 中，已知DC ∥AB ，∠ADC ＝120°，AB ＝4，CD ＝2，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ―→＝12λBC ―→，DF ―→＝λDC ―→，则AE ―→·BF ―→的最小值是( )A ．46＋13B ．46－13C ．46＋132D ．46－132解析：选B 在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，CD ＝2，∠ADC ＝120°，易得AD ＝BC ＝2.由动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上得，⎩⎪⎨⎪⎧0<12λ<1，0<λ<1，所以12<λ<1.所以AE ―→·BF ―→＝(AB ―→＋BE ―→)·(BC ―→＋CF ―→)＝AB ―→·BC ―→＋BE ―→·BC ―→＋AB ―→·CF ―→＋BE ―→·CF ―→＝|AB ―→|·|BC―→|cos 120°＋|BE ―→|·|BC ―→|－|AB ―→|·|CF ―→|＋|BE ―→|·|CF ―→|cos 60°＝4×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1λ×2－4×(1－λ)×2＋1λ×(1－λ)×2×12＝－13＋8λ＋3λ≥－13＋28λ×3λ＝46－13，当且仅当λ＝64时取等号．所以AE ―→·BF ―→的最小值是46－13. 3．(2018·台州一模)已知单位向量e 1，e 2，且e 1·e 2＝－12，若向量a 满足(a －e 1)·(a－e 2)＝54，则|a|的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－32，2＋32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－12，2＋12C.⎝⎛⎦⎥⎤0，2＋12D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2＋32 解析：选B ∵单位向量e 1，e 2，且e 1·e 2＝－12，∴〈e 1，e 2〉＝120°， ∴|e 1＋e 2|＝1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1. 若向量a 满足(a －e 1)·(a －e 2)＝54，则a 2－a ·(e 1＋e 2)＋e 1·e 2＝54，∴|a|2－a ·(e 1＋e 2)＝74，∴|a|2－|a |·cos〈a ，e 1＋e 2〉＝74，即cos 〈a ，e 1＋e 2〉＝|a |2－74|a |.∵－1≤cos〈a ，e 1＋e 2〉≤1， ∴－1≤|a|－74|a |≤1，解得2－12≤|a |≤2＋12，∴|a|的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－12，2＋12.4．(2017·丽水模拟)在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB ＝EF ＝1，BC ＝6，CA ＝33，若AB ―→·AE ―→＋AC ―→·AF ―→＝2，则EF ―→与BC ―→的夹角的余弦值等于________．解析：由题意可得BC ―→2＝(AC ―→－AB ―→)2＝AC ―→2＋AB ―→2－2AC ―→·AB ―→＝33＋1－2AC ―→·AB ―→＝36，∴AC ―→·AB ―→＝－1.由AB ―→·AE ―→＋AC ―→·AF ―→＝2，可得AB ―→·(AB ―→＋BE ―→)＋AC ―→·(AB ―→＋BF ―→) ＝AB ―→2＋AB ―→·BE ―→＋AC ―→·AB ―→＋AC ―→·BF ―→ ＝1－AB ―→·BF ―→＋(－1)＋AC ―→·BF ―→ ＝BF ―→·(AC ―→－AB ―→) ＝12EF ―→·BC ―→＝2， 故有EF ―→·BC ―→＝4.再由EF ―→·BC ―→＝1×6×cos〈EF ―→，BC ―→〉，可得6×cos〈EF ―→，BC ―→〉＝4，∴cos 〈EF ―→，BC ―→〉＝23.答案：235．(2019届高三·镇海中学模拟)已知向量a ，b 的夹角为π3，|b|＝2，对任意x ∈R ，有|b ＋x a |≥|a －b|，则|t b －a|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪tb －a 2(t ∈R)的最小值为________．解析：向量a ，b 夹角为π3，|b|＝2，对任意x ∈R ，有|b ＋x a |≥|a －b|，两边平方整理可得x 2a 2＋2x a ·b －(a 2－2a ·b )≥0， 则Δ＝4(a ·b)2＋4a 2(a 2－2a ·b )≤0， 即有(a 2－a ·b)2≤0，即为a 2＝a ·b ， 则(a －b)⊥a ，由向量a ，b 夹角为π3，|b|＝2，由a 2＝a ·b ＝|a |·|b |·cos π3，得|a|＝1，则|a －b|＝a 2＋b 2－2a ·b ＝3，画出AO ―→＝a ，AB ―→＝b ，建立平面直角坐标系，如图所示： 则A (1,0)，B (0，3)， ∴a ＝(－1,0)，b ＝(－1，3)； ∴|t b －a|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪tb －a 2＝1－t2＋3t2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－t 2＋3t2＝4t 2－2t ＋1＋4t 2－t ＋14＝2⎝⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－342＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －182＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋382 表示P (t,0)与M ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－38的距离之和的2倍，当M ，P ，N 共线时，取得最小值2|MN |. 即有2|MN |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫14－182＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋382＝72. 答案：726．已知定点A ，B 满足|AB ―→|＝2，动点P 与动点M 满足|PB ―→|＝4，AM ―→＝λAB ―→＋(1－λ)AP ―→ (λ∈R)，且|MA ―→|＝|MP ―→|，则AP ―→·AM ―→的取值范围是________；若动点C 也满足|CB ―→|＝4，则AC ―→·AM ―→的取值范围是________．解析：因为AM ―→＝λAB ―→＋(1－λ)AP ―→(λ∈R)，λ＋1－λ＝1，所以根据三点共线知，点M 在直线PB 上，又|MA ―→|＝|MP ―→|，记PA 的中点为D ，连接MD ，如图，则MD ⊥AP ，AP ―→·AM ―→＝AP ―→·(AD ―→＋DM ―→)＝AP ―→·AD ―→＋0＝12AP ―→2，因为|PB ―→|＝4，所以点P 在以B 为圆心，4为半径的圆上，则|AP ―→|∈[2,6]，则AP ―→·AM ―→＝12AP ―→2∈[2,18]．由于|MA |＋|MB |＝|MP |＋|MB |＝4，所以点M 在以A ，B 为焦点，长轴的长为4的椭圆上，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则椭圆方程为x 24＋y 23＝1，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝16上，A (－1,0)，设M (2cos α，3sin α)，C (4cos β＋1，4sin β)，则AC ―→＝(4cos β＋2,4sin β)，AM ―→＝(2cos α＋1，3sin α)，AC ―→·AM ―→＝(8cos α＋4)cos β＋43sin αsin β＋4cos α＋2 ＝8cos α＋42＋43sin α2sin(β＋φ)＋4cos α＋2＝(4cos α＋8)sin(β＋φ)＋4cos α＋2，最大值是(4cos α＋8)＋4cos α＋2＝8cos α＋10≤18， 最小值是－(4cos α＋8)＋4cos α＋2＝－6， 所以AC ―→·AM ―→∈[－6,18]． 答案：[2,18] [－6,18]第二讲 小题考法——三角函数的图象与性质 考点(一) 三角函数的图象及应用主要考查三角函数的图象变换或根据图象求解析式或参数.[典例感悟][典例] (1)要想得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度(2)已知函数g (x )＝sin 2x －cos 2x ，如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象，为了得到f (x )的图象，只需将g (x )的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向左平移π3个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向右平移π3个单位长度(3)将函数f (x )＝2sin x 2cos x 2cos φ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1sin φ⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的图象关于y 轴对称，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为( )A.32B ．－32C.12 D ．－12[解析] (1)先将函数y ＝cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin 2x 的图象，再向上平移1个单位长度，即得y ＝sin 2x ＋1的图象，故选B.(2)设函数f (x )的最小正周期为T ，由图象知A ＝1，T ＝⎝⎛⎭⎪⎫11π12－π6×43＝π＝2πω，所以ω＝2.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，所以2×π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π6，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.将g (x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象对应的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.故选B.(3)将函数f (x )＝2sin x 2cos x2cos φ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x2－1·sin φ＝sin x cos φ＋cos x sin φ＝sin(x ＋φ)的图象向左平移π3个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ.由g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ的图象关于y 轴对称，可得g (x )为偶函数，故φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π＋π6，k ∈Z.又|φ|<π2，故φ＝π6，可得函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin 2π3＝32.[答案] (1)B (2)B (3)A[方法技巧]1．函数表达式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的确定方法B 由最值确定B＝最大值＋最小值2ω由函数的周期确定相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点之差的绝对值为14个周期，ω＝2πTφ由图象上的特殊点确定一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置，利用待定系数法并结合图象列方程或方程组求解2．三角函数图象平移问题处理的“三看”策略[演练冲关]1．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫2x＋2π3，则下面结论正确的是( )A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2解析：选D 易知C1：y＝cos x＝sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π2，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2.2．(2019届高三·金华十校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(x ∈R ，ω>0)与g (x )＝cos(2x ＋φ)的对称轴完全相同．为了得到h (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象，只需将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度解析：选A 函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3与g (x )＝cos(2x ＋φ)的对称轴完全相同， 则ω＝2，且f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 又h (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，把f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度， 可得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝h (x )的图象． 3.(2019届高三·镇海区校级模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，则φ＝________，为了得到g (x )＝A cos ωx 的图象，需将函数y ＝f (x )的图象最少向左平移________个单位长度．解析：由图象可得A ＝2，∵T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2， ∴T ＝π，ω＝2，f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 将⎝⎛⎭⎪⎫π3，2代入得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝1，∵－π<φ<0，∴φ＝－π6，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π6＝2cos 2x ＝g (x )，∴可将函数y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度得到g (x )的图象，故答案为－π6，π3.答案：－π6 π34.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________.解析：由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω，ω＝π2.又∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∵0<φ<π，则φ＝π2，∴f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2，∴f (1)＝－ 3.答案：－ 3考点(二) 三角函数的性质及应用主要考查三角函数的奇偶性及对称性、周期性或求函数的单调区间，以及根据函数的单调性、奇偶性、周期性等求参数或取值范围.[典例感悟][典例] (1)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2，x ∈[－1,1]，则( )A ．f (x )为偶函数，且在[0,1]上单调递减B ．f (x )为偶函数，且在[0,1]上单调递增C ．f (x )为奇函数，且在[－1,0]上单调递增D ．f (x )为奇函数，且在[－1,0]上单调递减(2)已知函数f (x )＝sin x cos 2x ，则下列关于函数f (x )的结论中，错误的是( ) A ．最大值为1B ．图象关于直线x ＝－π2对称C ．既是奇函数又是周期函数D ．图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0中心对称(3)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5[解析] (1)∵函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝cos πx ，故函数f (x )为偶函数，故排除C 、D.当x ∈[0,1]时，πx ∈[0，π]，函数y ＝cos πx 是减函数，故排除B ，选A.(2)∵函数f (x )＝sin x cos 2x ，当x ＝3π2时，f (x )取得最大值为1，故A 正确；当x＝－π2时，函数f (x )＝1，为函数的最大值，故图象关于直线x ＝－π2对称；故B 正确；函数f (x )满足f (－x )＝sin(－x )cos(－2x )＝－sin x cos 2x ＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，再根据f (x ＋2π)＝sin(x ＋2π)cos[2(x ＋2π)]＝sin x cos 2x ，故f (x )的周期为2π，故C 正确；由于f ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x ＋f (x )＝－cos x ·cos(3π－2x )＋sin x cos 2x ＝cos x cos 2x ＋sinx cos 2x ＝cos 2x (sin x ＋cos x )＝0不一定成立，故f (x )图象不一定关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0中心对称，故D 不正确，故选D.(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，π4ω＋φ＝k 2π＋π2，k 2∈Z ，且|φ|≤π2，则ω＝2k ＋1，k ∈Z ，φ＝π4或φ＝－π4. 对比选项，将选项各值依次代入验证：若ω＝11，则φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减，不满足f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调；若ω＝9，则φ＝π4，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋π4，满足f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调递减，故选B.[答案] (1)A (2)D (3)B[方法技巧]1．求函数单调区间的方法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx ＋φ＝z ，得y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间． 2．判断对称中心与对称轴的方法利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f (x 0)的值进行判断．3．求三角函数周期的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan ()ωx ＋φ的最小正周期为π|ω|.(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期．[演练冲关]1．(2018·浙江十校联考)下列四个函数中，以π为最小正周期，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减且为偶函数的是( )A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |C ．y ＝|tan x |D ．y ＝－ln|sin x |解析：选D 由题意知函数y ＝sin|x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，y ＝cos|x |的最小正周期为2π，y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，故排除A 、B 、C.因为f (x )＝|sin x |为偶函数，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时单调递增，所以y ＝－ln|sin x |为偶函数，且当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时单调递减，又g (x )＝sin x 的最小正周期为2π，所以f (x )＝|sin x |的最小正周期为π，则函数y ＝－ln|sin x |的最小正周期为π.故选D.2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋12，ω>0，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则函数f (x )的单调递增区间为________．解析：由f (α)＝－12，f (β)＝12，|α－β|的最小值为3π4，知T 4＝3π4，即T ＝3π＝2πω，所以ω＝23，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π6＋12.由－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k∈Z.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，则ω＝________，若f (x )>1对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3恒成立，则φ的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，∴2πω＝2π，ω＝1，f (x )＝2sin(x ＋φ)．∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3，即x ＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ，π3＋φ时，f (x )>1恒成立， ∴当x ＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ，π3＋φ时，sin(x ＋φ)>12恒成立，又|φ|≤π2，∴－π12＋φ≥π6，且π3＋φ≤5π6，解得π4≤φ≤π2. 答案：1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2考点(三)三角函数的值域与最值问题主要考查求三角函数的值域或最值，以及根据函数的值域或最值求参数.[典例感悟][典例] (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7(2)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________．(3)(2018·郑州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________． [解析] (1)∵f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos 2x ＋6sin x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5. (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝1.当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，f (x )min ＝－32，∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1. (3)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.∵x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.[答案] (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π[方法技巧]求三角函数的值域(最值)的常见类型及方法[演练冲关]1．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( ) A ．2B ．3。
浙江高考数学复习专题一三角函数与平面向量第3讲平面向量学案
第3讲 平面向量高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A.4B.3C.2D.0解析 a ·(2a －b )＝2a 2－a·b ＝2－(－1)＝3，故选B. 答案 B2.(2018·浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( ) A.3－1B.3＋1C.2D.2－ 3解析 法一 设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A.法二 由b 2－4e ·b ＋3＝0得b 2－4e ·b ＋3e 2＝(b －e )·(b －3e )＝0.设b ＝OB →，e ＝OE →，3e ＝OF →，所以b －e ＝EB →，b －3e ＝FB →，所以EB →·FB →＝0，取EF 的中点为C ，则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图，设a ＝OA →，作射线OA ，使得∠AOE ＝π3，所以|a －b |＝|(a －2e )＋(2e －b )|≥|a －2e |－|2e －b |＝|CA →|－|BC →|≥3－1. 故选A. 答案 A3.(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________.解析 AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.答案3114.(2016·浙江卷)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________. 解析 法一 由已知可得：6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e |， 由于上式对任意单位向量e 都成立. ∴6≥|a ＋b |成立.∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b ， 即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12.法二 由题意，令e ＝(1，0)，a ＝(cos α，sin α)，b ＝(2cos β，2sin β)，则由|a ·e |＋|b ·e |≤6可得|cos α|＋2|cos β|≤ 6 ①.令sin α＋2sin β＝m ②，①2＋②2得4(|cos α cos β|＋sin αsin β)≤1＋m 2对一切实数α，β恒成立，所以4(|cos αcos β|＋sin αsin β)≤1. 故a ·b ＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2(|cos αcos β|＋sin αsin β)≤12.答案 12考 点 整 合1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底. 2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b a ＝λb x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥ba ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0.3.平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.4.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP →＝λ1OA →＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1).(2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP →与向量OA →，OB →的关系是OP →＝12(OA →＋OB →).(3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心GA →＋GB →＋GC →＝0G ⎝⎛⎭⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3热点一 平面向量的有关运算 [考法1] 平面向量的线性运算【例1－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC → (2)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________.解析 (1)法一 如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →，故选A. 法二 EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.(2)法一 如图，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λDC →＝BC →＋1λAB →，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋1λAB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13λAB →·BC →＋1λAB →2＋13BC →2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13λ×2×2×cos 120°＋4λ＋43＝1，解得λ＝2. 法二 建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：A (0，1)，C (0，－1)，B (－3，0)， D (3，0).由BC ＝3BE ，DC ＝λDF ，可求点E ，F 的坐标分别为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝⎛⎭⎪⎫1－1λ，－1λ，∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－43·⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1λ，－1λ－1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1λ＋43⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1λ＝1，解得λ＝2.答案 (1)A (2)2探究提高 用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式求解.[考法2] 平面向量的坐标运算【例1－2】 (1)(2018·北京卷)设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m ).若a ⊥(m a －b )，则m ＝________.(2)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°解析 (1)由题意得，m a －b ＝(m ＋1，－m )，根据向量垂直的充要条件可得1×(m ＋1)＋0×(－m )＝0，所以m ＝－1.(2)|BA →|＝1，|BC →|＝1，cos∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32，则∠ABC ＝30°. 答案 (1)－1 (2)A探究提高 若向量以坐标形式呈现时，则用向量的坐标形式运算；若向量不是以坐标形式呈现，则可建系将之转化为坐标形式，再用向量的坐标运算求解更简捷.[考法3] 平面向量数量积的运算 【例1－3】 (1)(2017·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A.I 1＜I 2＜I 3B.I 1＜I 3＜I 2C.I 3＜I 1＜I 2D.I 2＜I 1＜I 3(2)(2018·北京昌平区调研)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________.解析 (1)如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角，根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →||CA →|·cos∠AOB <0，∴I 1<I 2，同理I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ， 又AB ＝AD ，∴OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ， ∴|OA →||OB →|<|OC →||OD →|，而cos∠AOB ＝cos∠COD <0，∴OA →·OB →>OC →·OD →， 即I 1>I 3.∴I 3<I 1<I 2.(2)法一 如图，以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，设E (t ，0)，t ∈[0，1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1，0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1，0)＝t ≤1， 故DE →·DC →的最大值为1.法二 如图，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，所以DE →·CB →＝|CB →|·1＝1.当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1， 所以(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1. 答案 (1)C (2)1 1探究提高 (1)①数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算、数量积的几何意义，特别要注意向量坐标法的运用；②可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算；③在用|a |＝a 2求向量的模时，一定要把求出的a 2进行开方.(2)求解几何图形中的数量积问题，通过对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐标系，把数量积的计算转化成坐标运算也是一种较为简捷的方法.【训练1】 (1)(2018·温州模拟)平面向量a ，b 满足|a |＝4，|b |＝2，a ＋b 在a 上的投影为5，则|a －2b |的模为( ) A.2B.4C.8D.16(2)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB→|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( ) A.13B.15C.19D.21(3)已知a ，b 均为单位向量，且(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则向量a ，b 的夹角为________.解析 (1)|a ＋b |cos 〈a ＋b ，a 〉＝|a ＋b |·（a ＋b ）·a |a ＋b ||a |＝a 2＋a ·b |a |＝16＋a ·b4＝5；∴a ·b ＝4.又(a －2b )2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝16－16＋16＝16， ∴|a －2b |＝4.(2)建立如图所示坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )，则AP →＝AB→|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t，0＋4t(0，t )＝(1，4). ∴点P (1，4)，则PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t＋4t ≤17－21t·4t ＝13，当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时取等号，故PB →·PC →的最大值为13.(3)设单位向量a ，b 的夹角为θ，则|a |＝|b |＝1，a ·b ＝cos θ. ∵(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，∴2|a |2－2|b |2－3a ·b ＝－3cos θ＝－332，∴cos θ＝32.∵0≤θ≤π，∴θ＝π6.答案 (1)B (2)A (3)π6热点二 平面向量与三角的交汇【例2】 (2018·金丽衢十二校联考)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(－6，2)，x ∈[0，π].(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 解 (1)由题意，得－6cos x ＋2sin x ＝0， 所以tan x ＝3，又x ∈[0，π]，所以x ＝π3.(2)f (x )＝a ·b ＝－6cos x ＋2sin x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，因为x ∈[0，π]，所以x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，即f (x )的最大值为22，此时x －π3＝π2，于是x ＝5π6；f (x )的最小值为－6，此时x －π3＝－π3，于是x ＝0.探究提高 三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.【训练2】 (2018·湖州调研)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量p ＝(cos B ＋sin B ，2sin B －2)，q ＝(sin B －cos B ，1＋sin B )，且p ⊥q . (1)求B 的大小；(2)若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a ，c . 解 (1)因为p ⊥q ，所以p ·q ＝(cos B ＋sin B )(sin B －cos B )＋(2sin B －2)·(1＋sin B )＝0， 即sin 2B －cos 2B ＋2sin 2B －2＝0， 即sin 2B ＝34，又角B 是锐角三角形ABC 的内角， 所以sin B ＝32，所以B ＝60°. (2)由(1)得B ＝60°， 又△ABC 的面积为3，所以S △ABC ＝12ac sin B ，即ac ＝4.①由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，又b ＝2， 所以a 2＋c 2＝8，② 联立①②，解得a ＝c ＝2.1.平面向量的数量积的运算有两种形式：(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化.2.根据平行四边形法则，对于非零向量a ，b ，当|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a ＋b |＝|a －b |等价于向量a ，b 互相垂直.3.两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线一、选择题1.(2018·北京卷)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 ∵|a －3b |＝|3a ＋b |，∴(a －3b )2＝(3a ＋b )2， ∴a 2－6a ·b ＋9b 2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2，又∵|a |＝|b |＝1， ∴a ·b ＝0，∴a ⊥b ；反之也成立.故选C. 答案 C2.已知向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，若(2a ＋b )⊥c ，则|b |＝( ) A.9B.3C.109D.310解析 向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)， ∴2a ＋b ＝(1，x －8)，由(2a ＋b )⊥c ，可得1＋8－x ＝0，解得x ＝9. 则|b |＝（－3）2＋92＝310. 答案 D3.(2018·宁波模拟)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p 1：|a ＋b |＞θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3p 2：|a ＋b |＞θ∈⎝⎛⎦⎥⎤2π3，π p 3：|a －b |＞θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3p 4：|a －b |＞θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π 其中的真命题是( )A.p 1，p 4B.p 1，p 3C.p 2，p 3D.p 2，p 4解析 |a |＝|b |＝1，且θ∈[0，π]，若|a ＋b |＞1，则(a ＋b )2＞1，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＞1，即a·b ＞－12，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝a ·b ＞－12，∴θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3；若|a －b |＞1，同理求得a ·b ＜12，∴cos θ＝a ·b ＜12，∴θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π，故p 1，p 4正确，应选A.答案 A4.(2014·浙江卷)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A.min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a|，|b |}B.min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2解析 由三角形法则知min{|a ＋b |，|a －b|}与min{|a|，|b|}的大小不确定，由平行四边形法则知，max{|a ＋b |，|a －b|}所对角大于或等于90°，由余弦定理知max{|a ＋b|2，|a －b|2}≥|a|2＋|b |2，故选D. 答案 D5.(2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( ) A.－15B.－9C.－6D.0解析 由BM →＝2MA →，可知|BM →||MA →|＝2，∴|BA →||MA →|＝3，由CN →＝2NA →，可知|CN →||NA →|＝2，∴|CA →||NA →|＝3，故|BA →||MA →|＝|CA →||NA →|＝3，连接MN ，则BC ∥MN 且|BC →|＝3|MN →|.∴BC →＝3MN →＝3(ON →－OM →)，∴BC →·OM →＝3(ON →－OM →)·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2)＝3(|ON →|·|OM →|cos 120°－|OM →|2)＝－6.故选C.答案 C6.(2018·天津卷)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为( ) A.2116B.32C.2516D.3解析 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图的平面直角坐标系， 因为在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，∠BAD ＝120°，所以A (0，0)，B (1，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.设C (1，m )，E (x ，y )，所以DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，m －32，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，因为AD ⊥CD ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，m －32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32＝0，则32×(－12)＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫m －32＝0，解得m ＝3，即C (1，3).因为E 在CD 上，所以32≤y ≤3，由k CE ＝k CD ，得3－y 1－x ＝3－321＋12，即x ＝3y －2，因为AE →＝(x ，y )，BE →＝(x －1，y )，所以AE →·BE→＝(x ，y )·(x －1，y )＝x 2－x ＋y 2＝(3y －2)2－3y ＋2＋y 2＝4y 2－53y ＋6，令f (y )＝4y 2－53y ＋6，y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.因为函数f (y )＝4y 2－53y ＋6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，538上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤538，3上单调递增，所以f (y )min ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫538 2－53×538＋6＝2116.所以AE →·BE →的最小值为2116，故选A.答案 A 二、填空题7.(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ).若c∥(2a ＋b )，则λ＝________.解析 由题意得2a ＋b ＝(4，2)，因为c∥(2a ＋b )，c ＝(1，λ)，所以4λ＝2，得λ＝12.答案 128.已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________.解析 cos 60°＝（3e 1－e 2）·（e 1＋λe 2）|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3－λ3＋11＋λ2 ＝12，解之得λ＝33. 答案 339.若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5 AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比值为________.解析 设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD →. 如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD →＝35CD →， 也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比值为35. 答案 3510.(2018·台州模拟)已知平面向量a 和b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，|b |＝1，则a ·b ＝________，|a ＋2b |＝________.解析 ∵〈a ，b 〉＝60°，a ＝(2，0)，|b |＝1，∴a ·b ＝|a ||b |·cos 60°＝2×1×12＝1， 又|a ＋2b |2＝a 2＋4b 2＋4a ·b ＝12，所以|a ＋2b |＝12＝2 3.答案 1 2 311.(2018·湖州联考)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，A ＝60°，AG →＝mAB →＋AC →，则|AG →|的最小值为________；又若AG →⊥BC →，则m ＝________.答案 3 1612.(2018·杭州二中调研)已知向量a ，b 的夹角为π3，|a －b |＝6，向量c －a ，c －b 的夹角为2π3，|c －a |＝23，则a 与c 的夹角为________，a ·c 的最大值为________. 解析 如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则BA →＝a －b ，AC →＝c －a ，BC →＝c －b ，∴AB ＝6，∠BCA ＝2π3，AC ＝23，又∠AOB ＝π3，∴A ，O ，B ，C 四点共圆. 在△ABC 中，由正弦定理得AC sin∠ABC ＝AB sin∠ACB ，即23sin∠ABC ＝6sin 2π3， ∴sin∠ABC ＝23×326＝12，则∠ABC ＝π6. 由同弧所对圆周角相等，可得∠AOC ＝π6，即a 与c 的夹角为π6. 设∠OAC ＝θ，则∠ACO ＝5π6－θ. 在△AOC 中，由正弦定理得：AC sin π6＝OC sin θ＝OAsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－θ， ∴OC ＝23sin θ12＝43sin θ，OA ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－θ12＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－θ， ∴a ·c ＝|a ||c |cosπ6＝32OA ·OC ＝32×43sin θ×43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－θ＝243sin θ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6cos θ－cos 5π6sin θ＝123sin θcos θ＋36sin 2θ＝63sin 2θ＋36·1－cos 2θ2＝63sin 2θ－18cos 2θ＋18＝123sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3＋18. ∴当2θ－π3＝π2，即θ＝5π12时，a ·c 有最大值为123＋18. 答案 π6 123＋18 三、解答题13.设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值.解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32. 14.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行.(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积.解 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0＜A ＜π，所以A ＝π3. (2)法一 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ， 即c 2－2c －3＝0，因为c ＞0，所以c ＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝332. 法二 由正弦定理，得7sin π3＝2sin B ， 从而sin B ＝217，又由a ＞b ，知A ＞B ， 所以cos B ＝277， 故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3 ＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114. 所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝332. 15.(2018·金华一中模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对边的边长，且C ＝π3，a ＋b ＝λc (其中λ>1). (1)若λ＝3，证明：△ABC 为直角三角形；(2)若AC →·BC →＝98λ2，且c ＝3，求λ的值. (1)证明 ∵λ＝3，∴a ＋b ＝3c ，由正弦定理得sin A ＋sin B ＝3sin C ，∵C ＝π3，∴sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32， 即sin B ＋32cos B ＋12sin B ＝32， ∴32sin B ＋32cos B ＝32，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝32， 从而B ＋π6＝π3或B ＋π6＝2π3，解得B ＝π6或B ＝π2. 若B ＝π6，则A ＝π2，△ABC 为直角三角形； 若B ＝π2，△ABC 亦为直角三角形. (2)解 若AC →·BC →＝98λ2，则12a ·b ＝98λ2， ∴ab ＝94λ2. 由余弦定理知a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，即a 2＋b 2－ab ＝c 2＝9，即(a ＋b )2－3ab ＝9，又a ＋b ＝3λ，故9λ2－274λ2＝9，解得λ2＝4， 又λ>1，∴λ＝2.。
2019届高考数学复习平面向量高考专题突破二高考中的三角函数与平面向量问题学案理北师大版
高考专题突破二 高考中的三角函数与平面向量问题【考点自测】1．(2016·全国Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图像的对称轴为( ) A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 答案 B解析 由题意将函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B. 2．(2016·全国Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A 等于( )A.31010B.1010 C ．－1010 D ．－31010答案 C解析 设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，可知BD ＝13BC ，DC ＝23BC ，tan∠BAD＝1，tan∠CAD ＝2，tan A ＝tan(∠BAD ＋∠CAD )＝1＋21－1×2＝－3，所以cos A ＝－1010. 3．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则PA 2＋PB 2PC 2等于( )A ．2B ．4C ．5D ．10 答案 D解析 将△ABC 的各边均赋予向量，则PA 2＋PB 2PC 2＝PA →2＋PB →2PC→2＝(PC →＋CA →)2＋(PC →＋CB →)2PC→2＝2PC →2＋2PC →·CA →＋2PC →·CB →＋CA →2＋CB →2PC→2＝2|PC →|2＋2PC →·(CA →＋CB →)＋|AB →|2|PC →|2＝2|PC →|2－8|PC →|2＋|AB →|2|PC →|2＝|AB →|2|PC →|2－6＝42－6＝10.4．(2016·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝ .答案2113解析 在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.5.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图像如图所示，M ，N 分别是这段图像的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0(O 为坐标原点)，则A ＝ .答案712π 解析 由题意知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，A ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－A ，又∵OM →·ON →＝π12×7π12－A 2＝0，∴A ＝712π.题型一 三角函数的图像和性质例1 (2016·山东)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的递增区间；(2)把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值． 解 (1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )．所以f (x )的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ).(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1， 把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋3－1的图像，再把得到的图像向左平移π3个单位长度，得到y ＝2sin x ＋3－1的图像， 即g (x )＝2sin x ＋3－1.所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3. 思维升华 三角函数的图像与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后将t ＝ωx ＋φ视为一个整体，结合y ＝sin t 的图像求解． 跟踪训练1 已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋523(其中x ∈R )，求：(1)函数f (x )的最小正周期； (2)函数f (x )的单调区间；(3)函数f (x )图像的对称轴和对称中心．解 (1)因为f (x )＝52sin 2x －532(1＋cos 2x )＋532＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x －32cos 2x ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以函数的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12 (k ∈Z )，所以函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )．(3)由2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )．由2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以函数f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z )．题型二 解三角形例2 (2017·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)或cos B ＝1517.故cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4.所以b ＝2.思维升华 根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍． 跟踪训练2 (2017·北京)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a .(1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解 (1)在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝37a ，所以由正弦定理得 sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314. (2)因为a ＝7，所以c ＝37×7＝3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得 72＝b 2＋32－2b ×3×12，解得b ＝8或b ＝－5(舍去)．所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝6 3.题型三 三角函数和平面向量的综合应用例3 已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的取值范围． 解 (1)因为a ∥b ， 所以34cos x ＋sin x ＝0，所以tan x ＝－34.cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85. (2)f (x )＝2(a ＋b )·b＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋cos x ，－14·(cos x ，－1) ＝sin 2x ＋cos 2x ＋32＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋32.由正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin A ＝a sin B b＝3×632＝22， 所以A ＝π4或A ＝3π4.因为b ＞a ，所以A ＝π4.所以f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－12， 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π12，所以32－1≤f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6≤2－12.所以f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－1，2－12.思维升华 (1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．跟踪训练3 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cos A － 2cos C,2c －a )，n ＝(cos B ，b )平行． (1)求sin Csin A的值；(2)若b cos C ＋c cos B ＝1，△ABC 的周长为5，求b 的长． 解 (1)由已知得b (cos A －2cos C )＝(2c －a )cos B ， 由正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k ≠0，则(cos A －2cos C )k sin B ＝(2k sin C －k sin A )cos B ， 即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )， 又A ＋B ＋C ＝π， 所以sin C ＝2sin A ，因此sin Csin A＝2. (2)由余弦定理可知，b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac＝2a22a＝a ＝1， 由(1)知c a ＝sin Csin A＝2，则c ＝2，由周长a ＋b ＋c ＝5，得b ＝2.1．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－2cos 2ωx 2，x ∈R (其中ω>0)． (1)求函数f (x )的值域；(2)若函数y ＝f (x )的图像与直线y ＝－1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数y ＝f (x )的递增区间． 解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋32sin ωx －12cos ωx －(cos ωx ＋1) ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin ωx －12cos ωx －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－1.由－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6≤1，得－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－1≤1， 所以函数f (x )的值域为[－3,1]．(2)由题设条件及三角函数图像和性质可知，y ＝f (x )的周期为π，所以2πω＝π，即ω＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1， 再由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．所以函数y ＝f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．2．(2016·北京)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值．解 (1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac ，得a 2＋c 2－b 2＝2ac .由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又0＜B ＜π，所以B ＝π4.(2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4，所以C ＝3π4－A,0＜A ＜3π4.所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－A＝2cos A ＋cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22sin A ＋22cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4.因为0＜A ＜3π4，所以π4＜A ＋π4＜π，故当A ＋π4＝π2，即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1.3．(2018·合肥质检)已知a ＝(sin x ，3cos x )，b ＝(cos x ，－cos x )，函数f (x )＝a·b＋32. (1)求函数y ＝f (x )图像的对称轴方程；(2)若方程f (x )＝13在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．解 (1)f (x )＝a·b ＋32＝(sin x ，3cos x )·(cos x ，－cos x )＋32＝sin x ·cos x －3cos 2x ＋32＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )．即函数y ＝f (x )图像的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )． (2)由条件知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝13>0，且0<x 1<5π12<x 2<2π3，(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))关于直线x ＝5π12对称，则x 1＋x 2＝5π6，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1－⎝⎛⎭⎪⎫5π6－x 1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－5π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π3－π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1－π3＝13.4．(2017·东北三省四市二模)已知点P (3，1)，Q (cos x ，sin x )，O 为坐标原点，函数f (x )＝OP →·QP →.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若A 为△ABC 的内角，f (A )＝4，BC ＝3，求△ABC 周长的最大值． 解 (1)由已知，得OP →＝(3，1)， QP →＝(3－cos x,1－sin x )，所以f (x )＝OP →·QP →＝3－3cos x ＋1－sin x＝4－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以函数f (x )的最小正周期为2π.(2)因为f (A )＝4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝0，又0<A <π，所以π3<A ＋π3<4π3，A ＝2π3.因为BC ＝3，所以由正弦定理，得AC ＝23sin B ，AB ＝23sin C ， 所以△ABC 的周长为3＋23sin B ＋23sin C＝3＋23sin B ＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B＝3＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3.因为0<B <π3，所以π3<B ＋π3<2π3，所以当B ＋π3＝π2，即B ＝π6时，△ABC 的周长取得最大值，最大值为3＋2 3.5.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cos B ＝17，AD ＝1292，求△ABC 的面积．解 (1)a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0，由正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin B ＋sin C ， 即sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin(A ＋C )＋sin C ， 亦即sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin C ，则3sin A sin C －cos A sin C ＝sin C .又sin C ≠0，所以3sin A －cos A ＝1，所以sin(A －30°)＝12. 在△ABC 中，0°<A <180°，则－30°<A －30°<150°，所以A －30°＝30°，得A ＝60°.(2)在△ABC 中，因为cos B ＝17，所以sin B ＝437. 所以sin C ＝sin(A ＋B )＝32×17＋12×437＝5314. 由正弦定理，得a c ＝sin A sin C ＝75. 设a ＝7x ，c ＝5x (x >0)，则在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ，即1294＝25x 2＋14×49x 2－2×5x ×12×7x ×17， 解得x ＝1(负值舍去)，所以a ＝7，c ＝5，故S △ABC ＝12ac sin B ＝10 3.6．(2017·山东淄博模拟)已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －cos 2ωx ＋12(ω>0)，与f (x )图像的对称轴x ＝π3相邻的f (x )的零点为x ＝π12. (1)讨论函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12上的单调性； (2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c 且c ＝3，f (C )＝1，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值．解 (1)f (x )＝32sin 2ωx －1＋cos 2ωx 2＋12 ＝32sin 2ωx －12cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6. 由与f (x )图像的对称轴x ＝π3相邻的零点为x ＝π12， 得14·2π2ω＝π3－π12＝π4， 所以ω＝1，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令z ＝2x －π6， 函数y ＝sin z 的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ， 由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ， 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12， B ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π3， 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π3上是增加的，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π12上是减少的．(2)f (C )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6－1＝0， 则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1， 因为0<C <π，所以－π6<2C －π6<11π6， 所以2C －π6＝π2，解得C ＝π3. 因为m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线， 所以sin B ＝2sin A ，由正弦定理得，b ＝2a .①由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3， 即a 2＋b 2－ab ＝3.②由①②解得a ＝1，b ＝2.。
【新】2019高考数学二轮复习专题一三角函数、解三角形与平面向量第1讲三角函数的图象与性质学案
第1讲 三角函数的图象与性质[考情考向分析] 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．同角基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .3．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1 (1)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (2，1)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4等于( ) A ．－7 B ．－17 C.17 D ．7答案 A解析 由角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (2,1)，可得x ＝2，y ＝1，tan α＝y x ＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝11－14＝43， ∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝43＋11－43×1＝－7.(2)已知曲线f (x )＝x 3－2x 2－x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－2cos 2α－3sin(2π－α)·cos(π＋α)的值为( ) A.85 B ．－45 C.43 D ．－23 答案 A解析 由f (x )＝x 3－2x 2－x 可知f ′(x )＝3x 2－4x －1，∴tan α＝f ′(1)＝－2，cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－2cos 2α－3sin ()2π－αcos ()π＋α＝(－sin α)2－2cos 2α－3sin αcos α ＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos α ＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝tan 2α－3tan α－2tan 2α＋1 ＝4＋6－25＝85. 思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．跟踪演练1 (1)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π3，cos 5π3，则sin(π＋α)等于( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案 B解析 由诱导公式可得，sin 5π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝－sin π3＝－32，cos 5π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝cos π3＝12， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12， 由三角函数的定义可得，sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，则sin ()π＋α＝－sin α＝－12.(2)已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，则sin (π－α)－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)等于( )A.12B.13C.16 D ．－16 答案 D解析 ∵sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α，∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，则sin (π－α)－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)＝sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝2cos α－4cos α10cos α＋2cos α＝－212＝－16.热点二 三角函数的图象及应用 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换：(先平移后伸缩)y ＝sin x ――――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ) ―――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变 y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． (先伸缩后平移)y ＝sin x ――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变 y ＝sin ωx ―――――――→向左(φ>0)或右(φ<0)平移|φ|ω个单位长度y ＝sin(ωx ＋φ) ――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 例2 (1)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cosωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移5π12个单位长度D ．向右平移5π12个单位长度答案 A解析 由题意知，函数f (x )的最小正周期T ＝π， 所以ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )＝cos 2x . 把g (x )＝cos 2x 变形得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π3，所以只要将f (x )的图象向左平移π12个单位长度，即可得到g (x )＝cos 2x 的图象，故选A.(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)()ω>0，|φ|<π的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向右平移5π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，θ上的值域为[－1,2]，则θ＝________.答案π3解析 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)()ω>0，|φ|<π的部分图象如题图所示，则A ＝2，T 2＝13π12－7π12＝π2，解得T ＝π，所以ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 当x ＝712π，f⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ＝2， ∴7π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝－23π＋2k π，k ∈Z ， 又|φ|<π，解得φ＝－2π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3， 因为函数f (x )的图象向右平移5π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，所以g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －5π12－2π3＝2cos 2x ， 若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，θ上的值域为[－1,2]，则2cos 2θ＝－1，则θ＝k π＋π3，k ∈Z 或θ＝k π＋2π3，k ∈Z ，所以θ＝π3.思维升华 (1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度数和方向． 跟踪演练2 (1)若将函数y ＝cos ωx (ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sinωx 的图象重合，则ω的最小值为( ) A.12 B.32 C.52 D.72 答案 B解析 将函数y ＝cos ωx (ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后得到函数的解析式为y ＝cos ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3. ∵平移后得到的函数图象与函数y ＝sin ωx 的图象重合， ∴－ωπ3＝2k π－π2(k ∈Z )，即ω＝－6k ＋32(k ∈Z )．∴当k ＝0时，ω＝32.(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝________；函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上的零点为________．答案 27π12解析 从图中可以发现，相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为π3，－π6，从而求得函数的最小正周期为T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，根据T ＝2πω可求得ω＝2.再结合题中的条件可以求得函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2x －π6＝k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，结合所给的区间，整理得出x ＝7π12.热点三 三角函数的性质 1．三角函数的单调区间y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )； y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )；y ＝tan x 的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )．2．y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数； 当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数．例3 (2017·浙江)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解 (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－23×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2.(2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x 得，f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以f (x )的最小正周期是π. 由正弦函数的性质得，π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．思维升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用类题目的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．跟踪演练3 (2018·宁波模拟)已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋1－2sin 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值与最小值．解 (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期为π. (2)因为－π3≤x ≤π4，所以－5π12≤2x ＋π4≤3π4.当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π4＝－5π12，即x ＝－π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝－3＋12，即f (x )的最小值为－3＋12.真题体验1．(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________． 答案 －332解析 f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵cos x ＋1≥0，∴当－1≤cos x <12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当12<cos x ≤1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， ∴当cos x ＝12时，f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， ∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值， 即f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－32×⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝－332.2．(2018·全国Ⅱ改编 )若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是________． 答案π4解析 f (x )＝cos x －sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·22－cos x ·22 ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4单调递增， f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4单调递减．∵函数f (x )在[－a ，a ]上是减函数，∴[－a ，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，∴0<a ≤π4，∴a 的最大值为π4.3．(2018·天津改编)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数________．(填序号) ①在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增；②在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减； ③在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2上单调递增；④在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递减． 答案 ①解析 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10＋π5＝sin 2x ，则函数y ＝sin 2x 的一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4，一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，7π4.由此可判断①正确．4．(2018·全国Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为______．答案 3解析 由题意可知，当3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )时， f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＝0.∵x ∈[0，π]， ∴3x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，19π6，∴当3x ＋π6的取值为π2，3π2，5π2时，f (x )＝0，即函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为3.押题预测1．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(x ∈R ，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移3π20个单位长度B ．向右平移3π20个单位长度C ．向左平移π5个单位长度D ．向右平移π5个单位长度押题依据 本题结合函数图象的性质确定函数解析式，然后考查图象的平移，很有代表性，考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错． 答案 A解析 由于函数f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则其最小正周期T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5，g (x )＝cos 2x . 把g (x )＝cos 2x 变形得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π20＋π5，所以要得到函数g (x )的图象，只要将f (x )的图象向左平移3π20个单位长度即可．故选A.2.如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，|φ|≤π2 与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π4，M 为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为( )A.83 3 B.1633 C ．8 D ．16 押题依据 由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求A ，考查数形结合思想． 答案 B解析 由题意设Q (a,0)，R (0，－a )(a >0)．则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a2，由两点间距离公式，得PM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝25， 解得a 1＝8，a 2＝－4(舍去)，由此得T 2＝8－2＝6，即T ＝12，故ω＝π6，由P (2,0)得φ＝－π3，代入f (x )＝A sin(ωx ＋φ)， 得f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3，从而f (0)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－8， 得A ＝1633.3．已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x . (1)若x 是某三角形的一个内角，且f (x )＝－22，求角x 的大小； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的最小值及取得最小值时x 的值．押题依据 三角函数解答题的第(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或对称中心)等，这些都可以由三角函数解析式直接得到，因此此类命题的基本方式是利用三角恒等变换得到函数的解析式．第(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值)，特别是指定区间上的值域(或最值)，是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式． 解 (1)∵f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ＝(cos 2x ＋sin 2x )(cos 2x －sin 2x )－sin 2x ＝cos 2x －sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22cos 2x －22sin 2x＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－22，可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－12.由题意可得x ∈(0，π)， ∴2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，9π4，可得2x ＋π4＝2π3或4π3，∴x ＝5π24或13π24.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22， ∴f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈[－2，1]．∴f (x )的最小值为－2，此时2x ＋π4＝π，即x ＝3π8.A 组 专题通关1．函数y ＝sin x (cos x －sin x )，x ∈R 的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－22，－1＋22答案 D解析 y ＝sin x cos x －sin 2x ＝12sin 2x －1－cos 2x 2＝－12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－22，－1＋22， 故选D.2．(2018·浙江金华十校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(x ∈R ，ω>0)与g (x )＝cos(2x＋φ)的对称轴完全相同．为了得到h (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象，只需将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度答案 A解析 由ωx ＋π3＝π2＋k 1π，k 1∈Z 得函数f (x )的对称轴为x ＝π6ω＋k 1πω，k 1∈Z ，由2x ＋φ＝k 2π，k 2∈Z 得函数g (x )的对称轴为x ＝－φ2＋k 2π2，k 2∈Z .因为两函数的对称轴完全相同，所以⎩⎪⎨⎪⎧π6ω＝－φ2，1ω＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－π6，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，h (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度后得到的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故选A.3.(2018·浙江省金丽衢十二校联考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则φ等于( )A ．－π3B ．－π6C.π6D.π3答案 B解析 由题图易得函数f (x )的最小正周期为2πω＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，解得ω＝2，则f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又因为当x ＝π3时，f (x )取得最大值，所以2×π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝－π6＋2k π，k ∈Z ，又因为|φ|<π2，所以φ＝－π6，故选B.4．(2018·浙江教育绿色评价联盟适应性考试)设函数f (x )＝sin 2x ＋a cos x ＋b 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，且与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，且与b 有关答案 B解析 令t ＝cos x ，则g (t )＝－t 2＋at ＋b ＋1(0≤t ≤1)，由题意得，①当a2<0，即a <0时，g (0)为最大值，g (1)为最小值，此时M －m ＝1－a ；②当a2>1，即a >2时，g (0)为最小值，g (1)为最大值，此时M －m ＝a －1; ③当12≤a 2≤1，即1≤a ≤2时，M 取g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，m 取g (0)，此时M －m ＝a 24；④当0≤a 2<12，即0≤a <1时，M 取g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，m 取g (1)，此时M －m ＝a 24＋1－a .综上所述，M－m 与a 有关，但与b 无关，故选B.5．函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)图象的相邻对称轴之间的距离为π2，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的最大值为1 B ．f (x )的图象关于直线x ＝5π12对称 C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2的一个零点为x ＝－π3D ．f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减 答案 D解析 因为f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的相邻的对称轴之间的距离为π2， 所以2πω＝π，得ω＝2，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x )的最大值为2，所以A 错误； 当x ＝5π12时，2x ＋π6＝π，所以f⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝0，所以x ＝5π12不是函数图象的对称轴，所以B 错误；由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π6＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当x ＝－π3时，f⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2≠0， 所以x ＝－π3不是函数的一个零点，所以C 错误；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，7π6，f (x )单调递减，所以D 正确．6．(2018·浙江省金华十校模拟)在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (－3，－1)，则tan α＝________，cos α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝________. 答案330 解析 ∵角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (－3，－1)，∴x ＝－3，y ＝－1， ∴tan α＝y x ＝33， cos α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝cos α－cos α＝0. 7．已知tan α＝2，则sin 22α－2cos 22αsin 4α＝________.答案112解析 ∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43， ∴sin 22α－2cos 22αsin 4α＝sin 22α－2cos 22α2sin 2αcos 2α＝tan 22α－22tan 2α＝169－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝112. 8．(2017·全国Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．答案 1解析 f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0,1]，∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1.9．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x －π)＝f (x )－sin x ，当－π<x ≤0时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018π3＝________. 答案32解析 ∵f (x －π)＝f (x )－sin x ， ∴f (x )＝f (x －π)＋sin x ，则f (x ＋π)＝f (x )＋sin(x ＋π)＝f (x )－sin x . ∴f (x ＋π)＝f (x －π)，即f (x ＋2π)＝f (x )． ∴函数f (x )的周期为2π， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2 018π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫672π＋2π3＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋sin 2π3. ∵当－π<x ≤0时，f (x )＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2 018π3＝0＋sin 2π3＝32. 10．已知向量m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，设函数f (x )＝m ·n ＋b . (1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)在(1)的条件下，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，求实数b 的取值范围．解 m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，f (x )＝m ·n ＋b ＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋1＋b＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋32＋b ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32＋b .(1)∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得ω＝3k ＋1(k ∈Z )， ∵ω∈[0,3]，∴ω＝1， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b ，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，4π3，∴当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，函数f (x )单调递增；当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，4π3，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π12时，函数f (x )单调递减．又f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， ∴当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>0≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0时，函数f (x )有且只有一个零点， 即sin 4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0，∴b 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52.B 组 能力提高11.如图，单位圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35，∠AOC ＝α，若BC ＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为( )A.45B.35 C ．－45 D ．－35 答案 B解析 ∵点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35，设∠AOB ＝θ，∴sin(2π－θ)＝－35，cos(2π－θ)＝45，即sin θ＝35，cos θ＝45，∵∠AOC ＝α，BC ＝1，∴θ＋α＝π3，则α＝π3－θ，则3cos2α2－sin α2cos α2－32＝32cos α－12sin α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ＝35.12．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为π，若f (x )>2对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，π3恒成立，则φ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3C.⎝⎛⎭⎪⎫π12，π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6 答案 D解析 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为π，所以函数的周期为T ＝π，ω＝2， 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π24，π3时，2x ＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋φ，2π3＋φ，且|φ|≤π2，由f (x )>2知，sin(2x ＋φ)>12，所以⎩⎪⎨⎪⎧π6≤π12＋φ，2π3＋φ≤5π6，解得π12≤φ≤π6.13．已知2sin αtan α＝3，且0<α<π. (1)求α的值；(2)求函数f (x )＝4cos x cos(x －α)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的值域．解 (1)由已知得2sin 2α＝3cos α， 则2cos 2α＋3cos α－2＝0，所以cos α＝12或cos α＝－2(舍)，又因为0<α<π，所以α＝π3. (2)由(1)得f (x )＝4cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 由0≤x ≤π4，得π6≤2x ＋π6≤2π3，所以当x ＝0时，f (x )取得最小值f (0)＝2， 当x ＝π6时，f (x )取得最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝3， 所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的值域为[2,3]．14．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1， 因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，∴g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. 又由lg g (x )>0，得g (x )>1， ∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z 时，g (x )单调递增；当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z 时，g (x )单调递减．∴g (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
高考数学二轮复习 专题一 三角函数与平面向量 第3讲 平面向量学案
—————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————第3讲 平面向量[考情考向分析] 1.江苏高考对平面向量侧重基本概念与基本计算的考查．重点是向量的数量积运算.2.向量作为工具，常与三角函数、数列、解析几何等结合，考查向量的综合运用．解题时要注意解析法和转化思想的渗透．热点一 平面向量的线性运算例1 (1)如图，在△ABC 中，AD →＝13AB →，DE ∥BC 交AC 于点E ，BC 边上的中线AM 交DE 于点N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AN →，则AN →＝____________.答案 16(a ＋b )解析 因为DE ∥BC ，所以DN ∥BM ， 则△AND ∽△AMB ，所以AN AM ＝ADAB.因为AD →＝13AB →，所以AN →＝13AM →.因为M 为BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )，所以AN →＝13AM →＝16(a ＋b )．(2)(2018·江苏启东中学模拟)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3CD ，点E 是BC 的中点．若AC →＝xAE →＋yAD →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的值为________．答案 54解析 由题意得，AE →＝12(AC →＋AB →)＝12(AC →＋3DC →)＝12(AC →＋3AC →－3AD →)＝2AC →－32AD →， ∴AC →＝12AE →＋34AD →，故x ＋y ＝12＋34＝54.思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意向量共线定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1 (1)已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC →＝－OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ的值为________． 答案 12解析 由∠AOC ＝135°知，点C 在直线y ＝－x (x <0)上， 设点C 的坐标为(a ，－a )，a <0，∵OC →＝－OA →＋λOB →(λ∈R )，∴有(a ，－a )＝(－1＋λ，λ)， 得a ＝－1＋λ，－a ＝λ，消去a 得λ＝12.(2)如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于点K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为________．答案 29解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，∴AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知，AC →＝AB →＋AD →， ∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫52AE →＋2AF →＝52λAE →＋2λAF →，由E ，F ，K 三点共线，得52λ＋2λ＝1，可得λ＝29.热点二 平面向量的数量积例2 (1)(2018·江苏兴化一中模拟)在△ABC 中，点D ，E 分别在线段AC ，BC 上，AD →·BE →＝AB →·DE →，若AE ，BD 相交于点F ，且|BF →|＝3，则BE →·BF →＝________. 答案 3解析 如图，由已知，得AD →·BE →－AB →·DE →＝0，∴(AB →＋BD →)·BE →－AB →·(DB →＋BE →)＝0， ∴BD →·BE →－AB →·DB →＝0，∴BD →·(BE →＋AB →)＝0，即BD →·AE →＝0，∴BD ⊥AE ，在Rt△BEF 中，BE →·BF →＝|BF →|2＝3.(2)(2018·江苏扬州中学模拟)如图，已知AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90°，M 为BC 的中点，D 为以AC 为直径的圆上一动点，则AM →·DC →的最小值是________．答案 8－4 5解析 以AC 的中点O 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (－2,0)，C (2，0)，O (0,0)，M (2，－2)，设D (2cos α，2sin α)， ∴AM →＝(4，－2)， DC →＝(2－2cos α，－2sin α)，∴AM →·DC →＝4×(2－2cos α)＋4sin α ＝8＋45sin(α－θ)，其中tan θ＝2，∵sin(α－θ)∈[－1,1]，∴(AM →·DC →)min ＝8－4 5.思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算、数量积的几何意义，特别要注意向量坐标法的运用．(2)求解几何图形中的数量积问题，把向量分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐标系，把数量积的计算转化成坐标运算，也是一种较为简捷的方法．跟踪演练2 (1)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →.若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝________.答案 32解析 方法一 设AB →＝4a ，AD →＝3b ， 其中|a |＝|b |＝1， 则DC →＝2a ，AM →＝2b .由AC →·BM →＝(AD →＋DC →)·(BA →＋AM →)＝－3， 得(3b ＋2a )·(2b －4a )＝－3， 化简得a ·b ＝18，所以AB →·AD →＝12a ·b ＝32.方法二 以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (0,0)，B (4,0)，设D (3cos α，3sin α)，则C (3cos α＋2,3sin α)，M (2cos α，2sin α)． 由AC →·BM →＝－3，得(3cos α＋2,3sin α)·(2cos α－4,2sin α)＝－3， 化简得cos α＝18，所以AB →·AD →＝12cos α＝32.(2)如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，若向量AM →＝14AB →＋mAC →，且AM →的终点M 在△ACD 的内部(不含边界)，则AM →·BM →的取值范围是________．答案 (－2,6)解析 AM →·BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB →＋mAC →(BA →＋AM →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB →＋mAC →⎝ ⎛⎭⎪⎫－34AB →＋m ·AC → ＝－316×16＋16m 2＝16m 2－3，由平行四边形法则可得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34， 所以AM →·BM →的取值范围是(－2,6)． 热点三 平面向量的综合问题例3 (1)已知正实数x ，y 满足向量a ＝(x ＋y,2)，b ＝(xy －2，1)共线，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，32，且a ·(a－c )≥0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，174 解析 由a ＝(x ＋y,2)，b ＝(xy －2,1)共线得x ＋y ＝2(xy －2)， 则x ＋y ＋4＝2xy ≤(x ＋y )22，即(x ＋y )2－2(x ＋y )－8≥0， 当且仅当x ＝y 时等号成立． 又由x ，y 是正实数，得x ＋y ≥4. 不等式a ·(a －c )≥0， 即a 2≥a ·c ，所以(x ＋y )2＋4≥m (x ＋y )＋3，即(x ＋y )2－m (x ＋y )＋1≥0，令x ＋y ＝t ，t ≥4， 则t 2－mt ＋1≥0，t ∈[4，＋∞)．(*) 对于方程t 2－mt ＋1＝0，当Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2时，(*)式恒成立；当m <－2时，相应二次函数y ＝t 2－mt ＋1的对称轴t ＝m 2<－1，(*)式恒成立；当m >2时，由相应二次函数y ＝t 2－mt ＋1的对称轴t ＝m2<4，且16－4m ＋1≥0，得2<m ≤174.综上可得，当m ≤174时，(*)式恒成立，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，174. (2)在△ABC 中，若BC →·BA →＋2AC →·AB →＝CA →·CB →，则sin A sin C 的值为________．答案2解析 方法一 由BC →·BA →＋2AC →·AB →＝CA →·CB →，得2bc ×b 2＋c 2－a 22bc ＋ac ×a 2＋c 2－b 22ac＝ab ×a 2＋b 2－c 22ab，化简可得a ＝2c .由正弦定理得sin A sin C ＝ac＝ 2.方法二 作AO ⊥BC ，以O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)， 所以AC →＝(c ，－a )， AB →＝(b ，－a )，BC →＝(c －b,0)，BA →＝(－b ，a )，CA →＝(－c ，a )，CB →＝(b －c,0)，则由BC →·BA →＋2AC →·AB →＝CA →·CB →， 得b 2＋2cb ＋2a 2－c 2＝0，所以b 2－2cb ＋c 2＝(c －b )2＝2(a 2＋b 2)， 所以BC ＝2AB .由正弦定理得sin A sin C ＝BCAB＝ 2.思维升华 向量和三角函数、解析几何、不等式等知识的交汇是高考的热点，解决此类问题的关键是从知识背景出发，脱去向量外衣，回归到所要考查的知识方法．跟踪演练3 (1)若向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且|a ＋b |≤2a ·b ，则cos(α－β)的值是________． 答案 1解析 因为|a ＋b |≤2a ·b ，所以(cos α＋cos β)2＋(sin α＋sin β)2≤2cos(α－β)， 且cos(α－β)≥0，所以2＋2cos(α－β)≤4cos 2(α－β)， 2cos 2(α－β)－cos(α－β)－1≥0，所以cos(α－β)≥1或cos(α－β)≤－12(舍去)，所以cos(α－β)＝1.(2)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 解析 令Q (c ，d )，由新的运算，可得OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ，12sin x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，12sin x ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2x ＋π3，d ＝12sin x ，消去x ，得d ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －π6，∴y ＝f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，易知y ＝f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.1．(2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA→＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．答案 78解析 设AB →＝a ，AC →＝b ，则 BA →·CA →＝(－a )·(－b )＝a ·b ＝4.又∵D 为BC 中点，E ，F 为AD 的两个三等分点， 则AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ，AF →＝23AD →＝13a ＋13b . AE →＝13AD →＝16a ＋16b ，BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋13a ＋13b ＝－23a ＋13b ，CF →＝CA →＋AF →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ，则BF →·CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －23b＝－29a 2－29b 2＋59a ·b＝－29(a 2＋b 2)＋59×4＝－1，可得a 2＋b 2＝292.又BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋16a ＋16b ＝－56a ＋16b ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋16a ＋16b ＝16a －56b ，则BE →·CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－56a ＋16b ⎝ ⎛⎭⎪⎫16a －56b＝－536(a 2＋b 2)＋2636a ·b ＝－536×292＋2636×4＝78.2．(2017·江苏)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1,1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________.答案 3解析 如图，设OD →＝mOA →，DC →＝nOB →，则在△ODC 中，有OD ＝m ，DC ＝n ，OC ＝2，∠OCD ＝45°，由tan α＝7，得cos α＝210， 又由余弦定理知，⎩⎨⎧m 2＝n 2＋(2)2－22n cos 45°，n 2＝m 2＋(2)2－22m cos α，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝2－2n ， ①n 2－m 2＝2－25m ， ②①＋②得4－2n －25m ＝0，即m ＝10－5n ，代入①得12n 2－49n ＋49＝0， 解得n ＝74或n ＝73，当n ＝73时，m ＝10－5×73＝－53<0(舍去)，当n ＝74时，m ＝10－5×74＝54，故m ＋n ＝54＋74＝3.3．(2018·全国Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.2解析 由题意得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.4．(2018·扬州树人学校模拟)在△ABC 中，AH 是底边BC 上的高，点G 是三角形的重心，若AB ＝2，AC ＝4，∠BAH ＝30°，则(AH →＋BC →)·AG →＝________.答案 6解析 如图，在△ABC 中，AH 是底边BC 上的高，AB ＝2，∠BAH ＝30°，∴AH ＝ 3.由题意得BC →＝AC →－AB →.∵点G 是△ABC 的重心，∴AG →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)．∴BC →·AG →＝(AC →－AB →)·13(AB →＋AC →)＝13(AC →2－AB →2)＝4. 又AH →·AG →＝|AH →||AG →|cos∠DAH ＝|AH →|×|AG →|×|AH →||AD →|＝|AH →|×|AG →|×|AH →|32|AG →|＝23|AH →|2＝2. ∴(AH →＋BC →)·AG →＝AH →·AG →＋BC →·AG → ＝2＋4＝6.5．(2018·江苏盐城中学模拟)在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝1t，AC ＝t ，P 是△ABC 所在平面内一点，若AP →＝4AB→|AB →|＋AC →|AC →|，则△PBC 面积的最小值为________．2解析 以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，可得A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t，0，C (0，t )，∵AP →＝4AB→|AB →|＋AC →|AC →|＝(4,0)＋(0,1)＝(4,1)，∴P (4,1)． 又|BC →|＝t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，BC 的方程为tx ＋y t ＝1， ∴点P 到直线BC 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＋1t －1t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，∴△PBC 的面积为S ＝12·BC ·d＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＋1t －1≥12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪24t ·1t －1＝32，当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时取等号，∴△PBC 面积的最小值为32.6．(2017·江苏)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解 (1)∵a ∥b ，∴3si n x ＝－3cos x ， ∴3sin x ＋3cos x ＝0，∴23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝0，∵0≤x ≤π，∴π6≤x ＋π6≤7π6，∴x ＋π6＝π，∴x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝3cos x －3sin x ＝－23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3≤1，∴－23≤f (x )≤3，当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.A 组 专题通关1．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝________. 答案 1解析 由|a ＋b |＝10，得|a ＋b |2＝10， 即a 2＋2a ·b ＋b 2＝10.①又|a －b |＝6，所以a 2－2a ·b ＋b 2＝6，② 由①－②，得4a ·b ＝4，则a ·b ＝1.2．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＋y ＝________. 答案 13解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →， ∴x ＝12，y ＝－16，∴x ＋y ＝13.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a ，c 的夹角大小为________． 答案 120°解析 设a 与c 的夹角为θ，∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，则b ＝－2a ，∴(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝52，∴a ·c ＝－52.∴cos θ＝a ·c |a ||c |＝－525·5＝－12， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.4．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________． 答案 －3解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)， ∴m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3.5．(2018·淮安模拟)如图，在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，D 为边BC 的中点．若CE ⊥AD ，垂足为E ，则EB →·EC →的值为________．答案 －277解析 EB →·EC →＝(EA →＋AB →)·EC →＝AB →·EC → ＝(AD →＋DB →)·EC →＝CD →·EC →＝－EC →2， 由余弦定理，得BC ＝9＋4－2×3×2×cos 120°＝19， 得cos C ＝4＋19－9419＝7219，AD ＝72，S △ACD ＝334， 所以CE ＝337，所以EB →·EC →＝－277.6．在△ABC 中，已知AB →·AC →＋2BA →·BC →＝3CA →·CB →，则cos C 的最小值是________． 答案23解析 已知AB →·AC →＋2BA →·BC →＝3CA →·CB →， 可得bc cos A ＋2ac cos B ＝3ab cos C ，由余弦定理得a 2＋2b 2＝3c 2，由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝23a 2＋13b22ab ≥23，当b ＝2a 时取到等号，故cos C 的最小值为23. 7．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则k 的值为________． 答案 54解析 因为e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量， 所以e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝cos 2π3＝－12，又a ·b ＝0，所以(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0， 即k －12－2＋(－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，解得k ＝54.8．(2018·南通模拟)在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，且AB →·AC →＝12，设P 是平面ABC 上的一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是________． 答案 －658解析 由AB ＝5，AC ＝4，且AB →·AC →＝12，得cos A ＝35，如图，以A 为坐标原点，AC所在直线为x 轴建立直角坐标系，则C (4,0)，B (3,4)， 设点P 的坐标为P (x ，y )，则PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，－y )·(7－2x,4－2y ) ＝2x 2－7x ＋2y 2－4y＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －742＋2(y －1)2－658，即PA →·(PB →＋PC →)的最小值是－658.9．设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若|2a －b |＝|a ＋2b |，求β－α的值． 解 因为|2a －b |＝|a ＋2b |， 所以|2a －b |2＝|a ＋2b |2，所以8a ·b ＝3(|a |2－|b |2)＝0，所以a ·b ＝0. 又因为a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， 所以a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(β－α)＝0， 因为0<α<β<π，所以β－α＝π2.10．(2018·苏北六市调研)在平面直角坐标系xOy 中，设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.(1)若|a ＋b |＝|c |，求sin(α－β)的值；(2)设α＝5π6，0<β<π，且a ∥(b ＋c )，求β的值．解 (1)因为a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32， 所以|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ·b ＝－cos αsin β＋sin αcos β＝sin(α－β)． 因为|a ＋b |＝|c |，所以|a ＋b |2＝c 2， 即a 2＋2a ·b ＋b 2＝1，所以1＋2sin(α－β)＋1＝1，即sin(α－β)＝－12.(2)因为α＝5π6，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12.故b ＋c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin β－12，cos β＋32.因为a ∥(b ＋c )， 所以－32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos β＋32－12⎝⎛⎭⎪⎫－sin β－12＝0. 化简得，12sin β－32cos β＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π3＝12. 因为0<β<π，所以－π3<β－π3<2π3.所以β－π3＝π6，即β＝π2.B 组 能力提高11．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，角A 的角平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值为________． 答案 58解析 可设AB 的中点为D ，根据条件AO 为∠BAC 的角平分线，从而可得AO →＝k 2AB →＋k 3AC →，k >0.又D ，O ，C 三点共线及D 为AB 的中点， 便可得出AO →＝λ2AB →＋(1－λ)AC →，从而由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝λ2，k3＝1－λ，所以k ＝34，所以x ＋y ＝58.12．(2018·江苏海门中学模拟)如图，在扇形AOB 中，OA ＝4，∠AOB ＝120°，P 为弧AB 上的一点，OP 与AB 相交于点C ，若OP →·OA →＝8，则OC →·AP →的值为________．答案 4解析 由题意可知，OP →·OA →＝4×4×cos∠AOP ＝8， 则cos∠AOP ＝12，∠AOP ＝60°，结合平面几何知识可得OC ＝PC ＝12OP ，由向量的运算法则可知OC →·AP →＝OC →·(OP →－OA →)＝12OP →·(OP →－OA →)＝12×42－12×8＝4. 13．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4，∴f (x )＝b ·c＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α ＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )． 令t ＝sin x ＋cos x ⎝⎛⎭⎪⎫π4<x <π，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t < 2. 则y ＝t 2＋2t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋222－32，－1<t <2， ∴t ＝－22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22， 即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22，∵π4<x <π，∴π2<x ＋π4<5π4， ∴x ＋π4＝7π6，∴x ＝11π12.∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a ·b |a ||b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π，∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0，∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋2sin 2α＝0. ∴52sin 2α＋32cos 2α＝0， ∴tan 2α＝－35. 14．(2018·江苏泰州中学模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝2π3.(1)求AB →·BC →的值；(2)设点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动，且AP →＝xAB →＋yAC →，其中x ，y ∈R .求xy 的取值范围．解 (1)AB →·BC →＝AB →·(AC →－AB →) ＝AB →·AC →－|AB →|2＝－12－1＝－32.(2)以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B (1,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.设P (cos θ，sin θ)，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，由AP →＝xAB →＋yAC →，得(cos θ，sin θ)＝x (1,0)＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.所以cos θ＝x －y 2，sin θ＝32y .所以x ＝cos θ＋33sin θ，y ＝233sin θ， xy ＝233sin θcos θ＋23sin 2θ＝33sin 2θ＋13(1－cos 2θ)＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6＋13.因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，2θ－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π6， 所以当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，xy 的最大值为1；当2θ－π6＝－π6或2θ－π6＝7π6，即θ＝0或θ＝2π3时，xy 的最小值为0.故xy 的取值范围是[0,1]．。
高考数学二轮复习三角函数与向量综合问题学案(全国通用)
2020届二轮复习 三角函数与向量综合问题 学案（全国通用）（一）三角函数1. 弧长公式：r αl ⋅=||。
扇形面积公式：2||2121r αlr S ⋅==扇形 2. 三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ），P 与原点的距离为r ，则r y α=sin ；r x α=cos ；xyα=tan 。
3. 三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）4. 三角函数线正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT 。
5. 同角三角函数 22sin sincos 1,tan cos ααααα+== 6. 三角公式 （1）诱导公式公式一 公式二x x πk x x πk xx πk x x πk cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+xx x x xx x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=-公式三 公式四 公式五正切、余切余弦、正割正弦、余割xx πx x πxx πx x πcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+xx πx x πxx πx x πcot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-xx πx x πx x πx x πcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=- （2）角与角之间的互换公式一 公式二βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααcos sin 22sin =βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ααα2tan 1tan 22tan -= βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2cos 12sin αα-±=βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 2cos 12cos αα+±=βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=8. 正、余弦定理 正弦定理：R C cB b A a 2sin sin sin ===，其中R 是三角形外接圆半径。
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平面向量章节测试题
一、选择题
1. 若A （2，-1），B （-1，3），则AB 的坐标是 ( )
A.（1，2）
B.（-3，4）
C. （3，-4）
D. 以上都不对 2.与a=（4，5）垂直的向量是 ( )
A.（-5k,4k ）
B. (-10，2）
C. (54,k k
-) D.（5k, -4k ） 3. △ABC 中,BC =a, AC =b,则AB 等于 ( )
A.a+b
B.-(a+b)
C.a-b
D.b-a
4.化简52(a －b)－31(2a+4b)+152
(2a+13b)的结果是 ( )
A.51a ±51b
B.0
C. 51a+51b
D. 51a －5
1b 5.已知|p|=22,|q|=3, p 与q 的夹角为4π
,则以a=5p+2q,b=p －3q 为邻边的平行四边形的一
条对角线长为 ( )
A.15
B.15
C. 16
D.14
6.已知A(2,-2),B(4,3),向量p 的坐标为(2k-1,7)且p∥AB ,则k 的值为 ( )
A.109-
B.109
C.1019-
D.1019
7. 已知△ABC 的三个顶点，A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，则点P 与△ABC 的关系是 ( )
A. P 在△AB C 的内部
B. P 在△ABC 的外部
C. P 是AB 边上的一个三等分点
D. P 是AC 边上的一个三等分点
8.已知△ABC 的三个顶点，A (1,5)，B(-2,4)，C(-6,-4)，M 是BC 边上一点,且△ABM 的面积
是△ABC 面积的4
1
,则线段AM 的长度是 ( )
A.5
B.85
C.25
D.852
9.设e 1,e 2是夹角为450
的两个单位向量,且a=e 1+2e 2,b=2e 1+e 2,,则|a+b|的值 ( ) A.23 B.9 C.2918+ D.223+ 10.若|a|=1,|b|=2,(a-b)⊥a,则a 与b 的夹角为 ( )
A.300
B.450
C.600
D.75
11.把一个函数的图象按向量a=(3
π
,-2)平移后，得到的图象对应的函数解析式为
y=sin(x+
6
π
)-2,则原函数的解析式为 ( )
A.y=sinx
B.y=cosx
C.y=sinx+2
D.y= -cosx
12.在△ABC 中，AB =c, BC = a, CA =b,则下列推导中错误的是 ( ) A.若a·b<0,则△ABC 为钝角三角形 B. 若a·b=0,则△ABC 为直角三角形
C. 若a·b=b·c,则△ABC 为等腰三角形
D. 若c·( a+b+c)=0,则△ABC 为等腰三角形 二、填空题
13.在△ABC 中，已知,4==AC AB 且,8=⋅AC AB 则这个三角形的形状是 . 14.一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为
h km /2，则船实际航行的速度的大小和方向是 .
15. 若向量)4,7(),1,2(),2,3(-=-=-=c b a ,现用a 、b 表示c,则c= . 16.给出下列命题:①若a 2
+b 2
=0,则a=b=0; ②已知A ),,(11y x B ),(22y x ,则
);2
,2(21
2121y y x x AB ++= ③已知a,b,c 是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c|
④已知0,021>>λλ,e 1,e 2是一组基底,a=λ1e 1+λ2e 2则a 与e 1不共线,a 与e 2也不共线; ⑤若a 与b 共线,则a·b=|a|·|b|.其中正确命题的序号是 . 三、解答题
17.如图,ABCD 是一个梯形,CD AB CD AB 2,//=, M 、N 分别是AB DC ,的中点,已知=AB a,=AD b,试用a 、b 表示,DC BC 和.MN
18.设两个非零向量e 1、e 2不共线.如果AB =e 1+e 2,=BC 2e 1+8e 2,CD =3(e 1-e 2) ⑴求证:A 、B 、D 共线;
⑵试确定实数k,使ke 1+e 2和e 1+ke 2共线.
19.已知△ABC 中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC 边上的高为AD.⑴求证:AB⊥AC;⑵求点D 与向量AD 的坐标.
20.已知△ABC 的三个顶点为A(1,2),B(4,1),C(3,4).⑴求AB 边上的中线CM 的长;⑵在AB 上取一点P,使过P 且平行与BC 的直线PQ 把ABC ∆的面积分成4:5两部分,求P 点的坐标
A
B
N
M
D
C
21.已知a 、b 是两个非零向量，证明：当b 与a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb 的模取得最小值.
22.已知二次函数f(x) 对任意x∈R，都有f (1-x)=f (1+x)成立，设向量a=(sinx,2),
b=(2sinx,21
),
c=(cos2x,1),d=(1,2)。
（1）分别求a·b 和c·d 的取值范围；
（2）当x∈[0,π]时，求不等式f(a·b)>f(c·d)的解集.
平面向量章节测试题参考答案
一、BCDBA ；DDADB ；BD
二、13.等边三角形；14.大小是4km/h,方向与水流方向的夹角为600
; 15.a －2b ; 16.①③④
三、17.∵|AB |=2|CD |∴DC AB 2=∴21
21==AB DC a,=BC b －21a , MN =41a －b
18.⑴∵BD BC CD =+=5e 1+5e 2=AB 5 , ∴BD AB //又有公共点B,∴A、B 、D 共线 ⑵设存在实数λ使ke 1+e 2=λ(e 1+ke 2) ∴ k=λ且kλ=1 ∴k=1± 19.⑴由0=⋅AC AB 可知AC AB ⊥即AB⊥AC
⑵设D （x,y ）,∴)2,1(),5,5(),4,2(++==--=y x BD BC y x AD ∵BC AD ⊥ ∴5(x -2)+5(y-4)=0
∵BC BD // ∴5(x+1)－5(y+2)=0 ∴⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧==2
527
y x ∴D(25,27))2
3
,23(-=AD
20.⑴2
26
||),25,21()23,25(=--=∴CM CM M
⑵设P （x,y ）
44||22
,59||33
APQ APQ BPQC ABC S S AP AP AB S S AB ∆∆∆=∴=∴=∴= )1,3(32)2,1(-=
--∴y x )3
4
,3(P ∴ 21. 当b 与a+λb(λ∈R)垂直时，b·(a+λb)=0,∴λ= -2
a b
b | a+λb |=2222λλ++b a b a =222
222
()()λ++-a b a b b a b b 当λ= -
2
a b
b 时，| a+λb |取得最小值. ∴当b 与a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb 的模取得最小值. 22. (1）a·b=2sin 2
x+1≥1 c·d=2cos 2
x+1≥1
（2）∵f (1-x)=f(1+x) ∴f(x)图象关于x=1对称 当二次项系数m>0时, f(x)在（1，+∞）内单调递增， 由f(a·b)>f(c·d)⇒ a·b > c·d, 即2sin 2
x+1>2cos 2
x+1
又∵x∈[0,π] ∴x∈3(,)44
ππ
当二次项系数m<0时,f(x)在（1，+∞）内单调递减， 由f(a·b)>f(c·d)⇒ a·b > c·d, 即2sin 2
x+1<2cos 2
x+1
又∵x∈[0,π] ∴x∈
3 [0,)(,]
44
ππ
π、
故当m>0时不等式的解集为
3
(,)
44
ππ
;当m<0时不等式的解集为。