初一数学分式的运算
分式的运算练习题及答案
分式的运算练习题及答案分式的运算是数学中的基本内容之一，掌握好分式的运算方法对于提高数学水平具有重要的作用。
本文将为您提供一些分式的运算练习题及答案，帮助您巩固分式运算的知识。
一、基础练习题1. 计算：$\frac{1}{2} + \frac{3}{4}$答案：$\frac{5}{4}$2. 计算：$\frac{2}{3} \times \frac{3}{5}$答案：$\frac{2}{5}$3. 计算：$\frac{5}{6} \div \frac{1}{2}$答案：$\frac{5}{3}$4. 计算：$\frac{3}{4} + \frac{2}{9} - \frac{1}{3}$答案：$\frac{1}{36}$5. 计算：$(\frac{2}{3} + \frac{1}{4}) \times \frac{3}{5}$答案：$\frac{13}{30}$二、复杂练习题1. 计算：$\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} \times \frac{1}{3}$答案：$\frac{15}{8}$2. 计算：$(\frac{7}{8} - \frac{3}{4}) \div (\frac{2}{3} \times\frac{5}{6})$答案：$\frac{7}{20}$3. 计算：$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \times \frac{1}{5}$答案：$\frac{2}{15}$4. 计算：$\frac{2}{3} \div \frac{3}{4} + \frac{4}{5} - \frac{5}{6}$答案：$\frac{7}{6}$5. 计算：$(\frac{3}{4} + \frac{1}{5}) \div \frac{2}{3} - \frac{5}{6}$答案：$-\frac{17}{36}$三、应用题1. 甲、乙两人一起做数学题，甲做的时间是乙的$\frac{2}{3}$，若乙做完题所需时间为1小时，问甲需要多长时间做完这些题？答案：$\frac{4}{3}$小时解析：设甲需要x小时做完这些题，则根据题意可得$\frac{x}{1}=\frac{2}{3}$，解得x=$\frac{4}{3}$。
七年级数学9.2分式的运算讲解与例题
9.2 分式的运算1．类比分数的运算法则，掌握分式乘除法、加减法的运算法则．2．掌握分式的乘方法则，能进行分式的乘法、除法、乘方的运算及其混合运算． 3．能用分式的运算解决生活中的实际问题，提高“用数学”的意识．1．分式的乘除 (1)分式的乘法法则两个分式相乘，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母．用字母表示为：a b ·c d ＝a ·c b ·d ＝acbd.(2)分式的除法法则两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 用字母表示为：a b ÷c d ＝a b ·d c ＝adbc.(3)理解两个法则的注意事项：①分式与分式相乘，如果分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约去公因式，然后再相乘．②整式与分式相乘，可以直接把整式(整式的分母视为1)和分式的分子相乘作分子，分母不变．当整式是多项式时，同样要先分解因式．③分式的除法可以统一到分式的乘法，即颠倒除式的分子、分母，再与被除式相乘． ④分式的乘除法的计算结果，要通过约去公因式，化为最简分式或整式． 【例1－1】计算下列各题： (1)ab 22c 2·4cd －3a 2b 2； (2)2x －6x 2－4x ＋4·2x －4x －3. 解：(1)ab 22c 2·4cd －3a 2b 2＝－ab 2·4cd 2c 2·3a 2b 2＝－4ab 2cd 6a 2b 2c 2＝－2d3ac . (2)2x －6x 2－4x ＋4·2x －4x －3 ＝x －x －2·x －x －3 ＝x －x －x －2x － ＝4x －2.分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：①符号运算；②按分式的乘法法则运算；③约分．分式中的分子、分母都是多项式时，先因式分解，再约分．【例1－2】计算：(1)－3xy ÷2y23x；(2)(xy －x 2)÷x －y xy.解：(1)－3xy ÷2y 23x ＝－3xy ·3x 2y 2＝－9x22y .(2)(xy －x 2)÷x －y xy＝(xy －x 2)·xy x －y＝－x (x －y )·xyx －y＝－x 2y .(1)分式的除法运算，抓住“一变一倒”，即变除法为乘法，把除式的分子、分母的位置颠倒．(2)分式的分子、分母都是多项式的分式除法先转化为乘法，然后把多项式进行因式分解，最后约分．【例1－3】计算(1)3x 2y 4ab 2·7a 2b 6xy ÷14xba；(2)4－a 24＋4a ＋a 2÷a －22a ＋4·a ＋2a －1. 解：(1)3x 2y 4ab ·7a 2b 6xy ÷14xba＝3x 2y 4ab 2·7a 2b 6xy ·a 14xb ＝a 216b2. (2)4－a 24＋4a ＋a 2÷a －22a ＋4·a ＋2a －1 ＝＋a －a ＋a 2·a ＋a －2·a ＋2a －1 ＝－2a ＋4a －1.分式的乘除混合运算，一般先将除法运算转化为乘法运算，然后再按照乘法运算的法则进行．2．分式的乘方(1)分式的乘方法则：分式乘方就是把分子、分母分别乘方．用式子表示为：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝anbn (n 为正整数，b ≠0)．(2)理解法则的注意事项：①分式乘方时，一定要把分式加上括号，如⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2≠a2b.②分式本身的符号也要同时乘方．③分式分子或分母是多项式时，要避免出现类似⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c b 2＝a 2＋c 2b 2这样的错误．④分式的乘方⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n 可以转化为积的乘方(ab －1)n，这可以利用负整数指数幂的意义验证，根据负整数指数幂的意义，可知⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝(ab －1)n ＝a n b －n＝a n b n .⑤公式中的a ，b 可以是单项式，也可以是多项式，乘方时要注意分子、分母中的每一个因式都要乘方，千万不能出现漏项乘方．【例2－1】计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－2y x 22；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2＋2ab a 2－2ab 3. 分析：(1)分式的分子、分母是单项式，可以直接运用法则计算；(2)分式的分子、分母是多项式，应该先各自因式分解，发现有公因式，先约分，然后再运用法则计算．解：(1)原式＝－2y 2x 22＝4y2x4.(2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a a ＋2b a a －2b 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b a －2b 3＝a ＋2b3a －2b 3.在计算乘方运算时，如果分子、分母是单项式，可以直接运用法则计算；如果分子、分母是多项式，要先因式分解，通常约去公因式后再计算，也可以先进行乘方运算后再约去公因式．【例2－2】计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫2xy －mn 22÷8x 2y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m y 23. 解：⎝ ⎛⎭⎪⎫2xy －mn 22÷8x 2y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m y 23 ＝4x 2y 2m 2n 4·y 28x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8m 3y 6＝－4m n 4y2.含有乘方的分式混合运算，应先进行分式的乘方运算，然后再进行乘除运算．应注意运算中的符号．3．通分(1)通分的概念：化异分母分式为同分母分式的过程，叫做分式的通分．(2)最简公分母：异分母分式通分时，关键是确定公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母．(3)确定最简公分母：①如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数． ②字母取所有字母，取所有不同底的幂的因式； ③相同底的幂的因式取最高次幂．即最简公分母⎩⎨⎧系数：各分母的最小公倍数幂⎩⎪⎨⎪⎧底数：所有的指数：相同底数最高的当分母是多项式时，一般应先分解因式．分式的通分，实质上就是将各分式的分母在不改变分式值的情况下都写成各分母的最简公分母的形式．分式通分的依据是分式的基本性质．(4)分式通分的步骤：先确定各分式的最简公分母，再将各分式通过分式的基本性质变形，使其各分母都成为最简公分母．【例3】通分：(1)2a 3b 2c ，3c 4a 2b ，5b－2ac2.(2)1x 2－9，x 6－2x . 分析：(1)各分母系数的最小公倍数是12，字母因式a ，b ，c 的最高次幂分别是a 2，b 2，c 2，因此最简公分母是12a 2b 2c 2.(2)分母分解因式x 2－9＝(x ＋3)(x －3)；(6－2x )＝－2(x －3)，因此最简公分母为2(x ＋3)(x －3)．解：(1)2a 3b 2c ＝2a ·4a 2c 3b 2c ·4a 2c ＝8a 3c12a 2b 2c2；3c 4a 2b ＝3c ·3bc 24a 2b ·3bc 2＝9bc 312a 2b 2c2； 5b －2ac 2＝－5b ·6ab 22ac 2·6ab 2＝－30ab312a 2b 2c2. (2)1x 2－9＝2x ＋x －； x 6－2x ＝x －x －＝－x x ＋x ＋x －. 4．分式的加减(1)同分母的分式加减法则同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减．用式子表示为：a c ±b c ＝a ±bc.(2)异分母的分式加减法则异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式后再加减．用式子表示为：a b ±c d ＝ad bd ±bc bd ＝ad ±bcbd.(3)理解这两个法则的注意事项：①同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算，分子加减时要将其作为一个整体进行加减，当分子是多项式时，要添加括号．②异分母分式加减运算的关键是利用通分，转化为同分母的分式相加减，再根据同分母的分式加减法进行运算．通分时，要注意最简公分母的确定．③分式加减运算的结果要化为最简分式或整式．【例4－1】计算：(1)2a a ＋b ＋2ba ＋b；(2)x ＋3y x 2－y 2－x ＋2y x 2－y 2＋2x －3y x 2－y 2； (3)2x ＋5x ＋2－x －1x ＋2＋2x －3x ＋2. 分析：按照同分母加减法法则运算，计算结果要注意化简．解：(1)原式＝2a ＋2b a ＋b ＝a ＋ba ＋b＝2.(2)原式＝x ＋3y －x ＋2y ＋x －3yx 2－y 2＝x ＋3y －x －2y ＋2x －3y x 2－y 2＝x －y x ＋y x －y ＝2x ＋y.(3)原式＝2x ＋5－x －＋2x －3x ＋2＝3x ＋3x ＋2＝x ＋x ＋2＝3x ＋. 【例4－2】化简：(1)2m m 2－9－1m ＋3；(2)a ＋2－42－a.分析：(1)分母是多项式，先分解因式找出最简公分母，由于m 2－9＝(m ＋3)(m －3)，所以最简公分母为(m ＋3)(m －3)；(2)把a ＋2化成a ＋21再进行计算．解：(1)2m m 2－9－1m ＋3 ＝2m m ＋m －－1m ＋3＝2m m ＋m －－m －3m ＋m －＝2m －m －m ＋m －＝m ＋3m ＋m －＝1m －3. (2)a ＋2－42－a ＝a ＋21－42－a＝a ＋a －a －2＋4a －2＝a ＋a －＋4a －2＝a 2－4＋4a －2＝a 2a －2.当分母是多项式时，首先要进行因式分解；当整式与分式相加减时，把整式的分母看成1；如果运算结果不是最简分式，一定要进行约分化为最简分式． 5．分式的混合运算分式的混合运算法则：先乘方，再乘除，后加减，如果有括号，先进行括号内的运算． 在进行分式的混合运算过程中，要灵活运用交换律、结合律、分配律等．特别是分式的加减运算与加法的交换律、结合律相结合，会使运算过程简捷．(1)分式的混合运算，关键是弄清运算顺序．(2)有理数的运算顺序及运算规律对分式运算同样适用．(3)分式运算与分数运算一样，结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式．【例5】计算⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4÷4－x x 2－2x.分析：本题是分式的混合运算题，各分母分解因式后可先算括号内的，也可观察式子中各个分式的特点，用乘法分配律进行计算．解：方法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4÷4－x x 2－2x＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2x x －－x －1x －2÷4－x x x － ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋x －x x －2－x x －x x －2÷4－x x x －＝x 2－4－x 2＋x x x －2÷4－x x x － ＝x －4x x －2·x x －4－x＝－1x －2.方法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4÷4－x x 2－2x＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2x x －－x －1x －2·x x －4－x＝x ＋2x x －·x x －4－x －x －1x －2·x x －4－x＝x ＋24－x －x x －x －－x ＝x ＋x －－x x －－x 2－x x －－x＝x 2－4－x 2＋x －x x －＝－4＋x－x x －＝－1x －2.6．通分的技巧通分是进行异分母分式相加减时必不可少的运算步骤，通分时常常是先找出最简公分母，将其变为同分母分式，然后再加减．可在有些实际运算中，有时找最简公分母十分麻烦，或者在进行通分时，将面临着复杂、繁琐的计算，甚至走进一条“死胡同”，因此有必要掌握一些常用的通分技巧和方法，这样能使问题变得简单、化难为易．几种常用的通分技巧如下：(1)首先约分技巧分式中的分子与分母有公因式，故应先约分，再通分． (2)整体处理技巧分式和整式加减时，通常把整式看作一个整体，化成分母为“1”的式子，再通分． (3)分组通分技巧利用加法交换律和结合律，把易于通分的分式结合在一起，再分别通分．【例6】化简：1x －x ＋1x x ＋＋1x ＋x ＋＋…＋1x ＋x ＋.分析：当分式比较复杂，而且按常规方法通分十分艰难时，这时应看看题中是否隐含着某些规律，当具有以下特征(每一个分式的分母是两个因数之积，而分子又是一个定值)时，可将每一个分式先拆成两项之差，前后相约后再通分．解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1－1x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1－1x ＋2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2 010－1x ＋2 011 ＝1x －1－1x ＋1x －1x ＋1＋1x ＋1－1x ＋2＋…＋1x ＋2 010－1x ＋2 011 ＝1x －1－1x ＋2 011＝ 2 012x －x ＋.7．分式的化简求值 计算一个分式的值时，要先运用分式的加减乘除运算分别化简分式，再把字母的取值代入化简后的最简分式或整式并通过计算求出原分式的值．(1)在某些分式的化简求值问题中，字母的值是作为已知条件直接确定的，这种问题是分式最常见的题型之一，对于此种分式求值问题，一般是先化简，后求值，就是要先按顺序进行化简，将分式化成最简分式或整式后，再代入求值．(2)在某些分式的化简求值问题中，字母的值是不确定的，具有一定的开放性，解决此种分式求值问题的途径，一般仍是先化简，后代入求值，但是应注意代入的数值必须使原分式有意义．(3)分式的化简求值问题中，有些条件是以关系式的形式给出的，对于此类问题的求解，方式是多样的，有些在化简后，根据条件求出字母的值，进而代入求值；有些在化简后，把条件整体代入求值；有些在化简后，把条件变形后整体代入求值．总之，解这类题要能够根据题目的特点，挖掘出已知条件和待求式之间的内在联系，巧妙地转化变形，选择最佳方法才能迅速获解．【例7－1】化简2x －64－4x ＋x 2÷(x ＋3)·x 2＋x －63－x，并求其当x ＝－2时的值． 解：2x －64－4x ＋x 2÷(x ＋3)·x 2＋x －63－x ＝x －x －2·1x ＋3·x ＋x ＋3－x ＝－2x －2. 当x ＝－2时，原式＝－2－2－2＝12.【例7－2】先化简再求值：a －1a ＋2·a 2－4a 2－2a ＋1÷1a 2－1，其中a 满足a 2－a ＝0.分析：先按分式的乘除法法则把原式进行化简，得a 2－a －2，而条件中a 2－a ＝0，从而代入求出原式的值．解：原式＝a －1a ＋2·a ＋a －a －2·a ＋1a －1＝(a －2)(a ＋1)＝a 2－a －2.由a 2－a ＝0，得原式＝0－2＝－2.【例7－3】有一道题“先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x ＋2＋4x x 2－4÷1x 2－4，其中x ＝－3.”小玲做题时把“x ＝－3”错抄成了“x ＝3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？解：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x ＋2＋4x x 2－4÷1x 2－4＝x 2－4x ＋4＋4x x 2－4·(x 2－4)＝x 2＋4， 因为当x ＝3或x ＝－3时，x 2的值均为3，原式的计算结果都是7，所以把“x ＝－3”错抄成“x ＝3”，计算结果也是正确的．8．运用分式运算解决实际问题分式的运算应用非常广泛，日常生活中的路程、工程、金融等问题以及自然科学中的许多问题均有涉及．解决实际问题的关键是读懂题意，正确地分析问题中涉及的量与量之间的关系，列出正确的代数式，并进行代数式的运算．例如，原计划a 天完成b 件产品，现需要提前c 天完成，则实际每天比原计划多生产的件数为多少？由于每天比原计划多生产的件数＝现在每天生产的件数－原来每天生产的件数，所以我们可以先列出分式表示原计划每天生产的件数和实际每天生产的件数，进而表示每天比原计划多生产的件数为ba －c －b a ＝bca 2－ac.【例8】甲、乙两人沿着同一个方向从A 地走向B 地，甲一半路程以a km/h 的速度行走，一半路程以b km/h 的速度行走；乙一半时间速度是a km/h ，另一半时间的速度是b km/h ，请你说说甲、乙谁先到达B 地？分析：先求出甲用的时间是s 2a ＋s 2b ＝s a ＋b 2ab 小时，乙用的时间为2sa ＋b小时，然后通过作差比较大小，即s a ＋b 2ab －2s a ＋b ＝s a －b 22ab a ＋b，最后通过讨论a 与b 的关系，确定甲、乙谁先到达B 地．解：甲用的时间是s 2a ＋s 2b ＝s a ＋b 2ab 小时，乙用的时间为2s a ＋b 小时，因为s a ＋b2ab－2s a ＋b ＝s a －b 22ab a ＋b， 所以(1)当a ＝b 时，s a －b 22ab a ＋b＝0，即甲时＝乙时，此时两人同时到达B 地；(2)当a ≠b 时，s a －b 22ab a ＋b＞0，此时，甲时＞乙时，即乙先到达B 地． 9．与分式有关的规律探索题因为分式可以方便地表示对应关系、数量关系等，因此经常利用分式来探索有关问题中的规律，主要方式是根据分式的分子、分母的发展变化情况或者分式值的变化情况，要求得出相应的结果或者规律．一般解法是先写出分式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征，得出相应的结论． 【例9】给定下面一列分式：x 3y ，－x 5y 2，x 7y 3，－x 9y4，…(其中x ≠0)，则第7个分式为__________．解析：把任意一个分式除以前面一个分式，所得商都是－x 2y.仔细观察分子与分母，分子所含字母是x ，分母所含字母是y ，x 的指数是从3开始的连续奇数，y 的指数是从1开始的连续整数，分式本身的符号是第奇数个为正号，偶数个为负号．因此第n 个分式是(－1)n＋1·x 2n ＋1y n .故第7个分式是(－1)8·x 15y 7＝x 15y7. 答案：x 15y7。
初中数学《分式的乘除》解题技巧
《分式的乘除》解题技巧 分式的乘除法，是分式之间的第一种运算．这类运算具体来说，包含三个内容：分式的乘法，分式的除法和分式的混合运算．
◆类型一：分式的乘法
法则：两个分式相乘， 把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母．
【例1】计算：3
432x y y x -⋅ 【分析】先确定积的符号：数出整个参与运算的式子中负号的个数，如果有偶数个负号，积为正；如果有奇数个负号，积为负．计算分子与分子的积；计算分母与分母的积；把积中
【小结】分式的乘法主要是分三步：定号，套用分式乘法法则，化简．
◆类型二：分式的除法 法则：两个分式相除，把除式的分子分母颠倒位置后，再与被除式相乘．
【例2】计算：2
32b ab a ÷-（） 【分析】所有参与运算的式子中，有一个负号，因此，积的符号是负号．除法运算变成乘法运算，除式的分子、分母位置的变化，由原来的分子变成乘法中的分母，原来的分母变成乘法中的分子．
【解】原式b a b
b a b a ab 3232322
222-=-=⋅-= 【小结】这种类型的计算主要是两步：定号，套用除法法则，最终结果一定是最简分式． ◆类型三：分式乘除混合运算：
【例3】计算:2235325953
x x x x x ÷⋅--+ 【分析】在解答分式的乘除法混合运算时，注意两点，就可以了：注意运算的顺序：按照从左到右的顺序依次计算；注意分式乘除法法则的灵活应用．
【解】原式2
2(53)(53)2533533
x x x x x x x -+=⋅⋅=-+
【小结】这种类型的题目最容易出错的地方就是运算顺序，从左到右，熟练掌握乘除法法则，最终结果为最简分式即可．。
分式 因式分解
分式与因式分解在数学领域中，分式和因式分解是两个基础但极其重要的概念。
它们不仅在代数中占据核心地位，而且对于解决各种数学问题具有关键作用。
本文将详细探讨分式的定义、性质以及因式分解的方法和应用。
一、分式的概述分式，顾名思义，是指一个数学表达式被另一个数学表达式除所得的商。
具体来说，分式由分子和分母两部分组成，形如$\frac{a}{b}$，其中$a$是分子，$b$是分母。
需要注意的是，分母不能为0，否则分式无意义。
分式具有多种性质，如基本性质、运算性质等。
基本性质包括分式的值不变性，即分式的分子和分母同时乘以或除以同一个非零数，分式的值不变。
运算性质则涉及分式的加减乘除运算，这些运算都需遵循一定的法则和步骤。
二、因式分解的概念与方法因式分解是将一个多项式表示为几个整式的乘积的形式。
这种方法在解决代数方程、不等式以及函数问题等方面具有广泛应用。
因式分解的核心在于找到多项式中的公因式或利用公式进行分解。
常见的因式分解方法包括提取公因式法、公式法（如平方差公式、完全平方公式等）以及分组分解法等。
这些方法各有特点，适用于不同类型的多项式。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的因式分解方法。
三、分式与因式分解的联系分式和因式分解在代数中紧密相连。
一方面，因式分解可以简化分式，使其更易于计算和理解。
例如，通过因式分解，我们可以将复杂的分式化简为几个简单分式的和或差，从而便于进行后续的运算和分析。
另一方面，分式运算中也经常需要用到因式分解的技巧。
例如，在求解分式方程时，我们通常需要对方程两边进行因式分解，以便消除分母或降低方程的次数。
此外，在分式的加减运算中，通过因式分解可以找到通分母，从而简化运算过程。
四、分式与因式分解的应用分式和因式分解在数学领域具有广泛的应用。
在代数中，它们是解决方程、不等式和函数问题的重要工具。
在几何中，分式和因式分解也被用来描述和解决与形状、面积和体积相关的问题。
此外，在实际生活中，分式和因式分解也发挥着重要作用。
沪科版七下数学分式的运算之分式的通分教学课件
知1－练
1
分式
2 ，a 1 ，2 3a 2a2 4a3
的最简公分母是(
C
)
A．24a2
B．24a3
C．12a3
D．6a3
2
分式
x x
2 ，2x 3 ， 5 12 1 x3 x 1
的最简公分
母为( B )
知1－练
A．(x－1)2Leabharlann B．(x－1)3C．x－1
D．(x－1)2(1－x)3
知识点 2 通 分
(1)当走第二条路时，他从甲 地到乙地需要多长时间？
(2)他走哪条路花费时间少？ 少用多长时间？
答：(1)
1 v
2 (h) 3v
(2)走第一条路花费的时间少，少用
1 v
2 3v
3 (h). 2v
知识点 1 最简公分母
知1－导
异分母分式通分时，关键是确定公分母.通 常取各分母 所有因式的最高次幂的积作为公分 母，这样的公分母叫做最简公分母.
第9章 分 式
9.2 分式的运算 分式的通分
1 课堂讲授 ➢ 最简公分母
➢ 通分
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
从甲地到乙地有两条路，每一条 路都是3 km.其中第一条是平路，第二 条有1 km的上坡路，2 km的下坡路.小 明在上坡路上的骑车速度为v km/h，在 平路上的骑车速度为2v km/h，在下坡 路上的骑车速度为3v km/h，那么：
1
C. x 2 x 1
x1 x 2 x 12
2
D. x 1 2
2x 2 x 2 x 12
知2－练
D
1. 分式通分的根据是分式的基本性质． 2. 分式通分的关键是确定几个分式的最简公分
沪科版数学七年级下册9.2《分式的运算》教学设计1
沪科版数学七年级下册9.2《分式的运算》教学设计1一. 教材分析《分式的运算》是沪科版数学七年级下册第9.2节的内容，主要包括分式的加减乘除运算。
本节内容是学生学习了分式的概念和基本性质之后，进一步深化对分式运算的理解和掌握。
通过本节内容的学习，学生能够熟练运用分式的运算规则，解决实际问题。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的代数基础，对分式的概念和性质有一定的了解。
但学生在运算方面可能还存在一定的困难，特别是对于分式的混合运算，容易出错。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和掌握分式的运算规则，提高运算能力。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够掌握分式的加减乘除运算规则，并能熟练运用解决实际问题。
2.过程与方法：通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：分式的加减乘除运算规则。
2.难点：分式运算中如何正确进行括号展开和约分。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探索分式的运算规则。
2.利用多媒体辅助教学，直观展示分式的运算过程。
3.小组讨论，鼓励学生交流分享，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.分式的运算PPT。
3.练习题库。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示实际问题，引导学生运用分式进行解决。
例如，讲解一道应用题，需要用到分式的运算。
通过解决问题，激发学生的学习兴趣，引出本节课的内容。
2.呈现（10分钟）讲解分式的加减乘除运算规则，结合PPT展示运算过程，让学生直观地理解运算规则。
同时，引导学生总结运算规则，加深对知识点的记忆。
3.操练（10分钟）根据分式的运算规则，设计一些练习题，让学生独立完成。
期间，教师可以巡回指导，帮助学生解决问题。
完成后，选取部分学生进行答案展示和讲解，加深对运算规则的理解。
4.巩固（10分钟）设计一些具有挑战性的题目，让学生小组合作，共同解决问题。
分式的乘除运算讲解
分式的乘除运算讲解1.引言1.1 概述分式是数学中重要且常见的概念，在解决实际问题中具有广泛的应用。
分式的乘除运算是我们在求解分式相关问题时必须掌握和应用的基础运算。
分式的乘法运算是指将两个分式相乘，得到一个新的分式。
而分式的除法运算则是将一个分式除以另一个分式，同样得到一个新的分式。
在实际生活中，我们经常遇到需要对分式进行乘除运算的情况，比如在购物中打折优惠、计算比例和比率等等。
为了正确进行分式的乘除运算，我们需要先了解分式的定义与性质。
分式可以看作是分子和分母之间带有分数线的数学表达式。
在分式中，分子表示分数的分子部分，而分母表示分数的分母部分。
分式的分子和分母都可以是整数、变量、或两者的组合。
在乘法运算中，我们将两个分式相乘，只需将它们的分子相乘，分母相乘，得到的积即为乘法结果的分子与分母。
而在除法运算中，我们将一个分式除以另一个分式，需要将被除数的分子与除数的分母相乘，被除数的分母与除数的分子相乘，从而得到商的分子与分母。
通过了解分式乘除运算的步骤和性质，我们可以更加灵活地对分式进行运算，解决实际问题中的各种分式运算题目。
分式的乘除运算不仅是数学中重要的基础知识，也是我们日常生活中的实际运用。
掌握了分式的乘除运算，我们能够更好地理解和应用数学知识，提高数学解题的能力和运算的准确性。
综上所述，本文将详细介绍分式的乘除运算的定义、性质以及运算步骤，并总结其应用与拓展。
通过学习与掌握分式的乘除运算，我们可以在数学解题中更加得心应手，为日常生活中的计算和问题解决提供帮助。
1.2 文章结构本文将按照以下结构进行分析和讲解分式的乘除运算。
2. 正文2.1 分式的乘法运算2.1.1 定义与性质2.1.2 乘法运算的步骤2.2 分式的除法运算2.2.1 定义与性质2.2.2 除法运算的步骤3. 结论3.1 总结分式的乘除运算在本章节中，我们通过详细解释分式的乘法与除法运算，掌握了其定义、性质以及实际操作步骤。
分式运算练习题及答案
分式运算练习题及答案分式运算练习题及答案在数学学习过程中，分式运算是一个重要的内容。
它不仅涉及到分数的加减乘除，还包括分式的化简、分式方程的解法等等。
掌握好分式运算，对于解决实际问题以及进一步学习高等数学都具有重要意义。
下面给大家提供一些分式运算的练习题及答案，希望能够帮助大家巩固知识。
一、分式的加减乘除1. 计算：$\frac{3}{4} + \frac{2}{5}$解答：首先找到两个分数的公共分母，这里是20，然后分别乘以相应的倍数，得到$\frac{15}{20} + \frac{8}{20} = \frac{23}{20}$。
2. 计算：$\frac{5}{6} - \frac{1}{3}$解答：同样找到两个分数的公共分母，这里是6，然后分别乘以相应的倍数，得到$\frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。
3. 计算：$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5}$解答：将两个分数的分子相乘，分母相乘，得到$\frac{8}{15}$。
4. 计算：$\frac{3}{4} \div \frac{2}{5}$解答：将除法转化为乘法，即$\frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8}$。
二、分式的化简1. 化简：$\frac{4x^2 - 9}{2x^2 - 3x - 2}$解答：将分子和分母进行因式分解，得到$\frac{(2x - 3)(2x + 3)}{(2x + 1)(x - 2)}$，然后约去相同的因子，得到$\frac{2x + 3}{2x + 1}$。
2. 化简：$\frac{2a^2 + 6a + 4}{a^2 + 5a + 6}$解答：同样进行因式分解，得到$\frac{2(a + 2)(a + 1)}{(a + 2)(a + 3)}$，然后约去相同的因子，得到$\frac{2(a + 1)}{a + 3}$。
沪科版数学七年级下册9.2《分式的运算》教学设计3
沪科版数学七年级下册9.2《分式的运算》教学设计3一. 教材分析《分式的运算》是沪科版数学七年级下册第九章第二节的内容。
本节内容主要介绍了分式的加减乘除运算规则，以及分式的化简和求值。
通过本节内容的学习，学生能够掌握分式的基本运算规则，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数和分数的运算规则，对数学运算有一定的基础。
但部分学生对分式的概念理解不深，容易与分数混淆。
因此，在教学过程中，需要引导学生区分分式和分数，并逐步建立起分式的运算规则。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握分式的加减乘除运算规则，能够熟练地进行分式的运算。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重点：分式的加减乘除运算规则。
2.难点：分式运算中的化简和求值。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入分式的运算，使学生能够联系实际，更好地理解分式的运算规则。
2.启发式教学法：引导学生主动思考，自主探究，发现分式的运算规律。
3.合作学习法：鼓励学生之间相互讨论、交流，共同解决问题。
六. 教学准备1.教学PPT：制作含有丰富例题和练习的教学PPT，方便学生直观地了解分式的运算过程。
2.学习资料：准备与本节课相关的学习资料，以便学生在课后进行复习。
3.教学用品：黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如盐水的浓度问题，引出分式的运算。
让学生思考如何计算两种不同浓度盐水的混合后的浓度，从而引入本节课的内容。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示分式的加减乘除运算规则，以及分式的化简和求值。
同时，给出相应的例题，让学生跟随讲解，理解并掌握分式的运算方法。
3.操练（10分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，巩固所学的分式运算规则。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
七年级数学分式中的整式的除法,分式及其基本性质,分式的运算学生用
分式中的整式的除法，分式及其基本性质，分式的运算［知识与技能］1. 知道同底数幂的除法法则，并能运用它进行计算；2. 能用单项式除以单项式性质进行计算；3. 能进行多项式除以单项式的计算；4. 掌握分式的基本概念，会在代数式中辨别分式；5. 会运用分式的基本性质进行约分和通分；6. 熟练进行分式的加减乘除运算；7. 掌握分式的乘方；8. 会根据运算顺序和法则，进行简单的四则混合运算。
【典型例题】例1. 计算：①()()a a 2432÷②()()3332y x x y --÷例2. 已知36923241m n m n ==-+，，求的值。
例3. 下列运算正确的是（ ）A. ()()62336332a b ab a b ÷=B. ()()-=-21323332x y xy xy ÷ C. ()()-=-a b c a b ab 4534÷D. ()(.)x y z x y xyz 322052÷=例4. 计算：①-324522a x y axy ÷()②6325642322a b c a b c ab c ÷÷()()-例5. 计算：()()3595923453745553a b a b a b a b +--÷例6. 已知一个多项式与单项式-22x y 的积是x y x y 32212-，试求该多项式。
例7. 在下列式子中，哪些是整式，哪些是分式1305251018222x a b xy y b c a x y a ，，，，，，-++-+-.π。
例8. 当x取何值时，下列分式有意义？（1）xx-+12（2）11||x-（3）412xx-（4）xx x22+例9. 下列分式中x为何值时，分式的值为零？①||xx-+11②282822xx x-+-例10. 不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数。
数学分式知识点总结
数学分式知识点总结什么是分式？分式是用分数形式表示的算式，它包括分子和分母两部分。
分式中的分子和分母可以是整数、小数或者含有变量的代数式。
分式在数学运算中有着广泛的应用，涉及到了加减乘除、化简、求值等多种操作，是数学学习中的基础知识之一。
分式的类型1. 真分式：分子的绝对值小于分母的绝对值，即分式的值小于1。
例如 1/2、3/4 等。
2. 假分式：分子的绝对值大于或等于分母的绝对值。
例如 5/4、7/3 等。
3. 负分式：分式的值为负数，即分子与分母异号。
例如 -2/3、-5/7 等。
4. 单项式分式：分子和分母都是单项式的分式。
例如 (2x+3)/(x-1)、(3y-2)/(2y+1) 等。
5. 复合分式：分子和分母中含有多项式或者多个分式的复合分式。
例如 (x+1)/(x+2/y)、(3x/2+1)/(x-1/(2x+1)) 等。
分式的性质1. 分式的乘法：分式的乘法是指两个分式相乘的运算。
分式相乘时，可以将两个分式的分子和分母相乘分别得到新的分子和分母，然后进行化简。
例如(a/b)×(c/d) = (a×c)/(b×d)。
2. 分式的除法：分式的除法是指两个分式相除的运算。
分式相除时，可以将除数的分子和分母对调，然后进行分式的乘法。
例如 (a/b)÷(c/d) = (a/b)×(d/c)。
3. 分式的加法和减法：分式的加法和减法是指两个分式相加和相减的运算。
分式相加和相减时，需要将分式的分母通分，然后进行加法或者减法运算。
例如 (a/b)+(c/d) =(ad+bc)/(bd)。
化简分式化简分式是指将分式的分子和分母的公因式提取出来，使分式的值保持不变。
分式的化简是分式运算中的常见操作，可以使分式更加简洁明了，并且便于后续的运算和求值。
化简分式的具体步骤包括：寻找分子和分母的公因式，将公因式约去，得到化简后的分式。
分式的运算分式的运算是指对分式进行加减乘除等操作，根据不同的运算规则进行相应的计算。
七年级数学分式的运算和分式方程
分式性质及运算【基础精讲】一、分式运算的几种技巧分式加减运算是分式的重点和难点，尤其是导分母分式的加减运算更需要具备扎实的基础知识和解题技巧，下面例谈几种运算技巧。
1、先约分后通分技巧例1 计算2312+++x x x +4222--x xx分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算解：原式=)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21+x +2+x x =21++x x2、分离整数技巧例2 计算233322+-+-x x x x -657522+-+-x x x x -3412+-x x分析：前两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，用分离整数方法可使计算化简。
解：原式=231)23(22+-++-x x x x -651)65(22+-++-x x x x -3412+-x x=1+2312+-x x -1-6512+-x x -3412+-x x=)2)(1(1--x x -)3)(2(1--x x -)3)(1(1--x x=)3)(2)(1()2()1(3--------x x x x x x =)3)(2)(1(----x x x x =-)3)(2)(1(---x x x x3、裂项相消技巧例3 计算)1(1+x x +)3)(1(2++x x +)6)(3(3++x x分析：此类题可利用)(1m n n +=m 1（n 1-m 1）裂项相消计算。
解：原式=（x 1-11+x ）+22（11+x -31+x ）+33（31+x -61+x ）=x 1-61+x =)6(6+x x4、分组计算技巧例4 计算21-a +12+a -12-a -21+a分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a 2-4，第二项、第三项分母乘积为a 2-1，采取分组计算简捷。
解：原式=（21-a -21+a ）+（12+a -12-a ）=442-a +142--a =)1)(4(1222--a a5、变形技巧例5 已知x 2-3x+1=0，求x 2+21x 的值。
沪科版七年级数学下册《分式的混合运算》说课稿
沪科版七年级数学下册《分式的混合运算》说课稿一、教材分析《分式的混合运算》是沪科版七年级数学下册中的一篇教学内容，主要介绍了关于分式的混合运算的知识和方法。
通过本节课的学习，学生将会掌握如何进行分式的加法、减法、乘法和除法运算，并能够灵活运用这些知识解决实际问题。
本节课所需的前置知识包括整数的加法、减法、乘法和除法运算，以及分数的基本概念和运算法则。
通过对前置知识的复习和巩固，学生将能更好地理解和掌握本节课的内容。
二、教学目标本节课的教学目标主要包括以下几个方面：1.了解分式的基本概念和表示方法；2.掌握分式的加法、减法、乘法和除法运算规则；3.能够运用所学知识解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
三、教学重点和难点本节课的教学重点如下：1.掌握分式的加法、减法、乘法和除法运算规则；2.能够灵活运用所学知识解决实际问题。
教学难点如下：1.理解并正确运用分式的运算规则；2.能够将问题运用到实际生活中，进行综合性思考和解决。
四、教学准备为了顺利进行本节课的教学，我需要准备以下教学资源：1.沪科版七年级数学下册教材；2.多媒体投影仪；3.黑板和粉笔；4.学生课前布置的作业。
五、教学过程1.导入新课首先，我会通过提问的方式导入本节课的内容，引发学生对分式的兴趣。
例如，我可以问学生：•你们知道什么是分式吗？可以举例说明一下吗？通过学生的回答，我可以了解他们对分式的了解程度，进而引出本节课的主要内容。
2.学习分式的加法和减法运算在学习分式的加法和减法运算时，我会使用多媒体投影仪展示一些例题，并结合黑板上的示范，逐步讲解运算规则和步骤。
然后，我会与学生一起完成一些练习题，帮助他们巩固所学知识。
3.学习分式的乘法和除法运算在学习分式的乘法和除法运算时，我会以同样的方式进行教学。
通过展示例题和进行示范，学生可以更好地理解和掌握运算规则和步骤。
4.运用所学知识解决实际问题为了加深学生对分式运算的理解和应用能力，我会设计一些与实际问题相关的综合练习。
1(学生4份) 第3讲 分式运算
1第 3 讲 分式运算一、知识精讲： （1）、分式的加减法通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。
求最简公分母是通分的关键，它的法则是： ①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取； ③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。
同分母的分式加减法法则a cbc a bc±=± 异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。
（2）、 分式的乘除法法则a b c d acbd⋅=； a b c d a b d c ad bc÷=⋅=当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。
（3）、分式乘方的法则()a b a bn nn =（n 为正整数） （4） 、分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。
学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式； （3）运算中及时约分、化简； （4）注意运算律的正确使用； （5）结果应为最简分式或整式。
（二）、【分类解析】考点分析（分式运算的若干技巧）进行分式运算应以分式的性质为基础，根据已知的条件特征和结构特征，克服思维定势，通过适当的变形、转化、沟通等解题手段，找到解题的捷径。
本文介绍几种常见的方法与技巧，供同学们参考。
下面我们一起来学习分式的四则运算 （二）、【分类解析】 例1．计算：（1）2422---x x x ； （2）22211y x xy x y x -+--+； （3）224--+a a2例2．计算：34(1)32x yy x∙， 22224(2)9a b b a ∙-，222339(3)9x x x x x -+∙-， 222441(4)214a a a a a a -+-∙-+-例3. 计算：226(1)3y xy x ÷， 32225(2)24ab a b c cd-÷ ， 2211(3)497m m m ÷--例4。
数学公式知识：代数式的分式计算与化简
数学公式知识：代数式的分式计算与化简代数式是数学中的一个重要概念，它是由一些数和变量通过运算符号组合而成的式子。
在代数式中常常会包含有分式，即分数形式的表达式。
分式含有分子和分母两部分，其中分母不能为零。
代数式的分式计算与化简是代数学习中的重要环节，下面将从分式的四则运算、最简分式的求法以及综合应用等方面进行详细阐述。
一、分式的四则运算分式的四则运算包括加、减、乘、除四种基本运算。
对于两个分式a/b和c/d，它们的四则运算规则如下：1.加法：将分子通分，并将分母约分成最简分式，即可将两个分式相加。
2.减法：将分子通分，并将分母约分成最简分式，即可将两个分式相减。
3.乘法：分子相乘，分母相乘，约分后即可得到乘积的最简分式。
4.除法：将除式取倒数，并将被除式乘上这个倒数，然后将分子约分成最简分式，即可得到商的最简分式。
需要注意的是，在进行分式四则运算时必须注意通分与约分，通分是为了使分式之间的分母相同，从而进行加减运算，通分时常用到质因数分解，而约分则是为了将分式的分子和分母化简成最简形式。
进行分式四则运算的过程中，通分与约分应当恰当地运用，从而保证运算结果的正确性。
二、分式的最简形式求法对于一个分式，如果分子和分母之间不存在公因数，则该分式为最简分式。
而对于存在公因数的分式，可以通过约分的方法化简成最简分式。
下面介绍两种常见的求最简分式的方法。
1.辗转相除法以分式a/b为例，辗转相除法的求解步骤如下：1）计算a和b的最大公因数d；2）将a和b同时除以d，得到a'和b'；3）化简后得到的最简分式为a'/b'。
2.质因数分解法以分式a/b为例，质因数分解法的求解步骤如下：1）将a和b同时进行质因数分解，得到它们的质因数分解式；2）将a和b的所有公因数约掉，得到a'和b'；3）化简后得到的最简分式为a'/b'。
质因数分解法适用于任何分式的化简，但是过于繁琐，一般较少采用。
【数学课件】分式的运算练习
分式的运算练习
一、分式的加减
• 计算： x 1 x 4 2x 1
x2 5x 6 x2 5x 6 5x x2 6
• 同分母相加，分子相加。 • 注意分式前面的“－”是对整个分
子起作用的。分子相加时记得变号。 • 最终结果一定要约分。
•
计算：
6a2b a2 9b2
21a3c 9ab6
2
x2 3x x2 11x 30 x2 6x 9 5x x2
• 指数相减
• 分子、分母为多项式时先进行因式分 解，再约分
• 注意不要漏了“－”
•
2x2 18
计算：
4
4
x
x
2
x
3
x
3 x 2 x
6
• 把除法变为乘法：除式的分子、分母 颠倒
次式、分子是常数的两个分式之和。
• 目的：把一个分母次数较高的分式 化成分母次数较低的若干个分式之 和。
• 过程中主要用到了待定系数的方法。
x2 x 3
(x 1)( x 2)( x 3)
二、分式的乘除
•
计算：7a5b2 35ca2
6c2b3 14a3b5c
初中数学专题： 分式的运算及化简求值
7．(黔南中考)先化简再求值：(x－1 y－x＋1 y)÷x2－yy，其中 x，y 满足 |x－1|＋(y＋2)2＝0.
解：∵x，y 满足|x－1|＋(y＋2)2＝0， ∴x－1＝0，y＋2＝0.∴x＝1，y＝－2. 原式＝（xx－＋yy）－（x＋ x＋yy）·x－ 2yy＝x＋1 y. 当 x＝1，y＝－2 时，原式＝1－1 2＝－1.
8．(毕节中考)先化简，再求值：(x2－x2－2x＋ x 1＋xx22＋－24x)÷1x，且 x 为满 足－3＜x＜2 的整数．
解：原式＝[x（（xx－－11））2＋（x＋x（2）x＋（2x）－2）]·x＝(x－x 1＋ x－x 2)·x＝2x－3.
∵x 为满足－3＜x＜2 的整数， ∴x＝－2，－1，0，1. ∵x 要使原分式有意义， ∴x≠－2，0，1. ∴x＝－1. 当 x＝－1 时，原式＝2×(－1)－3＝－5.
3．计算： (1)(x＋1 1＋x－1 1)·(x2－1)； 解：原式＝（xx＋－11）＋（x＋ x－11）·(x＋1)(x－1) ＝2x.
(2)(x＋3 1－1x)÷x22＋x22－x＋x 1； 解：原式＝[x（x3＋x 1）－x（xx＋＋11）]·x22＋x22－x＋x 1 ＝x3（x－x＋x－1）1 ·x（（x2＋x－1）1）2 ＝x（2xx－＋11）·x（（x2＋x－1）1）2 ＝x＋x2 1.
(3)m2＋m2m2 ＋1÷(1－m＋1 1)； 解：原式＝（mm＋21）2÷mm＋＋1－1 1 ＝（mm＋21）2·mm＋1 ＝mm＋1.
(4)(2－1 x＋1)÷xx2－－34·x2＋4xx＋4. 解：原式＝32－－xx·（x＋2）x－（3x－2）·（x＋x 2）2 ＝x＋x 2.
4．(遵义中考)先化简，再求值：x－x y÷(x－2xyx－y2)，其中 x＝2，y ＝－1.
分式的解法
分式的解法分式是数学中重要的概念，它能够帮助我们表述复杂的数学概念，甚至解决抽象问题。
它以简洁而富有表现力的方式表达数学思想，使数学变得更加易懂、易于理解。
分式是由分子和分母构成的，分子表示被除数，分母表示除数。
例如，4/3表示4被除以3的结果，即1.3333……。
分式也会遇到混合运算的情况，比如，2/3×5/2=5/6，这时候可以使用先乘分子，再乘分母的方式运算，即2×5/3×2=10/6，再进行简化，即10/6=5/3。
分式也可以用来表达比较大的数字，比如，100000/3表示100000被3除的结果，即33333.3333……。
它还可以用来表示不确定的结果，比如，x/y表示x和y的一个不确定的结果。
分式也可以用来表达分数的运算。
比如，1/2+1/3=5/6，这时候可以使用先求最大公约数的方式运算，即2和3的最大公约数是1，即1/2+1/3=2/2+3/3=5/3，再进行简化，即5/3=5/6。
分式也可以用来表示不确定因素，比如，(x+y)/z表示x和y 的和除以z的结果，这个结果由x和y的值以及z的值决定，这种表达方式可以表达出更多的不确定性。
通过以上介绍，我们可以看出分式既有实际意义，也有数学意义。
因此，分式是理解和解决数学问题的一种有效工具。
在日常数学学习中，学生要注意学习分式的解法，进行充分练习，掌握分式的知识，从而掌握数学思维方法。
首先，学生要注意学习分式的本质。
分式有两部分：分子和分母。
理解分式的本质是解决分式问题的根本，因为分式的运算和简化都是基于它们的本质。
其次，学生要注意学习分式的解法。
分式的解法包括使用最大公约数法简化分式，使用先乘分子，再乘分母法计算混合运算，以及使用分式表达不确定因素等。
学生要掌握这些解法，熟练掌握运算，才能更好地解决数学问题。
最后，学生要多做练习。
分式的运算和简化都是基于思维，只有通过频繁的练习，才能更好地掌握分式的运算和简化。
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阶段卷（九）
班级____________ 姓名____________ 学号____________
一、填空题
1．当x_______时，分式2(1)1x x -+有意义；当x_______时，分式2
(1)1
x x -+的值为0． 2．2
1______;(1)1m ab ab ab m b
-+=-+=______． 3．某工厂库存原材料x 吨，原计划每天用a 吨，若现在每天少用b•吨，•则可以多用________天．
4．若xy=x-y ，则11x y
-=_________． 5．如果把分式xy x y
-中的x 、y 都扩大3倍，那么分式的值_____． 6．332137_______.34444a b x x y y b a a x y y x x y
+⨯÷=+----=________. 7．0.000 000 879用科学记数法表示为________．
8．=⨯⨯⨯---3223)102()102(_______．
9． m 取 时，方程
323-=--x m x x 会产生增根； 10．已知x=3是方程1210=++x
k x 一个根，求k 的值=_______； 11、分式,21x xy
y 51,212-的最简公分母为 。
12．若关于x 的方程
221933
m x x x +=-+-有增根，则增根是________．
13.已知 ，则A=________ B=________． 二、选择题 1．在 2111331,,,,,22x xy a x x y m π+++，,2x
x 中，分式的个数有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
2
212++=+-x B x A x x x
2．能使分式221
x x x --的值为零的所有x 的值是（ ） A ．x=0 B ．x=1 C ．x=0或x=1 D ．x=0或x=±1
3．如果a 个人完成一项工作需要m 天，则（a+b ）个人完成此项工程需要（ ）天. A ．（m+b ） B ．（m-b ） C ．
.am m D a b a b
++ 4．分式2
22222,,,a c a b xy y xz a b a b x y ----中，最简分式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
三、计算题 (1) 2
1
a a --a-1; (2) 232()()x x y y --⨯-÷（-xy 4）
(3)
2b a c b c a b c b a c b a c
+-+--+----; (4)222[()]()33x y x y x y x x y x x -+----÷+
四、解下列方程:
（1）1617222-=-++x x x x x （2）11262213x x =---
（3）
01
44121212212=---+++-x x x x x
四、先化简再求值:
1．22132111(1)(3)
a a a a a a a +-+-⨯+-++，其中0122=-+a a
2．2,3,1)()2(23322==+÷+∙+-b a b a b
a b a b a b a 其中
五、应用题
A ，
B 两地相距135千米，两辆汽车从A 地开往B 地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知小汽车与大汽车的速度之比是5：2，求两辆汽车各自的速度.。