9北京版小五奥数教材课程九、鸽巢原理(抽屉原则)
三年级奥数之抽屉原理
抽屉原理是在集合中对元素分配的原则和方法之一，它在数学中有着重要的应用。
下面将从什么是抽屉原理、抽屉原理的应用以及抽屉原理的实例等方面进行介绍。
一、什么是抽屉原理抽屉原理（也称为鸽巢原理）是指当把若干个物品放入若干个抽屉中时，无论如何放，总有一个抽屉中要放至少两个物品。
这是因为如果有n+1个物品放入n个抽屉中，那么至少有一个抽屉里面放了两个物品。
抽屉原理的数学概念是一种常用的思考方法，它的核心是基于“物品数大于抽屉数”。
二、抽屉原理的应用抽屉原理在数学中有广泛的应用，特别是在组合数学、概率论和数论等领域。
它常常用来解决组合问题、分配问题以及概率问题等。
1.解决组合问题：例如，若有n+1个元素放入n个抽屉中，那么必然存在至少一个抽屉中有至少两个元素，这对于解决组合问题非常有用。
2.解决分配问题：例如，如果有n+1个待分配的任务和n个人来分配任务，那么必然存在至少一个人分配到了两个任务。
这对于资源的合理分配具有指导意义。
3.解决概率问题：例如，当从一个有限的集合中随机选择元素时，当元素的数目大于选择次数时，抽屉原理可以帮助我们理解为什么在多次实验中，一些结果出现的概率较高。
三、抽屉原理的实例以下是一些经典的抽屉原理的实例，以帮助大家更好地理解抽屉原理的应用。
1.生日原理：假设一个教室里有365个学生，那么他们中间有至少两个人的生日相同的概率是多少？根据抽屉原理，我们可以知道只要有366个学生，那么必然存在至少两个人的生日是相同的。
2.快乐数：快乐数是指一个正整数，将该数的每个数位上的数字的平方相加，再对得到的结果重复进行相同的操作，最终结果为1、根据抽屉原理，如果不是快乐数，那么一定存在循环的结果。
3.鸽巢原理：在一群鸽子和若干个鸽巢之间进行配对，如果鸽子的个数大于鸽巢的个数，那么至少有一个鸽巢中有两只以上的鸽子。
这个例子非常形象地展示了抽屉原理。
总之，抽屉原理作为一种思考方法和解决问题的原则，可以在数学问题中发挥重要的作用。
小学奥数之抽屉原理
小学奥数之抽屉原理在小学奥数中，抽屉原理是一个非常重要的概念。
它是数学中的一种思维方法，能够帮助我们解决一些看似很难的问题。
抽屉原理也被称为鸽巢原理，它的具体含义是：如果有n+1个物体放进n个抽屉，那么必定有一个抽屉里会放至少两个物体。
抽屉原理常常在解决一些排列组合和概率问题中应用。
下面我们一起来了解一下抽屉原理在小学奥数中的具体应用吧。
首先，我们来看一个经典的例子。
假设有10个苹果放在9个抽屉里，那么根据抽屉原理，必定有一个抽屉里会放至少两个苹果。
为什么会这样呢？我们可以这样来理解，假设每个抽屉最多只放一个苹果，那么最多只能放9个苹果，而实际上有10个苹果，所以必定会有一个抽屉里放至少两个苹果。
接下来，我们来看一个稍微复杂一些的例子。
假设有5个红球和4个蓝球，需要将它们放进4个抽屉里。
根据抽屉原理，必定有一个抽屉里会放至少两个球。
为什么会这样呢？我们可以这样来理解，在最坏的情况下，每个抽屉最多只能放一个球，那么最多只能放4个球，而实际上有9个球，所以必定会有一个抽屉里放至少两个球。
抽屉原理的应用并不仅限于上面两个例子，它在解决一些看似很难的问题时往往能起到关键的作用。
比如，我们可以用抽屉原理解决下面的问题：假设有9个整数，它们的和是10，那么必定存在至少一对数的和是2、我们可以将这个问题转化成将9个整数放进8个抽屉的问题，根据抽屉原理，必定会有一个抽屉里放至少两个整数，它们的和就是2除了上述的应用外，抽屉原理还可以帮助我们解决一些类似的问题。
比如，假设有12个整数，它们的和是31，那么必定存在至少一对数的和是7、我们可以将这个问题转化成将12个整数放进11个抽屉的问题，根据抽屉原理，必定会有一个抽屉里放至少两个整数，它们的和就是7从以上的例子可以看出，抽屉原理在解决一些看似很难的问题时可以起到非常关键的作用。
通过运用抽屉原理，我们能够将一个复杂的问题简化为一个更简单的问题，从而更好地解决问题。
鸽巢原理
给下列每个格子涂上红色或者蓝色，观察每一列，你有什么发现，至少有几列的 涂法是相同的？
每列的涂法共有8中，把这巢原理（一）可知，至少有两列涂法相同。 9÷8=1......1 1+1=2 答：至少有两列的涂法相同。
鸽巢原理
鸽巢原理（一）
鸽巢原理（一）
鸽巢原理（一）
鸽巢原理（一）也叫抽屉原理：把（n+1）个物体放在n个 鸟巢中，一定有一个鸽巢中至少放进了2两个物体。
1.把5个苹果放进4个篮子里，不管怎么放，总有一个篮子至少放进（）苹果。
鸽巢原理（二）
• 把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。
解决问题
盒子里有同样大小的红球和篮球各4个，要想摸出的球一定有2个同色， 至少要摸出几个球？
分析：把红色和蓝色视为2个鸽巢，摸出的球数视为分放的物体，有鸽巢原理（一）可知道， 分放的物体比鸽巢多1，才能符合要求。 2+1=3 答：至少摸出3个球才可以一定有两个同色的。
解决问题
有红色，黄色，蓝色，黑色、的小球各6个，装在一个不透明的 袋子里，为了保证摸出的小球有3个颜色相同，至少摸出几个？
图书馆里有甲、乙、丙、丁、四类图书，规定每名同学最少借一 本书，最多可以借2本，至少有多少名同学借书，才能保证有两 人所借的图书类别相同？
分析：借书情况有甲、乙、丙、丁、甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁等共 10种情况，把这10种情况视为鸽巢，借书人数视为分发的物体，由鸽巢原理 （一）可知，
鸽巢原理知识点总结
鸽巢原理知识点总结一、什么是鸽巢原理1.1 定义鸽巢原理（Pigeonhole Principle），也叫抽屉原理或鸽笼原理，是一种常用的数学原理。
它指出，如果有n+1个物体被放入n个容器中，那么至少有一个容器必然包含两个或更多的物体。
1.2 表述鸽巢原理可以用一句话来表述：如果有m个鸽子进入n个巢穴，并且m > n（鸽子的数量多于巢穴的数量），那么至少有一个巢穴中会有多于一个只鸽子。
二、鸽巢原理的应用2.1 数学领域鸽巢原理在数学领域有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：（1）抽屉原理抽屉原理是鸽巢原理的一种特殊情形，它指出：如果有n个物体被放入m个容器中，其中n > m，则至少有一个容器中会有两个或更多的物体。
这个原理常用于证明存在性问题。
（2）鸽巢模型鸽巢模型是鸽巢原理的一种应用模型。
它主要用于解决排列与选择问题，如数学中的鸽巢函数、离散数学中的排列与组合问题等。
（3）整数划分鸽巢原理可以用于整数划分问题的证明。
例如，如果将1到9的整数划分为四组，并且至少有一组会包含两个或更多的整数。
2.2 计算机科学领域鸽巢原理在计算机科学领域也有着重要的应用。
以下是几个常见的应用场景：（1）哈希算法哈希算法中的哈希冲突问题可以借鉴鸽巢原理的思想进行解决。
在哈希表中，如果有n个键被映射到m个槽位中，其中n > m，则至少有一个槽位会包含两个或更多的键，这时可以通过使用冲突解决方法来解决哈希冲突。
（2）抽屉排序抽屉排序（Pigeonhole Sort）是一种基于鸽巢原理的排序算法。
该算法的基本思想是将待排序的元素根据其值的范围分配到对应的鸽巢中，然后按照鸽巢的顺序收集元素得到有序序列。
（3）数据分析在数据分析领域，鸽巢原理常用于解决去重、分组和统计等问题。
例如，在一组数据中，如果有n个数据被映射到m个分组中，其中n > m，则至少有一个分组会包含两个或更多的数据。
三、使用鸽巢原理的注意事项3.1 确定条件在使用鸽巢原理解决问题时，需要明确问题中的限制条件，包括鸽子的数量、巢穴的数量以及其他相关条件。
鸽巢原理
余数做抽屉
• 任意4个整数中，至少有两个整数，其差能 被3整数。 • 任意5个整数，必能从中取出3个，其和能 被3整除。 • 在1,2, …,2n中任取n+1个不同的数，至少 有一个数是另一个数的倍数。
余数做抽屉
• 设x1,x2, …,xn是n个正整数，一定能从中取 出连续的若干个数，其和是n的倍数。 • 给定正整数n，一定可以将它乘以适当地正 整数，得到一个完全由7和0构成的正整数。
Ramsey数的基本性质
• 若a,b≥2，则R(a,b) ≤C(a+b-2,a-1)。
例子
• 设G是具有18个顶点的完全图K18，如果我 们对它的边任意涂以红色或蓝色，则G中一 定包含一个红色完全四边形或者一个蓝色 的完全四边形。
K17
已知的Ramsey数
引例
• 17位科学家讨论3个题目，每两个人之间仅 讨论一个题目，则至少有3个人之间讨论同 一个题目。 • 将完全图K17用三种颜色任意涂色，必存在 同色三角形。
例题：图形做抽屉
• 边长为1的正三角形中任选5个点，必存在两点，其 距离不超过1/2。 • 边长为1的正三角形中任选10个点，必存在两点， 其距离不超过1/3。 • 边长为1的正三角形中，至少任选？个点，才能使 得必存在两点，其距离不超过1/n。
例题：图形做抽屉
• 正方形被9条直线分割，每条直线都把该正方形分 成面积比为3:2的两个梯形。证明：这9条线中至少 有三线过同一个点。
“奇偶性”做抽屉
• 任意3个整数中，至少有两个整数，其和能 被2整除。 • 平面上两个整点的重心 • 平面上任意5个整点中，必有两个点，其重 心是整点。 • 平面上4个点的重心 • 平面上任意13个整点中，至少有4个点，其 重心是整点。
鸽巢原理（抽屉原理）的详解
鸽巢原理（抽屉原理）的详解抽屉原理百科名⽚桌上有⼗个苹果，要把这⼗个苹果放到九个抽屉⾥，⽆论怎样放，我们会发现⾄少会有⼀个抽屉⾥⾯放两个苹果。
这⼀现象就是我们所说的“抽屉原理”。
抽屉原理的⼀般含义为：“如果每个抽屉代表⼀个集合，每⼀个苹果就可以代表⼀个元素，假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去，其中必定⾄少有⼀个集合⾥有两个元素。
” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽⼦笼，养鸽⼈养了6只鸽⼦，那么当鸽⼦飞回笼中后，⾄少有⼀个笼⼦中装有2只鸽⼦”）。
它是组合数学中⼀个重要的原理。
第⼀抽屉原理原理1：把多于n+1个的物体放到n个抽屉⾥，则⾄少有⼀个抽屉⾥的东西不少于两件。
证明（反证法）：如果每个抽屉⾄多只能放进⼀个物体，那么物体的总数⾄多是n，⽽不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。
抽屉原理原理2 ：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉⾥，则⾄少有⼀个抽屉⾥有不少于m+1的物体。
证明（反证法）：若每个抽屉⾄多放进m个物体,那么n个抽屉⾄多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。
原理3 ：把⽆穷多件物体放⼊n个抽屉，则⾄少有⼀个抽屉⾥有⽆穷个物体。
原理1 、2 、3都是第⼀抽屉原理的表述。
第⼆抽屉原理把（mn－1）个物体放⼊n个抽屉中，其中必有⼀个抽屉中⾄多有（m—1）个物体。
证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共⾄少有mn个物体，与题设⽭盾，故不可能。
应⽤基本介绍应⽤抽屉原理解题抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作⽤。
许多有关存在性的证明都可⽤它来解决。
例1：同年出⽣的400⼈中⾄少有2个⼈的⽣⽇相同。
解：将⼀年中的365天视为365个抽屉，400个⼈看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：⾄少有2⼈的⽣⽇相同. 400/365=1…35,1+1=2 ⼜如：我们从街上随便找来13⼈，就可断定他们中⾄少有两个⼈属相相同。
“从任意5双⼿套中任取6只，其中⾄少有2只恰为⼀双⼿套。
竞赛数学_抽屉原则
抽 屉 原 则抽屉原则也叫鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先提出来的，也称狄利克雷原理，是组合数学中一个重要的原理，在数论和组合论中有着广泛的应用，用它可以解决生活中遇到的很多有趣的问题，并且常常能够得到令人惊奇的结果，因此数学竞赛中经常选用这方面的题目。
1 抽屉原理的基本形式原则1 把n +1个球放入n 个盒子里，则必有一个盒子至少有两个球。
证明 假设有n 个盒子，且每个盒子至多有一个球。
那么n 个盒子一共至多有n 个球，与球的个数为n +1矛盾。
故假设错误，即必有一个盒子至少有两个球。
原则2 把12()1n k k k n +++-+ 个球放入n 个盒子里，则存在1i n ≤≤，使得第i 个盒子至少有i k 个球。
证明 假设有n 个盒子，第i 个盒子至多有（1i k -）个球，即第1个盒子至多有（11k -）个球，第2个盒子至多有（21k -）个球，…，第n 个盒子至多有（1n k -）个球，故n 个盒子至多共有12()n k k k n +++- 个球，但是球数总共是12()1n k k k n +++-+ 个，矛盾。
故存在1i n ≤≤，使得第i 个盒子至少有i k 个球。
在原则2中，令122n k k k ==== ，即为原则1。
2 解题时的注意事项原则中的球有时也被描述为元素、对象或者鸽子，其中的盒子被描述为集合、抽屉或者笼子。
在分析题目时，应注意一下几方面： ① 指明什么是“球”， ② 指明什么是“盒子”；③ 指明“球”放入“盒子”的规则；④ 分析出“盒子”中的“球”所具有的性质； ⑤ 够造“盒子”的方法；⑥ 有的题目用一次抽屉原则并不会得出结论，所以也要注意原则的重复使用； ⑦ 解题时需要对“球数”和“盒数”进行估计；⑧ 在用抽屉原则时，“球”和“盒子”需要满足一定的数量关系。
因此，在解题时要注意两种思路，一是通过人为增加球的个数，二是分类讨论减少盒子的个数。
如果将这8个事项都注意到，在解题时才会得心应手。
小学奥数抽屉原理
抽屉原理知识框架一、知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．二、 抽屉原理的定义（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
（2）定义一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。
我们称这种现象为抽屉原理。
三、 抽屉原理的解题方案（一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x ()()11xn -， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里（3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．例题精讲一、直接用公式进行解题（1）求结论【例 1】 6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？ 【考点】抽屉原理 【难度】1星 【题型】解答【解析】 6只鸽子要飞进5个笼子，如果每个笼子装1只，这样还剩下1只鸽子．这只鸽子可以任意飞进其中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有2只鸽子．所以这句话是正确的．利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉”，把鸽子看作“苹果”，+=（只）把6个苹果放到5个抽屉中，每个抽屉中都要有1个苹果，那么肯÷=，1126511定有一个抽屉中有两个苹果，也就是一定有一个笼子里有2只鸽子．【答案】对【巩固】教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业试说明：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业．【考点】抽屉原理【难度】1星【题型】解答【解析】略．【答案】将5名学生看作5个苹果将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉，共4个抽屉由抽屉原理，一定存在一个抽屉，在这个抽屉里至少有2个苹果．即至少有两名学生在做同一科的作业【例 2】向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答【解析】略．【答案】一年最多有366天，可看做366个抽屉，730个学生看做730个苹果．因为7303661364÷=，所以，至少有1＋1＝2（个）学生的生日是同一天【巩固】人的头发平均有12万根，如果最多不超过20万根，那么13亿中国人中至少有人的头发的根数相同。
小学奥数抽屉原理题型及答案解析
小学奥数抽屉原理题型及答案解析一、抽屉原理解释抽屉原理，也被称为鸽巢原理，是组合数学中的一个重要原理。
这个原理的基本含义是：如果n+1个物体被放到n个抽屉里，那么至少有一个抽屉中会放有2个或更多的物体。
这个原理可以用来解决很多看似复杂的问题。
原理解释：假设有3个抽屉和4个苹果，我们要把这4个苹果放进3个抽屉里。
无论我们怎么放，总会有至少一个抽屉里放了2个或更多的苹果。
这是因为每个抽屉最多只能放1个苹果的话，3个抽屉只能放3个苹果，但我们有4个苹果，所以至少有一个抽屉里会有2个苹果。
同样的，如果有n个抽屉和n+1个物体，无论我们怎么分配这些物体到抽屉里，至少会有一个抽屉里会有2个或更多的物体。
二、抽屉原理应用举例属相问题：中国有12个属相，如果问任意37个人中，至少有几个人属相相同？我们可以把12个属相看作12个抽屉，37个人看作37个物体。
根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有4个或更多的物体，也就是说，至少有4个人的属相是相同的。
自然数问题：在任意的100个自然数中，是否可以找到一些数（可以是一个数），它们的和能被100整除？这个问题也可以通过抽屉原理来解决。
如果我们把这100个自然数对100取余，那么余数只能是0到99之间的数，也就是有100个“抽屉”。
根据抽屉原理，至少有一个“抽屉”里有多于一个的数，这两个数的差就是100的倍数，因此它们的和也能被100整除。
三、抽屉原理解题思路和方法首先，需要理解抽屉原理的基本含义，即如果把n+1个物体放在n个抽屉里，那么至少有一个抽屉中至少放有2个物体。
这是解题的基础。
其次，在解题过程中，需要找出隐藏的抽屉数和物体数，并将问题转化为抽屉问题。
这通常需要对问题进行仔细分析，找出其中的规律和特点。
接下来，可以利用平均分的方法来确定每个抽屉中的物体数。
如果物体数不能被抽屉数整除，那么至少有一个抽屉中的物体数会多于平均值。
这有助于确定至少有多少个物体是相同或满足某种条件的。
《鸽巢问题》(抽屉原理)(教案)六年级下册数学人教版
《鸽巢问题》（抽屉原理）(教案)一、教学内容《鸽巢问题》是六年级下册数学人教版的一节内容，属于“数学广角”单元。
本节课将带领学生探究抽屉原理，理解“至少数=物体数除以抽屉数的商+1（有余数的情况下）”的含义，并能够应用这个原理解决实际问题。
二、教学目标1. 知识与技能：理解抽屉原理的含义，掌握“至少数=物体数除以抽屉数的商+1（有余数的情况下）”的计算方法，并能运用抽屉原理解决简单的实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、操作、推理、交流等活动，培养学生分析问题和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。
三、教学难点理解“至少数=物体数除以抽屉数的商+1（有余数的情况下）”的含义，并能灵活运用抽屉原理解决实际问题。
四、教具学具准备1. 教具：多媒体课件、实物投影仪。
2. 学具：学习用品、计算器。
五、教学过程1. 导入：利用多媒体课件展示“把4支铅笔放进3个抽屉里”的情景，引导学生观察并思考：至少有一个抽屉里放几支铅笔？3. 应用：出示例题，让学生独立解答，并分享解题过程和答案。
5. 作业布置：让学生完成课后练习题，巩固所学知识。
六、板书设计1. 《鸽巢问题》（抽屉原理）2. 内容：抽屉原理的含义至少数的计算方法：“至少数=物体数除以抽屉数的商+1（有余数的情况下）”抽屉原理的应用七、作业设计1. 基础题：完成课后练习题，巩固抽屉原理的应用。
2. 提高题：联系生活实际，设计一道应用抽屉原理解决的问题，并解答。
八、课后反思本节课通过生动的实例导入，激发了学生的学习兴趣。
在教学过程中，注重学生的观察、操作、推理、交流等能力的培养，使学生在理解抽屉原理的基础上，能够灵活运用所学知识解决实际问题。
但在课堂实践过程中，发现部分学生对“至少数”的理解仍存在困难，需要在今后的教学中加强针对性辅导。
重点关注的细节：教学难点教学难点是教学中学生难以理解或掌握的地方，对于《鸽巢问题》（抽屉原理）这节课来说，教学难点是理解“至少数=物体数除以抽屉数的商+1（有余数的情况下）”的含义，并能灵活运用抽屉原理解决实际问题。
奥数知识点：抽屉原理
奥数知识点：抽屉原理奥数知识点：抽屉原理抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的，因此，也称为狭利克雷原理。
下面小编给大家精心搜集整理的奥数知识点：抽屉原理，欢迎阅读!奥数知识点：抽屉原理如果将5个苹果放到3个抽屉中去，那么不管怎么放，至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。
道理很简单，如果每个抽屉中放的苹果都少于2个，即放1个或不放，那么3个抽屉中放的苹果的总数将少于或等于3，这与有5个苹果的已知条件相矛盾，因此至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。
同样，有5只鸽子飞进4个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。
以上两个简单的例子所体现的数学原理就是“抽屉原理”，也叫“鸽笼原理”。
抽屉原理：将多于n件的'物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
说明这个原理是不难的。
假定这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2件，那么每一个抽屉中的物品或者是一件，或者没有。
这样，n个抽屉中所放物品的总数就不会超过n件，这与有多于n件物品的假设相矛盾，所以前面假定“这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2件”不能成立，从而抽屉原理1成立。
从最不利原则也可以说明抽屉原理1。
为了使抽屉中的物品不少于2件，最不利的情况就是n个抽屉中每个都放入1件物品，共放入n件物品，此时再放入1件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有1个抽屉不少于2件物品。
这就说明了抽屉原理。
例题与方法指导例1. 某幼儿园有367名1996年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友?分析与解：1996年是闰年，这年应有366天。
把366天看作366个抽屉，将367名小朋友看作367个物品。
这样，把367个物品放进366个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个物品。
因此至少有2名小朋友的生日相同。
例2. 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除?分析与解：因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形。
抽屉原则
抽屉原则知识点拨抽屉原则,又称鸽巢原理,最早由德国数学家狄利克雷提出,并在有关数论问题中得到成功应用.抽屉原则,主要有下面几种表述形式：抽屉原则1：把n ＋1个元素分为n 个集合,那么必有一个集合含有两个以上的元素.抽屉原则2：把mn ＋1个元素分为n 个集合,那么必有一个集合中含有m ＋1个或m ＋1个以上的元素.抽屉原则3：把n 个元素分为k 个集合,那么必有一个集合中的元素个数≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡k n ,也必有一个集合中的元素个数≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡k n . 抽屉原则4：把无穷多个元素分为有限个集合,那么必有一个集合含有无穷多个元素.在运用抽屉原则时,所给定的元素具有任意性,也就是说,对元素的处理是任意的；所论证的问题,也只要求存在即可,不必一定是确定的.运用抽屉原则进行论证的命题,往往含有“至少含有”、“一定有”、“不少于”、“存在”、“必然有”等词语.利用抽屉原则的关键在于构造抽屉,从而把论证的命题的范围缩小,使问题变得简单明确,易于把握.一般说来,总是从问题自身的特点出发,先弄清所需要进行分类的元素特征.并指出规律,从而构造“抽屉”.利用抽屉原则解题的一般步骤是：第一步,根据元素的特征,构造抽屉(是运用抽屉原则解决问题的关键)；第二步,把元素放入所构造的抽屉；第三步,运用抽屉原则,对所论证的问题作出问题. 赛题精讲(一)抽屉原则的一般运用例1 证明：从1,2,3,…,11,12这12个数中任意取出7个数,其中至少有两个数之差为6.【解析】现将这12个数按下面的方式分成6组(1,7)；(2,8)；(3,9)；(4,10)；(5,11)；(6,12).任取7个数,根据抽屉原则1,至少有两个数来自同一个抽屉,这也就是说,至少有两个数之差是6.例2 某校初中二年级共有210名学生,则至少有18名同学是在同一个月里出生的.【解析】由于一年有12个月,则可以将其试作12个抽屉,又因为210＝12×17＋6.因此根据抽屉原则2可知,至少有19名同学是在同一个月里出生的.例3 从1,2,3,…,n 中任取10个数,使得其中两个数比值大于32,小于23,那么n 的最大值是91. 【解析】由于任取10个数中有两个数在同一个抽屉里,显然最多构造9个抽屉.这9个抽屉中的每一个抽屉都含有1,2,3,…,n 中的一些数,而且这些数必须满足每两个数的比值都在32和23之间,这9个抽屉,是：｛1｝；｛2,3｝；｛4,5,6｝；｛7,8,9,10｝；｛11,12,…,16｝；｛17,18,…,24,25｝；｛26,27,…,38,39｝；｛40,41,…,59,60｝；｛61,62,…,90,91｝.因此,n 的最大值是91. 例4 从1到100这100个自然数中,任意取出51个数,其中一定存在两个数,这两个数中的一个是另一个的整数倍.【解析】由于任何一个自然数都可以表示成一个奇数与2n 和乘积的形式,而且这种表示方法是惟一的.因此,我们可以按下面的方法来构造50个抽屉：｛1,1×2,1×22,…,1×23,1×26｝；｛3,3×2,3×22,3×23,3×24,3×25｝；｛5,5×2,5×22,5×23,5×24｝；……；｛49,49×2｝；｛51｝；｛53｝；……；｛99｝.于是从这50个抽屉中任取51个数,根据抽屉原则,其中一定存在至少两个数属于同一个抽屉,即命题得证.(二)同余与抽屉原则当任何一个正整数m 被另一个正整数n 相除时,总可以写成m ＝nq ＋r 的形式(其中,q 称为商,r 称为余数.当n 整除m 时,r ＝0；当n 不能整除m 时,r 为小于n 的正整数,也就是说,这里的0≤rn .)于是,我们可以根据m被n所除的余数的不同情况来构造抽屉,进而运用抽屉原则来解决一些与之相关的命题.这时,我们根据整数被某一整数n相除所得的余数相同与否进行分类,从而构造抽屉.如果将所有整数被n所除余数相同(习惯上我们称之为同余)的数归为一类,这样便可以构造出n个不同的抽屉,而且任一整数,它必然在这n类数(或n个抽屉)中的某一个之内.同时,如果所讨论的对象超出了n个,那么至秒有两个数被n所除的余数相同；此外,这样的两个数的差也一定能被n整除.下面,我们给出一些运用同余来构造抽屉并解决实际问题的例子.例5 对于任意给定的n个自然数,其中一定存在若干个数,它们的和是n的倍数.【解析】我们假设n个自然数是a1,a2,a3,…,a n,而且考虑如下形式的和：S1＝a1,S2＝a1＋a2,…,S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n.如果在这n个和S1,S2,…,S n中,存在一个数是n的倍数,则原命题成立.如果在n个和S1,S2,…,S n中,没有n的倍数的数,那么它们被n除所得的余数只可能是1,2,…,n－1共n－1种情况.但由于S,S2,…,S n共有n个数,从而根据抽屉原则,必然存在两个数它们1被n除的余数相同.不妨设在这两个数是S k与S j(k>j),那么这两个数的差S k－S j一定是n的倍数.也就是说,有：S k－S j＝(a1＋a2＋a3＋…＋a j＋a j＋a j＋2＋…＋a)－k(a1＋a2＋a3＋…＋a j)＝a j＋1＋a j＋2＋…＋a k,这表明：这时从第j＋1个数起,一直到第k个数.它们的和正好是n的倍数.例6 如果三个完全平方数之和能被9整除,那么可以从这三个数中选出两个来,使得这两个完全平立数之差也能被9整除.【解析】下面我们先来讨论任意的完全平方数被9除的余数.根据同余理论,我们知道,任何一个整数总可以表示成：9k,9k±1,9k±2,9k±3及9k±4这九种情况中的一种.现在将这九种情况分别平方,于是可得：(9k)2＝9×9k2＋0；(9k±1)2＝9(9k2±2k)＋1；(9k±2)2＝9(9k2±4)＋4；(9k±3)2＝9(9k2±6k＋1)＋0及(9k±4)2＝9(9k2±8k＋1)＋7.可见,任何一个完全平方数被9除的余数只可能是0,1,4,7这四种情况之一.另一方面,由于所选的三个完全平方数之和能被9整除,因此这三个数的余数之和也一定能被9整除；而从0、1、4、7这四个数中选出三个,其和要能被9整除,只可能是｛0,0,0｝、｛1,1,7｝、｛1,4,4｝或｛4,7,7｝这四种情况中的一种.而在上面这四种可能的余数组合中,每一组都至多有两种余数,因此至少有两个完全平方数被所9除的余数相同,从而这两个余数相同的完全平方数之差就一定能被9整除.(三)图形分割与抽屉原则一些与几何图形有关的数学命题,有时可以先根据图形的特点“适应”地将其分割,然后再利用分割而成的图形来构造“抽屉”,最后在此基础上再利用抽屉原则来解决这些问题.例7 如果在长度为1的线段上有n ＋1个点,那么其中必有两点,它们之间的距离不超过n1. 【解析】这里,我们可以将这条线段n 等分,并把等分后的每一份看成一个“抽屉”,那么这里的n ＋1个点至少有两个点一定在等分后的“抽屉”中,也就是说,至少有两个点在一个长度为n1的小线段内,当然这两个点之间的距离就一定不会超过n1.命题得证. 例8 在边长为1的正方形内任给五点,则必有两点,它们之间的距离不大于22. 【解析】由抽屉原则,显然我们应将这五点放入四个合适的抽屉中,且每个抽屉中任两个点的距离都不超过22.于是我们可以通过连接正方形两组对边的中点,从而将其分割成长度为21的四个小正方形来构造“抽屉”.这样,任意的五个点中必有两个点一定在同一个小正方形内,如图1所示,而每一个小正方形内两点间的最大距离就是22.因此,在同一个小正方形内的两个点的距离一定不大于22.于是命题得证.这里,特别值得一提的是,并不是任意与几何图形有关的命图1题在构造抽屉时都一定得将图形等分(见下面的例9).事实上,就本例来讲,如果将原正方形的两条对角线连接起来,也将原正方形四等分了,但是对于原命题的证明是没有任何原助的.因为这时如果两点恰好位于正方形的相邻的两个顶点处,这样的两个点也可以在一个抽屉内,但是这两个点的距离却不大于22,显然与原命题的要求不符.例9 证明：如果在边长分别为3和4的矩形中有任意6个点,那么一定可以选出两个点,它们之间的距离不大于5.【解析】根据抽屉原则,显然需要将3×4的矩形分割成五个“抽屉”,每个抽屉中任意两个点的最大距离不超过5.而且大家都容易将5与边长为1×2的矩形联系起来,因为这里矩形的对角线长度是5.但是这样却把3×4的矩形分割成了六个“抽屉”,显然这是不符合题目要求的.可见,构造的抽屉是要满足一定 “尺寸”的.我们可以在此基础上适当改造“抽屉” 的形状,如图2,可以将图中的点A 、B 、K 、J 、 I 这五点,B 、C 、D 、L 、K 这五点,D 、E 、F 、L 这四点,F 、G 、J 、K 、L 这五点以及G 、H 、 I 、J 这四点所组成的五边形或四边形为“抽 屉” 而构造出五个抽屉,而且这五个“抽屉” 中的任何两个点之间的最大距离都不超过5.根据抽 屉原则,该命题得证.这是“非平均分割”而构造“抽屉”的一个非常有说明力的例子.可见,对于通过分割图形来构造“抽屉”并运用抽屉原则来解决问题时,恰当的构造抽屉是多么重要；同时也说明在构造抽屉时,并不一定是将所给出的图形等分.针对训练A 组1.一个口袋内有100个球,其中有红球28个,绿球20个,黄球12个,蓝球20个,白球10个,黑球10个.从袋中任意取球,如果要求一次取出的球中至少有15个球的颜色相同,那么至少要从袋中取出多少个球？2.从1到100这100个自然数中至少要取出多少个数,才能保证一定存在两个数是互质的.3.有100人聚会,其中每一个人都认识这100人中的50人.现请I 图2你证明：可以从中选出4人,当这4人坐成一个圆圈时,每个人都与他所认识的人邻坐.4.一定存在这样的正整数,它的各位数字由0或1构成,并且是201的倍数.5.证明：在任意给定的100个整数中,一定存在两个数,它们的和或差是100的倍数.B组1.证明：在21－1,22－1,23－1,…,2n－1－1这n－1个数中,至少有一个数能被n整除(其中n为大于1的奇数).2.九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形.证明：这九条直线中至少有三条经过同一点.3.对于平面上给定的25个点,如果其中任何3个点中都有某两个点的距离小于1,那么在这些给定的点中,一定可以找到13个点,这13个点都位于一个半径为1的圆内.4.我们把在直解坐标平面内横坐标都是整数的点称为整点.证明：对于平面内任意给定的五个整点,其中一定存在两个整点,这两个点的连线的中点仍为整点.5.在直角坐标系中,我们考虑上面所定义的整点(x,y),其中1≤x ≤16,1≤y≤9,显然共有114个整点.如果将114个点任意地染成红、黄、蓝三色,那么一定存在一个长方形,它的边平形于坐标轴,且它的顶点颜色相同.。
抽屉原理小学奥数
抽屉原理小学奥数抽屉原理是数学中的一个重要概念，也是小学奥数中的常见考点。
它的基本思想是，如果要把10个苹果放进9个抽屉里，那么至少有一个抽屉里会有两个苹果。
在日常生活中，我们也可以通过抽屉原理来解决一些问题，比如在一群人中找出至少两个生日相同的人。
本文将从小学生的角度出发，简单介绍抽屉原理的概念和应用。
首先，我们来了解一下抽屉原理的基本概念。
抽屉原理又称鸽巢原理，它是由意大利数学家拉蒙·罗利在19世纪提出的。
抽屉原理的内容很简单，如果有n+1个物品要放到n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里会有两个或两个以上的物品。
这个原理听起来可能有些抽象，但实际上它非常容易理解和应用。
接下来，我们来看一个具体的例子，以便更好地理解抽屉原理。
假设有10个苹果要放到9个抽屉里，按照抽屉原理，至少会有一个抽屉里有两个苹果。
这是因为如果每个抽屉里最多放一个苹果，那么只能放进去9个苹果，而剩下的一个苹果无处可放。
因此，至少会有一个抽屉里有两个苹果。
这个例子很好地说明了抽屉原理的基本原理和应用方法。
除了上面的例子，抽屉原理在日常生活中还有很多应用。
比如，在一群人中找出至少两个生日相同的人，这就是一个典型的抽屉原理问题。
假设有365个人，每个人的生日都在不同的日子，那么按照抽屉原理，至少会有一个抽屉里有两个人，他们的生日相同。
这是因为365个人要放到365天里，必然会有至少一个抽屉里有两个人。
这个例子也很好地说明了抽屉原理在实际问题中的应用。
综上所述，抽屉原理是数学中的一个重要概念，也是小学奥数中的常见考点。
它的基本思想是，如果要把n+1个物品放进n个抽屉里，那么至少会有一个抽屉里有两个或两个以上的物品。
通过简单的例子，我们可以更好地理解和应用抽屉原理，从而在解决实际问题时更加得心应手。
希望本文对大家理解抽屉原理有所帮助，也希望大家能在学习和生活中灵活运用抽屉原理，解决各种有趣的问题。
五年级奥数：抽屉原理
抽屉原理【鸽巢原理】抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n＋1或多于n＋1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。
”原理1 ：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
原理2：把多于m×n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1 个的物体。
常用计算公式：A、计算其中一个抽屉至少有几个元素= 总数÷抽屉数+ 1B、计算总数= （其中一个抽屉至少有几个元素- 1）×抽屉数+ 1例１：400人中至少有两个人的生日相同抽屉：366（一年算366天），苹果：400，400 ÷366=1……1+1=2例2：幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同抽屉：6（有6种选玩具的方法），7÷6=1……1+1=2练习：1、木箱里装有红色球３个、黄色球５个、蓝色球７个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？【4】2、一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？【16】3、11名学生到老师家借书，老师是书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。
试证明：必有两个学生所借的书的类型相同。
4、有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜，试证明：一定有两个运动员积分相同。
5、体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿１个球，至多拿２个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？【6】6．某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人数为多少人。
利用抽屉原理证明鸽巢原理
利用抽屉原理证明鸽巢原理
1. 引言
抽屉原理（Pigeonhole Principle）是一种数学推理方法，常用于证明某些情况下的不可能性。
鸽巢原理（Pigeonhole Principle）是抽屉原理的一种具体应用，在组合数学中有广泛应用。
本文将利用抽屉原理来证明鸽巢原理。
2. 鸽巢原理
鸽巢原理是指，如果将n+1个物体放入n个中，则至少有一个内有两个或更多物体。
这个原理可以用一个简单的例子来说明：假设有10个苹果要放入9个篮子中，按照鸽巢原理，至少有一个篮子中会放有两个或更多的苹果。
3. 利用抽屉原理证明鸽巢原理
在证明鸽巢原理时，我们可以利用抽屉原理的思想。
假设有n+1个物体（鸽子）要放入n个（抽屉）中。
如果每个中最多只能
放一个物体，那么最多只能放n个物体。
但是根据题目要求，我们
有n+1个物体需要放入这些中，那么就必然存在至少一个中放有两
个物体。
4. 结论
通过利用抽屉原理的证明思路，我们得出了鸽巢原理，即如果
将n+1个物体放入n个中，则至少有一个内有两个或更多物体。
鸽
巢原理在计算机科学、组合数学、密码学等领域都有广泛的应用。
5. 总结
本文利用抽屉原理的证明思路，简洁地证明了鸽巢原理的成立。
通过理解和应用这一原理，我们能更好地解决一些实际问题中的限
制和可能性。
鸽巢原理在数学推理和问题求解中有着重要的作用。
鸽巢原理（抽屉原理）
鸽巢原理（抽屉原理）鸽巢原理(抽屉原理)基本描述桌⼦上有是个苹果，把这⼗个苹果放到九个抽屉⾥，⽆论怎么放，我们会发现⾄少会有⼀个抽屉⾥⾯⾄少放两个苹果。
这⼀现象就是所说的“抽屉原理”。
更⼀般的表述：如果每⼀个抽屉代表⼀个集合，每⼀个苹果就可以代表⼀个元素。
加⼊有n+1个元素放到n个集合中去，其中必定有⼀个集合⾥⾄少有两个元素。
第⼀抽屉原理原理1把多余n+1个物体放到n个抽屉⾥，则⾄少有⼀个抽屉⾥的东西不少于两件。
原理2把多余mn+1(n不为0)个物体放到n个抽屉⾥⾯，则⾄少有⼀个抽屉⾥⾯不少于(m+1)的物体。
第⼆抽屉原理把(mn -1 )个物体放⼊n个抽屉中，其中必须有⼀个抽屉不多余(m-1)个物体。
如将3*5-1 = 14个物体放⼊5个抽屉中，则必定有⼀个抽屉中的物体数⽬少于3-1=2.举例属相问题属相有12个，那么任意37个⼈中，⾄少有⼏个⼈属相相同？上取整(37 / 12) = 4招聘问题有300⼈到招聘会求职，其中软件设计有100⼈，市场营销有80⼈，财务管理有70⼈，⼈⼒资源管理有50⼈。
那么⾄少有多少⼈找到⼯作才能保证⼀定有70⼈找的⼯作专业相同？考虑最差情况，即软件设计，市场营销，财务管理均招了69⼈，⼈⼒资源管理招了50⼈，此时再多招1⼈，就有70⼈找的⼯作专业相同了。
故答案为 69*3 + 50 + 1 = 258衬衫问题⼀个抽屉⾥有20件衬衫，其中4件是蓝的，7件是灰的，9件是红的，则应从中随意取出多少件才能保证有5件是同颜⾊的？考虑最差情况，即已经取出了4件蓝⾊，4件灰⾊，4件红⾊，再多取出1件就满⾜条件。
故答案为 4 + 4 + 4 + 1 = 13。
例题：题意：给你n个⼤于0的数，在n中取k个数且其和为n的倍数，输出k和每个数。
思路：我们可以从前缀和考虑，如果sum[i]%n那么直接输出，否则考虑sum[i]%n因为这n个数⼀定是属于[1,n-1]这就相当于把n个物品放到n-1个抽屉⾥，那么⼀定存在sum[i]%n=sum[j]%n，那么（sum[j]-sum[i])%n==0,假设j>i，那么我们只要输出ai-aj就好了。
鸽巢问题(抽屉原理)教案
鸽巢问题（抽屉原理）六（1）班执教：李茂美教学目标：1、知识与技能：通过操作、观察、比较、推理等活动，初步了解抽屉原理，学会用简单的抽屉原理分析问题，运用抽屉原理的知识解决简单的实际问题。
2、过程与方法：在抽屉原理的探究过程中，使学生逐步理解和掌握抽屉原理，经历将抽象问题具体化的过程，培养学生数形结合的思想。
3、情感态度：通过对抽屉原理的灵活运用，感受数学的魅力，体会数学的价值，提高学生解决问题的能力和兴趣。
教学重点：理解抽屉原理，掌握先“平均分”，再调整的方法。
教学难点：理解“总有”“至少”的意义，理解“至少数=商数＋1”。
教学准备：多媒体课件、杯子、吸管、合作探究记录单。
教学过程：一、课前热身1、7 ÷6 = （）……（）2、32 ÷7 = （）……（）3、370 ÷366 = （）……（）二、游戏导入1、谈话：大家玩过石头、剪刀、布的游戏吗?老师任意点4位同学上台来做游戏，我就可以肯定，至少有2位同学出的手势是一样的。
2、验证：学生做游戏。
3、如果继续再请几位同学上来做游戏,老师还可以判断出至少有几位同学出的手势是一样的，你们相信吗？4、验证：学生做游戏。
5、设疑：你们想知道这是为什么吗？通过今天的学习，你就能揭开这个谜底。
下面我们就来研究这类问题（板书课题。
）三、合作探究（一）初步感知1、出示题目：如果把三本书，放入两个课桌里，怎么放？有几种不同情况？先小组内交流，然后上台展示汇报。
2、学生上台实物演示。
可能有两种情况：一个放3本，另一个不放；一个放2本，另一个放1本。
教师根据学生的回答用数的分解（3，0）、（2，1）方法表示。
3、提出问题：“不管怎么放，总有一个课桌里至少有2本书”这句话对吗？为什么？学生尝试回答，师引导：这句话里“总有”是什么意思？（一定会有，不确定是哪个课桌。
）“至少有2本”是什么意思？（最少有2本，不少于2本，包括2本及2本以上）。
4、得到结论：从刚才的操作中，我们可以知道3本书放进2个课桌里，总有一个课桌里至少放进2本书。
鸽巢问题(抽屉原理)(优选材料)
鸽巢原理一、游戏导入我给大家变一个魔术。
同学们，老师手里有一副牌，拿掉大小王之后，还有52张牌，找5名同学，每人抽一张。
老师预言：至少有两名同学拿到的花色一样。
你们信吗？接下来，就是见证奇迹的时刻。
这是为什么呢？这里面蕴藏着一个数学原理，就是今天我们要研究的问题——鸽巢问题（板书：鸽巢问题）二、探究新知1、枚举法出示PPT：活动：把4支笔放进3个笔筒中，有几种放法？（板书：把4支笔放进3个笔筒中）学生展示：（4,0,0），（3,1,0），（2,2,0），（2,1,1）。
预设：学生如果说（4,0,0）（0,4,0）（0,0,4）是三种放法，那就提示因为笔筒和笔全部一样所以这三种看做同一种放法。
Ppt出示：观察一下，你有什么发现？预设：如果学生说不上来，就继续问，“观察放笔最多的笔筒，有什么发现？s：放笔最多的笔筒里的笔的数量数都比2多或等于2。
你听明白了吗？谁再来说一遍？他是什么意思？你能结合题目说一说吗？都比2多，还可以怎样说？S：放笔数最多的笔筒里至少有2支笔。
那么每次都有一个笔数最多的笔筒，所以我们说成：总有一个笔筒里至少有2支笔同学们刚才这种把所有情况都摆出来的方法叫什么方法还记得吗？（板书：枚举法）2、假设法那除了把所有情况都列举出来，还有别的办法证明这个结论的正确性吗？S：假设每个笔筒里各放1支笔，还剩1支笔，不管放到哪个杯子里，总有一个杯子里放了2支笔。
你能上来展示一下吗？为什么要假设每个笔筒里放1支笔呢？S：这样就能让每个笔筒里的笔尽量的平均分，让每个笔筒里笔的数量尽量少一些也就是最有可能找到和题目意思不一样的结果，对吧？我明白了，但是这样只能证明总有一个笔筒里肯定会有2支笔，能说明至少有两只笔吗？S：能，平均分已经使每个笔筒中的笔尽可能的少了这样都符合要去，那其他的情况更符合要求了。
这种假设先平均分的方法叫假设法（板书）3、建立模型那么，如果5支笔放进4个笔筒里，结果会怎样呢？S：总有一个笔筒里至少有2支笔为什么呢？S：假设每个笔筒里各放1支笔，还剩1支笔，不管放到哪个杯子里，总有一个杯子里放了2支笔。
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课程九鸽巢原理（抽屉原则）1.鸽巢的特征2.巢内有没有鸽3.巢内存在多少鸽抽屉原理是由德国数学家狄克雷最早发现的。
后人为了纪念这位德国数学家，又把抽屉原理叫做狄利克重叠原则。
使用抽屉原理解决有关的数学问题，关键是构造抽屉。
常见的构造抽屉的方法：“数的分组”、“圆形的分割”、“染色分类”、“剩余类”，等等。
抽屉原理第一抽屉原理：把（mn+1）个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有（m+1）个物体。
第二个抽屉原理：把（mn-1）个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有（m-1）个物体。
引入例子有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起，如果让你闭上眼睛去摸，你至少要摸出几根才敢保证至少有两根筷子是同色的？为什么？至少拿几根，才能保证有两双同色的筷子，为什么？分析与解法在上述两个问题中都隐含着一个简单而又十分有用的原理——鸽巢原理，我们也称之为抽屉原理或抽屉原则。
下面我们就来看一下这方面的有关知识。
基础知识我们先来思考下面两个问题：1.3只鸽子飞进甲、乙两个巢，问有哪几种飞法？在这几种飞法中是否存在这样一种飞法：使每个巢飞进的鸽子数都小于2？2.6个以上的苹果放进6个抽屉中，问：是否存在这样一种放法（使每个抽屉中的苹果学习目标重点总结数都小于2）。
分析与解法1.共有如下四种飞法，在这四种飞法中不存在每个巢中的鸽子数都小于2的情况，即：无论怎么飞，一定能找到一个巢，它里面至少有两只鸽子。
2.不存在这种放法，即：无论怎样放，保证能找到一个抽屉，它里面至少有两个苹果：甲乙3 02 11 2从上述两问中，我们可得到如下规律：抽屉原则一把n个以上的苹果放到n个抽屉中，无论怎样放，一定能找到一个抽屉，它里面至少有两个苹果。
我们再来思考下面两个问题：1.把30个苹果放到6个抽屉中，问：是否存在这样一种放法（使每个抽屉中的苹果数都小于等于5）。
2.把30个以上的苹果放到6个抽屉中，问：是否存在这样一种放法（使每个抽屉中的苹果数都小于等于5）。
分析与解法1.存在这样的放法，即：每个抽屉中都放5个苹果。
2.不存在这样的放法，即：无论怎么放，都会找到一个抽屉，它里面至少有6个苹果。
从上述两问中可得到如下规律：抽屉原则二把多于m×n个苹果放到n个抽屉中，无论怎样放，一定能找到一个抽屉，它里面至少有（m+1）个苹果。
基础知识1.把98个苹果放到10个抽屉中，无论怎么放，我们一定能找到一个放苹果最多的抽屉，它里面至少放有______个苹果。
2.1000只鸽子飞进50个巢，无论怎么飞，我们一定能找到一个放鸽子最多的巢，它里面至少放有______只鸽子。
3.从8个抽屉中拿出17个苹果，无论怎么拿。
我们一定能找到一个拿苹果最多的抽屉，从它里面至少拿出了______个苹果。
4.从______个抽屉中（填最大数）拿出25个苹果，才能保证一定能找到一个抽屉，从它当中至少拿了7个苹果。
分析与解法1.98÷10=9…8，9+1=10所以答案为10。
2.1000÷50=20，所以答案为20。
3.17÷8=2…1，2+1=3，所以答案为3。
4.25÷□=6…□，从此式中发现除数应为4，所以答案为4。
规律：用苹果数除以抽屉数，若余数不为零，则“答案”为商加1，若余数为零，则“答案”为商。
其中第4题是已知青苹果数和“答案”来求抽屉数。
简单题例1在我校数学乐园中，五年级有学生共有400人，年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁，我们不用去查看学生的出生日期，就可断定在这400个学生中至少有两个是同年同月同日出生的，你知道为什么吗？分析与解法因为年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁，所以这400名学生出生的日期总数不会超过366天，把400名学生看做400个苹果，366天看做是366个抽屉，（若两名学生是同一天出生的，则让他们进入同一个抽屉，否则进入不同的抽屉）由抽屉原则知“无论怎么放这400个苹果，一定能找到一个抽屉，它里面至少有两个苹果”即：一定能找到两个学生，他们是同年同月同日出生的。
例2证明：在任意的37人中，至少有四人的属相相同。
分析与解法将37人看做37个苹果，12个属相看做是12个抽屉，由抽屉原则知“无论怎么放一定能找到一个抽屉，它里面至少有4个苹果”即在任意的37人中。
至少有四人属相相同。
例3某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，试问小书架上至少要有多少本书，才能保证至少有一个同学能借到两本或两本以上的书。
分析与解法从问题“有一个同学能借到两本或两本以上的书”我们想到，此话对应于“有一个抽屉里面有两个或两个以上的苹果”。
所以我们应将40个同学看做40个抽屉，将书本看做苹果，如某个同学借到了书，就相当于将这个苹果放到了他的抽屉中。
将40个同学看做40人抽屉，书看做是苹果，由抽屉原则知：要保证有一个抽屉中至少有两个苹果，苹果数应至少为40+1=41个。
即：小书架上至少要有41本书。
说明：解与抽屉原则有关的问题，最关键的是要找到谁为苹果，谁为抽屉，上述三题称为简单题的原因就在于苹果和抽屉很易找到。
划分图形例1在边长为1的正三角形中，任意放入5个点，证明：其中至少有两个点的的距离不大于12。
分析与解法本题与前三题相比难在苹果和抽屉不够明显，把5个点看做5个苹果，那么抽屉又在哪呢？如把这个边长为1的三角形看做抽屉，此题仅有一个抽屉，无法解释结论，所以本题摆在我们面前的一个重要问题就是要造出抽屉来。
我们可以回想一下日常生活中与此类似的问题“如果你去家具店订做抽屉，你应告诉老板：1.订做的抽屉的性质（即：大小、形状、材料等）。
2.订做的数量，这样老板才能给你制作抽屉。
”与此类似，在本题中我们要造抽屉，就必须要知道所造抽屉的特征及数量。
分析题中的最后一句话“两个点的距离不大于12”对应于“抽屉中任意两点间的长度都小于或等于12”，即我们所造的抽屉应满足“抽屉的最长部分小于或等于12”，从题中还应由“把5个苹果放到几个抽屉中，才能保证有一个抽屉至少放了两个苹果”想到应造四个抽屉。
将边长为1的正三角形按图1分割成4块，作为4个抽屉。
（其中D、E、F分别为AB、AC、BC边的中点），则这4个抽屉的最大长度为12，把5个点（5个苹果）放到4个抽屉中，由抽屉原则知一定有一个抽屉中，至少放了两个点，那么这两个点的距离就不大于12（得证）。
例2在一个长宽分别为4米和3米的长方形中，且已知此长方形的对角线长为5米，任意放5个点，试证明：至少有两个点的距离不大于2.5米。
分析与解法由最后一句话“两个点的距离不大于2.5米”知我们要造的抽屉应满足的条件为“抽屉的最大长度小于或等于2.5米”；由5个点想到应造4个抽屉。
将长方形按图a的方式分割成4块（E、F、G、H分别为AD、AB、BC、CD的中点）作为4个抽屉，则这4个抽屉的最大长度为2.5米，将5个点放到这4个抽屉中，由抽屉原理得至少有两点在一个抽屉中，那么这两点的距离必不大于2.5米。
例3E A4米图a 图b说明：按图b的方式分割成4块是不合理的，如：抽屉三角形AOD中，最大长度为AD，AD>2.5米。
将上述两题归结为划分图形问题，是因为它们均是通过将一个图形分割成几块的方式来造抽屉的。
整数分组例1在从1开始的10个奇数中任取6个，一定有两个数的和是20。
分析与解法本题与前几题的不同之处在于：前面几题均是向空抽屉中放苹果，本题是从已有苹果的抽屉中拿苹果；本题与划分图形中的两题相同之处在于：题中均没直接给出抽屉，需要我们根据给出的抽屉的特征来自己造抽屉。
由题中最后一句话“两个数的和为20”知我们要造的抽屉应是“里面已含有两个数，且它们的和为20”。
把前10个奇数按如下分组，构成5个抽屉：（1，19）；（3，17）；（5，15）；（7，13）；（9，11）。
从这5个抽屉中取出6个数，由抽屉原理知：有一个抽屉中至少取了两个数，则这两个数的和必为20。
所以无论怎样取，一定有两个数的和是20。
例2证明：在自然数1至100中任取21个数，其中一定有两个数的差（大数减小数）小于5。
分析与解法由最后一句话“两个数的差小于5”知我们要造的抽屉应满足：“抽屉中已有数，但任意两数之差小于5”。
由“取21个数就可保证有2个数是在一个抽屉中取出的”知我们应造出20个抽屉。
将1——100按如下分组，构成20个抽屉：（1，2，3，4，5，）；（6，7，8，9，10）；（11，12，13，14，15）；（16，17，18，19，20）；（21，22，23，24，25）；（26，27，28，29，30）；（31，32，33，34，35）；（36，37，38，39，40）；（41，42，43，44，45）；（46，47，48，49，50）；（51，52，53，54，55）；（56，57，58，59，60）；（61，62，63，64，65）；（66，CFH3米67，68，69，70）；（71，72，73，74，75）；（76，77，78，79，80）；（81，82，83，84，85）；（86，87，88，89，90）；（91，92，93，94，95）；（96，97，98，99，100）。
从1——100这100个数中任取21个数即为：从这20个抽屉中任取21个数，由抽屉原理知至少有两个数是在同一个抽屉中取出的，那么这两个数的差必小于5（得证）。
例3从1，3，5，7，…，37，39这20个奇数中任取出14个。
证明：其中至少有两个数一个是另一个的倍数。
分析与解法由最后一句话“其中一个是另一个的倍数”知我们要造的抽屉中已含有数，且抽屉中的任意两数均为倍数关系；从抽屉中取出14个数就可保证有两个数在一个抽屉中取出知我们要造出的抽屉数小于14。
将1，3，5，7，…，37，39这20个奇数按如下分组，构造出13个抽屉：（1，3，9，27）；（5，15）；（7，21）；（11，33）（13，39）；（17）；（19）；（23）；（25）；（29）；（31）；（35）；（37）。
从20个奇数中任取14个数就相当于从这13个抽屉中任取14个数，由抽屉原理知至少有两个数是从一个抽屉中取出的，那么这两个数必满足一个是另一个的倍数这一条件（得证）。
状态分类例1在任意的10个人中，至少有两个人，他们在这10个人中认识的人数相等。
分析与解法本题我们可以将10个人看做是10个苹果，而抽屉需要我们来造，由题意知我们要造的抽屉应满足：在同一抽屉中的人认识的人数应相同，所以我们很易造出如下10个抽屉：[认识0个人]、[认识1个人]、[认识2个人]、……[认识9个人]。
下面我们要证明的是至少有两个人在同一抽屉中，困难在于10个人，10个抽屉无法保证至少有两个人在同一抽屉中，进一步分析我们会发现，第1个抽屉与第10个抽屉不可能同时有人，所以实际上是9个抽屉。