二项式定理(理)(基础)

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上表叫做 二项式系数的表 , 也称杨辉三角 ( 在欧洲 , 这个表叫做帕斯卡三角 行两端都是 1，而且除 1 以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和。
), 反映了二项式系数的性质。
表中每
用组合的思想方法理解
(a+b)n 的展开式中
an
r br
的系数
C
r n
的意义：为了得到
(a+b)n 展开式中 a n r b r 的系数，
【解析】
解一：
(1 1 )4
1 C14( 1 )
C14 (1 ) 2
C
3 4
(
1
)3
(1)4
1
4
x
x
x
xx
x
6 x2
4 x3
1 x4 ．
解二： (1 1 )4
( 1)4( x 1)4
( 1) 4 x4
C
1 4
x3
C
1 4
x2
C43 x 1
xx
x
46 4 1
1
2
3
4．
xx x x
【总结升华】 记准、 记熟二项式 (a+b)n 的展开式， 是解答好与二项式定理有关问题的前提条件，
∴ 9 2r 3 ， r 3，
C
r 9
x9
r
(
1 )r
x
(
1)r
C
r 9
x
9
2r
，
∴
3
x 的系数
(
33
1) C9
3
84 ， x 的二项式系数
3
C9
84 ．
【总结升华】 1. 利用通项公式求给定项时避免出错的关键是弄清共有多少项 2. 注意系数与二项式系数的区别； 3. 在求解过程中要注意幂的运算公式的准确应用。
f (1) f (-1) 2
f (1)- f (-1) 2
3.利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：
如：求证： 3 2n 2 8n 9 能被 64 整除（ n N * ）
4.证明有关的不等式问题： 有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去
(缩小 )，或把
某些负项删去 (放大 )，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。①
可以考虑在 (a b)( a b) (a b) 这 n 个括号中取 r 个 b，则这种取法种数为 Cnr ，即为 a n r b r 的系数．
n
2. (a b)n 的展开式中各项的二项式系数
C
0 n
、
C
1 n
、
Cn2
…
C
n n
具有如下性质：
①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即
105 x5 ， 32
8
T9
C180 x0
1 2
45 。 256
10
∴二项式 x2
1
的展开式中的常数项是第
2x
项： 105 x10 ，第 7 项： 105 x5 ，第 9 项： 45 ．
8
32
256
类型二、 二项式之积及三项式展开问题
例 4．求 (1 x)2 (1 x) 5的展开式中 x 3 的系数 .
C
r n
C
n n
r；
②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值
. 其中，当 n
n
n1
为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数
Cn2 最大；当 n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数
Cn2 ，
n1
Cn 2 相等，且最大 .
③各二项式系数之和为
2 n ，即
(a b c) n [( a b) c]n
C
r n
(a
b) n r cr
C
r n
C
q n
ran
r
q bqc r
如： (a
b
c)10 展开式中含
a 3b 2 c 5 的系数为
C
130C
2 7
C
5 5
10! 3! 2! 5!
要点诠释：
三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。 要点四：二项式定理的应用
,n ）
公式特点： ①它表示二项展开式的第 r+1 项，该项的二项式系数是 ②字母 b 的次数和组合数的上标相同； ③ a 与 b 的次数之和为 n。 要点诠释：
C
r n
；
（ 1）二项式 (a+b)n 的二项展开式的第 r+1 项 Cnr an r br 和 (b+a)n 的二项展开式的第 r+1 项 Cnr bn r ar 是有区别的，
5
3 2x2
32x5 120 x2
180 x
135 x4
405 8x7
243 32 x10
解法二：
5
3 2x 2x2
(4 x3 3)5 32 x10
1 32 x10
[
C50
(4
x
3
)
5
C51(4 x 3) 4( 3)
C52 (4 x 3) 3( 3)2
C53 (4 x 3 )2 ( 3)3
1 32 x10
【思路点拨】先根据已知条件求出二项式的指数
n，然后再求展开式中含
指定项问题，故选用通项公式．
x 的项．因为题中条件和求解部分都涉及
【解析】（ 1） (1 2x)7 的展开式的第四项是 T3 1 C73(2 x)3 280 x3 ，
∴ (1 2x) 7 的展开式的第四项的系数是 280 ．
（ 2）∵ (x 1 )9 的展开式的通项是 Tr 1 x
(a b) n 展开式中的二项式系数 , 当 n 依次取 1,2,3, …时 , 如下表所示 :
(a b)1 ……………………………………… 1 1 (a b) 2 …………………………………… 1 2 1
3
(a b) ………………………………… 1 3 3 1 (a b) 4 ……………………………… 1 4 6 4 1 (a b) 5 …………………………… 1 5 10 10 5 1 (a b) 6 ………………………… 1 6 15 20 15 6 1
30 5r
( 1) r C1r5 x 6
∵ Tr 1 为有理项，∴ 30 5r Z ,
6 即 r 是 6 的倍数 , 又因为 0 r 15 , 所以 r =0,6,12
故展开式中的有理项为 T1
0
0
5
( 1) C15 x
5
x , T7 5005 , T13
5
420x .
【总结升华】
使二项展开式的某一项为常数项，就是使这一项不含“变元”
根据二项式定理的通项公式求。
【解析】（1）
Tr
＋1 ＝
r
C6
(2
x2 )6-r
(
1) r x
＝(－1)
r
·26-
r
r
·C6
12
x
3r
依题意 12 －3r ＝0 ，解得 r ＝4
x 的指数为正整数的项，可以
故(
1)
4
·22
C
2 6
＝60
为所求的常数项．
（ 2）通项 Tr 1
( 1) r C1r5 ( 3 x) 15 r ( 1 ) r x
设 f ( x) (ax b)n a0 a1x a2 x2
an xn
(1) 令 x=0，则 a0 f (0) bn
(2) 令 x=1，则 a0 a1 a2
an f (1) (a b) n
(3) 令 x=－ 1，则 a0 a1 a2 a3
( 1) n an f ( 1) ( a b) n
(4) a0 a2 a4 (5) a1 a3 a5
1.41 二项式定理
【学习目标】 1．理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法．
2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
【要点梳理】 要点一：二项式定理
1. 定义 一般地 , 对于任意正整数 n , 都有：
(a b) n C n0a n C n1a n 1b
C
r n
a
n
r br
举一反三：
, 所求的是第几项 , 相应的 r 是多少；
【变式 1】求 ( 2a b) 5 的展开式的第 3 项的二项式系数和系数；
【答案】 10， 80 ；
C
2 5
10
T3
C
2 5
(2 a)3
b2
80a 3b 2
【变式
2】求 (x3－
2 x2
)5 的展开式中
x5 的系数；
【答案】（
1） T r＋1＝
∴ T9
8
C180
1 2
45 。 256
5
5
令 20 r Z ，即 r=0 ， 2， 4， 6， 8 时， 20 r Z 。
2
2
∴ T1
0
C100
x 20
1 2
x20 ，
r
1
，
2
2
T3 C120 x15 1
45 x15 ，
24
4
T5
C140 x10
1 2
105 x10 ， 8
6
T7
C其中的 a 和 b 是不能随便交换位置的．
（ 2）通项是针对在 (a+b)n 这个标准形式下而言的，如 (a－ b)n 的二项展开式的通项是 Tr 1 ( 1)r Cnr an r br （只