2022年高中数学选择性必修第二册第五章 变化率问题和导数的概念
22人教版高中数学新教材选择性必修第二册--5.1.2 导数的概念及其几何意义
5.1.2 导数的概念及其几何意义课标解读课标要求素养要求1.了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达;⒉.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 1.数学抽象——能通过瞬时变化率了解导数的概念;2.直观想象——能根据图形和导数的几何意义求切线斜率.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一 平均变化率对于函数y =f(x) ,设自变量x 从x 0 变化到x 0+Δx ,相应地,函数值y 就从f(x 0) 变化到f(x 0+Δx) .这时,x 的变化量为Δx ,y 的变化量为① Δy =f(x 0+Δx)−f(x 0) .我们把比值ΔyΔx ，即ΔyΔx =f(x 0+Δx)−f(x 0)Δx叫做函数y =f(x) 从x 0 到x 0+Δx 的平均变化率.要点二 导数的概念与表示如果当Δx →0 时,平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个 确定的值 ,即ΔyΔx有极限,则称y =f(x) 在 x =x 0 处的②导数(也称为瞬时变化率),记作③ f ′(x 0) 或y ′|x=x 0 ，即f ′(x 0)=lim Δx→0ΔyΔx =lim Δx→0f(x 0+Δx)−f(x 0)Δx.要点三 切线如图,在曲线y =f(x) 上任取一点P(x,f(x)) ,如果当点P(x,f(x)) 沿着曲线y =f(x) 无限趋近于点P 0(x 0,f(x 0)) 时,割线P 0P 无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P 0T 称为曲线y =f(x) 在点P 0 处的④ 切线 .自主思考1.自变量的变化量Δx 能否为0?答案：提示由平均变化率的定义可知,|Δx|可以很小,但是Δx≠0.2.已知函数y=2x2,当x=a,Δx→0时，ΔyΔx无限趋近于多少?答案：提示当x=a时，ΔyΔx =2(a+Δx)2−2a2Δx=2(Δx)2+4aΔxΔx=2Δx+4a∵Δx→0,∴ΔyΔx无限趋近于4a名师点睛1.关于导数的概念的理解基于瞬时速度与切线斜率的计算公式具有共同点,即瞬时速度是平均速度的极限,切线斜率是割线斜率的极限,所以导数概念是瞬时速度与切线斜率的数学抽象与概括,表示为f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx =limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx.2.导数的物理意义与几何意义（1）导数的物理意义就是位移时间函数s=s(t)在t=t0时刻的瞬时速度,同理也是速度时间函数v=v(t)在t=t0时刻的瞬时加速度.（2）导数的几何意义就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线斜率.割线斜率k(P0(x0,f(x0)),P(x0+Δx,f(x0+Δx))切线斜率k0（切点P0(x0,f(x0))）k=ΔyΔx =f(x0+Δx)−f(x0)Δxk0=f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx3.导数定义公式的两种等价形式导数的定义公式为f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx =limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx若令x=x0+Δx,得Δx=x−x0,于是f′(x0)=lim x→x0f(x)−f(x0)x−x0互动探究·关键能力探究点一变化率与导数的概念精讲精练例1已知函数f(x)=2x+3,则f(−1)=1，的值为( )A.1B.2C.3D.-3答案：C解析：因为f(x)=2x+3,所以f(−1)=1,f′(−1)=limΔx→0f(−1+Δx)−f(−1)Δx=limΔx→02(−1+Δx)+3−1Δx=limΔx→02=2,所以f(−1)+f′(−1)=3.例2 （多选）下列关于函数f(x)=x2的变化率的叙述正确的是( )A.f(x)在[1,2]的平均变化率为1B.f(x)在x=1处的导数为2C.f(x)在x=1处的瞬时变化率为1D.f(x)在[x1,x2]的平均变化率为x1+x2答案：B; D解析：因为函数y=f(x)在[x1,x2]的平均变化率为ΔyΔx =y2−y1x2−x1=x22−x1x2−x1=x1+x2所以函数f(x)=x2在[1,2]的平均变化率为1+2=3,故A错误,D正确;函数f(x)在x=1处的瞬时变化率即f′(1)=limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=limΔx→0(2+Δx)=2，故B正确，C错误，故选BD解题感悟导数是瞬时速度与切线斜率的数学抽象,其本质是极限思想.解决导数问题运用了由“平均变化率"逼近“瞬时变化率”的思想方法.迁移应用1.（2020辽宁省实验中学高二质检）函数y=1x在x=1到x=3之间的平均变化率为( )A.23B.−23C.−13D.13答案：C解析：当x=1时,y=11=1;当x=3时,y=13,所以函数y=1x在x=1到x=3之间的平均变化率为ΔyΔx =13−13−1=−13.故选C.2.(★)（山东菏泽一中高二质检）已知曲线y=13x3+1上一点A(1,43),则点A处的切线斜率等于,切线方程为. 答案：1 ; 3x−3y+1=0解析：由Δy=13(1+Δx)3−13×13=13[1+3Δx+3(Δx)2+(Δx)3]−13=Δx+(Δx)2+13(Δx)3,得ΔyΔx =1+Δx+13(Δx)2,则limΔx→0ΔyΔx =limΔx→0[1+Δx+13(Δx)2]=1,切线方程为y−43=x−1,即3x−3y+1=探究点二求函数在某点处的导数精讲精练例求y=2x2+4x在x=3处的导数.答案：∵Δy=2(3+Δx)2+4(3+Δx)−(2×32+4×3)=2(Δx)2+16Δx,∴ΔyΔx=2Δx+16,即y′|x=3=16.变式求f(x)=2x2+4x在x=x0处的导数,并解方程f′(x0)=0.答案：∵Δy=2(x0+Δx)2+4(x0+Δx)−(2x02+4x0)=2(2x0+Δx)Δx+4Δx, ΔyΔx=2(2x0+Δx)+4,∴limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0[2(2x0+Δx)+4]=4x0+4，即f′(x0)=4x0+4由f′(x0)=0,得x0=−1.解题感悟计算函数y=f(x)在x=x0处的导数通常有下列三个步骤:（1）先计算函数值的增量：Δy=f(x0+Δx)−f(x0)（2）再计算函数的平均变化率：ΔyΔx =f(x0+Δx)−f(x0)Δx（3）最后计算极限：f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx =limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx迁移应用1.求函数y=x2+1在x=−3处的导数．答案：∵Δy=(−3+Δx)2+1−[(−3)2+1]=(Δx)2−6Δx，ΔyΔx=Δx−6，∴limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(Δx−6)=−6，∴y′|x=−3=−6.探究点三导数的几何意义与应用精讲精练类型1 求函数的图象在某点处的切线斜率与切线方程例1 函数y=x2+x的图象在点P(1,2)处的切线斜率为,切线方程为.答案：3; 3x−y−1=0解析：解法一：根据导数的几何意义,曲线y=x2+x在点P(1,2)处的切线斜率k=y′|x=1=limΔx→0(1+Δx)2+(1+Δx)−2Δx=limΔx→0(3+Δx)=3所以切线方程为y−2=3(x−1),即3x−y−1=0.解法二：设曲线y=x2+x在点P(1,2)处的切线斜率为k,则切线方程为y−2=k(x−1),即y=kx+2−k,将其代入y=x2+x,整理得x2+(1−k)x+k−2=0,依题意,Δ=(1−k)2−4(k−2)=(k−3)2=0,解得k=3,所以切线方程为y−2=3(x−1),即3x−y−1=0.变式若本例函数不变,如何求此抛物线在顶点处的切线方程？过此抛物线顶点的切线有什么特点？答案：函数y=x2+x的图象是抛物线,顶点坐标为(−12,−14),解法一：函数y=x2+x的图象在顶点(−12,−14)处的切线斜率k=y′|x=−12=limΔx→0(−12+Δx)2+(−12+Δx)−(−14)Δx=limΔx→0(Δx)=0，所以抛物线在顶点处的切线方程为y=−14.过此抛物线顶点的切线是水平的直线.解法二：结合图象(图略)可知,抛物线在顶点处的切线是水平的直线,切线方程为y=−14.解题感悟导数的几何意义及其应用1.曲线的切线与曲线至少有一个公共点,其中必有一个公共点是切点,所以曲线必过切点,切线必过切点,斜率等于切点处的导数值.2.若曲线的切线方程与曲线方程联立所得的方程组可以化为一元二次方程,则可以运用一元二次方程的根的判别式等于0求切线斜率.类型2 求函数的图象过某点的切线斜率与切线方程例2 已知函数y=x3−x的图象为曲线C.（1）求曲线C在点(1,0)处的切线方程;（2）求曲线C过点(1,0)的切线方程.答案：（1）函数y=x3−x的图象在点(1,0)处的切线斜率为k=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(1+Δx)3−(1+Δx)−0Δx=limΔx→0(1+Δx)[2Δx+(Δx)2]Δx=limΔx→0(1+Δx)(2+Δx)=2,所以曲线C在点(1,0)处的切线方程为y=2x−2.（2）设函数y=x3−x图象上切点的坐标为P(x0,x03−x0),则切线斜率为k=limΔx→0[(x0+Δx)3−(x0+Δx)]−(x03−x0)Δx=limΔx→0Δx[3x02+3x0⋅Δx+(Δx)2]−ΔxΔx=limΔx→0[3x02+3x0⋅Δx+(Δx)2−1]=3x02−1.所以切线方程为y−(x03−x0)=(3x02−1)(x−x0),由于切线经过点(1,0),所以0−(x03−x0)=(3x02−1)(1−x0)，整理得2x03−3x02+1=0,即2(x03−1)−3(x02−1)=0,所以2(x0−1)(x02+x0+1)−3(x0+1)(x0−1)=0,所以(x0−1)2(2x0+1)=0,解得x0=1或x0=−12.所以P(1,0)或P(−12,38),所以切线方程为y=2x−2或y=−14x+14.解题感悟过点P(x1,y1)求曲线的切线方程步骤：（1）设切点坐标为Q(x0,y0);（2）求出函数y=f(x)在x=x0。
人教A版高中数学选择性必修第二册课件 第5章一元函数的导数及其应用 第1课时 变化率问题、导数的概念
Δ
1
所以 =v0-gt0- gΔt,
Δ
2
所以当 Δt 无限趋近于 0
Δ
y
时, Δ 无限趋近于 v0-gt0,即 lim t =v00 时刻的瞬时速度为 v0-gt0.
若把例题中的“v0”改为“v0=20”,求物体在t=3 s时的瞬时速度.
解:因为
1
1
1
2
2
Δ→0
答案:B
)
二、函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率
1.假设一座山的剖面图如图所示,建立平面直角坐标系.设A是出发点,H是
山的最高处,爬山路线用函数y=f(x)表示.
自变量x表示某游客的水平位置,函数值y=f(x)表示此时游客所在的高度,
则点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2).
k 1=
Δ
=
(1+Δ)2 -12
=2+Δx;
Δ
在 x=2 附近的平均变化率为
(2+Δ)-(2)
k 2=
Δ
=
(2+Δ)2 -22
=4+Δx;
Δ
在 x=3 附近的平均变化率为
(3+Δ)-(3)
k 3=
Δ
若
=
(3+Δ)2 -32
=6+Δx.
Δ
1
1
Δx=3,则 k1=2+3
=
7
Δ
Δ→0
.
3.已知f(x)=x2-3x,则f'(0)=(
)
A.Δx-3
C.-3
B.(Δx)2-3Δx
(0+x)2 -3(0+x)-02 +3×0
高中数学新教材选择性必修第二册《5.1导数的概念及其意义》课件
1.设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为
√A.2.1
B.1.1
C.2
D.0
解析 ΔΔyx＝f11.1.1－－1f1＝00..211＝2.1.
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2.物体运动方程为 s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若 v＝
思考1 割线PPn的斜率kn是多少？ 答案 割线 PPn 的斜率 kn＝fxxnn－－fx0x0.
思考2 当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有 什么关系？
答案 kn无限趋近于切线PT的斜率k.
梳理 (1)切线的定义：设PPn是曲线y＝f(x)的割线，当点Pn趋近于点P
解析 由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]， [x3，x4]上平均变化率分别为 fxx22－－fx1x1，fxx33－－fx2x2，fxx44－－fx3x3，结合图 象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4].
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5.一物体的运动方程为s(t)＝7t2－13t＋8，则t0＝_1_时该物体的瞬时速度为1.
(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势.自变量的改变量Δx取值 越小，越能准确体现函数的变化情况.
利用导数定义求导数：
(1)取极限前，要注意化简ΔΔyx，保证使 Δx→0 时分母不为 0. (2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关. (3)导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛.
2.若例3中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又ΔΔst＝st0＋ΔΔtt－st0＝(2t0＋1)＋Δt. Δlit→m0ΔΔst＝Δlit→m0(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.
新人教版高中数学选择性必修第二册第五章导数的几何意义
即4x－y－4＝0.
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5.已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x) 的图象大致是
√
解析 由f′(x1)>0，f′(x2)<0可知，f(x)的图象在x1处切线的斜率为正， 在x2处切线的斜率为负.
解 ∵P(2,4)在曲线 y＝13x3＋43上，
∴曲线在点P(2,4)处切线的斜率为
k＝ lim Δx→0
132＋Δx3＋43－13×23＋43 Δx
＝ lim Δx→0
4＋2Δx＋31Δx2
＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.
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6.(多选)下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角
为π 的是 4
A.(0,0)
√B.(1，－1)
√C.(－1,1)
D.(1,1)
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例2 已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是
A.f′(xA)>f′(xB)
√B.f′(xA)<f′(xB)
C.f′(xA)＝f′(xB)
D.不能确定
解析 由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切 线的斜率，由图象可知f′(xA)<f′(xB).
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2022年高中数学选择性必修第二册：导数的概念及其几何意义
Δx
.
第1讲 描第述五运动章的基一本次概函念数的导数及其应用
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。
1.函数y=
1 x
从x=1到x=2的平均变化率为
1 2
.
(
✕
)
提示:平均变化率为
Δy Δx
=
1 -1
2 2-1
=-
1 2
,故结论错误.
2.函数y=x- 1 在x=1处的瞬时变化率为1. ( ✕ )
-2Δx)-f Δx
(x0
)
;
(2)
lim
h 0
f
(x0
h)-f h
(x0
-h)
.
思路点拨
根据导数的概念求解,利用已知与所求之间的关系进行合理转化,进而求出极限
值.
第1讲 描第述五运动章的基一本次概函念数的导数及其应用
解析
(1)原式= lim Δx 0
f (x0 -2Δx)-f (x0 ) - 1 (-2Δx)
2
=-2 lim f (x0 -2Δx)-f (x0 ) (Δx→0时,-2Δx→0)
-2Δx 0
-2Δx
=-2f'(x0).
(2)原式=lim f (x0 h)-f (x0 ) f (x0 )-f (x0 -h)
h 0
h
= lim h 0
f (x0 h)-f (x0 ) h
f (x0 )-f (x0 -h)
陷阱分析 利用导数的定义解题时,要注意增量Δx的形式是多种多样的,但不论 Δx是哪种形式,Δy必须是与之对应的形式.解题时容易因不能准确分析和把握给定 的极限式与导数定义的关系,盲目套用导数的定义导致解题错误,解决这类问题 的关键就是等价变形,使问题转化.
高中数学选择性必修二 5 1 2导数的概念及其几何意义(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)
5.1.2导数的概念及其几何意义要点一 导数的概念1．平均变化率：对于函数y ＝f (x )，设自变量x 从x 0变化到x 0＋Δx ，则把Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率．2．导数：如果Δx →0时，平均变化率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx 有极限，则称y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f ′(x 0)或y ′|0x x ＝ ，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 【重点小结】(1)当Δx ≠0时，比值Δy Δx 的极限存在，则f(x)在x ＝x 0处可导；若ΔyΔx的极限不存在，则f(x)在x ＝x 0处不可导或无导数．(2)在x ＝x 0处的导数的定义可变形为f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx 或f ′(x 0)＝lim x →x 0 f (x )－f (x 0)x －x 0.要点二 导数的几何意义对于曲线y ＝f (x )上的点P 0(x 0，f (x 0))和P (x ，f (x ))，当 点P 0趋近于点P 时，割线P 0P 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线P 0T 称为点P 0处的切线．割线P 0P 的斜率是k ＝f (x )－f (x 0)x －x 0．当点P 无限趋近于点P 0时，k 无限趋近于切线P 0T 的斜率．因此，函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线P 0T 的斜率k ，即k ＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 【重点总结】(1)曲线的切线与割线①曲线的切线是由割线绕一点转动，当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线． ②曲线的切线就是割线趋近于某一确定位置的直线，体现了无限趋近的思想． (2)曲线的切线与导数①函数f(x)在x ＝x 0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率． ②函数f(x)表示的曲线在点(x 0，f(x 0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝3x 在x ＝0处有切线，但不可导．曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 要点三 导函数对于 函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，当x 变化时，f ′(x )便是一个关于x 的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称为导数)，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx【重点总结】函数在某点处的导数与导函数的区别(1)函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．(2)函数f(x)在x0处的导数就是导函数f ′(x)在x＝x0处的函数值．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数f(x)在x＝x0处有意义，则f′(x0)存在．()(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．()(3)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相等．()(4)曲线f(x)＝x2在原点(0,0)处的切线方程为y＝0.()【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√2．若函数f(x)＝－3x－1，则f′(x)＝()A．0 B．－3xC．3 D．－3【答案】D【解析】k＝li mΔx→0－3(x＋Δx)－1－(－3x－1)Δx＝－3.3．设曲线y＝x2＋x－2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为() A．(0，－2) B．(1,0)C．(0,0) D．(1,1)【答案】B【解析】设点M(x0，y0)，∴k＝limΔx→0(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－2－(x20＋x0－2)Δx＝2x0＋1，令2x0＋1＝3，∴x0＝1，则y0＝0.故选B.4．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.【答案】2【解析】点(5，f(5))在切线y＝－x＋8上，∴f(5)＝－5＋8＝3.且f′(5)＝－1，∴f(5)＋f′(5)＝2.题型一 求函数在某点处的导数【例1】(1)已知函数f (x )＝2x 2＋4x ，则f ′(3)＝________. 【答案】(1)16【解析】(1)Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16. ∴f ′(3)＝li m Δx →0(2Δx ＋16)＝16.(2)已知函数f (x )＝2x 2＋4x ，若f ′(x 0)＝12，则x 0＝________. 【答案】(2)2【解析】(2)根据导数的定义f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →2(x 0＋Δx )2＋4(x 0＋Δx )－(2x 20＋4x 0)Δx＝li m Δx →04x 0·Δx ＋2(Δx )2＋4ΔxΔx ＝li m Δx →(4x 0＋2Δx ＋4)＝4x 0＋4，∴f ′(x 0)＝4x 0＋4＝12，解得x 0＝2.【方法归纳】用导数定义求函数在某一点处的导数的三个步骤 (1)作差Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)作比Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(3)取极限f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx. 简记为一差、二比、三极限．【跟踪训练1】已知函数f (x )＝x ＋1x，则f ′(1)＝________.【答案】0【解析】f ′(1)＝lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0⎣⎡⎦⎤(1＋Δx )＋11＋Δx －(1＋1)Δx＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫Δx ＋11＋Δx －1Δx＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫1－11＋Δx ＝0题型二 求曲线的切线方程【例2】已知曲线y ＝13x 3，求曲线在点P (3,9)处的切线方程．【解析】由y ＝13x 3，得y ′＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →013(x ＋Δx )3－13x 3Δx＝13li m Δx →3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx＝13li m Δx →[3x 2＋3xΔx ＋(Δx )2]＝x 2， y ′|x ＝3＝32＝9，即曲线在P (3,9)处的切线的斜率等于9. 由直线的点斜式方程可得，所求切线方程为y －9＝9(x －3)， 即9x －y －18＝0.【变式探究】本例条件不变，求曲线过点M (1,0)的切线方程．【解析】设切点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30，由例2知切线方程为：y －13x 30＝x 20(x －x 0) ∵切线过点(1,0)， ∴－13x 30＝x 20(1－x 0)即23x 30－x 20＝0，解得x 0＝0或x 0＝32. ∴切点坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫32，98，∴切线方程为：y ＝0或y －98＝94⎝⎛⎭⎫x －32. 即y ＝0或9x －4y －9＝0. 设切点，写出切线方程，已知点代入，求切点． 【方法归纳】1．求曲线上某点切线方程的三个步骤2．过曲线外的点P (x 1，y 1)求曲线的切线方程的步骤 (1)设切点为Q (x 0，y 0)．(2)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)．(3)利用Q 在曲线上和f ′(x 0)＝k PQ ，解出x 0，y 0及f ′(x 0)． (4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． 【跟踪训练2】已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)试问(1)中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由． 【解析】将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，所以切点为(1,1)． Δy Δx ＝(1＋Δx )3－13Δx ＝3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3Δx＝3＋3Δx ＋(Δx )2， 当Δx 趋近于0时，ΔyΔx趋近于3，所以y ′|x ＝1＝3.故所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3，可得(x －1)2(x ＋2)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为(1,1)，(－2，－8)．故(1)中的切线与曲线C 的公共点除切点(1,1)外，还有点(－2，－8)． 题型三 导数几何意义的应用 探究1 求切点坐标【例3】已知曲线y ＝x 2＋6的切线分别符合下列条件，求切点． (1)平行于直线y ＝4x －3； (2)垂直于直线2x －y ＋5＝0. 【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)．f ′(x )＝li m Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝li m Δx →0 (x ＋Δx )2＋6－(x 2＋6)Δx＝li m Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .∴过(x 0，y 0)的切线的斜率为2x 0.(1)∵切线与直线y ＝4x －3平行，∴2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝x 20＋6＝10， 即过曲线y ＝x 2＋6上点(2,10)的切线与直线y ＝4x －3平行． (2)∵切线与直线2x －y ＋5＝0垂直，∴2x 0×2＝－1，得x 0＝－14，y 0＝9716，即过曲线y ＝x 2＋6上点⎝⎛⎭⎫－14，9716的切线与直线2x －y ＋5＝0垂直． 【方法归纳】求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤(1)先设切点坐标(x 0，y 0)； (2)求导函数f ′(x )； (3)求切线的斜率f ′(x 0)；(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0； (5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0得切点坐标．探究2 与曲线的切点相关的问题【例4】已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2. (1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴围成的三角形面积．【解析】(1)y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－x 2－x ＋2Δx＝lim Δx →02xΔx ＋(Δx )2＋ΔxΔx＝lim Δx →0(2x ＋Δx ＋1)＝2x ＋1.所以y ′|x ＝1＝2×1＋1＝3，所以直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)， 则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.因为l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23，B ⎝⎛⎭⎫－23，－209，所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16，y ＝－52.所以直线l 1和l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎫16，－52. l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫－223，0. 所以所求三角形的面积S ＝12×253×52＝12512.(1)先由已知求出l 1的斜率，再由l 1⊥l 2，求出l 2的斜率，进而求出切点坐标，得出l 2的方程． (2)求出l 1与l 2的交点坐标，l 1，l 2与x 轴的交点，求出直线l 1，l 2和x 轴围成的三角形的面积． 【方法归纳】利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量．【跟踪训练3】(1)已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )＝f ′(x B ) C ．f ′(x A )<f ′(x B )D ．f ′(x A )与f ′(x B )大小不能确定 【答案】A【解析】由y ＝f (x )的图象可知，k A >k B ，根据导数的几何意义有f ′(x A )>f ′(x B )．故选A.(2)曲线f (x )＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 围成的三角形的面积为16，则a ＝________.【答案】(2)±1【解析】(2)因为f ′(a )＝li m Δx →(a ＋Δx )3－a 3Δx ＝3a 2，所以曲线在点(a ，a 3)处的切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )．令y ＝0，得切线与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫23a ，0，由题意知三角形面积为12⎪⎪⎪⎪a －23a ·|a 3|＝12×⎪⎪⎪⎪a 3·|a 3|＝16a 4＝16.∴a 4＝1，即a ＝±1. 【易错辨析】求切线方程时忽略“过”与“在”的差异致错【例5】已知抛物线y ＝x 2＋x ＋1，则过抛物线原点的切线方程为________． 【答案】3x －y ＝0或x ＋y ＝0【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →(x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)Δx＝lim Δx →0(2x 0＋1＋Δx )＝2x 0＋1，所以斜率k ＝2x 0＋1，故所求的切线方程为y －y 0＝(2x 0＋1)(x －x 0)，将(0,0)及y 0＝x 20＋x 0＋1代入上式得：－(x 20＋x 0＋1)＝－x 0(2x 0＋1)， 解得x 0＝1或x 0＝－1，所以k ＝3或k ＝－1，所以切线方程为y ＝3x 或y ＝－x ， 即3x －y ＝0或x ＋y ＝0. 【易错警示】 1.出错原因把原点当作切点，易求的是在原点处的切线方程. 2.纠错心得(1)看清楚求的是原点处的切线，还是过原点的切线． (2)过原点的切线，原点不一定是切点，需设切点为(x 0，y 0).一、单选题1．设()f x 在0x x =处可导，则()()000lim2h f x h f x h h→+--=（ ）． A ．()02f x ' B ．()012f x ' C ．()0f x ' D ．()04f x '【答案】C 【分析】根据导数的定义即可求解. 【解析】解：∵()f x 在0x 处可导， ∵()()()0000lim2h f x h f x h f x h→+--'=，故选：C.2．函数()y f x =在0x x =处的导数可表示为0x x y ='，即（ ）． A ．()()()000f x f x x f x =+∆-' B ．()()()0000lim x f x f x x f x ∆→'=+∆-⎡⎤⎣⎦ C ．()()()0000lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆D ．()()()000f x x f x f x x+∆-'=∆【答案】C 【分析】结合导数定义直接选择即可. 【解析】x x y ='是()0f x '的另一种记法，根据导数的定义可知C 正确．故选：C3．若函数()f x 在0x x =处可导，则()()000limh f x h f x h→+-的结果（ ）．A ．与0x ，h 均无关B ．仅与0x 有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与0x 无关D ．与0x ，h 均有关【答案】B 【分析】根据导数的定义即可求解. 【解析】 解：因为()()()0000limh f x h f x f x h→+-'=，所以结果仅与0x 有关，而与h 无关， 故选：B.4．设()f x 为可导函数，且满足0(1)(12)lim12x f f x x→--=-，则'(1)f 为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】B 【分析】利用导数的定义进行求解. 【解析】 因为0(1)(12)lim12x f f x x →--=-，所以20(1)(12)lim =12x f f x x→---，即20(12)(1)lim12x f x f x-→--=--所以'(1)1f =-. 故选：B.5．已知函数f (x )可导，且满足0(3)l (m 2i 3)x f f x x∆→-+∆=∆，则函数y ＝f (x )在x ＝3处的导数为（ ）A ．－1B ．－2C ．1D ．2【分析】根据导数的定义即可得到答案. 【解析】 由题意，()()()()()003333lim lim3x x f f x f x f f xx∆→∆→-+∆+∆-=-=-∆'∆，所以()32f '=-.故选：B.6．已知函数()f x 的图像如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()()()()310132f f f f '<-'<< B ．()()()()310312f f f f -''<<< C ．()()()()310312f f f f '<-'<< D ．()()()()310132f f f f ''<<-< 【答案】B 【分析】结合图象，判断出()()()()310,3,,12f f f f ''-的大小关系. 【解析】由题图可知函数()f x 的图像在1x =处的切线的斜率比在3x =处的切线的斜率大，且均为正数，所以()()031f f ''<<. AB 的斜率为()()3131f f --，其比在1x =处的切线的斜率小，但比在3x =处的切线的斜率大，所以()()()()310312f f f f -''<<<. 故选:B7．已知函数()2ln 8f x x x =+，则()()121lim x f x f x∆→+∆-∆的值为（ ）A ．20-B ．10-C ．10D ．20【分析】根据导数的定义可得()()()0121lim 21x f x f f x∆→+∆='-∆，再用求导公式可得()28f x x'=+，代入1x =即可得解. 【解析】因为()2ln 8f x x x =+，所以()28f x x'=+， 所以()()()()()020121121lim2lim 21202x x f x f f x f f xx∆→∆→+∆-+∆-=∆'==∆.故选：D8．下列说法正确的是（ ）A ．曲线的切线和曲线有且只有一个交点B ．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若()0f x '不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处无切线D ．若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，但()0f x '不一定存在 【答案】D 【分析】根据瞬时变化率和导数的基本概念对各选项逐一判断即可. 【解析】对于A ，曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，故A 错误；对于B ，过曲线上的一点作曲线的切线，由于曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，所以这个点不一定是切点，故B 错误；对于C ，()0f x '不存在，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率不存在，但切线可能存在，故C 错误； 对于D ，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，但切线斜率可能不存在，所以()0f x '不一定存在，故D 正确. 故选：D二、多选题9．已知函数()f x 的图象如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则下列数值的排序正确的是（ ）A ．()()32f f ''<B ．()()()332f f f '<-C ．()()()232f f f '<-D ．()()320f f -<【答案】AB 【分析】根据导数的几何意义可得()()23f f ''>，记()()22A f ，，()()33B f ，，作直线AB ，根据两点坐标求出直线AB 的斜率，结合图形即可得出()()()323f f f '->. 【解析】由函数的图象可知函数()f x 是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在2x =处的切线斜率1k 大于在3x =处的切线斜率2k ，所以()()23f f ''>； 记()()22A f ，，()()33B f ，，作直线AB ，则直线AB 的斜率()()()()323232f f k f f -==--，由函数图象，可知120k k k >>>，即()()()()23230f f f f ''>->>. 故选：AB10．(多选题)若函数f (x )在x ＝x 0处存在导数，则000()()limh f h x f x h→+-的值（ ）A ．与x 0有关B ．与h 有关C ．与x 0无关D ．与h 无关【答案】AD 【分析】由导数的定义进行判定. 【解析】由导数的定义，得：'0000()()lim()h f x f x f x hh →-=+，即函数f (x )在x ＝x 0处的导数与x 0有关，与h 无关. 故选:AD.11．甲､乙两个学校同时开展节能活动，活动开始后两学校的用电量()W t 甲（单位：kW h ⋅），()W t 乙（单位：kW h ⋅）与时间t （单位：h ）的关系如图所示，则一定有（ ）A ．甲校比乙校节能效果好B ．甲校的用电量在[]00,t 上的平均变化率比乙校的用电量在[]00,t 上的平均变化率小C ．两学校节能效果一样好D ．甲校与乙校在活动期间的用电量总是一样大 【答案】AB 【分析】根据切线斜率的实际意义判断AC 选项的正确性.根据平均变化率的知识确定B 选项的正确性.根据图象判断用电量是否“总是一样大”，由此判断D 选项的正确性. 【解析】由图可知，对任意的()100,t t ∈，曲线()W t 甲在1t t =处的切线斜率的绝对值比曲线()W t 乙在1t t =处的切线斜率的绝对值大，所以甲校比乙校节能效果好，A 正确，C 错误； 由图可知，()() 000W t W t -甲甲()()000W t W t -<乙乙，则甲校的用电量在[]00,t 上的平均变化率比乙校的用电量在[]00,t 上的平均变化率小，B 正确；由于曲线()W t 甲和曲线()W t 乙不重合，故D 错误. 故选：AB.12．（多选）设()f x 在0x 处可导，下列式子中与()0f x '相等的是（ ） A ．()()0002lim2x f x f x x x∆→--∆∆B ．()()000limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆C ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆-+∆∆D ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆【答案】AC 【分析】利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断作答. 【解析】 对于A ，()()()()()000000202222lim lim 22x x f x f x x f x x x f x x f x x x ∆→∆→--∆-∆+∆--∆'==∆∆，A 满足； 对于B ，()()()()()000000202lim 2lim 22x x f x x f x x f x x x f x x f x x x ∆→∆→+∆--∆-∆+∆--∆'==∆∆，B 不满足； 对于C ，()()()00002limx f x x f x x f x x∆→+∆-+∆'=∆，C 满足；对于D ，()()()()()000000302232lim 3lim 33x x f x x f x x f x x x f x x f x x x∆→∆→+∆--∆-∆+∆--∆'==∆∆，D 不满足. 故选：AC第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．某生物种群的数量Q 与时间t 的关系近似地符合10()9tt e Q t e =+.给出下列四个结论：①该生物种群的数量不会超过10；②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小； ③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比； ④该生物种群数量的增长速度最大的时间()02,3t ∈. 根据上述关系式，其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①②④ 【分析】对解析式上下同时除以t e ，结合反比例函数模型可判断①正确；对10()9tt e Q t e =+求导，()Q t '即为该生物种群数量的增长速度与时间的关系式，结合导函数特征和对勾函数模型可判断③错，②④正确 【解析】1010()991t t t e Q t e e ==++，因为0te >，故()911,t e+∈+∞，()100,1091t e ∈+，故该生物种群的数量不会超过10，①正确；由()28109090()()89191t tt t t t e e Q t Q t e e e e=⇒'=+++=+，显然该生物种群数量的增长速度与种群数量不成正比，③错；因为81tt e e +为对勾函数模型，故81tt e e+≥，当且仅当9t e =时取到等号，故811890t t e e++整体先增加后减小，当()03ln92,t =∈时，()Q t '最大，故②④正确， 综上所述，①②④正确， 故答案为：①②④ 14．若02)(=f x '，则00Δ0()(Δ)lim2Δx f x f x x x→-+=________.【答案】1- 【分析】利用导数的定义进行求解. 【解析】00Δ0()(Δ)lim2Δx f x f x x x→-+00Δ0(Δ)()1lim 2Δx f x x f x x →+-=- '01()2f x =-1=-.故答案为1-.15．已知函数f (x )，则()1f '＝________. 【答案】12 【分析】根据导数的定义即可得到答案. 【解析】()()()001111lim lim 21x x f x f f x x →→+∆-'====∆+∆+.故答案为：12.16．函数()f x 在R 上可导，且()02f '＝，x y R ∀∈，，若函数()()()f x y f x f y +＝成立，则()0f ＝________．【答案】1 【分析】令0y ＝，则有()()()0f x f x f ＝，再根据条件即可求出答案． 【解析】解：令0y ＝，则有()()()0f x f x f ＝，()02f '＝， ()f x ∴不恒为0， ()01f ∴＝，故答案为：1．四、解答题17．已知2()f x x =，利用2'(1)11,(1)2,Δ0.03f f x ====，求(1.03)f 的近似值. 【答案】1.06 【分析】将'(1)1,(1)2,Δ0.03f f x ===代入'000()()()f x x f x f x x +∆≈+⋅∆中计算即可得到答案.【解析】由'000()()()f x x f x f x x +∆≈+⋅∆，可知'(1.03)(1)(1)0.03120.03 1.06f f f ≈+⨯=+⨯=.18．已知某产品的总成本函数为22C Q Q =+，总成本函数在0Q 处导数()0f Q '称为在0Q 处的边际成本，用()0MC Q 表示.求边际成本(500)MC 并说明它的实际意义.【答案】(500)1002MC =，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002. 【分析】利用导数的定义计算即可. 【解析】设500Q =时，产量的改变量为Q ∆，22(500)2(500)(5002500)C Q Q Q Q ∆+∆++∆-+⨯=∆∆ 1002Q =∆+，则0(500)lim (1002)1002Q MC Q ∆→=∆+=，即产量为500时的边际成本为1002，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002.。
新人教版高中数学选择性必修第二册第五章变化率问题
lim
Δx→0
Δx
.
3.切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔 |Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线PP0无限趋近于点P0 处的切线P0T，这时，割线PP0的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的 斜率k0. 注意点：极限的几何意义：曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率.
解 设切点(x0，x20－2x0＋3)， 故fx0＋ΔΔxx－fx0 ＝x0＋Δx2－2x0＋ΔΔxx＋3－x20＋2x0－3 ＝2x0－2＋Δx， 所以 k＝lim (2x0－2＋Δx)＝2x0－2，
Δx→0
故有2x0－2＝2，解得x0＝2， 所以切点为(2,3)，所求切线方程为2x－y－1＝0.
∵质点M在t＝2附近的平均变化率为 ΔΔst＝s2＋ΔΔtt－s2＝a2＋ΔΔtt2－4a＝4a＋aΔt，
∴lim Δt→0
ΔΔst＝4a＝8，
即a＝2.
三、抛物线的切线的斜率
问题3 前面我们从物理的角度研究了瞬时速度的问题，它反映到我们
几何上是什么意思？ 提示 从 v ＝ft2t2－－ft1t1形式上来看，它表示的是图象上两点割线的斜率， 而曲线上两点的平均变化率与直线 l 的斜率 k＝yx22－－yx11不同，曲线两点的 平均变化率表示的是曲线的陡峭程度，而直线的斜率表示的是直线的倾 斜程度. 从ΔΔyt ＝ft2t2－－tf1t1＝ft1＋ΔΔtt－ft1来看，当曲线上两点无限接近时，此时 的割线的斜率无限接近曲线在 t＝t1 这一点的切线的斜率.
解
物
体
在
区
间
0，π4
上
的Leabharlann 平均速度
为
v
1
＝
st2－st1 t2－t1
数学选择性必修二 第五章 §5.1 第1课时 变化率问题和导数的概念
§5.1 导数的概念及其意义 第1课时 变化率问题和导数的概念学习目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．知识点一 瞬时速度 瞬时速度的定义(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为ΔsΔt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 无限趋近于0时，Δs Δt 的极限是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.知识点二 函数的平均变化率对于函数y ＝f (x )，设自变量x 从x 0变化到x 0＋Δx ，相应地，函数值y 就从f (x 0)变化到f (x 0＋Δx )．这时，x 的变化量为Δx ，y 的变化量为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．我们把比值Δy Δx ，即ΔyΔx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率．知识点三 函数在某点处的导数如果当Δx →0时，平均变化率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx 有极限，则称y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x 0)或0=|x x y'，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.1．在平均变化率中，函数值的增量为正值．( × )2．瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( × ) 3．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 的正、负无关．( √ )4．设x ＝x 0＋Δx ，则Δx ＝x －x 0，当Δx 趋近于0时，x 趋近于x 0，因此，f ′(x 0)＝ lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x x → f (x )－f (x 0)x －x 0.( √ )一、函数的平均变化率例1 (1)函数y ＝1x 从x ＝1到x ＝2的平均变化率为( )A ．－1B ．－12 C ．－2 D ．2答案 B解析 平均变化率为Δy Δx ＝12－12－1＝－12.(2)已知函数y ＝3x －x 2在x 0＝2处的增量为Δx ＝0.1，则ΔyΔx的值为( ) A ．－0.11 B ．－1.1 C ．3.89 D ．0.29 答案 B解析 ∵Δy ＝f (2＋0.1)－f (2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11， ∴Δy Δx ＝－0.110.1＝－1.1. (3)汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为__________________．答案 v 1<v 2<v 3解析 由平均变化率的几何意义知：v 1＝k OA ，v 2＝k AB ， v 3＝k BC ，由图象知：k OA <k AB <k BC ，即v 1<v 2<v 3.反思感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 已知函数f (x )＝3x 2＋5，求f (x )： (1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率． 解 (1)因为f (x )＝3x 2＋5， 所以从0.1到0.2的平均变化率为 3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)f (x 0＋Δx )－f (x 0) ＝3(x 0＋Δx )2＋5－(3x 20＋5)＝3x 20＋6x 0Δx ＋3(Δx )2＋5－3x 20－5＝6x 0Δx ＋3(Δx )2.函数f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为 6x 0Δx ＋3(Δx )2Δx ＝6x 0＋3Δx .二、求瞬时速度例2 一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2. (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度． 解 (1)当t ＝0时的速度为初速度． 在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]，∴Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02)＝3Δt －(Δt )2， Δs Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt ＝3－Δt ， lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(3－Δt )＝3. ∴物体的初速度为3. (2)取一时间段[2,2＋Δt ]， ∴Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22) ＝－Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt ＝－1－Δt ， lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(－1－Δt )＝－1， ∴当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1. 反思感悟 求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． (2)求平均速度v ＝ΔsΔt.(3)求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，Δs Δt 无限趋近于的常数v 即为瞬时速度，即v ＝lim Δt →0 ΔsΔt . 跟踪训练2 (1)一物体的运动方程为s ＝7t 2－13t ＋8，且在t ＝t 0时的瞬时速度为1，则t 0＝________. 答案 1解析 因为Δs ＝7(t 0＋Δt )2－13(t 0＋Δt )＋8－7t 20＋13t 0－8 ＝14t 0·Δt －13Δt ＋7(Δt )2， 所以lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(14t 0－13＋7Δt )＝14t 0－13＝1， 所以t 0＝1.(2)一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解 质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率． ∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率为 Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝a (2＋Δt )2－4a Δt ＝4a ＋a Δt ， ∴lim Δt →0ΔsΔt＝4a ＝8，即a ＝2. 三、求函数在某点处的导数例3 求函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数．解 ∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝⎛⎭⎫1－11＝Δx ＋Δx 1＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ， ∴lim Δx →0Δy Δx ＝limΔx →0⎝⎛⎭⎫1＋11＋Δx ＝2. 从而y ′|x ＝1＝2.反思感悟 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(3)求极限lim Δx →0Δy Δx. 跟踪训练3 (1)f (x )＝x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．2x B ．2 C ．2＋Δx D ．1 答案 B 解析 lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 1＋2Δx ＋(Δx )2－1Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx )＝2. (2)已知f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m 的值等于( )A ．－4B ．2C ．－2D ．±2 答案 D解析 因为Δy Δx ＝f (m ＋Δx )－f (m )Δx＝2m ＋Δx －2m Δx ＝－2m (m ＋Δx )，所以f ′(m )＝lim Δx →0－2m (m ＋Δx )＝－2m 2，所以－2m 2＝－12，m 2＝4，解得m ＝±2.1．函数y ＝1在[2,2＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．Δx 答案 A 解析Δy Δx ＝1－1Δx＝0. 2．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上两点A ，B ，且x A ＝1，x B ＝1.1，则函数f (x )从A 点到B 点的平均变化率为( )A ．4B ．4xC ．4.2D ．4.02 答案 C解析ΔfΔx＝f(x B)－f(x A)x B－x A＝－1.58－(－2)1.1－1＝4.2.3．物体运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v＝limΔt→0s(3＋Δt)－s(3)Δt＝18 m/s，则下列说法中正确的是()A．18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度B．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的速度C．18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度D．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度答案C4．一物体做直线运动，其运动方程为s(t)＝－t2＋2t，则t＝0时，其速度为() A．－2 B．－1 C．0 D．2答案D解析因为limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0－(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)－(－t2＋2t)Δt＝limΔt→0(－2t＋2－Δt)＝－2t＋2，所以当t＝0时，其速度为2.5．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a＝________.答案3解析因为f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0a(1＋Δx)＋3－(a＋3)Δx＝a.又因为f′(1)＝3，所以a＝3.1．知识清单：(1)平均变化率．(2)瞬时速度．(3)函数在某点处的导数．2．方法归纳：极限法、定义法．3．常见误区：对函数的平均变化率、瞬时变化率及导数概念理解不到位．1．已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy 等于( )A.12 B ．－12 C ．1 D ．－1 答案 B解析 Δy ＝⎝⎛⎭⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 2．函数f (x )＝5x －3在区间[a ，b ]上的平均变化率为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 C解析 平均变化率为f (b )－f (a )b －a ＝5(b －a )b －a＝5.3．一质点的运动方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( ) A ．－3 B ．3 C ．6 D ．－6 答案 D解析 由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在t ＝1时的瞬时速度为lim Δt →0(－3Δt －6)＝－6. 4．已知f (x )＝x 2－3x ，则f ′(0)等于( ) A ．Δx －3 B ．(Δx )2－3Δx C ．－3 D ．0答案 C解析 f ′(0)＝lim Δx →0 (0＋Δx )2－3(0＋Δx )－02＋3×0Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2－3Δx Δx＝lim Δx →0 (Δx －3)＝－3. 5．(多选)设f (x )＝t 2x ，若f ′(1)＝4，则t 的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 AD解析 因为f ′(1)＝lim Δx →0 t 2(1＋Δx )－t 2Δx ＝t 2＝4， 所以t ＝±2.6．函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2，则t ＝________. 答案 5解析 因为函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2， 所以f (t )－f (－2)t －(－2)＝(t 2－t )－[(－2)2－(－2)]t ＋2＝2，即t 2－t －6＝2t ＋4， 从而t 2－3t －10＝0， 解得t ＝5或t ＝－2(舍去)．7．一物体位移s 和时间t 的关系是s ＝2t －3t 2，则物体的初速度是________． 答案 2解析 由题意知， lim Δt →0s (t ＋Δt )－s (t )Δt＝lim Δt →0 2(t ＋Δt )－3(t ＋Δt )2－2t ＋3t 2Δt ＝lim Δt →0 2Δt －6t Δt －3(Δt )2Δt ＝2－6t . 当t ＝0时，v ＝2－6×0＝2， 即物体的初速度是2.8．若可导函数f (x )的图象过原点，且满足lim Δx →0 f (Δx )Δx＝－1，则f ′(0)＝__________. 答案 －1解析 ∵f (x )的图象过原点，∴f (0)＝0， ∴f ′(0)＝lim Δx →0f (0＋Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0 f (Δx )Δx ＝－1. 9．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值． 解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx ， ∴f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 a (Δx )2＋2a (Δx )Δx＝lim Δx →0(a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2， ∴a ＝1.10．某物体按照s (t )＝3t 2＋2t ＋4(s 的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4 s 时物体的运动的平均速度和4 s 时的瞬时速度． 解 自运动开始到t s 时，物体运动的平均速度 v (t )＝s (t )t ＝3t ＋2＋4t，故前4 s 物体的平均速度为v (4)＝3×4＋2＋44＝15(m/s)．由于Δs ＝3(t ＋Δt )2＋2(t ＋Δt )＋4－(3t 2＋2t ＋4) ＝(2＋6t )Δt ＋3(Δt )2. ΔsΔt ＝2＋6t ＋3·Δt ， lim Δt →0ΔsΔt＝2＋6t ， 当t ＝4时，lim Δt →0ΔsΔt＝2＋6×4＝26， 所以4 s 时物体的瞬时速度为26m/s.11．(多选)如图显示物体甲、乙在时间0到t 1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是( )A ．在0到t 0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度B ．在0到t 0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度C ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 答案 BC解析 在0到t 0范围内，甲、乙的平均速度都为v ＝s 0t 0，故A 错误，B 正确；在t 0到t 1范围内，甲的平均速度为s 2－s 0t 1－t 0，乙的平均速度为s 1－s 0t 1－t 0.因为s 2－s 0>s 1－s 0，t 1－t 0>0，所以s 2－s 0t 1－t 0>s 1－s 0t 1－t 0，故C 正确，D 错误． 12．A ，B 两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W 1(t )，W 2(t )与时间t (天)的关系如图所示，则一定有( )A ．两机关节能效果一样好B ．A 机关比B 机关节能效果好C ．A 机关的用电量在[0，t 0]上的平均变化率比B 机关的用电量在[0，t 0]上的平均变化率大D ．A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大 答案 B解析 由题图可知，A ，B 两机关用电量在[0，t 0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A 机关用电量在[0，t 0]上的平均变化率小于B 机关的平均变化率，从而A 机关比B 机关节能效果好． 13．设函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1) C.13 f ′(1) D ．f ′(3)答案 C 解析 lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝13f ′(1)．14．如图所示，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．答案 [x 3，x 4]解析 由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上的平均变化率分别为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，f (x 3)－f (x 2)x 3－x 2，f (x 4)－f (x 3)x 4－x 3，结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4]．15．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率为28π3，则m 的值为________． 答案 2解析 体积的增加量ΔV ＝4π3m 3－4π3＝4π3(m 3－1)，所以ΔV ΔR ＝4π3(m 3－1)m －1＝28π3，所以m 2＋m ＋1＝7，所以m ＝2或m ＝－3(舍)．16．若一物体的运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋3(t －3)2，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3.求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；(2)物体在t ＝1时的瞬时速度．解 (1)因为物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24 m/s. 即物体在t ∈[3,5]内的平均速度为24 m/s.(2)物体在t ＝1时的瞬时速度即为物体在t ＝1处位移的瞬时变化率， 因为物体在t ＝1附近位移的平均变化率为Δs Δt ＝f (1＋Δt )－f (1)Δt＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3(1－3)2Δt＝3Δt －12， 所以物体在t ＝1处位移的瞬时变化率为lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12， 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。
【选修二】第五章 5.1第1课时变化率问题和导数的概念
第五章一元函数的导数及其应用§5.1导数的概念及其意义第1课时变化率问题和导数的概念【知识讲解】知识点一函数的平均变化率1定义：对于函数()y f x =，设自变量x 从0x 变化到0x x +∆，相应地，函数值y 就从0()f x 变化到0()f x x +∆．这时，自变量x 的变化量为x ∆，函数值y 的变化量为00()()y f x x f x ∆=+∆-．我们把比值y x ∆∆，即00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆叫做函数()y f x =从0x 到0x x +∆的平均变化率．知识点二瞬时速度1定义：一般地，设物体的运动规律是()s s t =，则物体在0t 到0t t +∆这段时间内的平均速度为st∆∆，其中00()()s t t s t s t t +∆-∆=∆∆.当t ∆无限趋近于0时，s t∆∆无限趋近于某个常数v ，我们就说当t ∆无限趋近于0时，st∆∆的极限是v ，这时v 就是物体在时刻0t t =时的瞬时速度，其中0000()()lim lim t t s t t s t sv t t∆→∆→+∆-∆==∆∆.【备注】瞬时速度即物体在某一时刻的速度．知识点三函数在某点处的导数1定义：如果当0x ∆→时，平均变化率yx∆∆无限趋近于一个确定的值，即yx ∆∆有极限，则称()y f x =在0x x =处可导，并把这个确定的值叫做()y f x =在0x x =处的导数(也称为瞬时变化率)，记作0()f x '或0|x x y ='，即00000()()()limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆.【题型探究】考点一、函数的平均变化率【例1】已知函数()32f x x =+，()2g x x =，分别计算它们在区间[]2,1--，[]1,5上的平均变化率．【练1-1】函数()3f x x =在区间[]1,1-上的平均变化率为（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【练1-2】函数()21xf x =+在[]1,2-上的平均变化率是（）A ．212B ．72C ．76D ．712【练1-3】(多选)设函数()y f x =，当自变量x 由0x 变化到0x x +∆时，下列说法正确的是（）A ．x ∆可以是正数也可以是负数，但不能为0B ．函数值的改变量y ∆为00()()f x x f x +∆-C ．函数()f x 在00[,]x x x +∆上的平均变化率为0()f x x⋅∆D ．函数()f x 在00[,]x x x +∆上的平均变化率00()()f x x f x x +∆-∆【练1-4】函数()223f x x x =-从1x =到2x =的平均变化率为．【练1-5】已知函数2()1f x x =-在区间[1,]m 上的平均变化率为4，则m 的值为．【练1-6】将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率为28π3，则m 的值为．【练1-7】某物体做自由落体运动，其运动方程为()212s t gt =，其中t 为下落的时间（单位：s ），g 为重力加速度，大小为9.8m/s 2．求它在时间段[]1,3内的平均速度．考点二、求瞬时速度【例2】自由落体运动中，物体下落的距离d （单位：m ）与时间t （单位：s ）近似满足函数关系25d t =．(1)求物体在[]2,4时间段内的平均速度；(2)求物体在3t =时的瞬时速度；(3)求物体在()0t a a =>时的瞬时速度．【练2-1】一质点做直线运动，其位移s 与时间t 的关系是24s t t =-，则在1t =时的瞬时速度为（）A ．1B ．3C ．－2D ．2【练2-2】一辆汽车做直线运动，位移s 与时间t 的关系为21=+s at ，若汽车在2t =时的瞬时速度为12，则=a （）A ．12B ．13C ．2D ．3【练2-3】(多选)直线运动的物体，从时刻t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么关于0lim t st∆→∆∆的下列说法错误的是（）A ．从时刻t 到t t +∆时物体的平均速度B ．从时刻t 到t t +∆时位移的平均变化率C ．当时刻为Δt 时该物体的速度D ．该物体在t 时刻的瞬时速度【练2-4】(多选)在高台跳水运动中，s t 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是()24.9 6.510h t t t =-++，判断下列说法正确的是（）A ．运动员在1t =s 时的瞬时速度是3.3m /sB ．运动员在1t =s 时的瞬时速度是 3.3m /-sC ．运动员在1t =s 附近以3.3m /s 的速度上升D ．运动员在1t =s 附近以3.3m /s 的速度下降【练2-5】已知质点运动的位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）的关系为212s t t =-，则质点在2t =时刻的瞬时速度为米/秒．【练2-6】一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是23s t t =-（位移：m ，时间：s ）.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在2t =时的瞬时速度；(3)求0=t 到2t =时的平均速度.考点三、求函数在某点处的导数值【例3】已知函数2()f x x =-，求()f x 在3x =处的导数'(3)f .【练3-1】在曲线2()3y f x x ==+上取一点(1,4)P 及附近一点(1,4)x y +∆+∆，求：(1)y x∆∆；(2)(1)f '．【练3-2】已知函数()243f x ax ax b =-+，()11f '=，()12f =，求实数a ，b 的值.【练3-3】如果0()2f x '=，则()()000lim2k f x k f x k→+-=（）A ．2B ．1C ．12D ．14【练3-4】函数()f x 在R 上可导，若()23f '=，则()()232limx f x f x x∆→+∆--∆=∆（）A ．12B ．9C ．6D ．3【练3-5】已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()2f t '=，()()22lim3x f x f t x∆→+∆-=-∆，则实数t的值为.【数学文化】【例题】2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面1500m 处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约1500m/s 降为零．14分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为v ，相对月球纵向速度的平均变化率为a ，则（）A ．22525m /s,m /s 1414v a ==B ．22525m /s,m /s 1414v a =-=C ．22525m /s,m /s 1414v a ==-D ．22525m /s,m /s 1414v a =-=-【课堂练习】【练1】函数()321f x x =-在区间[]1,1-上的平均变化率为（）A ．2B ．1C ．-2D ．-1【练2】某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y 与时间t 的函数图象如图.记该车在时间段[]12,t t ，[]23,t t ，[]34,t t ，[]14,t t 上的平均速度的大小分别为1v ，2v ，3v ，4v ，则平均速度最小的是（）A ．1vB ．2vC ．3v D ．4v 【练3】(多选)某物体的运动路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系可用函数()21s t t t =++表示，则（）A ．物体在1s t =时的瞬时速度为0m/sB ．物体在0s t =时的瞬时速度为1m/sC ．瞬时速度为9m/s 的时刻是在4s t =时D ．物体从0到1的平均速度为2m/s【练4】物体位移s 和时间t 满足函数关系()21005020s t t t =-<<，则当2t =时，物体的瞬时速度为．【练5】投石入水，水面会产生圆形波纹区，且圆的面积随着波纹的传播半径r 的增大而增大（如图）．计算：(1)半径r 从a 增加到a d +时，圆面积S 相对于r 的平均变化率；(2)半径r a =时，圆面积S 相对于r 的瞬时变化率．【今日作业】【业1】设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（）A ．()0f x x +∆B ．()0f x x +∆C ．()()00f x x f x ∆-+D ．都不对【业2】在曲线22y x =+的图像上取一点(1,3)及附近一点(1,3)x y +∆+∆，则yx∆∆等于（（）A ．12x x∆++∆B ．12x x∆--∆C ．2x ∆+D ．12x x+∆-∆【业3】某物体做直线运动，若它所经过的位移s与时间t 的函数关系为()2112s t t =+，则这个物体在时间段[]1,2内的平均速度为（）A ．2B ．32C ．3D ．52【业4】已知函数()22f x ax x =-，若(1)(1)lim2x f x f x∆→+∆-=∆，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【业5】(多选)如图显示物体甲、乙在时间0到1t 范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（）A ．在0到0t 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度B ．在0到0t 范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度C ．在0t 到1t 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D ．在0t 到1t 范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度【业6】(多选)近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中一项就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务S ．已知房产供应量S 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下各种房产供应方案中，在时间[]0,T 内供应效率（单位时间的供应量）不是．．逐步提高的（）A ．B ．C ．D ．【业7】函数()sin f x x =在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为.【业8】一辆汽车做直线运动，位移s 与时间t 的关系为()21s t at =+，若汽车在2t =时的瞬时速度为8，则实数a 的值为.【业9】已知函数1y x=，求自变量x 在以下的变化过程中，该函数的平均变化率：（1）自变量x 从1变到1.1；（2）自变量x 从1变到1.01；（3）自变量x 从1变到1.001．估算当1x =时，该函数的瞬时变化率．【业10】从桥上将一小球掷向空中，小球相对于地面的高度h （单位：m ）和时间t （单位：s ）近似满足函数关系251512h t t =-++．问：(1)小球的初始高度是多少？(2)小球在0=t 到1t =这段时间内的平均速度是多少？(3)小球在1t =时的瞬时速度是多少？(4)小球所能达到的最大高度是多少？何时达到？。
数学人教A版选择性必修第二册5.1.1变化率问题课件
新知运用
例1一质点的运动方程为，其中表示位移（单位：），表示时间（单位：）.
（1）求质点在这段时间内的平均速度；
（2）求质点在时的瞬时速度.
[解析]（1）质点在这段时间内的平均速度为.（2）由（1）知.当趋近于0时，趋近于，所以质点在时的瞬时速度为.
4.一物体的运动方程为，且在时的瞬时速度为1，求的值．
[解析]因为，所以，所以．
1.一物体的运动方程是，则在这段时间内的平均速度是().A.B.C.D.
B
[解析].
随堂检测·精评价
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2.抛物线在点处的切线的斜率为().A.B.C.D.
C
[解析],.
3.若曲线，则它在点处的切Hale Waihona Puke 方程为().A.B.C.D.A
[解析]，，∴曲线在点处的切线方程为.
巩固训练
探究2 抛物线的切线的斜率
问题1：在函数的图象中，表示什么？
[答案]表示过和两点的直线的斜率.
情境设置
问题2：当趋近于0时，直线是如何变化的？
[答案]直线无限接近函数的图象在点处的切线.
新知生成
设，是抛物线上不同两点，则割线的斜率（其中），当点无限趋近于点时，我们可以用割线的斜率近似地表示点处切线的斜率.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）函数（为常数）在区间上的平均变化率为0.()
√
（2） 瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况.( )
√
2.若一质点按规律运动，则它在一小段时间内的平均速度是().A.B.C.D.
B
人教版高中数学选择性必修第二册5.1.1变化率问题
题型三 求抛物线切线的斜率
互动 4 如何理解抛物线的切线？抛物线的切线与割线有怎 样的联系？
【解析】 抛物线的切线是割线上点 P(x，y)无限趋近于点 P0(x0， y0)时的一个确定位置的直线．
割线斜率 k＝f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）的极限为切线的斜率．
例 3 求抛物线 f(x)＝x2 在点(1，1)处切线的斜率．
【解析】
k0＝Δlxim→0
f（1＋Δx）－f（1） Δx
＝Δlxim→0
（1＋ΔΔxx）2－1＝Δlxim→0
2Δx＋Δx2 Δx
＝Δlxim→0 (2＋Δx)
＝2.
探究 3 求抛物线在点(x0，y0)处切线的斜率即求极限 k0＝ Δlxim→0 f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）.
思考题 3 求抛物线 f(x)＝x2＋2 在点(0，2)处的切线方程．
【解析】 平均速度是把位移 s 看成时间 t 的函数 s＝s(t)，则 在时间段[t1，t2]上的平均速度－v ＝s（t2）t2－ －st1（t1）.
例 1 已知某质点按规律 s＝2t2＋2t 做直线运动(路程 s 的单 位为 m)，求：
(1)该质点在前 3 s 内运动的平均速度； (2)该质点在 2 s 到 3 s 这段时间内运动的平均速度．
联系：瞬时速度是平均速度的极限值．
例 2 一做直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是 s＝ 3t－t2.
(1)求此物体的初速度； (2)求此物体在 t＝2 时的瞬时速度； (3)求 t＝0 到 t＝2 之间的平均速度．
【解析】
(1)v0＝Δlitm→0
s（Δt）－s（0） Δt
＝Δlitm→0
第五章 一元函数的导数及其应用
人教版高中数学选择性必修第二册5
Δx
=
lim
Δx 0
(4+Δx)=4,∴抛物线y=x2
+1在点P(2,5)处的切线方程为y-5=4(x-2),即y=4x-3.∴切线与y轴交点的纵坐标是-3.
1|如何求瞬时速度
情境 某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表 示.
问题
1.如何求物体在1 s到2 s间的平均速度?
s(t0 Δt)-s(t0 )
Δt
.
2.瞬时速度
(1)物体在② 某一时刻的速度称为瞬时速度.
(2)一般地,当Δt无限趋近于0时, Δs无限趋近于某个常数v,我们就说当Δt趋近于0
Δt
时,
Δs Δt
的极限是v,这时v就是物体在t=t0时的瞬时速度,即瞬时速度v=③
lim Δs Δt0 Δt
=④
lim s(t0 Δt)-s(t0 )
解题模板
解决二次函数的割线问题,关键是将割线的斜率 Δy 表示为Δx的函数,从而建
Δx
立条件与结论间的联系,使问题得到解决.
提示:∵Δs=s(2)-s(1)=7-3=4,∴ Δs = s(2)-s(1) =4.
Δt 2-1
2.如何求物体在t=1 s时的瞬时速度?
提示:∵ Δs = s(1 Δt)-s(1)
Δt
ΔtΒιβλιοθήκη = (1 Δt)2 (1 Δt) 1-(12 11) =3+Δt,
Δt
4
∴ lim Δs = lim (3+Δt)=3.
Δt
Δt
∴物体在t=1 s时的瞬时速度为 lim Δs =-12(m/s).
Δt0 Δt
22人教版高中数学新教材选择性必修第二册--5.2.1 基本初等函数的导数
注意“函数 () 在 = 0 处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别
与联系：
（1）导函数也简称导数.
（2）函数 () 在 = 0 处的导数 ′ (0 ) 是一个数值，不是变量.
3.对于基本初等函数的导数公式不要求推导证明，只要求记住基本初等函数
的导数公式并能用于解题，如能运用导数公式求位移时间函数的瞬时速度和
程为 = .
1.导函数概念：一般地，如果一个函数 () 在区间 (, ) 上的每一点处都有
′
导数，导数值记为 () =
(+)−()
lim
，则 ′ () 是关于 的函数，称
→0
′ () 为 () 的导函数，通常也简称为导数.
2.关于导数的有关概念的辨析
= ln2 + 1 .
变式1-2 e 与 + 1 的大小关系为______________.
e ≥ + 1
易知函数 = e 的图象在点(0,1)处的切线方程为 = + 1 ，
作出函数图象，如图所示，
显然 e ≥ + 1 .
解题感悟
1.掌握指数函数 = ( > 0, ≠ 1) 的导数公式 ′ = ln . 特别地，指
例 正弦曲线 = sin 在 =
因为 =
sin 的导数为 ′
线斜率为 ′ |
π
= 2
=
π
cos
2
π
=1
0
处的切线斜率为______，切线方程为________.
2
= cos ，所以正弦曲线 = sin 在 =
= 0 ，切线方程为 = 1 .
22人教版高中数学新教材选择性必修第二册--5.1.1 变化率问题
3 − − 2 = 0
切线方程为______________________.
因为 = (1 + )3 − 13
= [(1 + )2 + (1 + ) × 1 + 12 ]
= [()2 + 3 + 3] ,
所以
= ()2 + 3 + 3 ,
体,叫“自由落体”.
已知自由落体的位移时间的计算公式为 () =
1
2 (
2
= 9.8 m/s 2 ) .
（1） 0 s 到 1 s 内的平均速度与 1 s 到 2 s 内的平均速度是否相同？
0 s 到 1 s 内的平均速度为
1 s 到 2 s 内的平均速度为
=
=
1
(12 −0)
=
(2×1+1)2 −(2×0+1)2
1−0
设在 1 s 末附近的时间增量为 ,则在 1 s 末的瞬时速度为 =
[2×(1+)+1]2 −(2×1+1)2
lim→0
= 8(m/s) ,
lim→0
= lim→0 (12 + 4) = 12( m/s) .
.
1. [2021 山东日照高二质检] 一质点的运动方程是 = 5 − 3 2 ,则在时间
段 [1,1 + ] 内的平均速度为(
D
)
A. 3 + 6
B. −3 + 6
C. 3 − 6
D. −3 − 6
¯
=
[5−3(1+)2 ]−(5−3×12 )
新教材高中数学第5章导数的概念及其意义：变化率问题pptx课件新人教A版选择性必修第二册
求函数在某点的切线斜率及方程
【例 3】 (1)已知函数 y＝x－1x，则该函数在点 x＝1 处的切线斜 率为________．
(2)求曲线 f (x)＝x2＋1 在点 P(1，2)处的切线的斜率，并求出切 线方程．
[思路探究] (1)x＝1 处的瞬时变化率即为斜率． (2) 求x＝1时瞬时变化率 ―→ 切线斜率 ―→ 切线的方程
变化率．(重点) 率及瞬时速度的学习，培养逻辑
3.理解函数的平均变化率，瞬时变 推理及数学运算的核心素养.
化率及瞬时速度的概念．(易混点)
情境 导学 探新 知
1．高台跳水运动中，运动员相对于水面的 高度 h(m)与起跳后的时间 t(s)存在函数关系 h(t) ＝－4.9t2＋6.5t＋10.那么如何用运动员在某些 时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？
切线的斜率为 k＝lim Δx→0
f1＋Δx－f1 Δx
＝ lim Δx→0
1＋Δx2＋1－12＋1 Δx
＝ lim Δx→0
Δx2＋2Δx Δx
＝lim (Δx＋2) Δx→0
＝2.
故切线方程为 y－2＝2(x－1)，即 y＝2x.
求函数 y＝f (x)在点 x0 处的导数的三个步骤
[跟进训练] 2．求函数 y＝x42在 x＝2 处的切线方程．
课堂 小结 提素 养
1．函数 y＝f (x)在 x＝x0 处的切线斜率反映了函数在该点处的瞬
时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．即：k＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝xl→imx0 fxx－ －xf0x0.
2．瞬时速度与平均速度的区别和联系 区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度 则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无 关． 联系：瞬时速度是平均速度在变化时间趋近于 0 时的极限值．
高中数学选择性必修二 5 1 1~5 1 2 变化率问题和导数的概念(无答案)
课时同步练5.1.1~5.1.2 变化率问题和导数的概念一、单选题1．在平均变化率的定义中，自变量x 在x 0处的增量∆x （ ）A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．不等于零2．设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆是（ ）A ．()0f x x +∆B ．()0f x x +∆C ．()0f x x ⋅∆D ．()()00f x x f x +∆-3．已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx ,2＋Δy )，则yx等于（ ） A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )24．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④1y x=中，平均变化率最大的是（ ）A ．④B ．③C ．②D ．①5．已知曲线214y x =和这条曲线上的一点11,4P ⎛⎫⎪⎝⎭，Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为( ) A ．()211,4x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．()21,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()211,14x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭D ．()21,14x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6．若函数f (x )＝－x 2＋10的图象上一点331,24⎛⎫⎪⎝⎭及邻近一点331,24x y ⎛⎫+∆+∆ ⎪⎝⎭，则y x ∆∆＝（ ）A ．3B ．－3C ．－3－()2x ∆D ．－x ∆－37．若质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为（ ）A ．6B ．18C ．54D ．818．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－29．已知点P (x 0，y 0)是抛物线y ＝3x 2＋6x ＋1上一点，且f ′(x 0)＝0，则点P 的坐标为（ ）A ．(1,10)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(－1,10)10．f (x )在x ＝x 0处可导，则()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆（ ）A ．与x 0，Δx 有关B ．仅与x 0有关，而与Δx 无关C ．仅与Δx 有关，而与x 0无关D ．与x 0，Δx 均无关11．设函数()f x 在1x =处存在导数，则()()11lim3x f x f x∆→∞+∆-=∆（ ）A ．()113f 'B ．()1f 'C ．()31f 'D ．()3f '12．函数y ＝x 2在区间[x 0, x 0+△x ]上的平均变化率为k 1，在[x 0﹣△x ，x 0]上的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系是（ ）A ．k 1＞k 2B ．k 1＜k 2C ．k 1＝k 2D ．k 1与k 2的大小关系不确定二、填空题13．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，yx=________.14．在x＝2附近，14x=时，函数1yx=的平均变化率为________．15．函数y=x＝1附近，当12x=时的平均变化率为________．16．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1. 17．如图是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________.18．已知函数f(x)＝1x，则f′(2)＝________.三、解答题19．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f(x)及g(x)的平均变化率．20．若函数f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的范围.21．一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2(s的单位是：m，t的单位是：s).（1）求此物体的初速度；（2）求此物体在t＝2 s时的瞬时速度；（3）求t＝0 s到t＝2 s时的平均速度.22．求y＝x2＋1x＋5在x＝2处的导数.。
人教A版高中数学选择性必修第二册课后习题 第五章 第1课时 变化率问题、导数的概念
第五章一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义第1课时变化率问题、导数的概念课后训练巩固提升1.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)从1到3的平均变化率是( )A.1B.-1C.2D.-2解析:f(3)-f(1)3-1=1-32=-1.故选B.答案:B2.如果质点A运动的位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系是y=s(t)=-2t,那么该质点在t=3 s时的瞬时速度为( )A.-23B.23C.-29D.29解析:Δy=s(3+Δt)-s(3)=-23+Δt +23=2Δt9+3Δt,ΔyΔt=29+3Δt,该质点在t=3s时的瞬时速度为limΔt→0ΔyΔt=limΔt→029+3Δt=29.故选D.答案:D3.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则( )A.f'(x)=aB.f'(x)=bC.f'(x0)=aD.f'(x0)=b=a+b·Δx,解析:f(x0+Δx)-f(x0)Δxf'((a+b·Δx)=a.故选C.答案:C=-1,则f'(0)=( )4.若可导函数f(f(Δx)ΔxA.-2B.-1C.1D.2解析:∵f(x)的图象过原点,∴f(0)=0.=-1.故选B.∴f'(0)=f(Δx)Δx答案:B5.已知函数f(x)=x2从x0到x0+Δx的平均变化率为k1,从x0-Δx到x0的平均变化率为k2,则k1,k2的大小关系是( )A.k1<k2B.k1>k2C.k1=k2D.无法确定解析:由已知得k1=f(x0+Δx)-f(x0)Δx =2x0+Δx,k2=f(x0)-f(x0-Δx)Δx=2x0-Δx.∵Δx可正可负且不为零,∴k1,k2的大小关系不确定.答案:D6.设函数f(x)=x2+2x在x=x0处的导数等于0,则x0= .解析:该函数在x=x0处的导数是f'((x0+Δx)2+2(x0+Δx)-x02-2xΔx=2x0+2,因为2x0+2=0,所以x0=-1.答案:-17.过曲线y=f(x)=x2+1上两点P(1,2)和Q(1+Δx,2+Δy)作曲线的割线,当Δx=0.1时,割线的斜率k= .解析:∵Δy=(1+Δx)2+1-(12+1)=2Δx+(Δx)2,∴ΔyΔx=2+Δx.∴割线PQ的斜率为2+Δx.当Δx=0.1时,割线PQ的斜率k=2+0.1=2.1.答案:2.18.设函数y=f(x)=m= .解析:∵Δy=f(-1+Δ(-1+Δ·Δ(Δ-3m·Δ=3,得m=1.答案:19.已知函数y=f(x)=x+kx,f'(1)=-2,则k= .解析:Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)+k1+Δx-1-k=Δx -kΔx1+Δx,则Δy Δx=1-k1+Δx.∵f'(1)=-2,∴lim Δx →02)的房屋需要成本y(单位:万元),且y 是x 的函数,y=f(x)=x 10+√x10+0.3.求f'(100),并解释它的实际意义.解:根据导数的定义,得f'(100)=lim Δx →0ΔyΔx=[100+Δx+√100+Δx+310Δx -(100+√100+3)10Δx]=lim Δx →0(110+√100+Δx -1010Δx) =lim Δx →0[110+10(√100+Δx+10)]=0.105(万元/m 2).f'(100)=0.105表示当房屋的面积为100m 2时,成本增加的速度为1050元/m 2,也就是说当房屋的面积为100m 2时,面积每增加1m 2,成本就要增加1050元.。
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2022年高中数学选择性必修第二册§5.1 导数的概念及其意义 第1课时 变化率问题和导数的概念学习目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．知识点一 瞬时速度 瞬时速度的定义(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为ΔsΔt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 无限趋近于0时，Δs Δt 的极限是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.知识点二 函数的平均变化率对于函数y ＝f (x )，设自变量x 从x 0变化到x 0＋Δx ，相应地，函数值y 就从f (x 0)变化到f (x 0＋Δx )．这时，x 的变化量为Δx ，y 的变化量为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．我们把比值Δy Δx ，即ΔyΔx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率．知识点三 函数在某点处的导数如果当Δx →0时，平均变化率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx 有极限，则称y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x 0)或0=|x x y'，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.1．在平均变化率中，函数值的增量为正值．( × )2．瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( × ) 3．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 的正、负无关．( √ )4．设x ＝x 0＋Δx ，则Δx ＝x －x 0，当Δx 趋近于0时，x 趋近于x 0，因此，f ′(x 0)＝ lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x x → f (x )－f (x 0)x －x 0.( √ )一、函数的平均变化率例1 (1)函数y ＝1x 从x ＝1到x ＝2的平均变化率为( )A ．－1B ．－12 C ．－2 D ．2答案 B解析 平均变化率为Δy Δx ＝12－12－1＝－12.(2)已知函数y ＝3x －x 2在x 0＝2处的增量为Δx ＝0.1，则ΔyΔx的值为( ) A ．－0.11 B ．－1.1 C ．3.89 D ．0.29 答案 B解析 ∵Δy ＝f (2＋0.1)－f (2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11， ∴Δy Δx ＝－0.110.1＝－1.1. (3)汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为__________________．答案 v 1<v 2<v 3解析 由平均变化率的几何意义知：v 1＝k OA ，v 2＝k AB ， v 3＝k BC ，由图象知：k OA <k AB <k BC ，即v 1<v 2<v 3.反思感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．(2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 已知函数f (x )＝3x 2＋5，求f (x )： (1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率． 解 (1)因为f (x )＝3x 2＋5， 所以从0.1到0.2的平均变化率为 3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)f (x 0＋Δx )－f (x 0) ＝3(x 0＋Δx )2＋5－(3x 20＋5)＝3x 20＋6x 0Δx ＋3(Δx )2＋5－3x 20－5＝6x 0Δx ＋3(Δx )2.函数f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为 6x 0Δx ＋3(Δx )2Δx ＝6x 0＋3Δx .二、求瞬时速度例2 一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2. (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度． 解 (1)当t ＝0时的速度为初速度． 在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]，∴Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02)＝3Δt －(Δt )2， Δs Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt ＝3－Δt ， lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(3－Δt )＝3. ∴物体的初速度为3. (2)取一时间段[2,2＋Δt ]， ∴Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22) ＝－Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt ＝－1－Δt ， lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(－1－Δt )＝－1，∴当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1. 反思感悟 求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． (2)求平均速度v ＝ΔsΔt.(3)求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，Δs Δt 无限趋近于的常数v 即为瞬时速度，即v ＝lim Δt →0 ΔsΔt . 跟踪训练2 (1)一物体的运动方程为s ＝7t 2－13t ＋8，且在t ＝t 0时的瞬时速度为1，则t 0＝________. 答案 1解析 因为Δs ＝7(t 0＋Δt )2－13(t 0＋Δt )＋8－7t 20＋13t 0－8 ＝14t 0·Δt －13Δt ＋7(Δt )2， 所以lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(14t 0－13＋7Δt )＝14t 0－13＝1， 所以t 0＝1.(2)一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解 质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率． ∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率为 Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝a (2＋Δt )2－4a Δt ＝4a ＋a Δt ， ∴lim Δt →0ΔsΔt＝4a ＝8，即a ＝2. 三、求函数在某点处的导数例3 求函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数．解 ∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝⎛⎭⎫1－11＝Δx ＋Δx 1＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ， ∴lim Δx →0Δy Δx ＝limΔx →0⎝⎛⎭⎫1＋11＋Δx ＝2. 从而y ′|x ＝1＝2.反思感悟 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(3)求极限lim Δx →0Δy Δx. 跟踪训练3 (1)f (x )＝x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．2x B ．2 C ．2＋Δx D ．1 答案 B 解析 lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 1＋2Δx ＋(Δx )2－1Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx )＝2. (2)已知f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m 的值等于( )A ．－4B ．2C ．－2D ．±2 答案 D解析 因为Δy Δx ＝f (m ＋Δx )－f (m )Δx＝2m ＋Δx －2m Δx ＝－2m (m ＋Δx )，所以f ′(m )＝lim Δx →0－2m (m ＋Δx )＝－2m 2，所以－2m 2＝－12，m 2＝4，解得m ＝±2.1．函数y ＝1在[2,2＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．Δx 答案 A 解析Δy Δx ＝1－1Δx＝0. 2．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上两点A ，B ，且x A ＝1，x B ＝1.1，则函数f (x )从A 点到B 点的平均变化率为( )A ．4B ．4xC ．4.2D ．4.02 答案 C 解析Δf Δx ＝f (x B )－f (x A )x B －x A ＝－1.58－(－2)1.1－1＝4.2.3．物体运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v＝limΔt→0s(3＋Δt)－s(3)Δt＝18 m/s，则下列说法中正确的是()A．18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度B．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的速度C．18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度D．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度答案 C4．一物体做直线运动，其运动方程为s(t)＝－t2＋2t，则t＝0时，其速度为() A．－2 B．－1 C．0 D．2答案 D解析因为limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0－(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)－(－t2＋2t)Δt＝limΔt→0(－2t＋2－Δt)＝－2t＋2，所以当t＝0时，其速度为2.5．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a＝________. 答案 3解析因为f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0a(1＋Δx)＋3－(a＋3)Δx＝a.又因为f′(1)＝3，所以a＝3.1．知识清单：(1)平均变化率．(2)瞬时速度．(3)函数在某点处的导数．2．方法归纳：极限法、定义法．3．常见误区：对函数的平均变化率、瞬时变化率及导数概念理解不到位．1．已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy 等于( )A.12 B ．－12 C ．1 D ．－1 答案 B解析 Δy ＝⎝⎛⎭⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 2．函数f (x )＝5x －3在区间[a ，b ]上的平均变化率为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 C解析 平均变化率为f (b )－f (a )b －a ＝5(b －a )b －a＝5.3．一质点的运动方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( ) A ．－3 B ．3 C ．6 D ．－6 答案 D解析 由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在t ＝1时的瞬时速度为lim Δt →0(－3Δt －6)＝－6. 4．已知f (x )＝x 2－3x ，则f ′(0)等于( ) A ．Δx －3 B ．(Δx )2－3Δx C ．－3 D ．0答案 C解析 f ′(0)＝lim Δx →0 (0＋Δx )2－3(0＋Δx )－02＋3×0Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2－3Δx Δx＝lim Δx →0 (Δx －3)＝－3. 5．(多选)设f (x )＝t 2x ，若f ′(1)＝4，则t 的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 AD解析 因为f ′(1)＝lim Δx →0 t 2(1＋Δx )－t 2Δx ＝t 2＝4， 所以t ＝±2.6．函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2，则t ＝________. 答案 5解析 因为函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2， 所以f (t )－f (－2)t －(－2)＝(t 2－t )－[(－2)2－(－2)]t ＋2＝2，即t 2－t －6＝2t ＋4，从而t 2－3t －10＝0， 解得t ＝5或t ＝－2(舍去)．7．一物体位移s 和时间t 的关系是s ＝2t －3t 2，则物体的初速度是________． 答案 2解析 由题意知， lim Δt →0s (t ＋Δt )－s (t )Δt＝lim Δt →0 2(t ＋Δt )－3(t ＋Δt )2－2t ＋3t 2Δt ＝lim Δt →0 2Δt －6t Δt －3(Δt )2Δt ＝2－6t . 当t ＝0时，v ＝2－6×0＝2， 即物体的初速度是2.8．若可导函数f (x )的图象过原点，且满足lim Δx →0 f (Δx )Δx＝－1，则f ′(0)＝__________. 答案 －1解析 ∵f (x )的图象过原点，∴f (0)＝0， ∴f ′(0)＝lim Δx →0f (0＋Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0 f (Δx )Δx ＝－1. 9．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值． 解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx ， ∴f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 a (Δx )2＋2a (Δx )Δx＝lim Δx →0(a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2， ∴a ＝1.10．某物体按照s (t )＝3t 2＋2t ＋4(s 的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4 s 时物体的运动的平均速度和4 s 时的瞬时速度． 解 自运动开始到t s 时，物体运动的平均速度 v (t )＝s (t )t ＝3t ＋2＋4t，故前4 s 物体的平均速度为v (4)＝3×4＋2＋44＝15(m/s)．由于Δs ＝3(t ＋Δt )2＋2(t ＋Δt )＋4－(3t 2＋2t ＋4) ＝(2＋6t )Δt ＋3(Δt )2.ΔsΔt＝2＋6t＋3·Δt，lim Δt→0ΔsΔt＝2＋6t，当t＝4时，limΔt→0ΔsΔt＝2＋6×4＝26，所以4 s时物体的瞬时速度为26m/s.11．(多选)如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是()A．在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度B．在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度C．在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D．在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度答案BC解析在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为v＝s0t0，故A错误，B正确；在t0到t1范围内，甲的平均速度为s2－s0t1－t0，乙的平均速度为s1－s0t1－t0.因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以s2－s0 t1－t0>s1－s0t1－t0，故C正确，D错误．12．A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有()A．两机关节能效果一样好B．A机关比B机关节能效果好C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大答案 B解析由题图可知，A，B两机关用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关用电量在[0，t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率，从而A机关比B 机关节能效果好． 13．设函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1) C.13 f ′(1) D ．f ′(3)答案 C 解析 lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝13f ′(1)．14．如图所示，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．答案 [x 3，x 4]解析 由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上的平均变化率分别为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，f (x 3)－f (x 2)x 3－x 2，f (x 4)－f (x 3)x 4－x 3，结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4]．15．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率为28π3，则m 的值为________． 答案 2解析 体积的增加量ΔV ＝4π3m 3－4π3＝4π3(m 3－1)，所以ΔV ΔR ＝4π3(m 3－1)m －1＝28π3，所以m 2＋m ＋1＝7，所以m ＝2或m ＝－3(舍)．16．若一物体的运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋3(t －3)2，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3.求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体在t ＝1时的瞬时速度．解 (1)因为物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)第 11 页 共 11 页 ＝3×(52－32)＝48，所以物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24 m/s. 即物体在t ∈[3,5]内的平均速度为24 m/s.(2)物体在t ＝1时的瞬时速度即为物体在t ＝1处位移的瞬时变化率， 因为物体在t ＝1附近位移的平均变化率为Δs Δt ＝f (1＋Δt )－f (1)Δt＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3(1－3)2Δt＝3Δt －12， 所以物体在t ＝1处位移的瞬时变化率为lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12， 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。