变化率与导数 数学 优秀课件详解
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变化率与导数的概念PPT课件
同样Δf=Δy=f(x2)-ห้องสมุดไป่ตู้(x1)
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
14
理解：
1，式子中△x 、△ f 的值可正、可负，但△x
值不能为0， △ f 的值可以为0 2，若函数f (x)为常函数时， △ f =0 3, 变式
f (x2 ) f (x1) f (x1 x) f (x1)
秒）存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
h
如何用运动员在某些时
间段内的平均速度粗略
地描述其运动状态?
o
t
11
请计算 0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
h
o
t
在0 t 0.5这段时间里，v h(0.5) h(0) 4.05(m / s) 0.5 0
2、求曲线的切线; 3、求已知函数的最大值与最小值; 4、求长度、面积、体积和重心等。 以上有物理问题和几何问题，牛顿从物理角度发明微积分，莱 布尼兹从几何角度发明微积分。
学习微积分先从哪里开始？ 先学习导数，要学习导数先学习什 么？那就是平均变化率。从平均变化率我们知道导数是个什么东西。
对于四个问题通过具体例子来说明如果函数是二次那可以求最 大值、最小值、切线、面积（旧方法只可以求直线围成的面积，二 次曲线围成的面积原来方法就不行），如果大于二次那原来方法就 力不从心要发明新方法，于是牛顿、莱布尼兹发明了微积分。 6
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映 他在这段时间里运动状态.
13
平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f (x表1) 示 x2 x1
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
14
理解：
1，式子中△x 、△ f 的值可正、可负，但△x
值不能为0， △ f 的值可以为0 2，若函数f (x)为常函数时， △ f =0 3, 变式
f (x2 ) f (x1) f (x1 x) f (x1)
秒）存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
h
如何用运动员在某些时
间段内的平均速度粗略
地描述其运动状态?
o
t
11
请计算 0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
h
o
t
在0 t 0.5这段时间里，v h(0.5) h(0) 4.05(m / s) 0.5 0
2、求曲线的切线; 3、求已知函数的最大值与最小值; 4、求长度、面积、体积和重心等。 以上有物理问题和几何问题，牛顿从物理角度发明微积分，莱 布尼兹从几何角度发明微积分。
学习微积分先从哪里开始？ 先学习导数，要学习导数先学习什 么？那就是平均变化率。从平均变化率我们知道导数是个什么东西。
对于四个问题通过具体例子来说明如果函数是二次那可以求最 大值、最小值、切线、面积（旧方法只可以求直线围成的面积，二 次曲线围成的面积原来方法就不行），如果大于二次那原来方法就 力不从心要发明新方法，于是牛顿、莱布尼兹发明了微积分。 6
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映 他在这段时间里运动状态.
13
平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f (x表1) 示 x2 x1
变化率与导数-PPT
式子
f
(
x2 ) x2
f( x1
x1
)
称为函数f(x)从x1到
x2的平均变化率.
x 若设 y
x2 y2
x1 y1
,
则平均变化率为
y x
这里，我们称△x是相对于x1的一个增量 （也叫做自变量的增量），可用x1+△x代替x2， 同理△y叫做函数值的增量，可用y1+△y代替y2
注意：△x（△y）是一个整体,可正可负！
lim x0 x x0 lim
x
x 0
x
x0 x( x0 x x0 )
lim
1
1
x0 x0 x x0 2 x0
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油的温 度为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原 油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
(3)质点运动规律为s=t2+3,求质点t=3的瞬时速度。
解：(3) s 3 t 2 32 t 2 6t
s t 6 t
s
Vt 3
lim
x 0
t
6
例2、已知函数 y x 在x=x0处附近有定义，
且
f
' x0
1 2 ，求x0的值。
解：f
' x0
lim
x0
f
x0
x
x
f
x0
解：(2) y f 1 x f 1
= 1 x2 1 x (2)
所以平均 变化率为
-x2 x
y 1- x x
y f '(1) lim
变化率与导数、导数的运算 课件
返回
1．曲线 y＝sin x＋ex 在点(0,1)处的切线方程是
()
A．x－3y＋3＝0
B．x－2y＋2＝0
C．2x－y＋1＝0
D．3x－y＋1＝0
解析：因为 y＝sin x＋ex，
所以 y′＝cos x＋ex，
所以 y′|x＝0＝cos 0＋e0＝2， 所以曲线 y＝sin x＋ex 在点(0,1)处的切线方程为 y－1＝
(x ＞ 0) 恒 成 立 ， 所 以
2ax2 ＋ 1≥0(x ＞ 0) 恒 成 立 ， 即
2a≥－
1 x2
(x＞0)恒成立，所以 a≥0，故实数 a 的取值范围为[0，＋∞)．
答案：D
[题“根”探求]
返回
角度(一)是求曲线的切线方程，其关键是理解导数的几何 意义，并能准确求导； 看 角度(二)是求切点坐标，其思路是先求函数的导数，然后 个 让导数值等于切线的斜率，从而得出切线方程或求出切点 性 坐标； 角度(三)是求参数的值(范围)，其关键是列出函数的导数 等于切线斜率的方程
返回 )
返回
5 ． (2017·全 国 卷 Ⅰ ) 曲 线
y
＝
x2
＋
1 x
在
点
(1,2)
处
的
切
线
方
程
为
___________．
解析：因为 y′＝2x－x12，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率
为 y′|x＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为 y－2＝x－1，即 x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
lim
Δx→0
Δy Δx
＝
lim
《变化率和导数》课件
变化率的计算方法
直接代入法
将自变量和因变量的值代入公式 进行计算。
差商法
通过比较函数值的变化量与自变量 的变化量的比值来计算变化率。
极限法
利用极限的概念，将自变量趋近于 某一点时函数值的变化量与自变量 的变化量的比值定义为该点的变化 率。
变化率的实际应用
物理学中的速度和加速度
速度是位置随时间的变化率，加速度 是速度随时间的变化率。
，从而做出更优的决策。
02
供需关系
导数在经济学中还可以用来描述供需关系的变化。例如，需求函数和供
给函数的导数可以用来分析市场价格与需求量或供给量之间的关系，从
而预测市场的变化趋势。
03
最优化问题
在经济学中，最优化问题是一个常见的问题。通过求函数的导数并令其
为零，我们可以找到使函数取得极值的点。这种方法在生产、分配、投
05
总结与展望
总结变化率和导数的知识点
变化率的概念
变化率描述了函数值随 自变量变化的速率，是
导数的基础。
导数的定义
导数表示函数在某一点 的切线斜率，是变化率
的极限形式。
导数的计算方法
包括基本初等函数的导 数、复合函数的导数、
参数方程的导数等。
导数的几何意义
导数等于切线的斜率， 可以用于研究函数的单 调性、极值和拐点等。
THANKS
感谢观看
展望导数在未来的应用和发展
导数的应用
导数在各个领域都有广泛的应用，如经济学 、生物学、物理学等。例如，边际分析、速 度与加速度的研究、最优化的求解等。
导数的未来发展
随着科学技术的发展，导数作为数学的一个 重要分支，将会在理论和应用方面得到更深 入的研究。例如，在人工智能、大数据分析 等领域，导数将发挥更大的作用。同时，随 着数学与其他学科的交叉融合，导数将会在 解决实际问题中发挥更加重要的作用。
《变化率与导数》课件
五、总结
• 变化率与导数的联系与区别 • 导数的应用价值 • 学习导数需要注意的问题
六、Q&A
• 提问环节 • 解答环节
七、参考资料
• 经典教材 • 推荐书目 • 相关网站
解析方式的导数是通过公式求 得的导数，几何方式的导数是 通过像图形函数的斜率来求得 的导数。
四、导数的应用
切线和割线
极值点
切线是函数曲线上点的切线，割 线是通过两点间的曲线段值的点，可以通过导数判断。
单调性与凹凸性
函数的单调性描述了函数值的变 化趋势，凹凸性描述了曲线的弯 曲程度。
《变化率与导数》PPT课 件
# 变化率与导数 PPT课件
一、引言
- 变化率的概念：变化率是指某个量在单位时间内的变化量，它反映了事物变 化的快慢和趋势。
- 导数的引入：导数是描述函数变化率的工具，它告诉我们函数在某个点上的 斜率或切线的斜率。
二、函数的变化率
1
平均变化率
平均变化率是函数在某个区间内的平均速度，可以通过两点间的纵坐标差值除以 横坐标差值来计算。
2
瞬时变化率
瞬时变化率是函数在某个点上的瞬时速度，即经过该点的切线的斜率，可以通过 极限的方法计算。
三、导数的定义
函数在一点的导数
导数是函数在某个点上的变化 率，可以通过求斜率的极限来 计算。
左导数和右导数
左导数是函数在某点左侧的变 化率，右导数是函数在某点右 侧的变化率，它们可以不相等。
解析方式的导数与几 何方式的导数
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v
h(2 t ) h(2) (2 t ) 2 4.9t 13 .1
取较小的 t 值代入计算
思考：
1、任取某一时刻 t 0， 当△ t 趋近于0时 , 其瞬时速度怎样表示？ 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于
t0 t ) h(t0 ) 2的一边趋近于2时h , (平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. lim t 0 t 从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度 2、函数f(x)在x0处的瞬时变化率怎样表示？ 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时 y f x 0 x －f x 0 的瞬时速度是 – 13.1m/s. lim lim
1.1 变化率与导数
陈琦
这是我国的某年的人均收入：
时间 x(年)
人均GDP y(美元)
2000 2002 856 1100
2006 2010
研究丰富多彩的变化率问题
平均变化率
瞬时变化率
问题一：气球膨胀率
气球的体积 V（L）与半径 r (dm)之间 的函数关系： 4 3V 3 3 r (V ) V r 4 3
二比 一差解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是 f ( 2)和 f (6). 根据导数的定义, 2 4 x ( x ) 7x f (2 x) f (2) x 3 x x y lim (x 3) 3. 所以, f (2) lim x 0 x x 0 同理可得 f (6) 5.
f (x ) f (x ) 2 1 x x 2 1
我们把这个式子称为函数 y f ( x) 从 x1 到 x2 的 平均变化率（average rate of change). 习惯上用 x 表示 x2 x1 ，即x x2 x1 ,类似
的
为
y f ( x2 ) f ( x1) .于是，平均变化率可以表示
h(t) 4.9t 2 6.5t 1 0
t 0
t 0
t 0时, 在 2 t， 2
t 0时, 在 2， 2 t
这段时间内的平均速度
这段时间内的平均速度
v
h(2) h(2 t ) 2 (2 t ) 4.9t 13 .1
f ( x0 )与x的 具体取无关
ห้องสมุดไป่ตู้
导数的几何意义:
（几何画板演示）
函数 f ( x ) 在 x x0 处的导数就是切线的
斜率 k ，即
k lim
f ( x0 Δx) f ( x0 ) x
x 0
f ( x0 )
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原 油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
增加单位体积， 半径的改变量
(1)体积从 0L增加到 1L，半径增加r(1) r(0) 0.6 2(d m)
平均膨胀率 r (1) r (0) 0.62(dm / L) 1 0
(2)体积从 1L增加到 2L，半径增加 r(2) r(1) 0.1 6(d m)
平均膨胀率 r (2) r (1) 0.16(dm / L) 2 1
x 0
x
x 0
x
为了表述方便 , 我们用 h2 t h2 lim 13 .1 t 0 t 表示" 当t 2, t 趋近于 0时, 平均速度 v 趋近于确 定值 13 .1".
导数的定义 : 瞬时变化率与导数是同
一概念的两个名称。
一般的，函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和 5. 它说 三极限 明在第2h附近, 原油温度大约以3 C / h的速率下降; 在第6h附近, 原油温度大约以5 C / h的速率上升.
例 2.求f (x) 3x 2 5在x 0处的导数 .
解法一： 一差二比三极限
f (0) 0
f ( x0 )与x0的值有关， f ( x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x 0 x 不x0其导数值一般也 x 不相同 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
y |x x0
f ( x0 Δx) f ( x0 ) f ( x0 ) lim . x 0 x
r (V )
3
3V 4
h(t) 4.9t 2 6.5t 1 0
y f ( x)
体积从1L增加到 2L的 平均膨胀率
在0 t 0.5这段时间 里的平均速度
从x1到x2的
平均变化率
r (2) r (1) 2 1
h(0.5) h(0) v 0.5 0
f (x ) f (x ) 2 1 x x 2 1
问题二：高台跳水
运动员相对于水高度 h(m)与起跳后的 时间 t (s)存在函数关系： h(t ) 4.9t 2 6.5t 10
(1)在 0 t 0.5这段时间里平均速度：
h(0.5) h(0) v 4.05(m / s) 0.5 0 (2)在 1 t 2这段时间里平均速度： h(2) h(1) v 8.2(m / s) 2 1
y x
.
平均变化率的几何意义
对任意函数 y f ( x) ，做过其上任意两点的割线. 不妨以 f (x) 4.9x2 6.5x 1 0 为例.
（几何画板演示）
研究丰富多彩的变化率问题
平均变化率
瞬时变化率
求t=2s时的瞬时速度，先考察t=2附近的情
况.在t=2附近任取一个时刻 2 t .