高中数学-变化率与导数、导数的计算

高中数学-变化率与导数、导数的计算
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.f′(x)是函数f(x)=x3+2x+1的导函数,则f′(-1)的值为( )
A.0
B.3
C.4
D.-
【解析】选B.因为f(x)=x3+2x+1,
所以f′(x)=x2+2.
所以f′(-1)=3.
2.已知函数f(x)=cos x,则f(π)+f′= ( )
A.-
B.-
C.-
D.-
【解析】选C.因为f′(x)=-cos x+(-sin x),
所以f(π)+f′=-+·(-1)=-.
3.(·吉林模拟)已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率
为( )
A.e
B.-e
C.
D.-
【解析】选C.y=ln x的定义域为(0,+∞),且y′=,设切点为(x0,ln x0),则y′=,切线方程为
y-ln x0=(x-x0),因为切线过点(0,0),所以-ln x0=-1,解得x0=e,故此切线的斜率为.
【变式备选】曲线y=e x在点A(0,1)处的切线斜率为( )
A.1
B.2
C.e
D.
【解析】选A.由题意知y′=e x,故所求切线斜率k=e x=e0=1.
4.(·沈阳模拟)若曲线y=x3+ax在坐标原点处的切线方程是2x-y=0,则实数a= ( )
A.1
B.-1
C.2
D.-1
【解析】选C.导数的几何意义即为切线的斜率,由y′=3x2+a得在x=0处的切线斜率为a,所以a=2.
【变式备选】直线y=x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b的值
为( )
A.2
B.ln 2+1
C.ln 2-1
D.ln 2
【解析】选C.y=ln x的导数为y′=,由=,解得x=2,所以切点为(2,ln 2).将其代入直线方程y=x+b,可得b=ln 2-1.
5.已知f(x)=2e x sin x,则曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为( )
A.y=0
B.y=2x
C.y=x
D.y=-2x
【解析】选B.因为f(x)=2e x sin x,所以f(0)=0,f′(x)=2e x·(sin x+cos x),所以f′(0)=2,所以曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.
6.设曲线y=在点处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等
于( )
A.-1
B.
C.-2
D.2
【解析】选A.因为y′=,所以y′=-1,
由条件知=-1,所以a=-1.
7.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于 ( )
A.2
B.-1
C.1
D.-2
【解析】选C.依题意知,y′=3x2+a,
则由此解得
所以2a+b=1.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.若曲线y=2x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则切线l的方程为________________.
【解析】设切点为(x0,y0),y′=4x,则4x0=4⇒x0=1,所以y0=2,所以切线方程为:y-2=4(x-1)⇒4x-y-2=0.
答案:4x-y-2=0
9.(·长沙模拟)若函数f(x)=ln x-f′(-1)x2+3x-4,则f′(1)=________.
【解析】因为f′(x)=-2f′(-1)x+3,
所以f′(-1)=-1+2f′(-1)+3,
解得f′(-1)=-2,所以f′(1)=1+4+3=8.
答案:8
10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)+f(1+x)=2,且当x>1时,f(x)=xe2-x,则曲线y=f(x)在x=0处的切线方程是________.
【解析】因为f(x)满足f(1-x)+f(1+x)=2,
所以y=f(x)的图象关于点(1,1)对称.
当x<1时,取点(x,y),该点关于(1,1)的对称点是(2-x,2-y),
代入f(x)=xe2-x可得:
2-y=(2-x)e2-(2-x),
所以y=2-(2-x)e x=xe x,
y′=(x+1)e x,y′|x=0=1,
所以切线方程为y=x,即x-y=0.
答案:x-y=0
1.(5分)已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=2x2-7x+6,则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程是 ( )
A.y=2x-1
B.y=x
C.y=3x-2
D.y=-2x+3
【解析】选C.令x=1得f(1)=1,令2-x=t,可得x=2-t,代入f(2-x)=2x2-7x+6得f(t)=2(2-t)2-7(2-t)+6,化简整理得f(t)=2t2-t,即f(x)=2x2-x,所以f′(x)=4x-1,所以f′(1)=3.
所以所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.
【巧思妙解】选C.令x=1得f(1)=1,由f(2-x)=2x2-7x+6,两边求导可得f′(2-x)·(2-x)′=4x-7,令x=1可得-f′(1)=-3,即f′(1)=3.
所以所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.
2.(5分)(·上饶模拟)若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2距离的最小值为
( )
A.1
B.
C.
D.
【解析】选B.对于曲线y=x2-ln x上任意一点P,当过该点的切线斜率与直线y=x-2的斜率相同时,点P到直线的距离最小.
因为定义域为(0,+∞),所以y′=2x-=1,解得x=1,则在P(1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的
距离为d==.
【变式备选】曲线y=ln(2x)上任意一点P到直线y=2x的距离的最小值是________.
【解析】如图,所求最小值即曲线上斜率为2的切线与y=2x两平行线间的距离,
也即切点到直线y=2x的距离.由y=ln(2x),
则y′==2,得x=,y=ln =0,
即与直线y=2x平行的曲线y=ln(2x)的切线的切点坐标是,y=ln(2x)上任意一点P到直线y=2x的距离的最小值,即=.
答案:
3.(5分)(·沧州模拟)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,则a的值为________.
【解析】易知点O(0,0)在曲线f(x)=x3-3x2+2x上,
(1)当O(0,0)是切点时,切线方程为y=2x,则联立y=2x和y=x2+a得x2-2x+a=0,
由Δ=4-4a=0,解得a=1.
(2)当O(0,0)不是切点时,设切点为P(x0,y0),则y0=-3+2x0,且k=f′(x0)=3-6x0+2.①
又k==-3x0+2,②
由①,②联立,得x0=(x0=0舍),
所以k=-,
所以所求切线l的方程为y=-x.
由得x2+x+a=0.
依题意,Δ′=-4a=0,所以a=.
综上,a=1或a=.
答案: 1或
【易错警示】(1)片面理解“过点O(0,0)的直线与曲线f(x)=x3-3x2+2x相切”.这里有两种可能:一是点O 是切点;二是点O不是切点,但曲线经过点O,解析中易忽视后面情况.
(2)本题还易出现以下错误:一是当点O(0,0)不是切点,无法与导数的几何意义沟通起来;二是盲目设直线l 的方程,导致解题复杂化,求解受阻.
4.(12分)已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程.
(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.
【解析】(1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.
因为f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1,
所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f′(2)=13.
所以切线的方程为y+6=13(x-2),即y=13x-32.
(2)设切点坐标为(x0,y0),
则直线l的斜率k为f′(x0)=3+1,
y0=+x0-16,
所以直线l的方程为y=(3+1)(x-x0)++x0-16.
又因为直线l过原点(0,0),
所以0=(3+1)(-x0)++x0-16,整理得,
=-8,所以x0=-2,
所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,得切点坐标为(-2,-26),k=3×(-2)2+1=13.
所以直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
5.(13分)已知函数f(x)=x-1+(a∈R,e为自然对数的底数).
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值.
(2)当a=1时,若直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)相切,求l的直线方程.
【解析】(1)f′(x)=1-,因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,
所以f′(1)=1-=0,解得a=e.
(2)当a=1时,f(x)=x-1+,f′(x)=1-. 设切点为(x0,y0),
因为f(x0)=x0-1+=kx0-1,①
f′(x0)=1-=k,②
①+②得x0=kx0-1+k,即(k-1)(x0+1)=0.
若k=1,则②式无解,所以x0=-1,k=1-e.
所以l的直线方程为y=(1-e)x-1.。