导数的几种计算导数的几种计算1

二、新课——几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 公式1: C 0 (C为常数) .
nx n1 (n Q) . 公式2: ( x )
n
公式3: (sin x ) cos x . 公式4:
(cos x ) sin x
1 例1:求过曲线y=cosx上点P( 3 , 2 )且与过这点的切线垂 直的直线方程.
2 3 即2 x 3 y 0. 3 2
注:满足条件的直线称为曲线在P点的法线.
例2:如图,质点P在半径为10cm的圆上逆时针做匀角速 运动,角速度1rad/s,设A为起始点,求时刻t时,点P在 y y轴上的射影点M的速度. 解:时刻t时,因为角速度1rad/s, M P 所以 POA 1 t t rad .
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
| b ( 4 ) | 32 1 10 | b 4 | 10, b 6或b 14;
故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.
四、小结与作业
1.要切实掌握四种常见函数的导数公式:(1) c 0 (c为常 数;(2)( x ) x 1 ( R);(3) (sin x ) cos x;(4) (cos x ) sin x. 2.对于简单函数的求导,关键是合理转化函数关系式为 可以直接应用公式的基本函数的模式. 3.能结合直线的知识来解决一些与切线有关的较为综 合性问题. 4.作业:p.233~234课后强化训练.
0
4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率. 5.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
MPO POA t rad;
OM OP sinMPO 10sint;
故点M的运动方程为:y=10sint.
O
A x
v y (10sint ) Biblioteka Baidu0cos t .
故时刻t时,点P在 y轴上的射影点M的速度为10cost cm/s.
例3:已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条 曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线 互相垂直?并说明理由. 解:设存在一个公共点P(x0,y0)满足题设条件. 由y (sin x ) cos x , 得y | x x0 cos x0 ;
由y (cos x ) sin x , 得y | x x0 sin x0 ;
由两条曲线的切线在点P互相垂直,则cosx0(-sinx0) =-1,得sinx0cosx0=1,即sin2x0=2. 这不可能,所以不存在满足题设条件的一个点.
2 练习1:曲线y=sinx在点P( , 4 2
解： y cos x , y sin x , y |
3 故曲线在点 ( , )处的切线斜率为 P ， 3 2 2 2 从而过P点且与切线垂直的直线 的斜率为 ； 3 1 2 所求的直线方程为 y ( x ), 2 3 3
三、例题选讲
1
3 . sin x x 2 3
)处的切线的倾斜角为
2 arctan 2 ___________.
1 例4:已知曲线 y 3 在点P(1,1)处的切线与直线m平行且 x
距离等于 10 ,求直线m的方程.
1 1 解：y 3 , y ( 3 ) ( x 3 ) 3 x 4 ; x x
曲线在P (1,1)处的切线的斜率为 y | x 1 3, k 从而切线方程为 1 3( x 1), 即3 x y 4 0. y
(1)求函数的增量 y f ( x x ) f ( x ); ( 2)求函数的增量与自变量 的增量的比值: y f ( x x ) f ( x ) ; x x y ( 3)求极限，得导函数 f ( x ) lim y . x 0 x
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的 导数. 3.函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f (x )在x= x0处的函数值,即 f ( x0 ) f ( x ) | x x .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。
几种常见函数的 导 数
一、复习
1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同 的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式——导数,导数源于实践,又服务于实践. 2.求函数的导数的方法是: