导数的几种计算导数的几种计算1
知识讲解-导数的计算-基础(1)
导数的计算【学习目标】 1. 牢记几个常用函数的导数公式，并掌握其推导过程。
2. 熟记八个基本初等函数的导数公式，并能准确运用。
3. 能熟练运用四则运算的求导法则，4. 理解复合函数的结构规律，掌握求复合函数的求导法则：“由外及内，层层求导”．【要点梳理】知识点一：基本初等函数的导数公式（1）()f x C =（C 为常数），'()0f x = （2）()nf x x =（n 为有理数），1'()n f x n x -=⋅（3）()sin f x x =，'()cos f x x = （4）()cos f x x =，'()sin f x x =- （5）()xf x e =，'()xf x e =（6）()xf x a =，'()ln xf x a a =⋅（7）()ln f x x =，1'()f x x = （8）()log a f x x =，1'()log a f x e x =。
要点诠释：1．常数函数的导数为0，即C ＇=0（C 为常数）．其几何意义是曲线()f x C =（C 为常数）在任意点处的切线平行于x 轴．2．有理数幂函数的导数等于幂指数n 与自变量的（n －1）次幂的乘积，即1()'nn x nx-=（n ∈Q ）．特别地211'x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，=。
3．正弦函数的导数等于余弦函数，即（sin x ）＇=cos x ．4．余弦函数的导数等于负的正弦函数，即（cos x ）＇=－sin x ．5．指数函数的导数：()'ln xxa a a =，()'xxe e =． 6．对数函数的导数：1(log )'log a a x e x =，1(ln )'x x=． 有时也把1(log )'log a a x e x = 记作：1(log )'ln a x x a=以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．知识点二：函数的和、差、积、商的导数运算法则：（1）和差的导数：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=± （2）积的导数：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=+（3）商的导数：2()'()()()'()[]'()[()]f x f xg x f x g x g x g x ⋅-⋅=（()0g x ≠） 要点诠释：1. 上述法则也可以简记为：（ⅰ）和（或差）的导数：()'''u v u v ±=±， 推广：1212()''''n n u u u u u u ±±±=±±±．（ⅱ）积的导数：()'''u v u v uv ⋅=+， 特别地：()''cu cu =（c 为常数）．（ⅲ）商的导数：2'''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠⎪⎝⎭， 两函数商的求导法则的特例 2()'()()()'()'(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦， 当()1f x =时，2211'()1'()'()'(()0)()()()g x g x g x g x g x g x g x ⎡⎤⋅-⋅==-≠⎢⎥⎣⎦． 这是一个函数倒数的求导法则．2．两函数积与商求导公式的说明（1）类比：()'''uv u v uv =+，2'''u u v uv v v -⎛⎫=⎪⎝⎭（v ≠0），注意差异，加以区分． （2）注意：'''u u v v ⎛⎫≠⎪⎝⎭且2'''u u v uv v v +⎛⎫≠ ⎪⎝⎭（v ≠0）． 3．求导运算的技巧在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量．知识点三：复合函数的求导法则 1．复合函数的概念对于函数[()]y f x ϕ=，令()u x ϕ=，则()y f u =是中间变量u 的函数，()u x ϕ=是自变量x 的函数，则函数[()]y f x ϕ=是自变量x 的复合函数．要点诠释： 常把()u x ϕ=称为“内层”， ()y f u =称为“外层” 。
导数的计算方法
导数的计算方法导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在实际问题中，导数的计算方法对于求解各种问题具有重要的意义。
本文将介绍导数的计算方法，包括基本导数公式、导数的几何意义以及常见函数的导数计算方法。
首先，我们来看一下基本的导数公式。
对于函数y=f(x)，它在点x处的导数可以表示为f'(x)，即函数f(x)的导数。
常见的基本导数公式包括：1.常数函数的导数，如果f(x)是一个常数函数，那么它的导数为0，即f'(x)=0。
2.幂函数的导数，对于幂函数f(x)=x^n，它的导数为f'(x)=nx^(n-1)。
3.指数函数的导数，指数函数f(x)=a^x（a>0且a≠1）的导数为f'(x)=a^x ln(a)。
4.对数函数的导数，对数函数f(x)=log_a(x)的导数为f'(x)=1/(xln(a))。
5.三角函数的导数，常见三角函数sin(x)、cos(x)、tan(x)的导数分别为cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)。
这些基本的导数公式是我们计算导数时的基础，掌握这些公式能够帮助我们更快更准确地计算各种函数的导数。
其次，我们来谈谈导数的几何意义。
在几何学中，导数可以理解为函数图像在某一点处的切线斜率。
具体地说，如果函数y=f(x)在点x处可导，那么它在该点的导数f'(x)就是函数图像在该点处切线的斜率。
这意味着导数可以帮助我们理解函数图像在不同点处的变化情况，从而更好地理解函数的性质和特点。
最后，我们来讨论一些常见函数的导数计算方法。
对于常见的函数，我们可以利用基本导数公式和导数的性质来计算它们的导数。
例如，对于多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等，我们可以根据它们的导数公式来计算它们的导数。
此外，我们还可以利用导数的性质，如导数的和、差、积、商规则，来简化导数的计算过程，从而更快更准确地求得函数的导数。
总之，导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
高等数学导数的四则运算法则
(e x ) e x .
例5 求函数 y loga x(a 0, a 1)的导数.
解 y lim loga ( x h) loga x
由导数的几何意义, 得切线斜率h为0
h
交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
h 作变速直线运动的质点在某一时刻t的瞬时速度问题
log (1 ) 导数的实质: 增量比的极限;
y x
f ( x0 )
0 (x 0) y f ( x0 )x x
lim
x 0
y
lim [
x 0
f
(
x0
)x
x]
0
函数
f
( x)在点
x
连续
0
.
注意: 该定理的逆定理不成立 (连续函数未必可导).
举例
x2, x 0
f (x)
,
x, x 0
y
y x2
yx
在 x 0处不可导,
C C
lim
h0 h
0.
即 (C ) 0.
例2 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
lim
h0
cos( x
h) 2
sin h 2
h
cos
x.
2
即 (sin x) cos x.
h
h
lim f (0 h) f (0) lim h 1,
h0
h
h h 0
y y x
o
x
lim f (0 h) f (0) lim h 1.
h0
h
导数的几种解法
导数的几种解法摘要：导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
通过熟练掌握这些方法，我们可以计算各种函数的导数，并应用导数来分析函数的性质和解决实际问题。
求导在数学和科学的各个领域都有广泛应用，为我们理解变化规律、优化问题和建模提供了强大的工具。
持续学习和探索微积分的知识，将帮助我们更好地理解和应用求导技术。
为了求解导数，我们可以采用多种不同的方法和技巧，本文将介绍导数的几种常见解法。
关键词：高中数学；导数；常见解法引言：高中数学中，导数是一个重要的概念和计算方法。
对于函数的导数，有多种解法可以应用。
每种解法都有其独特的适用场景和计算方式，能够帮助我们更好地理解和运用导数的概念。
通过熟练掌握和灵活运用这些解法，我们可以更精确地求解函数的导数，进而应用到各种实际问题中，提高数学问题的解决能力。
一、基本求导方法导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点处的变化率。
在数学上，导数可以通过极限的概念来定义，表示函数在某一点附近的斜率。
几何上，导数可以解释为函数图像在某一点处的切线斜率。
物理上，导数可以表示物体在某一时刻的速度或加速度。
导数的计算可以采用多种方法，以下是几种基本的求导方法。
一种常见的方法是使用定义法求导。
根据导数的定义，导数可以通过极限的方式来计算。
具体来说，对于一个函数f(x)，它在某个点x=a处的导数可以通过计算极限lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h 来求得。
这种方法需要对极限的概念和计算方法有一定的了解，并且在具体计算时需要进行一系列的代数运算。
例如，对于函数f(x) = x^2，在x=2处的导数可以通过计算lim(h→0) [(2+h)^2 -2^2] / h来得到。
另一种常用的方法是利用常见的导数规则来求导。
导数规则是一些已知的函数导数的性质和规律，可以帮助我们快速计算复杂函数的导数。
常见的导数规则包括幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数等。
导数与微分的计算
导数与微分的计算计算导数和微分是微积分学中的重要概念和技巧。
导数和微分的计算涉及多种方法和公式，本文将介绍其中的几种常见方法，并通过例子来说明具体计算的步骤和技巧。
一、导数的计算方法导数是用来描述函数在某一点的变化率的概念，计算导数的方法有几种：1. 用极限定义计算导数根据导数的定义，对于函数f(x)，其在点x=a处的导数f'(a)可以通过以下极限计算得到：f'(a) = lim┬(h→0)〖(f(a+h)-f(a))/h〗其中，h是一个无限趋近于0的实数。
2. 使用导数的性质进行计算导数具有一些性质，如导数的加减乘除法则和链式法则等，利用这些性质可以简化导数的计算过程。
例如，如果已知函数f(x)和g(x)的导数分别为f'(x)和g'(x)，那么可以利用加减法则计算复合函数的导数： (f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)同样，利用乘法法则可以计算两个函数相乘的导数：(f(x)·g(x))' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)二、微分的计算方法微分是函数在某一点的线性近似，计算微分的方法有以下两种：1. 使用导数进行微分计算根据微分的定义，函数f(x)在点x=a处的微分df可以表示为： df = f'(a)·dx其中，dx是自变量的增量。
2. 利用微分的性质进行计算微分具有一些性质，如微分的线性性和链式法则等，利用这些性质可以简化微分的计算过程。
例如，如果已知函数f(x)和g(x)的微分分别为df和dg，那么可以利用线性性计算复合函数的微分： d(f(x)±g(x)) = df±dg同样，利用链式法则可以计算复合函数的微分：d(f(g(x))) = f'(g(x))·dg三、导数与微分的计算举例下面通过几个例子来具体说明导数与微分的计算过程和技巧：例1：计算函数f(x) = x²在点x=2处的导数和微分。
导数的四则运算法则
这个法则可以推广到任意有限个函数， 即
( f 1 f 2 f n ) ' f 1 ' f 2 ' f n '
例 1.(1)求函 f(x) 数 x2sixn 的导 .
解： f(x)(x2sinx)
(x2)(sixn)2xcoxs
(2)求函 g(x)数 x33x26x2的导 . 2
4 x (3 x 2 ) (2 x 2 3 )3 1x828x9
法二： y(6x34x29x6)
1x828x9
3. y x2 的导数 sinx
解y： ' (x2)'sisxn i2n xx2(sx i)n '
2xsinxx2coxs sin2 x
例5:求曲线y=x3+3x－8在x=2处的切 线的方程.（备选）
yax(a0,a1),yloagx(a0,a1), ysinx,ycoxs,ytanx,ycoxt.
3.导数应用的注意事项：
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数 的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在 求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构 特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导 数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的 要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形 式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时 速度等问题.
解： f (x) (x3 3x 8) 3x2 3， k f (2) 3 22 3 15， 又 切 线 过 点(2,6)， 切线方程为: y 6 15(x 2)， 即：15x y 24 0．
1.导数的四则运算法则是什么? 2.几个常用的函数的导数是什么?
yc(c是常),y数 x(为实),数
函数的导数与导函数的计算方法
函数的导数与导函数的计算方法函数的导数是微积分中非常重要的概念之一，它描述了函数在各个点上的变化率。
导数的计算方法有多种，本文将介绍常见的几种方法，并且讨论如何计算导函数。
一、导数的定义及基本性质导数描述了函数在某一点上的变化率，它的定义如下：对于函数y=f(x)，在点x=a处的导数可以表示为f'(a)，其定义为：f'(a) = lim┬(h→0)(f(a+h)-f(a))/h导数具有以下几个基本性质：1. 常数函数的导数为0：如果f(x) = c，其中c为常数，那么f'(x) = 0。
2. 幂函数的导数：对于幂函数f(x) = x^n，其中n为自然数，f'(x) = nx^(n-1)。
3. 求和的导数：对于两个函数f(x)和g(x)，有(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)。
二、导数的计算方法在实际计算导数时，我们可以利用一些常见的导数计算方法。
1. 函数求导法则：导数的计算可以利用函数的求导法则，包括常数乘法法则、和差法则、乘积法则和商法则。
2. 链式法则：如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过链式法则计算，即dy/dx = dy/du * du/dx3. 隐函数求导：对于隐含在方程中的函数，可以通过隐函数求导法则来计算导数。
4. 参数方程求导：对于参数方程x=f(t)和y=g(t)，可以通过参数方程求导法则来计算导数。
三、导函数的计算方法导函数是指原函数的导数，为了计算导函数，是要通过导数的计算方法来求得。
导函数的计算方法如下：1. 对于常数函数，导函数为0。
2. 对于多项式函数，可以使用幂函数的导数计算方法来求导。
3. 对于指数函数和对数函数，可以使用指数导数法则和对数导数法则来求导。
4. 对于三角函数和反三角函数，可以使用三角函数的导数法则和反三角函数的导数法则来求导。
5. 对于复合函数，可以使用链式法则来计算导函数。
导数的计算方法
导数的计算方法导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在实际问题中，导数的计算方法可以帮助我们分析函数的特性，解决各种问题。
下面我们将介绍几种常见的导数计算方法。
一、基本导数公式。
1.1 导数的定义。
在介绍导数的计算方法之前，我们先来回顾一下导数的定义。
对于函数y=f(x)，它在点x处的导数可以定义为：f'(x) = lim (Δx→0) [f(x+Δx)-f(x)] / Δx。
其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
这个定义可以帮助我们理解导数的几何意义，即切线的斜率。
1.2 基本导数公式。
在实际计算中，我们经常会用到一些基本的导数公式。
这些公式可以帮助我们快速计算各种函数的导数，其中一些常见的导数公式包括：（1）常数函数的导数公式，若y=c，其中c为常数，则y'=0。
（2）幂函数的导数公式，若y=x^n，其中n为常数，则y'=nx^(n-1)。
（3）指数函数的导数公式，若y=a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，则y'=a^x ln(a)。
（4）对数函数的导数公式，若y=log_a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1，则y' = 1 / (x ln(a))。
（5）三角函数的导数公式，若y=sin(x)，则y'=cos(x)；若y=cos(x)，则y'=-sin(x)；若y=tan(x)，则y'=sec^2(x)。
以上是一些基本的导数公式，掌握这些公式可以帮助我们快速计算各种函数的导数。
二、导数的计算方法。
2.1 使用导数的定义。
在一些特殊情况下，我们可以使用导数的定义来计算函数的导数。
例如，对于一些复杂的函数或者无法直接套用基本导数公式的函数，我们可以利用导数的定义进行计算。
这种方法可能会比较繁琐，但在某些情况下是非常有效的。
2.2 利用导数的性质。
导数具有一些特性和性质，我们可以利用这些性质来简化导数的计算。
高二数学 人教版导数的四则运算法则
[方法总结] 本题事实上可用数列中的错位相减法求和解 决，若利用导数转化，则可成为等比数列求和问题，从而简化 运算．求解时要注意需对x是否等于1分类讨论．
求满足下列条件的函数f(x)： (1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3， f′(2)＝0； (2)f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.
第一章 导数及其应用
第一章 1.2 导数的运算
第3课时 导数的四则运算法则
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
课前自主预习
• 其实，导数和实数一样可以进行四则运算， 我们可以通过导数的加、减、乘、除来计算 由基本初等函数通过加减乘除构成的函数， 这样我们就避免了使用导数的定义求复杂函 数的导数，使运算变得简单.
•复合函数的导数
求下列函数的导数．
(1)y＝sin3x；(2)y＝ 3－x.
[分析] 解答本题要严格按照复合函数求导方法进行．
[解析] (1)设y＝sinu，u＝3x，
则y′x＝y′u·u′x＝cosu·3＝3cos3x.
(2)设y＝ u，u＝3－x，
则y′x＝y′u·u′x＝2 1 u·(－1)＝－2
已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)·…·(x－2015)，则f′(0)＝ ________.
[答案] －(1×2×3×…×2015) [解析] 依题意，设g(x)＝(x－1)(x－2)·…·(x－2015)， 则f(x)＝x·g(x)，f′(x)＝[x·g(x)]′＝g(x)＋x·g′(x)， 故f′(0)＝g(0)＝－(1×2×3×…×2015)．
(3)解法1：y′＝xx－ ＋11′＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′ ＝x＋1x＋－1x2－1＝x＋212 . 解法2：∵y＝1－x＋2 1，∴y′＝1－x＋2 1′＝－x＋2 1′ ＝－2′x＋x1＋－122x＋1′＝x＋212 .
导数的定义与计算方法
导数的定义与计算方法导数是微积分中的重要概念之一，用于研究函数的变化率和曲线的切线斜率。
本文将从导数的定义入手，介绍导数的计算方法，并给出一些例题来帮助读者更好地理解和应用导数。
一、导数的定义在数学上，给定一个函数y=f(x)，其导数定义为函数在某一点x处的变化率。
导数可以用极限来表示，即：f'(x) = lim Δx→0 (f(x+Δx) - f(x))/Δx其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，Δx为自变量的增量。
导数的值可以表示函数在该点的切线斜率，即函数曲线在该点处的速率。
二、导数的计算方法导数的计算方法有多种，下面列举几种常见的：1. 基本导数公式对于常见的基本函数，存在一些导数的基本公式，如：- 常数函数导数为零：d/dx(c) = 0，其中c为常数；- 幂函数导数为功率减一：d/dx(x^n) = nx^(n-1)，其中n为常数；- 指数函数导数等于自身：d/dx(e^x) = e^x；- 对数函数导数为倒数：d/dx(ln(x)) = 1/x。
通过应用基本导数公式，可以计算更复杂函数的导数。
2. 导数的四则运算规则对于已知的函数f(x)和g(x)，导数的四则运算规则如下：- 和差法则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)- 积法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)- 商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2以上规则为导数的基本运算规则，可以根据需要进行组合和推广。
3. 链式法则如果函数y=f(g(x))是由两个函数复合而成，那么它的导数可以用链式法则来计算。
链式法则可以表示为：d/dx(f(g(x))) = f'(g(x)) * g'(x)通过链式法则，可以求解更复杂的复合函数的导数，进一步扩展了导数的计算方法。
导数的计算
第二讲 导数的计算教学目的：熟练掌握初等函数导数的计算方法重 点：导数的计算公式和运算法则难 点：复合函数和隐函数的导数在一般情况下，直接利用定义求导数是极为复杂的． 为能方便地求得一般函数的导数，需要建立求导的基本法则和公式，借助它们能较容易地解决初等函数的导数计算问题．1．导数的四则运算定理1 若函数，都在点处可导，则有(ⅰ)；(ⅱ)；(ⅲ)， ．特别，当(为常数)时，有(ⅳ)；(ⅴ)． 证明 (ⅰ)设，则由导数定义可得．即． 同理可推得． 也就是说，两个可导函数之和(差)的导数等于这两个函数的导数之和(差)． (ⅱ)设，因为存在，从而在点处连续，有．则由导数定义可得)(x u u =)(x v v =x )()())()((x v x u x v x u '±'='±)()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'=')()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0)(≠x v ()u x c =c [()]()cv x cv x ''=)()()(2x v x v c x v c '-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()()(x v x u x f +=x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0x x v x u x x v x x u x ∆--∆++∆+=→∆)()()()(lim 0))()()()((lim 0xx v x x v x x u x x u x ∆-∆++∆-∆+=→∆x x v x x v x x u x x u x x ∆-∆++∆-∆+=→∆→∆)()(lim )()(lim 00)()(x v x u '+'=)()())()((x v x u x v x u '+'='+)()())()((x v x u x v x u '-'='-)()()(x v x u x f =)(x v ')(x v x )()(lim 0x v x x v x =∆+→∆0()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆x x v x u x x v x x u x ∆-∆+∆+=→∆)()()()(lim 0．也就是说，两个可导函数乘积的导数等于一个因子的导数乘以另一个因子，再加上这个因子乘以另一个因子的导数．注意 两个可导函数乘积的导数不等于这两个函数导数的乘积，即．(ⅲ)设，与(ⅱ)类似利用的连续性，由导数定义得．也就是说，两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母的乘积减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方．推论 利用数学归纳法可将以上法则推广到有限个可导函数的和(差、积)的情形：(ⅵ)．(ⅶ)．例1 设解例2 求函数的导数． 解．x x v x u x x v x u x x v x u x x v x x u x ∆-∆++∆+-∆+∆+=→∆)()()()()()()()(lim 0])()()([lim )]()()([lim 00x x v x x v x u x x v x x u x x u x x ∆-∆++∆+∆-∆+=→∆→∆x v x u x x v x u x x x ∆∆+∆+⋅∆∆=→∆→∆→∆000lim )()(lim lim )()()()(x v x u x v x u '+'=v u uv ''≠')(=)(x f )()(x v x u )(x v x x v x u x x v x x u x f x ∆-∆+∆+='→∆)()()()(lim )(0x x v x x v x x v x u x v x x u x ∆∆+∆+-∆+=→∆)()()()()()(lim 0)()()()()()()()()()(lim 0x v x x v x x v x u x x v x u x x v x u x v x x u x ∆+∆-∆+-∆-∆+=→∆)(lim )()()(lim )()()(lim )(000x x v x v x x v x x v x u x x u x x u x v x x x ∆+∆-∆+-∆-∆+=→∆→∆→∆)()()()()(2x v x v x u x v x u '-'=n n u u u u u u '±±'±'='±±± 2121)(n n n n u u u u u u u u u u u u '++'+'=' 21212121)(42234sin 2,.x x x y y x -+'=求2234sin 2.y x x x -=-+223()4(sin )2()y x x x -''''=-+364cos 4.x x x -=--)23)(21(23x x x y -+=)23)(21()23()21(2323'-++-'+='x x x x x x y ])2()3)[(21()23]()2()1[(2323'-'++-'+'=x x x x x x )2233)(21()23(2223x x x x x ⋅-⋅++-=x x x 432423--=例3 求函数的导数．解．例4 求函数的导数． 解．同理可得．例5 求函数的导数． 解．同理可得．例6 求函数的导数． 解．2． 复合函数的导数现在我们来讨论复合函数的求导问题．定理 2 设函数及可以复合成函数，若在点可导，且在相应的点可导，则复合函数在点处可导，且， (1)x x x y ln sin =)ln sin ('='x x x y )(ln sin ln )(sin ln sin '+'+'=x x x x x x x x x x x x x x x x x 1sin ln cos ln sin ⋅++=x x x x x sin ln )cos (sin ++=x y tan =2)(cos )(cos sin cos )(sin cos sin )(tan x x x x x x x x y '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛='='x x x x x 22222sec cos 1cos sin cos ==+=x x 2csc )(cot -='x y sec ='⎪⎭⎫ ⎝⎛='='x x y cos 1)(sec x x x x x x tan sec cos sin cos )(cos 22=='-=x x x cot csc )(csc -='x x x xx x y sin cos cos sin +-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='x x x x x x y sin cos cos sin 2)sin (cos )sin )(cos cos (sin )sin (cos )cos (sin x x x x x x x x x x x x x x x +'+--+'-=2)sin (cos cos )cos (sin )sin (cos sin x x x x x x x x x x x x x +--+=22)sin (cos x x x x +=)(u f y =)(x u ϕ=))((x f y ϕ=)(x u ϕ=x )(u f y =)(x u ϕ=))((x f y ϕ=x )()(x u f dx dy ϕ''=或，(2)或． (3)证 设自变量有改变量时，取得改变量，进而取得相应的改变量． 由于在点处可导，则，根据极限与无穷小的关系，有，其中为无穷小(当时)． 又在点处可导，从而在点处必连续，所以当时，故． 从而，于是，则．也就是说，复合函数的求导法则为：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．此法则可推广到有限次复合的情形．例如，若有可导函数,，则复合函数对的导数是． (4)公式(2)、(4)称为复合函数求导的链式法则．在利用复合函数的求导法则解决求导问题时，应该注意以下几点：(1)准确地把一个函数分解成几个比较简单的函数；(2)复合函数求导后，必须把引进的中间变量换成原来的自变量．利用复合函数的求导法则求导的步骤如下：(1)从外到里分层次，即把复合函数分成几个简单的函数；(2)从左到右求导数，即把每一个简单函数对自身的自变量的导数求出来；(3)利用链式求导法则，从左到右作连乘．dx du du dy dx dy ⋅=x u x u y y '⋅'='x x ∆u u ∆y y ∆)(u f y =u u y du dy u ∆∆=→∆0lim α+=∆∆du dy u y α0→∆u )(x u ϕ=x )(x u ϕ=x 0→∆x 0→∆u 00lim lim 0x u αα∆→∆→==u u du dy y ∆⋅+∆⋅=∆αx u x u du dy x y ∆∆⋅+∆∆⋅=∆∆α⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆⋅+∆∆⋅=∆∆=→∆→∆x u x u du dy x y dx dy x x α00lim lim α0lim →∆⋅+⋅=u dx du dx du du dy )()(x u f dx du du dy ϕ'⋅'=⋅=)(),(v u u f y ϕ==)(x v ψ=()[]{}x f y ψϕ=x dx dv dv du du dy dx dy ⋅⋅=例7解 函数可分解为 则由复合函数求导法则有以上求解过程可以简记为：例8 求函数的导数．解 将函数分解为则由复合函数求导法则有以上求解过程可以简记为：例9 求函数的导数． 解 这是一个复合函数，若直接用公式(2)或(4)求导，运算较繁琐． 将函数变形为则由复合函数求导法则有=对复合函数的求导法则，运用熟练以后，计算时就不必将中间变量写出来．例10 已知，求． 解 ()tan 12,.y x y '=-求()tan 12y x =-tan ,12.y u u x ==-()'2'tan sec ,(12) 2.x u dy du u u x du dx ===-=-22sec (2)2sec (12).dy dy du u x dx du dx =⋅=⋅-=--).21(sec 2)21()21(sec 22x x x y --='-⋅-='100032y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭10003,2.y u u x x ==-999231000,2.dy du u du dx x ==+999999223331000(2)1000(2)(2).dy dy du u x dx du dx x x x =⋅=⋅+=+-999999233331000(2)(2)1000(2)(2).y x x x x x x x ''=-⋅-=-+y =21[ln(21)ln(1),2y x x =--+211[ln(21)][ln(1)]22y x x '''=--+)1(1121)12(1212122'+⋅+⋅-'-⋅-⋅x x x x 21.211x x x =--+2tan ln x y =dx dy '⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅='⎪⎭⎫ ⎝⎛=2tan 2tan 12tan ln x x x dx dy．有时往往需要同时运用函数的和差积商的求导法则以及复合函数的求导法则．例11 求函数的导数． 解． 例12 求函数的导数．解．例13 证明：(为任意常数)． 证 由对数性质有，故．3．隐函数和反函数求导函数的表示方式有多种，其中主要是用解析式子来表示，但也有一些函数无法用以上形式表示，例如：；等，这样的函数称为隐函数，相应地称为显函数．一般地，如果在方程中，当取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的值存在，那末就说方程在该区间内确定了一个隐函数． 212sec 2cot 22sec 2cot 22⋅⋅='⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=x x x x x x x csc sin 1==x x y 3sin 12+=()()'++'+='x x x x y 3sin 13sin 122()()()'⋅++⋅'+⋅+=-x x x x x x 33cos 13sin 112122221=()33cos 13sin 21212221⋅++⋅⋅+-x x x x x x x x x x 3cos 1313sin 22+++=()21ln x x y ++=()[]()'++++='++='2221111ln x x x x x x y ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'++++=221111x x x ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+++++=-222112111121x x x x ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=-x x x x 21211112122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=221111x x x x 211x +=1)(-='μμμx x μxe x ln =)ln ()(])[()(ln ln ln '='='='x e e e x x x x μμμμμ11-=⋅⋅=μμμμx x x )(x f y =0ln arctan 22=+-y x x y y x y sin 21+=)(x f y =0),(=y x F x y 0),(=y x F有的隐函数能较容易地化成显函数，而有的隐函数化成显函数时比较困难，甚至是不可能的．但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来．下面通过具体例子来说明这种方法．例14 求由方程所确定的隐函数的导数．解 设此方程确定的函数为，即．两端对x 求导，由于函数恒相等，则导数也相等，故有所以即为书写方便，上述求导过程只要记住y 为的函数，直接求导，而不需反复代换．例15 设，求． 解 显然是的函数，则为的复合函数． 方程两端同时对求导，得， 故可见隐函数的求导法则如下：(1)等式(或方程)两端同时对求导数，遇到函数的时候，把它看作的函数，遇到的函数时，把它看作的复合函数，其中为中间变量．(2)所得关于的方程中，解出，即为所求．例16 求椭圆在点处的切线方程．解 由导数的几何意义知，所求切线的斜率为：．下面求． 在椭圆方程的两边分别对求导，有，解之得 y e xy =y dx dy()y f x =)()(x xf e x f =).()()()(x f x x f x f e x f '+='()()().f x f x f x e x '=-.y y y e x '=-x ln 1x ye y +=dx dyy x ln y x x ,0)(ln )('=+'+'x x x y e y e y 10x x y e ye y y ''++=2.1xx y e y ye '=-+x y x y x y dx dy dx dy191622=+y x )323,2(2='=x y k y 'x 0928='⋅⋅+y y x． 当时，代入上式得：． 于是所求的切线方程为 ， 即．例17 设解 两边对求导，得故由例17的结果显然有(5) 类似可得：. (6)(7) (8) 例18 设是直接函数，是它的反函数，如果存在且不等于零，证明: 反函数可导，且有(9) 公式(9)称为反函数求导公式．证 在方程两边对求导，得由于, 故公式(9)成立． 习惯上将(9)式记为：4． 对数求导法对某些函数，利用先取对数再求导数的方法(称为对数求导法)求导比较简单．例19 求函数的导数． y x y 169-='323,2==y x 432-='=x y )2(43323--=-x y 03843=-+y x tan ,.x y y '=求x .sec 12y y '⋅=2211.sec 1y y x '==+21(arctan ).1x x '=+211)(arccot x x +-='(arcsin )x '=(arccos )x '=()x y ϕ=()y f x =()y ϕ'()y f x =1.()y y ϕ'='()x y ϕ=x .)(1y y '⋅'=ϕ0)(≠'y ϕ1.dy dx dxdy =)9('x x y =解 这函数既不是幂函数也不是指数函数，称为幂指函数．不能直接利用幂函数或指数函数的求导公式．为求其导数，需先改变函数的结构．将两边取自然对数，得，两边对求导，得，于是有．例20 求函数的导数．解 直接利用复合函数求导法则求这个函数的导数很麻烦，我们用对数求导法来求．等式两端同时取自然对数，得，上式两边对求导得： ，于是．注 幂指函数和经过多次乘(除)的函数，一般用对数求导法比较简便．5．由参数方程所确定的函数的求导一般地，若参数方程(为参数)， (10)确定与间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数．在实际问题中，需要计算由参数方程(10)所确定的函数的导数，但从(10)中消去有时会有困难．因此我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数．下面就来讨论由参数方程(10)所确定的函数的求导方法．若都可导，且，具有单调连续的反函数，则由参数方程所确定的函数可看作是由函数与复合而成的函数，根据复合函数及反函数的求导法则，得x x y =x x x y x ln ln ln ==x 1ln 1ln 1+=⋅+='⋅x x x x y y x )1(ln )1(ln +=+='x x x y y x x )4()4)(3()2)(1(>----=x x x x x y )]4ln()3ln()2ln()1[ln(21ln -----+-=x x x x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+-='⋅41312111211x x x x y y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+-='413121112x x x x y y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+-----=41312111)4)(3()2)(1(21x x x x x x x x )()(x v x u y =⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕt y x t )(),(t y t x ψϕ==0)(≠'t ϕ)(t x ϕ=)(1x t -=ϕ)(t y ψ=)(1x t -=ϕ，即， (11)这就是由参数方程(10)所确定的函数的求导公式．例21 求由参数方程所确定的函数的导数．解例22 求曲线在处的切线方程和法线方程． 解 因为，而由已知可知，则．所以．再由导数的几何意义得， ．又因为当时，；所以在处的切线方程为 即 ；在处的法线方程为即 ． ()()()()t t t t dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψϕψ''='⋅'=⋅=⋅=11()()t t dx dy ϕψ''=(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩dx dy ()()1cos sin cot .1cos 2sin t t a t y dy t t dx x t a t t '-'====''--22213,13t at y t at x +=+=2=t ()()22222222)1()1(3161313t t a t at t a t at x t +-=+-+='⎪⎭⎫ ⎝⎛+='t x t t at y ⋅=⋅+=213222222)1(613)1()1(3)(t at t at t t t a x t x t x y t t t +=++⋅+-=+⋅'='⋅='2212)1(36t t t a at x y dx dy t t -=-=''=3412222-=-====t t t t dx dy k 切134k k =-=法切2=t a y a x 512,56==2=t )56(34512a x a y --=-01234=-+a y x 2=t )56(43512a x a y -=-0643=+-a y x6． 基本公式为了便于记忆和使用，我们将基本求导公式列于下面．1、 (为常数)．2、 (为任意实数)．3、．4、．5、．6、．7、． 8、．9、． 10、． 11、．12、．13、．14、．15、． 16、． 为了使读者进一步掌握本节内容，下面再举两个例子．例23 求函数的导数． 解 将原函数写成以下形式：，此等式两端取自然对数，得，上式两端同时对求导得，解之得．例24 求函数的导数．解 等式两端取自然对数得， 上式两端同时对取导得，解之得0='c c 1)(-='αααx x αa a a x x ln )(='x x e e =')(a x e x x a a ln 1log 1)(log =='x x 1)(ln ='x x cos )(sin ='x x sin )(cos -='x x x 22cos 1sec )(tan =='x x x 22sin 1csc )(cot -=-='(arcsin )11)x x '=-<<(arccos )11)x x '=-<<21(arctan )()1x x x '=-∞<<+∞+21(cot )()1arc x x x '=--∞<<+∞+x x x tan sec )(sec ='x x x cot csc )(csc -='x x y x sin )1(++=x x x y )1(sin +=-)1ln()1ln()sin ln(x x x x y x +=+=-x x x x x y x y x +++=-'⋅-1)1ln()cos (sin 1]1)1[ln()1(cos x x x x x y x x +++++='xe x y )(ln =)ln(ln ln x e y x =x x x e x e y y x x x 1ln 1)ln(ln 1⋅⋅+='⋅．小结：本节主要介绍初等函数的求导方法，读者主要要掌握导数计算公式和运算法则，其次注意：①一般在求导运算开始前应检查是否可以先化简或变形，许多函数在变形后容易求导；②幂指函数要用对数求导法求导．前往本节习题 )ln 1ln (ln )(ln x x x x e y x e x x +='。
导数的定义与计算方法
导数的定义与计算方法导数是微积分中的重要概念，用于描述函数的变化率。
本文将介绍导数的定义以及计算方法，帮助读者更好地理解导数的概念和运用。
一、导数的定义导数是函数在某一点处的变化率。
数学上，对于函数f(x)，其在点x处的导数记为f'(x)，可以通过以下极限定义得到：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示自变量x的增量。
这个极限定义可以理解为当自变量x的增量趋近于0时，函数f(x)在点x处的变化率。
二、导数的计算方法导数的计算方法可以根据函数的具体形式来进行。
下面介绍几种常见的计算方法：1. 可导函数的导数计算法则- 常数法则：如果f(x) = c，其中c为常数，则f'(x) = 0。
- 幂函数法则：如果f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = n * x^(n-1)。
- 指数函数法则：如果f(x) = e^x，则f'(x) = e^x。
- 对数函数法则：如果f(x) = log_a(x)，其中a为常数且a > 0，则f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
- 三角函数法则：如果f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)；如果f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
- 复合函数法则：如果f(x) = g(h(x))，则f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)，其中g'表示函数g的导数。
2. 基本初等函数的导数以下是一些基本初等函数的导数计算公式：- (sin x)' = cos x- (cos x)' = -sin x- (tan x)' = sec^2 x- (cot x)' = -csc^2 x- (sec x)' = sec x * tan x- (csc x)' = -csc x * cot x- (log_a x)' = 1 / (x * ln a)- (e^x)' = e^x3. 导数的加法、减法法则如果有两个函数f(x)和g(x)在某点处的导数分别为f'(x)和g'(x)，则它们的和、差、常数倍的导数可以通过以下法则计算：- (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)- (f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)- (k * f(x))' = k * f'(x)，其中k为常数4. 导数的乘法、除法法则如果有两个函数f(x)和g(x)在某点处的导数分别为f'(x)和g'(x)，则它们的乘积和商的导数可以通过以下法则计算：- (f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)- (f(x) / g(x))' = [f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)] / (g(x))^2，其中g(x) ≠ 0以上是导数的一些基本计算方法，能够满足大多数函数的求导需求。
求导数的几种方法
求导数的几种方法
求导是日常数学中最重要的操作之一，它可以告诉我们函数输入时输出值的怎样变化。
一般说来，求导可以分为三种方法：极值法、微分法以及导数法。
极值法是最简单的求导方法，它可以告诉我们函数输入新值后，输出值如何变化，借此我们可以求得函数的极值。
通过观察可知，极值函数的导数是零，从而可以求得函数的导数。
微分法是求导的一种更复杂的方法，它的基本思路是让函数的输入和输出之间的变化接近零，以计算函数的导数。
使用微分法时，我们需要分析函数变化趋势，使用解析方法计算函数的变化量，最后利用除法求得函数的导数。
最后是导数法，它提供了一种更易于理解和简单计算的求导方法。
使用导数法，求导的过程实际上就是一个非常直观的数学过程，比如一阶导数就是加减乘除法，二阶导数是把一阶导数的结果再求导，以此类推。
这种方法的优点在于，我们只需要理清楚问题的基本公式，就可以完成求导。
总结起来，求导有三种方法：极值法、微分法和导数法，它们各有不同的优缺点，根据具体情况来选择最合适的一种。
导数知识点总结与计算
导数知识点总结与计算导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
计算导数可以用于求解函数在某一点的切线斜率、最大值最小值以及函数的变化趋势等问题。
在实际应用中，导数也被广泛应用于物理、经济、工程等领域，因此对于导数的理解和掌握是十分重要的。
本文将对导数的基本概念、求导法则以及常见函数的导数进行总结，并进行详细的解释和示例计算，以便读者更好地掌握导数知识。
一、导数的基本概念1. 函数的导数在微积分中，函数f(x)在点x处的导数表示为f'(x)，即导数是函数在某一点的变化率。
可以用极限的概念来定义函数的导数：若函数f(x)在点x处的导数存在，则f'(x)=lim (Δx→0) (f(x+Δx)-f(x))/Δx其中Δx表示自变量x的增量。
当Δx趋于0时，函数在点x处的导数即为该点的切线斜率。
2. 导数的几何意义导数可以用几何意义来解释：函数f(x)在点x处的导数即为该点处曲线的切线斜率。
当导数为正时，函数在该点处是增加的；当导数为负时，函数在该点处是减少的；当导数为零时，函数在该点处取得极值。
因此，导数可以用于描述函数在某一点的变化趋势。
3. 导数的物理意义在物理学中，导数也具有重要的物理意义。
例如，当我们知道一个物体的位移函数时，可以通过求导得到该物体的速度函数；再对速度函数求导，可以得到该物体的加速度函数。
因此，导数可以帮助我们描述物体的运动规律。
二、求导法则对于常见的函数，我们可以通过一些基本的求导法则来求解其导数。
下面将介绍求导的基本法则及其示例计算。
1. 常数函数的导数若f(x)=c，其中c为常数，则f'(x)=0。
因为常数函数在任意点的变化率均为0。
示例计算：求函数f(x)=5的导数。
解：f'(x)=0。
2. 幂函数的导数若f(x)=x^n，其中n为正整数，则f'(x)=nx^(n-1)。
即幂函数的导数等于指数与原函数的指数减一的乘积。
导数定义与计算方法
导数定义与计算方法导数是微积分中非常重要的概念之一，它与函数的变化率以及切线有着密切的关系。
本文将介绍导数的定义及其计算方法，以帮助读者更好地理解和应用导数。
一、导数的定义导数是函数在某一点上的变化率，它可以用极限的概念来定义。
对于给定函数f(x)，如果存在一个极限lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx 〗，则称该极限为函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)，也可以表示为dy/dx 或y'。
二、导数的计算方法导数的计算方法主要包括以下几种常见的情况：1. 基本函数的导数- 常数函数的导数为0，即d/dx(c) = 0，其中c为常数。
- 幂函数的导数可以通过幂函数的求导公式来计算，即d/dx(x^n) = nx^(n-1)，其中n为常数。
- 指数函数e^x的导数为e^x。
- 对数函数ln(x)的导数为1/x。
2. 基本运算法则- 和差法则：导数的和等于导数的和，即d/dx(f(x)+g(x)) = f'(x) +g'(x)。
- 常数倍法则：导数的常数倍等于常数倍的导数，即d/dx(c*f(x)) = c*f'(x)，其中c为常数。
- 乘法法则：导数的乘积等于函数一的导数乘以函数二加上函数一乘以函数二的导数，即d/dx(f(x)*g(x)) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)。
- 除法法则：导数的商等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数再除以分母的平方，即d/dx(f(x)/g(x)) = (f'(x)*g(x) -f(x)*g'(x))/g^2 (x)。
3. 高阶导数- 导数的导数称为高阶导数，可通过对导数再次求导来计算。
例如f''(x)表示f'(x)的导数，f'''(x)表示f''(x)的导数，以此类推。
4. 链式法则- 当函数具有复合形式时，可以使用链式法则来计算导数。
导数求导的方法
导数求导的方法当我们谈论导数和求导的方法时，实际上是在讨论函数的变化率，以及如何计算函数在某一点的斜率或变化率。
在数学上，导数表示函数在某一点处的斜率，可以帮助我们找到函数的最大值、最小值和函数的变化趋势。
以下是关于导数求导的50种方法，包括基本的导数规则、常见函数的导数计算以及一些常用的求导技巧。
1. 基本导数规则：常数求导、幂函数求导、指数函数求导、对数函数求导、三角函数求导、反三角函数求导等。
2. 使用极限定义：根据导数定义的极限表达式，计算函数在某一点的导数。
3. 使用导数的性质：利用导数的性质，如加法性、乘法性、导数与乘积的关系、导数与商的关系等，简化函数的导数计算。
4. 利用链式法则：对复合函数求导时，使用链式法则计算导数，将复合函数拆解成简单的函数并依次求导。
5. 利用反函数求导：利用反函数的导数与原函数导数的倒数关系，对反函数求导。
6. 隐函数求导：对含有隐函数的方程，利用隐函数求导公式计算导数。
7. 用总导数公式：对多元函数，利用总导数公式计算偏导数。
8. 利用对数求导：对指数函数求导时，可以先将指数函数化为自然对数形式，再进行求导。
9. 利用差商定义求导：将函数的差商形式化，然后利用极限定义计算导数。
10. 利用牛顿-莱布尼茨公式：对定积分求导时，利用牛顿-莱布尼茨公式将导数和定积分联系起来。
11. 利用泰勒展开式：通过泰勒展开式将函数转化为多项式形式，然后求导。
12. 利用微分方程求导：对包含微分方程的函数，通过微分方程的特定形式计算导数。
13. 利用参数方程求导：对包含参数方程的函数，利用参数方程的导数计算方式求导。
14. 利用极坐标求导：对极坐标形式的函数，通过极坐标的导数计算方式求导。
15. 利用数值方法求导：通过数值微分或数值积分方法估算导数值。
16. 利用导数的几何意义：利用导数表示函数在某一点的切线斜率，计算导数。
17. 利用对称性求导：利用函数的对称性质简化导数计算过程。
导数公式的计算方法
导数公式的计算方法导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
导数的计算方法有很多种，下面将介绍几种常用的导数公式及其计算方法。
1. 常数函数的导数公式常数函数表示为f(x)=C，其中C为常数。
常数函数的导数等于零，即f'(x)=0。
这是因为常数函数在任意一点上的变化率都是零，即斜率为零。
2. 幂函数的导数公式幂函数表示为f(x)=x^n，其中n为常数。
幂函数的导数可以使用幂函数的求导公式进行计算。
根据求导公式，幂函数的导数等于幂次乘以系数，即f'(x)=n*x^(n-1)。
例如，对于f(x)=x^3，它的导数为f'(x)=3*x^(3-1)=3*x^2。
3. 指数函数的导数公式指数函数表示为f(x)=a^x，其中a为常数且a>0。
指数函数的导数可以使用指数函数的求导公式进行计算。
根据求导公式，指数函数的导数等于指数函数的自然对数乘以函数值，即f'(x)=ln(a)*a^x。
例如，对于f(x)=2^x，它的导数为f'(x)=ln(2)*2^x。
4. 对数函数的导数公式对数函数表示为f(x)=log_a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1。
对数函数的导数可以使用对数函数的求导公式进行计算。
根据求导公式，对数函数的导数等于函数值除以自变量，再乘以自然对数的倒数，即f'(x)=1/(x*ln(a))。
例如，对于f(x)=log_2(x)，它的导数为f'(x)=1/(x*ln(2))。
5. 三角函数的导数公式三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)等。
三角函数的导数可以使用三角函数的求导公式进行计算。
根据求导公式，正弦函数的导数等于余弦函数，余弦函数的导数等于负的正弦函数，正切函数的导数等于正切函数的平方加1，即sin'(x)=cos(x)，cos'(x)=-sin(x)，tan'(x)=1+tan^2(x)。
函数的导数计算方法
函数的导数计算方法函数的导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在某一点上的变化率。
导数的计算方法有很多种，本文将介绍其中的几种常用方法。
一、基本导数公式1. 常数函数的导数常数函数的导数始终为0。
例如，若f(x) = 3，则f'(x) = 0。
2. 幂函数的导数幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=n * x^(n-1)。
其中n为常数，x为自变量。
3. 一次函数的导数一次函数f(x)=ax+b的导数为f'(x)=a。
其中a和b为常数。
4. 指数函数的导数指数函数f(x)=a^x（其中a>0,a≠1）的导数为f'(x)=a^x * ln(a)。
其中ln(a)是以e为底的对数。
5. 对数函数的导数对数函数f(x)=log_a(x)（其中a>0,a≠1）的导数为f'(x)=1/(x * ln(a))。
其中ln(a)是以e为底的对数。
6. 三角函数的导数三角函数的导数有一定的规律，例如：正弦函数的导数：f(x) = sin(x) 的导数为 f'(x) = cos(x)。
余弦函数的导数：f(x) = cos(x) 的导数为 f'(x) = -sin(x)。
正切函数的导数：f(x) = tan(x) 的导数为 f'(x) = sec^2(x)。
二、导数的基本运算法则1. 和差法则若f(x)和g(x)都是可导函数，则其和（f+g）和差（f-g）的导数为：(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)，(f-g)'(x) = f'(x) - g'(x)。
2. 常数倍法则若f(x)是可导函数，c为常数，则c * f(x)的导数为：(c * f(x))' = c * f'(x)。
3. 乘积法则若f(x)和g(x)都是可导函数，则其乘积（f * g）的导数为：(f * g)' = f' * g + f * g'。
求导数的方法范文
求导数的方法范文导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在其中一点附近的变化率。
求导数的方法有很多种，以下将介绍常见的几种方法。
一、导数的定义法1.极限定义法：对于函数f(x)，在x=a点处的导数定义为f'(a) = lim [f(x)-f(a)] / (x-a) (x→a)这个定义是基于极限的思想，通过取出函数f(x)与x=a时的函数值之差，除上自变量的变化量，然后取极限得到导数。
二、基本导数法则基本导数法则是指一些常见函数导数的求法，这些函数的导数可以通过一些基本的规则来求，从而简化计算。
常见的基本导数法则有：1.常数函数的导数：对于常数c，常数函数f(x)=c的导数为0，即f'(x)=0。
2. 幂函数的导数：对于幂函数f(x)=x^n，其中n是任意实数，导数为 f'(x)=nx^(n-1)。
3. 指数函数的导数：对于以常数e为底的指数函数f(x)=e^x，导数为 f'(x)=e^x。
对于以其他底a的指数函数f(x)=a^x，导数为f'(x)=a^x ln(a)。
4. 对数函数的导数：对于以常数e为底的自然对数函数f(x)=ln(x)，导数为 f'(x)=1/x。
对于以其他底a的对数函数f(x)=log_a(x)，导数为f'(x)=1/(xln(a))。
5. 三角函数的导数：对于三角函数（sin、cos、tan等），其导数为：sin(x) 的导数为 cos(x)；cos(x) 的导数为 -sin(x)；tan(x) 的导数为 sec^2(x) = 1/cos^2(x)。
这里的sec(x)表示secant(x)，即倒数cos(x)的导数。
其他三角函数的导数可以由这些基本导数法则和三角函数的基本关系推导得出。
三、求导公式求导公式是一些常用函数的导数表达式，通过使用这些公式，可以方便地计算函数的导数。
常见的求导公式有：1.多项式的导数：对于多项式f(x)=a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_1x+a_0，其导数为f'(x)=na_nx^(n-1)+(n-1)a_(n-1)x^(n-2)+...+a_12. 反三角函数的导数：对于反三角函数（arcsin、arccos、arctan 等），其导数为：arcsin(x) 的导数为1/√(1-x^2)；arccos(x) 的导数为 -1/√(1-x^2)；arctan(x) 的导数为 1/(1+x^2)。
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一、复习
1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同 的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式——导数,导数源于实践,又服务于实践. 2.求函数的导数的方法是:
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
| b ( 4 ) | 32 1 10 | b 4 | 10, b 6或b 14;
故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.
四、小结与作业
1.要切实掌握四种常见函数的导数公式:(1) c 0 (c为常 数;(2)( x ) x 1 ( R);(3) (sin x ) cos x;(4) (cos x ) sin x. 2.对于简单函数的求导,关键是合理转化函数关系式为 可以直接应用公式的基本函数的模式. 3.能结合直线的知识来解决一些与切线有关的较为综 合性问题. 4.作业:p.233~234课后强化训练.
0
4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率. 5.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
)处的切线的倾斜角为
2 arctan 2 ___________.
1 例4:已知曲线 y 3 在点P(1,1)处的切线与直线m平行且 x
距离等于 10 ,求直线m的方程.
1 1 解：y 3 , y ( 3 ) ( x 3 ) 3 x 4 ; x x
曲线在P (1,1)处的切线的斜率为 y | x 1 3, k 从而切线方程为 1 3( x 1), 即3 x y 4 0. y
解： y cos x , y sin x , y |
3 故曲线在点 ( , )处的切线斜率为 P ， 3 2 2 2 从而过P点且与切线垂直的直线 的斜率为 ； 3 1 2 所求的直线方程为 y ( x ), 2 3 3
三、例题选讲
1
3 . sin x x 2 3
二、新课——几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 公式1: C 0 (C为常数) .
nx n1 (n Q) . 公式2: ( x )
n
公式3: (sin x ) cos x . 公式4:
(cos x ) sin x
1 例1:求过曲线y=cosx上点P( 3 , 2 )且与过这点的切线垂 直的直线方程.
由y (cos x ) sin x , 得y | x x0 sin x0 ;
由两条曲线的切线在点P互相垂直,则cosx0(-sinx0) =-1,得sinx0cosx0=1,即sin2x0=2. 这不可能,所以不存在满足题设条件的一个点.
2 练习1:曲线y=sinx在点P( , 4 2
2 3 即2 x 3 y 0. 3 2
注:满足条件的直线称为曲线在P点的法线.
例2:如图,质点P在半径为10cm的圆上逆时针做匀角速 运动,角速度1rad/s,设A刻t时,因为角速度1rad/s, M P 所以 POA 1 t t rad .
(1)求函数的增量 y f ( x x ) f ( x ); ( 2)求函数的增量与自变量 的增量的比值: y f ( x x ) f ( x ) ; x x y ( 3)求极限，得导函数 f ( x ) lim y . x 0 x
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的 导数. 3.函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f (x )在x= x0处的函数值,即 f ( x0 ) f ( x ) | x x .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。
MPO POA t rad;
OM OP sinMPO 10sint;
故点M的运动方程为:y=10sint.
O
A x
v y (10sint ) 10cos t .
故时刻t时,点P在 y轴上的射影点M的速度为10cost cm/s.
例3:已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条 曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线 互相垂直?并说明理由. 解:设存在一个公共点P(x0,y0)满足题设条件. 由y (sin x ) cos x , 得y | x x0 cos x0 ;