几种常见函数的导数教案

几种常见函数的导数教案

教学目的

使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数的导数公式，掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．

教学重点和难点

掌握并熟记四种常见函数的求导公式是本节的重点．正整数幂函数及正、余弦函数的导数公式的推导是本节难点．

教学过程

一、复习提问

1．按定义求导数有哪几个步骤？

2．用导数的定义求下列各函数的导数：

(1)y＝x5；(2)y＝c．

几点说明：练习(1)为推导正整数幂函数导数公式作准备，在求Δy值时启发学生应用二项式定理展开(x＋Δx)5；练习(2)推导前，首先指出这里y＝c称为常数函数，可设y=f(x)=c说明不论自变量取何值，对应的函数值均为c，以避免出如下错误，Δy=f(x＋Δx)－f(x)＝c＋Δx－c＝Δx．

二、新课

1．引言：由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，本节课根据导数定义先来证明几个常见函数的导数公式．

2．几个常见函数的导数公式．

(1)设y=c(常数)，则y'=0．

此公式前面已证．下面我们还可以用几何图象对公式加以说明(图2－6)．因为y=c 的图象是平行于x轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0．此公式可叙述成“常数函数的导数为零”．

(2)(x n)'＝nx n-1(n为正整数)．

此公式的证明在教师指导下，由学生独立完成．

证明：设y=f(x)=x n，

此公式可叙述成“正整数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的(n－1)次幂的乘积”．

(3)(sinx)'=cosx．

证明：y＝f(x)=sinx，

在学生推导过程中，教师要步步追问根据及思路．如：

此公式可叙述成“正弦函数的导数等于余弦函数”．

(4)(cosx)'=－sinx．

此公式证明由学生仿照公式(3)独立证明．

此公式可叙述成“余弦函数的导数等于正弦函数前面添一个负号”．三、练习

1．默写四种常见函数的求导公式．

2．求下列函数的导数：

四、小结

四种常见函数的导数公式

1．(c)'＝0(c为常数)，

2．(x n)'＝nx n-1，

3．(sinx)'＝cosx，

4．(cosx)'=－sinx．

五、布置作业

1．求下列函数的导数：

(1)u=t4；(2)y=x a(a为正整数)；(5)x=cost．sup 2．用导数定义证明：

两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)．

即，已知：两个函数u(x)和v(x)，且u(x)，v(x)的导数存在，

求证：[u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x)．