高中数学-导数的计算练习
高中数学导数的运算精选题
导数的运算精选题32道一．选择题（共11小题）1．已知定义在R上的可导函数y＝f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f （0）＝2，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）2．若函数f（x）＝x2+，则f′（﹣1）＝（）A．﹣1B．1C．﹣3D．33．函数f（x）＝ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则的最小值是（）A．10B．9C．8D．4．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f′（e）＝（）A．1B．﹣1C．﹣e﹣1D．﹣e5．设函数f（x）的导函数是f'（x），若，则＝（）A．﹣B．C．D．﹣6．已知，则＝（）A．B．C．D．7．已知f（x）＝lnx，则f′（e）的值为（）A．1B．﹣1C．e D．8．若f（x）＝2xf′（1）+x2，则f′（0）等于（）A．2B．0C．﹣2D．﹣49．已知函数f（x）＝2x+3f′（0）•e x，则f′（1）＝（）A．e B．3﹣2e C．2﹣3e D．2+3e10．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f（x）＝x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）＝（）A．26B．29C．212D．21511．设f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0＝（）A．e2B．ln2C．D．e二．多选题（共2小题）（多选）12．以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是（）A．（）′＝B．（cos2x）'＝﹣2sin2xC．D．（lgx）′＝（多选）13．若函数f（x）的导函数f′（x）的图象关于y轴对称，则f（x）的解析式可能为（）A．f（x）＝3cos x B．f（x）＝x3+x C．D．f（x）＝e x+x 三．填空题（共12小题）14．已知函数f（x）＝（2x+1）e x，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为．15．已知函数f（x）＝e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为．16．已知函数f（x）＝f′（）cos x+sin x，则f（）的值为．17．设函数f（x）＝，若f′（1）＝，则a＝．18．若函数y＝f（x）满足f（x）＝sin x+cos x，则＝．19．若函数，则f'（1）＝．20．已知函数f（x）＝﹣+2xf'（2021）+2021lnx，则f′（2021）＝．21．已知的导函数为f′（x），则f′（﹣1）＝．22．设函数f（x）满足f（x）＝x2+3f′（1）x﹣f（1），则f（4）＝．23．已知：若函数f（x），g（x）在R上可导，f（x）＝g（x），则f′（x）＝g′（x）．又英国数学家泰勒发现了一个恒等式e2x＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，则a0＝，＝．24．已知函数f（x）＝3x2﹣f'（）x4，则f'（）＝．25．已知f（x）＝x2+3xf′（2），则f′（2）＝．四．解答题（共7小题）26．求下列函数的导数．（1）y＝3x2+x cos x；（2）f（x）＝．27．求下列函数的导数．（1）y＝（2x2+3）（3x﹣1）；（2）f（x）＝；（3）y＝ln．28．设f（x）＝lnx，g（x）＝f（x）+f′（x）．（1）求g（x）的单调区间和最小值；（2）讨论g（x）与g（）的大小关系．29．求下列函数的导数：（1）y＝（2x2﹣1）（3x+1）；（2）y＝e x cos x；（3）．30．求下列函数的导数（1）f（x）＝lnx+xa x；（2）．31．求下列函数的导数（1）y＝（2x2+3）（3x﹣1）；（2）；（3）y＝（1+cos2x）3．32．求下列函数的导数．（1）y＝（2x2﹣1）（3x+1）；（2）．导数的运算精选题32道参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．已知定义在R上的可导函数y＝f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f （0）＝2，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）【分析】根据条件构造函数g（x）＝，利用导数求函数的单调性，即可解不等式．【解答】解：设g（x）＝，则g′（x）＝，∵f（x）＜f′（x），∴g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增．∵f（0）＝2，∴g（0）＝，则不等式等价为，即g（x）＞g（0），∵函数g（x）单调递增．∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故选：B．【点评】本题主要考查导数的应用，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．2．若函数f（x）＝x2+，则f′（﹣1）＝（）A．﹣1B．1C．﹣3D．3【分析】可先求出导函数，把x换上﹣1即可求出f′（﹣1）的值．【解答】解：；∴f′（﹣1）＝﹣2﹣1＝﹣3．故选：C．【点评】考查基本初等函数的求导，已知函数求值的方法．3．函数f（x）＝ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则的最小值是（）A．10B．9C．8D．【分析】求出原函数的导函数，由f′（1）＝2a+b＝2，得，把变形为后整体乘以1，展开后利用基本不等式求最小值．【解答】解：由f（x）＝ax2+bx，得f′（x）＝2ax+b，又f（x）＝ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，所以f′（1）＝2a+b＝2，即．则＝．当且仅当，即时“＝”成立．所以的最小值是9．故选：B．【点评】本题考查了导数的运算，考查了利用基本不等式求最值，考查了学生灵活变换和处理问题的能力，是中档题．4．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f′（e）＝（）A．1B．﹣1C．﹣e﹣1D．﹣e【分析】首先对等式两边求导得到关于f'（e）的等式解之．【解答】解：由关系式f（x）＝2xf′（e）+lnx，两边求导得f'（x）＝2f'（e）+，令x ＝e得f'（e）＝2f'（e）+e﹣1，所以f'（e）＝﹣e﹣1；故选：C．【点评】本题考查了求导公式的运用；关键是对已知等式两边求导，得到关于f'（x）的等式，对x取e求值．5．设函数f（x）的导函数是f'（x），若，则＝（）A．﹣B．C．D．﹣【分析】对函数f（x）的解析式求导，得到其导函数，把x＝代入导函数中，列出关于f'（）的方程，进而得到f'（）的值，再求出f′（）即可．【解答】解：，则f′（x）＝﹣f′（）sin x﹣cos x，∴f′（）＝﹣f′（）sin﹣cos，∴f′（）＝0，∴f′（x）＝﹣cos x，∴f′（）＝﹣，故选：A．【点评】本题主要考查了导数的运算，运用求导法则得出函数的导函数，求出常数f'（）的值，从而确定出函数的解析式是解本题的关键，属于基础题．6．已知，则＝（）A．B．C．D．【分析】对f（x）进行求导，再将x＝代入f′（x），进行求解，从而求出；【解答】解：∵，∴f′（x）＝﹣×cos x+，∴f′（）＝﹣×cos+＝﹣，∵f（π）＝＝﹣，∴＝﹣﹣＝﹣，故选：D．【点评】此题主要考查导数的运算，解决此题的关键是能否对f（x）进行求导，是一道基础题；7．已知f（x）＝lnx，则f′（e）的值为（）A．1B．﹣1C．e D．【分析】利用导数的运算法则即可得出．【解答】解：∵，∴．故选：D．【点评】熟练掌握导数的运算法则是解题的关键．8．若f（x）＝2xf′（1）+x2，则f′（0）等于（）A．2B．0C．﹣2D．﹣4【分析】利用导数的运算法则求出f′（x），令x＝1得到关于f′（1）的方程，解方程求出f′（1），求出f′（x）；令x＝0求出f′（0）．【解答】解：∵f′（x）＝2f′（1）+2x∴f′（1）＝2f′（1）+2∴f′（1）＝﹣2∴f′（x）＝﹣4+2x∴f′（0）＝﹣4故选：D．【点评】在求导函数值时，应该先利用导数的运算法则求出导函数，再求导函数值．9．已知函数f（x）＝2x+3f′（0）•e x，则f′（1）＝（）A．e B．3﹣2e C．2﹣3e D．2+3e【分析】可求出导函数f′（x）＝2+3f′（0）•e x，然后即可求出f′（0）＝﹣1，从而得出f′（x）＝2﹣3e x，然后即可求出f′（1）的值．【解答】解：f′（x）＝2+3f′（0）•e x，∴f′（0）＝2+3f′（0），解得f′（0）＝﹣1，∴f′（x）＝2﹣3e x，∴f′（1）＝2﹣3e．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．10．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f（x）＝x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）＝（）A．26B．29C．212D．215【分析】对函数进行求导发现f′（0）在含有x项均取0，再利用等比数列的性质求解即可．【解答】解：考虑到求导中f′（0），含有x项均取0，得：f′（0）＝a1a2a3…a8＝（a1a8）4＝212．故选：C．【点评】本题考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法．11．设f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0＝（）A．e2B．ln2C．D．e【分析】由题意求导f′（x）＝lnx+1，从而得lnx0+1＝2；从而解得．【解答】解：∵f′（x）＝lnx+1；故f′（x0）＝2可化为lnx0+1＝2；故x0＝e；故选：D．【点评】本题考查了导数的求法及应用，属于基础题．二．多选题（共2小题）（多选）12．以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是（）A．（）′＝B．（cos2x）'＝﹣2sin2xC．D．（lgx）′＝【分析】根据基本初等函数和复合函数的求导公式对每个选项函数进行求导即可．【解答】解：，（cos2x）′＝﹣2sin2x，，．故选：BC．【点评】本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．（多选）13．若函数f（x）的导函数f′（x）的图象关于y轴对称，则f（x）的解析式可能为（）A．f（x）＝3cos x B．f（x）＝x3+x C．D．f（x）＝e x+x 【分析】根据题意，依次求出选项中函数的导数，分析其导函数的奇偶性，据此分析可得的答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝3cos x，其导数f′（x）＝﹣3sin x，其导函数为奇函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意；对于B，f（x）＝x3+x，其导数f′（x）＝3x2+1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于C，f（x）＝x+，其导数f′（x）＝1﹣，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D，f（x）＝e x+x，其导数f′（x）＝e x+1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；故选：BC．【点评】本题考查导数的计算，涉及函数奇偶性的分析，属于基础题．三．填空题（共12小题）14．已知函数f（x）＝（2x+1）e x，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为3．【分析】先求导，再带值计算．【解答】解：∵f（x）＝（2x+1）e x，∴f′（x）＝2e x+（2x+1）e x，∴f′（0）＝2e0+（2×0+1）e0＝2+1＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题．15．已知函数f（x）＝e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为e．【分析】根据导数的运算法则求出函数f（x）的导函数，再计算f′（1）的值．【解答】解：函数f（x）＝e x lnx，则f′（x）＝e x lnx+•e x；∴f′（1）＝e•ln1+1•e＝e．故答案为：e．【点评】本题考查了导数的运算公式与应用问题，是基础题．16．已知函数f（x）＝f′（）cos x+sin x，则f（）的值为1．【分析】利用求导法则：（sin x）′＝cos x及（cos x）′＝﹣sin x，求出f′（x），然后把x 等于代入到f′（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f′（）的值，把f′（）的值代入到f（x）后，把x＝代入到f（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f（）的值．【解答】解：因为f′（x）＝﹣f′（）•sin x+cos x所以f′（）＝﹣f′（）•sin+cos解得f′（）＝﹣1故f（）＝f′（）cos+sin＝（﹣1）+＝1故答案为1．【点评】此题考查学生灵活运用求导法则及特殊角的三角函数值化简求值，会根据函数解析式求自变量所对应的函数值，是一道中档题．17．设函数f（x）＝，若f′（1）＝，则a＝1．【分析】先求出函数的导数，再根据f′（1）＝，求得a的值．【解答】解：∵f（x）＝，∴f′（x）＝，f′（1）＝＝，∴＝，则a＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查求函数的导数，属于基础题．18．若函数y＝f（x）满足f（x）＝sin x+cos x，则＝．【分析】由f（x）＝sin x+cos x，利用导数的运算法则，再令x＝，即可得出．【解答】解：∵f（x）＝sin x+cos x，∴f′（x）＝cos x﹣sin x，令x＝，则＝cos﹣sin，解得：＝．故答案为：．【点评】本题考查了导数的运算法则、方程的解法、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19．若函数，则f'（1）＝．【分析】根据基本初等函数和商的导数的求导公式进行求导得出f′（x），然后即可求出f′（1）的值．【解答】解：∵，∴．故答案为：．【点评】本题考查了基本初等函数和商的导数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．20．已知函数f（x）＝﹣+2xf'（2021）+2021lnx，则f′（2021）＝2020．【分析】先求出导函数f'（x），再令x＝2021求解即可．【解答】解：∵，∴，∴f'（2021）＝﹣2021+2f'（2021）+1，∴f'（2021）＝2020．故答案为：2020．【点评】本题考查了导数的运算，主要考查了常见导数的求导公式的应用以及导数的四则运算的应用，属于基础题．21．已知的导函数为f′（x），则f′（﹣1）＝﹣4．【分析】先根据导数的运算法则求出f′（x），再求f'（﹣1）．【解答】解：∵，∴，∴f'（﹣1）＝﹣3﹣1＝﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查导数的基本运算，属于基础题．22．设函数f（x）满足f（x）＝x2+3f′（1）x﹣f（1），则f（4）＝5．【分析】求函数的导数，先求出f′（1），f（1）的值，求出函数的解析式，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）＝x2+3f′（1）x﹣f（1），∴f′（x）＝2x+3f′（1），令x＝1，则f′（1）＝2+3f′（1），即f′（1）＝﹣1，则f（x）＝x2﹣3x﹣f（1），令x＝1，则f（1）＝1﹣3﹣f（1），则f（1）＝﹣1，即f（x）＝x2﹣3x+1，则f（4）＝42﹣3×4+1＝16﹣12+1＝5，故答案为：5．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据导数的公式求出f（1），f′（1）的值以及函数的解析式是解决本题的关键．23．已知：若函数f（x），g（x）在R上可导，f（x）＝g（x），则f′（x）＝g′（x）．又英国数学家泰勒发现了一个恒等式e2x＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，则a0＝1，＝．【分析】令x＝0，可得到a0＝1，先求导数对比得到2a n＝（n+1）a n+1，再把数列裂项求和即可．【解答】解：令x＝0，则a0＝e0＝1，∵e2x＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，∴（e2x）′＝2e2x＝a1+2a2x+…+na n x n﹣1+（n+1）a n+1x n+…，∴2a n＝（n+1）a n+1，∴＝，∴＝＝2（﹣），∴＝2（1﹣++•+﹣）＝．故答案为：1；．【点评】本题主要考查导数的基本运算，数列裂项求和的应用，属于中档题．24．已知函数f（x）＝3x2﹣f'（）x4，则f'（）＝2．【分析】先求出f′（x），然后将代入解出即可．【解答】解：，所以，解得：．故答案为：2．【点评】本题主要是考查了导数的计算以及利用方程思想解决问题的能力．属于较易题．25．已知f（x）＝x2+3xf′（2），则f′（2）＝﹣2．【分析】把给出的函数求导，在其导函数中取x＝2，则f′（2）可求．【解答】解：由f（x）＝x2+3xf′（2），得：f′（x）＝2x+3f′（2），所以，f′（2）＝2×2+3f′（2），所以，f′（2）＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了导数的加法与乘法法则，考查了求导函数的值，解答此题的关键是正确理解原函数中的f′（2），f′（2）就是一个具体数，此题是基础题．四．解答题（共7小题）26．求下列函数的导数．（1）y＝3x2+x cos x；（2）f（x）＝．【分析】根据导数的公式即可得到结论．【解答】（1）f′（x）＝6x+cos x﹣x sin x；（2）∵∴．【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础．27．求下列函数的导数．（1）y＝（2x2+3）（3x﹣1）；（2）f（x）＝；（3）y＝ln．【分析】利用常见函数的导数公式以及和、差、积、商的求导公式、复合函数的求导公式求解即可．【解答】解：（1）函数y＝（2x2+3）（3x﹣1），所以y'＝（2x2+3）′（3x﹣1）+（2x2+3）（3x﹣1）′＝4x•（3x﹣1）+3（2x2+3）＝18x2﹣4x+9；（2）函数f（x）＝，所以；（3）函数y＝ln，所以．【点评】本题考查了导数的运算，主要考查了常见函数的导数，和、差、积、商的求导公式以及复合函数的求导公式的应用，解题的关键是熟练掌握公式，属于基础题．28．设f（x）＝lnx，g（x）＝f（x）+f′（x）．（1）求g（x）的单调区间和最小值；（2）讨论g（x）与g（）的大小关系．【分析】（1）利用导数研究函数g（x）的单调性极值最值即可得出．（2）令h（x）＝g（x）﹣＝2lnx+﹣x（x＞0）．可得h′（x）＝≤0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递减．由于h（1）＝0，即可得出大小关系．【解答】解：（1）（x＞0）．∴g（x）＝lnx+（x＞0）．∴＝，令g′（x）＝0，解得x＝1．当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当1＜x时，g′（x）＞0，函数g （x）单调递增．∴当x＝1时，函数g（x）取得极小值即最小值，g（1）＝1．综上可得：函数g（x）单调递减区间为（0，1）；函数g（x）单调递增区间为[1，+∞），最小值为1．（2）g（x）＝lnx+（x＞0），＝﹣lnx+x．令h（x）＝g（x）﹣＝2lnx+﹣x（x＞0）．∴h′（x）＝﹣﹣1＝≤0，∴函数h（x）在（0，+∞）上单调递减．当x＝1时，h（1）＝0，此时g（x）＝．当0＜x＜1时，h（x）＞0，此时g（x）＞．当1＜x时，h（x）＜0，此时g（x）＜．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．29．求下列函数的导数：（1）y＝（2x2﹣1）（3x+1）；（2）y＝e x cos x；（3）．【分析】利用常见函数的导数公式以及和、差、积、商的求导公式、复合函数的求导公式求解即可．【解答】解：（1）因为y＝（2x2﹣1）（3x+1）＝6x3+2x2﹣3x﹣1，所以y′＝18x2+4x﹣3；（2）y′＝（e x cos x）′＝（e x）′cos x+e x（cos x）′＝e x cos x﹣e x sin x＝e x（cos x﹣sin x）；（3）y′＝＝＝．【点评】本题考查了导数的运算，主要考查了常见函数的导数，和、差、积、商的求导公式以及复合函数的求导公式的应用，解题的关键是熟练掌握公式，属于基础题．30．求下列函数的导数（1）f（x）＝lnx+xa x；（2）．【分析】（1）直接利用常见导数的求导公式以及导数的运算法则进行求解即可；（2）利用常见函数的求导公式结合复合函数的求导法则进行求解即可．【解答】解：（1）因为f（x）＝lnx+xa x，所以；（2）因为，所以．【点评】本题考查了导数的运算，涉及了常见函数的求导公式的运用、导数的求导法则的运用、复合函数求导法则的应用，属于基础题．31．求下列函数的导数（1）y＝（2x2+3）（3x﹣1）；（2）；（3）y＝（1+cos2x）3．【分析】（1）（2）（3）根据导数的运算法则求导即可．【解答】解：（1）方法一：y'＝（2x2+3）′（3x﹣1）+（2x2+3）（3x﹣1）′＝4x（3x﹣1）+3（2x2+3）＝18x2﹣4x+9，方法二：∵y＝（2x2+3）（3x﹣1）＝6x3﹣2x2+9x﹣3，∴y'＝18x2﹣4x+9．（2）＝，（3）y′＝3（1+cos 2x）2•（1+cos 2x）′＝3（1+cos 2x）2•（﹣sin 2x）•（2x）′＝﹣6sin 2x•（1+cos 2x）2＝﹣6sin 2x•（2cos2x）2＝﹣6sin 2x•4cos4x＝﹣48sin x cos5x．【点评】本题考查了导数的运算，熟练掌握导数的运算法则是解题的关键，是基础题．32．求下列函数的导数．（1）y＝（2x2﹣1）（3x+1）；（2）．【分析】（1）直接利用常见函数的导数公式以及导数的运算律求解即可；（2）直接利用常见函数的导数公式以及导数的运算律求解即可．【解答】解：（1）因为y＝（2x2﹣1）（3x+1）＝6x3+2x2﹣3x﹣1，所以y'＝18x2+4x﹣3；（2）＝．【点评】本题考查了导数的运算，解题的关键是掌握常见函数的导数公式以及导数的运算律，属于基础题．。
高中数学导数练习题
高中数学导数练习题一、基础题1. 求函数 $f(x) = x^3 3x$ 的导数。
2. 求函数 $f(x) = \sqrt{1+x^2}$ 的导数。
3. 求函数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ 的导数。
4. 求函数 $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ 的导数。
5. 求函数 $f(x) = e^{2x}$ 的导数。
二、应用题1. 已知函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，求 $f'(x)$ 并说明其几何意义。
2. 某物体做直线运动，其位移 $s$ 与时间 $t$ 的关系为 $s =t^2 2t + 1$，求物体在 $t=2$ 时的瞬时速度。
3. 已知函数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$，求曲线在$x=4$ 处的切线方程。
4. 求函数 $f(x) = \sin(x)$ 在区间 $[0, \pi]$ 上的最大值和最小值。
5. 已知函数 $f(x) = \ln(x 1)$，求 $f(x)$ 的单调区间。
三、综合题1. 设函数 $f(x) = (x^2 1)^3$，求 $f'(x)$。
2. 已知函数 $f(x) = \frac{2x + 3}{x 1}$，求 $f'(x)$。
3. 求函数 $f(x) = \sqrt{1 + \sqrt{1 + x^2}}$ 的导数。
4. 已知函数 $f(x) = e^{x^2}$，求曲线在 $x=0$ 处的切线方程。
5. 设函数 $f(x) = \ln(\sin^2 x)$，求 $f'(x)$。
四、拓展题1. 已知函数 $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$，求 $f''(x)$。
2. 设函数 $f(x) = (x^3 + 1)^4$，求 $f'''(x)$。
3. 已知函数 $f(x) = \arctan(x)$，求 $f'(x)$。
【高中数学】新人教A版高二5.2.2 导数的四则运算法则(练习题)
新人教A版高二5.2.2 导数的四则运算法则(1212) 1.下列运算正确的是（）A.(3x)′=3x lnxB.(sinxx )′=xcosx+sinxx2C.(x−1x )′=1−1x2D.(log2x)′=1xln22.已知函数f(x)=x·lnx的导函数为f′(x)，若f′(x0)=1，则x0的值为（）A.1B.2C.eD.03.函数f(x)=e x cosx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为（）A.0B.π4C.1 D.π24.设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）A.e2B.eC.ln22D.ln25.已知函数f(x)=x2+2x−2的图象在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是（）A.(−1,3)B.(−1,−3)C.(−2,−3)D.(−2,3)6.已知函数f(x)的导数为f′(x)，若f(x)=x2+2f′(0)x+sinx，则f′(0)=（）A.−2B.−1C.1D.27.已知f(x)=xlnx+2017x，若f′(x0)=2019，则x0=（）A.e2B.eC.1D.ln28.已知函数f(x)=alnx+2，若f′(e)=2，则a的值为（）A.−1B.1C.2eD.e29.曲线y=3ln x＋x＋2在点P0处的切线方程为4x−y−1=0，则点P0的坐标是.10.已知函数f(x)=e x cos x−x，则f′(x)=.11.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)=3xf′(2)+lnx，则f(1)的值为.12.已知f(x)为偶函数，且当x>0时，f(x)=lnx−3x，则f′(−1)=.13.求下列函数的导数：(1)f(x)=(1+sin x)(1−4x)；(2)f(x)=xx+1−2x.14.设函数f(x)=ax−bx，曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x−4y−12=0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值.x−9都相切，则15.若存在过点(1，0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+154a=.16.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，定义：设f″(x)是函数f(x)的导函数f′(x)的导数，若f″(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))为函数f(x)的“拐点”.现已知f(x)=x3−3x2+2x−2，请解答下列问题：(1)求函数f(x)的“拐点”A的坐标；(2)证明：f(x)的图像关于“拐点”A对称参考答案1.【答案】:D【解析】:(3x)′=3x ln3，(sinxx )′=xcosx−sinxx2，(x−1x)′=1+1x2，(log2x)′=1xln2.故选 D.2.【答案】:A【解析】:f′(x)=ln x+1，∴f′(x0)=ln x0+1=1，∴ln x0=0，得x0=1.故选A.3.【答案】:B【解析】:对函数求导得f′(x)=e x(cos x−sin x)，∴f′(0)=1，∴函数f(x)=e x cos x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为π4.4.【答案】:B【解析】:【分析】本题主要考查导数的计算，属于基础题．求函数的导数，解导数方程即可．【解答】解：∵f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1，由f′（x0）=2，得lnx0+1=2，即lnx0=1，则x0=e，故选：B．5.【答案】:B【解析】:设M(x0，f(x0))，∵f′(x0)=2x0+2=0，∴x0=−1,∴f(−1)=(−1)2+2×(−1)−2=−3，∴M(−1,−3).6.【答案】:B【解析】:根据题意得f′(x)=2x+2f′(0)+cosx，令x=0，可得f′(0)=2f′(0)+1，解得f′(0)=−1，故选B.7.【答案】:B【解析】:∵f′(x)=lnx+1+2017，∴f′(x0)=ln x0+2018=2019，∴ln x0=1，解得x0=e.故选B.8.【答案】:C【解析】:函数f(x)=alnx+2，则f′(x)=ax ，若f′(e)=ae=2，则a=2e，故选C.9.【答案】:(1,3)【解析】:由题意知y′=3x＋1=4，解得x=1，此时4×1−y−1=0，解得y=3，所以点P0的坐标是(1,3).10.【答案】:e x(cos x−sin x)−1【解析】:f′(x)=e x cosx+e x(−sinx)−1=e x(cosx−sinx)−1.11.【答案】:−34【解析】:因为f(x)=3xf′(2)+lnx,所以f′(x)=3f′(2)+1x，令x=2，可得f′(2)=3f′(2)+1 2，解得f′(2)=−14，故f(x)=−34x+lnx，则f(1)=−34.12.【答案】:2【解析】:根据题意，设x<0，则−x>0，则f(−x)=ln(−x)−3×(−x)=ln(−x)+3x，又f(x)为偶函数，所以f(x)=f(−x)=ln(−x)+3x，则f′(x)=1x +3，所以f′(−1)=1−1+3=2.13(1)【答案】f′(x)=(1+sin x)′(1−4x)+(1+sin x)(1−4x)′=cos x(1−4x)−4(1+sin x)= cos x−4xcos x−4−4sin x.(2)【答案】f(x)=xx+1−2x=1−1x+1−2x，则f′(x)=1(x+1)2−2x ln2.14(1)【答案】由7x−4y−12=0，得y=74x−3.当x=2时，y=12，∴f(2)=12.①又f ′(x)=a +b x 2，∴f ′(2)=74.②由①②得{2a −b2=12，a +b 4=74，解得{a =1，b =3， 故f(x)=x −3x .(2)【答案】证明：设P(x 0，y 0)为曲线上任一点，由f ′(x)=1+3x 2知，曲线y =f(x)在点P(x 0，y 0)处的切线方程为y −y 0=(1+3x 02)(x −x 0)，即y −(x 0−3x 0)=(1+3x 02)(x −x 0). 令x =0，得y =−6x 0，从而得切线与直线x =0的交点坐标为(0，−6x 0). 令y =x ，得y =x =2x 0，从而得切线与直线y =x 的交点坐标为(2x 0，2x 0). 故曲线y =f(x)在点P(x 0，y 0)处的切线与直线x =0，y =x 所围成的三角形面积为12×|−6x 0|×|2x 0|=6，故曲线y =f(x)上任一点处的切线与直线x =0，y =x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.15.【答案】:−1或−2564【解析】:设过点(1，0)的直线与曲线y =x 3相切于点(x 0,x 03)，则切线方程为y −x 03=3x 02(x −x 0)，即y =3x 02x −2x ，30又点(1，0)在切线上，所以x 0=0或x 0=32.当x 0=0时，由直线y =0与曲线y =ax 2+154x −9相切，可得a =−2564；当x 0=32时，由直线y =274x −274与曲线y =ax 2+154x −9相切，可得a =−1. 综上可知，a =−1或−2564.16(1)【答案】由题易得f ′(x)=3x 2−6x +2，f″(x)=6x −6. 令f ″(x)=6x −6=0，得x =1，因为f(1)=1−3+2−2=−2， 所以“拐点”A 的坐标为(1,−2).(2)【答案】设P(x 0,y 0)是f(x)图像上任意一点，则y 0=x 03−3x 02+2x 0−2， P(x 0,y 0)关于“拐点”A(1,−2)的对称点为 P ′(2−x 0,−4−y 0). 因为−4−y 0=−x 03+3x 02−2x 0−2， (2−x 0)3−3(2−x 0)2+2(2−x 0)−2 =−x 03+3x 02−2x 0−2，所以点P ′(2−x 0,−4−y 0)在f(x)的图像上， 所以f(x)的图像关于“拐点”A 对称.。
高中数学导数练习题
高中数学导数练习题高中数学导数练习题在高中数学学习中，导数是一个重要的概念和工具。
它不仅在微积分中起着重要的作用，也在其他数学领域中有广泛的应用。
为了加深对导数的理解和掌握，我们可以通过练习题来提高自己的能力。
一、基础练习题1. 求函数f(x) = 3x² + 2x的导数。
解答：根据导数的定义，我们可以通过求函数的斜率来求导数。
对于f(x) = 3x²+ 2x，我们可以使用求导法则来求导数。
根据常数乘法法则和幂函数求导法则，我们可以得到f'(x) = 6x + 2。
2. 求函数g(x) = sin(x) + cos(x)的导数。
解答：对于g(x) = sin(x) + cos(x)，我们可以使用三角函数的求导法则来求导数。
根据三角函数的导数公式，我们可以得到g'(x) = cos(x) - sin(x)。
3. 求函数h(x) = e^x的导数。
解答：对于h(x) = e^x，我们可以使用指数函数的求导法则来求导数。
根据指数函数的导数公式，我们可以得到h'(x) = e^x。
二、应用练习题1. 求函数y = x³ - 2x² + 3x的极值点。
解答：对于函数y = x³ - 2x² + 3x，我们需要先求导数，然后令导数等于零来求得极值点。
求导得到y' = 3x² - 4x + 3。
令y' = 0，我们可以解方程得到x = 1和x = 3/2。
将这两个x值代入原函数，我们可以得到对应的y值。
所以，极值点为(1, 2)和(3/2, 9/8)。
2. 求函数y = x² - 4x的拐点。
解答：对于函数y = x² - 4x，我们需要求二阶导数，然后令二阶导数等于零来求得拐点。
求二阶导数得到y'' = 2。
由于二阶导数恒大于零，所以该函数没有拐点。
3. 求函数y = ln(x)的渐近线。
求导练习题高中
求导练习题高中1. 求下列函数的导数：a) f(x) = 3x^2 - 4x + 2解析：对于多项式函数，求导时可以将指数乘到系数上，并将指数减1。
f'(x) = 2 * 3x^(2-1) - 1 * 4x^(1-1) + 0= 6x - 4b) g(x) = (2x + 1)^3解析：使用链式法则，先对内部函数求导再乘以外部函数的导数。
g'(x) = 3(2x + 1)^2 * 2= 6(2x + 1)^2c) h(x) = cos(x^2)解析：对于三角函数，使用复合函数求导法则，先对内部函数求导再乘以外部函数的导数。
h'(x) = -sin(x^2) * 2x= -2x*sin(x^2)2. 求下列函数的高阶导数：a) f(x) = 5x^3 - 2x^2 + 3x - 1解析：对于多项式函数，求高阶导数时可以重复使用求导公式。
f'(x) = 3 * 5x^(3-1) - 2 * 2x^(2-1) + 1 * 3x^(1-1)= 15x^2 - 4x + 3f''(x) = 2 * 15x^(2-1) - 1 * 4x^(1-1)= 30x - 4f'''(x) = 1 * 30x^(1-1)= 30b) g(x) = e^x解析：对于指数函数，高阶导数仍为指数函数。
g'(x) = e^xg''(x) = e^xg'''(x) = e^x由此可见，指数函数的高阶导数始终等于自身。
3. 求下列函数的导数并求其在给定点的导数值：a) f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1，求f'(2)解析：先求导再代入给定点进行计算。
f'(x) = 3 * 2x^(3-1) + 2 * 3x^(2-1) - 1 * 4x^(1-1)= 6x^2 + 6x - 4f'(2) = 6 * 2^2 + 6 * 2 - 4= 24 + 12 - 4= 32b) g(x) = sin(x) + cos(x)，求g'(π/4)解析：先求导再代入给定点进行计算。
高二数学导数练习题及答案
高二数学导数练习题及答案导数是高中数学中的重要概念之一，它在数学和实际问题中具有广泛的应用。
为了帮助高二学生巩固导数的知识和提高解题能力，本文为大家准备了一些高二数学导数练习题及答案。
希望通过这些练习题的训练，同学们能够更好地理解导数的概念和运用。
练习题一：1. 求函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 在点 x = 2 处的导数。
2. 已知函数 f(x) = x^2 + 3x，求函数 f(x) = x^2 + 3x 的导函数。
3. 求函数 f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3) 在点 x = -1 处的导数。
答案一：1. 函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 的导数为：f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
2. 函数 f(x) = x^2 + 3x 的导函数为：f'(x) = 2x + 3。
3. 函数 f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3) 在点 x = -1 处的导数为：f'(-1) = 0。
练习题二：1. 求函数 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 的极值点及极值。
2. 已知函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x+ 2 的拐点。
3. 求函数 f(x) = x^3 - 3x 在其定义域内的极值点。
答案二：1. 函数 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 的极值点为 x = 1/2，极值为 f(1/2) = 47/16。
2. 函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 的拐点为 x = 2。
3. 函数 f(x) = x^3 - 3x 在其定义域内的极值点为 x = 1。
练习题三：1. 求函数 f(x) = e^x 的导数。
2. 已知函数 f(x) = ln(x)，求函数 f(x) = ln(x) 的导函数。
高中 导数 练习题
高中导数练习题1. 求函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 的导数。
2. 求函数 g(x) = e^x + ln(x) 的导数。
3. 求函数 h(x) = sin(x) + cos(x) 的导数。
4. 求函数 i(x) = (3x^2 + 2x + 1) / (x - 1) 的导数。
5. 求函数 j(x) = sqrt(x) / x 的导数。
解答：1. 对于函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5，使用幂函数的求导法则，可得到导数 f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
2. 对于函数 g(x) = e^x + ln(x)，使用指数函数和对数函数的求导法则，可得到导数 g'(x) = e^x + 1/x。
3. 对于函数 h(x) = sin(x) + cos(x)，使用三角函数的求导法则，可得到导数 h'(x) = cos(x) - sin(x)。
4. 对于函数 i(x) = (3x^2 + 2x + 1) / (x - 1)，使用除法的求导法则，可得到导数 i'(x) = (8x - 1) / (x - 1)^2。
5. 对于函数 j(x) = sqrt(x) / x，使用根式函数和倒数的求导法则，可得到导数 j'(x) = (1 - sqrt(x)) / (2x^2 * sqrt(x))。
通过解答以上导数练习题，可以帮助我们熟悉和掌握导数的求法。
在高中数学中，导数是一个重要的概念，它代表了函数在某一点的瞬时变化率。
对于一个函数而言，如果我们知道了它的导数，就可以利用导数来研究函数的性质，如函数的增减性、极值点以及函数图像的形状等。
在求导的过程中，我们需要掌握一些基本的求导方法和公式。
常见的求导法则包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则、求导法则的运算性质等。
对于复杂的函数，我们可以利用这些基本的求导法则，通过逐步求导的方法来求得它们的导数。
高中数学导数的计算精选题目(附答案)
高中数学导数的计算精选题目（附答案）(1)基本初等函数的导数公式(2)导数运算法则①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 当g (x )＝c 时，[cf (x )]′＝cf ′(x )．③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．（3）复合导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．求下列函数的导数： (1)y ＝10x ； (2)y ＝lg x ； (3)y ＝log 12x ；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1.2．求下列函数的导数： (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ；(3)y ＝lg 5； (4)y ＝3lg 3x ； (5)y ＝2co S 2x2－1. 3.(1)y ＝x 3·e x ； (2)y ＝x －S i n x 2co S x2； (3)y ＝x 2＋log 3x; (4)y ＝e x ＋1e x －1.4．求下列函数的导数： (1)y ＝cos x x ； (2)y ＝xS i n x ＋x ； (3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x； (4)y ＝lg x －1x 2.5．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离． 6．求过曲线y ＝co S x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方程．7．求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2； (2)y ＝e S i n x ；(3)y ＝S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1) 8．求下列函数的导数． (1)f (x )＝(－2x ＋1)2； (2)f (x )＝l n (4x －1)； (3)f (x )＝23x ＋2； (4)f (x )＝5x ＋4； (5)f (x )＝S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6；(6)f (x )＝co S 2x .9．求下列函数的导数． (1)y ＝x 1＋x 2；(2)y ＝x co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2.10．求下列函数的导数． (1)y ＝S i n 2x3； (2)y ＝S i n 3x ＋S i n x 3； (3)y ＝11－x 2； (4)y ＝x l n (1＋x )．11. 设f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切．求a ，b 的值．12．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23 D ．1参考答案：1.解： (1)y ′＝(10x )′＝10x l n 10. (2)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.(3)y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x.(5)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1＝S i n 2x2＋2S i n x 2co S x 2＋co S 2x 2－1 ＝S i n x ，∴y ′＝(S i n x )′＝co S x .2.解：(1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x l n 1e ＝－1e x ＝－e －x .(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x l n 110＝－ln 1010x＝－10－x l n 10.(3)∵y ＝lg 5是常数函数，∴y ′＝(lg 5)′＝0. (4)∵y ＝3 lg 3x ＝lg x ，∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.(5)∵y ＝2co S 2x2－1＝co S x ，∴y ′＝(co S x )′＝－S i n x . 3.解： (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x . (2)∵y ＝x －12S i n x ，∴y ′＝x ′－12(S i n x )′＝1－12co S x . (3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.4.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos xx 2.(2)y ′＝(xS i n x )′＋(x )′＝S i n x ＋x co S x ＋12x.(3)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝1x ln 10＋2x 3. 5.解：如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为22.6.解：∵y ＝co S x ，∴y ′＝(co S x )′＝－S i n x ，∴曲线在点P π3，12处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝π3＝－S i n π3＝－32，∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为233，∴满足题意的直线方程为y －12＝233⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，即233x －y ＋12－239π＝0. 7.解： (1)设y ＝u 12，u ＝1－2x 2， 则y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u 12′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u －12·(－4x ) ＝12(1－2x 2)－12(－4x )＝－2x 1－2x 2 .(2)设y ＝e u ，u ＝S i n x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·co S x ＝e S i n x co S x . (3)设y ＝S i n u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·2＝2co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1， 则y ′＝5(log 2u )′(2x ＋1)′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.8.解：(1)设y ＝u 2，u ＝－2x ＋1，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－2)＝－4(－2x ＋1)＝8x －4. (2)设y ＝l n u ，u ＝4x －1， 则y ′＝y u ′·u x ′＝1u ·4＝44x －1.(3)设y ＝2u ，u ＝3x ＋2，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u l n 2·3＝3l n 2·23x ＋2. (4)设y ＝u ，u ＝5x ＋4， 则y ′＝y u ′·u x ′＝12u·5＝525x ＋4.(5)设y ＝S i n u ，u ＝3x ＋π6，则y ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·3＝3co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6.(6)法一：设y ＝u 2，u ＝co S x ， 则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－S i n x ) ＝－2co S x ·S i n x ＝－S i n 2x ； 法二：∵f (x )＝co S 2x ＝1＋cos 2x 2＝12＋12co S 2x ， 所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos 2x ′＝0＋12·(－S i n 2x )·2＝－S i n 2x . 9.解： (1)y ′＝(x 1＋x 2)′ ＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′ ＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2.(2)∵y ＝x co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝x (－S i n 2x )co S 2x ＝－12xS i n 4x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x sin 4x ′＝－12S i n 4x －x2co S 4x ·4 ＝－12S i n 4x －2x co S 4x .10.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x 3′＝2S i n x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 3′ ＝2S i n x 3·co S x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝13S i n 2x3.(2)y ′＝(S i n 3x ＋S i n x 3)′＝(S i n 3x )′＋(S i n x 3)′ ＝3S i n 2x co Sx ＋co S x 3·3x 2＝3S i n 2x co S x ＋3x 2co S x 3. (3)y ′＝0－(1－x 2)′1－x 2＝－12(1－x 2)－12(1－x 2)′1－x 2＝x (1－x 2)－121－x 2＝x(1－x 2) 1－x 2.(4)y ′＝x ′l n (1＋x )＋x []ln (1＋x )′ ＝l n (1＋x )＋x 1＋x. 11.解： 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得l n 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1.由f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，此即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.12.解析：选A 依题意得y ′＝e －2x ·(－2)＝－2e －2x ，y ′|x ＝0＝－2e－2×0＝－2.曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2.在坐标系中作出直线y ＝－2x ＋2、y ＝0与y ＝x 的图象，因为直线y ＝－2x ＋2与y ＝x的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，直线y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于12×1×23＝13.。
高中数学导数典型题
关于导数的29个典型习题习题1设函数在0=x 的某邻域内1C 类(有一阶连续导数）,且.0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h f b h f a -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定b a ,的值。
解 由题设知 0)0()1()]0()2()([lim 0=-+=-+→f b a f h f b h f a h 。
.01,0)0(=-+∴≠b a f 由洛比达法则知).0()2(1)2(2)(lim )0()2()(lim 000f b a h f b h f a h f h bf h af h h '+='+'=-+=→→洛,0)0(≠'f 故.02=+b a 联立可解出.1,2-==b a 习题2 设,0,00,)()(⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-x x x e x g x f x其中)(x g 有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g .（1) 求);(x f '（2) 讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性. 解 （1) 当0≠x 时，用公式有,)1()()()(])([)(22x e x x g x g x x e x g e x g x x f xx x ---++-'=+-+'='当0=x 时，用定义求导数，有.21)0()(lim)0(20-''=-='-→g x e x g f xx 二次洛⎪⎩⎪⎨⎧=-''≠++-'='∴-.0,21)0(0,)1()()()(2x g x x e x x g x g x x f x（2) 因在0=x 处有).0(21)0(2)(lim 2)1()()()(lim )(lim 000f g e x g x e x e x g x g x x g x f xx xx x x '=-''=-''=+-+'-''+'='-→--→→洛而)(x f '在0≠x 处连续，故).,()(+∞-∞∈'C x f 习题3 证明:若022=++++c y b x a y x(圆），其中c b a ,,为定数),04(22>-+c b a 则=+xd y d dx dy 22232])(1[定数。
新人教版高中数学选择性必修第二册培优班精讲《导数的运算》练习含答案解析
5.2 导数的运算考点一 初等函数求导【例1】（2020·林芝市第二高级中学高二期末（文））求下列函数的导函数.（1）()3224f x x x =-+（2）()32113f x x x ax =-++（3）()cos ,(0,1)f x x x x =+∈ （4）2()3ln f x x x x =-+-（5）sin y x = （6）11x y x +=-【答案】(1)2()68f x x x =-+ (2)2()2f x x x a '=-+ (3)()sin 1f x x '=-+ (4)1()23f x x x'=--+ (5)cos y x '= (6)22(1)y x '=--【解析】（1）由()3224f x x x =-+，则()'268f x x x =-+；（2）由()32113f x x x ax =-++，则()'22f x x x a =-+；（3）由()cos ,(0,1)f x x x x =+∈ ，则()1sin ,(0,1)f x x x =-∈；（4）由2()3ln f x x x x =-+-，则'1()23f x x x=-+-；（5）由sin y x =，则 'cos y x =；（6）由11x y x +=-，则'''22(1)(1)(1)(1)2(1)(1)x x x x y x x +⨯--+⨯-==---.【一隅三反】1．（2020·西藏高二期末（文））求下列函数的导数.（1）2sin y x x =；（2）n 1l y x x=+；（3）322354y x x x =-+-.【答案】（1）22sin cos y x x x x '=+（2）211y x x'=-（3）2665y x x '=-+【解析】（1）2sin y x x =22sin cos y x x x x '=+（2）n 1l y x x =+211y x x'=-（3）322354y x x x x =-+-2665y x x '=-+2．（2020·通榆县第一中学校高二月考（理））求下列函数的导数：（Ⅰ）22ln cos y x x x =++；（Ⅱ）3e x y x =.【答案】（Ⅰ）14sin x x x+-；（Ⅱ）()233e xx x +.【解析】（Ⅰ）由导数的计算公式，可得()212(ln )(cos )4sin y x x x x x x'=++=+-'''.（Ⅱ）由导数的乘法法则，可得()()()3323e e 3e x xx y x x xx ''=+=+'.3．（2020·山东师范大学附中高二期中）求下列函数在指定点的导数：（1）4ln(31)y x =++ ，1x =； （2）2cos 1sin x y x=+，π2x =．【答案】（1）12x y ='=（2）21ln 2x y π==+'【解析】（1）321231y x x -'=-++，12x y ='=（2）21sin y x+'=，21ln2x y π==+'考点二 复合函数求导【例2】．（2020·凤阳县第二中学高二期末（理））求下列函数的导数：（1）2=e x y ；（2）()313y x =-.【答案】（1）22x e ；（2）29(13)x --或281549y x x '=-+-．【解析】（1）2'22e (2)e 22e x x x y x =⋅=⋅='；（2）()()22'313(13)913y x x x =--=--'．或281549y x x '=-+-． 【一隅三反】1．（2020·陕西碑林·西北工业大学附属中学高二月考（理））求下列函数的导数：(1)()*()2+1ny x n N ∈＝，；(2)(ln y x =+；(3)11x x e y e +=-；(4)2)2(+5y xsin x ＝．【答案】（1）()1'221n y n x -=+；（2）'y =；（3）()221xxe y e-'=-；（4）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++.【解析】(1)()()()11'2121'221n n y n x x n x ⋅－－＝＋＋＝＋；（2）1y ⎛=+= ⎝'（3）∵12111xx xe y e e +==+--∴()()222211xxx xe e y e e'-=-=--；（4）()()2sin 254cos 25y x x x =+'++.2．（2020·横峰中学高二开学考试（文））求下列各函数的导数：（1）ln(32)y x =-；（2）()212x x f x ee e -+=++（3）y【答案】（1）332y x '=-；（2）21()2x x f x e e -+'=-+.（3）y '=【解析】（1）因为ln(32)y x =-令32t x =-，ln y t =所以()()1332ln 332y x t t x '''=-⋅=⋅=-（2）()21221,()2x x x x f x e f x ee e e -+-+∴'=-+++= .（3）令212t x =-，则12y t =，所以112211()(4)22y t t t x -'''==⋅=-=；考点三 求导数值【例3】．（2020·甘肃城关·兰州一中高二期中（理））已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()3(1)ln f x xf x '=+，则(1)f '=A ．12-B ．12C ．1-D ．e【答案】A【解析】()()31ln f x xf x '=+ ，求导得()()131f x f x''=+，则()()1311f f ''=+，解得()112f '=-.故选：A.【一隅三反】1．（2020·广东湛江·高二期末（文））已知函数()cos x f x x =，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭'（ ）A ．2π-B ．2πC ．3πD ．3π-【答案】A【解析】()cos x f x x = ，()2sin cos x x x f x x --'∴=，因此，2sin 22222f πππππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭'-==- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A.2．（2020·四川高二期中（理））若函数()()22co 102s x f x x f x '=++，则6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．0B ．6πC ．3πD ．π【答案】B【解析】因为()()20sin 1f x x f x ''=-+，所以令0x =，则()01f '=，所以()2sin 1f x x x '=-+，则66f ππ⎛⎫'=⎪⎝⎭，故选： B.3．（2020·广西桂林·高二期末（文））已知函数2()f x x x =+，则()1f '=（ ）A ．3B ．0C ．2D ．1【答案】A【解析】由题得()21(1)3f x x f ''=+∴=，.故选：A 考点四 求切线方程【例4】．（2020·郸城县实验高中高二月考（理））已知曲线31433y x =+（1）求曲线在点(2,4)P 处的切线方程；（2）求曲线过点(2,4)P 的切线方程【答案】（1）440x y --=；（2）20x y -+=或440x y --=．【解析】（1）∵2y x '=，∴在点()2,4P 处的切线的斜率2|4x k y ='==，∴曲线在点()2,4P 处的切线方程为()442y x -=-，即440x y --=．（2）设曲线31433y x =+与过点()2,4P 的切线相切于点30014,33A x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则切线的斜率020|x x k y x =='=，∴切线方程为()320001433y x x x x ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭，即23002433y x x x =⋅-+．∵点()2,4P 在该切线上，∴2300244233x x =-+，即320340x x -+=，∴322000440x x x +-+=，∴()()()2000014110x x x x +-+-=，∴()()200120x x +-=，解得01x =-或02x =．故所求切线方程为440x y --=或20x y -+=．【一隅三反】1．（2020·黑龙江大庆实验中学高三月考（文））曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为A ．21y x =-+B ．32y x =-+C ．23y x =-D ．2y x =-【答案】A【解析】2xy x =-的导数为22'(2)y x =--，可得曲线22y x =-在点()1,1-处的切线斜率为1'|2x k y ===-，所以曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为12(1)y x +=--，即21y x =-+，故选A.2．（2020·河南高三其他（理））曲线()21ln 22y x x =-在某点处的切线的斜率为32-，则该切线的方程为（）A ．3210x y +-=B ．3210x y ++=C ．6450x y +-=D ．12870x y +-=【答案】D【解析】求导得1y x x '=-，根据题意得132y x x '=-=-，解得2x =-（舍去）或12x =，可得切点的坐标为11,28⎛⎫⎪⎝⎭，所以该切线的方程为131822y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，整理得12870x y +-=.故选：D.3．（2020·北京高二期末）过点P （0，2）作曲线y ＝1x 的切线，则切点坐标为（ ）A ．（1，1）B ．（2，12）C ．（3，13）D ．（0，1）【答案】A【解析】设切点001(,)x x ,022001112(0)y x x x x '=-∴-=--Q 01x ∴=,即切点(1,1)故选：A4．（2020·吉林洮北·白城一中高二月考（理））已知函数f(x)＝x 3－4x 2＋5x －4．(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．【答案】（1）x －y －4＝0（2）x －y －4＝0或y ＋2＝0【解析】(1)∵f′(x)＝3x 2－8x ＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0．(2)设切点坐标为(x 0，x 03－4x 02＋5x 0－4)，∵f′(x 0)＝3x 02－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 02－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 03－4x 02＋5x 0－4)，∴x 03－4x 02＋5x 0－2＝(3x 02－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0．考点五 利用切线求参数【例5】．（2020·全国高三其他（理））已知曲线()ln xy e ax x =-在点()1,ae 处的切线方程为y kx =，则k =（）A ．1-B ．0C ．1D ．e【答案】D【解析】令()()ln xy f x eax x ==-，则()()1ln x xf x e ax x e a x'=-+-（，所以()12f ea e ='-，因为曲线()ln xy eax x =-在点()1,ae 处的切线方程为y kx =，所以该切线过原点，所以()12f ea e ae ='-=，解得1a =，即k e =.故选：D.【一隅三反】1．（2020·岳麓·湖南师大附中月考）已知函数()2ln xf x ax x=-，若曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线210x y -+=平行，则a =______.【答案】12-【解析】因为函数()2ln x f x ax x =-，所以()21ln 2xf x ax x-'=-，又因为曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线210x y -+=平行，所以()1122f a '=-=，解得12a =-，故答案为：12-2．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））曲线(1)x y ax e =+在点（0，1）处的切线的斜率为2，则a ＝_____.【答案】1【解析】 (1)x y ax e =+，∴(1)x y ax a e '=++ 012x y a =∴=+='，1a \=.故答案为：1.3．（2020·山东莱州一中高二月考）已知直线y x b =+是曲线3x y e =+的一条切线，则b =________.【答案】4【解析】设()3xf x e =+，切点为()00,+3xx e ，因为()xf x e '=，所以01x e =，解得00x =，所以0034y e =+=，故切点为(0,4)，又切点在切线y x b =+上，故4b =.故答案为：4。
高中数学专题练习《导数的四则运算法则》含详细解析
5.2.2导数的四则运算法则基础过关练题组一导数的四则运算法则1.函数f(x)=x 2x+3的导数f'(x)=()A.x 2+6xx+3B.-2x(x+3)2C.x2+6x(x+3)2D.3x2+6x(x+3)22.函数y=x2cos x的导数为()A.y'=2xcos x-x2sin xB.y'=2xcos x+x2sin xC.y'=x2cos x-2xsin xD.y'=xcos x-x2sin x3.已知f(x)=x2+e x,则f'(0)=()A.0B.-4 C.-2 D.14.对于函数f(x)=e xx2+ln x-2kx,若f'(1)=1,则实数k等于()A.e2B.e3C.-e2D.-e35.(2020浙江宁波余姚中学高二下月考)设f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数,若f(x),g(x)满足f'(x)=g'(x),则f(x)与g(x)满足() A.f(x)=g(x) B.f(x)=g(x)=0C.y=f(x)-g(x)为常数函数D.y=f(x)+g(x)为常数函数6.若函数f(x)=x 2e x,则f'(x)=.7.已知函数f(x),g(x)满足f(5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,若h(x)=f(x)+2g(x),则h'(5)=.8.求下列函数的导数.(1)y=x-2+x2;(2)y=3x e x-2x+e;(3)y=lnxx2+1;(4)y=x2-4sin x2cos x2.题组二求导法则的综合应用9.已知函数f(x)=f'(1)+xln x,则f(e)=()A.1+eB.eC.2+eD.310.已知定义在R上的函数f(x)=e x+x2-x+sin x,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为()A.y=3x-2B.y=x+1C.y=2x-1D.y=-2x+311.(2020浙江嘉兴高三上期末)设曲线y=x+1x-2在点(1,-2)处的切线与直线ax+by+c=0(b≠0)垂直,则ab=()A.13B.-13C.3D.-312.(2020河北保定高二上期末)设曲线f(x)=ae x-ln x(a≠0)在x=1处的切线为l,则l在y轴上的截距为()A.1B.2C.aeD.ae-113.若质子的运动方程为s=tsin t,其中s的单位为m,t的单位为s,则质子在t=2s时的瞬时速度为m/s.14.曲线y=x3+3x2+6x-10的所有切线中,斜率最小的切线方程为.15.(2020江西南昌三中高二下期中)已知函数f(x)=x-2ln x,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程.能力提升练题组导数的四则运算法则及其应用1.()设函数f(x)=sinθ3x3+√3cosθ2x2+tanθ,其中θ∈[0,5π12],则导数f'(1)的取值范围是()A.[-2,2]B.[√2,√3]C.[√3,2]D.[√2,2]2.(2020湖南长沙长郡中学高二上期末,)下面四个图象中,有一个是函数f(x)=13x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f'(x)的图象,则f(-1)=()A.13B.-23C.73D.-13或533.(2019河北衡水中学高三二调,)已知f'(x)是函数f(x)的导函数,且对任意的实数x都有f'(x)=e x(2x-2)+f(x)(e是自然对数的底数),f(0)=1,则(易错)A.f(x)=e x(x+1)B.f(x)=e x(x-1)C.f(x)=e x(x+1)2D.f(x)=e x(x-1)24.()设函数f(x)=xsin x+cos x的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为g(t),则函数y=g(t)图象的一部分可以是()5.(多选)()给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f'(x)存在,且导函数f'(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f'(x))',若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0,π)上不是凸函数的是()2A.f(x)=sin x-cos xB.f(x)=ln x-2xC.f(x)=-x3+2x-1D.f(x)=xe x6.()对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),现给出定义:设f'(x)是函数f(x)的导数,f″(x)是f'(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数g(x)=2x3-3x2+1,则g(1100)+g(2100)+…+g(99100)=.7.(2020湖南长沙长郡中学高二上期末,)已知函数f(x)=13x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C.(1)求曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围;(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围.8.()已知直线x+2y-4=0与抛物线y2=4x相交于A,B两点,O是坐标原点,试在抛物线的AOB⏜上求一点P,使△ABP的面积最大.9.()已知函数f(x)(x∈(0,+∞))的导函数为f'(x),且满足xf'(x)-2f(x)=x3e x,f(1)=e-1,求f(x)在点(2,f(2))处的切线方程.答案全解全析基础过关练1.C f'(x)=(x 2)'(x+3)−x2(x+3)′(x+3)2=2x(x+3)−x 2(x+3)2=2x2+6x-x2(x+3)2=x2+6x(x+3)2.故选C.2.A对函数y=x2cos x求导,得y'=2xcos x+x2·(-sin x)=2xcos x-x2sin x.故选A.3.D由题意,得f'(x)=2x+e x,则f'(0)=1,故选D.4.A因为f'(x)=e x(x-2)x3+1x+2kx2,所以f'(1)=-e+1+2k=1,解得k=e2,故选A.5.C取f(x)=x,g(x)=x+1,满足f'(x)=g'(x),可以验证A、B、D错误;由f'(x)=g'(x),得f'(x)-g'(x)=0,即[f(x)-g(x)]'=0,所以f(x)-g(x)=c(c为常数),C 正确.故选C.6.答案2x-x 2e x解析f'(x)=2xe x-x2e x(e x)2=2x-x2e x.7.答案516解析由题意得,h'(x)=f'(x)g(x)-[f(x)+2]g'(x)[g(x)]2,由f(5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,得h'(5)=f'(5)g(5)-[f(5)+2]g'(5)[g(5)]2=3×4−(5+2)×142=516.8.解析(1)y'=2x-2x-3. (2)y'=(ln3+1)·(3e)x-2x ln2.(3)y'=x 2+1−2x 2lnx x(x 2+1)2.(4)∵y=x 2-4sin x2cos x 2=x 2-2sin x,∴y'=2x-2cos x.9.A ∵f'(x)=ln x+1,∴f'(1)=ln 1+1=1,则f(x)=1+xln x,∴f(e)=1+eln e=1+e.10.B ∵f'(x)=e x +2x-1+cos x,∴切线的斜率k=f'(0)=1,又f(0)=1,∴切线方程为y=x+1. 11.B 依题意得y'=x -2-(x+1)(x -2)2=-3(x -2)2,则y'x=1=-3,由于曲线y=x+1x -2在点(1,-2)处的切线与直线ax+by+c=0(b ≠0)垂直,所以(-3)·(-ab)=-1,解得a b=-13.故选B.12.A 因为函数f(x)=ae x -ln x(a ≠0), 所以f'(x)=ae x -1x ,将x=1代入,得k=ae-1,又f(1)=ae,所以曲线f(x)在x=1处的切线l 的方程为y-ae=(ae-1)(x-1), 整理得y=(ae-1)x+1,令x=0,得y=1. 所以l 在y 轴上的截距为1.故选A. 13.答案 sin 2+2cos 2解析 ∵s'=(tsin t)'=sin t+tcos t, ∴所求瞬时速度为(sin 2+2cos 2)m/s. 14.答案 3x-y-11=0解析 ∵y'=3x 2+6x+6=3(x 2+2x+2) =3(x+1)2+3≥3,∴当x=-1时,y'最小,即此时切线的斜率最小,此时切点为(-1,-14), ∴切线方程为y+14=3(x+1), 即3x-y-11=0.15.解析 ∵函数f(x)=x-2ln x 的导函数为f'(x)=1-2x ,∴曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线斜率为f'(1)=1-2=-1,又f(1)=1,∴曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.能力提升练1.D f'(x)=sin θ·x 2+√3cos θ·x, ∴f'(1)=sin θ+√3cos θ=2sin (θ+π3),∵θ∈[0,5π12],∴θ+π3∈[π3,3π4],∴sin (θ+π3)∈[√22,1],∴f'(1)=2sin (θ+π3)∈[√2,2].故选D.2.D 因为f'(x)=x 2+2ax+a 2-1,所以y=f'(x)的图象开口向上,排除②④.若y=f'(x)的图象为①,则a=0,f(-1)=53;若y=f'(x)的图象为③,则a 2-1=0,得a=±1.又对称轴x=-a>0,所以a=-1,所以f(-1)=-13.3.D 由f'(x)=e x (2x-2)+f(x), 得f'(x)-f(x)e x =2x-2,即[f(x)e x]'=2x-2,所以f(x)e x=x 2-2x+c(c 为常数),所以f(x)=(x 2-2x+c)e x , 又因为f(0)=1,所以c=1,所以函数f(x)的解析式是f(x)=e x (x-1)2.故选D.易错警示 已知原函数可求出唯一的导函数,已知导数求原函数,则结论不唯一,如本题中由y'=2x-2可以得到y=x 2-2x+c(c 为常数),解题时容易将c 遗漏导致解题错误. 4.A 由f(x)=xsin x+cos x,可得f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x. 则g(t)=f'(t)=tcos t,易知函数g(t)是奇函数,排除选项B,D; 当t ∈(0,π2)时,g(t)>0,排除选项C.故选A.5.AD 对于A,f'(x)=cos x+sin x, f″(x)=-sin x+cos x,当x ∈(0,π4)时,f″(x)>0,故f(x)=sin x-cos x 不是凸函数;对于B,f'(x)=1x-2,f″(x)=-1x2<0,故f(x)=ln x-2x 是凸函数; 对于C,f'(x)=-3x 2+2,f″(x)=-6x,当x ∈(0,π2)时,f″(x)<0,故f(x)=-x 3+2x-1是凸函数;对于D,f'(x)=(x+1)e x ,f″(x)=(x+2)e x ,当x ∈(0,π2)时,f″(x)>0,故f(x)=xe x 不是凸函数.故选AD.6.答案992解析 依题意得,g'(x)=6x 2-6x,g″(x)=12x -6,令g″(x)=0,解得x=12, ∵g (12)=12,∴函数g(x)的对称中心为(12,12),则g(1-x)+g(x)=1,∵1100+99100=2100+98100=…=49100+51100=1,∴g (1100)+g (99100)=g (2100)+g (98100)=…=g (49100)+g (51100)=1,∴g (1100)+g (2100)+…+g (99100) =[g (1100)+g (99100)]+[g (2100)+g (98100)] +…+[g (49100)+g (51100)]+g (12) =49+12=992.7.解析 (1)由题意得f'(x)=x 2-4x+3,则f'(x)=(x-2)2-1≥-1,即曲线C 上任意一点的切线的斜率的取值范围是[-1,+∞).(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k,则由条件和(1)中结论可知, {k ≥−1,-1k ≥−1,解得-1≤k<0或k ≥1,故由-1≤x 2-4x+3<0或x 2-4x+3≥1,得x ∈(-∞,2-√2]∪(1,3)∪[2+√2,+∞).8.解析 因为|AB|为定值,所以要使△PAB 的面积最大,只要点P 到AB 的距离最大即可,即点P 是抛物线的切线中平行于AB 的切线的切点,设P(x,y).由题图知,点P 在x 轴下方的图象上,所以y=-2√x ,所以y'=-√x . 因为k AB =-12,所以-√x =-12,解得x=4.由y=-2√x ,得y=-4, 所以点P 的坐标为(4,-4).9.解析 ∵xf'(x)-2f(x)=x 3e x ,x ∈(0,+∞),∴xf'(x)-2f(x)x 3=e x . 令g(x)=f(x)x 2,则g'(x)=xf'(x)-2f(x)x 3=e x , ∴g(x)=f(x)x 2=e x +c(c 为常数),∴f(x)=x 2(e x +c).又f(1)=e+c=e-1,∴c=-1.∴f(x)=x 2(e x -1),∴f'(x)=2x(e x -1)+x 2e x =(x 2+2x)e x -2x,∴f'(2)=8e 2-4.又f(2)=4(e 2-1),∴所求切线方程为y-4(e 2-1)=(8e 2-4)·(x-2),即y=(8e 2-4)x-12e 2+4.。
导数计算练习题
导数计算练习题1、已知()2f x x =，则()3f '等于（ ）A ．0B ．2xC ．6D ．9 2、()0f x =的导数是（ ）A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定3、y =的导数是（ ）A ．23xB ．213x C ．12- D 4、曲线n y x =在2x =处的导数是12，则n 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45、若()f x =()1f '等于（ ）A ．0B ．13-C ．3D ．136、2y x =的斜率等于2的切线方程是（ ）A ．210x y -+=B ．210x y -+=或210x y --=C ．210x y --=D ．20x y -=7、在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点是（ ）A ．()0,0B ．()2,4C ．11,416⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭8、（理科）设()sin y f x =是可导函数，则x y '等于（ ）A ．()sin f x 'B ．()sin cos f x x '⋅C ．()sin sin f x x '⋅D ．()cos cos f x x '⋅9、（理科）函数()22423y x x =-+的导数是（ ） A ．()2823x x -+ B ．()2216x -+ C ．()()282361x x x -+- D ．()()242361x x x -+-10、曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是（ ）A ．74y x =+B ．72y x =+C ．4y x =-D ．2y x =-11、点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,,24πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,24ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦12、求函数212y x =-在点1x =处的导数。
高中数学导数练习题附答案
高中数学导数练习题附答案一、解答题1．已知函数e ()(ln )=--+xf x a x x a x（a 为实数）．(1)当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在（0，1）内存在唯一极值点，求实数a 的取值范围． 2．某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了100个相同的箱子，其中第()1,2,,100k k =个箱子中有k 个数学题，100k -个物理题．每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，依次抽取三个题目（每次取出不放回），并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品．(1)已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了2个数学题，1个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为p ，答对每一个物理题的概率为q ． ①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率；②已知1p q +=，学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时p 、q 的值．(2)若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率． 3．已知函数1()2ln f x x x x=+-． (1)求函数的单调区间和极值；(2)若12x x ≠且()()12f x f x =，求证：121x x <． 4．已知函数2()ln (2)f x a x x a x =+-+，其中.a R ∈ (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 的导函数()'f x 在区间()1,e 上存在零点，证明：当()1,e x ∈时，()2e .f x >-5．函数()3e xf x ax =-，0a >.(1)讨论函数()f x 的极值点个数；(2)已知函数()g x 的定义域为[)0,∞+，且[)0,x ∞∀∈+满足()()()g x xg x xg x '+>.若[)00,x ∃∈+∞，满足不等式()()()22e 22e x x g x xg x --≤，且0x 是函数()f x 的极值点，求a 的取值范围.6．已知：()e xf x mx =+.(1)当1m =时，求曲线()y f x =的斜率为2的切线方程；(2)当0x ≥时，()2213222m f x x ≥+-成立，求实数m 的范围7．已知函数()()24e 1xf x x =-+．(1)求()f x 的极值．(2)设()()()f m f n m n =≠，证明：7m n +<．8．已知函数1()(1)(0)x f x x e x x=+->，()ln ()x g x xe a x a R =+∈，且1()0f x = (1)若1a =，且0()0g x =，试比较0x 与1x 的大小关系，并说明理由； (2)若1a =-，且222(1)()()x f x g x +=，证明： （i ）25593x e <<； （ii ）12213232x x x ex -->-.（参考数据：1ln3 1.098,ln5 1.609,0.368e≈≈≈） 9．已知函数()ln 2=-f x ax x x ．(1)若()f x 在1x =处取得极值，求()f x 的单调区间； (2)若函数2()()2=-+f x h x x x有1个零点，求a 的取值范围． 10．已知函数()321623f x x ax x =+-+在2x =处取得极值． (1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在[]4,3-上的最小值和最大值．【参考答案】一、解答题1．(1)单调递减区间为（0，1），递增区间为(1,)+∞ (2)(e,)+∞ 【解析】 【分析】（1）求导2(1)(e )()--'=x x ax f x x，易知1a =-时，e 0-=+>x x ax e x ，然后由()0f x '<和()0f x '>求解；（2）由（1）知，0a 时，不符合题意， 0a >时，根据函数()f x 在（0，1）内存在唯一极值点，得到()0f x '=在（0，1）内存在唯一变号零点，转化为ex a x=在（0，1）内存在唯一根求解. (1)解：函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，22e (1)1(1)(e )()1---⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭x x x x ax f x a x x x ． 当1a =-时，e 0-=+>x x ax e x ，所以当(0,1)x ∈时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>． 所以()f x 的单调递减区间为（0，1），递增区间为(1,)+∞． (2)由（1）知，当0a 时，()f x 在（0，1）内单调递减， 所以()f x 在（0，1）内不存在极值点；当0a >时，要使函数()f x 在（0，1）内存在唯一极值点，则2(1)(e )()0--'==x x ax f x x 在（0，1）内存在唯一变号零点， 即方程e 0x ax -=在（0，1）内存在唯一根，所以e xa x=在（0，1）内存在唯一根，即y a =与()e xg x x =的图象在（0，1）内存在唯一交点，因为2(1)e ()0-'=<xx g x x ， 所以()g x 在（0，1）内单调递减．又(1)e g =， 当0x →时，()g x ∞→+，所以e a >，即a 的取值范围为(e,)+∞．2．(1)①2p q ；②至少要进行27轮游戏，23p =，13q =． (2)99200【解析】 【分析】（1）①利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；②利用导数求出学生甲在每一轮活动中获得一个奖品的概率为2P p q =的最大值，可知学生甲在n 轮活动中获得奖品的个数()~,B n P ξ，由()max 4nP =可求得n 的值，即可得解；（2）设选出的是第k 个箱子，计算出在第k 个箱子中第三次取出的是物理题的概率为100100k kp -=，进而可求得所求概率为10011100kk P p ='=⋅∑，结合数列的求和公式可求得所求事件的概率.(1)解：①记“学生甲第一轮活动获得一个奖品”为事件A ．则()2P A p q =；②学生甲在每一轮活动中获得一个奖品的概率为()22321P p q p p p p ==-=-+，令()32f x x x =-+，[]0,1x ∈，()223233f x x x x x ⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭，当203x <<时，()0f x '>，当213x <<时，()0f x '<，所以()f x 在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()max 24327f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即当23p =时，32max 2243327P ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．学生甲在n 轮活动中获得奖品的个数()~,B n P ξ，由()max 4nP =，知27n =． 故理论上至少要进行27轮游戏，此时23p =，13q =． (2)解：设选出的是第k 个箱子，连续三次取出题目的方法数为()()10010011002--． 设数学题为M ，物理题为W ，第三次取出的是物理题W 有如下四种情形：(),,W W W 取法数为()()()10010011002k k k -----，(),,W M W 取法数为()()1001001k k k ---， (),,M W W 取法数为()()1001001k k k ---， (),,M M W 取法数为()()1100k k k --，从而，第三次取出的是物理题的种数为()()()()()()()()()10010011002100100110010011100k k k k k k k k k k k k -----+---+---+--()()()10011002100k =---．则在第k 个箱子中第三次取出的是物理题的概率为100100k kp -=． 而选到第k 个箱子的概率为1100， 故所求的概率为()100100100992221111100111509999100100100100100100100200k k k k i k P p k i ====-⨯'=⋅=⋅=-===∑∑∑∑． 【点睛】关键点点睛：本题考查概率与数列的综合应用，在求解第三问时，关键要求出在第k 个箱子中第三次取出物理题的概率，那么就应该对前三次取出的题目所属科目进行列举，进而求解.3．(1)减区间()0,1，增区间()1,+∞，极小值3， (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）依据导函数与原函数的关系去求函数的单调区间和极值即可； （2）构造新函数利用函数单调性去证明121x x <即可. (1)1()2ln (0)f x x x x x =+->，则()()2221111()2(0)x x f x x x x x +-'=--=> 由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得01x <<， 即()f x 减区间为()0,1，增区间为()1,+∞，在1x =时()f x 取得极小值(1)2103f =+-=，无极大值. (2)不妨设12x x <且()()12f x f x a ==，则101x <<，21>x ，3a >，2101x <<令1()()2ln (0)h x f x a x x a x x=-=+-->，则()()120h x h x ==()()2221111()2x x h x x x x +-'=--=， 则当1x >时()0h x '>，()h x 单调递增；当01x <<时()0h x '<，()h x 单调递减 由()222212ln 0x x h x a x +=--=，得22212ln a x x x =+-则2222222222211ln 2ln 2ln 1x x x x x h x x x x x ⎛⎫++-+-=-+ ⎪⎛⎫= ⎪⎝⎝⎭⎭ 令21t x =，则222112ln 2ln (01)x x t t t x t -+=--<< 令()12ln (01)t m t t t t --<=<，则()()22211210t t tt m t -'=+-=>即()12ln (01)t m t t t t--<=<为增函数，又()11100m =--=，则()12ln 0m t t tt --<=在(0,1)上恒成立. 则222212ln 10x x x h x ⎛⎫+⎪⎝⎭=-<恒成立，则()211h h x x ⎛⎫⎪< ⎝⎭， 又01x <<时()h x 单调递减，101x <<，2101x << 则211x x >，故121x x <4．(1)答案不唯一，具体见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据导函数在()1,e 上存在零点，则()0f x '=在()1,e 上有解，则有1e 2a <<，即22e a <<，得到函数()f x 的最小值，构造函数2()ln (1ln 2)4x g x x x x =--+，22e <<x ，利用导数判断出其单调性，结合不等式传递性可证．(1)函数()f x 的定义域是(0,)+∞，(2)(1)()2(2)a x a x f x x a xx'--=+-+=， ①0a 时，20x a ->，令()0f x '>，解得：1x >，令()0f x '<， 解得：01x <<，故()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增； ②02a <<时，令()0f x '>，解得：1x >或02ax <<，令()0f x '<，解得：12a x <<， 故()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在,12⎛⎫⎪⎝⎭a 递减，在()1,+∞递增； ③2a =时，()0f x '，()f x 在(0,)+∞递增；④2a >时，令()0f x '>，解得：2ax >或01x <<，令()0f x '<，解得：12ax <<，故()f x 在(0,1)递增，在1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭a 递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭a 递增； 综上：0a 时，()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，02a <<时，()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在,12⎛⎫⎪⎝⎭a 递减，在(1,)+∞递增；2a =时，()f x 在(0,)+∞递增；2a >时，()f x 在(0,1)递增，在1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭a 递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭a 递增；(2)因为(2)(1)()2(2)a x a x f x x a x x'--=+-+=， 又因为导函数()'f x 在(1,)e 上存在零点，所以()0f x '=在(1,e)上有解，则有1e 2a <<，即22e a <<，且当12a x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当e 2a x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以22()ln (2)ln (1ln 2)22424⎛⎫=+-+=--+ ⎪⎝⎭a a a a a f x f a a a a a ，设2()ln (1ln 2)4x g x x x x =--+，22e x <<，则()ln 1(1ln 2)ln ln 222x xg x x x '=+--+=--，则11()02g x x ''=-<，所以()g x '在(2,2e)上单调递减，所以()g x 在(2,2e)上单调递减，则()()()222e 22e e 2e 1ln 2e 2g eln g =--+=-<，所以()2e g x >-，则根据不等式的传递性可得，当()1,e x ∈时，()2e .f x >-【点睛】本题考查利用导数表示曲线上某点处的斜率，考查函数的单调性，考查导数的综合应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题． 5．(1)答案见解析(2)2e e ,123⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）求出()'f x ，由()0f x '=知0x ≠，分离参数得2e3xa x =，引入函数2e ()3x G x x=，由()G x 的导数确定单调性与极值，可作出函数的大致图象，结合图象分类讨论得出零点个数，根据极值定义得极值点个数； （2）令()()e xxg x h x =，求导后得()h x 是增函数，不等式()()()22e 22e x x g x xg x --≤，整理得()()()222eexxx g x xg x ---≤，即()()2h x h x -≤，由单调性得x 的范围，从而得出0x 的范围，结合极值点的要求得0[1,2)x ∈，然后由（1）的函数()G x 的性质得a 的范围． (1)()3e x f x ax =-，则()23e x f x ax '=-，函数的极值点为导函数的变号零点，显然0x =不是()0f x '=的解，当0x ≠时，令()2e 3xG x x=，则()2431e 2e e 233x x x x x x G x x x⋅-⋅-'=⋅=⋅， 故()G x 的单调性如表格所示：x(),0∞-()0,22()2,+∞()G x '0>0<0=0>()G x单调递增 单调递减 极小值 单调递增则极小值为()2e 212G =，可得函数()G x 的大致图象如图，故当2e 0,12a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，2e 3xa x =有两个解12,x x (120x x <<)，在1x 两侧()'f x 的符号相等，在2x 两侧，()'f x 不变号，()f x 有1个极值点；当2e ,12a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，2e 3x a x =有三个解123,,x x x ，在这三个解两侧()'f x 均变号，()f x 有3个极值点. (2) 令()()e x xg xh x =，则()()()()1e xx g x xg x h x '-+'=， 因为[)0,x ∞∀∈+满足()()()g x xg x xg x '+>，故()()()10x g x xg x '-+>， 则()0h x '>，故函数()h x 是一个在定义域上单调递增的函数；又[)00,x ∃∈+∞，满足不等式()()()22e 22e x x g x xg x --≤，整理得()()()222e e x x x g x xg x ---≤，即()()2h x h x -≤，结合定义域有0,20,2,x x x x ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩故0x 的取值范围是[]1,2，又0x 是函数()f x 的极值点，即函数()f x 的变号零点，∴02x ≠，由（1）知，函数()G x 在区间[)1,2上单调递减，故2e e ,123a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查用导数确定函数的极值点，研究不等式恒成立问题，解题关系是问题的转化，极值点的个数问题转化为方程的根的个数，再转化为函数图象交点个数．不等式问题通过引入函数，利用函数单调性化简得出参数范围，本题属于困难题，对学生的逻辑思维能力，运算求解能力要求较高． 6．(1)21y x =+(2)ln 3m ⎡∈-⎣【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义直接可得切线方程；（2）()2213222m f x x ≥+-恒成立，可转化为()22130222xm g x e mx x =+--+≥恒成立，利用导数判断函数()g x 的单调性与最值情况. (1)当1m =时，()e xf x x =+， 则()e 1xf x '=+，设切点为()()00,x f x ，故()00e 12xk f x '==+=，解得00x =，故()000e e 01x f x x =+=+=，即切点坐标为()0,1，所以切线方程()120y x -=-，即21y x =+； (2)当0x ≥时，()2213222m f x x ≥+-成立，即2213e 0222xm mx x +--+≥恒成立，设()2213e 222xm g x mx x =+--+，()e x g x x m '=-+， ()e 1x g x ''=-，因为0x ≥，故()e 10xg x ''=-≥恒成立， 则()e xg x x m '=-+在()0,∞+上单调递增，所以()()01g x g m ''≥=+，当1m ≥-时，()()010g x g m ''≥=+≥恒成立， 故()g x 在()0,∞+上单调递增，即()()2235012222m m g x g ≥=-+=-，所以25022m -≥，解得m ≤≤故1m -≤≤当1m <-时，()010g m '=+<，()e 2m g m m -'-=+，设()e 2mh m m -=+，1m <-，()e 20m h m -'=-+<恒成立，则()h m 在(),1-∞-上单调递减，所以()()120h m h e >-=->，即()e 20mg m m -'-=+>，所以存在()00,x m ∈-，使()00g x '=，即000xe x m -+=，所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 故()()02200013e 222x m g x g x mx x ≥=+--+()()00000222000011313e e e e e 022222x x x x x x x x x =+----+=-++≥，解得0ln 3x ≤，即00ln 3x ≤≤， 设()e xx m x ϕ==-，0ln3x ≤≤，()1e 0x x ϕ'=-≤恒成立，故()x ϕ在()0,3上单调递减， 故()()3ln33x ϕϕ≥=-， 即ln33m ≥-， 所以ln331m -≤<-，综上所述，ln 3m ⎡∈-⎣.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 7．(1)极小值为71e 12-+，()f x 无极大值； (2)证明见解析﹒ 【解析】 【分析】(1)根据f (x )的导数判断f (x )的单调性，根据单调性即可求其极值； (2)由函数单调性指数函数性质可得x ＜72时，f (x )＜1，设m ＜n ，则若()()()f m f n m n =≠，则m ＜72，n ＞72，由()()1f m f n =<可求742n <<﹒当m ≤3时，易证7m n +<；当732m <<时，构造函数()()()7p m f m f m =--，根据p (m )单调性即可证明7m n +<﹒ (1)()()227e x f x x =-'，由()0f x '=，得72x =．当7,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当7,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>．∴()f x 的单调递减区间为7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故()f x 的极小值为771e 122f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()f x 无极大值．(2)由(1)可知，()f x 的极值点为72，f (x )在7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∵当x →－∞时，2e 0x →，∴f (x )→1， 故当x ＜72时，f (x )＜1.设m n <，则若()()()f m f n m n =≠，则m ＜72，n ＞72， 则()()1f m f n =<，则()274e 1142n n n -+<⇒<<． ①当3m ≤时，7m n +<，显然成立．②当732m <<时，77,42m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，()()()()214274e 3e m m f m f m m m ---=---．设()()()7p m f m f m =--，则()()()214227e em mp m m -=--'． 设()2142e e x xh x -=-，73,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()h x 为增函数，则()702h x h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭．∵732m <<，∴270m -<，()0p m '>，则()p m 在73,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，∴()()()()77()()77022p m p f m f m f n f m p ⎛⎫<⇒--=--<= ⎪⎝⎭，∴()()7f n f m <-．又∵7,42n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，77,42m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，且()f x 在7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴7n m <-，即7m n +<． 综上，7m n +<． 8．(1)01x x >，理由见解析(2)（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由0x →时，(),()0f x g x →，1()02f >，1()02>g 可得011,(0,)2x x ∈，构造1()ln (0)1m x x x x =+>+，求导分析单调性，由1112()()()ln 2023g x m x m =<=-<，故10()()g x g x <，分析即得解；（2）（i ）由题意，22ln 222222(1)(1)(ln )0x x x x e x x x +++-++=，先证明1x e x ≥+，代入分析可得22ln 0x x +=，构造()ln (0)x x x x ϕ=+>，求导分析单调性，结合而5()09ϕ<，5()03eϕ>即得解； （ii ）构造1()(1)(2)t x x x x e=---，可得21(1)()f x f x -<，再构造()(32)(0)x h x x e x =->，()()(1)H x h x h x =--，分析即得解(1)对函数()f x ，()g x 求导得：21()(2)0x f x x e x '=++>，1()(1)0x g x x e x'=++> 当0x →时，(),()0f x g x →.而1()22f，1()ln 22g . 由21.5e >，13ln 2ln1644=<知1()02f >，1()02>g因此0x ，1x 唯一且011,(0,)2x x ∈由1111(1)0xx e x +-=知1111(1)x e x x =+，1111()ln 1g x x x =++. 构造1()ln (0)1m x x x x =+>+，则221()0(1)x x m x x x ++'=>+. 故()m x 在(0,)+∞单调递增；因此1112()()()ln 223g x m x m =<=-，由12ln 2ln833=>知1()0g x <. 故10()()g x g x <，结合()g x 单调性知01x x >. (2)（i ）证明：由题意得22ln 222222(1)(1)(ln )0x x x x e x x x +++-++=.构造()1x r x e x =--，则'()1x r x e =-，()(0)0r x r ≥=. 因此1x e x ≥+.因此22ln 22222222220(1)(1)(ln )(1)(ln )x x x x e x x x x x x +=++-++≥++.故22ln 0x x +≤.因此2222ln ln 2222222220(1)(1)(ln )(1)(1)x x x x x x e x x x x x e ++=++-++≥++-故22ln 0x x +≥. 因此22ln 0x x +=.构造()ln (0)x x x x ϕ=+>，则1()10x x ϕ'=+>. 而55()ln52ln3099ϕ=+-<，55()ln5ln31033e e ϕ=+-->，因此25593x e<<. （ii ）由22ln 0x x +=知221xe x =. 因此222222221(1)(2)(2)1(1)1(1)xx x x e x e f x e x e x -----=-=--.构造1()(1)(2)t x x x x e=---，则2()362t x x x '=-+.因此()t x 在(1上单调递减. 因此251()()0.3609t x t e<<-<，故2(1)0f x -<.因此21(1)()f x f x -<，结合()f x 单调性知211x x -<，故211x x >-. 构造()(32)(0)x h x x e x =->，()()(1)H x h x h x =--，则()(12)x h x x e '=-. 因此()h x 在1(0,)2上单调增，1(,1)2上单调减.而当102x <≤时，1()(12)()0x x H x x e e -'=--≤，()H x 单调减. 因此11()()02H x H >>，11()(1)h x h x >-.而121112x x <-<<，因此21()(1)h x h x <-，因此12()()h x h x >. 因此12213232x x x ex --<-.9．(1)单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1,)+∞ (2)0a < 或2e a = 【解析】 【分析】（1）求导，因为函数()f x 再1x =处取得极值，所以f '（1）0=，解得a ，进而可得函数()f x 的解析式，再求导，分析函数()f x 的单调性．（2）分类讨论，利用导数判断函数的单调性，根据函数的零点个数，确定函数的最值情况，从而求得答案. (1)()ln 2,(0)f x ax x x x =->，()ln 2f x a x a '=+-，因为函数()f x 在1x =处取得极值， 所以(1)ln120f a a '=+-=， 所以2a =，所以()2ln 2f x x x x =-，()2ln f x x '=，故当01x <<时，所以()0f x '<，函数单调递减， 当 1x >时，()0f x '>，函数单调递增，所以函数()f x 在1x =处取得极小值，所以实数a 的值为2， 函数()f x 的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1,)+∞． (2)当0a = 时，22()()2f x h x x x x=-+=-，而0x > ，此时函数无零点，不合题意；当0a <时，22()()2ln f x h x x a x x x =-+=-，()20,(0)ah x x x x'=-<> ， 函数2()ln h x a x x =-单调递减，作出函数2ln ,y a x y x == 的大致图象如图：此时在2ln ,y a x y x ==的图象在(0,1) 内有一个交点，即2()ln h x a x x =-在(0,1)有一个零点；当0a >时，22()2,(0)a a x h x x x x x-'=-=>， 当02a x <<时，22()0a x h x x-'=>，函数2()ln h x a x x =-递增， 当2a x >时，22()0a x h x x-'=<，函数2()ln h x a x x =-递减， 故2max ()()ln ()222a a ah x h a ==- ， 作出函数2()ln h x a x x =-的大致图象如图此时要使函数2()()2=-+f x h x x x 有1个零点，需使得2max ()()022a ah x a ==， 即022a aa =，解得2e a = ， 综合上述，可知求a 的取值范围为0a < 或2e a = . 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间以及函数零点问题，解答时要明确函数的单调性以及极值和导数之间的关系，解答的关键是分类讨论，利用导数判断函数单调性，确定函数零点有一个的处理方法. 10．(1)增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2- (2)()max 312f x =，()min 163f x =- 【解析】 【分析】（1）根据题意得()20f '=，进而得12a =，再根据导数与单调性的关系求解即可；（2）由（1）知[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2-，进而求解()4f -，()3f -，()2f ，()3f 的值即可得答案. (1)解：（1）()226f x x ax '=+-，因为()f x 在2x =处取得极值，所以()24460f a '=+-=，解得12a =． 检验得12a =时，()f x 在2x =处取得极小值，满足条件.所以()26f x x x '=+-，令()0f x '>，解得3x <-或2x >，令()0f x '<，解得32x -<<， 所以()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； (2)解：令()260f x x x '=+-=，解得3x =-或2x =，由（1）知()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； 当[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2- 又()()()()321138444642323f -=⨯-+⨯--⨯-+=， ()()()()321131333632322f -=⨯-+⨯--⨯-+=，()321116222622323f =⨯+⨯-⨯+=-，()32115333632322f =⨯+⨯-⨯+=-，所以()max 312f x =，()min 163f x =-．。
高中数学导数练习题
高中数学导数练习题高中数学中，导数是一个重要的概念和工具，用于描述函数的变化率。
掌握导数的计算方法对于理解数学的应用问题以及解决实际问题非常关键。
本文将为大家提供一些高中数学导数的练习题，以帮助巩固相关知识。
1. 求函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1 的导函数。
解析：为了求函数的导函数，需要对函数进行求导运算。
对于多项式函数，求导时只需要按照幂次递减的规则，将各项的系数与幂次相乘即可。
因此，对于 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，其导函数为 f'(x) = 6x - 2。
2. 计算函数 g(x) = sin(x) + cos(x) 的导数。
解析：对于三角函数的求导，可以利用导数的性质和基本公式来计算。
根据基本求导公式，sin(x) 的导数为 cos(x)，cos(x) 的导数为 -sin(x)。
因此，函数 g(x) 的导数为 g'(x) = cos(x) - sin(x)。
3. 设 h(x) = (x^2 + 1)^2 ，求 h'(x)。
解析：对于复合函数的求导，可以使用链式法则来计算。
链式法则的公式为：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)。
对于给定的函数 h(x) = (x^2 +1)^2，可以将其分解成两个复合函数：f(g(x)) = g^2(x) 和 g(x) = x^2 + 1。
首先求 g(x) 的导数，g'(x) = 2x。
然后求 f(g(x)) 的导数，f'(g(x)) = 2g(x)= 2(x^2 + 1)。
综合链式法则，得到 h'(x) = f'(g(x)) * g'(x) = 2(x^2 + 1) *2x = 4x(x^2 + 1)。
4. 求函数 y = e^x 的导数。
解析：指数函数 e^x 的导数等于其本身，即 e^x 的导数为 e^x。
因此，函数 y = e^x 的导数为 y' = e^x。
求导数例题
求导数例题
求导数是高中数学学习中的一个重要部分，它给学生提供了开展数学研究和解决实际问题的方法。
这里将介绍几个求导数的例题，帮助学生更好地掌握求导数的技巧。
例题1：设函数f(x) = x2+2x，求f(x)的值
解：我们已知f(x) = x2+2x，用一阶导数的定义求出f(x) = 2x+2，所以f(x)的值为2x+2。
例题2：设函数f(x) = x3+3x2-2x，求f(x)的值
解：答案是f(x) = 3x2+6x-2。
例题3：设函数f(x) = sin x，求f(x)的值
解：f(x) = cos x，所以f(x)的值为cos x。
以上三个例题均是计算求导数的基本例题，它们可以帮助学生更好地了解求导数的概念和方法。
计算求导数的过程基本一致，其中重要的步骤是使用一阶微分定义和求值，熟悉这一基本步骤后，学生可以对更复杂的求导问题也能有效求出求导数的值。
除了掌握计算求导数的基本步骤，学生还需要学习求导数的相关知识，如函数的定义、利用泰勒级数计算求导数等，这些内容都是学习求导数的基础。
在学习求导数的时候，学生还需要不断的练习，并积极查找更复杂的求导数例题，通过多次练习，学生可以更好地掌握求导数的基本技能。
此外，学生还可以尝试解决求导数的应用题，例如使用求导数来分析函数的波峰、波谷点以及函数的单调性等。
求导数的学习涉及到较为抽象的概念，因此在学习的过程中，学生可以寻求老师或者辅导老师的帮助，以便更好地理解和掌握求导数的知识点。
总之，求导数是高中数学学习中一个重要的知识点，学习者需要不断练习，并积极查找不同类型的求导数例题，了解求导数相关的基础知识，同时也可以咨询老师以及辅导老师，从而掌握求导数的基本技能。
高中数学导数的计算 同步练习
导数的计算 同步练习一、选择题1、根据导数的定义，)(1'x f 等于（ ）（A ）01010)()(lim 1x x x f x f x --→ （B ）x x f x f x ∆-→∆)()(lim 010 （C ）x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 110（D ）x x f x x f x ∆-∆+→)()(lim 1101 2、 物体作直线运动的方程为)(t s s =，则10)4('=s 表示的意义是（ ）（A ）经过4s 后物体向前走了10m （B ）物体在前4s 内的平均速度为10m/s（C ）物体在第4s 内向前走了10m （D ）物体在第4s 时的瞬时速度为10m/s3、某人拉动一个物体前进，他所做的功W （J ）是时间t （s ）的函数t t t t W W 166)(23+-==，则他在时刻s t 2=时的功率为（ ）（A ）4s J / （B ）16s J / （C ）5s J / （D ）8s J /4、一辆汽车从停止时开始加速行驶，并且在5秒内速度)/(s m v 与时间t （s ）的关系近似表示为t t t f v 10)(2+-==，则汽车在时刻1=t 秒时的加速度为（ ）（A ）9s m / （B ）92/s m （C ）82/s m （D ）72/s m5、 若函数x x x f +-=2)(的图像上一点)2,1(--及邻近一点)2,1(y x ∆+-∆+-，则=∆∆x y （ ）（A ）3 （B ）2)(3x x ∆-∆ （C ）2)(3x ∆- （D ）x ∆-36、若函数)(x f 对于任意x ，有3'4)(x x f =，1)1(-=f ，则此函数为（ ）（A ）1)(4+=x x f （B ）2)(4-=x x f（C ）1)(4-=x x f （D ）2)(4+=x x f7、曲线531)(23+-=x x x f 在1=x 处的切线倾斜角是（ ） （A ）6π （B ）3π （C ）4π （D ）43π 8、与直线0103=-+y x 平行的曲线1323+-=x x y 的切线方程为（ ）（A ）43-=x y （B ）23+-=x y （C ）34+-=x y （D ）54-=x y9、若函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）]3,(--∞ （B ）)3,(--∞ （C ）),3(+∞- （D ）),3[+∞-10、已知函数63)(23-+=x ax x f ，若4)1('=-f ，则实数a 的值为（ ）（A ）319 （B ）316 （C ）313 （D ）310 二、填空题： 11、函数x x x f ln 2)(2-=的单调递增区间是 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学-导数的计算练习
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列求导运算正确的是 A ．211()1x x x
'+=+
B ．21
(log )ln 2
x x '=
C ．3(3)3log x x
x '=
D ．2
(cos )2sin x x x x '=-
【答案】B
【解析】因为211()x x '=-
，所以A 项应为2
11x -；由1(log )ln a x x a
'=知B 项正确；由()ln x x
a a a '=可知C 项错误；D 项中，2
2
(cos )2cos sin x x x x x x '=-，所以D 项是错误的，综上所述，正确选项为B ． 2．已知函数3
()f x x =在点P 处的导数值为3，则P 点的坐标为 A ．(2,8)--
B ．(1,1)--
C ．(2,8)--或(2,8)
D ．(1,1)--或(1,1)
【答案】D
3．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln xf f x x ='+，则(1)f '等于 A ．e - B ． 1- C ．1
D ．e
【答案】B
【解析】∵函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln (0)f x x xf x ='+>， ∴1
()1()2f x f x
'='+
，把1x =代入()f x '可得(1)2(1)1f f '='+，解得(1)1f '=-．故选B ． 4．曲线e x
y =在点2
(2,e )处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为
A ．2e 2
B ．23e
C ．26e
D ．29e
【答案】A
【解析】因为e x y '=，所以切线的斜率为2
e k =，切线方程为22
e e (2)y x -=-，令0=x 得2
e y =-；
令0y =得1x =，故围成的三角形的面积为22
1e 1|e |22
S =⨯⨯-=，故选A ．
5．已知函数π
()()cos sin 4f x f x x '=+，则π()4
f = A ．2 B ．21- C ．1
D ．0
【答案】C
6．已知1()1x
f x x
=
+，则(1)f '等于 A ．2 B ．12- C ．14
-
D ．14
【答案】C
【解析】令1t x =，则1x t =，1
1()111t f t t t
=
=++，因此1()1x x f =+，
则根据求导公式有21()=(1)x x f '-
+，所以1
()14
f '=-．故选C ．
7．已知e 为自然对数的底数，曲线e x
y a x =+在点(1,e 1)a +处的切线与直线2e 10x y --=平行，则实数
a =
A ．e 1
e - B ．
2e 1
e - C ．e 12e
-
D ．2e 12e
-
【答案】B
8．若2
()24ln f x x x x =--，则不等式()0f x '>的解集为
A ．(0,)+∞
B ．(1,0)(2,)-+∞U
C ．(2,)+∞
D ．(1,0)-
【答案】C
【解析】要使函数有意义，则0>x ，∵2
()24ln f x x x x =--，∴24224
()22x x f x x x x
--'=--=，
若()0f x '>，则04
222
>--x
x x ，
即022>--x x ，解得2>x 或1-<x （舍去），故不等式()0f x '>的解集为(2,)+∞，故选C ．
二、填空题：请将答案填在题中横线上． 9．函数2
sin y x x =的导函数为______________． 【答案】22sin cos x x x x +
【解析】2sin y x x =，则222
()sin (sin )2sin cos y x x x x x x x x '''=+=+．
10．设函数()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =______________．
【答案】e
【解析】由题意得()ln 1f x x '=+，又00()ln 12f x x '=+=，解得0e x =．
11．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足1
3
1()()e 1(0)3
x f x f 'f x x -=-+
，则()x =______________． 【答案】31e 3
x
x x -+
【解析】∵1
31
()()e
1(0)3
x f x f 'f x x -=-+，∴12()(1)e (0)x f x f f x -''=-+，
令1x =，则(1)(1)(0)1f f f '='-+，∴(0)1f =；令0x =，则1
(0)(1)e f f -='，
∴(1)e f '=，∴3
1()e 3
x
f x x x =-+
． 12．设曲线1
()n y x
n +*=∈N 在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =，则
1299a a a ++⋅⋅⋅+的值为______________．
【答案】2-
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13．求下列函数的导数：
（1）2
311
()y x x x x
=++； （2）cos x
y x
=
； （3）3e 2e x
x
x
y =-+；
（4）2
sin
cos 22
x x y x =-． 【答案】（1）2323y x x '=-；（2）2
sin cos x x x y'x
+=-；（3）ln 31(3e)2)ln 2(x x
y'=+⋅-；（4）y '= 1
2cos 2
x x -．
【解析】（1）因为2332111()1y x x x x x x =++=++，所以2
323y x x
'=-．
（2）222cos (cos )cos sin cos sin cos ()x x x x x x x x x x x
y x x x x
'''⋅-⋅-⋅-+'====-． （3）(3e )(2)e (3e 3e )((2))x x x x x x x x
y''''''=-+=+-'
3ln 3e 3e 2ln 2ln 31(3e)2ln 2()x x x x x x x =⋅+-=+⋅-．
（4）因为2
21sin cos sin 222x x y x x x =-=-，所以1
2cos 2
y x x '=-． 14．设函数()b
f x ax x
=-
，曲线()y f x =在点(2,)(2)f 处的切线方程为74120x y --=． （1）求()f x 的解析式；
（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
【答案】（1）3
()f x x x
=-
；（2）证明见解析，该定值为6．
（2）设00(),P x y 为曲线上任一点， 由2
31y x '=+
，知曲线在点00(),P x y 处的切线方程为00203(1)()y y x x x -=+-， 即00200
33
()(1)()y x x x x x --
=+-． 令0x =得06y x =-
，从而得切线与直线0x =的交点坐标为
6
(0)x -，； 令y x =得02y x x ==，从而得切线与直线y x =的交点坐标为00)2(2x x ，
， 所以点00(),P x y 处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形的面积为
00
16
|||2|62x x -⋅=． 故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值， 此定值为6．。