高中数学第2章变化率与导数3计算导数课件

数学D 选修2-2
第二章 变化率与导数
课前预习学案
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2．基本初等函数的导数公式
(1)若f(x)＝c，则f′(x)＝_____0___； (2)若f(x)＝xα(α∈R)，则f′(x)＝_____α_x_α－_；1 (3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝_____co_s__x； (4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝___－__s_in__x；
4．求函数y＝
1 的导数． x
解析：
方法一：∵Δy＝
x＋1 Δx－
1＝ x
x－ x＋Δx xx＋Δx
＝
－Δx xx＋Δx· x＋
x＋Δx，
∴y′＝Δlxi→m 0 ΔΔxy＝Δlxi→m 0
－1 xx＋Δx· x＋ x＋Δx
1 (5)若f(x)＝tan x，则f′(x)＝____c_o_s2__x；
(6)若f(x)＝cot x，则f′(x)＝___－__s_in1_2_x；
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(7)若f(x)＝ax，则f′(x)＝___a_x_ln__a_(a>0)； 特别地，若f(x)＝ex，则f′(x)＝_____e_x__；
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§3 计算导数
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我们知道，圆的面积S是半径r的函数，S＝πr2；圆的周长l 也是圆半径r的函数，l＝2πr.类似地，球的体积是半径R的函 数，V＝43πR3；球的表面积也是半径R的函数，S表＝4πR2.
a，要注意ln
a所
处的位置，可从下面两个方面加深理解与记忆：
①对公式(logax)′，可用换底公式得到：(logax)′＝
ln (ln
ax)′＝ln1a(ln
x)′＝ln1a·1x＝xln1 a，这样就明确了公式中ln
a
的来历，从而易记．
②区分公式的结构特征，既要区分“(ln x)′与(logax)′” 和“(ex)′与(ax)′”又要区分“(logax)′与(ax)′”，找出差异 和联系，记忆公式．
x，要注意不完全是sin x、cos x交替，后者还有“一”．同样
对公式(tan
x)′＝
1 cos2x
和(cot
x)′＝－
1 sin2x
，也有类似地正、
余交替，但又有区别．
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(2)对公式(logax)′＝
1 xln
a
和(ax)′＝axln
你能运用导数的知识说出“圆的面积与周长的关系”及 “球的体积与表面积的关系”的实质吗？
[提示] 圆的面积的导数是圆的周长，球的体积的导数是 球的表面积．
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1．导函数
如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数， fx＋Δx－fx
答案： B
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3．若f(x)＝3x，则f′(0)＝__________. 解析： f′(x)＝3x·ln 3，∴f′(0)＝ln 3. 答案： ln 3
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(1)“函数在一点处的导数”，就是当自变量的改变量趋近于 零时，该点的函数的改变量与自变量的改变量的比值的极限， 它是一个数值，不是变量．
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(2)“导函数”：如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内每一点
都可导，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，这时对于区间(a，b)
内每一个确定的值x，都对应着一个导数值f′(x)，这样就在开
区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这一新函数称
为y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数，记作f′(x)或y′，即
f′(x)＝y′＝Δlxi→m 0
ΔΔyx＝Δlxi→m 0
fx＋Δx－fx Δx .
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(3)导函数简称导数，所以求导数要弄清是求导函数还是求 在一点处的导数，它们一个是函数一个是常数，是一般与个别 的关系．
(4)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0 时的函数值．
所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导数， 再计算这点的导数值．
1 (8)若f(x)＝logax，则f′(x)＝____x_l_n_a_(a>0，且a≠1)，
1 特别地，若f(x)＝ln x，则f′(x)＝_____x___.
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(1)对公式(sin x)′＝cos x和(co3xln 3；②[f(x0)]′＝f′(x0)； ③[f(x0)]′＝0；④(ln 2)′＝12.
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
解析： ①式为指数函数求导公式，正确；f(x0)是常数，
故[f(x0)]′＝0，故③式正确；②式错误；ln 2是常数，故(ln
2)′＝0，④式错误．
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1．若f(x)＝cosπ4，则f′(x)为( )
A．－sinπ4
B．sinπ4
C．0 解析： 答案：
D．－cosπ4
f′(x)＝cos
π4′＝0.
C
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导数值记为f′(x)：f′(x)＝ Δ_lx_i→m__0_______Δ_x______，则f′(x) 是关于x的函数，称_f_′(_x_)___为__f(_x_)____的导函数，通常也简称 为导数．
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“函数y＝f(x)在点x0处的导数”、“ 导函数”、“导数”三者之间的区别与联系