变化率与导数
高二数学变化率与导数知识点总结
高二数学变化率与导数知识点总结在高二数学学习中，变化率和导数是非常重要的概念。
它们是微积分的基础，也是我们理解函数变化规律和求解问题的重要工具。
下面是关于高二数学中变化率和导数的知识点总结。
1. 变化率的概念变化率是描述一个量相对于另一个量的变化程度的指标。
在数学中，我们通常用函数的导数来表示变化率。
对于函数y = f(x)，它的变化率可以用以下两种方式表示：- 平均变化率：平均变化率是函数在某个区间上的变化量与该区间长度的比值。
如果x的取值从a到b，对应的y的取值从f(a)到f(b)，则该区间上的平均变化率为：平均变化率 = (f(b) - f(a)) / (b - a)- 瞬时变化率：瞬时变化率是指在某一点上的瞬时变化速度。
如果函数在x点的导数存在，则该点的瞬时变化率为导数值，即：瞬时变化率 = f'(x)2. 导数的定义和性质导数是描述函数变化率的工具，它的定义如下：- 对于函数y = f(x)，如果函数在某一点x上的导数存在，那么导数表示函数在该点的瞬时变化率。
导数的定义如下： f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
导数具有以下几个重要的性质：- 导数存在的条件：函数在某一点x处的导数存在的充分必要条件是函数在该点的左导数和右导数存在且相等。
- 导数的几何意义：函数在某一点的导数等于函数曲线在该点切线的斜率。
切线的斜率可以用导数来表示。
- 导数与函数单调性的关系：如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数在某区间内的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
- 导数与函数极值的关系：如果函数在某一点的导数存在且为0，那么该点可能是函数的极值点。
3. 常见函数的导数- 幂函数导数：对于幂函数y = x^n，其中n为常数，它的导数为：dy/dx = n*x^(n-1)- 指数函数导数：对于指数函数y = a^x，其中a为常数且大于0且不等于1，它的导数为：dy/dx = a^x * ln(a)- 对数函数导数：对于对数函数y = log_a(x)，其中a为常数且大于0且不等于1，它的导数为：dy/dx = 1 / (x * ln(a))- 三角函数导数：对于三角函数sin(x)，cos(x)，tan(x)等，它们的导数可以通过基本导数公式来求解。
变化率与导数
变化率与导数、导数的运算课前双击巩固1.变化率与导数 (1)平均变化率: 概念 对于函数y=f (x ),f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1=Δy Δx 叫作函数y=f (x )从x 1到x 2的 变化率几何 意义 函数y=f (x )图像上两点(x 1,f (x 1)),(x 2,f (x 2))连线的物理 意义 若函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则ΔyΔx 就是该质点在[x 1,x 2]上的 速度(2)导数:概念点x 0处 limΔx→0ΔyΔx =limΔx→0f(x 0+Δx)−f(x 0)Δx,我们称它为函数y=f (x )在 处的导数,记为f'(x 0)或y'|x=x 0,即f'(x 0)=limΔx→0ΔyΔx= lim Δx→0f(x 0+Δx)−f(x 0)Δx区间 (a ,b )当x ∈(a ,b )时,f'(x )=lim Δx→0ΔyΔx =lim Δx→0 叫作函数在区间(a ,b )内的导数几何 意义 函数y=f (x )在点x=x 0处的导数f'(x 0)就是函数图像在该点处切线的 .曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程是物理 意义 函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x 0处的导数就是质点在x=x时的 速度,在(a ,b )内的导数就是质点在(a ,b )内的 方程2.导数的运算 常用 导数 公式原函数导函数特例或推广常数函数 C'=0(C 为常数)幂函数(x n)'= (n ∈Z )1x'=-1x 2三角函数(sin x)'=,(cos x)'=偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数的导数是周期函数指数函数(a x)'=(a>0且a≠1) (e x)'=e x对数函数(log a x)'=(a>0且a≠1)(ln x)'=1x,(ln|x|)'=1x四则运算法则加减[f(x)±g(x)]'=(∑i=1nf i(x))'=∑i=1nf'i(x)乘法[f(x)·g(x)]'=[Cf(x)]'=Cf'(x) 除法f(x)g(x)'=(g(x)≠0)1g(x)'=-g′(x)[g(x)]2复合函数导数复合函数y=f[g(x)]的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'x=,这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”题组一常识题1.[教材改编]向气球中充入空气,当气球中空气的体积V(单位:L)从1 L增加到2 L时,气球半径r(单位:dm)的平均变化率约为.2.[教材改编]已知将1吨水净化到纯净度为x %时所需费用(单位:元)为c(x)=5284100−x(80<x<100),当净化到纯净度为98 %时费用的瞬时变化率为.3.[教材改编] y=sin(πx+φ)的导数是y'=.4.[教材改编]曲线y=xe x-1在点(1,1)处切线的斜率等于.题组二常错题◆索引:平均变化率与导数的区别;求导时不能掌握复合函数的求导法则致错;混淆f'(x 0)与[f (x 0)]',f'(ax+b )与[f (ax+b )]'的区别.5.函数f (x )=x 2在区间[1,2]上的平均变化率为 ,在x=2处的导数为 .6.已知函数y=sin 2x ,则y'= .7.已知f (x )=x 2+3xf'(2),则f (2)= .8.已知f (x )=x 3,则f'(2x+3)= ,[f (2x+3)]'= .课堂考点探究探究点一 导数的运算1(1)函数f (x )的导函数为f'(x ),且满足关系式f (x )=x 2+3xf'(2)-ln x ,则f'(2)的值为( )A.74 B.-74 C.94 D.-94(2)已知f (x )=-sin x2(1−2cos 2x4),则f'(π3)= .[总结反思] (1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆. 式题 (1)函数y=sinx x 的导数为y'= .(2)已知f (x )=(x+1)(x+2)(x+a ),若f'(-1)=2,则f'(1)= . 探究点二 导数的几何意义考向1 求切线方程2 函数f (x )=e x·sin x 的图像在点(0,f (0))处的切线方程是 .[总结反思] (1)曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为y-f (x 0)=f'(x 0)(x-x 0);(2)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标,在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围;(3)注意过某点的切线和曲线上某点处的切线的区别. 考向2 求切点坐标3设a∈R,函数f(x)=e x+a·e-x的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为( )A.ln 2B.-ln 2C.ln22 D.-ln22[总结反思] f'(x)=k(k为切线斜率)的解即为切点的横坐标.考向3求参数的值4已知曲线C在动点P(a,a2+2a)与动点Q(b,b2+2b)(a<b<0)处的切线互相垂直,则b-a的最小值为( )A.1B.2C.√2D.-√2[总结反思](1)利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.(2)注意:①曲线上横坐标的取值范围;②切点既在切线上又在曲线上.强化演练1.【考向1】已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为( )A.x+y-1=0B.x-y-1=0C.x+y+1=0D.x-y+1=02.【考向3】直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于( )A.2B.-1C.1D.-23.【考向2】已知在平面直角坐标系中,f(x)=aln x+x的图像在x=a处的切线过原点,则a=( )A.1B.eC.1eD.04.【考向2】若曲线y=xln x在点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是.5.【考向1】函数f(x)=xe x的图像在点P(1,e)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为.。
导数与函数的变化率关系解析与归纳
导数与函数的变化率关系解析与归纳在微积分中，导数是一个重要的概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
函数的变化率是指函数的输出值随着输入值变化而变化的快慢程度。
导数不仅对于研究函数的性质和特征有着重要的作用，还在物理学、经济学等多个领域中具有广泛的应用。
本文将解析导数与函数的变化率之间的关系，并对导数的性质进行归纳和总结。
1. 导数的定义在数学中，函数f(x)在x点处的导数可以通过极限的概念定义为：f'(x) = lim (h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，h表示自变量的增量。
导数可以理解为函数在该点附近的平均变化率。
2. 变化率与导数的关系函数的变化率与导数密切相关。
导数可以用来描述函数在某一点的瞬时变化率，即函数在该点处的瞬时变化速度。
具体来说，如果函数在某点的导数为正，说明函数在该点处递增；如果函数的导数为负，说明函数在该点处递减；如果函数的导数为零，说明函数在该点处取得极值。
3. 导数与函数的性质导数具有许多重要的性质，这些性质对于研究函数的变化率和特征非常有用。
以下是几个常见的导数性质：- 导数的可导性：几乎所有常见的函数都具有导数。
只有在某些特殊的情况下，函数可能不可导。
例如，函数在某一点处的导数不存在，当且仅当该点存在间断、角点或垂直切线。
- 导数的线性性质：导数具有线性运算的性质。
即，对于任意常数a 和b，以及函数f(x)和g(x)，有以下成立：- [af(x) + bg(x)]' = af'(x) + bg'(x)- 导函数的乘积法则：对于两个函数f(x)和g(x)，其乘积的导数可以通过以下公式计算：- [f(x) * g(x)]' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)- 链式法则：对于复合函数，可以使用链式法则计算导数。
链式法则是导数运算中的一种基本规则。
函数的导数与变化率
函数的导数与变化率函数的导数是微积分中的基础概念之一，它描述了函数在某一点上的变化率。
在实际问题中，我们经常需要了解一个函数在某一点的变化情况，以便更好地理解问题的本质和解决方法。
本文将详细介绍函数的导数的概念、性质以及在实际应用中的意义和计算方法。
一、导数的概念函数的导数是函数变化率的度量，表示了函数在某一点上的变化速度。
形式上，设函数y=f(x)，若该函数在点x处的导数存在，则导数被定义为：f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h其中，f'(x)表示函数在点x处的导数，h表示自变量x的变化量。
导数的定义是一个极限的概念，表示了自变量逐渐接近某一点时，函数变化的趋势。
二、导数的性质1. 导数的存在性函数在某一点上的导数存在的充分条件是函数在该点附近连续，并且左右导数相等。
2. 导数与函数图像的关系函数的导数可以反映函数图像的一些特征，比如导数正值表示函数在该点上升，导数负值表示函数在该点下降，导数等于零表示函数在该点取得极值。
3. 导数的计算法则导数具有一组计算法则，可以用于计算各种复杂函数的导数。
常见的导数运算法则包括常数法则、幂法则、和差法则、乘积法则和商数法则等。
三、变化率与导数的关系函数的导数即为函数在某一点上的变化率。
当自变量的变化量很小时，导数可以近似地表示函数的变化率。
函数的变化率可以分为平均变化率和瞬时变化率两种。
平均变化率是指函数在两个点之间的变化率，可以通过函数的增量和自变量的增量来计算。
瞬时变化率是指函数在某一点上的瞬时变化率，可以通过函数的导数来求得。
四、导数在实际应用中的意义导数在实际问题中有着广泛的应用。
以物理学为例，速度即为位移对时间的导数，加速度即为速度对时间的导数。
在经济学中，边际成本和边际收益也可以通过导数来计算和分析。
导数还可以用于优化问题、曲线拟合和图像处理等领域。
五、导数的计算方法为了计算导数，我们可以利用导数的定义进行计算，也可以利用导数的运算法则简化计算过程。
变化率与导数、导数的运算
畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP邀请码NJBHKZO，高佣联盟官方正版APP邀请码2548643第十节变化率与导数、导数的运算1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式3．(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( )(2)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)因为(ln x )′＝1x ，所以⎝⎛⎭⎫1x ′＝ln x ．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×2．已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．e C.ln 22D ．ln 2解析：选B f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.3．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x解析：选B ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝x ′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1－1x 2；(3x )′＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x .4．曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：选A 因为y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2，所以y ′＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2(x ＋2)2，y ′|x ＝－1＝2， 所以曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， 所以所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.5．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x 在点(1,2)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝2x －1x 2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y ′|x ＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643答案：x －y ＋1＝06．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a ·e x图象的切线，则实数a ＝________. 解析：设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a ·e x 0＝－1， ∴e x 0＝a ，又－1a ·e x 0＝－x 0＋1， ∴x 0＝2，a ＝e 2. 答案：e 2考点一 导数的运算 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]A ．－eB ．－1C ．1D ．e解析：选B 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ， 得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x.所以f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 2．求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x ； (3)y ＝cos xe x； 解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x . [怎样快解·准解]1．谨记1个原则先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导． 2．熟记求导函数的5种形式及解法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． 考点二 导数的几何意义 (题点多变型考点——追根溯源)角度(一) 求曲线的切线方程 1．已知函数f (x )＝ln x －8x －1x ＋1，则函数f (x )的图象在⎝⎛⎭⎫1，－72处的切线方程为________． 解析：由f (x )＝ln x －8x －1x ＋1，得f ′(x )＝1x －9(x ＋1)2， 则f ′(1)＝1－9(1＋1)2＝1－94＝－54， 故所求切线方程为y －⎝⎛⎭⎫－72＝－54(x －1)， 即5x ＋4y ＋9＝0. 答案：5x ＋4y ＋9＝0 角度(二) 求切点坐标2．曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(1,3)和(－1,3)D ．(1，－3)解析：选C f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.角度(三) 求参数的值(范围)3．(2018·成都诊断)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP邀请码NJBHKZO，高佣联盟官方正版APP邀请码2548643解析：选D f′(x)＝1x＋2ax＝2ax2＋1x(x＞0)，根据题意有f′(x)≥0(x＞0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x＞0)恒成立，即2a≥－1x2(x＞0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．[题“根”探求]1．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是()A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0解析：选C因为y＝sin x＋e x，所以y′＝cos x＋e x，所以y′|x＝0＝cos 0＋e0＝2，所以曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.2．(2017·天津高考)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．解析：因为f′(x)＝a－1x，所以f′(1)＝a－1.又f(1)＝a，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)．令x＝0，得y＝1.答案：13．(2018·云南一检)已知函数f(x)＝ax ln x＋b(a，b∈R)，若f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________.解析：由题意，得f ′(x )＝a ln x ＋a ，所以f ′(1)＝a ，因为函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，所以a ＝2，又f (1)＝b ，则2×1－b ＝0，所以b ＝2，故a ＋b ＝4.答案：4(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．已知函数f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )，且f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0解析：选B f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )＝ax 4＋(2a ＋b )x 2＋2b ，f ′(x )＝4ax 3＋2(2a ＋b )x 为奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.2．已知函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝( ) A ．e B.1e C.1e2 D.12解析：选B 因为f ′(x )＝1x ln a ，所以f ′(1)＝1ln a ＝－1，所以ln a ＝－1，所以a ＝1e. 3．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.4．曲线f (x )＝2x －e x 与y 轴的交点为P ，则曲线在点P 处的切线方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x －y －1＝0D ．x ＋y －1＝0解析：选C 曲线f (x )＝2x －e x 与y 轴的交点为(0，－1)． 且f ′(x )＝2－e x ，所以f ′(0)＝1.所以所求切线方程为y ＋1＝x ，即x －y －1＝0.5．函数g (x )＝x 3＋52x 2＋3ln x ＋b (b ∈R)在x ＝1处的切线过点(0，－5)，则b 的值为( )A.72B.52C.32D.12畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643解析：选B 当x ＝1时，g (1)＝1＋52＋b ＝72＋b ，又g ′(x )＝3x 2＋5x ＋3x ，所以切线斜率k ＝g ′(1)＝3＋5＋3＝11， 从而切线方程为y ＝11x －5， 由于点⎝⎛⎭⎫1，72＋b 在切线上， 所以72＋b ＝11－5，解得b ＝52.故选B.6.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线的斜率为－13，即f ′(3)＝－13，又g (x )＝xf (x )，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 7．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：∵f ′(x )＝－1x 2cos x －1x sin x ，∴f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π－2π＝－3π. 答案：－3π8．(2018·东北四市联考)函数f (x )＝e x sin x 的图象在点(0，f (0))处的切线方程是________． 解析：由f (x )＝e x sin x ，得f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，所以f (0)＝0且f ′(0)＝1，则切线的斜率为1，切点坐标为(0,0)，所以切线方程为y ＝x .答案：y ＝x9．若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝e x ln x ＋x 3f ′(1)，则f ′(1)＝________. 解析：由已知可得f ′(x )＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ＋3x 2f ′(1)， 故f ′(1)＝e ()ln 1＋1＋3f ′(1)，解得f ′(1)＝－e2.答案：－e210．设曲线y ＝1＋cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a ＝________.解析：因为y ′＝－1－cos xsin 2x，所以y ′| x ＝π2＝－1，由条件知1a ＝－1，所以a ＝－1. 答案：－1B 级——中档题目练通抓牢1．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1eD ．－1e解析：选C y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝y ′|x ＝x 0＝1x 0，所以切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，又切线过点(0,0)，代入切线方程得y 0＝1，则x 0＝e ，所以k ＝y ′|x ＝x 0＝1x 0＝1e.2．已知函数f (x )＝a ln x ＋bx 2的图象在点P (1,1)处的切线与直线x －y ＋1＝0垂直，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选D 由已知可得P (1,1)在函数f (x )的图象上， 所以f (1)＝1，即a ln 1＋b ×12＝1，解得b ＝1， 所以f (x )＝a ln x ＋x 2，故f ′(x )＝ax ＋2x .则函数f (x )的图象在点P (1,1)处的切线的斜率k ＝f ′(1)＝a ＋2， 因为切线与直线x －y ＋1＝0垂直， 所以a ＋2＝－1，即a ＝－3.故选D.3．在直角坐标系xOy 中，设P 是曲线C ：xy ＝1(x ＞0)上任意一点，l 是曲线C 在点P 处的切线，且l 交坐标轴于A ，B 两点，则下列结论正确的是( )A ．△OAB 的面积为定值2 B ．△OAB 的面积有最小值为3C ．△OAB 的面积有最大值为4D ．△OAB 的面积的取值范围是[3,4]畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643解析：选A 由题意知，y ＝1x (x ＞0)，则y ′＝－1x2.设P ⎝⎛⎭⎫a ，1a ，则曲线C 在点P 处的切线方程为y －1a ＝－1a 2(x －a )， 令x ＝0可得y ＝2a ；令y ＝0可得x ＝2a ， 所以△OAB 的面积为12×2a ×2a ＝2，即定值2.故选A.4．曲线f (x )＝e x 在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝ax 2－a (a ≠0)相切，则a ＝________，切点坐标为________．解析：曲线f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1. 设其与曲线g (x )＝ax 2－a 相切于点(x 0，ax 20－a )．则g ′(x 0)＝2ax 0＝1，且ax 20－a ＝x 0＋1.解得x 0＝－1，a ＝－12，切点坐标为(－1,0)．答案：－12(－1,0)5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为_______． 解析：由y ＝x 2－ln x ，得y ′＝2x －1x (x ＞0)，设点P 0(x 0，y 0)是曲线y ＝x 2－ln x 上到直线y ＝x －2的距离最小的点，则y ′x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，解得x 0＝1或x 0＝－12(舍去)． ∴点P 0的坐标为(1,1)．∴所求的最小距离＝|1－1－2|2＝ 2.答案： 26．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围． 解：(1)∵y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴当x ＝2时，y ′min ＝－1，此时y ＝53，∴斜率最小时的切点为⎝⎛⎭⎫2，53，斜率k ＝－1， ∴切线方程为3x ＋3y －11＝0. (2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1，又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 故α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 7．设抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解：(1)因为y ′＝－2x ＋92，设切点P 的坐标为(x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2x 1＋92＝k ，y 1＝kx 1，y 1＝－x 21＋92x 1－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2，y 1＝1，k ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，y 1＝－17，k ＝172.因为切点P 在第一象限，所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5. 将其代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9， 所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，－4. C 级——重难题目自主选做1．已知f (x )＝14x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(x )的图象是( )解析：选A ∵f (x )＝14x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝14x 2＋cos x ，∴f ′(x )＝12x －sin x ，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D.又f ″(x )＝12－cos x ，当－π3＜x ＜π3时，cos x ＞12，∴f ″(x )＜0，故函数y ＝f ′(x )在区间⎝⎛⎭⎫－π3，π3上单调递减，故排除C ，选A. 2．若函数f (x )＝2sin x (x ∈[0，π))的图象在切点P 处的切线平行于函数g (x )＝2x ⎝⎛⎭⎫x 3＋1的图象在切点Q 处的切线，则直线PQ 的斜率为()畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643A.83 B ．2 C.73D.33解析：选A 由题意得f ′(x )＝2cos x ，g ′(x )＝x 12＋x －12.设P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，g (x 2))，f ′(x 1)＝g ′(x 2)，即2cos x 1＝x 122＋x －122，故4cos 2x 1＝x 2＋x －12＋2，所以－4＋4cos 2x 1＝x 2＋x －12－2，即－4sin 2x 1＝x 122－x －1222，所以sin x 1＝0，x 1＝0，x122＝x －122，x 2＝1，故P (0,0)，Q ⎝⎛⎭⎫1，83，故k PQ ＝83. (二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．已知函数f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )，且f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0解析：选B f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )＝ax 4＋(2a ＋b )x 2＋2b ，f ′(x )＝4ax 3＋2(2a ＋b )x 为奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.3.已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12解析：选B 因为y ＝x 24－3ln x (x >0)，所以y ′＝x 2－3x .再由导数的几何意义，令x 2－3x ＝－12，解得x ＝2或x ＝－3(舍去)．故切点的横坐标为2. 4.(2018·湖北百所重点高中联考)已知函数f (x ＋1)＝2x ＋1x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选A f (x ＋1)＝2(x ＋1)－1x ＋1，故f (x )＝2x －1x ，即f (x )＝2－1x ，对f (x )求导得f ′(x )＝1x2，则f ′(1)＝1，故所求切线的斜率为1，故选A. 5．已知函数f (x )＝a ln x ＋bx 2的图象在点P (1,1)处的切线与直线x －y ＋1＝0垂直，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选D 由已知可得P (1,1)在函数f (x )的图象上， 所以f (1)＝1，即a ln 1＋b ＝1，解得b ＝1， 所以f (x )＝a ln x ＋x 2，故f ′(x )＝ax＋2x .则函数f (x )的图象在点P (1,1)处的切线的斜率k ＝f ′(1)＝a ＋2， 因为切线与直线x －y ＋1＝0垂直， 所以a ＋2＝－1，即a ＝－3.故选D.6.已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：∵f ′(x )＝－1x 2cos x －1x sin x ，∴f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π－2π＝－3π. 答案：－3π7.若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝e x ln x ＋x 3f ′(1)，则f ′(1)＝________. 解析：由已知可得f ′(x )＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ＋3x 2f ′(1)， 故f ′(1)＝e ()ln 1＋1＋3×f ′(1)，解得f ′(1)＝－e2.答案：－e28．曲线f (x )＝e x 在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝ax 2－a (a ≠0)相切，则a ＝________，切点坐标为________．解析：曲线f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1. 设其与曲线g (x )＝ax 2－a 相切于点(x 0，ax 20－a )．则g ′(x 0)＝2ax 0＝1，且ax 20－a ＝x 0＋1.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643解得x 0＝－1，a ＝－12，切点坐标为(－1,0)．答案：－12 (－1,0)9.求下列函数的导数．(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；解：(1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x－x ＝x －12－x 12，∴y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋x cos 2x. (3)∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)，∴y ′＝(x 2＋3x ＋2)′(x ＋3)＋(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)′ ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2 ＝2x 2＋9x ＋9＋x 2＋3x ＋2 ＝3x 2＋12x ＋11.10．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围． 解：(1)∵y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴当x ＝2时，y ′min ＝－1，此时y ＝53，∴斜率最小时的切点为⎝⎛⎭⎫2，53，斜率k ＝－1， ∴切线方程为3x ＋3y －11＝0. (2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1， 又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 故α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. B 级——拔高题目稳做准做1.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线的斜率为－13，即f ′(3)＝－13，又g (x )＝xf (x )，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 2.已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1. ∵g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 2＋mx 0＋72，m <0，解得m ＝－2.3．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________． 解析：由y ＝x 2－ln x ，得y ′＝2x －1x (x ＞0)，设点P 0(x 0，y 0)是曲线y ＝x 2－ln x 上到直线y ＝x －2的距离最小的点，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，解得x 0＝1或x 0＝－12(舍去)．∴点P 0的坐标为(1,1)．∴所求的最小距离＝|1－1－2|2＝ 2.答案： 24.已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643解析：由f (x )＝x 3＋ax ＋14得，f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(0)＝a ，f (0)＝14，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax .设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)，g ′(x )＝－1x ，∴⎩⎨⎧－ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x 0. ②将②代入①得ln x 0＝34，∴x 0＝e 34， ∴a ＝－1e34＝－e-34.答案：－e －345.已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R)．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2＋4a ＋1＞0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 6．设抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解：(1)因为y ′＝－2x ＋92，设切点P 的坐标为(x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2x 1＋92＝k ，y 1＝kx 1，y 1＝－x 21＋92x 1－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2，y 1＝1，k ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，y 1＝－17，k ＝172，因为切点P 在第一象限，所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5. 将其代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9， 所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，－4.。
变化率与导数的概念、导数的运算
03 高阶导数及其应用
高阶导数的定义与计算
高阶导数的定义
函数一阶导数的导数称为二阶导数，二阶导 数的导数称为三阶导数，以此类推，n-1阶 导数的导数称为n阶导数。
高阶导数的计算
高阶导数的计算可以通过连续求导得到，每 求一次导，阶数增加一阶。对于常见的基本 初等函数，其高阶导数有特定的公式或规律 可循。
导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率。当函数在某一点处的导数大于0时，表示函数在该点处单调增加； 当导数小于0时，表示函数在该点处单调减少；当导数等于0时，表示函数在该点处可能达到极值点或拐点。
可导与连续的关系
可导必连续
如果一个函数在某一点处可导，则该函数在该点处必定连续。这是因为可导的定义中已经包含了函数 在该点处的极限存在且等于函数值这一条件。
成本最小化
企业在给定产量下追求成本最小化时，需要找到使得边际 成本等于平均成本的产量，即求解成本函数的一阶导数等 于零的点。
效用最大化
消费者追求效用最，即求解效用函数的一阶导数等于 零的点。
05 导数在工程学中的应用
曲线拟合与最小二乘法中的导数应用
工程优化问题中的导数应用
优化算法
在工程设计和制造过程中，经常需要解决各种优化问 题，如最小化成本、最大化效率等。导数在这些优化 算法中发挥着重要作用，它们被用来计算目标函数的 梯度或方向导数，以确定搜索方向或步长。
敏感性分析
在工程经济学中，敏感性分析是一种评估项目风险的 方法。它通过计算项目效益指标（如净现值、内部收 益率等）对于各个不确定因素的导数或偏导数，来量 化各因素对项目效益的影响程度。
变化率与导数的概念、导数的运算
目 录
• 变化率与导数的基本概念 • 导数的运算规则 • 高阶导数及其应用 • 导数在经济学中的应用 • 导数在工程学中的应用 • 数值计算中的导数逼近方法
变化率与导数导数的计算
变化率与导数导数的计算一、变化率与导数的关系在数学中，变化率是指一个量相对于另一个量的变化程度，常用来衡量两个变量之间的关系。
而导数则是描述函数在其中一点上的变化率的概念。
在一个数学函数中，比如说y=f(x)，x和y分别代表自变量和因变量。
那么，当x发生微小变化Δx时，对应的y值也会发生一定的变化Δy。
这时，我们可以计算出y随着x的变化而变化的速率，也就是变化率。
变化率可以通过求平均变化率和瞬时变化率来进行计算。
平均变化率指的是通过两个点之间的变化率来计算，可以用Δy/Δx来表示。
而瞬时变化率则是在其中一点上的变化率，通过取Δx趋近于0时的极限来计算，也就是导数。
二、导数的定义与计算导数是用来衡量函数在其中一点上的变化率的数值，用dy/dx来表示。
导数的定义是：f'(x) = lim(Δx→0) (f(x+Δx) - f(x))/Δx导数表示函数f(x)在x点处的瞬时变化率。
导数可以用各种方法进行计算，其中最常用的方法包括求导法则和导数的性质。
1.求导法则（1）常数法则：如果c是一个常数，那么d(c)/dx = 0。
（2）幂法则：如果f(x) = x^n，那么d(f(x))/dx = nx^(n-1)。
（3）和差法则：如果f(x)=u(x) ± v(x)，那么d(f(x))/dx =d(u(x))/dx ± d(v(x))/dx。
（4）乘法法则：如果f(x) = u(x)v(x)，那么d(f(x))/dx =u(x)d(v(x))/dx + v(x)d(u(x))/dx。
（5）除法法则：如果f(x) = u(x)/v(x)，那么d(f(x))/dx =(v(x)d(u(x))/dx - u(x)d(v(x))/dx)/v(x)^2（6）复合函数法则：如果f(x) = g(u(x))，那么d(f(x))/dx =g'(u(x))d(u(x))/dx。
2.导数的性质（1）导数的和差性：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
导数与函数的变化率
导数与函数的变化率引言：数学作为一门精确的科学，涵盖了众多的分支和概念。
其中，导数与函数的变化率是数学中一个重要的概念。
导数是函数的一种特殊性质，它描述了函数在某一点的变化率。
本文将深入探讨导数与函数的变化率的概念、性质以及应用。
一、导数的概念导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在数学中，函数的导数可以通过极限的概念来定义。
具体而言，对于函数y=f(x)，如果在某一点x处的导数存在，那么该导数可以表示为f'(x)或者dy/dx。
导数的定义可以表示为：f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx〗其中，Δx表示自变量x的增量。
二、导数的性质导数具有一系列的性质，这些性质对于求解导数和理解函数的变化率非常重要。
1. 常数函数的导数为0对于常数函数y=c，其中c为常数，其导数f'(x)=0。
这是因为常数函数在任意一点的斜率都为0，即没有变化。
2. 幂函数的导数幂函数y=x^n的导数可以通过幂函数的性质来求解。
具体而言，对于幂函数y=x^n，其中n为正整数，其导数f'(x)=nx^(n-1)。
3. 和差法则对于两个函数的和或差，其导数等于各个函数的导数的和或差。
即(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)，(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。
4. 乘法法则对于两个函数的乘积，其导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数本身，再加上第一个函数本身乘以第二个函数的导数。
即(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
5. 商法则对于两个函数的商，其导数等于分子的导数乘以分母本身，再减去分子本身乘以分母的导数，最后除以分母的平方。
即(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/g^2(x)，其中g(x)≠0。
函数的导数与变化率
函数的导数与变化率函数的导数是微积分中重要的概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
在本文中，我们将探讨函数的导数与变化率之间的关系以及它们在实际问题中的应用。
一、导数的概念与运算法则导数的定义是函数在某一点的斜率，表示函数在该点处的变化率。
对于给定的函数f(x)，它的导数可以表示为f'(x)或df(x)/dx。
导数的运算法则包括加减法则、乘法法则、除法法则和链式法则等，这些法则可以方便地求出复杂函数的导数。
二、导数与函数的单调性导数还与函数的单调性密切相关。
当导数大于零时，函数是递增的；当导数小于零时，函数是递减的。
利用导数可以确定函数的单调区间和极值点。
三、导数与函数的凹凸性函数的导数还能帮助判断函数的凹凸性。
当导数递增时，函数在该区间上是凹的；当导数递减时，函数在该区间上是凸的。
通过分析导数的变化情况，可以确定函数的拐点以及凹凸区间。
四、变化率与导数的关系导数不仅仅表示函数在某一点的变化率，还可以表示函数在整个定义域上的变化趋势。
具体来说，导数的绝对值越大，函数的变化越剧烈；导数为零时，函数处于极值点；导数的正负表示函数递增和递减的情况。
五、导数在实际问题中的应用函数的导数在物理、经济等实际问题中有广泛应用。
例如，求导可以帮助我们找到函数的最大值和最小值，从而优化生产过程或寻求最优解。
导数还可以用来描述物理量的变化速率，例如速度和加速度。
六、结论函数的导数与变化率密切相关，它不仅仅是微积分中的一个概念，还是其它学科中应用最广泛的工具之一。
通过对函数的导数的分析，我们可以研究函数的单调性、凹凸性以及变化趋势，并将其应用于实际问题中。
掌握导数的概念与运算法则，能够帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
通过本文的介绍，我们希望读者能够对函数的导数与变化率有更深入的理解，并在实际问题中灵活应用这一概念，以提升问题的解决能力和分析能力。
对于想深入学习微积分和应用数学的读者来说，掌握函数的导数是一个重要的里程碑。
导数与函数的变化率
导数与函数的变化率函数是数学中的重要概念，在解决实际问题中经常用到。
而了解函数的变化率对于我们理解函数的性质、以及进一步研究函数的应用具有重要意义。
在这篇文章中，我们将探讨导数与函数的变化率之间的联系，并且阐述导数与函数变化率的定义与计算方法。
一、导数的定义与计算方法导数可以看作是函数在某一点处的变化率。
如果我们考虑一个函数f(x)，并且在区间[a, a+h]上的平均变化率为：\[ \frac{{f(a+h)-f(a)}}{h} \]而当h趋近于0时，这个平均变化率就趋近于某个值，这个值便是函数f(x)在点a处的导数。
导数用f'(a)或者\[\frac{{df}}{{dx}}(a)\]来表示。
那么如何计算导数呢？一般来说，我们可以使用几种方法来计算函数的导数：1. 使用函数的定义式来计算。
根据导数的定义，我们可以将函数的表达式代入到导数的定义式中，然后求解极限，从而得到导数的值。
2. 使用导数的性质来计算。
根据导数的性质，我们可以利用一些常见函数的导数公式，比如多项式函数的导数公式、幂函数的导数公式等，来计算函数的导数。
3. 使用数值计算方法来近似计算。
当函数的表达式较为复杂时，我们可以使用数值计算方法来近似计算导数的值，比如使用微分方程或者数值微分等方法。
二、了解导数与函数的变化率之间的关系可以帮助我们更好地理解函数的性质。
具体而言，导数可以告诉我们函数在某一点处的变化趋势。
1. 导数的正负性与函数的单调性导数的正负性可以帮助我们判断函数在某一区间上的单调性。
如果函数在某一区间上的导数始终大于0，那么函数在该区间上是递增的；如果函数在某一区间上的导数始终小于0，那么函数在该区间上是递减的。
2. 导数的零点与函数的极值点函数在某一点处导数为0时，这个点称为函数的驻点。
如果函数在驻点的导数存在，那么该点为函数的极值点。
当导数从正数变为负数时，函数在该点取得极大值；当导数从负数变为正数时，函数在该点取得极小值。
函数的导数与变化率知识点总结
函数的导数与变化率知识点总结函数的导数是微积分中一个重要的概念，它在研究函数的性质和变化规律时起到了重要的作用。
导数可以用于求函数的切线方程、最值、极值等性质，因此在许多实际问题中都有广泛的应用。
本文将对函数的导数与变化率的知识点进行总结，并介绍其基本概念、计算方法以及几个典型应用。
1. 导数的基本概念导数表示了函数在某一点的瞬时变化率，也可以理解为函数的斜率。
对于函数f(x)，其在某一点x=a处的导数记为f'(a)，可以通过下式进行计算：f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h其中，h表示变化的增量。
导数的计算实际上是求取函数在某一点的极限。
若导数存在，则说明函数在该点可微，也就是函数在该点的图像是光滑的。
2. 导数的计算方法导数的计算方法有多种，根据函数的性质和表达式的不同而有所不同。
以下是几种常见的导数计算方法：2.1 基本初等函数的导数计算对于多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数，都有相应的导数公式可以直接使用。
例如，多项式函数f(x)=ax^n的导数为f'(x)=anx^(n-1)，指数函数f(x)=e^x的导数为f'(x)=e^x，对数函数f(x)=ln(x)的导数为f'(x)=1/x，三角函数如sin(x)、cos(x)的导数分别为cos(x)和-sin(x)等。
2.2 导数的基本运算法则导数的计算还可以利用导数的基本运算法则，如和差法则、积法则、商法则等。
通过将复杂函数分解为基本初等函数的求导结果，并利用这些基本运算法则进行运算，可以较容易地求得复合函数的导数。
2.3 链式法则链式法则是求复合函数导数的常用方法。
对于函数y=f(u)，u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过以下公式进行计算：dy/dx = dy/du * du/dx3. 变化率与导数的关系导数不仅表示了函数在某一点的瞬时变化率，还可以用于描述函数在整个定义域上的变化规律。
初中数学：变化率和导数
初中数学：变化率和导数变化率和导数是初中数学中比较重要的概念，它们是描述一个函数在某一点的变化程度的工具。
在高中数学和大学数学中，它们也是重要的基础概念，是微积分学的核心概念之一。
掌握变化率和导数的概念和计算方法，对于理解函数的性质和解决实际问题都具有重要意义。
一、变化率变化率是指在一段时间内某个量的变化幅度，通常用单位时间内的变化量来衡量。
对于函数而言，变化率就是函数在某一点的斜率。
函数在某一点的变化率，可以用该点的切线斜率来表示。
练习题：1. 如果一辆汽车在40秒内从起点行驶100米，它的平均速度是多少？2. 某人每秒钟走1米，他走了t秒钟之后，他走的距离是多少？3. 什么是函数在某一点的斜率？4. 函数在某一点的变化率可以用什么来表示？5. 函数y = 2x在x = 1处的斜率是多少？答案：1. 平均速度是2.5米/秒。
2. 他走的距离是t米。
3. 函数在某一点的斜率是该点的切线斜率。
4. 函数在某一点的变化率可以用切线斜率来表示。
5. 斜率是2。
二、导数导数是函数在某一点的变化率的极限值，是描述函数在某一点上离散的变化情况下的连续性的指标。
导数可以表示函数的局部变化速度，是微积分学中一个重要的概念。
练习题：1. 函数y = x^2在x = 2处的导数是多少？2. 函数y = x^3在x = 1处的导数是多少？3. 函数y = sinx在x = π/2处的导数是多少？4. 什么是导数？5. 导数可以用来描述什么？答案：1. 导数是2。
2. 导数是3。
3. 导数是0。
4. 导数是函数在某一点的变化率的极限值。
5. 导数可以用来描述函数的局部变化速度。
三、小结变化率和导数是初中数学中比较重要的概念，它们是描述一个函数在某一点的变化程度的工具。
学习变化率和导数，能够帮助我们更好地理解函数的性质，解决实际问题。
练习题答案：1. 4。
2. 3。
3. 导数是cos(π/2) = 0。
4. 导数是函数在某一点的变化率的极限值。
(完整版)变化率与导数及导数的计算
第十一节变化率与导数、导数的计算一、导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．二、基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x三、导数的运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；3.⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．1．(教材习题改编)若f (x )＝x e x ，则f ′(1)＝( ) A ．0 B ．e C ．2eD ．e 2解析：选C ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e.2．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12解析：选A 依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′ |x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1a ×2＝－1，a ＝2.3．(教材习题改编)某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析：选A 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．4．(2012·广东高考)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′ |x ＝1＝3×12－1＝2. ∴该切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝05．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′ ＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 答案：－x sin x 1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．典题导入[例1] 用定义法求下列函数的导数． (1)y ＝x 2； (2)y ＝4x2.[自主解答] (1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝(x ＋Δx )2－x 2Δx＝x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx ＝2x ＋Δx ，所以y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . (2)因为Δy ＝4(x ＋Δx )2－4x 2＝－4Δx (2x ＋Δx )x 2(x ＋Δx )2， ΔyΔx ＝－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2， 所以limΔx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2＝－8x 3. 由题悟法根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)计算导数f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx. 以题试法1．一质点运动的方程为s ＝8－3t 2.(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t ＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)． 解：(1)∵s ＝8－3t 2，∴Δs ＝8－3(1＋Δt )2－(8－3×12)＝－6Δt －3(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝－6－3Δt . (2)法一(定义法)：质点在t ＝1时的瞬时速度 v ＝li m Δt →0ΔsΔt＝li m Δt →0 (－6－3Δt )＝－6. 法二(导数公式法)：质点在t 时刻的瞬时速度 v ＝s ′(t )＝(8－3t 2)′＝－6t . 当t ＝1时，v ＝－6×1＝－6.典题导入[例2] 求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1； [自主解答] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.由题悟法求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．以题试法2．求下列函数的导数．(1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； 解：(1)y ′＝(e x ·ln x )′ ＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.典题导入[例3] (1)(2011·山东高考)曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．－14B ．2C ．4D ．－12[自主解答] (1)y ′＝3x 2，故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y －12＝3(x －1)，令x ＝0得y ＝9.(2)∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝k ＝2. 又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4. [答案] (1)C (2)C若例3(1)变为：曲线y ＝x 3＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程． 解：因点P 不在曲线上，设切点的坐标为(x 0，y 0)， 由y ＝x 3＋11，得y ′＝3x 2， ∴k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.又∵k ＝y 0－13x 0－0，∴x 30＋11－13x 0＝3x 20. ∴x 30＝－1，即x 0＝－1. ∴k ＝3，y 0＝10.∴所求切线方程为y －10＝3(x ＋1)， 即3x －y ＋13＝0.由题悟法导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知切线过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)求切点，设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f ′(x 0)求解．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________． (2)(2013·乌鲁木齐诊断性测验)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1解析：(1)y ′＝3ln x ＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.(2)设切点的坐标为⎝⎛⎭⎫a ，－12a ＋ln a ，依题意，对于曲线y ＝－12x ＋ln x ，有y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1a ＝12，得a ＝1.又切点⎝⎛⎭⎫1，－12 在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1. 答案：(1)y ＝4x －3 (2)B1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．2．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194 B.174 C.154D.134解析：选D ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.3． (2012·哈尔滨模拟)已知a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x 的导函数f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y ＝－3xB ．y ＝－2xC ．y ＝3xD ．y ＝2x解析：选B ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －2. ∵f ′(x )为偶函数，∴a ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－2.∴f ′(0)＝－2.∴曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－2x .4．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2D ．2解析：选A ∵y ′＝－sin 2x －(1＋cos x )cos x sin 2x ＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′|x ＝π2＝－1.由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1.5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3解析：选B 设P (x 0，y 0)到直线y ＝x －2的距离最小，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1.得x 0＝1或x 0＝－12(舍)．∴P 点坐标(1,1)．∴P 到直线y ＝x －2距离为d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.6．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：选C 由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0， 即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．7．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8.答案：88．(2012·辽宁高考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析：易知抛物线y ＝12x 2上的点P (4,8)，Q (－2,2)，且y ′＝x ，则过点P 的切线方程为y ＝4x －8，过点Q 的切线方程为y ＝－2x －2，联立两个方程解得交点A (1，－4)，所以点A 的纵坐标是－4.答案：－49．(2012·黑龙江哈尔滨二模)已知函数f (x )＝12x －14sin x －34cos x 的图象在点A (x 0，y 0)处的切线斜率为1，则tan x 0＝________.解析：由f (x )＝12x －14sin x －34cos x 得f ′(x )＝12－14cos x ＋34sin x ，则k ＝f ′(x 0)＝12－14cos x 0＋34sin x 0＝1，即32sin x 0－12cos x 0＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫x 0－π6＝1. 所以x 0－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x 0＝2k π＋2π3，k ∈Z.故tan x 0＝tan ⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3. 答案：－ 310．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋x cos 2x. (2)y ′＝(x ＋1)′(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.11．已知函数f (x )＝x －2x ，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解：根据题意有曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3， 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a .所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f (1)＝3(x －1)， 得：y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0. 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g (1)＝3(x －1)． 得y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0， 所以，两条切线不是同一条直线．12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32－9－a 23，即当x ＝－a 3时，函数f ′(x )取得最小值－9－a 23，因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， 即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9，即a ＝±3.1．(2012·商丘二模)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )A ．0B ．26C ．29D ．212解析：选D ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)， ∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′ ＝(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′，∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212. 2．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ， 以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )， 又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝503f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋f 3⎝⎛⎭⎫π2＋f 4⎝⎛⎭⎫π2＝0. 答案：03．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l ，根据以下条件求l 的方程．(1)直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点； (2)直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P .解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，故所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. 又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－(－2)x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，所以x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3， 即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)．解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3⎝⎛⎭⎫14－1＝－94. 所以l 的方程为y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，则⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20·(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.【基础自测】1.（2013全国高考）已知曲线124++=ax x y 在点)2,1(+-a 处的切线的斜率为8，则a =（ ）A.9B.6C.-9D.-62.（2014宁夏一模）如果过曲线12++=x x y 上的点P 处的切线平行于直线2+=x y ，那么点P 的左标为 （ ）A.（1,0）B.（0,-1） B.（0,1） D.（-1,0）3.（2013惠州一模）设P 为曲线C ：322++=x x y 上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为]4,0[π，则点P 横坐标的取值范围为 （ ） A.]21,1[-- B.]0,1[- C.]1,0[ D.]1,21[4.（2013宁夏联考）已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为)('x f ，且0)0('>f ，对于任意实数x 都有0)(≥x f ，则)0()1('f f 的最小值为 （ ） A.3 B.25 C.2 D.23.)1()1(lim,2)1(1)(1'的值求处可导，且在】设函数【例hh f h f f x x f --+==x f D. x fx f B. x f x x f x x f x x f )()(.C )()(.A )()(lim,)(000'0'000--∆-∆-）等于（则处可导在【变式】设函数.)0,1()2(1)1(.123的切线方程求曲线过点处的切线方程；求曲线在】已知曲线【例--=+=x x y。
变化率与导数及导数的计算
变化率与导数及导数的计算变化率是指其中一物理量在一定时间或空间上的变化幅度。
导数是微积分中用来描述函数变化率的概念。
导数的定义是函数在其中一点的变化率。
在微积分中，导数用于刻画函数曲线上一点的斜率，即曲线在该点的切线的斜率。
导数表示了函数在该点附近的局部变化情况。
若函数y=f(x)，则函数f(x)在x=a的导数表示为f'(a)或dy/dx，_x=a。
导数表示了函数y=f(x)在x=a点附近的变化率。
导数可以通过几何方法、物理方法、以及代数方法进行求解。
一、几何解释法通过对函数对应的图像进行观察，可以直观地看出导数的几何意义。
函数y=f(x)在x=a点的导数f'(a)等于函数曲线在x=a点处的切线的斜率。
二、平均变化率和瞬时变化率平均变化率表示了函数的两个点之间的变化情况。
若函数f(x)在区间[a,b]上是连续的，则函数在该区间上的平均变化率为(f(b)-f(a))/(b-a)。
瞬时变化率表示了函数在其中一点的瞬时变化情况。
当间隔变得非常短小，即b趋近于a时，平均变化率趋近于瞬时变化率，即瞬时变化率等于导数。
三、导数的计算方法1.基本导数公式常见的基本导数公式如下：（1）常数函数的导数为零，即d(c)/dx=0，其中c为常数；（2）x的导数为1，即d(x)/dx=1；（3）可加性，即d(u+v)/dx=du/dx+dv/dx，其中u和v是函数；（4）乘性，即d(uv)/dx=udv/dx+vdu/dx，其中u和v是函数。
2.基本函数的导数（1）幂函数的导数：若f(x)=x^n，则f'(x)=nx^(n-1)，其中n为常数；（2）指数函数的导数：若f(x)=a^x，则f'(x)=a^x * ln(a)，其中a为常数，ln(a)为a的自然对数；（3）对数函数的导数：若f(x)=log_a(x)，则f'(x)=1/(x*ln(a))，其中a为常数，ln(a)为a的自然对数；（4）三角函数的导数：若f(x)=sin(x)，则f'(x)=cos(x)；若f(x)=cos(x)，则f'(x)=-sin(x)；若f(x)=tan(x)，则f'(x)=sec^2(x)，其中sec(x)为x的余切。
函数的导数与变化率的关系解读
函数的导数与变化率的关系解读函数的导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
导数在各个学科领域中都得到了广泛应用，从物理学中的速度、加速度，到经济学中的边际效应，都离不开导数的概念。
本文将深入解读函数的导数与变化率之间的关系。
首先，我们来回顾一下函数的导数的定义。
对于函数y=f(x)，在x点处的导数可以表示为f'(x)，它的定义如下：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h)-f(x)]/h这个定义可以简单理解为，当我们取x点附近一个极小的增量h时，函数值的变化量除以增量h就是函数在x点处的变化率。
而当h趋近于0时，这个变化率就趋近于一个确定的值，即函数在x点处的导数。
从这个定义中，我们可以看出函数的导数实际上描述了函数在不同点的变化率。
当导数的值为正时，表示函数在该点上升；当导数的值为负时，表示函数在该点下降；当导数的值为零时，表示函数在该点取得极值。
接下来，我们将考察一些常见函数的导数与其变化率之间的关系。
首先是线性函数，即f(x) = ax + b。
对于线性函数来说，它的导数为常数a，这表示线性函数的变化率在每个点处都是固定的。
第二个例子是幂函数，即f(x) = x^n，其中n为整数。
对于幂函数来说，它的导数为f'(x) = nx^(n-1)。
由此可以看出，幂函数的导数与自变量x的指数n和系数n之间的关系。
另一个例子是指数函数，即f(x) = a^x，其中a为常数。
对于指数函数来说，它的导数为f'(x) = a^x * ln(a)，其中ln(a)表示以e为底的对数。
这个导数表达式反映了指数函数的变化率与底数a的关系。
最后，我们来看一下三角函数的导数。
对于正弦函数f(x) = sin(x)和余弦函数f(x) = cos(x)，它们的导数分别为f'(x) = cos(x)和f'(x) = -sin(x)。
对于正切函数f(x) = tan(x)，它的导数为f'(x) = sec^2(x)，其中sec(x)表示余割函数。
变化率与导数关系
②如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． (2)求过点P 与曲线相切的直线方程的三个步骤跟踪训练 2 对于例2(2)改为是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有求出切线方程，若没有，说明理由．解析：假设存在与直线PQ 垂直的切线，因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，所以与PQ 垂直的切线斜率k ＝－1，设切点为(x 0′，y 0′)，则y ′|x ＝x 0′＝2x 0′，令2x 0′＝－1，则x 0′＝－12，y 0′＝14，切线方程为y －14＝－⎝⎛⎭⎫x ＋12，即4x ＋4y ＋1＝0. 1．基本初等函数的导数公式可分为四类第一类为幂函数，y ′＝(x α)′＝αx α－1(注意幂指数α可推广到全体非零实数)；第二类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数； 第三类为指数函数，y ′＝(a x )′＝a x ln a ，当a ＝e 时，y ＝e x 的导数是指数函数的导数的一个特例；第四类为对数函数，y ′＝(log a x )′＝1x ln a ，也可写为(log a x )′＝1x·log a e ，当a ＝e 时，y ＝ln x 的导数是对数函数的导数的一个特例．2．有些函数可先化简再应用公式求导如求y ＝1－2sin 2x2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .练习：1．已知函数f (x )＝x 3，若f ′(x 0)＝6，则x 0＝( )A. 2 B ．－ 2 C ．± 2 D ．±1解析：∵f ′(x )＝3x 2，∴f ′(x 0)＝3x 20＝6，解得x 0＝± 2. 答案：C 2．曲线y ＝cos x 在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A.12－3π9 B.12＋3π9 C.12＋3π6 D.12－3π6解析：因为y ′＝－sin x ，切点为P ⎝⎛⎭⎫π3，12，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32， 所以切线方程为y －12＝－32⎝⎛⎭⎫x －π3，令x ＝0，得y ＝12＋3π6，故选C.答案：C3．函数f (x )＝sin x ，则f ′(6π)＝________. 解析：f ′(x )＝cos x ，所以f ′(6π)＝1. 答案：1。
变化率与导数
记为 f ( x0 ) 或
y
x xo
，即
f ( x0 x) f ( x0 ) f f ( x0 ) lim lim x 0 x x 0 x
思考?
观察函数f(x)的图象
Y=f(x) y B
y f(x2 ) f ( x1 ) 平均变化率 x x2 x1
表示什么?
f(x2) f(x2)-f(x1)=△y A f(x1)
直线AB 的斜率
x2-x1=△x x x1 x2
O
四、导数的几何意义:
y
y=f(x) Pn
割 线
T
y
P
切线
x
o
x 我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即 Δ x→0时,割线P Pn趋近于确定位置PT.则我们 把直线PT称为曲线在点P处的切线.
因此,函数f(x)在x=x0处
y
y= Q f( x) P
的导数就是切线PT的斜率.
o
'
割 线 T 切 线 x
即:
f ( x0 x) f ( x0 ) y k切线 f ( x0 ) lim lim x 0 x x 0 x
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
f ( x0 x) f ( x0 ) f lim lim x 0 x 0 x x
练习：
1.函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率为（ ）.
2.函数f(x)=1-3x在x=x0处的瞬时变化率为（ ） 3.质点运动规律s=t2+3，则在t=3秒的瞬时速度为
三、导数
一般地，函数 y =f(x) 在x=x0处的瞬时变化率 称为函数 y = f (x)在点x=x0处的导数，
变化率与导数导数的计算
导数与积分是互逆运算，一个函数的导数与其积分之间的关系可以通过微积分基本定理来表示。
04 导数的应用
导数在几何中的应用
求切线斜率
导数可以用来求曲线在某一点的切线斜率，从而了解曲线在该点的 变化趋势。
研究函数极值
通过求导数并令其为零，可以找到函数的极值点，进而研究函数的 最大值和最小值。
莱布尼茨法则
对于复合函数的 $n$ 阶导数，可以利用莱布尼 茨法则进行计算。
幂级数展开法
对于复杂的函数，可以利用幂级数展开法求得高阶导数。
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曲线的凹凸性判断
通过求二阶导数，可以判断曲线的凹凸性，进而了解曲线的弯曲程度。
导数在物理中的应用
速度和加速度的研究
在物理学中，导数可以用来研究物体的速度和加速度， 例如瞬时速度和瞬时加速度。
斜抛运动的研究
通过导数可以研究斜抛物体的运动轨迹，例如研究射 程、射高等。
振动和波动的研究
导数可以用来研究振动和波动的规律，例如振幅、频 率等。
03
导数可以用来研究函数的单调性、极值、拐点等性质。
导数的几何意义
导数的几何意义是函数在某一 点处的切线斜率，即切线与x
轴正方向的夹角正切值。
当导数大于0时，函数在该点 处单调递增；当导数小于0时，
函数在该点处单调递减。
导数的符号变化点为函数的拐 点，即函数图像的凹凸分界点。
导数的计算方法
定义法
隐函数的导数计算
对数求导法
对于形如 $y = f(x)$ 的隐函数，可以通 过两边取对数，转化为显函数进行求导 。
VS
参数方程法
对于参数方程 $x = x(t), y = y(t)$，可以 通过对参数 $t$ 求导来求得隐函数的导数。
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变化率与导数
变化率与导数是微积分中的重要概念，它们能够帮助我们准确地表达和计算特定函数在特定点的斜率。
变化率可以定义为一个函数在某一点的变化量与该点前后变化量之比。
其定义式如下:
变化率 = 变化量/原始量
其中，变化量就是位于某一点处曲线上的一段段区域的变化量，而原始量则是位于曲线前后的一段段区域的变化量。
变化率的单位一般用“%”或者“1/X”表示，其中X 代表原始量。
变化率是一个值，用来估计特定函数在特定点处的变化情况。
当我们想要更加精确地表达函数变化情况时，就需要使用导数。
导数是变量x的函数y在x处的一阶微分，也就是某一点处函数的斜率。
它可以用下面的公式来表示:
dy/dx=f'(x)
其中，f'(x) 是函数y关于x的导数，它可以表示函数y在x处的斜率，也就是函数y在x处的变化速率。
因此，导数有助于我们更精确地表达函数的变化情况，它可以表示函数在特定点处的变化速度。
总之，变化率与导数都是微积分中重要的概念，它们都是用来表示函数在特定点处的变化情况。
变化率用来表
示函数在特定点处的变化量与原始量之比，而导数则是根据函数的一阶微分来表示函数在特定点处的斜率，从而表示函数在特定点处的变化速率。