变化率与导数、导数的计算

合集下载

13讲--变化率与导数、导数的计算

第13讲变化率与导数、导数的计算1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即 f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)导数的几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx 为f (x )的导函数． 2．基本初等函数的导数公式(sin x )′＝cos_x ，(cos x )′＝－sin_x ，(a x )′＝a x ln_a ，(e x )′＝e x ，(log a x )＝1x ln a ，(ln x )′＝1x. 3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．[试一试]1．(2013·江西高考)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.解析：因为f (e x )＝x ＋e x ，所以f (x )＝x ＋ln x (x >0)，所以f ′(x )＝1＋1x，所以f ′(1)＝2. 答案：22．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________．解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x＝cos x －x sin x －cos x＝－x sin x .答案：－x sin x 利用导数的定义求函数的导数 (1)y ＝x 2，(2)f (x )＝1x ＋2. 解：(1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝(x ＋Δx )2－x 2Δx＝x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx＝2x ＋Δx ，所以y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . (2)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝1x ＋Δx ＋2－1x ＋2Δx＝－1(x ＋Δx ＋2)(x ＋2)所以y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝－lim Δx →0 1(x ＋Δx ＋2)(x ＋2)＝－1(x ＋2)2. [类题通法]定义法求函数的导数的三个步骤一差：求函数的改变量Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )．二比：求平均变化率Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx. 三极限：取极限，得导数y ′＝f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx.导数的运算[典例] 求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1；(3)y ＝ln(2x －5)． [解] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2 ＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x(e x －1)2. (3)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5. [类题通法]1．求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．2．有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．3．复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．[针对训练]已知f (x )＝sin 2x ，记f n ＋1(x )＝f n ′(x )(n ∈N *)，则f 1⎝⎛⎭⎫π6＋f 2⎝⎛⎭⎫π6＋…＋f 2 013⎝⎛⎭⎫π6＋f 2 014⎝⎛⎭⎫π6＝________.解析：由题意，可知f 2(x )＝f 1′(x )＝(sin 2x )′＝2cos 2x ；f 3(x )＝f 2′(x )＝(2cos 2x )′＝－4sin 2x ；f 4(x )＝f 3′(x )＝(－4sin 2x )′＝－8cos 2x ；f 5(x )＝f 4′(x )＝(－8cos 2x )′＝16sin 2x ；…故f 4k ＋1(x )＝24k sin 2x ，f 4k ＋2(x )＝24k ＋1cos 2x ，f 4k ＋3(x )＝－24k ＋2sin 2x ，f 4k ＋4(x )＝－24k ＋3·cos 2x (k ∈N)．所以f 1⎝⎛⎭⎫π6＋f 2⎝⎛⎭⎫π6＋…＋f 2 014⎝⎛⎭⎫π6＝20sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋21cos ⎝⎛⎭⎫2×π6－22sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－ 23cos ⎝⎛⎭⎫2×π6＋24sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋…－22 010sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－22 011cos ⎝⎛⎭⎫2×π6＋22 012sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋22 013cos ⎝⎛⎭⎫2×π6 ＝(20－22＋24－26＋…＋22 008－22 010＋22 012)sin π3＋(21－23＋25－27＋…＋22 009－22 011＋22 013)cos π3＝1×[1－(－22)1 007]1－(－22)×32＋2×[1－(－22)1 007]1－(－22)×12 ＝1＋22 0145×32＋2×(1＋22 014)5×12＝(3＋2)(1＋22 014)10答案：(3＋2)(1＋22 014)10导数的几何意义角度一求切线方程1．(2014·洛阳统考)已知函数f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x ，a ＝f ′⎝⎛⎭⎫π4，f ′(x )是f (x )的导函数，则过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线方程为( )A ．3x －y －2＝0B ．4x －3y ＋1＝0C ．3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0D ．3x －y －2＝0或4x －3y ＋1＝0解析：选A 由f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x 得f ′(x )＝3－2sin 2x ＋2cos 2x ，则a ＝f ′⎝⎛⎭⎫π4＝3－2sin π2＋2cos π2＝1.由y ＝x 3得y ′＝3x 2，过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线的斜率k ＝3a 2＝3×12＝3.又b ＝a 3，则b ＝1，所以切点P 的坐标为(1,1)，故过曲线y ＝x 3上的点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.角度二求切点坐标2．(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是( )A ．(0,1)B ．(1，－1)C ．(1,3)D ．(1,0)解析：选C 由题意知y ′＝3x＋1＝4，解得x ＝1，此时4×1－y －1＝0，解得y ＝3，∴点P 0的坐标是(1,3)．角度三求参数的值3．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 等于( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x， ∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图像的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2，故选D.[类题通法]导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)；(2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0求解．。

变化率与导数

变化率与导数、导数的运算课前双击巩固1.变化率与导数 (1)平均变化率: 概念对于函数y=f (x ),f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1=Δy Δx 叫作函数y=f (x )从x 1到x 2的变化率几何意义函数y=f (x )图像上两点(x 1,f (x 1)),(x 2,f (x 2))连线的物理意义若函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则ΔyΔx 就是该质点在[x 1,x 2]上的速度(2)导数:概念点x 0处 limΔx→0ΔyΔx =limΔx→0f(x 0+Δx)−f(x 0)Δx,我们称它为函数y=f (x )在处的导数,记为f'(x 0)或y'|x=x 0,即f'(x 0)=limΔx→0ΔyΔx= lim Δx→0f(x 0+Δx)−f(x 0)Δx区间 (a ,b )当x ∈(a ,b )时,f'(x )=lim Δx→0ΔyΔx =lim Δx→0 叫作函数在区间(a ,b )内的导数几何意义函数y=f (x )在点x=x 0处的导数f'(x 0)就是函数图像在该点处切线的 .曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程是物理意义函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x 0处的导数就是质点在x=x时的速度,在(a ,b )内的导数就是质点在(a ,b )内的方程2.导数的运算常用导数公式原函数导函数特例或推广常数函数 C'=0(C 为常数)幂函数(x n)'= (n ∈Z )1x'=-1x 2三角函数(sin x)'=,(cos x)'=偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数的导数是周期函数指数函数(a x)'=(a>0且a≠1) (e x)'=e x对数函数(log a x)'=(a>0且a≠1)(ln x)'=1x,(ln|x|)'=1x四则运算法则加减[f(x)±g(x)]'=(∑i=1nf i(x))'=∑i=1nf'i(x)乘法[f(x)·g(x)]'=[Cf(x)]'=Cf'(x) 除法f(x)g(x)'=(g(x)≠0)1g(x)'=-g′(x)[g(x)]2复合函数导数复合函数y=f[g(x)]的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'x=,这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”题组一常识题1.[教材改编]向气球中充入空气,当气球中空气的体积V(单位:L)从1 L增加到2 L时,气球半径r(单位:dm)的平均变化率约为.2.[教材改编]已知将1吨水净化到纯净度为x %时所需费用(单位:元)为c(x)=5284100−x(80<x<100),当净化到纯净度为98 %时费用的瞬时变化率为.3.[教材改编] y=sin(πx+φ)的导数是y'=.4.[教材改编]曲线y=xe x-1在点(1,1)处切线的斜率等于.题组二常错题◆索引:平均变化率与导数的区别;求导时不能掌握复合函数的求导法则致错;混淆f'(x 0)与[f (x 0)]',f'(ax+b )与[f (ax+b )]'的区别.5.函数f (x )=x 2在区间[1,2]上的平均变化率为 ,在x=2处的导数为 .6.已知函数y=sin 2x ,则y'= .7.已知f (x )=x 2+3xf'(2),则f (2)= .8.已知f (x )=x 3,则f'(2x+3)= ,[f (2x+3)]'= .课堂考点探究探究点一导数的运算1(1)函数f (x )的导函数为f'(x ),且满足关系式f (x )=x 2+3xf'(2)-ln x ,则f'(2)的值为( )A.74 B.-74 C.94 D.-94(2)已知f (x )=-sin x2(1−2cos 2x4),则f'(π3)= .[总结反思] (1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆. 式题 (1)函数y=sinx x 的导数为y'= .(2)已知f (x )=(x+1)(x+2)(x+a ),若f'(-1)=2,则f'(1)= . 探究点二导数的几何意义考向1 求切线方程2 函数f (x )=e x·sin x 的图像在点(0,f (0))处的切线方程是 .[总结反思] (1)曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为y-f (x 0)=f'(x 0)(x-x 0);(2)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标,在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围;(3)注意过某点的切线和曲线上某点处的切线的区别. 考向2 求切点坐标3设a∈R,函数f(x)=e x+a·e-x的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为( )A.ln 2B.-ln 2C.ln22 D.-ln22[总结反思] f'(x)=k(k为切线斜率)的解即为切点的横坐标.考向3求参数的值4已知曲线C在动点P(a,a2+2a)与动点Q(b,b2+2b)(a<b<0)处的切线互相垂直,则b-a的最小值为( )A.1B.2C.√2D.-√2[总结反思](1)利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.(2)注意:①曲线上横坐标的取值范围;②切点既在切线上又在曲线上.强化演练1.【考向1】已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为( )A.x+y-1=0B.x-y-1=0C.x+y+1=0D.x-y+1=02.【考向3】直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于( )A.2B.-1C.1D.-23.【考向2】已知在平面直角坐标系中,f(x)=aln x+x的图像在x=a处的切线过原点,则a=( )A.1B.eC.1eD.04.【考向2】若曲线y=xln x在点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是.5.【考向1】函数f(x)=xe x的图像在点P(1,e)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为.。

第一节变化率与导数、导数的计算-高考状元之路

第三章导数及其应用复习备考资讯考纲点击1．变化率与导数、导数的计算(1)了解导数概念的实际背景．(2)理解导数的几何意义．(3)能根据导数定义求函数xy x y x y c y 1,,,2====的导数． (4)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．2．导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）．(3)会利用导数解决某些实际问题．考情分析1．导数的运算是导数的基本内容，在高考中每年必考，一般一单独命题，而在考查导数应用的同时考查．2．导数的几何意义是高考考查的重点内容，常与解析几何知识交汇命题，多以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题中关键的一步．3．利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及解决生活中的优化问题，巳成为近几年高考炙手可热的考点。

4．选择题、填空题，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值；解答题，侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用，一般难度较大，属中高档题，第一节变化率与导数、导数的计算预习设计基础备考知识梳理1．函数)(x f y =从1x 到2x 的平均变化率函数)(x f y =从1x 到2x 的平均变化率为若),()(,1212x f x f y x x x -=∆-=∆则平均变化率可表示为2．函数)(x f y =在0x x =处的导数(1)定义；称函数0)(x x x f y ==在处的瞬时变化率 = 为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作,|)(0/0/x x y x f =或即=∆=---ΛAxy x r lim )(0 (2)几何意义：函数)(x f 在点0x 处的导数)(0/x f 的几何意义是在曲线)(x f y =上点处的．相应地，切线方程为3．函数)(x f 的导函数称函数=)(/x f 为)(x f 的导函数，导函数有时也记作/y4．基本初等函数的导数公式5．导数运算法则=±/)]()]()[1(x g x f=/)]()()[2(x g x f=/])()()[3(x g x f ).0)((=/x g典题热身1．设,ln )(x x x f =若,2)(0/=x f 则=0x ( )2.e A e B . 22ln .c 2ln .D2．（2011．山东高考）曲线113+=x y 在点P(l ，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )9.-A 3.-B 9.C 15.D3．（2010．全国课标卷）曲线123+-=x x y 在点(1，O)处的切线方程为( )1-=⋅x y A 1+-=⋅x y B 22-=⋅x y C 22+-=⋅x y D4．设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a1.A 21.B 21.-c 1.-D5．（2011．湖南高考）曲线21cos sin sin -+=x x x y 在点)0,4(πM 处的切线的斜率为 ( ) 21.-A 21.B 22.-c 22.D 课堂设计方法备考【例1】已知P ，Q 为抛物线y x 22=上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为__ __．【例2】已知曲线 ⋅+=34313x y (1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程．例3已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中).0,1().5,21()0,0(C B A 函数x x xf y ≤=0)(()1≤的图象与x 轴围成的图形的面积为解题思路解析由已知可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+-∈=],1,21(,1010],21,0[,10)(x x x x x f 则⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈==],1,21(,1010],21,0[,10)(22x x x x x x xf y 画出函数图象，如图所示，所求面积+=⎰+dx x s )10(20+=+-⎰++0321|310)1010(x dx x x +=+-+125|)5310(123x x )41581310()5310(⨯+⨯--+-⋅=45题型三导数的几何意义及其应用【例3】设函数),,(1a )(z b a bx x x f ∈++=曲线)(x f y =在点(2，，f(2))处的切线方程为.3=y (1)求)(x f 的解析式；(2)证明函数)(x f y =的图像是一个中心对称图形，并求其对技法巧点1．函数求导的方法和步骤求导数时，先化简再求导是运算的基本方法．一般地，分式函数的求导，要先观察函数的结构特征，可否化为整式函数或较简单的分式函数；对数函数的求导，先化为和、差形式，再求导；三角函数求导，先应用三角公式转化为和或差的形式．2．与导数的几何意义有关的两类问题有关导数几何意义的题目一般有两类：一类是求曲线韵切线方程，这类题目要注意审好题，看到底是在某点处的切线还是过某点的切线，在某点处的切线一般有一条，过某点的切线可能有两条或更多；另一类是已知曲线的切线求字母的题目，已知曲线的切线一般转化为两个条件，即原函数一个条件，导函数一个条件，导函数的条件一般不会忽视，但原函数的条件很容易被忽视。

导数与变化率的概念与计算方法

瞬时变化率
定义：瞬时变化率是指在某一时刻附近，函数值随自变量变化的
趋势和快慢
计算方法：通过求导数来计算瞬时变化率
几何意义：瞬时变化率可以理解为函数图像在该点的切程学等领域有广泛的应用，如速度、加速度等物
理量的计算
变化率的几何意义
变化率描述的是函数图像上两点间距离的相对变化变化率等于函数图像上切线斜率变化率可用于分析函数图像的形状和趋势变化率的概念在导数定义中有着基础地位
热传导：导数可以用来描述热量的传递过程，例如物体温度随时间的变化规律和热传导方程的求解。
电磁学：导数可以用来描述电场和磁场的变化规律，例如电场强度和磁场强度的计算。
导数在经济分析中的应用
边际分析：导数用于研究经济活动中各变量的变化趋势和极限状态，帮助决策者做出最优决策。
弹性分析：导数用于计算各种经济指标的弹性，从而分析各因素对经济指标的影响程度。
利用导数求瞬时变化率
定义：导数描述了函数在某一点处的切线的斜率
计算方法：通过求导公式或导数定义进行计算
应用场景：在物理学、工程学等领域中，利用导数求瞬时变化率具有广泛的应用
注意事项：导数在某些点可能不存在，需要注意函数的可导性
导数与变化率的应用
导数在几何中的应用
导数在研究曲线上某点的切线斜率中应用
经济分析：在经济学中，变化率用于分析经济增长、通货膨胀和利率等经济指标的变化情况。
预测模型：在气象学和统计学中，变化率用于建立预测模型，例如预测股票价格和天气变化趋势。
控制系统：在控制工程中，变化率用于设计和分析控制系统，例如调节汽车发动机的油门和温度。
感谢您的观看

变化率与导数

导数的概念
一般地, 函数 y＝f(x) 在点x＝x0处的瞬时变化率是
f ( x0 + Dx ) f ( x 0 ) Dy lim lim Dx 0 D x Dx 0 Dx
我们称它为函数 y ＝ f (x)在点x＝x0处的导数，记为 f '(x0)或 y'| x＝x0 ,即
f ( x0 + Dx ) f ( x0 ) Dy f ( x0 ) lim lim Dx 0 Dx Dx 0 Dx
Dx 0
曲线在点(x0 , f(x0))处的切线的方程为： y－f (x0) ＝ f '(x0)(x－x0)
例2 求曲线y＝f(x)＝x2＋1在点P(1,2)处的切线方程.
解：
y
△y
因此,切线方程为
y－2＝2(x－1),
P △x
即 y ＝ 2x.
O
1
x
【总结提升】求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出切点P的坐标；
变化率与导数
平均变化率
我们把式子
f ( x2 ) f ( x1 ) 称为函数 x2 x1
y＝f (x)从x1到 x2的平均变化率.
令△x ＝ x2－x1 , △ y ＝ f (x2) －f (x1) ,则
△y f ( x 2 ) f ( x1 ) ＝ △x x 2 x1
平均变化率
例题分析
例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: oC) 为 f(x)＝x2－7x＋15 (0≤x≤8). 计算第2h 与低6h时原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。
解:

变化率与导数、导数的运算

畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP邀请码NJBHKZO，高佣联盟官方正版APP邀请码2548643第十节变化率与导数、导数的运算1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式3．(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( )(2)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)因为(ln x )′＝1x ，所以⎝⎛⎭⎫1x ′＝ln x ．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×2．已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．e C.ln 22D ．ln 2解析：选B f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.3．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x解析：选B ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝x ′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1－1x 2；(3x )′＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x .4．曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：选A 因为y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2，所以y ′＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2(x ＋2)2，y ′|x ＝－1＝2，所以曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，所以所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.5．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x 在点(1,2)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝2x －1x 2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y ′|x ＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643答案：x －y ＋1＝06．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a ·e x图象的切线，则实数a ＝________. 解析：设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a ·e x 0＝－1， ∴e x 0＝a ，又－1a ·e x 0＝－x 0＋1， ∴x 0＝2，a ＝e 2. 答案：e 2考点一导数的运算 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]A ．－eB ．－1C ．1D ．e解析：选B 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x.所以f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 2．求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x ； (3)y ＝cos xe x；解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x . [怎样快解·准解]1．谨记1个原则先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导． 2．熟记求导函数的5种形式及解法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．考点二导数的几何意义 (题点多变型考点——追根溯源)角度(一) 求曲线的切线方程 1．已知函数f (x )＝ln x －8x －1x ＋1，则函数f (x )的图象在⎝⎛⎭⎫1，－72处的切线方程为________．解析：由f (x )＝ln x －8x －1x ＋1，得f ′(x )＝1x －9(x ＋1)2，则f ′(1)＝1－9(1＋1)2＝1－94＝－54，故所求切线方程为y －⎝⎛⎭⎫－72＝－54(x －1)，即5x ＋4y ＋9＝0. 答案：5x ＋4y ＋9＝0 角度(二) 求切点坐标2．曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(1,3)和(－1,3)D ．(1，－3)解析：选C f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.角度(三) 求参数的值(范围)3．(2018·成都诊断)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP邀请码NJBHKZO，高佣联盟官方正版APP邀请码2548643解析：选D f′(x)＝1x＋2ax＝2ax2＋1x(x＞0)，根据题意有f′(x)≥0(x＞0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x＞0)恒成立，即2a≥－1x2(x＞0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．[题“根”探求]1．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是()A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0解析：选C因为y＝sin x＋e x，所以y′＝cos x＋e x，所以y′|x＝0＝cos 0＋e0＝2，所以曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.2．(2017·天津高考)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．解析：因为f′(x)＝a－1x，所以f′(1)＝a－1.又f(1)＝a，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)．令x＝0，得y＝1.答案：13．(2018·云南一检)已知函数f(x)＝ax ln x＋b(a，b∈R)，若f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________.解析：由题意，得f ′(x )＝a ln x ＋a ，所以f ′(1)＝a ，因为函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，所以a ＝2，又f (1)＝b ，则2×1－b ＝0，所以b ＝2，故a ＋b ＝4.答案：4(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．已知函数f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )，且f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0解析：选B f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )＝ax 4＋(2a ＋b )x 2＋2b ，f ′(x )＝4ax 3＋2(2a ＋b )x 为奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.2．已知函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝( ) A ．e B.1e C.1e2 D.12解析：选B 因为f ′(x )＝1x ln a ，所以f ′(1)＝1ln a ＝－1，所以ln a ＝－1，所以a ＝1e. 3．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.4．曲线f (x )＝2x －e x 与y 轴的交点为P ，则曲线在点P 处的切线方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x －y －1＝0D ．x ＋y －1＝0解析：选C 曲线f (x )＝2x －e x 与y 轴的交点为(0，－1)．且f ′(x )＝2－e x ，所以f ′(0)＝1.所以所求切线方程为y ＋1＝x ，即x －y －1＝0.5．函数g (x )＝x 3＋52x 2＋3ln x ＋b (b ∈R)在x ＝1处的切线过点(0，－5)，则b 的值为( )A.72B.52C.32D.12畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643解析：选B 当x ＝1时，g (1)＝1＋52＋b ＝72＋b ，又g ′(x )＝3x 2＋5x ＋3x ，所以切线斜率k ＝g ′(1)＝3＋5＋3＝11，从而切线方程为y ＝11x －5，由于点⎝⎛⎭⎫1，72＋b 在切线上，所以72＋b ＝11－5，解得b ＝52.故选B.6.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线的斜率为－13，即f ′(3)＝－13，又g (x )＝xf (x )，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 7．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：∵f ′(x )＝－1x 2cos x －1x sin x ，∴f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π－2π＝－3π. 答案：－3π8．(2018·东北四市联考)函数f (x )＝e x sin x 的图象在点(0，f (0))处的切线方程是________．解析：由f (x )＝e x sin x ，得f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，所以f (0)＝0且f ′(0)＝1，则切线的斜率为1，切点坐标为(0,0)，所以切线方程为y ＝x .答案：y ＝x9．若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝e x ln x ＋x 3f ′(1)，则f ′(1)＝________. 解析：由已知可得f ′(x )＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ＋3x 2f ′(1)，故f ′(1)＝e ()ln 1＋1＋3f ′(1)，解得f ′(1)＝－e2.答案：－e210．设曲线y ＝1＋cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a ＝________.解析：因为y ′＝－1－cos xsin 2x，所以y ′| x ＝π2＝－1，由条件知1a ＝－1，所以a ＝－1. 答案：－1B 级——中档题目练通抓牢1．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1eD ．－1e解析：选C y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝y ′|x ＝x 0＝1x 0，所以切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，又切线过点(0,0)，代入切线方程得y 0＝1，则x 0＝e ，所以k ＝y ′|x ＝x 0＝1x 0＝1e.2．已知函数f (x )＝a ln x ＋bx 2的图象在点P (1,1)处的切线与直线x －y ＋1＝0垂直，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选D 由已知可得P (1,1)在函数f (x )的图象上，所以f (1)＝1，即a ln 1＋b ×12＝1，解得b ＝1，所以f (x )＝a ln x ＋x 2，故f ′(x )＝ax ＋2x .则函数f (x )的图象在点P (1,1)处的切线的斜率k ＝f ′(1)＝a ＋2，因为切线与直线x －y ＋1＝0垂直，所以a ＋2＝－1，即a ＝－3.故选D.3．在直角坐标系xOy 中，设P 是曲线C ：xy ＝1(x ＞0)上任意一点，l 是曲线C 在点P 处的切线，且l 交坐标轴于A ，B 两点，则下列结论正确的是( )A ．△OAB 的面积为定值2 B ．△OAB 的面积有最小值为3C ．△OAB 的面积有最大值为4D ．△OAB 的面积的取值范围是[3,4]畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643解析：选A 由题意知，y ＝1x (x ＞0)，则y ′＝－1x2.设P ⎝⎛⎭⎫a ，1a ，则曲线C 在点P 处的切线方程为y －1a ＝－1a 2(x －a )，令x ＝0可得y ＝2a ；令y ＝0可得x ＝2a ，所以△OAB 的面积为12×2a ×2a ＝2，即定值2.故选A.4．曲线f (x )＝e x 在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝ax 2－a (a ≠0)相切，则a ＝________，切点坐标为________．解析：曲线f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1. 设其与曲线g (x )＝ax 2－a 相切于点(x 0，ax 20－a )．则g ′(x 0)＝2ax 0＝1，且ax 20－a ＝x 0＋1.解得x 0＝－1，a ＝－12，切点坐标为(－1,0)．答案：－12(－1,0)5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为_______．解析：由y ＝x 2－ln x ，得y ′＝2x －1x (x ＞0)，设点P 0(x 0，y 0)是曲线y ＝x 2－ln x 上到直线y ＝x －2的距离最小的点，则y ′x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，解得x 0＝1或x 0＝－12(舍去)． ∴点P 0的坐标为(1,1)．∴所求的最小距离＝|1－1－2|2＝ 2.答案： 26．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围．解：(1)∵y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴当x ＝2时，y ′min ＝－1，此时y ＝53，∴斜率最小时的切点为⎝⎛⎭⎫2，53，斜率k ＝－1， ∴切线方程为3x ＋3y －11＝0. (2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1，又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 故α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 7．设抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解：(1)因为y ′＝－2x ＋92，设切点P 的坐标为(x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2x 1＋92＝k ，y 1＝kx 1，y 1＝－x 21＋92x 1－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2，y 1＝1，k ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，y 1＝－17，k ＝172.因为切点P 在第一象限，所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5. 将其代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9，所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，－4. C 级——重难题目自主选做1．已知f (x )＝14x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(x )的图象是( )解析：选A ∵f (x )＝14x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝14x 2＋cos x ，∴f ′(x )＝12x －sin x ，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D.又f ″(x )＝12－cos x ，当－π3＜x ＜π3时，cos x ＞12，∴f ″(x )＜0，故函数y ＝f ′(x )在区间⎝⎛⎭⎫－π3，π3上单调递减，故排除C ，选A. 2．若函数f (x )＝2sin x (x ∈[0，π))的图象在切点P 处的切线平行于函数g (x )＝2x ⎝⎛⎭⎫x 3＋1的图象在切点Q 处的切线，则直线PQ 的斜率为()畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643A.83 B ．2 C.73D.33解析：选A 由题意得f ′(x )＝2cos x ，g ′(x )＝x 12＋x －12.设P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，g (x 2))，f ′(x 1)＝g ′(x 2)，即2cos x 1＝x 122＋x －122，故4cos 2x 1＝x 2＋x －12＋2，所以－4＋4cos 2x 1＝x 2＋x －12－2，即－4sin 2x 1＝x 122－x －1222，所以sin x 1＝0，x 1＝0，x122＝x －122，x 2＝1，故P (0,0)，Q ⎝⎛⎭⎫1，83，故k PQ ＝83. (二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．已知函数f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )，且f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0解析：选B f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )＝ax 4＋(2a ＋b )x 2＋2b ，f ′(x )＝4ax 3＋2(2a ＋b )x 为奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.3.已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12解析：选B 因为y ＝x 24－3ln x (x >0)，所以y ′＝x 2－3x .再由导数的几何意义，令x 2－3x ＝－12，解得x ＝2或x ＝－3(舍去)．故切点的横坐标为2. 4.(2018·湖北百所重点高中联考)已知函数f (x ＋1)＝2x ＋1x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选A f (x ＋1)＝2(x ＋1)－1x ＋1，故f (x )＝2x －1x ，即f (x )＝2－1x ，对f (x )求导得f ′(x )＝1x2，则f ′(1)＝1，故所求切线的斜率为1，故选A. 5．已知函数f (x )＝a ln x ＋bx 2的图象在点P (1,1)处的切线与直线x －y ＋1＝0垂直，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选D 由已知可得P (1,1)在函数f (x )的图象上，所以f (1)＝1，即a ln 1＋b ＝1，解得b ＝1，所以f (x )＝a ln x ＋x 2，故f ′(x )＝ax＋2x .则函数f (x )的图象在点P (1,1)处的切线的斜率k ＝f ′(1)＝a ＋2，因为切线与直线x －y ＋1＝0垂直，所以a ＋2＝－1，即a ＝－3.故选D.6.已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：∵f ′(x )＝－1x 2cos x －1x sin x ，∴f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π－2π＝－3π. 答案：－3π7.若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝e x ln x ＋x 3f ′(1)，则f ′(1)＝________. 解析：由已知可得f ′(x )＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ＋3x 2f ′(1)，故f ′(1)＝e ()ln 1＋1＋3×f ′(1)，解得f ′(1)＝－e2.答案：－e28．曲线f (x )＝e x 在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝ax 2－a (a ≠0)相切，则a ＝________，切点坐标为________．解析：曲线f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1. 设其与曲线g (x )＝ax 2－a 相切于点(x 0，ax 20－a )．则g ′(x 0)＝2ax 0＝1，且ax 20－a ＝x 0＋1.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643解得x 0＝－1，a ＝－12，切点坐标为(－1,0)．答案：－12 (－1,0)9.求下列函数的导数．(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；解：(1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x－x ＝x －12－x 12，∴y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋x cos 2x. (3)∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)，∴y ′＝(x 2＋3x ＋2)′(x ＋3)＋(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)′ ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2 ＝2x 2＋9x ＋9＋x 2＋3x ＋2 ＝3x 2＋12x ＋11.10．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围．解：(1)∵y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴当x ＝2时，y ′min ＝－1，此时y ＝53，∴斜率最小时的切点为⎝⎛⎭⎫2，53，斜率k ＝－1， ∴切线方程为3x ＋3y －11＝0. (2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1，又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 故α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. B 级——拔高题目稳做准做1.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线的斜率为－13，即f ′(3)＝－13，又g (x )＝xf (x )，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 2.已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1. ∵g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 2＋mx 0＋72，m <0，解得m ＝－2.3．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________．解析：由y ＝x 2－ln x ，得y ′＝2x －1x (x ＞0)，设点P 0(x 0，y 0)是曲线y ＝x 2－ln x 上到直线y ＝x －2的距离最小的点，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，解得x 0＝1或x 0＝－12(舍去)．∴点P 0的坐标为(1,1)．∴所求的最小距离＝|1－1－2|2＝ 2.答案： 24.已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643解析：由f (x )＝x 3＋ax ＋14得，f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(0)＝a ，f (0)＝14，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax .设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)，g ′(x )＝－1x ，∴⎩⎨⎧－ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x 0. ②将②代入①得ln x 0＝34，∴x 0＝e 34， ∴a ＝－1e34＝－e-34.答案：－e －345.已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R)．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0，即4a 2＋4a ＋1＞0，所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 6．设抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解：(1)因为y ′＝－2x ＋92，设切点P 的坐标为(x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2x 1＋92＝k ，y 1＝kx 1，y 1＝－x 21＋92x 1－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2，y 1＝1，k ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，y 1＝－17，k ＝172，因为切点P 在第一象限，所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5. 将其代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9，所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，－4.。

变化率与导数的概念、导数的运算

03 高阶导数及其应用
高阶导数的定义与计算
高阶导数的定义
函数一阶导数的导数称为二阶导数，二阶导数的导数称为三阶导数，以此类推，n-1阶导数的导数称为n阶导数。
高阶导数的计算
高阶导数的计算可以通过连续求导得到，每求一次导，阶数增加一阶。对于常见的基本初等函数，其高阶导数有特定的公式或规律可循。
导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率。当函数在某一点处的导数大于0时，表示函数在该点处单调增加；当导数小于0时，表示函数在该点处单调减少；当导数等于0时，表示函数在该点处可能达到极值点或拐点。
可导与连续的关系
可导必连续
如果一个函数在某一点处可导，则该函数在该点处必定连续。这是因为可导的定义中已经包含了函数在该点处的极限存在且等于函数值这一条件。
成本最小化
企业在给定产量下追求成本最小化时，需要找到使得边际成本等于平均成本的产量，即求解成本函数的一阶导数等于零的点。
效用最大化
消费者追求效用最，即求解效用函数的一阶导数等于零的点。
05 导数在工程学中的应用
曲线拟合与最小二乘法中的导数应用
工程优化问题中的导数应用
优化算法
在工程设计和制造过程中，经常需要解决各种优化问题，如最小化成本、最大化效率等。导数在这些优化算法中发挥着重要作用，它们被用来计算目标函数的梯度或方向导数，以确定搜索方向或步长。
敏感性分析
在工程经济学中，敏感性分析是一种评估项目风险的方法。它通过计算项目效益指标（如净现值、内部收益率等）对于各个不确定因素的导数或偏导数，来量化各因素对项目效益的影响程度。
变化率与导数的概念、导数的运算
目录
• 变化率与导数的基本概念 • 导数的运算规则 • 高阶导数及其应用 • 导数在经济学中的应用 • 导数在工程学中的应用 • 数值计算中的导数逼近方法

变化率与导数导数的计算

变化率与导数导数的计算一、变化率与导数的关系在数学中，变化率是指一个量相对于另一个量的变化程度，常用来衡量两个变量之间的关系。

而导数则是描述函数在其中一点上的变化率的概念。

在一个数学函数中，比如说y=f(x)，x和y分别代表自变量和因变量。

那么，当x发生微小变化Δx时，对应的y值也会发生一定的变化Δy。

这时，我们可以计算出y随着x的变化而变化的速率，也就是变化率。

变化率可以通过求平均变化率和瞬时变化率来进行计算。

平均变化率指的是通过两个点之间的变化率来计算，可以用Δy/Δx来表示。

而瞬时变化率则是在其中一点上的变化率，通过取Δx趋近于0时的极限来计算，也就是导数。

二、导数的定义与计算导数是用来衡量函数在其中一点上的变化率的数值，用dy/dx来表示。

导数的定义是：f'(x) = lim(Δx→0) (f(x+Δx) - f(x))/Δx导数表示函数f(x)在x点处的瞬时变化率。

导数可以用各种方法进行计算，其中最常用的方法包括求导法则和导数的性质。

1.求导法则（1）常数法则：如果c是一个常数，那么d(c)/dx = 0。

（2）幂法则：如果f(x) = x^n，那么d(f(x))/dx = nx^(n-1)。

（3）和差法则：如果f(x)=u(x) ± v(x)，那么d(f(x))/dx =d(u(x))/dx ± d(v(x))/dx。

（4）乘法法则：如果f(x) = u(x)v(x)，那么d(f(x))/dx =u(x)d(v(x))/dx + v(x)d(u(x))/dx。

（5）除法法则：如果f(x) = u(x)/v(x)，那么d(f(x))/dx =(v(x)d(u(x))/dx - u(x)d(v(x))/dx)/v(x)^2（6）复合函数法则：如果f(x) = g(u(x))，那么d(f(x))/dx =g'(u(x))d(u(x))/dx。

2.导数的性质（1）导数的和差性：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。

0变化率与导数、导数的计算

fx0＋Δx－fx0 lim Δx→0 Δx ________________________ .
3．导函数
当x变化时，f′(x)称为f(x)的导函数，则f′(x)＝ y′＝
fx＋Δx－fx limx0)相同吗？
提示：f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数，f′(x0)是函数f′(x)在点 x0处的函数值．
(理)运用导数公式和导数的运算法则及复合函数求导法则求
导． (文)运用导数公式和导数的运算法则求导即可．
x′1－x＋x2－x1－x＋x2′ 解：(1)y′＝ 1－x＋x22 1－x＋x2－x0－1＋2x 1－x2 ＝＝ 2 2 2 2. 1－x＋x 1－x＋x (2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′ ＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＋0 ＝(3xln 3)· ex＋3xex－2xln 2 ＝(3e)xln(3e)－2xln 2.
考纲要求 1.了解导数概念的实际背景． 2.理解导数的几何意义． 3.能根据导数的定义求函数y ＝c，y＝x，y＝x2，y＝ 1 的 x 导数． 4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
考情分析 1.导数是高考命题的热点，是
必考内容，主要考查导数的
概念、导数的几何意义、导数的计算等． 2.考查形式以选择题、填空题为主，在解答题中通常出现
(1)根据导数的概念求函数的导数是求导的基本方法．确定y ＝f(x)在x＝x0处的导数有两种方法：一是导数定义法，二是导函数的函数值法． (2)求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的求解步骤
【考向探寻】 1．利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则求导数．
2．求复合函数的导数．(理)
【典例剖析】求下列函数的导数： x (1)y＝； 1－x＋x2 (2)y＝3xex－2x＋e； ln x (3)y＝ 2 ； x ＋1 (4)y＝xcos x－sin x； ( 理) (5)y＝(3－2x)5；(6)y＝ln(x2＋1)．

北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》导数的计算课件

y 0, x y ' ' f ( x) C l i m 0. x 0 x
2013-4-1
C C 0
求下列函数的导数
(1) y=x的导数
解：根据导数定义， y f ( x x ) f ( x ) x x x x ,
y f ( x) l i m l i m1 x 0 x x 0 1
5
2013-4-1
（2）下列各式正确的是（ D ）
1 A.(log )' x ln 10 x B .(loga )' x x C .( 3 )' 3 x
x a
D .( 3 )' 3 ln 3
x x
2013-4-1
3.填空
0 (1) f(x)=80，则f '(x)=______;
(3) cost ;
(4) -sin .
3 ( 5) 4 ; x
2013-4-1
1 ( 6) 3 2 . 3 x
2.选择题
（1）下列各式正确的是（
C）
A.(sin )' cos (为常数） B . cos x )' sin x （ C .(sin x )' cos x 1 6 D.( x )' x 5
' '
2013-4-1
y o
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y f ( x ) 2 lim lim0 0. x0 x x0
(2) 求函数f(x)=0的导数；
0
(3) 求函数f(x)=-2的导数.
0
2013-4-1
公式1 C 0 (C为常数).

(完整版)变化率与导数及导数的计算

第十一节变化率与导数、导数的计算一、导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．二、基本初等函数的导数公式原函数导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x三、导数的运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；3.⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．1．(教材习题改编)若f (x )＝x e x ，则f ′(1)＝( ) A ．0 B ．e C ．2eD ．e 2解析：选C ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e.2．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12解析：选A 依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′ |x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1a ×2＝－1，a ＝2.3．(教材习题改编)某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析：选A 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．4．(2012·广东高考)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________．解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′ |x ＝1＝3×12－1＝2. ∴该切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝05．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________．解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′ ＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 答案：－x sin x 1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．典题导入[例1] 用定义法求下列函数的导数． (1)y ＝x 2； (2)y ＝4x2.[自主解答] (1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝(x ＋Δx )2－x 2Δx＝x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx ＝2x ＋Δx ，所以y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . (2)因为Δy ＝4(x ＋Δx )2－4x 2＝－4Δx (2x ＋Δx )x 2(x ＋Δx )2， ΔyΔx ＝－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2，所以limΔx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2＝－8x 3. 由题悟法根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)计算导数f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx. 以题试法1．一质点运动的方程为s ＝8－3t 2.(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t ＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)．解：(1)∵s ＝8－3t 2，∴Δs ＝8－3(1＋Δt )2－(8－3×12)＝－6Δt －3(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝－6－3Δt . (2)法一(定义法)：质点在t ＝1时的瞬时速度 v ＝li m Δt →0ΔsΔt＝li m Δt →0 (－6－3Δt )＝－6. 法二(导数公式法)：质点在t 时刻的瞬时速度 v ＝s ′(t )＝(8－3t 2)′＝－6t . 当t ＝1时，v ＝－6×1＝－6.典题导入[例2] 求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1； [自主解答] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.由题悟法求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．以题试法2．求下列函数的导数．(1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；解：(1)y ′＝(e x ·ln x )′ ＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.典题导入[例3] (1)(2011·山东高考)曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．－14B ．2C ．4D ．－12[自主解答] (1)y ′＝3x 2，故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y －12＝3(x －1)，令x ＝0得y ＝9.(2)∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝k ＝2. 又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4. [答案] (1)C (2)C若例3(1)变为：曲线y ＝x 3＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程．解：因点P 不在曲线上，设切点的坐标为(x 0，y 0)，由y ＝x 3＋11，得y ′＝3x 2， ∴k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.又∵k ＝y 0－13x 0－0，∴x 30＋11－13x 0＝3x 20. ∴x 30＝－1，即x 0＝－1. ∴k ＝3，y 0＝10.∴所求切线方程为y －10＝3(x ＋1)，即3x －y ＋13＝0.由题悟法导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知切线过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)求切点，设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f ′(x 0)求解．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________． (2)(2013·乌鲁木齐诊断性测验)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1解析：(1)y ′＝3ln x ＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.(2)设切点的坐标为⎝⎛⎭⎫a ，－12a ＋ln a ，依题意，对于曲线y ＝－12x ＋ln x ，有y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1a ＝12，得a ＝1.又切点⎝⎛⎭⎫1，－12 在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1. 答案：(1)y ＝4x －3 (2)B1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．2．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194 B.174 C.154D.134解析：选D ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.3． (2012·哈尔滨模拟)已知a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x 的导函数f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y ＝－3xB ．y ＝－2xC ．y ＝3xD ．y ＝2x解析：选B ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －2. ∵f ′(x )为偶函数，∴a ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－2.∴f ′(0)＝－2.∴曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－2x .4．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2D ．2解析：选A ∵y ′＝－sin 2x －(1＋cos x )cos x sin 2x ＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′|x ＝π2＝－1.由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1.5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3解析：选B 设P (x 0，y 0)到直线y ＝x －2的距离最小，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1.得x 0＝1或x 0＝－12(舍)．∴P 点坐标(1,1)．∴P 到直线y ＝x －2距离为d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.6．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：选C 由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0，即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．7．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8.答案：88．(2012·辽宁高考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析：易知抛物线y ＝12x 2上的点P (4,8)，Q (－2,2)，且y ′＝x ，则过点P 的切线方程为y ＝4x －8，过点Q 的切线方程为y ＝－2x －2，联立两个方程解得交点A (1，－4)，所以点A 的纵坐标是－4.答案：－49．(2012·黑龙江哈尔滨二模)已知函数f (x )＝12x －14sin x －34cos x 的图象在点A (x 0，y 0)处的切线斜率为1，则tan x 0＝________.解析：由f (x )＝12x －14sin x －34cos x 得f ′(x )＝12－14cos x ＋34sin x ，则k ＝f ′(x 0)＝12－14cos x 0＋34sin x 0＝1，即32sin x 0－12cos x 0＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫x 0－π6＝1. 所以x 0－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x 0＝2k π＋2π3，k ∈Z.故tan x 0＝tan ⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3. 答案：－ 310．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋x cos 2x. (2)y ′＝(x ＋1)′(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.11．已知函数f (x )＝x －2x ，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解：根据题意有曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3，曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a .所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f (1)＝3(x －1)，得：y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0. 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g (1)＝3(x －1)．得y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0，所以，两条切线不是同一条直线．12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32－9－a 23，即当x ＝－a 3时，函数f ′(x )取得最小值－9－a 23，因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9，即a ＝±3.1．(2012·商丘二模)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )A ．0B ．26C ．29D ．212解析：选D ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)， ∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′ ＝(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′，∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212. 2．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )，又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝503f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋f 3⎝⎛⎭⎫π2＋f 4⎝⎛⎭⎫π2＝0. 答案：03．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l ，根据以下条件求l 的方程．(1)直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点； (2)直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P .解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，故所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. 又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－(－2)x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，所以x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3，即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)．解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3⎝⎛⎭⎫14－1＝－94. 所以l 的方程为y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，则⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20·(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.【基础自测】1.（2013全国高考）已知曲线124++=ax x y 在点)2,1(+-a 处的切线的斜率为8，则a =（）A.9B.6C.-9D.-62.（2014宁夏一模）如果过曲线12++=x x y 上的点P 处的切线平行于直线2+=x y ，那么点P 的左标为（）A.（1,0）B.（0,-1） B.（0,1） D.（-1,0）3.（2013惠州一模）设P 为曲线C ：322++=x x y 上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为]4,0[π，则点P 横坐标的取值范围为（） A.]21,1[-- B.]0,1[- C.]1,0[ D.]1,21[4.（2013宁夏联考）已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为)('x f ，且0)0('>f ，对于任意实数x 都有0)(≥x f ，则)0()1('f f 的最小值为（） A.3 B.25 C.2 D.23.)1()1(lim,2)1(1)(1'的值求处可导，且在】设函数【例hh f h f f x x f --+==x f D. x fx f B. x f x x f x x f x x f )()(.C )()(.A )()(lim,)(000'0'000--∆-∆-）等于（则处可导在【变式】设函数.)0,1()2(1)1(.123的切线方程求曲线过点处的切线方程；求曲线在】已知曲线【例--=+=x x y。

《2.11变化率与导数、导数的计算》教案

26 / 34
解析：曲线 f(x)＝ax5＋ln x 存在垂直于 y 轴的切线，即 f′(x)＝0 有正实数解． 1 1 又∵f′(x)＝5ax4＋x，∴方程 5ax4＋x ＝0 有正实数解． ∴5ax5＝－1 有正实数解．∴a<0. 故实数 a 的取值范围是(－∞，0)．答案：(－∞，0)
27 / 34
当 y＝0 时，x＝－x0－2. x0＋22 1 x0＋2 · x0＋2＝ S△AOB＝2 ， x0 ＋ 1 2 x0＋1 2 －3＋22 8 3 ∴S△AOB＝＝ 9 . 2 2 －3＋1
15 / 34
【例题 4】 π 【题干】若函数 f(x)＝sin 3x＋6＋θ(0<θ<π)，且 f(x)＋f′(x)是奇函数，则 θ＝________.
17 / 34
四、课堂运用【基础】 1．(2013· 永康模拟)函数 y＝f(x)的图象如图所示，则 y＝f′(x)的图象可能是( )
18x<0 时恒有 f′(x)>0，当 x>0 时，恒有 f′(x)<0.
19 / 34
2．已知 t 为实数，f(x)＝(x2－4)(x－t)且 f′(－1)＝0，则 t 等于( A．0 1 C.2 B．－1 D．2
23 / 34
【巩固】 4．已知 f(x)＝x2＋2xf′(1)，则 f′(0)＝________.
24 / 34
解析：f′(x)＝2x＋2f′(1)， ∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即 f′(1)＝－2. ∴f′(x)＝2x－4.∴f′(0)＝－4. 答案：－4
25 / 34
5．若曲线 f(x)＝ax5＋ln x 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是________．

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第16讲变化率与导数、导数的计算

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第16讲变化率与导数、导数的计算1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数一般地，称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率limΔx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝错误!未指定书签。

lim Δx →0ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝错误!未指定书签。

limΔx →0ΔyΔx ＝错误!未指定书签。

lim Δx →f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ． (2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝错误!未指定书签。

limΔx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin xf ′(x )＝cos__xf (x )＝cos x f ′(x )＝－sin__x f (x )＝a x (a >0且a ≠1) f ′(x )＝a x ln__a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x (x >0，a >0且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln x (x >0)f ′(x )＝1x3.导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)．➢考点1 导数的运算[名师点睛]对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f (x )＝f ′(x 0)g (x )＋h (x )(x 0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f ′(x 0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f ′(x )，令x ＝x 0，即可得到f ′(x 0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值． 1．（2022·浙江·高三专题练习）请用函数求导法则求出下列函数的导数．（1）sin x y e =；（2）32x y x +=+；（3）()ln 23y x =+；（4）()()2221y x x =+-；（5）cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【解】（1）因为sin x y e =，则()sin sin sin cos x x y e x e x ''=⋅=；（2）因为32x y x +=+，则()()()()()()223223122x x x x y x x ''++-++'==-++；（3）因为()ln 23y x =+，则()22213233y x x x ''=⋅+=++；（4）因为()()2221y x x =+-，则()()()()''22221221y x x x x =+++-'-()()2222122624x x x x x =-++=-+；（5）因为cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故2sin 22sin 2333y x x x πππ'⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的导数为()f x '，且()2(e)ln f x xf x +'=，则()e f =（）A ．1e-B ．1-C ．1D ．e 【答案】B 【解析】由()2(e)ln f x xf x +'=得1()2(e)f x f x ''=+，当e x =时，1(e)2(e)e f f ''=+，解得()1e ef '=-，所以2()ln e x f x x -=+，2e(e)ln e 1ef -=+=-. 故选：B [举一反三]1．（2021·江苏省阜宁中学高三阶段练习）下列求导运算不正确的是（） A ．()22x x '=B ．()sin cos x x '= C ．()33ln 3x x '=D ．()1e ln 3e 3x x '+=+【答案】D 【解析】对于A ：()22x x '=，故选项A 正确；对于B ：()sin cos x x '=，故选项B 正确；对于C ：()33ln 3x x '=，故选项C 正确；对于D ：()()()e ln 3e l 0n 3e e x x x x '''=++=+=，故选项D 不正确；所以求导运算不正确的是选项D ，故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）若函数()f x ，()g x 满足()()21,f x xg x x +=-且()11f =，则()()11f g ''+=（） A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】取1x =，则有()()110f g +=，即(1)(1)1g f =-=-，又因为()()21,f x xg x x +=-所以()()()2f x g x xg x x ''++=，所以()()1(1)12f g g ''++=，所以()()112(1)213f g g ''+=-=+=.故选：C3．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）已知实数x 满足()()()222cos 22cos sin f x xf x x x x x '+=++，0x >，π52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么()πf 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．π 【答案】C【解析】由()()()222cos 22cos sin f x xf x x x x x '+=++两边同时乘x 可得： ()()()22222cos 22sin 22xf x x f x x x x x x x f x ''⎡⎤+=++=⎣⎦，又()222sin 22cos 22sin 22x x x x x x x x +++'=，因此()222sin 2x f x x x x c =++．由π52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即222πππ5sin π444c ⨯=++，可得2πc =， ∴()22πsin 21f x x x =++，∴()22sin 21π2πππf =++=．故选：C ﹒4．（2022·江苏·高三专题练习）下列求导数运算正确的有（）A ．(sin )cos x x '=B ．211()x x '=C ．31(log )3ln x x'=D ．1(ln )x x '=【答案】AD【解析】A ：(sin )cos x x '=，故正确； B ：211()x x'=-，故错误；C ：31(log )ln 3x x '=，故错误； D ：1(ln )x x'=，故正确. 故选：AD5．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的导数：（1）y =x （x 2311x x ++）；（2）y =1）1）；（3）y =x tan x ；（4）y =x ﹣sin 2x cos 2x；（5）y =3ln x +ax （a >0，且a ≠1）.【解】解：（1）y =x （x 2311x x++）=x 3+121x +；则函数的导数y ′=3x 232x -.（2）y =1）1）=11=y ′= （3）y =x tan x sin cos x xx =，则y ′()()()222sin 'cos sin cos 'sin cos cos sin cos cos x x x x x x x x x x x x xx-++==2222sin sin cos cos xcosx xcos x xsin x x x xx cos x+++==；（4）y =x ﹣sin 1cos 222x x x =-sinx ；则y ′=112-cosx.（5）y ′3x=+ax ln a .➢考点2 导数的几何意义1．（2022·广东茂名·模拟预测）曲线()sin 2cos 1f x x x =--在点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为______．【答案】2π0x y --=【解析】()cos 2sin f x x x '=+，则曲线()y f x =在π,02⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率ππcos 2sin 222k =+=，∴切线方程为π22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2π0x y --=．故答案为：2π0x y --=．2．（2022·全国·高三专题练习）已知f (x )＝x 2，则过点P (－1，0)，曲线y ＝f (x )的切线方程为__________【答案】0y =或440x y ++=【解析】点P (－1，0)不在f (x )＝x 2上，设切点坐标为(x 0，20x )，由f (x )＝x 2可得()'2f x x =，∴切线的斜率()'002k f x x ==.切线方程为()021y x x =+.∵切线过点P (－1，0)，∴k ＝2001x x +＝2x 0，解得x 0＝0或x 0＝－2，∴k ＝0或－4，故所求切线方程为y ＝0或4x ＋y ＋4＝0. 故答案为：0y =或440x y ++=3．（2022·河南·三模）曲线()30y x m x =+<在点A 处的切线方程为322y x m =+-，则切点A 的坐标为______．【答案】()1,3-【解析】由233y x '==，得1x =±，因为0x <，所以1x =-，则切点A 的横坐标为－1，所以()31322m m -+=-+-，解得4m =，所以A 的坐标为()1,3-．故答案为：()1,3-.4．（2022·湖南湘潭·三模）已知直线l 是曲线e 1x y =-与ln 1y x =+的公共切线，则l 的方程为___________.【答案】e 1y x =-或y x =【解析】设l 与曲线e 1x y =-相切于点(),e 1aP a -，与曲线ln 1y x =+相切于点(,ln Q b b +1），则1ln e 2e a ab b b a-+==-，整理得()()1e 10aa --=，解得1a =或0a =，当1a =时，l 的方程为e 1y x =-；当0a =时，l 的方程为y x =. 故答案为：e 1y x =-或y x =. [举一反三]1．（2022·山东枣庄·三模）曲线32y x bx c =++在点()1,0M 处的切线与直线20x y --=垂直，则c 的值为（） A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】设()32f x x bx c =++，则()232f x x bx '=+，直线20x y --=的斜率为1，由题意可得()()1321110f b f b c ⎧=+=-⎪⎨=++='⎪⎩，解得21b c =-⎧⎨=⎩. 故选：C.2．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知偶函数()f x ，当0x >时，()()212f x x f x '=-+，则()f x 的图象在点()()2,2f --处的切线的斜率为（） A ．3-B ．3C ．5-D ．5 【答案】A【解析】当0x >时，()()21f x x f ''=-，()()121f f ''∴=-，解得：()11f '=，∴当0x >时，()22f x x x =-+；当0x <时，0x ->，()22f x x x ∴-=++，又()f x 为偶函数，()()22f x f x x x ∴=-=++，即0x <时，()22f x x x =++，则()21f x x '=+，()2413f '∴-=-+=-. 故选：A.3．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）若过点(),a b 可以作曲线()10y x x x=->的两条切线，则（） A ．0b a >>B ．10a b a a-<<< C ．10a b a a <-<<D ．1a b a a>>-且0a > 【答案】D 【解析】作出()10y x x x=->的图象，由图可知，若过点(),a b 可以作曲线()10y x x x=->的两条切线，点(),a b 应在曲线外，设切点为()()000,0>x y x ，所以0001y x x =-，21-'=+y x ，所以切线斜率为0002000111---=+==--x b y b x k x x ax a，整理得()20020--+=a b x x a ，即方程在00x >上有两个不同的解，所以()()4402020a a b a b a ⎧-->⎪-⎪->⎨-⎪⎪>⎩，100⎧-<⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩a ba ab a ，所以1a b a a>>-且0a >. 故选：D ．4．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()ln f x x x t =-+，直线1:ln 222l y x =-++，点()()00,P x f x 在函数()y f x =图像上，则以下说法正确的是( )A ．若直线l 是曲线()y f x =的切线，则3t =-B ．若直线l 与曲线()y f x =无公共点，则3t >-C ．若2t =-，则点P 到直线l 5D ．若2t =-，当点P 到直线l 的距离最短时，02x ＝【答案】D【解析】f (x )定义域为(0，＋∞)，()11f x x'=-，若直线l 是曲线()y f x =的切线，则()1111222f x x x =-⇒-=-⇒='，代入1ln222y x =-++得1ln2y =+，()21ln2ln221ln23f t t ∴=+⇒-+=+⇒=，故A 错误；当t ＝－2时，当在点P 处的切线平行于直线l 时，P 到切线直线l 的最短距离，则()0001111222f x x x =-⇒'-=-⇒=，故D 正确；此时()2ln24f =-，故P 为()2,ln24-，P 到l ：22ln240x y +--=的距离为=C 错误；设1ln ln 22ln ln 2222xx x t x t x -+=-++⇒=-++，令()ln ln 222x g x x =-++，则()11222x g x x x-'=-=，当()0,2x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()2,x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单调递增， ∴()()min 23g x g ==，又0x →时，()g x ∞→+；x →+∞时，()g x ∞→+， ∴若直线l 与曲线()y f x =无公共点，则t ＜3，故B 错误．故选：D ．5．（2022·全国·高三专题练习）已知直线:20(0)l x ty t --=≠与函数()(0)xe f x x x=>的图象相切，则切点的横坐标为A．2．2+C ．2D ．1【答案】A【解析】由()(0)xe x x x =>可得()()21x e x f'x x -=，设切点坐标为()(),0m n m >，则()22011m m m tn en m e m m t ⎧⎪--=⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得2m = A.6．（2022·福建泉州·模拟预测）若直线()111f k x =+-与曲线e x y =相切，直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切，则12k k 的值为（） A ．12B ．1C ．eD ．2e 【答案】B【解析】设直线()111f k x =+-与曲线e x y =相切于点()11,e xx ，直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切于点()22,ln x x ，则11e x k =，且111e 11x k x +=+，所以11e 1xx =，221k x =，且222ln 11x k x +=+，所以22ln 1x x =，令()ln f x x x =，()1ln f x x '=+，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，且()10f =，()0lim 0x f x →=，所以当()0,1x ∈时，()0f x <，因为()222ln 1f x x x ==，()111e e 1x x f x ==，即()()12e 10xf x f ==>，所以()()121,,e 1,xx ∞∞∈+∈+，所以12=e xx ，故11221e 1x k k x =⋅= 故选：B7．（2022·全国·高三专题练习）若两曲线ln 1y x =-与2y ax =存在公切线，则正实数a 的取值范围是（）A ．(]0,2eB ．31e ,2-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．310,e 2-⎛⎤⎥⎝⎦D ．[)2e,+∞【答案】B【解析】设公切线与曲线ln 1y x =-和2y ax =的交点分别为()11,ln 1x x -，()222,x ax ，其中1>0x ，对于ln 1y x =-有1y x'=，则ln 1y x =-上的切线方程为()()1111ln 1y x x x x --=-，即()11ln 2xy x x =+-，对于2y ax =有2y ax '=，则2y ax =上的切线方程为()22222y ax ax x x -=-，即2222y ax x ax =-，所以2121212ln 2ax x x ax ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，有1211ln 24x ax -=-，即()22111112ln 04x x x x a =->，令()222ln g x x x x =-，()()32ln 32ln g x x x x x x '=-=-，令0g x，得32e x =，当320,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0g x，()g x 单调递增，当32,e x ⎛⎫⎪⎝∈+⎭∞时，0g x，()g x 单调递减，所以()332max 1e e 2g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故3110e 42a <≤，即31e 2a -≥.故选：B.8．（多选）（2022·河北保定·二模）若直线3y x m =+是曲线()30y x x =>与曲线()260y x nx x =-+->的公切线，则（） A ．2m =-B ．1m =-C ．6n =D ．7n = 【答案】AD【解析】解：设直线3y x m =+与曲线()30y x x =>相切于点()3,a a ，与曲线()260y x nx x =-+->相切于点(),3b b m +，对于函数()30y x x =>，23y x '=，则()2330a a =>，解得1a =，所以313m =+，即2m =-.对于函数()260y x nx x =-+->，2'=-+y x n ，则()230b n b -+=>，又2632b nb b -+-=-，所以()232632b b b b -++-=-，又0b >，所以2b =，7n =. 故选：AD9．（2022·重庆·三模）曲线()1ln 225y x x =+++在点1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程为___________. 【答案】22y x =-+【解析】由()1ln 225y x x =+++，2111y x x '=-++，则切线的斜率为12422x y =-=-+=-'．所以曲线()1ln 225y x x =+++在点1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程为： 1322y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即22y x =-+．因此所求切线的方程为22y x =-+．故答案为：22y x =-+．10．（2022·浙江·高三专题练习）已如函数()e ,()ln x f x g x x ==.若曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线与曲线()y f x =在点()()22,x g x 处的切线平行，则()12x g x +=___________；若(2)()2()1f x h x x g x x=--+，则()h x 的最大值为___________. 【答案】 0 2n 2e l 2-+ 【解析】由已知()e x f x '=，1()g x x'=，所以121e x x =，即12e xx -=，所以112111()ln e0x x x x g x x -=-+==+．2()2ln e 1xh x x x x=--+，定义域为()0,∞+，2222222e (21)e (12(21)(()221)e )x x x x x x x h x x x x x x x ----'=--=--=，令2e ()x p x x =-，则2()12e x p x '=-，0x >时，()0p x '<，所以()p x 在(0,)+∞上递减，所以0x >时，()(0)1p x p <=-，所以102x <<时，()0h x '>，()h x 递增，12x >时，()0h x '<，()h x 递减，所以max 11()()1ln 1221222ee ln 2h x h =-=-+=-+．故答案为：0；2n 2e l 2-+．11．（2022·河北廊坊·模拟预测）设直线12y x b =+是曲线sin (0,)y x x π=∈，的一条切线，则实数b 的值是_________．6π- 【解析】设切点坐标为00(,)x y ，因为cos y x '=，所以有00000sin 121cos 2y x y x b x ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩因为(0,)x π∈，所以00,3x y π==00126b y x π=-=.6π- 12．（2022·全国·高三专题练习）曲线sin 21y x x =++在点P 处的切线方程是310x y -+=，则切点P 的坐标是____________. 【答案】()0,1【解析】由函数sin 21y x x =++，则cos 2y x '=+，设切点P 的坐标为()00,x y ，则斜率00cos 23x x k y x ==+'==，所以0cos 1x =，解得02()x k k Z π=∈，当0k =时，切点为()0,1，此时切线方程为310x y -+=；当0k ≠，切点为(2,41)()k k k Z ππ+∈，不满足题意，综上可得，切点为()0,1. 故答案为：()0,1.13．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）设三次函数()32f x ax bx cx d =+++，若曲线()y f x =在点()0,0处的切线与曲线()()g x xf x =在点1,2处的切线重合，则()2g '=______．【答案】32-【解析】由题知：(0)0f =，∴0d =，2()32f x ax bx c '=++()f x 在(0,0)处的切线为0(0)(0)y f x '-=-，即(0)y f x ='，∵()()()g x f x xf x +''=，(1)(1)(1)g f f =+''， ∴()g x 在1,2处的切线方程为：(1)(1)2y g x g =-'+' 又因为两条切线重合，∴(0)(1){(1)20f g g ='-+'='，∴(0)(1)2f g ''==，又∵(1)(1)2g f ==，(1)(1)(1)g f f =+''∴(1)0f '=，∴(0)2{(1)320(1)2f c f a b c f a b c ===++==++'='解得2{22a b c =-==∴()32222f x x x x =-++，2()642f x x x '=-++，∴(2)(2)2(2)32g f f =+=-''. 故答案为：32-.14．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知()e 1x f x =-（e 为自然对数的底数），()ln 1g x x =+，则()f x 与()g x 的公切线条数为_______．【答案】2【解析】根据题意，设直线l 与()e 1x f x =-相切于点(,e 1)m m -，与()g x 相切于点(,ln 1)n n +，对于()e 1x f x =-，其导数为()e x f x '=，则有()e m k f m ='=，则直线l 的方程为1e e ()m m y x m +-=-，即e e (1)1m m y x m =+--，对于()ln 2g x x =+，其导数为1()g x x'=，则有1()k g n n='=，则直线l 的方程为1(ln 1)()y n x n n-+=-，即1ln y x n n=+，直线l 是()f x 与()g x 的公切线，则1e (1)e 1ln m m n m n⎧=⎪⎨⎪--=⎩，可得(1)(e 1)0m m --=，则0m =或1m =，故直线l 的方程为y x =或e 1y x =-；则()f x 与()g x 的公切线条数是2条．故答案为：2。

变化率与导数及导数的计算

变化率与导数及导数的计算变化率是指其中一物理量在一定时间或空间上的变化幅度。

导数是微积分中用来描述函数变化率的概念。

导数的定义是函数在其中一点的变化率。

在微积分中，导数用于刻画函数曲线上一点的斜率，即曲线在该点的切线的斜率。

导数表示了函数在该点附近的局部变化情况。

若函数y=f(x)，则函数f(x)在x=a的导数表示为f'(a)或dy/dx，_x=a。

导数表示了函数y=f(x)在x=a点附近的变化率。

导数可以通过几何方法、物理方法、以及代数方法进行求解。

一、几何解释法通过对函数对应的图像进行观察，可以直观地看出导数的几何意义。

函数y=f(x)在x=a点的导数f'(a)等于函数曲线在x=a点处的切线的斜率。

二、平均变化率和瞬时变化率平均变化率表示了函数的两个点之间的变化情况。

若函数f(x)在区间[a,b]上是连续的，则函数在该区间上的平均变化率为(f(b)-f(a))/(b-a)。

瞬时变化率表示了函数在其中一点的瞬时变化情况。

当间隔变得非常短小，即b趋近于a时，平均变化率趋近于瞬时变化率，即瞬时变化率等于导数。

三、导数的计算方法1.基本导数公式常见的基本导数公式如下：（1）常数函数的导数为零，即d(c)/dx=0，其中c为常数；（2）x的导数为1，即d(x)/dx=1；（3）可加性，即d(u+v)/dx=du/dx+dv/dx，其中u和v是函数；（4）乘性，即d(uv)/dx=udv/dx+vdu/dx，其中u和v是函数。

2.基本函数的导数（1）幂函数的导数：若f(x)=x^n，则f'(x)=nx^(n-1)，其中n为常数；（2）指数函数的导数：若f(x)=a^x，则f'(x)=a^x * ln(a)，其中a为常数，ln(a)为a的自然对数；（3）对数函数的导数：若f(x)=log_a(x)，则f'(x)=1/(x*ln(a))，其中a为常数，ln(a)为a的自然对数；（4）三角函数的导数：若f(x)=sin(x)，则f'(x)=cos(x)；若f(x)=cos(x)，则f'(x)=-sin(x)；若f(x)=tan(x)，则f'(x)=sec^2(x)，其中sec(x)为x的余切。

2015年高考数学(文)一轮课件：4-1变化率与导数、导数的计算

通关训练2 为( ) A．(0，＋∞) C．(2，＋∞)
(1)若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集
B．(－1,0)∪(2，＋∞) D．(－1,0)
π π ′2sinx＋cosx，则f4＝__________.
(2)已知函数f(x)＝f
2 4 2x －x－2 解析：(1)f ′(x)＝2x－2－x＝ x
5.导数运算法则 18 __________________； (1)[f(x)± g(x)]′＝□ 19 ____________________； (2)[f(x)g(x)]′＝□
fx (3) gx′＝
20 ____________________(g(x)≠0)． □
解析：(1)方法一：y＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝3x2＋12x＋11. 方法二：y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)· (x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝3x2＋12x＋11.
答案：(1)C (2)0
考点三
导数的几何意义
1 3 4 【例4】已知曲线y＝3x ＋3. (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程．
思维启迪：求曲线的切线方程，方法是通过切点坐标，求出切线的斜率，再通过点斜式得切线方程．
答案：A
1 2 3．某质点的位移函数是s(t)＝2t － gt (g＝10 m/s2)，则当t＝ 2

变化率与导数导数的计算

导数与积分的关系
导数与积分是互逆运算，一个函数的导数与其积分之间的关系可以通过微积分基本定理来表示。
04 导数的应用
导数在几何中的应用
求切线斜率
导数可以用来求曲线在某一点的切线斜率，从而了解曲线在该点的变化趋势。
研究函数极值
通过求导数并令其为零，可以找到函数的极值点，进而研究函数的最大值和最小值。
莱布尼茨法则
对于复合函数的 $n$ 阶导数，可以利用莱布尼茨法则进行计算。
幂级数展开法
对于复杂的函数，可以利用幂级数展开法求得高阶导数。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
曲线的凹凸性判断
通过求二阶导数，可以判断曲线的凹凸性，进而了解曲线的弯曲程度。
导数在物理中的应用
速度和加速度的研究
在物理学中，导数可以用来研究物体的速度和加速度，例如瞬时速度和瞬时加速度。
斜抛运动的研究
通过导数可以研究斜抛物体的运动轨迹，例如研究射程、射高等。
振动和波动的研究
导数可以用来研究振动和波动的规律，例如振幅、频率等。
03
导数可以用来研究函数的单调性、极值、拐点等性质。
导数的几何意义
导数的几何意义是函数在某一点处的切线斜率，即切线与x
轴正方向的夹角正切值。
当导数大于0时，函数在该点处单调递增；当导数小于0时，
函数在该点处单调递减。
导数的符号变化点为函数的拐点，即函数图像的凹凸分界点。
导数的计算方法
定义法
隐函数的导数计算
对数求导法
对于形如 $y = f(x)$ 的隐函数，可以通过两边取对数，转化为显函数进行求导。
VS
参数方程法
对于参数方程 $x = x(t), y = y(t)$，可以通过对参数 $t$ 求导来求得隐函数的导数。

二次函数的导数与变化率

二次函数的导数与变化率二次函数是一种常见的数学函数，具有形如y = ax^2 + bx + c的表达式，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

在本文中，我们将研究二次函数的导数以及与二次函数相关的变化率。

一、二次函数的导数二次函数的导数是指对二次函数进行求导运算后得到的新函数。

要求二次函数的导数，首先需要了解导数的定义和求导规则。

1. 导数的定义导数的定义是指函数在一点上的瞬时变化率，即函数值随着自变量的变化而变化的速率。

对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其导数可表示为：dy/dx = 2ax + b2. 求导规则二次函数的求导规则与一般函数相同，根据求导法则进行推导即可。

对于常数c，其导数为0；对于x的幂函数x^n（n为常数），其导数为nx^(n-1)。

因此，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，可以按照求导法则进行推导得到导数。

二、二次函数导数的意义和性质1. 导数的意义二次函数的导数具有重要的几何和物理意义，它可以表示曲线上各点的斜率。

斜率可以理解为曲线在该点切线的斜率，即曲线在该点的变化率。

通过导数，我们可以研究二次函数的变化规律和特性。

2. 导数的性质二次函数的导数具有以下几个性质：（1）导函数的常数项为零对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其导数为dy/dx = 2ax + b。

由此可知，导函数的常数项b为0，即导函数的常数项为零。

（2）导函数的一次项系数为线性函数的斜率对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其导数为dy/dx = 2ax + b。

由此可知，导函数的一次项系数2a等于线性函数2ax + b的斜率。

（3）导数的符号与二次函数的凹凸性相对应通过导数的符号可以判断二次函数的凹凸性。

当导数dy/dx > 0时，表示函数在该区间上为增函数，即函数呈现凹形；当导数dy/dx < 0时，表示函数在该区间上为减函数，即函数呈现凸形。

（完整版）变化率与导数及导数的计算

（完整版）变化率与导数及导数的计算第⼗⼀节变化率与导数、导数的计算⼀、导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)⼏何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的⼏何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线⽅程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．⼆、基本初等函数的导数公式原函数导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1 x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x三、导数的运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；3.??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．1．(教材习题改编)若f (x )＝x e x ，则f ′(1)＝( ) A ．0 B ．e C ．2eD ．e 2解析：选C ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e.2．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12解析：选A 依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′ |x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1a ×2＝－1，a ＝2.3．(教材习题改编)某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析：选A 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．4．(2012·⼴东⾼考)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线⽅程为________．解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′ |x ＝1＝3×12－1＝2.∴该切线⽅程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝05．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________．解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 答案：－x sin x 1.函数求导的原则对于函数求导，⼀般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应⽤，⽽且要特别注意求导法则对求导的制约作⽤，在实施化简时，⾸先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯⼀的⼀条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，⽽且这样的直线可能有多条．典题导⼊[例1] ⽤定义法求下列函数的导数． (1)y ＝x 2； (2)y ＝4x2.[⾃主解答] (1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝(x ＋Δx )2－x 2Δx＝x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx ＝2x ＋Δx ，所以y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . (2)因为Δy ＝4(x ＋Δx )2－4x 2＝－4Δx (2x ＋Δx )x 2(x ＋Δx )2， ΔyΔx ＝－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2，所以limΔx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ?－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2＝－8x 3. 由题悟法根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)计算导数f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx. 以题试法1．⼀质点运动的⽅程为s ＝8－3t 2.(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t ＝1时的瞬时速度(⽤定义及导数公式两种⽅法求解)．解：(1)∵s ＝8－3t 2，∴Δs ＝8－3(1＋Δt )2－(8－3×12)＝－6Δt －3(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝－6－3Δt . (2)法⼀(定义法)：质点在t ＝1时的瞬时速度 v ＝li m Δt →0ΔsΔt＝li m Δt →0 (－6－3Δt )＝－6. 法⼆(导数公式法)：质点在t 时刻的瞬时速度 v ＝s ′(t )＝(8－3t 2)′＝－6t . 当t ＝1时，v ＝－6×1＝－6.典题导⼊[例2] 求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1； [⾃主解答] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.由题悟法求导时应注意：(1)求导之前利⽤代数或三⾓恒等变换对函数进⾏化简可减少运算量．(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使⽤商的导数法则，减少失误．以题试法2．求下列函数的导数．(1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝x x 2＋1x ＋1x 3；解：(1)y ′＝(e x ·ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x ln x ＋1x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.典题导⼊[例3] (1)(2011·⼭东⾼考)曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线⽅程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．－14B ．2C ．4D ．－12[⾃主解答] (1)y ′＝3x 2，故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3，故切线⽅程是y －12＝3(x －1)，令x ＝0得y ＝9.(2)∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线⽅程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝k ＝2. ⼜f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4. [答案] (1)C (2)C若例3(1)变为：曲线y ＝x 3＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线⽅程．解：因点P 不在曲线上，设切点的坐标为(x 0，y 0)，由y ＝x 3＋11，得y ′＝3x 2，∴k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.⼜∵k ＝y 0－13x 0－0，∴x 30＋11－13x 0＝3x 20. ∴x 30＝－1，即x 0＝－1. ∴k ＝3，y 0＝10.∴所求切线⽅程为y －10＝3(x ＋1)，即3x －y ＋13＝0.由题悟法导数的⼏何意义是切点处切线的斜率，应⽤时主要体现在以下⼏个⽅⾯： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解⽅程f ′(x 1)＝k ；(3)已知切线过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)求切点，设出切点A (x 0，f (x 0))，利⽤k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f ′(x 0)求解．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线⽅程为________． (2)(2013·乌鲁⽊齐诊断性测验)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1解析：(1)y ′＝3ln x ＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线⽅程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.(2)设切点的坐标为a ，－12a ＋ln a ，依题意，对于曲线y ＝－12x ＋ln x ，有y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1a ＝12，得a ＝1.⼜切点1，－12 在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1. 答案：(1)y ＝4x －3 (2)B1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．2．已知物体的运动⽅程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194 B.174 C.154D.134解析：选D ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.3． (2012·哈尔滨模拟)已知a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x 的导函数f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线⽅程为( )A ．y ＝－3xB ．y ＝－2xC ．y ＝3xD ．y ＝2x解析：选B ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x ，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －2. ∵f ′(x )为偶函数，∴a ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－2.∴f ′(0)＝－2.∴曲线y ＝f (x )在原点处的切线⽅程为y ＝－2x .4．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平⾏，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2D ．2解析：选A ∵y ′＝－sin 2x －(1＋cos x )cos x sin 2x ＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′|x ＝π2＝－1.由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1.5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意⼀点，则点P 到直线y ＝x －2的最⼩距离为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3解析：选B 设P (x 0，y 0)到直线y ＝x －2的距离最⼩，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1.得x 0＝1或x 0＝－12(舍)．∴P 点坐标(1,1)．∴P 到直线y ＝x －2距离为d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.6．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满⾜f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满⾜( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：选C 由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0，即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．7．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8.答案：88．(2012·辽宁⾼考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析：易知抛物线y ＝12x 2上的点P (4,8)，Q (－2,2)，且y ′＝x ，则过点P 的切线⽅程为y ＝4x －8，过点Q 的切线⽅程为y ＝－2x －2，联⽴两个⽅程解得交点A (1，－4)，所以点A 的纵坐标是－4.答案：－49．(2012·⿊龙江哈尔滨⼆模)已知函数f (x )＝12x －14sin x －34cos x 的图象在点A (x 0，y 0)处的切线斜率为1，则tan x 0＝________.解析：由f (x )＝12x －14sin x －34cos x 得f ′(x )＝12－14cos x ＋34sin x ，则k ＝f ′(x 0)＝12－14cos x 0＋34sin x 0＝1，即32sin x 0－12cos x 0＝1，即sin x 0－π6＝1. 所以x 0－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x 0＝2k π＋2π3，k ∈Z.故tan x 0＝tan 2k π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3. 答案：－ 310．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′＝tan x ＋x ·sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋x cos 2x. (2)y ′＝(x ＋1)′(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11. 11．已知函数f (x )＝x －2x ，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同⼀条直线．解：根据题意有曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3，曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a .所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线⽅程为y －f (1)＝3(x －1)，得：y ＋1＝3(x －1)，即切线⽅程为3x －y －4＝0. 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线⽅程为y －g (1)＝3(x －1)．得y ＋6＝3(x －1)，即切线⽅程为3x －y －9＝0，所以，两条切线不是同⼀条直线．12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最⼩的切线与直线12x ＋y ＝6平⾏时，求a 的值．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3x ＋a 32－9－a 23，即当x ＝－a 3时，函数f ′(x )取得最⼩值－9－a 23，因斜率最⼩的切线与12x ＋y ＝6平⾏，即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9，即a ＝±3.1．(2012·商丘⼆模)等⽐数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )A ．0B ．26C ．29D ．212解析：选D ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′＝(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′，∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212. 2．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1π2＋f 2π2＋…＋f 2 012π2＝________. 解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )，⼜∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1π2＋f 2π2＋…＋f 2 012π2＝503f 1π2＋f 2π2＋f 3π2＋f 4π2＝0. 答案：03．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上⼀点P (1，－2)，过点P 作直线l ，根据以下条件求l 的⽅程．(1)直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点； (2)直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P .解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，故所求的直线⽅程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另⼀点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. ⼜直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表⽰为y 0－(－2)x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，所以x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3，即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)．解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝314－1＝－94. 所以l 的⽅程为y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线⽅程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任⼀点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三⾓形⾯积为定值，并求此定值．解：(1)⽅程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.⼜f ′(x )＝a ＋bx2，则2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得?a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任⼀点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线⽅程为y －y 0＝1＋3x 20·(x －x 0)，即y －x 0－3x 0＝1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从⽽得切线与直线x ＝0的交点坐标为0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从⽽得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三⾓形⾯积为12－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任⼀点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三⾓形的⾯积为定值，此定值为6.【基础⾃测】1.（2013全国⾼考）已知曲线124++=ax x y 在点)2,1(+-a 处的切线的斜率为8，则a =（）A.9B.6C.-9D.-62.（2014宁夏⼀模）如果过曲线12++=x x y 上的点P 处的切线平⾏于直线2+=x y ，那么点P 的左标为（）A.（1,0）B.（0,-1） B.（0,1） D.（-1,0）3.（2013惠州⼀模）设P 为曲线C ：322++=x x y 上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜⾓的取值范围为]4 ,0[π，则点P 横坐标的取值范围为（）A.]21,1[-- B.]0,1[- C.]1,0[ D.]1,21[4.（2013宁夏联考）已知⼆次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为)('x f ，且0)0('>f ，对于任意实数x 都有0)(≥x f ，则)0()1('f f 的最⼩值为（） A.3 B.25 C.2 D.23.)1()1(lim,2)1(1)(1'的值求处可导，且在】设函数【例hh f h f f x x f --+==x f D. x f x f B. x f xx f x x f x x f )()(.C )()(.A )()(lim ,)(000'0'000--?-?-）等于（则处可导在【变式】设函数.)0,1()2(1)1(.123的切线⽅程求曲线过点处的切线⽅程；求曲线在】已知曲线【例--=+=x x y。

变化率与导数、导数的计算

13讲--变化率与导数、导数的计算

变化率与导数

第一节 变化率与导数、导数的计算-高考状元之路

导数与变化率的概念与计算方法

变化率与导数

变化率与导数、导数的运算

变化率与导数的概念、导数的运算

变化率与导数导数的计算

0变化率与导数、导数的计算

北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》导数的计算 课件

(完整版)变化率与导数及导数的计算

《2.11变化率与导数、导数的计算》 教案

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义 第16讲 变化率与导数、导数的计算

变化率与导数及导数的计算

2015年高考数学(文)一轮课件：4-1变化率与导数、导数的计算

变化率与导数导数的计算

二次函数的导数与变化率

（完整版）变化率与导数及导数的计算

第一节变化率与导数、导数的计算-高考状元之路

北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》导数的计算课件

《2.11变化率与导数、导数的计算》教案

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第16讲变化率与导数、导数的计算