八年级上册数学(人教版)专题训练：分式的运算技巧

分式的运算技巧

一、条件求值的三种技巧

条件求值与常规的化简求值这两类问题的相同点：都是求某个式子的值．不同点：(1)前者给出的是字母满足的条件，后者给出的是字母的值，因此前者不能直接代入计算；(2)前者中待求式子通常不需要化简，而后者则侧重于化简．

► 技巧一 整体法

为了把已知条件和待求的式子联系起来，我们常把a ＋b ，a －b ，ab ，a 2＋b 2

等当作整体，因为根据题目的条件有时不能求出a ，b 的值，即使能求出a 或b 的值，也没必要求出，那样会“走弯路”或把问题复杂化．选择某个式子作为整体不是固定不变的，应视具体条件而定，只要它能把已知和未知“沟通”起来，就可把它当作整体．

1．已知实数x 满足x ＋1x ＝3，则x 2＋1x 2的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9

2．已知a 2＋3ab ＋b 2＝0(a≠0，b ≠0)，则b a ＋a b

的值等于________． 3．已知x ＋y ＝xy ，求1x ＋1y

－(1－x)(1－y)的值．

4．已知x 2－4x ＋1＝0，求2（x －1）x －4－x ＋6x

的值．

► 技巧二 倒数法

ab a ＋b 的倒数是a ＋b ab ，而a ＋b ab 可拆成1a 与1b 的和，即a ＋b ab ＝1b ＋1a

.这种先取倒数后拆项的方法可使某些束手无策的问题迎刃而解．

5．若x 2－5x ＋1＝0，则x 2

x 4＋1的值为________． 6．已知三个数x ，y ，z 满足

xy x ＋y ＝－2，yz y ＋z ＝43，zx z ＋x ＝－43，求xyz xy ＋yz ＋zx

的值．

► 技巧三 转化法 利用分式的基本性质和已知条件，把异分母的加减法转化为同分母的加减法．

7．已知a ，b 为实数，且ab ＝2，则a a ＋1＋b b ＋2

的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

8．若ab ＝1，则31＋a 2＋31＋b 2＝________． 9．已知a ，b ，c 为实数，且abc ＝1，求a ab ＋a ＋1＋b bc ＋b ＋1＋c ca ＋c ＋1

的值．

二、异分母分式的加减法的两种技巧

异分母分式的加减法的常规做法：先确定各分式的最简公分母，再通分，这样即可把异分母分式的加减转化为同分母分式的加减．但是对于某些特殊的异分母分式的加减运算，可以采取约分或运用分配律等方法转化为同分母分式的加减运算或整式的运算，从而达到异曲同工的效果．

► 技巧一 约分

10．计算x 2

－1x 2＋2x ＋1＋2x ＋1的结果是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

11．计算：x 2＋9x x 2＋3x ＋x 2

－9x 2＋6x ＋9

＝________． 12．计算：x 2－y 2x ＋y －4x （x －y ）＋y 22x －y

.

13．先化简，再求值：(a 2－4a 2－4a ＋4－12－a )÷2a 2－2a

，其中a 满足a 2＋3a ＋1＝0.

► 技巧二 运用分配律

含有括号的分式混合运算，通常先算括号里面的，但对有些算式运用分配律，既可以达到去括号的目的，又可以把异分母分式的加减运算转化为整式运算．

14．计算(a a －2－a a ＋2)÷a 4－a 2的结果是( ) A ．－4 B ．4 C ．2a D ．－2a

15．先化简，再求值：a 2

－1a ·(3a a －1－a a ＋1)，其中a ＝2.

16．先化简，再求值：(

x2－16

x2＋8x＋16

＋

x

x－4

)÷

1

x2－16

，其中x＝3.

17．化简并求值：1

2a －

1

a－b

·(

a－b

2a

－a2＋b2)，其中a＝10，b＝5.

详解详析

1．[解析] B 原式＝(x ＋1x

)2－2＝32－2＝7.故选B. 2．[答案] －3

[解析] b a ＋a b ＝b 2＋a 2ab ，又a 2＋b 2＝－3ab ，故原式＝－3ab ab

＝－3. 3．解：∵x ＋y ＝xy ，∴原式＝y ＋x xy －(1－x －y ＋xy )＝x ＋y xy

－1＋x ＋y －xy ＝1－1＋0＝0. 4．解： 2（x －1）x －4－x ＋6x ＝2x （x －1）－（x －4）（x ＋6）x （x －4）＝x 2－4x ＋24x 2－4x

. ∵x 2－4x ＋1＝0，∴x 2

－4x ＝－1. ∴原式＝x 2－4x ＋24x 2－4x ＝－1＋24－1

＝－23. 5．[答案] 123

[解析] 显然x ＝0不是方程x 2－5x ＋1＝0的解，由此可将方程x 2

－5x ＋1＝0的两边同时除以x ，得x 2－5x ＋1x ＝0，左边拆开得x －5＋1x ＝0，即x ＋1x ＝5，两边同时平方，得x 2＋2＋(1x )2＝25，∴x 2＋1x ＝23，即x 4＋1x ＝23，∴x 2x ＋1

＝123

. 6．解：依题意，得1x ＋1y ＝－12，1y ＋1z ＝34，1z ＋1x ＝－34

， 以上三个方程相加，得2(1x ＋1y ＋1z )＝－12

. 即xy ＋yz ＋zx xyz ＝－14，∴xyz xy ＋yz ＋zx

＝－4. 7．[解析] A 将第一个分式的分子和分母同时乘b ，得原式＝

ab ab ＋b ＋b b ＋2. ∵ab ＝2，∴原式＝

2b ＋2＋b b ＋2＝b ＋2b ＋2＝1.故选A. 8．[答案] 3

[解析] 将第二个分式的分子和分母同时乘a 2，得原式＝31＋a 2＋3a 2

a 2＋（a

b ）2. ∵ab ＝1，∴原式＝31＋a 2＋3a 21＋a 2＝3（1＋a 2

）1＋a 2＝3.