分式化简求值几大常用技巧
分式的化简与扩展
分式的化简与扩展分式是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
在进行分式运算时，经常需要对分式进行化简与扩展，以便更好地进行计算和理解。
本文将介绍分式的化简与扩展的方法与技巧。
一、分式的化简分式的化简是指将分子和分母中的因式进行约分，使得分式的表示更为简洁。
下面介绍几种常见的化简方法。
1. 公因式的约分当分子和分母有相同的因式时，可以进行公因式的约分。
例如，对于分式2x/4x，可以将分子与分母都除以2x，得到简化后的分式为1/2。
2. 同底数的幂的约分当分子和分母的幂有相同的底数时，可以进行同底数的幂的约分。
例如，对于分式x^2/3x^4，可以将分子与分母的x^2约分，得到简化后的分式为1/3x^2。
3. 分式的分子与分母的公因式的约分当分子和分母均含有相同的因式时，可以将分子与分母同时约去这个公因式。
例如，对于分式(x+1)(x-1)/(x-1)，可以约分(x-1)，得到简化后的分式为x+1。
二、分式的扩展分式的扩展是指将一个分式转化为另一个等价的分式，使得分式的形式更方便使用。
下面介绍几种常见的扩展方法。
1. 通分在计算两个分数的和、差、乘积或商时，需要进行通分，将两个分式的分母化为相同的形式。
通分的方法是将两个分母的乘积作为新的分母，同时分子也进行相应的乘法操作。
例如，将分式1/3与2/5通分，可以得到等价的分式5/15与6/15。
2. 分式的分子与分母的因式分解当分子和分母含有多个因式时，可以对其进行因式分解，以便进行简化或者进行其他计算。
例如，对于分式(x^2+2x+1)/(x^2-1)，可以将分子和分母分别进行因式分解为(x+1)(x+1)/(x+1)(x-1)，再进行约分，得到简化后的分式为(x+1)/(x-1)。
3. 分数的倒数分数的倒数是指将一个非零分数的分子和分母互换位置，得到一个等价的分数。
例如，对于分数1/3，其倒数为3/1，即3。
综上所述，分式的化简与扩展是数学中常用的操作，能够简化分式表达式，方便计算和理解。
分式化简求值
分式化简求值解题技巧（一）1. 字母代入法例1. b=a+1,c=a+2,d=a+3,求da d d cbc c b a bd a a +++++++++的值. 【解析】用一个字母代替其它字母来实现代数式的化简da d d cbc c b a bd a a +++++++++ =3332122113+++++++++++++++++++a a a a a a a a a a a a a a =32363233132++++++++++a a a a a a a a =)2(32)1(31323+++++++++a a a a a a a =31311++=35 【探讨】当已知条件中不同的字母都可以用一个字母表示时，第一个要想到的方法就是字母带入法，因为最后的结果一定是由有理数或者某个字母表示，所以用这种方法能不能得到正确结果就在于自己的分式化简能力了。
2. 设值代入法例2. 已知c z b y a x ==，求证：22a x ca bc ab zx yz xy =++++ 【解析】这道题也可以用字母代入法，可以得到x ab y =，x ac z =，代入后分式的分子分母中有分式，化简麻烦。
我们用一种新的代入方式，考虑到a x 、b y 、c z 连等，让它们都等于k 则 x=ak y=bk z=ck代入得cabc ab zx yz xy ++++=ca bc ab ckak bkck akbk ++++ =2k ca bc ab ca bc ab ++++ =222a x k =【探讨】当遇到连等式，可以采用以下三种方式来运用这个条件设cz b y a x == 则（1）x ab y =，x ac z = （2）设k cz b y a x === 则x=ak y=bk z=ck （3）设k c z b y a x === 则k c b a z y x =++++ 其中0≠++c b a3. 整式代入法例3. 已知：113a b -=，求分式232a ab b a ab b +---的值.【解析】如果用字母代入法，要用b 代替a 本来就比较复杂，会增加我们化简的负担。
分式运算的八种技巧
分式运算综合题1、先化简，再求值：（1-x x －11+x ）÷112-x ，其中x=22、先化简，再求值：21+-a a ·12422+--a a a ÷112-a ，其中a 满足a 2-a=12。
3、计算：223y x y x -+－222y x y x -++2232y x yx --。
4、化简：12+x x -1422-+x x ÷1222+-+x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。
5、已知M=222y x xy -，N=2222y x y x -+，P=224x y xy-，用“＋”或“-”连接M ，N ，P 有多种不同的形式，如M+N-P 。
请你任选一种进行计算，并化简求值，其中x ：y=5:2。
6、已知abc ≠0且a+b+c=0,求a(b 1+c 1)+b(c 1+a 1)+c(a 1+b1)的值。
7、已知两个式子：A=442-x ，B=21+x ＋x-21，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是（ ）A.相等B.互为倒数C.互为相反数D.A 大于B8、已知1＜x ＜2，则式子|2|2--x x －1|1|--x x ＋xx ||化简的结果是（ ）A.－1B.1C.2D.39、已知a2+3ab+b2=0(a ≠0,b ≠0)，则式子a b +ba= 。
10、已知a 1+b 21=3，则式子b a ab b ab a 634452--+-= 。
11、已知3-x m －2+x n =)2)(3(17+-+x x x ，求m 2+n 2的值。
12、已知a,b 为实数，且ab=1，设M=1+a a +1+b b ，N=11+a ＋11+b ，试确定M ，N 的大小关系。
13、先化简，再求值：（x-13+x x ）÷1222++-x x x ,其中x 满足x 2+x-2=0.14、已知A=（x-3）÷4)96)(2(22-+-+x x x x －1,(1)化简A; 2x-1＜x,(2)若x 满足不等式组 且x 为整数，求A 的值。
分式化简求值的若干方法与技巧
分式化简求值的若干方法与技巧
分式化简是指将一个分式写成一个最简形式的过程。
下面列举一些分式化简的方法与技巧：
1. 因式分解法：如果分子和分母都可以被一个公因子因式分解，可以先进行因式分解，然后约去公因子。
2. 公约法：将分子和分母的公因子约去，使分子和分母无公因子。
3. 分子与分母分别除以最大公约数法：先求出分子和分母的最大公约数，然后将分子和分母都除以最大公约数，使得分子和分母互质。
4. 乘法逆元法：如果分子和分母互为乘法逆元，即分子和分母互为倒数关系，可以将分式化简为整数。
5. 积化和差法：对于有相同分子或分母的分式，可以将其化为积或差的形式，然后进行约分或运算。
6. 公倍数法：如果分式的分子和分母都是整数，可以找到一个公倍数使得分子和分母变为整数，然后约去公倍数。
7. 有理化法：对于含有根号的分式，可以通过有理化的方法将其转化为整数或分数。
8. 倒数法：对于一个分式，可以将其倒数的分子和分母对换位
置，然后约分。
以上是一些常见的分式化简的方法与技巧，根据具体的情况选择合适的方法进行求解。
分式化简解题技巧(一)
分式化简解题技巧(一)分式化简解题技巧1. 查找最大公因数在进行分式化简解题时，首先需要查找分子和分母的最大公因数。
最大公因数是指能够同时整除分子和分母的最大的正整数。
通过将分子和分母都除以最大公因数，可以将分式化简为最简形式。
2. 分子分母因式分解当分式的分子和（或）分母都是多项式时，我们可以采用因式分解的方法。
通过将分子分母进行因式分解，可以找到它们的公因式，然后将其约去，从而达到化简的目的。
3. 相同底数的分式合并如果分式的分子和分母都具有相同的底数，但指数不同，我们可以采用合并的方式进行化简。
通过将具有相同底数的分式合并，使得化简后的分式中只保留一个相同的底数，指数为合并前的指数之差。
4. 分式的乘法和除法在某些情况下，可以通过将分式进行乘法或除法运算，从而实现化简的目的。
例如，可以通过将两个分式相乘，或将一个分式除以另一个分式，将分式化简为最简形式。
5. 特殊的分式化简公式在分式化简解题中，还存在一些特殊的分式化简公式。
例如，我们可以利用平方差公式、完全平方公式、差平方公式等进行化简。
熟练掌握这些公式，可以更快地解决分式化简问题。
6. 注意符号的运用在分式化简解题中，需要注意符号的运用。
对于负号，要注意它的位置和运算规则。
在书写过程中，要谨慎地进行运算，防止出现符号错误。
7. 变量的化简当分式中含有变量时，化简的过程会稍微复杂一些。
这时可以通过合并同类项、因式分解等方法，将分式化简为最简形式。
此时，需要注意变量的运算规则，避免出现错误的化简结果。
以上是分式化简解题的一些常用技巧和注意事项。
掌握这些技巧并不断进行练习，相信你能够在分式化简解题中取得更好的成绩！8. 有理化分母在分式化简解题中，我们常常会遇到分母中含有根号的情况。
为了方便计算，我们需要将分母有理化，即将分母中的根号化为整数或有理数。
有理化分母的方法有两种：乘以相应的有理化因子或利用共轭式。
9. 平方根的化简当分式中含有平方根时，我们可以利用平方根的性质进行化简。
初中数学分式化简求值的技巧总结
初中数学分式化简求值的技巧总结作者：钱立梅来源：《文理导航》2013年第23期【摘要】在初中数学教学中，分式化简求值是一项重要的学习内容。
但是由于分式化简求值的解法种类比较多，从而导致学生在学习过程中，很难将其不同的解法进行适当的应用。
为了能够帮助学生掌握一定的分式化简求值解法，下面本文就对初中数学分式化简求值技巧进行一定的总结。
【关键词】初中数学；分式化简求值；技巧在数学上，化简是十分重要的概念，一些复杂难辨的式子，很多时候需要依靠化简才能更简单快速地对它们求值成功。
从教材和考试的实际情况来看，初中数学中分式化简求值主要有以下几种题型和技巧。
一、把假分式化成正是和真分式之和= - - +化简求值技巧：遇到这种题型不要直接通分计算，因为过于繁琐。
可以将每个假分式化成整式和真分式之和的形式，之后再进行化简求和将会简便很多。
解：原式：= -- +=（2a+1）+ -（a-3）+-（3a+2）- +（2a-2）-=（2a+1）-（a-3）-（3a+2）+（2a-2）+ - + - = - + -= + ==说明：是否能正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式是本题的关键所在。
教师在对这种类型题目进行讲解过程中，首先可以引导学生直接进行通分计算试一下，学生很快就会发现直接通分，几乎上就是无从下手，然后再让学生对各个分式进行变形，化成整式和真分式之和，即可继续进行化简。
这样学生在一拿到题目的时候，就不会先盲目的进行通分，就会先想一下有没有简便的方法，促使学生去学习一定的解题技巧。
这一类型题目在解析过程中，所使用的是逆向思维，其也被称为是求异思维，简单来说，就是已经司空见惯的、形成一定定论的事物或者是观点，从其相反方面进行思考的一种思维方式。
二、对平方差公式进行使用+ + + + + ，求该分式当a=2时的值。
分式化简求值技巧：直接通分比较麻烦，先化简再求值的过程中注意平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）。
谈谈分式化简的几个小技巧
数学篇初中数学中“分式的化简”是非常重要的知识点，其运算的综合性和技巧性较强.如果化简运算方法选取不当，不仅会使解题过程变得复杂，而且错误率高.下面介绍三种分式化简的常用技巧：通分约分、因式分解、提取公因式.同学们需注意的是，有时候要综合运用这三种技巧，才能实现快速解题的目标.首先，巧借“通分约分”化简分式.此技巧适合包含多个简单分式的题型，分式之间往往通过“+”“-”这两个符号连接.此时，可以尝试“通分”同化分母，再根据具体情况结合部分相同项进行“约分”，从而达到简化分式的目的.其次，妙用“因式分解”化简分式.有的时候，分式化简的式子往往比较复杂，直接求解比较困难.利用“因式分解”可以寻找部分共同项，然后利用乘除法抵消部分或全部共同项，以达到化简分式的目的.在抵消“共同项”时，一定要注意整个式子的“+”“-”符号，以防出错.此方法适合局部可以因式分解的复杂分式，通过局部的因式分解，可以简化分式形式.第三，灵活“提取公因式”化简分式.在化简分式的过程中，首先看多项式的各项是否有公因式，若有公因式，则把它提取出来.及时灵活地提取公因式，可以大大简化计算过程.需要注意的是，提取的公因式应尽量单独放在最前面，而且保持独立性，以便为后续的“约分”或“消项”做准备.例1化简（1x +1-1x -1）÷2x 2-1.分析：先计算（1x +1-1x -1），采用“通分”处理可得-2(x +1)(x -1)，再结合后面的2x 2-1计算最终结果.解：（1x +1-1x -1）÷2x 2-1=-2（x +1）（x -1）÷2x 2-1=-2x 2-1÷2x 2-1=-1.评注：该题比较简单，采用“通分”可以整合（1x +1-1x -1），再利用“约分”去掉共同项1x 2-1即可得出最后结果.变式：化简（x +1x -x x -1）÷1（x -1）2.分析：该题同例1，利用“通分”处理（x +1x -x x -1），得到-1x (x -1)，结合后面的1（x -1）2，利用“约分”抵消1(x -1)项，最后算出结果即可.解：（x +1x -x x -1）÷1（x -1）2=[(x +1)(x -1)-x 2x (x -1)]÷1（x -1）2=-1x (x -1)÷1（x -1）2=-1x (x -1)∙(x -1)2=1-x x .评注：先计算括号里的内容，利用“通分”处理（x +1x -x x -1）得到-1x (x -1)，整个式子就变得简单了.“通分约分”可以简化部分分式.例2化简（xy -x 2）÷x -yxy.分析：解答这道题，可以先把题目中(xy -x 2)因式分解为x （y -x ），这样，与后面的x -yxy 有共同项（x -y ），再通过“约分”抵消，得到结果.解：（xy -x 2）÷x -y xy =x （y -x ）÷x -yxy =x （y -x ）×xyx -y=-x 2y .谈谈分式化简的几个小技巧新疆阿勒泰地区福海县初级中学李红艳解法荟萃32数学篇评注：通过“因式分解”（xy -x 2），找到共同项(x -y )，再利用乘除法全部或部分“约去”共同项，从而简化分式，得出结果.变式：化简2x -64-4x +x2÷(x +3)∙x 2+x -63-x .分析：可以先“因式分解”寻找共同项，尝试消项.2x -64-4x +x2因式分解为2(x -3)(x -2)2，x 2+x -63-x因式分解为(x +3)(x -2)3-x ，最后综合求解即可.解：2x -64-4x +x2÷（x +3）∙x 2+x -63-x =2(x -3)(x -2)2÷（x +3）∙（x +3）(x -2)3-x =2(x -3)(x -2)2∙1x +3∙（x +3）(x -2)3-x =-2x -2.评注：此题式子比较复杂，但是利用“因式分解”可以找出很多共同项，综合所有项后，发现很多可以抵消的项，从而大大简化了原式.但在抵消“共同项”或“近似共同项”时，一定要注意“+”“-”号，避免出错.例3化简(y +1y 2-4y +3-y -2y 2-6y +9)÷y -5y -1.分析：题目式子比较复杂，先对扩号内部式子的分母进行“因式分解”，得到y +1(y -1)(y -3)-y -2(y -3)2，此时观察发现可以“提取公因式”1y -3，得到1y -3（y +1y -1-y -2y -3）.然后再运用“通分”处理（y +1y -1-y -2y -3）得y -5(y -1)(y -3)，最后综合计算1y -3∙y -5(y -1)(y -3)÷y -5y -1，得出结果1(y -3)2.=[y +1(y -1)(y -3)-y -2(y -3)2]÷y -5y -1=1y -3（y +1y -1-y -2y -3）∙y -1y -5=1y -3∙(y +1)(y -3)-(y -2)(y -1)(y -1)(y -3)∙y -1y -5=1y -3∙y -5(y -1)(y -3)∙y -1y -5=1(y -3)2.评注：此题两个分式的分母经过因式分解以后有公因式可提取，分解因式并提取公因式后为1y -3（y +1y -1-y -2y -3），然后再计算最后答案.变式：化简(x -2x 2+2x -x -1x 2+4x +4)÷x -4x +2.分析：对（x -2x 2+2x -x -1x 2+4x +4）分母进行因式分解可得（x -2x (x +2)-x -1(x +2)2）,然后提取公因式1x +2可得1x +2∙（x -2x -x -1x +2）.再通分（x -2x -x -1x +2）可得x -4x （x +2）.最后求1x +2∙x -4x （x +2）÷x -4x +2得1x （x +2）.解：（x -2x 2+2x -x -1x 2+4x +4）÷x -4x +2=éëêùûúx -2x (x +2)-x -1(x +2)2÷x -4x +2=1x +2∙（x -2x -x -1x +2）÷x -4x +2=1x +2∙x -4x （x +2）÷x -4x +2=1x +2∙x -4x （x +2）∙x +2x -4=1x （x +2）.评注：此题的解题关键是综合“因式分解”与“通分约分”，在处理过程中应及时、灵活提取公因式，从而化简分式.分式化简问题虽然复杂难解，但是有规律可循，有技巧可取.只要同学们仔细观察，善于综合运用“通分约分”“因式分解”“提取解法荟萃。
分式求值的常用技巧
分式求值的常用技巧分式是一种特殊类型的数学表达式，它包含有一个或多个数（称为分子）除以另一个数（称为分母）。
分式可以代表有理数和算术运算，例如加法、减法、乘法和除法。
在解决分式求值问题时，有一些常用的技巧可以帮助我们简化计算和得出结果。
1.化简分式首先，我们可以通过化简分式来简化计算过程。
化简分式的目的是找到分子和分母的最大公约数，并将分子和分母都除以它，使分式更简单。
例如，考虑分式12/24，我们可以找到最大公约数为12，并将分子和分母都除以12，得到1/2、这样，原分式就被化简为最简分式。
2.找到分子和分母的公因式在一些分式中，分子和分母可能有一个或多个公因式。
我们可以通过找到它们来简化计算。
例如，考虑分式16/24，我们可以发现分子和分母都可以被2整除。
我们可以将16除以2得到8，24除以2得到12，从而得到化简后的分式8/12、然后，我们可以继续找到8和12的最大公约数，并将它们化简为最简分式。
3.交换分子和分母的位置有时候，分式的分子和分母的位置可以互换。
我们可以利用这个性质来简化计算。
例如，考虑分式1/4，我们可以将分子和分母互换，得到4/1、然后，我们可以将4除以1得到4，从而得到最简分式44.将分式转化为小数形式有时候，将分式转化为小数形式可以更便于计算。
我们可以通过将分子除以分母来得到分数的小数形式。
例如，考虑分式3/5，我们可以将3除以5得到0.6、这样，我们就得到了分式的小数形式。
5.使用乘法和除法的性质在进行分式求值时，我们可以利用乘法和除法的性质来简化计算。
例如，考虑分式(2/3)*(4/5)，我们可以将分子和分母相乘得到8/15、同样的，如果我们考虑分式(2/3)/(4/5)，我们可以将分子乘以分母的倒数得到(2/3)*(5/4)，然后进行乘法操作得到10/12，最后化简为5/66.使用加法和减法的性质在进行分式求值时，我们还可以利用加法和减法的性质来简化计算。
例如，考虑分式(2/3)+(4/5)，我们可以找到两个分数的公共分母，然后将分子相加得到一个新的分数作为结果。
分式化简的解题思路及方法
分式化简的解题思路及方法分式化简是代数学习中常见的问题，正确化简分式可以简化计算过程，提高求解效率。
本文将介绍分式化简的解题思路及方法，帮助读者更好地掌握这一技能。
下面是本店铺为大家精心编写的5篇《分式化简的解题思路及方法》，供大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《分式化简的解题思路及方法》篇1一、分式化简的解题思路分式化简的解题思路主要包括以下几个方面:1. 熟悉分式的基本形式：分式通常写成 $frac{a}{b}$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 都是代数式。
要化简分式，需要先将其转化为这种基本形式。
2. 确定公因式：在分式中，如果有公共的因子，可以先提出来，这样可以简化分式的形式。
3. 利用分式性质：分式具有一些特殊的性质，如分子分母同乘以一个数或一个代数式，分式的值不变。
利用这些性质，可以对分式进行化简。
4. 运用运算法则：分式的化简也需要运用代数运算法则，如合并同类项、分配律、结合律等。
二、分式化简的方法分式化简的方法主要有以下几种:1. 提取公因式法：这种方法是指在分式中提取公共的因子，将分式化简为最简形式。
例如，将 $frac{2x+4y}{x+2y}$ 化简为$frac{2(x+2y)}{x+2y}$，再进一步化简为 $2$。
2. 拆分分式法：这种方法是指将分式拆分成两个或多个分式，以便更好地提取公因式或运用运算法则。
例如，将$frac{x+y}{x-y}$ 拆分成 $frac{x+y}{x-y} cdot frac{x+y}{x+y} = frac{x^2+2xy+y^2}{x^2-y^2}$。
3. 合并同类项法：这种方法是指将分式中的同类项合并在一起，从而简化分式的形式。
例如，将 $frac{3x+2y}{x+y}$ 化简为$frac{3x+2y}{x+y} cdot frac{x+y}{x+y} =frac{3x^2+2xy+2xy+2y^2}{x^2+2xy+y^2} =frac{3x^2+4xy+2y^2}{x^2+2xy+y^2}$。
分式化简求值
分式化简求值分式化简求值是数学中一个非常重要的概念，它涉及到分数的加减法、乘除法以及约分等运算。
在解决一些数学问题时，我们需要先将分式进行化简，然后再求其值。
下面将就分式化简求值的原理、方法、注意事项以及例题进行详细阐述。
一、分式化简的原理分式化简的原理很简单，就是通过约分、通分等手段，将分式转化为一个标准形式，便于我们进行后续的运算或比较。
其中，约分是通过分子、分母的公约数来简化分式，通分则是将分母不同的几个分式化为相同的分母，从而便于比较。
二、分式化简的方法1. 约分 约分是将分式化为最简形式的一种方法，其基本思路是找到分子和分母的最大公约数，将其约去。
例如，将6a 12a 12a6a 约分成a 2a 2aa 。
2. 通分 通分是将几个分式化为相同分母的一种方法，其基本思路是找到几个分式的最简公分母，将其乘上适当的倍数。
例如，将2a 3b 3b2a 和4b 5c 5c4b 通分为10ab 15bc 15bc10ab 和6bc 15bc 15bc6bc 。
3. 分解因式 分解因式是将一个多项式化为几个整式的积的形式，从而便于我们进行分式的运算。
例如，将x 2−4x2−4分解因式为(x +2)(x −2)(x+2)(x−2)。
4. 分子、分母的变形 有时候，我们需要通过改变分子或分母的形式来简化分式。
例如，将x+y x−y x−yx+y 变形为x+y x−y =x 2−y 2x−y =x +y x−yx+y=x−yx2−y2=x+y 。
三、分式化简的注意事项1.分式化简时要注意不能改变原式的值，即化简后的结果应该是最简形式。
2. 在进行通分时，要选择好公分母，尽量避免出现复杂的多项式或根式。
3.在进行约分时，要注意分子、分母的公约数是否互质，如果互质则可以直接约去，否则需要通过其他方法进行化简。
4.在进行分子、分母的变形时，要注意变形后的形式是否比原式更加简洁，如果更加复杂则不建议使用。
四、例题解析【例1】化简下列分式： (1)6x9y 9y6x； (2)8b23a3a8b2； (3)x2−y2x−yx−yx2−y2；(4)x 2−4x−2x−2x2−4。
分式化简求值几大常用技巧复习课程
分式化简求值几大常用技巧复习课程-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII分式化简求值几大常用技巧 在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种：1、 应用分式的基本性质例1 如果12x x+=，则2421x x x ++的值是多少解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2x ，得原式=.22221111112131()1x x x x===-+++-. 2、倒数法例2 如果12x x +=，则2421x x x ++的值是多少 例3解：将待求分式取倒数，得42222221111()1213x x x x x x x++=++=+-=-= ∴原式=13. 3、平方法例4 已知12x x +=，则221x x+的值是多少？ 例5解：两边同时平方，得22221124,42 2.x x x x++=∴+=-= 4、设参数法例6 已知0235a b c ==≠，求分式2222323ab bc ac a b c+-+-的值. 解：设235a b c k ===，则 2,3,5a k b k c k ===.∴原式=222222323532566.(2)2(3)3(5)5353k k k k k k k k k k k ⨯+⨯⨯-⨯⨯==-+-- 例7 已知,a b c b c a ==求a b c a b c+--+的值. 解：设a b c k b c a ===，则 ,,.a bk b ck c ak ===∴3c ak bk k ck k k ck ==⋅=⋅⋅=，∴31,1k k ==∴a b c ==∴原式= 1.a b c a b c+-=-+ 5、整体代换法例8 已知113,x y -=求2322x xy y x xy y+---的值. 解：将已知变形，得3,y x xy -=即3x y xy -=-∴原式=2()32(3)333.()23255x y xy xy xy xy x y xy xy xy xy -+⨯-+-===----- 例： 例5. 已知a b +<0，且满足a a b ba b 2222++--=，求a b a b3313+-的值。
分式化简求值几大常用技巧
分式化简求值几大常用技巧分式化简求值几大常用技巧在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种：1、 应用分式的基本性质 例1 如果12x x+=，则2421x x x ++的值是多少?解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2x ，得 原式=.22221111112131()1x x xx===-+++-.2、倒数法 例2 如果12x x+=，则2421x x x ++的值是多少?解：将待求分式取倒数，得42222221111()1213x x x x x x x++=++=+-=-=∴原式=13. 3、平方法例3 已知12x x+=，则221x x +的值是多少？解：两边同时平方，得22221124,42 2.x x x x ++=∴+=-=4、设参数法例4 已知0235a b c ==≠，求分式2222323ab bc aca b c+-+-的值. 解：设235ab ck ===，则 2,3,5a k b k c k===.∴原式=222222323532566.(2)2(3)3(5)5353k k k k k k k k k k k ⨯+⨯⨯-⨯⨯==-+--例5 已知,a b c b c a ==求a b c a b c+--+的值. 解：设a b ck bc a===，则 ,,.a bkb ckc ak ===∴3c ak bk k ck k k ck ==⋅=⋅⋅=， ∴31,1kk ==∴a b c ==∴原式= 1.ab ca b c+-=-+ 5、整体代换法例6 已知113,x y -=求2322x xy y x xy y+---的值. 解：将已知变形，得3,y x xy -=即3x y xy -=-∴原式=2()32(3)333.()23255x y xy xy xy xy x y xy xy xy xy -+⨯-+-===-----例： 例5. 已知a b +<0，且满足a a b ba b 2222++--=，求a b a b3313+-的值。
初中数学(初二)考点：分式的化简求值
1、考点名称:分式的化简求值5年考试次数:327考点内容:(1) 先把分式化简后,再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.(2) 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.(3) 化简的最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要化成最简分式或整式.规律方法：分式化简求值时需注意的问题：1.化简求值,一般是先化简为最简分式或整式,再代入求值.化简时不能跨度太大,而缺少必要的步骤,代入求值的模式一般为“当…时,原式=…”.2.代入求值时,有直接代入法,整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时,所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义,且除数不能为0.2、考点名称:解分式方程5年考试次数:247考点内容:(1)解分式方程的步骤:①去分母;②求出整式方程的解;③检验;④得出结论.(2)解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应如下检验:①将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解.②将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式方程的解. 所以解分式方程时,一定要检验.3、考点名称:分式方程的应用5年考试次数:151考点内容:1、列分式方程解应用题的一般步骤:设、列、解、验、答.必须严格按照这5步进行做题,规范解题步骤,另外还要注意完整性:如设和答叙述要完整,要写出单位等.2、要掌握常见问题中的基本关系,如行程问题:速度=路程时间;工作量问题:工作效率=工作量工作时间等等.列分式方程解应用题一定要审清题意,找相等关系是着眼点,要学会分析题意,提高理解能力. 4、考点名称:待定系数法求一次函数解析式5年考试次数:76考点内容:待定系数法求一次函数解析式一般步骤是:(1)先设出函数的一般形式,如求一次函数的解析式时,先设y=kx+b;(2)将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式,得到关于待定系数的方程或方程组;(3)解方程或方程组,求出待定系数的值,进而写出函数解析式.注意:求正比例函数,只要一对x,y的值就可以,因为它只有一个待定系数;而求一次函数y=kx+b,则需要两组x,y的值.5、考点名称:三角形内角和定理5年考试次数:106考点内容:(1)三角形内角的概念:三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角,且每个内角均大于0°且小于180°.(2)三角形内角和定理:三角形内角和是180°.(3)三角形内角和定理的证明证明方法,不唯一,但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起,组合成一个平角.在转化中借助平行线.(4)三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角;②依据三角形中角的关系,用代数方法求三个角;③在直角三角形中,已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角6、考点名称:全等三角形的判定5年考试次数:136考点内容:(1)判定定理1:SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等.(2)判定定理2:SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.(3)判定定理3:ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.(4)判定定理4:AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5)判定定理5:HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.方法指引:全等三角形的5种判定方法中,选用哪一种方法,取决于题目中的已知条件,若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边;若已知两角对应相等,则必须再找一组对边对应相等,且要是两角的夹边,若已知一边一角,则找另一组角,或找这个角的另一组对应邻边.7、考点名称:等腰三角形的判定5年考试次数:44考点内容:判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.简称:等边对等角说明:①等腰三角形是一个轴对称图形,它的定义既作为性质,又可作为判定办法.②等腰三角形的判定和性质互逆;③在判定定理的证明中,可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线,但不能作未来底边的中线;④判定定理在同一个三角形中才能适用.8、考点名称:勾股定理5年考试次数:760考点内容:(1)勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.(3)勾股定理公式a2+b2=c2的变形有:、及(4)由于a2+b2=c2>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.9、考点名称:三角形中位线定理5年考试次数:229考点内容:(1)三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.(2)几何语言: 如图,∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC,DE=BC.10、考点名称:平行四边形的判定5年考试次数:102考点内容:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB∥DC,AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形.(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB=DC,AD=BC∴四边行ABCD是平行四边形.(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB∥DC,AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形.(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵∠ABC=∠ADC,∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形.(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.符号语言:∵OA=OC,OB=OD∴四边行ABCD是平行四边形.。
分式运算的常用技巧与方法
分式运算的常用技巧与方法分式运算是数学中常见的运算形式，掌握一些常用的技巧和方法可以帮助我们更快、更准确地进行计算。
以下是一些分式运算的常用技巧和方法：一、化简与约分：化简和约分是分式运算的基本操作，可以简化分式，使其更容易处理。
化简分式的方法有：1.因式分解：将分子和分母同除以其最大公因数，化简为最简形式的分式。
2.合并同类项：对于分子或分母中含有多项的情况，将同类项相加或相减，化简为简单的形式。
3.分解为部分分式：一些分式可以通过分解为部分分式的形式进行化简，如等式两端分别乘以一个分子时。
二、通分：当两个分式的分母不同时，我们需要将分母化为相同的公分母，这个过程称为通分。
通分的方法有：1.找到两个分母的最小公倍数，在分子和分母同时乘上适当的倍数，使得两个分母相等。
2.当两个分式的分母为一次因式的幂指时，可以将较高次幂的分母分解为较低次幂的分母，再进行通分。
三、分式的加减运算：分式的加减运算可以通过通分和合并同类项来进行。
具体的步骤如下：1.找到两个分式的最小公倍数作为通分的分母。
2.将两个分式的分子乘以一个适当的倍数，使得它们的分母相同。
乘上的倍数可以通过最小公倍数与原分母的比值得到。
3.合并同类项，将分子进行相加或相减。
四、分式的乘除运算：分式的乘除运算可以通过相乘或相除的方式进行。
具体的步骤如下：1.乘法：将两个分式的分子相乘，分母相乘，得到新的分子和分母后化简。
2.除法：将一个分式的分子乘以另一个分式的分母，分母乘以另一个分式的分子，得到新的分子和分母后化简。
五、分式的倒数和幂运算：分式的倒数就是将分子和分母互换的操作。
分式的幂运算可以通过将分子和分母同时进行幂运算来进行。
六、一些特殊的分式运算：除了以上常见的分式运算方法，还有一些特殊的分式运算，如：1.分式的比较大小：将两个分式的分子和分母相乘后进行比较。
2.分式的求值：将分式中的变量替换为具体的数值进行计算。
简单实用的初中数学解题技巧掌握分式与整式的化简方法
简单实用的初中数学解题技巧掌握分式与整式的化简方法在初中数学中，学习解题技巧对于理解和掌握数学知识至关重要。
其中，分式与整式的化简方法是我们在解决数学问题时常用的技巧之一。
本文将介绍一些简单实用的初中数学解题技巧，着重讲解分式与整式的化简方法。
一、分式的化简方法1. 分子分母的公因式提取法当分式的分子和分母中存在公因式时，可以通过公因式提取的方法将分式化简为最简形式。
具体步骤如下：（1）对分子和分母进行因式分解；（2）将分子和分母中的公因式提取出来；（3）去掉分子和分母中的公因式，得到最简形式。
举个例子来说明这个方法。
假设我们要将分式 $\frac{2x^2 +4x}{6x}$ 化简为最简形式。
首先，我们对分子和分母进行因式分解，可以得到：$2x^2 + 4x = 2x(x + 2)$；$6x = 2 \cdot 3 \cdot x$。
接下来，我们提取分子和分母中的公因式，得到：$\frac{2x^2 + 4x}{6x} = \frac{2x \cdot (x + 2)}{2 \cdot 3 \cdot x}$。
最后，我们去掉分子和分母中的公因式，得到最简形式 $\frac{x + 2}{3}$。
2. 分式的通分法当分式的分母不同，无法直接进行计算时，可以通过通分的方法将分式化简为最简形式。
通分的具体步骤如下：（1）找到分式中的最小公倍数（简称最小公倍数）作为新的分母；（2）根据最小公倍数，对分数进行扩展，使得分母相同；（3）将扩展后的分子作为新的分子，保持分母不变。
例如，我们要将 $\frac{3}{4} + \frac{1}{6}$ 化简为最简形式。
首先，我们寻找到分母 4 和 6 的最小公倍数为 12。
接下来，根据最小公倍数将分数进行扩展，可以得到：$\frac{3}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{9}{12} + \frac{2}{12}$。
浅谈初中数学分式化简求值的技巧
象 按 照 一个 整体 来 对 待 ， 而这 个 整 体是 各
要 素 按 一定 的思 路 组 合 成 的有 机 统 一体 。
三、 应 用 平 方 差 公 式
在 分 式 化 简求 值 中 ， 若 直 接 进 行 通 分
相 对 较 麻 烦 。因此 ， 可对其进行化简 ， 然 而
方式 是行 不 通 的 ， 然后 再 引 导 学 生 将 各 个 分 式进 行 变形 ，化 成 整 式 和 真 分 式 之 和 ，
学 生 就 会 发 现 这 样 题 目就 可 以 进 行 化 简 了。 通 过 这 种 形 式 为 学生 提 供 更 多 的选 择 方式 ， 可 以 避 免 学 生 在 一 拿 到 题 目之 后 就
＿ ｉ ：
问题简化 ， 提高解题 的速度 ， 同时还 能够提高 解题 的正确率 ， 进 而达到事半功倍 的效果。本
文分 别从整体 思想 、 先 通分后 化简 、 应用 平方 差公式 、 转化假分 式及应用“ 拆 项消分 法” 几方 面探讨分 式化简 的求知技巧。
８
＿ ｉ 二
１ ６ １ ． ６
有机统一体 ， 然 后 再 对 其 进行 分 析 。
比如 在 题 目 “ ａ ｂ ｃ ＝ １ ， 求
ａ ｏ 十 ａ 十 １
一
Ｔ：
３２
Ｔ
＋
一
关键词： 初 中数学； 分 式化简 ； 求值技巧 在 数 学 知识 的学 习 中 ， 最 重 要 的 是 数
学 思 想 和数 学 方 法 的学 习 和 运 用 ， 这是 见 知 识 转 化 为 能力 的桥 梁 。 其 中我 们 所说 的
化简求值的口诀
化简求值的⼝诀
先分解、再约分。
分式的乘除法运算或化简应该先将能分解因式的分⼦、分母进⾏因式分解，然后再进⾏约分，达到计算或化简的⽬的。
通过变形，将已知式⼦转化为所要求值的式⼦⽽⾃然地得到所求分式的值是分式求值题⼀个重要的解题⽅法。
化简求值
化简求值在数学上是⼀个⾮常重要的概念。
复杂的式⼦，必须通过化简才能简便地求出它的值。
化简是指把复杂式⼦化为简单式⼦的过程。
在分式的化简求值过程中，特别应该讲究的是化简求值过程中的⽅式⽅法、技能技巧，当然，⽆论是“⽅式⽅法”也好，“技能技巧”也罢，其关键还在于“基础知识”的掌握。
如果“基础知识”的掌握是⾮常过硬的，那么在分式的化简求值过程中就能够将相关的“⽅式⽅法”、“技能技巧”运⽤⾃如，⾃然，在“基础知识”、“⽅式⽅法”、“技能技巧”的运⽤⽅⾯有了⼀定程度的能⼒的时候，如果能够再通过⼀定题量来进⾏训练的话，那么分式化简求值中的“⽅式⽅法”、“技能技巧”的运⽤就“如虎添翼”、“熟能⽣巧”，反之，⼀切皆为空谈。
分式的化简求值主要分为三⼤类
1、所给已知值是⾮常简单的数值，⽆须化简或变形，但所给的分式却是⼀个较复杂的式⼦。
2、所给已知值是⼀些⽐较复杂甚⾄是⾮常复杂的数值，但所给的分式却是⼀个⾮常简单的式⼦。
3、所给已知值是⼀些⽐较复杂甚⾄是⾮常复杂的数值，化简或变形后更有利于准确地求出所给分式的值，不仅如此，⽽且所给的分式也是⼀个较复杂的式⼦。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分式化简求值几大常用技巧在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种：1、 应用分式的基本性质例1 如果12x x+=，则2421x x x ++的值是多少? 解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2x ，得 原式=.22221111112131()1x x x x===-+++-.2、倒数法例2如果12x x+=，则2421x x x ++的值是多少?解：将待求分式取倒数，得42222221111()1213x x x x x x x++=++=+-=-= ∴原式=13. 3、平方法例3已知12x x +=，则221x x+的值是多少？ 解：两边同时平方，得22221124,42 2.x x x x ++=∴+=-= 4、设参数法例4已知0235a b c ==≠，求分式2222323ab bc aca b c +-+-的值. 解：设235a b ck ===，则2,3,5a k b k c k ===.∴原式=222222323532566.(2)2(3)3(5)5353k k k k k k k k k k k ⨯+⨯⨯-⨯⨯==-+-- 例5已知,a b c b c a ==求a b c a b c +--+的值. 解：设a b ck b c a===，则,,.a bk b ck c ak ===∴3c ak bk k ck k k ck ==⋅=⋅⋅=， ∴31,1k k == ∴a b c == ∴原式=1.a b ca b c+-=-+5、整体代换法例6已知113,x y -=求2322x xy y x xy y+---的值. 解：将已知变形，得3,y x xy -=即3x y xy -=-∴原式=2()32(3)333.()23255x y xy xy xy xy x y xy xy xy xy -+⨯-+-===-----例： 例5. 已知a b +<0，且满足a a b ba b 2222++--=，求a b a b3313+-的值。
解：因为a a b ba b 2222++--= 所以()()a b a b +-+-=220 所以()()a b a b +-++=210 所以a b +=2或a b +=-1 由a b +<0 故有a b +=-1所以a b a b a ba a b b a b33221313+-=+-+-()()=-⨯-+-=-+-113312222()a ab b aba ab b ab=+--=---=--()()a b a b a b a b a b a b a b 2233113311331=-1评注：本题应先对已知条件a a b ba b 2222++--=进行变换和因式分解，并由a b +<0确定出a b +=-1，然后对所给代数式利用立方和公式化简，从而问题迎刃而解。
6、消元代换法例7已知1,abc =则111a b cab a bc b ac c ++=++++++ .解：∵1,abc =∴1,c ab= ∴原式=111111a b ab ab a b ab b a ab ab++++⋅++⋅++1111a ab ab a ab a a ab =++++++++ 1 1.1ab a ab a ++==++ 7、拆项法例8若0,a b c ++=求111111()()()3a b c b c a c a b++++++的值.解：原式=111111()1()1()1a b c bcacab⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦111111111()()()a b c a b c a b c a b c =++++++++111()()a b c a b c=++++ 0a b c ++=∵∴原式=0.8、配方法例9若11a b b c -=-=求2221a b c ab ac bc++---的值.解：由11a b b c -=-=得2a c -=. ∴2222a b c ab ac b ++---2221()()()2a b b c a c ⎡⎤=-+-+-⎣⎦ 11202=⨯= ∴原式=16.化简求值切入点介绍解题的切入点是解题的重要方向，是解题的有效钥匙。
分式求值有哪些切入点呢？下面本文结合例题归纳六个求分式的值的常见切入点，供同学们借鉴：切入点一：“运算符号”点拨：对于两个分母互为相反数的分式相加减，只须把其中一个分式的分母的运算符号提出来，即可化成同分母分式进行相加减。
例1：求ab a b a b 24222-+-解：原式=b a a b a b ---24222=ba ab --2422=b a b a ---2422=)2()2)(2(b a b a b a --+-=)2(b a +-=b a --2评注：我们在求解异分母分式相加减时，先要仔细观察这两个分式的分母是否互为相反数。
若互为相反数，则可以通过改变运算符号来化成同分母分式，从而避免盲目通分带来的繁琐。
切入点二：“常用数学运算公式”点拨：在求分式的值时，有些数学运算公式直接应用难以奏效，这时，需要对这些数学公式进行变形应用。
例2：若0132=+-a a ，则331aa +的值为______ 解：依题意知，0≠a ，由0132=+-a a 得a a 312=+，对此方程两边同时除以a 得31=+aa ∴18)33(3]3)1)[(1()11)(1(1222233=-⨯=-++=+-+=+a a a a a a a a a a评注：在求分式的值时，要高度重视以下这些经过变形后的公式的应用：①))((22b a b a b a -+=- ②ab b a ab b a b a 2)(2)(2222+-=-+=+ ③)(3)(]3))[(())((322233b a ab b a ab b a b a b ab a b a b a +-+=-++=+-+=+ ④)(3)(]3))[(())((322233b a ab b a ab b a b a b ab a b a b a -+-=+--=++-=- ⑤])()[(4122b a b a ab --+=切入点三：“分式的分子或分母”点拨：对于分子或分母含有比较繁杂多项式的分式求值，往往需要对这些多项式进行分解因式变形处理，然后再代题设条件式进行求值。
例3：已知5,3-==+xy y x ，求2222223xy y x y xy x +++的值。
解：xy y x y x xy y x y x xyy x y xy x +=+++=+++)2())(2(2232222 ∵5,3-==+xy y x ∴原式=5353-=- 评注：分解因式的方法是打开分式求值大门的有效钥匙，也是实现分式约分化简的重要工具。
像本题先利用十字相乘法对分子分解因式，利用提公因式法对分母分解因式，然后约去相同的因式，再代题设条件式求值，从而化繁为简。
切入点四：“原分式中的分子和分母的位置”点拨：对于那些分母比分子含有更繁杂代数式的分式，倘若直接求值，则难以求解。
但是，我们可以先从其倒数形式入手，然后再对所求得的值取其倒数，则可以把问题简单化。
例4：已知3112=++x x x ，则1242++x x x 的值为______ 解：依题意知，0≠x ，由3112=++x x x 得,312=++x x x ，即311=++x x 从而得21=+x x ∴3121)1(1112222224=-=-+=++=++x x x x x x x 故311242=++x x x评注：取倒数思想是处理那些分母比分子含有更繁杂代数式的分式求值问题的重要法宝。
像本题利用取倒数思想巧变原分式中的分子和分母的位置，从而化难为易。
切入点五：“题设条件式”点拨：当题设条件式难以直接代入求值时，不妨对其进行等价变换，也许可以找到解题钥匙。
例5：已知323=-y x ，则xy xy xyy x 69732-+--的值为______ 解：由323=-yx 得xy x y 323=-，则xy y x 332-=- ∴4116473337)23(33269732-=-=+⨯--=+---=-+--xy xy xy xy xy xy xy x y xy y x x y xy xy y x评注：等价变换思想是沟通已知条件和未知结论的重要桥梁，是恒等变形的充分体现。
像本题通过对题设条件式作等价变换，找到重要解题条件“xy x y 323=-”和“xy y x 332-=-”，然后作代换处理，从而快速求值。
切入点六：“分式中的常数值”点拨：当题设条件式的值和所要求解的分式的常数相同时，应注意考虑是否可以作整体代入变形求解，以便更快找到解题的突破口。
例6：设1=abc ，求111++++++++c ac cb bc b a ab a 的值 解：∵1=abc∴原式=11++++++++c ac cb bc b abc a ab a =1111++++++++c ac c b bc b bc b =abc c ac c b bc b ++++++11=ab a b bc b ++++++1111 =ab abc a abc b bc b ++++++11=b bc bcb bc b ++++++111 =111=++++b bc bcb评注：整体代入变形是分式求值的重要策略。
像本题紧扣“1=abc ”，多次作整体代入处理，先繁后简，逐项通分，最后顺利得到分式的值。
综上可见，找准切入点，灵活变形可以巧妙求解分式的值。
所以，当你遇到分式求值题找不到解题方向时，不妨找准切入点，对原分式变一变，也许分式求值思路现。