分式化简求值几大常用技巧

分式化简求值几大常用技巧

在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种：

1、 应用分式的基本性质

例1 如果1

2x x

+=，则242

1x x x ++的值是多少? 解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2

x ，得 原式=.

2222

1111

1

1

213

1()1x x x x

=

==-++

+-.

2、倒数法

例2

如果1

2x x

+=，则2421x x x ++的值是多少?

解：将待求分式取倒数，得

42222

22

1111()1213x x x x x x x

++=++=+-=-= ∴原式=1

3

. 3、平方法

例3

已知12x x +

=，则221

x x

+的值是多少？ 解：两边同时平方，得

2222

1124,42 2.x x x x ++

=∴+=-= 4、设参数法

例4

已知

0235a b c ==≠，求分式2

22

2323ab bc ac

a b c +-+-的值. 解：设235

a b c

k ===，则

2,3,5a k b k c k ===.

∴原式=22222

2323532566

.(2)2(3)3(5)5353

k k k k k k k k k k k ⨯+⨯⨯-⨯⨯==-+-- 例5

已知

,a b c b c a ==求a b c a b c +--+的值. 解：设a b c

k b c a

===，则

,,.a bk b ck c ak ===

∴3

c ak bk k ck k k ck ==⋅=⋅⋅=， ∴3

1,1k k == ∴a b c == ∴原式=

1.a b c

a b c

+-=-+

5、整体代换法

例6

已知

113,x y -=求2322x xy y x xy y

+---的值. 解：将已知变形，得

3,y x xy -=即3x y xy -=-

∴原式=

2()32(3)333

.()23255

x y xy xy xy xy x y xy xy xy xy -+⨯-+-===-----

例： 例5. 已知a b +<0

，且满足a a b ba b 2

2

22++--=，求a b a b

33

13+-的值。 解：因为a a b ba b 2

2

22++--= 所以()()a b a b +-+-=220 所以()()a b a b +-++=210 所以a b +=2或a b +=-1 由a b +<0 故有a b +=-1

所以a b a b a ba a b b a b

3322

1313+-=

+-+-()()

=

-⨯-+-=

-+-11331

2222()

a a

b b ab

a a

b b ab

=

+--=---=

--()()a b a b a b a b a b a b a b 2233113311331

=-1

评注：本题应先对已知条件a a b ba b 22

22++--=进行变换和因式分解，并由a b +<0确定出a b +=-1，然后对所给代数式利用立方和公式化简，从而问题迎刃而解。 6、消元代换法

例7

已知1,abc =则

111a b c

ab a bc b ac c ++=++++++ .

解：∵1,abc =∴1,c ab

= ∴原式=1

11111a b ab ab a b ab b a ab ab

++

++⋅++⋅++

1

111a ab ab a ab a a ab =

++

++++++ 1 1.1ab a ab a ++==++ 7、拆项法

例8

若0,a b c ++=求111111()()()3a b c b c a c a b

++++++的值.

解：原式=111111()1()1()1a b c b

c

a

c

a

b

⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

111111111()()()a b c a b c a b c a b c =++++++++

111

()()a b c a b c

=++++ 0a b c ++=∵

∴原式=0.

8、配方法

例9

若11a b b c -=-=求

222

1

a b c ab ac bc

++---的值.

解：由11a b b c -=-=得2a c -=. ∴2

2

2

2

a b c ab ac b ++---

2221()()()2a b b c a c ⎡⎤=

-+-+-⎣⎦ 1

1202

=⨯= ∴原式=1

6.