关于cosx+cos2x+cos3x的最值的求法及其拓展
求三角函数最值的四种方法
求三角函数最值的四种方法求解三角函数最值问题的基本途径与其他函数最值问题相同，一方面要利用三角函数的特殊性质，例如有界性，另一方面要将问题转化为我们熟悉的函数的最值问题。
以下介绍几种常见的求解三角函数最值的策略。
1.配方转化策略对于能够化为形如y = a sin x + b sin x + c或y = a cos x +b cos x + c的三角函数最值问题，可以将其看作是sin x或cosx的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来解决。
例如，对于函数y = 5 sin x + cos 2x的最值问题，可以将其转化为y = -2 sin x + 5 sin x + 1，然后利用sin x的范围[-1.1]求得最小值为-6，最大值为4.2.有界转化策略对于能够通过变形化为形如y = A sin(ωx + φ)等形式的三角函数，可以利用其有界性来求解最值。
这是常用的求解三角函数最值问题的策略之一。
3.单调性转化策略借助函数单调性是求解函数最值问题常用的一种转化策略。
对于三角函数来说，常常是先化为y = A sin(ωx + φ) + k的形式，然后利用三角函数的单调性求解。
4.导数法对于一些较为复杂的三角函数最值问题，可以利用导数法求解。
通过对函数求导，找到其临界点，然后比较临界点和函数在端点处的取值，即可求得函数的最值。
在求解三角函数最值问题时，需要注意将三角函数准确变形为sin x或cos x的二次函数的形式，正确配方，并把握sinx或cos x的范围，以防止出错。
1，即y=−x+2设点P的坐标为(x,y)，则y−0=y−yPx−2=x−xP解得xP=cosx，yP=sinx代入直线方程得y=−(cosx−2)+2=4−cosx所以y的最小值为3，当x=π/2时取到最小值。
答案]3。
三角函数最值问题求法
三角函数最值问题求法三角函数是高中数学中常见的一种函数类型，它与三角形的边长和角度之间的关系密切相关。
在解决三角函数最值的问题时，我们通常需要根据特定的条件和信息来确定函数的最大值或最小值。
下面将详细介绍三角函数最值问题的求解方法。
1.函数的定义域和值域分析：在解决三角函数最值问题之前，我们首先要对函数的定义域和值域进行分析。
不同的三角函数具有不同的定义域和值域，对于正弦函数和余弦函数，其定义域是整个实数集，值域是[-1,1]；而对于正切函数，其定义域是除去kπ（k∈Z）的全体实数，值域是整个实数集。
2.函数的周期性利用：三角函数具有周期性的特点，即对于一些三角函数f(x)，存在正整数T，使得对于任意实数x，有f(x+T)=f(x)。
利用函数的周期性特点，我们可以通过分析一个周期内的变化趋势，从而确定函数的最值。
常见的周期为π或2π。
在具体求解过程中，我们可以通过将函数的自变量进行换元，使其处于一个周期内进行分析。
3.导数的求解和极值点分析：如果一个三角函数是连续的，并且在一些区间内可导，则可以通过求导数的方法来确定指定区间上的局部最值。
我们可以通过求导数并令其等于零，求解出导数为零的点，然后通过第一、第二导数的正负性进行判断，得出函数的极值点和最值。
同时，我们还可以利用导数的符号变化来确定驻点和极值点的位置。
4.图像分析法：对于特定的三角函数问题，我们可以通过观察函数的图像来推测函数的最值。
通过绘制函数的图像，并结合定义域和值域的分析，我们可以直观地判断出函数在一些区间上的最值。
对于常见的正弦函数、余弦函数和正切函数，我们可以通过观察其图像的特点，确定函数在一个周期内的最值位置。
5.利用特殊三角函数的性质：在求解三角函数最值问题时，我们可以利用特殊的三角函数性质来进行分析。
例如，正弦函数和余弦函数在定义域内是交错递增和递减的，因此我们可以通过分析数值的正负性来确定函数在一些区间上的最值。
而正切函数在定义域上的周期是π，其在相邻两个零点之间是增函数还是减函数，从而确定函数的极值点。
求三角函数最值的四种常用解题方法
求三角函数最值的常用解题方法
一. 转化为二次函数求解三角函数的最值，适用于题目中出现的三角函数分别为一次和二次时
例1．已知函数的最大值为1，求的值
解：
结论：将三角函数转化为二次函数也是求最值的通法之一，应当注意，整理成
时，要考虑的取值及的条件，才能正确求出最值。
二. 使用辅助角公式（化一法）求解三角函数的最值
适用于题目中出现的三角函数同次时
—1—
例2．求函数的值域。
分析：降幂后发现式中出现了和，这时再化成一个角的三角函数便可求得。
解：
结论：化一法由“化一次”、“化一名”、“化一角”三部分组成，其中“化一次”使用到降幂公式、“化一名”使用到推导公式、“化一角”使用到倍角公式及三角函数的和差公式等，因此需要大家熟练掌握相关公式并灵活运用。
—2—
三.利用函数值域的有界性，求解三角函数的最值
例3.求函数的值域
解：
—3—
四.使用换元法求解三角函数的最值
例4．求函数的最值。
分析：解此题的途径是用逆求将函数式变形，用y表示与x有关的三角函数，利用三角函数的有界性求最值。
解：
—4—。
高中数学三角函数求极值方法详述
高中数学三角函数求极值方法详述在高中数学中，三角函数是一个重要的章节，其中求极值是一个常见的考点。
在这篇文章中，我将详细介绍三角函数求极值的方法，并通过具体的题目举例，帮助读者理解和掌握这一知识点。
一、求极值的基本思路要求解三角函数的极值，我们首先要明确一点：三角函数的定义域是整个实数集。
因此，我们可以通过求导数的方式来确定函数的极值点。
具体的步骤如下：1. 求出函数的导数；2. 解方程 f'(x) = 0，求出导数为0的点；3. 求出导数的零点所对应的函数值；4. 比较函数值，确定极值点。
下面，我们通过具体的例题来说明这一求解过程。
例题1：求函数 f(x) = sin(x) + cos(x) 在区间[0, 2π] 上的极值点。
解析：首先，我们求出函数的导数 f'(x) = cos(x) - sin(x)。
然后，解方程 cos(x) - sin(x) = 0，可以得到x = π/4 或x = 5π/4。
接下来，我们计算这两个点对应的函数值：f(π/4) = √2 和f(5π/4) = -√2。
最后，我们比较这两个函数值，可以得出 f(x) 在[0, 2π] 上的极大值为√2，极小值为 -√2。
通过这个例题，我们可以看到，求解三角函数的极值需要通过求导数、解方程、计算函数值等步骤进行。
下面，我们再来看一个稍微复杂一些的例题。
例题2：求函数 f(x) = sin(x)cos(x) 在区间[0, π] 上的极值点。
解析：首先，我们求出函数的导数 f'(x) = cos^2(x) - sin^2(x)。
然后，我们将这个式子化简为 f'(x) = cos(2x)。
接下来，我们解方程 cos(2x) = 0，可以得到x = π/4或x = 3π/4。
最后，我们计算这两个点对应的函数值：f(π/4) = 1/2 和f(3π/4) = -1/2。
通过比较这两个函数值，我们可以得出 f(x) 在[0, π] 上的极大值为 1/2，极小值为 -1/2。
初中数学 如何求解三角函数的最值问题
初中数学如何求解三角函数的最值问题在三角函数中，最值问题是一个常见的问题，需要我们通过一些方法来求解。
下面将介绍如何求解三角函数的最值问题。
1. 求取最大值和最小值的方法-方法一：求导数对于一个连续可导的函数f(x)，其最大值和最小值必定出现在导数为零的点或者在导数不存在的点处。
因此，我们可以通过求取导数来求取最大值和最小值。
-方法二：区间分析法对于一个周期函数f(x)，其最大值和最小值必然出现在一个周期内的某个点上。
因此，我们可以通过区间分析法来求取最大值和最小值。
-方法三：三角函数的性质对于一些特殊的三角函数，我们可以通过观察函数图像或者利用其性质来求取最大值和最小值。
2. 求解最大值和最小值的步骤-步骤一：确定函数的定义域。
-步骤二：求导数或者利用区间分析法，找出导数为零的点或者周期内的最值点。
-步骤三：判断导数为零的点是否为局部最值点，并确定最大值和最小值。
-步骤四：检验求出的最值是否为全局最值。
3. 例题分析例1：求函数f(x)=2sin(x)-cos(x)在区间[0,2π]内的最大值和最小值。
解：首先，求出函数的导数：f'(x)=2cos(x)+sin(x)令导数为零，得到2cos(x)+sin(x)=0cos(x)=-sin(x)因此，最值点为x=π/4和5π/4。
然后，我们可以通过判断二阶导数来确定这两个点是否为函数的最值点。
f''(x)=-2sin(x)+cos(x)当x=π/4时，f''(π/4)<0，因此x=π/4为函数的最大值点；当x=5π/4时，f''(5π/4)>0，因此x=5π/4为函数的最小值点。
最终，得到f(x)在区间[0,2π]内的最大值为3，最小值为-1。
例2：求函数f(x)=cos2x+sin2x在区间[0,π/2]内的最大值和最小值。
解：由三角恒等式，cos2x+sin2x=1，因此f(x)=1。
三角函数的最值问题
上的最值问题。
2、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值：
asinxb co xa2b2sin (x )
如函数 y
1
的最大值是
2sinxcox
3、数形结合
常用到直线斜率的几何意义， 例如求函数
y sin x cox 2
四、作业：
»
一、我们因梦想而伟大，所有的成功者都是大梦想家：在冬夜的火堆旁，在阴天的雨雾中，梦想着未来。有些人让梦想悄然绝灭，有些人则细心培育维护，直到它安然度过困境，迎来光明和希望，而光明和希望总是降临在那些真心相信梦想一定会成真的在我们心底，使我们的心境永远得不到宁静，直到这些梦想成为事实才止；像种子在地下一样，一定要萌芽滋长，伸出地面来，寻找阳光。——林语堂
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五十七、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。——伏尼契
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五十八、梦想一旦被付诸行动，就会变得神圣。——阿·安·普罗克特
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五十九、一个人追求的目标越高，他的才力就发展得越快，对社会就越有益。——高尔基
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六十、青春是人生最快乐的时光，但这种快乐往往完全是因为它充满着希望，而不是因为得到了什么或逃避了什么。——佚名
0
,
2
82
上的最大值是1？若存在，求出对应
的a值？若不存在，试说明理由。
思维点拨：
闭区间上的二次函数的最值问题字母分 类讨论思路。
3、换元法解决 sixn co x,ssixn co xs
同时出现的题型。
例4、求函数 的最小值。
y 4 3 sx i4 n 3 cx o s
•
三十三、在劳力上劳心，是一切发明之母。事事在劳力上劳心，变可得事物之真理。——陶行知
三角函数的极值问题的求解方法
三角函数的极值问题的求解方法三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程等领域。
在三角函数中，极值问题是一个常见而重要的求解方法。
本文将介绍三角函数的极值问题的求解方法，以帮助读者更好地理解和应用三角函数。
首先，我们先回顾一下三角函数的基本概念。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，分别记作sin(x)、cos(x)和tan(x)。
这些函数的图像在数学坐标系中呈现出周期性的波动，具有许多特点和性质。
在三角函数的极值问题中，我们需要找到函数的最大值和最小值。
首先，我们需要了解函数在何处取得极值。
对于周期性的三角函数来说，它们的极值一般出现在一个周期的起点和终点，即在x=0和x=2π处。
这是因为三角函数的周期是2π，所以在一个周期内，函数的值会先增后减或先减后增。
其次，我们需要找到函数的临界点。
临界点是指函数的导数为零或不存在的点。
对于三角函数来说，我们可以通过求导的方法来找到临界点。
以sin(x)为例，它的导数是cos(x)。
当cos(x)=0时，即x=π/2或x=3π/2时，sin(x)的导数为零，所以这两个点是sin(x)的临界点。
在求解极值问题时，我们还需要考虑边界条件。
边界条件是指函数的定义域范围内的端点。
对于三角函数来说，边界条件一般是定义域的起点和终点。
以sin(x)为例，它的定义域是(-∞, +∞)，所以边界条件是x→-∞和x→+∞时的极限值。
在解决三角函数的极值问题时，我们可以采用以下方法：1. 使用图像法：通过绘制函数的图像，观察函数在定义域内的波动情况，找到极值点的大致位置。
这种方法适用于简单的三角函数，如sin(x)和cos(x)。
2. 使用导数法：通过求函数的导数，找到导数为零或不存在的点，即临界点。
然后，通过临界点和边界条件来判断函数的极值。
这种方法适用于复杂的三角函数，如tan(x)。
3. 使用数值法：通过计算函数在定义域内的一系列点的值，找到函数的最大值和最小值。
求三角函数最值的四种常用解题方法
求三角函数最值的四种常用解题方法
求三角函数最值的常用解题方法
一. 使用配方法求解三角函数的最值
例1．已知函数的最大值为1，求的值
解：
结论：将三角函数转变为二次函数也是求最值的通法之一，应该注意，整理成时，要考虑的取值及的条件，才能正确求出最值。
二. 使用化一法求解三角函数的最值
例2．求函数的值域。
剖析：降幂后发现式中出现了和，这时再化成一个角的三角函数即可求得。
—2—
解：
结论：化一法由“化一次”、“化一名”、“化一角”三部分构成，此中“化一次”使用到降幂公式、“化一名”使用到推导公式、“化一角”使用到倍角公式及三角函数的和差公式等，所以需要大家娴熟掌握有关公式并灵巧运用。
三. 使用基本不等式法求解三角函数的最值
例3. 求函数的值域
—3—
解：
解：
四. 使用换元法求解三角函数的最值
例4．求函数的最值。
剖析：解本题的门路是用逆求将函数式变形，用 y 表示与 x 有关的三角函数，利用三角函数的有界性求最值。
—4—
解：
—5—。
三类常见的三角函数最值问题及其解法
思路探寻在近几年的高考数学试题中，三角函数最值问题屡见不鲜.此类问题一般具有较强的综合性、抽象性，侧重于考查同学们的抽象思维能力和综合处理问题的能力.本文重点谈一谈三类常见的三角函数最值问题及其求法一、求一次三角函数的最值一次三角函数最值问题属于常规题目.解答此类问题，需灵活运用三角函数中的诱导公式、两角和差公式、辅助角公式等进行三角恒等变换，将三角函数式转化为只含有一个角、一种函数名称的式子，然后根据三角函数的图象和性质来求得函数的最值.例1.求函数f ()x =cos x ()2sin x +3cos x 的最值.解：f ()x =2sin x cos x +3cos 2x =sin 2x +32cos 2x +32=sin ()2x +φ+32(2x +φ+32.由于||sin ()2x +φ≤1，因≤f ()x 那么函数的最大值是.第一步，我们要仔细观察三角函数的形式，将其进行适当的变形.若三角函数式中含有括号就要先将括号去掉；若含有两种不同的函数名称，就需用辅助角公式或tan x =sin xcos x将函数名称统一；若含有两个不同的角，就需用诱导公式、两角和差公式将角统一，最后根据三角函数的图象和性质求得最值.二、求二次三角函数的最值解答二次三角函数最值问题，我们一般要先利用二倍角sin 2x =2sin x cos x 、cos 2x =2cos 2-1=1-2sin 2x或其变形式2cos 2x =cos 2x -1、sin 2x =1-cos 2x 2等，将三角函数式的幂或角统一，将其转化成为f ()x =A sin ()ωx +φ+B 的形式，或者只含有一种函数名称的二次式，然后利用三角函数的有界性和二次函数的性质来求最值.例2.已知函数f ()x =23sin x cos x +2cos 2x -1()x ∈R .试求出函数f ()x 的最小正周期，以及当x ∈éëùû0，π2时f ()x 的最大值与最小值.分析：该三角函数式中含有二次式，需先用正弦、余弦的二倍角公式将其化简，然后利用辅助角公式，将其转化为只含有一种函数名称的函数式，再根据正余弦函数的单调性和有界性便可求得原函数的最值.解：f ()x =23sin x cos x +2cos 2x -1=3()2sin x cos x +()2cos 2x -1=3sin 2x +cos 2x =2sin æèöø2x +π6.因此这个函数的最小正周期是T =2π2=π.当x ∈éëùû0，π6，即2x +π6∈éëùûπ6，π2时，函数f ()x 单调递增；而当x ∈éëùûπ6，π2，即2x +π6∈éëùûπ2，7π6时，函数f ()x 单调递减，因此当x =π6时，函数取最大值f æèöøπ6=2sin π2=2；当x =π2时，函数取最小值f æèöøπ2=2sin 7π6=-1.三、求含有分式的三角函数的最值求含有分式的三角函数的最值有两种思路，第一种思路是尝试将常数分离，求得分离后含有变量式子的最值便可解题；第二种思路是，将函数y =f (x )看作参数，将函数式变形为整式，然后运用辅助角公式，将其转化为A sin ()ωx +φ+B 或A cos ()ωx +φ+B 的形式，再利用正余弦函数的有界性来建立关系式，解不等式便可求得y 的取值范围，进而确定函数的最值.例3.求函数y =sin x -23-2sin x 的最值.解：将y =sin x -23-2sin x变形可得()2y +1sin x =3y +2æèöøy ≠-12，即sin x =3y +22y +1.又因为||sin x ≤1，则||||||3y +22y +1≤1，将其两边同时平方可得()3y +22≤()2y +12，解得-1≤y ≤-35，因此函数的最大值为-35，最小值为-1.我们先将函数式变形为一边只含有sin x 、一边不含有sin x 的式子，然后根据y =sin x 的有界性求3y +22y +1的取值范围，求出y 的取值范围便可以确定函数的最值.总之，要想顺利求得三角函数的最值，我们需熟练掌握三角函数中的基本公式以及三角恒等变换的技巧，先将所求函数式化简为只含有一个角、一种函数名称、次数统一的最简形式，然后根据三角函数的单调性和有界性来求得原函数的最值.王国顺46。
三角函数最值问题的十种常见解法
三角函数最值问题的十种常见解法解法一：利用图像性质求解利用三角函数的图像性质，首先将函数图像画出来，观察函数在指定区间上的最大值和最小值所对应的点的坐标。
解法二：使用导数求解通过对三角函数进行求导，然后将导数等于零进行求解，可以得到函数的关键点，进而通过函数的变化趋势确定最值。
解法三：使用平均值不等式求解根据平均值不等式的性质，可以得到三角函数的最值。
例如，对于正弦函数sin(x)，可以利用平均值不等式得到最值。
解法四：使用二次函数的性质求解将三角函数转化为二次函数的形式，然后利用二次函数的性质求解最值。
例如，可以将正弦函数sin(x)转化为二次函数的形式。
解法五：使用三角函数的周期性质求解三角函数的周期性质可以帮助我们确定最值所在的区间。
通过观察函数的周期性质，可以得到函数的最大值和最小值。
解法六：使用三角函数的反函数求解利用三角函数的反函数，可以将问题转化为求解反函数的最值问题。
通过对反函数的最值进行求解，可以得到原函数的最值。
解法七：使用三角函数的恒等式求解利用三角函数的恒等式，可以将复杂的三角函数转化为简单的形式，进而求解最值问题。
例如，可以利用和差公式将三角函数的角度转化为相对简单的形式。
解法八：使用三角函数的基本关系求解利用三角函数的基本关系，可以将复杂的三角函数转化为简单的形式，进而求解最值问题。
例如，可以利用正切函数和余切函数的基本关系求解最值。
解法九：使用三角函数的积分求解通过对三角函数进行积分，可以得到函数的积分表达式，并通过积分表达式求解最值。
例如，可以通过对正弦函数进行积分得到函数的积分表达式。
解法十：使用泰勒级数展开求解利用泰勒级数展开，可以将三角函数转化为幂级数形式，进而求解最值问题。
通过计算前几项幂级数的和，可以得到函数的近似值，并进一步求解最值。
如何求三角函数的最值
三角函数的最值问题三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，也是高中数学中经常涉及的问题。
这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。
解决这类问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图像和三角函数的恒等变形，而且还常涉及到函数、不等式、方程、几何等众多知识，其概念性强，具有一定的综合性和灵活性。
而解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。
下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法：一、 配方法： 形如y=asin 2x+bcosx+c 型的函数特点是含有sinx, cosx ，并且其中一个是二次，处理方式是应用sin 2x+cos 2x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用配方或换元法，转化成二次函数来求解。
例1 函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值为（ ）.A ． 2B . 0C . 41- D . 6 [分析]本题可通过公式x x 22cos 1sin -=将函数表达式化为2cos 3cos 2+-=x x y ，因含有cosx 的二次式，可换元，令cosx=t ，则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y , ∴≤≤-,11t 当t=1时,即cosx=1时，0min =y ,选B.例2 求函数y=5sinx+cos2x 的最值[分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。
()48331612,,221sin 683316812,,22,1sin ,1sin 183345sin 21sin 5sin 2sin 21sin 5max min 222=+⨯-=∈+=∴=-=+⨯-=∈-=-=∴≤≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=-+=y z k k x x y z k k x x x x x x x x y ππππ 二、 引入辅助角法： 形如y=asinx+bcosx 型的函数特点是含有正余弦函数，并且是一次式。
三角函数-秒杀技巧-最值问题
三角函数-秒杀技巧-最值问题三角函数是高中数学中的一个重要章节，也是考试中的一个难点和重要知识点。
在三角函数中，最为常见的就是求解最值问题，即给定一些函数的定义域，要求确定该函数的最大值或最小值。
下面将详细介绍三角函数的求解最值问题的秒杀技巧。
首先，我们先来回顾一下三角函数的基本性质。
三角函数是代数函数的一种，其定义域是实数集，值域是[-1,1]。
在解决三角函数最值问题时，我们还需要利用到单位圆、周期性、奇偶性等特点。
其次，我们要了解最值问题的一般思路。
对于求解最大值问题，一般是先找到函数的极值点，在极值点中找到最大值。
而求解最小值问题，则是先找到函数的不可求之点，然后求取其他点的最小值。
在找到极值点和不可求之点之后，可以通过画函数图像、用导数等方法求解最值。
接下来，我们将详细介绍三角函数最值问题的秒杀技巧。
1. 利用单位圆：单位圆是一个半径为1的圆，它的圆心为原点O(0,0)。
对于三角函数来说，单位圆的图像非常重要。
利用单位圆的图像，我们可以快速判断三角函数的最大值和最小值。
例如对于正弦函数sin(x)，它的最大值是1，最小值是-1；对于余弦函数cos(x)，它的最大值也是1，最小值也是-1、通过记忆这些最大值和最小值，我们可以快速判断一个三角函数的最值问题。
2. 利用周期性：三角函数都是周期函数，即在定义域内存在一个正整数n，使得f(x + 2πn) = f(x)。
由于周期性的存在，三角函数的最值问题可以转化为在一个周期内求解。
例如对于正弦函数sin(x)，它的周期是2π，因此在0到2π之间寻找最值即可；对于余弦函数cos(x)，它的周期也是2π。
3. 利用奇偶性：三角函数中的正弦函数和正割函数是奇函数，余弦函数、余割函数和正切函数是偶函数。
利用奇偶性，我们可以快速判断三角函数的最值问题。
例如对于正弦函数sin(x)，它的最大值一定在定义域的中点取到；对于余弦函数cos(x)，它的最小值一定在定义域的中点取到。
求三角函数值域及最值的常用方法+练习题
求三角函数值域及最值的常用方法（一）一次函数型或利用：=+=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512y x π=--+，x x y cos sin =（3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 1 ．（4）函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-⋃+∞（二）二次函数型利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。
（2）函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于43．（3）.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．（4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ．（5）.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为____2____．（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解型如dx c bx a x f ++=cos sin )(型。
此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。
例1：求函数sin cos 2xy x =-的值域。
解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。
作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2xy x =-得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为33-、33。
结合图形可知，此函数的值域是33[,]33-。
微专题31 三角函数的最值问题求解策略(解析版)
微专题31 三角函数的最值问题求解策略【方法技巧与总结】三角函数的最值问题主要涉及三角恒等变形，其主要思想是通过适当的三角变形或换元，将复杂的三角问题转化为基本三角函数或基本初等函数问题，再通过三角函数的有界性或求函数最值的方法进行处理．【题型归纳目录】题型一：恒等变形的应用，形如sin cos y a x b x =+ 题型二：二次函数型，形如2sin sin y a x b x c =++题型三：形如2(sin cos )(sin cos )(sin cos )y a x x b x x c x x =++++⋅ 题型四：分式结构，形如sin cos a x by c x d+=+【典型例题】题型一：恒等变形的应用，形如sin cos y a x b x =+例1．（2022秋•景洪市校级期中）求函数sin 3y x x =+的周期，最大值和最小值． 【解析】解：化简可得sin 3y x x =+ 132(sin )2x x =+2(cos sin sin cos )33x x ππ=+ 2sin()3x π=+ ∴原函数的周期为2T π=，最大值为2，最小值为2-例2．（2022秋•镇江期末）已知函数()2sin (sin 3)1f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的最小正周期和增区间；（2）当[0x ∈，]2π时，求函数()f x 的最大值和最小值．【解析】解：（1）()2sin (sin 3)1f x x x x =-22sin 23sin cos 1x x x =+- 3sin 2cos2x x =-2sin(2)6x π=-，22T ππ∴==， 令2[262x k πππ-∈-，2][26k x k ππππ+⇒∈-，]3k ππ+，k Z ∈． ∴函数的增区间为：[6k ππ-，]3k ππ+，k Z ∈（2）[0x ∈，]2π时2[66x ππ⇒-∈-，5]6π；∴当266x ππ-=-即0x =时，()1min f x =-，当262x ππ-=即3x π=时，()2max f x =．例3．（2022•浙江模拟）已知函数()(3cos )cos f x x x x m =++的最大值为2． （Ⅰ）求()12f π的值；（Ⅱ）当[0x ∈，]2π时，求[()1][()1]12y f x f x π=-+-的最值以及取得最值时x 的集合．【解析】解：（Ⅰ）2()(3cos )cos 3cos cos f x x x x m x x x m =++=++31cos212sin(2)262x x m x m π+=++=+++的最大值为2， 1122m ∴++=，可得12m =， ()sin(2)16f x x π∴=++，3()sin(2)1sin 11121263f ππππ∴=⨯++=+=+．（Ⅱ）当[0x ∈，]2π时，3113[()1][()1]sin(2)sin(2)(2cos2)(sin 22)126322y f x f x x x x x x x πππ=-+-=++=+ 22333122sin 2cos2sin 42x x x x x =+=， 当8x π=时，即{|}8x x x π∈=时，32max y += 当38x π=时，即3{|}8x x x π∈=时，32min y -=．变式1．（2022秋•六枝特区校级月考）已知函数11()sin 322f x x x =．（1）求()f x 的最小正周期和对称轴； （2）当[6x π∈，9)4π时，求()f x 的最大值和最小值． 【解析】解：（1）函数111()sin 3cos 2sin()2223f x x x x π==-；故函数的最小正周期为2412ππ=， 令1232x k πππ-=+，()k Z ∈，整理得523x k ππ=+，()k Z ∈． 故函数的对称轴方程为523x k ππ=+，()k Z ∈． （2）由于[6x π∈，9)4π时， 所以119[,)23424x πππ-∈-，故12sin()[23x π-∈．当6x π=时，函数取得最小值为2，当56x π=时，函数取得最大值为1． 变式2．已知函数cos 4()22)4x f x x π=++，求： （1）函数的周期；（2）当x 为何值时函数()f x 取得最大值？最大值为多少？ 【解析】解：（1）cos 4()22)4x f x x π=++2222(cos2sin 2)22x x =-sin2cos22x x =++2)24x π=++，故22T ππ==；（2）令22()42x k k z πππ+=+∈，解得：8x k ππ=+，故()8x k k z ππ=+∈时，()f x 取得最大值22题型二：二次函数型，形如2sin sin y a x b x c =++例4．（2022秋•梅州期末）函数2cos sin y x x =-+的值域为( ) A ．[1-，1]B ．5[4-，1]-C ．5[4-，1]D ．[1-，5]4【解析】解：2cos sin y x x =-+， 2sin sin 1x x =+-， 215(sin )24x =+-，当12sinx =-时，54min y =-．当sin 1x =时95.144max y =-=， 故函数的值域为：5[,1]4-．故选：C ．例5．（2022春•衡水期中）函数2sin sin 1y x x =+-的值域为( ) A ．[1-，1]B ．5[4-，1]-C ．5[4-，1]D ．[1-，54【解析】解：2sin sin 1y x x =+-，令sin x t =，则有21y t t =+-，[1t ∈-，1]， 函数的对称轴：12t =-，开口向上，当12t =-及1t =时，函数取最值，代入21y t t =+-可得5[4y ∈-，1]．故选：C ．例6．（2022•湖南一模）函数11cos2sin 22y x x =-+-的值域为( )A ．[1-，1]B ．5[4-，1]C ．5[4-，1]-D ．[1-，5]4【解析】解：函数222111115cos2sin (12sin )sin sin sin 1(sin )222224y x x x x x x x =-+-=--+-=+-=+-1sin 1x -，∴当1sin 2x =-时，函数y 有最小值为54-．sin 1x =时，函数y 有最大值为1，故函数y 的值域为5[4-，1]，故选：B ．变式3．（2022秋•天河区校级月考）函数()cos26cos()2f x x x π=+-的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】解：2()cos26cos()2sin 6sin 12f x x x x x π=+-=-++，令sin t x =，[1t ∈-，1]，则函数()f x 可转化为关于t 的二次函数2261y t t =-++，[1t ∈-，1]， 图象开口向下，对称轴为32t =， 所以函数2261y t t =-++在[1-，1]上单调递增， 所以当1t =时，函数取得最大值为5， 故选：B ．变式4．（2022•浙江）已知4k <-，则函数cos2(cos 1)y x k x =+-的最小值是( ) A ．1 B ．1-C ．21k +D ．21k -+【解析】解：2cos2(cos 1)2cos cos 1y x k x x k x k =+-=+--令cos t x =，则221(11)y t kt k t =+---是开口向上的二次函数，对称轴为14kx =-> 当1t =是原函数取到最小值1 故选：A ．变式5．（2022秋•崇川区校级期中）已知函数41()(sin cos )cos42f x m x x x =++在[0,]2x π∈时有最大值为72，则实数m 的值为 1 ．【解析】解：函数41()(sin cos )cos42f x m x x x =++21(12sin cos )cos42m x x x =++221(12sin 2sin 2)(12sin 2)2m x x x =+++-21(1)sin 22sin 22m x m x m =-+++． ①当1m =时，函数化为：12sin 212x ++．当sin21x =时，函数取得最大值，172122++=．满足题意． ②当1m >时，函数化为：21(1)(sin 2)121m mm x m m -++---，当sin21x =时，函数取得最大值，可得171222m m m -+++=，解得1m =，不满足题意． ③当12m时，[1,1]1m m ∈--，当sin 21m x m =--时，函数取得最大值，此时17212m m -=-，解得34m =，不满足题意． ④当112m <<时，sin21x =时函数取得最大值，此时有171222m m m -+++=，解得1m =不满足题意．综上，1m =． 故答案为：1．变式6．已知函数444()2(sin cos )(sin cos )f x x x m x x =+++在[0x ∈，)2π上的最大值为5，求实数m 的值．【解析】解：设sin a x =，cos b x =，且[0x ∈，)2π，则2222sin cos 1a b x x +=+=，1sin cos sin 22ab x x x ==，102ab∴； 444()2()()f x a b m a b ∴=+++222222222[()2](2)a b a b m a b ab =+-+++2224()(12)ab m ab =-++ 2224()[144()]ab m ab ab =-+++ 24(1)()42m ab mab m =-+++，当1m =时，()432sin 23f x ab x =+=+，在4x π=时取到最大值5，符合题意；当1m ≠时，21()4(1)[]12(1)1m f x m ab m m =-++---， 由抛物线性质，知：当1m >时，111()()4(1)42415242max f x f m m m m ==-⨯+⨯++=+=，解得1m =，不符条件，舍去； 当1m <时，若102(1)2mm -，则102m ， 1()[]152(1)1max m f x f m m ==-=--，解得34m =，不符条件，舍去；若112m <<，则1()()4152max f x f m ==+=，解得1m =，不符条件，舍去；若0m <，则()(0)25max f x f m ==+=，解得3m =，不符条件，舍去；综上，只有一个解1m =；即()f x 在[0x ∈，)2π上的最大值为5时，1m =．题型三：形如2(sin cos )(sin cos )(sin cos )y a x x b x x c x x =++++⋅例7．（2022春•习水县校级期末）函数sin cos sin cos y x x x x =++，[0x ∈，]3π的最大值是 122．【解析】解：令sin cos 2)4t x x x π=+=+，[0x ∈，]3π，可得[44x ππ+∈，7]12π，1sin()[42x π∴+∈，1]，2[2t ∴∈2]，21sin cos 2t x x -=． ∴函数2211sin cos sin cos (1)122t y x x x x t t -=++=+=+-，故当2t =y 取得最大值为122，故答案为：122．例8．求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值．【解析】解：令sin cos 2)4t x x x π=+=+，则22t-，则21sin cos 2t x x -=，故22111(1)1(22)222y t t t t=+-=+--，对称轴是1t =-，故当2t =y 有最大值122．例9．（2022春•香洲区校级期中）已知sin cos x x t -= （Ⅰ）用t 表示33sin cos x x -的值；（Ⅱ）求函数sin cos sin cos y x x x x =-+，[0x ∈，]π的最大值和最小值．（参考公式：3322()())a b a b a ab b -=-++【解析】解：由sin cos x x t -=，得212sin cos x x t -=，即21sin cos 2t x x -=，（Ⅰ）233313sin cos (sin cos )(1sin cos )(1)22t t t x x x x x x t ---=-+=+=； （Ⅱ）由题设知：2)4t x π=-，3444x πππ--，2sin()14x π-， 2221111(1)12222t y t t t t -∴=+=-++=--+，且[1t ∈-，2]，∴当1t =时，1max y =；当1t =-时，1min y =-．变式7．已知[6x π∈-，]2π，求函数(sin 1)(cos 1)y x x =++的最大值和最小值．【解析】解：函数(sin 1)(cos 1)y x x =++ sin cos sin cos 1x x x x =+++，令sin cos 2)4t x x x π=++，[6x π∈-，]2π，[412x ππ∴+∈，3]4π，62sin()[4x π-∴+∈1]， 31[t -∴∈2]， 又212sin cos t x x =+，21sin cos 2t x x -∴=， 22111(1)22t y t t -∴=++=+，对称轴：1t =-， 区间31[-，2]在对称轴的右边，为递增区间． 213123(2min y ++∴==， 21322(21)22max y +==． 变式8．设sin cos a x x =，sin cos b x x =+．（1）求a ，b 的关系式；（2）若(0,)2x π∈，求sin cos sin cos y x x x x =++的最大值．【解析】解：（1）sin cos b x x =+，22(sin cos )12sin cos 12b x x x x a ∴=+=+=+；（2）由（1）21(1)2a b =-，2)(14b x π=+∈2]．2211(1)(1)122y a b b b b =+=-+=+-，2b ∴=sin cos sin cos y x x x x =++的最大值为122． 题型四：分式结构，形如sin cos a x by c x d+=+例10．求函数3(sin 2)5sin 2x y x +-=+的值域．【解析】解：由3(sin 2)553sin 2sin 2x y x x +-==-++． 当sin 1x =时，43max y =， 当sin 1x =-时，2min y =-．∴函数的值域为4[2,]3-．例11．已知[0x ∈，2)π，求函数1cos sin 2xy x -=+的值域．【解析】解：1cos sin 2xy x -=+sin 21cos y x y x ∴+=-， sin cos 12y x x y ∴+=-，∴21)12y x y θ++=-，其中2tan 1yθ=+2sin()1x yθ∴++，[0x ∈，2)π， (,2)x θθπθ∴+∈+ 1sin()1x θ∴-+， 212111y y-∴-+，解得403y即函数的值域为[0，4]3．例12．求函数sin 2sin 1x y x =+，[6x π∈，]2π的值域．【解析】解：函数11sin sin 11222sin 12sin 124sin 2x x y x x x +-===-+++，[6x π∈，]2π 可得4sin 2[4x +∈，6]，111[,]4sin 264x ∈+，sin 11[,]2sin 143x y x =∈+．变式9．用至少2种方法求函数sin cos 2xy x =-的值域．【解析】解：方法1: cos 20x -≠，(cos 2)sin y x x ∴-= sin cos 2x y x y ⇔-=- ⇔21)2y x y θ++=-⇔2sin()1x y θ+=+，sin()[1x θ+∈-，1]，∴22111y y --+，解得333y ， ∴函数的值域为：33[． 方法22222tan212tan222:11322212x x x tan y x x tan tan xtan +==--+-+，令tan ()2x t t R =∈，则2213ty t =-+， 当0t =时，0y =， 当0t ≠时，213y t t=-+，13(,23][23,)t t+∈-∞-+∞，33[y ∈⋃． ∴函数的值域为：33[． 故答案为：33[．变式10．（1）求cos 2cos 1xy x =+值域（2）求1sin 3cos xy x+=+的值域．【解析】解：（1）由cos 2cos 1xy x =+可得，cos 12y x y =-，由于1cos 1x -，即为||112yy-， 即2(1)(31)0(12)y y y ---，解得1y 或13y， 则值域为(-∞，1][13，)+∞；（2）1sin 3cos xy x+=+，3cos 1sin y y x x ∴+=+，即sin cos 31x y x y -=-，∴21)31y x y θ++=-，2sin()1x yθ∴++，又1sin()1x θ-+， 231111y y-∴-+，解得304y ， 即函数1sin 3cos x y x +=+的值域是[0，3]4．【过关测试】 一．选择题1．（2022秋•湖州期末）函数sin (cos sin )y x x x =-，x R ∈的值域是( ) A ．1[2-，3]2B ．1212[22C ．31[,]22-D ．1212[22-- 【解析】解：函数211121sin (cos sin )sin cos sin sin 2cos2)22242y x x x x x x x x x π=-=-=-+=+-．1sin(2)14x π-+∴2121222y --． 故选：D ．2．函数sin(2)()3y x x R π=-∈的值域为( )A ．[1-，1]B ．[2-，2]C ．1[2-，1]2D ．(1,1)-【解析】解：函数sin(2)()3y x x R π=-∈的值域为[1-，1]，故选：A ．3．（2022春•渝中区校级期中）函数2sin sin 1()y x x x R =-+∈的值域是( ) A ．3[4，3]B ．[1，2]C ．[1，3]D ．1[2，3]【解析】解：令sin x t =，则22131()24y t t t =-+=-+，[1t ∈-，1]，由二次函数性质，当12t =时，y 取得最小值34．当1t =-时，y 取得最大值3，3[4y ∴∈，3]故选：A ．4．（2022秋•武冈市校级期中）函数23()sin 3cos ,([0,])42f x x x x π=-∈的最大值是( )A ．1B 334C ．334- D ．14【解析】解：2231()3cos 3cos 44f x sin x x cos x x =-=-+， 令cos t x =，[0x ∈，]2π，cos [0t x ∴=∈，1]，则原函数化为2134y t t =-+，其对称轴方程为3t =， ∴当3t =时，y 有最大值为1． 故选：A ．5．（2022秋•鄂尔多斯期中）设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos (θ= )A 25B 5C ．25D ．5 【解析】解：由题意可得()sin 2cos 5()555f θθθθθ=-=∴155θθ=．再结合22sin cos 1θθ+=， 求得sin 5θ=25cos 5θ== 故选：C ．6．（2022秋•贵阳期末）当02x π<<时，函数2228()sin 2cos x sin xf x x +=的最小值为( )A ．2B ．23C ．4D ．43【解析】解：当02x π<<时，tan 0x >，∴函数2222282cos 8sin 11()4tan 24tan 4sin 22sin cos tan tan cos x sin x x x f x x x x x x x x++===+⨯，当且仅当1tan 2x =时，取等号， 故()f x 的最小值为4， 故选：C ．7．（2022秋•镜湖区校级期末）已知函数2()sin 2sin xf x x =+，则()f x 的最大值为( )A ．2-B ．1-C ．0D ．1【解析】解：24()sin 24sin 2sin 2sin x f x x x x ==++-++，令sin 2t x =+，[1t ∈，3]，则44y t t=+-， 由对勾函数的性质可知44y t t =+-在[1，2]上单调递减，在(2，3]上单调递增， 当1t =时，1y =，3t =时，13y =， 所以函数()f x 的最大值为1． 故选：D ．8．（2022秋•诸暨市校级月考）已知当4x π=-时，函数()sin cos f x a x x =+取到最大值，则3()4f x π+是()A ．奇函数，在0x =时取到最小值B ．偶函数，在0x =时取到最小值C ．奇函数，在x π=时取到最小值D ．偶函数，在x π=时取到最小值【解析】解：由于当4x π=-时，函数()sin cos f x a x x =+取到最大值，故2221a +=+1a =-， 故()cos sin 2)4f x x x x π=-+，所以3()cos()cos 4f x x x ππ+=+=-，故函数3()4f x π+为偶函数，在0x =时，函数取得最小值1-． 故选：B ． 二．填空题9．（2022春•南关区校级期中）函数21sin 2sin 2y x x =+，x R ∈的值域是 ．【解析】解：函数2111cos2122212sin 2sin sin 2(2))222224x y x x x x x x π-=+=+==-，1sin(2)14x π--，222sin(2)242x π-， ∴12122222y -+， 故函数的值域为2121[]22+， 故答案为2121[]22+． 10．（2022•江西）设()33cos3f x x x =+，若对任意实数x 都有|()|f x a ，则实数a 的取值范围是 ． 【解析】解：不等式|()|f x a 对任意实数x 恒成立， 令()|()|33cos3|F x f x x x ==+， 则()max a F x ．()3sin3cos32sin(3)6f x x x x π=+=+2()2f x ∴- 0()2F x ∴ ()2max F x =2a ∴．即实数a 的取值范围是2a 故答案为：2a ．11．（2022秋•南昌期末）若6x π=是函数()3sin 2cos2f x x a x =+的一条对称轴，则函数()f x 的最大值是 ．【解析】解：2()3sin 2cos 29)f x x a x a x θ=+=++（其中tan )3aθ=，又6x π=是函数的一条对称轴，262k ππθπ∴⨯+=+，即6k πθπ=+，k Z ∈．由3tan 3tan()3tan 366a k ππθπ==+==299323a ++=∴函数()f x 的最大值是3故答案为：2312．（2022秋•阆中市校级月考）函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的值域为 ． 【解析】解：22317()cos23cos 2cos 3cos 12(cos )48f x x x x x x =--=--+=-++，1cos 1x -，∴当cos 1x =时，()4min f x =-，故函数()f x 的最小值为4-，∴当3cos 4x =-时，()f x 最大为178，故函数()f x 的最小值为178， ()f x ∴的值域为[4-，17]8． 故答案为：[4-，17]8． 13．函数(2sin )(2cos )y x x =+-的最大值是 ． 【解析】解：函数(2sin )(2cos )y x x =+- 42(sin cos )sin cos x x x x =+--，设sin cos t x x =-，则2)[24t x π-∈-2]；212sin cos t x x =-，21sin cos 2t x x -∴=， 2211342(2)222t y t t -∴=+-=++，当[2t ∈-2]时，函数y 单调递增； 2t ∴=y 取得最大值是9222． 故答案为：9222． 14．函数3sin xy 的值域是 ．【解析】解：由3sin xy =3cos 2x y x y +=，∴23)2y x y α++=，2sin()3x yα∴+=+2|13y+，解得11y -故答案为：[1-，1]．15．（2022•湖南）若(0,)2x π∈则2tan tan()2x x π+-的最小值为 ．【解析】解：12tan tan()2tan 2tan x x x xπ+-=+(0,)2x π∈，tan 0x ∴>，112tan 22tan 22tan tan x x x x ∴+⋅2tan x =时，等号成立） 故答案为：2216．（2022春•蚌埠期末）当02x π<<时，函数21cos28sin ()sin 2x xf x x ++=的最小值为 ．【解析】解：2221cos28sin 8sin 2cos 4sin cos ()4sin 22sin cos cos sin x x x x x x f x x x x x x+++===+当且仅当224sin cos x x =时等号成立． 故答案为：417．（2022秋•东城区期末）已知函数()sin 3f x x x =+，则()f x 的最大值为 ．【解析】解：函数()sin 3cos 2sin()3f x x x x π==+，()f x ∴的最大值为2，故答案为：2．18．（2022秋•台江区校级期末）当04x π<<时，函数221sin ()cos sin sin xf x x x x -=⋅-的最小值是 ． 【解析】解：222cos 1()sin cos sin tan tan x f x x x x x x==--． 当04x π<<时，tan (0,1)x ∈，2111tan tan 244x x⇒--=， ()4f x ∴．19．（2022秋•杭州期末）函数()2sin(2)6f x x π=-在[4x π∈-，]4π上的最大值为 ．【解析】解：[4x π∈-，]4π， 2(2)[63x ππ∴-∈-，]3π， 2sin(2)[26x π∴-∈-3]，∴函数()2sin(2)6f x x π=-在[4x π∈-，]4π3 3 三．解答题20．（2022春•石门县校级期末）已知函数()2)4f x x π=+，x R ∈．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的单调递增区间和单调递减区间；（3）当[0x ∈，]2π，求()f x 值域．【解析】解：（1）由解析式得3ω=， 则函数的最小正周期223T ππω==． （2）由232242k x k πππππ-++，k Z ∈，得323244k x k ππππ-+，k Z ∈，即2234312k k x ππππ-+，k Z ∈， 即函数的单调递增区间为2[34k ππ-，2]312k ππ+，k Z ∈， 由3232242k x k πππππ+++，k Z ∈， 得225312312k k x ππππ++，k Z ∈， 即函数的单调递减区间为2[312k ππ+，25]312k ππ+，k Z ∈． （3）当[0x ∈，]2π时，3[0x ∈，3]2π，3[44x ππ+∈，7]4π， 则当342x ππ+=时，函数()f x 取得最大值，此时()222f x π=，当3342x ππ+=时，函数()f x 取得最小值，此时3()222f x π==- 即()f x 值域为[2-2]．21．（1）求函数34cos(2)3y x π=-+，[3x π∈-，]6π的最大值和最小值及相应的x 值．（2）求函数2cos 2sin 2y x x =+-，x R ∈的值域．（3）若函数2()sin cos 2f x x a x =-++，[0x ∈，]2π的最小值为12，求a 的值．【解析】解：（1）34cos(2)3y x π=-+，[3x π∈-，]6π， 2[33x ππ+∈-，2]3π， ∴当203x π+=时取最小值，最小值为1-，即6x π=-，2233x ππ+=时取最大值，最大值为5，即6x π=，6x π∴=-时，y 取最小值为1-，6x π=时，y 取最大值为5；（2）2cos 2sin 2y x x =+-， 2sin 2sin 1x x =-+-，令sin x t =，[1t ∈-，1]，221y t t ∴=-+-，[1t ∈-，1]， 由二次函数图象可知，对称轴为1， y ∴在定义域[1-，1]上单调递增，y 的值域为[4-，0]，∴函数2cos 2sin 2y x x =+-，x R ∈的值域[4-，0]；（3）2()sin cos 2f x x a x =-++，[0x ∈，]2π，2()cos cos 1f x x a x ∴=++，[0x ∈，]2π，令cos x t =，[0t ∈，1]，2()1f t t at ∴=++，[0t ∈，1]， 由二次函数性质可知：0a <， 当对称轴12at =->，即2a <-时， ∴最小值为f （1）12=， 322a ∴=->-，不成立，当012a-，20a -， 当2at =-取最小值，2a ∴=-．22．（2022秋•南阳期中）已知函数22()2cos ()sin 3f x x x π=-+-．（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）若函数()()(0)2g x f x πϕϕ=+<<的图像关于点(,1)2π中心对称，求()y g x =在[,]63ππ上的值域．【解析】解：（1）22222131cos(2)cos 2cos sin 2sin 1cos 2211cos 21cos 21cos 233322()2cos ()sin 2223222222x x x x x x x x f x x x ππππ++-+-+---=-+-=--=--=--13cos 2211cos 2333313222cos 221(2sin 2)1)122423x x x x x x x x π-+-=--=+=++=++，即3())13f x x π++， 令222,232k x k k Z πππππ-++∈，解得5,1212k x k k Z ππππ-+∈，所以函数的单调递增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈． （2）因为33()())]12)133g x f x x x ππϕϕϕ=+=+++=+++， 又()g x 的图像关于点(,1)2π中心对称， 所以2,3k k Z ππϕπ++=∈，解得21,32k k Z πϕπ=-+∈， 因为02πϕ<<，所以3πϕ=，所以33())121g x x x π=++=+， 当[,]63x ππ∈时，22[,]33x ππ∈，所以3sin 2[x ∈，所以31()[1,]4g x ∈， 即()y g x =在[,]63ππ上的值域为31[1]4．23．（2022春•浦东新区校级期中）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =-． （1）求函数()y f x =的最小正周期和严格递减区间；（2）若()()1g x f x =+，[0,]2x π∈，求函数2()()2g x y g x =+的值域．【解析】解：（1）2()2sin cos 2cos sin 2(1cos2)2)14f x x x x x x x π=-=-+=--，所以最小正周期22T ππ==， 令2(242x k πππ-∈+，32)2k ππ+，k Z ∈，则3(8x k ππ∈+，7)8k ππ+，k Z ∈， 故最小正周期为π，严格递减区间为3(8k ππ+，7)8k ππ+，k Z ∈． （2）()()12)4g x f x x π=+-，因为[0,]2x π∈，所以2[44x ππ-∈-，3]4π，所以()[1g x ∈-2]，故2()2(()2)442[2()2()2()2g x g x y g x g x g x +-===-∈-+++，222]-+．24．（2022秋•硚口区期末）已知函数22()(sin cos )233f x x x x =+- （1）求()f x 的单调递增区间；（2）求函数()12y f x π=+，[0,]2x π∈的值域．【解析】解：（1）由三角函数公式化简可得： 1cos2()1sin 22332xf x x +=+-sin 23cos212sin(2)13x x x π=+=-+， 由222232k x k πππππ--+可得5,1212k x k k Z ππππ-+∈，()f x ∴的单调递增区间为：5[,],1212k k k Z ππππ-+∈；（2）由（1）可得()2sin(2)1126y f x x ππ=+=-+，2x π，∴52666x πππ--，∴1sin(2)126x π--，03y ∴∴函数的值域为：[0，3]25．（2022春•柳州期末）已知函数2()(sin cos )cos(2)16f x x x x π=+++-．求：（1）函数()f x 的最小正周期；（2）方程()0f x =的解集；（3）当[,]44x ππ∈-时，函数()y f x =的值域．【解析】解：（1）函数231()(sin cos )cos(2)11sin 2sin 2162f x x x x x x x π=+++-=+--sin 23sin(2)23x x x π==+，故它的最小正周期为22ππ=．（2）由()0f x =，可得sin(2)03x π+=，23x k ππ∴+=，k Z ∈， 求得26k x ππ=-，k Z ∈，故方程()0f x =的解集为{|26k x x ππ=-，k Z ∈}． （3）当[,]44x ππ∈-时，2[36x ππ+∈-，5]6π，1sin(2)[32x π∴+∈-，1]， 故函数()y f x =的值域为1[2-，1]． 26．（2022秋•汶上县校级月考）已知函数()2sin(2)6f x x aa R π=++∈，a 是常数 （1）求5()3f π的值 （2）若函数()f x 在[,]44ππ-3a 的值． 【解析】解：（1）()2sin(2)6f x x a π=++，a R ∈， 510()2sin()2336f a a πππ∴=++=-+⋯（3分） （2）因为[4x π∈-，]4π， 2[63x ππ∴+∈-，2]3π， 3sin(2)[6x π∴+∈，1]⋯（6分） 3()2a f x a ∴-+⋯（9分）即2max y a =+，3min y a =，由已知得323a a -++=31a ∴⋯（12分）27．（2022春•兴庆区校级期末）已知函数2()2cos 2222x x x f x =． （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[π-，0]上的值域．【解析】解：（1）211cos 2()2cos 22sin 2sin()222224x x x x f x x x π-=-=+， ()f x ∴的最小正周期为221ππ=． （2）[x π∈-，0]，3[44x ππ∴+∈-，]4π，sin()[14x π∴+∈-2，22sin()[14x π∴+-，0]，故()f x 的值域为2[1--． 28．求函数cos 21y x +- 【解析】解：函数cos 21y x =+-，sin 1cos 20x y x y y ∴-=+-=，即sin cos (21)1x y x y -=+， 21)(21)1y x y θ++=+，即2(21)1sin()1y x y θ-++=+． 根据|sin()|1x θ+，求得2(21)111y y -++，平方化简可得2(222)2(21)y y -， 即(1)0y y -，解得1y ，或0y ，即函数的值域为{|1x y ，或0}y ．。
三角函数的最大值与最小值
求函数的最大值与最小值是高中数学中的重要内容，也是高考中的常见题型，本文对三角函数的求最值问题进行归类研究，供同学们借鉴。
一、化成的形式【例1】在直角三角形中，两锐角为A和B，求的最大值。
【解析】由，得，则当时，有最大值。
【例2】求函数在上的最大值和最小值。
【解析】由，得，得，则当x=0时，；当时，【点评】这类题目解决的思路是把问题化归为的形式，一般而言，，但若附加了x的取值范围，最好的方法是通过图象加以解决。
例2中，令，画出在上的图象（如图1），图1不难看出，即。
应注意此题容易把两个边界的函数值和误认为是最大值和最小值。
二、形如的形式【例3】求函数的最大值和最小值。
【解析】由已知得，即，所以因，即解得，故【点评】上述利用正（余）弦函数的有界性，转化为以函数y为主元的不等式，是解决这类问题的最佳方法。
虽然本题可以使用万能公式，也可以利用圆的参数方程和斜率公式去求解，但都不如上述解法简单易行。
有兴趣的同学不妨试一试其他解法。
三、形如的形式【例4】求函数的最大值和最小值。
【解析】由，得，，，即【点评】此题是利用了分离分母的方法求解的。
若用例3的解法同样可求，有兴趣的同学不妨试一下，并作解法对比。
四、形如的形式【例5】求的最小值。
【解析】设，则。
从图2中可以看到在区间上是减函数（也可以利用函数的单调性定义来证明这一结论）。
当时，【点评】若由，可得最小值是错误的。
这是因为当等号成立时，，即是不可能的。
若把此题改为就可以用不等式法求解了，同学们不妨琢磨一下。
五、利用与之间的关系【例6】求函数的最大值和最小值。
【解析】设，则，且。
由于，故当t=1时，；当时，。
【点评】这三者之间有着相互制约，不可分割的密切联系。
是纽带，三者之间知其一，可求其二。
令换元后依题意可灵活使用配方法、重要不等式、函数的单调性等方法来求函数的最值。
应该注意的是求三角函数的最值方法有多种，像配方法、不等式法等，这里不再赘述，有兴趣的同学不妨自己探讨一下。
高中数学解题方法系列：三角函数最值问题的6种方法(按题型分类版)
高中数学解题方法系列：三角函数最值问题的 6 种方法（按题型分类版）三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现。
其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中， 作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决（比如参数方程）。
题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下几种类型。
掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。
1．y=asinx+bcosx 型的函数特点是含有正余弦函数，并且是一次式。
解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。
应用课本中现成的公式即可： y= tan φ= basin(x+φ )， 其中例 1 已知函数 f (x )=2cos x sin(x + π)－3 sin 2x +sin x cos x (1)求函数 f (x )的最小正周期； (2)求 f (x )的最小值及取得最小值时相应的 x 的值； (3)若当 x ∈［ π ， 7π］时，f (x )的反函数为 f －1(x )，求 f -－1(1)的值.12 12解：(1)f (x )=2cos x sin(x + π)－ 3=2cos x (sin x cos π+cos x sin π)－sin 2x +sin x cos x sin 2x +sin x cos x 3 3=2sin x cos x + cos2x =2sin(2x + π)3∴f (x )的最小正周期 T =π (2)当 2x + π=2k π－ π，即 x =k π－ 5π (k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2.3 2 12 (3)令 2sin(2x + π)=1，又 x ∈［ π, 7π］,3 2 2 ∴2x + π∈［ π, 3π］,∴2x + π= 5π，则3 3 2 3 6x = π，故 f -－1(1)= π.4 42．y=asin 2x+bsinxcosx+cos 2x 型的函数。
cosxcos2xcos3x的二阶导数
cosxcos2xcos3x的二阶导数在高等数学中，求导是一个重要而又基本的概念，也是重要的数学操作。
了解函数的求导也是需要经常掌握的基础知识。
这里，我们就举一个例子讨论cosxcos2xcos3x的二阶导数的求取方法。
首先，定义我们要讨论的函数，即cosxcos2xcos3x，它由三个cos数之积构成。
假定我们在求解这个函数的二阶导数时，x为一定的常数，我们可以把它写为f(x)。
那么可以得出：f(x)=cosxcos2xcos3x接下来，要求解这个函数的二阶导数，首先需要求导，即求出一阶导数f(x)，我们先来看f(x)的形式：f(x)=-3cosxcos2xsin3x-2cos2xcos3xsin2x-cos3xcosxsinx 由于f(x)的形式还是比较复杂，所以我们就以计算f(x)的形式来看一下这个函数的二阶导数的求取方法。
要求f(x)，我们需要先求出一阶导数f(x)，把它代入二阶导数f(x)中：f(x)=-6cosxcos2xcos3x*[-3cosxsin3x-2cos2xsin2x-cos3xsinx]-6cosxcos2xcos3x[3sinxcos2x-2cosxsin2x-sin3xcosx] 由于是求恒定x值处的导数，这里把x取恒定值后，最终得出： f(x)=-6cos2xcos3x(3sinxcosh2x-2cosxsin2x-sin3xcosx) 可以看到，我们已经求得了cosxcos2xcos3x函数的二阶导数。
通过本文，我们学习了求解cosxcos2xcos3x函数的二阶导数的求取方法。
整个求导的过程仍然有许多基础的概念，比如函数的定义以及一阶导数及二阶导数的定义等。
这些概念都是基础数学知识，不仅是本文所讨论的某一特定问题，在求解其他函数的导数的时候也是一样的。
在学习的过程中要先了解这些基础概念，这样才能更好地掌握求导这项重要知识。
cosxcos2xcos3x的二阶导数
cosxcos2xcos3x的二阶导数二阶导数是一门数学中重要的概念，它主要应用于在函数的点处的分析，可以用来判断函数在某处是增加还是减少。
本文将讲解在二阶导数中最基本的概念，也就是我们以《cos x cos2x cos3x的二阶导数》为标题进行讨论的概念。
首先要了解什么是二阶导数，它是表示函数变化率的一种求导方法，是一种求导方法，它通过对函数的第二次头梯度进行求导来表示函数在某点的变化率。
因此，要求二阶导数，必须先求出函数的一阶导数，在此之后再求出函数的二阶导数。
其次，要了解二阶导数的具体运算方法，其对应的公式为：d2y/dx2=2cos2xcos3x，其中，y=cosxcos2xcos3x，则其求导过程为：通过求出一阶导数，即dy/dx=sinxcos2xcos3x，可以进一步求出二阶导数，即d2y/dx2=2cosxsin2xcos3x。
再次，要了解二阶导数的实际应用，它经常用于函数的点处分析，这种分析可以帮助我们判断函数在某处是增加还是减少。
例如，当二阶导数的值大于0时，表示函数在该点处是增加的；当二阶导数的值小于0时，表示函数在该点处是减少的。
最后，要了解cosxcos2xcos3x的二阶导数，根据上面讨论的公式，我们可以推出：cosxcos2xcos3x的二阶导数为：d2y/dx2=2cosxsin2xcos3x。
综上所述，二阶导数是一个重要的概念，也是数学中的一个常用概念，它应用于函数的点处分析，用来检验函数在某处是增加还是减少。
我们通过本文讨论以《cosxcos2xcos3x的二阶导数》为标题的概念，从定义开始详细地讲解了二阶导数的概念，以及它的公式、用途、特征，最后讨论了求解cosxcos2xcos3x的二阶导数，即d2y/dx2=2cosxsin2xcos3x。
cosxcos2xcos3x的二阶导数
cosxcos2xcos3x的二阶导数本文介绍了cosxcos2xcos3x的二阶导数的具体内容。
首先，本文介绍了cosxcos2xcos3x函数及其性质，然后介绍了它的一阶导数，随后本文介绍了cosxcos2xcos3x的二阶导数的具体计算过程，并讨论了它在特定情况下的特殊性。
最后，本文举例说明了如何应用cosxcos2xcos3x的二阶导数。
cosxcos2xcos3x是一种多变量函数，它的输入参数有三个，即x、2x和3x。
因此，cosxcos2xcos3x可以用其三个变量之间的乘积表示，即：cosxcos2xcos3x=cos(x)cos(2x)cos(3x)根据微积分的连续性和可微性的定义，cosxcos2xcos3x的一阶导数可以表达为：cosxcos2xcos3x=sin(x)cos(2x)cos(3x)cos(x)sin(2x)cos(3x)cos( x)cos(2x)sin(3x)cosxcos2xcos3x的二阶导数可以用二阶偏导数的乘积来表达，其具体表达式为：cosxcos2xcos3x=cos(x)cos(2x)cos(3x)+sin(x)sin(2x)cos(3x)+si n(x)cos(2x)sin(3x)+cos(x)cos(2x)sin(3x)+cos(x)sin(2x)cos(3x )+sin(x)sin(2x)sin(3x)这个表达式表明，cosxcos2xcos3x的二阶导数是一个负值，因为它的第一项为负值。
cosxcos2xcos3x的二阶导数具有一些特殊的性质。
当三个变量的取值都为零时，它的二阶导数为零，这是由于它的第一项为负值，所以其二阶导数的值也为零。
而当变量取值不为零时，它的二阶导数的值将会大于或小于零，因此该函数的二阶导数的值就可能达到介于零和零之间的值。
cosxcos2xcos3x的二阶导数也可以用来判断函数在某一点处的极值情况。
如果函数在某一点处的二阶导数大于零，那么说明该点处函数为极小值；而如果函数在某一点处的二阶导数小于零，则说明该点处的函数为极大值。
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关于cosx+cos2x+cos3x的最值的求法及其拓展
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高考中的导数：参数的取值范围问题（下）
高考中的导数：卡拉马特(J．Karamata)不等式
几何-对数-算术平均值不等式的九种证明方法
高考中的导数：几何-对数-算术平均不等式
高考中的导数：Taylor公式
高考中的导数：一次函数
高考中的导数：二次函数
高考中的导数：三次函数
高考中的导数：四次函数
杨志明：高考中的三角函数与导数综合题
杨志明：求导法在一类具有高等数学背景的数列不等式中的应用
杨志明：高考中的数列与导数综合题
【他山之石】贾广素：当导数遇上三角（外一篇）
高考中的导数：函数的零点问题
【他山之石】以函数为主题的概率与统计典型考题分析与考前复习方略
【他山之石】函数主题的典型考题分析与考前复习方略（共41张PPT）
【他山之石】2020届高考数学考前复习备考策略（29张 PPT）【他山之石】近三年高考数学立体几何命题规律与2020备考策略(共102张PPT)
浅谈高三数学二轮复习的教与学 (共21张PPT)
杨志明：高考中的二项分布与超几何分布试题分类讲解
杨志明：高考中的计数问题
利用正、余弦函数的有界性解题（上）
利用正、余弦函数的有界性解题（下）
三角函数中的逆向问题
“整体思想”在两角和与差的正弦与余弦公式中的运用
杨志明：两角和的正切公式及其应用
杨志明：矩形的内接三角形问题探讨
杨志明：如何学好三角变换
杨志明：三角形面积公式30式
三角形面积公式110式（英文版）
两角和与差的余弦、正弦公式的推导方法16种
杨志明----椭圆与双曲线性质的对偶113条----椭圆
杨志明----椭圆与双曲线性质的对偶113条----双曲线。