高考数学资料——5年高考题、3年模拟题分类汇编专题_空间向量在立体几何中的应用

第三节空间向量在立体几何中的应用
一、填空题
1. 若等边的边长为，平面内一点知足，则_________
2．在空间直角坐标系中，已知点 A（ 1，0， 2）， B(1 ， -3 ， 1) ，点 M在 y 轴上，且 M到 A 与
到 B 的距离相等，则 M的坐标是 ________。

【分析】设由可得故
【答案】 (0,-1 ， 0)
二、解答题
3.（本小题满分 12 分）
如图，在五面体ABCDEF中， FA 平面 ABCD, AD（II ）证明：，
（I II ）
又由题设，平面的一个法向量为
4．（此题满分15 分）如图，平面平面，
是认为斜边的等腰直角三角形，分别为，
，的中点，，．
（I ）设是的中点，证明：平面；
（II ）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离．
证明：（ I ）如图，连结 OP，以 O为坐标原点，分别以 OB、 OC、 OP所在直线为轴，轴，轴，
成立空间直角坐标系 O，
则，由题意得，因，所以平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，所以有平面
6.（本小题满分 12 分）
如图，已知两个正方行ABCD 和 DCEF不在同一平面内，M， N 分别为 AB， DF的中点。

（I）若平面 ABCD ⊥平面 DCEF，求直线 MN与平面 DCEF所成角的正当弦；
（I I ）用反证法证明：直线 ME 与 BN 是两条异面直线。

设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以 D 为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为 x,y,z轴
正半轴成立空间直角坐标系如图.
则 M（ 1,0,2 ） ,N(0,1,0),可得=(-1,1,2).
又 =（ 0， 0， 2）为平面DCEF的法向量，
可得cos(,)=·
DCEF所成角的正弦值为
所以MN与平
面
cos · 6 分
( Ⅱ ) 假定直线ME与 BN共面，8 分
则 AB平面 MBEN，且平面 MBEN与平面 DCEF交于 EN
由已知，两正方形不共面，故AB平面 DCEF。

又AB12分
7.（13 分）
如图，四边形ABCD是边长为1 的正方形，，
，且 MD=NB=1， E 为 BC的中点
（1）求异面直线 NE与 AM所成角的余弦值
（2）在线段 AN上能否存在点 S，使得 ES平面 AMN？若存在，求线段 AS的长；若不存在，请说明原因
17.分析：（1）在如图，以 D 为坐标原点，成立空间直角坐标
依题意，得。

，
所以异面直线与所成角的余弦值为.A
（2）假定在线段上存在点，使得平面.
,
可设
又.
由平面，得即
故，此时 .
经查验，当时，平面.
故线段上存在点，使得平面，此时.
8.（本小题满分 12 分）
如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面
（I）证明：
（I I ）设二面角为 60°，求与平面所成的角的大小。

剖析一：求与平面所成的线面角，只要求点到面的距离即可。

19．（本小题满分12 分，（Ⅰ）问 5 分，（Ⅱ）问7 分）
如题（ 19）图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，．求：
（Ⅰ）点到平面的距离；
（Ⅱ）二面角的大小．
（Ⅰ）如答（ 19）图 2，以 S(O)为坐标原点，射线 OD,OC分别为 x 轴， y 轴正向，成立空间坐标系，设，因平面
即点 A 在 xoz 平面上，所以
又
因 AD(Ⅱ ) 易知 C(0,2,0) ， D(,0,0). 因 E 为 BS的中点 .
BCS为直角三角形,
知
设 B(0,2, ) ，＞ 0，则＝ 2，故 B（ 0，2， 2），所以 E（ 0，1， 1） .
在 CD上取点 G，设 G（），使 GE⊥ CD .
由故
①
又点 G在直线 CD上，即，由 =（），则有②
联立①、②，解得G＝,
.故=. 又由 AD⊥ CD，所以二面角E－ CD－A 的平面角为向量与向量所成的角，记此角为
因为 =，, 所以
故所求的二面角的大小为.
作于，连，则，为二面角的平面角，. 不如设，则 . 在中，由，易得.
设点到面的距离为，与平面所成的角为。

利用，可求得，又可求得
即与平面所成的角为
剖析二：作出与平面所成的角再行求解。

如图可证得，所以面。

由剖析一易知：四边形
为正方形，连，并设交点为，则，为在面内的射影。

以下略。

剖析三：利用空间向量的方法求出头的法向量，则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。

详细解法详见高考试题参照答案。

传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江总之在当前，立体几何中的两种主要的办理方法：
山的情况。

命题人在这里必定会兼备两方的利益。

9．（本小题共14 分）
如图，四棱锥的底面是正方形，，点 E 在棱 PB上.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当且 E 为 PB的中点时，求AE 与
平面 PDB所成的角的大小.
【解法 2】如图，以D为原点成立空间直角坐标系，
设
则，
（Ⅰ）∵，
∴，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴ AC⊥平面PDB，
∴平面 .
（Ⅱ）当且 E 为 PB的中点时，，
设 AC∩BD=O，连结 OE，
由（Ⅰ）知 AC⊥平面 PDB于 O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∵，
∴，
∴，即 AE与平面 PDB所成的角的大小为.
10.（本小题满分 13 分，（Ⅰ）小问 7 分，（Ⅱ）小问 6 分）
如题（18）图，在五面体ABCDEF中，AB 四边形 ABFE为平行四边形， FA⊥平面 ABCD，FC=3， ED=，求：
（Ⅰ）直线AB到平面 EFCD的距离：
（Ⅱ）二面角F-AD-E 的平面角的正切值，
18.（本小题满分 12 分）如图
4，在正三棱柱中，
D是的中点，点 E 在上，且。

（I ）证明平面平面
（II ）求直线和平面所成角的正弦值。

解（ I ）如下图，由正三棱柱的性质知平面
又 DE平面 ABC，所以 DEAA.
而 DEAE。

AAAE=A 所以 DE平面 AC CA，又 DE平面 ADE，故平面 ADE平面 AC CA。

解法 2 如下图，设 O使 AC的中点，以 O为原点成立空间直角坐标系，不如设 A A=，
则 AB=2，有关各点的坐标分别是
A(0,-1,0)，B（，0，0），C（0，1，）， D （， - ，）。

易知 =( ，1， 0) ， =(0 ，2，) ， =( ，- ，）
设平面 ABC的法向量为n=（ x， y， z）, 则有
解得 x=-y ， z=- ，
故可取 n=(1 ， - ， ) 。

所以， (n ·)=== 。

由此即知，直线AD和平面 AB C 所成角的正弦值为。

11.（本小题满分 12 分）
如图 3，在正三棱柱ABC-中，AB=4, A =, 点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE
（Ⅰ）证明：平面平面 ;
（Ⅱ）求直线AD和平面所成角的正弦值。

解法 2 如下图，设 O是 AC的中点，以 O为原点成立空间直角坐标系，则有关各点的
坐标分别是 A(2,0,0,), .(2,0, ), D(-1, ), E(-1,
易知 =（ -3 ，， - ）， =（ 0， - ，0）， =（ -3 ，， 0）
设 n=（ x ，y ， z ）是平面 DE 的一个法向量，则
解得
故可取 n=（ ,0,-3 ，）于是
uuur
uuur
n ? AD
cos n, AD
uuur
n ? AD
=
由此即知，直线 AD 和平面 DE 所成的角是正弦为
12．（本小题满分 12 分）
在四棱锥中，底面是矩形，平面， ，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点
.
（ 1）求证：平面⊥平面；
（ 2）求直线与平面所成的角的大小；
（ 3）求点到平面的距离 .
方法二：
（ 1）同方法一；
（ 2）如下图，成立空间直角坐标系，则， ，， ，，；设平面的一个法向量，由可得：，令，则。

设所求角为，则， N
g
所以所求角的大小为。

（ 3）由条件可得， . 在中， , 所以 , 则 , ，所以所求距离等于点到平面距离的，设点到平面距离为则，所以所求距离为。

O
g
19（本小题满分 12 分）
如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互
相垂直，△是等腰直角三角形，
（ I ）求证：；
（ I I ）设线段的中点为，在直线上能否存在一点，使得？若存在，请指出点的地点，并证明你的结论；若不存在，请说明原因；
（ I II ）求二面角的大小。

( Ⅰ ) 因为△ ABE 为等腰直角三角形 ,AB=AE,
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AE AB.
ABEF ABCD,AE ABEF,
ABEF∩ ABCD=AB,
AE ABCD.
AE AD.
,AD,AB,AE,A,A-xyz.
AB=1, AE=1 B 0 1 0 D(1,0,0),
E(0,0,1),C(1,1,0).
FA=FE,AEF = 45 °,
AFE= 90°.
.
,,.
,.
EF BE, EF BC.
BE BCE,BC∩ BE=B ,
EF BCE.
() M ( 0,0, ),M, M AE
P(1,,0).
,PM BCE.
=,
· =·=0
PM FE,EF BCE PM
PMM BCE.
( )BDF= x,y,z.BCE
8
y=1x=1 z=3 ABD
F— BD— Aarccos12 14.14 , ,
2009
2005— 2008
解答题
1.（2008 全国Ⅱ19）（本小题满分12 分）如图，正四棱柱中，，点在上且．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．
认为坐标原点，射线为轴的正半轴，
成立如下图直角坐标系．依题设，．
，
．
（Ⅰ）证明因为，，
故，．
又，
所以平面．
（Ⅱ）解设向量是平面的法向量，则
，．
故，．
令，则，，．
等于二面角的平面角，
．
所以二面角的大小为．
2.（ 2008 安徽）如图，在四棱锥中，底面四边长
为 1的菱形， ,,,为
的中点，为的中点
（Ⅰ）证明：直线；
（Ⅱ）求异面直线AB与 MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点 B 到平面OCD的距离。

作于点 P,如图,分别以 AB, AP, AO所在直线
为轴成立坐标系
,
(1)证明
设平面 OCD的法向量为,则
即
取, 解得
(2)解设与所成的角为 ,
,与所成角的大小为 .
(3)解设点B 到平面OCD的距离为，
则为在向量上的投影的绝对值 ,
由 , 得 . 所以点B到平面OCD的距离为
3.（ 2008 湖南 17 ）如下图，四棱锥P- ABCD的底面
D
1C
1
A1B1
E z
D C
A B
D1C
1
A1B
1
E
D C y
A B
x
ABCD是边长为1的菱形，∠ BCD＝60°， E 是 CD
的中点， PA⊥底面 ABCD， PA＝2.
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面 PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面 PBE所成二面角（锐角）的大小.
如下图，以A为原点，成立空间直角坐标系. 则有关各点的
坐标分别是A（0，0，0）， B（1，0，0），
P（ 0，0， 2） ,
（Ⅰ）证明因为，
平面 PAB的一个法向量是，
所以共线 . 进而BE⊥平面PAB.
又因为平面PBE，
故平面 PBE⊥平面 PAB.
(Ⅱ)解易知
设是平面 PBE的一个法向量，则由得
所以
设是平面 PAD的一个法向量，则由得所以故可取
于是，
故平面 PAD和平面 PBE所成二面角（锐角）的大小是
4.（ 2008 福建 18）如图，在四棱锥P-ABCD中，则面 PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面 ABCD为直角梯形，
此中 BC∥ AD, AB⊥AD, AD=2AB=2BC=2, O为 AD中点.
（Ⅰ）求证： PO⊥平面 ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PD与 CD所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD上能否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明原因 .
（Ⅰ）证明在△ PAD中 PA=PD, O为 AD中点，所以 PO⊥AD,
又侧面⊥底面, 平面平面= ,平面，PAD ABCD ABCDAD PAD 所以 PO⊥平面 ABCD.
(Ⅱ)解以为坐标原点，的方向分别为
x 轴、
y
轴、
O
z 轴的正方向，成立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),
所以
所以异面直线PB与 CD所成的角是arccos ，
( Ⅲ ) 解假定存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，由(Ⅱ)知
设平面 PCD的法向量为n=( x0, y0, z0).
则所以即，
取 x0=1,得平面 PCD的一个法向量为 n=(1,1,1).
设由，得
解 y=-或 y=(舍去)，
此时，所以存在点Q知足题意，此时.
5.（ 2007 福建理?18）如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的全部棱长都为 2，D为 CC1中点。

（Ⅰ）求证： AB1⊥面 A1BD；
（Ⅱ）求二面角 A－A1D－ B 的大小；
（Ⅲ）求点
C 到平面
1
的距离；
A BD
（Ⅰ）证明取中点，连结．
为正三角形，．
在正三棱柱中，平面平面，
平面．
取中点，认为原点，，，的方向为轴的正方向成立空间直角坐标系，则，，，，，
，，．
，，
，．z
平面．
A A1（Ⅱ）解设平面的法向量为．
，．
，，
F
令得为平面的一个法向量．
C
C1 O
D
由（Ⅰ）知平面，
y 为平面的法向量．
B
，．B1
二面角的大小为．x
（Ⅲ）解由（Ⅱ），为平面法向量，
．
点到平面的距离．
6.（ 2006 广东卷）如下图，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直
径. AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8, BC是⊙ O的直径，
AB＝ AC＝6， OE(Ⅰ)求二面角 B— AD— F 的大小；
( Ⅱ ) 求直线BD与EF所成的角 .
解( Ⅰ ) ∵AD与两圆所在的平面均垂直,
∴AD⊥ AB, AD⊥ AF,故∠ BAD是二面角 B— AD— F 的平面角，
依题意可知， ABCD是正方形，所以∠BAD＝45 .
即二面角 B— AD— F 的大小为450.
( Ⅱ ) 以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，成立空间直角坐标系（如下图），则O
（0， 0， 0），A（ 0，， 0），B（， 0， 0）, D（ 0，，8），E（ 0， 0， 8），F
（ 0，，0）所以，
.
设异面直线BD与 EF 所成角为，
则
直线 BD与 EF所成的角为
7. （ 2005 江西）如图，在长方体ABCD— A1B1C1D1中， AD=AA1=1， AB=2，点 E 在棱 AB上挪动.
（1）证明：D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为 .
z轴，建立空间直角以 D 为坐标原点，直线DA， DC，DD1分别为 x,
y,
坐标系，设AE=x，则 A1（1，0，1）， D1（0，0，1），
（1）证明
（2）解因为E为AB的中点，则E（ 1， 1， 0），
进而，
，
设平面 ACD1的法向量为，
则
也即，得，进而，所以点 E到平面 AD1C的距离为
（3）解设平面D1EC的法向量，
∴
由令 b=1,∴c=2, a=2－ x，
∴
依题意
∴（不合，舍去）， .
∴AE=时，二面角D1— EC— D的大小为.
第二部分三年联考汇编
2009 年联考题
解答题
1.(湖南省衡阳市八中2009 届高三第三次月考试题) 如图，P—ABCD是正四棱锥，是正方体，此中
（1）求证：；
（2）求平面PAD与平面所成的锐二面角的余弦值；
（3）求到平面PAD的距离
认为轴，为轴，为轴成立空间直角坐标系
（1）证明设E是BD的中点，P—ABCD是正四棱锥，∴
又，∴ ∴∴
∴，即。

（2）解设平面 PAD的法向量是，
∴ 获得，又平面的法向量是∴
， ∴。

（3）解
∴到平面
的距离。

PAD
2. ( 陕西省西安铁一中
2009 届高三 12 月月考 ) 如图，边长为
2 的等
P
边△ PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面， BC ＝，
的中点
M 为 BC
( Ⅰ ) 证明： AM ⊥ PM ；
( Ⅱ ) 求二面角 P － AM － D 的大小；
C
( ) 求点 D 到平面 AMP
D
Ⅲ 的距离。

( Ⅰ ) 证明
以 D 点为原点，分别以直线 DA 、 DC 为 x 轴、 y 轴，
z
P
M
成立如下图的空间直角坐标系 ,
A
B
依题意，可得
∴
∴
即, ∴AM ⊥PM.
( Ⅱ)解
设，且平面 PAM ，则
á
即
x
∴ ，
取，得
取，明显平面 ABCD ， ∴
联合图形可知，二面角 P － AM －D 为 45°；
( Ⅲ ) 设点 D 到平面 PAM 的距离为，由 ( Ⅱ ) 可知与平面 PAM 垂直，则
=
即点 D 到平面 PAM 的距离为 3.( 厦门市第二外国语学校 2008— 2009 学年高三数学第四次月考
) 已知点 线上，∠ HDA =．
（Ⅰ）求 DH 与所成角的大小； （Ⅱ）求 DH 与平面所成角的大小．
解：认为原点，为单位长成立空间直角坐标系． 设
D
C
y
M
B
H 在正方体的对角
z
H
C
A B
则，．连结，． 设，由已知， 由
可得．解得，
所以．（Ⅰ）因为，
所以．即 DH 与所成的角为． （Ⅱ）平面的一个法向量是． 因为， 所以．
可得 DH 与平面所成的角为．
4.( 广东省北江中学 2009 届高三上学期 12 月月考 ) 如图，在四周体 ABCD 中， O 、 E 分别是 BD 、 BC 的中点，
D C
A
B
x
z
A
D
O
y
x B
C
（1）求证：平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（3）求点E到平面ACD的距离．
⑴证明连结OC
，．
在中，由已知可得
而，
即
∴平面．
(2)解以O为原点，如图成立空间直角坐标系，则
，
∴异面直线 AB与 CD所成角的余弦值为．
⑶解设平面 ACD的法向量为则
，
∴，令得是平面ACD的一个法向量．
又∴点 E到平面 ACD的距离．
5.( 广东省高妙一中 2009 届高三上学期第四次月考已
知平面，平面，△为
等边三角形，，为的中点 .
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求直线和平面所成角的正弦值 .
设，成立如下图的坐标系，则
.
∵为的中点，∴.
(1)证明，∵，平面，
∴平面 .
(2)证明∵，
∴，∴ . ∴平面，
又平面，∴平面平
面 .
(3)解设平面的法向量为，由可得：，
取 .
又，设和平面所成的角为，则
.
∴直线和平面所成角的正弦值为.
z A
O
D
B C
x
E y
) 如图，
B
E
A
C D
F
6. (2009年广东省广州市高三年级调研测试) 如图，已知
P
C
D
等腰直角三角形，此中∠=90o，．
点 A、 D分别是、的中点，现将△沿着
边折起到△地点，使⊥，连结、．
（1）求证：⊥；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
（1）证明∵点A、D分别是、的中点，
∴ .
∴∠ =90o.
∴.
∴,
∵,
∴⊥平面 .
∵平面 ,
∴.
（2）解成立如下图的空间直角坐标系．
则（－ 1， 0， 0），（－ 2， 1，0），（ 0，0， 1） .
∴=（－ 1，1， 0）， =（ 1，0， 1） ,
设平面的法向量为=（x，y，z），则：
，
令，得，
∴=（ 1， 1，－ 1） .
明显，是平面的一个法向量，=（）．
∴c os< ， >=．
∴二面角的平面角的余弦值是 .
9月份更新
1.连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为 4 的球的两条弦AB、 CD的长度分别等于2、4， M、 N 分别为 AB、CD的中点，每条弦的两头都在球面上运动，有以下四个命题：
①弦 AB、 CD可能订交于点M②弦AB、CD可能订交于点N③ MN的最大值为5④ MN 的最小值为l ，此中真命题的个数为
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案 C
2.某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a+b 的最大值为（）A. B. C. D.
答案 C
3.等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成
角的余弦值等于
答案 .
4. 如图，在三棱锥中，，，．P （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离．
解法一：（Ⅰ）取中点，连结．，．，．
A
D
B C
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，平面．平面， ． （Ⅱ），，．又，．
又，即，且，平面．取中点．连结． ，．是在平面内的射影， ．
是二面角的平面角．在中， ，，，．二面角的大小为． （Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，平面平面．过作，垂足为． 平面平面，平面．的长即为点到平面的距离． 由（Ⅰ）知，又，且，平面．平面， ． 在中，，，
．． 点到平面的距离为． 解法二：（Ⅰ），，．又，． ，平面．平面， ．
（Ⅱ）如图，认为原点成立空间直角坐标系．则． 设．，，．取中点，连结． ，，，．是二面角的平面角． ，，，
．二面角的大小为．
（Ⅲ），在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离． 如（Ⅱ）成立空间直角坐标系． ，点的坐标为． ． 点到平面的距离为．
5. 如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，且．
（ 1）求证：四点共面； （ 4 分）；（2）若点在上，，点在上，，垂足为，求证：平面；
（ 3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求． 证明：（ 1）成立如下图的坐标系，则， ，，
所以，故，，共面．又它们有公共点，所以四点共面．
（ 2）如图，设，则，而，由题设得，
得．因为，，有，又，，所以，，进而，．故平面． （ 3）设向量截面，于是， ．
而，，得，，解得，，所以．又平面，所以和的夹角等于或（为锐角）． 于是．
故．
2007— 2008 年联考题
P
E
A
P
C
H
D
A
z
P
C E
H
y
A
C
（4 分）；
B
B
B
1. ( 江西省鹰潭市 2008 届高三第一次模拟 ) 已知斜三棱柱 ,,, 在底面上的射影恰为的中点 , 又知 .
( Ⅰ ) 求证：平面； ( Ⅱ ) 求到平面的距离；
z
A 1
( Ⅲ ) 求二面角的大小 .
C 1
(Ⅰ)证明 如图, 取的中点 ,则, ∵, ∴, B 1
又平面 , 认为轴成立空间坐标系 ,
则,,,,,,
,, 由,知,
A D y
又, 进而平面 .
C
x
B
( Ⅱ ) 解由,得.设平面的法向量
为,,,,
设, 则
∴点到平面的距离 .
( Ⅲ ) 解设面的法向量为 ,,,
∴
设, 则, 故,
依据法向量的方向可知二面角的大小为.
2.( 山西大学附中 2008 届二月月考 ) 正三棱柱全部棱长都是，是棱的中点，是棱的中点，交于
点
（1）求证：；
（2）求二面角的大小（用反三角函数表示）；
（3）求点到平面的距离 .
（1）证明成立如下图，
∵
∴，即 AE⊥ A1D，AE⊥ BD ，∴ AE⊥面 A1BD
（2）解设面DA1B的法向量为
由，∴取
设面 AA1B 的法向量为，
由图可知二面角 D—BA1— A 为锐角，∴它的大小为arcos .
（3）解，平面 A1BD的法向量取 ,
则 B1到平面 A1BD的距离 d= .
3.( 安徽省皖南八校 2008 届高三第一次联考 ) 已知斜三棱柱
，，，
在底面上的射影恰为的中点，
又知。

（I ）求证：平面；
（II ）求到平面的距离；
（I II ）求二面角的大小。

（I）证明如图，取的中点，则，因为，所
以，又平面，
认为轴成立空间坐标系，
则，，，
，，
，，
，由，知，
又，进而平面；
（I I ）解由，得。

设平面的法向量为，，，
所以，设，则
所以点到平面的距离。

（III ）解再设平面的法向量为，，，所
以，设，则，
故，依据法向量的方向，
可知二面角的大小为。

4.( 四川省成都市 2008 一诊 ) 如图，四棱锥P- ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝ 2，E为 PA的中点，过 E 作平行于底面的平面 EFGH，分别与此外三条侧棱订交于点 F、G、H. 已知底面 ABCD为直角梯形， AD∥ BC， AB⊥ AD，∠ BCD=135°.
（1）求异面直线AF与BG所成的角的大小；
（2）求平面APB与平面CPD所成的锐二面角的大小 .
解由题意可知： AP、AD、 AB两两垂直，可成立空间直角坐标系A- xyz
由平面几何知识知：＝ 4,
D (0, 4, 0),
B
(2,0,0),
AD
C (2,2,0), P(0, 0, 2), E (0, 0, 1),F(1,0,1),G(1,1,1)
→→
(1) AF＝ (1,0,1),BG＝(－1,1,1)
→→
∴AF· BG＝0，
∴AF 与所成角为
π
.
BG2
(2)可证明 AD⊥平面 APB，
∴平面 APB的法向量为n＝(0,1,0)
设平面 CPD的法向量为m＝(1，y， z)
y＝ 1
由
z＝ 2
故 m＝(1,1,2)
m· n6
∵cos< m, n>＝| m|·| n|＝6
∴平面 APB与平面 CPD所成的锐二面角的大小为
6 arccos 6 .
5. ( 安徽省淮南市 2008届高三第一次模拟考试) 如图，正三棱柱ABC－的底面边长是2， D
是侧棱
C 的中点，直线与侧面所成的角为45° .
AD
( 1 )求二面角A- BD- C的大小；
（2）求点C到平面ABD的距离 .
解（ 1）如图，成立空间直角坐标系．D
z
则．
设为平面的法向量．
x
o
D
y
高考数学资料——5年高考题、3年模拟试题分类汇编专题_空间向量在立体几何中的应用
由得．
取
又平面的一个法向量
．
联合图形可知，二面角的大小为．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
点到平面的距离＝．
6.( 安徽省巢湖市 2008 届高三第二次教课质量检测 ) 如图，、分
别是正四棱柱上、下底面的中
心，是的中点， .
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）当时，求直线与平面所成角的大小；
( Ⅲ )当取何值时，在平面内的射影恰巧为的重心?
以点为原点，直线所在直线分别为轴，
成立如下图的空间直角坐标系，不如设，
则得、、、、
( Ⅰ ) 证明由上得、、
，设得
解得，∴
，∴∥平面
（Ⅱ）解当时，由、得、、
设平面的法向量为，则由，得，，∴直线与平面所成角的大小为( Ⅲ) 解由( Ⅰ) 知的重心为，则，
若在平面内的射影恰巧为的重心，则有，解得
D1C1
P
B1
A1
D
C
O
A E1z B
D1C1
P
B1
A1
D
C
O
x A E1B y
_
.
∴当时，在平面内的射影恰巧为的重心.
7. (北京市东城区2008 年高三综合练习二) 如图，在四棱锥P—ABCD中，
平面 PAB⊥平面 ABCD，底面 ABCD是边长为2的正方形，
△PAB等边三角形.
（1）求二面角B—AC—P的大小；
（2）求点A到平面PCD的距离 .
则 A（－1，0，0），B（1，0，0），
则 P（0，0，）， C（1，2，0）
设为平面 PAC的一个法向量，
则
又
令 z=1，得
得
又是平面 ABC的一个法向量，
设二面角B— AC— P的大小为，
则
（2）设为平面PCD的一个法向量.
则由 D（－1，2，0），可知），可得 a=0，令，则 c=2.
得，
设点 A 到平面 PCD的距离为 d，则
∴点 A 到平面 PCD的距离为
8.( 北京市十一学校 2008 届高三数学练习题 ) 如图，在正
四棱锥中， , 点在
棱上．
( Ⅰ ) 问点在哪处时，，并加以证明；
( Ⅱ ) 当时 , 求点到平面的距离；
( Ⅲ ) 求二面角的大小.
解 (Ⅰ)当E为PC中点时，．
连结 AC，且，因为四边形ABCD为正方形，
∴O为 AC的中点，又 E 为中点，
∴OE为△ ACP的中位线，
∴，又，
∴.
( Ⅱ ) 作 , 依题意是正方形的中心, 如图成立空间坐标系.
则, , ，，．
∴ ，，
，，
设面的法向量为
,
点到平面的距离为.
( Ⅲ ) 设二面角的平面角为，平面的法向量为.设平面的法向量为, .
.
9.( 北京市西城区2008 年4 月高三抽样测试) 如图，在三棱锥中，，，平面平面.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求异面直线和所成角的大小.
作于点，
平面平面，
平面 .
过点作的平行线，交于点.
如图，认为原点，直线分别为轴，
轴，轴，成立空间直角坐标系.
.
.
，
.
（Ⅰ）证明
.
又.
（Ⅱ）解作于点，连结.
平面，依据三垂线定理得，
是二面角的平面角.
在中，，
进而，
，
即二面角的大小是.
（Ⅲ）解，
，
异面直线和所成角的大小为arccos .
10.(广东地域2008年01月份期末试题)如图，直四棱柱ABCD— A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4
且∠ DAB=60°的菱形， AC∩ BD=O， A1C1∩ B1D1=O1，E是 O1A的中点.
D1C1
O1
A1
B1
E
D
O C A B
高考数学资料——5年高考题、3年模拟试题分类汇编专题_空间向量在立体几何中的应用
（1）求二面角O1－BC－D的大小；
（2）求点E到平面O1BC的距离 .
解 (1 ）∵OO1⊥平面AC，
∴OO1⊥ OA， OO1⊥ OB，又 OA⊥ OB，
成立如下图的空间直角坐标系（如图）
∵底面 ABCD是边长为4，∠ DAB=60°的菱形，
∴OA=2， OB=2，
则 A（2，0，0）， B（0，2，0）， C（－2，0，0），
O1（0，0，3）
设平面 O1BC的法向量为=（x，y，z），
则⊥，⊥，
∴，则 z=2，则 x= －， y=3，
∴=（－， 3， 2），而平面AC的法向量 =（ 0， 0，3）
∴c os<， >=，
设 O1－ BC－ D的平面角为α，∴cosα=∴α=60°.
故二面角 O1－BC－ D为60°.
（2）设点E到平面O1BC的距离为d，
∵E 是 O1A 的中点，∴=（－，0，），
则 d=，∴点 E到面 O1BC的距离等于.。