2010年上海市各区高三二模数学试题分类汇编：函数
2010年上海数学各区二模试卷填空选择部分答案
2010年上海各区二模试卷答案填空选择部分 奉贤区：一 、选择题：（本大题共8题，满分24分）1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．B ； 5．D ； 6．D ； 二、填空题：（本大题共12题，满分48分）7．2±； 8．)2)(22-+m m （1； 9．4； 10．0=x ； 11．3-； 12．1=y ； 13．201； 14．面ABFE 和面DCGH ； 15．1︰4； 16．21； 17．6； 18．10或310； 虹口区：一、选择题：（本大题共6题，满分24分）1．C ； 2．C ； 3．D ； 4．B ； 5．D ；6．D ． 二、填空题：（本大题共12题，满分48分）7．21x - ； 8．1； 9．2x =-； 10．1x ≠；11．增大； 12．(1,2)--； 13．23200(1)2500x -=； 14．13； 15．70°； 16．1：2； 17．24； 18．25或23．黄浦区：一、选择题1、D ；2、B ；3、D ；4、C ；5、B ；6、A .二、填空题7、1-x ； 8、x ≤-1<2； 9、()()11-+++y x y x ； 10、2±；11、21； 12、()7,2-； 13、0，12； 14、2-； 15、132； 16、3232+； 17、6； 18、0.8.金山区：一．选择题：（本大题共6题，满分24分）1． B ； 2．B ； 3．C ; 4．A ; 5．C ; 6．D ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分）7.()2x x -; 8．3a =-； 9．略； 10．1x ≠； 11．6a b -；12．18； 13．8； 14．110°； 15．1∶16；16． 17．略； 18.1。
静安区：一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C ； 2．B ； 3．D ； 4．D ； 5．A ； 6．A ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．2； 8．253+； 9．2=x ； 10．43,43-=-=-y x y x ； 11．32≤a ； 12．x y 45=； 13．94； 14．BF ； 15．163； 16．2--； 17．31； 18．37π． 卢湾区：一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1． C ； 2． A ； 3．B ； 4．D ； 5．B ； 6．C ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7． 2-； 8．9．49； 10．22(1)x -；11． 321y y-=；12． 4； 13．24y x =--； 14．232y x =-+；15．13a b + ； 16； 17．15 ； 18． 15或105．闵行区：一、选择题：（共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．C ； 3．D ； 4．A ； 5．B ； 6．C ．二、填空题：（共12题，每题4分，满分48分） 7．69a ； 8．32x >； 9．x = 4； 10．2； 11．-2； 12．-5； 13．下降； 14．13；15．b a -； 16．24； 17．AD = BC 或AB // CD 或∠A =∠C 等，正确即可；18．3．浦东新区：一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．D ； 3．C ； 4．C ； 5．A ； 6．D ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．4； 8．()()222+-x x ； 9．1-=x ； 10．12-； 11．41≤m ； 12．23-； 13．30 %； 14．a m -2； 15．33 ； 16．6； 17．4； 18．（2-，6）．普陀区：1．(A) ； 2．(B) ； 3．(C)； 4．(D) ； 5．(C) ； 6．(B) .二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 45a ； 8. 34.310-⨯； 9. 1； 10. 25x -<<； 11. c =0； 12． ；13．2x ≠； 14．23y x =+； 15． 30； 16．AB =CD 等； 17．5 ； 18． 9．青浦区：一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．（B ）；2．（C ）；3．（D ）；4．（C ）；5．（B ）；6．（B ）． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．2-π；8．2≤x ；9．1->x ；10．2=x ；11．)1)(2(-+a a a ；12．1<k 且0≠k ； 13．二；14．21；15．4.2:1；16．-3；17．10；18． 65或25． 松江区：一、选择题1、D ；2、C ；3、B ；4、D ；5、A ；6、A 二、填空题7、1-； 8、3≥x ； 9、)1)(1(-+x x x ； 10、5=x ； 11、x y 2-=； 12、a 64.0； 13、51； 14、5； 15、8； 16、4； 17、3132+； 18、52 徐汇区：一、选择题1．B; 2．C; 3．D; 4．C ; 5．A; 6．B . 二、填空题7．)2)(2(-+a a a ； 8．4=x ； 9．9<a ； 10．)3,1(； 11．①③④；12．15)1(5.122=+x ； 13．43； 14．)(21→→-a b ； 15．161； 16.623π-；17.216； 18.5144。
数学_2010年上海市高考数学模拟试卷(文科)_(含答案)
2010年上海市高考数学模拟试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1. 函数f(x)=x 3+1的反函数f −1(x)=________．2. 已知集合A ={x|x ≤1}，B ={x|x ≥a}，且A ∪B =R ，则实数a 的取值范围是________．3. 若行列式|45x 1x 3789|中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是________．4. 某算法的程序框如下图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是________．5. 如图，若正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD 1与AD 所成角的大小是________（结果用反三角函数值表示）． 6. 若球O 1、O 2表面积之比S 1S 2=9，则它们的半径之比R 1R 2=________． 7. 已知实数x 、y 满足{y ≤2x ，y ≥−2x ，x ≤3，则目标函数z =x −2y 的最小值是________．8. 若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是________．9. 过点A(1, 0)作倾斜角为π4的直线，与抛物线y 2=2x 交于M 、N 两点，则|MN|=________．10. 函数y =2cos 2x +sin2x 的最小值是________．11. 若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名有________种选法．12. 已知F 1、F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→．若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．13. 已知函数f(x)＝sinx+tanx，项数为27的等差数列{a n}满足a n∈(−π2,π2)，且公差d≠0，若f(a1)+f(a2)+...f(a27)＝0，则当k＝________时，f(a k)＝0．14. 某地街道呈现东-西、南-北向的网格状，相邻街距都为1．两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(−2, 2)，(3, 1)，(3, 4)，(−2, 3)，(4, 5)，(6, 6)为报刊零售点．请确定一个格点（除零售点外）________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）15. 已知直线l1：(k−3)x+(5−k)y+1=0与l2:2(k−3)x−2y+3=0垂直，则k的值是（）A 1或3B 1或5C 1或4D 1或216. 如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是（）A B C D17. 点P(4, −2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是()A (x−2)2+(y+1)2=1B (x−2)2+(y+1)2=4C (x+4)2+(y−2)2=1 D (x+2)2+(y−1)2=118. 有专业机构认为甲型N1H1流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A 甲地：总体均值为3，中位数为4B 乙地：总体均值为1，总体方差大于0C 丙地：中位数为2，众数为3D 丁地：总体均值为2，总体方差为3三、解答题（共5小题，满分78分）19. 已知复数z=a+bi(a、b∈R+)（I是虚数单位）是方程x2−4x+5=0的根．复数w=u+3i(u∈R)满足|w−z|<2√5，求u的取值范围．20. 已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m→=(a,b)，n→=(sinB,sinA)，p→=(b−2,a−2)．（1）若m→ // n→，求证：△ABC为等腰三角形；（2）若m→⊥p→，边长c＝2，角C=π3，求△ABC的面积．21. 有时我们可用函数f(x)={0.1+15ln a a−x ,x ≤6,x−4.4x−4,x >6， 描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数(x ∈N)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关．(1)当x ≥7时，掌握程度的增长量f(x +1)−f(x)总是上升的还是下降的？并说明理由；(2)根据经验，学科甲，乙，丙对应的a 的取值区间分别为(115, 121]，(121, 127]，(127, 133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．(参考数据：e 0.04≈1.04，e 0.05≈1.05，e 0.06≈1.06)22. 已知双曲线C 的中心是原点，右焦点为F(√3，0)，一条渐近线m:x +√2y =0，设过点A(−3√2, 0)的直线l 的方向向量e =(1, k)，（1）求双曲线C 的方程；（2）若过原点的直线a // l ，且a 与l 的距离为√6，求k 的值；（3）证明：当k >√22时，在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l 的距离为√6． 23. 已知{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列（1）若a n =3n +1，是否存在m ，n ∈N ∗，有a m +a m+1=a k ？请说明理由；（2）若b n =aq n (a 、q 为常数，且aq ≠0)对任意m 存在k ，有b m ⋅b m+1=b k ，试求a 、q 满足的充要条件；（3）若a n =2n +1，b n =3n 试确定所有的p ，使数列{b n }中存在某个连续p 项的和式数列中{a n }的一项，请证明．2010年上海市高考数学模拟试卷（文科）答案1. √x −132. a ≤13. x >83且x ≠44. y ={x −2,x >12x ，x ≤15. arctan √56. 37. −98. 83π 9. 2√610. 1−√211. 2512. 313. 1414. (3, 3)15. C16. B17. A18. B19. −2<u<6．20. ∵ m // n∴ asinA＝bsinB即a⋅a2R =b⋅b2R．其中R为△ABC外接圆半径．∴ a＝b∴ △ABC为等腰三角形．由题意，m⋅p＝0∴ a(b−2)+b(a−2)＝0∴ a+b＝ab由余弦定理4＝a2+b2−2ab⋅cosπ3∴ 4＝a2+b2−ab＝(a+b)2−3ab ∴ (ab)2−3ab−4＝0∴ ab＝4或ab＝−1（舍去）∴ S△ABC=12absinC=12×4×sinπ3=√321. 解：(1)当x≥7时，掌握程度的增长量f(x+1)−f(x)总是下降的，理由如下：当x≥7时，f(x+1)−f(x)=0.4(x−3)(x−4)，而当x≥7时，函数y=(x−3)(x−4)单调递增.又(x−3)(x−4)>0，故函数f(x+1)−f(x)单调递减，当x≥7时，掌握程度的增长量f(x+1)−f(x)总是下降.(2)由题意可知，0.1+15ln aa−6=0.85，整理得aa−6=e0.05，则a=e 0.05e0.05−1⋅6=20.50×6=123，123∈(121,127]，由此可知，该学科是乙学科.22. （1）解：由题意知，c=√3，ba =√22，再由c2=a2+b2，a=√2，b=1，∴ 双曲线方程为：x 22−y2=1．（2）解：直线l的方程y−0=k(x+3√2)，即kx−y+3√2k=0．∵ 过原点的直线a // l，∴ 直线a方程为：kx−y=0，两平行线间的距离√2k|√1+k2=√6，∴ k=±√22．（3）证明：设过原点且平行于l 的直线b:kx −y =0，则直线l 与b 的距离d =√2|k|√1+k 2，当k >√22时，d >√6． 又双曲线C 的渐近线为x ±√2y =0，∴ 双曲线C 的右支在直线b 的右下方，∴ 双曲线C 右支上的任意点到直线l 的距离大于√6， 故在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l 的距离为√6．23. 解：（1）由a m +a m+1=a k ，得6m +6+3k +1， 整理后，可得k −2m =43，∵ m 、k ∈N ， ∴ k −2m 为整数∴ 不存在n 、k ∈N ∗，使等式成立．（2）当m =1时，则b 1⋅b 2=b k ，∴ a 2⋅q 3=aq k ∴ a =q k−3，即a =q c ，其中c 是大于等于−2的整数反之当a =q c 时，其中c 是大于等于−2的整数，则b n =q n+c ，显然b m ⋅b m+1=q m+c ⋅q m+1+c =q 2m+1+2c =b k ，其中k =2m +1+c∴ a 、q 满足的充要条件是a =q c ，其中c 是大于等于−2的整数（3）设b m+1+b m+2+...+b m+p =a k当p 为偶数时，(∗)式左边为偶数，右边为奇数，当p 为偶数时，(∗)式不成立．由(∗)式得3m+1(1−3p )1−3=2k +1，整理得3m+1(3p −1)=4k +2当p =1时，符合题意．当p ≥3，p 为奇数时，3p −1=(1+2)p −1=C p 0+C p 1⋅21+C p 2⋅22++C p p ⋅2p −1=C p 1⋅21+C p 2⋅22++C p p ⋅2p=2(C p 1+C p 2⋅2++C p p ⋅2p−1)=2[2(C p 2+C p 2⋅22++C p p ⋅2p−2)+p]∴ 由3m+1(3p −1)=4k +2，得3m+1[2(C p 2+C p 2⋅22++C p p ⋅2p−2)+p]=2k +1∴ 当p 为奇数时，此时，一定有m 和k 使上式一定成立．∴ 当p 为奇数时，命题都成立．。
数学_2010年上海市徐汇区高考数学二模试卷(理科)_(含答案)
2010年上海市徐汇区高考数学二模试卷（理科）一、填空题：（本题满分56分，每小题4分）1. 设集合A={x|−12<x<2}，B={x|x2≤1}，则A∪B=________．2. 已知△ABC中，cotA=−34，则cosA=________．3. 若数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n(n∈N∗)，则前6项的和S6=________．（用数字作答）4. (x+2)6的展开式中x3的系数是________（用具体数字作答）．5. 若球O1、O2表面积之比S1S2=9，则它们的半径之比R1R2=________．6. 函数f(x)=√2x−4(x≥4)的反函数为________．7. 行列式|42k−354−11−2|中第2行第1列元素的代数余子式的值为−10，则k=________．8. 椭圆x29+y22=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=________，∠F1PF2的大小为________．9. △ABC中，已知AB=2，AC=2√2，则∠ACB的最大值为________．10. 有5只苹果，它们的质量分别为125a121b127（单位：克）：若该样本的中位数和平均值均为124，则该样本的标准差s=________（用数字作答）11. 在极坐标系中，若过点A(3, 0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A、B两点，则|AB|=________．12. 某学生参加一次世博志愿者测试，已知在备选的10道试题中，预计每道题该学生答对的概率为23．规定每位考生都从备选题中随机抽出3道题进行测试，则该学生仅答对2道题的概率是________．（用数值表示）13. 已知a≤1时，集合[a, 2−a]有且只有3个整数，则a的取值范围是________．14. 设[x]表示不超过x的最大整数，如[1.5]=1，[−1.5]=−2．若函数f(x)=a x1+a x(a>0, a≠1)，则g(x)=[f(x)−12]+[f(−x)−12]的值域为________．二、选择题：（本题满分16分，每小题4分）15. 复数3−i1−i等于（）A 1+2iB 1−2iC 2+iD 2−i16. 下列函数中，与函数y=√x有相同定义域的是（）A f(x)=log 2xB f(x)=1xC f(x)=|x|D f(x)=2x17. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →+BA →=2BP →，则( )A PA →+PB →=0→B PC →+PA →=0→C PB →+PC →=0→D PA →+PB →+PC →=0→18. 已知AC ，BD 为圆O:x 2+y 2=4的两条互相垂直的弦，AC ，BD 交于点M(1, √2)，且|AC|=|BD|，则四边形ABCD 的面积的最大值等于（ ） A 4 B 5 C 6 D 7三、解答题：（本大题共5题，满分78分） 19. 在△ABC 中，a 、b 、c 是∠A 、∠B 、∠C 的对边，已知∠B =45∘，∠C =60∘，a =2(√3+1)，求△ABC 的面积S △ABC ．20.如图，已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长均为1，M 为棱A 1B 1上的点，N 为棱BB 1的中点，异面直线AM 与CN 所成角的大小为arccos 25，求|A 1M||MB 1|的值．21. 已知函数f(x)=x−a ax(a >0)（1）判断并证明y =f(x)在x ∈(0, +∞)上的单调性；（2）若存在x 0，使f(x 0)=x 0，则称x 0为函数f(x)的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，求a 的值，并求出不动点x 0；（3）若f(x)<2x 在x ∈(0, +∞)上恒成立，求a 的取值范围．22. 设P(a, b)(a ⋅b ≠0)、R(a, 2)为坐标平面xoy 上的点，直线OR （O 为坐标原点）与抛物线y 2=4ab x 交于点Q （异于O ）．（1）若对任意ab ≠0，点Q 在抛物线y =mx 2+1(m ≠0)上，试问当m 为何值时，点P 在某一圆上，并求出该圆方程M ；（2）若点P(a, b)(ab ≠0)在椭圆x 2+4y 2=1上，试问：点Q 能否在某一双曲线上，若能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由；（3）对（1）中点P 所在圆方程M ，设A 、B 是圆M 上两点，且满足|OA|⋅|OB|=1，试问：是否存在一个定圆S ，使直线AB 恒与圆S 相切．23. 设数列{a n }(n =1, 2,…)是等差数列，且公差为d ，若数列{a n }中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．（1）若a 1=4，d =2，判断该数列是否为“封闭数列”，并说明理由？（2）设S n 是数列{a n }的前n 项和，若公差d =1，a 1>0，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使lim n →∞(1S 1+1S 2+⋯+1S n )=119；若存在，求{a n }的通项公式，若不存在，说明理由； （3）试问：数列{a n }为“封闭数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明．2010年上海市徐汇区高考数学二模试卷（理科）答案1. {x|−1≤x <2}2. −35 3. 63 4. 160 5. 36. f −1(x)=12x 2+2(x ≥2) 7. −14 8. 2,120∘ 9. π4 10. 2 11. 2√3 12. 4913. −1<a ≤0 14. {0, −1} 15. C 16. A 17. B 18. B19. 解：∵ A =180∘−(B +C)=75∘， ∴ sinA =sin750=sin(450+300)=√6+√24由正弦定理a sinA =b sinB⇒√3+1)√6+√24=√22⇒b =4，∴ S △ABC =12absinC =12⋅2(√3+1)⋅4⋅√32=6+2√3．20.解：如图建立空间直角坐标系，则A(1, 0, 0)，C(0, 1, 0)，M(1, a, 1)，N(1,1,12)AM →=(0, a, 1)，CN →=(1, 0, 12)（其中a >0） 设向量AM →、CN →的夹角为θ，则cosθ=|AM →|⋅|CN →|˙=12⋅=25，⇒1+a 2=54，∴ a =12或cosθ=|AM →|⋅|CN →|˙=12⋅=−25，无解；所以当a =12时，|A 1M||MB 1|=1 21. 解：（1）f(x)=1a −1x对任意的x 1，x 2∈(0, +∞)且x 1>x 2f(x 1)−f(x 2)=(1a −1x 1)−(1a −1x 2)=x 1−x 2x 1x 2∵ x 1>x 2>0∴ x 1−x 2>0，x 1x 2>0∴ f(x 1)−f(x 2)>0，函数y =f(x)在x ∈(0, +∞)上单调递增． （2）解：令x =x−a ax⇒ax 2−x +a =0，令△=1−4a 2=0⇒a =12（负值舍去）将a =12代入ax 2−x +a =0得12x 2−x +12=0⇒x 2−2x +1=0∴ x 0=1（3）∵ f(x)<2x ∴ 1a<2x +1x∵ x >0∴ 2x +1x ≥2√2（等号成立当x =√22） ∴ 1a <(2x +1x )min =2√2⇒a >√24∴ a 的取值范围是(√24，+∞)22. 解：（1）∵ {y =2a xy 2=4ab x⇒Q(a b ,2b )， 代入y =mx 2+1∴ 2b=m(ab)2+1⇒ma 2+b 2−2b =0当m =1时，点P(a, b)在圆M:x 2+(y −1)2=1上（2）∵ P(a, b)在椭圆x 2+4y 2=1上，即a 2+(2b)2=1 ∴ 可设a =cosθ,b =12sinθ 又∵ Q(ab ，2b )，∴ {x Q =a b y Q =2b⇒y Q2−mx Q2=(2b)2−m(a b)2=(4sinθ)2−m(2cosθsinθ)2=16sin 2θ−4mcos 2θsin 2θ=16（令m =4）∴ 点Q 在双曲线y 2−4x 2=16上（3）∵ 圆M 的方程为x 2+(y −1)2=1设AB:x =ky +λ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由|OA|⋅|OB|=1√x 12+y 12⋅√x 22+y 22=√1−(y 1−1)2+y 12⋅√1−(y 2−1)2+y 22=√2y 1⋅√2y 2=1⇒y 1y 2=14又∵ {x 2+(y −1)2=1x =ky +λ⇒(k 2+1)y 2+2(kλ−1)y +λ2=0，∴ y 1y 2=λ2k 2+1=14⇒√k 2+1=12又原点O 到直线AB 距离d =√1+k 2∴ d =12，即原点O 到直线AB 的距离恒为12∴ 直线AB 恒与圆S ：x 2+y 2=14相切．23. 解：（1）数列{a n }是“封闭数列”，因为：a n =4+(n −1)⋅2=2n +2， 对任意的m ，n ∈N ∗，有a m +a n =(2m +2)+(2n +2)=2(m +n +1)+2， ∵ m +n +1∈N ∗于是，令p =m +n +1，则有a p =2p +2∈{a n }（2）解：由{a n }是“封闭数列”，得：对任意m ，n ∈N ∗，必存在p ∈N ∗使a 1+(n −1)+a 1+(m −1)=a 1+(p −1)成立， 于是有a 1=p −m −n +1为整数， 又∵ a 1>0∴ a 1是正整数． 若a 1=1则S n =n(n+1)2，所以lim n →∞(1S 1+1S 2++1S n)=2>119，若a 1=2，则S n =n(n+3)2，所以lim n →∞(1S 1+1S 2++1S n )=119，若a 1≥3，则S n =n(2a 1+n−1)2>n(n+3)2，于是1S n <2n(n+3)，所以lim n →∞(1S 1+1S 2++1S n)<119，综上所述，a 1=2，∴ a n =n +1(n ∈N ∗)，显然，该数列是“封闭数列”．（3）结论：数列{a n }为“封闭数列”的充要条件是存在整数m ≥−1，使a 1=md ． 证明：（必要性）任取等差数列的两项a s ，a t (s ≠t)，若存在a k 使a s +a t =a k ，则2a 1+(s +t −2)d =a 1+(k −1)d ⇒a 1=(k −s −t +1)d 故存在m =k −s −t +1∈Z ，使a 1=md ， 下面证明m ≥−1．当d =0时，显然成立．对d ≠0，若m <−1，则取p =−m ≥2，对不同的两项a 1，a p ， 存在a q 使a 1+a p =a q ，即2md +(−m −1)d =md +(q −1)d ⇒qd =0， 这与q >0，d ≠0矛盾，故存在整数m≥−1，使a1=md．（充分性）若存在整数m≥−1使a1=md，则任取等差数列的两项a s，a t(s≠t)，于是a s+a t=a1+(s−1)d+md+(t−1)d=a1+(s+m+t−2)d=a s+m+t−1由于s+t≥3，m≥−1∴ s+t+m−1为正整数，∴ a s+m+t−1∈{a n}证毕．。
数学_2010年上海市闵行区高考数学二模试卷(文科)_(含答案)
2010年上海市闵行区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分） 1. 若2+i i=a +bi(i 为虚数单位，a 、b ∈R)，则a +b =________．2. 对于随机事件A ，若P(A)=0.65，则对立事件A ¯的概率P(A ¯)=________． 3. 方程|x12111101|=0的解为________． 4. (1−2x)10展开式中x 3的系数为________（用数字作答）．5. 某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如表：则总体标准差的估计值是________（精确到0.01）．球O 的体积等于________．7. 根据程序框图，写出它所执行的内容：________．8. 已知函数f(x)=20×0.618x −x 的零点x 0∈(k, k +1)，k ∈Z ，则k =________． 9. 设等差数列{a n }的前n 项之和S n 满足S 10−S 5=40，那么a 8=________．10. 若圆x 2+y 2−2x −4y =0的圆心到直线x −y +a =0的距离为√22，则a 的值为________． 11. 定义：关于x 的两个不等式f(x)<0和g(x)<0的解集分别为(a, b)和(1b ,1a )，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式x 2−4√3xcos2θ+2<0与不等式2x 2+4xsin2θ+1<0为对偶不等式，且θ∈(π2,π)，则θ＝________5π6 ．12. 设函数y =f(x)存在反函数y =f −1(x)，且函数y =x −f(x)的图象过点(1, 3)，则函数y =f −1(x)+3的图象一定过点________．13. 当x >1时，不等式a ≤x +1x−1恒成立，则实数a 的取值范围是________．14. 对于自然数n(n ≥2)的正整数次幂，可以如下分解为n 个自然数的和的形式：22{13，23{35，24{79，…，32{135，33{7911，34{252729，…52{13579，53{()()()()()…仿此，53的分解中的最大数为________．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）15. 已知平面向量a →=(2,−p)，b →=(p 2,p)，向量(a →+b →) // c →，则c →可以是（ ） A (1, 0) B (0, 1) C (1, 1) D (−1, 1)16. 已知△ABC 中，AC =2√2，BC =2，A =π6，则AB 边长是（ ）A √3+√7B √6+√2C √6−√2D √6±√217. 数列{a n }中，已知a 1=1，a 2=2，若对任意正整数n ，有a n a n+1a n+2=a n +a n+1+a n+2，且a n+1a n+2≠1，则该数列的前2010项和S 2010=( ) A 2010 B 4020 C 3015 D −201018. 设点P(x, y)在|x5|+|y13|≤1所确定区域内，则点P(x, y)所在的区域面积为（ ） A 652 B 65 C 130 D 169三、解答题（共5小题，满分78分）19. 若复数z 满足：(2+i)z 为纯虚数，且z −2的模等于2，求复数z ． 20. 已知函数f(x)=2sin(x +π6)−2cosx ，x ∈[π2，π]． (1)若sinx =45，求函数f(x)的值；(2)求函数f(x)的值域．21. 某火山喷发停止后，为测量的需要，设距离喷口中心50米内的圆环面为第1区、50米至100米的圆环面为第2区、…、第50(n −1)米至50n 米的圆环面为第n 区，…，现测得第1区火山灰平均每平方米为1000千克、第2区每平方米的平均重量较第1区减少2%、第3区较第2区又减少2%，以此类推，求：（1）离火山口1225米处的圆环面平均每平方米火山灰重量（结果精确到1千克）？ （2）第几区内的火山灰总重量最大？22. 已知△ABC 的顶点A ，B 在椭圆x 2+3y 2=4上，C 在直线l:y =x +2上，且AB // l ． （1）求边AB 中点的轨迹方程；（2）当AB 边通过坐标原点O 时，求△ABC 的面积；（3）当∠ABC =90∘，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程． 23. 在数列{a n }中，a 1=1，a n+1=2a n +2n ．（1）设b n =an2n−1(n ∈N ∗)，证明：数列{b n }是等差数列；（2）设数列{a n }的前n 项和为S n ，求limn →∞S n n⋅2n+1的值；（3）设c n =2b n −1，数列{c n }的前n 项和为T n ，d n =Tn 4a n2−Tn，是否存在实数t ，使得对任意的正整数n 和实数m ∈[1, 2]，都有d 1+d 2+d 3+...+d n ≥log 8(2m +t)成立？请说明理由．2010年上海市闵行区高考数学二模试卷（文科）答案1. −12. 0.353. 24. −9605. 16.75 6. 36π7. 1+32+52+...+20092 8. 3 9. 810. 0或2 11. 5π612. (−2, 4) 13. (−∞, 3) 14. 29 15. A 16. D 17. B 18. C 19. 解：设z =a +bi(a, b ∈R)因为(2+i)z =(2a −b)+(a +2b)i 为纯虚数 所以{2a −b =0a +2b ≠0(a −2)2+b 2=4解得{a =45b =85故复数z =45+85i20. 解：(1)∵ sinx =45，x ∈[π2，π] ∴ cosx =−√1−1625=−35∴ f(x)=2sin(x +π6)−2cosx =√3sinx +cosx −2cosx =√3sinx −cosx =45×√3+35=4√3+35（2）f(x)=2sin(x +π6)−2cosx =√3sinx +cosx −2cosx =√3sinx −cosx =2sin(x −π6) ∵ x ∈[π2，π]∴ π3≤x −π6≤5π6∴ 12≤sin(x −π6)≤1∴ f(x)的最大值为2，最小值为1，值域为[1, 2] 21. 解：（1）设第n 区每平方米的重量为a n 千克，则a n =1000(1−2%)n−1=1000×0.98n−1第1225米位于第25区，∴ a 25=1000×0.9824=616（千克） 故第1225米处每平方米火山灰约重616千克（2）设第n 区内的面积为b n 平方米，则b n =π502n 2−π502(n −1)2=2500π(2n −1) 则第n 区内火山灰的总重量为C n =a n b n =25×105π(2n −1)×0.98n−1（千克） 设第n 区火山灰总重量最大，则{25×105π(2n −1)×0.98n−1≥25×105π(2n −3)×0.98n−225×105π(2n −1)×0.98n−1≥25×105π(2n +1)×0.98n ，解得49.5≤n ≤50.5，即得第50区火山灰的总重量最大． 22. 解：（1）设AB 所在直线的方程为y =x +m 由{x 2+3y 2=4y =x +m 得4x 2+6mx +3m 2−4=0．因为A 、B 在椭圆上，所以△=−12m 2+64>0.−4√33<m <4√33设A 、B 两点坐标分别为(x 1, y 1)、(x 2, y 2)，中点为P(x 0, y 0) 则x 1+x 2=−3m 2，m =−43x 0，y 0=x 0−43x 0=−13x 0所以中点轨迹方程为y =−13x(−√3<x <√3，且x ≠−32)（2）∵ AB // l ，且AB 边通过点(0, 0)，故AB 所在直线的方程为y =x ． 此时m =0，由（1）可得x =±1，所以|AB|=√2|x 1−x 2|=2√2 又因为AB 边上的高ℎ等于原点到直线l 的距离，所以ℎ=√2 S △ABC =12|AB|⋅ℎ=2． （3）由（1）得x 1+x 2=−3m 2，x 1x 2=3m 2−44，所以|AB|=√2|x 1−x 2|=√32−6m 22．又因为BC 的长等于点(0, m)到直线l 的距离，即|BC|=√2．所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=−m2−2m+10=−(m+1)2+11．所以当m=−1时，AC边最长，（这时△=−12+64>0）此时AB所在直线的方程为y=x−1．23. 解：（1）a n+1=2a n+2n，a n+12n =a n2n−1+1，b n+1=b n+1，故{b n}为等差数列，b1=1，b n=n．（2）由（1）可得a n=n2n−1S n=1⋅20+2⋅21+3⋅22+n⋅2n−12S n=1⋅21+2⋅22+3⋅23+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n两式相减，得−S n=20+21+22+2n−1−n⋅2n=2n−1−n⋅2n，即S n=(n−1)2n+1∴ limn→∞S nn⋅2n+1=limn→∞(n−1)2n+1n⋅2n+1=12（3）由（1）可得T n=n2，∴ d n=T n4a n2−T n =14n−1，(d1+d2+d3++d n+d n+1)−(d1+d2+d3++d n)=d n+1=14n+1−1>0∴ {d1+d2+d3++d n}单调递增，即d1+d2+d3++d n≥d1=13，要使d1+d2+d3++d n≥log8(2m+t)对任意正整数n成立，必须且只需13≥log8(2m+t)，即0<2m+t≤2对任意m∈[1, 2]恒成立．∴ [2+t, 4+t]⊆(0, 2]，即{2+t>04+t≤2⇒−2<t≤−2矛盾．∴ 满足条件的实数t不存在．。
2010年上海市各区高三数学二模试题分类汇编：统计新人教版
2010年上海市各区高三二模数学试题分类汇编
第12部分:统计
一、选择题：
17．（上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟文理科）某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查。
现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k 80050
=16，即每16人抽取一个人。
在1~16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33 ~ 48这16个数中应取的数是（B ）
A ． 40．
B ．39．
C ．38．
D ．37．
二、填空题：
11．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科）某公司为改善职工的
出行条件，随机抽取50名职工，调查他们的居住地与公司的距离d (单位:
千米)．若样本数据分组为[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]， (8,10]， (10,12]，
由数据绘制的分布频率直方图如图所示，则样本中职工居住地与公司的距
离不超过4千米的人数为 24 人．
11、（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研文科）已知某企业职工年收
入的频率分布如表所示
试估计该企业职工的平均年收入为__ ____（万元）。
5.1
10．（上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟理科）有5只苹果，它们的质量分别为125 a 121 b 127（单位：克）：若该样本的中位数和平均值均为124， 则该样本的标
第11题
准差s=_____________.（克）
6．（上海市浦东新区2010年4月高考预测理科）已知一组数据7、8、9、x、y的平均数是8，则这组数据的中位数是 8 .。
上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试(数学理)
上海市普陀区高三质量调研数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1. 已知211010x xC C+-=，则x= .2. 设函数()f x的图像关于原点对称，且存在反函数1()f x-. 若已知(4)2f=，则1(2)f--= .3. 函数y=的定义域是 .4. 已知3cos5x=，,02xπ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则tan2x= .5. 已知椭圆的参数方程为4cos,5sin,xyθθ=⎧⎨=⎩（Rθ∈），则该椭圆的焦距为 .6. 设2111()1111f x xx=-()x R∈，则方程()0f x=的解集为 .7. 不等式0)1)(2|(|≥--xx的解集为 .8. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 .9. 在复平面上，已知直线l上的点所对应的复数z满足3z i z i+=--，则直线l的倾斜角为 .（结果反三角函数值表示）10. 将一个半圆面围成圆锥的侧面,则其任意两条母线间夹角的最大值为_________.11. 如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，点P是MD的中点. 若2AB=，1AD=，且60BAD∠=︒，则A P C P⋅= .12. 平面直角坐标系中，已知点()1,0P，()12,1P，且1112n n n nP P P P+-=-（*Nn∈）.当n→+∞时，点nP无限趋近于点M，则点M的坐标为 .13.如图，在ABC△中，2AB=，BC=34ABCπ∠=. 以点B为第11题图圆心，线段BC 的长为半径的半圆分别交AB 所在直线于点E 、F ，交线段AC 于点D ，则弧CD 的长约为 .（精确到0.01）14. 在9(1)x +的二项展开式中任取2项，i p 表示取出的2项中有i 项系数为奇数的概率. 若用随机变量ξ表示取出的2项中系数为奇数的项数i ，则随机变量ξ的数学期望E ξ= .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.15. 已知条件:1p x >，条件1:1q x<，则p 是q 成立的 （ ） A ．充分非必要条件； B ．必要非充分条件； C ．充要条件；D ．既非充分也非必要条件.16. 已知抛物线20x my +=上的点到定点(0,4)和到定直线4y =-的距离相等， 则m = （ ） A.116 ； B. 116- ； C. 16 ； D. 16-. 17. 四棱锥P ABCD -底面为正方形,侧面PAD 为等边三角形,且侧面PAD ⊥底面ABCD ,点M 在底面正方形ABCD 内运动,且满足MP MC =,则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是 （ ）18. 若函数3()f x x ax =-（0a >）的零点都在区间[-10,10]上，则使得方程()1000f x =有正整数解的实数a 的取值个数为 （ ） A. 1; B. 2; C. 3； D. 4.三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.AB CDC.AB CDA.AB CDB.ABDD.第17题图A19. （本题满分14分）已知a R ∈，命题:p 实系数一元二次方程220x ax ++=的两根都是虚数； 命题:q 存在复数z 同时满足2z =且1z a +=.试判断：命题p 和命题q 之间是否存在推出关系？请说明你的理由.20. （本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且满足13n n a S +=，*N n ∈．数列{}n b 满足4log n n b a =.（1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 当*N n ∈时，试比较12n b b b +++与()2112n -的大小，并说明理由.21. （本题满分14分，其中第1小题8分，第2小题6分）一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下，每天销售量为b 件. 经市场调查后得到如下规律：若对产品进行电视广告的宣传，每天的销售量S （件）与电视广告每天的播放量n （次）的关系可用如图所示的程序框图来体现.（1）试写出该产品每天的销售量S （件）关于电视广告每天的播放量n （次）的函数关系式；（2）要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%，则每天电视广告的播放量至少需多少次？22.（本题满分18分，其中第1小题6分，第2小题4分，第3小题8分）定义变换T ：cos sin ,sin cos ,x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨'⋅-⋅=⎩可把平面直角坐标系上的点(,)P x y 变换到这一平面上的点(,)P x y '''.特别地，若曲线M 上一点P 经变换公式T 变换后得到的点P '与点P 重合，则称点P 是曲线M 在变换T 下的不动点.（1）若椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，且焦距为距离为2. 求该椭圆C 的标准方程. 并求出当3arctan4θ=时，其两个焦点1F 、2F 经变换公第21题图式T 变换后得到的点1F '和2F '的坐标； （2）当3arctan4θ=时，求（1）中的椭圆C 在变换T 下的所有不动点的坐标； （3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换T ：cos sin ,sin cos ,x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨'⋅-⋅=⎩（2k πθ≠，k Z ∈）下的不动点的存在情况和个数.23. （本题满分18分，其中第1小题5分，第2小题5分，第3小题8分）在平面直角坐标系中，已知O 为坐标原点，点A 的坐标为(),a b ，点B 的坐标为()cos ,sinx x ωω，其中220a b +≠且0ω>.设()f x OA OB =⋅.（1）若a =1b =，2ω=，求方程()1f x =在区间[]0,2π内的解集；（2）若点A 是过点()1,1-且法向量为()1,1n =-的直线l 上的动点.当x R ∈时，设函数()f x 的值域为集合M ，不等式20x mx +<的解集为集合P . 若P M ⊆恒成立，求实数m 的最大值；（3）根据本题条件我们可以知道，函数()f x 的性质取决于变量a 、b 和ω的值. 当x R ∈时，试写出一个条件，使得函数()f x 满足“图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在6x π=处()f x 取得最小值”.【说明：请写出你的分析过程.本小题将根据你对问题探究的完整性和在研究过程中所体现的思维层次，给予不同的评分.】高三质量调研数学试卷参考答案及评分标准(PT04)一、填空题（每小题4分，满分56分）： 1. 1或3； 2. -4； 3. 理：2,13⎛⎤⎥⎝⎦；文：2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； 4. 247；5. 理：6；文：1；6. {1,1}-；7. ),2[]1,2[+∞- ；8.B ；9. 3arctan2π-； 10. 60°； 11. 2516-； 12. 52,33⎛⎫ ⎪⎝⎭； 13. 理：3.13；文：10； 14. 理：45；文：215. 二、选择题（每题4分，满分16分）：三、解答题： []1,3，a 的取值范围是)1,22⎡⎣)282a ∆=-<;[]1,3,，集合[]1,3B =，可知集合之间不存在推出关系5BC BDBC BD ⋅=-⋅，即3arccos DBC ∠.arccos CD π⎛=-2n+⎪⎭（件）与电视广告播放量()()()411log 3212n n n =-+-- >题续）又当1n =时，=()21n ->]3(2)n+-)不可能是直线221=（a>=+ x x ()sin2。
上海市部分重点中学2010届高三第二次联考(精)
上海市部分重点中学2010届高三第二次联考文科数学试卷命题人：三林中学 蒲红军一、填空题（每小题4分,共计56分） 1、()i i ⋅-21=______________2、已知b a ,均为单位向量，它们的夹角为60°，那么a b+=______3、已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =_________4、圆心为(2,1)且与直线1x y +=相切的圆的方程为___________________5、若x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则y x z -=2的最大值为6、已知函数12)(+=x x f 的图象与()y g x =的图象关于直线y x =对称，则方程()2g x =的解为_______7、若圆柱的底面半径为1，高为3，则该圆 柱的全面积为_________8、数列{}n a 中，若()1525n n nn a n ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩是奇数（是偶数）设n n a a a S 2212+⋅⋅⋅++=, 则2lim n n S →∞=______9、方程22log ||2x x =-的实根个数为10、阅读右侧的算法框图，输出的结果S 的值为 ______11、锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。
从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为______(用分数表示)12、右表给出一个“直角三角形数阵”：每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为()*,,ij a i j i j N ≥∈，则85_____a =13、已知ABC ∆的三个顶点在以O 为球心的球面上，且AB AC =,3A π∠=,ABC S ∆=.若球的表面积为16π则,A B 两点的 球面距离是____14、设n a (n ＝2,3,4…)是(3n 的展开式中x 的一次项的系数,则2342010234201020103333()2009a a a a ++++的值是________ 二、选择题（每小题4分,共计16分）15、与命题“若M a ∈则M b ∉”的等价的命题是（ ） A ．若M a ∉，则M b ∉ B ．若M b ∉，则M a ∈C ．若M a ∉，则M b ∈D ．若M b ∈，则M a ∉ 16、设()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D 17、一空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为( ).A.2π+4π+ C. 2π D. 4π18、已知集合M 是满足下列性质的函数()x f 的全体：当[]1,1,21-∈x x 时，都有|)()(|21x f x f -||421x x -⋅≤，在以下函数①5)(=x f ；②34)(-=x x f ；③x x x f 2)(2+=；④21)(+=x x f 中 可以是集合M 中的元素的序号为（ ）（A ）①②③④； （B ）①②④； （C ）②③； （D ）①②③。
2010年上海市各区县模拟试题综合题汇编
2010年上海市各区县模拟试题综合题汇编1. 杨浦区24．（本题12分）已知二次函数2y x bx c =++的图像过点A （-1，3）和B （2，0），直线AB 交y 轴于点C ，二次函数图像的顶点为D 。
（1）求二次函数的解析式；（4分）（2）若点P 在射线AB 上（不与点C 重合），且△AOC ∽△APO ，试求点P 的坐标；（4分） （3）在（2）的条件下求tan APD ∠的值。
（4分）25．（本题14分）（第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 已知线段AB =10，点P 在线段AB 上，且AP =6，以A 为圆心AP 为半径作⊙A ，点C 在⊙A上，以B 为圆心BC 为半径作⊙B ，射线BC 与⊙A 交于点Q （不与点C 重合）。
（1）当⊙B 过点A 时(如图1)，求CQ 的长；（2）当点Q 在线段BC 上时（如图2），设BC =x ，CQ =y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）当由A 、P 、Q 、C 四点构成的四边形是梯形时，求BC 的长。
（第25题图2）B（备用图）（第25题图1）24．（本题满分12直线l 过点(2,0A -（1）求直线l （2）若抛物线y =(3) 若点E 在直线25．（本题满分14已知如图，直线MN 段CD 于点E ，过点（1） 求证：2PC （2） 设PN x =，（3） 联结PD24. （本题12分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画圆，P 是⊙O 上一动点且在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线，与x 、y 轴分别交于点A 、B 。
（1） 求证：△OBP 与△OPA 相似； （2） 当点P 为AB 中点时，求出P 点坐标；（3） 在⊙O 上是否存在一点Q ，使得以Q 、O 、A 、P 为顶点的四边形是平行四边形。
若存在，试求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由。
25. （本题14分）如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 交x 轴于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），交y 轴于点C 。
2010年上海市杨浦、静安、青浦、宝山四区高三年级联合模拟
2010年四区(杨浦、静安、青浦、宝山)联合高考模拟第二学期高三年级教学质量检测数学试卷（满分150分，答题时间120分钟） 2010.4考生注意：1． 本试卷包括试题卷和答题纸两部分．试题卷上题号后注明[文科]的试题，表示文科生做，注明[理科]的试题表示理科生做，未注明的试题所有考生都要做．答题纸另页，正反面． 2． 在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3． 可使用符合规定的计算器答题．一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．方程组21320x y x y +=⎧⎨-=⎩对应的增广矩阵为 .2．函数sin cos y x x = .3．已知=U R ，集合23|02x M x x -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，则R C M = . 4．若sin(2)cos(2)y x x αα=+++为奇函数，则最小正数α的值为 .5．若11{2,1,0}12x∈--，则x = . 6．[文科] 若α是方程2x 4x 50-+=在复数范围内的根，则||α= .[理科]设集合{}C x x x A ∈=-=,01|4，z 23i =-，若A x ∈，则z x -的最大值是 .7. [文科]非负实数x 、y 满足⎩⎨⎧≤-+≤-+03042y x y x ，则3x y +的最大值为 .[理科]在极坐标系中，圆θθρsin 3cos 4+＝的半径长是 .8．[文科]有8本互不相同的书，其中数学书3本、外文书2本、其他书3本，若将这些书排成一排放在书架上，则数学书排在一起，外文书也排在一起的概率是 .[理科] 有一种游戏规则如下：口袋里有5个红球和5个黄球，一次摸出5个，若颜色相同则得100分，若4个球颜色相同，另一个不同，则得50分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是 分.9．程序框图如图所示，其输出的结果是 . 10．若二项式7()+x a 展开式中，5x 项的系数是7，则)(lim 242n n a a a +++∞→ = .11．[文科] 一个用立方块搭成的立体图形，小张从前面看和从上面看到的图形都是同一图形，如图，那么，搭成这样一个立体图形最少需要 个小立方块．[理科]在ABC ∆中，若2,3,4===c b a ，则ABC ∆的外接圆半径长为 . 12．[文科]如图，要做一个圆锥形帐篷（不包 括底面），底面直径6米，高4米，那么至少 需要 平方米的帆布.[理科]已知一圆锥的底面直径、高和一圆柱的底面直径 均是d ，那么，圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为 .13．[文科] 以抛物线x y 82=的顶点为中心，焦点为右焦点，且以x y 3±=为渐近线的双曲线方程是 .[理科]已知抛物线y x 32=上的两点A 、B 的横坐标恰是方程02=++q px x （,p q 是实数）的两个实根，则直线AB 的方程是 .14．[文科] 已知ABC ∆内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且543=⋅+⋅+⋅，则ABC S ∆= .[理科]已知O 是∆ABC 的外心，2=AB ，3=AC ，21+=x y ，若=⋅+⋅AO x AB y AC ，(0)xy ≠，则cos ∠=BAC .二．选择题 (本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15.“直线l 垂直于ABC ∆的边AB ，AC ”是“直线l 垂直于ABC ∆的边BC ”的（ ）.第9题第12题[文科]第11题(A)充要条件 (B)充分非必要条件(C)必要非充分条件 (D)即非充分也非必要条件16.下列类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）：①“若,a b R ∈，则0a b a b -=⇒=”类比推出“若,a b C ∈，则0a b a b -=⇒=”； ②“若,,,a b c d R ∈，则复数,a bi c di a c b d +=+⇒==”类比推出“若,,,a b c d Q ∈，则a c a c,b d +=+==”；③“若,a b R ∈，则0a b a b ->⇒>”类比推出“若,a b C ∈，则0a b a b ->⇒>”． 其中类比结论正确的个数是（ ）.(A) 0(B) 1(C) 2(D) 317. [文科]若nn n a n 212111+⋅⋅⋅++++=（n 是正整数），则+=+n n a a 1（ ）.(A))1(21+n (B)11221+-+n n (C) 11221121+-+++n n n (D) 221121+++n n [理科] 观察下列式子： ,474131211,3531211,23211222222<+++<++<+，可以猜想结论为( ) .(A)2221112n 1123n n++++⋅⋅⋅+< (n N*)∈ (B) 2221112n 1123(n 1)n-+++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈ (C) 2221112n 1123(n 1)n 1++++⋅⋅⋅+<++(n N*)∈ (D) 2221112n 1123n n 1++++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈ 18．[文科] 已知函数2a x f (x)x+=，(a 0)>，x (0,b)∈，则下列判断正确的是（ ）.(A)当b >时，f (x)的最小值为；(B)当0b <≤时，f (x)的最小值为(C)当0b <≤时，f (x)的最小值为2a b b+；BA 1C 1D(D)对任意的b 0> ，f (x)的最小值均为[理科] 设函数2()()1||xf x x R x =∈+，区间[,]M a b =，()a b <，集合{|(),}N y y f x x M ==∈，则使M N =成立的实数对(),a b 有（ ）.(A)3对； (B)5对； (C)1对； (D)无数对．三．解答题 （本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要步骤． 19. (本题满分12分)[文科]已知1111ABCD A BC D -是底面为菱形的直四棱柱，P是棱1DD 的中点，060BAD ∠=，底面边长为2，四棱柱的体积为1AD 与PB 所成的角大小.（结果用反三角函数值表示）[理科]已知1111ABCD A BC D -是底面为菱形的直四棱柱，P 是棱1DD 的中点，060BAD ∠=，底面边长为2，若PB 与平面11ADD A 成045角，求点1A 到平面ACP 的距离.20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．把水放在温度为0θ℃的空气中冷却，若水原来的温度是1θ℃10()θθ>，t 分钟后物体温度θ℃可由公式010()kt e θθθθ-=+-求得，其中，k 是由不同盛水的容器所确定的正常量．（1）若室温为20℃，往某容器中倒入98℃的热水，一小时后测得水温为71.2℃，求k 的值；（精确到0.001）（2）若一保温杯的0.01k =，往该保温杯中倒入100℃的开水，经过2.5小时测得水温为40℃，求此时的室内温度（假设室内恒温，精确到0.1℃）．21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．[文科]已知平面向量)1),(sin(x a -=π，)cos ,3(x b =，函数b a x f ⋅=)(． （1）写出函数)(x f 的单调递减区间；第19题[文、理科]（2）设1)6()(+-=πx f x g ，求直线2=y 与)(x g y =在闭区间],0[π上的图像的所有交点坐标.[理科] 已知平面向量(sin(2),1)=-a x π，b (3,cos2x)=，函数a x f ⋅=)(． （1）写出函数)(x f 的单调递减区间；（2）设nnnn g(x)lim ,(0x 2)x →+∞π=<<ππ+，求函数()=y f x 与)(x g y =图像的所有交点坐标. 22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分．已知12,F F 为椭圆2222:1x y C a b+=,()0a b >>的左右焦点，O 是坐标原点，过2F 作垂直于x 轴的直线2MF 交椭圆于M ，设2MF d = .（1）证明：,,d b a 成等比数列；(2)若M 的坐标为)，求椭圆C 的方程；（3）[文科]在(2)的椭圆中，过1F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若0⋅=OA OB ，求直线l 的方程．[理科]在(2)的椭圆中，过1F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若椭圆C 上存在点P ，使得OP OA OB =+，求直线l 的方程．23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．定义：如果数列{}n a 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{}n a 为“三角形”数列．对于“三角形”数列{}n a ，如果函数()=y f x 使得()n n b f a =仍为一个“三角形”数列，则称()=y f x 是数列{}n a 的“保三角形函数”，(n N*)∈.(1)已知{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，若(),(1)x f x k k =>是数列{}n a 的“保三角形函数”，求k 的取值范围；(2)已知数列{}n c 的首项为2010，n S 是数列{}n c 的前n 项和，且满足1438040+-=n n S S ，证明{}n c 是“三角形”数列；(3) [文科] 若()lg =g x x 是(2)中数列{}n c 的“保三角形函数”，问数列{}n c 最多有多少项．[理科] 根据“保三角形函数”的定义，对函数2()2h x x x =-+，[1,]∈x A ，和数列1，1+d ，12+d ，（0>d ）提出一个正确的命题，并说明理由.2010年四区(杨浦、静安、青浦、宝山)联合高考模拟数学试卷参考答案2010.4一、填空题1.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-023112 2.π=T 3.]23,2[- 4.43πα= 5. 0 6. 文理7. 文9 理2.5 8. 文128 理 7759. 127 10.12 11. 文5 理15158 12. 文 15π13. 文1322=-y x 理03=++q y px2(40)∆=->p q14. 文65 理 34二、选择题 15.B 16.C 17. 文 C 理C 18.文 A 理A 三、解答题19．[文科]解：由体积为202sin 60⋅=h h=4… 3分 取AD 的中点为E ，联结PE ，PB ，则11⊥BE ADD A ， ……5分1//AD PE ，∠EPB 为直线PB 与直线1AD 所成的角． ……8分经计算=BE=PB …… 10分sin ∠=EPB ， 即异面直线1AD 与PB所成的角为arcsinarctan ）．… 12分 [理科] 解：取AD 的中点为E ，联结BE ，PB ，则11⊥BE ADD A ，∠EPB 为PB 与平面11ADD A 所成的角． …… 2分经计算=BE=PB=PD1=DD…… 4分以OA 为x 轴，OB 为y 轴，1OO 为z 轴建立空间直角坐标系，… 5分A，(C，(0,1-P ，=AC，(3,1,=PA ， …… 7分设平面ACP 的法向量(,,)=n x y z ，由0⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩AC n PA n 得(0,2,1)=n ， … 10分而1=A A ，所以146||⋅==A A n d n …… 12分20．（1）由题意，6071.220(9820)0.007k e k -=+-⇒= …5分 （2）01(1)kt kt e e θθθ--=-+，当0θ、1θ越大时，水温保持时间越长．… 7分0.011500.0115000040(1)10022.8-⨯-⨯=-+⇒=e e C θθ …… 13分答:此时的室内温度为022.8C ． …………………… 14分 21. [文科] 解：（1）)6sin(2cos )sin(3)(ππ+=+-=x x x x f ，…4分单调递减区间)](342,32[Z k k k ∈++ππππ； …… 6分 （2）1sin 21)6()(+=+-=x x f x g π，…………………………… 8分 解2)(=x g ，即21sin =x ，],0[π∈x 得65,6ππ=x ，…………12分 所以交点坐标为：)2,65(),2,6(ππ． ……14分 [理科]解：(1))62sin(22cos )2sin(3)(ππ+=+-=x x x x f ，…2分单调递减区间为2[k ,k ](k Z)63πππ+π+∈； ……6分 （2）1,(0x )1g(x),(x )20,(x 2)<<π⎧⎪⎪==π⎨⎪π<<π⎪⎩， …… 8分当0x <<π时，解2sin(2x )16π+=，得x 3π=， ……10分 当x =π时，解12sin(2x )62π+=，无解， ……11分 当x 2π<<π时，解2sin(2x )06π+=，得17x 12π=， ……13分 所以交点坐标为：(,1)3π，17(,0)12π． ……14分22.(1)证明：由条件知M 点的坐标为()0,c y ，其中0=y d ，222221,∴+===c d b d b a b a， …… 3分 d bb a∴=，即,,d b a 成等比数列． …… 4分 (2)由条件知1c d =，22212b a a b ⎧=⋅∴⎨=+⎩ …… 6分2a b =⎧⎪∴⎨=⎪⎩椭圆方程为22142x y += …… 8分 （3）[文科]设点A ),(11y x 、B ),(22y x ，当x l ⊥轴时，A )1,2(--、B )1,2(-，所以0⋅≠OA OB ． …… 9分设直线l 的方程为)2(+=x k y ，代入椭圆方程得04424)21(2222=-+++k x k x k ．…………… 11分所以21222122x x ,12k 4k 4x x 12k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪⎩+…………………………………………… 13分 由0⋅=OA OB 得1212x x y y 0⋅+⋅=222212121212x x k (x (1k )x x (x x )2k 0⋅+=+⋅++=代入得2222222(1k )(4k 4)2k 012k 12k+--+=++，解得k = 所以直线l的方程为=y x ． …… 16分[理科]设点P （x,y ），A ),(11y x 、B ),(22y x ，由 OP OA OB =+，得1212x x x y y y =+⎧⎨=+⎩当x l ⊥轴时，A )1,2(--、B )1,2(-，此时P )0,22(-不在椭圆上． …… 9分设直线l 的方程为)2(+=x k y ，代入椭圆方程得04424)21(2222=-+++k x k x k ． …… 11分所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=++=+=+-=+=222212122212122)222124()22(,2124k kk k k x x k y y y k k x x x … 13分把点P （x,y ）代入椭圆方程得1)21(28)21(432222224=+++k k k k ，解得212=k ， 所以直线l的方程为=y x ． …… 16分 23． (1)显然1n a n =+，12n n n a a a +++>对任意正整数都成立， 即{}n a 是三角形数列． …… 2分因为k>1，显然有12()()()n n n f a f a f a ++<<<⋅⋅⋅，由12()()()n n n f a f a f a +++>得12n n n k k k +++>，解得k <所以当∈k 时，()x f x k =是数列{}n a 的“保三角形函数”. …… 5分 (2) 由1438040+-=n n S S 得1438040--=n n S S ,两式相减得1430+-=n n c c所以，1320104-⎛⎫= ⎪⎝⎭n n c ，经检验，此通项公式满足1438040+-=n n S S ……7分显然12++>>n n n c c c ，因为11123321320102010201044164+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⋅> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n c c c ，所以{}n c 是“三角形”数列． …… 10分(3) [文科] 因为n g(c )是单调递减函数，所以，由12lg lg lg --+>n n n c c c 得333lg 2010(2)lg lg 2010(1)lg lg 2010(3)lg 444+-++->+-n n n ……14分 化简得4lg 2010lg 3>n ，解得26.4<n ， 即数列{}n b 最多有26项． ……18分(3) [理科] 探究过程： 函数2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是数列1，1+d ，1+2d (0)d > 的“保三角形函数”，必须满足三个条件：①1，1+d ，1+2d (0)d >是三角形数列，所以1112d d ++>+，即01d <<．②数列中的各项必须在定义域内，即12+≤d A .③(1),(1),(12)++h h d h d 是三角形数列.由于2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是单调递减函数，所以(1)(12)(1)h d h d h +++>，解得0d <<． 评分建议原则：从考生解答的整体结构上判断考生的思维水平、把握考生的得分层次．对于非完备性的探索包括指向有误的探索，应坚持完成评卷．1．没有写出命题，但有比较完整的探究过程，得分最高不超过4分．2．写出“2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是数列1，1+d ，1+2d (0)d >的‘保三角形函数’” 的必要条件之一或者充分条件之一（当……时，2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是数列1，1+d ，1+2d (0)d >的‘保三角形函数’），并能适当说明理由，得分最高不超过6分．3．能正确指出“当……时，2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈不是数列1，1+d ，1+2d (0)d >的‘保三角形函数’”，并能适当说明理由，得分最高不超过4分．4．考生解答出现上述2、3两条交叉情况的，以较高的得分赋分．第一层次 ………………命题4分，证明4分.示例1： 2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是数列1，1+d ，1+2d (0)d >的“保三角形函数”的充要条件是12,05+≤<<d A d ． 证明：必要性：因为当x=1时，h(x)的最大值为1，则由1112(1)(12)1++>+⎧⎨+++>⎩d d h d h d得5d <，且12+≤d A .充分性：当12,0+≤<<d A d 时，22(1)1,(1)1,(12)14h h d d h d d =+=-+=-， 有(1)(1)(12)0h h d h d >+>+>，且22(1)(12)(1)(14)1(1)h d h d d d h +++=-+->=，故函数2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是数列1，1+d ，1+2d (0)d > 的“保三角形函数”．综上，充要条件是12,05+≤<<d A d . 第二层次 …………… 命题3分，证明3分.示例2：2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是数列1，1+d ，1+2d (0)d >的“保三角形函数”的必要条件是550<<d . 解：在A d ≤+21条件下，因为当x=1时，h(x)的最大值为1，则由1112(1)(12)1++>+⎧⎨+++>⎩d d h d h d得5d <. 第三层次 …………… 命题2分，证明2分.示例3：当12d A +>时，显然()y h x =不是数列1，1+d ，1+2d (0)d >的“保三角形函数”.因为，此时(12)h d +不存在.。
2010年上海市高三二模数学最后一个填空题汇编(杨志念)解读
2010年高三二模部分客观题汇编（较难）1、（徐汇区理科） 设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.51, 1.52=-=-.若函数()()0,11x x a f x a a a =>≠+，则()()()1122g x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域为________________. 答案 {}1,0-2、（长宁区理科）在平面直角坐标系中，定义点),(),,(2211y x Q y x P 之间的“直角距离”为||||),(2121y y x x Q P d -+-=。
若),(y x C 到点)9,6(),3,1(B A 的“直角距离”相等，其中实数y x ,满足93,100≤≤≤≤y x ，则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和为__________；答案)12(5+3、（长宁区文科）已知函数⎩⎨⎧>-≤-=-).0)(1(),0(12)(x x f x x f x 若方程a x x f +=)(有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_________；答案：)1,(-∞4、（普陀区）平面直角坐标系中，已知点()01,0P ，()12,1P ，且1112n n n n P P P P +-=- （*N n ∈）.当n →+∞时，点n P 无限趋近于点M ，则点M 的坐标为 . 答案2516-5、（杨浦区）设函数2()()1||xf x x R x =∈+，区间[,]M a b =，()a b <，集合{|(),N y y f x x M ==∈，则使M N =成立的实数对(),a b 有（ A ）.(A)3对； (B)5对； (C)1对； (D)无数对．5、（奉贤区区）由曲线22x y =，22x y =-，2x =，2x =-围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为1V ；满足224x y +≤，22(1)1x y +-≥，22(1)1x y ++≥的点组成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V ，试写出1V 与2V 的一个关yyx x OO24242424-2-2-2 -2系式 。
2010各区二模卷分类
（闵行）V. Choose the best answer (选择最恰当的答案): (共26分)31. Mr. Richard gave some students ______ lecture on international business yesterday.A) a B) an C) the D) /32. Many great inventions have become a big part of ______ life today now.A) we B) us C) our D) ours33. You can improve your spoken English ______ listening and speaking more.A) in B) with C) by D) about34. It is said that two ______ students are going to enter the contest this Sunday afternoon.A) thousand B) thousands C) thousand of D) thousands of35. Xintiandi in Shanghai is now familiar ______ many foreigners.A) on B) with C) from D) to36. Every time I go to watch a movie, something keeps me from enjoying the film. Some peoplearrive late, ______ talk loudly.A) the other B) others C) the others D) another37. People ______ only buy and use things that do not damage the environment.A) can’t B) needn’t C) should D) must38. ______ useful information he has given us! We all thank him.A) How B) What C) What a D) What an39. Albert, if you ______ carefully, you will understand the report well.A) listen B) listened C) will listen D) are listening40. I don’t think the underground train runs so ______ as the train above ground.A) fast B) faster C) fastest D) the fastest41. Catherine ______ the letter before her mother came into the bedroom.A) has written B) had written C) was writing D) would write42. My parents often warn me ______ outside too late at night.A) don’t stay B) to don’t stay C) not to stay D) to not stay43. It’s her first trip by train, the little girl keeps ______ at the beautiful scenery out of thewindow.A) look B) to look C) looks D) looking44. His joke sounded ______, and it made all the people there laugh a lot.A) amazing B) clearly C) amusing D) well45. Now Shanghai has become one of ______ cities in the world.A) attractive B) more attractive C) most attractive D) the most attractive46. A lot of work ______ by robots in that workshop every day.A) will do B) did C) is done D) has been done47. The man carried ______ luggage on his trip. He met some trouble while checking in.A) quite a few B) only a little C) a couple of D) too much48. Mind your steps as you go, ______ you’ll fall down onto the wet ground.A) and B) but C) or D) so49. Tom was not honest that day. He ______ that he was ill so that he could stay at home to watchthe football match.A) pretended B) guessed C) supposed D) suggested50. His idea ______ to be right though some people complained much about that at first.A) turned over B) turned down C) turned up D) turned out51. He always ______ his friends about everything. In fact, he has no thoughts of his own.A) cares for B) makes fun of C) agrees with D) laughs at52. Her ambition is to be a journalist when she grows up. The underlined part means “______”.A) businesswoman B) clerk C) guide D) reporter53. Tom goes in for basketball. He always plays basketball with his friends in his spare time. Theunderlined part means “______”.A) takes part in B) is keen on C) gets tired of D) is busy with54. — Would you like me to book a ticket for you?— No, you needn’t. ______A) My pleasure. B) It’s an easy job.C) Thank you anyway. D) It doesn’t matter.55. — Would you mind my opening the window?— ______ Go ahead, please.A) Not at all. B) Of course.C) Thank you. I can manage. D) It’s very nice.56. — Do you know ______ last week?— Maybe 1,000 yuan. I’m not quite sure.A) how much did she pay for the watch B) how much she paid for the watchC) how much did the watch she pay for D) how much the watch she paid forVI. Complete the sentences with the given words in their proper forms（用括号中所给单词的适当形式完成下列句子): (共8分)57. After paying the bill, he got the change of forty ____________. (penny)58. I gave him full directions to ____________ him to find the house. (able)59. This letter is _____________, and I don’t want anyone else to read i t. (person)60. She can __________ delicious meal from very simple ingredients. (product)61. He was late and he walked into the meeting room ____________. (quiet)62. We need to come up with an idea and make a ____________ at once. (decide)63. It was not easy for Jack to get the ____________ in the 800-metre race. (four)64. They are ____________ children because they don’t have enough to eat.(healthy)VII. Rewrite the following sentences as required（根据所给要求，改写下列句子。
数学_2010年上海市嘉定区、黄浦区高考数学二模试卷(文科)_(含答案)
2010年上海市嘉定区、黄浦区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分） 1. 方程2sinx −1=0的解集是________．2. 已知直线l 1:√3x −y +2=0，l 2:3x +√3y −5=0，则直线l 1与l 2的夹角是________．3. 已知全集U =R ，若集合A ={x|x 2−x −2>0, x ∈R}，B ={x||x +1|≤2, x ∈R}，则(C U A)∪B =________．4. 幂函数y =f(x)的图象过点A(4, 2)，则函数y =f(x)的反函数f −1(x)=________（要求写明定义域）．5. 已知z =1−i （i 是虚数单位），计算1+3i z¯+√2|z|i =________（其中z ¯是z 的共轭复数）．6. (x −12x)16的二项展开式中第4项是________． 7. 函数y =sin(2x +π3)+cos(2x +π6)的最小正周期T =________ 8. 若|12x5012x 131|=0，则实数x =________． 9. 已知e 1→=(1,3)，e 2→=(1, 1)e 3→=(x, 1)，且e 3→=2e 1→+λe 2→(λ∈R)，则实数x 的值是________．10. 如图所示，角a 的终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）交于第二象限的点A(cosα, 35)则cosα−sinα=________．11.如图，已知长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =√2，BC =√3，AA 1=√6，则异面直线AB 1与BC 1所成的角是________．12. 从某高级中学高一年级的10名优秀学生（其中女生6人，男生4人）中，任选3名学生作为上海世博志愿者，问恰好选到2女1男的概率是________．（用数值作答）13. 某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是32π时，则该圆锥体的体积是________． 14. 某校300名学生，会考化学得分范围是70−119（得分都是整数），为了了解该校这300名学生的会考化学成绩，从中抽查了一部分学生的化学分数，通过数据处理，得到如下频率分布表和频率分布直方图．请你根据给出的图标解答：（1）填写频率分布表中未完成部分的数据； （2）指出在这个问题中的总体和样本容量；（3）求出在频率分布直方图中直角梯形ABCD 的面积；（4）请你用样本估计总体，可以得到哪些信息？（写一条即可）二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）15. 已知a 、b 、c 是直线，α是平面，b 、c ⊊α，则“a ⊥平面α”是“a ⊥b 且a ⊥c”的（ ） A 充要条件 B 充分非必要条件 C 必要非充分条件 D 非充分非必要条件 16. 坐标平面上的点(x, y)位于线性约束条件{x +y ≤5y ≤x +1x ≥0y ≥0所表示的区域内（含边界），则目标函数z =3x +4y 的最大值是（ ） A 15 B 20 C 18 D 2517. 已知无穷等比数列{a n }的前n 项和S n =13n +a(n ∈N ∗)，且a 是常数，则此无穷等比数列各项的和是（ ）A 13 B −13 C 1 D −118. 某中学采用系统抽样方法，从该校800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k =80050=16，即每16人抽取一个人．在1∼16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33∼48这16个数中应取的数是( ) A 40 B 39 C 38 D 37三、解答题（共5小题，满分78分）19. 已知二次函数f(x)=ax 2+bx 对任意x ∈R 均有f(x −4)=f(2−x)成立，且函数的图象过点A(1,32)．（1）求函数y =f(x)的解析式；（2）若不等式f(x −t)≤x 的解集为[4, m]，求实数t 、m 的值． 20. 已知△ABC 的周长为4(√2+1)，且sinB +sinC =√2sinA ． (1)求边长a 的值；(2)若S △ABC =3sinA ，求cosA 的值．21. 已知x ∈R ，函数f(x)=x +ax+1(x ∈[0, +∞)），求函数f(x)的最小值． 22. 已知数列{a n }满足a 1=a ，a 2=2，S n 是数列的前n 项和，且S n =n(a n +3a 1)2(n ∈N ∗)．（1）求实数a 的值；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）对于数列{b n }，若存在常数M ，使b n <M(n ∈N ∗)，且limn →∞b n =M ，则M 叫做数列{b n }的“上渐近值”．设t n =S n+2S n+1+S n+1S n+2−2(n ∈N ∗)，T n 为数列{t n }的前n 项和，求数列{T n }的上渐近值．23. 已知抛物线y 2=4ax （a >0且a 为常数），F 为其焦点． （1）写出焦点F 的坐标；（2）过点F 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点，且PF →=2FQ →，求直线PQ 的斜率； （3）若线段AC 、BD 是过抛物线焦点F 的两条动弦，且满足AC ⊥BD ，如图所示．求四边形ABCD 面积的最小值S(a)．2010年上海市嘉定区、黄浦区高考数学二模试卷（文科）答案1. {x|x =kπ+(−1)k π6, k ∈Z} 2. π33. [−3, 2]4. y =x 2(x ≥0)5. 2+3i6. T 4=−70x 107. π8. 29. −3 10. −75 11. π4 12. 12 13.64√3π314. 解：（1）根据第一组的频数为15，频率为0.30，所以这次被抽查的学生人数是50人，第三组的频率为1850=0.36，分数在79.5∼89.5之间的人数为50−15−10−18−3=4人，频率为450=0.08，如图：（2）总体是300名学生的中考化学成绩，样本容量为50；（3）∵ ∠DOE=∠AOF，∠E=∠AFO=90∘，DE=AF，∴ △DOE≅△AOF，∴ S梯形ABCD =S矩形ABGF+S矩形CDEG=0.08+0.36=0.44；（4）本题有多个结论，例如，300名初中毕业年级学生化学分数在89.5∼99.5的人数最多，约为108人；或300名初中毕业年级学生化学分数在69.5∼79.5的人数最少，约为18人．15. B16. C17. D18. B19. 解：（1）∵ f(x)=ax2+bx对任意x∈R恒有f(x−4)=f(2−x)成立，且图象过点A(1,32)，∴ {a(x−4)2+b(x−4)=a(2−x)2+b(2−x)a+b=32.化简a(x−4)2+b(x−4)=a(2−x)2+b(2−x)，得(2b−4a)x+(12a−6b)=0．此一元一次方程对x∈R都成立，于是，{2b−4a=012a−6b=0，即b=2a．进一步可得{a=12b=1．∴ 所求函数解析式为f(x)=12x2+x．（2）∵ f(x−t)≤x的解集为[4, m]，∴ 12(x−t)2+x−t≤x，即x2−2tx+t2−2t≤0的解集是[4,m]，且m>4.∴ 4、m是方程x2−2tx+t2−2t=0的两根．于是，{4+m=2t4m=t2−2t，解此方程组，得{m =12t =8或{m =0t =2(舍去)．∴ {m =12t =8．20. 解：(1)根据正弦定理，sinB +sinC =√2sinA 可化为b +c =√2a ， 联立方程组{a +b +c =4(√2+1)，b +c =√2a ，解得a =4， ∴ 边长a =4；(2)∵ S △ABC =3sinA ， ∴ 12bcsinA =3sinA ，bc =6． 又由(1)可知， b +c =4√2， ∴ cosA =b 2+c 2−a 22bc=(b+c)2−2bc−a 22bc=13．21. 解：设x 1、x 2是[0, +∞)内任意两个实数，且x 1<x 2则f(x 1)−f(x 2)=x 1+a x 1+1−x 2−ax 2+1=(x 1−x 2)+a(x 2−x 1)(x1+1)(x 2+1)=(x 1−x 2)(1−a(x 1+1)(x 2+1))．(I)当a <1时， 1−a(x1+1)(x 2+1)=x 1x 2+x 1+x 2+1−a (x 1+1)(x 2+1)>0，(x 1−x 2)(1−a(x1+1)(x 2+1))<0即f(x 1)−f(x 2)<0因此，f(x)在[0, +∞)上时单调递增函数，故（f(x)）min =f(0)=a ． (II)当a ≥1时， f(x)=x +a x+1=(x +1)+a x+1−1≥2√a −1．当且仅当x +1=ax+1，即x =√a −1(√a −1∈[0, +∝)）时，等号成立． 于是，（f(x)）min =f(√a −1)=2√a −1．所以，（f(x)）min ={a(a <1)2√a −1(a ≥1)．22. 解：（1）∵ a 1=a ，a 2=2，S n =n(a n +3a 1)2(n ∈N ∗)，∴ S 1=a 1+3a 12，a 1=2a 1，即a 1=0．∴ a =0． （2）由（1）可知，S n =na n 2，2S n =na n (n ∈N ∗)．∴ 2S n−1=(n −1)a n−1(n ≥2)．∴ 2(S n −S n−1)=na n −(n −1)a n−1，2a n =na n −(n −1)a n−1，(n −2)a n =(n −1)a n−1．∴ ann−1=a n−1n−2(n ≥3,n ∈N ∗)．因此，a nn−1=a n−1n−2=a 21，a n =2(n −1)(n ≥2)．又a 1=0，∴ 数列{a n }的通项公式a n =2(n −1)(n ∈N ∗)． （3）由（2）有，S n =na n 2=n(n −1)(n ∈N ∗)．于是，t n =S n+2S n+1+Sn+1S n+2−2=(n +2)(n +1)(n +1)n +(n +1)n(n +2)(n +1)−2=2n −2n+2(n ∈N ∗)． ∴ T n =t 1+t 2+...+t n=(21−23)+(22−24)+(23−25)++(2n −2n +2) =3−2n+1−2n+2<3(n ∈N ∗)．又lim n →∞T n =lim n →∞(3−2n+1−2n+2)=3， ∴ 数列{T n }的上渐近值是3． 23. 解：（1）∵ 抛物线方程为y 2=4ax(a >0)，∴ 焦点为F(a, 0)． （2）设满足题意的点为P(x 0, y 0)、Q(x 1, y 1)． ∵ PF →=2FQ →，∴ (a −x 0，−y 0)=2(x 1−a,y 1)，即{x 1=3a−x 02y 1=−y 02．又y 12=4ax 1，y 02=4ax 0，∴ y 024=4a ⋅3a−x 02，进而可得x 0=2a ，y 02=4ax 0=8a 2，即y 0=±2√2a ．∴ k PQ =k PF =y 0−0x 0−a =±2√2．（3）由题可知，直线AC 既不平行x 轴，也不平行y 轴（否则AC ，BD 与抛物线不会有四个交点），于是，设直线AC 的斜率为k AC =k(k ≠0)，则AC 的方程为：y =k(x −a)． 联立方程组{y 2=4axy =k(x −a)，化简得k 2x 2−2a(k 2+2)x +k 2a 2=0（设点A(x 1, y 1)、C(x 2, y 2)），则x 1、x 2是此方程的两个根． ∴ {x 1+x 2=2a(k 2+2)k 2x 1x 2=a2．∴ 弦长|AC|=|x 1−x 2|√1+k 2 =√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√(2a(k 2+2)k2)2−4a 2 =4a1+k 2k 2．又AC ⊥BD ，∴ k BD =−1k ． 于是，弦长|BD|=4a1+(−1k )2(−1k)2=4a(1+k 2)．∴ S 四边形ABCD =12|AC|⋅|BD|=8a 2(1+k 2)2k 2=8a 2(k 2+1k 2+2)≥32a 2（当且仅当k 2=1k 2，即k =±1时，等号成立）．∴ S(a)=32a 2．。
2010年上海市卢湾区高考二模卷(数学理含答案)
上海市卢湾区2010年高考模拟考试数学试卷（理科）2010.4说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟．本套试卷另附答题纸，每道题的解答必．须写在答题纸的相应位置．．．．．．．．．．．，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．． 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中．每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分．1．设集合{|12}A x x =≤≤，{|}B x x a =≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ． 2．函数arcsin y x =（01x ≤≤）的值域为 ．3．若tan 34απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α的值等于 ．4．若函数2()log f x x =，则方程112()2x f x --=的解x = ．5．函数sin cos 3y x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期T = ．6．若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为 （结果保留π）．7．若平面内不共线的四点,,,O A B C 满足1233OB OA OC =+ ，则||||AB BC =_______． 8．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心与点()1,D π的距离为 ．9．有一种彩票，每注售价2元，中奖的概率为1%．如果每注奖的奖金为50元，那么购买一注彩票的期望收益为 元．10．如图，由编号1，2，…，n ，…（*n ∈N 且3n ≥）的圆柱自下而上组成．其中每一个圆柱的高与其底面圆的直径相等，且对于任意两个相邻圆柱，上面圆柱的高是下面圆柱的高的一半．若编号1的圆柱的高为4，则所有圆柱的体积V 为（结果保留π）．11．某公司为改善职工的出行条件，随机抽取50名职工，调查他们的居住地与公司的距离d (单位:千米)．若样本数据分组为[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，由数据绘制的分布频率直方图如图所示，则样本中职工居住地与公司的距离不超过4千米的人数为 人． 12．已知二次函数()y f x =的图像为开口向下的抛物线，且对任意x ∈R 都第11题第10题有(1)(1)f x f x -=+．若向量1)a =- ，2)b =- ，则满足不等式()(1)f a b f ⋅>-的m 的取值范围为 ．13．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n ，联结原点O 与点(,3)n A n n +，若用()f n 表示线段n OA 上除端点外的整点个数，则(1)(2)(2010)f f f +++= ______．14．若不等式222()x a x y ++≤对于一切正数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为 ．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中． 每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个，或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分．15．式子 1 2 3248(2)n n n n n nC C C C -+-++- 等于（ ）． A ．(1)n - B ．(1)1n -- C ．3nD ．31n -16．关于x 、y 的二元一次方程组1,323,mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩的系数行列式0D =是该方程组有解的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．既非充分也非必要条件17．若函数()f x （x ∈R ）为奇函数，且存在反函数1()f x -（与()f x 不同），11()()()()22()22f x f x f x fx F x ---=+，则下列关于函数()F x 的奇偶性的说法中正确的是（ ）．A ．()F x 是奇函数非偶函数B ．()F x 是偶函数非奇函数C ．()F x 既是奇函数又是偶函数D ．()F x 既非奇函数又非偶函数 18．已知曲线C ：22||||1x x y y a b-=，下列叙述中错误的是（ ）． A ．垂直于x 轴的直线与曲线C 只有一个交点B ．直线y kx m =+（,k m ∈R ）与曲线C 最多有三个交点 C ．曲线C 关于直线y x =-对称D ．若111(,)P x y ，222(,)P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120y y x x ->-三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤． 19．（本题满分14分）已知关于x 的实系数一元二次方程20ax bx c ++=有两个虚根1x ，2x ，且(13i )i iaa c -=-（i 为虚数单位），12||1x x -=，求实数b 的值．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10．（1）求棱1A A 的长；（2）求点D 到平面11A BC 的距离．21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．如图，反比例函数()y f x =（0x >）的图像过点(1,4)A 和(4,1)B ，点(,)P x y 为该函数图像上一动点，过P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为C 、D ．记四边形OCPD （O 为坐标原点）与三角形OAB 的公共部分面积为S ．（1）求S 关于x 的表达式； （2）求S 的最大值及此时x 的值．ABCD1A 1C 1D22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>），其焦距为2c ，若c a =0.618≈），则称椭圆C 为“黄金椭圆”．（1）求证：在黄金椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）中，a 、b 、c 成等比数列．（2）黄金椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为2(,0)F c ，P 为椭圆C 上的任意一点．是否存在过点2F 、P 的直线l ，使l 与y 轴的交点R 满足23RP PF =-？若存在，求直线l 的斜率k ；若不存在，请说明理由．（3）在黄金椭圆中有真命题：已知黄金椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别是1(,0)F c -、2(,0)F c ，以(,0)A a-、(,0)B a 、(0,)D b -、(0,)E b 为顶点的菱形ADBE 的内切圆过焦点1F 、2F ．试写出“黄金双曲线”的定义；对于上述命题，在黄金双曲线中写出相关的真命题，并加以证明．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．从数列{}n a 中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列{}n a 的一个子数列．设数列{}n a 是一个首项为1a 、公差为d (0)d ≠的无穷等差数列．（1）若1a ，2a ，5a 成等比数列，求其公比q ．（2）若17a d =，从数列{}n a 中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为{}n a 的无穷等比子数列，请说明理由．（3）若11a =，从数列{}n a 中取出第1项、第m (2)m ≥项（设m a t =）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当t 为何值时，该数列为{}n a 的无穷等比子数列，请说明理由．卢湾区2010年高考模拟考试数学试卷（理科）参考答案及评分标准一、填空题（本大题满分56分）1．[2,)+∞ 2．[0,]2π 3．12 4．135．π 6． 7．2 89． 1.5- 10．128π711．24 12．01m <≤ 13．1340 14．2 二、选择题（本大题满分16分） 15．B 16．D 17．A 18．C 三、解答题（本大题满分78分） 19．（本题满分14分）解：由题设，得1a =，3c =，（6分）方程230x bx ++=的两虚根为1x =，1x =于是12||x x -==（10分）1=，得b =b =（14分）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 解：（1）设1A A h =，由题设111111111110ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=，得1111103ABCD A B C S h S h ∆⨯-⨯⨯=，即1122221032h h ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，解得3h =． 故1A A 的长为3．（6分）（2）以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．由已知及（1），可知(0,0,0)D ，1(2,0,3)A ，(2,2,0)B ，1(0,2,3)C ，设平面11A BC 的法向量为(,,)n u v w = ，有1n A B ⊥ ，1n C B ⊥，其中1(0,2,3)A B =- ，1(2,0,3)C B =- ，则有110,0,n A B n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即230,230.v w u w -=⎧⎨-=⎩解得32v w =，32u w=，取2w =，得平面的一个法向量(3,3,2)n =，且||n = （12分）在平面11A BC 上取点1C ，可得向量1(0,2,3)DC =，于是点D 到平面11A BC 的距离1||||n DC d n ⋅=．（14分） 21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．解：（1）由题设，得4()f x x=（0x >），（2分） 当1x ≤时，2158S x =，当14x <<时，22248x S x =--，当4x ≥时，230S x=， 故222215,1,824,14,830,4.x x x S x x x x ⎧⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥（8分）（2）易知当1x ≤时，2158S x =为单调递增函数，158S ≤，（10分） 当4x ≥时，230S x=为单调递减函数，158S ≤，（12分）当14x <<时，22248x S x =--在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,4)上单调递减，（证明略），得1538S <≤，故S 的最大值为3，此时2x =．（16分） 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． （1）证明：由c a =222b a c =-，得222222)b a c a =-=-= ac =，故a 、b 、c 成等比数列．（4分） （2）解：由题设，显然直线l 垂直于x 轴时不合题意，设直线l 的方程为()y k x c =-，得(0,)R kc -，又2(,0)F c ，及23RP PF =-，P 的坐标为3(,)22c kc，（6分） 因为点P 在椭圆上，所以22223221c kc a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，又2b ac =，得229144c k c a a ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，20k =>，故存在满足题意的直线l，其斜率k =（10分） （3）黄金双曲线的定义：已知双曲线C ：22221x y a b -=，其焦距为2c，若c a =成a c =0.618≈），则称双曲线C 为“黄金双曲线”．（12分）在黄金双曲线中有真命题：已知黄金双曲线C ：22221x y a b-=的左、右焦点分别是1(,0)F c -、2(,0)F c ，以1(,0)F c -、2(,0)F c 、(0,)D b -、(0,)E b 为顶点的菱形12F DF E 的内切圆过顶点(,0)A a -、(,0)B a ．（14分）证明：直线2EF 的方程为0bx cy bc +-=，原点到该直线的距离为d =，将2b ac =代入，得d =c 代入，化简得d a =， 故直线2EF 与圆222x y a +=相切，同理可证直线1EF 、1DF 、2DF 均与圆222x y a +=相切，即以(,0)A a -、(,0)B a 为直径的圆222x y a +=为菱形12F DF E 的内切圆，命题得证．（16分） 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．解：（1）由题设，得2215a a a =，即2111()(4)a d a a d +=+，得212d a d =，又0d ≠，于是12d a =，故其公比213a q a ==．（4分） （2）设等比数列为{}m b ，其公比6232a q a ==，11238()2m m m b a q d --==⋅，（6分） 由题设1(1)(6)n a a n d n d =+-=+．假设数列{}m b 为{}n a 的无穷等比子数列，则对任意自然数m (3)m ≥，都存在*n ∈N ，使n m a b =，即13(6)8()2m n d d -+=⋅，得138()62m n -=-，（8分） 当5m =时，51*3698()6N 22n -=-=∉，与假设矛盾， 故该数列不为{}n a 的无穷等比子数列．（10分）（3）①设{}n a 的无穷等比子数列为{}r b ，其公比211m a b t a b ==（1t ≠），得1r r b t -=， 由题设，在等差数列{}n a 中，1111m a a t d m m --==--，11(1)1n t a n m -=+--， 因为数列{}r b 为{}n a 的无穷等比子数列，所以对任意自然数r (3)r ≥，都存在*n ∈N ，使n r a b =，即111(1)1r t n t m --+-=-，得1231(1)1(1)(1)11r r r t n m t t t m t ----=-+=+++-+- ， 由于上式对任意大于等于3的正整数r 都成立，且n ，1m -均为正整数， 可知231r r t t t --+++ 必为正整数，又0d ≠，故t 是大于1的正整数．（14分） ②再证明：若t 是大于1的正整数，则数列{}n a 存在无穷等比子数列．即证明无穷等比数列{}r b 中的每一项均为数列{}n a 中的项．在等比数列{}r b 中，1r r b t -=，在等差数列{}n a 中，1111m a a t d m m --==--，11(1)1n t a n m -=+--， 若r b 为数列{}n a 中的第k 项，则由r k b a =，得111(1)1r t t k m --=+--， 整理得1231(1)1(1)(1)11r r r t k m t t t m t ----=-+=+++-+- ， 由t ，1m -均为正整数，得k 也为正整数，故无穷等比数列{}r b 中的每一项均为数列{}n a 中的项，得证．综上，当且仅当t 是大于1的正整数时，数列{}n a 存在无穷等比子数列．（18分）。
数学_2010年上海市徐汇区、金山区高考数学二模试卷(文科)_(含答案)
2010年上海市徐汇区、金山区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1. 函数y =√x−1x+2的定义域是________．2. 设集合A ={x|−12<x <2}，B ={x|x 2≤1}，则A ∪B =________．3. 已知△ABC 中，cotA =−34，则cosA =________．4. 若数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=2a n (n ∈N ∗)，则a 5=________；前8项的和S 8=________．（用数字作答）5. (1−2x)10展开式中x 3的系数为________（用数字作答）．6. 若球O 1、O 2表面积之比S 1S 2=9，则它们的半径之比R 1R 2=________．7. 函数f(x)=√2x −4(x ≥4)的反函数为________．8. 行列式|42k −354−11−2|中第2行第1列元素的代数余子式的值为−10，则k =________．9. 若实数x ，y 满足{x +y −2≥0，x ≤4，y ≤5，则s =x +y 的最大值为________．10. 椭圆x 29+y 22=1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|=4，则|PF 2|=________，∠F 1PF 2的大小为________．11. 一个几何体的三个视图都是等腰直角三角形（如图），且直角边长为1，则此几何体的体积为________．12. 有5只苹果，它们的质量分别为125 a 121 b 127（单位：克）：若该样本的中位数和平均值均为124，则该样本的标准差s =________（用数字作答）13. 某学生参加一次世博志愿者测试，已知在备选的6道试题中，预计该学生能答对4题，但有2题会答错．规定每位考生都从备选题中随机抽出3道题进行测试，答对2题或3题则通过测试，则该学生通过测试的概率是________．（用数值表示）14. 设[x]表示不超过x 的最大整数，如：[1.5]=1，[−1.5]=−2．若集合A ={x|x 2−[x]−1=0}，B ={x|12<2x <4}，则A ∩B =________．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）15. i 是虚数单位，3−i 1−i =( )A 1+2iB 1−2iC 2+iD 2−i16. 下列函数中，与函数y =√x有相同定义域的是（ ） A f(x)=log 2x B f(x)=1x C f(x)=|x| D f(x)=2x17. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →+BA →=2BP →，则( )A PA →+PB →=0→ B PC →+PA →=0→ C PB →+PC →=0→D PA →+PB →+PC →=0→18. 已知AC ，BD 为圆O:x 2+y 2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1, √2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为（ ）A 4B 4√2C 5D 5√2三、解答题（共5小题，满分78分）19. 在△ABC 中，a 、b 、c 是∠A 、∠B 、∠C 的对边，已知∠B =45∘，∠C =60∘，a =2(√3+1)，求△ABC 的面积S △ABC ．20. 求满足|z+1z−1|=1且z +2z ∈R 的复数z ．21. 已知i →，j →是x ，y 轴正方向的单位向量，设a →=(x −√3)i →+yj →，b →=(x +√3)i →+y j →，且满足b →⋅i →=|a →|．（1）求点P(x, y)的轨迹方程；（2）过点(√3，0)的直线l 交上述轨迹于A ，B 两点，且|AB|=8√3，求直线l 的方程．22. 已知函数f(x)=x−aax (a >0)（1）判断并证明y =f(x)在x ∈(0, +∞)上的单调性；（2）若存在x 0，使f(x 0)=x 0，则称x 0为函数f(x)的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，求a 的值，并求出不动点x 0；（3）若f(x)<2x 在x ∈(0, +∞)上恒成立，求a 的取值范围．23. 设数列{a n }(n =1, 2,…)是等差数列，且公差为d ，若数列{a n }中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．（1）若a 1=4，d =2，判断该数列是否为“封闭数列”，并说明理由？（2）设S n 是数列{a n }的前n 项和，若公差d =1，a 1>0，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使lim n →∞(1S 1+1S 2+⋯+1S n )=119；若存在，求{a n }的通项公式，若不存在，说明理由； （3）试问：数列{a n }为“封闭数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明．2010年上海市徐汇区、金山区高考数学二模试卷（文科）答案1. (−∞, −2)∪[1, +∞)2. {x|−1≤x <2}3. −354. 16,2555. −9606. 37. f −1(x)=12x 2+2(x ≥2) 8. −149. 910. 2,120∘11. 1612. 213. 4514. {√2}15. C16. A17. B18. C19. 解：∵ A =180∘−(B +C)=75∘，∴ sinA =sin750=sin(450+300)=√6+√24 由正弦定理a sinA=b sinB ⇒√3+1)√6+√24=√22⇒b =4， ∴ S △ABC =12absinC =12⋅2(√3+1)⋅4⋅√32=6+2√3． 20. 解：设z =a +bi(a, b ∈R)，由|z+1z−1|=1⇒|z +1|=|z −1|，即|(a +1)+bi|=|(a −1)+bi|∴ (a +1)2+b 2=(a −1)2+b 2，得a =0，∴ z =bi ，又由bi +2bi ∈R 得b −2b =0⇒b =±√2∴ z =±√2i21. 解：（1）∵ b →⋅i →=(x +√3)i →2+y i →⋅j →=x +√3，∴ x +√3=√(x −√3)2+y 2，化简得y 2=4√3x ，（2）设l ：x =ty +√3，由{x =ty +√3y 2=4√3x⇒y 2=4√3(ty +√3)⇒y 2−4√3ty −12=0 设A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)由|AB|=8√3得√1+1t 2|y 1−y 2|=√1+1t 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+1t 2⋅√(4√3t)2+48=8√3√1+1t 2⋅√t 2+1=2⇒t 2=1⇒t =±1，所以直线l 的方程为x −y −√3=0或x +y −√3=0． 22. 解：（1）f(x)=1a −1x对任意的x 1，x 2∈(0, +∞)且x 1>x 2f(x 1)−f(x 2)=(1a −1x 1)−(1a −1x 2)=x 1−x 2x 1x 2 ∵ x 1>x 2>0∴ x 1−x 2>0，x 1x 2>0∴ f(x 1)−f(x 2)>0，函数y =f(x)在x ∈(0, +∞)上单调递增．（2）解：令x =x−a ax ⇒ax 2−x +a =0，令△=1−4a 2=0⇒a =12（负值舍去）将a =12代入ax 2−x +a =0得12x 2−x +12=0⇒x 2−2x +1=0∴ x 0=1 （3）∵ f(x)<2x∴ 1a <2x +1x∵ x >0∴ 2x +1x ≥2√2（等号成立当x =√22） ∴ 1a <(2x +1x )min =2√2⇒a >√24∴ a 的取值范围是(√24，+∞)23. 解：（1）数列{a n }是“封闭数列”，因为：a n =4+(n −1)⋅2=2n +2， 对任意的m ，n ∈N ∗，有a m +a n =(2m +2)+(2n +2)=2(m +n +1)+2， ∵ m +n +1∈N ∗于是，令p =m +n +1，则有a p =2p +2∈{a n }（2）解：由{a n }是“封闭数列”，得：对任意m ，n ∈N ∗，必存在p ∈N ∗使a 1+(n −1)+a 1+(m −1)=a 1+(p −1)成立，于是有a 1=p −m −n +1为整数，又∵ a 1>0∴ a 1是正整数．若a 1=1则S n =n(n+1)2，所以lim n →∞(1S 1+1S 2++1S n )=2>119， 若a 1=2，则S n =n(n+3)2，所以lim n →∞(1S 1+1S 2++1S n )=119， 若a 1≥3，则S n =n(2a 1+n−1)2>n(n+3)2，于是1S n <2n(n+3)，所以lim n →∞(1S 1+1S 2++1S n)<119， 综上所述，a 1=2，∴ a n =n +1(n ∈N ∗)，显然，该数列是“封闭数列”．（3）结论：数列{a n }为“封闭数列”的充要条件是存在整数m ≥−1，使a 1=md ． 证明：（必要性）任取等差数列的两项a s ，a t (s ≠t)，若存在a k 使a s +a t =a k ，则2a 1+(s+t−2)d=a1+(k−1)d⇒a1=(k−s−t+1)d故存在m=k−s−t+1∈Z，使a1=md，下面证明m≥−1．当d=0时，显然成立．对d≠0，若m<−1，则取p=−m≥2，对不同的两项a1，a p，存在a q使a1+a p=a q，即2md+(−m−1)d=md+(q−1)d⇒qd=0，这与q>0，d≠0矛盾，故存在整数m≥−1，使a1=md．（充分性）若存在整数m≥−1使a1=md，则任取等差数列的两项a s，a t(s≠t)，于是a s+a t=a1+(s−1)d+md+(t−1)d=a1+(s+m+t−2)d=a s+m+t−1由于s+t≥3，m≥−1∴ s+t+m−1为正整数，∴ a s+m+t−1∈{a n}证毕．。
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2010年上海市各区高三数学二模试题分类汇编第2部分:函数一、选择题：17．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科）若函数()f x （x ∈R ）为奇函数，且存在反函数1()fx -（与()f x 不同），11()()()()22()22f x f x f x fx F x ---=+，则下列关于函数()F x 的奇偶性的说法中正确的是（ A ）．A ．()F x 是奇函数非偶函数B ．()F x 是偶函数非奇函数C ．()F x 既是奇函数又是偶函数D ．()F x 既非奇函数又非偶函数18、（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研文科）如图,函数)(x f y =的图像是中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆的两段弧,则不等式xx f x f +-<)()(的解集为 ----------------（ ）（A ）⎭⎬⎫≤<⎩⎨⎧-<≤-222,222|x x x 或 （B ）{}22,22|≤<-<≤-x x x 或（C ）{}22,02|≤<<<-x x x 或（D ） {}0,22|≠<<-x x x 且18．（上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟理科）在直角坐标平面内，点(5,0)A 对于某个正实数k ，总存在函数2(0)y ax a =>，使POA QOA ∠=∠2，这里))1(,1(f P 、))(,(k f k Q ，则k 的取值范围是………………（ A ）A ．),2(∞+．B ．),3(∞+．C ．),4[∞+．D ．),8[∞+．18、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科）如果函数||12|lg |)(-=x x f 在定义域的某个子区间)1,1(+-k k 上不存在反函数，则k 的取值范围是（ D ）)2,21.[-A]23,1.(B )2,1.[-C)2,23[]21,1.(⋃--D18、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟文科）函数||y m x =与y =标系的图像有公共点的充要条件是（ D ） A、m >B、m ≥、1m ≥ D 、1m >18. (上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试理科)若函数3()f x x ax =-（0a >）的零点都在区间[-10,10]上，则使得方程()1000f x =有正整数解的实数a 的取值个数为 （ C ）A. 1B. 2C. 3；D. 4. 18．(上海市松江区2010年4月高考模拟理科)若函数)1,0()1()(≠>--=-a a aa k x f xx在R 上既是奇函数，又是减函数，则)(log)(k x x g a+=的图像是( A )16．（上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟理科）下列函数中，与函数y =有相同定义域的是--------------------------------------（ A ）A .2()log f x x= B.1()f x x =C. ()||f x x =D.()2xf x =18．（上海市浦东新区2010年4中心在原点O 的 正六边形ABCDEF，Ox AB //. 直线为常数）k t kx y L (:+=与正六边形交于M 、N 两点，记OMN ∆的面积为S ，则函数)(t f S =的奇偶性为 ( A )A ．偶函数B ．奇函数C ．不是奇函数，也不是偶函数D ．奇偶性与k 有关二、填空题：4．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科）若函数2()log f x x=，则方程112()2xfx --=的解x = ．134．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试文科）若函数()2xf x =，则方程12(3)2xf x -=的解x = ．153、（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科）函数2)1(log +-=x y a)1,0(≠>a a 的图像恒过一定点是_____。
（2，2）2、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科）若函数)1,0()(≠>=a a a x f x的反函数的图像过点)1,2(-，则_______=a 1214．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科）若不等式222()x a x y ++≤对于一切正数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为 2 ．12、（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科）不等式)1(||+≥x a x 对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是______。
[-1,0]3、（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研文科）函数2)1(log +-=x y a)1,0(≠>a a 的图像恒过一定点是_________。
（2，2）11、（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科）P 是函数x x y 1+=上的图像上任意一点，则P 到y 轴的距离与P 到x y =的距离之积是________。
24．（上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟理科）幂函数()y f x =的图像过点(42)A ，，则函数()y f x =的反函数1()fx -= （要求写明定义域）．2(0)y x x =14．（上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟理科）已知函数)(x f y =的定义域和值域都是]1,1[-（其图像如下图所示），函数],[,sin )(ππ-∈=x x x g ．定义：当])1,1[(0)(11-∈=x x f 且]),[()(212ππ-∈=x x x g时，称2x 是方程0))((=x g f 的一个实数根．则方程0))((=x g f 的所有不同实数根的个数是 ．85、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科）函数321)(+--=x xx x f 图像的顶点是),(c b ，且d c b a ,,,成等比数列，则_______=ad 1413、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科）根据统计资料，在A 小镇当某件讯息发布后，t 小时之内听到该讯息的人口是全镇人口的)21(100kt--﹪，其中k 是某个大于0的常数，今有某讯息，假设在发布后3小时之内已经有70﹪的人口听到该讯息。
又设最快要T 小时后，有99﹪的人口已听到该讯息，则T =___________小时。
（保留一位小数）11.514、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟文科）已知函数⎩⎨⎧>-≤-=-).0)(1(),0(12)(x x f x x f x 若方程ax x f +=)(有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_________)1,(-∞2. (上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试理科)设函数()f x 的图像关于原点对称，且存在反函数1()fx -. 若已知(4)2f =，则1(2)f--= . -43. (上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试理科)函数y =的定义域是 . 2,13⎛⎤ ⎥⎝⎦2．(上海市松江区2010年4月高考模拟理科)方程)3lg(lg ++x x =1的解是=x ▲ ．23．(上海市松江区2010年4月高考模拟理科)设函数21(0)()2(0)x x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩，那么1(10)f-=▲ ．312．(上海市松江区2010年4月高考模拟理科)汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限（年均消耗费用=年均成本费+年均维修费）．设某种汽车的购车的总费用为50000元；使用中每年的保险费、养路费及汽油费合计为6000元；前x 年的总维修费y 满足2y ax bx =+，已知第一年的维修费为1000元，前二年总维修费为3000元．则这种汽车的最佳使用年限为 ▲ ．1013．(上海市松江区2010年4月高考模拟理科)设函数()F x 和()f x 都在区间D 上有定义，若对D 的任意子区间[,]u v ，总有[,]u v 上的实数p 和q ，使得不等式()()()()F u F v f p f q u v-≤≤-成立，则称()F x 是()f x 在区间D 上的甲函数，()f x 是()F x 在区间D 上的乙函数．已知2()3,F x x x x R =-∈，那么()F x 的乙函数()f x = ▲ ．32-x6．（上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟理科）函数()4)f x x =≥的反函数为________________.121()2(2)2fx x x -=+≥14. （上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟理科） 设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.51, 1.52=-=-.若函数()()0,11xx af x a a a =>≠+，则()()()1122g x fx f x ⎡⎤⎡⎤=-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域为________________.{}1,0-1．（上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟文科）函数y =的定义域是________________.(),2[1,)-∞-+∞12．（上海市闸北区2010年4月高三第二次模拟理科）设函数)12(l 2)(-=x g x f ，则)0(1-f的值为 【 B 】 A ．0B ．1C ．10D ．不存在13．（上海市浦东新区2010年4月高考预测理科）设函数)(x f y =由方程1||||=+y y x x 确定，下列结论正确的是（１）（２）（３）（４）.（请将你认为正确的序号都填上） （１）)(x f 是R 上的单调递减函数； （２）对于任意R x ∈，0)(>+x x f 恒成立；（３）对于任意R a ∈，关于x 的方程a x f =)(都有解； （４）)(x f 存在反函数)(1x f-，且对于任意R x ∈，总有)()(1x fx f -=成立.三、解答题21．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科）（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．如图，反比例函数()y f x =（0x >）的图像过点(1,4)A 和(4,1)B ，点(,)P x y 为该函数图像上一动点，过P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为C 、D ．记四边形O C P D （O 为坐标原点）与三角形O AB 的公共部分面积为S ． （1）求S 关于x 的表达式； （2）求S 的最大值及此时x 的值．21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．解：（1）由题设，得4()f x x =（0x >），（2分）当1x ≤时，2158S x=，当14x <<时，22248xS x =--，当4x ≥时，230S x=，故222215,1,824,14,830, 4.x x x S x x x x ⎧⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥（8分）（2）易知当1x ≤时，2158S x=为单调递增函数，158S ≤，（10分）当4x ≥时，230S x=为单调递减函数，158S ≤，（12分）当14x <<时，22248xS x =--在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,4)上单调递减，（证明略），得1538S <≤，故S 的最大值为3，此时2x =．（16分）20、（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科）（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知函数2()1x f x x -=+；（1）证明：函数()f x 在(1,)-+∞上为减函数； （2）是否存在负数0x ，使得0()3x f x =成立，若存在求出x ；若不存在，请说明理由。