2018-2019学年高中数学人教A版选修2-2学案：第一章1.6微积分基本定理-含解析
高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理(2)教学设计 理 新人教A版选修2-2
难点：运用微积分基本定理计算简单的定积分。
课型
□讲授
□习题
□复习 □讨论
□其它
教学内容与教师活动设计
备注
一、先学后讲
（一）引入
复习一：微积分基本道理 复习二：定积分公式
学生自主学习
复习三：定积分性质
（二）经典例题
例 1 求下列定积分：
2
（1） ( x 1)dx 0
（3） cos x dx 0
挑战陈规的精神！通过实例体会微积分基本定理求定积分的方法。
情感态度与价值观：揭示寻求计算定积分新方法的必要性，激发学生的求知欲。
体会“以直代曲”——临渊慕鱼，不如退而结网的思想。
授课题目
微积分基本定理
拟 2 课时Байду номын сангаас第 2 课时
明确目标 熟练地用微积分基本定理计算一些有关微积分的问题
重点难点 重点：微积分基本定理的应用。
（2） 2 (ex 1)dx
0
x
（4） 3 x 2 4 dx 0
教师分析后， 学生独立或合 作完成后，教 师点评
例 2.求由曲线 y x2 6x 13, y x 3 围成的封闭区域的面积。
例 3：已知函数 f (x) x3 ax2 bx 在 x 1处有极值-2。 （1）求常数 a,b。（2）求曲线 y f (x) 与 x 轴围成的图形的面积。
（三）问题过关
计算
1 1
f (x)dx, 其中
f
(
x)
x x
3 2
, ,
x x
0 0
二、总结提升 1、本节课你主要学习了
三、问题过关
布置作业： P66 ：14.(1),(3),(5) 16.
高中数学 1.6 2微积分基本定理教案 新人教A版选修2-2
[教学目的]使学生了解积分上限函数的概念，理解微积分基本定理，掌握牛顿—莱布尼兹公式与积分上限函数的求导方法．[重点与难点]重点是微积分基本定理与牛顿—莱布尼兹公式，难点是微积分基本定理的证明．[教学过程]前面介绍了积分的概念，从理论上讲，总可通过和式的极限来确定积分的值，但实际运算起来是很繁琐的，有时甚至无法计算。
本节通过揭示积分与导数的关系，将引出计算积分的一个简便而可行的计算公式——牛顿—莱布尼兹公式.为了解决这个问题，我们先来介绍积分上限函数的概念及其性质 一、积分上限函数及其导数 ⒈ 积分上限函数的概念设函数)(x f y =在],[b a 上连续，x 为],[b a 上的一点，不难得知，)(x f 在部分区间],[x a 上的积分⎰xa dx x f )(存在，这里，x 既表示积分的上限又表示积分变量，为明确起见，把积分变量改用另一字母t 表示，从而该积分可表为⎰xadtt f )(.显然，对于],[b a 上的任一取值x ，积分⎰xa dt t f )(都有唯一确定的值与之对应，因此，⎰x adtt f )(在区间],[b a 上确定了一个以积分上限x 为自变量的函数，称之为积分上限函数，通常记为)(x Φ，即)(x Φ⎰=xadt t f )()(b x a ≤≤⒉ 积分上限函数的性质积分上限函数具有如下的重要性质定理1（微积分基本定理）如果函数)(x f y =在],[b a 上连续，则积分上限的函数)(x Φ⎰=xa dt t f )()(b x a ≤≤在],[b a 上可导，且)(x Φ'⎰=xadtt f dx d )()(x f =)(b x a ≤≤ 证明 当),(b a x ∈时，若自变量在x 处取得增量x ∆且),(b a x x ∈∆+，函数)(x Φ相应的增量为∆Φ-∆+Φ=)(x x )(x Φ⎰∆+=xx xdt t f )(xf ∆⋅=)(ξ（积分中值定理）其中，ξ介于x 与+x x ∆之间。
2018-2019学年高中数学人教A版选修2-2学案：第一章 导数及其应用 1.6 Word版含解析
§1.6 微积分基本定理 学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．知识点一 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)思考 已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x ，则ʃ10(2x ＋1)d x 与F (1)－F (0)有什么关系？答案 由定积分的几何意义知，ʃ10(2x ＋1)d x ＝12×(1＋3)×1＝2，F (1)－F (0)＝2，故ʃ10(2x ＋1)d x ＝F (1)－F (0)．梳理 (1)微积分基本定理①条件：f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )；②结论：ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )；③符号表示：ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．(2)常见的原函数与被积函数关系①ʃb a c d x ＝cx |b a (c 为常数)．②ʃb a x n d x ＝ ⎪⎪1n ＋1x n ＋1b a (n ≠－1)．③ʃb a sin x d x ＝－cos x |b a .④ʃb a cos x d x ＝sin x |b a .⑤ʃb a 1xd x ＝ln x |b a (b >a >0)． ⑥ʃb ae x d x ＝e x |b a .⑦ʃb a a x d x ＝ ⎪⎪a x ln a b a (a >0且a ≠1)．⑧ʃb a x d x ＝⎪⎪⎪2332x b a (b >a >0)． 知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系思考 定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？答案 当被积函数f (x )≥0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f (x )≥0不恒成立，则不相等．梳理 设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，在x 轴下方的面积为S 下，则(1)当曲边梯形在x 轴上方时，如图①，则ʃb a f (x )d x ＝S 上．(2)当曲边梯形在x 轴下方时，如图②，则ʃb a f (x )d x ＝－S 下．(3)当曲边梯形在x 轴上方，x 轴下方均存在时，如图③，则ʃb a f (x )d x ＝S 上－S 下．特别地，若S 上＝S 下，则ʃb a f (x )d x ＝0.1．若F ′(x )＝f (x )，则F (x )唯一．( × ) 2．微积分基本定理中，被积函数f (x )是原函数F (x )的导数．( √ )3．应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( √ )类型一 求定积分命题角度1 求简单函数的定积分例1 计算下列定积分．(1)ʃ10(2x ＋e x )d x ；(2)ʃ21⎝⎛⎭⎫1x －3cos x d x ； (3)π220(sin cos )d ;22x x x -⎰ (4)ʃ30(x －3)(x －4)d x .考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分解 (1)ʃ10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝(1＋e 1)－(0＋e 0)＝e.(2)ʃ21⎝⎛⎭⎫1x －3cos x d x ＝(ln x －3sin x )|21。
2018年秋高中数学人教A版选修2-2课件：1-6 微积分基本定理 精品
0
4
问题2：一个作变速直线运动的物体的运动规
律S＝S(t)。由导数的概念可以知道，它在任意 时刻t的速度v(t)＝S’（t)。设这个物体在时间段 〔a，b〕内的位移为S，你能分别用S(t)，v(t) 来表示S吗？从中你能发现导数和定积分的内在 联系吗？
从定积分角度来看：如果物体运动的速度函数为
v=v(t)，那么在时间区间[a,b]内物体的位移s可以用定
1.6 微积分基本定理
复习：1、定积分是怎样定义？
设函数f（x）在[a，b]上连续，在[a，b]中任意插入n-1个分点：
a x0 x1 x2 xn1 xn b 把区间[a,b]等分成n个小区间，
在每个小区间 [xi1, xi ] 任取i [xi1, xi ]
n
n
做和式： f (i )x f (i )(b a) / n.
S1
S3
S2
b
2、定积分 f (x)dx 的数值在几何上都可以用曲边梯
形面积的代数a 和来表示。
b a
f
( x)dx
S1
S2
S3
说明：
f ( x) 0,
b
a
f
( x)dx
A
曲边梯形的面积
f ( x) 0,
b
a
f
(
x)dx
A
曲边梯形的面积的负值
A1
A2
A3
A4
b
a
f
( x)dx
A1
A2
A3
点评：运用定积分的性质可以化简定积分计算，也可以 把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差
题型2：定积分的几何意义的应用
问题1：你能求出下列格式的值吗？不妨试试。
高中数学 第一章《1.6微积分基本定理》教案 新人教A版选修2-2
"福建省长乐第一中学2014高中数学 第一章《1.6微积分基本定理》教案 新人教A 版选修2-2 "一：教学目标知识与技能目标通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法情感态度与价值观通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
二：教学重难点重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
难点 了解微积分基本定理的含义三：教学过程：1、复习：定积分的概念及用定义计算2、引入新课我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。
我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰。
此处并不要求学生理解证明的过程为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即 ()()|()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。
它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。
它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。
因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
例1．计算下列定积分：（1）211dx x ⎰； （2）3211(2)x dx x-⎰。
高中数学 第一章《1.6微积分基本定理》教案 新人教A版选修2-2
"福建省长乐第一中学2014高中数学 第一章《1.6微积分基本定理》教案 新人教A 版选修2-2 "一：教学目标知识与技能目标通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法情感态度与价值观通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
二：教学重难点重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
难点 了解微积分基本定理的含义三：教学过程：1、复习：定积分的概念及用定义计算2、引入新课我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。
我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰。
此处并不要求学生理解证明的过程为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即 ()()|()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。
它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。
它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。
因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
例1．计算下列定积分：（1）211dx x ⎰； （2）3211(2)x dx x-⎰。
2018学年人教A版数学选修2-2课件 第一章 导数及其应用 1.6微积分基本定理 精品
(2)∫31(1＋x＋x2)dx＝∫31dx＋∫31xdx＋∫31x2dx ＝x＋12x2＋13x3|31 ＝3＋12×32＋13×33－1＋12×12＋13×13＝434. (3)∫31 x＋ 1x26xdx＝∫31x＋1x＋26xdx ＝∫31(6x2＋6＋12x)dx＝(2x3＋6x＋6x2)|31 ＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)＝112.
第一章 导数及其应用
1．6 微积分基本定理
[ 学 习 目 标 ] 1. 了 解 微 积 分 基 本 定 理 的 含 义 ( 难 点)． 2.会求简单函数的定积分(重点、难点)．
[知识提炼·梳理]
1．微积分基本定理 一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x)，那么∫baf(x)dx＝F(b)－F(a)．这个结论叫做 微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便， 我们常把 F(b)－F(a)记为 F(x)|ba，即∫baf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b) －F(a)．
(3)
(cos x－ex)dx＝
sin x0－π－ex0－π＝e1π－1.
cos xdx－
exdx＝
归纳升华 (1)利用微积分基本定理求定积分，关键是求使 F′(x) ＝f(x)的 F(x)，其求法是反方向运用求导公式． (2)当被积函数是积的形式时，应先化和差的形式， 再利用定积分的性质化简，最后再用微积分基本定理求定 积分的值．
图①
图②
图③
(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在 时，如图③所示，则∫baf(x)dx＝S 上－S 下，若 S 上＝S 下， 则∫baf(x)dx＝0．
温馨提示 在利用定积分的几何意义求定积分时，要 特别注意曲边梯形所在的位置，以此为依据确定积分值的 符号．
人教版高中数学选修2-2学案：1.6微积分基本定理(1)
1.6微积分基本定理（1）【学习目标】1.通过实例(变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系)，直观了解微积分基本定理的含义；2.了解微积分基本定理；3.会用微积分基本定理求函数的定积分．【新知自学】知识回顾：1.定积分的概念：一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点012a x x x =<<< …1i i x x -<<<…n x b <=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆=______，在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ，作和式：11()()n nn i i i i b a S f x f nξξ==-=∆=∑∑.如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为________________．记为_______. 2．定积分的几何意义：______________________ ___________________ .新知梳理：1.微积分基本定理:一般地，如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，并且，)()(x f x F ='，那么=⎰dx x f ba)(________．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼兹公式．为了方便，常把)()(b F a F -记成_________，即()()|bbaaf x dx F x ==⎰________________________．2．利用微积分基本定理计算定积分dx x f ba⎰)(的关键是找到满足____________的函数)(x F ，通常，可以用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从 _______上求出)(x F ．3．求导数运算与求原函数运算互为 ___ ． 在微积分基本定理中函数)(x F 叫函数)(x f 在区间[]b a ,上的一个原函数．因为[])()(x F C x F '='+，所以C x F +)(也是函数_________的原函数．对点练习：1.已知)()(x f x F ='，则下列等式正确的是 ( ) A.⎰-=ba a Fb F dx x f )()()( B.⎰-=ba b F a F dx x f )()()(C.)(lim )(1i ni ban F nab dx x f ξ∑⎰=∞→-=D.x F nab dx x f i ni ban ∆-=∑⎰=∞→)(lim )(1ξ． 2．已知⎩⎨⎧<<≤≤-=10,101,)(2x x x x f ，则⎰-11)(dx x f 的值为 ( )A.23B.32- C.32 D.34 3．设⎰⎰⎰===11132sin ,,xdx c dx x b dx x a ，则c b a ,,的大小关系是( )A.c b a <=B.c b a >=C.c a b <<D.a b c >> 4.计算下列定积分：（1）dx x 3131）（⎰；（2）dx x⎰211.【合作探究】典例精析：例1. 求下列定积分: (1) dx x x ⎰-12)(；(2) dx x x ⎰+20)sin 3(π；变式练习：求下列定积分: (1) dx x x⎰+232)43(；(2)dx ⎰1x .例2.求下列定积分: (1) ⎰πcos xdx ；π变式练习：求下列定积分:（1）dx x x 2202cos 2sin ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+π；（2）xdx ⎰22-2cos ππ.规律总结：利用微积分基本定理求定积分,实质上是求导数逆运算，即求导数等于被积函数的一个函数，求解时注意以下两个方面：（1）熟练掌握基本函数导数及导数的运算法则，学会逆运算；（2）当被积函数较为复杂，不容易找到原函数时，可适当变形后再求解.【课堂小结】1. 由抛物线x y =2和直线x =1所围成的图形的面积等于（ ）A.1B.34 C.32D.312.如果⎰⎰-==1201)(,1)(dx x f dx x f ，则⎰=21)(dx x f ．3.（1）dx x ⎰πsin =________；（2）dx x ⎰π20sin =_________．4.求下列定积分的值 (1)dx x⎰311；（2）dx e x ⎰22.【课时作业】1.dx x1312⎰=_____________. 2.⎰-=-1121dx x ． 3.dx x x10⎰=___________________.4.求下列定积分的值 (1) dx x e ⎰++1211；（2）dx xx x⎰-20sin cos 2cos π;(3) dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-31212.5.已知()623113+=-++⎰-a dx b a ax x且()d x b a ax x t f t⎰-++=033)(为偶函数，求b a ,的值.赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DAC1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠F AE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DBa +b-aa45°ABE1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠F AE ＝45°Da +b-aa45°E挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DEa +bx -b-ab45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°. （1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．AB CFEDCDC。
2018版高中数学人教A版选修2-2课件：1-6 微积分基本定理
=
2 3 9 1 9 271 ������d������ = ������ 2 |4 + ������2|4 = . 3 2 6
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四
反思求函数f(x)在某个区间上的定积分时,要注意: (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则,正确求解导数 等于被积函数的函数.当这个函数不易求时,可将被积函数适当变 形后再求解.具体方法是能化简的化简,不能化简的变为幂函数、 正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数与常数的和或差. (2)准确定位积分区间,分清积分下限与积分上限.
1.6 微积分基本定理
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目标导航
1.了解并掌握微积分基本定理的含义. 2.会利用微积分基本定理求函数的定积分.
重难聚焦
如何理解微积分基本定理? 剖析:1.微积分基本定理不仅揭示了导数和定积分之间的内在 联系,而且还提供了计算定积分的一种有效方法. 2.利用微积分基本定理计算定积分
������ ������
分析:解答本题第(1)小题,可按f(x)的分段标准及积分区间将其化 为两段积分的和;解答第(2)(3)小题,可根据绝对值的意义将其转化 为分段函数的定积分.
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四
x 2 ,x ≤ 0 , 解:(1)因为 f(x)= cosx-1,x > 0, 所以 = =
0 -1
1 ������ 1 ������2
(3)∵ - -ln������ ′ =
3
− =
∴
2
1-������ 1 1 1 1 2 3 d������ = - -ln������ |2 = - -ln3 − - -ln2 = + ln . 2 ������ 3 2 6 3 ������
人教版高中数学选修2-2学案1.6微积分的基本定理(2)
1. 6微积分的基本定理（2）【学习目标】1．理解微积分基本定理；2．应用微积分基本定理解决综合问题；3．了解求定积分的类型及方法．【新知自学】 知识回顾：1.一般地，如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，并且)()(x f x F ='，那么=⎰dx x f ba )(_______________= ．2．计算定积分的关键是找到满足)()(x f x F ='的函数________，通常，可以用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从_________方向上求出)(x F ． 新知梳理：1. 定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0．(1)当对应的曲边梯形位于x 轴上方时(图1)，定积分的值取_______ 且等于曲边梯形的________ ；(2)当对应的曲边梯形位于x 轴下方时(图2)，定积分的值取_______ 且等于曲边梯形______ 的相反数；(3)当位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 _______ (如图3)且等于位于x 轴_____ 的曲边梯形的面积减去位于 ______ 的曲边梯形的面积．2.活用定积分的三个性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝ ；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝(3)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛c b f (x )d x (其中a <c <b )． 对点练习：1.设[)[]⎩⎨⎧∈-∈=2,1,21,0,)(2x x x x x f ，则dx x f ⎰20)(等于 ( ) A.43 B.54 C.65 D.不存在 2．求下列定积分:（1）求=⎰e dx x 11 ； （2）()=+-⎰dx e x x π023sin 2_____________． （3）()=+⎰dx x x 20cos 2sin π_________ ． 3.设()f x 是奇函数，则=⎰-a a dx x f )( . 4.求⎰-aa dx x 2．【合作探究】 典例精析：例1. 计算定积分（1）dx ⎰+40|)3-x ||1-x (|;；（2）设函数⎩⎨⎧≤≤<≤=21,110,)(2x x x x f ，求dx x f ⎰20)(.变式练习：()dx x x ⎰--++332332=___________________.例2.求使dx c x 2102)+⎰（最小的c 的值.规律总结：(1)由三条直线x ＝a 、x ＝b (a ＜b )、x 轴、一条曲线y ＝f (x )[f (x )≥0]围成的曲边梯形的面积(如图1)：S ＝⎠⎛a b f (x )d x .(2)由三条直线x ＝a 、x ＝b (a <b )、x 轴、一条曲线y ＝f (x )[f (x )≤0]围成的曲边梯形的面积(如图2)：S ＝|⎠⎛a b f (x )d x |＝－⎠⎛a bf (x )d x . (3)由两条直线x ＝a 、x ＝b (a <b )、两条曲线y ＝f (x )、y ＝g (x )[f (x )≥g (x )]围成的平面图形的面积(如图3)：S ＝⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x .【课堂小结】【当堂达标】1.曲线)0(sin π≤≤=x x y 与直线21=y 围成的封闭图形的面积是 () A.3 B.32- C.32π- D.33π-2.dx t ⎰+21)2(=______________.3.求直线x=-1,x=1, y=0,以及y=|x|-2所围成的图形的面积.4.如图，求阴影部分的面积.【课时作业】1. 由曲线2x y =和直线 ()1,0,,1,02∈===t t y x x ，所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为 A.41 B.31 C.21 D.322.dx x |4|102⎰-=________________.3.设函数()0)(2≠+=a c ax x f ，若⎰=100)()(x f dx x f ，100≤≤x ，则0x 的值为 ．4.计算由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成图形的面积．5.求定积分dx x x ⎰-3026．。
高中数学选修2-2新人教A版1-6微积分基本定理教案2
= 米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.
课堂练习
（.基本初等函数的原函数公式
布置作业：
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
(二)、探究新知，揭示概念
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（ ），
则物体在时间间隔 内经过的路程可用速度函数表示为 。
例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度 =1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度 =32公里/小时= 米/秒 8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为 当汽车停住时,速度 ,故从 解得 秒
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在 上的增量 来表达，即
=
而 。
对于一般函数 ，设 ，是否也有
（三）、分析归纳，抽象概括
若上式成立，我们就找到了用 的原函数（即满足 ）的数值差 来计算 在 上的定积分的方法。
注：1：定理如果函数 是 上的连续函数 的任意一个原函数，则
证明：因为 = 与 都是 的原函数，故
- =C（ ）
其中C为某一常数。
令 得 - =C，且 = =0
即有C= ，故 = +
= - =
令 ，有
此处并不要求学生理解证明的过程
为了方便起见，还常用 表示 ，即
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
2019高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理学案 新人教A版选修2-2
1.6 微积分基本定理学习目标：1.了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义．(重点、易混点)2.掌握微积分基本定理，会用微积分基本定理求定积分．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．微积分基本定理的函数[提示]不唯一，如F 1(x )＝x ＋1，F 2(x )＝x ＋5，…等其导数为1，故F (x )不唯一． 2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下．则 (1)当曲边梯形在x 轴上方时，如图161①，则⎠⎛a b f (x )d x ＝S 上．(2)当曲边梯形在x 轴下方时，如图161②，则⎠⎛ab f (x )d x ＝－S 下．(3)当曲边梯形在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图161③，则⎠⎛ab f (x )d x ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则⎠⎛ab f (x )d x ＝0.图① 图② 图③图161[基础自测]1．思考辨析(1)若⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab g (x )d x ，则f (x )＝g (x )( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√2．若a ＝⎠⎛01(x －2)d x ，则被积函数的原函数为( )A ．f (x )＝x －2B ．f (x )＝x －2＋C C ．f (x )＝12x 2－2x ＋CD ．f (x )＝x 2－2x[答案] C 3．cos x d x ＝________.[解析][答案] 14．如图162，定积分⎠⎛a b f (x )d x 的值用阴影面积S 1，S 2，S 3表示为⎠⎛ab f (x )d x ＝________.【导学号：31062090】图162[解析] 根据定积分的几何意义知⎠⎛abf (x )d x ＝S 1－S 2＋S 3. [答案] S 1－S 2＋S 3[合 作 探 究·攻 重 难](1)⎠⎛01(2x ＋e x)d x ；(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－3cos x d x ； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2－cos x 22d x ；(4)⎠⎛03(x －3)(x －4)d x .[解] (1)⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x)＝(1＋e 1)－(0＋e 0)＝e.(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－3cos x d x ＝(ln x －3sin x )| 21＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1) ＝ln 2－3sin 2＋3sin 1. (3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2－cos x 22＝1－2sin x 2cos x2＝1－sin x ，＝⎝⎛⎭⎪⎫π2＋cos π2－(0＋cos 0)＝π2－1. (4)∵(x －3)(x －4)＝x 2－7x ＋12， ∴⎠⎛03(x －3)(x －4)d x＝⎠⎛03(x 2－7x ＋12)d x⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－72x 2＋12x＝27－632＋36＝632.[规律方法] 当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数F x由微积分基本定理求定积分的步骤第一步：求被积函数f x的一个原函数F x ；第二步：计算函数的增量F b －Fa[跟踪训练]1．计算下列定积分． (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ；(2)⎝⎛⎭⎪⎫cos 2 x 2－sin 2 x 2d x ； (3)⎠⎛49x (1＋x )d x .【导学号：31062091】[解] (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 33＋ln x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－83＋ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13 ＝ln 2＋23.＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×27＋812－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×8＋162＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋812－163－8 ＝2716(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )d x ；(2)⎠⎛02|x 2－1|d x .[思路探究] (1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．[解] (1)(x －1)d x ＝(－cos x )＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.(2)⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3| 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x | 21＝2.[规律方法] 1.本例(2)中被积函数f (x )含有绝对值号，可先求函数f (x )的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解． [跟踪训练]2．(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2x ，0≤x ≤1，x 2，1＜x ≤2，求⎠⎛02f (x )d x .(2)求|x 2－x |d x 的值.【导学号：31062092】[解] (1)⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(1＋2x )d x ＋⎠⎛12x 2d x＝(x ＋x 2)＝2＋73＝133.(2)∵|x 2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，－2≤x ＜0，x －x 2，0≤x ≤1，x 2－x ，1＜x ≤2，∴|x 2－x |d x＝143＋16＋56＝173.[探究问题]1．求f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x 的表达式．提示：f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23ax 3－12a 2x 2＝23a －12a 2. 2．试求f (a )取得最大时a 的值． 提示：f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－43a ＋49＋29＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －232＋29，∴当a ＝23时，f (a )的最大值为29.(1)已知t ＞0，f (x )＝2x －1，若⎠⎛0t f (x )d x ＝6，则t ＝________.(2)已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________．[解] (1)⎠⎛0t f (x )d x ＝⎠⎛0t (2x －1)d x ＝t 2－t ＝6，解得t ＝3或－2，∵t ＞0，∴t ＝3.(2)⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ＝32k ＋1.由2≤32k ＋1≤4，得23≤k ≤2.母题探究：1.(变条件)若将例3(1)中的条件改为⎠⎛tf (x )d x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，求t . [解] 由⎠⎛0t f (x )d x ＝⎠⎛0t (2x －1)d x＝t 2－t ，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＝t －1， ∴t 2－t ＝t －1，得t ＝1.2．(变条件)若将例3(1)中的条件改为⎠⎛0t f (x )d x ＝F (t )，求F (t )的最小值．[解] F (t )＝⎠⎛0t f (x )d x ＝t 2－t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14(t ＞0)， 当t ＝12时，F (t )min ＝－14.[规律方法] 利用定积分求参数应注意的问题利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限．[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列值等于1的是( )【导学号：31062093】A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x C [选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 22＝12； 选项B ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x＝1；选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112d x ＝12x ＝12.] 2．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2D [⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝()x 2＋ln x ＝a 2＋ln a －1，∴a 2－1＝3，且ln a ＝ln 2，故a ＝2.]3.⎠⎛02⎝⎛⎭⎪⎫x 2－23x d x ＝________. 【导学号：31062094】[解析] ⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x＝x 33－x 23＝83－43＝43[答案] 434．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x ＜1，3－x ，1≤x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝________.[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋1)d x ＋⎠⎛12(3－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33＋x ＋⎝⎛⎭⎪⎫3x －x 22＝176. [答案]1765．已知f (x )是二次函数，其图象过点(1,0)，且f ′(0)＝2，⎠⎛01f (x )d x ＝0，求f (x )的解析式．[解] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∴a ＋b ＋c ＝0. ∵f ′(x )＝2ax ＋b ， ① ∴f ′(0)＝b ＝2.②⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx＝13a ＋12b ＋c ＝0.③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝2，c ＝－12，∴f (x )＝－32x 2＋2x －12.。
人教A版选修2-2第1章1.6.docx
§1.6 微积分基本定理课时目标 1.了解微积分基本定理的内容与含义.2.会利用微积分基本定理求函数的定积分．1．如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝________，那么ʃb a f (x )d x ＝__________.该结论叫做微积分基本定理，又叫________________公式．2．微积分基本定理揭示了________和__________之间的内在联系，同时它也提供了计算____________的一种有效方法；计算定积分的关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )． (1)若F ′(x )＝x α，则F (x )＝____________； (2)若F ′(x )＝cos x ，则F (x )＝__________； (3)若F ′(x )＝sin x ，则F (x )＝____________； (4)若F ′(x )＝e x ，则F (x )＝________； (5)若F ′(x )＝1x (x >0)，则F (x )＝__________；(6)F ′(x )＝a x (a >0且a ≠1)，则F (x )＝__________.一、选择题1．设f (x )在[a ，b ]上连续，且(F (x )＋C )′＝f (x )(C 为常数)，则lim Δx →F (x ＋Δx )－F (x )Δx等于( )A ．F (x )B ．f (x )C ．0D ．f ′(x )2．由曲线y ＝x 3，直线x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的曲边梯形的面积为( ) A ．1 B.12C.13D.143．2π⎰⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x22d x 的值是( ) A.π2 B.π2＋1 C ．－π2 D ．04．ʃ0－4|x ＋3|d x 的值为( )A ．－2B ．0C ．5 D.125．若m ＝ʃ10e x d x ，n ＝ʃe 11xd x ，则m 与n 的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝n D ．无法确定 6．ʃ421xd x 等于( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2 D ．ln 2 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．ʃ10(2x k ＋1)d x ＝2，则k ＝________.8．定积分ʃ10x1＋x 2d x 的值为________． 9．定积分20π⎰1－sin 2x d x 的值为__________．三、解答题10．计算：(1)ʃ5－5(sin 5x ＋x 13)d x ； (2)22ππ-⎰(cos 2x ＋8)d x .11.已知f (x )＝a sin x ＋b cos x ，20π⎰f (x )d x ＝4，60π⎰f (x )d x ＝7－332，求f (x )的最大值和最小值．能力提升12．f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，那么f (x )的解析式是( ) A ．4x ＋3 B ．3x ＋4 C ．－4x ＋2 D ．－3x ＋413．已知ʃ1－1(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝2a ＋6且f (t )＝ʃt 0(x 3＋ax ＋3a －b )d x 为偶函数，求a ，b .1．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，即找到被积函数的原函数．2．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．答案知识梳理1．f (x ) F (b )－F (a ) 牛顿一莱布尼兹 2．导数 定积分 定积分(1)1α＋1x α＋1＋C (2)sin x ＋C (3)－cos x ＋C (4)e x ＋C (5)ln x ＋C (6)1ln a ·a x＋C作业设计 1．B2．D [曲边梯形面积A ＝ʃ10x 3d x ＝⎝⎛⎭⎫14x 4|10＝14.]3．B [20π⎰⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 22d x＝2π⎰(1＋sin x )d x＝20xπ＋(－cos x )|20π＝π2＋1.] 4．C [原式＝ʃ－3－4(－x －3)d x ＋ʃ0－3(x ＋3)d x＝⎝⎛⎭⎫－12x 2－3x |－3－4＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋3x |0－3＝5.]5．A [∵m ＝ʃ10e x d x ＝e x |10＝e －1，n ＝ʃe 11x d x ＝ln x |e 1＝ln e －ln 1＝1， m －n ＝e －1－1＝e －2>0，∴m >n .] 6．D [ʃ421x d x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2.] 7．1解析 ∵ʃ10(2x k ＋1)d x ＝ʃ102x k d x ＋ʃ10d x＝2ʃ10x k d x ＋x |10＝2x k ＋1k ＋1|10＋1＝2k ＋1＋1＝2，∴2k ＋1＝1，8.12ln 2 解析 ∵⎣⎡⎦⎤12ln (1＋x 2)′＝x 1＋x 2， ∴ʃ10x 1＋x 2d x ＝12ln(1＋x 2)|10＝12ln 2. 9．2(2－1)解析2π⎰cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x d x＝20π⎰(sin x －cos x )2d x ＝20π⎰|cos x －sin x |d x＝40π⎰(cos x －sin x )d x ＋24ππ⎰ (sin x －cos x )d x＝(sin x ＋cos x )|40π－(cos x ＋sin x )|24ππ＝2(2－1)．10．解 (1)∵f (x )＝sin 5x ＋x 13，x ∈[－5,5]是奇函数， ∴由定积分的几何意义知ʃ0－5(sin 5x ＋x 13)d x ＝－ʃ50(sin 5x ＋x 13)d x ， ∴ʃ5－5(sin 5x ＋x 13)d x＝ʃ0－5(sin 5x ＋x 13)d x ＋ʃ50(sin 5x ＋x 13)d x ＝0.(2)∵f (x )＝cos 2x ＋8，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2是偶函数， ∴22ππ-⎰(cos 2x ＋8)d x ＝220π⎰(cos 2x ＋8)d x＝20π⎰2cos 2x d x ＋20π⎰16d x＝20π⎰(1＋cos 2x )d x ＋16x |20π＝⎝⎛⎭⎫x ＋12sin 2x |20π＋16x |20π＝172π. 11．解2π⎰f (x )d x ＝20π⎰(a sin x ＋b cos x )d x＝(b sin x －a cos x )|20π60π⎰f (x )d x ＝(b sin x －a cos x )|6π＝12b －32a ＋a ＝7－332， 解得a ＝3，b ＝1.所以f (x )＝3sin x ＋cos x ＝10sin(x ＋φ)，(其中tan φ＝13)．故f (x )的最大值为10，最小值为－10. 12．A [设f (x )＝ax ＋b ， 则ʃ10(ax ＋b )d x ＝⎝⎛⎭⎫ax 22＋bx |1＝a 2＋b ，ʃ10xf (x )d x ＝ʃ10(ax 2＋bx )d x＝⎝⎛⎭⎫ax 33＋bx 22|10＝a 3＋b 2，∴⎩⎨⎧a2＋b ＝5a 3＋b 2＝176，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3.]13．解 ∵f (x )＝x 3＋ax 为奇函数，∴ʃ1－1(x 3＋ax )d x ＝0， ∴ʃ1－1(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝ʃ1－1(x 3＋ax )d x ＋ʃ1－1(3a －b )d x＝0＋(3a －b )[1－(－1)]＝6a －2b . ∴6a －2b ＝2a ＋6， 即2a －b ＝3.①又f (t )＝⎪⎪⎣⎡⎦⎤x 44＋a2x 2＋(3a －b )x t 0 ＝t 44＋at 22＋(3a －b )t 为偶函数， ∴3a －b ＝0.②由①②得a ＝－3，b ＝－9.。
2019高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理学案 新人教A版选修2-2
1.6 微积分基本定理学习目标：1.了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义．(重点、易混点)2.掌握微积分基本定理，会用微积分基本定理求定积分．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．微积分基本定理思考：满足唯一吗？[提示]不唯一，如F 1(x )＝x ＋1，F 2(x )＝x ＋5，…等其导数为1，故F (x )不唯一． 2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下．则 (1)当曲边梯形在x 轴上方时，如图161①，则⎠⎛a b f (x )d x ＝S 上．(2)当曲边梯形在x 轴下方时，如图161②，则⎠⎛ab f (x )d x ＝－S 下．(3)当曲边梯形在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图161③，则⎠⎛a b f (x )d x ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则⎠⎛ab f (x )d x＝0.图① 图② 图③图161[基础自测]1．思考辨析(1)若⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab g (x )d x ，则f (x )＝g (x )( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( ) (3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√2．若a ＝⎠⎛01(x －2)d x ，则被积函数的原函数为( )A ．f (x )＝x －2B ．f (x )＝x －2＋C C ．f (x )＝12x 2－2x ＋CD ．f (x )＝x 2－2x[答案] C 3．cos x d x ＝________.[解析][答案] 14．如图162，定积分⎠⎛a b f (x )d x 的值用阴影面积S 1，S 2，S 3表示为⎠⎛ab f (x )d x ＝________.【导学号：31062090】图162[解析] 根据定积分的几何意义知⎠⎛abf (x )d x ＝S 1－S 2＋S 3. [答案] S 1－S 2＋S 3[合 作 探 究·攻 重 难](1)⎠⎛01(2x ＋e x)d x ；(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－3cos x d x ； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2－cos x 22d x ； (4)⎠⎛03(x －3)(x －4)d x .[解] (1)⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )＝(1＋e 1)－(0＋e 0)＝e.(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－3cos x d x＝(ln x －3sin x )| 21＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1) ＝ln 2－3sin 2＋3sin 1. (3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2－cos x 22＝1－2sin x 2cos x2＝1－sin x ，＝⎝⎛⎭⎪⎫π2＋cos π2－(0＋cos 0)＝π2－1. (4)∵(x －3)(x －4)＝x 2－7x ＋12， ∴⎠⎛03(x －3)(x －4)d x＝⎠⎛03(x 2－7x ＋12)d x⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－72x 2＋12x＝27－632＋36＝632.[规律方法]当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数F x由微积分基本定理求定积分的步骤第一步：求被积函数f x 的一个原函数F x ；第二步：计算函数的增量F b －F a[跟踪训练]1．计算下列定积分．(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2 x 2－sin 2 x 2d x ；4[解] (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 33＋ln x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－83＋ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝ln 2＋23.＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×27＋812－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×8＋162＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋812－163－8 ＝2716(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )d x ；(2)⎠⎛02|x 2－1|d x .[思路探究] (1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分． [解] (1)(x －1)d x ＝(－cos x )＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.(2)⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3| 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x | 21＝2.[规律方法] 1.本例(2)中被积函数f (x )含有绝对值号，可先求函数f (x )的零点，结合积分区间，分段求解． 2．分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行． 3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解． [跟踪训练]2．(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2x ，0≤x ≤1，x 2，1＜x ≤2，求⎠⎛02f (x )d x .(2)求|x 2－x |d x 的值.【导学号：31062092】[解] (1)⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(1＋2x )d x ＋⎠⎛12x 2d x＝(x ＋x 2)＝2＋73＝133.(2)∵|x 2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，－2≤x ＜0，x －x 2，0≤x ≤1，x 2－x ，1＜x ≤2，∴|x 2－x |d x＝143＋16＋56＝173.[探究问题]1．求f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x 的表达式．提示：f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23ax 3－12a 2x 2＝23a －12a 2. 2．试求f (a )取得最大时a 的值． 提示：f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－43a ＋49＋29＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －232＋29，∴当a ＝23时，f (a )的最大值为29.(1)已知t ＞0，f (x )＝2x －1，若⎠⎛0t f (x )d x ＝6，则t ＝________.(2)已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________．[解] (1)⎠⎛0t f (x )d x ＝⎠⎛0t (2x －1)d x ＝t 2－t ＝6，解得t ＝3或－2，∵t ＞0，∴t ＝3.(2)⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ＝32k ＋1. 由2≤32k ＋1≤4，得23≤k ≤2.母题探究：1.(变条件)若将例3(1)中的条件改为⎠⎛tf (x )d x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，求t . [解] 由⎠⎛0t f (x )d x ＝⎠⎛0t (2x －1)d x＝t 2－t ， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＝t －1， ∴t 2－t ＝t －1，得t ＝1.2．(变条件)若将例3(1)中的条件改为⎠⎛0t f (x )d x ＝F (t )，求F (t )的最小值．[解] F (t )＝⎠⎛0t f (x )d x ＝t 2－t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14(t ＞0)， 当t ＝12时，F (t )min ＝－14.[规律方法] 利用定积分求参数应注意的问题利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限．[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列值等于1的是( )【导学号：31062093】A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x C [选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 22＝12； 选项B ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ＝32； 选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x＝1；选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112d x ＝12x ＝12.] 2．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2D [⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝()x 2＋ln x ＝a 2＋ln a －1，∴a 2－1＝3，且ln a ＝ln 2，故a ＝2.]3.⎠⎛02⎝⎛⎭⎪⎫x 2－23x d x ＝________. 【导学号：31062094】[解析] ⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x＝x 33－x 23＝83－43＝43[答案] 434．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x ＜1，3－x ，1≤x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝________.[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋1)d x ＋⎠⎛12(3－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33＋x ＋⎝⎛⎭⎪⎫3x －x 22＝176. [答案]1765．已知f (x )是二次函数，其图象过点(1,0)，且f ′(0)＝2，⎠⎛01f (x )d x ＝0，求f (x )的解析式．[解] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∴a ＋b ＋c ＝0. ∵f ′(x )＝2ax ＋b ， ① ∴f ′(0)＝b ＝2.②⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx＝13a ＋12b ＋c ＝0.③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝2，c ＝－12，∴f (x )＝－32x 2＋2x －12.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理学案 新人教A版选修2-2 (2)
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题§1.6 微积分基本定理学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．知识点一 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)思考 已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x ，则ʃ10(2x ＋1)d x 与F (1)－F (0)有什么关系？ 答案 由定积分的几何意义知，ʃ10(2x ＋1)d x ＝12×(1＋3)×1＝2，F (1)－F (0)＝2，故ʃ10(2x ＋1)d x ＝F (1)－F (0)． 梳理 (1)微积分基本定理①条件：f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )； ②结论：ʃba f (x )d x ＝F (b )－F (a )；③符号表示：ʃba f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )． (2)常见的原函数与被积函数关系 ①ʃba c d x ＝cx |b a (c 为常数)． ②ʃb a x nd x ＝⎪⎪⎪1n ＋1x n ＋1ba (n ≠－1)． ③ʃb a sin x d x ＝－cos x |ba . ④ʃba cos x d x ＝sin x |ba .⑤ʃb a 1xd x ＝ln x |ba (b >a >0)． ⑥ʃb a e x d x ＝e x |ba . ⑦ʃb aa xd x ＝⎪⎪⎪a x ln a ba (a >0且a ≠1)． ⑧ʃb ax d x ＝⎪⎪⎪2332x ba (b >a >0)． 知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系思考 定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？答案 当被积函数f (x )≥0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f (x )≥0不恒成立，则不相等．梳理 设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，在x 轴下方的面积为S 下，则 (1)当曲边梯形在x 轴上方时，如图①，则ʃba f (x )d x ＝S 上． (2)当曲边梯形在x 轴下方时，如图②，则ʃb a f (x )d x ＝－S 下．(3)当曲边梯形在x 轴上方，x 轴下方均存在时，如图③，则ʃba f (x )d x ＝S 上－S 下．特别地，若S 上＝S 下，则ʃba f (x )d x ＝0.1．若F ′(x )＝f (x )，则F (x )唯一．( × )2．微积分基本定理中，被积函数f (x )是原函数F (x )的导数．( √ )3．应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( √ )类型一 求定积分命题角度1 求简单函数的定积分 例1 计算下列定积分． (1)ʃ10(2x ＋e x)d x ；(2)ʃ21⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－3cos x d x ；(3)π220(sincos )d ;22x xx -⎰(4)ʃ30(x －3)(x －4)d x .考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分 解 (1)ʃ10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10 ＝(1＋e 1)－(0＋e 0)＝e.(2)ʃ21⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－3cos x d x＝(ln x －3sin x )|21＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1) ＝ln 2－3sin 2＋3sin 1. (3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2－cos x 22＝1－2sin x 2cos x2＝1－sin x ， ∴ππ22200(sin cos )d (1-sin )d 22x x x x x -=⎰⎰π20(cos )|x x =＋＝⎝⎛⎭⎪⎫π2＋cos π2－(0＋cos 0)＝π2－1.(4)∵(x －3)(x －4)＝x 2－7x ＋12， ∴ʃ30(x －3)(x －4)d x ＝ʃ30(x 2－7x ＋12)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－72x 2＋12x 30＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13×33－72×32＋12×3－0＝272. 反思与感悟 (1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得原函数F (x )．(2)由微积分基本定理求定积分的步骤 第一步：求被积函数f (x )的一个原函数F (x )； 第二步：计算函数的增量F (b )－F (a )． 跟踪训练1 计算下列定积分． (1)ʃ21⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ；(2)π222(cos sin )d 22x xx -⎰； (3)ʃ94x (1＋x )d x . 考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分 解 (1)ʃ21⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3＋ln x 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－13×23＋ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋ln 1＝ln 2－56.(2)π222(cos sin )d 22x xx -⎰π20cos d x x =⎰＝sin x π20|＝1. (3)ʃ94x (1＋x )d x ＝ʃ94(x ＋x )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2332x ＋12x 294＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×329＋12×92－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×324＋12×42＝2716.命题角度2 求分段函数的定积分例2 (1)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x >0，求π21()d ;f x x -⎰(2)计算定积分ʃ21|3－2x |d x . 考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 解 (1)π21()d f x x -⎰＝ʃ0－1x 2d x ＋π2(cos 1)d ,x x -⎰又因为⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，(sin x －x )′＝cos x －1，所以原式＝⎪⎪⎪13x 30－1＋(sin x －x )π20| ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋13＋⎝⎛⎭⎪⎫sin π2－π2－(sin 0－0)＝43－π2. (2)ʃ21|3－2x |d x322312(32)d (23)d x x x x =-+-⎰⎰＝(3x －x 2)321|＋(x 2－3x )232|＝12. 反思与感悟 分段函数定积分的求法(1)利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算．(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算． 跟踪训练2 (1)ʃ1－1e |x |d x ＝________. 考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 答案 2e －2 解析 ʃ1－1e |x |d x ＝ʃ0－1e －xd x ＋ʃ10e xd x ＝－e －x |0－1＋e x |10 ＝－e 0＋e 1＋e 1－e 0＝2e －2.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋e x，0≤x ≤1，x －1x ，1<x ≤2，求ʃ20f (x )d x .考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 解 ʃ20f (x )d x＝ʃ10(2x ＋e x )d x ＋ʃ21⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x＝(x 2＋e x )|10＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x 21 ＝(1＋e)－(0＋e 0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1－ln 1＝e ＋32－ln 2.类型二 利用定积分求参数例3 (1)已知t >0，f (x )＝2x －1，若ʃt0f (x )d x ＝6，则t ＝________. (2)已知2≤ʃ21(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________． 考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数答案 (1)3 (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2解析 (1)ʃt 0f (x )d x ＝ʃt 0(2x －1)d x ＝t 2－t ＝6， 解得t ＝3或－2，∵t >0，∴t ＝3. (2)ʃ21(kx ＋1)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x 21＝32k ＋1. 由2≤32k ＋1≤4，得23≤k ≤2.引申探究1．若将例3(1)中的条件改为ʃt0f (x )d x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，求t .解 由ʃt0f (x )d x ＝ʃt0(2x －1)d x ＝t 2－t ， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＝t －1，∴t 2－t ＝t －1，得t ＝1.2．若将例3(1)中的条件改为ʃt0f (x )d x ＝F (t )，求F (t )的最小值．解 F (t )＝ʃt 0f (x )d x ＝t 2－t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14(t >0)，当t ＝12时，F (t )min ＝－14.反思与感悟 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．跟踪训练3 (1)已知x ∈(0,1]，f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t ，则f (x )的值域是________． (2)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)．若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数 答案 (1)[0,2) (2)33解析 (1)f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t ＝(t －2xt ＋t 2)|10＝－2x ＋2(x ∈(0,1])． ∴f (x )的值域为[0,2)． (2)∵ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax 2＋c )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋cx 10＝a 3＋c .又f (x 0)＝ax 20＋c ，∴a 3＝ax 20，即x 0＝33或－33.∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33.1．若ʃa 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2 考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数 答案 D解析 ʃa 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝ʃa 12x d x ＋ʃa 11xd x＝x 2|a 1＋ln x |a1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2， 解得a ＝2. 2．π23(12sin )d 2θθ-⎰等于( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分 答案 D 解析π23(12sin )d 2θθ-⎰π3=cos d θθ⎰＝sin θπ30|＝32. 3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤1，2－x ，1<x ≤2，则ʃ20f (x )d x 等于( )A.34B.45 C.56D ．不存在考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 答案 C解析 ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x ＝⎪⎪⎪13x 310＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 221＝56.4．已知函数f (x )＝x n＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，则ʃ31f (－x )d x ＝________. 考点 微积分基本定理的应用 题点 微积分基本定理的综合应用 答案 23解析 ∵f (x )＝x n＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2， ∴nxn －1＋m ＝2x ＋2，解得n ＝2，m ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ，则f (－x )＝x 2－2x ， ∴ʃ31f (－x )d x ＝ʃ31(x 2－2x )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 231＝9－9－13＋1＝23.5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算：ʃπ0f (x )d x .解 ʃπf (x )d x ππ2π02()d ()d f x x f x x =+⎰⎰ππ2π02=(4-2π)d cos d ,x x x x +⎰⎰取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π； 取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x . 所以ππ2π02(4-2π)d cos d x x x x +⎰⎰＝(2x 2－2πx )π20|＋sin x ππ2|＝－12π2－1，即ʃπ0f (x )d x ＝－12π2－1.1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、选择题1．ʃ21⎝⎛⎭⎪⎫e x＋1x d x 等于( )A ．e 2－ln 2B ．e 2－e －ln 2 C ．e 2＋e ＋ln 2D ．e 2－e ＋ln 2考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分 答案 D解析 ʃ21⎝ ⎛⎭⎪⎫e x＋1x ＝(e x ＋ln x )|21＝(e 2＋ln 2)－(e ＋ln 1)＝e 2－e ＋ln 2. 2．若π2(sin cos )d x a x x -⎰＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－ 3D. 3考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数 答案 A 解析π2(sin cos )d x a x x -⎰＝(－cos x －a sin x )π20| ＝0－a －(－1－0)＝1－a ＝2， ∴a ＝－1，故选A.3．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分 答案 B解析 因为S 1＝ʃ21x 2d x ＝⎪⎪⎪13x 321＝13×23－13＝73， S 2＝ʃ211x d x ＝ln x |21＝ln 2，S 3＝ʃ21e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)．又ln 2<ln e ＝1，且73<2.5<e(e －1)，所以ln 2<73<e(e －1)，即S 2<S 1<S 3.4．ʃ30|x 2－4|d x 等于( ) A.213 B.223 C.233D.253考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 答案 C解析 ∵|x 2－4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，2≤x ≤3，4－x 2，0≤x ≤2，∴ʃ30|x 2－4|d x ＝ʃ32(x 2－4)d x ＋ʃ20(4－x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x 32＋⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫4x －13x 320＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(9－12)－⎝ ⎛⎭⎪⎫83－8＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫8－83－0＝－3－83＋8＋8－83＝233.5．若函数f (x )，g (x )满足ʃ1－1f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数： ①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1； ③f (x )＝x ，g (x )＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用答案 C解析 对于①，ʃ1－1sin 12x cos 12x d x ＝ʃ1－112sin x d x ＝0， 所以①是区间[－1,1]上的一组正交函数；对于②，ʃ1－1(x ＋1)(x －1)d x ＝ʃ1－1(x 2－1)d x ≠0，所以②不是区间[－1,1]上的一组正交函数；对于③，ʃ1－1x ·x 2d x ＝ʃ1－1x 3d x ＝0，所以③是区间[－1,1]上的一组正交函数．6．若f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，则ʃ10f (x )d x 等于( )A ．－13B ．－1 C.13 D ．1 考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分答案 A解析 ∵f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，∴ʃ10f (x )d x ＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ʃ10f (x )d x 10 ＝13＋2ʃ10f (x )d x ， ∴ʃ10f (x )d x ＝－13. 二、填空题7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≤0，cos x －1，x >0，则ʃ1－1f (x )d x ＝________. 考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分答案 sin 1－23解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ10(cos x －1)d x＝ ⎪⎪⎪13x 30－1＋(sin x －x )|1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13×03－13×(－1)3＋[(sin 1－1)－(sin 0－0)] ＝sin 1－23. 8．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若ʃ1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 －1或13解析 ʃ1－1f (x )d x ＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4，2f (a )＝6a 2＋4a ＋2，由题意得6a 2＋4a ＋2＝4，解得a ＝－1或13. 9.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用答案 13解析 长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝ʃ103x 2d x ＝x 3|10＝1，则P ＝S 阴S 1＝13. 10．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ，x >0，x ＋ʃa 03t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝____________.考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 1解析 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又当x ≤0时，f (x )＝x ＋ʃa 03t 2d t ＝x ＋t 3|a 0＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f (f (1))＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1.11．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为________．考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 f (x )＝4x ＋3解析 ∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝ʃ10ax d x ＋ʃ10b d x＝12a ＋b ＝5， ʃ10xf (x )d x ＝ʃ10x (ax ＋b )d x＝ʃ10(ax 2)d x ＋ʃ10bx d x ＝13a ＋12b ＝176. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3. 12．已知α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则当ʃα0(cos x －sin x )d x 取最大值时，α＝________. 考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用答案 π4解析 ʃα0(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )|α0＝sin α＋cos α－1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－1. ∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，34π， 当α＋π4＝π2，即α＝π4时， 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－1取得最大值． 三、解答题13．已知f (x )＝ʃx －a (12t ＋4a )d t ，F (a )＝ʃ10[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值． 考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用解 因为f (x )＝ʃx －a (12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )|x－a＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2，F (a )＝ʃ10[f (x )＋3a 2]d x ＝ʃ10(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )|1＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1.所以当a ＝－1时，F (a )取到最小值为1.四、探究与拓展 14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ (x ＋1)2，－1≤x ≤0，1－x 2，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 等于( ) A.3π－812 B.4＋3π12 C.4＋π4 D.－4＋3π12考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分答案 B解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1(x ＋1)2d x ＋ʃ101－x 2d x ， ʃ0－1(x ＋1)2d x ＝⎪⎪⎪13(x ＋1)30－1＝13， ʃ101－x 2d x 以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一， 故ʃ101－x 2d x ＝π4， 故ʃ1－1f (x )d x ＝13＋π4＝4＋3π12. 15．已知f ′(x )是f (x )在(0，＋∞)上的导数，满足xf ′(x )＋2f (x )＝1x2，且ʃ21[x 2f (x )－ln x ]d x ＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x >0时，证明不等式2ln x ≤e x 2－2.考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用(1)解 由xf ′(x )＋2f (x )＝1x2，得 x 2f ′(x )＋2xf (x )＝1x， 即[x 2f (x )]′＝1x， 所以x 2f (x )＝ln x ＋c (c 为常数)，即x 2f (x )－ln x ＝c .又ʃ21[x 2f (x )－ln x ]d x ＝1，即ʃ21c d x ＝1，所以cx |21＝1，所以2c －c ＝1，所以c ＝1.所以x 2f (x )＝ln x ＋1，所以f (x )＝ln x ＋1x 2. (2)证明 由(1)知f (x )＝ln x ＋1x 2(x >0)， 所以f ′(x )＝1x ×x 2－2x (ln x ＋1)x 4＝－2ln x －1x 3， 当f ′(x )＝0时，x ＝12e-，f ′(x )>0时，0<x <12e -， f ′(x )<0时，x >12e -， 所以f (x )在(0，12e -)上单调递增，在(12e-，＋∞)上单调递减． 所以f (x )max ＝ 12(e )f -＝e 2， 所以f (x )＝ln x ＋1x 2≤e 2， 即2ln x ≤e x 2－2.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理学案 新人教A版选修22
1.6 微积分基本定理学习目标：1.了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义．(重点、易混点)2.掌握微积分基本定理，会用微积分基本定理求定积分．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．微积分基本定理的函数[提示]不唯一，如F 1(x )＝x ＋1，F 2(x )＝x ＋5，…等其导数为1，故F (x )不唯一． 2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下．则 (1)当曲边梯形在x 轴上方时，如图161①，则⎠⎛a b f (x )d x ＝S 上．(2)当曲边梯形在x 轴下方时，如图161②，则⎠⎛ab f (x )d x ＝－S 下．(3)当曲边梯形在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图161③，则⎠⎛ab f (x )d x ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则⎠⎛ab f (x )d x ＝0.图① 图② 图③图161[基础自测]1．思考辨析(1)若⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab g (x )d x ，则f (x )＝g (x )( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√2．若a ＝⎠⎛01(x －2)d x ，则被积函数的原函数为( )A ．f (x )＝x －2B ．f (x )＝x －2＋C C ．f (x )＝12x 2－2x ＋CD ．f (x )＝x 2－2x[答案] C 3．cos x d x ＝________.[解析][答案] 14．如图162，定积分⎠⎛a b f (x )d x 的值用阴影面积S 1，S 2，S 3表示为⎠⎛ab f (x )d x ＝________.【导学号：31062090】图162[解析] 根据定积分的几何意义知⎠⎛abf (x )d x ＝S 1－S 2＋S 3. [答案] S 1－S 2＋S 3[合 作 探 究·攻 重 难](1)⎠⎛01(2x ＋e x)d x ；(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－3cos x d x ； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2－cos x 22d x ；(4)⎠⎛03(x －3)(x －4)d x .[解] (1)⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x)＝(1＋e 1)－(0＋e 0)＝e.(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－3cos x d x ＝(ln x －3sin x )| 21＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1) ＝ln 2－3sin 2＋3sin 1. (3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2－cos x 22＝1－2sin x 2cos x2＝1－sin x ，＝⎝⎛⎭⎪⎫π2＋cos π2－(0＋cos 0)＝π2－1. (4)∵(x －3)(x －4)＝x 2－7x ＋12， ∴⎠⎛03(x －3)(x －4)d x＝⎠⎛03(x 2－7x ＋12)d x⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－72x 2＋12x＝27－632＋36＝632.[规律方法] 当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数F x由微积分基本定理求定积分的步骤第一步：求被积函数f x的一个原函数F x ；第二步：计算函数的增量F b －Fa[跟踪训练]1．计算下列定积分． (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ；(2)⎝⎛⎭⎪⎫cos 2 x 2－sin 2 x 2d x ； (3)⎠⎛49x (1＋x )d x .【导学号：31062091】[解] (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 33＋ln x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－83＋ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13 ＝ln 2＋23.＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×27＋812－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×8＋162＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋812－163－8 ＝2716(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )d x ；(2)⎠⎛02|x 2－1|d x .[思路探究] (1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．[解] (1)(x －1)d x ＝(－cos x )＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.(2)⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3| 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x | 21＝2.[规律方法] 1.本例(2)中被积函数f (x )含有绝对值号，可先求函数f (x )的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解． [跟踪训练]2．(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2x ，0≤x ≤1，x 2，1＜x ≤2，求⎠⎛02f (x )d x .(2)求|x 2－x |d x 的值.【导学号：31062092】[解] (1)⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(1＋2x )d x ＋⎠⎛12x 2d x＝(x ＋x 2)＝2＋73＝133.(2)∵|x 2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，－2≤x ＜0，x －x 2，0≤x ≤1，x 2－x ，1＜x ≤2，∴|x 2－x |d x＝143＋16＋56＝173.[探究问题]1．求f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x 的表达式．提示：f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23ax 3－12a 2x 2＝23a －12a 2. 2．试求f (a )取得最大时a 的值． 提示：f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－43a ＋49＋29＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －232＋29，∴当a ＝23时，f (a )的最大值为29.(1)已知t ＞0，f (x )＝2x －1，若⎠⎛0t f (x )d x ＝6，则t ＝________.(2)已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________．[解] (1)⎠⎛0t f (x )d x ＝⎠⎛0t (2x －1)d x ＝t 2－t ＝6，解得t ＝3或－2，∵t ＞0，∴t ＝3.(2)⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ＝32k ＋1.由2≤32k ＋1≤4，得23≤k ≤2.母题探究：1.(变条件)若将例3(1)中的条件改为⎠⎛tf (x )d x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，求t . [解] 由⎠⎛0t f (x )d x ＝⎠⎛0t (2x －1)d x＝t 2－t ，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＝t －1， ∴t 2－t ＝t －1，得t ＝1.2．(变条件)若将例3(1)中的条件改为⎠⎛0t f (x )d x ＝F (t )，求F (t )的最小值．[解] F (t )＝⎠⎛0t f (x )d x ＝t 2－t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14(t ＞0)， 当t ＝12时，F (t )min ＝－14.[规律方法] 利用定积分求参数应注意的问题利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限．[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列值等于1的是( )【导学号：31062093】A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x C [选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 22＝12； 选项B ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x＝1；选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112d x ＝12x ＝12.] 2．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2D [⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝()x 2＋ln x ＝a 2＋ln a －1，∴a 2－1＝3，且ln a ＝ln 2，故a ＝2.]3.⎠⎛02⎝⎛⎭⎪⎫x 2－23x d x ＝________. 【导学号：31062094】[解析] ⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x＝x 33－x 23＝83－43＝43[答案] 434．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x ＜1，3－x ，1≤x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝________.[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋1)d x ＋⎠⎛12(3－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33＋x ＋⎝⎛⎭⎪⎫3x －x 22＝176. [答案]1765．已知f (x )是二次函数，其图象过点(1,0)，且f ′(0)＝2，⎠⎛01f (x )d x ＝0，求f (x )的解析式．[解] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∴a ＋b ＋c ＝0. ∵f ′(x )＝2ax ＋b ， ① ∴f ′(0)＝b ＝2.②⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx＝13a ＋12b ＋c ＝0.③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝2，c ＝－12，∴f (x )＝－32x 2＋2x －12.。
2018-2019学年人教A版选修2-2 1.6微积分基本定理 学案
第一章导数及其应用1.6微积分基本定理------------ 学 案一、学习目标1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． 二、自主学习1．导数与定积分有怎样的联系？答 导数与定积分都是微积分学中两个最基本、最重要的概念，运用它们之间的联系，我们可以找出求定积分的方法，求导数与定积分是互为逆运算．2．在下面图(1)、图(2)、图(3)中的三个图形阴影部分的面积分别怎样表示？答 根据定积分与曲边梯形的面积的关系知：图(1)中S ＝⎠⎛a b f (x )d x ，图(2)中S ＝－⎠⎛a b f (x )d x ，图(3)中S ＝⎠⎛0b f (x )d x －⎠⎛a0f (x )d x .3．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )．4．函数f (x )与其一个原函数的关系(1)若f (x )＝c (c 为常数)，则F (x )＝cx ； (2)若f (x )＝x n (n ≠－1)，则F (x )＝1n ＋1·x n ＋1；(3)若f (x )＝1x ，则F (x )＝ln x (x >0)； (4)若f (x )＝e x ，则F (x )＝e x ；(5)若f (x )＝a x，则F (x )＝a xln a(a >0且a ≠1)； (6)若f (x )＝sin x ，则F (x )＝－cos x ；(7)若f (x )＝cos x ，则F (x )＝sin x . 三、合作探究要点一 求简单函数的定积分例1 计算下列定积分(1)⎠⎛123d x ； (2)⎠⎛02(2x ＋3)d x ； (3)⎠⎛3－1(4x －x 2)d x ； (4)⎠⎛12(x －1)5d x .解 (1)因为(3x )′＝3，所以⎠⎛123d x ＝(3x )⎪⎪⎪21＝3×2－3×1＝3. (2)因为(x 2＋3x )′＝2x ＋3，所以⎠⎛02(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )⎪⎪⎪2＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10.(3)因为⎝⎛⎭⎫2x 2－x33′＝4x －x 2， 所以⎠⎛3－1(4x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 33⎪⎪⎪3－1＝⎝⎛⎭⎫2×32－333－⎣⎡⎦⎤－2－－33＝203. (4)因为⎣⎡⎦⎤16x －6′＝(x －1)5，所以⎠⎛21(x －1)5d x ＝16(x －1)6⎪⎪⎪21＝16(2－1)6－16(1－1)6＝16. 规律方法 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f (x )的一个原函数F (x )；②计算F (b )－F (a )． (2)注意事项：①有时需先化简，再求积分；②f (x )的原函数有无穷多个，如F (x )＋c ，计算时，一般只写一个最简单的，不再加任意常数c . 跟踪演练1 求下列定积分： (1)∫π20(3x ＋sin x )d x ；(2)⎠⎛21⎝⎛⎭⎫e x －1x d x . 解 (1)∵⎝⎛⎭⎫32x 2－cos x ′＝3x ＋sin x ，∴∫π20(3x ＋sin x )d x ＝⎝⎛⎭⎫32x 2－cos x ⎪⎪⎪⎪π20＝⎣⎡⎦⎤32×⎝⎛⎭⎫π22－cos π2－⎝⎛⎭⎫32×0－cos 0＝3π28＋1； (2)∵(e x －ln x )′＝e x －1x，∴⎠⎛21(e x－1x )d x ＝()e x －ln x ⎪⎪⎪21＝(e 2－ln 2)－(e －0)＝e 2－e －ln 2. 要点二 求较复杂函数的定积分例2 求下列定积分：(1)⎠⎛41x (1－x )d x ； (2)∫π202cos 2x 2d x ；(3)⎠⎛41(2x ＋1x )d x .解 (1)∵x (1－x )＝x －x ，又∵⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 2′＝x －x .∴⎠⎛41x (1－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 2⎪⎪⎪41＝⎝⎛⎭⎫23×432－12×42－⎝⎛⎭⎫23－12＝－176. (2)∵2cos 2x2＝1＋cos x ，(x ＋sin x )′＝1＋cos x ，∴原式＝∫π20(1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π20＝π2＋1.(3)∵⎝⎛⎭⎫2xln 2＋2x ′＝2x ＋1x， ∴⎠⎛41(2x＋1x)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x ln 2＋2x ⎪⎪⎪41＝⎝⎛⎭⎫24ln 2＋24－⎝⎛⎭⎫2ln 2＋2＝14ln 2＋2. 规律方法 求较复杂函数的定积分的方法：(1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余弦函数、指数、对数函数与常数的和与差．(2)确定积分区间，分清积分下限与积分上限． 跟踪演练2 计算下列定积分：(1)∫π30(sin x －sin 2x )d x ； (2)⎠⎛0ln 2e x (1＋e x )d x . 解 (1)sin x －sin 2x 的一个原函数是－cos x ＋12cos 2x ，所以∫π30(sin x －sin 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－cos x ＋12cos 2x ⎪⎪⎪⎪π30＝⎝⎛⎭⎫－12－14－⎝⎛⎭⎫－1＋12＝－14. (2)∵e x (1＋e x )＝e x ＋e 2x ，∴⎝⎛⎭⎫e x ＋12e 2x ′＝e x ＋e 2x ， ∴⎠⎛0ln 2e x (1＋e x )d x ＝⎠⎛0ln 2()e x ＋e 2xd x ＝⎝⎛⎭⎫e x ＋12e 2x ⎪⎪⎪ln 20＝e ln 2＋12e 2ln 2－e 0－12e 0＝2＋12×4－1－12＝52.要点三 定积分的简单应用例3 已知f (a )＝⎠⎛10(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．解 ∵⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2′＝2ax 2－a 2x ，∴⎠⎛10(2ax 2－a 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2⎪⎪⎪10＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.规律方法 定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用．跟踪演练3 已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛10f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值．解 由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2. ① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0，②而⎠⎛10f (x )d x ＝⎠⎛10(ax 2＋bx ＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪10＝13a ＋12b ＋c ， ∴13a ＋12b ＋c ＝－2， ③由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.要点四 求分段函数的定积分例4 计算下列定积分：(1)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x cos x －1 x，求∫π2－1f (x )d x ；(2)⎠⎛30|x 2－4|d x .解 (1)∫π2－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1x 2d x ＋∫π20(cos x －1)d x ，又∵⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2，(sin x －x )′＝cos x －1 ∴原式＝13x 3⎪⎪⎪－1＋(sin x －x )⎪⎪⎪⎪π20＝⎝⎛⎭⎫0＋13＋⎝⎛⎭⎫sin π2－π2－(sin 0－0)＝43－π2. (2)∵|x 2－4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4 x ≥2或x ≤－2，4－x 2－2<x <2，又∵⎝⎛⎭⎫13x 3－4x ′＝x 2－4，⎝⎛⎭⎫4x －13x 3′＝4－x 2， ∴⎠⎛30|x 2－4|d x ＝⎠⎛20(4－x 2)d x ＋⎠⎛32(x 2－4)d x ＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3⎪⎪⎪20＋⎝⎛⎭⎫13x 3－4x ⎪⎪⎪32 ＝⎝⎛⎭⎫8－83－0＋(9－12)－⎝⎛⎭⎫83－8＝233. 规律方法 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段积分和的形式； (2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数； (3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论． 跟踪演练4 求⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .解 ∵|2x ＋3|＋|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，x <－32，6，－32≤x ≤32，4x ，x >32，∴⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x ＝∫－32－3(－4x )d x ＋∫32－326d x ＋∫3324x d x＝－2x 2⎪⎪⎪⎪－32－3＋6x ⎪⎪⎪32－32＋2x 2⎪⎪⎪⎪332＝45.四、自主小测1．已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( ) ①它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝s (t )⎪⎪ba ； ②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)； ③它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝li m n →∞∑i ＝1n b －a n s ′(ξi )；④它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝⎠⎛ab s ′(t )d t .A ．①B ．①②C ．①②④D ．①②③④2．若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A ．F (x )＝13x 3 B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)3．⎠⎛01(e x ＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值为( )A.32 B ．43C ．23D ．－235．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为 ．6．(2013·湖南)若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为 ．7．已知⎠⎛1－1(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝2a ＋6且f (t )＝⎠⎛0t (x 3＋ax ＋3a －b )d x 为偶函数，求a ，b 的值．参考答案1答案 D 2答案 B解析 若F (x )＝x 3，则F ′(x )＝3x 2，这与F ′(x )＝x 2不一致，故选B. 3答案 C解析 ⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝(e 1＋12)－(e 0＋02)＝e.4答案 B解析 ⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛011d x ＝⎪⎪x 330－1＋1＝13＋1＝43，故选B. 5答案33解析 由已知得13a ＋c ＝ax 20＋c ，∴x 20＝13，又∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 6答案 3解析 ⎠⎛0T x 2d x ＝⎪⎪13x 3T 0＝13T 3＝9，即T 3＝27，解得T ＝3. 7解 ∵f (x )＝x 3＋ax 为奇函数，∴⎠⎛1－1(x 3＋ax )d x ＝0，∴⎠⎛1－1(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝⎠⎛1－1(x 3＋ax )d x ＋⎠⎛1－1(3a －b )d x ＝0＋(3a －b )[1－(－1)]＝6a －2b .∴6a －2b ＝2a ＋6，即2a －b ＝3， ①又f (t )＝⎪⎪⎣⎡⎦⎤x 44＋a 2x 2＋a －b x t0＝t 44＋at 22＋(3a －b )t 为偶函数，∴3a －b ＝0，②由①②得a ＝－3，b ＝－9.。
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微积分基本定理预习课本P51～54，思考并完成下列问题 (1)微积分基本定理的内容是什么？(2)被积函数f (x )的原函数是否是唯一的？[新知初探]1．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，我们常常把F (b )－F (a )记为F (x )⎪⎪⎪ba ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba＝F (b )－F (a )．[点睛] 对微积分基本定理的理解(1)微积分基本定理表明，计算定积分⎠⎛a bf (x )d x 的关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F (x )．(2)牛顿－莱布尼茨公式指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数(F (x )叫做f (x )的原函数)的问题，提示了导数和定积分的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，在x 轴下方的面积为S 下．则 (1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图①，则⎠⎛a bf (x )d x ＝S 上．(2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图②，则⎠⎛a bf (x )d x ＝－S 下．(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图③，则⎠⎛a bf (x )d x ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则⎠⎛a bf (x )d x ＝0.[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f (x )是原函数F (x )的导数．( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ 2．下列积分值等于1的是( ) A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x答案：C3．计算：⎠⎛0πsin x d x ＝( )A ．－2B ．0C ．2D ．1 答案：C[典例] (1)定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2x ，0≤x ≤1，x 2，1<x ≤2，求⎠⎛02f (x )d x . [解析] (1)⎠⎛01(2x ＋e x)d x ＝(x 2＋e x) ⎪⎪⎪1＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e ，因此选C.答案：C(2)解：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x＝⎠⎛01(1＋2x )d x ＋⎠⎛12x 2d x ＝(x ＋x 2)10＋13x 321 ＝1＋1＋13(8－1)＝133.1．由微积分基本定理求定积分的步骤当被积函数为两个函数的乘积时，一般要转化为和的形式，便于求得函数F (x )，再计算定积分，具体步骤如下．第一步：求被积函数f (x )的一个原函数F (x )； 第二步：计算函数的增量F (b )－F (a )． 2．分段函数的定积分的求法(1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常常利用定积分的性质(3)，转化为各区间上定积分的和计算．(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算． [活学活用] 计算下列定积分：(1)⎠⎛01(x 3－2x )d x ；(2) (x ＋cos x )d x ；(3)⎠⎛121x (x ＋1)d x .解：(1)⎠⎛01(x 3－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫14x 4－x 2⎪⎪⎪10＝－34.(2)(x ＋cos x )d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋sin x ＝π28＋1. (3)f (x )＝1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1. 取F (x )＝ln x －ln(x ＋1)＝ln xx ＋1，则F ′(x )＝1x －1x ＋1，所以⎠⎛121x (x ＋1)d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x ＋1d x ＝ln x x ＋1⎪⎪⎪21＝ln 43.[典例] (1)已知x ∈(0,1]，f (x )＝⎠⎛01(1－2x ＋2t )d t ，则f (x )的值域是_________． (2)已知⎠⎛01[(3ax ＋1)(x ＋b )]d x ＝0，a ，b ∈R ，试求ab 的取值范围．[解析] (1)⎠⎛01(1－2x ＋2t )d t ＝[(1－2x )t ＋t 2] ⎪⎪⎪1＝2－2x ，即f (x )＝－2x ＋2，因为x ∈(0,1]，所以f (1)≤f (x )<f (0)， 即0≤f (x )<2 ，所以函数f (x )的值域是[0,2)． 答案：[0,2)(2)解：⎠⎛01[(3ax ＋1)(x ＋b )]d x＝⎠⎛01[3ax 2＋(3ab ＋1)x ＋b ]d x ＝⎣⎡⎦⎤ax 3＋12(3ab ＋1)x 2＋bx ⎪⎪⎪1＝a ＋12(3ab ＋1)＋b ＝0，即3ab ＋2(a ＋b )＋1＝0.法一：由于(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≥4ab ，所以⎝⎛⎭⎪⎫－3ab ＋122≥4ab ，即9(ab )2－10ab ＋1≥0，得(ab －1)(9ab －1)≥0，解得ab ≤19或ab ≥1.所以ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，19∪[1，＋∞)． 法二：设ab ＝t ，得a ＋b ＝－3t ＋12，故a ，b 为方程x 2＋3t ＋12x ＋t ＝0的两个实数根，所以Δ＝(3t ＋1)24－4t ≥0，整理，得9t 2－10t ＋1≥0，即(t －1)(9t －1)≥0，解得t ≤19或t ≥1.所以ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，19∪[1，＋∞)．含有参数的定积分问题的处理办法与注意点(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．[活学活用] 已知f (x )＝⎠⎛x －a(12t ＋4a )d t ，F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值．解：∵f (x )＝⎠⎛x －a(12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at ) ⎪⎪⎪x－a＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2) ＝6x 2＋4ax －2a 2，∵F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x ) ⎪⎪⎪1＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1，∴当a ＝－1时，F (a )最小值＝1.层级一 学业水平达标1．下列各式中，正确的是( ) A.⎠⎛a bF ′(x )d x ＝F ′(b )－F ′(a ) B.⎠⎛a b F ′(x )d x ＝F ′(a )－F ′(b ) C.⎠⎛a b F ′(x )d x ＝F (b )－F (a ) D.⎠⎛a b F ′(x )d x ＝F (a )－F (b )解析：选C 由牛顿－莱布尼茨公式知，C 正确． 2.⎠⎛0π(cos x ＋1)d x 等于( ) A ．1 B ．0 C ．π＋1D ．π解析：选D ⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x ) ⎪⎪⎪π＝sin π＋π－0＝π. 3．已知积分⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝k ，则实数k ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：选A 因为⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝k ，所以⎝⎛⎭⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪10＝k . 所以12k ＋1＝k ，所以k ＝2.4. ⎠⎛－aa|56x |d x ≤2 016，则正数a 的最大值为( )A ．6B ．56C ．36D ．2 016解析：选A ⎠⎛－a a|56x |d x ＝2⎠⎛0a56x d x ＝2×562x 2⎪⎪⎪a 0＝56a 2≤2 016，故a 2≤36，即0<a ≤6. 5.⎠⎛03|x 2－4|d x ＝( )A.213B.223C.233D.253解析：选C ∵|x 2－4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，2≤x ≤3，4－x 2，0≤x ≤2，∴⎠⎛03|x 2－4|d x ＝⎠⎛23(x 2－4)d x ＋⎠⎛02(4－x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－4x ⎪⎪⎪32＋⎝⎛⎭⎫4x －13x 3⎪⎪⎪2＝⎣⎡⎦⎤(9－12)－⎝⎛⎭⎫83－8＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫8－83－0＝－3－83＋8＋8－83＝233.6.⎠⎛02(x 2－x )d x ＝__________.解析：∵⎝⎛⎭⎫x 33－12x 2′＝x 2－x ，∴原式＝⎝⎛⎭⎫x 33－12x 220＝⎝⎛⎭⎫83－2－0＝23. 答案：237. 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x >0.则⎠⎛1－1f (x )d x ＝_________. 解析：⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛01(cos x －1)d x ＝13x 3⎪⎪⎪0－1＋(sin x －x ) ⎪⎪⎪1＝⎣⎡⎦⎤13×03－13×(－1)3＋[(sin 1－1)－(sin 0－0)] ＝sin 1－23.答案：sin 1－238．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ，则a 5＋a 6＝__________.解析：S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)30＝3＋9＝12.因为{a n }是等差数列，所以S 10＝10(a 5＋a 6)2＝5(a 5＋a 6)＝12，所以a 5＋a 6＝125.答案：1259．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值．解：由f (－1)＝2得a －b ＋c ＝2， ① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0, ②而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx 10＝13a ＋12b ＋c ，∴13a ＋12b ＋c ＝－2, ③ 由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.法二：设f (x )＝|2x ＋3|＋|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，－3≤x ＜－32，6，－32≤x ≤32，4x ，32＜x ≤3.如图，所求积分等于阴影部分面积，即⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x ＝S ＝2×12×(6＋12)×32＋3×6＝45.层级二 应试能力达标1．函数F (x )＝⎠⎛0x cos t d t 的导数是( )A ．F ′(x )＝cos xB ．F ′(x )＝sin xC ．F ′(x )＝－cos xD ．F ′(x )＝－sin x解析：选A F (x )＝⎠⎛0xcos t d t ＝sin t ⎪⎪⎪x＝sin x －sin 0＝sin x .所以F ′(x )＝cos x ，故应选A.2．若函数f (x )＝x m＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x ＝( )A.56B.12C.23D.16解析：选A ∵f (x )＝x m＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，∴f (x )＝x 2＋x ，∴⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 2⎪⎪⎪21＝56. 3．若⎠⎛1a⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．6B ．4C ．3D ．2解析：选D ⎠⎛1a⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )a 1＝(a 2＋ln a )－(1＋ln 1)＝(a 2－1)＋ln a ＝3＋ln 2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝3，a ＞1，a ＝2，∴a ＝2.4．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：选B 设⎠⎛01f (x )d x ＝c ，则c ＝⎠⎛01(x 2＋2c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2cx ⎪⎪⎪10＝13＋2c ，解得c ＝－13. 5．函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k ＝________________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2.由题意得，⎠⎛0k(kx －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫12kx 2－13x 3⎪⎪⎪k0＝12k 3－13k 3＝16k 3＝92，∴k ＝3. 答案：36.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________解析：长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝⎠⎛013x 2d x ＝x 3⎪⎪⎪1＝1，则P ＝S 阴S 1＝13. 答案：137. 已知S 1为直线x ＝0，y ＝4－t 2及y ＝4－x 2所围成图形的面积，S 2为直线x ＝2，y ＝4－t 2及y ＝4－x 2所围成图形的面积(t 为常数)．(1)若t ＝2时，求S 2.(2)若t ∈(0,2)，求S 1＋S 2的最小值． 解：(1)当t ＝2时，S 2＝([2－(4－x 2)]d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－2x ＝43(2－1)． (2)t ∈(0,2)，S 1＝⎠⎛0t[(4－x 2)－(4－t 2)]d x ＝⎝⎛⎭⎫t 2x －13x 3⎪⎪⎪t0＝23t 3， S 2＝⎠⎛t 2[(4－t 2)－(4－x 2)]d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－t 2x ⎪⎪⎪2t＝83－2t 2＋23t 3， 所以S ＝S 1＋S 2＝43t 3－2t 2＋83，S ′＝4t 2－4t ＝4t (t －1)， 令S ′＝0得t ＝0(舍去)或t ＝1， 当0<t <1时，S ′<0，S 单调递减， 当1<t <2时，S ′>0，S 单调递增， 所以当t ＝1时，S min ＝2.8.如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k的值．解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积数学S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22－x 33⎪⎪⎪10＝12－13＝16. 抛物线y ＝x －x 2与直线y ＝kx 两交点的横坐标为 x ′1＝0，x ′2＝1－k ，所以S 2＝ (x －x 2－kx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 33＝16(1－k )3，又知S ＝16，所以(1－k )3＝12. 于是k ＝1－312＝1－342.。