广东省兴宁市第一中学2019届高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案

兴宁一中高三(文科)数学期考测试题 2019.01.08一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。

1、设全集{}|15U x N x =∈-<<，集合{}13A =，，则集合U C A 的真子集的个数是（ ）A ．16B ．8C ．7D ．62、设1iz i =-（i 为虚数单位），则1z=（ ）212 D 23、 已知命题p ：x ∀∈N *, 1123xx⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，命题q ：x ∃∈R , 122x x-+ 命题中为真命题的是（ ）.A p q ∧B ()p q ⌝∧C ()p q ∧⌝D ()p ⌝∧4、如图,是函数tan()42y x ππ=-的部分图像,则()OB OA OB -=（ ）A ．4 B ．2C ．2-D ．4-5、五日、第八日所织之和为十五尺，问第十日所织尺数为（ ） A ．6B ．9C ．12D ．156、 函数ln x x x xe e y e e ---=+的图象大致为（ ）A B C D7、 在等比数列{}n a 中, 若25234535,44a a a a a a =-+++=,则23451111a a a a +++=（ ） A ．1 B ．34-C ．43-D ．53-8、已知圆22:1C x y +=,直线kx y l =:在[]1,2-上随机选取一个数k ,则事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为（ ） A ．12 B ．13 C. 23 D ．149、设函数()=x f 653123+++x ax x 在区间[]3,1上是单调递减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．),5[∞+-B ．]3,(--∞C ．),5[]3,(∞+-⋃--∞ D．⎡⎣10、三棱锥P ﹣ABC 中，PA 、PB 、PC 互相垂直，PA=PB=1，M 是线段BC 上一动点，若直线AM 与平面PBC 所成角的正切的最大值是，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积是（ ） A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π11、点A 是抛物线C 1：y 2=2px （p ＞0）与双曲线C 2：（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于（ ） A．B．C． D．12、已知函数()()()2102x f f f x e x x e'=+-，若存在实数m 使得不等式()22f m n n ≤-成立，求实数n 的取值范围为（ ）A ．),1[]21,(+∞--∞ B ．),21[]1,(+∞--∞ C. ),21[]0,(+∞-∞ D ．),0[]21,(+∞--∞二．填空题（本大题共4小题, 每小题5分, 共20分. 把答案填在答卷的相应位置）。

13、若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z =3x +y 的最大值为 ．14、某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是 ．15、已知椭圆22x 143y +=内有一点P （1，-1），F 为椭圆的右焦点，M 为椭圆上一点，则|MP |+2|MF |的最小值为 ．16、已知函数f （x ）= 函数g （x ）=x ﹣a ，其中a ∈R ，若函数y=f （x ）﹣g （x ）恰有3个零点，则a 的取值范围是 ．三．解答题（本大题共6小题，共70分，其中第17-21题分别为12分，第22题10分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。

17、在ABC V 中，内角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2cos 2C A -=2sin sin 33C C ππ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（Ⅰ）求角A 的大小.（Ⅱ）若a =b a ≥，求2b c -的取值范围.18、设数列{a n }满足a 1+3a 2+…+（2n ﹣1）a n =2n ． （1）求{a n }的通项公式； （2）求数列{}的前n 项和．19、如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ．现以AD 为一边向梯形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，如图2．（1）求证：BDE BC 平面⊥; （2）求点D 到平面BEC 的距离.20、在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点，圆Q 过O点与F 点，且圆心Q 到抛物线C 的准线的距离为23． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）已知抛物线上一点)4,(t M ，过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ，且ME MD ⊥，判断直线DE 是否过定点？并说明理由．21、已知函数()e ln 1ax f x m x =--．（1）当1,2m a ==时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）当1,1a m =≥时，证明：()1f x >．22、在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，l 的极坐标方程为(cos 2sin )10ρθθ+=，C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，R θ∈）.（1）写出l 和C 的普通方程；（2）在C 上求点M ，使点M 到l 的距离最小，并求出最小值.FED CBA图1ABCDFE图2兴宁一中高三(文科)数学期考测试题答案 2019-01-08一、选择题:1—12 CAAAD CDCBB CA 二、填空题：13. 4 ； 14.203； 15. 3 ； 16. （，1） ；三．解答题17．解：（1）由已知得222sin 2sin A C -=22312cos sin 44C C ⎛⎫-⎪⎝⎭，化简得23sin 4A =.---2分sin 2A ∴=±又0A π<< sin 2A ∴=，-------4分 故3A π=或23A π=.-------6分（2）由sin sin sin a b cA B C== 2sin b B ∴=，2sin c C =.-------7分 又a b ≥Q 3A π∴=--------8分故24sin b c B -=-2sin 4sin 2C B =-2sin 3sin 3B B Bπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭6B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭--------10分b a ∴≥ 233B ππ∴≤<662B πππ∴≤-< --------11分2b c ∴-的取值范围为. -------12分 18、本题满分12分解：（1）数列{a n }满足a 1+3a 2+…+（2n ﹣1）a n =2n ． n ≥2时，a 1+3a 2+…+（2n ﹣3）a n ﹣1=2（n ﹣1）．--------2分 ∴（2n ﹣1）a n =2．∴a n =．--------------------------4分当n=1时，a 1=2，上式也成立． -----------------5分 ∴a n=． ------------------6分（2）==﹣．------------8分∴数列{}的前n 项和=++…+-------10分=1﹣=． ---------12分19.解：（1）在正方形ADEF 中，ED AD ⊥． 又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，ED ⊂平面ADEF ，所以⊥ED 平面ABCD ．所以ED BC ⊥． -------2分 在直角梯形ABCD 中，1==AD AB ，2=CD ，可得2=BC ．在△BCD 中，2,2===CD BC BD ，所以222CD BC BD =+．所以BC BD ⊥．---4分又ED BC ⊥，ED ⋂BD=D ，所以BC ⊥平面BDE ． -------6分 （2） 解：BE ⊂平面BDE ,所以BC BE ⊥所以,1222121=⋅⋅=⋅=∆BC BD S BCD -------1分.26322121=⋅⋅=⋅=∆BC BE S BCE -------2分 又BCE D BCD E V V --=，设点D 到平面BEC 的距离为.h ------3分 则⋅=⋅∆3131DE S BCD h S BCE ⋅∆，所以36261==⋅=∆∆BCE BCD S DE S h --------5分所以点D 到平面BEC 的距离等于36. -------6分 20、解（1）∵)0,2(p F ，∴圆心Q 在线段OF 的垂直平分线4px =上，又∵准线方程为：2p x -=，∴23)2(4=--p p ，得2=p ，∴抛物线x y C 4:2=． (4)分（2）由（1）可得点)4,4(M ，易知直线DE 的斜率不为0，设直线DE 的方程为：t my x +=，联立⎩⎨⎧=+=xy t my x 42，得0442=--t my y ，则)(016162*>+=∆t m ． …………5分 设),(),,(2211y x E y x D ，则t y y m y y 4,42121-==+．…………………6分 ∵)4,4()4,4(2211--⋅--=⋅y x y x16)(416)(421212121++-+++-=y y y y x x x x ……………………………7分16)(416)44(444212122212221++-+++-⨯=y y y y y y y y 32)(43)(16)(2121221221++-++-=y y y y y y y y01632121622=-+--=m t m t ，………………………………………8分即m m t t 1616321222+=+-，得：22)12(4)6(+=-m t ，∴)12(26+±=-m t ，即：84+=m t 或44+-=m t ，……………………9分 代入（※）式检验均满足0>∆，………………………………………10分∴直线DE 的方程为：8)4(84++=++=y m m my x 或4)4(+-=y m x ． ……11分∴直线过定点)4,8(-，（定点)4,4(不满足题意，故舍去）．…………………12分 21．解析：（1）当1m =，2a =时，2()e ln 1x f x x =--， 所以21()2e x f x x'=-．------1分 所以2(1)e 1f =-，2(1)2e 1f '=-，...........2分 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为22(e 1)(2e 1)(1)y x --=--， 即22(2e 1)e y x =--． ...............4分（2）证法：当1a =，1m ≥时，()e ln 1e ln 1x xf x m x x =----≥． 要证明()1f x >，只需证明e ln 20x x --> ...............5分设()e ln 2x g x x =--，则1()e x g x x'=-．设1()e x h x x =-，则21()e 0x h x x'=+>， 所以函数()h x =1()e x g x x '=-在0+∞（，）上单调递增． ...............7分 因为121e 202g ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，(1)e 10g '=->，所以函数1()e x g x x '=-在0+∞（，）上有唯一零点0x ，且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭...............8分 因为0()0g x '=，所以001e x x =，即00ln x x =- ...............9分 当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>． 所以当0x x =时，()g x 取得最小值()0g x ． ...............10分 故()000001()=e ln 220x g x g x x x x ≥--=+->．------------11分综上可知，当1m ≥时，()1f x >． ..............12分22.解：（1）由l ：cos 2sin 100ρθρϕ+-=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=.∴l 的方程为2100x y +-=.------2分由3cos x θ=，2sin y θ=，消去θ得22194x y +=.--------4分 （2）在C 上取点(3cos ,2sin )M ϕϕ，--------5分则d=05cos()10ϕϕ=--. 其中003cos 54sin 5ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，-----------7分 当0ϕϕ=时，d分此时093cos 3cos 5ϕϕ==，082sin 2sin 5ϕϕ==，98(,)55M .--------10分。