高中数学第一章算法初步1.3算法案例(第1课时)课堂探究新人教A版必修3资料
高中数学第一章算法初步1.3.1辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法课件2新人教A版必修3
5.用更相减损术求294和84的最大公约数时,第一步是 【解析】由于294和84都是偶数,先用2约简. 答案:用2约简
.
一、辗转相除法与更相减损术 根据辗转相除法与更相减损术求两个正整数最大公约数的步骤,探究下列问题: 探究1:(1)用辗转相除法可以求两个正整数m,n的最大公约数,那么用什么逻辑 结构来设计算法?其算法步骤如何设计?
1.辗转相除法可解决下列问题中的 ( ) A.求两个正整数的最大公约数 B.多项式求值 C.求两个正整数的最小公倍数 D.排序问题 【解析】选A.辗转相除法可以求两个正整数的最大公约数.
2.用更相减损术可求得78与36的最大公约数是 ( ) A.24 B.18 C.12 D.6 【解析】选D.先用2约简得39,18;然后辗转相减得39-18=21, 21-18=3,18-3=15,15-3=12,12-3=9,9-3=6,6-3=3.所以所求的最大公约数为 3×2=6.
种算法由欧几里得在公元前300年左右首先提出,因而又叫
_____________. (2)算法步骤: 第一步,给定两个正整数m,n. 第二步,计算m除以n所得的余数r. 第三步,m=n,n=r. r=0 则m,n的最大公约数等于m;否则,返回第二步. 第四步,若____,
欧几里得算法
2.更相减损术
莫忘记求得的相等两数乘以约简的数才是所求最大公约数.
二、秦九韶算法 根据秦九韶算法的含义和步骤探究下列各题: 探究1:秦九韶算法的实质是什么? 提示:秦九韶算法的实质是:求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1 +…+a1x+a0的值时,转化为求n个一次多项式的值,共进行n次乘法运算和n次加 法运算.这种算法的运算次数较少,是多项式求值比较先进的算法.
高中数学 1.3 第1课时 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法课件 新人教A版必修3
二
②程序框图如图所示．
③程序：
INPUT m，n
DO
r＝m MOD n
m＝n
n＝r
LOOP UNTIL _______
PRINT _______ r＝0
END
m
(2)更相减损术．
算法步骤：
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是 ________．若是，用______约简；若不是，执行第二步．
[答案] 用2约简
[解析] 由于294和84都是偶数，先用2约简．
3．设计程序框图，用秦九韶算法求多项式的值，所选用的结 构是( )
A．顺序结构
B．条件结构
C．循环结构
D．以上都有
[答案] D
4．(2013～2014·云南省景洪一中月考)用秦九韶算法计算多 项式f(x)＝3x6＋2x5＋4x4＋5x3＋7x2＋8x＋1在x＝0.5时的值， 需做乘法和加法的次数分别是________．
序如下：
S＝0 i＝1 WHILE S<＝10^6
i＝i＋1 S＝S＋1/i^2 WEND PRINT i END
新知导学 1．辗转相除法与更相减损术 (1)辗转相除法． ①算法步骤： 第一步，给定两个正整数m，n. 第二步，计算m除以n所得的余数r. 第三步，m＝n，n＝r. 第四步，若r＝______，则m，n的最大公约数等于m；否则返
求值比较先进的算法，其实质是转化为求n个________多项
式的值，共进行________次乘法运算和____一__次_次加法运 算．其过程是：
n
nHale Waihona Puke 改写多项式为：f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 ＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝… ＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0. 设v1＝__________， v2＝v1x＋ana－nx2＋，an－1 v3＝v2x＋an－3， …，
新课标数学必修三
否则返回第二步
例2：写出用“二分法”求方程 x2 2 0 的近似解一个算法.
第一步，令 f (x) x2 2, 给定精确度为d
第二步，确定区间 a , b ，使得f(a)f(b)0
第三步，取中点 m a b 2
开始
第一步，赋值n=100
n=100
第二步，计算 n ( n 1 ) 的值
2
第三步，输出第二步的计算结果
s n(n 1) 2
输出s
结束
例2：请你设计求 任意给定一个数x满足 的f(x)值的一个算法，并用框图表示.
x1,x1 f (x) x2 2,x1
开始
第一步,开始输入任意一个数x;
第二步,判断 x<1？，若是，则 执行第三步；否则 执行第四步；
3.常见的条件结构和循环结构
(1)常见的条件结构
满足条件？ 是
步骤A
否
步骤B
满足条件？ 否
是
步骤A
(2)常见循环体结构
A
满足条件？
循环体
是
否 B
A
循环体
满足条件？
否
是
B
课堂练习
1.写出求过点P（3,5）、Q（-1,2）的斜率的
算法，并画出程序.
开始
解：第一步，输入x 1 3 ,y 1 5 ,x2 1 ,y2 2 .
三步；否则，执行第六步
第六步，输出p
P=0
i=1p=p+ii= Nhomakorabea+1
否 i>100？ 是
输出p 结束
知 识 要 点 回 顾
高中数学第一章算法初步132进位制课件新人教A版必修3
[典例] 若 10b1(2)＝a02(3)，求数字 a，b 的值以及与此两数 的等值十进制数．
[ 解] 把 10b1(2)化为十进制数：10b1(2)＝1×23＋0×22＋ b×21＋1×20＝2b＋9，把 a02(3)化为十进制数：a02(3)＝a×32＋ 0×31＋2×30＝9a＋2，所以 2b＋9＝9a＋2.由于在二进制中，b 的值只能为 0 或 1，当 b＝0 时，a＝79，舍去；当 b＝1 时，a＝ 1.所以 a＝b＝1，与此两数等值的十进制数为 11.
1，…，a1，a0∈N,0<an<k,0≤an－1，…，a1，a0<k)． (2)十进制化为 k 进制的方法—— 除 k 取余法．
[答一答] 1．进位制是如何表示数字的？ 提示：若一个数为十进制数，则其基数可以省略不写，若是 其他进位制的数，在没有特别说明的前提下，其基数必须写出， 常在数的右下角标明基数．
∴301(5)＝136(7)．
——本课须掌握的三大问题 1．要把 k 进制数化为十进制数，首先把 k 进制数表示成不 同位上数字与 k 的幂的乘积之和，其次按照十进制的运算规则计 算和． 2．十进制数化为 k 进制数(除 k 取余法)的步骤：
3．把一个非十进制数化为另一个非十进制数时，要先把这 个数化为十进制数，再利用“除 k 取余法”化为另一个非十进制 数．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
(2)312(4)化为十进制数后的个位数字是 4 . 解析：312(4)＝3×42＋1×41＋2×40＝54，个位数字是 4.
类型二 十进制数化 k 进制数
[例 2] (1)试把十进制数 136 转化为二进制数； (2)试把十进制数 1 234 转化为七进制数． [解] (1)由于 136＝2×68＋0， 68＝2×34＋0， 34＝2×17＋0， 17＝2×8＋1， 8＝2×4＋0， 4＝2×2＋0， 2＝2×1＋0，
高二数学 第一章《算法初步》教案人教A版必修3
1．1．1算法的概念一、三维目标：1、知识与技能：（1）了解算法的含义，体会算法的思想。
（2）能够用自然语言叙述算法。
（3）掌握正确的算法应满足的要求。
（4）会写出解线性方程（组）的算法。
（5）会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
（6）会应用Scilab 求解方程组。
2、过程与方法：通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二元一次方程组的步骤，这些步骤就是算法，不同的问题有不同的算法。
由于思考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法，能模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力。
二、重点与难点：重点：算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。
难点：把自然语言转化为算法语言。
三、学法与教学用具：学法：1、写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数n(n>1)是否为质数；求任意一个方程的近似解；……)，并且能够重复使用。
2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。
3、要保证算法正确，且计算机能够执行，如：让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器四、教学设想：1、创设情境：算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。
但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。
如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。
我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等。
高中数学第一章算法初步1.3.2进位制课件3新人教A版必修3
解：(1)算法步骤:
第一步,输入a,k和n的值. 第二步,令b=0，i=1. 第三步,b=b+ai·ki-1，i=i+1. 第四步,判断i>n 是否成立.若是，则执行第五步；否
则，返回第三步.
第五步,输出b的值.
开始
(2)程序框图
输入a，k，n b=0 i=1 把a的右数第i位数字赋给t b=b+t· ki- 1 i=i+1 i>n? 是 输出b 结束 否
具体计算方法如下： 因为 89=2×44+1, 44=2×22+0, 22=2×11+0, 11=2×5+1, 5=2×2+1, 2=2×1+0, 1=2×0+1,
所以 89=2×(2×(2×(2×(2×2+1)+1)+0)+0)+1 =2×(2×(2×(2×(22+1)+1)+0)+0)+1 =… =1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20 =1011001(2)
1.通过阅读进位制的算法案例，体会进位制的算法思想. 2.学习各种进位制转换成十进制的计算方法， 研究十进制转换为各种进位制的除k去余法， 并理解其中的数学规律.(重点) 3.能运用几种进位制之间的转换，解决一些有关的问题. (难点)
【课堂探究1】进位制的概念 思考1:什么是进位制？ 进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统， 如逢十进一，就是十进制；每七天为一周，就是七 进制；每十二个月为一年，就是十二进制；每六十 秒为一分钟，每六十分钟为一个小时，就是六十进 制等等.也就是说，“满几进一”就是几进制，几进 制的基数就是几.
高中数学第一章算法初步111算法的概念课件新人教A版必修3
考试加油。
3．甲、乙、丙、丁四个人过一座简易木桥，这四个人 过桥所用的时间分别是2分钟，4分钟，6分钟，8分钟，由于木 桥质量原因，桥上同时最多只能有两个人．请你设计一个方 案，使这4个人在最快的时间过桥，写清步骤，最后算出所需 时间．
【解析】第一步，甲乙先上桥． 第二步，2分钟后甲过了桥同时丁上桥． 第三步，再过2分钟后乙过了桥同时丙上桥． 第四步，再过6分钟后丙、丁同时过了桥． ∴所需时间是2＋2＋6＝10(分钟)．
(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一 的，对于一个问题可以有不同的算法．
(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法 去解决．
2．算法与数学问题解法的区别与联系 (1)联系 算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关 系． (2)区别 算法是解决某一类问题所需要的程序和步骤的统称，也 可理解为数学中的“通法通解”；而解法是解决某一个具体问 题的过程和步骤，是具体的解题过程．
数值性问题的算法
【例2】 写出求1＋2＋3＋4＋5＋6的一个算法． 【解题探究】(1)可以按逐一相加的程序进行． (2)也可以利用公式 1＋2＋…＋n＝nn＋ 2 1进行． (3)可以根据加法运算律简化运算过程．
【解析】算法一 第一步，计算1＋2得到3. 第二步，将第一步中的运算结果3与3相加得到6. 第三步，将第二步中的运算结果6与4相加得到10. 第四步，将第三步中的运算结果10与5相加得到15. 第五步，将第四步中的运算结果15与6相加得到21. 第六步，输出运算结果．
【答案】A 【解析】由算法的概念可知：求解某一类问题的算法不 是唯一的，故A正确；算法可以看成按照要求设计好的有限的 确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能解决一类问题，故 B不正确；算法有有限步，结果明确，C是不正确的；算法的 每一步操作必须是明确的，不能有歧义，故D不正确．故选 A．
人教版高中数学必修三课件：1.3 算法案例(共55张PPT)
解:用辗转相除法求最大公约数:612=468×1+144,468=144×3+36,144=36×4,即612
和468的最大公约数是36. 用更相减损术检验:612和468均为偶数,两次用2约简得153和117,153-117=36,11736=81,81-36=45,45-36=9,36-9=27,27-9=18,18-9=9,所以612和468的最大公约数为
转化为求n个一次多项式的值.
预习探究
知识点二 进位制
1.进位制:进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统,约定“满k进一”就 是 k进制 ,k进制的基数(大于1的整数)就是 k . 2.将k进制数化为十进制数的方法:先把k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积之和 的形式,再按照十进制数的运算规则计算出结果. 3.将十进制数化为k进制数的方法是 除k取余法 .即用k连续去除十进制数所得 的 商 ,直到商为零为止,然后把各步得到的余数 倒序 写出.所得到的就是相应的k 进制数. 4.k进制数之间的转化:首先转化为十进制数,再转化为 k进制数.
第一章 算法初步
1.3 算法案例 第2课时 秦九韶算法与进位制
预习探究
知识点一 秦九韶算法
1.秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出的一 个用于计算多项式值的方法. 2.秦九韶算法的方法: 把一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 改写成下列的形式: f(x)=(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)x+a0= ((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =…=
高中数学 第一章 算法初步教案 (教师用) 新人教A版必修3
新人教A版数学必修3全套教案第一章算法初步一、课标要求：1、本章的课标要求包括算法的含义、程序框图、基本算法语句，通过阅读中国古代教学中的算法案例，体会中国古代数学世界数学发展的贡献。
2、算法就是解决问题的步骤，算法也是数学及其应用的重要组成部分，是计算机科学的基础，利用计算机解决问需要算法，在日常生活中做任何事情也都有算法，当然我们更关心的是计算机的算法，计算机可以解决多类信息处理问题，但人们必须事先用计算机熟悉的语言，也就是计算能够理解的语言（即程序设计语言）来详细描述解决问题的步骤，即首先设计程序，对稍复杂一些的问题，直接写出解决该问题的程序是困难的，因此，我们要首先研究解决问题的算法，再把算法转化为程序，所以算法设计是使用计算机解决具体问题的一个极为重要的环节。
3、通过对解决具体问题的过程与步骤的分析（如二元一次方程组的求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。
理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。
理解并掌握几种基本的算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。
进一步体会算法的基本思想。
4、本章的重点是体会算法的思想，了解算法的含义，通过模仿、操作、探索，经过通过设计程序框图解决问题的过程。
点是在具体问题的解决过程中，理解三种基本逻辑结构，经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本的算法语句。
二、编写意图与特色：算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。
随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。
需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。
在本模块中，学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。
高中数学 第一章 算法初步教案 新人教A版必修3
第一章算法初步1.1算法与程序框图第一课时算法的概念教学目标1.通过实例体会算法思想，了解算法的含义与主要特点；2.能按步骤用自然语言写出简单问题的算法过程；3.培养学生逻辑思维能力与表达能力.教学重点将问题的解决过程用自然语言表示为算法过程．教学难点用自然语言描述算法．教学过程一．序言算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机理论和技术的核心．在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具．听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域．那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始．同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力．在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想．二、数学运用 1．算法描述举例例1．给出求1+2+3+4+5的一个算法． 解： 算法1 按照逐一相加的程序进行． 第一步：计算1+2，得到3；第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6； 第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10； 第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15．算法2 运用公式123n ++++=2)1(+n n 直接计算．第一步：取=5；第二步：计算()21+n n ；第三步：输出运算结果．说明：一个问题的算法可能不唯一 例2．给出求解方程组274511x y x y +=⎧⎨+=⎩的一个算法．分析：解线性方程组的常用方法是加减消元法和代入消元法，这两种方法没有本质的差别，为了适用于解一般的线性方程组，以便于在计算机上实现，我们用高斯消元法（即先将方程组化为一个三角形方程组，在通过回代过程求出方程组的解）解线性方程组．解：用消元法解这个方程组，步骤是：第一步：方程①不动，将方程②中的系数除以方程①中的系数，得到乘数422m ==；第二步：方程②减去乘以方程①，消去方程②中的项，得到2733x y y +=⎧⎨=-⎩； 第三步：将上面的方程组自下而上回代求解，得到1y =-，4x =．所以原方程组的解为41x y =⎧⎨=-⎩2、算法概念算法：在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一个或一类问题的明确和有限的步骤。
人教a版必修三：《1.3算法案例(1)》ppt课件(322页)
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
§1.3（一）
探究点二：更相减损术
思考 2 (1)用更相减损术可以求两个正整数 m，n 的最大公约数，那么用什么逻辑结 构来构造算法？其算法步骤如何设计？
答 (1)用循环结构设计算法，算法如下：
第一步，任意给定两个正整数m，n(m>n)． 第二步，计算 m－n 所得的差 k. 第三步，比较n与k的大小，其中大者用m表示，小者用n表示． 第四步，若m＝n，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步．
第一章 算法初步
§1.3 算法案例(一)
本节知识目录
§1.3（一）
明目标、知重点
算法 案例 (一)
填要点、记疑点
探究点一 探究点二 探究点三
辗转相除法 更相减损术 秦九韶算法的基本思想
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
明目标、知重点
§1.3（一）
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
§1.3（一）
探究点二：更相减损术
(2)该算法的程序框图如何表示？该程序框图对应的程序如何表述？
答 程序框图： 程序：
INPUT m，n WHILE m< >n k＝m－n IF n>k THEN m＝n n＝k ELSE m＝k END IF WEND PRINT m END
明目标、知重点 填要点、记疑点
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算法案例 辗转相除法与更相减损术秦九韶算法与进位制第一课时课件-数学高一必修3第一章算法初步1.3人教A版
【问题导思】 1．如何求18与54的最大公约数？ 【提示】 短除法．
2．要求6 750与3 492的最大公约数，上述法还好用吗？
【提示】
数值太大，短除法不方便用．
(1)更相减损之术(等值算法)
用两个数中较大的数减去较小的数，再用 差数 较小的数 大 数 到产生 减 和
构成新的一对数，对这一对数再用 小数 ，以同样的操作一直做下去，直 ，这个数就是最大公约数．
v0＝an 则递推公式为 其中 vk＝ vk－1x＋an－k
k＝1，2，„，n.
(2)计算P(x0)的方法 先计算 最内层括号 ，然后 由内向外 常数项 直到 最外层括号 ，然后加上 逐层计算， ．
知识3
进位制
进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示
不同的数值.使用数字符号的个数称为基数，基数为 n，即称为
1．用更相减损之术可求得78与36的最大公约数是( A．24 【解析】 B．18 C．12 D． 6
)
78－36＝42，42－36＝6，36－6＝30，30－
6＝24，24－6＝18，18－6＝12，12－6＝6，∴6为78与36的
最大公约数．
【答案】 D
2．用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2＋x3－2x2 －9x，需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为( A．5，4 【解析】 B．5，5 C．4，4 )
【解析】 (1)101 111 011(2)＝1×28＋0×27＋1×26＋1×25
＋1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝379(10).
(2)1231(5)＝1×53＋2×52＋3×5＋1＝191(10)，
∴1231(5)＝362(7).
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高中数学 第一章 算法初步 1.3 算法案例（第1课时）课堂探究 新
人教A 版必修3
1．更相减损术与辗转相除法的区别与联系
剖析：如表所示.
2剖析：同一个问题有多种算法，如果某个算法比其他算法的步骤少，运算的次数少，那么这个算法就是比较先进的算法．判断算法是否先进的一个重要标志就是运算的次数越少越好．
求多项式f (x )＝a n x n ＋a n －1x
n －1＋…＋a 1x ＋a 0的值时，通常是先计算a n x n ，进行n 次乘法运算；再计算a n －1x n －1，进行n －1次乘法运算；这样继续下去共进行n ＋n －1＋…＋2＋1＝n (n ＋1)
2(其计算方法以后学习)次乘法运算，还需要进行n 次加法运算，总共进行n (n ＋1)
2＋
n 次运算．
但是用秦九韶算法时，改写多项式为
f (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0
＝(a n x n －1＋a n －1x n －2＋…＋a 1)x ＋a 0
＝((a n x
n －2＋a n －1x n －3
＋…＋a 2)x ＋a 1)x ＋a 0 …… ＝(…((a n x ＋a n －1)x ＋a n －2)x ＋…＋a 1)x ＋a 0.
先计算v 1＝a n x ＋a n －1，需1次乘法运算，1次加法运算；
v 2＝v 1x ＋a n －2，需1次乘法运算，1次加法运算；
……
v n ＝v n －1x ＋a 0，需1次乘法运算，1次加法运算．
所以需进行n 次乘法运算，n 次加法运算，共进行2n 次运算．
由于⎣⎢⎡⎦
⎥⎤n (n ＋1)2＋n －2n ＝n (n －1)2≥0，则n (n ＋1)2＋n ≥2n . 因此说秦九韶算法与其他算法相比运算次数少，秦九韶算法是比较先进的算法．
题型一 求最大公约数
【例题1】(1)用辗转相除法求840与1 785的最大公约数；
(2)用更相减损术求612与468的最大公约数．
分析：本题是关于辗转相除法和更相减损术的直接应用．辗转相除法的操作是较大的数除以较小的数；更相减损术的操作是以大数减小数．
解：(1)用辗转相除法求840和1 785的最大公约数．
1 785＝840×2＋105，
840＝105×8.
所以840和1 785的最大公约数是105.
(2)首先612和468都是偶数，所以用2约简，得到306和234，还是偶数，需要再用2约简，得到153和117，最后用更相减损术计算得
153－117＝36，
117－36＝81，
81－36＝45，
45－36＝9，
36－9＝27，
27－9＝18，
18－9＝9.
所以612和468的最大公约数是9×2×2＝36.
反思 求两个正整数的最大公约数的问题，可以用辗转相除法，也可以用更相减损术．用辗转相除法，即根据a ＝nb ＋r 这个式子，反复相除，直到r ＝0为止；用更相减损术，即根据r ＝|a －b |这个式子，反复相减，直到r ＝0为止.
题型二 求多项式的值
【例题2】用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 当x ＝3时的值．
分析：解决本题首先需要将原多项式化成f (x )＝((((((7x ＋6)x ＋5)x ＋4)x ＋3)x ＋2)x ＋1)x 的形式，其次再弄清v 0，v 1，v 2，…，v 7分别是多少，再针对这些式子进行计算．
解：f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，
所以有
v0＝7；
v1＝7×3＋6＝27；
v2＝27×3＋5＝86；
v3＝86×3＋4＝262；
v4＝262×3＋3＝789；
v5＝789×3＋2＝2 369；
v6＝2 369×3＋1＝7 108；
v7＝7 108×3＝21 324.
故当x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21 324.
反思秦九韶算法的关键在于把n次多项式转化为一次多项式，注意体会递推的实现过程，实施运算时要由内向外，一步一步执行.
题型三易错辨析
【例题3】已知f(x)＝3x4＋2x2＋4x＋2，利用秦九韶算法求f(－2)的值．
错解：f(x)＝((3x2＋2)x＋4)x＋2，
v1＝3×(－2)2＋2＝14；
v2＝14×(－2)＋4＝－24；
v3＝－24×(－2)＋2＝50.
故f(－2)＝50.
错因分析：所求f(－2)的值是正确的，但是错解中没有抓住秦九韶算法原理的关键，正确改写多项式，并使每一次计算只含有x的一次项．
正解：f(x)＝3x4＋0·x3＋2x2＋4x＋2＝(((3x＋0)x＋2)x＋4)x＋2，
v1＝3×(－2)＋0＝－6；
v2＝－6×(－2)＋2＝14；
v3＝14×(－2)＋4＝－24；
v4＝－24×(－2)＋2＝50.
故f(－2)＝50.。