高中数学三角函数专项练习题(含答案)

高中数学三角函数专项练习题(含答案)
一、填空题
1．设函数()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，且()()2f x f x =-，当[0,1]x ∈时，3()f x x =，则函数()|cos |()g x x f x π=-在15,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上所有零点之和为___________.
2．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为___________.
3．已知三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，ABC 是边长为4的正三角形，点E ，F 分别
是SC ，BC 的中点，D 是AC 上的一点，且EF SD ⊥，若
3FD =，则DE =___________. 4．已知函数()2sin()f x x ωφ=+(0>ω，||φπ<)的部分图象如图所示，()f x 的图象与y 轴的交点的坐标是(0,1)，且关于点(,0)6
π
-对称，若()f x 在区间14(,)333ππ
上单调，则ω的最大值是___________.
5．已知函数()sin 2sin 23f x x x a π⎛
⎫=+++ ⎪⎝
⎭同时满足下述性质：①若对于任意的
()()()123123,0,,4,x x x f x f x f x π⎡⎤
∈+⎢⎥⎣⎦
恒成立；②
236f a π⎛⎫- ⎪⎝⎭
，则a 的值为_________.
6．在角1θ，2θ，3θ，…，29θ的终边上分别有一点1P ，2P ，3P ，…，29P ，如果点k P 的坐标为()()()sin 15,sin 75k k
-+，129k ≤≤，k ∈N ，则
12329cos cos cos cos θθθθ+++⋅⋅⋅+=______
7．已知ABC 为等边三角形，点G 是ABC 的重心．过点G 的直线l 与线段AB 交于点D ，与线段AC 交于点E ．设AD AB λ=，AE AC μ=，则
1
1
λ
μ
+
=__________；ADE 与
ABC 周长之比的取值范围为__________．
8．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，以MN 为边作等边PMN ，使得点A ，P 位于直线MN 的两侧，则PN PB ⋅的最小值为______．
9．已知空间单位向量1e ，2e ，3e ，4e ，1234123421+=+=+++=e e e e e e e e ，则13⋅e e 的最大值是___________.
10．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线2y x =+与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，点
P 在圆22
()2x a y -+=上运动.若MPN ∠恒为锐角，则实数a 的取值范围是________.
二、单选题
11．已知函数()()sin cos sin cos 0f x x x x x ωωωωω=++->，则下列结论错误的是（ ）
①1ω=时，函数()f x 图象关于π
4
x =对称；②函数()f x 的最小值为-2；③若函数()f x 在π,04⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则(]03ω∈，；④1x ，2x 为两个不相等的实数，若()()124f x f x +=且12x x -的最小值为π，则2ω=. A ．②③
B ．②④
C ．①③④
D ．②③④
12．已知函数()|sin |(0)f x x ωω=>在区间,53ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，则实数ω的取值范围为
（ ） A ．5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．8,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦
13．已知函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+><< ⎪⎝⎭，且有()02f ()()1g x f x =-的图象在()0,2π内有5个不同的零点，则ω的取值范围为（ ）
A ．5571,2424⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．5571,2424⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．4755,2424⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．4755,2424⎛⎤ ⎥⎝⎦
14．已知函数()()sin f x x ωφ=+π0,02ωφ⎛
⎫><< ⎪⎝
⎭在π5π,88⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，且
π3π088f f ⎛⎫⎛⎫
-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则π2f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为（ ） A ．
22
B ．1
C ．1-
D ．22
-
15．在ABC 中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且32AB AC =，若BE
t CF <恒成立，则t 的最小值为（ ） A ．34
B ．78
C ．1
D ．54
16．已知双曲线2
2
413y x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线右支上一点，满足
120MF MF →
→
⋅=，点N 是线段12F F 上一点，满足112F N F F λ→
→
=.现将12MF F △沿MN 折成直二面
角12F MN F --，若使折叠后点1F ，2F 距离最小，则λ=（ ）
A ．15
B ．25
C ．35
D ．45
17．如图，长方形ABCD 中，15
2
AB =
，1AD =，点E 在线段AB （端点除外）上，现将ADE 沿DE 折起为A DE '．设ADE α∠=，二面角A DE C '--的大小为β，若
π2
αβ+=，则四棱锥A BCDE '-体积的最大值为（ ）
A ．14
B ．23
C 151
-D 51
-18．在三棱锥A BCD -中，5,2,2AC AD AB CD BC BD ======接球的半径为（ ） A 210
B 210
C 25
D ．519．()sin()(0)f x x ωφφ=+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，若tan 2APB ∠=-，则ω的值为（ ）
A ．
4
π B ．
3
π C ．
2
π D ．π
20．在ABC 中，若22sin cos 1A B +=，则8cos AB BC
BC A AC
+的取值范围为（ ）
A ．)
43,8⎡⎣
B ．)43,7⎡⎣
C ．()7,8
D ．()
0,43
三、解答题
21．将函数2sin 3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移
3
π
个单位长度后得到函数()f x 的图象． （1）写出函数()f x 的解析式；
（2）若,36x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，22()2()()1g x f x mf x m =-+-，求()g x 的最小值min ()g x ．
22．已知1l ，2l ，3l 是同一平面内自上而下的三条不重合的平行直线.
（1）如图1，如果1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离也是1，可以把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ，2l ，3l 上，求这个正三角形ABC 的边长.
（2）如图2，如果1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2，能否把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ，2l ，3l 上，如果能放，求BC 和3l 夹角θ的正切值并求该正三角形边长；如果不能，试说明理由.
（3）如果边长为2的正三角形ABC 的三顶点分别在1l ，2l ，3l 上，设1l 与2l 间的距离为1d ，2l 与3l 间的距离为2d ，求12d d ⋅的取值范围.
23．将函数()sin 2g x x =3
向左平移
4
π
个单位长度，得到函数()y f x =的图象，设函数()()()h x f x g x =+. （1）对函数()h x 的解析式；
（2）若对任意,,2παβπ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()a h h b αβ≤-≤恒成立，求b a -的最小值；
（3）若26x h t π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
在[)0,2π内有两个不同的解1x ，2x ，求()12cos x x -的值（用含t 的式
子表示）.
24．在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6
ADC π
∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题
中，求AC .
如图，在平面四边形ABCD 中，34
ABC π
∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .
25．已知函数22()cos sin 3sin cos 3f x a x a x x x =-+-，其中a R ∈． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的对称中心；
（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为4-，求实数a 的值．
26．已知ABC ∆的外接圆．．．2，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，又向量()sin sin ,m A C b a =--，2
sin sin n A C B ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭
，且m n ⊥. （1）求角C ；
（2）求三角形ABC 的面积S 的最大值并求此时ABC ∆的周长. 27．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 已知10
sin 2C =
（1）若4a =，210c =ABC ∆的面积； （2）若ABC ∆91522
213sin sin sin 16A B C +=，求c 的值.
28．已知函数22()sin 22sin 26144f x x t x t t ππ⎛
⎫⎛⎫=---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,242x ππ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭，最小值为
()g t .
（1）求当1t =时，求8f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值；
（2）求()g t 的表达式； （3）当1
12
t -
≤≤时，要使关于t 的方程2()9g t k t =-有一个实数根，求实数k 的取值范围.
29．已知函数()(
)
2cos 3sin cos 1f x x
x x =+-．
（1）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值；
（2）若()85f x =-，2,3x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求cos2x 的值；
（3）若函数()()0y f x ωω=>在区间,62ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是单调递增函数，求正数ω的取值范围．
30．函数f （x ）=A sin （2ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜2
π
）的部分图象如图所示 （1）求A ，ω，φ的值；
（2）求图中a ，b 的值及函数f （x ）的递增区间； （3）若α∈[0，π]，且f （α）=2，求α的值．
【参考答案】
一、填空题
1．7 21282π
37 4．11
5．0
6．0
7． 3 213,32⎡⎢⎣⎦
8．14
- 9735+ 10．71a 或4a
二、单选题 11．B 12．A 13．A 14．D 15．B 16．C 17．A 18．A 19．C 20．A 三、解答题
21．（1）2()2sin 233f x x π⎛
⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭
；（2
）22min
21,47
()1,4128(32312m m m g x m m m m m ⎧-+≤⎪⎪=-<<+⎨⎪⎪-++≥+⎩ 【解析】
(1)根据函数图象的变换规律即可求得()f x 的解析式;
(2)令()t f x =
可求得则()[1,3f x ∈+,设22()21M t t mt m =-+-
，[1,3t ∈，通过定区间讨论对称轴4
m
t =的三种情况()M t 的单调性,进而可确定最小值的情况. 【详解】
（1）将函数2sin 3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2倍，可得2sin 23y x =+得图象，
再向右平移
3π个单位长度得2()2sin 232sin 2333f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫
=-+=-
+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
． （2）∵,36x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，242,33
3x πππ⎡⎤-
∈--⎢⎥⎣⎦
，则()[1,3f x ∈+， 令()t f x =，则设22()21M t t mt m =-+-
，[1,3t ∈+， ①当
14
m
≤，即4m ≤时，函数()M t
在[1,3上单调递增， ∴22
min ()(1)211M t M m m m m ==-+-=-+；
②
当134
m
<
<
412m <<+ 函数()M t 在1,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，在,34m ⎛ ⎝上单调递增，
∴2
min 7()148
m M t M m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；
③
当
34
m
≥+
12m ≥+()M t
在[1,3+上单调递减，
∴2min ()(3(323M t M m m ==-++
∴综上有22min
21,47
()1,4128(32312m m m g x m m m m m ⎧-+≤⎪⎪=-<<+⎨⎪⎪-++≥+⎩． 【点睛】
本题考查三角函数图象的变换,考查二次函数在三角函数中的应用,考查定区间动轴的最值取值情况,难度较难.
22．（1）2 ；（2
）能放，tan θ=
；（3）(]0,1 【解析】 【分析】
（1）根据,A C 到直线2l 的距离相等，可得2l 过AC 的中点M ，2l AC ⊥，从而求得边长2AC AM =的值.
（2）假设能放，设边长为a ，BC 与3l 的夹角θ，不妨设060θ<≤，可得sin 2a θ=，
()sin 601a θ-=
，两式相比化简可得sin θa 的值，从而得出结论. （3）利用两角和差的正弦、余弦公式化简()
124sin 60sin d d θθ⋅=-为()
2sin 2301θ+-，再根据正弦函数的定义和值域求出12d d ⋅的取值范围. 【详解】 （1）
,A C 到直线2l 的距离相等，
∴2l 过AC 的中点M ， ∴2l AC ⊥， ∴边长22AC AM ==
（2）假设能放，设边长为a ，BC 与3l 的夹角θ， 由对称性，不妨设060θ<≤， ∴sin 2a θ=，(
)
sin 601a θ-=，
两式相比可得：()sin 2sin 60θθ=-，
即sin sin θθθ-，
2sin θθ∴=
，tan θ∴=
，sin θ∴=，
故边长
a =
=
， 综上可得，能放.
（3）(
)121
4sin 60sin 4sin sin 2d d θθθθθ⎫⋅=-=-⎪⎪⎝⎭
()1cos 2222sin 23012θθθ⎫
+=-=+-⎪⎪⎝
⎭
. 060θ<≤，30230150θ∴<+≤，
()1
sin 23012
θ≤+≤， 所以()
02sin 23011θ≤+-≤， 又10d >，20d >，所以(]120,1d d ⋅∈. 【点睛】
本题是一道考查三角函数应用的题目，解题的关键是掌握等边三角形的性质以及三角函数的恒等变换，属于中档题.
23．（1）()2sin 23h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2
）4；（3）()2
12cos 12
t
x x -=-
【解析】
（1）将()g x
⇒2y x =；再向左平移
4
π
个单位长度⇒(
)24f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，最后代入()h x ，得答案；
（2）对()h x 在,2x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，由内到外求出值域，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，所以
max b m ≥，min a m ≤，整理得答案；
（3）表示26x h π⎛⎫
- ⎪⎝⎭并化简，由1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解，所以
12x x π+=或123x x π+=，因需求()12cos x x -，所以分别表示12x x -并代入，利用诱导公式
和二倍角公式化简，将式子中22sin x 换成t 得答案. 【详解】
（1）将函数()sin 2g x x =
得到函数2y x =
的图象，再将2y x =的图象向左平移
4
π
个单位长度得到函数()y f x =，所以(
)224f x x x π⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭，
又()()()h x f x g x =+，所以(
)sin 222sin 23h x x x x π⎛
⎫==+ ⎪⎝
⎭；
（2）当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，472,333x πππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 21,3x π⎡⎛
⎫+∈-⎢ ⎪⎝
⎭⎣⎦，
所以2sin 22,3x π⎛
⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝
⎭， 令()()m h h αβ=-，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，
所以max 2b m ≥=，min 2a m ≤=-2a -≥
所以4b a -≥即b a -的最小值为4；
（3）法一：因为2sin 22sin 26263x x h x πππ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，
所以1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解， 所以12x x π+=或123x x π+=， 所以1222x x x π-=-或12232x x x π-=-
所以()()22
2
12221cos 2sin 12sin 1122
t x x x x -=-=-=-；
法二：①当t ＞0时，不妨设12x x ＜，
则有1202x x π
π＜＜＜＜，所以1cos x =2cos x =
②当0t ＜时，不妨设12x x ＜，
则有1232x x π
ππ＜＜
＜＜2，所以1cos x 2cos x = ③当0=t 时，显然有10x =，2x π=，
所以()2
121212cos cos cos sin sin 12t x x x x x x -=+=-.
【点睛】
本题考查了由三角函数图像的伸缩平移变换表示解析式，给定定义域求三角函数值域，不等式恒成立问题，还考查了函数零点问题，充分体现了数学中转化与划归思想，属于难题. 24．见解析 【解析】
选择①：利用三角形面积公式和余弦定理可以求接求出AC 的长；
选择②：在ABC ∆，ACD ∆中，分别运用正弦定理，可以求接求出AC 的长； 【详解】 解：选择①：
113sin 2sin 2224
ABC S AB BC ABC BC π
∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=
所以BC = 由余弦定理可得
2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠
482220
⎛
=+-⨯⨯=
⎝⎭
所以AC==
选择②
设BAC CADθ
∠=∠=，则0
4
π
θ
<<，
4
BCA
π
θ
∠=-，
在ABC
∆中
sin sin
AC AB
ABC BCA
=
∠∠
，即
2
3
sin sin
44
AC
ππ
θ
=
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
所以
sin
4
AC
π
θ
=
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
在ACD
∆中，
sin sin
AC CD
ADC CAD
=
∠∠
，即
4
sin
sin
6
AC
πθ
=
所以
2
sin
AC
θ
=.
所以
2
sin
sin
4
π
θθ
=
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，解得2sin cos
θθ
=，
又0
4
π
θ
<<
，所以sinθ=，
所以
2
sin
AC
θ
==
【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了数学运算能力.
25．（Ⅰ）(,3),.
122
k
k Z
ππ
-+-∈（Ⅱ）
1
2
a=或
1
2
a=-
【解析】
（Ⅰ）当1
a=时，根据二倍角公式、辅助角公式化简函数，根据正弦函数的性质可得.（Ⅱ）将函数化简为()sin()
f x A x b
ωϕ
=++的形式，分类讨论可得.
【详解】
解：（Ⅰ）当1
a=时，
22
()cos sin cos3
f x x x x x
=-+-
cos2232sin(2)3
6
x x x
π
=-=+-
()2sin(2)3
6
f x x
π
∴=+-
由2,
6
x k k Z
π
π
+=∈得：,
122
k
x k Z
ππ
=-+∈
()
f x
∴的对称中心为(,3),.
122
k
k Z
ππ
-+-∈
（Ⅱ）22()cos sin sin cos 3f x a x a x x x =-+-
()cos 2sin 23f x a x x ∴=-
()2sin(2)36
f x a x π∴=+- 1sin(2)16x π
-≤+≤ 当0a >时，232sin(2)3236
a a x a π--≤+-≤- 则有234a --=- 解得12
a = 当0a =时，min ()3f x =-，不合题意
当0a <时，232sin(2)3236
a a x a π-≤+-≤-- 则有234a -=-解得12
a =- 综上 12a ∴=或12
a =-． 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式将函数进行化简是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质，属于中档题．
26．(1) 3C π=. (2) max S = 【解析】
【分析】
（1）由0m n m n ⊥⇒⋅=，利用坐标表示化简，结合余弦定理求角C （2）利用（1）中222c a b ab =+-，应用正弦定理和基本不等式，即可求出面积的最大值，此时三角形为正三角即可求周长.
【详解】
（1）∵0m n m n ⊥⇒⋅=，
∴()())sin sin sin sin sin 0A C A C b a B -+-=，
且2R =)22022a c b a R R ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 化简得：222c a b ab =+-.
由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，∴12cos 1cos 2
C C =⇒=， ∵0C π<<，∴3C π
=.
（2）∵()22222sin 6a b ab c R C +-===，
∴2262a b ab ab ab ab =+-≥-=（当且仅当a b =时取“=”）
1
sin 2S ab C ==≤
所以，max S =
ABC ∆为正三角形，此时三角形的周长为 【点睛】
本题主要考查了利用数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题.
27．（1）
2）c =
【解析】
【分析】
（1）先根据sin 2C =sin C 与cos C ，再利用余弦定理求出b 边，最后利用1sin 2
ABC S ab C ∆=求出答案； （2）利用正弦定理将等式化为变得关系，再利用余弦定理化为2c 与ab 的关系式，再结合面积求出c 的值．
【详解】
解：（1）因为sin 2C = 所以2101cos 12sin 122164
C C =-=-⨯=-．又()0,C π∈，
所以sin C =．
因为4a =，c =2222cos c a b ab C =+-， 所以214016244b b ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭
， 解得4b =，
所以11sin 4422ABC S ab C ∆==⨯⨯= （2）因为22213sin sin sin 16A B C +=，由正弦定理，得2221316
a b c +=． 又2222cos a b ab C c +-=，所以283
c ab =．
又1
sin 2ABC S ab C ∆=
，得18ab =，所以248c =，所以c = 【点睛】 本题考查正余弦定理解三角形，属于基础题．
28．（1）4-（2）22515421()61
1282(1)
t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+>⎪⎩
（3）--22∞⋃+∞（，）（，） 【解析】
【分析】 （1）直接代入计算得解；（2）先求出1sin(2)[,1]42
x π-∈-，再对t 分三种情况讨论，结合二次函数求出()g t 的表达式；（3）令2()()9h t g t k t =-+，即2()(6)t 10h t k =-++有一个实数根，利用一次函数性质分析得解.
【详解】
（1）当1t =时，2()sin 22sin 2444f x x t x ππ⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以48f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
. （2）因为[,]242x ∈ππ，所以32[,]464x πππ-∈-，所以1sin(2)[,1]42x π-∈- 2()[sin(2)]614
f x x t t π=---+（[,]242x ∈ππ
） 当12t <-时，则当1sin(2)42x π-=-时，2min 5[()]54f x t t =-+ 当112t -≤≤时，则当sin(2)4
x t π-=时，min [()]61f x t =-+ 当1t >时，则当sin(2)14
x π-=时，2min [()]82f x t t =-+ 故22515421()61
1282(1)t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+>⎪⎩
（3）当112
t -≤≤时，()61g t t =-+，令2()()9h t g t k t =-+即2()(6)t 10h t k =-++ 欲使2()9g t kt =-有一个实根，则只需1()02(1)0h h ⎧-≤⎪⎨⎪≥⎩或1()02(1)0
h h ⎧-≥⎪⎨⎪≤⎩ 解得-2k ≤或2k ≥.
所以k 的范围：
--22∞⋃+∞（，）（，）. 【点睛】
本题主要考查三角函数的范围的计算，考查二次函数的最值的求法和方程的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.
29．（I ）1-；（II
；（III ）10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【解析】
【分析】 将()f x 整理为2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭；（I ）利用x 的范围求得26x π+的范围，结合sin x 的图象可求得最值；（II ）利用()85
f x =-可求得sin 26x ；结合角的范围和同角三角函数关系可求得cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；根据cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，利用两角和差余弦公式可求得结果；（III ）利用x 的范围求得26x π
ω+的范围，从而根据sin x 单调递增区间构造出关于ω的不等
式组，解不等式组再结合0>ω即可得到结果.
【详解】
(
)2cos 2cos 12cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝
⎭ （I ）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦
[]2sin 21,26x π⎛⎫∴+∈- ⎪⎝
⎭ ()f x ∴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最小值为：1- （II ）由题意得：82sin 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 4sin 265x π⎛⎫∴+=- ⎪⎝
⎭ 2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 3132,626x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦ 3cos 265x π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
341552=⨯（III ）()2sin 26f x x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭ ,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，2,6366x πωπππωωπ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦ 26223
62k k ππωππωππππ⎧+≤+⎪⎪∴⎨⎪+≥-⎪⎩，k Z ∈，解得：12362k k ωω⎧≤+⎪⎨⎪≥-⎩，k Z ∈ 0ω>，可知当0k =时满足题意，即1
03
ω<≤
ω∴的取值范围为：10,3⎛
⎤ ⎥⎝⎦
【点睛】
本题考查正弦型函数的值域求解、单调性应用、三角恒等变换公式应用、同角三角函数关系等问题.关键是能够利用二倍角公式和辅助角公式将函数化为()sin A x ωϕ+的形式，从而通过整体对应的方式来研究函数的值域和性质.
30．（1）π2,1,6A ωϕ===
；（2）7π,112a b =-=，递增区间为()πππ,π36k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦；（3）π24或7π24. 【解析】
【分析】
（1）利用函数图像可直接得出周期T 和A ，再利用=
2T πω，求出ω， 然后利用待定系数法直接得出ϕ的值．
（2）通过第一问求得的值可得到()f x 的函数解析式，令()=0f x ，再根据a 的位置确定出a 的值；令0x =得到的函数值即为b 的值；利用正弦函数单调增区间即可求出函数的单调增区间．
（3）令()f α=0α
π，即可求得α的取值． 【详解】
解：（1）由图象知A =2，
34T =512π-（-3π）=912
π， 得T =π， 即22πω=2，得ω=1， 又f （-
3π）=2sin[2×（-3π）+φ]=-2， 得sin （-
23π+φ）=-1， 即-23π+φ=-2
π+2k π， 即ω=
6
π+2k π，k ∈Z ， ∵|φ|＜2
π， ∴当k =0时，φ=6
π， 即A =2，ω=1，φ=6
π； （2）a =-3π-4T =-3π-4π=-712π，
b =f （0）=2sin
6
π=2×12=1， ∵f （x ）=2sin （2x +6
π）， ∴由2k π-2π≤2x +6π≤2k π+2
π，k ∈Z ， 得k π-3π≤x ≤k π+6
π，k ∈Z ， 即函数f （x ）的递增区间为[k π-3π，k π+6
π]，k ∈Z ；
（3）∵f （α）=2sin （2α+6π）
即sin （2α+6π） ∵α∈[0，π]，
∴2α+6π∈[6
π，136π]， ∴2α+6π=4π或34
π， ∴α=24π或α=724π．
【点睛】
关于三角函数图像需记住：
两对称轴之间的距离为半个周期；
相邻对称轴心之间的距离为半个周期； 相邻对称轴和对称中心之间的距离为14
个周期． 关于正弦函数单调区间要掌握： 当2,222x k k ππωϕππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣
⎦时，函数单调递增； 当32+,222x k k ππωϕππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减．。