上海交通大学博士研究生入学考试全真模拟5套卷(附答案)

上海交通大学
2015年博士研究生入学考试试题（模拟卷I）
考试科目代码：2224 考试科目名称：管理科学基础（含微观经济学、统计学、运筹学）
（答案必须写在答题纸上，写在试题纸上的一律不给分）
1.（本题10分）已知线性规划问题：
Max z=5x1+2x2+x3
s.t.{x1+x2+2x3≤b1 x1−x2+3x3≤b2 2x1+2x2≤b3
x1,x2,x3≥0
有最优解，其中b1、b2、b3为待定常数。

该规划问题的最终单纯形表如下：
求解：
（1）b1、b2、b3的值；（2）表中a、b、c、d、e的值；（3）写出该线性规划的对偶规划及其最优解。

2.（本题10分）用Kuhn-Tucker条件求解凸规划：
Min f(x)=(x1−2)2+(x2−1)2
s.t.{
−x12+x2≥0−x1−x2+2≥0
3.（本题10分）用动态规划的方法求解下列问题：
min z=x12+x22+x32+x42
s.t.{
x1+x2+x3+x4≥10
x i≥0,且为整数，i=1,2,3,4
4.（本题10分，每小题5分）(a)对于系统容量有限的排队系统M/M/1/N/∞，若将顾客的有效到达率记为λe，
则请证明：有效到达率的两个表达式是等价的，即λe=λ(1−P N)=μ(L s−L q)，其中P N表示系统状态为N时概率。

(b)设有容量为N的M/M/1排队系统，其顾客的到达率λ与服务率μ相等。

（1）证明：系统在状态i的的概率p i=1
N+1
,i=1,…,N.（2）求系统中的平均队长L s
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5.（本题10分）(ξi，η
i
)，i=1,2,⋯,n，是取自二元正态分布N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)的子样，设
ξ=1
n
∑ξi
n
i=1
,η̅=
1
n
∑η
i
n
i=1
,sξ2=
1
n
∑(ξi−ξ)2
n
i=1
,sη2=
1
n
∑(η
i
−η̅)2
n
i=1
和r
∑(ξ−ξ)(η
i
−η̅)
n
√∑(ξi−ξ)
n
i=1
∑(η
i
−η̅)
n
i=1̅(12)
√sξ+sη−2rsξsη
n−1的分布。

6.（本题10分）设y1=3a+ε1，y2=2a−b+ε2，y3=a+2b+ε3；ε1，ε2，ε3相互独立，均服从N(0,σ2)分
布。

试求：
（1）a，b的最小二乘估计â，b̂；
（2）记β=(a
b
)，β̂=(â
b̂
)，证明β̂是β的无偏估计；求β̂的协方差阵，并说明â，b̂是否相互独立。

7.（本题10分）设母体ξ的分布密度函数为f(x)={3x2 0≤x≤1
0 其它
，ξ(1)<ξ(2)<ξ(3)<ξ(4)<ξ(5)为容量为
5的取自母体的子样的次序统计量。

试证ξ(2)
ξ(4)
与ξ(4)相互独立。

8.（本题10分）假设生产商品x的企业具有相同的技术，且每个企业的生产函数都为F(L,K)=L1/4K1/4，其
中两种要素的价格都为0.5元/单位，且还需要第三种不变要素的数量恒为2，其价格也为0.5元/单位。

求：
（1）一个厂商的条件要素需求函数及对商品x的供给函数；（2）若市场对商品x的需求函数为x=150−p x，商品x的长期市场均衡价格、厂商个数以及每个厂商的利润。

9.（本题10分）一个具有三家厂商的寡头垄断市场结构中，其中一位厂商是市场价格的制定并维护者（该厂商确定价格后其它两家厂商会根据这个价格来调整产量），假设市场需求为Q=100−2p，领导者的边际成本恒为5，若每家跟随者的生产函数为C(y)=y2/2。

试问，领导者最终定价为多少？市场均衡量为多少？其中领导者和两家跟随者分别各生产多少？
10.（本题10分，每小题5分）（a）某岛国国民对椰子的需求函数为D(p)=1200−100p，当地椰子供给函
数为S(p)=100p。

若法律规定国民每消费一个椰子就必须付给国王一个椰子，然后国王把他得到的所有椰子都吃掉。

（1）求该岛国的椰子产量；（2）如果国王选择将所有得到的椰子都在当地市场上以市场价格进行出售，求新均衡时的椰子产量。

（b）某个消费者的效用函数为u=x12x2。

令p1,p2与m分别表示商品1、2的价格和收入。

如果m=24，p1= p2=1，现在p1上升为2，求此消费者关于商品1的斯勒茨基替代效应和收入效应。