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北京市西城区2014年高三下学期5月二模数学文试题(WORD版)

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北京市西城区2014届高三数学二模文科数学试卷(带解析)

北京市西城区2014届高三数学二模文科数学试卷(带解析)

北京市西城区2014届高三数学二模文科数学试卷（带解析）1．设集合{|20}A x x =-<，集合{|1}B x x =>，则（ ） （A ）A B ⊆ （B ）B A ⊆ （C ）A B =∅ （D ）A B ≠∅【答案】D 【解析】试题分析：{|20}{|2}A x x x x =-<=<，{|1}B x x =>，{|12}A B x x =<<≠∅，故选D ．考点：集合与集合之间关系．2．在复平面内，复数=(12i)(1i)z +-对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】A 【解析】试题分析：=(12i)(1i)=3+i z +-，在复平面内对应的点位于第一象限． 考点：复数的运算，复数的几何意义．3．直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（ ）（A （B ）2 （C （D ）2【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得2b a =，即22222241b c a e a a-===-，所以25e =，即e = 考点：双曲性的几何意义．4．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）（A ）2A ∈，且4A ∈ （BA ，且4A ∈ （C ）2A ∈，且A （DAA【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知，该四棱锥是底面对角线长为2，高为4的正四棱锥，因此它的底考点：三视图．5．设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：由b c =得，0b c -=，得()0a b c ⋅-=；反之不成立，故()0a b c ⋅-=是b c =的必要而不充分条件． 考点：充要条件的判断．6．在△ABC 中，若4a =，3b =，1cos 3A =，则B =（ ） （A ）π4 （B ）π3 （C ）π6 （D ）2π3正(主)视图俯视图侧(左)视图【答案】A 【解析】试题分析：由1cos 3A =得，sin A =，由43>，得B 是锐角，有正弦定理得，sin sin a bA B=，即3sin 3sin 4b A B a ===，所以4B π=． 考点：正弦定理．7．设函数2244, ,()log , 4.x x x f x x x ⎧-+=⎨>⎩≤ 若函数()y f x =在区间(,1)a a +上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(,1]-∞ （B ）[1,4]（C ）[4,)+∞ （D ）(,1][4,)-∞+∞ 【答案】D 【解析】试题分析：由函数()y f x =的图像可知，在(),2-∞和()4,+∞上是递增的，在()2,4上是递减的，故函数()y f x =在区间(,1)a a +上单调递增，则12a +≤或4a >，即1a ≤或4a >，故选Ｄ．考点：函数的单调性．8．设Ω为平面直角坐标系xOy 中的点集，从Ω中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为()x Ω，点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为()y Ω.如果Ω是边长为1的正方形，那么()()x y Ω+Ω的取值范围是（ ）（A） （B） （C）[1 （D）[1 【答案】B 【解析】试题分析：如下图两种画法分别是()x Ω，()y Ω取得最大值最小值的位置，由图可知，()x Ω取得最大值最小值分别为 ()y Ω取得最大值最小值分别为故()()x y Ω+Ω的取值范围是．10．设抛物线2 4Cy x =：的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，且点M 的横坐标为2，则||MF = .【答案】3 【解析】试题分析：由抛物线的定义可知，0||1232pMF x =+=+=． 考点：抛物线的定义．11．执行如图所示的程序框图，输出的a 值为______．【答案】2- 【解析】试题分析：第一次运行后，得2,2a i =-=，此时25<；第二次运行后，得1,33a i =-=，此时35<； 第三次运行后，得1,42a i ==，此时45<； 第四次运行后，得3,5a i ==，此时55=；第五次运行后，得2,6a i =-=，此时65>；此时停止循环，输出的a 的值为2-． 考点：算法框图．12．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组0,0,80x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤所表示的平面区域是α，不等式组440,0x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤所表示的平面区域是β. 从区域α中随机取一点(,)P x y ，则P 为区域β内的点的概率是_____． 【答案】12【解析】试题分析：在同一坐标作出不等式组0,0,80x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤所表示的平面区域，与不等式组40,x ⎧≤≤18832⨯⨯=，β与α重叠的面积β内的点的概率为161322=． BD 所在的直线进行翻折，则试题分析：将ABD ∆沿正方形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程，底面积不变，高在变化，当平面ABD 与平面ACD A BCD -的体积的最大值是112232V =⨯⨯⨯=考点：翻折问题，几何体体积．14．已知f 是有序数对集合**{(,)|,}M x y x y =∈∈N N 上的一个映射，正整数数对(,)x y 在映射f 下的象为实数z ，记作(,)f x y z =. 对于任意的正整数,()m n m n >，映射f 由下表给出：则(3,5)f =__________，使不等式(2,)4x f x ≤成立的x 的集合是_____________. 【答案】8 ，{1,2} 【解析】试题分析：根据映射对应法则可知(3,5)538f =+=；(2,)4x f x ≤，当1x =时，(2,1)2114f =-=≤，当2x =时，(4,2)42f =-=≤，当3x =时，(8,3)83f ≥=-=，因此当1,2x =时，(2,)4x f x ≤成立． 考点：映射．15．已知函数()cos (sin cos )1f x x x x =-+. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当π[,0]2x ∈-时，求函数()f x 的最大值和最小值. 【答案】（1）函数()f x 的最小正周期为πT =；（2）π8x =-时，函数()f x 取到最小值π1()82f -=，π2x =-时，函数()f x 取到最大值π()12f -=． 【解析】试题分析：（1）求函数()f x 的最小正周期，求三角函数周期，首先将函数化成一个角的一个三角函数，即化成()sin y A x ωϕ=+形式，因此对函数()f x 先化简，由()cos (sin cos )1f x x x x =-+，整理得，2()sin cos cos 1f x x x x =-+，由此可用二倍角公式整理得111()sin 2cos 2222f x x x =-+，再由两角和的正弦得π1())242f x x =-+，进而可有2T πω=求得周期；（2）当π[,0]2x ∈-时，求函数()f x 的最大值和最小值，由π[,0]2x ∈-得，5πππ2444x --≤≤-，进而转化为正弦函数的最值，从而求出函数()f x 的最大值和最小值. （1） 2()sin cos cos 1f x x x x =-+11cos 2sin 2122xx +=-+ 4分111sin 2cos 2222x x =-+ π1sin(2)242x =-+， 6分 所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. 7分 （2）由 π02x -≤≤，得5πππ2444x --≤≤-.所以 π1sin(2)4x --≤ 9分所以1π1)2242x -+≤≤1，即 1()12f x ≤≤. 11分当ππ242x -=-，即π8x =-时，函数()f x 取到最小值π1()82f -=； 12分 当π5π244x -=-，即π2x =-时，函数()f x 取到最大值π()12f -=. 13分 考点：三角函数化简，求周期，最值．16．为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A ，B 两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：A 班5名学生的视力检测结果：4.3，5.1，4.6，4.1，4.9.B 班5名学生的视力检测结果：5.1，4.9，4.0，4.0，4.5.（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？ （2）由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？（结论不要求证明） （3）根据数据推断A 班全班40名学生中有几名学生的视力大于4.6?【答案】（1）A =4.6x ，B =4.5x ，从数据结果来看A 班学生的视力较好；（2）B 班5名学生视力的方差较大；（3）可推断A 班有16名学生视力大于4.6．【解析】 试题分析：（1）计算出平均数，看平均数的大小，平均数大的班学生的视力较好；（2）对数据分析，一看极差，二看数据集中程度，越集中方差越小，越离散方差越大，从数据上看，B 班5名学生视力极差较大，数据相对较散，从而的结论；（3）对数据观察，找出视力大于4.6的人数，根据视力大于4.6的人数与抽出人数的比值，从而可估算出A 班全班40名学生中的视力大于4.6的人数．（1）A 班5名学生的视力平均数为A 4.3+5.1+4.6+4.1 4.9==4.65x +， 2分B 班5名学生的视力平均数为B 5.1+4.9+4.0+4.0 4.5==4.55x +. 3分 从数据结果来看A 班学生的视力较好. 4分（2）B 班5名学生视力的方差较大. 8分 （3）在A 班抽取的5名学生中，视力大于4.6的有2名，所以这5名学生视力大于4.6的频率为25． 11分 所以全班40名学生中视力大于4.6的大约有240165⨯=名，则根据数据可推断A 班有16名学生视力大于4.6． 13分 考点：统计数据分析，平均数，样本估计总体． 17．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，12AA =，E 为1AA 的中点，O 为1BD 的中点.（1）求证：平面11A BD ⊥平面11ABB A ；（2）求证：//EO 平面ABCD ；（3）设P 为正方体1111D C B A ABCD -棱上一点，给出满足条件OP 的点P 的个数，并说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）在正方体1111D C B A ABCD -棱上使得OP =的点P 有12个. 【解析】试题分析：（1）求证：平面11A BD ⊥平面11ABB A ，证明两平面垂直，只需证明一个平面过另一个平面的垂线，注意到本题是一个正方体，因此可证11A D ⊥平面11ABB A 即可；（2）求证：//EO 平面ABCD ，证明线面平行，即证线线平行，即在平面ABCD 内找一条直线与EO 平行，注意到E 为1AA 的中点，O 为1BD 的中点，可连接BD ，AC ，设BDAC G =，连接OG ，证明//EO AG 即可，即证四边形AGOE 是平行四边形即可；（3）设P 为正方体1111D C B A ABCD -棱上一点，给出满足条件OP 的点P 的个数，由（2）可知，//EO AG ，且12EO AG AC ===，故点E 符合，有正方体的特征，可知，1AA OE ⊥，故EO 是点O 到1AA 的最短距离，故这样的点就一个，同理在其他棱上各有一个，故可求出满足条件OP =的点P 的个数． （1）在正方体1111D C B A ABCD -中， 因为 11A D ⊥平面11ABB A ，11A D ⊂平面11A BD ，所以平面11A BD ⊥平面11ABB A . 4分（2）证明：连接BD ，AC ，设BD AC G =，连接OG .因为1111D C B A ABCD -为正方体，所以 1//DD AE ，且121DD AE =，且G 是BD 的中点，又因为O 是1BD 的中点，所以 1//DD OG ，且121DD OG =，所以 AE OG //，且AE OG =， 即四边形AGOE 是平行四边形，所以//EO AG ， 6分 又因为 EO ⊄平面ABCD ，⊂AG 平面ABCD ，所以 //EO 平面ABCD . 9分（3）满足条件OP =的点P 有12个. 12分 理由如下：因为 1111D C B A ABCD -为正方体，12AA =，所以AC = 所以12EO AG AC ===分 在正方体1111D C B A ABCD -中，因为 1AA ⊥平面ABCD ，AG ⊂平面ABCD ，所以 1AA AG ⊥，又因为 //EO AG ，所以 1AA OE ⊥， 则点O 到棱1AA所以在棱1AA 上有且只有一个点（即中点E ）到点O同理，正方体1111D C B A ABCD -每条棱的中点到点O所以在正方体1111D C B A ABCD -棱上使得OP =的点P 有12个. 14分考点：面面垂直的判断，线面平行的判断，点到直线距离．18．已知函数2e ()1xf x ax x =++，其中a ∈R .（1）若0a =，求函数()f x 的定义域和极值；（2）当1a =时，试确定函数()()1g x f x =-的零点个数，并证明.【答案】（1）定义域为{|x x ∈R ，且1}x ≠-，当0x =时，函数()f x 有极小值(0)1f =；（2）函数()g x 存在两个零点．【解析】试题分析：若0a =，求函数()f x 的定义域和极值，把0a =代入得函数e ()1xf x x =+，故可求得函数()f x 的定义域，求它的极值，对函数求导，求出导数等于零点，及两边导数的符号，从而确定极值点；（2）当1a =时，试确定函数()()1g x f x =-的零点个数，即求函数2e ()11xg x x x =-++的零点个数，首先确定定义域，在定义域内，考虑函数的单调性，由单调性与根的存在性定理，来判断零点的个数．（1）函数e ()1xf x x =+的定义域为{|x x ∈R ，且1}x ≠-. 1分22e (1)e e ()(1)(1)x x xx x f x x x +-'==++. 3分 令()0f x '=，得0x =，当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：4分故()f x 的单调减区间为(,1)-∞-，(1,0)-；单调增区间为(0,)+∞． 所以当0x =时，函数()f x 有极小值(0)1f =. 5分 （2）结论：函数()g x 存在两个零点. 证明过程如下：由题意，函数2e ()11xg x x x =-++， 因为 22131()024x x x ++=++>， 所以函数()g x 的定义域为R . 6分求导，得22222e (1)e (21)e (1)()(1)(1)x x x x x x x x g x x x x x ++-+-'==++++， 7分 令()0g x '=，得10x =，21x =，当x 变化时，()g x 和()g x '的变化情况如下：故函数()g x 的单调减区间为(0,1)；单调增区间为(,0)-∞，(1,)+∞．当0x =时，函数()g x 有极大值(0)0g =；当1x =时，函数()g x 有极小值e(1)13g =-. 9分因为函数()g x 在(,0)-∞单调递增，且(0)0g =，所以对于任意(,0)x ∈-∞，()0g x ≠. 10分 因为函数()g x 在(0,1)单调递减，且(0)0g =，所以对于任意(0,1)x ∈，()0g x ≠. 11分因为函数()g x 在(1,)+∞单调递增，且e(1)103g =-<，2e (2)107g =->， 所以函数()g x 在(1,)+∞上仅存在一个0x ，使得函数0()0g x =， 12分 故函数()g x 存在两个零点（即0和0x ）. 13分 考点：函数的极值，根的存在性定理．19．设12,F F 分别为椭圆22: 12x W y +=的左、右焦点，斜率为k 的直线l 经过右焦点2F ，且与椭圆W 相交于,A B 两点. （1）求1ABF ∆的周长；（2）如果1ABF ∆为直角三角形，求直线l 的斜率k .【答案】（1）1ABF ∆的周长为（2）直线l的斜率7k =±，或1k =±时，1ABF ∆为直角三角形． 【解析】试题分析：（1）求1ABF ∆的周长，这是焦点三角问题，解这一类问题，往往与定义有关，本题可由椭圆定义得12||||2AF AF a +=，12||||2BF BF a +=，两式相加即得1ABF ∆的周长；（2）如果1ABF ∆为直角三角形，求直线l 的斜率k ，由于没教得那一个角为直角，故三种情况，o 190BF A ∠=，或o 190BAF ∠=，或o 190ABF ∠=，当o 190BF A ∠=时，此时直线AB 的存在，设出直线方程，代入椭圆方程，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由根与系数关系，得到关系式，再由110F A F B ⋅=，即可求出斜率k 的值，当o 190BAF ∠=（与o 190ABF ∠=相同）时，则点A 在以线段12F F 为直径的圆221x y +=上，也在椭圆W 上，求出点A 的坐标，从而可得直线l 的斜率k ． （1）椭圆W的长半轴长a =1(1,0)F -，右焦点2(1,0)F ， 2分由椭圆的定义，得12||||2AF AF a +=，12||||2BF BF a +=， 所以1ABF ∆的周长为1212||||||||4AF AF BF BF a +++==分 （2）因为1ABF ∆为直角三角形，所以o 190BF A ∠=，或o 190BAF ∠=，或o 190ABF ∠=，再由当o 190BF A ∠=时，设直线AB 的方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 6分由 221,2(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 得 2222(12)4220k x k x k +-+-=， 7分所以 2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+. 8分由o190BF A ∠=，得110F A F B ⋅=， 9分因为111(1,)F A x y =+，122(1,)FB x y =+， 所以11121212()1F A F B x x x x y y ⋅=++++2121212()1(1)(1)x x x x k x x =++++-- 2221212(1)(1)()1k x x k x x k =++-+++2222222224(1)(1)101212k k k k k k k-=+⨯+-⨯++=++， 10分解得k =. 11分 当o 190BAF ∠=（与o190ABF ∠=相同）时，则点A 在以线段12F F 为直径的圆221x y +=上，也在椭圆W 上，由22221,21,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得(0,1)A ，或(0,1)A -， 13分 根据两点间斜率公式，得1k =±， 综上，直线l的斜率k =，或1k =±时，1ABF ∆为直角三角形. 14分 考点：焦点三角，直线与椭圆位置关系．20．在无穷数列{}n a 中，11a =，对于任意*n ∈N ，都有*n a ∈N ，1n n a a +<. 设*m ∈N ， 记使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b . （1）设数列{}n a 为1，3，5，7，，写出1b ，2b ，3b 的值；（2）若{}n a 为等比数列，且22a =，求12350b b b b ++++的值；（3）若{}n b 为等差数列，求出所有可能的数列{}n a .【答案】（1）11b =，21b =，32b =；（2）12350243b b b b ++++=；（3）得n n a = 【解析】试题分析：（1）根据使得1n n a a +<成立的n 的最大值为m b ，1n a ≤，则11b =，2n a ≤，则21b =，3n a ≤，则32b =，这样就写出1b ，2b ，3b 的值；（2）确定11b =，232b b ==，45673b b b b ====，89154b b b ====，1617315b b b ====，3233506b b b ====，分组求和，即可求12350b b b b ++++的值；（3）若{}n b 为等差数列，先判断n n a ≥，再证明n a n ≤，即可求出所有可能的数列{}n a ．（1） 11b =，21b =，32b =. 3分 （2）因为{}n a 为等比数列，11a =，22a =，所以12n n a -=， 4分 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以11b =，232b b ==，45673b b b b ====，89154b b b ====，1617315b b b ====，3233506b b b ====， 6分所以12350243b b b b ++++=. 8分（3）由题意，得1231n a a a a =<<<<<，结合条件*n a ∈N ，得n n a ≥. 9分 又因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，使得1n a m +≤成立的n 的最大值为1m b +， 所以11b =，*1()m m b b m +∈N ≤. 10分 设2 a k =，则 2k ≥. 假设2k >，即2 >2a k =，则当2n ≥时，2n a >；当3n ≥时，1n k a +≥. 所以21b =，2k b =. 因为{}n b 为等差数列， 所以公差210d b b =-=， 所以1n b =，其中*n ∈N . 这与2(2)k b k =>矛盾，所以22a =. 11分 又因为123n a a a a <<<<<，所以22b =，由{}n b 为等差数列，得n b n =，其中*n ∈N . 12分 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ， 所以n n a ≤，由n n a ≥，得n n a =. 13分 考点：等差数列与等比数列的性质．。

2014北京市西城区高三(一模)数 学(文)

2014北京市西城区高三(一模)数 学(文)

2014北京市西城区高三（一模）数学（文）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设全集U={x|0＜x＜2}，集合A={x|0＜x≤1}，则集合∁U A=（）A．（0，1）B．（0，1] C．（1，2）D．[1，2）2．（5分）已知平面向量=（2，﹣1），=（1，3），那么||等于（）A．5 B． C． D．133．（5分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．C．4 D．55．（5分）下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f（x）=f（﹣x）和f（x﹣π）=f（x）的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=sin2x C．f（x）=cosx D．f（x）=cos2x6．（5分）设a＞0，且a≠1，则“函数y=log a x在（0，+∞）上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．（5分）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了n（n∈N*）年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）A．4 B．5 C．6 D．78．（5分）如图，设P为正四面体A﹣BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）A．4个B．6个C．10个D．14个二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）设复数=x+yi，其中x，y∈R，则x+y= ．10．（5分）若抛物线C：y2=2px的焦点在直线x+y﹣2=0上，则p= ；C的准线方程为．11．（5分）已知函数f（x）=，若f（x0）=2，则实数x0= ；函数f（x）的最大值为．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，b=2，那么输出的a值为．12．13．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是．14．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=2，P为线段AD（含端点）上一个动点．设=x，=y，记y=f（x），则f（1）= ；函数f（x）的值域为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2=a2+bc．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果cosB=，b=2，求a的值．16．（13分）某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．寿命（天）频数频率[100，200）10 0.05[200，300）30 a[300，400）70 0.35[400，500） b 0.15[500，600）60 c合计200 1（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b，c的值；（Ⅱ）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不是次品的概率；（Ⅲ）某人从这批灯泡中随机地购买了n（n∈N*）个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值．17．（14分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD=2AB，SA=SD，SA⊥AB，N是棱AD的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面SCD；（Ⅱ）求证：SN⊥平面ABCD；（Ⅲ）在棱SC上是否存在一点P，使得平面PBD⊥平面ABCD？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞﹣x+2，求a的取值范围．19．（14分）已知椭圆W：=1（a＞b＞0）的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为﹣1，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆W的方程．（Ⅱ）设斜率为k的直线l与W相交于A，B两点，记△AOB面积的最大值为S k，证明：S1=S2．20．（13分）在数列{a n}中，a n=（n∈N*）．从数列{a n}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{b n}，并称{b n}为数列{a n}的k项子列．例如数列，，，为{a n}的一个4项子列．（Ⅰ）试写出数列{a n}的一个3项子列，并使其为等比数列；（Ⅱ）如果{b n}为数列{a n}的一个5项子列，且{b n}为等差数列，证明：{b n}的公差d满足﹣＜d＜0；（Ⅲ）如果{c n}为数列{a n}的一个6项子列，且{c n}为等比数列，证明：c1+c2+c3+c4+c5+c6≤．数学试题答案一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．【解答】∵全集U=（0，2），集合A=（0，1]，∴∁U A=（1，2）．故选：C．2．【解答】∵=（2，﹣1）+（1，3）=（3，2），∴==．故选：B．3．【解答】∵双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的虚轴长是实轴长的2倍，∴b=2a，∴c==，∴e==．故选：D．4．【解答】由三视图知几何体是一个四棱柱，四棱柱的底面是一个直角梯形，梯形的下底是3，斜边为，高是1，梯形的上底为：3﹣=1，棱柱的高为2，∴四棱柱的体积是：=4，故选：C．5．【解答】对于任意x∈R，f（x）满足f（x）=f（﹣x），则函数f（x）是偶函数，选项中，A，B显然是奇函数，C，D为偶函数，又对于任意x∈R，f（x）满足f（x﹣π）=f（x），则f（x+π）=f（x），即f（x）的最小正周期是π，选项C的最小正周期是2π，选项D的最小正周期是=π，故同时满足条件的是选项D．故选D．6．【解答】若函数y=log a x在（0，+∞）上是减函数，则0＜a＜1，此时2﹣a＞0，函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数，成立．若y=（2﹣a）x3在R上是增函数，则2﹣a＞0，即a＜2，当1＜a＜2时，函数y=log a x在（0，+∞）上是增函数，∴函数y=log a x在（0，+∞）上是减函数不成立，即“函数y=log a x在（0，+∞）上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的充分而不必要条件，故选：A．7．【解答】设该设备第n年的营运费为a n万元，则数列{a n}是以2为首项，2为公差的等差数列，则a n=2n，则该设备使用了n年的营运费用总和为T n==n2+n，设第n年的盈利总额为S n，则S n=11n﹣（n2+n）﹣9=﹣n2+10n﹣9=﹣（n﹣5）2+16，∴当n=5时，S n取得最大值16，故选：B．8．【解答】符合条件的点P有两类：（1）6条棱的中点；（2）4个面的中心．共10个点．故集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有4+6=10．故选：C二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．【解答】∵，又=x+yi，∴，∴，则x+y=．故答案为：．10．【解答】直线x+y﹣2=0，令y=0，可得x=2，∵抛物线C：y2=2px的焦点在直线x+y﹣2=0上，∴=2，∴p=4，准线方程为x=﹣=﹣2．故答案为：4，x=﹣2．11．【解答】x≤0，x+3=2，∴x=﹣1；x＞0，=2，x=﹣（舍去）；x≤0，x+3≤3；x＞0，0＜＜1，∴函数f（x）的最大值为3．故答案为：﹣1，3．12．【解答】若a=2，则log3a=log32＞4不成立，则a=22=4，若a=4，则log3a=log34＞4不成立，则a=42=16，若a=16，则log3a=log316＞4不成立，则a=162=256若a=256，则log3a=log3256＞4成立，输出a=256，故答案为：25613．【解答】作出不等式组对应的平面区域，当直线x+y=a经过点A（3，0）时，对应的平面区域是三角形，此时a=3，当经过点B时，对应的平面区域是三角形，由，解得，即B（1，4），此时a=1+4=5，∴要使对应的平面区域是平行四边形，则3＜a＜5，故答案为：（3，5）14．【解答】如图，建立直角坐标系；设点P（a，b），则﹣2≤a≤﹣1；∴=（a+2，b），=（1，2）；=（﹣a，﹣b），=（﹣a，2﹣b）；又∵=x，∴，即，（其中0≤x≤1）；∴•=（﹣a，﹣b）•（﹣a，2﹣b）=a2﹣b（2﹣b）=（x﹣2）2﹣2x•（2﹣2x）=5x2﹣8x+4；即y=f（x）=5x2﹣8x+4，其中0≤x≤1；∴当x=1时，y=f（1）=5﹣8+4=1；当x=﹣=时，y取得最小值f（）=，当x=0时，y取得最大值f（0）=4；∴f（x）的值域是．故答案为：1，．三、解答题（共6小题，满分80分）15．【解答】（Ⅰ）∵b2+c2=a2+bc，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，又∵A∈（0，π），∴A=；（Ⅱ）∵cosB=，B∈（0，π），∴sinB==，由正弦定理=，得a===3．16．【解答】（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，得a==0.15，b=200﹣（10+30+70+60）=30，c==0.3．（Ⅱ）设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件A．由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个，所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为．（Ⅲ）由（Ⅱ）得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为60：100：40=3：5：2．所以按分层抽样法，购买灯泡数 n=3k+5k+2k=10k（k∈N*），所以n的最小值为10．17．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是矩形，∴AB∥CD，又∵AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以 AB∥平面SCD．（Ⅱ）证明：∵AB⊥SA，AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，又∵SN⊂平面SAD，∴AB⊥SN．∵SA=SD，且N为AD中点，∴SN⊥AD．∴SN⊥平面ABCD．（Ⅲ）解：如图，连接BD交NC于点F，在平面SNC中过F作FP∥SN交SC于点P，连接PB，PD．∵SN⊥平面ABCD，∴FP⊥平面ABCD．又∵FP⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面ABCD．在矩形ABCD中，∵ND∥BC，∴==．在△SNC中，∵FP∥SN，∴==．则在棱SC上存在点P，使得平面PBD⊥平面ABCD，此时=．18．【解答】（Ⅰ）由，∴，∴k=f′（1）=3，又∵f（1）=﹣2，∴函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y﹣5=0；（Ⅱ）由 f（x）＞﹣x+2，得，即 a＜xlnx+x2﹣2x，设函数g（x）=xlnx+x2﹣2x，则g′（x）=lnx+2x﹣1，∵x∈（1，+∞），∴lnx＞0，2x﹣1＞0，∴当x∈（1，+∞）时，g′（x）=lnx+2x﹣1＞0，∴函数g（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时，g（x）＞g（1）=﹣1，∵对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞﹣x+2成立，∴对于任意x∈（1，+∞），都有a＜g（x）成立，∴a≤﹣1．19．【解答】（Ⅰ）解：由题意得椭圆W的半焦距c=1，右焦点F（1，0），上顶点M（0，b），∴直线MF 的斜率为，解得 b=1，由 a2=b2+c2，得a2=2，∴椭圆W 的方程为．（Ⅱ）证明：设直线l的方程为y=kx+m，其中k=1或2，A（x1，y1），B（x2，y2）．由方程组得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∴△=16k2﹣8m2+8＞0，（*）由韦达定理，得，．∴=．∵原点O到直线y=kx+m 的距离，∴=≤=，当且仅当m2=2k2﹣m2+1，即2m2=2k2+1时取等号．与k的取值无关系，因此S1=S2．20．【解答】（Ⅰ）解：答案不唯一．如3项子列：，，．…（2分）（Ⅱ）证明：由题意，知1≥b1＞b2＞b3＞b4＞b5＞0，所以 d=b2﹣b1＜0．…（4分）因为 b5=b1+4d，b1≤1，b5＞0，所以 4d=b5﹣b1＞0﹣1=﹣1，解得．所以．…（7分）（Ⅲ）证明：由题意，设{c n}的公比为q，则．11 / 12因为{c n}为{a n}的一个6项子列，所以 q为正有理数，且q＜1，．…（8分）设，且K，L互质，L≥2）．当K=1时，因为，所以，所以．…（10分）当K≠1时，因为是{a n}中的项，且K，L互质，所以 a=K5×M（M∈N*），所以=．因为 L≥2，K，M∈N*，所以．综上，．…（13分）12 / 12。

北京市西城区高三毕业班第二次模拟测试文科数学试题参考答案

北京市西城区高三毕业班第二次模拟测试文科数学试题参考答案

北京市西城区高三毕业班第二次模拟测试文科数学试题&参考答案第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|11}A x x =∈-<<R ，{|(2)0}B x x x =∈⋅-<R ，那么A B = （A ）{|01}x x ∈<<R （B ）{|02}x x ∈<<R （C ）{|10}x x ∈-<<R（D ）{|12}x x ∈-<<R2．设向量(2,1)=a ，(0,2)=-b ．则与2+a b 垂直的向量可以是 （A ）(3,2)（B ）(3,2)-（C ）(4,6)（D ）(4,6)-3．下列函数中，值域为[0,1]的是 （A ）2y x = （B ）sin y x =（C ）211y x =+ （D ）y 4．若抛物线2y ax =的焦点到其准线的距离是2，则 （A ）1±（B ）2±（C ）4±（D ）8±5．设a ，0b ≠，则“a b >”是“11a b<”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．在平面直角坐标系中，不等式组,020,0y x y -+⎨⎪⎪⎩≤≥≥表示的平面区域的面积是（A（B（C ）2 （D）7．某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为 （A ）43（B ）2 （C ）83（D ）48．函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是（A ）(2,)+∞（B ）(1,)+∞（C ）1(,)2+∞（D ）1(,)4+∞第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在复平面内，复数z 对应的点是(1,2)Z -，则复数z 的共轭复数z =____． 10．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____．11．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若π3A =，a 1b =，则c =____．12．已知圆22:1O x y +=．圆O '与圆O 关于直线20x y +-=对称，则圆O '的方程是____．13．函数22, 0,()log , 0.x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤则1()4f =____；方程1()2f x -=的解是____．14．某班开展一次智力竞赛活动，共a ，b ，c 三个问题，其中题a 满分是20分，题b ，c 满分都是25分．每道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题．答对题a 与题b 的人数之和为29，答对题a 与题c 的人数之和为25，答对题b 与题c 的人数之和为20．则该班同学中只答对一道题的人数是____；该班的平均成绩是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数π()tan()4f x x =+． （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设β是锐角，且π()2sin()4f ββ=+，求β的值． 16．（本小题满分13分）某大学为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]，得到A 餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表：（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A 餐厅评分低于30的人数；（Ⅱ）从对B 餐厅评分在[0,20)范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率；（Ⅲ）如果从A ，B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由． 17．（本小题满分13分）设{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列，{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列．记n n n c a b =+，1,2,3,n =．（Ⅰ）若{}n c 是等差数列，求q 的值； （Ⅱ）求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分14分）如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，//EF CD ，CD EA ⊥，22CD EF ==，ED M 为棱FC 上一点，平面ADM 与棱FB 交于点N ．（Ⅰ）求证：ED CD ⊥； （Ⅱ）求证：//AD MN ；（Ⅲ）若AD ED ⊥，试问平面BCF 是否可能与平面ADMN 垂直？若能，求出FMFC的值；若不能，说明理由． 19．（本小题满分13分）B 餐厅分数频数分布表已知函数()ln 2af x x x =+-，其中a ∈R ． （Ⅰ）给出a 的一个取值，使得曲线()y f x =存在斜率为0的切线，并说明理由；（Ⅱ）若()f x 存在极小值和极大值，证明：()f x 的极小值大于极大值． 20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是2，且过点P ．直线2y x m =+与椭圆C 相交于,A B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求PAB △的面积的最大值；（Ⅲ）设直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ．判断||PM ，||PN 的大小关系，并加以证明．参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．A 2．A 3．D4．C 5．D6．B7．A8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．12i +10．711．212．22(2)(2)1x y -+-=13．2-；114．4；42 注：第13、14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由πππ42x k +≠+，得ππ4x k ≠+，k ∈Z ． [ 3分]所以 函数()f x 的定义域是π{|π,}4x x k k ≠+∈Z ．[ 4分]（Ⅱ）依题意，得ππtan()2sin()44ββ+=+． [ 5分]所以πsin()π42sin()π4cos()4βββ+=++．① [ 7分] 因为β是锐角，所以 ππ3π444β<+<，[ 8分] 所以πsin()04β+>，[ 9分]①式化简为π1cos()42β+=． [10分]所以 ππ43β+=，[12分]所以π12β=． [13分] 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由A 餐厅分数的频率分布直方图，得对A 餐厅评分低于30的频率为(0.0030.0050.012)100.2++⨯=，[ 2分]所以，对A餐厅评分低于30的人数为1000.220⨯=． [ 3分]（Ⅱ）对B 餐厅评分在[0,10)范围内的有2人，设为12M ,M ；对B 餐厅评分在[10,20)范围内的有3人，设为123N ,N ,N ． 从这5人中随机选出2人的选法为：12(M ,M )，11(M ,N )，12(M ,N )，13(M ,N )，21(M ,N )，22(M ,N )，23(M ,N )，12(N ,N )，13(N ,N )，23(N ,N )，共10种．[ 7分]其中，恰有1人评分在[0,10)范围内的选法为：11(M ,N )，12(M ,N )，13(M ,N )，21(M ,N )，22(M ,N )，23(M ,N )，共6种．[ 9分]故2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率为63105P ==．[10分] （Ⅲ）从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看：由（Ⅰ）得，抽样的100人中，A 餐厅评分低于30的人数为20， 所以，A 餐厅得分低于30分的人数所占的比例为20%． B 餐厅评分低于30的人数为23510++=，所以，B 餐厅得分低于30分的人数所占的比例为10%． 所以会选择B餐厅用餐． [13分]注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可．17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，所以 21n a n =-．[ 2分]因为 {}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列， 所以1n n b q -=．[ 4分]所以121n n n n c a b n q -=+=-+．[ 5分] 因为 {}n c 是等差数列， 所以2132c c c =+，[ 6分]即 22(3)25q q +=++，解得 1q =．[ 7分]经检验，1q =时，2n c n =，所以{}n c 是等差数列．[ 8分]（Ⅱ）由（Ⅰ）知121(1,2,)n n c n q n -=-+=．所以121111111(21)nnnnnnk k n k k k k k k k k k S c a b k qn q --========+=-+=+∑∑∑∑∑∑．[10分]当1q =时，2n S n n =+．[11分]当1q ≠时，211n n q S n q -=+-．[13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为ABCD 为矩形，所以CD AD ⊥．[ 1分]又因为CD EA ⊥，[ 2分] 所以CD ⊥平面EAD ．[ 3分] 所以ED CD ⊥．[ 4分]（Ⅱ）因为ABCD 为矩形，所以//AD BC ，[ 5分]所以//AD 平面FBC ．[ 7分] 又因为平面ADMN 平面FBC MN =，所以//AD MN ．[ 8分]（Ⅲ）平面ADMN 与平面BCF 可以垂直．证明如下：[ 9分]连接DF ．因为AD ED ⊥，AD CD ⊥， 所以AD ⊥平面CDEF ．[10分] 所以AD DM ⊥．因为//AD MN ，所以DM MN ⊥．[11分] 因为平面ADMN 平面BCF MN =， 若使平面ADMN ⊥平面BCF ，则DM ⊥平面BCF ，所以DM FC ⊥．[12分]在梯形CDEF 中，因为//EF CD ，ED CD ⊥，22CD EF ==，ED = 所以2DF DC ==．所以若使DM FC ⊥能成立，则M 为FC 的中点． 所以12FM FC =．[14分] 19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是{|0D x x =>，且2}x ≠，且21()(2)a f x x x '=-+-．[ 2分]当1a =时，曲线()y f x =存在斜率为0的切线．证明如下：[ 3分] 曲线()y f x =存在斜率为0的切线⇔方程()0f x '=存在D 上的解．令2110(2)x x -+=-，整理得2540x x -+=，解得1x =，或4x =．所以当1a =时，曲线()y f x =存在斜率为0的切线．[ 5分] 注：本题答案不唯一，只要0a >均符合要求．（Ⅱ）由（Ⅰ）得 21()(2)a f x xx '=-+-．①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在区间(0,2)和(2,)+∞上单调递增，无极值，不合题意．[ 6分] ②当0a >时，令()0f x '=，整理得2(4)40x a x -++=． 由2[(4)]160a ∆=-+->，所以，上述方程必有两个不相等的实数解1x ，2x ，不妨设12x x <．由121244,4,x x a x x +=+>⎧⎨=⎩得1202x x <<<．[ 8分]()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 存在极大值1()f x ，极小值2()f x ．[10分]2121212121()()(ln )(ln )()(ln ln )2222a a a af x f x x x x x x x x x -=+-+=-+-----． [11分]因为1202x x <<<，且0a >，所以21022a a x x ->--，21ln ln 0x x ->， 所以 21()()f x f x >．所以()f x 的极小值大于极大值．[13分]20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的半焦距为c ． 因为椭圆C ， 所以 2222222112c a b b a a a -==-=， 即 222a b =．[ 1分] 由22222,211,a b ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 解得 224,2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩[ 3分] 所以椭圆C 的方程为22142x y +=．[ 4分] （Ⅱ）将y x m =+代入22142x y +=， 消去y 整理得2220x m +-=．[ 5分]令2224(2)0m m ∆=-->，解得22m -<<．设1122(,),(,)A x y B x y ．则12x x +=，2122x x m =-．所以AB ==[ 6分]点P 到直线0x -=的距离为d ==． [7分]所以PAB △的面积12S AB d =⋅=，[ 8分]当且仅当m =时，S =．所以PAB △的面积的最大值是．[ 9分]（Ⅲ）||||PM PN =．证明如下：[10分]设直线PA ，PB 的斜率分别是1k ，2k ，则12k k +==[11分]由（Ⅱ）得1221(1)((1)(y x y x -+--0=，所以直线PA ，PB 的倾斜角互补．[13分]所以12∠=∠，所以PMN PNM ∠=∠．所以||||．[14分] PM PN。

北京市西城区2014年高三5月二模数学文试卷(word版)

北京市西城区2014年高三5月二模数学文试卷(word版)

北京市西城区2014年高三5月二模数 学（文科） 2014.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|20}A x x =-<，集合{|1}B x x =>，则（ ） （A ）A B ⊆ （B ）B A ⊆（C ）AB =∅ （D ）A B ≠∅2．在复平面内，复数=(12i)(1i)z +-对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（ ）（A（B）2（C（D）24．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ） （A ） 2A Î，且4A Î （BA ，且4A Î（C ） 2A Î，且A （DAA俯视图侧(左)视图5．设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6．在△ABC 中，若4a =，3b =，1cos 3A =，则B =（ ） （A ）π4 （B ）π3 （C ）π6（D ）2π37. 设函数2244, ,()log , 4.x x x f x x x -+⎧=⎨>⎩≤ 若函数()y f x =在区间(,1)a a +上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） （A ）(,1]-∞ （B ）[1,4]（C ）[4,)+∞（D ）(,1][4,)-∞+∞8. 设Ω为平面直角坐标系xOy 中的点集，从Ω中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为()x Ω，点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为()y Ω.如果Ω是边长为1的正方形，那么()()x y Ω+Ω的取值范围是（ ） （A）（B）（C）（D）[1第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在等差数列{}n a 中，11a =，47a =，则公差d =_____；12n a a a +++=____.10．设抛物线2 4C y x =：的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，且点M 的横坐标为2，则||MF = .11．执行如图所示的程序框图，输出的a 值为______．12．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组0,0,80x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤所表示的平面区域是α，不等式组440,0x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤所表示的平面区域是β. 从区域α中随机取一点(,)P x y ，则P 为区域β内的点的概率是_____． 13．已知正方形ABCD ，AB =2，若将ABD ∆沿正方形的对角线BD 所在的直线进行翻折，则在翻折的过程中，四面体A BCD -的体积的最大值是____.14．已知f 是有序数对集合**{(,)|,}M x y x yN N =挝上的一个映射，正整数数对(,)x y 在映射f下的象为实数z ，记作(,)f x y z =. 对于任意的正整数,()m n m n >，映射f 由下表给出：(,)x y (,)n n (,)m n (,)n m (,)f x yn m n -m n +则(3,5)f =__________，使不等式(2,)4x f x ≤成立的x 的集合是_____________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos (sin cos )1f x x x x =-+.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当π[,0]2x ∈-时，求函数()f x 的最大值和最小值.16．（本小题满分13分）为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A ，B 两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：A 班5名学生的视力检测结果：4.3，5.1，4.6，4.1，4.9.B 班5名学生的视力检测结果：5.1，4.9，4.0，4.0，4.5.（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？ （Ⅱ）由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？（结论不要求证明） （Ⅲ）根据数据推断A 班全班40名学生中有几名学生的视力大于4.6?17．（本小题满分14分）如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，12AA =，E 为1AA 的中点，O 为1BD 的中点. （Ⅰ）求证：平面11A BD ⊥平面11ABB A ； （Ⅱ）求证：//EO 平面ABCD ；（Ⅲ）设P 为正方体1111D C B A ABCD -棱上一点，给出满足条件OP 的点P 的 个数，并说明理由.18．（本小题满分13分）已知函数2e ()1xf x ax x =++，其中a ∈R .（Ⅰ）若0a =，求函数()f x 的定义域和极值；1（Ⅱ）当1a =时，试确定函数()()1g x f x =-的零点个数，并证明.19．（本小题满分14分）设12,F F 分别为椭圆22: 12x W y +=的左、右焦点，斜率为k 的直线l 经过右焦点2F ，且与椭圆W 相交于,A B 两点. （Ⅰ）求1ABF ∆的周长；（Ⅱ）如果1ABF ∆为直角三角形，求直线l 的斜率k .20．（本小题满分13分）在无穷数列{}n a 中，11a =，对于任意*n ∈N ，都有*n a ∈N ，1n n a a +<. 设*m ∈N ， 记使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b .（Ⅰ）设数列{}n a 为1，3，5，7，，写出1b ，2b ，3b 的值；（Ⅱ）若{}n a 为等比数列，且22a =，求12350b b b b ++++的值；（Ⅲ）若{}n b 为等差数列，求出所有可能的数列{}n a .参考答案及评分标准高三数学（文科） 2014.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．A 3．C 4．D5．B 6．A 7．D 8．B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．2 2n 10．3 11．2- 12．1213．14．8 {1,2} 注：第9，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：2()sin cos cos 1f x x x x =-+11cos 2sin 2122xx +=-+ ……………… 4分 111sin 2cos 2222x x =-+π1)42x =-+， ……………… 6分 所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. ……………… 7分 （Ⅱ）解：由 π02x -≤≤，得5πππ2444x --≤≤-.所以 π1sin(2)42x --≤， ……………… 9分所以π1)42x -+≤1，即 ()1f x ≤. ……… 11分当ππ242x -=-，即π8x =-时，函数()f x 取到最小值π1()82f -=；… 12分 当π5π244x -=-，即π2x =-时，函数()f x 取到最大值π(12f -=. …………13分 16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：A 班5名学生的视力平均数为A 4.3+5.1+4.6+4.1 4.9==4.65x +， ………… 2分B 班5名学生的视力平均数为B 5.1+4.9+4.0+4.0 4.5==4.55x +. …………… 3分从数据结果来看A 班学生的视力较好. ……………… 4分 （Ⅱ）解：B 班5名学生视力的方差较大. ……………… 8分 （Ⅲ）解：在A 班抽取的5名学生中，视力大于4.6的有2名，所以这5名学生视力大于4.6的频率为25． ……………… 11分 所以全班40名学生中视力大于4.6的大约有240165⨯=名，则根据数据可推断A 班有16名学生视力大于4.6． ……………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在正方体1111D C B A ABCD -中，因为 11A D ⊥平面11ABB A ，11A D ⊂平面11A BD ，所以平面11A BD ⊥平面11ABB A . ……………… 4分 （Ⅱ）证明：连接BD ，AC ，设BDAC G =，连接OG .因为1111D C B A ABCD -为正方体， 所以 1//DD AE ，且121DD AE =，且G 是BD又因为O 是1BD 的中点，所以 1//DD OG ，且121DD OG =，所以 AE OG //，且AE OG =，即四边形AGOE 是平行四边形，所以//EO AG ， ……………… 6分 又因为 EO ⊄平面ABCD ，⊂AG 平面ABCD ，所以 //EO 平面ABCD . ……………… 9分 （Ⅲ）解：满足条件OP 的点P 有12个. ……………… 12分理由如下：因为 1111D C B A ABCD -为正方体，12AA =， 所以 AC = 1所以 12EO AG AC === ……………… 13分 在正方体1111D C B A ABCD -中，因为 1AA ⊥平面ABCD ，AG ⊂平面ABCD ， 所以 1AA AG ⊥， 又因为 //EO AG ，所以 1AA OE ⊥，则点O 到棱1AA所以在棱1AA 上有且只有一个点（即中点E ）到点O同理，正方体1111D C B A ABCD -每条棱的中点到点O所以在正方体1111D C B A ABCD -棱上使得OP =的点P 有12个. ……… 14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数e ()1xf x x =+的定义域为{|x x ∈R ，且1}x ≠-. ……………… 1分22e (1)e e ()(1)(1)x x xx x f x x x +-'==++. ……………… 3分 令()0f x '=，得0x =，当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：∞……………… 4分故()f x 的单调减区间为(,1)-∞-，(1,0)-；单调增区间为(0,)+∞．所以当0x =时，函数()f x 有极小值(0)1f =. ……………… 5分 （Ⅱ）解：结论：函数()g x 存在两个零点.证明过程如下：由题意，函数2e ()11xg x x x =-++， 因为 22131(024x x x ++=++>， 所以函数()g x 的定义域为R . ……………… 6分求导，得22222e (1)e (21)e (1)()(1)(1)x x x x x x x x g x x x x x ++-+-'==++++， ………………7分令()0g x '=，得10x =，21x =，当x 变化时，()g x 和()g x '的变化情况如下：∞故函数()g x 的单调减区间为(0,1)；单调增区间为(,0)-∞，(1,)+∞．当0x =时，函数()g x 有极大值(0)0g =；当1x =时，函数()g x 有极小值e(1)13g =-. ……………… 9分因为函数()g x 在(,0)-∞单调递增，且(0)0g =，所以对于任意(,0)x ∈-∞，()0g x ≠. ……………… 10分 因为函数()g x 在(0,1)单调递减，且(0)0g =，所以对于任意(0,1)x ∈，()0g x ≠. ……………… 11分因为函数()g x 在(1,)+∞单调递增，且e (1)103g =-<，2e (2)107g =->， 所以函数()g x 在(1,)+∞上仅存在一个0x ，使得函数0()0g x =， ………… 12分 故函数()g x 存在两个零点（即0和0x ）. ……………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：椭圆W 的长半轴长a =1(1,0)F -，右焦点2(1,0)F ， … ……… 2分由椭圆的定义，得12||||2AF AF a +=，12||||2BF BF a+=， 所以1ABF ∆的周长为1212||||||||4AF AF BF BF a +++== ……………… 5分（Ⅱ）解：因为1ABF ∆为直角三角形，所以o 190BF A ∠=，或o 190BAF ∠=，或o190ABF ∠=， 当o 190BF A ∠=时，设直线AB 的方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ， ……………… 6分由 221,2(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得 2222(12)4220k x k x k +-+-=， ……………… 7分所以 2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+. ……………… 8分由o190BF A ∠=，得110F A F B ⋅=， ……………… 9分因为111(1,)F A x y =+，122(1,)F B x y =+， 所以11121212()1F A F B x x x x y y ⋅=++++2121212()1(1)(1)x x x x k x x =++++-- 2221212(1)(1)()1k x x k x x k =++-+++2222222224(1)(1)101212k k k k k k k-=+⨯+-⨯++=++， ……………10分解得k = ……………… 11分 当o190BAF ∠=（与o190ABF ∠=相同）时，则点A 在以线段12F F 为直径的圆221x y +=上，也在椭圆W 上，由22221,21,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得(0,1)A ，或(0,1)A -， ……………… 13分 根据两点间斜率公式，得1k =±，综上，直线l 的斜率7k =±，或1k =±时，1ABF ∆为直角三角形. ……………14分20．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：11b =，21b =，32b =. ……………… 3分 （Ⅱ）解：因为{}n a 为等比数列，11a =，22a =，所以12n n a -=， ……………… 4分 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以11b =，232b b ==，45673b b b b ====，89154b b b ====， 1617315b b b ====，3233506b b b ====， ……………… 6分所以12350243b b b b ++++=. ……………… 8分（Ⅲ）解：由题意，得1231n a a a a =<<<<<， 结合条件*n a ∈N ，得n n a ≥. ……………… 9分 又因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，使得1n a m +≤成立的n 的最大值为1m b +，所以11b =，*1()m m b b m +∈N ≤. ……………… 10分 设2 a k =，则 2k ≥.假设2k >，即2 >2a k =，则当2n ≥时，2n a >；当3n ≥时，1n k a +≥.所以21b =，2k b =.因为{}n b 为等差数列，所以公差210d b b =-=，所以1n b =，其中*n ∈N .这与2(2)k b k =>矛盾，所以22a =. ……………… 11分 又因为123n a a a a <<<<<，所以22b =，由{}n b 为等差数列，得n b n =，其中*n ∈N . ……………… 12分 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ， 所以n n a ≤，由n n a ≥，得n n a =. ……………… 13分。

2014年高三二模数学(文)北京市西城区试题Word版带解析

2014年高三二模数学(文)北京市西城区试题Word版带解析

北京市西城区2014年高三二模试卷数 学（文科） 2014.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|20}A x x =-<，集合{|1}B x x =>，则（ ） （A ）A B ⊆（B ）B A ⊆（C ）AB =∅ （D ）A B ≠∅解析：{|20}{|2}A x x x x =-<=<，所以答案D. 知识点;集合与常用逻辑用语--------集合的运算 难度系数：22．在复平面内，复数=(12i)(1i)z +-对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限解析：2=(12i)(1i)1223z i i i i +-=-+-=+，所以对应的点是（3,1）点在第一象限。

知识点; 推理与证明、数系的扩充与复数--------复数---复数乘除和乘方 难度系数：23．直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（ ）（A （B ）2（C （D ）2解析：双曲线的渐近线方程为b y x a =±，2222222,,5,5,bc a b c a e e a∴==+===，所以答案为C知识点：解析几何---------圆锥曲线--------双曲线 难度系数：34．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ） （A ） 2A ∈，且4A ∈ （BA ，且4A ∈（C ） 2A ∈，且A （DAA解析：有三视图可得，该四棱锥是底面边长的正方形，高为4的正四棱锥，所以=D 。

知识点：立体几何-------空间几何体----------空间几何体的三视图和直观图 难度系数：25．设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件解析：平面向量a ，b ，c 均为非零向量，()0⋅-=a b c ，可以得出=b c 或者()⊥-a b c ；所以为必要不充分条件。

北京市西城区高三二模数学文科试题 Word版含答案

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西城区高三模拟测试高三数学（文科）2017.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|11}A x x =∈-<<R ，{|(2)0}B x x x =∈⋅-<R ，那么A B = （A ）{|01}x x ∈<<R （B ）{|02}x x ∈<<R （C ）{|10}x x ∈-<<R（D ）{|12}x x ∈-<<R2．设向量(2,1)=a ，(0,2)=-b ．则与2+a b 垂直的向量可以是 （A ）(3,2)（B ）(3,2)-（C ）(4,6)（D ）(4,6)-3．下列函数中，值域为[0,1]的是 （A ）2y x = （B ）sin y x = （C ）211y x =+ （D）y 4．若抛物线2y ax =的焦点到其准线的距离是2，则a =（A ）1± （B ）2± （C ）4± （D ）8±5．设a ，0b ≠，则“a b >”是“11a b<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．在平面直角坐标系中，不等式组,020,0y x y -+⎨⎪⎪⎩≤≥≥表示的平面区域的面积是（A（B（C ）2 （D）7．某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为（A ）43 （B ）2（C ）83（D ）48．函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是 （A ）(2,)+∞ （B ）(1,)+∞（C ）1(,)2+∞（D ）1(,)4+∞第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在复平面内，复数z 对应的点是(1,2)Z -，则复数z 的共轭复数z =____．10．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____．11．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若π3A =，a =1b =，则c =____．12．已知圆22:1O x y +=．圆O '与圆O 关于直线20x y +-=对称，则圆O '的方程是____．13．函数22, 0,()log , 0.x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤则1()4f =____；方程1()2f x -=的解是____．14．某班开展一次智力竞赛活动，共a ，b ，c 三个问题，其中题a 满分是20分，题b ，c 满分都是25分．每道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题．答对题a 与题b 的人数之和为29，答对题a 与题c 的人数之和为25，答对题b 与题c 的人数之和为20．则该班同学中只答对一道题的人数是____；该班的平均成绩是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数π()tan()4f x x =+．（Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设β是锐角，且π()2sin()4f ββ=+，求β的值．16．（本小题满分13分）某大学为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]，得到A 餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表：（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A 餐厅评分低于30的人数；（Ⅱ）从对B 餐厅评分在[0,20)范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率；（Ⅲ）如果从A ，B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．17．（本小题满分13分）设{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列，{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列．记n n n c a b =+，1,2,3,n =．（Ⅰ）若{}n c 是等差数列，求q 的值；B 餐厅分数频数分布表（Ⅱ）求数列{}n c 的前n 项和n S ．18．（本小题满分14分）如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，//EF CD ，CD EA ⊥，22CD EF ==，ED =M 为棱FC 上一点，平面ADM 与棱FB 交于点N ．（Ⅰ）求证：ED CD ⊥； （Ⅱ）求证：//AD MN ；（Ⅲ）若AD ED ⊥，试问平面BCF 是否可能与平面ADMN 垂直？若能，求出FMFC的值；若不能，说明理由．19．（本小题满分13分）已知函数()ln 2af x x x =+-，其中a ∈R ． （Ⅰ）给出a 的一个取值，使得曲线()y f x =存在斜率为0的切线，并说明理由； （Ⅱ）若()f x 存在极小值和极大值，证明：()f x 的极小值大于极大值．20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，且过点P ．直线y m =+与椭圆C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求PAB △的面积的最大值；（Ⅲ）设直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ．判断||PM ，||PN 的大小关系，并加以证明．西城区高三模拟测试高三数学（文科）参考答案及评分标准2017.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．A 2．A 3．D4．C 5．D6．B7．A8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．12i +10．711．212．22(2)(2)1x y -+-=13．2-；114．4；42注：第13、14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由πππ42x k +≠+，得ππ4x k ≠+，k ∈Z ． [ 3分] 所以 函数()f x 的定义域是π{|π,}4x x k k ≠+∈Z ．[ 4分]（Ⅱ）依题意，得ππtan()2sin()44ββ+=+． [ 5分]所以πsin()π42sin()π4cos()4βββ+=++．① [ 7分] 因为β是锐角，所以 ππ3π444β<+<，[ 8分]所以πsin()04β+>，[ 9分] ①式化简为π1cos()42β+=． [10分]所以 ππ43β+=，[12分] 所以π12β=． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由A 餐厅分数的频率分布直方图，得对A 餐厅评分低于30的频率为(0.0030.0050.012)100.2++⨯=，[ 2分]所以，对A 餐厅评分低于30的人数为1000.220⨯=． [ 3分] （Ⅱ）对B 餐厅评分在[0,10)范围内的有2人，设为12M ,M ；对B 餐厅评分在[10,20)范围内的有3人，设为123N ,N ,N ． 从这5人中随机选出2人的选法为：12(M ,M )，11(M ,N )，12(M ,N )，13(M ,N )，21(M ,N )，22(M ,N )，23(M ,N )，12(N ,N )，13(N ,N )，23(N ,N )，共10种．[ 7分]其中，恰有1人评分在[0,10)范围内的选法为：11(M ,N )，12(M ,N )，13(M ,N )，21(M ,N )，22(M ,N )，23(M ,N )，共6种．[ 9分]故2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率为63105P ==．[10分] （Ⅲ）从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看：由（Ⅰ）得，抽样的100人中，A 餐厅评分低于30的人数为20， 所以，A 餐厅得分低于30分的人数所占的比例为20%． B 餐厅评分低于30的人数为23510++=，所以，B 餐厅得分低于30分的人数所占的比例为10%．所以会选择B 餐厅用餐． [13分] 注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可．17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，所以 21n a n =-．[ 2分]因为 {}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列，所以1n n b q -=．[ 4分]所以121n n n n c a b n q -=+=-+．[ 5分]因为 {}n c 是等差数列， 所以2132c c c =+，[ 6分]即 22(3)25q q +=++，解得 1q =．[ 7分]经检验，1q =时，2n c n =，所以{}n c 是等差数列．[ 8分]（Ⅱ）由（Ⅰ）知121(1,2,)n n c n qn -=-+=．所以121111111(21)nnnnnnk k n k k k k k k k k k S c a b k qn q --========+=-+=+∑∑∑∑∑∑．[10分]当1q =时，2n S n n =+．[11分]当1q ≠时，211n n q S n q -=+-．[13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为ABCD 为矩形，所以CD AD ⊥．[ 1分]又因为CD EA ⊥，[ 2分] 所以CD ⊥平面EAD ．[ 3分] 所以ED CD ⊥．[ 4分]（Ⅱ）因为ABCD 为矩形，所以//AD BC ，[ 5分]所以//AD 平面FBC ．[ 7分] 又因为平面ADMN平面FBC MN =，所以//AD MN ．[ 8分]（Ⅲ）平面ADMN 与平面BCF 可以垂直．证明如下：[ 9分]连接DF ．因为AD ED ⊥，AD CD ⊥， 所以AD ⊥平面CDEF ．[10分] 所以AD DM ⊥．因为//AD MN ，所以DM MN ⊥．[11分] 因为平面ADMN平面BCF MN =，若使平面ADMN ⊥平面BCF ，则DM ⊥平面BCF ，所以DM FC ⊥．[12分]在梯形CDEF 中，因为//EF CD ，ED CD ⊥，22CD EF ==，ED = 所以2DF DC ==．所以若使DM FC ⊥能成立，则M 为FC 的中点． 所以12FM FC =．[14分] 19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是{|0D x x =>，且2}x ≠，且21()(2)a f x xx '=-+-．[ 2分]当1a =时，曲线()y f x =存在斜率为0的切线．证明如下：[ 3分] 曲线()y f x =存在斜率为0的切线⇔方程()0f x '=存在D 上的解． 令2110(2)xx -+=-，整理得2540x x -+=， 解得1x =，或4x =．所以当1a =时，曲线()y f x =存在斜率为0的切线．[ 5分] 注：本题答案不唯一，只要0a >均符合要求． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 21()(2)a f x xx '=-+-．①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在区间(0,2)和(2,)+∞上单调递增，无极值，不合题意．[ 6分] ②当0a >时，令()0f x '=，整理得2(4)40x a x -++=． 由2[(4)]160a ∆=-+->，所以，上述方程必有两个不相等的实数解1x ，2x ，不妨设12x x <．由121244,4,x x a x x +=+>⎧⎨=⎩得1202x x <<<．[ 8分]()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 存在极大值1()f x ，极小值2()f x ．[10分]2121212121()()(ln )(ln )()(ln ln )2222a a a af x f x x x x x x x x x -=+-+=-+-----． [11分]因为1202x x <<<，且0a >， 所以21022a a x x ->--，21ln ln 0x x ->， 所以 21()()f x f x >．所以()f x 的极小值大于极大值．[13分]20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的半焦距为c ．因为椭圆C所以 2222222112c a b b a a a -==-=， 即 222a b =．[ 1分] 由22222,211,a b a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 解得 224,2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩[ 3分] 所以椭圆C 的方程为22142x y +=．[ 4分]（Ⅱ）将y m =+代入22142x y +=， 消去y整理得2220x m +-=．[ 5分] 令2224(2)0m m ∆=-->，解得22m -<<． 设1122(,),(,)A x y B x y ．则12x x +=，2122x x m =-．所以AB[ 6分]点P到直线0x=的距离为d==．[ 7分] 所以PAB△的面积12S AB d=⋅|m==[ 8分]当且仅当m=S=所以PAB△[ 9分]（Ⅲ）||||PM PN=．证明如下：[10分]设直线PA，PB的斜率分别是1k，2k，则12k k+==．[11分]由（Ⅱ）得1221(1)((1)(y x y x-+-12211)(1)(x m x m x=+--++-1212(2)()1)x m x x m=+-+--22)(2)()1)m m m=-+---=，所以直线PA，PB的倾斜角互补．[13分]所以12∠=∠，所以PMN PNM∠=∠．所以||||PM PN=．[14分]。

(全优试卷)北京市西城区高三5月模拟测试(二模)数学(文)试题Word版含答案

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西城区高三模拟测试数学（文科）2018.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1（A（B（C（D2（A（B（C（D3（A（B（C（D4．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧棱长是（A（B（C（D5（A（B（C（D6（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件7．设不等式组（A（B（C（D8．地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（A）A （B）B （C）D （D）E第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9____．10____．11．12____．13．为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4万棵，计划3年后全年植树12.5．14．范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）16．（本小题满分13分）17．（本小题满分13分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a，b的值；（Ⅱ）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；（III）某研究机构提出，随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率．18．（本小题满分14分）19．（本小题满分13分）20．（本小题满分14分）全优试卷．．西城区高三模拟测试数学（文科）参考答案及评分标准2018.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．A 3．D 4．B5．D 6．D 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.910111213．25% 14注：第12题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：依题意，得 (2)分解得或 (4)分所以 (6)分（Ⅱ）因为 (7)分所以 (9)分 (11)分 (13)分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由 (2)分得 (3)分所以 (4)分 (5)分（Ⅱ）因为 (7)分 (9)分 (11)分由（Ⅰ）得所以 (12)分所以 (13)分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为 (2)分 (4)分（Ⅱ）指标检测值不低于5的样本中，37人． (6)分此地区该项身体指标检测值不低于5 (8)分100个样本数据中， (10)分 (12)分 (13)分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为所以所以……2分因为3分所以4分因为所以所以 (6)分因为所以所以所以所以 (7)分因为所以所以 (8)分所以 (9)分所以 (10)分（Ⅲ）设由（Ⅰ）得由（Ⅱ）得所以所以 (11)分由（Ⅱ）得所以 (12)分 (14)分19．（本小题满分13分）解： (2)分依题意，有即 (4)分解得 (5)分所以 (8)分因为所以 (9)分设 (10)分则故 (11)分所以即 (12)分故 (13)分20．（本小题满分14分）解：且 (2)分解得 (3)分所以 (4)分（Ⅱ）（ⅰ）由 (5)分由得 (6)分设则 (8)分由 (9)分所以 (10)分因为所以所以 (12)分 (14)分。

北京市西城区年高三二模数学文科答案

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中国威望高考信息资源门户北京市西城区2014 年高三二模试卷参照答案及评分标准高三数学（文科）2014.5一、：本大共8小，每小5分，共 40 分.1．D2． A3． C4． D5．B6． A7 ．D8． B二、填空：本大共6小，每小5分，共 30 分.9．2n210．311．212．122214．8{1,2}13．3注：第 9，14第一2分，第二 3 分 .三、解答：本大共6小，共 80 分.其余正确解答程，参照分准分. 15．（本小分13 分）（Ⅰ）解： f ( x) sin x cosx cos2 x11sin 2x 1 cos2x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 422分1sin 2x 1cos 2x12222π1⋯⋯⋯⋯⋯⋯6sin(2 x)，242分因此函数 f (x) 的最小正周期T2ππ.⋯⋯⋯⋯⋯⋯72分（Ⅱ）解：由π≤ 0，得5πππ≤ x4≤ 2x≤-.244π2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯9因此 1≤ sin(2 x) ≤42中国威望高考信息资源门户分因此2 1 2 sin(2 xπ 1 2 1≤ f (x) ≤ 1 .⋯⋯⋯112 ≤2 )≤1，即422分πππ 取到最小f (π2 1当 2x，即 x，函数 f ( x) )2 ；⋯ 124288分π5π πf (π1.⋯⋯⋯⋯ 13当 2x，即 x 2 ，函数 f ( x) 取到最大)442分16．（本小 分 13 分）（Ⅰ） 解：A 班5名学生的 力均匀数x A = 4.3+5.1+4.6+4.14.9=4.6 ， ⋯⋯⋯⋯ 25分B 班 5 名学生的 力均匀数x B = 5.1+4.9+4.0+4.04.5=4.5 .⋯⋯⋯⋯⋯35分从数据 果来看 A 班学生的 力 好 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（Ⅱ） 解：B 班 5名学生 力的方差 大 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分（Ⅲ） 解：在 A 班抽取的 5 名学生中， 力大于 4.6 的有 2 名，因此 5 名学生 力大于4.6 的 率 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯115分因此全班40 名学生中 力大于4.6 的大 有40216 名，A165依据数据可推测班有 名学生 力大于4.6⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13．分17．（本小 分14 分）（Ⅰ） 明：在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，因A 1 D 1平面ABB 1 A 1 ，A 1D 1平面A 1 BD 1 ，中国威望高考信息资源门户因此平面 A 1 BD 1 平面 ABB 1 A 1 .分（Ⅱ） 明： 接 BD ， AC ， BDAC G ， 接 OG .因 ABCDA 1B 1C 1D 1 正方体，因此AE // DD 1，且 AE1DD 1 ，且 G 是 BD 的中点，2A 1又因 O 是 BD 1 的中点，因此 OG // DD 1 ，且 OG1DD 1，E2因此 OG // AE ，且 OG AE ，A即四 形 AGOE 是平行四 形， 因此 EO //AG ，又因EO 平面 ABCD ， AG平面 ABCD ，因此 EO // 平面 ABCD .分（Ⅲ） 解： 足条件 OP 2的点 P 有12 个 .分原因以下：因ABCDA 1B 1C 1D 1 正方体， AA 1 2 ，因此 AC 2 2.因此 EO AG 1AC2 .2分在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，因 AA 1平面 ABCD ， AG 平面 ABCD ，因此 AA 1AG ，又因 EO//AG ，因此AA 1 OE ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯4D 1C 1B 1ODCGB⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯9⋯⋯⋯⋯⋯⋯12⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13中国威望高考信息资源门户点O 到棱AA 1 的距离2 ，因此在棱AA 1 上有且只有一个点（即中点E ）到点O 的距离等于2 ，同理，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1 每条棱的中点到点O 的距离都等于2 ，因此在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1 棱上使得OP2的点P有12个 .⋯⋯⋯14分18. （本小 分 13 分）（Ⅰ） 解：函数 f (x)e x 的定 域 { x | x R ，且 x 1} .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1x1分e x ( x1) e xxe x⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分f ( x)(x22.1) ( x 1)令 f ( x)0 ，得 x0 ，当 x 化 ，f ( x) 和 f ( x) 的 化状况以下：( ,1)( 1,0)(0,)xf ( x)f (x)↘ ↘ ↗⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分故 f ( x) 的 减区 ( , 1)， ( 1,0) ； 增区 (0, ) ．因此当 x 0 ，函数f ( x) 有极小 f (0)1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5分（Ⅱ） 解： ：函数 g(x) 存在两个零点 .明程以下：e x由意，函数g( x)x2x 11，因 x2x 1 (x 1 )230 ，24因此函数 g( x) 的定域R .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6分x2x1)x x1)e (x e (2x 1)ex (x⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7求，得 g (x)( x2x1)2( x2x1) 2，分令 g ( x)0 ，得 x10 ， x2 1 ，当 x 化，g (x)和g (x)的化状况以下：x(, 0)01(1, )(0,1)g ( x)0g ( x)↗↘↗故函数 g( x) 的减区 ( 0,1)；增区 (,0)，(1,)．当x0，函数 g( x)有极大g( 0 )；当x1，函数 g (x) 有极小g(1)e1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 3分因函数 g( x) 在(, 0)增，且 g(0)0，因此于随意 x (, 0)， g(x)0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分因函数 g( x) 在( 0,1)减，且g(0) 0 ，因此于随意x (0,1) ，g (x)0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分因函数 g( x) 在(1,) 增，且e0 ， g (2)e2g (1)1 1 0 ，37因此函数 g(x) 在(1,) 上存在一个x0，使得函数g( x0 )0 ，⋯⋯⋯⋯12分故函数 g( x) 存在两个零点（即0 和 x0）.⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分19．（本小分14 分）（Ⅰ）解：W的半a 2 ，左焦点F1 ( 1,0) ，右焦点F2 (1,0) ，⋯⋯⋯⋯2分由的定，得|AF1||AF2|2a ，|BF1|| BF2|2a，因此ABF1的周|AF1||AF2||BF1|| BF2|4a4 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（Ⅱ）解：因ABF1直角三角形，因此BF1A 90o，或BAF190o，或ABF190o，当 BF1 A 90o，直 AB 的方程y k( x 1) ，A(x1, y1)，B( x2, y2)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分x2y 21,得 (1 2k2 )x24k 2 x 2k 2由2 2 0 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 y k ( x1),分因此 x1x24k 22， x1 x22k 22⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 2k 1 2k2.1分由 BFA90o，得 F A F B0 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 111分因 F1A(x1 1, y1 ) ， F1B ( x21, y2 ) ，因此F1 A F1 B x1x2( x1x2 ) 1 y1 y2x1x2( x1x2 ) 1 k 2 (x1 1)( x21)(1 k 2 ) x1 x2(1 k 2 )( x1 x2 ) 1 k 2(1k 2 )2k22(1 k 2 )4k 2 1 k 20 ，⋯⋯⋯⋯⋯1012k212k 2分7解得 k.⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 7分当BAF190o（与ABF190o同样），点 A 在以段 F1F2直径的 x2y21上，也在W 上，x2y21,，或 A(0,1) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13由2解得 A(0,1)x2y21,分依据两点斜率公式，得 k 1 ，上，直 l 的斜率 k7k1，ABF1直角三角形.⋯⋯⋯⋯⋯14，或7分20．（本小分13 分）（Ⅰ）解： b1， b1， b 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 123分（Ⅱ）解：因 { a n} 等比数列，a1 1， a2 2 ，因此 a2n 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 n分因使得 a n≤m 建立的 n 的最大 b m，中国威望高考信息资源门户因此 b11， b2b3 2 ， b4b5b6b7 3 ， b8 b9b15 4 ，b 16b17b31 5 ， b32b33b50 6 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分因此 b1b2b3b50243 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分（Ⅲ）解：由意，得 1a1 a2a3a n，合条件 a n N*，得 a n≥n.⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分又因使得a n≤m 建立的 n 的最大b m，使得 a n≤ m 1 建立的 n 的最大b m 1，因此 b11， b m≤b m 1 (m N *).⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分a2k， k≥ 2 .假 k2，即a2k >2 ，当 n≥2，a n 2 ；当n≥3， a n≥k 1.因此 b21， b k 2 .因 { b n } 等差数列，因此公差 d b2b10 ，因此 b n1，此中n N *.与 b k2(k2)矛盾，因此 a2 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11分又因 a a a an ，123因此 b 2 ，2中国威望高考信息资源门户由 {b n } 等差数列，得b n n ，此中n N *.⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分因使得 a n≤m 建立的 n 的最大 b m，因此 a n≤n，由 a n≥n，得 a n n .⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分更多下：（在文字上按住ctrl即可看）高考模：高考各科模【下】年高考：年高考各科【下】高中卷道：高中各年各科卷【下】高考源：各年及学料【下】点此接可看更多高考有关【下】。

北京市西城区2014届高三二模试卷数学文

北京市西城区2014届高三二模试卷数学文

北京市西城区2014年高三二模试卷数 学（文科） 2014.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集{|02}U x x =<<，集合1{|0}A x x =<≤，则集合U A =ð（ ）（A ）(0,1) （B ）(0,1]（C ）(1,2)（D ）[1,2)2．已知平面向量(2,1)=-a ，(1,3)=b ，那么|a +b |等于（ ） （A ）5 （B（C（D ）133．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为（ ） （A（B ）2（C（D4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） （A ）2 （B ）43（C ）4 （D ）5正(主)视图俯视图侧(左)视图6． 设0a >，且1a ≠，则“函数log a y x =在(0,)+∞上是减函数”是“函数3(2)y a x =-在R 上是增函数”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n *∈N 年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ） （A ）4 （B ）5（C ）6（D ）78. 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）（A ） 4个 （B ）6个（C ）10个（D ）14个5．下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ ）（A ）()sin =f x x （B ）()sin 2=f x x （C ）()cos =f x x （D ）()cos 2=f x xBADC. P第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．设复数1ii 2ix y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______．10．若抛物线2:2C y px =的焦点在直线20x y +-=上，则p =_____；C 的准线方程为_____．11．已知函数3, 0,()1, 0,1≤+⎧⎪=⎨>⎪+⎩x x f x x x 若0()2=f x ，则实数0=x ______；函数()f x 的最大值为_____．12．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那么输出的a 值为______．13．若不等式组1,0,26,ax y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是__________.14．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，2BC =，P 为线段AD （含端点）上一个动点. 设AP xAD =，PB PC y ⋅=，记()=y f x ，则(1)=f ____； 函数()f x 的值域为_________.A D C P三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知222b c a bc +=+.（Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）如果cos =B ，2b =，求a 的值. 16．（本小题满分13分）某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a ，b ，c 的值；（Ⅱ）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不．是次品的概率； （Ⅲ）某人从这批灯泡中随机地购买了()*∈n nN 个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按．三个．．等级分层抽样．．．．．．所得的结果相同，求n 的最小值.17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是矩形，2AD AB =，SA SD =，SA AB ⊥， N 是棱AD 的中点.（Ⅰ）求证：//AB 平面SCD ； （Ⅱ）求证：SN ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）在棱SC 上是否存在一点P ，使得平面⊥PBD 平面ABCD ?若存在，求出SPPC的值；若不存在，说明理由. 18．（本小题满分13分）已知函数()ln af x x x=-，其中a ∈R ． （Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）如果对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆22221(0)x y W a b a b+=>>：的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆W 的方程.（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 与W 相交于,A B 两点，记AOB ∆面积的最大值为k S ，证明：12S S =.20．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，1()n a n n*=∈N . 从数列{}n a 中选出(3)k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列. 例如数列1111,,,2358为{}n a 的一个4项子列.（Ⅰ）试写出数列{}n a 的一个3项子列，并使其为等比数列；（Ⅱ）如果{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列，且{}n b 为等差数列，证明：{}n b 的公差d 满足104d -<<； （Ⅲ）如果{}n c 为数列{}n a 的一个6项子列，且{}n c 为等比数列，证明：1234566332c c c c c c +++++≤.北京市西城区2014年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科） 2014.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．B 3．D 4．C 5．D 6．A 7．B 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．25-10．4 2=-x 11．1- 3 12．25613． (3,5) 14．1 4[,4]5注：第10、11、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为 222b c a bc +=+，所以 2221cos 22b c a A bc +-==， ……………… 4分又因为 (0,π)∈A ，所以 π3A =. ……………… 6分（Ⅱ）解：因为 cos 3=B ，(0,π)∈B ，所以 sin B ==， ………………8分由正弦定理 sin sin =a bA B， ………………11分得 sin 3sin ==b Aa B. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：0.15a =，30b =，0.3=c . ……………… 3分（Ⅱ）解：设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件A . ……………… 4分由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个， 所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为100604()2005+==P A . …………… 8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为60:100:403:5:2=. (10)分所以按分层抽样法，购买灯泡数 35210()*=++=∈n k k k k k N ，所以n 的最小值为10． ……………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是矩形，所以 //AB CD ， ……………… 1分又因为 AB ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD ，所以 //AB 平面SCD . ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为 , , AB SA AB AD SAAD A ⊥⊥=，所以 ⊥AB 平面SAD ， ……………… 5分又因为 SN ⊂平面SAD ，所以 AB SN ⊥. ……………… 6分因为 SA SD =，且N 为AD 中点， 所以 SN AD ⊥. 又因为 ABAD A =，所以 SN ⊥平面ABCD . ……………… 8分（Ⅲ）解：如图，连接BD 交NC 于点F ，在平面SNC 中过F 作//FP SN 交SC 于点P ，连接PB ，PD .因为 SN ⊥平面ABCD ，所以 FP ⊥平面ABCD . (11)又因为 FP ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABCD . …………… 12在矩形ABCD 中，因为//ND BC ， 所以12NF ND FC BC ==. 在SNC ∆中，因为//FP SN ， 所以12NF SP FC PC ==. 则在棱SC 上存在点P ，使得平面⊥PBD 平面ABCD ，此时12SP PC =. ……… 14分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由2()ln f x x x=-，得212()f x x x '=+， (2)分所以 (1)3f '=， 又因为 (1)2f =-，所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为350x y --=. ……………… 4分（Ⅱ）解：由 ()2f x x >-+，得ln 2ax x x->-+， 即 2ln 2a x x x x <+-. ……………… 6分设函数2()ln 2g x x x x x =+-，则 ()ln 21g x x x '=+-， ……………… 8分因为(1,)x ∈+∞，所以ln 0x >，210x ->，所以当(1,)x ∈+∞时，()ln 210g x x x '=+->， ……………… 10分故函数()g x 在(1,)x ∈+∞上单调递增，所以当(1,)x ∈+∞时，()(1)1g x g >=-. ……………… 11分因为对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+成立， 所以对于任意(1,)x ∈+∞，都有()a g x <成立.所以1a -≤. ……………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得椭圆W 的半焦距1c =，右焦点(1,0)F ，上顶点(0,)M b ，…… 1分 所以直线MF 的斜率为0101-==--MF b k ， 解得 1b =， ……………… 3分由 222a b c =+，得22a =，所以椭圆W 的方程为2212x y +=. ……………… 5分（Ⅱ）证明：设直线l 的方程为y kx m =+，其中1k =或2，11(,)A x y ，22(,)B x y .… 6分由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=， ……………… 7分所以 2216880k m ∆=-+>， （*）由韦达定理，得122412km x x k -+=+, 21222212m x x k -=+. (8)分所以||AB == (9)分因为原点O 到直线y kx m =+的距离d =， (10)分所以 1||2AOB S AB d ∆=⋅= ……………… 11分当1k =时，因为AOB S ∆=所以当232m =时，AOB S ∆的最大值12S =， 验证知（*）成立； ……………… 12分当2k =时，因为AOB S ∆=所以当292m =时，AOB S ∆的最大值22S =； 验证知（*）成立.所以 12S S =. ……………… 14分注：本题中对于任意给定的k ，AOB ∆的面积的最大值都是2.20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一. 如3项子列：12，14，18. ……………… 2分（Ⅱ）证明：由题意，知1234510b b b b b >>>>>≥，所以 210d b b =-<. ……………… 4分因为 514b b d =+，151,0b b >≤， 所以 514011d b b =->-=-，解得 14d >-. 所以104d -<<. ……………… 7分（Ⅲ）证明：由题意，设{}n c 的公比为q ，则 23451234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++. 因为{}n c 为{}n a 的一个6项子列， 所以 q 为正有理数，且1q <，111()c a a*=∈N ≤. ……………… 8分设 (,Kq K L L*=∈N ，且,K L 互质，2L ≥）.当1K =时，因为 112q L =≤， 所以 23451234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++ 2345111111()()()()22222+++++≤， 所以 1234566332c c c c c c +++++≤. ……………… 10分当1K ≠时，因为 556151==⨯K c c q a L是{}n a 中的项，且,K L 互质，所以 5*()a K M M =⨯∈N ，所以 23451234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++543223*********()M K K L K L K L KL L=+++++. 因为 2L ≥，*,K M ∈N ，所以 234512345611111631()()()()2222232c c c c c c ++++++++++=≤. 综上， 1234566332c c c c c c +++++≤. ……………… 13分。

2024年北京西城区高三数学5月第二次模拟测试卷附答案解析

2024年北京西城区高三数学5月第二次模拟测试卷附答案解析

2024年北京西城区高三数学5月第二次模拟测试卷本试卷150分.考试时长120分钟.2024.5第一部分选择题共40分一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）.1．在复平面内，复数z对应的点的坐标是,1)-，则⋅=z z （）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知向量a ，b 满足()4,3a = ，()210,5a b -=-，则（）A ．0a b += B ．0a b ⋅= C ．a b> D ．a b∥3．已知集合{}1,0,1A =-，{}B x x c =>．若{}0,1A B = ，则c 的最小值是（）A ．1B ．0C ．1-D ．2-4．设443243210(21)-=++++x a x a x a x a x a ，则1234+++=a a a a （）A ．1-B ．0C ．1D ．25．已知,R R ∈∈a b ．则“1ab >”是“222a b +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线22:1+=C mx ny 的焦点在y 轴上，且C 的离心率为2，则（）A ．30m n -=B ．30m n -=C ．30m n +=D ．30m n +=7．将函数()tan f x x =的图象向右平移1个单位长度，所得图象再关于y 轴对称，得到函数()g x 的图象，则()g x =（）A ．1tan -xB ．1tan --xC ．tan (1)--x D ．tan (1)-+x 8．楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF ，其中面ABCD 为正方形．若6cm AB =，3cm EF =，且EF 与面ABCD 的距离为2cm ，则该楔体形构件的体积为（）A ．318cmB ．324cmC ．330cm D ．348cm 9．已知{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和为n S ，1233,2==a S ．若对任意正整数n ，都有(1)0--⋅>n n S A ，则A 的取值范围是（）A ．(3,1)-B ．[2,1)-C ．3(3,)2-D ．3[2,)2-10．一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（）A ．5B ．6C ．7D ．8第二部分非选择题共110分二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）.11．函数()=f x 的定义域是．12．已知圆C 经过点()1,0-和()3,0，且与直线2y =相切，则圆C 的方程为．13．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭．直线22y =与曲线()y f x =的两个交点,A B 如图所示，若π4AB =，且()f x 在区间5π11π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω=；ϕ=．14．已知函数()22,2121x x x x f x x ⎧+-⎪=-≤≤或，()()g x f x a =-，其中a ∈R ．①若函数()g x 无零点，则a 的一个取值为；②若函数()g x 有4个零点(1,2,3,4)=i x i ，则1234x x x x +++=．15．在数列{}n a 中，1163=a ，1134(2,3,)7--+==-+ n n n a a n a ．给出下列三个结论：①存在正整数N ，当n N ≥时，2n a >；②存在正整数N ，当n N ≥时，1n n a a ->；③存在正整数N ，当n N ≥时，112-++>n n n a a a ．其中所有正确结论的序号是．三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）.16．已知函数2()2cos2xf x x =+．在ABC 中，()()f A f B =，且a b ¹．(1)求C ∠的大小；(2)若5c =，且ABC 的面积为ABC 的周长．17．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为BC 的中点，点M 在1BD 上．再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M 唯一确定，并解答问题．条件①：MA MC =；条件②：EM AD ⊥；条件③：//EM 平面11CDD C ．(1)求证：M 为1BD 的中点；(2)求直线EM 与平面MCD 所成角的大小，及点E 到平面MCD 的距离．注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了20152023-年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示．年份201520162017201820192020202120222023产量万台 3.37.213.114.818.723.736.644.343.0销量万台6.98.713.815.414.015.627.129.731.6记20152023-年工业机器人产量的中位数为a ，销量的中位数为b ．定义产销率为“100%=⨯销量产销率产量”．(1)从20152023-年中随机取1年，求工业机器人的产销率大于100%的概率；(2)从20202318-年这6年中随机取2年，这2年中有X 年工业机器人的产量不小于a ，有Y 年工业机器人的销量不小于b ．记Z X Y =+，求Z 的分布列和数学期望()E Z ；(3)从哪年开始的连续5年中随机取1年，工业机器人的产销率超过70%的概率最小．结论不要求证明19．已知函数22()4sin (1)=++f x a x a x ，其中0a ≥．(1)若()f x 在0x =处取得极小值，求a 的值；(2)当1a =时，求()f x 在区间π[,π]2上的最大值；(3)证明：()f x 有且只有一个极值点．20．已知椭圆2222:1(0)+=>>x y E a b a b的一个顶点为(2,0)D ，焦距为(1)求椭圆E 的方程；(2)设点P 是第一象限内椭圆E 上一点，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ．点P 关于原点的对称点为A ，直线DQ 与椭圆的另一个交点为B ，直线DP 与y 轴的交点为C ．求证：,,A B C 三点共线．21．已知数列12:,,,n A a a a L ，从A 中选取第1i 项、第2i 项、…、第k i 项12<<< k i i i 构成数列12,,,:ki i i a a a B L ，B 称为A 的k 项子列．记数列B 的所有项的和为()T B ．当2k ≥时，若B 满足：对任意{1,2,,1}∈- s k ，11+-=s s i i ，则称B 具有性质P ．规定：A 的任意一项都是A 的1项子列，且具有性质P ．(1)当4n =时，比较A 的具有性质P 的子列个数与不具有性质P 的子列个数的大小，并说明理由；(2)已知数列:1,2,3,,(2)≥A n n L ．（ⅰ）给定正整数2nk ≤，对A 的k 项子列B ，求所有()T B 的算术平均值；（ⅱ）若A 有m 个不同的具有性质P 的子列12,,,m B B B L ，满足：1<∀≤≤i j m ，i B 与j B 都有公共项，且公共项构成A 的具有性质P 的子列，求m 的最大值．1．D【分析】由复数的几何意义得出z ，再运算化简即可.【详解】复数z 对应的点的坐标是1)-，所以i z =，i z =+，所以)22ii i 314z z ⋅==-=+=.故选：D ．2．B【分析】根据向量坐标运算，先求出b，再逐一验证即可.【详解】因为()4,3a = ，()210,5a b -=-，所以()3,4b =-，所以()1,7a b +=，故A 错；()43340a b ⋅=⨯-+⨯=，故B 正确；5a b ==，故C 错；因为4433⨯≠-⨯，所以,a b不平行，故D 错.故选：B 3．C【分析】根据交集结果可确定c 的范围，由此可得结果.【详解】{}0,1A B = ，{}1,0,1A =-，{}B x x c =>，10c ∴-≤<，即c 的最小值为1-.故选：C.4．B【分析】利用赋值法，令0x =，1x =即可求得正确答案.【详解】依题意，()44324321021x a x a x a x a x a +++=-+，令0x =，得01a =；令1x =，得012341a a a a a ++++=，所以12340a a a a +++=.故选：B.5．A【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】当1ab >时，则2222a b ab +≥>，当且仅当a b =时取等，所以充分性成立，取4,1a b =-=，满足222a b +>，但1ab <，故必要性不成立，所以“1ab >”是“222a b +>”的充分不必要条件.故选：A.6．C【分析】由题意可得2c e a ====，化简即可得出答案.【详解】化简双曲线22:1+=C mx ny 可得22:111y x C n m-=-，因为双曲线C 的焦点在y 轴上，所以2211,a b n m==-，所以C 的离心率为2c e a ====，则3nm-=，所以30m n +=.故选：C.7．D【分析】根据正切函数图象的平移变换、对称变换即可得变换后的函数()g x 的解析式.【详解】将函数()tan f x x =的图象向右平移1个单位长度，所得函数为()(1)tan 1f x x -=-，则函数()(1)tan 1f x x -=-的图象再关于y 轴对称得函数()()()()1tan 1tan 1g x f x x x =--=--=-+.故选：D.8．C【分析】设G ，H 分别为AB ，DC 的中点，连接EG ，EH ，GH ，由//EG FB ，//EH FC ，//GH BC ，可知EGH FBC -为三棱柱，再利用椎体与柱体的体积关系计算该几何体的体积．【详解】如图所示，设G ，H 分别为AB ，DC 的中点，连接EG ，EH ，GH ，因为面ABCD 为正方形，所以//AB DC ，又AB ⊄平面EFCD ，DC ⊂平面EFCD ，所以//AB 平面EFCD ，又平面EFCD 平面ABFE EF =，所以//AB EF ，因为G ，H 分别为AB ，DC 的中点，6cm AB =，3cm EF =，所以//,EF GB EF GB =，则EGBF 为平行四边形，则//EG FB ，同理//EH FC ，又//GH BC ，所以EGH FBC -为三棱柱，由题意，可得11163212333AGHD E AGHD V S h AD AG h -=⋅=⋅⋅=⨯⨯⨯=矩形四棱锥；又33EGH FBC B EGH E BGH V V V ---==三棱柱三棱锥三棱锥13331218222E AGHD E AGHD V V --=⨯⨯=⋅=⨯=四棱锥四棱锥；所以该多面体的体积为2121830cm E AGHD EGH FBC V V V --=+=+=四棱锥三棱柱．故选：C ．9．D【分析】根据等比数列的基本量求得232a =-，从而可得公差2112a q a ==-，由等比数列得前n 项和公式得n S ，分类讨论，结合数列的单调性即可得求得满足不等式(1)0--⋅>n n S A 时A 的取值范围.【详解】因为等比数列{}n a ，由1233,2==a S 可得21232S a a =+=，所以232a =-，则公比2112a q a ==-，所以133********nn n S ⎛⎫-⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭==-⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，1(1)2202nnn S A A ⎛⎫--⋅=+⨯+> ⎪⎝⎭恒成立，所以1222nA ⎛⎫>--⨯ ⎪⎝⎭，又数列1222n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫--⨯⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为递增数列，所以n →+∞，12222n ⎛⎫--⨯→- ⎪⎝⎭，则此时2A ≥-；当n 为偶数时，1(1)2202nnn S A A ⎛⎫--⋅=-⨯-> ⎪⎝⎭恒成立，所以1222nA ⎛⎫<-⨯ ⎪⎝⎭，又数列1222n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⨯⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为递增数列，2min1132222222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则此时32A <；综上，A 的取值范围是3[2,)2-.故选：D.10．B【分析】考虑前7个人，分别每相邻的3人取成一组与每相邻的5人取成一组，从而推出矛盾，再考虑人数为6的情况，由此得解.【详解】如果人数大于6，考虑前7个人：ABCDEFG ，每相邻的3人取成一组，则有,,,,ABC BCD CDE DEF EFG 5组，因为任意相邻的3人中都至少有2名男生，所以这7个人里至少有10名男生；每相邻的5人取成一组，则有,,ABCDE BCDEF CDEFG 3组，因为任意相邻的5人中都至多有3名男生，所以这7个人里至多有9名男生；显然矛盾，故人数不可能大于6，当人数为6时，用1表示男生，0表示女生，则可以101101.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是找到矛盾的分界人数，利用条件推出矛盾，从而得解.11．1[,)3+∞【分析】由题意可得出31log 0x x +≥⎧⎨>⎩，结合对数函数的单调性求解即可.【详解】函数()=f x 的定义域是：31log 00x x +≥⎧⎨>⎩，解得：13x ≥.故答案为：1[,)3+∞.12．()2214x y -+=【分析】设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=()0r >，进而利用待定系数法求解即可.【详解】设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=()0r >，则由题意可得()()()()22222210302a b r a b r b r ⎧--+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-=⎪⎩，解得102a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆C 的方程为()2214x y -+=故答案为：()2214x y -+=13．2π3-【分析】根据()2f x =和π4AB =，可构造方程求得ω，并确定5π11π,1212⎛⎫ ⎪⎝⎭为半个周期，根据正弦函数单调性可构造方程组求得ϕ.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由()2f x =得：()12π2π43π2π4x k k x k ωϕωϕ⎧+=+⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩Z ，()21π2x x ω∴-=，又21π4AB x x =-=，ππ42ω∴=，解得：2ω=，此时()f x 的最小正周期2ππT ω==，11π5ππ121222T -==，()f x 在区间5π11π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，5π12x ∴=和11π12x =分别为()f x 单调递减区间的起点和终点，当5π11π,1212x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，5π11π2,66x ϕϕϕ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，()5ππ2π6211π3π2π62k k k ϕϕ⎧+=+⎪⎪∴∈⎨⎪+=+⎪⎩Z ，()π2π3k k ϕ∴=-+∈Z ，又π2ϕ<，π3ϕ∴=-；综上所述：2ω=，π3ϕ=-.故答案为：2；π3-.14．1-2-【分析】①结合函数()f x 的图象，函数()g x 无零点，即()y f x =与y a =的图象无交点，所以可得到a 的一个取值；②由图象对称，即可算出1234x x x x +++的值.【详解】画函数()22,2121x x x x f x x ⎧+-⎪=-≤≤或的图象如下：①函数()()g x f x a =-无零点，即()0f x a -=无解，即()y f x =与y a =的图象无交点，所以a<0，可取1a =-；②函数()g x 有4个零点，即()0f x a -=有4个根，即()y f x =与y a =的图象有4个交点，由14x x 、关于=1x -对称，所以142x x +=-，23x x 、关于0x =对称，所以230x x +=，所以12342x x x x +++=-.故答案为：1-；2-.15．②③【分析】根据递推关系求出2312,8a a ==-，用差比较法可判定各选项.【详解】对于①：由1163=a ，1134(2,3,)7--+==-+ n n n a a n a ，可得2312,8a a ==-，又()111152342277n n n n n a a a a a -----+-=-=-+-，当12n a -<时2n a <，因为38a =-，所以3n ≥时2n a <，故①错误；对于②：()211111123477n n n n n n n a a a a a a a -------+-=-=-+-，又443a =-，结合①的结论3n ≥时2n a <，所以当4n ≥时，1n n a a ->，故②正确；对于③：111347473n nn n n na a a a a a ---+-=⇒=-++，()()()31122743423773n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -+-⎛⎫⎛⎫-++-=-+-= ⎪ ⎪+--+⎝⎭⎝⎭，所以当4n ≥时，420,70,330n n n a a a a -<->+>+>，所以1111202n n n n n n a a a a a a -+-+++-<⇒<，故③正确；故答案为：②③.【点睛】关键点睛：本题关键在于求出2312,8a a ==-，根据递推关系分析出当12n a -<时2n a <，进而判定①，利用差比较法结合结论①可判定②③.16．(1)π3(2)12【分析】（1）化简函数π()2sin()16f x x =++，根据题意，得到ππsin()sin()66+=+A B ，进而求得2π3A B +=，即可求解；（2）由（1）和ABC 的面积取得8ab =，利用余弦定理得2225+-=a b ab ，进而求得a b +的值，即可求得ABC 的周长.【详解】（1）解：由函数2π()2coscos 12sin()126x f x x x x x =+=++=++，因为()()f A f B =，可得ππsin(sin(66+=+A B ，在ABC 中，因为,(0,π)A B ∈，所以ππ7πππ7π(,),(,666666A B +∈+∈，又因为a b ¹，所以A B ≠，所以ππ()(π66+++=A B ，解得2π3A B +=，因为πA B C ++=，所以π3C =.（2）解：由（1）知π3C =，因为ABC的面积为1sin 2ABC S ab C ==V 8ab =，在ABC 中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即22π252cos3a b ab =+-，整理得2225+-=a b ab ，所以2()325a b ab +-=，即2()25349+=+=a b ab ，所以7a b +=，所以ABC 的周长为12a b c ++=.17．(1)证明见解析(2)30︒；22【分析】（1）分别选条件①②③，结合线面平行位置关系的判定定理和性质定理，即可得证；（2）以D 为原点，建立空间直角坐标系，求得向量(,,)011=-EM uuu r和平面MCD 的法向量为(1,0,1)m =- ，利用向量的夹角公式，求得1sin 2θ=，结合sin d EM θ= ，即可求解.【详解】（1）证明：选条件①：由MA MC =，根据正方体1111ABCD A B C D -的对称性，此时点M 为1BD 上的任意一点，所以不成立；选条件②：EM AD ⊥．连接1CD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，由BC ⊥平面11CDD C ，因为1CD ⊂平面11CDD C ，所以1BC CD ⊥，又因为EM AD ⊥，//AD BC ，所以EM BC ⊥，因为1,EM CD ⊂平面1BCD ，所以1//EM CD ，又因为E 为BC 的中点，所以M 为1BD 的中点．选择条件③：//EM 平面11CDD C ．连接1CD ，因为//EM 平面11CDD C ，EM ⊂平面1BCD ，且平面1BCD ⋂平面111CDD C CD =，所以所以1//EM CD ，因为E 为BC 的中点，所以M 为1BD 的中点．（2）解：在正方体1111ABCD A B C D -中，1,,DA DC DD 两两互相垂直，建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0),(0,2,0),(1,2,0),(1,1,1)D C E M ，所以(0,2,0)DC = ，(1,1,1)DM = ，(,,)011=-EM uuu r，设平面MCD 的法向量为(,,)m x y z =u r ，则00m DC y m DM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令1x =，则0,1y z ==-．于是(1,0,1)m =-，设直线EM 与平面MCD 所成的角为θ，则1sin cos ,2m EM m EM m EM θ⋅===⋅，所以直线EM 与平面MCD 所成角的大小为30 ，点E 到平面MCD的距离为2sin sin 302d EM θ===.18．(1)49(2)分布列见解析；()103E Z =(3)2018年和2019年【分析】（1）按古典概型的概率计算求解.（2）先根据中位数的概念确定a ，b 的值，在确定X ，Y 的所有可能值，进一步得Z 的所有可能的取值，再求Z 的分布列.（3）计算产销率，可直接得到结论.【详解】（1）记事件A 为“工业机器人的产销率大于100%”．由表中数据，工业机器人的产销率大于100%的年份为2015年，2016年，2017年，2018年，共4年．所以()49P A =．（2）因为18.7a =，15.4b =，所以X 的所有可能的取值为1,2；Y 的所有可能的取值为1,2．所以Z 的所有可能的取值为234,,．2226C 1(2)C 15===P Z ，112426C C 8(3)C 15===P Z ，2426C 2(4)C 5===P Z ．所以Z 的分布列为：Z234P11581525故Z 的数学期望()18210234151553E Z =⨯+⨯+⨯=．（3）2018年和2019年．19．(1)0a =(2)22π(3)证明见解析【分析】（1）利用可导函数的极小值点是导数值为0的充分不必要条件来解题需要检验；（2）一阶导函数()4(cos )f x x x '=+不能够判断正负，需要借助二阶导函数来进一步研究一阶导函数的取值恒为正，从而来判断原函数2()4sin 2=+f x x x 在区间π[,π]2是单调递增的，即可得到最大值；（3）一阶导函数2()4cos 2(1)'=++f x a x a x 看不出零点及取值的正负，但可以对参数0a ≥分两类讨论，当0a =时，2()f x x =是二次函数易得证，当0a >，则需要二阶导函数21()4(sin )2a g x a x a+'=--，此时联想到不等式可证2112a a+≥，则可判断()0g x '≥，从而得到2()4cos 2(1)'=++f x a x a x 的单调性，然后判断函数()f x 零点的存在性，问题即可得证.【详解】（1）由2()4cos 2(1)'=++f x a x a x ，因为()f x 在0x =处取得极小值,所以(0)0f '=，即2(0)4cos02(1)040f a a a '=++⨯==，解得0a =，检验：当0a =时，2()f x x =，由二次函数的性质可得：()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，满足题意，所以0a =．（2）当1a =时，2()4sin 2=+f x x x ，()4cos 44(cos )'=+=+f x x x x x ．令()()4(cos )g x f x x x '==+，则()4(sin 1)g x x '=-+，因为ππ2≤≤x ，所以()4(sin 1)0g x x '=-+≥，即()4(cos )g x x x =+在区间π[,π]2上单调递增，所以min ()4(cos )2022g x πππ=+=>，即()0f x '>，所以()f x 在区间π[,π]2上单调递增，即()f x 的最大值为222(π)4sin 2π402π2πf π=+=⨯+=．（3）由2()4cos 2(1)'=++f x a x a x ，当0a =时，2()f x x =，由二次函数的单调性可得：()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以()f x 恰有一个极值点；当0a >时，设24cos 2((()1))a x a x g x f x '+==+，则221()4sin 2(1)4(sin )2+'=-++=--a g x a x a a x a．因为2111222a a a a +=+≥=，且sin 1x ≤，所以()0g x '≥，即()g x 在(,)-∞+∞上单调递增．因为2π()(1)π02-=-+<g a ，(0)40g a =>，所以存在0π(,0)2x ∈-，使00()()0g x f x '==，根据()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，可知当0x x <时，()()0f x g x '=<，所以()f x 在0(,)-∞x 上单调递减，可知当0x x >时，()()0f x g x '=>，所以()f x 在0(,)+∞x 上单调递增，即()f x 恰有一个极值点．综上所述，当0a ≥时，()f x 有且只有一个极值点．20．(1)22142x y +=(2)证明见解析【分析】（1）依题意可得a 、c 的值，从而求出2b ，即可得解；（2）设(),P m n ()0,0m n >>，表示出直线DP 的方程，即可求出C 点坐标，联立直线DQ 的方程与椭圆方程，消元，设(,)B B B x y ，利用韦达定理求出B x ，从而表示出B y ，计算出0AC BC k k -=，即可得证.【详解】（1）依题意可得22222a c a b c =⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得2242a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆E 的方程为22142x y +=．（2）[方法一]：设而不求设(),P m n ，则()0,Q n ，(),A m n --，其中2224m n +=，0,0m n >>．则直线DP 的方程为(2)2ny x m =--，令0x =，可得22n y m -=-，所以20,2n C m -⎛⎫ ⎪-⎝⎭，又直线DQ 的方程为(2)2ny x =--，由22(2)224n y x x y ⎧=--⎪⎨⎪+=⎩，消去y 整理得2222(2)4480+-+-=n x n x n ，所以()()422Δ164248640n n n =-+-=>，设(,)B B B x y ，所以22482B D n x x n -=+，解得22242B n x n -=+．所以24(2)22B B n ny x n =--=+，所以222244,22n n B n n ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．由题意，点,A B 均不在y 轴上，所以直线,AC BC 的斜率均存在，且222242222242AC BCn n nn m n m k k n mn -++-+--=--+2244(2)2(2)(2)(24)(2)mn n n m n n m m n m --++=----222[(4)(24)2(22)](2)(24)nm n m n m m m n =---+---2224(24)(2)(24)nn m m m n -=+---0=，即AC BC k k =，所以A 、B 、C三点共线．[方法二]：转化思想设()(,)0,0P m n m n >>则2224m n +=，且(0,)Q n ，(,)A m n --，(2,0)D ，则DP l :(2)2ny x m =--，令0x =，则22n y m -=-，20,2n C m -⎛⎫∴ ⎪-⎝⎭，又BD l :2n y x n =-+，AC l :2222n n n m y x m m --=--，设BD l 与AC l 交于点E ，由22222n y x n nn n m y x m m ⎧=-+⎪⎪⎨-⎪-=-⎪-⎩，解得2222888E E m x m n y m ⎧-=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，若A 、B 、C 三点共线，则点E 为点B ，即点E 在椭圆上，则只需证明2224E E x y +=，2222228288m n m m ⎛⎫-⎛⎫+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ()()()424222224164412888m m m n m m ⎡⎤+-+⎣⎦==--()()42224166448m m m -+==-，所以点E 在椭圆上，所以A 、B 、C 三点共线.[方法三]：设()()0000,02,0P x y x y <且220024x y +=，则()00,Q y ，()00,A x y --，∵(2,0)D ，所以DQ l :0(2)2y y x =--，由022(2)224y y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，消去y 整理得()()222200024420y x y x y +-+-=，所以()440Δ16164640y y =--=>，设()11,B x y ，则()201204222y x y -=+，所以()20120222y x y -=+，则()20012022222y y yy ⎡⎤-⎢⎥=-+⎢⎥⎣⎦2042y y =+，()2002200224,22y y B y y ⎛⎫- ⎪∴ ⎪++⎝⎭，又DP l :()0022y y x x =--，令0x =，则0022y y x =-，0020,2y C x ⎛⎫∴ ⎪-⎝⎭，()2300022200000020426442222ABy y y y y k y x y x y x y +++∴==-++-++，又000020002242ACy y x y x y k x x x +--==-，所以()()20000222000000644422AB AC y y y x k k y x y x x x +--=--++-()()()()()()22220000000002220000006244424422y y x x x y x y x y x y x x x ⎡⎤+----++⎣⎦=-++-()()()()2322000000000222000000622482422204422x x y x x x x x x y x y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+------+-+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦==-++-AB AC k k ∴=，∴A 、B 、C 三点共线.[方法四]：依题意DP 的斜率存在且不为0，设DP 的方程为2x my =+()0m ≠，222142x my x y =+⎧⎪∴⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()22240m y my ++=，显然0∆>，所以242P Q m y y m -+=+，0D y = ，242Pmy m -∴=+，22224422222P P m m x my m m--∴+=+=+=+，则240,2m Q m -⎛⎫ ⎪+⎝⎭，所以2224222DQmm m k m -+==+-，则DQ 的方程为22(2)2m y x m=-+，由2222(2)2142m y x m x y ⎧=-⎪⎪+⎨⎪+=⎪⎩，所以()()()224222222228324161610222m m m m x x m m m⎡⎤-+-⎢⎥+-+=⎢⎥+++⎣⎦，显然0∆>，()()()222242222324482B D m mx x mm m m+∴+=⨯++++24232124m m m =++，所以2424242322882124124B m m m x m m m m -+-=-=++++，则()42242461622124B m m m y m m m -+-=⨯+++()24282124m m m m -+=++，所以()()22426282248288BC m m m m k m m m -++++=-+-()4242428162248244m m m m m m m --+++=--+()22322m m m +=-，又222422242ACm m m k m m ++=-+()22322m m m +=+，所以BC AC k k =，∴A 、B 、C 三点共线.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.21．(1)A 的具有性质P 的子列个数大于不具有性质P 的子列个数；理由见解析(2)（ⅰ）(1)2k n +；（ⅱ）224n n+【分析】（1）根据定义得出4n =时，A 共有15个子列，结合性质P 的内容即可判断；（2）（ⅰ）根据12,,,ki i i a a a L 是A 的()2≤n k k 项子列，121,1,,1ki i i n a n a n a +-+-+-L 也是A 的()2≤nk k 项子列，可得11(1)(1)()()==++-=+'+=∑∑j j k ki i j j a n a k n T B T B ，又A 有C kn 个k 项子列，即可求出结果；（ⅱ）设(1,2,,)=k B k m L 的首项为k x ，末项为k y ，记0max{}k k x x =，则可得对任意1,2,,j m = ，都有0j k x y ≥，故共有00(1)k k x n x +-种不同的情况，又00(1)k k x n x m +-≥，所以分n 为奇数或者偶数两种情况进行分析即可.【详解】（1）当4n =时，A 共有42115-=个子列，其中具有性质P 的子列有432110+++=个，故不具有性质P 的子列有5个，所以A 的具有性质P 的子列个数大于不具有性质P 的子列个数．（2）（ⅰ）若12,,,:ki i i a a a B L 是A 的()2≤nk k 项子列，则12:1,1,,1+-+-+-'ki i i n a n a n a B L 也是A 的()2≤nk k 项子列．所以11(1)(1)()()==++-=+'+=∑∑j j k ki i j j a n a k n T B T B ．因为给定正整数2n k ≤，A 有C kn 个k 项子列，所以所有()T B 的算术平均值为11(1)C (1)C 22+⋅⋅+=kn k nk n k n ．（ⅱ）设(1,2,,)=k B k m L 的首项为k x ，末项为k y ，记0max{}k k x x =．若存在1,2,,j m = ，使0j k y x <，则j B 与0k B 没有公共项，与已知矛盾．所以，对任意1,2,,j m = ，都有0j k x y ≥．因为对于1,2,,k m = ，0{1,2,,}k k x x ∈L ，0{,1,,}k k k y x x n ∈+L ，所以共有0(1)k k x n x +-种不同的情况．因为12,,,m B B B L 互不相同，所以对于不同的子列,i j B B ，i j x x =与i j y y =中至多一个等式成立．所以0(1)k k x n x m +-≥．当n 是奇数时，取1{1,2,,}2+∈k n x L ，13{,,,}22k n n y n ++∈L ，共有211(1)(1)224+++⋅+-=n n n n 个满足条件的子列．当n 是偶数时，取{1,2,,}2∈k nx L ，{,1,,}22∈+k n n y n L ，共有22(1)224+⋅+-=n n n nn 个满足条件的子列．综上，n 为奇数时，m 的最大值为2(1)4n +；n 为偶数时，m 的最大值为224n n+．【点睛】方法点睛：（1）阅读理解能力考查；（2）分类讨论思想；（3）数列和集合概念的理解.。

北京市西城区2014年高三5月二模数学理试卷(word版)

北京市西城区2014年高三5月二模数学理试卷(word版)

北京市西城区2014年高三5月二模数 学（理科） 2014.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(,2]-∞-（B ）[2,)-+∞（C ）(,2]-∞（D ）[2,)+∞2．在复平面内，复数2=(12i)z +对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3．直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（ ）（A（B（C（D4．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ） （A ） 2A Î，且4A Î （BA ，且4A Î（C ） 2A Î，且A （DAA俯视图侧(左)视图5．设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6．如图，阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（ ）（A ）1（B ）2（C ）π2（D ）π7. 在平面直角坐标系xOy 中，不等式组0,0,80x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤所表示的平面区域是α，不等式组4100,0x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤所表示的平面区域是β. 从区域α中随机取一点(,)P x y ，则P 为区域β内的点的概率是（ ） （A ）14（B ）35（C ）34（D ）158. 设Ω为平面直角坐标系xOy 中的点集，从Ω中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为()x Ω，点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为()y Ω.若Ω是边长为1的正方形，给出下列三个结论： ○1 ()x Ω○2 ()()x y Ω+Ω的取值范围是；○3 ()()x y Ω-Ω恒等于0.其中所有正确结论的序号是（ ） （A ）○1（B ）○2○3（C ）○1○2（D ）○1○2○3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．61()x x+的二项展开式中，常数项为______． 10. 在△ABC 中，若4a =，3b =，1cos 3A =，则sin A =_____；B =_____． 11．如图，AB 和CD 是圆O 的两条弦， AB 与CD 相交于点E ，且4C E D E ==，:4:1AE BE =，则 AE =______；ACBD=______.12．执行如图所示的程序框图，输出的a 值为______．13. 设抛物线24C y x =：的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，(2,2)N ，则||||MF MN +的取值范围是 .14. 已知f 是有序数对集合**{(,)|,}M x y x yN N =挝上的一个映射，正整数数对(,)x y 在映射f下的象为实数z ，记作(,)f x y z =. 对于任意的正整数,()m n m n >，映射f 由下表给出：(,)x y (,)n n (,)m n (,)n m (,)f x yn m n -m n +则(3,5)f =__________，使不等式(2,)4xf x ≤成立的x 的集合是_____________.C D. OE BA三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点(cos )A θθ，(sin ,0)B θ，其中θ∈R .（Ⅰ）当2π3θ=时，求向量AB 的坐标； （Ⅱ）当π[0,]2θ∈时，求||AB 的最大值.16．（本小题满分13分）为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A ，B 两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：A 班5名学生的视力检测结果：4.3，5.1，4.6，4.1，4.9.B 班5名学生的视力检测结果：5.1，4.9，4.0，4.0，4.5.（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？ （Ⅱ）由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？（结论不要求证明）（Ⅲ） 现从A 班的上述5名学生中随机选取3名学生，用X 表示其中视力大于4.6的人数，求X 的分布列和数学期望.17．（本小题满分14分）如图，在三棱锥ABC P -中，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，H 为PC 的中点， M 为AH 的中点，2PA AC ==，1BC =. （Ⅰ）求证：⊥AH 平面PBC ； （Ⅱ）求PM 与平面AHB 成角的正弦值； （Ⅲ）设点N 在线段PB 上，且PNPBλ=，//MN 平面ABC ，求实数λ的值.18．（本小题满分13分）ABCPHM已知函数12e ()44x f x ax x +=++，其中a ∈R .（Ⅰ）若0a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）当1a >时，试确定函数()f x 的单调区间.19．（本小题满分14分）设,A B 是椭圆22: 143x y W +=上不关于坐标轴对称的两个点，直线AB 交x 轴于点M （与点,A B 不重合），O 为坐标原点.（Ⅰ）如果点M 是椭圆W 的右焦点，线段MB 的中点在y 轴上，求直线AB 的方程； （Ⅱ）设N 为x 轴上一点，且4OM ON ⋅=，直线AN 与椭圆W 的另外一个交点为C ，证明：点B 与点C 关于x 轴对称.20．（本小题满分13分）在无穷数列{}n a 中，11a =，对于任意*n ∈N ，都有*n a ∈N ，1n n a a +<. 设*m ∈N ， 记使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b .（Ⅰ）设数列{}n a 为1，3，5，7，，写出1b ，2b ，3b 的值；（Ⅱ）若{}n b 为等差数列，求出所有可能的数列{}n a ； （Ⅲ）设p a q =，12p a a a A +++=，求12q b b b +++的值.（用,,p q A 表示）参考答案及评分标准高三数学（理科） 2014.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．B 3．A 4．D 5．B 6．B 7．C 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．20 10．3π411．8 2 12．13- 13．[3,+)∞14．8 {1,2}注：第10，11，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得(sin cos ,)AB θθθ=-， ……………… 2分当 2π3θ=时，2π2πsin cos sin cos 33θθ-=-=， ……………… 4分2π3θ==，所以 AB =. ……………… 6分（Ⅱ）解：因为 (sin cos ,)AB θθθ=-，所以 222||(sin cos )()AB θθθ=-+ ……………… 7分21sin 22sin θθ=-+ ……………… 8分1sin 21cos 2θθ=-+- ……………… 9分π2)4θ=-+. ……………… 10分因为 π02θ≤≤，所以 ππ5π2444θ+≤≤. ……………… 11分所以当π5π244θ+=时，2||AB 取到最大值2||2(32AB =-=，…… 12分即当π2θ=时，||AB……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：A 班5名学生的视力平均数为A 4.3+5.1+4.6+4.1 4.9==4.65x +，………… 2分B 班5名学生的视力平均数为B 5.1+4.9+4.0+4.0 4.5==4.55x +. ……………… 3分 从数据结果来看A 班学生的视力较好. ……………… 4分 （Ⅱ）解：B 班5名学生视力的方差较大. ……………… 7分 （Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，A 班的5名学生中有2名学生视力大于4.6.则X 的所有可能取值为0，1，2. ……………… 8分所以 3335C 1(0)C 10P X ===；……………… 9分213235C C 3(1)C 5P X ===； ……………… 10分123235C C 3(2)C 10P X ===. ……………… 11分所以随机变量X……………… 12分故1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=. ……………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为 PA ⊥底面ABC ，BC ⊂底面ABC ，所以 PA BC ⊥， ……………… 1分 又因为 AC BC ⊥， PAAC A =，所以 ⊥BC 平面PAC ， ……………… 2分 又因为 ⊂AH 平面PAC ，所以 BC AH ⊥. ……………… 3分因为 ，AC PA =H 是PC 中点， 所以 AH PC ⊥， 又因为 PCBC C =，所以 ⊥AH 平面PBC . ……………… 5分 （Ⅱ）解：在平面ABC 中，过点A 作，BC AD // 因为 ⊥BC 平面PAC ， 所以 ⊥AD 平面PAC ，由 PA ⊥底面ABC ，得PA ，AC ，AD 两两垂直，所以以A 为原点，AD ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(1,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,1,1)H ，11(0,,)22M . ……………… 6分设平面AHB 的法向量为(,,)x y z =n ，因为 (0,1,1)AH =，(1,2,0)AB =，由 0,0,AH AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得 0,20,y z x y +=⎧⎨+=⎩ 令1=z ，得(2,1,1)=-n . ……………… 8分 设PM 与平面AHB 成角为θ，因为 )23,21,0(-=PM ，所以sin cos ,PM PM PM θ⋅=<>==⋅n n n， 即 sin 15θ=.……………… 10分（Ⅲ）解：因为 (1,2,2)PB =-，PN PB λ=，所以 (,2,2)PN λλλ=-，又因为 13(0,,)22PM =-， 所以 13(,2,2)22MN PN PM λλλ=-=--. ……………… 12分 因为 //MN 平面ABC ，平面ABC 的法向量(0,0,2)AP =， 所以 340MN AP λ⋅=-=， 解得 43=λ. ……………… 14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数1e ()44x f x x +=+的定义域为{|x x ∈R ，且1}x ≠-. ……………… 1分11122e (44)4e 4e ()(44)(44)x x x x xf x x x ++++-'==++. ……………… 3分令()0f x '=，得0x =，当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：∞……………… 5分故()f x 的单调减区间为(,1)-∞-，(1,0)-；单调增区间为(0,)+∞． 所以当0x =时，函数()f x 有极小值e(0)4f =. ……………… 6分 （Ⅱ）解：因为 1a >，所以 22244(2)(1)0ax x x a x ++=++->，所以函数()f x 的定义域为R ， ……………… 7分求导，得12112222e (44)e (24)e (42)()(44)(44)x x x ax x ax x ax a f x ax x ax x +++++-++-'==++++，…… 8分令()0f x '=，得10x =，242x a=-， ……………… 9分当 12a <<时，21x x <，当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：+∞故函数()f x 的单调减区间为(2,0)a -，单调增区间为(,2)a-∞-，(0,)+∞． ……………… 11分当 2a =时，210x x ==，因为12222e ()0(244)x x f x x x +'=++≥，（当且仅当0x =时，()0f x '=） 所以函数()f x 在R 单调递增. ……………… 12分 当 2a >时，21x x >，当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：)∞故函数()f x 的单调减区间为4(0,2)a-，单调增区间为(,0)-∞，4(2,)a-+∞． 综上，当 12a <<时，()f x 的单调减区间为4(2,0)a -，单调增区间为4(,2)a-∞-，(0,)+∞；当 2a =时，函数()f x 在R 单调递增；当 2a >时，函数()f x 的单调减区间为4(0,2)a-；单调增区间为(,0)-∞，4(2,)a -+∞． ……………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：椭圆W 的右焦点为(1,0)M ， ……………… 1分因为线段MB 的中点在y 轴上，所以点B 的横坐标为1-，因为点B 在椭圆W 上，将1x =-代入椭圆W 的方程，得点B 的坐标为3(1,)2-±. ……………… 3分 所以直线AB （即MB ）的方程为3430x y --=或3430x y +-=.…………… 5分 （Ⅱ）证明：设点B 关于x 轴的对称点为1B （在椭圆W 上），要证点B 与点C 关于x 轴对称，只要证点1B 与点C 重合，.又因为直线AN 与椭圆W 的交点为C （与点A 不重合），所以只要证明点A ，N ，1B 三点共线. ……………… 7分 以下给出证明：由题意，设直线AB 的方程为(0)y kx m k =+≠,11(,)A x y ,22(,)B x y ，则122(,)B x y -. 由 223412,,x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩ 得 222(34)84120k x kmx m +++-=， ……………… 9分 所以 222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->， 122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+. ……………… 10分 在y kx m =+中，令0y =，得点M 的坐标为(,0)m k -， 由4OM ON ⋅=，得点N 的坐标为4(,0)k m-， ……………… 11分 设直线NA ，1NB 的斜率分别为NA k ，1NB k ，则 1211122121212444444()()NA NB k k x y y x y y y y m m k k k k k k x x x x m mm m+⨯++⨯--=-=++++ ，………12分 因为 21112244k k x y y x y y m m+⨯++⨯ 21112244()()()()k k x kx m kx m x kx m kx m m m =+++⨯++++⨯2121242()()8k k x x m x x k m=++++2222412482()()()83434m k km k m k k m k-=⨯++-+++ 22323824832243234m k k m k k k k k---++=+ 0=， ……………… 13分 所以 10NA NB k k -=， 所以点A ，N ，1B 三点共线，即点B 与点C 关于x 轴对称. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：11b =，21b =，32b =. ……………… 3分 （Ⅱ）解：由题意，得1231n a a a a =<<<<<，结合条件*n a ∈N ，得n n a ≥. ……………… 4分 又因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，使得1n a m +≤成立的n 的最大值为1m b +，所以11b =，*1()m m b b m +∈N ≤. ……………… 5分 设2 a k =，则 2k ≥.假设2k >，即2 >2a k =，则当2n ≥时，2n a >；当3n ≥时，1n k a +≥.所以21b =，2k b =.因为{}n b 为等差数列，所以公差210d b b =-=，所以1n b =，其中*n ∈N .这与2(2)k b k =>矛盾，所以22a =. ……………… 6分 又因为123n a a a a <<<<<， 所以22b =，由{}n b 为等差数列，得n b n =，其中*n ∈N . ……………… 7分 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以n n a ≤，由n n a ≥，得n n a =. ……………… 8分 （Ⅲ）解：设2 (1)a k k =>，因为123n a a a a <<<<<， 所以1211k b b b -====，且2k b =，所以数列{}n b 中等于1的项有1k -个，即21a a -个； ……………… 9分 设3 ()a l l k =>，则112l k k b b b -+====， 且3l b =，所以数列{}n b 中等于2的项有l k -个，即32a a -个； ……………… 10分 ……以此类推，数列{}n b 中等于1p -的项有1p p a a --个. ……………… 11分 所以1221321(1())))2((p q p b b b a a a a a p a p -++=-+--+-+++ 121(1)p p a a p a a p -=-----++ 121()p p p pa p a a a a -=+-++++ (1)p q A =+-.即12(1)q q A b b b p ++++=-. ……………… 13分。

2014年北京市西城区高考数学一模试卷(文科)(附答案解析版)

2014年北京市西城区高考数学一模试卷(文科)(附答案解析版)

2014年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1. 设全集U ={x|0<x <2}，集合A ={x|0<x ≤1}，则集合∁U A =( ) A.(0, 1) B.(0, 1] C.(1, 2) D.[1, 2)2. 已知平面向量a →=(2, −1)，b →=(1, 3)，那么|a +b →|等于（ ） A.5 B.√13 C.√17 D.133. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为（ ） A.√2 B.2C.√3D.√54. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.2B.43C.4D.55. 下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件f(x)=f(−x)和f(x −π)=f(x)的函数是（ ） A.f(x)=sin x B.f(x)=sin 2xC.f(x)=cos xD.f(x)=cos 2x6. 设a >0，且a ≠1，则“函数y =log a x 在(0, +∞)上是减函数”是“函数y =(2−a)x 3在R 上是增函数”的（ ） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. 某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了n(n ∈N ∗)年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ） A.4 B.5C.6D.78. 如图，设P 为正四面体A −BCD 表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）A.4个B.6个C.10个D.14个二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）设复数1−i2+i =x +yi ，其中x ，y ∈R ，则x +y =________．若抛物线C:y 2=2px 的焦点在直线x +y −2=0上，则p =________；C 的准线方程为________．已知函数f(x)={x +3,x ≤01x+1，x >0，若f(x 0)=2，则实数x 0=________；函数f(x)的最大值为________．执行如图所示的程序框图，如果输入a =2，b =2，那么输出的a 值为________．若不等式组{x ≥1y ≥02x +y ≤6x +y ≤a表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是________．如图，在直角梯形ABCD 中，AB // CD ，AB ⊥BC ，AB =2，CD =1，BC =2，P 为线段AD （含端点）上一个动点．设AP →=xAD →，PB →⋅PC →=y ，记y =f(x)，则f(1)=________； 函数f(x)的值域为________．三、解答题（共6小题，满分80分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b 2+c 2=a 2+bc ． （1）求A 的大小；（2）如果cos B =√63，b =2，求a 的值．某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．a ，b ，c 的值；(Ⅱ)某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不是次品的概率；(Ⅲ)某人从这批灯泡中随机地购买了n(n ∈N ∗)个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n 的最小值．如图，在四棱锥S −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD =2AB ，SA =SD ，SA ⊥AB ，N 是棱AD 的中点．（1）求证：AB // 平面SCD ；（2）求证：SN ⊥平面ABCD ；（3）在棱SC 上是否存在一点P ，使得平面PBD ⊥平面ABCD ？若存在，求出SPPC 的值；若不存在，说明理由．已知函数f(x)=ln x −ax ，其中a ∈R ．（1）当a =2时，求函数f(x)的图象在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）如果对于任意x ∈(1, +∞)，都有f(x)>−x +2，求a 的取值范围．已知椭圆W:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为−1，O 为坐标原点． （1）求椭圆W 的方程．（2）设斜率为k 的直线l 与W 相交于A ，B 两点，记△AOB 面积的最大值为S k ，证明：S 1=S 2．在数列{a n }中，a n =1n (n ∈N ∗)．从数列{a n }中选出k(k ≥3)项并按原顺序组成的新数列记为{b n }，并称{b n }为数列{a n }的k 项子列．例如数列12，13，15，18为{a n }的一个4项子列． （1）试写出数列{a n }的一个3项子列，并使其为等比数列；（2）如果{b n }为数列{a n }的一个5项子列，且{b n }为等差数列，证明：{b n }的公差d 满足−14<d <0；（3）如果{c n }为数列{a n }的一个6项子列，且{c n }为等比数列，证明：c 1+c 2+c 3+c 4+c 5+c 6≤6332．参考答案与试题解析2014年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1.【答案】 C【考点】 补集及其运算 【解析】根据全集U 及A ，求出A 的补集即可． 【解答】解：∵ 全集U =(0, 2)，集合A =(0, 1]， ∴ ∁U A =(1, 2)．故选：C ．2.【答案】 B【考点】向量模长的计算 数量积的坐标表达式【解析】利用向量的坐标运算和模的计算公式即可得出． 【解答】解：∵ a →+b →=(2, −1)+(1, 3)=(3, 2)， ∴ |a →+b →|=√32+22=√13． 故选：B ． 3.【答案】 D【考点】 双曲线的特性 【解析】由已知条件推导出b =2a ，由此能求出此双曲线的离心率． 【解答】解：∵ 双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的虚轴长是实轴长的2倍， ∴ b =2a ，∴c =√a 2+b 2=√5a ， ∴ e =ca =√5．故选：D ． 4.【答案】 C【考点】由三视图求体积 【解析】由三视图知几何体是一个四棱柱，四棱柱的底面是一个直角梯形，梯形的下底是3，高是1，棱柱的高为2，求出梯形的上底，然后求出棱柱的体积，得到结果． 【解答】解：由三视图知几何体是一个四棱柱，四棱柱的底面是一个直角梯形，梯形的下底是3，斜边为√5， 高是1，梯形的上底为：3−√(√5)2−1=1，棱柱的高为2， ∴ 四棱柱的体积是：1+32×1×2=4，故选C ． 5.【答案】 D【考点】抽象函数及其应用 函数的周期性【解析】由f(x)满足f(x)=f(−x)，根据函数奇偶性的定义得f(x)为偶函数，将选项A ，B 排除，因为它们是奇函数，再由f(x)满足f(x −π)=f(x)推出函数的最小正周期是π，由三角函数的周期公式得选项D 符合． 【解答】解：对于任意x ∈R ，f(x)满足f(x)=f(−x)， 则函数f(x)是偶函数，选项中，A ，B 显然是奇函数，C ，D 为偶函数， 又对于任意x ∈R ，f(x)满足f(x −π)=f(x)， 则f(x +π)=f(x)，即f(x)的最小正周期是π， 选项C 的最小正周期是2π， 选项D 的最小正周期是2π2=π，故同时满足条件的是选项D ． 故选D ． 6.【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】根据函数单调性的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若函数y=logax在(0, +∞)上是减函数，则0<a<1，此时2−a>0，函数y=(2−a)x3在R上是增函数，成立．若y=(2−a)x3在R上是增函数，则2−a>0，即a<2，当1<a<2时，函数y=loga x在(0, +∞)上是增函数，∴函数y=logax在(0, +∞)上是减函数不成立，即“函数y=logax在(0, +∞)上是减函数”是“函数y=(2−a)x3在R上是增函数”的充分而不必要条件，故选：A．7.【答案】B【考点】等差数列的前n项和【解析】根据题意建立等差数列模型，利用等差数列的性质以及求和公式即可得到结论．【解答】解：设该设备第n年的营运费为a n万元，则数列{a n}是以2为首项，2为公差的等差数列，则a n=2n，则该设备使用了n年的营运费用总和为T n=n(2+2n)2=n2+n，设第n年的盈利总额为S n，则S n=11n−(n2+n)−9=−n2+10n−9=−(n−5)2+16，∴当n=5时，S n取得最大值16，故选：B．8.【答案】C【考点】计数原理的应用【解析】根据分类计数加法原理可得，由题意符合条件的点只有两类，一在棱的中点，二在面得中心，问题得以解决．【解答】解：符合条件的点P有两类：(1)6条棱的中点；(2)4个面的中心．共10个点．故集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有4+6=10．故选：C二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）【答案】−2 5【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】由复数代数形式的除法运算化简等式左边，然后利用复数相等的条件求得x，y的值，则x+y可求．【解答】解：∵1−i2+i =(1−i)(2−i)(2+i)(2−i)=1−3i5=15−35i，又1−i2+i =x+yi，∴15−35i=x+yi，∴x=15，y=−35，则x+y=15−35=−25．故答案为：−25．【答案】4,x=−2【考点】抛物线的求解【解析】直线x+y−2=0，令y=0，可得x=2，从而可求p，即可得出结论．【解答】解：直线x+y−2=0，令y=0，可得x=2，∵抛物线C:y2=2px的焦点在直线x+y−2=0上，∴p2=2，∴p=4，准线方程为x=−p2=−2．故答案为：4，x=−2．【答案】−1,3【考点】分段函数的应用【解析】利用分段函数，结合若f(x0)=2，可求实数x0；确定x≤0，x+3≤3；x>0，0<1x+1<1，可得函数f(x)的最大值．【解答】解：x≤0，x+3=2，∴x=−1；x>0，1x+1=2，x=−12（舍去）；x≤0，x+3≤3；x>0，0<1x+1<1，∴函数f(x)的最大值为3．故答案为：−1，3．【答案】256【考点】程序框图【解析】根据程序框图，依次运行，直到满足条件即可得到结论．【解答】解：若a=2，则log3a=log32>4不成立，则a=22=4，若a=4，则log3a=log34>4不成立，则a=42=16，若a =16，则log 3a =log 316>4不成立，则a =162=256 若a =256，则log 3a =log 3256>4成立，输出a =256，故答案为：256 【答案】 (3, 5) 【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应的平面区域，根据平面区域是四边形，即可确定a 的取值范围． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，当直线x +y =a 经过点A(3, 0)时，对应的平面区域是三角形，此时a =3， 当经过点B 时，对应的平面区域是三角形，由{x =12x +y =6，解得{x =1y =4，即B(1, 4)，此时a =1+4=5， ∴ 要使对应的平面区域是平行四边形，则3<a <5，故答案为：(3, 5)【答案】 1,[45, 4]【考点】函数解析式的求解及常用方法 平面向量数量积的运算 【解析】画出图形，建立直角坐标系，设出点P 的坐标，表示出AP →、AD →、PB →、PC →；求出PB →⋅PC →的值，即得y =f(x)的解析式；求出y 的最值，即得f(x)的值域．【解答】解：如图，建立直角坐标系； 设点P(a, b)，则−2≤a ≤−1； ∴ AP →=(a +2, b)，AD →=(1, 2)； PB →=(−a, −b)，PC →=(−a, 2−b)；又∵ AP →=xAD →， ∴ {a +2=xb =2x，即{a =x −2b =2x ，（其中0≤x ≤1）；∴ PB →⋅PC →=(−a, −b)⋅(−a, 2−b)=a 2−b(2−b)=(x −2)2−2x ⋅(2−2x) =5x 2−8x +4；即y =f(x)=5x 2−8x +4，其中0≤x ≤1； ∴ 当x =1时，y =f(1)=5−8+4=1； 当x =−−82×5=45时，y 取得最小值f(45)=45， 当x =0时，y 取得最大值f(0)=4； ∴ f(x)的值域是[45，4]．故答案为：1，[45，4]．三、解答题（共6小题，满分80分）【答案】 解：（1）∵ b 2+c 2=a 2+bc ，即b 2+c 2−a 2=bc ， ∴ cos A =b 2+c 2−a 22bc =12，又∵ A ∈(0, π)，∴ A =π3； （2）∵ cos B =√63，B ∈(0, π)，∴ sin B =√1−cos 2B =√33， 由正弦定理asin A =bsin B ，得a =b sin A sin B=2×√32√33=3．【考点】 余弦定理正弦定理【解析】（1）利用余弦定理表示出cos A，将已知等式变形后代入求出cos A的值，即可确定出A的大小；（2）由cos B的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin B的值，再由sin A，b的值，利用正弦定理即可求出a的值．【解答】解：（1）∵b2+c2=a2+bc，即b2+c2−a2=bc，∴cos A=b2+c2−a22bc =12，又∵A∈(0, π)，∴A=π3；（2）∵cos B=√63，B∈(0, π)，∴sin B=√1−cos2B=√33，由正弦定理asin A =bsin B，得a=b sin Asin B=2×√32√33=3．【答案】（1）根据频率分布表中的数据，得a=30200=0.15，b＝200−(10+30+70+60)＝30，c=60200=0.3．（2）设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件A．由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个，所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为P(A)=100+60200=45．(Ⅲ)由(Ⅱ)得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为60:100:40＝3:5:2．所以按分层抽样法，购买灯泡数n＝3k+5k+2k＝10k(k∈N∗)，所以n的最小值为10．【考点】分层抽样方法古典概型及其概率计算公式【解析】(Ⅰ)由频率分布表中的数据，求出a、b、c的值．(Ⅱ)根据频率分布表中的数据，求出此人购买的灯泡恰好不是次品的概率．(Ⅲ)由这批灯泡中优等品、正品和次品的比例数，再按分层抽样方法，求出购买灯泡数n的最小值．【解答】（1）根据频率分布表中的数据，得a=30200=0.15，b＝200−(10+30+70+60)＝30，c=60200=0.3．（2）设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件A．由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个，所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为P(A)=100+60200=45．(Ⅲ)由(Ⅱ)得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为60:100:40＝3:5:2．所以按分层抽样法，购买灯泡数n＝3k+5k+2k＝10k(k∈N∗)，所以n的最小值为10．【答案】（1）证明：∵底面ABCD是矩形，∴AB // CD，又∵AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB // 平面SCD．（2）证明：∵AB⊥SA，AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，又∵SN⊂平面SAD，∴AB⊥SN．∵SA=SD，且N为AD中点，∴SN⊥AD．∴SN⊥平面ABCD．（3）解：如图，连接BD交NC于点F，在平面SNC中过F作FP // SN交SC于点P，连接PB，PD．∵SN⊥平面ABCD，∴FP⊥平面ABCD．又∵FP⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面ABCD．在矩形ABCD中，∵ND // BC，∴NFFC=NDBC=12．在△SNC中，∵FP // SN，∴NFFC=SPPC=12．则在棱SC上存在点P，使得平面PBD⊥平面ABCD，此时SPPC=12．【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）先判断出AB // CD，进而利用线面平行的判定定理得证．（2）先利用线面垂直的判定定理推断出AB⊥平面SAD，进而推断AB⊥SN．同时利用SA=SD，且N为AD中点，推断出SN⊥AD利用线面垂直判定定理得证．（3）连接BD交NC于点F，在平面SNC中过F作FP // SN交SC于点P，连接PB，PD．通过SN⊥平面ABCD，推断出FP⊥平面ABCD．利用面面垂直的性质推断平面PBD⊥平面ABCD．进而通过ND // BC，推断出NFFC=ND BC 并可求得值，最后通过FP // SN，得出NFFC=SPPC=12．【解答】（1）证明：∵底面ABCD是矩形，∴AB // CD，又∵AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB // 平面SCD．（2）证明：∵AB⊥SA，AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，又∵SN⊂平面SAD，∴AB⊥SN．∵SA=SD，且N为AD中点，∴SN⊥AD．∴SN⊥平面ABCD．（3）解：如图，连接BD交NC于点F，在平面SNC中过F作FP // SN交SC于点P，连接PB，PD．∵SN⊥平面ABCD，∴FP⊥平面ABCD．又∵FP⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面ABCD．在矩形ABCD中，∵ND // BC，∴NFFC =NDBC=12．在△SNC中，∵FP // SN，∴NFFC =SPPC=12．则在棱SC上存在点P，使得平面PBD⊥平面ABCD，此时SPPC =12．【答案】解：（1）由f(x)=ln x−2x，∴f′(x)=1x +2x2，∴k=f′(1)=3，又∵f(1)=−2，∴函数f(x)的图象在点（1, f(1)）处的切线方程为3x−y−5=0；（2）由f(x)>−x+2，得ln x−ax>−x+2，即a<x ln x+x2−2x，设函数g(x)=x ln x+x2−2x，则g′(x)=ln x+2x−1，∵x∈(1, +∞)，∴ln x>0，2x−1>0，∴当x∈(1, +∞)时，g′(x)=ln x+2x−1>0，∴函数g(x)在x∈(1, +∞)上单调递增，∴当x∈(1, +∞)时，g(x)>g(1)=−1，∵对于任意x∈(1, +∞)，都有f(x)>−x+2成立，∴对于任意x∈(1, +∞)，都有a<g(x)成立，∴a≤−1．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）求在某点出的切线方程，关键是求出斜率k，利用导数就可以斜率，再利用点斜式求切线方程．（2）设g(x)=x ln x+x2−2x，则g(x)>a，只要求出g(x)的最小值就可以．【解答】解：（1）由f(x)=ln x−2x，∴f′(x)=1x+2x2，∴k=f′(1)=3，又∵f(1)=−2，∴函数f(x)的图象在点（1, f(1)）处的切线方程为3x−y−5=0；（2）由f(x)>−x+2，得ln x−ax>−x+2，即a<x ln x+x2−2x，设函数g(x)=x ln x+x2−2x，则g′(x)=ln x+2x−1，∵x∈(1, +∞)，∴ln x>0，2x−1>0，∴当x∈(1, +∞)时，g′(x)=ln x+2x−1>0，∴函数g(x)在x∈(1, +∞)上单调递增，∴当x∈(1, +∞)时，g(x)>g(1)=−1，∵对于任意x∈(1, +∞)，都有f(x)>−x+2成立，∴对于任意x∈(1, +∞)，都有a<g(x)成立，∴a≤−1．【答案】（1）解：由题意得椭圆W的半焦距c=1，右焦点F(1, 0)，上顶点M(0, b)，∴直线MF的斜率为k MF=b−00−1=−1，解得b=1，由a2=b2+c2，得a2=2，∴椭圆W的方程为x22+y2=1．（2）证明：设直线l的方程为y=kx+m，其中k=1或2，A(x1, y1)，B(x2, y2)．由方程组{y=kx+mx22+y2=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−2=0，∴△=16k2−8m2+8>0，(∗)由韦达定理，得x1+x2=−4km1+2k2，x1x2=2m2−21+2k2．∴|AB|=√1+k2√(−4km1+2k2)2−4×2m2−21+2k2=√1+k21+2k2√8(2k2−m2+1)．∵原点O到直线y=kx+m的距离d=√1+k2，∴S△AOB=12|AB|⋅d=√21+2k2√m2(2k2−m2+1)≤√21+2k2×m2+2k2−m2+12=√22，当且仅当m2=2k2−m2+1，即2m2=2k2+1时取等号．与k的取值无关系，因此S1=S2．【考点】椭圆的定义【解析】（1）利用椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式即可得出；（2）设直线l的方程为y=kx+m，其中k=1或2，A(x1, y1)，B(x2, y2)．把直线l的方程与椭圆的方程联立可得关于x的一元二次方程及根与系数的关系，进而得到弦长|AB|，利用点到直线的距离公式可得原点到直线l的距离，利用三角形的面积计算公式和基本不等式即可得出．【解答】（1）解：由题意得椭圆W的半焦距c=1，右焦点F(1, 0)，上顶点M(0, b)，∴直线MF的斜率为k MF=b−00−1=−1，解得b=1，由a2=b2+c2，得a2=2，∴椭圆W的方程为x22+y2=1．（2）证明：设直线l的方程为y=kx+m，其中k=1或2，A(x1, y1)，B(x2, y2)．由方程组{y=kx+mx22+y2=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−2=0，∴△=16k2−8m2+8>0，(∗)由韦达定理，得x1+x2=−4km1+2k2，x1x2=2m2−21+2k2．∴|AB|=√1+k2√(−4km1+2k2)2−4×2m2−21+2k2=√1+k21+2k2√8(2k2−m2+1)．∵原点O到直线y=kx+m的距离d=√1+k2，∴S△AOB=12|AB|⋅d=√21+2k2√m2(2k2−m2+1)≤√21+2k2×m2+2k2−m2+12=√22，当且仅当m2=2k2−m2+1，即2m2=2k2+1时取等号．与k的取值无关系，因此S1=S2．【答案】解：（1）解：答案不唯一．如3项子列：12，14，18．…（2）证明：由题意，知1≥b1>b2>b3>b4>b5>0，所以d=b2−b1<0．…因为b5=b1+4d，b1≤1，b5>0，所以4d=b5−b1>0−1=−1，解得d>−14．所以−14<d<0．…（3）证明：由题意，设{c n}的公比为q，则c1+c2+c3+c4+c5+c6=c1(1+q+q2+q3+q4+q5)．因为{c n}为{a n}的一个6项子列，所以q为正有理数，且q<1，c1=1a≤1(a∈N∗)．…设q=KL(K，L∈N∗，且K，L互质，L≥2)．当K=1时，因为q=1L≤12，所以c1+c2+c3+c4+c5+c6=c1(1+q+q2+q3+q4+q5)≤1+12+(12)2+(12)3+(12)4+(12)5，所以c1+c2+c3+c4+c5+c6≤6332．…当K≠1时，因为c6=c1q5=1a×K5L5是{a n}中的项，且K，L互质，所以a=K5×M(M∈N∗)，所以c1+c2+c3+c4+c5+c6=c1(1+q+q2+q3+q4+q5)=1M(1K5+1K4L+1K3L2+1K2L3+1KL4+1L5)．因为L≥2，K，M∈N∗，所以c1+c2+c3+c4+c5+c6≤1+12+(12)2+(12)3+(12)4+(12)5=6332．综上，c 1+c 2+c 3+c 4+c 5+c 6≤6332．…【考点】数列与不等式的综合 数列的应用 等比关系的确定 【解析】（1）由a n =1n (n ∈N ∗)，及等比数列的定义写出一个即可；（2）由a n =1n (n ∈N ∗)得数列{a n }为递减数列，故有题意可得{b n }为递减等差数列，可求得d =b 2−b 1<0，又 b 5=b 1+4d ，b 1≤1，b 5>0，即可证明结论；（3）利用等比数列的定义得 c 1+c 2+c 3+c 4+c 5+c 6=c 1(1+q +q 2+q 3+q 4+q 5)，设c 1=1a ≤1(a ∈N ∗)，q =KL (K ，L ∈N ∗，分类讨论再结合不等式进行放缩得出结论．【解答】解：（1）解：答案不唯一．如3项子列：12，14，18．…（2）证明：由题意，知1≥b 1>b 2>b 3>b 4>b 5>0， 所以 d =b 2−b 1<0．…因为 b 5=b 1+4d ，b 1≤1，b 5>0， 所以 4d =b 5−b 1>0−1=−1， 解得 d >−14．所以−14<d <0．…（3）证明：由题意，设{c n }的公比为q ，则 c 1+c 2+c 3+c 4+c 5+c 6=c 1(1+q +q 2+q 3+q 4+q 5)． 因为{c n }为{a n }的一个6项子列，所以 q 为正有理数，且q <1，c 1=1a ≤1(a ∈N ∗)．… 设 q =KL (K ，L ∈N ∗，且K ，L 互质，L ≥2)．当K =1时， 因为 q =1L ≤12，所以 c 1+c 2+c 3+c 4+c 5+c 6=c 1(1+q +q 2+q 3+q 4+q 5)≤1+12+(12)2+(12)3+(12)4+(12)5， 所以 c 1+c 2+c 3+c 4+c 5+c 6≤6332．… 当K ≠1时，因为 c 6=c 1q 5=1a ×K 5L 5是{a n }中的项，且K ，L 互质，所以 a =K 5×M(M ∈N ∗)，所以 c 1+c 2+c 3+c 4+c 5+c 6=c 1(1+q +q 2+q 3+q 4+q 5)=1M (1K 5+1K 4L +1K 3L 2+1K 2L 3+1KL 4+1L 5)． 因为 L ≥2，K ，M ∈N ∗，所以 c 1+c 2+c 3+c 4+c 5+c 6≤1+12+(12)2+(12)3+(12)4+(12)5=6332． 综上，c 1+c 2+c 3+c 4+c 5+c 6≤6332．…。

北京市西城区高三数学第二次模拟考试 文(西城二模)(含解析)北师大版

北京市西城区高三数学第二次模拟考试 文(西城二模)(含解析)北师大版

北京市西城区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（•西城区二模）复数i•（1﹣i）=（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：复数i•（1﹣i）=1+i．故选A．点评：熟练掌握复数的运算法则及i2=﹣1是解题的关键．2．（5分）（•西城区二模）已知向量=，=．若与共线，则实数λ=（）A．﹣1 B．1C．﹣3 D．3考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理即可得出，解出即可．解答：解：∵，∴，解得λ=﹣1．故答案为A．点评：熟练掌握向量共线定理是解题的关键．3．（5分）（•西城区二模）给定函数：①y=x2；②y=2x；③y=cosx；④y=﹣x3，其中奇函数是（）A．①B．②C．③D．④考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数奇偶性的定义逐项判断即可得到答案．解答：解：：①y=x2是偶函数，故排除A；②y=2x非奇函数也非偶函数，故排除B；③y=cosx为偶函数，故排除C；④令f（x）=﹣x3，定义域为R，且f（﹣x）=﹣（﹣x）3=x3=﹣f（x），所以f（x）是奇函数，故选D．点评：本题考查函数奇偶性的判断，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．4．（5分）（•西城区二模）若双曲线的离心率是2，则实数k=（）A．3B．﹣3 C．D．考点：程序框图．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据双曲线方程可知a和b，进而求得c的表达式，利用离心率为2求得k的值．解答：解：依题意可知，k＜0，故a=1，b=，∴c=，∴==2，求得k=﹣3．故选B．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生的基础知识．5．（5分）（•石景山区二模）如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，则判断框内可以填入（）A．k≤10B．k≤16C．k≤22D．k≤34考点：程序框图．专题：图表型．分析：由程序运行的过程看这是一个求几个数的乘积的问题，验算知2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次．运行5次后，k值变为33，即可得答案．解答：解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是2，由于程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，以后所乘的数依次为3，5，9，17，2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次，运行5次后，k值变为33，故判断框中应填k＜33，或者k≤22．故选C．点评：本题考查识图的能力，考查根据所给信息给循环结构中判断框填加条件以使程序运行的结果是题目中所给的结果．6．（5分）（•石景山区二模）对于直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是（）A．m⊥n，n∥αB．m∥β，β⊥αC．m⊥β，n⊥β，n⊥αD．m⊥n，n⊥β，β⊥α考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意，结合正方体模型，对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的简单说明一下即可．解答：解：对于A，”m⊥n，n∥α”，如正方体中AB⊥BC，BC∥平面A′B′C′D′，但AB与平面A′B′C′D′不垂直，故推不出m⊥α，故A不正确；1 / 7对于B，“m∥β，β⊥α”，如正方体中A′C′∥面ABCD，面ABCD⊥面BCC′B′，但A′C′与平面BCC′B′不垂直．推不出m⊥α，故不正确；对于C，根据m⊥β，n⊥β，得m∥n，又n⊥α，根据线面垂直的判定，可得m⊥α，可知该命题正确；对于D，“m⊥n，n⊥β，β⊥α”，如正方体中AD′⊥AB，AB⊥面BCC′B′，面ABCD⊥面BCC′B′，但AD′与面BCC′B′不垂直，故推不出m⊥α，故不正确．故选C．点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．7．（5分）（•西城区二模）已知函数f（x）=e|x|+|x|．若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：将方程f（x）=k恰有两个不同的实根，转化为方程e|x|=k﹣|x|恰有两个不同的实根，再转化为一个函数y=e|x|的图象与一条折线y=k﹣|x|的位置关系研究．解答：解：方程f（x）=k化为：方程e|x|=k﹣|x|令 y=e|x|，y=k﹣|x|，y=k﹣|x|表示过斜率为1或﹣1的平行折线系，折线与曲线y=e|x|恰好有一个公共点时，有k=1，如图，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（1，+∞）．故选B．点评：本题主要考查根的存在性及根的个数判断，解答关键是利用直线与曲线的位置关系．8．（5分）（•西城区二模）已知集合{1，2，3，4，5}的非空子集A具有性质P：当a∈A时，必有6﹣a∈A．则具有性质P的集合A的个数是（）A．8B．7C．6D．5考点：子集与真子集．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得，满足当a∈A时，必有6﹣a∈A的有3；1、5；2、4三组，列举满足条件的集合，进而可得答案．解答：解：根据题意，满足题意的子集有{3}、{ 1，5}、{ 2，4}、{3，1，5}、{3，2，4}、{3，1，5，2，4}、{1，5，2，4}，共7个；故选B．点评：本题考查集合的子集，关键是理解题意中“当a∈A时，必有6﹣a∈A”的含义．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（•西城区二模）已知直线l1：x﹣3y+1=0，l2：2x+my﹣1=0．若l1∥l2，则实数m= ﹣6 ．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：求出已知直线的斜率，利用两条直线的平行斜率相等，求出m的值即可．解答：解：直线l1：x﹣3y+1=0的斜率为：，因为直线l1：x﹣3y+1=0，l2：2x+my﹣1=0．l1∥l2，所以=，解得m=﹣6；故答案为：﹣6．点评：不考查直线与直线平行的充要条件的应用，考查计算能力．10．（5分）（•石景山区二模）如图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为和，则＞．（填入：“＞”，“=”，或“＜”）考点：茎叶图．专题：图表型．分析：由茎叶图，分别确定出甲、乙两班同学身高数，通过计算平均数比较出大小．解答：解：由茎叶图，甲班平均身高为（151+153+165+167+170+172）÷6=163乙班平均身高为（150+161+162+163+164+172）÷6=162＜163．则＞．故答案为：＞．点评：本题考查茎叶图和平均数，解题的关键是看清所给的数据的个数，以及准确的读取数据．属于基础题．11．（5分）（•石景山区二模）在△ABC中，BC=2，，，则AB= 3 ；△ABC的面积是．考点：正弦定理；三角形的面积公式．专题：计算题；解三角形．分析：根据余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，建立关于边AB 的方程，解之即可得到边AB的值，再由正弦定理关于面积的公式，代入题中数据即可求出△ABC的面积．解答：解：∵在△ABC中，BC=2，，，∴由余弦定理，得AC 2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos，即7=AB2+22﹣2×2×ABcos，化简整理得AB2﹣2AB﹣3=0，可得AB=3（舍去﹣1）根据正弦定理，得△ABC的面积为S=BC•ABsinB=×2×3×sin=故答案为：3，点评：本题给出三角形的两边和其中一边的对角，求第三边的长并求三角形的面积，着重考查了利用正、余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于基础题．12．（5分）（•西城区二模）设a，b随机取自集合{1，2，3}，则直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率是．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；直线与圆相交的性质．专题：概率与统计．分析：由题意可得，直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，化简即a2+b2≥9．所有的（a，b）共有3×3个，用列举法求得满足条件的（a，b）共有5个，由此求得直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率．解答：解：直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，即≤1，即a2+b2≥9．所有的（a，b）共有3×3=9个，而满足条件的（a，b）共有：（1，3）、（2，3）、（3，3）、（3，1）、（3，2），共有5个，故直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率是，故答案为．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．还考查了直线和圆的位置关系的应用，属于基础题．13．（5分）（•西城区二模）已知命题p：函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增；命题q：不等式x2﹣x+c≤0的解集是∅．若p且q为真命题，则实数c的取值范围是（1，+∞）．考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：由函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增可得c﹣1＞0可求p为真时c的范围，由不等式x2﹣x+c≤0的解集是∅可得△=1﹣4c＜0可求q为真时c的范围，然后由p且q为真命题，则p，q都为真命题，可求解答：解：∵函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增∴c﹣1＞0即p：c＞1；∵不等式x2﹣x+c≤0的解集是∅△=1﹣4c＜0∴c即q：c若p且q为真命题，则p，q都为真命题∴，即c＞1故答案为：（1，+∞）点评：本题主要考查了复合命题真假关系的应用，解题的个关键是命题p，q为真是对应c的范围的确定14．（5分）（•西城区二模）在直角坐标系xOy中，已知两定点A（1，0），B（1，1）．动点P（x，y）满足则点P构成的区域的面积是 2 ；点Q（x+y，x﹣y）构成的区域的面积是 4 ．考点：平面向量数量积的运算；简单线性规划．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得，画出可行域为：直角梯形OABD及其内部区域，数形结合求得直角梯形OABD的面积．设点Q（s，t），则x+y=s，x﹣y=t，可得，点Q的可行域为直角三角形OMN及其内部区域，数形结合求得点Q（s，t）构成的区域的面积．解答：解：由题意可得，即，画出可行域为：平行四边形OABD及其内部区域，其中D（0，2），E（1，0），故点P构成的区域的面积是OD×QE=2×1=2．3 / 7设点Q（s，t），则x+y=s，x﹣y=t，即．再由可得，∴点Q的可行域为平行四边形ORMN及其内部区域，如图所示：M（2，0）、N（0，2），故点Q（s，t）构成的区域的面积是2×S△OMN =2×=2×=4，故答案为2，4．点评：本题主要考查简单的线性规划问题，两个向量的数量积的定义，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（•西城区二模）已知等比数列{a n}的各项均为正数，a2=8，a3+a4=48．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4a n．证明：{b n}为等差数列，并求{b n}的前n项和S n．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用等比数列的通项公式即可得出；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论和对数的运算法则进行化简，再计算b n+1﹣b n是否是一个常数即可判定，若是利用等差数列的前n项和公式即可．解答：（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，依题意 q＞0．∵a2=8，a3+a4=48，∴a1q=8，．两式相除得 q2+q﹣6=0，解得 q=2，舍去 q=﹣3．∴．∴数列{a n}的通项公式为．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得．∵，∴数列{b n}是首项为1，公差为的等差数列．∴．点评：熟练掌握等比数列的通项公式、对数的运算法则、等差数列的定义、等差数列的前n项和公式是解题的关键．16．（13分）（•石景山区二模）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．考点：两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由三角函数定义，得 x1=cosα=，由此利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再根据，利用两角和的余弦公式求得结果．（Ⅱ）依题意得 y1=sinα，，分别求得S1 和S2 的解析式，再由S1=2S2 求得cos2α=0，根据α的范围，求得α的值．解答：（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 x1=cosα，．因为，，所以．所以．（Ⅱ）解：依题意得 y1=sinα，．所以，．依题意S1=2S2 得，即sin2α=﹣2[sin2αcos +cos2αsin]=sin2α﹣cos2α，整理得cos2α=0．因为，所以，所以，即．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．17．（14分）（•西城区二模）如图1，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，面ABCD为正方形，E为侧棱PD上一点，F为AB上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）求四面体PBFC的体积；（Ⅱ）证明：AE∥平面PFC；（Ⅲ）证明：平面PFC⊥平面PCD．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）利用左视图可得 F为AB的中点，即可得到三角形BFC的面积，由PA⊥平面ABCD，可知PA是四面体PBFC 的底面BFC上的高，利用三棱锥的体积计算公式即可得到；（II）利用三角形的中位线定理即可得到EQ∥CD，．再利用底面正方形的性质可得AF∥CD，，利用平行四边形的判定和性质定理即可得到AE∥FQ，利用线面平行的判定定理即可证明结论；（III）利用线面垂直的性质定理和判定定理即可得到CD⊥平面PAD，从而得到CD⊥AE，由等腰三角形的性质可得AE⊥PD，利用线面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面PCD，而FQ∥AE，可得FQ⊥平面PCD，利用面面垂直的判定定理即可证明结论．解答：（Ⅰ）解：由左视图可得 F为AB的中点，∴△BFC的面积为．∵PA⊥平面ABCD，∴四面体PBFC 的体积为=．（Ⅱ）证明：取PC中点Q，连接EQ，FQ．由正（主）视图可得 E为PD的中点，∴EQ∥CD，．又∵AF∥CD，，∴AF∥EQ，AF=EQ．∴四边形AFQE为平行四边形，∴AE∥FQ．∵AE⊄平面PFC，FQ⊂平面PFC，∴直线AE∥平面PFC．（Ⅲ）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵平面ABCD为正方形，∴AD⊥CD．∴CD⊥平面PAD．∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE．∵PA=AD，E为PD中点，∴AE⊥PD．∴AE⊥平面PCD．∵AE∥FQ，∴FQ⊥平面PCD．∵FQ⊂平面PFC，∴平面PFC⊥平面PCD．点评：正确理解三视图，熟练掌握三角形BFC的面积、三棱锥的体积计算公式、三角形的中位线定理、正方形的性质、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理、线面垂直的性质定理和判定定理、等腰三角形的性质、面面垂直的判定定理是解题的关键．18．（13分）（•西城区二模）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[2，3]上的最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）把a=2代入函数解析时候，求出f（1）及f′（1），利用直线方程的点斜式求切线方程；（Ⅱ）求出原函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，判断出原函数在各区间段内的单调性，然后根据a的范围分析原函数在区间[2，3]上的单调性，利用函数单调性求出在a的不同取值范围内函数f（x）在区间[2，3]上的最小值．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，且 f'（x）=2x2﹣4x+2﹣a．当a=2时，，f'（1）=2﹣4=﹣2，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，即 6x+3y﹣5=0．（Ⅱ）解：方程f'（x）=0的判别式△=8a＞0，5 / 7令 f'（x）=0，得，或．f（x）和f'（x）的情况如下：x （﹣∞，x1） x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗↘↗故f（x ）的单调增区间为，；单调减区间为．①当0＜a≤2时，x2≤2，此时f（x）在区间（2，3）上单调递增，所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是=．②当2＜a＜8时，x1＜2＜x2＜3，此时f（x）在区间（2，x2）上单调递减，在区间（x2，3）上单调递增，所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是=．③当a≥8时，x1＜2＜3≤x2，此时f（x）在区间（2，3）上单调递减，所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是f（3）==7﹣3a．综上，当0＜a≤2时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是；当2＜a＜8时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是；当a≥8时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是7﹣3a．点评：本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，考查了利用导数判断函数的单调性，训练了利用函数单调性求函数的最值，解答此题的关键是对参数a的分类，考查了分类讨论的数学思想，是中档题．19．（14分）（•石景山区二模）如图，椭圆的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为，求m的值；（Ⅱ）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求m的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意知M是线段AP的中点，由中点坐标公式可得M坐标，代入椭圆方程即可得到m值；（Ⅱ）设M（x0，y0）（﹣1＜x0＜1），则，①由中点坐标公式可用M坐标表示P点坐标，由OP⊥OM得②，联立①②消去y0，分离出m用基本不等式即可求得m的范围；解答：解：（Ⅰ）依题意，M是线段AP的中点，因为A（﹣1，0），，所以点M 的坐标为．由于点M在椭圆C上，所以，解得．（Ⅱ）设M（x0，y0）（﹣1＜x0＜1），则，①因为 M是线段AP的中点，所以 P（2x0+1，2y0）．因为OP⊥OM，所以，所以，即．②由①，②消去y0，整理得．所以，当且仅当时，上式等号成立．所以m 的取值范围是．点评：本题考查直线与圆锥曲线位置关系、椭圆的简单性质，属中档题，垂直问题转化为向量的数量积为0是常用手段，要灵活运用．20．（13分）（•西城区二模）已知集合S n={（x1，x2，…，x n）|x1，x2，…，x n是正整数1，2，3，…，n的一个排列}（n≥2），函数对于（a1，a2，…a n）∈S n，定义：b i=g（a i﹣a1）+g（a i﹣a2）+…+g（a i﹣a i﹣1），i∈{2，3，…，n}，b1=0，称b i为a i的满意指数．排列b1，b2，…，b n为排列a1，a2，…，a n的生成列．（Ⅰ）当n=6时，写出排列3，5，1，4，6，2的生成列；（Ⅱ）证明：若a1，a2，…，a n和a'1，a'2，…，a'n为S n中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于S n中的排列a1，a2，…，a n，进行如下操作：将排列a1，a2，…，a n从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据定义直接可求出n=6时的生成列（Ⅱ）证明：设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a'1，a'2，…，a'n的生成列是与b'1，b'2，…，b'n．从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a'1，a'2，…，a'n第一个不同的项为a k与a'k，则通过比较可知a k≠a'k，只要证明：b k≠b'k．即可（Ⅲ）先设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，则可得b1≥0，b2≥0，…，b k﹣1≥0，b k≤﹣1．然后进行操作，排列a1，a2，…，a n变为排列a k，a1，a2，…a k﹣1，a k+1，…，a n，设该排列的生成列为b'1，b'2，…，b'n，可证解答：（Ⅰ）解：当n=6时，排列3，5，1，4，6，2的生成列为0，1，﹣2，1，4，3．（Ⅱ）证明：设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a'1，a'2，…，a'n的生成列是与b'1，b'2，…，b'n．从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a'1，a'2，…，a'n第一个不同的项为a k与a'k，即：a n=a'n，a n﹣1=a'n﹣1，…，a k+1=a'k+1，a k≠a'k．显然 b n=b'n，b n﹣1=b'n﹣1，…，b k+1=b'k+1，下面证明：b k≠b'k．由满意指数的定义知，a i的满意指数为排列a1，a2，…，a n中前i﹣1项中比a i小的项的个数减去比a i大的项的个数．由于排列a1，a2，…，a n的前k项各不相同，设这k项中有l项比a k小，则有k﹣l﹣1项比a k大，而b k=l﹣（k﹣l﹣1）=2l﹣k+1．同理，设排列a'1，a'2，…，a'n中有l'项比a'k小，则有k﹣l'﹣1项比a'k大，从而b'k=2l'﹣k+1．因为 a1，a2，…，a k与a'1，a'2，…，a'k是k个不同数的两个不同排列，且a k≠a'k，所以l≠l'，从而 b k≠b'k．所以排列a1，a2，…，a n和a'1，a'2，…，a'n的生成列也不同．（Ⅲ）证明：设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 b1≥0，b2≥0，…，b k﹣1≥0，b k≤﹣1．依题意进行操作，排列a1，a2，…，a n变为排列a k，a1，a2，…a k﹣1，a k+1，…，a n，设该排列的生成列为b'1，b'2，…，b'n．所以（b'1+b'2+…+b'n）﹣（b1+b2+…+b n）=[g（a1﹣a k）+g（a2﹣a k）+…+g（a k﹣1﹣a k）]﹣[g（a k﹣a1）+g（a k﹣a2）+…+g（a k﹣a k﹣1）]=﹣2[g（a k﹣a1）+g（a k﹣a2）+…+g（a k﹣a k﹣1）]=﹣2b k≥2．所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．点评：本题以新定义为载体，主要考查了数列知识的综合应用及一定的逻辑推理与运算的能力．7 / 7。

北京市西城区2014年高三5月二模数学文试卷(word版)

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北京市西城区2014年高三5月二模数 学（文科） 2014.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|20}A x x =-<，集合{|1}B x x =>，则（ ） （A ）A B ⊆ （B ）B A ⊆（C ）AB =∅ （D ）A B ≠∅2．在复平面内，复数=(12i)(1i)z +-对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（ ）（A（B）2（C（D）24．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ） （A ） 2A Î，且4A Î （BA ，且4A Î（C ） 2A Î，且A （DAA俯视图侧(左)视图5．设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6．在△ABC 中，若4a =，3b =，1cos 3A =，则B =（ ） （A ）π4 （B ）π3 （C ）π6（D ）2π37. 设函数2244, ,()log , 4.x x x f x x x -+⎧=⎨>⎩≤ 若函数()y f x =在区间(,1)a a +上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） （A ）(,1]-∞ （B ）[1,4]（C ）[4,)+∞（D ）(,1][4,)-∞+∞8. 设Ω为平面直角坐标系xOy 中的点集，从Ω中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为()x Ω，点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为()y Ω.如果Ω是边长为1的正方形，那么()()x y Ω+Ω的取值范围是（ ） （A）（B）（C）（D）[1第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在等差数列{}n a 中，11a =，47a =，则公差d =_____；12n a a a +++=____.10．设抛物线2 4C y x =：的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，且点M 的横坐标为2，则||MF = .11．执行如图所示的程序框图，输出的a 值为______．12．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组0,0,80x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤所表示的平面区域是α，不等式组440,0x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤所表示的平面区域是β. 从区域α中随机取一点(,)P x y ，则P 为区域β内的点的概率是_____． 13．已知正方形ABCD ，AB =2，若将ABD ∆沿正方形的对角线BD 所在的直线进行翻折，则在翻折的过程中，四面体A BCD -的体积的最大值是____.14．已知f 是有序数对集合**{(,)|,}M x y x yN N =挝上的一个映射，正整数数对(,)x y 在映射f下的象为实数z ，记作(,)f x y z =. 对于任意的正整数,()m n m n >，映射f 由下表给出：(,)x y (,)n n (,)m n (,)n m (,)f x yn m n -m n +则(3,5)f =__________，使不等式(2,)4x f x ≤成立的x 的集合是_____________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos (sin cos )1f x x x x =-+.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当π[,0]2x ∈-时，求函数()f x 的最大值和最小值.16．（本小题满分13分）为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A ，B 两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：A 班5名学生的视力检测结果：4.3，5.1，4.6，4.1，4.9.B 班5名学生的视力检测结果：5.1，4.9，4.0，4.0，4.5.（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？ （Ⅱ）由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？（结论不要求证明） （Ⅲ）根据数据推断A 班全班40名学生中有几名学生的视力大于4.6?17．（本小题满分14分）如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，12AA =，E 为1AA 的中点，O 为1BD 的中点. （Ⅰ）求证：平面11A BD ⊥平面11ABB A ； （Ⅱ）求证：//EO 平面ABCD ；（Ⅲ）设P 为正方体1111D C B A ABCD -棱上一点，给出满足条件OP 的点P 的 个数，并说明理由.18．（本小题满分13分）已知函数2e ()1xf x ax x =++，其中a ∈R .（Ⅰ）若0a =，求函数()f x 的定义域和极值；1（Ⅱ）当1a =时，试确定函数()()1g x f x =-的零点个数，并证明.19．（本小题满分14分）设12,F F 分别为椭圆22: 12x W y +=的左、右焦点，斜率为k 的直线l 经过右焦点2F ，且与椭圆W 相交于,A B 两点. （Ⅰ）求1ABF ∆的周长；（Ⅱ）如果1ABF ∆为直角三角形，求直线l 的斜率k .20．（本小题满分13分）在无穷数列{}n a 中，11a =，对于任意*n ∈N ，都有*n a ∈N ，1n n a a +<. 设*m ∈N ， 记使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b .（Ⅰ）设数列{}n a 为1，3，5，7，，写出1b ，2b ，3b 的值；（Ⅱ）若{}n a 为等比数列，且22a =，求12350b b b b ++++的值；（Ⅲ）若{}n b 为等差数列，求出所有可能的数列{}n a .参考答案及评分标准高三数学（文科） 2014.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．A 3．C 4．D5．B 6．A 7．D 8．B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．2 2n 10．3 11．2- 12．1213．14．8 {1,2} 注：第9，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：2()sin cos cos 1f x x x x =-+11cos 2sin 2122xx +=-+ ……………… 4分 111sin 2cos 2222x x =-+π1)42x =-+， ……………… 6分 所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. ……………… 7分 （Ⅱ）解：由 π02x -≤≤，得5πππ2444x --≤≤-.所以 π1sin(2)42x --≤， ……………… 9分所以π1)42x -+≤1，即 ()1f x ≤. ……… 11分当ππ242x -=-，即π8x =-时，函数()f x 取到最小值π1()82f -=；… 12分 当π5π244x -=-，即π2x =-时，函数()f x 取到最大值π()12f -=. …………13分 16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：A 班5名学生的视力平均数为A 4.3+5.1+4.6+4.1 4.9==4.65x +， ………… 2分B 班5名学生的视力平均数为B 5.1+4.9+4.0+4.0 4.5==4.55x +. …………… 3分从数据结果来看A 班学生的视力较好. ……………… 4分 （Ⅱ）解：B 班5名学生视力的方差较大. ……………… 8分 （Ⅲ）解：在A 班抽取的5名学生中，视力大于4.6的有2名，所以这5名学生视力大于4.6的频率为25． ……………… 11分 所以全班40名学生中视力大于4.6的大约有240165⨯=名，则根据数据可推断A 班有16名学生视力大于4.6． ……………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在正方体1111D C B A ABCD -中，因为 11A D ⊥平面11ABB A ，11A D ⊂平面11A BD ，所以平面11A BD ⊥平面11ABB A . ……………… 4分 （Ⅱ）证明：连接BD ，AC ，设BDAC G =，连接OG .因为1111D C B A ABCD -为正方体， 所以 1//DD AE ，且121DD AE =，且G 是BD又因为O 是1BD 的中点，所以 1//DD OG ，且121DD OG =，所以 AE OG //，且AE OG =，即四边形AGOE 是平行四边形，所以//EO AG ， ……………… 6分 又因为 EO ⊄平面ABCD ，⊂AG 平面ABCD ，所以 //EO 平面ABCD . ……………… 9分 （Ⅲ）解：满足条件OP 的点P 有12个. ……………… 12分理由如下：因为 1111D C B A ABCD -为正方体，12AA =， 所以 AC = 1所以 12EO AG AC === ……………… 13分 在正方体1111D C B A ABCD -中，因为 1AA ⊥平面ABCD ，AG ⊂平面ABCD ， 所以 1AA AG ⊥， 又因为 //EO AG ，所以 1AA OE ⊥，则点O 到棱1AA所以在棱1AA 上有且只有一个点（即中点E ）到点O同理，正方体1111D C B A ABCD -每条棱的中点到点O所以在正方体1111D C B A ABCD -棱上使得OP =的点P 有12个. ……… 14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数e ()1xf x x =+的定义域为{|x x ∈R ，且1}x ≠-. ……………… 1分22e (1)e e ()(1)(1)x x xx x f x x x +-'==++. ……………… 3分 令()0f x '=，得0x =，当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：∞……………… 4分故()f x 的单调减区间为(,1)-∞-，(1,0)-；单调增区间为(0,)+∞．所以当0x =时，函数()f x 有极小值(0)1f =. ……………… 5分 （Ⅱ）解：结论：函数()g x 存在两个零点.证明过程如下：由题意，函数2e ()11xg x x x =-++， 因为 22131()024x x x ++=++>， 所以函数()g x 的定义域为R . ……………… 6分求导，得22222e (1)e (21)e (1)()(1)(1)x x x x x x x x g x x x x x ++-+-'==++++， ………………7分令()0g x '=，得10x =，21x =，当x 变化时，()g x 和()g x '的变化情况如下：∞故函数()g x 的单调减区间为(0,1)；单调增区间为(,0)-∞，(1,)+∞．当0x =时，函数()g x 有极大值(0)0g =；当1x =时，函数()g x 有极小值e(1)13g =-. ……………… 9分因为函数()g x 在(,0)-∞单调递增，且(0)0g =，所以对于任意(,0)x ∈-∞，()0g x ≠. ……………… 10分 因为函数()g x 在(0,1)单调递减，且(0)0g =，所以对于任意(0,1)x ∈，()0g x ≠. ……………… 11分因为函数()g x 在(1,)+∞单调递增，且e (1)103g =-<，2e (2)107g =->， 所以函数()g x 在(1,)+∞上仅存在一个0x ，使得函数0()0g x =， ………… 12分 故函数()g x 存在两个零点（即0和0x ）. ……………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：椭圆W 的长半轴长a =1(1,0)F -，右焦点2(1,0)F ， … ……… 2分由椭圆的定义，得12||||2AF AF a +=，12||||2BF BF a+=， 所以1ABF ∆的周长为1212||||||||4AF AF BF BF a +++== ……………… 5分（Ⅱ）解：因为1ABF ∆为直角三角形，所以o 190BF A ∠=，或o 190BAF ∠=，或o190ABF ∠=， 当o 190BF A ∠=时，设直线AB 的方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ， ……………… 6分由 221,2(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得 2222(12)4220k x k x k +-+-=， ……………… 7分所以 2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+. ……………… 8分由o190BF A ∠=，得110F A F B ⋅=， ……………… 9分因为111(1,)F A x y =+，122(1,)F B x y =+， 所以11121212()1F A F B x x x x y y ⋅=++++2121212()1(1)(1)x x x x k x x =++++-- 2221212(1)(1)()1k x x k x x k =++-+++2222222224(1)(1)101212k k k k k k k-=+⨯+-⨯++=++， ……………10分解得k = ……………… 11分 当o190BAF ∠=（与o190ABF ∠=相同）时，则点A 在以线段12F F 为直径的圆221x y +=上，也在椭圆W 上，由22221,21,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得(0,1)A ，或(0,1)A -， ……………… 13分 根据两点间斜率公式，得1k =±，综上，直线l 的斜率7k =±，或1k =±时，1ABF ∆为直角三角形. ……………14分20．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：11b =，21b =，32b =. ……………… 3分 （Ⅱ）解：因为{}n a 为等比数列，11a =，22a =，所以12n n a -=， ……………… 4分 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以11b =，232b b ==，45673b b b b ====，89154b b b ====， 1617315b b b ====，3233506b b b ====， ……………… 6分所以12350243b b b b ++++=. ……………… 8分（Ⅲ）解：由题意，得1231n a a a a =<<<<<， 结合条件*n a ∈N ，得n n a ≥. ……………… 9分 又因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，使得1n a m +≤成立的n 的最大值为1m b +，所以11b =，*1()m m b b m +∈N ≤. ……………… 10分 设2 a k =，则 2k ≥.假设2k >，即2 >2a k =，则当2n ≥时，2n a >；当3n ≥时，1n k a +≥.所以21b =，2k b =.因为{}n b 为等差数列，所以公差210d b b =-=，所以1n b =，其中*n ∈N .这与2(2)k b k =>矛盾，所以22a =. ……………… 11分 又因为123n a a a a <<<<<， 所以22b =，由{}n b 为等差数列，得n b n =，其中*n ∈N . ……………… 12分 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ， 所以n n a ≤，由n n a ≥，得n n a =. ……………… 13分。

北京市西城区高三5月模拟测试(二模)数学(文)试题Word版含答案

北京市西城区高三5月模拟测试(二模)数学(文)试题Word版含答案

北京市西城区高三5月模拟测试(二模)数学(文)试题Word版含答案数学(文科)2018.5西城区高三模拟测试第I卷(选择题共40 分)选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1•若集合 A {x|0 x 1} , B {x|x(A ) AI B (B ) AUB R (C ) A B(D )B A2 .复数11 i1 i1 i1 i(A(B )(C2 22 22 21 2(A ) y(B ) y x(C ) y cosxx4 •某正四棱锥的正(主)视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧棱长是 (A) ,10(B ) (B) 410 (C) 4.11(D ) y ln|x|5.向量a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量共线，则实数(A) 2(B)(C ) 1 22x 0｝，则下列结论中正确的是3•下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)上单调递减的是(D) 26 .设 a,b R ，且 ab 0 .则"ab 1 ”是"a(A )充分而不必要条件 (C )充分必要条件x > 1,7 .设不等式组x y > 3,表示的平面区域为 2x y v 5则实数a 的取值范围是 (A )』,2]2 (C ) [1,2]&地铁某换乘站设有编号为A ,B ,C ,D ,全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号 A , B B , C C , D D , E A , E 疏散乘客时间(s )120220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是1丄”的 b(B )必要而不充分条件 (D )既不充分也不必要条件D .若直线ax y 0上存在区域D 上的点,1 (B ) [—，3]2 (D) [2,3]E 的五个安全出口.若同时开放其中的两个安二、填空题: 本大题共 6小题，每小题 5分，共30分.9 .函数y|x| 2的最大值是10.执行如右图所示的程序框图，输出的 k 值为11.在△ ABC(A) A ( B) B ( C) D ( D) E(非选择题共110分)2 212•双曲线C:^ —1的焦距是9 16切，贝U r ____ •13.为绿化生活环境，某市开展植树活动.今年全年植树万棵•若植树的棵数每年的增长率均为a，则aa 2X, x w 1,14 .已知函数f(x) 1其中a R .如果函数f(x)恰有两个零点，那么a的取值x a, x 1,2范围是三、解答题：本大题共6小题，共80分•解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分13分)在等差数列｛a n｝和等比数列｛b n｝中，d Q 1 , a2 b2 , 2 a°Q .(I)求｛a n｝和｛b n｝的通项公式；(n)求数列｛a n b n｝的前n项和S n.16. (本小题满分13分)已知函数f (x) COS2x.sin x cosx(I)求f (x)的定义域；2 2 2;若圆(X 1) y r (r 0)与双曲线C的渐近线相6.4万棵，计(n)求f(x)的取值范围.17. （本小题满分13分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病.为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（I）求样本中患病者的人数和图中a, b的值；（H）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数;（III ）某研究机构提出，可以选取常数X。

2014北京市西城区2014年高三5月二模

2014北京市西城区2014年高三5月二模

北京市西城区2014年高三5月二模理科综合能力测试生物试题2014.5选择题（共20题每小题6分共120分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．下列关于生物膜的叙述不正确．．．的是A．温度会影响磷脂和膜蛋白分子运动B．膜蛋白是生物膜功能的主要承担者C．有载体蛋白参与的物质跨膜运输方式即为主动运输D．T细胞对抗原的识别与细胞膜上特异的蛋白分子有关2．下列有关酶的叙述不正确．．．的是A．酶通过提供反应所需的活化能来提高反应速度B．酶活性最高时的温度并不适合该酶的长期保存C．酶在一定pH范围内才起作用且受pH变化的影响D．一种酶只能催化一种或一类底物的化学反应3．B基因在人肝脏细胞中的表达产物是含100个氨基酸的B-100蛋白，而在小肠细胞中的表达产物是由前48个氨基酸构成的B-48蛋白。

研究发现，小肠细胞中B基因转录出的mRNA靠近中间位置某一CAA密码子上的C被编辑成了U。

以下判断错误．．的是A．小肠细胞中编辑后的mRNA第49位密码子是终止密码UAAB．B-100蛋白前48个氨基酸序列与B-48蛋白相同C．B-100蛋白和B-48蛋白的空间结构不同D．肝脏和小肠细胞中的B基因结构有差异4．下列关于种群、群落、生态系统的叙述正确的是A．华北地区种植的杨树林构成了一个种群B．群落演替过程中优势种不发生显著变化C．生态系统营养结构越复杂，抗外力干扰的能力越强D．发展生态农业可以实现物质和能量的循环利用5．下列有关实验的叙述正确的是A．取洋葱的外表皮观察细胞的质壁分离现象需用碘液染色B．用黑藻叶片观察细胞质流动时，以叶绿体的运动为参照C．以樱桃为原料酿制酒和醋时，应先供氧进行果醋的发酵D．在外植体脱分化时，应通入足量的CO2以满足光合需要29．（16分）为探究大气CO2浓度上升及紫外线（UV）辐射强度增加对农业生产的影响，研究人员人工模拟一定量的UV辐射和加倍的CO2浓度处理番茄幼苗，直至果实成熟，测定了番茄株高及光合作用相关生理指标，结果见下表。

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北京市西城区2014年高三下学期5月二模数学文试题（WORD版）2014.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|20}A x x =-<，集合{|1}B x x =>，则（ ） （A ）A B ⊆ （B ）B A ⊆（C ）AB =∅ （D ）A B ≠∅2．在复平面内，复数=(12i)(1i)z +-对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（ ）（A（B（C（D4．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ） （A ） 2A Î，且4A Î （BA ，且4A Î（C ） 2A Î，且A Î （DAA Î俯视图侧(左)视图5．设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6．在△ABC 中，若4a =，3b =，1cos 3A =，则B =（ ） （A ）π4 （B ）π3 （C ）π6（D ）2π37. 设函数2244, ,()log , 4.x x x f x x x -+⎧=⎨>⎩≤ 若函数()y f x =在区间(,1)a a +上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） （A ）(,1]-∞ （B ）[1,4]（C ）[4,)+∞（D ）(,1][4,)-∞+∞8. 设Ω为平面直角坐标系xOy 中的点集，从Ω中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为()x Ω，点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为()y Ω.如果Ω是边长为1的正方形，那么()()x y Ω+Ω的取值范围是（ ） （A）（B）[2,（C）（D）[1,第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在等差数列{}n a 中，11a =，47a =，则公差d =_____；12n a a a +++=____.10．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，且点M 的横坐标为2，则||MF = .11．执行如图所示的程序框图，输出的a 值为______．12．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组0,0,80x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤所表示的平面区域是α，不等式组440,0x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤所表示的平面区域是β. 从区域α中随机取一点(,)P x y ，则P 为区域β内的点的概率是_____．13．已知正方形ABCD ，AB =2，若将ABD ∆沿正方形的对角线BD 所在的直线进行翻折，则在翻折的过程中，四面体A BCD -的体积的最大值是____.14．已知f 是有序数对集合**{(,)|,}M x y x yN N =挝上的一个映射，正整数数对(,)x y 在映射f 下的象为实数z ，记作(,)f x y z =. 对于任意的正整数,()m n m n >，映射f 由下表给出：(,)x y (,)n n (,)m n (,)n m (,)f x yn m n -m n +则(3,5)f =__________，使不等式(2,)4x f x ≤成立的x 的集合是_____________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()cos (sin cos )1f x x x x =-+.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当π[,0]2x ∈-时，求函数()f x 的最大值和最小值.16．（本小题满分13分）为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A ，B 两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：A 班5名学生的视力检测结果：4.3，5.1，4.6，4.1，4.9.B 班5名学生的视力检测结果：5.1，4.9，4.0，4.0，4.5.（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？ （Ⅱ）由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？（结论不要求证明） （Ⅲ）根据数据推断A 班全班40名学生中有几名学生的视力大于4.6?17．（本小题满分14分）如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，12AA =，E 为1AA 的中点，O 为1BD 的中点. （Ⅰ）求证：平面11A BD ⊥平面11ABB A ； （Ⅱ）求证：//EO 平面ABCD ；（Ⅲ）设P 为正方体1111D C B A ABCD -棱上一点，给出满足条件OP =的点P 的个数，并说明理由.118．（本小题满分13分）已知函数2e ()1xf x ax x =++，其中a ∈R .（Ⅰ）若0a =，求函数()f x 的定义域和极值；（Ⅱ）当1a =时，试确定函数()()1g x f x =-的零点个数，并证明. 19．（本小题满分14分）设12,F F 分别为椭圆22: 12x W y +=的左、右焦点，斜率为k 的直线l 经过右焦点2F ，且与椭圆W 相交于,A B 两点. （Ⅰ）求1ABF ∆的周长；（Ⅱ）如果1ABF ∆为直角三角形，求直线l 的斜率k .20．（本小题满分13分）在无穷数列{}n a 中，11a =，对于任意*n ∈N ，都有*n a ∈N ，1n n a a +<. 设*m ∈N ， 记使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b .（Ⅰ）设数列{}n a 为1，3，5，7，，写出1b ，2b ，3b 的值；（Ⅱ）若{}n a 为等比数列，且22a =，求12350b b b b ++++的值；（Ⅲ）若{}n b 为等差数列，求出所有可能的数列{}n a .北京市西城区2014年高三二模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科） 2014.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．A 3．C 4．D 5．B 6．A 7．D 8．B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．2 2n 10．3 11．2- 12．1213．14．8 {1,2} 注：第9，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：2()sin cos cos 1f x x x x =-+11cos 2sin 2122xx +=-+ ……………… 4分111sin 2cos 2222x x =-+π1)42x =-+， ……………… 6分所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. ……………… 7分（Ⅱ）解：由 π02x -≤≤，得5πππ2444x --≤≤-.所以 π1sin(2)4x --≤ ……………… 9分所以 π1)42x -+≤1，即 ()1f x ≤. ……… 11分当ππ242x -=-，即π8x =-时，函数()f x 取到最小值π()8f -=；… 12分当π5π244x -=-，即π2x =-时，函数()f x 取到最大值π()12f -=. …………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：A 班5名学生的视力平均数为A 4.3+5.1+4.6+4.1 4.9==4.65x +， (2)分B 班5名学生的视力平均数为B 5.1+4.9+4.0+4.0 4.5==4.55x +. (3)分从数据结果看A 班学生的视力较好. ……………… 4分 （Ⅱ）解：B 班5名学生视力的方差较大. ……………… 8分（Ⅲ）解：在A 班抽取的5名学生中，视力大于4.6的有2名，所以这5名学生视力大于4.6的频率为25． ……………… 11分所以全班40名学生中视力大于4.6的大约有240165⨯=名， 则根据数据可推断A 班有16名学生视力大于4.6． ……………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在正方体1111D C B A ABCD -中，因为 11A D ⊥平面11ABB A ，11A D ⊂平面11A BD ，所以平面11A BD ⊥平面11ABB A . ……………… 4分（Ⅱ）证明：连接BD ，AC ，设BDAC G =，连接OG .因为1111D C B A ABCD -为正方体， 所以 1//DD AE ，且121DD AE =，且G 是BD又因为O 是1BD 的中点，所以 1//DD OG ，且121DD OG =，所以 AE OG //，且AE OG=，即四边形AGOE 是平行四边形，所以//EO AG ， ……………… 6分 又因为EO ⊄平面ABCD ，⊂AG 平面ABCD ，所以 //EO 平面ABCD . ……………… 9分（Ⅲ）解：满足条件OP =的点P 有12个. (12)分理由如下：因为 1111D C B A ABCD -为正方体，12AA =， 所以 AC =所以 12EO AG AC === ……………… 13分在正方体1111D C B A ABCD -中，因为 1AA ⊥平面ABCD ，AG ⊂平面ABCD ， 所以 1AA AG ⊥， 又因为//EO AG ，1所以 1AA OE ⊥，则点O 到棱1AA ，所以在棱1AA 上有且只有一个点（即中点E ）到点O ，同理，正方体1111D C B A ABCD -每条棱的中点到点O ，所以在正方体1111D C B A ABCD -棱上使得OP =的点P 有12个. (14)分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数e ()1xf x x =+的定义域为{|x x ∈R ，且1}x ≠-. (1)分22e (1)e e ()(1)(1)x x xx x f x x x +-'==++. ……………… 3分 令()0f x '=，得0x =，当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下： (4)分故()f x 的单调减区间为(,1)-∞-，(1,0)-；单调增区间为(0,)+∞．所以当0x =时，函数()f x 有极小值(0)1f =. ……………… 5分（Ⅱ）解：结论：函数()g x 存在两个零点.证明过程如下：由题意，函数2e ()11xg x x x =-++， 因为22131()024x x x ++=++>， 所以函数()g x 的定义域为R . ……………… 6分求导，得22222e (1)e (21)e (1)()(1)(1)x x x x x x x x g x x x x x ++-+-'==++++， (7)分令()0g x '=，得10x =，21x =，当x 变化时，()g x 和()g x '的变化情况如下：故函数()g x 的单调减区间为(0,1)；单调增区间为(,0)-∞，(1,)+∞．当0x =时，函数()g x 有极大值(0)0g =；当1x =时，函数()g x 有极小值e(1)13g =-. (9)分因为函数()g x 在(,0)-∞单调递增，且(0)0g =，所以对于任意(,0)x ∈-∞，()0g x ≠. (10)分因为函数()g x 在(0,1)单调递减，且(0)0g =，所以对于任意(0,1)x ∈，()0g x ≠. (11)分因为函数()g x 在(1,)+∞单调递增，且e (1)103g =-<，2e (2)107g =->， 所以函数()g x 在(1,)+∞上仅存在一个0x ，使得函数0()0g x =， ………… 12分 故函数()g x 存在两个零点（即0和0x ）. ……………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：椭圆W的长半轴长a =1(1,0)F -，右焦点2(1,0)F ， ... (2)分由椭圆的定义，得12||||2AF AF a +=，12||||2BF BF a +=， 所以1ABF ∆的周长为1212||||||||4AF AF BF BF a +++== ……………… 5分（Ⅱ）解：因为1ABF ∆为直角三角形，所以o 190BF A ∠=，或o 190BAF ∠=，或o 190ABF ∠=，当o 190BF A ∠=时，设直线AB 的方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ， ……………… 6分 由 221,2(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得 2222(12)4220k x k x k +-+-=， ……………… 7分所以 2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+. ……………… 8分由o 190BF A ∠=，得110F A F B ⋅=， ……………… 9分因为111(1,)F A x y =+，122(1,)F B x y =+，所以11121212()1F A F B x x x x y y ⋅=++++2121212()1(1)(1)x x x x k x x =++++--2221212(1)(1)()1k x x k x x k =++-+++2222222224(1)(1)101212k k k k k k k -=+⨯+-⨯++=++， ……………10分解得k = ……………… 11分当o 190BAF ∠=（与o 190ABF ∠=相同）时，则点A 在以线段12F F 为直径的圆221x y +=上，也在椭圆W 上， 由22221,21,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得(0,1)A ，或(0,1)A -， ……………… 13分根据两点间斜率公式，得1k =±，综上，直线l的斜率k =1k =±时，1ABF ∆为直角三角形. ……………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：11b =，21b =，32b =. ……………… 3分（Ⅱ）解：因为{}n a 为等比数列，11a =，22a =，所以12n n a -=， ……………… 4分因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以11b =，232b b ==，45673b b b b ====，89154b b b ====， 1617315b b b ====，3233506b b b ====， (6)分所以12350243b b b b ++++=. (8)分 （Ⅲ）解：由题意，得1231n a a a a =<<<<<，结合条件*n a ∈N ，得n n a ≥. ……………… 9分又因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，使得1n a m +≤成立的n 的最大值为1m b +，所以11b =，*1()m m b b m +∈N ≤. ……………… 10分设2 a k =，则 2k ≥.假设2k >，即2 >2a k =，则当2n ≥时，2n a >；当3n ≥时，1n k a +≥. 所以21b =，2k b =.因为{}n b 为等差数列，所以公差210d b b =-=，所以1n b =，其中*n ∈N .这与2(2)k b k =>矛盾，所以22a =. ……………… 11分又因为123n a a a a <<<<<，所以22b =，由{}n b 为等差数列，得n b n =，其中*n ∈N . ……………… 12分因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ， 所以n n a ≤，由n na≥，得n na . (13)分。

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