八年级数学下册第1章直角三角形1.4角平分线的性质习题课件新版湘教版
湘教版八年级下册数学：1.4-角平分线的性质-课件(共15张PPT)
例1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分 ∠CAB，DE⊥AB于E，F 在AC上，BE＝FC， 求证：BD＝DF.
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E， ∠C＝90°，∴DE＝DC. 在△BDE和△FDC中， DE=CD ,
∠DEB=∠C,
BE=FC, ∴ △BDE ≌ △FDC （SAS） ∴ BD=DF (全等三角形中对应边相等).
7
合作探究
思 考
分
逆命题
析
到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
它是真命题吗? 如果是.请你证明它.
′ 已知:如图, ∠AOB,
PD⊥OA, PE⊥OB,且PD=PE,垂足分O
A D
P C
别是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
E
分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可
B
以先作出过点P的射线OC,然后证明
11
例2、 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于 点E，
BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BDE＝∠CDF
∠DEB＝∠DFC
BE＝CF
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE＝DF.
C P FB
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分 线上.∵ PF⊥OB，PE⊥OA
且PE＝PF.
∴点P在∠AOB的平分线上.
14
自我检测
1、已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点，
PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.
求证:(1)OC=OD;
八年级数学下册第1章直角三角形1.4角平分线的性质习题课件新版湘教版
(2)①BD与ED有什么关系?为什么? 提示:BD=2ED.∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°, 又∵∠B=30°,∴BD=2ED. ②请结合CD的长,以及CD与ED的关系确定BD的长. 提示:∵ED=CD=1,∴BD=2ED=2.
【总结提升】角平分线图形结构中的两种数量关系 如图,OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,DE交OC于点F, 可以得到以下结论: 1.角之间的相等关系: ∠AOC=∠BOC=∠PDF=∠PEF; ∠ODP=∠OEP=∠DFO=∠EFO=∠DFP=∠EFP;∠DPO=∠EPO =∠ODF=∠OEF. 2.线段的相等关系: OD=OE,DP=EP,DF=EF.
【证明】过点P作PE⊥OA于E,PF⊥OD于F,
∵S△PAB=S△PCD,
∴ A1 B·PE=1 CD·PF.
2
2
∵AB=CD,∴PE=PF.
∴点P在∠AOD的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这
个角的平分线上).
∴OP平分∠AOD.
6.如图,△ABC中,BP,CP分别是∠B,∠C的外角平分线. 求证:点P在∠A的平分线上.
( ×)
知识点 1 角平分线的性质 【例1】(2013·温州中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分 ∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E. (1)求证:△ACD≌△AED. (2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.
【解题探究】(1)①CD与ED有什么关系?为什么? 提示:CD=ED.∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=ED. ②由CD与ED的关系能判定△ACD≌△AED吗?为什么? 提示:能.∵在Rt△ACD和Rt△AED中,AD=AD,CD=ED,∴由“HL” 定理可得Rt△ACD≌Rt△AED.
八年级数学下册 第1章 直角三角形 1.4 角平分线的性质教案2 (新版)湘教版
让学生在掌握角平分线的性质的基础上能应用角平分线的两性质解决一些简单的实际过程。
用数学知识的意识与能力，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发灵活应用两个性质解二、合作交流，探究新知CM,AM MN=ME(三、应用迁移、巩固提高
、如图，你能从∆ABC 中找到一点，使其到三边的距离相等吗？
三角形的三条角平分线的交点。
．求证：点P 到三边AB 、的距离相等．的垂线段的长就、∠根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．PF ，垂足为 E C N D M C
PD=PE=PF
的距离相等．
角的两边距离相等的点在角的平分线上．
深入，解决问题越来越简．像与角平分线有关的求证线段相等、我们可。
湘教版八年级下册数学全册课件
求证：△ABC是直角三角形.
证明：
CD
1 2
AB=
BD=
AD,
∴ ∠1=∠A，∠2=∠B .
∵∠A+∠B+∠ACB =180°， 即∠A+∠B+∠1+∠2=180°，
2(∠A+∠B)=180°.
∴ ∠A+∠B =90°.
∴ △ABC是直角三角形.
2021/8/7
例6 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别 是AB、AC的中点．
∴ BDCB. ∴ CD= BD.
故得
CD=
AD=
BD=
1 2
AB.
∴ 点D'是斜边上的中点，即CD' 是斜边AB的中线.
从而CD与CD' 重合，且 CD 1 AB.
2
性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2021/8/7
例5 已知：如图，CD是△ABC的AB边上的中线，
且
CD
1 2
AB
.
2021/8/7
三 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
问题： 如图，画一个Rt△ABC， 并作出斜边AB上 的中线CD，比较线段CD 与线段AB 之间的数量关 系，你能得出什么结论？
2021/8/7
线段CD 比线段 AB短.
我测量后发现
1
CD = 2 AB.
试给出 数学证
明.
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
湘教版八年级下册数学全册课件
第1章 直角三角形
1.1 直角三角形的性质和判定（Ⅰ）
第1课时 直角三角形的性质和判定
2021/8/7
学习目标
湘教版数学八年级下册 1.4角平分线的性质课件
教学目的：
学习角平分线的性质定理
重点：
角平分线的性质定理
难点：
角平分线性质定理的应用
课前思考与回顾
如何用尺规作角的平分线？
作法：
A
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，
Ｍ
交ＯＢＮ于．
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 ＭＮ的长为
半径作弧．两弧在∠AOB
Ｂ
Ｎ
Ｏ
的内部交于Ｃ．
３．作射线OC．
10㎝，AC＝5㎝，求BE的长?
如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。
A
E
F
B
D
C
应用与提高
已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，
求证：CF=EB。
O
E B
动脑筋
2.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB 于E，则：
⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？
⑵哪条线段与DE相等？为什么？
⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，
求BE，AE的长和△AED的周长。
A
E
D
B
C
练一练
A E
C
B
D
在△ABC中，AC⊥BC，AD为
∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝
证明:
∵PD⊥OA,PE⊥OB
∴∠PDO=∠PEO=90°
又∵∠AOC=∠BOC
OP=OP
O
∴△DOP≌△EOP
∴PD=PE
A
D
八年级数学下册 第1章 直角三角形 1.4 角平分线的性质 第1课时 角平分线的性质练习 湘教版
课时作业(七)第1课时角平分线的性质]一、选择题1．xx·台州如图K－7－1，P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D.假设PD＝2，那么点P到边OA的距离是( )图K－7－1A．2 B．3 C. 3 D．42．如图K－7－2，假设DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，那么对于∠1和∠2的大小关系，以下说法正确的选项是( )图K－7－2A．一定相等B．一定不相等C．当BD＝CD时相等D．当DE＝DF时相等3．如图K－7－3，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，那么P是( )图K－7－3A．线段CD的中点B．OA与OB的中垂线的交点C．OA与CD的中垂线的交点D．CD与∠AOB的平分线的交点4．如图K－7－4，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.那么以下结论中不一定成立的是( )图K －7－4A ．PA ＝PB B ．PO 平分∠APBC ．OA ＝OBD ．AB 垂直平分OP5．xx·枣庄如图K －7－5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点D ，假设CD ＝4，AB ＝15，那么△ABD 的面积为( )图K －7－5A ．15B ．30C ．45D ．606．如图K －7－6，△ABC 的角平分线BO ，CO 交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，OH ⊥BC 于点H.假设∠BAC ＝60°，OH ＝3 cm ，那么OA 的长为( )图K －7－6A ．6 cmB ．5 cmC ．4 cmD ．3 cm7.如图K －7－7，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，BA 和CD 的延长线相交于点E.假设点P 在△EBC 内部，且使得S △PAB ＝S △PCD ，那么满足此条件的点P( )A ．有且只有1个B ．有且只有2个C ．组成△EBC 的∠BEC 的平分线(点E 除外)D ．组成△EBC 的∠BEC 的平分线所在的直线(点E 除外)8．△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别为6 cm ，4 cm ，4 cm ，P 为三条角平分线的交点，那么△ABP ，△BCP ，△ACP 的面积比为( )A ．1∶1∶1B ．2∶2∶3C ．2∶3∶2D ．3∶2∶2 二、填空题9．如图K －7－8，∠AOB ＝70°，QC ⊥OA 于点C ，QD ⊥OB 于点D.假设QC ＝QD ，那么∠AOQ ＝________°.链接听课例3归纳总结图K－7－810．如图K－7－9，O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等．假设∠A＝50°，那么∠BOC＝________°.图K－7－911．如图K－7－10，BD是∠ABC的平分线，P，Q分别是BD，BC上的点，PE⊥BA 于点E，PE＝4 cm，那么PQ的最小值为______cm.12．如图K－7－11，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，那么∠EAB＝________°.图K－7－11三、解答题13．如图K－7－12，铁路OA和铁路OB相交于O处，河道AB与两条铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M在A，B之间，且到铁路OA，OB的距离相等，那么该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出点M的位置．图K－7－1214．如图K－7－13，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE 垂直平分线段AB.(1)试找出图中相等的线段，并说明理由；(2)假设DE＝1 cm，BD＝2 cm，求AC的长.图K－7－1315．如图K－7－14，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD交BE于点O.(1)假设OC＝OB，求证：点O在∠BAC的平分线上；(2)假设点O在∠BAC的平分线上，求证：OC＝OB.图K－7－14归纳猜想∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角尺的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA，OB相交于点D，E.(1)如图K－7－15①，当CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E时，求证：CD＝CE.(2)当三角尺绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图②的情况下，(1)中的结论是否还成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，请写出你的猜想，不需证明．图K－7－15详解详析课堂达标1．[解析] A 如图，过点P 作PE ⊥OA 于点E.∵P 是∠AOB 平分线OC 上一点，PD ⊥OB ，PE ⊥OA ，∴PE ＝PD ＝2.2．[解析] D 因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，即DE ，DF 是点D 到∠BAC 两边的距离，如果DE ＝DF ，根据角平分线的性质定理的逆定理，可知点D 在∠BAC 的平分线上，所以∠1＝∠2.3．D4．[解析] D 根据角平分线的性质知选项A 正确，可证明△OPA ≌△OPB ，从而知选项B ，C 正确．5．[解析] B 由题意得AP 是∠BAC 的平分线，过点D 作DE ⊥AB 于点E.∵∠C ＝90°，∴DE ＝CD ，∴△ABD 的面积＝12AB·DE＝12×15×4＝30.6．[解析] A 过点O 作OE ⊥AB 于点E.∵BO 平分∠ABC ，OH ⊥BC ， ∴OE ＝OH ＝3 cm.过点O 作OF ⊥AC 于点F.又∵CO 平分∠ACB ，OH ⊥BC ， ∴OF ＝OH. 又∵OE ＝OH ， ∴OE ＝OF.又∵OE ⊥AB ，OF ⊥AC ， ∴AO 平分∠BAC. ∵∠BAC ＝60°， ∴∠BAO ＝30°， ∴AO ＝2OE ＝6 cm. 应选A.7．[解析] C 因为AB ＝CD ，假设S △PAB ＝S △PCD ，那么AB ，CD 边上的高必须相等，因此考虑点P 所在的位置到AB ，CD 的距离相等．又因为点P 在△EBC 内部，所以点P 在△EBC 的∠BEC 的平分线上(点E 除外)．应选C.8．[解析] D ∵P 为△ABC 的三条角平分线的交点， ∴点P 到三边AB ，BC 和CA 的距离相等． ∵AB ∶BC ∶CA ＝3∶2∶2，∴S △ABP ∶S △BCP ∶S △ACP ＝AB ∶BC ∶CA ＝3∶2∶2. 9．3510．[答案] 115[解析] ∵∠A ＝50°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝180°－50°＝130°. ∵点O 到△ABC 三边的距离相等， ∴O 是△ABC 角平分线的交点，∴∠OBC ＋∠OCB ＝12(∠ABC ＋∠ACB)＝12×130°＝65°.在△OBC 中，∠BOC ＝180°－(∠OBC ＋∠OCB)＝180°－65°＝115°.故答案为115. 11．412．[答案] 35 [解析] 如图，过点E 作EF ⊥AD 于点F. ∵DE 平分∠ADC ， ∠C ＝90°， ∴EF ＝EC.∵E 是BC 的中点， ∴EC ＝EB ， ∴EB ＝EF.又∵∠B ＝90°，EF ⊥AD ， ∴AE 平分∠DAB.∵∠CED ＝35°，∠C ＝90°， ∴∠CDE ＝90°－35°＝55°. ∵DE 平分∠ADC ， ∴∠CDA ＝110°. ∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴DC ∥AB ，∴∠CDA ＋∠DAB ＝180°， ∴∠DAB ＝70°， ∴∠EAB ＝12∠DAB ＝35°.13.解：作∠AOB 的平分线交AB 于点M ，那么点M 为水厂的位置，图略． 14．解：(1)图中相等的线段有AD ＝BD ，CD ＝DE ，AE ＝BE ＝BC. 理由：∵DE 垂直平分线段AB ， ∴DE 是线段AB 的垂直平分线， ∴AD ＝BD.∵∠C ＝90°，∴DC ⊥BC.又∵DE ⊥AB ，BD 平分∠ABC ， ∴CD ＝DE.由勾股定理，得BE 2＝BD 2－DE 2，BC 2＝BD 2－CD 2，∴BE ＝BC.∵E为AB的中点，∴AE＝BE＝BC.(2)由(1)知CD＝DE＝1 cm，AD＝BD＝2 cm，∴AC＝AD＋CD＝3 cm.15．证明：(1)∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ODB＝∠OEC＝90°.又∵∠EOC＝∠DOB，OC＝OB，∴△COE≌△BOD(AAS)，∴OE＝OD.又∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴点O在∠BAC的平分线上．(2)∵CD⊥AB，BE⊥AC, 点O在∠BAC的平分线上，∴OE＝OD，∠OEC＝∠ODB＝90°.又∵∠EOC＝∠DOB，∴△COE≌△BOD(ASA)，∴OC＝OB.素养提升解：(1)证明：∵OM是∠AOB的平分线，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，∴CD＝CE.(2)(1)中的结论仍然成立．证明：如图，过点C分别作CK⊥OA，垂足为K，CH⊥OB，垂足为H.∵OM为∠AOB的平分线，且CK⊥OA，CH⊥OB，∴CK＝CH，∠CKD＝∠CHE＝90°.又∵∠1与∠2都为旋转角，∴∠1＝∠2.在△CKD与△CHE中，∵∠CKD＝∠CHE，CK＝CH，∠1＝∠2，∴△CKD≌△CHE，∴CD＝CE.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
八年级数学下册 第1章 直角三角形 1.4 角平分线的性质教案2 (新版)湘教版
让学生在掌握角平分线的性质的基础上能应用角平分线的两性质解决一些简单的实际过程。
培养学生的联想、探索、概括归纳的能力灵活应用两个性质解二、合作交流CM,AM MN=ME(三、应用迁移、巩固提高
∆ABC 中找到一点P,使其到三边的距离相等吗？
三角形的三条角平分线的交点。
．求证：点P 到三边AB 、的距离相等．的垂线段的长就、根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．BC,PF AC, E C N D M C
PD=PE=PF
的距离相等．
角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性解决问题越来越简便了。
八年级数学下册 1.4 角平分线的性质(第1课时) 湘教版
证明：∵AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB 于 E， DC⊥AC 于 C， ∴ DE＝ DC. 又∵BD＝ DF， ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB(HL) ， ∴ CF＝ EB.
8．(10 分) 如图，已知CE⊥AB 于点 E，BD⊥AC于点 D，BD、CE交于点 O，AO平分∠BAC. 求证： OB＝ OC.
解： S△ADC＝ 6.
自己选择的路，跪着也要把它走完。
知识点 角平分线的性质
1．已知AD是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于 E，且 DE＝ 6cm， 则点 D 到 AC 的距离是( D ) A． 2cm B． 3cm C． 4cm D． 6cm
2． 在△ABC 内部取一点 P，使得点 P 到△ABC 的三
边距离相等，则点P应是△ABC 的哪三条线的交点( B )
一、选择题(每小题 3 分， 共 9 分)
1．( 遂宁中考)如图，AD是△ABC中∠BAC 的平分线 DE⊥ AB 于点 E， S△ABC＝ 7， DE＝ 2， AB＝ 4 则 AC 长是( A ) A． 3 B． 4 C． 6 D． 5
2．△ABC 中，∠C＝ 90° AD 为角平分线，BC＝32 cm，BD∶DC＝9∶7，则点D到AB 的距离为( B ) A． 12cm B． 14cm C． 16cm D． 18cm
A． 高
B． 角平分线
C． 中线
D．三边的垂直平分线
3．如图，∠AOB＝ 30°，OP平分∠AOB，PC∥OB PD⊥ OB， 如果 PC＝ 6， 那么 PD 等于( B ) A． 4 B． 3 C． 2 D． 1
4．(常德中考) 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝ 90°， AD 是∠BAC 的平分线，DC＝ 2，则D到AB边的距离 是__2__．
八年级下册1、4角平分线的性质第2课时三角形的角平分线习题新版湘教版
3．如图，在△ABC 中，O 为△ABC 的三条角平分线的交点， OF⊥AB，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为 F，D，E，且 AB＝10 cm，BC＝8 cm， AC＝6 cm，则点 O 到三边 AB，BC，AC 的距离分别为( A ) A．2 cm，2 cm，2 cm B．3 cm，3 cm，3 cm C．4 cm，4 cm，4 cm D．2 cm，3 cm，5 cm
如果 AB＝8，BC＝12，△ABG 的面积为 18，则△CBG 的面 积为__2_7_____． 【点拨】易知 BG 为∠ABC 的平分线，如图， 过 G 作 GH⊥BC 于点 H，作 GM⊥AB 于点 M，则 GM＝GH. ∵△ABG 的面积为 18， ∴12AB·GM＝18.∴GM＝92.∴GH＝92. ∴△CBG 的面积为12BC·GH＝12×12×92＝27.
14．观察、猜想与证明： 在△ABC 中，∠ACB＝2∠B.
(1)如图①，当∠C＝90°，AD 为∠BAC 的平分线时，求证：AB ＝AC＋CD；
证明：过 D 作 DE⊥AB，交 AB 于点 E，如图①所示，易知∠ACB ＝∠AED＝90°. ∵∠ACB＝2∠B，∴∠AED＝2∠B. 又∵∠AED＝∠B＋∠EDB， ∴∠B＝∠EDB，∴BE＝DE. ∵AD 为∠BAC 的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC＝DE.∴BE＝DC.
第1章 直角三角形
1.4 角平分线的性质 第2课时 三角形的角平分线
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三边
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1B
2B
3A
4C
5 27
6 125° 7 B
8D
9C
10 A
11 10
12 见习题 13 见习题 14 见习题
八年级数学下册第1章直角三角形1.4角平分线的性质第1课时角平分线的性质练习新版湘教版
课时作业(七)[1.4 第1课时角平分线的性质]一、选择题1．2017·台州如图K－7－1，P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D.若PD＝2，则点P到边OA的距离是( )图K－7－1A．2 B．3 C. 3 D．42．如图K－7－2，若DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则对于∠1和∠2的大小关系，下列说法正确的是( )图K－7－2A．一定相等 B．一定不相等C．当BD＝CD时相等 D．当DE＝DF时相等3．如图K－7－3，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P是( )图K－7－3A．线段CD的中点B．OA与OB的中垂线的交点C．OA与CD的中垂线的交点D．CD与∠AOB的平分线的交点4．如图K－7－4，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.则下列结论中不一定成立的是 ( )图K －7－4A ．PA ＝PB B ．PO 平分∠APBC ．OA ＝OBD ．AB 垂直平分OP5．2017·枣庄如图K －7－5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点D ，若CD ＝4，AB ＝15，则△ABD 的面积为( )图K －7－5A ．15B ．30C ．45D ．60 6．如图K －7－6，已知△ABC 的角平分线BO ，CO 交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，OH ⊥BC 于点H.若∠BAC ＝60°，OH ＝3 cm ，则OA 的长为( )图K －7－6A ．6 cmB ．5 cmC ．4 cmD ．3 cm7.如图K －7－7，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，BA 和CD 的延长线相交于点E.若点P 在△EBC 内部，且使得S △PAB ＝S △PCD ，则满足此条件的点P( )图K －7－7A ．有且只有1个B ．有且只有2个C ．组成△EBC 的∠BEC 的平分线(点E 除外)D ．组成△EBC 的∠BEC 的平分线所在的直线(点E 除外) 8．△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别为6 cm ，4 cm ，4 cm ，P 为三条角平分线的交点，则△ABP ，△BCP ，△ACP 的面积比为( )A ．1∶1∶1B ．2∶2∶3C ．2∶3∶2D ．3∶2∶2 二、填空题9．如图K －7－8，∠AOB ＝70°，QC ⊥OA 于点C ，QD ⊥OB 于点D.若QC ＝QD ，则∠AOQ ＝________°.链接听课例3归纳总结图K－7－810．如图K－7－9，O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等．若∠A＝50°，则∠BOC＝________°.图K－7－911．如图K－7－10，BD是∠ABC的平分线，P，Q分别是BD，BC上的点，PE⊥BA于点E，PE＝4 cm，则PQ的最小值为______cm.图K－7－1012．如图K－7－11，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，则∠EAB＝________°.图K－7－11三、解答题13．如图K－7－12，铁路OA和铁路OB相交于O处，河道AB与两条铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M在A，B之间，且到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出点M的位置．图K－7－1214．如图K－7－13，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分线段AB.(1)试找出图中相等的线段，并说明理由；(2)若DE＝1 cm，BD＝2 cm，求AC的长.图K－7－1315．如图K－7－14，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD交BE于点O.(1)若OC＝OB，求证：点O在∠BAC的平分线上；(2)若点O在∠BAC的平分线上，求证：OC＝OB.图K－7－14归纳猜想已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角尺的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA，OB相交于点D，E.(1)如图K－7－15①，当CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E时，求证：CD＝CE.(2)当三角尺绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图②的情况下，(1)中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明．图K－7－15详解详析课堂达标1．[解析] A 如图，过点P 作PE ⊥OA 于点E.∵P 是∠AOB 平分线OC 上一点，PD ⊥OB ，PE ⊥OA ，∴PE ＝PD ＝2.2．[解析] D 因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，即DE ，DF 是点D 到∠BAC 两边的距离，如果DE ＝DF ，根据角平分线的性质定理的逆定理，可知点D 在∠BAC 的平分线上，所以∠1＝∠2.3．D4．[解析] D 根据角平分线的性质知选项A 正确，可证明△OPA ≌△OPB ，从而知选项B ，C 正确．5．[解析] B 由题意得AP 是∠BAC 的平分线，过点D 作DE ⊥AB 于点E.∵∠C ＝90°，∴DE ＝CD ，∴△ABD 的面积＝12AB·DE＝12×15×4＝30.6．[解析] A 过点O 作OE ⊥AB 于点E.∵BO 平分∠ABC ，OH ⊥BC ， ∴OE ＝OH ＝3 cm.过点O 作OF ⊥AC 于点F. 又∵CO 平分∠ACB ，OH ⊥BC ， ∴OF ＝OH. 又∵OE ＝OH ， ∴OE ＝OF.又∵OE ⊥AB ，OF ⊥AC ， ∴AO 平分∠BAC. ∵∠BAC ＝60°， ∴∠BAO ＝30°， ∴AO ＝2OE ＝6 cm. 故选A.7．[解析] C 因为AB ＝CD ，若S △PAB ＝S △PCD ，则AB ，CD 边上的高必须相等，因此考虑点P 所在的位置到AB ，CD 的距离相等．又因为点P 在△EBC 内部，所以点P 在△EBC 的∠BEC 的平分线上(点E 除外)．故选C.8．[解析] D ∵P 为△ABC 的三条角平分线的交点， ∴点P 到三边AB ，BC 和CA 的距离相等． ∵AB ∶BC ∶CA ＝3∶2∶2，∴S △ABP ∶S △BCP ∶S △ACP ＝AB ∶BC ∶CA ＝3∶2∶2. 9．3510．[答案] 115[解析] ∵∠A ＝50°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝180°－50°＝130°.∵点O 到△ABC 三边的距离相等， ∴O 是△ABC 角平分线的交点，∴∠OBC ＋∠OCB ＝12(∠ABC ＋∠ACB)＝12×130°＝65°.在△OBC 中，∠BOC ＝180°－(∠OBC ＋∠OCB)＝180°－65°＝115°.故答案为115. 11．412．[答案] 35 [解析] 如图，过点E 作EF ⊥AD 于点F. ∵DE 平分∠ADC ， ∠C ＝90°， ∴EF ＝EC.∵E 是BC 的中点， ∴EC ＝EB ， ∴EB ＝EF.又∵∠B ＝90°，EF ⊥AD ， ∴AE 平分∠DAB.∵∠CED ＝35°，∠C ＝90°， ∴∠CDE ＝90°－35°＝55°. ∵DE 平分∠ADC ， ∴∠CDA ＝110°. ∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴DC ∥AB ，∴∠CDA ＋∠DAB ＝180°， ∴∠DAB ＝70°， ∴∠EAB ＝12∠DAB ＝35°.13.解：作∠AOB 的平分线交AB 于点M ，则点M 为水厂的位置，图略． 14．解：(1)图中相等的线段有AD ＝BD ，CD ＝DE ，AE ＝BE ＝BC. 理由：∵DE 垂直平分线段AB ， ∴DE 是线段AB 的垂直平分线， ∴AD ＝BD.∵∠C ＝90°，∴DC ⊥BC. 又∵DE ⊥AB ，BD 平分∠ABC ， ∴CD ＝DE.由勾股定理，得BE 2＝BD 2－DE 2，BC 2＝BD 2－CD 2，∴BE ＝BC. ∵E 为AB 的中点， ∴AE ＝BE ＝BC.(2)由(1)知CD ＝DE ＝1 cm ，AD ＝BD ＝2 cm ， ∴AC ＝AD ＋CD ＝3 cm.15．证明：(1)∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ODB＝∠OEC＝90°.又∵∠EOC＝∠DOB，OC＝OB，∴△COE≌△BOD(记分S)，∴OE＝OD.又∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴点O在∠BAC的平分线上．(2)∵CD⊥AB，BE⊥AC, 点O在∠BAC的平分线上，∴OE＝OD，∠OEC＝∠ODB＝90°.又∵∠EOC＝∠DOB，∴△COE≌△BOD(ASA)，∴OC＝OB.素养提升解：(1)证明：∵OM是∠AOB的平分线，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，∴CD＝CE.(2)(1)中的结论仍然成立．证明：如图，过点C分别作CK⊥OA，垂足为K，CH⊥OB，垂足为H.∵OM为∠AOB的平分线，且CK⊥OA，CH⊥OB，∴CK＝CH，∠CKD＝∠CHE＝90°.又∵∠1与∠2都为旋转角，∴∠1＝∠2.在△CKD与△CHE中，∵∠CKD＝∠CHE，CK＝CH，∠1＝∠2，∴△CKD≌△CHE，∴CD＝CE.。
2020版八年级数学下册第1章直角三角形1.4角平分线的性质课件(新版)湘教版
AO BO, OM ON，
∴Rt△BOM≌Rt△AON(HL)，∴AN=BM.
【学霸提醒】 应用角平分线的性质的两点注意
1.应用角平分线的性质时，角平分线、角平分线上的 点到角两边的距离两个条件缺一不可，不能错用为角 平分线上的点到角两边任意点距离相等.
2.由角平分线的性质不用证全等可以直接得线段相等， 这是证线段相等的一个简便方法.
(1)求∠ABD的度数. (2)求证：AO平分∠BAC. (3)判断BM与AN之间的数量关系，并说明理由.
【自主解答】(1)∵在△ABC中，∠C=90°， ∴∠ABC=∠BAC=45°， 又∵BD是角平分线，∴∠ABD的度数为22.5°. (2)∵OB平分∠CBA，OM⊥BC，OP⊥AB， ∴OM=OP，
1.4 角平分线的性质
【知识再现】 1.角的平分线：在角的内部，把角分成两个相等角的 ___射__线____叫作角的平分线. 2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边 ___相__等____，对应角___相__等____.
3.三角形全等的判定方法：(1)___S_S_S___； (2)___S_A_S___；(3)___A_S_A___； (4)AAS；(5)HL.
【自主解答】略
【学霸提醒】 证明角平分线的“两种方法”
1.定义法：应用角平分线的定义. 2.定理法：应用“角的内部到角的两边的距离相等的 点在角的平分线上”来判定.判定角平分线时，需要满 足两个条件：“垂直”和“相等”.
【题组训练】 1.如图，在△ABC中，∠B=42°， AD⊥BC于点D，点E是BD上一点， EF⊥AB于点F，若ED=EF，则∠AEC的度数为( D ) A.60° B.62° C.64° D.66°
【新知预习】阅读教材P22-24，归纳结论： 1.OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点， 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作 PD⊥OA，PE⊥OB，点D，E为垂足，测量PD，PE的长.将 三次数据填入下表：观察测量结果，猜想线段PD与PE 的大小关系，写出结论为___P_D_=_P_E___.
2019年春八年级数学下册第1章直角三角形1.4角平分线的性质第1课时角平分线的性质课件(新版)湘教版
因为点O到∠CAB两边的距离相等，所以点O在∠CAB的平分线上，
所以AO平分∠CAB.
以上解法是否正确？若不正确，请说明理由，并分线的性质
解：不正确．解法中忽视了OC与OD分别垂直于AC，AB的条件，故产生错
误．正确结论是“AO不一定平分∠CAB”．
第1章
1.4
直角三角形
角平分线的性质
第1章 直角三角形
第1课时
角平分线的性质
知识目标
目标突破
总结反思
1.4 角平分线的性质
知识目标
1．结合角平分线的概念，以测量的形式，得出角平分线的性质定 理并对角平分线的性质定理加以综合应用． 2．从命题的条件与结论的逆反角度，通过验证，推导出角平分线 的性质定理的逆定理并加以应用．
1.4 角平分线的性质
目标突破
目标一 能利用角平分线的性质定理解题
例1 教材补充例题 操作测量：如图1－4－1，OC是∠AOB的平分线，
P是射线OC上的任意一点，取三个不同位置的点P，分别过点P作
PD⊥OA，PE⊥OB，D，E为垂足，测量PD，PE的长，将三次数据填入
下表．观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，结论是
AB＝AC， 中，∵ AD＝AD，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)， ∴∠1＝∠2.
1.4 角平分线的性质
解：填表略，PD＝PE. 证明：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOP＝∠EOP.
∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. 在△ODP与△OEP中， ∵∠DOP＝∠EOP，∠PDO＝∠PEO，
1.4 角平分线的性质
目标二 理解并会用角平分线性质定理的逆定理
湘教版八年级下册数学第1章 直角三角形 角平分线的性质
【答案】B
7.【中考·湘潭】如图，点 P 是∠AOC 的平分线上一点，PD⊥ OA，垂足为点 D，且 PD＝3，点 M 是射线 OC 上一动点，则 PM 的最小值为___3_____．
【点拨】过点 P 作 PT⊥AC 于点 T， ∵AP 平分∠DAC，PT⊥AC，PM⊥AD，∴PM＝PT. ∵CP 平分∠ACE，PT⊥CA，PN⊥CE， ∴PN＝PT，∴PM＝PN.
【答案】B
5．【中考·张家界】如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，DC ＝13AD，BD 平分∠ABC，则点 D 到 AB 的距离等于( C ) A．4 B．3 C．2 D．1
XJ版八年级下
第1章直角三角形
1.4角平分线的性质 第1课时角平分线的性质
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1A 2C 3B 4B
5C 6B 73 8D
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1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说 明∠AOC＝∠BOC 的依据是( A ) A．SSS B．ASA C．AAS D．HL
∴△DFC≌△DEB(AAS)．∴DB＝DC.
8 ． 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， BD 平 分 ∠ ABC ， 交 AC 于 点 D ， BC边上有一点E，连接DE，则AD与DE的关系为( ) D A．AD>DE B．AD＝DE C．AD<DE D．不确定
【点拨】本题易出现错误的主要原因是误认为角平分线 上的点与角两边上的任意一点连接的线段都相等，而忽 略了“到角两边的距离”这一要求，即忽略 DE 与 BC， AB 与 AD 是否垂直，从而错选 B.
2024八年级数学下册第1章直角三角形1.4角平分线的性质第2课时上课课件新版湘教版
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角 平分线有什么关系？ 点P在∠A的平分线上.
这说明三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三角 形三边的距离相等.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点 到三边的距离相等.
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、 OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离 相等，请确定该超市的位置P.
证明：作射线OP，∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°，
D
A
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
OP=OP（公共边），O
P
PD= PE（已知 ），
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
E B
∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）.
温馨提示∴:点这个P在结论∠又AO是B经的常平用来分证线明上点.在直线上(或直线经过
得到什么命题，这个新命题正确吗？
角平分线的性质：
A
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. D
几何语言：
C
∵ OC平分∠AOB，
O
且PD⊥OA， PE⊥OB
P
E
B
∴ PD= PE 猜想:
思考：这个命 题正确吗？
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
证明猜想
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E， PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.
∴点F在∠DAE的平分线上.
拓展思维 5.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要 建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.