湘教版八年级下册数学全册教案

直角三角形的性质

主备人：王勇合备人：周谧洋钟猛教学时间：月日第节总第节

教学目标

知识与技能：1理解并掌握直角三角形的判定定理和斜边上的中线性质定理

2 能应用直角三角形的判定与性质，解决有关问题。

过程与方法：通过对几何问题的“操作—探究—讨论—交流—讲评”的学习过程，提高分析问题和解决问题的能力。

情感、态度与价值观：感受数学活动中的多向思维、合作交流的价值，主动参与

数学思维与交流活动。

教学重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的推导与应用。

教学难点：“操作—探究—讨论—交流—讲评”得出直角三角形斜边上的中线性质定理。

教学过程

一、教学引入

1、三角形的内角和是多少度。学生回答。

2、什么是直角三角形？日常生活中有哪些物品与直角三角形有关？请举例说明。

3、等腰三角形有哪些性质？

二、探究新知

1、探究直角三角形判定定理：

⑴观察小黑板上的三角形，从∠A+∠B的度数，能说明什么？

——两个锐角互余的三角形是直角三角形。

⑵讨论：直角三角形的性质和判定定理是什么关系？

2、探究直角三角形性质定理：

⑴ 学生画出直角三角形ABC 斜边的中线CD 。

⑵ 测量并讨论斜边上的中线的长度与斜边的关系。

⑶ 学生猜想：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半。 3、 共同探究：

例 已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线。 求证：CD=1

2

AB 。

[教师引导：数学方法——倒推法、辅助线]

（分析：要证CD=1

2

AB ，先证CD=AD 、CD=AD ，在同一个三角形中证

明CD=AD ，必须找∠ACD=∠A ，但是题目中没有我们要怎样做呢？作∠1=∠A 。学生注意在作辅助线时只能作一个量。因此，我们要证明∠1与AB 的交点就是中点。）

三、应用迁移 巩固提高

练习：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证，这个三角形是直角三角形。已知CD 是ABC ∆的AB 边上的中线，且CD=1

2AB 。求证ABC ∆是

直角三角形。

提示：倒推法，要证明ABC ∆是直角三角形，只有通过定义和判定定理，定义与判定定理都与角有关系。现在我们只有边的关系，我们学过的边与角能联系起来的就是等腰三角形。还要找到与90°有关的角，但是我们只知道三角形的内角和为180°。通过提示，请同学们自己写出证明过程。

四、课堂小结

1、两个锐角互余的三角形是直角三角形。

2、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。反过来讲也正确。

五、作业布置P7练习题教学反思：

直角三角形的性质的推论

主备人：王勇合备人：周谧洋钟猛教学时间：月日第节总第节

重难点

重点：直角三角形的性质推论：

（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;

（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.

难点：

1.性质定理的证明方法.

2.性质定理及其推论在解题中的应用.

讲一讲

例1：已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D为AB中点，DE⊥AC于E，

∠A=30°，求BC，CD和DE的长

分析：由30°的锐角所对的直角边为斜边的一半，BC可求，由直角三角形斜边中线的性质可求CD.

在Rt△ADE中，有∠A=30°，则DE可求.

解：在Rt△ABC中

∵∠ACB=90 ∠A=30°∴

AB BC

2

1

∵AB=8 ∴BC=4

∵D为AB中点，CD为中线

∴

4

2

1

=

=AB CD

∵DE⊥AC，∴∠AED=90°

在Rt△ADE中，

AD

DE

2

1

=

，

AB

AD

2

1

=

∴

2

4

1

=

=AB DE

例2：已知：△ABC中，AB=AC=BC （△ABC为等边三角形）D为BC边上的中点，

DE⊥AC于E.求证：

AC CE

4

1

=

.

分析：CE在Rt△DEC中，可知是CD的一半，又D为中点，故CD为BC 上的一半，因此可证.

证明：∵DE⊥AC于E，∴∠DEC=90°(垂直定义)

∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC ∠C=60°

∵在Rt△EDC中，∠C=60°，∴∠EDC=90°-60°=30°

∴

CD EC

2

1

=

∵D为BC中点，

∴

BC

DC

2

1

=

∴

AC

DC

2

1

=

∴

AC CE

4

1

=

.

例3：已知：如图AD∥BC，且BD⊥CD，BD=CD，AC=BC. 求证：AB=BO.

分析：证AB=BD只需证明∠BAO=∠BOA

由已知中等腰直角三角形的性质，可知

BC

DF

2

1

=

。由此，建立起AE与

AC之间的关系，故可求题目中的角度，利用角度相等得证.

证明：作DF⊥BC于F，AE⊥BC于E

∵△BDC中，∠BDC=90°，BD=CD

∴

BC DF

2

1

=

∵BC=AC ∴

AC DF

2

1

=

∵DF=AE ∴

AC AE

2

1

=

∴∠ACB=30°

∵∠CAB=∠ABC，∴∠CAB=∠ABC=75°

∴∠OBA=30°

∴∠AOB=75°

∴∠BAO=∠BOA ∴AB=BO

练一练

1.△ABC中，∠BAC=2∠B，AB=2AC，AE平分∠CAB。求证：AE=2CE。

2.已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CE为AB边上的中线，且∠BCD=3∠DCA。

求证：DE=DC。