【全国百强校】山东师范大学附属中学2018届高三上学期第三次模拟考试数学(理)试题

绝密 ★ 启用前 试卷类型A山东师大附中2015级高三第三次模拟考试数学（理科）试卷命题：高三数学备课组本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22题，满分150分． 考试用时120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液，修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是（ ）A. ()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞≠-B. ()0000,,ln 1x x x ∃∉+∞=-C. ()0,,ln 1x x x ∀∉+∞=-D. ()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-2.已知集合{}lg A x y x ==，{}2230B x x x =--<，则A B = （ ）A. )3,0(B. )0,1(-C. (,0)(3,)-∞+∞D. )3,1(- 3.设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，若(4)(0)P X P X >=<，则μ=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 设函数34()log log 1f x a x b x =++，若(2015)3f =，则1()2015f =（ ）A. 1B. 1-C. 2D. 2- 5. 要得到函数sin(2)6y x π=+的图象，需要把函数sin 2y x = 的图象（ ）A. 向左平移6π个单位 B. 向右平移6π个单位 C. 向左平移12π个单位 D. 向右平移12π个单位 6.右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（ ）A. 51B. 58C. 61D. 627. 将编号1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的编 号不能相同，则不同的放球方法有（ ）A. 6种B. 9种C. 12种D. 18种8.4cos 2cos sin xdx x xπ=+⎰( )A. 2(21)-B.21+ C.21- D. 22-9.设不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≥+≤-022y y x y x 所表示的区域为M ，函数21x y --=的图象与x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率为（ ） A.π2B.4π C. 8π D. 16π10. “cos cos a A b B = ”是“ABC ∆为等腰三角形”的（ ）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11. 若点P 是ABC ∆所在平面内的任意一点，满足230PA PB PC ++=，则PBC ∆与PAC ∆的面积之比为（ ）A.12 B. 13 C. 14 D. 1612.设()f x 是定义在R 上的偶函数，满足()(2)f x f x =-，当01x ≤≤时，2()1f x x =-+.方程1()()2xf x =在区间[5,5]-内实根的个数为（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13. 若(1,2),(3,4)a b ==-，则向量a 在向量b 方向上的投影为 .14.为了研究某种细菌在特定条件下随时间变化的繁殖规律，得到了下表中的实验数据，计算回归直线方程为^0.850.25y x =-，由以上信息可得表中的c 值为 .天数x 3 4 5 6 7繁殖数量y （千个）2.5344.5c15.已知2()ni x x-的展开式中第五项与第七项的系数之和为0 ,其中i 为虚数单位，则展开式中常数项为 .16.已知()f x 是R 上的连续可导函数，满足'()()0f x f x ->. 若(1)1f =，则不等式1()x f x e ->的解集为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本题满分10分）在∆ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知1cos 23A =-，3,sin 6sin c A C ==．（I ）求a 的值；（Ⅱ） 若角A 为锐角，求b 的值及∆ABC 的面积．18. （本题满分12分）已知函数2()2ln ()f x x x a x a R =-+∈.（I ）若函数在1x =处的切线与直线420x y --=垂直，求实数a 的值； （Ⅱ） 当0a >时，讨论函数的单调性.19. （本题满分12分）学校从参加安全知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数，成绩80≥分记为优秀）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题： （Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试的平均分； （Ⅲ）为参加市里举办的安全知识竞赛，学校举办预选赛.已知在学校安全知识竞赛中优秀的同学通过预选赛的概率为32，现在从学校安全知识竞赛中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量X 表示这3人中通过预选赛的人数，求X 的分布列与数学期望.20. （本题满分12分）已知3()3cos 22sin()sin()2f x x x x ππ=++-.（Ⅰ）求函数()f x 最小正周期及其图象的对称轴方程；（Ⅱ）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()3f A =-，3a =，求ABC ∆周长的最大值．21.（本题满分12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学，给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.统计情况如下表：（单位：人）几何题 代数题 总计男同学 22 8 30 女同学 8 12 20 总计302050（Ⅰ）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（Ⅱ）经过多次测试发现：女生甲解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，女生乙解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙两人独立解答同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率； （III ）现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行研究，记甲、乙两名女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望. 附表及公式()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++22.（本题满分12分）已知]1,0[,1)1()(∈+-=x e x x f x（Ⅰ）证明：)(x f 图象恒在直线21-=x y 的上方； （Ⅱ）若b xe a x <-<1在)1,0(∈x 恒成立，求a b -的最小值.参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B B C D C C B D A D二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.解：（I）因为，且，所以．因为，由正弦定理，得．（Ⅱ）由得．由余弦定理，得．解得或（舍负）．所以．18.解：函数定义域，求导得（I）由已知得，得；（II）记（1）当即时，，函数在上单调递增；（2）当即时，令，解得.又，故.当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减.综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在单调递增，函数在单调递减.19. 解：（Ⅰ）设分数在[70，80）内的频率为x，根据频率分布直方图，则有（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，可得x=0.3，所以频率分布直方图如图所示．（Ⅱ）平均分为：（Ⅲ）的可能取值为0,1,2,3故所求分布列为X 0 1 2 3P20.解：（Ⅰ）∴，令，解得，∴函数图象的对称轴方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，即，∵，∴，∴，∴．由余弦定理可知当且仅当时等号成立.于是.故周长的最大值为.21.解：（Ⅰ）由表中数据得的观测值，所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关（Ⅱ）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟，则基本事件满足的区域为设事件为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为∴由几何概型即乙比甲先解答完的概率（III）由题可知可能取值为0，1，2，，，故的分布列为：012∴22.解（Ⅰ）由题意只需证即证明在上恒成立。

令，即单调递增。

又，所以在唯一的解，记为，且可得当所以只需最小值易得，，所以.所以结论得证。

（Ⅱ）令，则，所以，当时，要使，只需要使成立，只需恒成立。

令则，由当时，此时有成立。

所以满足条件。

当时，此时有不符合题意，舍去。

当时，令得可得当时，。

即时，不符合题意舍去。

综上，又所以的最小值为。