2020年秋人教版九年级上册数学 第二十三章《旋转》单元检测卷(有答案)

第二十三章检测卷
(120分钟150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
1.下列图形,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是
2.将大写字母E绕点P按顺时针方向旋转90°得到的图形是
3.下列说法中,正确的有
①平行四边形是中心对称图形;②两个全等三角形一定成中心对称;③中心对称图形的对称中心是连接两对称点的线段的中点;④一个图形若是轴对称图形,则一定不是中心对称图形;
⑤一个图形若是中心对称图形,则一定不是轴对称图形.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.如图,已知点O是六边形ABCDEF的中心,图中所有的三角形都是等边三角形,则下列说法正确的是
A.△ODE绕点O顺时针旋转60°得到△OBC
B.△ODE绕点O逆时针旋转120°得到△OAB
C.△ODE绕点F顺时针旋转60°得到△OAB
D.△ODE绕点C逆时针旋转90°得△OAB
5.在直角坐标系中,将点(-2,3)关于原点的对称点向左平移2个单位长度,得到的点的坐标是
A.(4,-3)
B.(-4,3)
C.(0,-3)
D.(0,3)
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,△ABC绕着点B逆时针旋转90°到△A'BC'的位置,则AA'的长为
A.10√2
B.10
C.20
D.5√2
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC,此时点D在AB边上,斜边DE交AC边于点F,则n的大小和图中阴影部分的面积分别为
A.30,2
B.60,2
D.60,√3
C.60,√3
2
8.如图,在平面直角坐标系中,将△ABC绕点C(0,1)旋转180°得到△A'B'C,设点A的坐标为(a,b),则点A'的坐标为
A.(-a,-b)
B.(-a,-b-1)
C.(-a,-b+1)
D.(-a,-b+2)
9.有两个完全重合的直尺,将其中一个始终保持不动,另一个直尺绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转,每次均旋转45°,第1次旋转后得到图①,第2次旋转后得到图②,…,则第10次旋转后得到的图形与图①~④中相同的是
A.图①
B.图②
C.图③
D.图④
10.Rt△ABC中,AB=AC,点D为BC中点.∠MDN=90°,∠MDN绕点D旋转,DM,DN分别与边AB,AC交于E,F两点.下列结论:
①(BE+CF )=√22BC ;②S △AEF ≤1
4S △ABC ;③S 四边形AEDF =AD ·EF ;④AD ≥EF ;⑤AD 与EF 可能互相平
分,其中正确结论的个数是
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.已知a<0,则点P (-a 2,-a+1)关于原点的对称点P'在第 四 象限.
12.如图所示,把一个直角三角尺ACB 绕着30°角的顶点B 顺时针旋转,使得点A 落在CB 延长线上的点E 处,则∠BDC= 15° .
13.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,AB=6,Rt △AB'C'可以看作是由Rt △ABC 绕点A 逆时针方向旋转60°得到的,则线段B'C 的长为 3√7 .
14.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,AC=6√3,BC 的中点为D ,将△ABC 绕点C 顺时针旋转任意一个角度得到△FEC ,EF 的中点为G ,连接DG 在旋转过程中,DG 的最大值是 9 .
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.如图,四边形ABCD绕点O旋转后,顶点A的对应点为点E.试确定旋转后的四边形.
解:如图所示,四边形EB'C'D'即为四边形ABCD绕点O旋转后的四边形.
AB,请你用旋转的16.如图,在正方形ABCD中,E是AD的中点,F是BA延长线上一点,且AF=1
2
方法说明线段BE和DF之间的关系.
AB,∴AE=AF,解:∵四边形ABCD为正方形,∴AD=AB,∠BAD=90°,∵E是AD的中点,AF=1
2
∴△DFA≌△BEA,∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°可得到△ADF,∴BE=DF,BE⊥DF.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,A,B,C三点在格点上.
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出点C1的坐标;
(2)作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2,并写出点C2的坐标.
答案图
解:(1)如图,C 1(-3,2). (2)如图,C 2(-3,-2).
18.已知点P (x+1,2x-1)关于原点的对称点在第一象限,试化简:|x-3|-|1-x|. 解:∵点P (x+1,2x-1)关于原点的对称点P'的坐标为(-x-1,-2x+1),点P'在第一象限,
∴{
-x -1>0,
-2x +1>0,
∴x<-1,
∴|x-3|-|1-x|=-x+3-1+x=2.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.如图,在等边△ABC 中,AC=9,点O 在AC 上,且AO=3,点P 是AB 上的一动点,连接OP ,将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ,要使点D 恰好落在BC 上,求AP 的长. 解:如图,
∵AC=9,AO=3,∴OC=6,
∵△ABC为等边三角形,∴∠A=∠C=60°,
∵线段OP绕点D逆时针旋转60°得到线段OD,要使点D恰好落在BC上,
∴OD=OP,∠POD=60°,
∵∠1+∠2+∠A=180°,∠1+∠3+∠POD=180°,∴∠1+∠2=120°,∠1+∠3=120°,∴∠2=∠3,
在△AOP和△CDO中,{∠A=∠C,∠2=∠3, OP=OD,
∴△AOP≌△CDO,∴AP=CO=6.
20.在平面直角坐标系中,O为原点,B(0,6),A(8,0),以点B为旋转中心把△ABO逆时针旋转,得△A'BO',点O,A旋转后的对应点为O',A',记旋转角为β.
(1)如图1,若β=90°,求AA'的长;
(2)如图2,若β=120°,求点O'的坐标.
解:(1)∵β=90°,∴∠A'BA=90°,
∵A(8,0),B(0,6),∴OA=8,OB=6,
根据勾股定理得,AB=√OA 2+OB 2=√82+62=10, 由旋转的性质得,A'B=AB=10,
在Rt △A'BA 中,根据勾股定理得,AA'=√AB 2+A 'B 2=√102+102=10√2. (2)如图,过点O'作O'C ⊥y 轴于点C , 由旋转的性质得,O'B=OB=6,
∵β=120°,
∴∠OBO'=120°,∴∠O'BC=180°-120°=60°, ∴BC=1
2O'B=1
2×6=3,
CO'=√O 'B 2-BC 2=√62-32=3√3,
∴OC=OB+BC=6+3=9,∴点O'的坐标为(3√3,9).
六、(本题满分12分)
21.如图,在等腰△ABC 中,∠CAB=90°,P 是△ABC 内一点,PA=1,PB=3,PC=√7,将△APB 绕点A 逆时针旋转后与△AQC 重合.求: (1)线段PQ 的长; (2)∠APC 的度数.
解:(1)∵△APB 绕点A 旋转与△AQC 重合,
∴AQ=AP=1,∠QAP=∠CAB=90°, ∴在Rt △APQ 中,PQ=√AQ 2+AP 2=√2.
(2)∵∠QAP=90°,AQ=AP,∴∠APQ=45°.
∵△APB绕点A旋转与△AQC重合,
∴CQ=BP=3.
在△CPQ中,PQ=√2,CQ=3,CP=√7,
∴CP2+PQ2=CQ2,∴∠CPQ=90°,
∴∠APC=∠CPQ+∠APQ=135°.
七、(本题满分12分)
22.如图,▱ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC=√5,对角线BD,AC交于点O.将直线AC绕点O顺时针旋转分别交BC,AD于点E,F.
(1)试说明在旋转过程中,AF与CE总保持相等;
(2)证明:当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形;
(3)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能请说明理由;如果能,求出此时AC绕点O顺时针旋转的角度.
解:(1)在▱ABCD中,AD∥BC,OA=OC,∴∠1=∠2,
在△AOF和△COE中,{∠1=∠2,
OA=OC,
∠3=∠4,
∴△AOF≌△COE(ASA),∴AF=CE.
(2)由题意,∠AOF=90°(如图1),
又∵AB ⊥AC ,∴∠BAO=90°,
∴∠BAO=∠AOF ,∴AB ∥EF ,
∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC ,即AF ∥BE , ∵AB ∥EF ,AF ∥BE ,∴四边形ABEF 是平行四边形.
(3)当EF ⊥BD 时,四边形BEDF 是菱形(如图2).
由(1)知,AF=CE ,∵▱ABCD ,∴AD=BC ,AD ∥BC ,∴DF ∥BE ,DF=BE ,∴四边形BEDF 是平行四边形,
又∵EF ⊥BD ,∴▱BEDF 是菱形,
∵AB ⊥AC ,∴在△ABC 中,∠BAC=90°,∴BC 2=AB 2+AC 2, ∵AB=1,BC=√5,∴AC=22=√(√5)2-12=2, ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OA=1
2AC=1
2×2=1, ∵在△AOB 中,AB=AO=1,∠BAO=90°, ∴∠1=45°,
∵EF ⊥BD ,∴∠BOF=90°,∴∠2=∠BOF-∠1=90°-45°=45°,
即旋转角为45°. 八、(本题满分14分)
23.如图1,在正方形ABCD 中,点M ,N 分别在AD ,CD 上,若∠MBN=45°,易证MN=AM+CN. (1)如图2,在梯形ABCD 中,BC ∥AD ,AB=BC=CD ,点M ,N 分别在AD ,CD 上,若∠MBN=1
∠ABC ,试探究线段MN ,AM ,CN 有怎样的数量关系?请写出猜想,并给予证明.
(2)如图3,在四边形ABCD 中,AB=BC ,∠ABC+∠ADC=180°,点M ,N 分别在DA ,CD 的延长线上,若∠MBN=1∠ABC ,试探究线段MN ,AM ,CN 又有怎样的数量关系?请直接写出猜想,不需证明.
解:(1)MN=AM+CN.理由如下:
如图2,∵BC ∥AD ,AB=BC=CD ,∴梯形ABCD 是等腰梯形,∴∠A+∠BCD=180°,
把△ABM 绕点B 顺时针旋转使AB 边与BC 边重合,则△ABM ≌△CBM',
∴AM=CM',BM=BM',∠A=∠BCM',∠ABM=∠M'BC ,
∴∠BCM'+∠BCD=180°,∴点M',C ,N 三点共线,
∵∠MBN=12∠ABC ,∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC-∠MBN=12∠ABC ,∴∠MBN=∠M'BN ,
在△BMN 和△BM'N 中,{BM =BM ',
∠MBN =∠M 'BN ,BN =BN , ∴△BMN ≌△BM'N (SAS),∴MN=M'N ,
又∵M'N=CM'+CN=AM+CN ,∴MN=AM+CN.
(2)MN=CN-AM.。