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2020新课标版备战高考数学二轮复习难点2.3三角形问题等综合问题测试卷文

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2020新课标高考数学(文)二轮总复习专题限时训练：1-1-2 解三角形 Word版含解析

2020新课标高考数学(文)二轮总复习专题限时训练：1-1-2 解三角形 Word版含解析

专题限时训练 (小题提速练)(建议用时：45分钟)一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( ) A ．－12 B.12 C.－1D.1解析：由a cos A ＝b sin B 可得sin A cos A ＝sin 2B ， 所以sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1. 答案：D2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sin C ，则sin B 为( ) A.74 B.34 C.73D.13解析：由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，且c ＝2a ， 得b ＝2a .∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34，∴sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.故选A 答案：A3．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B.直角三角形 C ．钝角三角形D.不确定解析：由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，因为sin A ≠0，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形． 答案：B4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则角C ＝( ) A.π6 B.π4 C.3π4D.π4或3π4解析：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋bc ，联立得b ＝3＋12c ，代入b 2＝a 2＋bc ，得2a 2＝c 2，由正弦定理，得sin 2C ＝2sin 2A ＝12，∴sin C ＝22.∵b ＝3＋12c ，∴b >c ，∴B >C ，∴C ＝π4.故选B. 答案：B5．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( ) A.32 B.34 C.36D.38解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝π3，所以△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34. 答案：B6．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且cos 2B ＋3cos (A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于( ) A ．3∶1 B.3∶1 C.2∶1D.2∶1解析：由题意可得cos 2B －3cosB ＋2＝0,2cos 2 B －3cos B ＋1＝0，B ∈(0，π)，解得cos B ＝12，故B ＝π3，由正弦定理可得c sinC ＝b sin B ＝332＝2，故选D.答案：D7．如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，垂足为E .若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223B.24C.64D.63解析：依题意得，BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A ，由此解得cos A ＝64. 答案：C8．(2019·昆明模拟)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( ) A ．1 B. 2 C. 3D.2解析：方法一：因为tan ∠BAC ＝－3，所以sin ∠BAC ＝310，cos ∠BAC ＝－110.由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝5＋2－2×5×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－110＝9，所以BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×2×5×310＝32，所以BC 边上的高h ＝2S △ABC BC ＝2×323＝1. 方法二：因为tan ∠BAC ＝－3，所以cos ∠BAC ＝－110<0，则∠BAC 为钝角，因此BC 边上的高小于 2. 答案：A9．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c2，BC →·BA →＝12，则tan B 等于( ) A.32 B.3－1 C.2D.2－ 3解析：由题意得，BC →·BA →＝|BC →|·|BA→|cos B ＝ac cos B ＝12，即cos B ＝12ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12ac ⇒a 2＋c 2－b 2＝1， 所以tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2＝2－ 3.故选D.答案：D10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( ) A ．6 B.5 C.4D.3解析：由正弦定理得a sin A －b sin B ＝4c sin C ⇒a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2. 又由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－14，所以bc ＝6. 答案：A11．如图，海岸线上有相距5 n mile 的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°方向，与A 相距3 2 n mile 的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5 n mile 的C 处，则两艘轮船之间的距离为( )A ．5 n mile B.2 3 n mile C.13 n mileD.3 2 n mile解析：连接AC (图略)，∠ABC ＝60°，BC ＝AB ＝5 n mile ，AC ＝5 n mile ，在△ACD 中，AD ＝3 2 n mile ，AC ＝5 n mile ，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD ＝13 n mile. 答案：C12．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b ，若a ＝1，3c －2b ＝1，则角B 为( ) A.π4 B.π6 C.π3D.π12解析：因为a cos C ＋32c ＝b ，所以sin A cos C ＋32·sin C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以32sin C ＝cos A sin C ，因为sin C ≠0，所以cos A ＝32，因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π6.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，知1＝b 2＋c 2－3bc .联立⎩⎨⎧1＝b 2＋c 2－3bc ，3c －2b ＝1，解得c ＝3，b ＝1，由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝1×121＝12，∵b ＜c ，∴B ＜C ，∴B ＝π6.答案：B 二、填空题13．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为 .解析：设另一条边长为x .则x 2＝22＋32－2×2×3×13， ∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，则sin θ＝223.∴再由正弦定理可得2R ＝x sin θ＝3sin θ＝3223＝924，∴外接圆的半径R ＝928. 答案：92814．(2018·全国新课标卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝________.解析：因为cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝4 2.答案：4 215．已知在△ABC 中，AB ＝1，sin A ＋sin B ＝2sin C ，S △ABC ＝316sin C ，则cos C ＝ .解析：设在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 因为sin A ＋sin B ＝2sin C ，则由正弦定理得a ＋b ＝2c . 又因为S △ABC ＝12ab sin C ＝316sin C ，sin C ≠0，所以ab ＝38，故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －12ab ＝13.答案：1316．(2019·惠州第一次调研)已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4,6)，sin 2A ＝sin C ，则c 的取值范围为________．解析：由4sin A ＝c sin C ，得4sin A ＝csin 2A ，所以c ＝8cos A ，因为16＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以16－b 2＝64cos 2A －16b cos 2A ，又b ≠4，所以cos 2A ＝16－b 264－16b ＝(4－b )(4＋b )16(4－b )＝4＋b 16，所以c 2＝64cos 2A ＝64×4＋b 16＝16＋4b .因为b ∈(4,6)，所以32<c 2<40，所以42<c <210. 答案：(42，210)专题限时训练 (大题规范练)(建议用时：60分钟)1．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C.(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数． 解析：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1， BC ＋AC ＝2AB ，两式相减得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C 得BC ·AC ＝13，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝(AC ＋BC )2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12，所以C ＝60°.2．在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a . (1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解析：(1)∠A ＝60°，c ＝37a ，由正弦定理可得sin C ＝37sin A ＝37×32＝3314. (2)a ＝7，则c ＝3，∴C ＜A ，由(1)可得cos C ＝1314.∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝32×1314＋12×3314＝437.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×7×3×437＝6 3.3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2＋c 2－a 2＝bc . (1)求角A 的大小；(2)设函数f (x )＝sin x 2cos x 2＋3cos 2x2，当f (B )取最大值时，判断△ABC 的形状． 解析：解：(1)在△ABC 中，b 2＋c 2－a 2＝bc ， 根据余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， 而A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)因为f (x )＝sin x 2cos x 2＋3cos 2x2， 所以f (x )＝12sin x ＋32cos x ＋32， 即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋32，则f (B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＋32.因为B ∈(0，π)，所以当B ＋π3＝π2，即B ＝π6时，f (B )取最大值， 此时易知△ABC 是直角三角形．4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos 2A ＋32＝2cos A . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．解析：(1)根据二倍角公式cos 2A ＝2cos 2A －1，得2cos 2A ＋12＝2cos A ，即4cos 2 A －4cos A ＋1＝0，所以(2cos A －1)2＝0，所以cos A ＝12. 因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ， 得b ＝23sin B ，c ＝23sin C ， 所以l ＝1＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C )． 因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3， 所以l ＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6.因为0<B <2π3，所以l ∈(2,3]．。

2020高考数学课标二轮：综合能力训练含解析

2020高考数学课标二轮：综合能力训练含解析
①是底面直径和高均为1的圆锥;
②是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体;
③是底面边长和高均为1的正四棱锥;
④是将上底面直径为2,下底面直径为1,高为1的圆台挖掉一个底面直径为2,高为1的倒置圆锥得到的几何体.
根据祖暅原理,以上四个几何体的体积与T的体积相等的是()
A.①B.②C.③D.④
故答案为3.
14.已知a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;
②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;
③直线AB与a所成角的最小值为45°;
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
2020高考数学课标二轮：综合能力训练含解析
编 辑：__________________
时 间：__________________
综合能力训练第63页
第Ⅰ卷(选择题,共40分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.设集合A={x|x2-2x<0},B= ,则A∩B=()
A.(-∞,1)B.(2,+∞)C.RD.(1,2)
即12=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,当且仅当b=c时,等号成立.
∴S△ABC= bcsinA≤ ×12× =3 .
当且仅当b=c时,△ABC的面积取最大值3 .
16.(13分)设{an}是等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是等比数列,a1=-3,S5=5,b1=a4,b1+b3=3(b2+1).
由OA⊥OB得,x1x2+y1y2=0,即[(1+p)2-(p2+2p)]+[p2-(p2+2p)]=0,化简得2p=1,

2020高考数学二轮复习第2部分专题一三角函数与解三角形必考点文1

2020高考数学二轮复习第2部分专题一三角函数与解三角形必考点文1

(6)若求出2x －的范围，再求函数的最值，同样得分．1．已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性．解：(1)f(x)＝4cos ωxsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π4＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋ 2＝2sin ＋.因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，所以＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin ＋.若0≤x≤，则≤2x＋≤.当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减．类型二 学会审题[例2] 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x ＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ＝，求cos 的值．审题路线图(1)条件：f x 图象上相邻两个最高点距离为π(2)条件：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝343．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(2b,1)，n ＝(2a －c ，cos C)，且m∥n.(1)若b2＝ac ，试判断△ABC 的形状；(2)求y ＝1－的值域．解：(1)由已知，m∥n，则2bcos C ＝2a －c ，由正弦定理，得2sin Bcos C ＝2sin(B ＋C)－sin C ，即2sin Bcos C ＝2sin Bcos C ＋2cos Bsin C －sin C ， 在△ABC 中，sin C≠0，因而2cos B ＝1，则B ＝.又b2＝ac ，b2＝a2＋c2－2accos B ，因而ac ＝a2＋c2－2accos ，即(a －c)2＝0，所以a ＝c ，△ABC 为等边三角形．(2)y ＝1－2cos 2A 1＋tan A＝1－2cos2A －sin2A1＋sin A cos A＝1－2cos A(cos A －sin A)＝sin 2A －cos 2A＝sin ，由已知条件B ＝知A∈.所以，2A －∈.因而所求函数的值域为(－1，]．4．已知函数f(x)＝2sinsin ，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)在△ABC 中，若A ＝，c ＝2，且锐角C 满足f ＝，求△ABC 的面积S.解：(1)由题意得，。

2020年高考数学(理)二轮专项复习专题03 三角函数与解三角形(含答案)

2020年高考数学(理)二轮专项复习专题03 三角函数与解三角形(含答案)

2020年高考数学（理）二轮专项复习专题03 三角函数与解三角形三角函数是一种重要的基本初等函数，它是描述周期现象的一个重要函数模型，可以加深对函数的概念和性质的理解和运用．其主要内容包括：三角函数的概念、三角变换、三角函数、解三角形等四部分．在掌握同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式的基础上，能进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明；理解并能正确解决正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质问题；运用三角公式和正弦定理、余弦定理解斜三角形．重点考查相关的数学思想方法，如方程的思想、数形结合、换元法等．§3－1 三角函数的概念【知识要点】1．角扩充到任意角：通过旋转和弧度制使得三角函数成为以实数为自变量的函数．2．弧度rad 以及度与弧度的互化： 3.57)π180(rad 1,π180;≈===r l α． 3．三角函数的定义：在平面直角坐标系中，任意角α 的顶点在原点，始边在x 轴正半轴上，终边上任意一点P (x ，y )，｜OP ｜＝r (r ≠0)，则;cos ;sin r x r y ==αα⋅=xy αtan5．三角函数线：正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT6．同角三角函数基本关系式：⋅==+αααααcos sin tan ,1cos sin 227．诱导公式：任意角α 的三角函数与角ααα±±-2π,π,等的三角函数之间的关系，可以统一为“k ·2π±α ”形式，记忆规律为“将α 看作锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”．【复习要求】1．会用弧度表示角的大小，能进行弧度制与角度制的互化；会表示终边相同的角；会象限角的表示方法． 2．根据三角函数定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号，牢记特殊角的三角函数值， 3．会根据三角函数定义，求任意角的三个三角函数值． 4．理解并熟练掌握同角三角函数关系式和诱导公式． 【例题分析】例1 (1)已知角α 的终边经过点A (－1，－2)，求sin α ，cos α ，tan α 的值；(2)设角α 的终边上一点),3(y P -，且1312sin =α，求y 的值和tan α ． 解：(1)5||==OA r ，所以.2tan ,55cos ,55252sin ==-==-=-==x y r x r y ααα(2),13123sin ,3||22=+=+==y y y OP r α 得⎪⎩⎪⎨⎧=+>13123022y y y ，解得.3236tan ,6-=-===x y y α 【评析】利用三角函数的定义求某一角三角函数值应熟练掌握，同时应关注其中变量的符号．例2 (1)判断下列各式的符号：①sin330°cos(－260°)tan225° ②sin(－3)cos4 (2)已知cos θ ＜0且tan θ ＜0，那么角θ 是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 (3)已知α 是第二象限角，求角αα2,2的终边所处的位置．解：如图3－1－1，图3－1－2 (1)①330°是第四象限角，sin330°＜0；－260°是第二象限角，cos(－260°)＜0；225°是第三象限角，tan225°＞0；所以sin330°cos(－260°)tan225°＞0.②－3是第三象限角，sin(－3)＜0；5是第四象限角，cos5＞0，所以sin(－3)cos5＜0或：－3≈－3×57.3°＝－171.9°，为第三象限角；5≈5×57.3°＝286.5°，是第四象限角【评析】角的终边所处的象限可以通过在坐标系中逆时针、顺时针两个方向旋转进行判断，图3－1－1，图3－1－2两个坐标系应予以重视．(2)cos θ ＜0，所以角θ 终边在第二或第三象限或在x 轴负半轴上tan θ ＜0，所以角θ 终边在第二或第四象限中，所以角θ 终边在第二象限中，选B.【评析】角的终边在各个象限中时角的函数值的符号应熟练掌握，(3)分析：容易误认为2α是第一象限角，其错误原因为认为第二象限角的范围是),π,2π(α 是第二象限角，所以2k π＋2π＜α ＜2k π＋π，(k ∈Z )，所以,2ππ2π4ππ+<<+k k )(Z ∈k 如下图3－1－3，可得2α是第一象限或第三象限角，又4k π＋π＜2α ＜4k π＋2π，2α 是第三象限或第四象限角或终边落在y 轴负半轴的角．【评析】处理角的象限问题常用方法(1)利用旋转成角，结合图3－1－1，图3－1－2，从角度制和弧度制两个角度处理； (2)遇到弧度制问题也可以由)π180(rad 1=°≈57.3°化为角度处理； (3)在考虑角的终边位置时，应注意考虑终边在坐标轴上的情况． (4)对于象限角和轴上角的表示方法应很熟练． 如第一象限角：)(,2ππ2π2Z ∈+<<k k k α，注意防止2π0<<α的错误写法．例3 (1)已知tan α ＝3，且α 为第三象限角，求sin α ，cos α 的值； (2)已知31cos -=α，求sin α ＋tan α 的值；(3)已知tan α ＝－2，求值：①ααααcos sin cos sin 2-+；②sin 2α ＋sin α cos α ．解：(1)因为α 为第三象限角，所以sin α ＜0，cos α ＜0⎪⎩⎪⎨⎧=+=1cos sin 3cos sin 22αααα，得到.1010cos 10103sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=αα (2)因为031cos <-=α，且不等于－1，所以α 为第二或第三象限角， 当α 为第二象限角时，sin α ＞0，,22cos sin tan ,322cos 1sin 2-===-=ααααα 所以⋅-=+324tan sin αα 当α 为第三象限角时，sin α ＜0，,22cos sin tan ,322cos 1sin 2==-=--=ααααα 所以⋅=+324tan sin αα 综上所述：当α 为第二象限角时，324tan sin -=+αα，当α 为第三象限角时，⋅=+324tan sin αα 【评析】已知一个角的某一个三角函数值，求其余的三角函数值的步骤：(1)先定所给角的范围：根据所给角的函数值的符号进行判断(2)利用同角三角函数的基本关系式，求其余的三角函数值(注意所求函数值的符号) (3)当角的范围不确定时，应对角的范围进行分类讨论(3)(法一)：因为tan α ＝－2，所以.cos 2sin ,2cos sin αααα-=-= ①原式1cos 3cos 3cos cos 2cos cos 4=--=--+-=αααααα，②原式＝(－2cos α )2＋(－2cos α )cos α ＝2cos 2α ，因为⎩⎨⎧=+-=1cos sin cos 2sin 22αααα，得到51cos 2=α，所以⋅=+52cos sin sin 2ααα (法二)：①原式,112141tan 1tan 21cos sin 1cos sin 2=--+-=-+=-+=αααααα②原式⋅=+-=++=++=5214241tan tan tan cos sin cos sin sin 22222αααααααα 【评析】已知一个角的正切值，求含正弦、余弦的齐次式的值：(1)可以利用αααcos sin tan =将切化弦，使得问题得以解决； (2)1的灵活运用，也可以利用sin 2α ＋cos 2α ＝1，αααcos sin tan =，将弦化为切．例4 求值：(1)tan2010°＝______； (2))6π19sin(-＝______； (3)⋅+---+-)2πcos()π3sin()2π3sin()πcos()π2sin(ααααα解：(1)tan2010°＝tan(1800°＋210°)＝tan210°＝tan(180°＋30°)＝3330tan =(2)216πsin )6ππsin()6ππ3sin(619πsin )6π19sin(==+-=+-=-=-或:216πsin )6ππsin()6ππ3sin()6π19sin(==--=--=-【评析】“将α 看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”，6π2π26ππ-⨯-=--，可以看出是2π的－2倍(偶数倍)，借助图3－1－2看出6ππ--为第二象限角，正弦值为正． (3)原式)2πcos()πsin()]2π(πsin[)cos (sin ααααα---+--=⋅⋅⋅⋅-=-=--=αααααααααsin 1sin cos cos sin sin )2πsin(cos ·sin【分析】αα-⨯=-2π32π3，将α 看做锐角，借助图3－1－2看出α-2π3为第三象限角，正弦值为负，2π的3倍(奇数倍)，改变函数名，变为余弦，所以可得ααcos )2π3sin(-=-，同理可得ααsin )2πcos(=+-，所以原式αααααααcsc sin 1sin sin cos )cos (sin -=-=---=⋅⋅⋅.【评析】诱导公式重在理解它的本质规律，对于“将α 看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”要灵活运用，否则容易陷入公式的包围，给诱导公式的应用带来麻烦．例5 已知角α 的终边经过点)5πsin ,5πcos (-，则α 的值为( ) A ．5π- B ．5π4 C )(,π5πZ ∈+-k k D ．)(,π25π4Z ∈+k k解：因为05πsin ,05πcos >>，所以点)5πsin ,5πcos (-在第二象限中，由三角函数定义得，5πtan 5πcos 5πsin tan -=-==x y α，因为角α 的终边在第二象限， 所以)π25π4tan(5π4tan )5ππtan(tan k +==-=α，所以，)(,π25π4Z ∈+=k k α，选D ．例6 化简下列各式：(1)若θ 为第四象限角，化简θθ2sin1tan - (2)化简θθ2tan 1cos +(3)化简)4πcos(4sin 21--解：(1)原式＝|cos |cos sin |cos |tan cos tan 2θθθθθθθ===， 因为θ 为第四象限角，所以cos θ ＞0，原式＝θθθθsin cos cos sin ==⋅，(2)原式＝⋅==+=+=|cos |cos cos 1cos cos sin cos cos cos sin 1cos 222222θθθθθθθθθθθ当θ 为第二、三象限角或终边在x 轴负半轴上时，cos θ ＜0，所以原式1cos cos -=-=θθ，当θ 为第一、四象限角或终边在x 轴正半轴上时，cos θ ＞0，所以原式1cos cos ==θθ.(3)原式|4cos 4sin |)4cos 4(sin 4cos 4sin 212+=+=+=.4弧度属于第三象限角，所以sin4＜0，cos4＜0， 所以原式＝－(sin4＋cos4)＝－sin4－cos4．【评析】利用同角三角函数关系式化简的基本原则和方法： (1)函数名称有弦有切：切化弦；(2)分式化简：分式化整式；(3)根式化简：无理化有理(被开方式凑平方)，运用||2x x =，注意对符号的分析讨论；(4)注意公式(sin α ±cos α )2＝1±2sin α cos α ＝1±sin2α 的应用．例7 扇形的周长为定值L ，问它的圆心角θ (0＜θ ＜π)取何值时，扇形的面积S 最大?并求出最大值． 解：设扇形的半径为)20(Lr r <<，则周长L ＝r ·θ ＋2r (0＜θ ＜π) 所以44214421)2(2121ππ2,22222222++=++=+==⋅=+=θθθθθθθθθθL L L r r S L r ． 因为844244=+⨯≥++θθθθ，当且仅当θθ4=，即θ ＝2∈(0，π)时等号成立．此时16812122L L S =⨯≤，所以，当θ ＝2时，S 的最大值为162L .练习3－1一、选择题1．已知32cos -=α，角α 终边上一点P (－2，t )，则t 的值为( ) A ．5 B ．5± C ．55 D ．55±2．“tan α ＝1”是“Z ∈+=k k ,4ππ2α”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要不而充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知点P (sin α －cos α ，tan α )在第一象限，则在[0，2π]上角α 的取值范围是( )A ．)4π5,π()4π3,2π( B ．)4π5,π()2π,4π(C ．)2π3,4π5()4π3,2π(D ．)π,4π3()2π,4π(4．化简=+170cos 10sin 21( ) A ．sin10°＋cos10° B ．sin10°－cos10° C ．cos10°－sin10°D ．－sin10°－cos10°二、填空题5．已知角α ，β 满足关系2π0;<<<βα，则α －β 的取值范围是______． 6．扇形的周长为16，圆心角为2弧度，则扇形的面积为______．7．若2π3π,sin <<=ααm ，则tan(π－α )＝______． 8．已知：2π4π,81cos sin <<=ααα，则cos α －sin α ＝______．三、解答题9．已知tan α ＝－2，且cos(π＋α )＜0，求 (1)sin α ＋cos α 的值 (2)θθ2cos sin 22-－的值10．已知21tan =α，求值： (1)ααααcos sin cos 2sin -+； (2)cos 2α －2sin α cos α ．11．化简ααααααααtan 1tan cos sin ]π)1cos[(]π)1sin[()πcos()πsin(2+++++++-⋅k k k k§3－2 三角变换【知识要点】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α ＋β )＝sin α cos β ＋cos α sin β ；sin(α －β )＝sin α cos β －cos α sin β ； cos(α ＋β )＝cos α cos β －sin α sin β ；cos(α －β )＝cos α cos β ＋sin α sin β ；⋅+-=--+=+βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(;tan tan 1tan tan )tan(2．正弦、余弦、正切的二倍角公式sin2α ＝2sin α cos α ：cos2α ＝cos 2α －sin 2α ＝1－2sin 2α ＝2cos 2α －1；⋅-=ααα2tan 1tan 22tan 【复习要求】1．牢记两角和、差、倍的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用； 2．掌握三角变换的通法和一般规律； 3．熟练掌握三角函数求值问题． 【例题分析】例1 (1)求值sin75°＝______；(2)设54sin ),π,2π(=∈αα，则=+)4πcos(α______； (3)已知角2α的终边经过点(－1，－2)，则)4πtan(+α的值为______；(4)求值=+-15tan 115tan 1______．解：(1)=︒︒+︒︒=︒+︒=︒30sin 45cos 30cos 45sin )3045sin(75sin 222322+⨯ 21⨯426+=． (2)因为53cos ,54sin ),π,2π(-==∈ααα所以， 1027)5453(22sin 22cos 22)4πcos(-=--=-=+ααα(3)由三角函数定义得，342tan 12tan2tan ,22tan2-=-==αααα， 所以71tan 1tan 1tan 4πtan 14πtantan )4πtan(-=-+=-+=+ααααα. (4)3330tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1=︒=︒-︒=︒︒+︒-︒=︒+︒-⋅==-=+-=+-3330tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1o【评析】两角的和、差、二倍等基本三角公式应该熟练掌握，灵活运用，这是处理三角问题尤其是三角变换的基础和核心．注意αααtan 1tan 1)4πtan(-+=+和αααtan 1tan 1)4πtan(+-=-运用． 例2 求值： (1)=-12πsin 12πcos3______； (2)cos43°cos77°＋sin43°cos167°＝______；(3)=++37tan 23tan 337tan 23tan o ______． 解：(1)原式)12πsin 3πcos 12πcos 3π(sin 2)12πsin 2112πcos 23(2-=-= 24πsin 2)12π3πsin(2==-=.【评析】辅助角公式：,cos ),sin(cos sin 2222ba a xb a x b x a +=++=+ϕϕ⋅+=22sin b a b ϕ应熟练掌握，另外本题还可变形为=-)12πsin 2112πcos 23(2 -12πcos 6π(cos 2.24πcos 2)12π6πcos(2)12πsin 6πsin ==+=(2)分析所给的角有如下关系：77°＋43°＝120°，167°＝90°＋77°，原式＝cos43°cos77°＋sin43°cos(90°＋77°)＝cos43°cos77°－sin43°sin77° ＝cos(43°＋77°)＝cos120°＝⋅-21 (3)分析所给的角有如下关系：37°＋23°＝60°，函数名均为正切，而且出现两角正切的和tan a ＋tan β 与两角正切的积tan α tan β ，所有均指向公式⋅-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(∵,337tan 23tan 137tan 23tan )3723tan(60tan =︒︒-︒+︒=+=∴,37tan 23tan 3337tan 23tan-=+∴337tan 23tan 337tan 23tan =++o ．【评析】三角变换的一般规律：看角的关系、看函数名称、看运算结构．以上题目是给角求值问题，应首看角的关系：先从所给角的关系入手，观察所给角的和、差、倍是否为特殊角，然后看包含的函数名称，以及所给三角式的结构，结合三角公式，找到题目的突破口．公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+的变形tan α ＋tan β ＝tan(α＋β )(1－tan α tan β )应予以灵活运用．例3 41)tan(,52)tan(=-=+βαβα，则tan2α ＝______； (2)已知1312)4πsin(,53)sin(),π,4π3(,=--=+∈ββαβα，求)4πcos(+α的值．解：(1)分析所给的两个已知角α ＋β ，α －β 和所求的角2α 之间有关系(α ＋β )＋(α －β )＝2α ，=-++=)]()tan[(2tan ββa a a 1813415214152)tan()tan(1)tan()tan(=⨯-+=-+--++βαβαβαβα， (2)∵)π,4π3(,∈βα，∴)43,2π(4π),π2,23π(π∈-∈+ββα，又∵53)sin(-=+βα，∴54)cos(=+βα； ∵1312)4πsin(=-β，∴135)4πcos(-=-β．)4πsin()sin()4πcos()cos()]4π()cos[()4πcos(-++-+=--+=+ββαββαββαα65561312)53()135(54-=⨯-+-⨯=. 【评析】此类题目重在考察所给已知角与所求角之间的运算关系，主要是指看两角之间的和、差、倍的关系，如αββαααββα2)(,4π)4π()(，+-=+=--+++=)(βα)(βα-等，找到它们的关系可以简化运算，同时在求三角函数值时应关注函数值的符号．例4 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α ，β ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为552,102.(Ⅰ)求tan(α ＋β )的值； (Ⅱ)求α ＋2β 的值．解：由三角函数定义可得552cos ,102cos ==βα， 又因为α ，β 为锐角，所以55sin ,1027sin ==βα，因此tan α ＝7，21tan =β (Ⅰ)3tan tan 1tan tan )tan(-=-+=+βαβαβα；(Ⅱ) 34tan 1tan 22tan 2=-=βββ，所以12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβαβα， ∵α ，β 为锐角，∴4π32,2π320=+∴<+<βαβα 【评析】将三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式结合在一起进行考查，要求基础知识掌握牢固，灵活运用；根据三角函数值求角，注意所求角的取值范围．例5 化简(1)12cos2sin22sin 22cos 2-+αααα；(2).2sin 3)4πcos()4πcos(2x x x +-+解：(1)原式⋅+-=--=--=-=)4πsin(2sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos 22αααααααααα(2)法一：原式x x x x x 2sin 3)sin 22cos 22)(sin 22cos 22(2++-= x x x 2sin 3sin cos 22+-=⋅+=+=+=)6π2sin(2)2sin 232cos 21(22sin 32cos x x x x x法二：,2π)4π()4π(=--+x x 原式x x x 2sin 3)4πcos()]4π(2πcos[2+--+=x x x x x 2sin 3)2π2sin(2sin 3)4πcos()4πsin(2+--=+---=⋅+=+=)6π2sin(22sin 32cos x x x【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手，注意二倍角的变式(降幂升角)和辅助角公式的应用，此类变换是处理三角问题的基础．例6 (1)已知α 为第二象限角，且415sin =α，求12cos 2sin )4πsin(+++ααα的值． (2)已知323cos sin 32cos 62-=-x x x ，求sin2x 的值． 解：(1)因为α 为第二象限角，且415sin =α，所以41cos -=α， 原式.2cos 42)cos (sin cos 2)cos (sin 221)1cos 2(cos sin 2)cos (sin 222-==++=+-++=ααααααααααα 【评析】此类题目为给值求值问题，从分析已知和所求的三角式关系入手，如角的关系，另一个特征是往往先对所求的三角式进行整理化简，可降低运算量．(2)因为32sin 32cos 32sin 322cos 16+-=-+⋅x x x x3233)6π2cos(323)2sin 212cos 23(32-=++=+-=x x x 所以0)6π2sin(,1)6π2cos(=+-=+x x 216πsin )6π2cos(6πcos )6π2sin(]6π)6π2sin[(2sin =+-+=-+=x x x x【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手，注意二倍角的变式(降幂升角)22cos 1sin ,22cos 1cos 22αααα-=+=和辅助角公式的应用，此类变换是处理三角问题的基础，因为处理三角函数图象性质问题时往往先进行三角变换．练习3－2一、选择题1．已知53sin ),π,2π(=∈αα，则)4πtan(+α等于( ) A ．71 B ．7 C ．71-D ．－72．cos24°cos54°－sin24°cos144°＝( ) A ．23-B ．21 C ．23 D ．21-3．=-o30sin 1( ) A ．sin15°－cos15° B ．sin15°＋cos15° C ．－sin15°－cos15° D ．cos15°－sin15°4．若22)4πsin(2cos -=-αα，则cos α ＋sin α 的值为( ) A ．27-B ．21-C ．21 D ．27 二、填空题 5．若53)2πsin(=+θ，则cos2θ ＝______． 6．=-10cos 310sin 1______．7．若53)cos(,51)cos(=-=+βαβα，则tan α tan β ＝______． 8．已知31tan -=α，则=+-ααα2cos 1cos 2sin 2______． 三、解答题 9．证明⋅=++2tan cos 1cos .2cos 12sin ααααα10．已知α 为第四象限角，且54sin -=α，求ααcos )4π2sin(21--的值．11．已知α 为第三象限角，且33cos sin =-αα. (1)求sin α ＋cos α 的值；(2)求αααααcos 82cos 112cos2sin82sin 522-++的值．§3－3 三角函数【知识要点】12π 2π π Z2．三角函数图象是研究三角函数的有效工具，应熟练掌握三角函数的基本作图方法．会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(A ＞0，ω ＞0)的简图．3．三角函数是描述周期函数的重要函数模型，通过三角函数体会函数的周期性．函数y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(ω ≠0)的最小正周期：||π2ω=T ；y ＝A tan(ω x ＋ϕ)(ω ≠0)的最小正周期：||πω=T ．同时应明确三角函数与周期函数是两个不同的概念，带三角函数符号的函数不一定是周期函数，周期函数不一定带三角函数符号．【复习要求】1．掌握三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象性质：定义域、值域(最值)、单调性、周期性、奇偶性、对称性等．2．会用五点法画出函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(A ＞0，ω ＞0)的简图，掌握图象的变换方法，并能解决相关图象性质的问题．3．本节内容应与三角恒等变换相结合，通过变换，整理出三角函数的解析式，注意使用换元法，转化为最基本的三个三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x ，结合三角函数图象，综合考察三角函数性质 【例题分析】例1 求下列函数的定义域(1)xxy cos 2cos 1+=；(2)x y 2sin =.解：(1)cos x ≠0，定义域为},2ππ|{Z ∈+≠k k x x (2)sin2x ≥0，由正弦函数y ＝sin x 图象(或利用在各象限中和轴上角的正弦函数值的符号可得终边在第一二象限，x 轴，y 轴正半轴上) 可得2k π≤2x ≤2k π＋π， 定义域为},2πππ|{Z ∈+≤≤k k x k x例2 求下列函数的最小正周期 (1))23πsin(x y -=；(2))4π2πtan(+=x y ；x y 2cos )3(2=； (4)y ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ；(5)y ＝｜sin x ｜．解：(1)π|2|π2=-=T ．(2)22ππ==T ．(3)214cos 2124cos 1+=+=x x y ，所以2π=T .(4)1)4π2sin(212cos 2sin 2sin 22cos 12+-=+-=+-⨯=x x x x x y ，所以T ＝π．(5)y ＝｜sin x ｜的图象为下图，可得，T ＝π．【评析】(1)求三角函数的周期时，通常利用二倍角公式(降幂升角)和辅助角公式先将函数解析式进行化简，然后用||π2ω=T (正余弦)或||πω=T (正切)求最小正周期． (2)对于含绝对值的三角函数周期问题，可通过函数图象来解决周期问题．例3 (1)已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 (2)若函数f (x )＝2sin(2x ＋ϕ)为R 上的奇函数，则ϕ＝______． (3)函数)2π2π(lncos <<-=x x y 的图象( )解：(1),,44cos 12sin 21)cos sin 2(21sin cos 2)(2222R ∈-====x x x x x x x x f 周期为2π，偶函数，选D (2)f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )，所以2sin(－2x ＋ϕ)＝－2sin(2x ＋ϕ)对x ∈R 恒成立， 即sin ϕcos2x －cos ϕsin2x ＝－sin2x cos ϕ－cos2x sin ϕ， 所以2sin ϕcos2x ＝0对x ∈R 恒成立， 即sin ϕ＝0，所以ϕ＝k π，k ∈Z ．【评析】三角函数的奇偶性问题可以通过奇偶性定义以及与诱导公式结合加以解决．如在本题(2)中除了使用奇偶性的定义之外，还可以从公式sin(x ＋π)＝－sin x ，sin(x ＋2π)＝sin x 得到当ϕ＝2k π＋π或ϕ＝2k π＋π，k ∈Z ，即ϕ＝k π，k ∈Z 时，f (x )＝2sin(2x ＋ϕ)可以化为f (x )＝sin x 或f (x )＝－sin x ，f (x )为奇函数．(3)分析：首先考虑奇偶性，f (－x )＝lncos(－x )＝lncos x ＝f (x )，为偶函数，排除掉B ，D 选项 考虑(0，2π)上的函数值，因为0＜cos x ＜1，所以lncos x ＜0，应选A 【评析】处理函数图象，多从函数的定义域，值域，奇偶性，单调性等方面综合考虑．例4 求下列函数的单调增区间(1))3π21cos(-=x y ;(2) ]0,π[),6π2sin(2-∈+=x x y ； (3) x x y 2sin 32cos -=；(4))23πsin(2x y -=解：(1)y ＝cos x 的增区间为[2k π＋π，2k π＋2π]，k ∈Z ，由π2π23π21ππ2+≤-≤+k x k 可得3π14π43π8π4+≤≤+k x k )3π21cos(-=x y 的增区间为Z ∈++k k k ],3π14π4,3π8π4[，(2)先求出函数)6π2sin(2+=x y 的增区间Z ∈+-k k k ],6ππ,3ππ[然后与区间[－π，0]取交集得到该函数的增区间为]6π5,π[--和]0,3π[-，(3))3π2cos(2)2sin 232cos 21(2+=-=x x x y ，转化为问题(1)，增区间为 Z ∈++k k k ],6π5π,3ππ[(4)原函数变为)3π2sin(2--=x y ，需求函数)3π2sin(-=x y 的减区间，2π3π23π22ππ2+≤-≤+k x k ，得12π11π12π5π+≤≤+k x k ， )23πsin(2x y -=的增区间为.],12π11π,12π5π[Z ∈++k k k【评析】处理形如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)＋k ，(ω ＜0)的函数单调性时，可以利用诱导公式将x 的分数化正，然后再求相应的单调区间．求三角函数单调区间的一般方法：(1)利用三角变换将解析式化为只含有一个函数的解析式，利用换元法转化到基本三角函数的单调性问题． (2)对于给定区间上的单调性问题，可采用问题(2)中的方法，求出所有的单调增区间，然后与给定的区间取交集即可．例5 求下列函数的值域(1)函数1)6π21cos(2++-=x y 的最大值以及此时x 的取值集合 (2))3π2,6π(,sin 2-∈=x x y(3) )3π,2π(),3π2cos(2-∈+=x x y(4)y ＝cos2x －2sin x解：(1)当Z ∈+=+k k x ,ππ26π21时，1)6π21cos(-=+x ，函数的最大值为3，此时x 的取值集合为},3π5π4|{Z ∈+=k k x x(2)结合正弦函数图象得：当)3π2,6π(-∈x 时，1sin 21≤<-x该函数的值域为(－1，2](3)分析：利用换元法，转化为题(2)的形式．)6π,3π(),3π2cos(2-∈+=x x y ，,3π23π23π),6π,3π(<+<-∴-∈x x设3π2+=x t ，则原函数变为3π23π,cos 2<<-=t t y ，结合余弦函数图象得：1cos 21≤<-t ，所以函数的值域为(－1，2]．(4)y ＝－2sin 2x －2sin x ＋1，设t ＝sin x ，则函数变为y ＝－2t 2－2t ＋1，t ∈[－1，1]， 因为⋅++-=23)21(22t y结合二次函数图象得，当t ＝1时，函数最小值为－3，当21-=t 时，函数最大值为23，所以函数的值域为].23,3[-【评析】处理三角函数值域(最值)的常用方法：(1)转化为只含有一个三角函数名的形式，如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)＋k ，y ＝A cos(ω x ＋ϕ)＋k ，y ＝A tan(ω x ＋ϕ)＋k 等，利用换元法，结合三角函数图象进行处理．(2)转化为二次型：如A sin 2x ＋B sin x ＋C ，A cos 2x ＋B cos x ＋C 形式，结合一元二次函数的图象性质求值域． 例6 函数y ＝sin(ω x ＋ϕ)的图象(部分)如图所示，则ω 和ϕ的取值是( )A ．3π,1==ϕω B ．3π,1-==ϕω C ．6π,21==ϕω D ．6π,21-==ϕω解：π)3π(3π24=--=T ，即ωπ2π4==T ，所以21=ω， 当3π-=x 时，0])3π(21sin[=+-⨯ω，所以Z ∈+=k k ,6ππω，选C例7 (1)将函数x y 21sin =的图象如何变换可得到函数)6π21sin(+=x y 的图象(2)已知函数y ＝sin x 的图象，将它怎样变换，可得到函数)3π2sin(2-=x y 的图象解：(1)x y 21sin =−−−−−−−−→−个单位图象向左平移3π)6π21sin()3π(21sin +=+=x x y (2)法一：y ＝sin x −−−−−−−−→−个单位图象向右平移3π)3πsin(-=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍横坐标变为原来图象上点的纵坐标不变21,)3π2sin(-=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍纵坐标变为原来图象上点的横坐标不变2,)3π2sin(2-=x y法二：y ＝sin x −−−−−−−−−−−−−−→−倍横坐标变为原来图象上点的纵坐标不变21,x y 2sin =−−−−−−−−→−个单位图象向右平移6π)6π(2sin -=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍纵坐标变为原来图象上点的横坐标不变2,)3π2sin(2-=x y【评析】由y ＝sin x 的图象变换为y ＝A cos(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)的图象时，特别要注意伸缩变换和横向平移的先后顺序不同，其横向平移过程中左右平移的距离不同．例8 (1)函数)3π21sin(2-=x y 的一条对称轴方程为( ) A ．3π4-=x B ．6π5-=x C ．3π-=x D ．3π2=x (2)函数)3π2cos(-=x y 的对称轴方程和对称中心的坐标解：(1)法一：)3π21sin(2-=x y 的对称轴为Z ∈+=-k k x ,2ππ3π21， 即Z ∈+=k k x ,3π5π2，当k ＝－1时，3π-=x ，选C法二：将四个选项依次代入)3π21sin(2-=x y 中，寻找使得函数取得最小值或最大值的选项当3π-=x 时，22πsin 2)3π6πsin(2-=-=--=y ，选C(2) )3π2cos(-=x y 的对称轴为Z ∈=-k k x ,π3π2，即Z ∈+=k k x ,6π2π对称中心：,,2ππ3π2Z ∈+=-k k x 此时Z ∈+=k k x ,12π52π所以对称中心的坐标为Z ∈+k k ),0,12π52π(【评析】正余弦函数的对称轴经过它的函数图象的最高点或最低点，对称中心是正余弦函数图象与x 轴的交点，处理选择题时可以灵活运用．例9 已知函数)0(),2πsin(sin 3,sin )(2>++=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π． (1)求ω 的值． (2)求f (x )在区间]3π2,0[上的值域． (3)画出函数y ＝2f (x )－1在一个周期[0，π]上的简图．(4)若直线y ＝a 与(3)中图象有2个不同的交点，求实数a 的取值范围． 解：(1)x x xx f ωωωcos sin 322cos 1)(+-=21)6π2sin(212cos 21sin 23+-=+-=x x x ωωω 因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω ＞0，所以π2π2=ω，解得ω ＝1 (2)由(1)得21)6π2sin()(+-=x x f ，因为3π20≤≤x ，所以6π76π26π≤-≤-x ，结合正弦函数图象，得1)6π2sin(21≤-≤-x因此2321)6π2sin(0≤+-≤x ，即f (x )的取值范围为]23,0[(3)由(1)得)6π2sin(21)(2-=-=x x f y列表(4)由图象可得，－2＜a ＜2且a ≠－1．【评析】本节内容应与三角恒等变换相结合，利用降幂升角公式和辅助角公式等三角公式化简三角函数解析式，整理、变形为只含有一个函数名的解析式，如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)或y ＝A cos(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)的形式，利用换元法，结合y ＝sin x 、y ＝cos x 的图象，再研究它的各种性质，如求函数的周期，单调性，值域等问题，这是处理三角函数问题的基本方法．练习3－3一、选择题1．设函数),2π2sin()(-=x x f x ∈R ，则f (x )是( ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 2．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( ) A ．R ∈-=x x y ),3π2sin( B ．R ∈+=x x y ),6π2sin(C ．R ∈+=x x y ),3π2sin(D ．R ∈+=x x y ),32π2sin(3．函数)3π2sin(+=x y 的图象( )A ．关于点(3π，0)对称B ．关于直线4π=x 对称C ．关于点(4π，0)对称D ．关于直线3π=x 对称4．函数y ＝tan x ＋sin x －｜tan x －sin x ｜在区间)2π3,2π(内的图象大致是( ）二、填空题5．函数)2πsin(sin 3)(x x x f ++=的最大值是______． 6．函数)]1(2πcos[)2πcos(-=x x y 的最小正周期为______． 7．函数)2π0,0)(sin(<<>+=ϕωϕωx y 的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为y ＝______．8．函数y ＝cos2x ＋cos x 的值域为______． 三、解答题9．已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1，x ∈R ． (Ⅰ)求函数f (x )的对称轴的方程； (Ⅱ)求函数f (x )的单调减区间． 10．已知函数.34sin 324cos 4sin2)(2+-=xx x x f (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期及最值； (Ⅱ)令)3π()(+=x f x g ，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．11．已知R ∈>++=a a x x x x f ,0(,cos sin 32cos 2)(2ωωωω，a 为常数)，且满足条件f (x 1)＝f (x 2)＝0的｜x 1－x 2｜的最小值为2π． (Ⅰ)求ω 的值； (Ⅱ)若f (x )在]3π,6π[-上的最大值与最小值之和为3，求a 的值．§3－4 解三角形【知识要点】1．三角形内角和为A ＋B ＋C ＝πA CB -=+π,2π222=++C B A ，注意与诱导公式相结合的问题． 2．正弦定理和余弦定理正弦定理：r CcB b A a 2sin sin sin ===，(r 为△ABC 外接圆的半径)． 余弦定理：abc b a C ac b c a B bc a c b A 2cos ;2cos ;2cos 222222222-+=-+=-+= . a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．3．在解三角形中注意三角形面积公式的运用：21=∆ABC S ×底×高. 21=∆ABCS ab sin .sin 21sin 21B ac A bc C == 4．解三角形中注意进行“边角转化”，往往结合三角变换处理问题．【复习要求】1．会正确运用正余弦定理进行边角的相互转化；2．会熟练运用正弦定理和余弦定理解决三角形中的求角，求边，求面积问题． 【例题分析】例1 (1)在△ABC 中，3=a ，b ＝1，B ＝30°，则角A 等于( )A ．60°B ．30°C ．120°D ．60°或120°(2)△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足等式(a ＋b )2＝ab ＋c 2，则角C 的大小为______. (3)在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则∠B 的大小是______． (4)在△ABC 中，若31tan =A ，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝______． 解：(1)∵,23sin ,30sin 1sin 3,sin sin =∴=∴=A A B b A a 又∵a ＞b ，∴A ＞B ＝30°，∴A ＝60°或120°，(2)∵(a ＋b )2＝ab ＋c 2，∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴,120,2122cos 222 =∴-=-=-+=C ab ab ab c b a C (3)∵CcB b A a sin sin sin ==，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8. ∴a ∶b ∶c ＝5∶7∶8，∴21852*******cos 222=⨯⨯-+=-+=ac b c a B ，∴B ＝60°． (4)分析：已知条件为两角和一条对边，求另一条对边，考虑使用正弦定理，借助于31tan =A 求sin A 210,150sin 10101,sin sin ,1010sin ,31tan =∴=∴==∴=AB AB B AC A BC A A . 【评析】对于正弦定理和余弦定理应熟练掌握，应清楚它们各自的使用条件，做到合理地选择定理解决问题． 例2 (1)在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 (2)在△ABC 中，2sin B ·sin C ＝1＋cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 解：(1)法一：BbA a sin sin =，a cos A ＝b cos B ， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，∵2A ，2B ∈(0，2π)，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π， ∴A ＝B 或2π=+B A ，选D ． 法二：∵a cos A ＝b cos B ，∴acb c a b bc a c b a 2)(2)(222222-+=-+，整理得(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0．所以：a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，选D ．(2)∵2sin B ·sin C ＝1＋cos A ，cos(B ＋C )＝cos(π－A )＝－cos A ， ∴2sin B ·sin C ＝1－(cos B cos C －sin B sin C )， ∴cos B cos C ＋sin B ·sin C ＝1， ∴cos(B －C )＝1，∵B ，C ∈(0，π)，∴B －C ∈(－π，π)， ∴B －C ＝0，∴B ＝C ，选C ．【评析】判断三角形形状，可以从两个角度考虑(1)多通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，进而判断三角形形状，(2)多通过余弦定理将角的关系转化为边的关系，进而判断三角形形状，通常情况下，以将边的关系转化为角的关系为主要方向，特别需要关注三角形内角和结合诱导公式带给我们的角的之间的转化．例3 已知△ABC 的周长为12+，且sin A ＋sin B ＝2sin C (1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为C sin 61，求角C 的度数． 解：(1)由题意及正弦定理，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++ABAC BC AC BC AB 212，解得AB ＝1． (2)由△ABC 的面积C C AC BC S sin 61sin 21=⋅=，得31=⋅AC BC ，因为2=+AC BC ，所以(BC ＋AC )2＝BC 2＋AC 2＋2AC ·BC ＝2，可得3422=+AC BC ，由余弦定理，得212cos 222=-+=⋅BC AC AB BC AC C ， 所以C ＝60°．例4 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别为a 、b 、c ，设a 、b 、c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和bc＝321+，求∠A 和tan B 的值． 解(1)由已知和余弦定理得212cos 222=-+=bc a c b A ，所以∠A ＝60°． (2)分析：所给的条件是边的关系，所求的问题为角，可考虑将利用正弦定理将边的关系转化为角的关系．在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin(60°＋B )，因为B BB B B BC b c sin sin 60cos cos 60sin sin )60sin(sin sin +⋅=+==.32121tan 123+=+=B所以⋅=21tan B 【评析】体现了将已知条件(边321+==b c )向所求问题(角tan B →sin a ，cos α )转化，充分利用了正弦定理和三角形内角关系实现转化过程．例5 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，3π=C ． (Ⅰ)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(Ⅱ)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积．解：(Ⅰ)由余弦定理abc b a C 2cos 222-+=及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以3sin 21=C ab ，得ab ＝4．联立方程组⎩⎨⎧==-+,4,422ab ab b a 解得a ＝2，b ＝2．(Ⅱ)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，(sin B cos A ＋cos B sin A )＋(sin B cos A －cos B sin A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A ， 当cos A ＝0时，332,334,6π,2π====b a B A ，当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎨⎧==-+,2,422a b ab b a 解得334,332==b a . 所以△ABC 的面积332sin 21==C ab S .【评析】以上两例题主要考查利用正弦定理、余弦定理来确定三角形边、角关系等基础知识和基本运算能力．以及三角形面积公式B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆的运用．同时应注意从题目中提炼未知与已知的关系，合理选择定理公式，综合运用正弦定理和余弦定理实现边角之间的转化．例6 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得∠BCD ＝α ，∠BDC ＝β ，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ ，求塔高AB ．解：在△BCD 中，∠CBD ＝π－α －β ． 由正弦定理得．sin sin CBDCDBDC BC ∠=∠所以)sin(sin sin sin βαβ+=∠∠=⋅s CBD BDC CD BC ．在Rt △ABC 中，⋅+=∠=⋅)sin(sin tan tan βαβθs ACB BC AB例7 已知在△ABC 中，sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0，sin B ＋cos2C ＝0，求角A ，B ，C 的大小． 解：sin A sin B ＋sin A cos B －sin(A ＋B )＝0，sin A sin B ＋sin A cos B －(sin A cos B ＋cos A sin B )＝0， sin A sin B －cos A sin B ＝sin B (sin A －cos A )＝0， 因为sin B ≠0，所以sin A －cos A ＝0，所以tan A ＝1，4π=A ，可得BC +=4π3， 所以02sin sin )22π3cos(sin )4π3(2cos sin =+=++=++B B B B B B ，sin B ＋2sin B cos B ＝0，因为sin B ≠0，所以12π,3π2,21cos ==-=C B B .【评析】考查了三角形中角的相互转化关系，同时兼顾了两角和、二倍角、诱导公式等综合应用． 练习3－4一、选择题1．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝( ) A ．1∶2∶3B ．2:3:1C ．1∶4∶9D ．3:2:12．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，3,3π==a A ，b ＝1，则c ＝( ) A ．1B ．2C ．13-D ．33．△ABC 中，若a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形4．△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，若b a 25=，A ＝2B ，则cos B ＝( )A ．35 B ．45 C ．55 D ．65 二、填空题5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，3π,3==C c ，则A ＝______． 6．在△ABC 中，角ABC 的对边分别为a 、b 、c ，若ac B b c a 3tan )(222=-+，则角B 的值为______．7．设△ABC 的内角6π=A ，则2sinB cosC －sin(B －C )的值为______． 8．在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＝(2a －c )cos B ，则∠B 的大小为______. 三、解答题9．在△ABC 中，53tan ,41tan ==B A . (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若AB 的边长为17，求边BC 的边长．10．如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD ，DC ，且拐弯处的转角为120°．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米． 求该扇形的半径OA 的长(精确到1米)．11．在三角形ABC 中，5522cos ,4π,2===B C a ，求三角形ABC 的面积S ．专题03 三角函数参考答案练习3－1一、选择题：1．B 2．B 3．B 4．C 二、填空题 5．)0,2π(-6．16 7．21mm - 8．23- 三、解答题9．解：(1)⋅-=+=-=>55cos sin ,55cos ,552sin ,0cos ααααα (2)原式＝222)sin 1(sin sin 21cos 1sin 21θθθθθ-=+-=-+-=⋅+=-=-=5521sin 1|sin 1|θθ 10．解：(1)原式51tan 2tan -=-+=αα(2)原式.0tan 1tan 212=+-=αα11．解：当k 为偶数时，原式.0cos sin cos sin 1cos sin 1cos sin .cos sin )cos (sin cos sin 22=+-=++---=αααααααααααααα当k 为奇数时，原式01cos sin )cos (sin =+-=αααα，综上所述，原式＝0．练习3－2一、选择题1．A 2．C 3．D 4．C 二、填空题 5257-6．4 7．21 8．65- 三、解答题9．解：左边=====2tan 2cos 22cos2sin22cos 2sin 2cos 2cos cos 2cos sin 22222.ααααααααααα右边.10．解：原式)sin (cos 2cos 1cos 2cos sin 21cos )2cos 2(sin 12ααααααααα-=-+-=--=， 因为α 为第四象限角，且54sin -=α，所以53cos =α， 所以原式514=. 11．解：(1)由a a a a cos sin 21)cos (sin 2-=-＝31可得32cos sin 2=αα，所以a a a a cos sin 21)cos (sin 2+=+＝35， 因为α 为第三象限角，所以sin α ＜0，cos α ＜0，sin α ＋cos α ＜0， 所以315cos sin -=+αα. (2)原式αααααααααcos cos 3sin 4cos )12cos 2(3sin 4cos 82cos 6sin 4522+=-+=-++=3tan 4+=α，因为51tan 1tan cos sin cos sin -=-+=-+αααααα，所以2531515tan -=+-=α， 所以原式.52932534-=+-⨯= 练习3－3一、选择题1．B 2．C 3．A 4．D 二、填空题5．2 6．2 7．)3π2sin(+=x y 8．]2,89[- 三、解答题9．解：x x x x x x f 2cos 2sin 1cos 2cos sin 2)(2-=+-=＝)4π2sin(2-x . (1)Z ∈+=-k k x ,2ππ4π2，对称轴方程为Z ∈+=k k x ,8π32π， (2)Z ∈+≤-≤+k k x k ,2π3π24π22ππ2，即Z ∈+≤≤+k k x k ,8π7π8π3π，f (x )的单调减区间为Z ∈++k k k ],8π7π,8π3π[．10．解：(I)∵⋅+=+=-+=)3π2sin(22cos 32sin )4sin 21(32sin )(2x x x x x x f∴f (x )的最小正周期.π421π2==T当1)3π2sin(-=+x 时，f (x )取得最小值－2；当1)3π2sin(=+x 时，f (x )取得最大值2．(Ⅱ)由(I)知⋅+=+=)3π()().3π2sin(2)(x f x g x x f 又⋅=+=++=∴2cos 2)2π2sin(2]3π)3π(21sin[2)(xx x x g).(2cos 2)2cos(2)(x g xx x g ==-=-∴函数g (x )是偶函数．11．解：(1)12cos 2sin 32sin 322cos 12)(+++=+++⨯=a x x a x xx f ωωωω。

2020新课标高考数学(文)二轮总复习专题限时训练：1-2-3 数列的综合应用 Word版含解析

2020新课标高考数学(文)二轮总复习专题限时训练：1-2-3 数列的综合应用 Word版含解析

专题限时训练 (小题提速练)(建议用时：45分钟)1．已知数列{a n }为等差数列，满足OA →＝a 3OB →＋a 2 013OC →，其中A ，B ，C 在一条直线上，O 为直线AB 外一点，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 015的值为( ) A.2 0152 B.2 015 C.2 016D.2 013解析：依题意有a 3＋a 2 013＝1， 故S 2 015＝a 3＋a 2 0132·2 015＝2 0152.故选A. 答案：A2．(2019·葫芦岛一模)数列{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，公比q ＞1，且a 5＝b 5，则( ) A ．a 3＋a 7＞b 4＋b 6 B.a 3＋a 7≥b 4＋b 6 C ．a 3＋a 7＜b 4＋b 6D.a 3＋a 7＝b 4＋b 6 解析：数列{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，公比q ＞1， 由a 3＋a 7＝2a 5＝2b 5，b 4＋b 6≥2b 4b 6＝2b 5， a 3＋a 7≤b 4＋b 6，由于q ＞1可得a 3＋a 7＜b 4＋b 6，故选C. 答案：C3．(2019春·龙凤区校级月考)在等差数列{a n }中，其前n 项和是S n ，若S 9＞0，S 10＜0，则在S 1a 1，S 2a 2，…，S 9a 9中最大的是( )A.S 1a 1 B.S 8a 8C.S 5a 5D.S 9a 9解析：依题意，数列{a n }是等差数列，其前n 项和是S n ，S 9＞0，S 10＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧9a 5＞0，a 5＋a 6＜0，所以a 5＞0，a 6＜0，所以公差d ＜0， 所以当6≤n ≤9时S n a n＜0，当1≤n ≤5时S na n＞0.又因为当1≤n ≤5时，S n 单调递增，a n 单调递减， 所以当1≤n ≤5时，S n a n单调递增，所以S 5a 5最大．故选C.答案：C4．(2019·师大附中月考)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是方程x 2－b n x ＋2n ＝0的两根，则b 10等于( ) A ．24 B.32 C.48D.64解析：由已知得a n a n ＋1＝2n，∴a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，则a n ＋2a n＝2，所以数列{}a n 的奇数项与偶数项都是公比为2的等比数列，可以求出a 2＝2，所以数列{}a n 的项分别为：1,2,2,4,4,8,8,16,16,32,32…，而b n ＝a n ＋a n ＋1，所以b 10＝a 10＋a 11＝32＋32＝64.故选D. 答案：D5．已知数列{a n }，{b n }满足b n ＝a n ＋a n ＋1，则“数列{a n }为等差数列”是“数列{b n }为等差数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若数列{a n }为等差数列，设其公差为d 1，则b n ＋1－b n ＝(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝a n ＋2－a n ＝2d 1.所以数列{b n }是等差数列；若数列{b n }为等差数列，设其公差为d 2.则b n ＋1－b n ＝(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝a n ＋2－a n ＝d 2，不能推出数列{a n }为等差数列，所以“数列{a n }为等差数列”是“数列{b n }为等差数列”的充分不必要条件，故选A. 答案：A6．若等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则2S n ＋24a n ＋1的最小值为( )A ．4 3 B.8 C.6D.7解析：由S n ＝n 2，则a n ＝S n －S n －1＝2n －1，所以2S n ＋24a n ＋1＝n ＋12n ≥4 3.由均值不等式知当n ＝12n ，即n ＝23时，取等号．又n ∈N *且3<23<4，所以当n ＝3或4时，式子2S n ＋24a n ＋1有最小值，最小值为3＋123＝7.故选D.答案：D7．(2019·黑龙江大庆一中模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax 的图象在点A (0，f (0))处的切线l 与直线2x －y ＋2＝0平行，若数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1f (n )的前n 项和为S n ，则S 20的值为( )A.325462B.1920C.119256D.2 0102 011解析：因为f (x )＝x 2＋ax ，所以f ′(x )＝2x ＋a .又函数f (x )＝x 2＋ax 的图象在点A (0，f (0))处的切线l 与直线2x －y ＋2＝0平行，所以f ′(0)＝a ＝2，所以f (x )＝x 2＋2x ，所以1f (n )＝1n 2＋2n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. 所以S 20＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫120－122＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－121－122＝325462.故选A. 答案：A8．设a >0，b >0，若3是3a 与32b 的等比中项，则2a ＋1b 的最小值为( ) A ．4 B.1 C.14D.8解析：∵3是3a 与32b 的等比中项， ∴3a ×32b ＝3a ＋2b ＝(3)2＝3， ∴a ＋2b ＝1.∴2a ＋1b ＝(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝4＋4b a ＋a b ≥4＋24b a ·a b ＝8，当且仅当4b a ＝a b 且a ＋2b ＝1，即a ＝12，b ＝14时等号成立，选D. 答案：D9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x 的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( ) A ．S n ＝2T n B.T n ＝2b n ＋1 C ．T n >a nD.T n <b n ＋1解析：因为点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x 的图象上，所以S n ＝3·2n －3，所以a n ＝3·2n －1，所以b n ＋b n ＋1＝3·2n －1，因为数列{b n }为等比数列，设公比为q .则b 1＋b 1q ＝3，b 2＋b 2q ＝6，解得b 1＝1，q ＝2.所以b n ＝2n －1，T n ＝2n －1，所以T n <b n ＋1，故选D. 答案：D10．已知等差数列{a n }中，a 3＝9，a 5＝17，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，若S 2n ＋1－S n≤m10()m ∈Z ，对任意的n ∈N *恒成立，则整数m 的最小值是( ) A ．5 B.4 C.3D.2解析：因为等差数列{a n }中，a 3＝9，a 5＝17，所以公差d ＝a 5－a 35－3＝17－92＝4.由a n ＝a 3＋(n －3)d 得，a n ＝4n －3，1a n＝14n －3， S 2n ＋1－S n ＝14(n ＋1)－3＋14(n ＋2)－3＋…＋14(2n ＋1)－3＜n ＋14n ＋1≤m 10，所以整数m的最小值为4.故选B. 答案：B11．已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜t ，则实数t 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a na 1a 2a 3…a n －1＝2n 22(n －1)2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1.又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1，数列{1a n}是以12为首项，14为公比的等比数列．等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和等于12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＜23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.故选D.答案：D12．已知三个数a －1，a ＋1，a ＋5成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列{a n }的前三项，则能使不等式a 1＋a 2＋…＋a n ≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n成立的自然数n 的最大值为( ) A ．9 B.8 C.7D.5解析：因为a －1，a ＋1，a ＋5成等比数列，所以(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋5)，∴a ＝3，倒数重新排列后恰好为递增的等比数列{a n }的前三项，为18，14，12，公比为2，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以8为首项，12为公比的等比数列．则不等式a 1＋a 2＋…＋a n ≤1a 1＋1a2＋…＋1a n 等价于18(1－2n)1－2≤8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12，整理得2n ≤27，∴1≤n ≤7，n ∈N *，故选C.答案：C 二、填空题13．已知数列{a n }是等差数列，且a 7a 6＜－1，它的前n 项和S n 有最小值，则S n 取到最小正数时的n ＝________.解析：由题意可知d >0，又a 7a 6＜－1，所以a 6<0，a 7>0，a 6＋a 7>0，从而S 11<0，S 12>0，所以S n 取到最小正数时的n 的值为12. 答案：1214．(2019·呼伦贝尔一模)数列a n ＝1n (n ＋1)的前n 项和为S n ，若S 1，S m ，S n 成等比数列(m ＞1)，则正整数n 值为________． 解析：a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴前n 项和S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.∵S 1，S m ，S n 成等比数列(m ＞1)， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m m ＋12＝12×nn ＋1， 解得n ＝2m 22m ＋1－m 2，令2m ＋1－m 2＞0，m ＞1，解得1＜m ＜1＋2，∴m ＝2，n ＝8.故答案为8. 答案：815．(2019·武汉调研)设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，则这个最小值为________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＋a 7＝36，所以a 4＋a 6＝36，与a 4a 6＝275联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝11，a 6＝25或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝25，a 6＝11.当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝11，a 6＝25时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝7，此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0，所以a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最小值； 当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝25，a 6＝11时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝46，d ＝－7，此时a n ＝－7n ＋53，a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7时，a n >0，当n ≥8时，a n <0，所以a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最小值． 综上，a n a n ＋1的最小值为－12. 答案：－1216．(2019·昆明调研)将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵：a 1 a 2，a 3 a 4，a 5，a 6 a 7，a 8，a 9，a 10…记数阵中的第1列数a 1，a 2，a 4，…构成的数列为{b n }，S n 为数列{b n }的前n 项和．若S n ＝2b n －1，则a 56＝________.解析：当n ≥2时，因为S n ＝2b n －1，所以S n －1＝2b n －1－1，所以b n ＝2b n －2b n －1，所以b n＝2b n－1(n≥2且n∈N*)，因为b1＝2b1－1，所以b1＝1，所以数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列，所以b n＝2n－1.设a1，a2，a4，a7，a11，…的下标1,2,4,7,11，…构成数列{c n}，则c2－c1＝1，c3－c2＝2，c4－c3＝3，c5－c4＝4，…，c n－c n－1＝n－1，累加得，c n－c1＝1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)，所以c n＝n(n－1)2＋1，由c n＝n(n－1)2＋1＝56，得n＝11，所以a56＝b11＝210＝1 024. 答案：1 024专题限时训练 (大题规范练)(建议用时：60分钟)1．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n －n ＋1，数列{b n }满足b 1＝2，b n ＋1＝b n ＋a n －n ，n ∈N *.(1)证明：{a n －n }为等比数列；(2)数列{c n }满足c n ＝a n －n (b n ＋1)(b n ＋1＋1)，求证数列{c n }的前n 项和T n <13.解析：(1)证明：因为a n ＋1＝2a n －n ＋1， 所以a n ＋1－(n ＋1)＝2(a n －n )． 又a 1＝3，所以a 1－1＝2，所以数列{a n －n }是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)证明：由(1)知，a n －n ＝2·2n －1＝2n . 所以b n ＋1＝b n ＋a n －n ＝b n ＋2n ， 即b n ＋1－b n ＝2n . b 2－b 1＝21， b 3－b 2＝22， b 4－b 3＝23， …b n －b n －1＝2n －1.累加求和得b n ＝2＋2·(1－2n －1)1－2＝2n (n ≥2)．当n ＝1时，b 1＝2，满足b n ＝2n ， 所以b n ＝2n .所以c n ＝a n －n(b n ＋1)(b n ＋1＋1)＝2n(2n ＋1)(2n ＋1＋1)＝12n ＋1－12n ＋1＋1. 所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1－122＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1－123＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋1＋1＝13－12n ＋1＋1<13.2．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1n (a n ＋3)(n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在实数t ，使得对任意的n 均有S n >t36总成立？若存在，求出最大的整数t ；若不存在，请说明理由． 解析：(1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2， 整理得2a 1d ＝d 2. ∵a 1＝1，d >0，∴d ＝2. ∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)∵b n ＝1n (a n ＋3)＝12n (n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n－1n ＋1， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n2(n ＋1).假设存在整数t 满足S n >t36总成立．∵S n ＋1－S n ＝n ＋12(n ＋2)－n 2(n ＋1)＝12(n ＋2)(n ＋1)>0，∴数列{S n }是递增的．∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t <9.又∵t ∈Z ，∴适合条件的t 的最大值为8.3．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n －a n －1－2n ＝0(n ≥2，n ∈N *)．(1)写出a 2，a 3的值(只写出结果)，并求出数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ＋1＋1a n ＋2＋1a n ＋3＋…＋1a 2n，若对任意的正整数n ，不等式t 2－2t ＋16>b n 恒成立，求实数t 的取值范围．解析：(1)a 2＝6，a 3＝12.当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋...＋(a n －a n －1) ＝2＋2×2＋2×3＋ (2)＝2(1＋2＋3＋…＋n )＝n (n ＋1)．因为当n ＝1时，a 1＝2也满足上式，所以a n ＝n (n ＋1)．(2)b n ＝1a n ＋1＋1a n ＋2＋1a n ＋3＋…＋1a 2n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＋1(n ＋2)(n ＋3)＋…＋12n (2n ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2－1n ＋3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12n ＋1 ＝1n ＋1－12n ＋1. 因为b n ＋1－b n ＝1n ＋2－12n ＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－12n ＋1＝1n ＋2＋12n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋12n ＋3 ＝3n ＋32n 2＋5n ＋2－3n ＋42n 2＋5n ＋3＝－2n 2－2n ＋1(2n 2＋5n ＋2)(2n 2＋5n ＋3)<0， 所以b n ＋1<b n ，则数列{b n }是递减数列．所以(b n )max ＝b 1＝1a 2＝16， 因为t 2－2t ＋16>b n 恒成立，所以t 2－2t ＋16>16，解得t <0或t >2，所以实数t 的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．。

2020年高考数学(理)二轮专项复习专题03 三角函数与解三角形(含答案)

2020年高考数学(理)二轮专项复习专题03 三角函数与解三角形(含答案)

2020年高考数学（理）二轮专项复习专题03 三角函数与解三角形三角函数是一种重要的基本初等函数，它是描述周期现象的一个重要函数模型，可以加深对函数的概念和性质的理解和运用．其主要内容包括：三角函数的概念、三角变换、三角函数、解三角形等四部分．在掌握同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式的基础上，能进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明；理解并能正确解决正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质问题；运用三角公式和正弦定理、余弦定理解斜三角形．重点考查相关的数学思想方法，如方程的思想、数形结合、换元法等．§3－1 三角函数的概念【知识要点】1．角扩充到任意角：通过旋转和弧度制使得三角函数成为以实数为自变量的函数．2．弧度rad 以及度与弧度的互化： 3.57)π180(rad 1,π180;≈===r l α． 3．三角函数的定义：在平面直角坐标系中，任意角α 的顶点在原点，始边在x 轴正半轴上，终边上任意一点P (x ，y )，｜OP ｜＝r (r ≠0)，则;cos ;sin r x r y ==αα⋅=xyαtan5．三角函数线：正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT6．同角三角函数基本关系式：⋅==+αααααcos sin tan ,1cos sin 22 7．诱导公式：任意角α 的三角函数与角ααα±±-2π,π,等的三角函数之间的关系，可以统一为“k ·2π±α ”形式，记忆规律为“将α 看作锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”．【复习要求】1．会用弧度表示角的大小，能进行弧度制与角度制的互化；会表示终边相同的角；会象限角的表示方法． 2．根据三角函数定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号，牢记特殊角的三角函数值， 3．会根据三角函数定义，求任意角的三个三角函数值． 4．理解并熟练掌握同角三角函数关系式和诱导公式． 【例题分析】例1 (1)已知角α 的终边经过点A (－1，－2)，求sin α ，cos α ，tan α 的值；(2)设角α 的终边上一点),3(y P -，且1312sin =α，求y 的值和tan α ． 解：(1)5||==OA r ，所以.2tan ,55cos ,55252sin ==-==-=-==x y r x r y ααα(2),13123sin ,3||22=+=+==y y y OP r α 得⎪⎩⎪⎨⎧=+>13123022y y y ，解得.3236tan ,6-=-===x y y α 【评析】利用三角函数的定义求某一角三角函数值应熟练掌握，同时应关注其中变量的符号．例2 (1)判断下列各式的符号：①sin330°cos(－260°)tan225° ②sin(－3)cos4 (2)已知cos θ ＜0且tan θ ＜0，那么角θ 是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 (3)已知α 是第二象限角，求角αα2,2的终边所处的位置．解：如图3－1－1，图3－1－2 (1)①330°是第四象限角，sin330°＜0；－260°是第二象限角，cos(－260°)＜0；225°是第三象限角，tan225°＞0；所以sin330°cos(－260°)tan225°＞0.②－3是第三象限角，sin(－3)＜0；5是第四象限角，cos5＞0，所以sin(－3)cos5＜0或：－3≈－3×57.3°＝－171.9°，为第三象限角；5≈5×57.3°＝286.5°，是第四象限角【评析】角的终边所处的象限可以通过在坐标系中逆时针、顺时针两个方向旋转进行判断，图3－1－1，图3－1－2两个坐标系应予以重视．(2)cos θ ＜0，所以角θ 终边在第二或第三象限或在x 轴负半轴上tan θ ＜0，所以角θ终边在第二或第四象限中，所以角θ 终边在第二象限中，选B.【评析】角的终边在各个象限中时角的函数值的符号应熟练掌握，(3)分析：容易误认为2α是第一象限角，其错误原因为认为第二象限角的范围是),π,2π(α 是第二象限角，所以2k π＋2π＜α ＜2k π＋π，(k ∈Z )，所以,2ππ2π4ππ+<<+k k )(Z ∈k 如下图3－1－3，可得2α是第一象限或第三象限角，又4k π＋π＜2α ＜4k π＋2π，2α 是第三象限或第四象限角或终边落在y 轴负半轴的角．【评析】处理角的象限问题常用方法(1)利用旋转成角，结合图3－1－1，图3－1－2，从角度制和弧度制两个角度处理； (2)遇到弧度制问题也可以由)π180(rad 1=°≈57.3°化为角度处理； (3)在考虑角的终边位置时，应注意考虑终边在坐标轴上的情况． (4)对于象限角和轴上角的表示方法应很熟练． 如第一象限角：)(,2ππ2π2Z ∈+<<k k k α，注意防止2π0<<α的错误写法．例3 (1)已知tan α ＝3，且α 为第三象限角，求sin α ，cos α 的值； (2)已知31cos -=α，求sin α ＋tan α 的值；(3)已知tan α ＝－2，求值：①ααααcos sin cos sin 2-+；②sin 2α ＋sin α cos α ．解：(1)因为α 为第三象限角，所以sin α ＜0，cos α ＜0⎪⎩⎪⎨⎧=+=1cos sin 3cos sin 22αααα，得到.1010cos 10103sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=αα (2)因为031cos <-=α，且不等于－1，所以α 为第二或第三象限角， 当α 为第二象限角时，sin α ＞0，,22cos sin tan ,322cos 1sin 2-===-=ααααα 所以⋅-=+324tan sin αα 当α 为第三象限角时，sin α ＜0，,22cos sin tan ,322cos 1sin 2==-=--=ααααα 所以⋅=+324tan sin αα 综上所述：当α 为第二象限角时，324tan sin -=+αα，当α 为第三象限角时，⋅=+324tan sin αα 【评析】已知一个角的某一个三角函数值，求其余的三角函数值的步骤：(1)先定所给角的范围：根据所给角的函数值的符号进行判断(2)利用同角三角函数的基本关系式，求其余的三角函数值(注意所求函数值的符号) (3)当角的范围不确定时，应对角的范围进行分类讨论(3)(法一)：因为tan α ＝－2，所以.cos 2sin ,2cos sin αααα-=-= ①原式1cos 3cos 3cos cos 2cos cos 4=--=--+-=αααααα，②原式＝(－2cos α )2＋(－2cos α )cos α ＝2cos 2α ，因为⎩⎨⎧=+-=1cos sin cos 2sin 22αααα，得到51cos 2=α，所以⋅=+52cos sin sin 2ααα (法二)：①原式,112141tan 1tan 21cos sin 1cos sin 2=--+-=-+=-+=αααααα②原式⋅=+-=++=++=5214241tan tan tan cos sin cos sin sin 22222αααααααα 【评析】已知一个角的正切值，求含正弦、余弦的齐次式的值：(1)可以利用αααcos sin tan =将切化弦，使得问题得以解决； (2)1的灵活运用，也可以利用sin 2α ＋cos 2α ＝1，αααcos sin tan =，将弦化为切．例4 求值：(1)tan2010°＝______； (2))6π19sin(-＝______； (3)⋅+---+-)2πcos()π3sin()2π3sin()πcos()π2sin(ααααα解：(1)tan2010°＝tan(1800°＋210°)＝tan210°＝tan(180°＋30°)＝3330tan = (2)216πsin )6ππsin()6ππ3sin(619πsin )6π19sin(==+-=+-=-=-或:216πsin )6ππsin()6ππ3sin()6π19sin(==--=--=-【评析】“将α 看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”，6π2π26ππ-⨯-=--，可以看出是2π的－2倍(偶数倍)，借助图3－1－2看出6ππ--为第二象限角，正弦值为正． (3)原式)2πcos()πsin()]2π(πsin[)cos (sin ααααα---+--=⋅⋅⋅⋅-=-=--=αααααααααsin 1sin cos cos sin sin )2πsin(cos ·sin【分析】αα-⨯=-2π32π3，将α 看做锐角，借助图3－1－2看出α-2π3为第三象限角，正弦值为负，2π的3倍(奇数倍)，改变函数名，变为余弦，所以可得ααcos )2π3sin(-=-，同理可得ααsin )2πcos(=+-，所以原式αααααααcsc sin 1sin sin cos )cos (sin -=-=---=⋅⋅⋅. 【评析】诱导公式重在理解它的本质规律，对于“将α 看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”要灵活运用，否则容易陷入公式的包围，给诱导公式的应用带来麻烦．例5 已知角α 的终边经过点)5πsin ,5πcos (-，则α 的值为( ) A ．5π- B ．5π4 C )(,π5πZ ∈+-k k D ．)(,π25π4Z ∈+k k解：因为05πsin ,05πcos >>，所以点)5πsin ,5πcos (-在第二象限中，由三角函数定义得，5πtan 5πcos 5πsin tan -=-==x y α，因为角α 的终边在第二象限， 所以)π25π4tan(5π4tan )5ππtan(tan k +==-=α，所以，)(,π25π4Z ∈+=k k α，选D ．例6 化简下列各式：(1)若θ 为第四象限角，化简θθ2sin 1tan - (2)化简θθ2tan 1cos +(3)化简)4πcos(4sin 21--解：(1)原式＝|cos |cos sin |cos |tan cos tan 2θθθθθθθ===， 因为θ 为第四象限角，所以cos θ ＞0，原式＝θθθθsin cos cos sin ==⋅，(2)原式＝⋅==+=+=|cos |cos cos 1cos cos sin cos cos cos sin 1cos 222222θθθθθθθθθθθ当θ 为第二、三象限角或终边在x 轴负半轴上时，cos θ ＜0，所以原式1cos cos -=-=θθ，当θ 为第一、四象限角或终边在x 轴正半轴上时，cos θ ＞0，所以原式1cos cos ==θθ.(3)原式|4cos 4sin |)4cos 4(sin 4cos 4sin 212+=+=+=.4弧度属于第三象限角，所以sin4＜0，cos4＜0， 所以原式＝－(sin4＋cos4)＝－sin4－cos4．【评析】利用同角三角函数关系式化简的基本原则和方法： (1)函数名称有弦有切：切化弦；(2)分式化简：分式化整式；(3)根式化简：无理化有理(被开方式凑平方)，运用||2x x =，注意对符号的分析讨论；(4)注意公式(sin α ±cos α )2＝1±2sin α cos α ＝1±sin2α 的应用．例7 扇形的周长为定值L ，问它的圆心角θ (0＜θ ＜π)取何值时，扇形的面积S 最大?并求出最大值． 解：设扇形的半径为)20(Lr r <<，则周长L ＝r ·θ ＋2r (0＜θ ＜π) 所以44214421)2(2121ππ2,22222222++=++=+==⋅=+=θθθθθθθθθθL L L r r S L r ． 因为844244=+⨯≥++θθθθ，当且仅当θθ4=，即θ ＝2∈(0，π)时等号成立．此时16812122L L S =⨯≤，所以，当θ ＝2时，S 的最大值为162L .练习3－1一、选择题1．已知32cos -=α，角α 终边上一点P (－2，t )，则t 的值为( ) A ．5 B ．5± C ．55 D ．55±2．“tan α ＝1”是“Z ∈+=k k ,4ππ2α”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要不而充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知点P (sin α －cos α ，tan α )在第一象限，则在[0，2π]上角α 的取值范围是( )A ．)4π5,π()4π3,2π( B ．)4π5,π()2π,4π(C ．)2π3,4π5()4π3,2π(D ．)π,4π3()2π,4π(4．化简=+170cos 10sin 21( ) A ．sin10°＋cos10° B ．sin10°－cos10° C ．cos10°－sin10°D ．－sin10°－cos10°二、填空题5．已知角α ，β 满足关系2π0;<<<βα，则α －β 的取值范围是______． 6．扇形的周长为16，圆心角为2弧度，则扇形的面积为______．7．若2π3π,sin <<=ααm ，则tan(π－α )＝______． 8．已知：2π4π,81cos sin <<=ααα，则cos α －sin α ＝______．三、解答题9．已知tan α ＝－2，且cos(π＋α )＜0，求 (1)sin α ＋cos α 的值 (2)θθ2cos sin 22-－的值10．已知21tan =α，求值： (1)ααααcos sin cos 2sin -+； (2)cos 2α －2sin α cos α ．11．化简ααααααααtan 1tan cos sin ]π)1cos[(]π)1sin[()πcos()πsin(2+++++++-⋅k k k k§3－2 三角变换【知识要点】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α ＋β )＝sin α cos β ＋cos α sin β ；sin(α －β )＝sin α cos β －cos α sin β ； cos(α ＋β )＝cos α cos β －sin α sin β ；cos(α －β )＝cos α cos β ＋sin α sin β ；⋅+-=--+=+βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(;tan tan 1tan tan )tan(2．正弦、余弦、正切的二倍角公式sin2α ＝2sin α cos α ：cos2α ＝cos 2α －sin 2α ＝1－2sin 2α ＝2cos 2α －1；⋅-=ααα2tan 1tan 22tan 【复习要求】1．牢记两角和、差、倍的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用； 2．掌握三角变换的通法和一般规律； 3．熟练掌握三角函数求值问题． 【例题分析】例1 (1)求值sin75°＝______；(2)设54sin ),π,2π(=∈αα，则=+)4πcos(α______；(3)已知角2α的终边经过点(－1，－2)，则)4πtan(+α的值为______； (4)求值=+-15tan 115tan 1______．解：(1)=︒︒+︒︒=︒+︒=︒30sin 45cos 30cos 45sin )3045sin(75sin 222322+⨯ 21⨯426+=． (2)因为53cos ,54sin ),π,2π(-==∈ααα所以， 1027)5453(22sin 22cos 22)4πcos(-=--=-=+ααα(3)由三角函数定义得，342tan 12tan2tan ,22tan2-=-==αααα， 所以71tan 1tan 1tan 4πtan 14πtantan )4πtan(-=-+=-+=+ααααα. (4)3330tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1=︒=︒-︒=︒︒+︒-︒=︒+︒-⋅==-=+-=+-3330tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1o【评析】两角的和、差、二倍等基本三角公式应该熟练掌握，灵活运用，这是处理三角问题尤其是三角变换的基础和核心．注意αααtan 1tan 1)4πtan(-+=+和αααtan 1tan 1)4πtan(+-=-运用． 例2 求值： (1)=-12πsin 12πcos3______； (2)cos43°cos77°＋sin43°cos167°＝______； (3)=++37tan 23tan 337tan 23tan o______． 解：(1)原式)12πsin 3πcos 12πcos 3π(sin 2)12πsin 2112πcos 23(2-=-= 24πsin 2)12π3πsin(2==-=.【评析】辅助角公式：,cos ),sin(cos sin 2222ba a xb a x b x a +=++=+ϕϕ⋅+=22sin b a b ϕ应熟练掌握，另外本题还可变形为=-)12πsin 2112πcos 23(2 -12πcos 6π(cos 2.24πcos 2)12π6πcos(2)12πsin 6πsin ==+=(2)分析所给的角有如下关系：77°＋43°＝120°，167°＝90°＋77°，原式＝cos43°cos77°＋sin43°cos(90°＋77°)＝cos43°cos77°－sin43°sin77° ＝cos(43°＋77°)＝cos120°＝⋅-21 (3)分析所给的角有如下关系：37°＋23°＝60°，函数名均为正切，而且出现两角正切的和tan a ＋tan β 与两角正切的积tan α tan β ，所有均指向公式⋅-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(∵,337tan 23tan 137tan 23tan )3723tan(60tan =︒︒-︒+︒=+=∴,37tan 23tan 3337tan 23tan -=+ ∴337tan 23tan 337tan 23tan =++o．【评析】三角变换的一般规律：看角的关系、看函数名称、看运算结构．以上题目是给角求值问题，应首看角的关系：先从所给角的关系入手，观察所给角的和、差、倍是否为特殊角，然后看包含的函数名称，以及所给三角式的结构，结合三角公式，找到题目的突破口．公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+的变形tan α ＋tan β ＝tan(α ＋β )(1－tan α tan β )应予以灵活运用．例3 41)tan(,52)tan(=-=+βαβα，则tan2α ＝______； (2)已知1312)4πsin(,53)sin(),π,4π3(,=--=+∈ββαβα，求)4πcos(+α的值．解：(1)分析所给的两个已知角α ＋β ，α －β 和所求的角2α 之间有关系(α ＋β )＋(α －β )＝2α ，=-++=)]()tan[(2tan ββa a a 1813415214152)tan()tan(1)tan()tan(=⨯-+=-+--++βαβαβαβα， (2)∵)π,4π3(,∈βα，∴)43,2π(4π),π2,23π(π∈-∈+ββα，又∵53)sin(-=+βα，∴54)cos(=+βα；∵1312)4πsin(=-β，∴135)4πcos(-=-β．)4πsin()sin()4πcos()cos()]4π()cos[()4πcos(-++-+=--+=+ββαββαββαα65561312)53()135(54-=⨯-+-⨯=. 【评析】此类题目重在考察所给已知角与所求角之间的运算关系，主要是指看两角之间的和、差、倍的关系，如αββαααββα2)(,4π)4π()(，+-=+=--+++=)(βα)(βα-等，找到它们的关系可以简化运算，同时在求三角函数值时应关注函数值的符号．例4 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α ，β ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为552,102.(Ⅰ)求tan(α ＋β )的值； (Ⅱ)求α ＋2β 的值．解：由三角函数定义可得552cos ,102cos ==βα， 又因为α ，β 为锐角，所以55sin ,1027sin ==βα，因此tan α ＝7，21tan =β (Ⅰ)3tan tan 1tan tan )tan(-=-+=+βαβαβα；(Ⅱ) 34tan 1tan 22tan 2=-=βββ，所以12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβαβα， ∵α ，β 为锐角，∴4π32,2π320=+∴<+<βαβα 【评析】将三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式结合在一起进行考查，要求基础知识掌握牢固，灵活运用；根据三角函数值求角，注意所求角的取值范围．例5 化简(1)12cos2sin22sin 22cos 2-+αααα；(2).2sin 3)4πcos()4πcos(2x x x +-+解：(1)原式⋅+-=--=--=-=)4πsin(2sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos 22αααααααααα (2)法一：原式x x x x x 2sin 3)sin 22cos 22)(sin 22cos 22(2++-= x x x 2sin 3sin cos 22+-=⋅+=+=+=)6π2sin(2)2sin 232cos 21(22sin 32cos x x x x x法二：,2π)4π()4π(=--+x x原式x x x 2sin 3)4πcos()]4π(2πcos[2+--+=x x x x x 2sin 3)2π2sin(2sin 3)4πcos()4πsin(2+--=+---=⋅+=+=)6π2sin(22sin 32cos x x x【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手，注意二倍角的变式(降幂升角)和辅助角公式的应用，此类变换是处理三角问题的基础．例6 (1)已知α 为第二象限角，且415sin =α，求12cos 2sin )4πsin(+++ααα的值． (2)已知323cos sin 32cos 62-=-x x x ，求sin2x 的值． 解：(1)因为α 为第二象限角，且415sin =α，所以41cos -=α， 原式.2cos 42)cos (sin cos 2)cos (sin 221)1cos 2(cos sin 2)cos (sin 222-==++=+-++=ααααααααααα 【评析】此类题目为给值求值问题，从分析已知和所求的三角式关系入手，如角的关系，另一个特征是往往先对所求的三角式进行整理化简，可降低运算量．(2)因为32sin 32cos 32sin 322cos 16+-=-+⋅x x x x3233)6π2cos(323)2sin 212cos 23(32-=++=+-=x x x 所以0)6π2sin(,1)6π2cos(=+-=+x x 216πsin )6π2cos(6πcos )6π2sin(]6π)6π2sin[(2sin =+-+=-+=x x x x【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手，注意二倍角的变式(降幂升角)22cos 1sin ,22cos 1cos 22αααα-=+=和辅助角公式的应用，此类变换是处理三角问题的基础，因为处理三角函数图象性质问题时往往先进行三角变换．练习3－2一、选择题1．已知53sin ),π,2π(=∈αα，则)4πtan(+α等于( ) A ．71 B ．7 C ．71-D ．－72．cos24°cos54°－sin24°cos144°＝( ) A ．23-B ．21 C ．23 D ．21-3．=-o30sin 1( )A ．sin15°－cos15°B ．sin15°＋cos15°C ．－sin15°－cos15°D ．cos15°－sin15°4．若22)4πsin(2cos -=-αα，则cos α ＋sin α 的值为( ) A ．27-B ．21-C ．21 D ．27 二、填空题 5．若53)2πsin(=+θ，则cos2θ ＝______． 6．=-10cos 310sin 1______．7．若53)cos(,51)cos(=-=+βαβα，则tan α tan β ＝______． 8．已知31tan -=α，则=+-ααα2cos 1cos 2sin 2______． 三、解答题 9．证明⋅=++2tan cos 1cos .2cos 12sin ααααα10．已知α 为第四象限角，且54sin -=α，求ααcos )4π2sin(21--的值．11．已知α 为第三象限角，且33cos sin =-αα. (1)求sin α ＋cos α 的值；(2)求αααααcos 82cos 112cos2sin82sin 522-++的值．§3－3 三角函数【知识要点】12π 2π π 对称轴Z ∈+=k k x ,ππx ＝k π，k ∈Z2．三角函数图象是研究三角函数的有效工具，应熟练掌握三角函数的基本作图方法．会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(A ＞0，ω ＞0)的简图．3．三角函数是描述周期函数的重要函数模型，通过三角函数体会函数的周期性．函数y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(ω ≠0)的最小正周期：||π2ω=T ；y ＝A tan(ω x ＋ϕ)(ω ≠0)的最小正周期：||πω=T ．同时应明确三角函数与周期函数是两个不同的概念，带三角函数符号的函数不一定是周期函数，周期函数不一定带三角函数符号．【复习要求】1．掌握三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象性质：定义域、值域(最值)、单调性、周期性、奇偶性、对称性等．2．会用五点法画出函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(A ＞0，ω ＞0)的简图，掌握图象的变换方法，并能解决相关图象性质的问题．3．本节内容应与三角恒等变换相结合，通过变换，整理出三角函数的解析式，注意使用换元法，转化为最基本的三个三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x ，结合三角函数图象，综合考察三角函数性质 【例题分析】例1 求下列函数的定义域(1)xxy cos 2cos 1+=；(2)x y 2sin =.解：(1)cos x ≠0，定义域为},2ππ|{Z ∈+≠k k x x (2)sin2x ≥0，由正弦函数y ＝sin x 图象(或利用在各象限中和轴上角的正弦函数值的符号可得终边在第一二象限，x 轴，y 轴正半轴上) 可得2k π≤2x ≤2k π＋π， 定义域为},2πππ|{Z ∈+≤≤k k x k x例2 求下列函数的最小正周期 (1))23πsin(x y -=；(2))4π2πtan(+=x y ；x y 2cos )3(2=； (4)y ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ；(5)y ＝｜sin x ｜．解：(1)π|2|π2=-=T ．(2)22ππ==T ．(3)214cos 2124cos 1+=+=x x y ，所以2π=T .(4)1)4π2sin(212cos 2sin 2sin 22cos 12+-=+-=+-⨯=x x x x x y ，所以T ＝π．(5)y ＝｜sin x ｜的图象为下图，可得，T ＝π．【评析】(1)求三角函数的周期时，通常利用二倍角公式(降幂升角)和辅助角公式先将函数解析式进行化简，然后用||π2ω=T (正余弦)或||πω=T (正切)求最小正周期． (2)对于含绝对值的三角函数周期问题，可通过函数图象来解决周期问题． 例3 (1)已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 (2)若函数f (x )＝2sin(2x ＋ϕ)为R 上的奇函数，则ϕ＝______． (3)函数)2π2π(lncos <<-=x x y 的图象( )解：(1),,44cos 12sin 21)cos sin 2(21sin cos 2)(2222R ∈-====x xx x x x x x f 周期为2π，偶函数，选D (2)f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )，所以2sin(－2x ＋ϕ)＝－2sin(2x ＋ϕ)对x ∈R 恒成立， 即sin ϕcos2x －cos ϕsin2x ＝－sin2x cos ϕ－cos2x sin ϕ， 所以2sin ϕcos2x ＝0对x ∈R 恒成立，即sin ϕ＝0，所以ϕ＝k π，k ∈Z ．【评析】三角函数的奇偶性问题可以通过奇偶性定义以及与诱导公式结合加以解决．如在本题(2)中除了使用奇偶性的定义之外，还可以从公式sin(x ＋π)＝－sin x ，sin(x ＋2π)＝sin x 得到当ϕ＝2k π＋π或ϕ＝2k π＋π，k ∈Z ，即ϕ＝k π，k ∈Z 时，f (x )＝2sin(2x ＋ϕ)可以化为f (x )＝sin x 或f (x )＝－sin x ，f (x )为奇函数．(3)分析：首先考虑奇偶性，f (－x )＝lncos(－x )＝lncos x ＝f (x )，为偶函数，排除掉B ，D 选项 考虑(0，2π)上的函数值，因为0＜cos x ＜1，所以lncos x ＜0，应选A 【评析】处理函数图象，多从函数的定义域，值域，奇偶性，单调性等方面综合考虑．例4 求下列函数的单调增区间(1))3π21cos(-=x y ;(2) ]0,π[),6π2sin(2-∈+=x x y ； (3) x x y 2sin 32cos -=；(4))23πsin(2x y -=解：(1)y ＝cos x 的增区间为[2k π＋π，2k π＋2π]，k ∈Z ，由π2π23π21ππ2+≤-≤+k x k 可得3π14π43π8π4+≤≤+k x k )3π21cos(-=x y 的增区间为Z ∈++k k k ],3π14π4,3π8π4[，(2)先求出函数)6π2sin(2+=x y 的增区间Z ∈+-k k k ],6ππ,3ππ[然后与区间[－π，0]取交集得到该函数的增区间为]6π5,π[--和]0,3π[-，(3))3π2cos(2)2sin 232cos 21(2+=-=x x x y ，转化为问题(1)，增区间为 Z ∈++k k k ],6π5π,3ππ[(4)原函数变为)3π2sin(2--=x y ，需求函数)3π2sin(-=x y 的减区间， 2π3π23π22ππ2+≤-≤+k x k ，得12π11π12π5π+≤≤+k x k ， )23πsin(2x y -=的增区间为.],12π11π,12π5π[Z ∈++k k k【评析】处理形如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)＋k ，(ω ＜0)的函数单调性时，可以利用诱导公式将x 的分数化正，然后再求相应的单调区间．求三角函数单调区间的一般方法：(1)利用三角变换将解析式化为只含有一个函数的解析式，利用换元法转化到基本三角函数的单调性问题． (2)对于给定区间上的单调性问题，可采用问题(2)中的方法，求出所有的单调增区间，然后与给定的区间取交集即可．例5 求下列函数的值域(1)函数1)6π21cos(2++-=x y 的最大值以及此时x 的取值集合(2))3π2,6π(,sin 2-∈=x x y (3) )3π,2π(),3π2cos(2-∈+=x x y (4)y ＝cos2x －2sin x解：(1)当Z ∈+=+k k x ,ππ26π21时，1)6π21cos(-=+x ，函数的最大值为3，此时x 的取值集合为},3π5π4|{Z ∈+=k k x x(2)结合正弦函数图象得：当)3π2,6π(-∈x 时，1sin 21≤<-x该函数的值域为(－1，2](3)分析：利用换元法，转化为题(2)的形式．)6π,3π(),3π2cos(2-∈+=x x y ，,3π23π23π),6π,3π(<+<-∴-∈x x设3π2+=x t ，则原函数变为3π23π,cos 2<<-=t t y ，结合余弦函数图象得：1cos 21≤<-t ，所以函数的值域为(－1，2]．(4)y ＝－2sin 2x －2sin x ＋1，设t ＝sin x ，则函数变为y ＝－2t 2－2t ＋1，t ∈[－1，1]， 因为⋅++-=23)21(22t y 结合二次函数图象得，当t ＝1时，函数最小值为－3，当21-=t 时，函数最大值为23，所以函数的值域为].23,3[-【评析】处理三角函数值域(最值)的常用方法：(1)转化为只含有一个三角函数名的形式，如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)＋k ，y ＝A cos(ω x ＋ϕ)＋k ，y ＝A tan(ω x ＋ϕ)＋k 等，利用换元法，结合三角函数图象进行处理．(2)转化为二次型：如A sin 2x ＋B sin x ＋C ，A cos 2x ＋B cos x ＋C 形式，结合一元二次函数的图象性质求值域． 例6 函数y ＝sin(ω x ＋ϕ)的图象(部分)如图所示，则ω 和ϕ的取值是( )A ．3π,1==ϕωB ．3π,1-==ϕωC ．6π,21==ϕωD ．6π,21-==ϕω 解：π)3π(3π24=--=T ，即ωπ2π4==T ，所以21=ω， 当3π-=x 时，0])3π(21sin[=+-⨯ω，所以Z ∈+=k k ,6ππω，选C例7 (1)将函数x y 21sin =的图象如何变换可得到函数)6π21sin(+=x y 的图象(2)已知函数y ＝sin x 的图象，将它怎样变换，可得到函数)3π2sin(2-=x y 的图象解：(1)x y 21sin =−−−−−−−−→−个单位图象向左平移3π)6π21sin()3π(21sin +=+=x x y (2)法一：y ＝sin x −−−−−−−−→−个单位图象向右平移3π)3πsin(-=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍横坐标变为原来图象上点的纵坐标不变21,)3π2sin(-=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍纵坐标变为原来图象上点的横坐标不变2,)3π2sin(2-=x y法二：y ＝sin x −−−−−−−−−−−−−−→−倍横坐标变为原来图象上点的纵坐标不变21,x y 2sin =−−−−−−−−→−个单位图象向右平移6π)6π(2sin -=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍纵坐标变为原来图象上点的横坐标不变2,)3π2sin(2-=x y【评析】由y ＝sin x 的图象变换为y ＝A cos(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)的图象时，特别要注意伸缩变换和横向平移的先后顺序不同，其横向平移过程中左右平移的距离不同．例8 (1)函数)3π21sin(2-=x y 的一条对称轴方程为( ) A ．3π4-=x B ．6π5-=x C ．3π-=x D ．3π2=x (2)函数)3π2cos(-=x y 的对称轴方程和对称中心的坐标解：(1)法一：)3π21sin(2-=x y 的对称轴为Z ∈+=-k k x ,2ππ3π21， 即Z ∈+=k k x ,3π5π2，当k ＝－1时，3π-=x ，选C法二：将四个选项依次代入)3π21sin(2-=x y 中，寻找使得函数取得最小值或最大值的选项当3π-=x 时，22πsin 2)3π6πsin(2-=-=--=y ，选C(2) )3π2cos(-=x y 的对称轴为Z ∈=-k k x ,π3π2，即Z ∈+=k k x ,6π2π对称中心：,,2ππ3π2Z ∈+=-k k x 此时Z ∈+=k k x ,12π52π所以对称中心的坐标为Z ∈+k k ),0,12π52π(【评析】正余弦函数的对称轴经过它的函数图象的最高点或最低点，对称中心是正余弦函数图象与x 轴的交点，处理选择题时可以灵活运用．例9 已知函数)0(),2πsin(sin 3,sin )(2>++=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π． (1)求ω 的值． (2)求f (x )在区间]3π2,0[上的值域． (3)画出函数y ＝2f (x )－1在一个周期[0，π]上的简图．(4)若直线y ＝a 与(3)中图象有2个不同的交点，求实数a 的取值范围． 解：(1)x x xx f ωωωcos sin 322cos 1)(+-=21)6π2sin(212cos 21sin 23+-=+-=x x x ωωω 因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω ＞0，所以π2π2=ω，解得ω ＝1 (2)由(1)得21)6π2sin()(+-=x x f ，因为3π20≤≤x ，所以6π76π26π≤-≤-x ，结合正弦函数图象，得1)6π2sin(21≤-≤-x因此2321)6π2sin(0≤+-≤x ，即f (x )的取值范围为]23,0[(3)由(1)得)6π2sin(21)(2-=-=x x f y(4)由图象可得，－2＜a ＜2且a ≠－1． 【评析】本节内容应与三角恒等变换相结合，利用降幂升角公式和辅助角公式等三角公式化简三角函数解析式，整理、变形为只含有一个函数名的解析式，如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)或y ＝A cos(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)的形式，利用换元法，结合y ＝sin x 、y ＝cos x 的图象，再研究它的各种性质，如求函数的周期，单调性，值域等问题，这是处理三角函数问题的基本方法．练习3－3一、选择题1．设函数),2π2sin()(-=x x f x ∈R ，则f (x )是( ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 2．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( ) A ．R ∈-=x x y ),3π2sin( B ．R ∈+=x x y ),6π2sin(C ．R ∈+=x x y ),3π2sin(D ．R ∈+=x x y ),32π2sin(3．函数)3π2sin(+=x y 的图象( )A ．关于点(3π，0)对称B ．关于直线4π=x 对称C ．关于点(4π，0)对称D ．关于直线3π=x 对称4．函数y ＝tan x ＋sin x －｜tan x －sin x ｜在区间)2π3,2π(内的图象大致是( ）二、填空题5．函数)2πsin(sin 3)(x x x f ++=的最大值是______． 6．函数)]1(2πcos[)2πcos(-=x x y 的最小正周期为______．7．函数)2π0,0)(sin(<<>+=ϕωϕωx y 的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为y ＝______．8．函数y ＝cos2x ＋cos x 的值域为______． 三、解答题9．已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1，x ∈R ． (Ⅰ)求函数f (x )的对称轴的方程； (Ⅱ)求函数f (x )的单调减区间． 10．已知函数.34sin 324cos 4sin2)(2+-=xx x x f (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期及最值； (Ⅱ)令)3π()(+=x f x g ，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．11．已知R ∈>++=a a x x x x f ,0(,cos sin 32cos 2)(2ωωωω，a 为常数)，且满足条件f (x 1)＝f (x 2)＝0的｜x 1－x 2｜的最小值为2π． (Ⅰ)求ω 的值； (Ⅱ)若f (x )在]3π,6π[-上的最大值与最小值之和为3，求a 的值．§3－4 解三角形【知识要点】1．三角形内角和为A ＋B ＋C ＝πA CB -=+π,2π222=++C B A ，注意与诱导公式相结合的问题． 2．正弦定理和余弦定理正弦定理：r CcB b A a 2sin sin sin ===，(r 为△ABC 外接圆的半径)． 余弦定理：abc b a C ac b c a B bc a c b A 2cos ;2cos ;2cos 222222222-+=-+=-+= . a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．3．在解三角形中注意三角形面积公式的运用：21=∆ABC S ×底×高.21=∆ABC S ab sin .sin 21sin 21B ac A bc C == 4．解三角形中注意进行“边角转化”，往往结合三角变换处理问题．【复习要求】1．会正确运用正余弦定理进行边角的相互转化；2．会熟练运用正弦定理和余弦定理解决三角形中的求角，求边，求面积问题． 【例题分析】例1 (1)在△ABC 中，3=a ，b ＝1，B ＝30°，则角A 等于( )A ．60°B ．30°C ．120°D ．60°或120°(2)△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足等式(a ＋b )2＝ab ＋c 2，则角C 的大小为______. (3)在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则∠B 的大小是______． (4)在△ABC 中，若31tan =A ，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝______． 解：(1)∵,23sin ,30sin 1sin 3,sin sin =∴=∴=A A B b A a又∵a ＞b ，∴A ＞B ＝30°，∴A ＝60°或120°，(2)∵(a ＋b )2＝ab ＋c 2，∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴,120,2122cos 222 =∴-=-=-+=C ab ab ab c b a C (3)∵CcB b A a sin sin sin ==，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8. ∴a ∶b ∶c ＝5∶7∶8，∴21852*******cos 222=⨯⨯-+=-+=ac b c a B ，∴B ＝60°． (4)分析：已知条件为两角和一条对边，求另一条对边，考虑使用正弦定理，借助于31tan =A 求sin A 210,150sin 10101,sin sin ,1010sin ,31tan =∴=∴==∴=AB AB B AC A BC A A . 【评析】对于正弦定理和余弦定理应熟练掌握，应清楚它们各自的使用条件，做到合理地选择定理解决问题． 例2 (1)在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 (2)在△ABC 中，2sin B ·sin C ＝1＋cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 解：(1)法一：BbA a sin sin =，a cos A ＝b cos B ， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，∵2A ，2B ∈(0，2π)，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π， ∴A ＝B 或2π=+B A ，选D ．法二：∵a cos A ＝b cos B ，∴acb c a b bc a c b a 2)(2)(222222-+=-+，整理得(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0．所以：a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，选D ．(2)∵2sin B ·sin C ＝1＋cos A ，cos(B ＋C )＝cos(π－A )＝－cos A ， ∴2sin B ·sin C ＝1－(cos B cos C －sin B sin C )， ∴cos B cos C ＋sin B ·sin C ＝1， ∴cos(B －C )＝1，∵B ，C ∈(0，π)，∴B －C ∈(－π，π)， ∴B －C ＝0，∴B ＝C ，选C ．【评析】判断三角形形状，可以从两个角度考虑(1)多通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，进而判断三角形形状，(2)多通过余弦定理将角的关系转化为边的关系，进而判断三角形形状，通常情况下，以将边的关系转化为角的关系为主要方向，特别需要关注三角形内角和结合诱导公式带给我们的角的之间的转化．例3 已知△ABC 的周长为12+，且sin A ＋sin B ＝2sin C (1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为C sin 61，求角C 的度数． 解：(1)由题意及正弦定理，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++ABAC BC AC BC AB 212，解得AB ＝1． (2)由△ABC 的面积C C AC BC S sin 61sin 21=⋅=，得31=⋅AC BC ，因为2=+AC BC ，所以(BC ＋AC )2＝BC 2＋AC 2＋2AC ·BC ＝2，可得3422=+AC BC ，由余弦定理，得212cos 222=-+=⋅BC AC AB BC AC C ， 所以C ＝60°．例4 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别为a 、b 、c ，设a 、b 、c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和b c ＝321+，求∠A 和tan B 的值．解(1)由已知和余弦定理得212cos 222=-+=bc a c b A ，所以∠A ＝60°． (2)分析：所给的条件是边的关系，所求的问题为角，可考虑将利用正弦定理将边的关系转化为角的关系．在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin(60°＋B )，因为B BB B B BC b c sin sin 60cos cos 60sin sin )60sin(sin sin +⋅=+==.32121tan 123+=+=B所以⋅=21tan B 【评析】体现了将已知条件(边321+==b c )向所求问题(角tan B →sin a ，cos α )转化，充分利用了正弦定理和三角形内角关系实现转化过程．例5 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，3π=C ． (Ⅰ)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(Ⅱ)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积．解：(Ⅰ)由余弦定理abc b a C 2cos 222-+=及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以3sin 21=C ab ，得ab ＝4．联立方程组⎩⎨⎧==-+,4,422ab ab b a 解得a ＝2，b ＝2．(Ⅱ)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，(sin B cos A ＋cos B sin A )＋(sin B cos A －cos B sin A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A ， 当cos A ＝0时，332,334,6π,2π====b a B A ，当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎨⎧==-+,2,422a b ab b a 解得334,332==b a . 所以△ABC 的面积332sin 21==C ab S .【评析】以上两例题主要考查利用正弦定理、余弦定理来确定三角形边、角关系等基础知识和基本运算能力．以及三角形面积公式B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆的运用．同时应注意从题目中提炼未知与已知的关系，合理选择定理公式，综合运用正弦定理和余弦定理实现边角之间的转化．例6 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得∠BCD ＝α ，∠BDC ＝β ，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ ，求塔高AB ．解：在△BCD 中，∠CBD ＝π－α －β ．由正弦定理得．sin sin CBDCDBDC BC ∠=∠所以)sin(sin sin sin βαβ+=∠∠=⋅s CBD BDC CD BC ．在Rt △ABC 中，⋅+=∠=⋅)sin(sin tan tan βαβθs ACB BC AB例7 已知在△ABC 中，sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0，sin B ＋cos2C ＝0，求角A ，B ，C 的大小． 解：sin A sin B ＋sin A cos B －sin(A ＋B )＝0，sin A sin B ＋sin A cos B －(sin A cos B ＋cos A sin B )＝0， sin A sin B －cos A sin B ＝sin B (sin A －cos A )＝0， 因为sin B ≠0，所以sin A －cos A ＝0，所以tan A ＝1，4π=A ，可得BC +=4π3， 所以02sin sin )22π3cos(sin )4π3(2cos sin =+=++=++B B B B B B ，sin B ＋2sin B cos B ＝0，因为sin B ≠0，所以12π,3π2,21cos ==-=C B B .【评析】考查了三角形中角的相互转化关系，同时兼顾了两角和、二倍角、诱导公式等综合应用． 练习3－4一、选择题1．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝( ) A ．1∶2∶3B ．2:3:1C ．1∶4∶9D ．3:2:12．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，3,3π==a A ，b ＝1，则c ＝( ) A ．1B ．2C ．13-D ．33．△ABC 中，若a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形4．△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，若b a 25=，A ＝2B ，则cos B ＝( ) A ．35B ．45 C ．55 D ．65二、填空题5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，3π,3==C c ，则A ＝______． 6．在△ABC 中，角ABC 的对边分别为a 、b 、c ，若ac B b c a 3tan )(222=-+，则角B 的值为______．7．设△ABC 的内角6π=A ，则2sinB cosC －sin(B －C )的值为______． 8．在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＝(2a －c )cos B ，则∠B 的大小为______. 三、解答题9．在△ABC 中，53tan ,41tan ==B A .(Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若AB 的边长为17，求边BC 的边长．10．如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD ，DC ，且拐弯处的转角为120°．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米．求该扇形的半径OA 的长(精确到1米)．11．在三角形ABC 中，5522cos ,4π,2===B C a ，求三角形ABC 的面积S ．专题03 三角函数参考答案练习3－1一、选择题：1．B 2．B 3．B 4．C 二、填空题 5．)0,2π(-6．16 7．21mm - 8．23- 三、解答题9．解：(1)⋅-=+=-=>55cos sin ,55cos ,552sin ,0cos ααααα(2)原式＝222)sin 1(sin sin 21cos 1sin 21θθθθθ-=+-=-+-=⋅+=-=-=5521sin 1|sin 1|θθ 10．解：(1)原式51tan 2tan -=-+=αα(2)原式.0tan 1tan 212=+-=αα11．解：当k 为偶数时，原式.0cos sin cos sin 1cos sin 1cos sin .cos sin )cos (sin cos sin 22=+-=++---=αααααααααααααα当k 为奇数时，原式01cos sin )cos (sin =+-=αααα，综上所述，原式＝0．练习3－2一、选择题1．A 2．C 3．D 4．C 二、填空题 5257-6．4 7．21 8．65- 三、解答题9．解：左边=====2tan 2cos 22cos2sin22cos 2sin 2cos 2cos cos 2cos sin 22222.ααααααααααα右边.10．解：原式)sin (cos 2cos 1cos 2cos sin 21cos )2cos 2(sin 12ααααααααα-=-+-=--=， 因为α 为第四象限角，且54sin -=α，所以53cos =α， 所以原式514=. 11．解：(1)由a a a a cos sin 21)cos (sin 2-=-＝31可得32cos sin 2=αα， 所以a a a a cos sin 21)cos (sin 2+=+＝35，因为α 为第三象限角，所以sin α ＜0，cos α ＜0，sin α ＋cos α ＜0， 所以315cos sin -=+αα. (2)原式αααααααααcos cos 3sin 4cos )12cos 2(3sin 4cos 82cos 6sin 4522+=-+=-++=3tan 4+=α，因为51tan 1tan cos sin cos sin -=-+=-+αααααα，所以2531515tan -=+-=α，。

新课标2020版高考数学二轮复习专题一三角函数与解三角形 练习文新人教A版

新课标2020版高考数学二轮复习专题一三角函数与解三角形 练习文新人教A版

第1讲 三角函数的图象与性质一、选择题1．(2019·山东寿光一模)若角α的终边过点A (2，1)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝( ) A ．－255B ．－55C.55D.255解析：选A.根据三角函数的定义可知cos α＝25＝255，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos α＝－255，故选A.2．已知角θ的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点M (－3，4)，则cos 2θ－sin 2θ＋tan θ的值为( )A ．－12175B.12175 C ．－7975D.7975解析：选A.设O 为坐标原点，则由已知得|OM |＝5，因而cos θ＝－35，sin θ＝45，tanθ＝－43，则cos 2θ－sin 2θ＋tan θ＝925－1625－43＝－12175.3．(2019·武昌区调研考试)已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω＞0)的最小正周期为2π，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) 解析：选B.因为f (x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin ωx －12cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6，f (x )的最小正周期为2π，所以ω＝2π2π＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，故选B.4．(2019·济南市模拟考试)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)在[0，π]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则ω的最小值为( )A.23 B.34 C.43D.32解析：选 A.因为0≤x ≤π，ω＞0，所以－π6≤ωx －π6≤ωπ－π6.又f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以ωπ－π6≥π2，所以ω≥23，故选A.5．(2019·郑州市第一次质量预测)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，则下列结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7π12个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C 2解析：选C.把曲线C 1：y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象，再把图象向右平移7π12个单位长度，得到函数y ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－7π12＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，即得曲线C 2.故选C.6．(2019·湖南省湘东六校联考)已知函数f (x )＝|sin x |·|cos x |，则下列说法不正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 B ．f (x )的最小正周期为π2C ．(π，0)是f (x )图象的一个对称中心D ．f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减 解析：选C.f (x )＝|sin x |·|cos x |＝12|sin 2x |，作出函数f (x )的图象如图所示，由图知函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，f (x )的最小正周期为π2，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减，f (x )的图象无对称中心，故选C.二、填空题7．(2018·高考江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是____________．解析：由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1，因为－π2<φ<π2，所以π6<2π3＋φ<7π6，则2π3＋φ＝π2，φ＝－π6. 答案：－π68．(2019·济南市模拟考试)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎪⎫7π6的值为________．解析：设f (x )的最小正周期为T ，根据题中图象可知，T 2＝π2，所以T ＝π，故ω＝2，根据2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝0(增区间上的零点)可知，π6＋φ＝2k π，k ∈Z ，即φ＝2k π－π6，k ∈Z ，又|φ|＜π2，故φ＝－π6.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14π6－π6＝2sin π6＝1.答案：19．已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________．解析：令ωx ＝X ，则函数y ＝2sin X 与y ＝2cos X 的图象的交点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2k π，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋2k π，－2，k ∈Z . 因为距离最短的两个交点的距离为23， 所以相邻两交点横坐标的最短距离是2＝T2，所以T ＝4＝2πω，所以ω＝π2.答案：π2三、解答题10．已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最小值为－1，其图象的相邻两个最高点之间的距离为π.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．解：(1)因为函数f (x )的最小值为－1， 所以－A ＋1＝－1，即A ＝2.因为函数f (x )的图象的相邻两个最高点之间的距离为π， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝π， 所以ω＝2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝12. 因为0<α<π2，所以－π6<α－π6<π3，所以α－π6＝π6，得α＝π3.11．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33.又x ∈[0，π]， 所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3； 当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.12．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋a ，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最小值为2.(1)求a 的值，并求f (x )的单调递增区间；(2)先将函数f (x )的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，再将所得图象向右平移π12个单位，得到函数g (x )的图象，求方程g (x )＝4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上所有根的和．解：(1)f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋a ＝cos 2x ＋1＋3sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，所以f (x )的最小值为－1＋a ＋1＝2， 解得a ＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由函数图象变换可得g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6＋3，由g (x )＝4可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6＝12， 所以4x －π6＝2k π＋π6或4x －π6＝2k π＋5π6(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π12或x ＝k π2＋π4(k ∈Z )， 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x ＝π12或x ＝π4，所有根的和为π12＋π4＝π3.第1讲 三角函数的图象与性质[做真题]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝( )A ．2 B.32 C ．1D.12解析：选A.依题意得函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝π，解得ω＝2，选A.2．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A ．－79B ．－29C.29D.79解析：选A.将sin α－cos α＝43的两边进行平方，得sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝169，即sin 2α＝－79，故选A. 3．(2016·高考全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：选D.函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，所以将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π4个单位长度后，得到函数图象对应的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.故选D.4．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4B.π2C.3π4D ．π解析：选 C.法一：f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.当x ∈[0，a ]时，x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，a ＋π4，所以结合题意可知，a ＋π4≤π，即a ≤3π4，故所求a 的最大值是3π4.故选C.法二：f ′(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.于是，由题设得f ′(x )≤0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥0在区间[0，a ]上恒成立．当x ∈[0，a ]时，x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，a ＋π4，所以a ＋π4≤π，即a ≤3π4，故所求a 的最大值是3π4.故选C.5．(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________．解析：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝1－2cos 2x －3cos x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋342＋178，因为cos x ∈[－1，1]，所以当cos x ＝1时，f (x )取得最小值，f (x )min＝－4.答案：－4[明考情]1．高考对此部分内容的命题主要集中在三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．2．主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下．三角函数的基本问题(基础型)[知识整合]三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．同角三角函数基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．[考法全练]1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan(π－α)＝( ) A.43 B.23 C ．－23D ．－43解析：选A.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得sin α＝1－cos 2α＝45， 所以tan(π－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝－45－35＝43.2．已知sin(5π－α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin α＋2cos α＝( ) A.225B.－25C ．－2 2D ．－ 2解析：选C.由sin(5π－α)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α，得sin α＝－3cos α，所以tan α＝－3，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin α＋2cos α＝22（cos α－sin α）sin α＋2cos α＝22（1－tan α）tan α＋2＝22×4－1＝－2 2.故选C.3．(2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边交单位圆O 于点P (a ，b )，且a ＋b ＝75，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2的值是________．解析：由三角函数的定义知cos α＝a ，sin α＝b ，所以cos α＋sin α＝a ＋b ＝75，所以(cos α＋sin α)2＝1＋sin 2α＝4925，所以sin 2α＝4925－1＝2425，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－sin 2α＝－2425.答案：－2425三角函数的图象与解析式(综合型)[知识整合]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换y ＝sin x――→向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――→纵坐标变为原来的A （A >0）倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． [典型例题](1)(2019·高考天津卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，且f (x )的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( )A ．－2B ．－ 2 C. 2D ．2(2)(2019·蓉城名校第一次联考)已知函数f (x )＝A sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，|θ|＜π2的部分图象如图所示，f (a )＝f (b )＝0，f (a ＋b )＝3，则f (x )＝________．【解析】 (1)因为函数f (x )为奇函数，且|φ|＜π， 所以φ＝0.又f (x )的最小正周期为π，所以2πω＝π，解得ω＝2.所以f (x )＝A sin 2x .由题意可得g (x )＝A sin x ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2， 即A sin π4＝2，解得A ＝2.故f (x )＝2sin 2x . 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝ 2.故选C.(2)由题图可知A ＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋θ)． 因为f (a )＝f (b )＝0，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝2，则sin(a ＋b ＋θ)＝1，a ＋b ＋θ＝π2＋2k π，k ∈Z .由f (a ＋b )＝3得sin[2(a ＋b )＋θ]＝32， 2(a ＋b )＋θ＝π3＋2k π，k ∈Z ，或2(a ＋b )＋θ＝2π3＋2k π，k ∈Z ，所以θ＝2π3＋2k π或θ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又|θ|＜π2，所以θ＝π3，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.【答案】 (1)C (2)2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(1)函数表达式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的确定方法①看平移要求：首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数，这是判断移动方向的关键点．②看移动方向：移动的方向一般记为“正向左，负向右”，看y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的正负和它的平移要求．③看移动单位：在函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中，周期变换和相位变换都是沿x 轴方向的，所以ω和φ之间有一定的关系，φ是初相，再经过ω的压缩，最后移动的单位是⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω. [对点训练]1．(2019·广州市调研测试)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －16π的图象，则f (x )＝( ) A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋16πB ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －16πC ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋13π D ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫6x ＋13π 解析：选B.由题设知，先将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －16π的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，再将所得图象向右平移π3个单位长度即得函数f (x )的图象，故f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－16π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －16π.故选B.2．函数y ＝sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A 、B 是最高点，点C 是最低点，若△ABC 是直角三角形，则ω的值为( )A.π2B.π4C.π3D ．π解析：选A.由已知得△ABC 是等腰直角三角形，且∠ACB ＝90°，所以12|AB |＝y max －y min ＝1－(－1)＝2，即|AB |＝4，而T ＝|AB |＝2πω＝4，解得ω＝π2，故选A.3．(2019·蓉城名校第一次联考)若将函数g (x )图象上所有的点向左平移π6个单位长度得到函数f (x )的图象，已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则( )A ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3C ．g (x )＝sin 2xD ．g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 解析：选C.根据题图有A ＝1，34T ＝5π6－π12＝3π4⇒T ＝π＝2πω⇒ω＝2(T 为f (x )的最小正周期)，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1⇒π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ⇒φ＝π3＋2k π，k ∈Z .因为|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，将f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝sin 2x .故选C.三角函数的性质(综合型)[知识整合]三角函数的单调区间(1)y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． (2)y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )．(3)y ＝tan x 的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )．三角函数的奇偶性、对称轴方程(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数； 当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．(2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得． (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数．[典型例题](1)(2019·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos 2x |B ．f (x )＝|sin 2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |(2)(一题多解)(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，则ω的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，83B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，83 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，2 【解析】 (1)A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．故选A.(2)法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－ωπ4＋π6≥－π2＋2k π，k ∈Z 2ωπ3＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，则⎩⎪⎨⎪⎧ω≤83－8k ，k ∈Z ω≤12＋3k ，k ∈Z ，又ω＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧83－8k ＞012＋3k ＞0，k ∈Z ，所以k ＝0，则0＜ω≤12，故选B.法二：取ω＝1，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，令π2＋2k π≤x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π3＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z ，当k ＝1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3上单调递减，与函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增矛盾，故ω≠1，结合四个选项知选B.【答案】 (1)A (2)B三角函数的单调区间及周期的求法(1)三角函数单调区间的求法求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A 、ω、φ为常数， A ≠0，ω>0)的单调区间的一般思路是令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后利用函数y ＝sin x (或y ＝cos x )的单调区间求解．(2)三角函数周期的求法函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|. [对点训练]1．(2019·河北衡水第十三中学质检四)同时满足f (x ＋π)＝f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的函数f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝cos 2xB ．f (x )＝tan xC ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝sin 2x解析：选D.由题意得所求函数的周期为π，且图象关于x ＝π4对称．A ．f (x )＝cos 2x 的周期为π，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0不是函数f (x )的最值，所以其图象不关于x ＝π4对称． B ．f (x )＝tan x 的周期为π，但图象不关于x ＝π4对称．C ．f (x )＝sin x 的周期为2π，不合题意．D ．f (x )＝sin 2x 的周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1为函数最大值，所以D 满足条件，故选D. 2．(2019·沈阳市质量监测(一))设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，则下列结论正确的是( ) A ．函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8B ．函数y ＝f (x )的图象可由y ＝sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到C ．函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴的方程为x ＝π8D ．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π24，π2，则y ＝f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1解析：选D.对于A ，令2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8，k ∈Z ，A 错；对于B ，y ＝sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度是y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，B 错；对于C ，令2x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k 2π＋3π8，k ∈Z ，当k ＝－1时，x ＝－π8，当k ＝0时，x ＝3π8，C 错；对于D ，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π24，π2，则2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，3π4，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，D 正确． 3．(2019·石家庄市质量检测)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递减C ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增 解析：选A.f (x )＝sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π4，因为f (x )的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π4.f (－x )＝f (x )，即f (x )为偶函数，所以φ－π4＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋3π4(k ∈Z )．因为|φ|＜π2，所以φ＝－π4，所以f (x )＝－2cos 2x ，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0上单调递减，故选A.三角函数与其他知识的交汇(交汇型)[知识整合]三角函数的图象与性质是高考考查的重点，近年来，三角函数与其他知识交汇命题成为高考的热点，由原来三角函数与平面向量的交汇渗透到三角函数与函数的零点、数列、不等式、复数、方程等知识的交汇．[典型例题](1)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1i <2，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N 为( )A ．(0，1)B ．(0，1]C ．[0，1)D ．[0，1](2)已知α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，且⎝⎛⎭⎪⎫α－π23－sin α－2＝0，8β3＋2cos 2β＋1＝0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β的值为( )A ．0 B.22C.12D ．1【解析】 (1)y ＝|cos 2x －sin 2x |＝|cos 2x |∈[0，1]，所以M ＝[0，1]．因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1i <2，所以|x ＋i|<2，即x 2＋1<2.又因为x ∈R ，所以－1<x <1，即N ＝(－1，1)，所以M ∩N ＝[0，1)，故选C.(2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π23－sin α－2＝0，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π23－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2－2＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋2＝0.由8β3＋2cos 2β＋1＝0，得(2β)3＋cos 2β＋2＝0，所以可设f (x )＝x 3＋cos x ＋2，则x 1＝π2－α，x 2＝2β为方程f (x )＝0的解．因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，所以π2－α∈[－π，0]，2β∈[－π，0]．易知函数f (x )在[－π，0]上为单调递增函数，所以方程f (x )＝0只有一个解，所以π2－α＝2β，所以α2＋β＝π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β＝sin π4＝22，故选B.【答案】 (1)C (2)B解决三角函数与其他知识的交汇问题，可利用数形结合思想．利用“数形结合”思想还可以解决以下问题：(1)讨论含有参数的方程的解的个数问题． (2)求三角函数解析式中含有参数的最值问题． (3)求一些特殊函数的周期．(4)利用三角函数的图象对实际问题作出分析等．[对点训练]1．设a n ＝1n sin n π25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．25B ．50C ．75D ．100解析：选D.当1≤n ≤24时，a n >0，当26≤n ≤49时，a n <0，但其绝对值要小于1≤n ≤24时相应的值；当51≤n ≤74时，a n >0；当76≤n ≤99时，a n <0，但其绝对值要小于51≤n ≤74时相应的值．故当1≤n ≤100时，均有S n >0.2．若存在实数φ，使得圆面x 2＋y 2≤4恰好覆盖函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πkx ＋φ图象的最高点或最低点共三个，则正数k 的取值范围是________．解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πkx ＋φ的图象的最高点或最低点一定在直线y ＝±1上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝±1，x 2＋y 2≤4，解得－3≤x ≤3，由题意可得：T ＝2ππk＝2k ，T ≤23<2T ，解得正数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤32，3. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤32，3一、选择题1．(2019·山东寿光一模)若角α的终边过点A (2，1)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝( ) A ．－255B ．－55C.55D.255解析：选A.根据三角函数的定义可知cos α＝25＝255，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos α＝－255，故选A. 2．已知角θ的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点M (－3，4)，则cos 2θ－sin 2θ＋tan θ的值为( )A ．－12175B.12175 C ．－7975D.7975解析：选A.设O 为坐标原点，则由已知得|OM |＝5，因而cos θ＝－35，sin θ＝45，tanθ＝－43，则cos 2θ－sin 2θ＋tan θ＝925－1625－43＝－12175.3．(2019·武昌区调研考试)已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω＞0)的最小正周期为2π，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) 解析：选B.因为f (x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin ωx －12cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6，f (x )的最小正周期为2π，所以ω＝2π2π＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，故选B. 4．(2019·济南市模拟考试)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)在[0，π]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则ω的最小值为( )A.23 B.34 C.43D.32解析：选 A.因为0≤x ≤π，ω＞0，所以－π6≤ωx －π6≤ωπ－π6.又f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以ωπ－π6≥π2，所以ω≥23，故选A.5．(2019·郑州市第一次质量预测)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，则下列结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7π12个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C 2解析：选C.把曲线C 1：y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象，再把图象向右平移7π12个单位长度，得到函数y ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－7π12＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，即得曲线C 2.故选C.6．(2019·湖南省湘东六校联考)已知函数f (x )＝|sin x |·|cos x |，则下列说法不正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝π2对称B ．f (x )的最小正周期为π2C ．(π，0)是f (x )图象的一个对称中心D ．f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减 解析：选C.f (x )＝|sin x |·|cos x |＝12|sin 2x |，作出函数f (x )的图象如图所示，由图知函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，f (x )的最小正周期为π2，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减，f (x )的图象无对称中心，故选C.二、填空题7．(2018·高考江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是____________．解析：由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1，因为－π2<φ<π2，所以π6<2π3＋φ<7π6，则2π3＋φ＝π2，φ＝－π6. 答案：－π68．(2019·济南市模拟考试)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎪⎫7π6的值为________．解析：设f (x )的最小正周期为T ，根据题中图象可知，T 2＝π2，所以T ＝π，故ω＝2，根据2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝0(增区间上的零点)可知，π6＋φ＝2k π，k ∈Z ，即φ＝2k π－π6，k∈Z ，又|φ|＜π2，故φ＝－π6.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14π6－π6＝2sin π6＝1.答案：19．已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________．解析：令ωx ＝X ，则函数y ＝2sin X 与y ＝2cos X 的图象的交点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2k π，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋2k π，－2，k ∈Z . 因为距离最短的两个交点的距离为23， 所以相邻两交点横坐标的最短距离是2＝T2，所以T ＝4＝2πω，所以ω＝π2.答案：π2三、解答题10．已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最小值为－1，其图象的相邻两个最高点之间的距离为π.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．解：(1)因为函数f (x )的最小值为－1， 所以－A ＋1＝－1，即A ＝2.因为函数f (x )的图象的相邻两个最高点之间的距离为π， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝π， 所以ω＝2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12.因为0<α<π2，所以－π6<α－π6<π3，所以α－π6＝π6，得α＝π3.11．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33.又x ∈[0，π]， 所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3； 当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.12．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋a ，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最小值为2.(1)求a 的值，并求f (x )的单调递增区间；(2)先将函数f (x )的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，再将所得图象向右平移π12个单位，得到函数g (x )的图象，求方程g (x )＝4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上所有根的和．解：(1)f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋a ＝cos 2x ＋1＋3sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，所以f (x )的最小值为－1＋a ＋1＝2， 解得a ＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由函数图象变换可得g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6＋3，由g (x )＝4可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6＝12， 所以4x －π6＝2k π＋π6或4x －π6＝2k π＋5π6(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π12或x ＝k π2＋π4(k ∈Z )， 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x ＝π12或x ＝π4，所有根的和为π12＋π4＝π3.第2讲 三角恒等变换与解三角形一、选择题1．(2019·重庆市学业质量调研)已知15sin θ＝cos(2π－θ)，则tan 2θ＝( ) A ．－157 B.157 C ．－158D.158解析：选B.由15sin θ＝cos(2π－θ)，得15sin θ＝cos θ，所以tan θ＝1515，则tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×15151－⎝ ⎛⎭⎪⎫15152＝157，故选B. 2．(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2 B.30 C.29D ．2 5解析：选A.因为cos C2＝55，所以cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35.于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝4 2.故选A.3．(2019·成都市第二次诊断性检测)若α，β都是锐角，且sin α＝255，sin(α－β)＝1010，则sin β＝( ) A.7210B.22C.12D.110解析：选B.因为sin α＝255，α为锐角，所以cos α＝55.因为α，β均为锐角，所以0＜α＜π2，0＜β＜π2，所以－π2＜－β＜0，所以－π2＜α－β＜π2，又因为sin(α－β)＝1010＞0，所以0＜α－β＜π2，所以cos(α－β)＝31010，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝55050＝22. 4．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝( )A.23 B.43 C.34D.32 解析：选D.由sin θ－cos θ＝－144， 得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74.因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以0＜π4－θ＜π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34.故2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c sin B ＋bsin C＝2a ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形解析：选 C.因为csin B＋bsin C＝2a ，所以由正弦定理可得，sin C sin B ＋sin Bsin C＝2sin A ≥2sin C sin B ·sin Bsin C＝2， 所以sin A ＝1，当sin C sin B ＝sin Bsin C时，“＝”成立，所以A ＝π2，b ＝c ，所以△ABC 是等腰直角三角形．6．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2sin 2A ＋b 2sin 2B＝2c 2，sin A (1－cos C )＝sin B sin C ，b ＝6，AB 边上的点M 满足AM →＝2MB →，过点M 的直线与射线CA ，CB 分别交于P ，Q 两点，则MP 2＋MQ 2的最小值是( )A ．36B ．37C ．38D ．39解析：选A.由正弦定理，知a 2sin 2A ＋b 2sin 2B＝2c 2，即2＝2sin 2C ，所以sin C ＝1，C ＝π2，所以sin A (1－cos C )＝sin B sin C ，即sin A＝sin B ，所以A ＝B ＝π4.以C 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则M (2，4)，设∠MPC ＝θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则MP 2＋MQ 2＝16sin 2θ＋4cos 2θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫16sin 2θ＋4cos 2θ＝20＋4tan 2θ＋16tan 2θ≥36，当且仅当tan θ＝2时等号成立，即MP 2＋MQ 2的最小值为36.二、填空题7．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________．解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×116－1＝－78.答案：－788．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________．解析：法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π3＝6 3.法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC的面积S ＝12×23×6＝6 3.答案：6 39.已知在河岸A 处看到河对岸两个帐篷C ，D 分别在北偏东45°和北偏东30°方向，若向东走30米到达B 处后再次观察帐篷C ，D ，此时C ，D 分别在北偏西15°和北偏西60°方向，则帐篷C ，D 之间的距离为________米．解析：由题意可得∠DAB ＝60°，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，∠DBA ＝30°，在△ABD 中，∠DAB ＝60°，∠DBA ＝30°，AB ＝30，所以∠ADB ＝90°，sin ∠DAB ＝sin 60°＝BDBA，解得BD ＝15 3.在△ABC 中，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，所以∠ACB ＝60°，AB sin 60°＝BCsin 45°，解得BC ＝10 6.在△BCD 中，∠CBD ＝∠CBA －∠DBA ＝45°，则由余弦定理得cos ∠CBD ＝cos45°＝BC 2＋BD 2－CD 22BC ·BD ，即22＝（106）2＋（153）2－CD 22×106×153，得CD ＝515.答案：515 三、解答题10．(2019·合肥市第二次质量检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π3－c sin B ＝0.(1)求角C 的值；(2)若a ＝4，c ＝27，求△ABC 的面积．解：(1)因为b sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π3－c sin B ＝0，所以sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin C －32cos C －sin C sin B ＝0，因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以12sin C ＋32cos C ＝0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝0.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3. (2)因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，a ＝4，c ＝27，所以b 2＋4b －12＝0，因为b ＞0，所以b ＝2，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×4×2×32＝2 3.11．(2019·郑州市第一次质量预测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为S ，且满足sin B ＝b 24S.(1)求sin A sin C ；(2)若4cos A cos C ＝3，b ＝15，求△ABC 的周长． 解：(1)由三角形的面积公式可得S ＝12bc sin A ，又sin B ＝b 24S，所以2bc sin A sin B ＝b 2，即2c sin A sin B ＝b ，由正弦定理可得2sin C sin A sin B ＝sin B ， 因为sin B ≠0，所以sin A sin C ＝12.(2)因为4cos A cos C ＝3，所以cos A cos C ＝34，所以cos A cos C －sin A sin C ＝34－12＝14，即cos(A ＋C )＝14，所以cos B ＝－14，因为0＜B ＜π，所以sin B ＝154， 因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝15154＝4.所以sin A sin C ＝ac 16＝12，所以ac ＝8.因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，所以(a ＋c )2＝15＋12＝27，所以a ＋c ＝33，所以a ＋b ＋c ＝33＋15.12．(2019·福州市质量检测)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，CD ＝5，CE ＝3，且△EDC 的面积为3 6.(1)求边DE 的长；(2)若AD ＝3，求sin A 的值．解：(1)如图，在△ECD 中，S △ECD ＝12CE ·CD sin ∠DCE ＝12×3×5×sin ∠DCE ＝36，所以sin ∠DCE ＝265，因为0°＜∠DCE ＜90°， 所以cos ∠DCE ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2652＝15， 所以DE 2＝CE 2＋CD 2－2·CE ·CD ·cos ∠DCE ＝9＋25－2×3×5×15＝28，所以DE ＝27.(2)因为∠ACB ＝90°，所以sin ∠ACD ＝sin(90°－∠DCE )＝cos ∠DCE ＝15，在△ADC 中，AD sin ∠ACD ＝CDsin A ，即315＝5sin A ，所以sin A＝13.第2讲 三角恒等变换与解三角形[做真题]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )A.15 B.55 C.33D.255解析：选B.由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2 sin 2α＋1，即2sin αcosα＝1－sin 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2α，所以2sin α1－sin 2α＝1－sin 2α，解得sin α＝55，故选B.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选A.由题意及正弦定理得，b 2－a 2＝－4c 2，所以由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－3c 22bc ＝－14，得b c＝6.故选A. 3．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________．解析：法一：因为tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，所以tan α－tan5π41＋tan αtan5π4＝15，即tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32.法二：因为tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15， 所以tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＋5π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＋tan 5π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4tan5π4＝15＋11－15×1＝32.答案：324．(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sinA ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 解：(1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sinA ＋C2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sinA ＋C 2＝cosB 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2. 因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋12. 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°<C <90°，故12<a <2，从而38<S △ABC <32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫38，32. [明考情]1．高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现．2．若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般．3．若以解答题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17、18题位置上，难度中等．三角恒等变换及求值(综合型)[知识整合]两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. [典型例题](1)若2cos 2θcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3sin 2θ，则sin 2θ＝( )33C ．－23D ．－13(2)若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝55，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝31010，则β－α＝( )A.π6 B.π4 C.π3D.π12【解析】 (1)因为2cos 2θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3sin 2θ，所以2（cos 2θ－sin 2θ）cos θcos π4－sin θsinπ4＝3sin 2θ，即2(cos θ＋sin θ)＝3sin 2θ， 两边平方得：4(1＋sin 2θ)＝3sin 22θ， 即3sin 22θ－4sin 2θ－4＝0.解得：sin 2θ＝2(舍去)或sin 2θ＝－23.(2)由sin α＝55，及α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得cos α＝255，由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝sin β＝31010，及β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得cos β＝1010，所以sin(β－α)＝sin βcos α－cos βsin α＝31010×255－1010×55＝22，又因为β－α∈(－π2，π2)，所以β－α＝π4. 【答案】 (1)C (2)B三角函数恒等变换的“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．[对点训练]1.3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝( )。

2020版高考数学二轮复习过关检测十二：解三角形的综合问题[含解析]

2020版高考数学二轮复习过关检测十二：解三角形的综合问题[含解析]

专题过关检测（十二） 解三角形的综合问题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且8sin 2A ＋B2－2cos 2C ＝7.(1)求tan C 的值；(2)若c ＝3，sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值． 解：(1)在△ABC 中，因为A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＋B 2＝π2－C 2，则sin A ＋B 2＝cos C2. 由8sin2A ＋B2－2cos 2C ＝7，得8cos 2C2－2cos 2C ＝7， 所以4(1＋cos C )－2(2cos 2C －1)＝7， 即(2cos C －1)2＝0，所以cos C ＝12.因为0＜C ＜π，所以C ＝π3，于是tan C ＝tan π3＝ 3.(2)由sin B ＝2sin A ，得b ＝2a .①又c ＝3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝3.② 联立①②，解得a ＝1，b ＝2.2．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .解：(1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB ，即5sin 45°＝2sin ∠ADB，所以sin ∠ADB ＝25. 由题设知，∠ADB <90°， 所以cos ∠ADB ＝1－225＝235. (2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25， 所以BC ＝5.3．(2019·长春质监)如图，在△ABC 中，AB ＝3，∠ABC ＝30°，cos ∠ACB ＝74. (1)求AC 的长；(2)作CD ⊥BC ，连接AD ，若AD ∶CD ＝2∶3，求△ACD 的面积． 解：(1)因为cos ∠ACB ＝74，所以sin ∠ACB ＝34， 由正弦定理得AC ＝ABsin ∠ACBsin ∠ABC ＝2. (2)因为CD ⊥BC ，所以∠ACD ＝90°－∠ACB ， 所以cos ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝34.设AD ＝2m ，则CD ＝3m .由余弦定理得AD 2＝AC 2＋CD 2－2×AC ×CD ·cos∠ACD ，即4m 2＝4＋9m 2－2×2×3m ×34，解得m ＝1或m ＝45.当m ＝1时，CD ＝3，sin ∠ACD ＝74，S △ACD ＝12·AC ·CD sin ∠ACD ＝374. 当m ＝45时，CD ＝125，sin ∠ACD ＝74，S △ACD ＝12·AC ·CD sin ∠ACD ＝375.综上，△ACD 的面积为374或375.4．设函数f (x )＝sin x (3cos x ＋sin x )－12.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若f (B )＝1，b ＝2，且b (2－cosA )＝a (cosB ＋1)，求△ABC 的面积．解：(1)由已知得，f (x )＝32sin 2x ＋1－cos 2x 2－12＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)．(2)因为f (B )＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＝1， 因为B 是三角形的内角， 所以2B －π6＝π2，B ＝π3，又因为b (2－cos A )＝a (cos B ＋1)，由正弦定理得sin B (2－cos A )＝sin A (cos B ＋1)， 所以2sin B ＝sin A ＋sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋sin C ， 所以2b ＝a ＋c ， 因为b ＝2，B ＝π3，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－ac ⇒b 2＝(a ＋c )2－3ac ⇒ac ＝b 2＝4. 所以S ＝12ac sin B ＝12×4×sin π3＝3，故△ABC 的面积为 3.5．(2020届高三·石家庄摸底)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin A ＋b sin B ＋2b sin A ＝c sin C .(1)求C ；(2)若a ＝2，b ＝22，线段BC 的垂直平分线交AB 于点D ，求CD 的长． 解：(1)因为a sin A ＋b sin B ＋2b sin A ＝c sin C ， 所以由正弦定理可得a 2＋b 2＋2ab ＝c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－22，又0<C <π，所以C ＝3π4.(2)由(1)知C ＝3π4，根据余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋(22)2－2×2×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝20，所以c ＝2 5.由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得2522＝22sin B ，解得sin B ＝55，从而cos B ＝255. 设BC 的中垂线交BC 于点E ， 因为在Rt △BDE 中，cos B ＝BEBD， 所以BD ＝BE cos B ＝1255＝52，因为点D 在线段BC 的中垂线上，所以CD ＝BD ＝52. 6．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且△ABC 的面积为S ＝32ac cos B .(1)若c ＝2a ，求角A ，B ，C 的大小；(2)若a ＝2，且π4≤A ≤π3，求边c 的取值范围．解：由已知及三角形面积公式得S ＝12ac sin B ＝32ac cos B ，化简得sin B ＝3cos B ， 即tan B ＝3，又0<B <π，∴B ＝π3.(1)法一：由c ＝2a 及正弦定理得，sin C ＝2sin A ， 又∵A ＋C ＝2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝2sin A ， 化简可得tan A ＝33，而0<A <2π3， ∴A ＝π6，C ＝π2.法二：由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－2a 2＝3a 2，∴b ＝3a ， ∴a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，∴A ＝π6，C ＝π2. (2)由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ＝csin C，即c ＝a sin C sin A ＝2sin Csin A， 由C ＝2π3－A ，得c ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A sin A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos A ＋12sin A sin A＝3cos A ＋sin A sin A ＝3tan A＋1.又由π4≤A ≤π3，知1≤tan A ≤3，∴2≤c ≤3＋1，故边c 的取值范围为[2，3＋1]．以下内容为“高中数学该怎么有效学习？”首先要做到以下两点：1、先把教材上的知识点、理论看明白。

2020年高考数学二轮复习热点难点全面突破 专题04 三角比、解三角形的综合应用试卷及答案

2020年高考数学二轮复习热点难点全面突破 专题04 三角比、解三角形的综合应用试卷及答案

2ac
2bc
a2 c2 b2 b2 c2 a2 c
2c
2c
所以 a cos B bcos A c ．
由题意得 (a bi) ( cos A i cos B) 3i ，
即 (a cos A-b cos B) (a cos B b cos A)i 3i ，
由复数相等的定义可得
B． 10 10
C． - 10 10
D． - 3 10 10
【答案】C
【解析】 设△ ABC 中角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，由题意可得
1 / 13
1a
c sin
2 c ，则 a 3 2 c ．在△ ABC 中，由余弦定理可得
3
42
2
b2 a2 c2 2ca 9 c2 c2 3c2 5 c2 ，则 b 10 c ．
1t2 1 t
故 l CP CQ PQ 1 t 2t 1 t 2 1 t 1 t 2 1t 1t
所以△ CPQ 的周长 l 是定值 2
（2） S
S正方形ABCD
SABP
SADQ
1
t 2
1 1t 2 1t
当且仅当 t 2 1 时，等号成立
2
1 2
(t
1
1
2
t
)
2
2
所以摄像头能捕捉到正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至多为 2 2 hm2
，∴4α∈(π，2π)，∴4α＝5π，得α＝5π.
3
12
∴2sin2α ＋ tanα － cotα － 1 ＝ － cos2α ＋ sin2α－cos2α ＝ － cos2α ＋ －2cos2α ＝ － (cos2α ＋

2020版高三数学新课标大二轮数学(理) 专题一三角函数与解三角形高考解答题突破(一) 三角函数与解三角形

2020版高三数学新课标大二轮数学(理) 专题一三角函数与解三角形高考解答题突破(一) 三角函数与解三角形

高考解答题突破(一)三角函数与解三角形突破“三变”——变角、变式、变名1．常用的变角技巧(1)已知角与特殊角的变换；(2)已知角与目标角的变换；(3)角与其倍角的变换；(4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用．如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·α＋β2，α＋β2＝⎝⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝⎛⎭⎪⎫α2－β.2．常用的变式技巧主要从函数名、次数、系数方面入手，常见有：(1)讨论三角函数的性质时，常常将它化为一次的单角的三角函数来讨论；(2)涉及sin x ±cos x 、sin x ·cos x 的问题，常做换元处理，如令t ＝sin x ±cos x ∈[－2，2]，将原问题转化为关于t 的函数来处理；(3)在解决三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等．3．常用的变名技巧(1)诱导公式．如sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－cos α. (2)切弦互化．tan α＝sin αcos α.考向一 三角变换与三角函数的性质 1．三角函数的恒等变形的通性通法是：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有：切化弦、降幂、用三角公式转化出特殊角、异角化同角、异名化同名、高次化低次等．2．研究三角函数的值域、最值、周期、单调性等性质，首先要将函数解析式化为标准形式，再结合图形求解．解答此类问题的关键在于“变”，其思路为“一角二名三结构”1．(2019·浙江宁波一模)已知函数f(x)＝23sinωx cosωx＋2cos2ωx(ω>0)，且f(x)的最小正周期为π.(1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到函数g (x )的图象，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，函数g (x )的最大值． [解] (1)由题意知f (x )＝3sin2ωx ＋1＋cos2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1， ∵T ＝π，2π2ω＝π，∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1， 令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得 π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z . (2)∵g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，∴当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，g (x )max ＝2×1＋1＝3. 考向二 解三角形1．利用正弦、余弦定理完成边与角的互化，结合三角公式达到求值的目的．2．利用正弦、余弦定理进行有关的判断或证明．解答此类题目思路是“先变后解”，一是优先判断所给的等式的特点，正确分析已知等式的边角关系，合理地判断边往角化，还是角往边化；二是利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等进行三角形中边角关系的互化．2．(2019·长沙五校联考)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cos B ＝17，AD ＝1292，求△ABC 的面积．[解] (1)a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0，由正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin B ＋sin C ，即sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin(A ＋C )＋sin C ， 即3sin A sin C －cos A sin C ＝sin C .又sin C ≠0，所以化简得3sin A －cos A ＝1， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.在△ABC 中，0<A <π，所以A －π6＝π6，得A ＝π3. (2)在△ABC 中，因为cos B ＝17，所以sin B ＝437. 所以sin C ＝sin(A ＋B )＝32×17＋12×437＝5314. 由正弦定理得，a c ＝sin A sin C ＝75.设a ＝7x ，c ＝5x (x >0)，则在△ABD 中， AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ，即1294＝25x 2＋14×49x 2－2×5x ×12×7x ×17， 解得x ＝1，所以a ＝7，c ＝5， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝10 3.考向三 平面向量与三角函数、解三角形在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．破解平面向量与“三角”交汇题的关键3点一是巧“化简”，即活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行化简；二是会“转化”，把向量共线、向量垂直形式出现的条件还其本来面目，转化为“对应坐标乘积之间的关系”；三是活用“两定理”，有关解三角形的关键是正确分析边角关系，由于边与角可谓形影不离的“好姐妹”，在正、余弦定理的帮助下，边角互化，即可妙解三角形．3．(2019·广东八校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且向量m ＝(2a －c ，b )与向量n ＝(cos C ，cos B )共线．(1)求角B 的大小；(2)若b ＝37，a ＝3，且AD→＝2DC →，求BD 的长度．[解] (1)∵向量m ＝(2a －c ，b )与向量n ＝(cos C ，cos B )共线， ∴(2a －c )cos B ＝b cos C .由正弦定理可得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ， 即sin A (2cos B －1)＝0.∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴2cos B －1＝0，即cos B ＝12. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3. (2)∵b ＝37，a ＝3，B ＝π3，∴在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝9＋c 2－632×3c ＝12，∴c 2－3c －54＝0，解得c ＝9或c ＝－6(舍去)．∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9＋63－812×3×37＝－127 .∵AD →＝2DC →，∴DC ＝13×37＝7. ∴在△BDC 中，由余弦定理得BD 2＝CB 2＋DC 2－2CB ·DC cos C ＝9＋7－2×3×7×－127＝19，∴BD ＝19.专题强化训练(十三)1．(2019·大同模拟)已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫ax －π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫ax －π4＋2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫ax －π4(a >0)，且函数的最小正周期为π2. (1)求a 的值；(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值．[解] (1)函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π4＋2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π4(a >0)，化简可得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ax －π2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ax －π2＋1＝－3cos2ax ＋sin2ax＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ax －π3＋1，∵函数的最小正周期为π2，即T ＝π2. 由T ＝2π2a ，可得a ＝2，∴a 的值为2. 故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3＋1. (2)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，4x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3. 当4x －π3＝－π3时，函数f (x )取得最小值为2×⎝⎛⎭⎪⎫－32＋1＝－3＋1＝1－3，当4x －π3＝π2时，函数f (x )取得最大值为2×1＋1＝3. ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为3，最小值为1－ 3. 2．(2019·银川一模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，且2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝3b .(1)求角A 的值；(2)若AB ＝3，AC 边上的中线BD 的长为13，求△ABC 的面积． [解] (1)在△ABC 中，由2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝3b 及正弦定理，得2sin A ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin C cos π3＋cos C sin π3＝3sin B ， 即sin A sin C ＋3sin A cos C ＝3sin(A ＋C )，sin A sin C ＋3sin A cos C ＝3sin A cos C ＋3cos A sin C ， 即sin A sin C ＝3cos A sin C ．因为sin C ≠0，所以sin A ＝3cos A ，则tan A ＝ 3. 又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)在△ABD 中，AB ＝3，BD ＝13，A ＝π3，由余弦定理， 得AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos A ＝BD 2，所以9＋AD 2－3AD ＝13， 所以AD ＝4(负值舍去)．又D 是AC 的中点，所以AC ＝8， 则S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝6 3.3．(2019·合肥质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A ，cos2A －cos2B ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－A ，且m ∥n .(1)求角B 的值；(2)若△ABC 为锐角三角形，且A ＝π4，外接圆半径R ＝2，求△ABC 的周长．[解] (1)由m ∥n ，得cos2A －cos2B＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－A ，即2sin 2B －2sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫34cos 2A －14sin 2A ，化简得sin B ＝32，故B ＝π3或2π3.(2)因为△ABC 为锐角三角形，所以B ＝π3， 则由A ＝π4，得C ＝π－(A ＋B )＝5π12. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ， 得a ＝4sin π4＝22，b ＝4sin π3＝23，c ＝4sin 5π12＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫22×32＋12×22＝6＋2，所以△ABC 的周长为6＋23＋3 2.4．(2019·河南信阳二模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ．(1)求角A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值． [解] (1)∵(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ，∴根据正弦定理，知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝bc ，即b 2＋c 2－a 2＝－bc .∴由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12. 又A ∈(0，π)，所以A ＝23π.(2)根据a ＝3，A ＝23π及正弦定理可得b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝332＝2，∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C ．∴S ＝12bc sin A ＝12×2sin B ×2sin C ×32＝3sin B sin C ． ∴S ＋3cos B cos C＝3sin B sin C ＋3cos B cos C ＝3cos(B －C )．故当⎩⎪⎨⎪⎧B ＝C ，B ＋C ＝π3，即B ＝C ＝π6时，S ＋3cos B cos C 取得最大值 3.。

新课标版备战高考数学二轮复习难点2.3三角形问题等综合问题测试卷文

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uuuv BC
uuuv 2 OA
uuuuv 2, AC2
uuuuv OA 2
uuuuv OB 2
uuuv uuuv 2OA OB
3，
uuuv AC
3,Q
uuuv OA 与
uuvu OB 夹角为
60o ，且
uuuv uuuv
uuuv
uuuv 2 uuuv 2 uuuv 2
OA OB 1, AB 1， AB AC BC , ABC 为直角三角形，故选 C.
uuur uuur uuur
uuur uuur
4OB 5OC 3OA ，两边分别 平方可得 cos OB, OC
4
uuur uuur
,cos OA, OC
5
uuur uuur 本关系可得 sin OB, OC
3
uuur uuur
,sin OA,OC
5
4 ，所以 S ABC
5
S AOB
S AOC
1 11 1 113
ACB 48.19 ，
取近似值 2 ） 3
BCE
75 ，
E 60 ，则 A 、B 两点之间的距离为 __________．（其中 cos48.19
【答案】 10
15.某中学举行升旗仪式，在坡度为 15°的看台 E 点和看台的坡脚 A 点，分别测得旗杆顶部 的仰角分别为 30°和 60°，量的看台坡脚 A 点到 E 点在水平线上的射影 B 点的距离为 10cm，则旗杆的高 CD 的长是 __________ m ．
10(3
3)
16. △ ABC 中的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 b 4 5 ，c 5 ， B 2C ，点 D 为边 BC 上一点，

2020高考数学理二轮课标通用题型练：3 大题专项(一) 三角函数、解三角形综合问题

2020高考数学理二轮课标通用题型练：3 大题专项(一) 三角函数、解三角形综合问题

题型练3 大题专项(一) 三角函数、解三角形综合问题题型练第62页一、解答题1.已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P (-35,-45). (1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=513,求cos β的值. 解:(1)由角α的终边过点P (-35,-45), 得sin α=-45,所以sin(α+π)=-sin α=45.(2)由角α的终边过点P (-35,-45),得cos α=-35, 由sin(α+β)=513,得cos(α+β)=±1213.由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α, 所以cos β=-5665或cos β=1665. 2.在△ABC 中,a=7,b=8,cos B=-17. (1)求A ;(2)求AC 边上的高.解:(1)在△ABC 中,∵cos B=-17,∴B ∈(π2,π),∴sin B=√1-cos 2B =4√37. 由正弦定理,得asinA =bsinB ⇒7sinA =4√37,∴sin A=√32.∵B ∈(π2,π),∴A ∈(0,π2),∴A=π3.(2)在△ABC 中,sin C=sin(A+B )=sin A cos B+sin B cos A=√32×(-17)+12×4√37=3√314.如图所示,在△ABC 中,过点B 作BD ⊥AC 于点D.∵sin C=ℎBC ,∴h=BC ·sin C=7×3√314=3√32,∴AC 边上的高为3√32. 3.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知△ABC 的面积为a 23sinA . (1)求sin B sin C ;(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC 的周长. 解:(1)由题设得12ac sin B=a 23sinA ,即12c sin B=a3sinA . 由正弦定理得12sin C sin B=sinA3sinA . 故sin B sin C=23.(2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-12, 即cos(B+C )=-12. 所以B+C=2π3,故A=π3.由题设得12bc sin A=a 23sinA ,即bc=8.由余弦定理得b 2+c 2-bc=9,即(b+c )2-3bc=9, 得b+c=√33.故△ABC 的周长为3+√33.4.已知函数f (x )=4tan x sin (π2-x)cos (x -π3)−√3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期; (2)讨论f (x )在区间[-π4,π4]上的单调性. 解:(1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2+kπ,k ∈Z}. f (x )=4tan x cos x cos (x -π3)−√3 =4sin x cos (x -π3)−√3=4sin x (12cosx +√32sinx)−√3=2sin x cos x+2√3sin 2x-√3=sin 2x+√3(1-cos 2x )-√3 =sin 2x-√3cos 2x=2sin (2x -π3), 所以,f (x )的最小正周期T=2π2=π.(2)令z=2x-π3,函数y=2sin z 的单调递增区间是[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z .由-π2+2k π≤2x-π3≤π2+2k π,得-π12+k π≤x ≤5π12+k π,k ∈Z .设A=[-π4,π4],B={x |-π12+kπ≤x ≤5π12+kπ,k ∈Z},易知A ∩B=[-π12,π4].所以,当x ∈[-π4,π4]时,f (x )在区间[-π12,π4]上单调递增,在区间[-π4,-π12]上单调递减.5.已知函数f (x )=√3a cos 2ωx 2+12a sin ωx-√32a (ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A 为图象上的最高点,点B ,C 为图象与x 轴的两个相邻交点,且△ABC 是边长为4的正三角形.(1)求ω与a 的值; (2)若f (x 0)=8√35,且x 0∈(-103,23),求f (x 0+1)的值.解:(1)由已知可得f (x )=a (√32cosωx +12sinωx)=a sin (ωx +π3).∵BC=T2=4, ∴T=8,∴ω=2π8=π4.由题图可知,正三角形ABC 的高即为函数f (x )的最大值a ,得a=√32BC=2√3. (2)由(1)知f (x 0)=2√3sin (π4x 0+π3)=8√35, 即sin (π4x 0+π3)=45.∵x 0∈(-103,23),∴π4x 0+π3∈(-π2,π2),∴cos (π4x 0+π3)=√1-(45)2=35, ∴f (x 0+1)=2√3sin (π4x 0+π4+π3) =2√3sin [(π4x 0+π3)+π4]=2√3[sin (π4x 0+π3)cos π4+cos (π4x 0+π3)sin π4] =2√3×(45×√22+35×√22)=7√65. 6.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,a+b=5,(2a+b )·cos C+c ·cos B=0. (1)若△ABC 的面积为√32,求c ;(2)若点D 为线段AB 的中点,∠ACD=30°,求a ,b. 解:(1)∵(2a+b )cos C+c cos B=0,∴(2sin A+sin B )cos C+sin C cos B=0, 即2sin A cos C+sin B cos C+sin C cos B=0.∴2sin A cos C+sin(B+C )=0,即2sin A cos C+sin A=0. ∵A ∈(0,π),∴sin A ≠0.∴cos C=-12.∵C ∈(0,π),∴sin C=√32. ∴S △ABC =12a ·b sin C=√3ab4=√32.∴ab=2. 在△ABC 中,c 2=a 2+b 2-2ab cos C=(a+b )2-ab=25-2=23,∴c=√23. (2)∵cos C=-12,∴C=120°.又∠ACD=30°,∴∠BCD=90°.记∠ADC=θ,AD=BD=m ,在直角三角形BCD 中,a=m sin θ. 在△ACD 中,msin30°=bsinθ,∴b=2m sin θ.∴b=2a. 又a+b=5,∴a=53,b=103.。

2020高考数学二轮复习难点2-3三角变换平面向量函数解三角形问题等综合问题测试卷理

2020高考数学二轮复习难点2-3三角变换平面向量函数解三角形问题等综合问题测试卷理

【2019最新】精选高考数学二轮复习难点2-3三角变换平面向量函数解三角形问题等综合问题测试卷理（一）选择题（12*5=60分）1.在中，，，是边上的高，则（ ）ABC ∆3AB BC ==30BAC ∠=CD AB CD CB = A. B. C. D.94-94274274-【答案】B【解析】如图所示，在中，，，是边上的高，则，所以，且，所以 .ABC ∆3AB BC ==30BAC ∠=CD AB 120ABC ∠=33sin 60CD BC ==030BCD ∠=cos 3cos302CD CB CD CB BCD =∠=94= 2.【河南省××市2018届期中】已知单位向量的夹角为，若，则为（ ）,OA OB 602OC OA OB =+ABC ∆A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形 【答案】C3.在中，分别是三等分点，且，若，则（ ）ABC ∆,P Q ,AB BC 11,33AP AB BQ BC ==,AB a AC b ==PQ =A ．B ．C ．D ．1133a b +1133a b -+1133a b -1133a b -- 【答案】A【解析】因.故应选A.b a AB AC AB AB BQ AB AP AQ PQ 3131)(313231+=-+=-+=-== 4.【2018年高考数学训练试题】若O 为平面内任意一点，且，则△ABC 是( )()()20OB OC OA AB AC +-⋅-=A. 直角三角形或等腰三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形但不一定是直角三角形D. 直角三角形但不一定是等腰三角形 【答案】C【解析】由＝0得·＝0，∴2－2＝0，即||＝||，∴AB＝AC ，即△ABC 是等腰三角形，但不一定是直角三角形．选C.()()2OB OC OA AB AC +-⋅-()AB AC +()AB AC -AB AC AB AC5. 【广西××市2018届9月联考】已知O 是△ABC 内部一点， ， 且∠BAC=60°，则△OBC 的面积为（ ）0OA OB OC ++=2AB AC ⋅= A. B. C. D. 312323【答案】A6.已知的外接圆半径为1，圆心为点，且，则的面积为（ ）ABC ∆O 3450OA OB OC ++=ABC ∆A ．B ．C ．D ．85756545【答案】C【解析】如图所示，，由可得，两边平法可得,所以，因此，同理，，两边分别平方可得,根据同角三角函数基本关系可得，所以 ,故选C.1OA OB OC ++=3450OA OB OC ++=345OA OB OC +=-9121625OA OB +⋅+=0OA OB ⋅=OA OB ⊥354OA OC OB +=-453OB OC OA +=-43cos ,,cos ,55OB OC OA OC =-=-34sin ,,sin ,55OB OC OA OC ==0ABC AOB AOC BC S S S S ∆∆∆∆=++113146111111225255=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=7.【河南省××市2018届第一次质量检测】如图，在中， 为线段上靠近的三等分点，点在上且，则实数的值为（ ）ABC N AC A P BN 22=1111AP m AB BC ⎛⎫++ ⎪⎝⎭mA. 1B.C.D. 12911511【答案】D8.【2018届广东省七校第二次联考】P 、Q 为三角形ABC 中不同两点,若,,则为PA PB PC AB ++=QA 3QB 5QC 0++=PABQAB S:SA. B. C. D. 13355779【答案】B【解析】令为的中点,化为,即,可得,且点在边上,则,设点分别是的中点,则由可得,设点是的中点,则,设点是的中点,则,因此可得,所以，故选B.D AC PA PB PC AB ++=PA PC AB PB +=-2PD AP =3AC AP =P AC 12PAB ABC S S ∆∆=,M N,AC AB 350QA QB QC ++=260QM QN QC ++=T CN 2520QM QN QT ++=S MT 450QS QN +=59QAB ABC S S ∆∆=3:5PAB QAB S S ∆∆= 9.已知中，，为边的中点，则等于（ ）ABC ∆10,16BC AB AC =⋅=-D BC ADA ．B ．C ．D ．6543 【答案】D【解析】由题意可得,故由余弦定理得: ,即.设,由题设,即,解之得,应选D.16cos -=A bc A bc c b cos 210022-+=6822=+c b AD x =2522222⨯+=+x c b 1822=x 3=x 10.已知点在△内部一点，且满足，则△，△，△的面积之比依次为（ ）O ABC 2340OA OB OC ++=AOB BOC AOCA ．4：2:3B ．2:3:4C ．4:3:2D ．3:4:5 【答案】A11.【四川省成都外国语学校2018届11月月考】设是所在平面内的一点,若且.则点是的P ΔABC ()2AB CB CA AB CP ⋅+=⋅222AB AC BC AP =-⋅P ΔABCA. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 【答案】A12.已知点为内一点，，过作垂直于点，点为线段的中点，则的值为（ ）O ABC ∆0120,1,2AOB OA OB ∠===O OD AB D E OD OE EAA ．B ．C ．D ．51427314328【答案】D【解析】如图，点为内一点，，过作垂直于点，点为线段的中点，∴，则O ABC ∆0120,1,2AOB OA OB ∠===O OD AB D E OD 0OD AD ∙=1()222OD AO ADOE EA AE OD +∙=∙-=-∙∙4AO OD OD AD ∙+∙=-2cos 444OA OD AOD OD OA OD ∙∙∠∙===.中，利用余弦定理可得,因为可得，所以，∴，故选：D.AOB ∆AB =11sin120,22AOB S AB OD OA OB∆=∙∙=∙∙︒111222OD =∙∙OD =328OE EA =（二）填空题（4*5=20分）13.已知外接圆的圆心为，且则 ．ABC ∆O 320OA OB OC ++=AOC ∠= 【答案】23π【解析】不妨设外接圆半径为，，两边平方得，即，故132023OA OB OC OA OC OB ++=⇔+=-1443OA OC ++⋅=1cos 2AOC ∠=-23AOC π∠=14. 【河南省××市2018届第四次模拟】如图，为了测量河对岸、两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、；并测量得到一些数据： ， ， ， ， ， ， ，则、两点之间的距离为__________．（其中取近似值）A B C C A B D A C E B C 2CD =CE =45D ∠=︒105ACD ∠=︒48.19ACB ∠=︒75BCE ∠=︒60E ∠=︒A B cos48.19︒2315.某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台点和看台的坡脚点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量的看台坡脚点到点在水平线上的射影点的距离为，则旗杆的高的长是__________．E A A E B 10cm CD m【答案】(103【解析】由题意得,所以,因此4530DEA ADE ∠=∠=，sin 452sin 30cos15AE ABAD ==10sin 602sin 6010(33)cos(4530)CD AD ===--16. 中的内角的对边分别为，若，，，点为边上一点，且，则的面积为 ．ABC △ A B C ，， a b c ，，b =5c =2B C =D BC 6BD =ADC △【答案】10（三）解答题（4*12=48分）17.如图，在平面四边形中，.ABCD 32BA BC = （1）若与的夹角为，求的面积；BA BC 30ABC ∆ABC S ∆（2）若为的中点，为的重心（三条中线的交点），且与互为相反向量求的值.4,AC O =AC G ABC ∆OG OD AD CD【解析】(1)，3232,cos3032,cos303BA BC BA BC BA BC =∴=∴==111sin 30222ABC S BA BC ∆∴=== (2) 以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.则，O AC x ()()2,0,2,0A C -设，则，因为与互为相反向量，所以.因为为的重心，所以，即,因此.由题意，,即..(),D x y (),OD x y =OG OD (),OG x y =--G ABC ∆()33,3OB OG x y ==--()()()3,3,32,3,32,3B x y BA x y BC x y --∴=-=+22949BA BC x y =-+2294932x y -+=224x y +=()()222,2,40AD CD x y x y x y ∴=+-=+-=18.已知向量，，记．(3sin ,1)4xm =2(cos ,cos )44x x n =()f x m n =⋅ （1）若，求的值；()1f x =cos()3x π+（2）在锐角中，角，，的对边分别是，，，且满足，求的取值范围． ABC ∆A B C a b c (2)cos cos a c B b C -=(2)f A所以的取值范围．(2)f A 3]219. 【山东省、湖北省部分重点中学2018届第二次联考】设函数()2sin cos 32f x x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭(Ⅰ) 求的单调增区间；()f x(Ⅱ) 已知的内角分别为，若，且能够盖住的最大圆面积为，求的最小值.ABC ∆,,A B C 22A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ABC ∆πAB AC ⋅ 20.在中，角，，的对边分别为，，，．ABC ∆A B C a b c 3cos 10C = （1）若，求的面积；92CA CB ⋅=ABC ∆ （2）设向量，，且，求角的值．(2sin ,x B =2(cos 2,12sin )2By B =-//x y B。

2020届高三数学 解三角形的综合问题期末复习测试卷 文

2020届高三数学 解三角形的综合问题期末复习测试卷 文

解三角形的综合问题(40分钟)一、选择题1.(2020·淮南模拟)三角形两条边长分别为2和3,其夹角的余弦值是方程2x2-3x+1=0的根,则此三角形周长为( )A. B.7 C.5+ D.5+22.(2020·遂宁模拟)在△ABC中,AB=,AC=1,B=30°,则△ABC的面积等于( )A. B.C.或D.或3.一艘海轮从A处出发,以每小时40nmile的速度沿东偏南50°方向直线航行,30min后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是东偏南20°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C 两点间的距离是( )A.10nmileB.10n mileC.20nmileD.20nmile4.(2020·天津模拟)已知△ABC的周长为+1,面积为sinC且sinA+sinB=sinC,则角C为( )A.30°B.60°C.45°D.90°5.某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为,,,则此人( )A.不能作出这样的三角形B.能作出一个锐角三角形C.能作出一个直角三角形D.能作出一个钝角三角形二、填空题6.(2020·马鞍山模拟)△A BC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c=2asinC,bc=4,则△ABC的面积是.7.(2020·湖北高考)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C= .8.(2020·运城模拟)△ABC中,角A,B,C所对的边a,b,c成等差数列,且最大角是最小角的2倍,则cosA+cosC= .三、解答题9.(2020·重庆高考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2=b2+c2+bc.(1)求A.(2)设a=,S为△ABC的面积,求S+3cosBcos C的最大值,并指出此时B的值.10.(2020·四川高考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C)=-.(1)求sinA的值.(2)若a=4,b=5,求向量在方向上的投影.11.已知甲船正在大海上航行.当它位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10海里C 处的乙船,乙船当即也决定匀速前往救援,并且与甲船同时到达.(1)试问乙船航行速度的大小.(2)试问乙船航行的方向(试用方位角表示,结果精确到1°).答案解析1.【解析】选C.方程2x2-3x+1=0的根是和1,所以三角形中该夹角的余弦值为,由余弦定理得第三边长为=,所以该三角形的周长为5+.2.【解析】选C.由余弦定理得AC2=BC2+AB2-2BC·ABcosB,即1=BC2+3-2×BC××,化简得BC=1或BC=2.所以S△ABC=AB·BC·sinB=或.3.【解析】选 A.如图,由条件可知△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=105°,AB=20nmile,∠ACB=45°,由正弦定理得=,所以BC=10nm ile,故选A.4.【解析】选B.由题意知即所以cosC====,所以C=60°.5.【解析】选 D.设三角形的面积为S,三边长分别为a,b,c,则a×=S,所以a=26S,同理可得另两边长b=22S,c=10S,由余弦定理,cosA===-<0,所以A为钝角.6.【解析】由正弦定理得sinC=2sinAsinC,所以sinA=,所以S△ABC=bcsinA=×4×=1.答案:17.【解析】由(a+b-c)(a+b+c)=ab,可知a2+b2-c2=-ab.又cosC==-,所以C=120°.答案:120°8.【解析】设A为最大角,则A=2C,a+c=2b, ①=,则=c,所以cosC==. ②由①②得a=c,则cosC=,cosA+cosC=2cos2C-1+cosC=.答案:9.【解析】(1)由余弦定理得cos A===-.又因0<A<π,所以A=.(2)由(1)得sinA=,又由正弦定理及a=得S=bcsinA=··asinC=3sinBsinC,因此,S+3cosBcosC=3(s inBsinC+cosBcosC)=3cos(B-C).所以,当B=C,即B==时,S+3cosBcosC取得最大值3.10.【解析】(1)由cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C)=-,得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-.则cos(A-B+B)=-,即cosA=-.又0<A<π,则sinA=.(2)由正弦定理,有=,所以sinB==.由题知a>b,则A>B,故B=.根据余弦定理,有(4)2=52+c2-2×5c×,解得c=1或c=-7(负值舍去).故向量在方向上的投影为||cosB=.11.【解题提示】据题意作出示意图,把实际问题转化为解三角形问题,利用正、余弦定理求解. 【解析】(1)设C与B的距离为x海里,所用时间为=2(小时),则x2=AC2+AB2-2AB·ACcos120°=102+202+2×20×10×=700,所以x=10,v乙==5(海里/小时),所以乙船航行速度为5海里/小时.(2)设∠ACB=θ,则=,=,则sinθ=≈0.655,得θ≈41°,所以乙船应朝北偏东71°的方向沿直线前往B处救援.。

2020高考数学课标二轮：题型练大专项(一)三角函数、解三角形综合问题 含解析

2020高考数学课标二轮：题型练大专项(一)三角函数、解三角形综合问题 含解析
5.已知函数f(x)= acos2 asinωx- a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形.
(1)求ω与a的值;
(2)若f(x0)= ,且x0∈ ,求f(x0+1)的值.
解:(1)由已知可得f(x)=a =asin .
∵BC= =4,
∴T=8,∴ω= .
由题图可知,正三角形ABC的高即为函数f(x)的最大值a,
得a= BC=2 .
(2)由(1)知f(x0)=2 sin ,
即sin .
∵x0∈ ,∴ x0+ ,
∴cos ,
∴f(x0+1)=2 sin
=2 sin
=2 sin x0+ cos +cos x0+ sin =2 .
2020高考数学课标二轮：题型练大专项（一）三角函数、解三角形综合问题 含解析
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题型练第54页
1.(20xx全国Ⅲ,理18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin =bsinA.
(1)求B;
(1)求sinBcosC的值;
(2)若6cosBsinC= ,a=3,求b+c的最大值.
解:(1)依题意,得 absinC= ,即3bsinAcosC= a,
由正弦定理,得3sinBsinAcosC= sinA.
∵A∈(0,π),∴sinA>0,
∴sinBcosC= .
(2)∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

2020高考数学(理科)二轮专题复习课标通用版跟踪检测：三角函数、解三角形与平面向量第1部分专题2第2讲含

2020高考数学(理科)二轮专题复习课标通用版跟踪检测：三角函数、解三角形与平面向量第1部分专题2第2讲含
6．如图，在离地面高400 m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为( )
A．700 mB．640 m
C．600 mD．560 m
C解析根据题意，可得在Rt△AMD中，∠MAD＝45°，MD＝400，所以AM＝ ＝400 .因为△MAC中，∠AMC＝45°＋15°＝60°，∠MAC＝180°－45°－60°＝75°，所以∠MCA＝180°－∠AMC－∠MAC＝45°，由正弦定理得AC＝ ＝ ＝400 ，在Rt△ABC中，BC＝ACsin∠BAC＝400 × ＝600(m)．故选C项．
又∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝ .
(2)设∠BAD＝α，在△ABD中，∠ABC＝ ，AD＝6，BD＝3.由正弦定理得 ＝ ，解得sinα＝ .
因为AD>BD，所以α为锐角，
从而cosα＝ ＝ .
因此sin∠ADC＝sin ＝sinαcos ＋cosαsin ＝ ＝ .
所以△ADC的面积S＝ ×AD×DC·sin∠ADC＝ ×6×2× ＝ (1＋ )．
4．已知cos ＝ ，则cos ＋sin2 的值为( )
A．－ B．
C． D．－
C解析cos ＋sin2 ＝－cos ＋sin2 ＝1－2cos2 ＋1－cos2 ＝2－3cos2 ＝ .故选C项．
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是( )
答案
13．(20xx·江西上饶模拟)在△ABC中，AB＝3AC，AD是∠A的平分线，且AD＝mAC，则实数m的取值范围是________.
解析由三角形角平分线性质知BD＝3DC，不妨设AC＝1，则AB＝3，AD＝m.在△ABD和△ACD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB×ADcos ，DC2＝AC2＋AD2－2AC×ADcos .又BD2＝9DC2，所以9＋m2－6mcos ＝9 ，m≠0，所以m＝ cos ，又0＜ ＜90°，所以0＜cos ＜1，所以0＜m＜ .故实数m的取值范围是 .

2020届高考数学(文)二轮复习专题检测(4)三角函数与解三角形+Word版含答案

2020届高考数学(文)二轮复习专题检测(4)三角函数与解三角形+Word版含答案

（4）三角函数与解三角形 1、1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( )A ．3B ．6C ．18D ．362、已知tan 3α=,则222sin 2cos sin cos sin ααααα+=+( ). A.38B.916C.1112D.79 3、下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数的是( ) A. 2y sinx =B. 2y sin x =C. 2y cosx =D. 2y cos x =4、已知函数()()tan 0,?2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭,()y f x =的部分图像如下图,则24f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A. 23B. 3C.3 D. 235、已知曲线1C :cos y x =,2C :2πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下面结论正确的是( ) A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线2CB.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线2CD.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线2C6、在ABC ∆中，已知5cos 13A =，4cos 5B =，则cos C 的值为（ ） A. 1665 B. 5665 C. 1665或5665 D ．1665- 7、在ABC ∆中，2AB = ，3C π∠=，则AC BC +的最大值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5 8、在锐角ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 若2A B =，则AB AC 的取值范围是（ ）A.()0,3B.()1,2C.D.()1,39、在ABC △中, ,4πB =BC 边上的高等于13BC ,则cos A = ( )A. B. C. D. 10、在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，3cos cos cos b A c A a C =+，则 tan A 的值是 ( )A． - B ． C ． D ．11、若5cos,θ=θ为锐角，则sinθ=_____________,()()πcos sinπ2π3sin cosπ2⎛⎫-θ-+θ⎪⎝⎭=⎛⎫+θ--θ⎪⎝⎭____________12、比较1cos0,cos,cos30,cos1,cosπ2︒的大小为__________________________.13、在ABC∆中，角A,B,C分别为a,b,c，若sin sin()sina A c C ab B=+-，则角C的大小为___________.14、如图，在四边形ABCD中，90BAC∠︒＝，=4=1=2BC CD AB AD，，，AC是BCD∠的角平分线，则BD=__________.15、在ABC∆中，设a b c、、分别为角A B C、、的对边，记ABC∆的面积为S，且2AB ACS⋅u u u r u u u r＝（1）求角A的大小；（2）若4c=7,cos B=5，求a的值．答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：根据题意，得 该圆的半径为661=， 由扇形的面积公式， 得1=66182S ⨯⨯=扇. 故选C.2答案及解析：答案：C解析：因为tan 3α=，所以2cos 0α≠，于是有2222222222sin 2cos sin 2cos 211sin cos sin sin cos sin tan tan 1tan cos cos 2ααααααααααααααα+++===+++，故本题选C.3答案及解析：答案：A解析：A 的最小正周期是π,且在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数,所以A 正确;B 的最小正周期是π,但在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为先减后增,所以B 不正确;C 的最小正周期是π,在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数,所以C 不正确;D 的最小正周期是π,且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数,所以D 不正确,选A.4答案及解析：答案：B 解析：由图象知周期32882T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,所以2ω=,()()tan 2f x A x ϕ=+.又因为3,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭是图象上的点,所以()33tan 2084k k Z ππϕϕπ⎛⎫⨯+=⇒+=∈ ⎪⎝⎭.因为2πϕ<,所以4πϕ=,()tan 24f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又因为图象过()0,1,所以()1tan 1tan 244A A f x x ππ⎛⎫=⇒=⇒=+ ⎪⎝⎭,tan 243f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭5答案及解析：答案：D 解析：122:cos ,:sin 23C y x C y x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 首先曲线12,C C 统一三角函数名,可将1:cos C y x =用诱导公式处理.cos cos sin 222y x x x πππ⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 横坐标变换需将1ω=变成2ω=, 即sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r各点横坐标缩短到原来的 sin 2sin 224y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12πu u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r向左平移个单位长度 2sin 2sin 2sin 241233y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.6答案及解析：答案：A解析：7答案及解析：答案：C解析：ABC ∆中，2,AB C =∠=则：2AB R sin C ==∠，所以：())243AC BC R sinA sinB sinA sinB sin A π+⎛=+=+=+⎫ ⎪⎝⎭，由于：0A <<3A ππ<+<，当A =8答案及解析：答案：B解析：9答案及解析：答案：C解析：设BC 边上的高线为AD ，则BC=3AD ，所以AC ，AB =.由余弦定理，知222222cos2AB AC BC A AB AC +-==⋅10答案及解析：答案：C解析：∵ABC △中，由余弦定理得222222cos cos 22b c a a b c c A a C c a b bc ab+-+-+=⨯+⨯= ∴根据题意，3cos cos cos b A c A a C b =+=两边约去b,得3cos 1A =,,所以1cos 03A =>∴A 为锐角,且sin 3A ==因此,sin tan cos A A A == 故选：C11答案及解析：;1 解析：12答案及解析： 答案：1cos0cos cos30cos1cos π2>>︒>>解析：因为1π01π26<<<<,而cos y x =在区间[0,π]上是减函数,所以1cos0cos cos30cos1cos π2>>︒>>.13答案及解析： 答案：3π 解析：()asinA csinC a b sinB -=-，由正弦定理可得：222a c ab b -=-，即222a b c ab +-=，由余弦定理可得：2222a b c cosC ab +-==又()0,C π∈，∴C =14答案及解析：解析：15答案及解析：答案：（1）由2S AB AC =⋅u u u r u u u r ，得sin cos bc A bc A ＝，因为0()A π∈，，所以1tanA ＝，即A 4π=故A 的大小为4π. （2）在ABC ∆中，因为4cosB=5， 所以3sinB=5，所以()1·0sinC sin A B sinAcosB cosA sinB ＝＋＝＋＝. 由正弦定理a c sinA sinC ==a＝.解得5故a的值为5. 解析：。

2020届二轮(理科数学) 解三角形 专题卷(全国通用)

2020届二轮(理科数学) 解三角形 专题卷(全国通用)

2020届二轮（理科数学） 解三角形 专题卷（全国通用）【答案】1)+【解析】连接AC ，在ABC △中，由余弦定理可知，AC ===120ABC ∠=︒，AB AC =，30ACB ∴∠=︒， 1203090ACD BCD ACB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴在ACD △中，AD ===，设MAD θ∠=，在AMD △中，由正弦定理可知sin DM θ=DM θ=，13π13πsin()sin()2424AMD S AD DM θθθ∴=⋅-=⨯⨯-△)34πθ=-+，∴当22ππ4θ-=，即3π8θ=时，景观区域面积最大，为1)+，故答案为1)+．MBCDA一、选择题1．给定ABC △的三个条件：60A =︒，4b =，2a =，则这样的三角形解的个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个2．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，12cos 13C =，1a =，则b =（ ）A ．2B ．5613C ．2113D ．56393．ABC △的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若7cos 8A =，2c a -=，3b =， 则a =（ ） A ．2B ．52C ．3D ．724．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos cos cos a A b C c B =+，3b c +=，则a 的最小值为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．35．在ABC △中，120BAC ∠=︒，AD 为BAC ∠的平分线，2AB AC =，则（ ） A ．2AB AD =B ．3AB AD =C ．2AB AD =或3AB AD =D ．5AB AD =6．在ABC △中，D 是边BC 上一点，22AB AD AC ==，1cos 3BAD ∠=，则sin C =（ ） A ．23B ．33C ．63D ．327．ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知ABC △的面积为3154，2a =，3b =，则sin aA=（ ） A ．463 B ．161515C ．4153D ．463或161515经典集训8．设ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos b cB C a++=， 则这个三角形的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定二、填空题9．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c cos cos CA =，则角A 等于 ．10．如图，已知ABC △中，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠的平分线，且1AB =，AD =，2AC =．则BDDC 的值为 ，ABC △的面积为 ．三、简答题11．如图，在ABC △中，π3B ∠=，8AB =，点D 在边BC 上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=． 求BD ，AC 的长．12．在锐角ABC △中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，已知3b =，2239a c c =-+．（1）求A ；（2）求22sin sin B C +的取值范围．13．在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知(0)a b m +=>．（1）当3m =时，①若A B =，求sin C ； ②若π6B =，求sin()A C -的值． （2）当2m =时，若2c =，求ABC △面积的最大值．答案一、选择题 1．【答案】A 【解析】在ABC △中，2a =，4b =，60A =︒，∴由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin 1b A B a ===>，则此三角形无解，故选A ． 2．【答案】D【解析】4cos 5A =，12cos 13C =，A ，B ，(0,π)C ∈．3sin 5A ∴==，5sin 13C ==，3124556sin sin()sin cos cos sin 51351365B AC A C A C ∴=+=+=⨯+⨯=．由正弦定理可得561sin 56653sin 395a Bb A ⨯==，故选D ． 3．【答案】A 【解析】2222cos a b c bc A =+-，22273(2)23(2)8a a a ∴=++-⨯⨯+⨯，解得2a =，故选A ． 4．【答案】B【解析】在ABC △中，3cos cos cos a A b C c B =+，3sin cos sin cos sin cos sin()sin A A B C C B B C A ∴=+=+=，即3sin cos sin A A A =， 又(0,π)A ∈，sin 0A ∴≠，1cos 3A ∴=． 3b c +=，∴两边平方可得2229b c bc ++=，可得9224bc bc bc ≥+=，解得94bc ≤， 当且仅当b c =时等号成立，2222cos a b c bc A ∴=+-，可得22222889()933334bc a b c bc b c =+-=+-≥-⨯=， 当且仅当b c =时等号成立，∴解得a故选B ．5．【答案】B【解析】设AC x =，则2AB x =，在三角形ABC 中由余弦定理得2222(2)22cos1207BC x x x x x =+-⋅⋅⋅︒=，cos C ∴==，sin C ∴==， sin sin(60)sin 60cos cos60sin ADC C C C ∴∠=︒+=︒+︒12==在ADC △中由正弦定理得sin sin AD ACC ADC =∠= 223323AB ABAD x ∴==⨯=，3AB AD ∴=， 故选B ． 6．【答案】B 【解析】如图所示，不妨设2AC =，AB AD AC ==，AB AD ∴==． 1cos 3BAD ∠=，1cos(π2)cos 23B B ∴=-=-，212sin 13B ∴=-，解得sin B =sin sin b cB C=，sin sin c B C b ∴===B ． 7．【答案】D【解析】2a =，3b =，ABC △11sin 23sin 22ab C C ==⨯⨯⨯，sin C ∴=，1cos 4C ∴==±，由余弦定理c =，可得c ==或4，∴由正弦定理可得sin sin a c A C ==D ． 8．【答案】C 【解析】cos cos b cB C a++=，(cos cos )b c a B C ∴+=+， 由正弦定理得sin sin sin (cos cos )B C A B C +=+，2sincos 2sin cos (2cos cos222222B C B C A A B C B C+-+-∴=． 由于cos 02B C -≠，sin sin cos 2cos 2222B C B C B C B C ++++∴=，22cos 12B C+∴=，cos2B C +∴=，π24B C +∴=，2πB C +=，π2A ∴=． 故选C ．二、填空题 9．【答案】π6【解析】23cos cos 3b c CA a-=，(2)cos cos b A C ∴-=，2sin cos cos cos )B A A C C A A C B ∴=+=+=，cos A ∴=π6A ∴=． 故答案为π6． 10．【答案】12；1【解析】在ABD △中，由正弦定理可得：sin sin AB BDADB BAD =∠∠， 在ACD △中，由正弦定理可得：sin sin AC CDADC CAD=∠∠， sin sin BAD CAD ∠=∠，sin sin ADB ADC ∠=∠，12BD AB DC AC ∴==．设BAD α∠=，则11sin 2ABD S α=⨯=△，12sin 2ACD S α=⨯=△，112sin 22sin cos 2ABC S ααα=⨯⨯⨯=△，2sin cos αα=，∴解得cos α=，可得π4α=， 1sin sin 212ABC S AB AC BAC α∴=⋅⋅∠∠==△． 故答案为12；1．三、简答题11．【答案】3BD =，7AC =． 【解析】在ABC △中，1cos 7ADC ∠=，sin ADC ∴∠====则sin sin()sin cos cos sin BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-∠=∠⋅-∠⋅1127=-=在ABD △中，由正弦定理得sin 3sin AB BAD BD ADB ⋅∠===∠， 在ABC △中，由余弦定理得2222212cos 85285492AC AB CB AB BC B =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，即7AC =． 12．【答案】（1）π3A =；（2）53,42⎛⎤ ⎥⎝⎦． 【解析】（1）在锐角ABC △中，3b =，2239a c c =-+，∴可得222c b a bc +-=，∴由余弦定理可得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，∴由A 为锐角，可得π3A =．（2）2222222π1sin sin sin sin ()sin sin )32B C B B B B B +=+-=++11112cos 2)1sin(2)222π6B B B =+-=+-，又022π03ππ2B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，可得π6π2B <<，5π2,π66π6B ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，π1sin(2),162B ⎛⎤∴-∈ ⎥⎝⎦，22153sin sin 1sin π(2),2642B C B ⎛⎤∴+=+-∈ ⎥⎝⎦，即22sin sin B C +的取值范围是53,42⎛⎤⎥⎝⎦． 13．【答案】（1；②12；（2）1S =．【解析】（1）①ABC △中，3m =时，a b +=，sin sin A B C ∴+=，又A B =，22πA B A B C ∴+===-， π22C A B ∴==-，sin()sin()222π2πC C C ∴-+-=，2cos cos 222C C C ∴=，sin 2C ∴=，cos 2C ∴=，sin 2sincos 222C C C ∴===． ②6πB =，5ππ6A C B ∴+=-=，又sin sin A B C +=，1sin 2A C ∴+=，1sin 2A C ∴=-，又5π5π5π1sin sin()sin cos cos sin cos 6662A C C C C C =-=-=+，11cos 22C C C ∴+=-，11cos 22C C ∴-=-，11cos 22C C -=，即π1sin()62C -=， π3C ∴=，π5632πA =-=， π1sin()sin()sin 2ππ362A C ∴-=-==．（2）当2m c ==时，a b +==，2228a ab b ∴++=，22428ab a b ab ∴≤++=，2ab ∴≤，此时a b ==，ABC △是等腰直角三角形，其面积最大值为11122S ab ===．。

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三角变换、平面向量、函数、解三角形问题等综合问题（一）选择题（12*5=60分）1.在ABC ∆中，3AB BC ==，30BAC ∠=o，CD 是AB 边上的高，则CD CB =u u u r u u u rg（ ） A.94-B.94C.274D.274- 【答案】B2.【河南省南阳市2018届期中】已知单位向量,OA OB u u u r u u u r 的夹角为60o，若2OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，则ABC ∆为（ ）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形 【答案】C【解析】2,2,OC OA OB BC OC OB OA AC OC OA OA OB =+∴=-==-=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u Q v u u u v ，22222,23BC OA AC OA OB OA OB ∴===++⋅=u u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ， 3,AC OA ∴=Q u u u v u u u v 与OB uuu v 夹角为60o ，且1,1OA OB AB ==∴=u u u v u u u v u u u v，222,AB AC BC ABC +=∴∆u u u v u u u v u u u v 为直角三角形，故选C. 3.在ABC ∆中，,P Q 分别是,AB BC 三等分点，且11,33AP AB BQ BC ==，若,AB a AC b ==u u u r u u u r ，则PQ =u u u r （ ）A ．1133a b + B ．1133a b -+ C ．1133a b - D ．1133a b -- 【答案】A【解析】因b a AB AC AB AB BQ AB AP AQ PQ 3131)(313231+=-+=-+=-==.故应选A. 4.【2018年高考数学训练试题】若O 为平面内任意一点，且()()20OB OC OA AB AC +-⋅-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则△ABC是( )A. 直角三角形或等腰三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形但不一定是直角三角形D. 直角三角形但不一定是等腰三角形 【答案】C【解析】由()()2OB OC OA AB AC +-⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ＝0得()AB AC +u u u v u u u v ·()AB AC -u u u v u u u v ＝0，∴AB u u u v 2－AC u u uv 2＝0，即|AB u u u v|＝|AC u u u v |，∴AB ＝AC ，即△ABC 是等腰三角形，但不一定是直角三角形．选C.5. 【广西南宁市2018届9月联考】已知O 是△ABC 内部一点， 0OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v ， 2AB AC ⋅=u u u v u u u v且∠BAC=60°，则△OBC 的面积为（ ） A.33 B. 12 C. 32 D. 23【答案】A6.已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为点O ，且3450OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则ABC ∆的面积为（ ）A ．85 B ．75 C ．65 D ．45【答案】C【解析】如图所示，1OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r，由3450OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 可得345OA OB OC +=-u u u r u u u r u u u r ，两边平法可得9121625OA OB +⋅+=u u u r u u u r ,所以0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，因此OA OB ⊥u u u r u u u r ，同理354OA OC OB +=-u u u r u u u r u u u r，453OB OC OA +=-u u u r u u u r u u u r ，两边分别平方可得43cos ,,cos ,55OB OC OA OC =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ,根据同角三角函数基本关系可得34sin ,,sin ,55OB OC OA OC ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以0ABC AOB AOC BC S S S S ∆∆∆∆=++113146111111225255=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=,故选C.7.【河南省郑州市2018届第一次质量检测】如图，在ABC V 中， N 为线段AC 上靠近A 的三等分点，点P 在BN 上且22=1111AP m AB BC ⎛⎫++ ⎪⎝⎭u u u v u u uv u u u v ，则实数m 的值为（ ）A. 1B. 12C. 911D. 511【答案】D8.【2018届广东省七校第二次联考】P 、Q 为三角形ABC 中不同两点,若PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ,QA 3QB 5QC 0++=u u u r u u u r u u u r r,则PAB QAB S :S V V 为A.13 B. 35 C. 57 D. 79【答案】B【解析】令D 为AC 的中点PA PB PC AB ++=u u u v u u u v u u u v u u u v ,化为PA PC AB PB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ,即2PD AP =u u u v u u u v,可得3AC AP =,且点P 在AC 边上,则12PAB ABC S S ∆∆=,设点,M N 分别是,AC AB 的中点,则由350QA QB QC ++=u u u v u u u v u u u v v 可得260QM QN QC ++=u u u u v u u u v u u u v v ,设点T 是CN 的中点,则2520QM QN QT ++=u u u u v u u u v u u u v v ,设点S 是MT 的中点,则450QS QN +=u u u v u u u v v ,因此可得59QAB ABC S S ∆∆=,所以3:5PAB QAB S S ∆∆=，故选B.9.已知ABC ∆中，10,16BC AB AC =⋅=-u u u r u u u r u u u r ，D 为边BC 的中点，则AD u u u r等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】D【解析】由题意可得16cos -=A bc ,故由余弦定理得: A bc c b cos 210022-+=,即6822=+c b .设AD u u u rx =,由题设2522222⨯+=+x c b ,即1822=x ,解之得3=x ,应选D.10.已知点O 在△ABC 内部一点，且满足2340OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则△AOB ，△BOC ，△AOC 的面积之比依次为（ ）A ．4：2:3B ．2:3:4C ．4:3:2D ．3:4:5 【答案】AAO11.【四川省成都外国语学校2018届11月月考】设P 是ΔABC 所在平面内的一点,若()2AB CB CA AB CP ⋅+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 且222AB AC BC AP =-⋅u u ur u u u r u u u r u u u r .则点P 是ΔABC 的A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 【答案】A12.已知点O 为ABC ∆内一点，0120,1,2AOB OA OB ∠===，过O 作OD 垂直AB 于点D ，点E 为线段OD 的中点，则OE EA u u u v u u u vg 的值为（ ）A．514 B ．27 C ．314 D ．328【答案】D【解析】如图，点O 为ABC ∆内一点，0120,1,2AOB OA OB ∠===，过O 作OD 垂直AB 于点D ，点E为线段OD 的中点，∴0OD AD •=u u u r u u u r ，则1()222OD AO ADOE EA AE OD +•=•-=-••u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 4AO OD OD AD •+•=-u u u r u u u r u u u r u u u r 2cos 444OA OD AOD OD OA OD ••∠•===u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r .AOB ∆中，利用余弦定理可得7AB =,因为11sin120,22AOB S AB OD OA OB ∆=••=••︒可得113712222OD ••=•••，所以37OD =，∴328OE EA =u u u v u u u v g ，故选：D.（二）填空题（4*5=20分）13.已知ABC ∆外接圆的圆心为O ，且320OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r则AOC ∠= ．【答案】23π【解析】不妨设外接圆半径为1，32023OA OB OC OA OC OB ++=⇔+=-u u u r u u u r u u u r r u u u r u u u r u u u r，两边平方得1443OA OC ++⋅=u u u r u u u r ，即1cos 2AOC ∠=-，故23AOC π∠=14. 【河南省漯河市2018届第四次模拟】如图，为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离，观察者找到一个点C ，从点C 可以观察到点A 、B ；找到一个点D ，从点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ，从点可以观察到点B 、C ；并测量得到一些数据： 2CD =， 23CE =， 45D ∠=︒， 105ACD ∠=︒， 48.19ACB ∠=︒， 75BCE ∠=︒， 60E ∠=︒，则A 、B 两点之间的距离为__________．（其中cos48.19︒取近似值23）【答案】1015.某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E 点和看台的坡脚A 点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量的看台坡脚A 点到E 点在水平线上的射影B 点的距离为10cm ，则旗杆的高CD 的长是__________m ．【答案】(1033【解析】由题意得4530DEA ADE ∠=∠=oo，,所以sin 452sin 30cos15AE ABAD ==o o o,因此10sin 602sin 6010(33)cos(4530)CD AD ===--o o o o16. ABC △中的内角 A B C ，，的对边分别为 a b c ，，，若45b =，5c =，2B C =，点D 为边BC 上一点，且6BD =，则ADC △的面积为 ． 【答案】10（三）解答题（4*12=48分）17.如图，在平面四边形ABCD 中，32BA BC =u u u r u u u rg .（1）若BA u u u r 与BC uuu r 的夹角为30o，求ABC ∆的面积ABC S ∆；（2）若4,AC O =u u u r为AC 的中点，G 为ABC ∆的重心（三条中线的交点），且OG u u u r 与OD u u u r 互为相反向量求AD CD u u u r u u u r g 的值.【解析】(1)3264332,cos3032,cos30BA BC BA BC BA BC =∴=∴==oo u u u r u u u r Q g g g ，116431163sin 3022323ABC S BA BC ∆∴==⨯⨯=o g . (2) 以O 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.则()()2,0,2,0A C -，设(),D x y ，则(),OD x y =u u u r ，因为OG u u u r 与OD u u u r 互为相反向量，所以(),OG x y =--u u u r.因为G 为ABC ∆的重心，所以()33,3OB OG x y ==--u u u r u u u r ，即()()()3,3,32,3,32,3B x y BA x y BC x y --∴=-=+u u u r u u u r,因此22949BA BC x y =-+u u u r u u u rg .由题意，2294932x y -+=,即224x y +=.()()222,2,40AD CD x y x y x y ∴=+-=+-=u u u r u u u rg g .18.已知向量(3sin ,1)4x m =u r ，2(cos ,cos )44x x n =r ，记()f x m n =⋅u r r ．（1）若()1f x =，求cos()3x π+的值；（2）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，求(2)f A 的取值范围．所以(2)f A 的取值范围313(,]22．19. 【山东省、湖北省部分重点中学2018届第二次联考】设函数()32sin cos 3f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ (Ⅰ) 求()f x 的单调增区间；(Ⅱ) 已知ABC ∆的内角分别为,,A B C ，若322A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，且ABC ∆能够盖住的最大圆面积为π，求AB AC ⋅u u u v u u u v的最小值.20.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3cos 10C =．（1）若92CA CB ⋅=u u u r u u u r ，求ABC ∆的面积；（2）设向量(2sin ,3)x B =-r ，2(cos 2,12sin )2B y B =-u r ，且//x y r u r ，求角B 的值．。

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