北航04-05高数第2学期期末试卷及参考答案

( x 2 + az 2 )dydz + ( y 2 + ax 2 )dzdx + ( z 2 + ay 2 )dxdy ∫∫
=(
− Σ + Σ1
∫∫
+ ∫∫ )( x 2 + az 2 )dydz + ( y 2 + ax 2 )dzdx + ( z 2 + ay 2 )dxdy
Σ1
Σ
= ∫∫∫ 2( x + y + z )dv + ∫∫ ( x 2 + az 2 )dydz + ( y 2 + ax 2 )dzdx + ( z 2 + ay 2 )dxdy
∞ 2n ∞ n=0 n=0
n
∈ ∞∞ 解：对∀x∈(-∞,∞)
un +1 ( x ) 2n + 2 x 2 2n + 1 2 n un ( x ) = x ⇒ = ⋅ → 0, n → ∞ n! un ( x ) 2n + 1 n + 1
2n + 1 2 n x 设 s( x ) = ∑ n! n= 0 ∞ ∞ ∞ 2n + 1 2 n x 2 n+1 x 2n x2 则 s( x ) = ∑ x = (∑ )' = ( x ∑ )' = ( xe )' n! n! n=0 n=0 n = 0 n! ∞ 2n + 1 n 2 x 2 2 = s( 2 ) = 5e 2 ∑ n! = e (1 + 2 x ). n=0
∫ grad sin( x + y ) ⋅ dr = ∫ cos( x + y )dx + cos( x + y )d y
L L
再由Green公式 公式 再由
∫ grad sin( x + y ) ⋅ dr = ∫∫ 0dxdy = 0
L D
其中， 为 围成的区域 围成的区域。 其中，D为L围成的区域。
y y = y f 11 ' ' − 2 ( − 2 ) f 12 ' ' + 4 f 22 ' ' x x
2
2
、（本题10分 本题10 四、（本题10分）
求抛物面z=x 与平面x+2y-z=2之间的最小距离 求抛物面 2+y2与平面 之间的最小距离
2 2 为抛物面上的一点， 为抛物面上的一点 解： 设M(x,y,z)为抛物面上的一点，则z=x +y | x + 2y − z − 2| | x + 2y − z − 2| M到平面的距离 d = 到平面的距离 =
∞
收敛域: ∞ ∞ 收敛域 (-∞,∞)
、（本题10分 本题10 七、（本题10分）
( x + 2 y )dx + (ax + y )dy 在区域D内与路径无关 在区域 内与路径无关 设曲线积分 I = ∫ 2 2 x +y L
(1)求a且写出一个满足题设条件的区域 求 且写出一个满足题设条件的区域 且写出一个满足题设条件的区域D (2)设曲线 从点 设曲线L:从点 沿上半平面到点B(2,0)的一段弧， 的一段弧， 设曲线 从点A(1,0)沿上半平面到点 沿上半平面到点 的一段弧 求曲线积分I 求曲线积分 ∂ x + 2 y ∂ ax + y = ⇒ a = −2 解：（1） ） 2 2 2 2
轴正向的斜率为1/2。 于y轴正向的斜率为 。 轴正向的斜率为
3. 交换二次积分的积分次序
A.
∫ dx ∫
0
1
0
x −1
f ( x , y )dy = ( C )
1
∫
0
x −1
dy ∫ f ( x , y )dx
0
1B.∫来自0−1dy ∫
1+ y
f ( x , y )dx
C.
∫
0
−1
dy ∫
1+ y
dy 4. 微分方程 x + y − e x = 0 满足 y(1) = e 的特解为 的特解为—— dx dy 1 1 x + y= e 解：一阶线性方程 dx x x
1 x ∫ 1 dx 1 x ∫ x 通解： 通解： y = e dx + c = ⋅ e + c ∫ e ⋅ e x x 再由初始条件 y(1) = e , 得到c=0 得到
∂y x + y ∂x x + y
（2） ）
D = {( x , y ) | x > 0}
2 dx ( x + 2 y )dx + ( −2 x + y )dy I= ∫ =∫ = ln 2. 2 2 1 x x +y AB
、（本题10分 本题10 八、（本题10分）
设f(0)=1, 且 f ' ( x ) = 1 + ∫0 [6 sin 2 t − f ( t )]dt 求f(x)
a = 3/ 2
3
3. 曲面 2+zey-ln(z+1)=1在点 曲面x 在点(1,2,0)处的切平面方程 处的切平面方程—— 在点 处的切平面方程 解：令F(x,y,z)= x2+zey-ln(z+1)-1, 所以 Fx (1,2,0)=2x| (1,2,0)=2, Fy (1,2,0)=(zey)| (1,2,0)=0, Fz (1,2,0)=[ey-1/(1+z)]| (1,2,0)=e2-1, 法向量： 法向量：n={2,0,e2-1}. 2(x-1)+0(y-2)+(e2-1)z=0 即： 2x+(e2-1)z=2 所以切平面方程
Ω Σ1
= 2 ∫ dθ ∫
0
2π 0
2π
π /2
0
a
dϕ ∫ (sin ϕ cos θ + sin ϕ sin θ + cos ϕ )r 3 sin ϕdr
0
3 2
a
+ a ∫ dθ ∫ r sin θdr =
0
π
2
a +
4
π
4
a5
、（本题10分 本题10 六、（本题10分） 2n + 1 x 的收敛域及和函数，并求 ∑ 2n + 1 2 求幂级数 ∑ n! 的收敛域及和函数， n!
1 f 原方程通解： 原方程通解：( x ) = c1 cos x + c2 sin x + 3 + cos 2 x 31 再由初始条件： 再由初始条件： f (0) = f ' (0) = 1 ⇒ c1 = −2 , c2 = −1 3 1 1 ∴ f ( x ) = −2 cos x − c 2 sin x + 3 + cos 2 x 3 3
n
∞
B. 条件收敛 D. 发散
sin nα ⇒ ∑ ( −1) 绝对收敛 2 n n =1
∞ n
∞ ( −1) n 1 n ∑ (−1) ⋅ n + 1 = ∑ n + 1发散 n =1 n =1
5. 设曲面Σ: |x|+|y|+z=1, 0≤z≤1, 则积分 曲面Σ ≤≤
A. 2 3 B. 2 2 C. − 2 3
2. 设 D : x + y ≤ a , 且
2 2 2
[
]
= −πe −1
x =1
∫∫
D
a 2 − x 2 − y 2 dxdy = π ,
则 a = _______________ 由二重积分的几何意义知， 解：由二重积分的几何意义知， 2 3 2 2 2 所以， ∫∫ a − x − y dxdy = 3 πa , 所以， D
∫∫ ds = ( A )
Σ
D. − 2 2
解：
∫∫ ds = S = 4S
Σ
1
= 4∫∫ 1 + 1 + 1dxdy
D1
S1 D
1 =4 3⋅ = 2 3 2
∂ 2z y 其中， 有连续二阶偏导数 有连续二阶偏导数， 设z = f ( xy , ), 其中，f有连续二阶偏导数，求 ∂x 2 x
、（本题10分 本题10 三、（本题10分）
2
最小距离
d=
4
5 6
、（本题10分 本题10 五、（本题10分）
( x 2 + az 2 )dydz + ( y 2 + ax 2 )dzdx + ( z 2 + ay 2 )dxdy 计算 ∫∫
z = a 2 − x 2 − y 2 的上侧 其中Σ 其中Σ为曲面
Σ
方向为上侧， 解：设Σ1：x2+y2≤a2, z=0, 方向为上侧， 则
选择题（本题20 20分 二、选择题（本题20分）
1. 设函数 设函数f(x,y)在点 在点M(x0,y0)邻域内有定义，则下述 邻域内有定义， 在点 邻域内有定义 说法正确的是（ 说法正确的是（ D） A. 若f(x,y)在点 偏导数存在，则在 点可微分。 在点M偏导数存在 点可微分。 在点 偏导数存在，则在M点可微分 B. 若f(x,y)在点 偏导数存在，则在 点连续。 在点M偏导数存在 点连续。 在点 偏导数存在，则在M点连续 C. 若f(x,y)在点 可微分，则在 点偏导函数连续。 在点M可微分 点偏导函数连续。 在点 可微分，则在M点偏导函数连续 D. 若f(x,y)在点 可微分，则在 点沿任何方向的 在点M可微分 在点 可微分，则在M点沿任何方向的 方向导数存在
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