2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期末考试数学试题(解析版)

2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期末考试
数学试题
一、单选题
1． 经过两点(4,0)(0,3)A B 、-的直线方程是（ ）． A ．34120x y --= B ．34120x y +-= C ．43120x y -+= D ．43120x y ++=
【答案】A
【解析】直线AB 斜率为0(3)3,404AB k --=
=-所以直线AB 方程为3
0(4),4
y x -=-即
34120.x y --=故选A
2．已知0a b >>，则下列不等式中正确的是（ ） A ．a b < B ．
11a b
< C ．a b ->- D ．22a b <
【答案】B
【解析】由不等式的性质，即可得出结果. 【详解】
0a b >>，a b ∴>，
11
a b
<，a b -<-，22a b >. 故选：B. 【点睛】
本题考查了不等式的性质，考查了理解辨析能力，属于一般题目. 3．已知直线31ax y +=与直线320x y -+=互相垂直，则a =（ ） A ．-3 B ．-1
C ．3
D ．1
【答案】D
【解析】分别求出两条直线的斜率，利用斜率乘积为1-即可得到答案. 【详解】
直线31ax y +=的斜率为3
a
-
，直线320x y -+=的斜率为3，由题意， ()313
a
-⨯=-，解得1a =. 故选：D 【点睛】
本题考查已知直线的位置关系求参数，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 4．在△ABC 中，若π4A =，π
3
B =
，a =b =（ ） A
．B
．C
．D
．【答案】B
【解析】直接利用正弦定理计算得到答案. 【详解】
根据正弦定理：sin sin a b A B
=
sin sin 43
b π=
，解得b =故选：B. 【点睛】
本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力. 5．函数1
(3)3
y x x x =+>-的最小值为（ ） A ．5 B ．3
C ．2
D ．5-
【答案】A
【解析】将函数变形为1
333
y x x =+-+-，利用基本不等式求解. 【详解】
11333533y x x x x =
+=+-+≥=--， 当且仅当
1
33
x x =--，即4x =时，取等号. 所以函数1
(3)3
y x x x =+>-的最小值为5 故选：A 【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值，属于基础题.
6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且280a a +=，1133S =，则公差d 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】由280a a +=及等差数列下标和的性质可得50a =，再由1133S =可得63a =，进而可得公差的值． 【详解】
∵等差数列{}n a 中，28520a a a +==， ∴50a =． 又()1116116
1121111332
2
a a a S a
+⨯⨯=
===，
∴63a =，
∴公差653d a a =-=． 故选C ． 【点睛】
本题考查等差数列项的下标和的性质和前n 项和公式的运用，其中项的下标和的性质常与前n 项和公式结合在一起考查，起到简化运算的作用，考查变形能力和计算能力，属于基础题．
7．已知某圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．π B ．2π
C ．3π
D ．4π
【答案】B
【解析】根据圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，求得圆锥的母线长，再代入圆锥的侧面积公式求解. 【详解】
因为圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形， 所以该圆锥的母线长为2， 所以122S rl πππ==⨯⨯=. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查圆锥的几何特征和侧面积的求法，属于基础题.
8．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A ．至少有一个黑球与都是黑球 B ．至少有一个黑球与至少有一个红球 C ．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球
D ．至少有一个黑球与都是红球 【答案】C
【解析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义求解. 【详解】
A. “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误.
B. “至少有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故错误.
C. “恰好有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确.
D. “至少有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故错误. 故选：C 【点睛】
本题主要考查互斥事件与对立事件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
9．我国2015年以来，第x 年（2015年为第一年）的国内生产总值y （万亿元），数据如下：
由散点图分析可知y 与x 线性相关，若由表中数据得到y 关于x 的线性回归方程是
7.7y x a =+，则实数a 的值为（ ）
A ．61.3
B ．60.5
C ．59.9
D ．59.6
【答案】B
【解析】先求解,x y ，结合线性回归直线一定经过点(),x y 可求实数a 的值. 【详解】 由表可知()1
1234535x =
++++=，()1697583929983.65
y =++++=， 因为7.7y x a =+经过点()3,83.6，所以83.67.73a =⨯+，解得60.5a =. 故选：B.
【点睛】
本题主要考查回归直线的性质，利用线性回归直线必过中心点(),x y 可求解此题，侧重考查数学运算的核心素养.
10．已知两条不同直线l ，m ，两个不同平面α，β，则下列命题正确的是( ) A ．若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l m B ．若//αβ，//m α，l β⊥，则l m ⊥ C ．若αβ⊥，l α⊥，m β⊥，则//l m D ．若αβ⊥，//l α，//m β，则l m ⊥ 【答案】B
【解析】对A ，//l m 或,l m 异面，所以该选项错误；对B ，l m ⊥，所以该选项正确；对C ，l m ⊥，所以该选项错误；对D ，l m ⊥或//l m 或,l m 相交或,l m 异面，所以该选项错误. 【详解】
对A ，若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l m 或,l m 异面，所以该选项错误； 对B ，若//αβ，l β⊥，所以l α⊥，因为//m α，则l m ⊥，所以该选项正确； 对C ，若αβ⊥，l α⊥，m β⊥，则l m ⊥，所以该选项错误；
对D ，若αβ⊥，//l α，//m β，则l m ⊥或//l m 或,l m 相交或,l m 异面，所以该选项错误. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查空间直线和平面位置关系的命题真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.
11．如图，在ABC 中，458B AC D =︒=，，是BC 边上一点，57DC DA ==，，则AB 的长为（ ）
A
． B
．C ．8 D
．
【答案】D
【解析】先由余弦定理求出1cos 7ADC ∠=
，得出sin 7
∠=ADB ，再由正弦定理得到
sin sin =∠DA AB
B ADB
，即可求出结果. 【详解】
因为57DC DA ==，，8AC =，所以2227581
cos 2757
+-∠==⋅⋅ADC ，
因此1cos 7∠=-
ADB
，所以sin 7
∠=ADB ， 又45B =︒，7=DA ，由正弦定理可得：
sin sin =∠DA AB
B ADB
，
所以7sin sin 2
⋅∠=
=
=DA ADB
AB B
故选D 【点睛】
本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.
12．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于四五世纪.其卷中《算筹分数之法》里有这样一个问题：“今有女子善织，日自倍，五日织通五尺.问：日织几何？”意思是有一女子擅长织布，每天织布都比前一天多1倍，5天共织了5尺布.现请问该女子第3天织了多少布？（ ） A ．1尺 B ．
4
3
尺 C ．
531
尺 D ．
2031
尺 【答案】D
【解析】分别设5天织布为：a ，2a ，4a ，8a ，16a 为等比数列，进而可求出结果. 【详解】
设第一天织布为a 尺，以后几天分别为2a ，4a ，8a ，16a ，共31a =5 所以531
=
a 尺 第三天为：20431
=
a 尺
故选：D 【点睛】
本题考查了等比数列的前n 项和，考查了计算能力，属于一般题目.
13．如图，点M 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点，则异面直线AM 与BC 1所成角的余弦值是（ ）
A ．
105
B ．
25
C ．
5 D ．
10 【答案】A
【解析】连接1AD ，1D M ，根据异面直线所成角的定义，转化为求1D AM ∠（或其补角），然后在三角形1D AM 中用余弦定理即可解得. 【详解】
连接1AD ，1D M ，如图：
易得11//AD BC ，所以1D AM ∠（或其补角）是异面直线AM 与BC 1所成角， 设正方体的棱长为a ，1AD 2a ，15
AM D M ==， 在三角形1D AM 中，
22
2
1
111cos 2AD AM D M D AM AD AM +-∠=⋅
⋅222
552a a a +-=
5=
， 所以异面直线AM 与BC 1
故选：A 【点睛】
本题考查了求异面直线所成角，通过找平行线转化为两条相交直线所成角（或其补角）是解题关键，属于基础题.
14．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“垂帘画阁画帘垂，谁系怀思怀系谁？”既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中为偶数的概率是（ ） A ．
19
B ．
29
C ．
39
D ．
49
【答案】D
【解析】利用列举法列举出所有的三位回文数的个数，再列举出其中所有的偶数的个数，由此能求出结果 【详解】
解：三位数的回文数为ABA ，
A 共有1到9共9种可能，即11
B 、22B 、33B ⋯
B 共有0到9共10种可能，即0A A 、1A A 、2A A 、3A A 、⋯
共有91090⨯=个，
其中偶数为A 是偶数，共4种可能，即22B ，44B ，66B ，88B ，
B 共有0到9共10种可能，即0A A 、1A A 、2A A 、3A A 、⋯
其有41040⨯=个，
∴三位数的回文数中，偶数的概率404
909
P =
=； 故选：D ． 【点睛】
本题考查概率的求法，注意列举法在使用时一定做到不重不漏，属于中档题． 15．由直线x+2y-7=0 上一点P 引圆222420x y x y +-++=的一条切线，切点为A,则PA 的最小值为 A
．B
C
．D
．
【答案】B
【解析】由222420x y x y +-++=得圆的标准方程为()()2
2
123x y -++=，设圆心为C ，故()1,2C -，由切线性质可得2
2
3PA PC =-，PC
的最小值为
=故PA
，故选B.
点睛：本题主要考切线长公式的应用，利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本题的关键；求切线的长度主要是通过构建直角三角形，即切线长为斜边，半径和点到圆心的距离为直角边.
二、填空题
16．不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】(2,2)-
【解析】利用二次不等式与相应的二次函数的关系，易得结果. 【详解】
∵不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立， ∴240k =-＜ ∴2-＜k ＜2 故答案为()2,2- 【点睛】
（1）二次函数图象与x 轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式．
（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．
17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()112n n a S n -=+≥，则4a =______. 【答案】8
【解析】根据()112n n a S n -=+≥可得11n n a S +=+，两式相减可得12n n a a +=(2)n ≥，利用递推关系即可求解. 【详解】
()112n n a S n -=+≥①，
11n n a S +∴=+②，
②-①得，12n n a a +=(2)n ≥， 当2n =时，211112a S a =+=+=，
3224a a ∴==， 4328a a ∴==，
故答案为：8 【点睛】
本题主要考查了数列的项n a 与前n 项和n S 的关系，考查了利用递推关系求数列的项，属于中档题.
18．如图所示，为测量一水塔AB 的高度，在C 处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D 处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为______米．
【答案】3【解析】设AB hm =，则3
BC =
，BD 3h =，则
3
320h h -
=，∴103h m =，故答案为10319．三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且22BD =，则三棱锥A BCD -体积的最大值为________. 22
【解析】根据BD 过球心，所以90BAD BCD ∠=∠=︒，则
1132A BCD AB AD
V BC CD BD
-⋅≤⋅⋅⋅，然后由BC CD =且AB AD =时体积最大求解.
【详解】 如图所示：
因为BD 过球心，所以90BAD BCD ∠=∠=︒， 所以1132A BCD AB AD V BC CD BD
-⋅≤
⋅⋅⋅，当BC CD =且AB AD =时体积最大， 因为22BD =，
所以2BC CD ==，2AB AD ==， 所以最大体积为：11
22
2232322
⋅⋅⋅=； 故答案为：2
3
. 【点睛】
本题主要考查三棱锥的外接球问题以及几何体体积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
20．已知数据1x ，2x ，…，10x 的方差为1，且（()()()2
2
2
123222x x x -+-+-()2
102170x ++-=，则数据1x ，2x ，…，10x 的
平均数是________. 【答案】2-或6.
【解析】由数据1x ，2x ，…，10x 的方差为1，且
()()()
()222
2
123102222170x x x x -+-+-+
+-=，把所给的式子进行整理，两式
相减，得到关于数据的平均数的一元二次方程，解方程即可．
【详解】
数据1x ，2x ，…，10x 的方差为1，
()(
)(
)
()
222
2
1231010x x x x x x x x
∴-+-+-+
+-=，
()()2
222
1210121010210x x x x x x x x ∴++++-++
+=，
()2
22212101010x x x x ∴++
+-=，①
()()()
()2
2
2
2
123102222170x x x x -+-+-+
+-=，
()()22
2
12101210440170x x x x x x ∴+++-++
++=，
()22212104040170x x x x ∴++
+-+=，②
将②-①得2
4120x x --=，解得2x =-，或6x =， 故答案为：2-或6. 【点睛】
本题主要考查一组数据的平均数的求法，解题时要熟练掌握方差的计算公式的灵活运用，属于中档题.
三、解答题
21．已知在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足1
cos 2
a c B
b =+． （1）求角C 的大小；
（2）若7a b +=，ABC 的面积等于c 边长．
【答案】（1）
3
π
（2【解析】（1）利用正弦定理可化边为角，利用三角恒等变换即可；
（2）由面积公式可求得ab ，联立7a b +=求出,a b ，利用余弦定理即可求出c . 【详解】
（1）由正弦定理可知，
1
sin sin cos sin 2
A C
B B =⋅+，
1
sin()sin cos sin 2
B C C B B ∴+=⋅+，
即1
sin cos sin 2
B C B =
sin 0B ≠
1cos 2
C ∴=
， 0C π<<，
3
C π
∴=
（2）
1sin 24
ABC
S
ab C ab =
==， 12ab ∴=
7a b +=
2222cos c a b ab C ∴=+- 2()3493613a b ab =+-=-=
c ∴=【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题. 22．已知关于x ，y 的方程22:420C x y x y m +--+=. （1）若方程C 表示圆，求实数m 的取值范围；
（2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且||MN =m 的值. 【答案】（1）5m <；（2）4m =
【解析】（1）先将圆的一般方程化为标准方程，可得2
2
(2)(1)5x y m -+-=-，然后根据20r >，可得结果.
（2）根据圆的弦长公式. 【详解】
（1）22
420x y x y m +--+=化简
得22
(2)(1)5x y m -+-=-， 则当5m <时，
方程C 表示以(2,1). （2）
圆心(2,1)C 到直线l 的距离
为
5
d =
=
2
2
5m ∴-=+⎝⎭⎝⎭
，
解得4m =. 【点睛】
本题考查表示圆的方程满足条件以及圆的弦长公式，属基础题.
23．哈尔滨市第三中学校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试.全学年共1500人，现从
中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示）.已知这100人中
[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多6人.
（1）根据频率分布直方图，求a ，b 的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数； （2）现用分层抽样的方法从分数在[130,140)，[140,150]的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率.
【答案】（1）0.020a =，0.026b =；中位数为4
112
13；（2）815
. 【解析】（1）根据频率分布直方图的面积和为1，这100人中[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多6人列式求解a ，b 的值，再根据中位数左右两边的面积均为
0.5计算即可.
（2）在分数为[130,140)的同学中抽取4人，分别用1a ，2a ，3a ，4a 表示， 在分数为[140,150]的同学中抽取2人，分别用1b ，2b 表示，再利用枚举法求解即可. 【详解】
（1）由频率分布直方图的面积和为1，则
(0.0020.0080.0140.0150.010.005)101a b +++++++⨯=，得0.046a b +=，
又由100人中[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多6人 则10010()6b a ⨯-=，解得0.020a =，0.026b =
中位数中位数为()
0.5100.0020.0080.0140.021100.026
-++++
4
112
13
= （2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A ，
由题意知，在分数为[130,140)的同学中抽取4人，分别用1a ，2a ，3a ，4a 表示，
在分数为[140,150]的同学中抽取2人，分别用1b ，2b 表示， 从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：
12(,)a a ，13(,)a a ，14(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，23(,)a a ，24(,)a a ，21(,)a b ，22(,)a b ，34(,)a a ，31(,)a b ，32(,)a b ，41(,)a b ，42(,)a b ，12(,)b b ，共15种
抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：11(,)a b ，12(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，
31(,)a b ，32(,)a b ，41(,)a b ，42(,)a b ，共8种
所以8()15
P A =抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为8
15.
【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图求参数与中位数的方法、枚举法解决古典概型的问题，属于基础题.
24．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⏊PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．求证：
（1）EF //平面PCD ； （2）平面PAB ⏊平面PCD ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）取BC 中点G ，连结EG ，FG ，推导出//FG PC ，//EG DC ，从而平面
//EFG 平面PCD ，由此能得出结论；
（2）推导出CD AD ⊥，从而CD ⊥平面P AD ，即得CD PA ⊥，结合PA PD ⊥得出
PA ⊥平面PCD ，由此能证明结论成立.
【详解】
（1）取BC 中点G ，连结EG ，FG ，∵E ，F 分别是AD ，PB 的中点， ∴//FG PC ，//EG DC ，
∴//FG 面PCD ，//EG 面PCD ， ∵FG
EG G =，∴平面//EFG 平面PCD ，
∵EF ⊂平面EFG ，∴//EF 平面PCD .
（2）因为底面ABCD 为矩形，所以CD AD ⊥， 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD
平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ．
因为PA ⊂平面P AD ，所以CD PA ⊥.
又因为PA PD ⊥， PD CD D ⋂=，所以PA ⊥平面PCD ． 因为PA ⊂平面P AB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ． 【点睛】
本题考查线线垂直、线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且()*111
22
n n n a a n N +=+∈. （1）设()1
*2
n n n b a n N -=∈，求证数列{}n b 为等差数列；
（2）求n S ；
（3）若对任意*n N ∈，不等式1
5
422n n S λ-≥--
恒成立，求实数λ的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）1242n n n S -+=-；（3）1
16
λ≥
. 【解析】（1）由1
1211n n n n b a b -+=+=+可得答案；
（2）求得n b n =，12n n a n -=得到n a ，运用数列的错位相减法求和得到n S ； （3）结合（2）化简不等式，再由参数分离得到32n n λ-≥，再对3
2
n n -讨论，利用单调性可得到λ的最小值. 【详解】
（1）1111
1222112
2n
n
n n n n n n n b a a a b -++⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭，
即(
)*
11n n b b n N
+-=∈，
所以数列{}n a 是首项为0
1121b a ==，公差为1的等差数列；
（2）由（1）得n b n =，即12n n a n -=，1
2
n n n
a -∴=
， 0121
1232222n n n S -∴=
++++，① 121112122222n n n n n
S --∴=++++，② ①-②，得
01211
11111
122212222
222212
n n n n n n n n n S --
+=++++-=-=--， 所以1
2
42n n n S -+=-
； （3）不等式即为112544222n n n λ--+-≥--，化简得3
2
n n λ-≥，对任意*n N ∈恒成立，
令()*
32
n n n c n N -=∈，则111234222n n n n n n n n c c +++----=-=，
所以3n ≤时，10n n c c +->，即1n n c c +>；
4n =时，10n n c c +-=，即1n n c c +=；
5n ≥时，10n n c c +-<，即1n n C C +<；
所以1234567c c c c c c c <<<=>>>，
所以{}n c 的最大项为45116
c c ==， 所以116
λ≥
. 【点睛】
本题考查了数列的通项公式和前n 项和公式的求法，注意错位相减的合理运用,以及常数分离法解决恒成立的问题.。