高中数学《函数及其表示-1.2.2函数的表示法》说课稿1新人教A版必修1

函数的表示法（1）
冷静讲课
学习函数的表示，不单是研究函数自己和应用函数解决实质问题所一定波及的问题，而且是加深理解函数观点的过程. 同时，鉴于高中阶段所接触的很多函数均可用几种不一样的方
式表示，因此使得学习函数的表示也是向学生浸透数形联合方法的重要过程.
初中已经接触过函数的三种表示法：分析法、列表法和图象法. 高中阶段是让学生在了
解三种表示法各自长处的基础上，要点在于使学生面对实质情境时，会依据不一样的需要选择适合的方法（图象法、列表法、分析法）表示函数. 依据实质问题中的条件列出函数分析式
的训练，是成立函数模型研究实质问题的要点步骤，这类应意图识的培育和应用能力的提升
应不停贯串于此后的教课过程中 . 本课还介绍了分段函数，在实质问题中，有好多函数是用分段
函数来表示的，因此商讨分段函数是很有必需的，在教课中联合教材内容向学生浸透分
类思想方法，对培育学生全面剖析问题、解决问题的能力是很有帮助的. 应当说这是知识螺旋化的一种表现，教课时要让学生领会到函数三种表示法拥有内在的联系，它们在必定条件下是能够互相转变的. 对函数的分析式和图象表示应要点研究.
三维目标
一、知识与技术
1. 能娴熟掌握函数的三种不一样表示.
2. 认识函数不一样表示法的优弊端 .
3. 认识分段函数及其表示 .
4. 会求某些函数的分析式 .
二、过程与方法
1. 自主学习，认识函数表示形式的多样性和转变方法.
2. 研究与活动，理解何时的函数用何种方法表示适合.
3. 加强动向意识、经过察看、对照、剖析，发展辩证思想能力.
三、感情态度与价值观
培育学生重要数学思想方法——数形联合与分类议论思想方法，激发学生学习的热忱.
教课要点
函数的三种不一样表示的互相间转变.
教课难点
函数的分析式的表示，理解和表示分段函数.
教具准备
多媒体课件、投影仪、打印好的资料.
教课过程
一、创建情形，引入新课
师：在前面的课中，我们已经初步研究函数的观点和表示方法. 今日我们再特意研究函
数的表示方法 .
（板书：函数的表示方法）
师：请观察下边三个函数：
投影胶片 1（或多媒体系作镜头1）：预计人口数目变化趋向是我们拟订一系列有关政策
的依照 . 从人口统计年鉴中能够查得我国从 1949 年至 1999 年人口数据资料如表所示，你能依据
这个表说出我国人口的变化状况吗？
1949～ 1999 年我国人口数据表
年份人口数 / 百万
1949 542
1954 603
1959 672
1964 705
1969 807
1974 909
1979 975
1984 1035
1989 1107
1994 1177
1999 1246
师：该题是用的什么方法来表示函数的？
生：这是一份表格 .
师：这位同学说得很好 . 这类用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法. 投影胶片 2（或多媒体系作镜头2）：一物体从静止开始着落，着落的距离y（m）与下
落时间 x（s）之间近似地知足关系式
2
2 s，你能求出它着落的距离吗？y=4.9 x .若一物体着落
师：这类用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为分析式法. 这个等式往常叫做函数的分析表达式，简称分析式 .
投影胶片 3（或多媒体系作镜头3）：
y y= f()x ，x∈［0 ，2 4］
10
8
6
4
2
4 6
x
O 2 24
- 2
上图为某市一天24 小时内的气温变化图 .
请问：（ 1）上午6 时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？
（2）在什么时辰，气温为 0 ℃？
师：这个问题我们用图象表示了时辰与气温的关系，这类用图象表示两个变量之间函数
关系的方法称为图象法.
二、解说新课
1.函数的表示法
（ 1）分析法
分析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这个数学表达式叫做函数的
分析式，简称为分析式，如S=60t 2， S=2πrl ， y=ax+b， y=ax2+bx+c（ a≠0）等等，都是用分析式法表示的函数关系.
分析法有两个长处：一是简洁、全面地归纳了变量间的关系；二是能够经过分析式求出
随意一个自变量的值所对应的函数值. 中学阶段所研究的主假如能够用分析式表示的函数.
（ 2）图象法
图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
图象法的长处是直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋向，有益于我们经过图象来研究函数的某些性质. 图象法在生产和生活中有很多应用，如公司生产图，股市
走势图等 .
（ 3）列表法
列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
列表法的长处是不需要计算就能够直接看出与自变量的值相对应的函数值，表格法在实际生产和生活中也有宽泛应用. 如银行利率表、列车时辰表等.
2. 例题解说
【例 1】教科书 P22例 3.
本例介绍了一个能够用三种表示方法来表示的函数. 经过这个例子能够达到以下目的：（ 1）让学生领会到三种表示方法各自的长处. 而且，本例后的“思虑”为学生比较三种
表示方法供给了时机，教课时教师应注意不要让学生错过这个时机. 对于“全部的函数能否
能用分析法表示” ，学生比较难以回答，教课时不如先举一些例子启迪学生，而后再由学
生试着举一些例子 .
（2）使学生看到函数的图象能够是一些失散的点，这与学生从前接触到的一次函
数、二次函数的图象是连续的曲线有很大的差异，教课时要考虑到学生的认知基础，
重申 y=5x（ x∈R）是连续的直线，但 y=5x（ x∈{1，2，3，4，5}）倒是5个失散的点，
由此又让学生看到，函数观点中，对应关系、定义域、值域是一个整体.
函数图象既能够是连续的曲线，也能够是直线、折线、失散的点等. 本例边框中的问题“判断一个图形能否是函数图象的依照是什么?”，应在组织学生议论后获取结论“平行于y 轴的直线（或y 轴）与图形至多一个交点”.
【例 2】教科书 P23例 4.
本例利用表格给出了四个函数，它们分别表示王伟、张城、赵磊的各次考试成绩及各次
考试的班级均匀分. 由表格划分三位同学的成绩高低不直观，因此教科书选择了图象法表示. 教课时要培育学生依据实质需要选择适合的函数表示法的能力. 要注意的是，图中的虚线不
是函数图象的构成部分，之因此用虚线连结散点，主假如为了划分这三个函数，而且让三个函数的图象拥有整体性，以方便比较. 教课时应指引学生察看图象，学习怎样从图象上获取
实用信息，为剖析每位同学的学习状况供给依照.
【例 3】教科书 P24例 5.
本例的主要目的有两个：一是让学生进一步领会数形联合在理解函数中的重要作用，二是为介绍分段函数作准备.
【例 4】教科书 P24例 6.
本例的主要目的有以下几点：
（1）让学生试试用数学表达式去表达实质问题；
（2）学习分段函数及其表示；
（3）注意在数学模型中全面反应问题的实质意义；
（4）让学生依据这个例题的边框要求，自行设计随意两站之间的票价表以方便售票员
与乘客，领会在不一样情境中使用适合的函数表示法.
由上述例 3 和例 4 归纳出分段函数的观点以下：
2.分段函数
有些函数在它的定义域中，对于自变量 x 的不一样取值范围，对应关系不一样，这样的函数往常称为分段函数 .
实质生活中，出租车的计费、电信资费、个人所得税额等均是分段函数.
【例 5】求以下函数的分析式：
（ 1）已知f（x）是二次函数，且 f （0）=2， f （ x+1）－ f （ x）=x－1，求 f （ x）；
2
（ 2）已知f（x +1）=x+2x ，求 f （ x）， f （ x+1）， f （ x ）；
（ 3）已知 f （
x
1 ）= x
2
1 + 1
，求 f （ x ）；
x
x 2
x
（ 4）已知 3f （x ） +2f （－ x ） =x +3，求 f （ x ） .
方法指引：（1）由已知 f （ x ）是二次函数，因此可设
f （ x ）=ax 2+bx +c （ a ≠ 0）想法求
出 、 、 c 即可 .
a b
（ 2）若能将 x +2 x 适合变形，用 x +1 的式子表示就好办了 .
（ 3）视
x 1
为一整体不如设为 t ，而后用 t 表示 x ，代入原表达式求解 .
x
（ 4） 、－ x 同时使得 f （ ）存心义，用－ x 代 x 成立对于 f （ ）、 （－ x ）的两个方
x x
x f 程就好了 .
解：（ 1）设 f （x ） =ax 2+bx +c （ a ≠ 0），由 f （ 0） =2，得 c =2.
由 f （ x +1）－ f （ x ）=x － 1，得恒等式 2ax +a +b =x －1，得 a = 1 ，b =－ 3
. 故所求函数的 2 2
表达式为 f （ x ） = 1
x 2
－ 3
x +2.
2 2
（ 2）∵ f （ x +1） =x +2 x =（
2
x +1－ 1=（ 2
x ） +2 x +1） － 1，
又∵
x ≥0， x +1≥ 1，
∴ f （ x ） =x 2－ 1（x ≥ 1） .
（ 3）设
x 1
=t ，则 x =
1
， t ≠ 1.
x
t 1
则 f （t ） =f （
x
1 ）= x
2
1 + 1 =1+
1 + 1
=1+（ t － 1）2+（ t － 1） =t 2－ t +1.
x
x 2 x
x 2
x
∴ f （ x ） =x 2－ x +1（ x ≠ 1）.
（ 4）∵ 3f （ x ）+2f （－ x ） =x +3，
① x 用－ x 代得 3f （－ x ） +2f （ x ） =－ x +3.
②
解①②得 f （ x ） =x + 3
.
5
方法技巧：求函数分析式常有的题型有：
（ 1）分析式种类已知的，如本例（ 1），一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意
2
2
一般式〔 y =ax +bx +c （ a ≠ 0）〕，极点式〔 y =a （ x － h ） +k 〕和标根式〔 y =a （ x － x 1）（ x －
x 2）〕的选择 .
（ 2）已知 f ［ g （ x ）］求 f （ x ）型问题方法一是用配凑法；方法二是用换元法
. 如
本例（ 2）、（ 3） .
（ 3）函数方程问题，需成立对于
f （ x ）的方程组，如本例（ 4）. 若函数方程中同时出
现 f （ x ）、f （ 1 ），则一般 x 用 1
代之，结构另一方程 .
x
x
特别要指出的是，求函数分析式均应严格考虑函数的定义域
.
三、讲堂练习
教科书 P 27 练习题 1，2， 3.
答案： 1. y
=
x
2 500x2（0＜ x＜50)，图象以下.
y
1400
1200
1000
800
600
400
200
O10 20 30 4 0 50 60 x
2.（ 1）题与 D 图，（ 2）题与 A 图，（ 3）题与 B 图符合得最好，剩下与 C 图符合的一件事可能为：
我出发后感觉时间较紧，因此加快行进，此后发现时间还很丰裕，于是放慢了速度.
3.
y
3
2
1
O1234x
四、讲堂小结
1.本节学习的数学知识：
函数的表示法、分段函数、函数分析式的求法.
2.本节学习的数学方法：
定义法、换元法、待定系数法、数形联合与分类议论的思想方法.
五、部署作业
教科书 P28习题 1.2 A 组 5， 7，9， 10，11， 12，13.
板书设计
函数的表示法（1）
1.函数的表示法
（1）分析法
（2）图象法
（3）列表法
规 1
例 2
例 3
例 4
2.分段函数
例 5
讲堂练习
讲堂小结。