《事件的相互独立性》同步练习1 新人教B版必修2-3

事件的相互独立性
一、选择题
1．已知{}{}{}123013412a b R ∈-∈∈，，，，，，，，，则方程222()()x a y b R -++=所表示的不同的圆的个数有（ ）
Ａ．3×4×2=24 Ｂ．3×4+2=14 Ｃ．(3+4)×2=14 Ｄ．3+4+2=9
答案：Ａ
2．神六航天员由翟志刚、聂海胜等六人组成，每两人为一组，若指定翟志刚、聂海胜两人一定同在一个小组，则这六人的不同分组方法有（ ） Ａ．48种 Ｂ．36种 Ｃ．6种 Ｄ．3种
答案：Ｄ
3．41n
x ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式
中的常数项是（ ）
Ａ．第3项 Ｂ．第4项 Ｃ．第7项 Ｄ．第8项
答案：Ｂ
4．从标有1，2，3，…，9的9张纸片中任取2张，数字之积为偶数的概率为（ ） Ａ．12 Ｂ．718 Ｃ．1318 Ｄ．1118
答案：Ｃ
5．在10个球中有6个红球和4个白球（各不相同），不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为（ ） Ａ．35 Ｂ．25 Ｃ．110 Ｄ．59
答案：Ｄ
6．正态总体的概率密度函数为2
()8
()
x x f x -
∈=
R ，则总体的平均数和标准差分别为（ ）
Ａ．0，8 B ．0，4 Ｃ．0，2 Ｄ．0，2
答案：Ｄ
7．在一次试验中，测得()x y ，的四组值分别是(12)(23)(34)(45)A B C D ，，，，，，，，则y 与x 之间的回归直线方程为（ ）
Ａ．1
y x
=+Ｂ．2
y x
=+
Ｃ．21
y x
=+Ｄ．1
y x
=-
答案：Ａ
8．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（）
Ａ．48 Ｂ．36 Ｃ．28 Ｄ．20
答案：Ｃ
9．若随机变量η的分布列如下：
则当()0.8
P x
η<=时，实数x的取值范围是（）
Ａ．x≤2 Ｂ．1≤x≤2 Ｃ．1＜x≤2 Ｄ．1＜x＜2
答案：Ｃ
10．春节期间，国人发短信拜年已成为一种时尚，若小李的40名同事中，给其发短信拜年的概率为1，0.8，0.5，0的人数分别为8，15，14，3（人），则通常情况下，小李应收到同事的拜年短信数为（）
Ａ．27 Ｂ．37 Ｃ．38 Ｄ．8
答案：Ａ
11．在4次独立重复试验中事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为6581，则事件A在1次试验中出现的概率为（）
Ａ．1
3
Ｂ．
2
5
Ｃ．
5
6
Ｄ．
2
3
答案：Ａ
12．已知随机变量
1
~9
5
B
ξ⎛⎫
⎪
⎝⎭
，则使()
P k
ξ=取得最大值的k值为（）
Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5
答案：Ａ
二、填空题
13．某仪表显示屏上一排有7个小孔，每个小孔可显示出0或1，若每次显示其中三个孔，
但相邻的两孔不能同时显示，则这显示屏可以显示的不同信号的种数有 种．
答案：80
14．已知平面上有20个不同的点，除去七个点在一条直线上以外，没有三个点共线，过这20个点中的每两个点可以连 条直线．
答案：170
15．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论： ①他第3次击中目标的概率是0.9；
②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1； ③他至少击中目标1次的概率是41(0.1)-．
其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）．
答案：①③
16．口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 （以数值作答）． 答案：
1363
三、解答题
17．有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内． （1）共有多少种放法？
（2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？ （3）恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？ （4）恰有两个盒不放球，有多少种放法？ 解：（1）一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理，放法共有：44256=种．
（2）为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2，
1，1的三组，有24C 种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，
全排列即可.由分步乘法计数原理，共有放法：12124432144C C C A =···种．
（3）“恰有一个盒内放2个球”，即另外三个盒子中恰有一个空盒.因此，“恰有一个盒内放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事.故也有144种放法.
（4）先从四个盒子中任意拿走两个有2
4C 种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放
球，有几种放法？”从放球数目看，可分为（3，1），（2，2）两类.第一类：可从4个球中
先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有3142
C C ·种放法；第二类：有24C 种放法.因此
共有31342414C C C +=·种.由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有：2
41484
C =·种．
18．求25(1)(1)x x +-的展开式中3x 的系数．
解：解法一：先变形，再部分展开，确定系数.
252232423(1)(1)(1)(1)(12)(133)x x x x x x x x x +-=--=-+-+-．
所以3x 是由第一个括号内的1与第二括号内的3x -的相乘和第一个括号内的22x -与第二个括号内的3x -相乘后再相加而得到，故3x 的系数为1(1)(2)(3)5⨯-+-⨯-=．
解法二：利用通项公式，因2(1)x +的通项公式为12r
r r T C x +=·，
5(1)x -的通项公式为15(1)k k k k T C x +=-·，
其中{}{}012012345r k ∈∈，，，，，，，，，令3k r +=， 则12k r =⎧⎨=⎩，，或21k r =⎧⎨=⎩，，或30k r =⎧⎨=⎩
，．
故3x 的系数为112352555C C C C -+-=·．
19．为了调查胃病是否与生活规律有关，某地540名40岁以上的人的调查结果如下：
根据以上数据比较这两种情况，40岁以上的人患胃病与生活规律有关吗？
解：由公式得
2
540(6020026020)32022080460
k ⨯⨯-⨯=
⨯⨯⨯ 2540(120005200)24969609.6382590720000259072⨯-==≈．
9.6387.879>∵，
∴我们有99.5%的把握认为40岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关，即生活不规律的人易患胃病.
20．一个医生已知某种病患者的痊愈率为25%，为实验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有4个被治好，则认为这种药有效；反之，则认为无效，试求：
（1）虽新药有效，且把痊愈率提高到35%，但通过实验被否认的概率； （2）新药完全无效，但通过实验被认为有效的概率．
解：记一个病人服用该药痊愈率为事件A ，且其概率为p ，那么10个病人服用该药相当于10次独立重复实验.
(1) 因新药有效且p =0.35，故由n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率公式知，实验被
否定（即新药无效）的概率为：
001011922337
1010101010101010(0)(1)(2)(3)(1)(1)(1)(1)0.514
x P P P P C p p C p p C p p C p p +++=-+-+-+-≈．
（2）因新药无效，故p =0.25，实验被认为有效的概率为： 10101010101010(4)(5)(10)1((0)(1)(2)(3))0.224P P P P P P P +++=-+++≈．
即新药有效，但被否定的概率约为0.514； 新药无效，但被认为有效的概率约为0.224.
21．A B ，两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是123A A A ，，，B 队队员是12B B B ，，，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：
现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A 队，B 队最后所得总分分别为ξη，．
(1)求ξη，的概率分布列； (2)求E ξ，E η．
解：（1）ξη，的可能取值分别为3，2，1，0．
2228(3)35575P ξ==⨯⨯=；22312223228(2)35535535575P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；
2331231322
(1)3553553555P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；
1333
(0)35525
P ξ==⨯⨯=．
由题意知3ξη+=，
所以8(0)(3)75
P P ηξ====
； 28(1)(2)75P P ηξ====； 2(2)(1)5P P ηξ====； 3(3)(0)25
P P ηξ====
． ξ的分布列为
η的分布列为
（2）8282322
3210757552515
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=
， 因为3ξη+=，所以23
315
E E ηξ=-=
．
22．某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之间的关系，从这个工业部门
完成下列要求：
（1）计算x 与y 的相关系数；
（2）对这两个变量之间是否线性相关进行相关性检验； （3）设回归直线方程为y bx a =+，求系数a ，b ．
解：利用回归分析检验的步骤，先求相关系数，再确定0.05r ． (1)制表
0.808
r=≈．
即x与Y的相关关系0.808
r≈．
（2）因为0.75
r>．
所以x与Y之间具有很强的线性相关关系．
（3）
1329381077.7165.7
0.398
709031077.7
b
-⨯⨯
=≈
-⨯
，165.70.39877.7134.9
a=-⨯=．
一、选择题
1．假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方（包括右上，右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右方蜂房中去，若从最初位置爬到4号蜂房中，则不同的爬法有（）
Ａ．4种Ｂ．6种Ｃ．8种Ｄ．10种
答案：Ｃ
2．乒乓球运动员10人，其中男女运动员各5人，从这10名运动员中选出4人进行男女混合双打比赛，选法种数为（）
Ａ．22
5
()
AＢ．22
5
()
CＣ．222
54
()
C A
·Ｄ．222
52
()
C A
·
答案：Ｄ
3．已知集合{}123456M =，，，，，，{}6789N =，，，，从M 中选3个元素，N 中选2个元素，组成一个含有5个元素的集合T ，则这样的集合T 共有（ ）
Ａ．126个 Ｂ．120个 Ｃ．90个 Ｄ．26个
答案：Ｃ
4．342(1)(1)(1)n x x x +++++
++的展开式中2x 的系数是（ ）
Ａ．3
3n C +
Ｂ．3
2n C +
Ｃ．3
21n C +- Ｄ．3
31n C +-
答案：Ｄ
5．200620052008+被2006除，所得余数是（ ） Ａ．2009 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1
答案：Ｂ
6．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是（ ） Ａ．0.665 B ．0.56 Ｃ．0.24 Ｄ．0.285
答案：Ａ
7．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A ：“甲骰子的点数大于4”；事件B ：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则(|)P B A 的值等于（ ）
Ａ．13 Ｂ．118 Ｃ．16 Ｄ．19
答案：Ｃ
8．在一次智力竞赛的“风险选答”环节中，一共为选手准备了A ，B ，C 三类不同的题目，选手每答对一个A 类、B 类、C 类的题目，将分别得到300分、200分、100分，但如果答错，则要扣去300分、200分、100分，而选手答对一个A 类、B 类、C 类题目的概率分别为0.6，0.7，0.8，则就每一次答题而言，选手选择（ ）题目得分的期望值更大一些（ ） Ａ．A 类 Ｂ．B 类 Ｃ．C 类 Ｄ．都一样
答案：Ｂ
9．已知ξ的分布列如下：
并且23ηξ=+，则方差D η=（ ） Ａ．
179
36
Ｂ．
143
36
Ｃ．
299
72
Ｄ．
227
72
答案：Ａ
10．若2~(16)N ξ-，且(31)P ξ--≤≤0.4=，则(1)P ξ≥等于（ ） Ａ．0.1 Ｂ．0.2 Ｃ．0.3 Ｄ．0.4
答案：Ａ
11．已知x ，y 之间的一组数据：
则y 与x 的回归方程必经过（ ） Ａ．（2，2） Ｂ．（1，3） Ｃ．（1.5，4） Ｄ．(2，5)
答案：Ｃ
12．对于2()P K k ≥，当 2.706k >时，就约有的把握认为“x 与y 有关系”（ ） Ａ．99% Ｂ．99.5% Ｃ．95% Ｄ．90%
答案：Ｄ
二、填空题
13．9
2x
⎛
⎝
的展开式中，常数项为 （用数字作答）
．
答案：672
14．某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 （结果用分数表示）． 答案：
119
190
15．两名狙击手在一次射击比赛中，狙击手甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4，0.1，
0.5；狙击手乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名狙击手获胜希望大的是 ．
答案：乙
16．空间有6个点，其中任何三点不共线，任何四点不共面，以其中的四点为顶点共可作出个四面体，经过其中每两点的直线中，有 对异面直线．
答案：15，45
三、解答题
17．某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A ，他有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌，但张数不限，则有多少种不同的出牌方法？
解：由于张数不限，2张2，3张A 可以一起出，亦可分几次出，故考虑按此分类.出牌的方法可分为以下几类：
（1）5张牌全部分开出，有5
5A 种方法；
（2）2张2一起出，3张A 一起出，有25A 种方法； （3）2张2一起出，3张A 分开出，有45A 种方法；
（4）2张2一起出，3张A 分两次出，有2335C A 种方法；
（5）2张2分开出，3张A 一起出，有35A 种方法；
（6）2张2分开出，3张A 分两次出，有2435C A 种方法；
因此共有不同的出牌方法5242332455535535860A A A C A A C A +++++=种．
18．已知数列{}n a 的通项n a 是二项式(1)n x +与2(1n 的展开式中所有x 的次数相同的各项的系数之和，求数列的通项及前n 项和n S ．
解：按(1)n x +及2(1n 两个展开式的升幂表示形式，写出的各整数次幂，可知只有当
2(1n (1)n x +的x 的次数相比较．
由0122
(1)n n n
n n n n x C C x C x C x +=+++
+，
1321
20242
213212
2
2
2222222(1()()n n
n
n
n n n n
n
n
n
n
C C x C x C x C x C x C
x
--+=+++
++++
+
可得001224
22222()()()()n n
n n n n n n n n n a C C C C C C C C =++++++
++
012024
22222()()n n
n n n n n n n n C C C C C C C C =+++++++++
2122n n -=+，
2122n n n a -=+∵，
∴22
2462112(222)(22222(21)(41)223
n
n n
n n S =++++++++=-+⨯-
1221121
22(21)(2328)33
n n n n +++=-+-=+-·，
2111
(2328)3
n n n S ++=-∴·．
19．某休闲场馆举行圣诞酬宾活动，每位会员交会员费50元，可享受20元的消费，并参加一次抽奖活动，从一个装有标号分别为1，2，3，4，5，6的6只均匀小球的抽奖箱中，有放回的抽两次球，抽得的两球标号之和为12，则获一等奖价值a 元的礼品，标号之和为11或10，获二等奖价值100元的礼品，标号之和小于10不得奖． (1)求各会员获奖的概率；
(2)设场馆收益为ξ元，求ξ的分布列；假如场馆打算不赔钱，a 最多可设为多少元？
解：(1)抽两次得标号之和为12的概率为1111
6636
P =+=； 抽两次得标号之和为11或10的概率为2536
P =， 故各会员获奖的概率为1215136366P P P =+=+=． （2）
由1530
(30)(70)300363636
E a ξ=-⨯
+-⨯+⨯≥， 得580a ≤元．
所以a 最多可设为580元．
20
试分析新药对防治猪白痢是否有效？
解：由公式计算得2
288(1012038129)8.65813914923058
k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，
由于8.658 6.635>，故可以有99%的把握认为新药对防治猪白痢是有效的．
21．甲有一个箱子，里面放有x 个红球，y 个白球（x ，y ≥0，且x +y =4）；乙有一个箱子，里面放有2个红球，1个白球，1个黄球．现在甲从箱子里任取2个球，乙从箱子里任取1个球．若取出的3个球颜色全不相同，则甲获胜．
(1)试问甲如何安排箱子里两种颜色球的个数，才能使自己获胜的概率最大？ (2)在（1）的条件下，求取出的3个球中红球个数的期望．
解：(1)要想使取出的3个球颜色全不相同，则乙必须取出黄球，甲取出的两个球为一个红球一个白球，乙取出黄球的概率是1
4
，甲取出的两个球为一个红球一个白球的概率是 1124
6x y
C C xy C =
·，所以取出的3个球颜色全不相同的概率是14624
xy xy P ==·，即甲获胜的概率为24xy P =，由0x y ，≥，且4x y +=，所以12424xy P =≤2
1
26x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭·，当2x y ==时取等号，
即甲应在箱子里放2个红球2个白球才能使自己获胜的概率最大.
(2)设取出的3个球中红球的个数为ξ，则ξ的取值为0，1，2，3.
212221441
(0)12
C C P C C ξ===·，
1112122222212144445
(1)12
C C C C C P C C C C ξ==+=··，
2111122222212144445
(2)12
C C C C C P C C C C ξ==+=··，
212221441
(3)12
C C P C C ξ===·，
所以取出的3个球中红球个数的期望：1551
0123 1.512121212
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．
22．规定(1)
(1)m
x A x x x m =--+，其中x ∈R ，m 为正整数，且01x A =，这是排列数m
n
A (n ，
m 是正整数，且m ≤n )的一种推广．
（1）求3
15A -的值；
（2）排列数的两个性质：①11m m n n A nA --=，②11m m m n n n A mA A -++= (其中m ，n 是正整数)．是否
都能推广到m x A (x ∈R ，m 是正整数)的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；
（3）确定函数3x A 的单调区间．
解：（1）315(15)(16)(17)4080A -=-⨯-⨯-=-；
（2）性质①、②均可推广，推广的形式分别是
①11m m x x A xA --=，
②11()m m m x x x A mA A x m -*++=∈∈R N ，．
事实上，在①中，当1m =时，左边1x A x ==，
右边01x xA x -==，等式成立；
在②中，当1m =时，左边10111x x x A A x A +=+=+==右边，等式成立；
当2m ≥时，左边(1)(2)(1)(1)(2)(2)x x x x m mx x x x m =---++---+
=(1)(2)
(2)[(1)]x x x x m x m m ---+-++
1(1)(1)(2)[(1)1]m x x x x x x m A +=+--+-+==右边，
因此②11()m m m x x x A mA A x m -*++=∈∈R N ，成立．
（3）先求导数，得32()362x A x x '=-+．
令23620x x -+>，解得x <
或x >
因此，当x ⎛∈- ⎝⎭∞时，函数为增函数，
当x ⎫∈+⎪⎪⎝⎭
∞时，函数也为增函数，
令23620x x -+≤x
因此，当x ∈⎣⎦
时，函数为减函数，
∴函数3
x A 的增区间为⎛- ⎝⎭∞，⎫+⎪⎪⎝⎭∞；减区间为⎣⎦
．。