小学奥数平面几何五种面积模型

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）
目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形
知识点拨一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比;
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如右图S ：S2 a:b
③夹在一组平行线之间的等
积变形，如右图S^ACD S^BCD；
反之，如果S A ACD S A BCD，则可知直线AB平行于CD .
④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.
如图在△ABC中，D,E分别是AB, AC上的点如图⑴（或D在BA的延长线上，E在AC上）,
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径•通过构造模型，
一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也
可以得到与面积对应的对角线的比例关系. 梯形中比例关系（“梯形蝶形定
理”）：
2 2
①S i: S3 a : b
②S1: S3: S?: S4 a2: b2 : ab : ab ；
③S的对应份数为 a b 2.
四、相似模型
（一）金字塔模型
(AB AC) ：(AD AE)
则S A
ABC
S A ADE
图⑴
三、蝶形定理任意四边
形中的比例关系
图⑵
（“蝶形定
理”）:
① S i ：
S2
S4 : S3 或者S i S3 S2 S4 ② AO : OC S| S2 : S4 S 3
）沙漏模型
b
A
E
B C C
G G
B A E
F
O
B
D
G
G
B
B
【解析】 E
E
B
F
【巩固】 几厘米?
A E
A E
长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为
2 4.5 4 2 16.5 ,所以长方形EFGH 面积为
33.
如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米 如图，正方形 ABCD 勺边长为6，AE 的面积为
F C
F C
连接DE DF 则长方形EFGH 勺面积是三角形 DEF 面积的二倍 三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，
1. 5, CF
2.长方形 EFGH （只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们 S A DEF
6 6 1.5 6 2 2 6 ① J AD A E AB AC ② S A ADE ： ABC
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形 都相似），与相似三角形相
关的常用的性质及定理如下
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半. 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具. 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形. 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型） 在三角形 ABC 中，AD , BE , CF 相交于同一点 0，那么 S ABO ： S ACO BD ： DC . 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为 ABO 和 ACO 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理•该定理在许多几何 题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形 之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径 典型例题 【例1】
DE BC AF AG ；
AF 2：
AG 2 C
D G
D G
B A
---- 7
/ /
1 /
F J
|\ /
C
【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等
（长方形和正方形可以看作特
殊的平行四边形）•三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半. 证明：连接AG •（我们通过△ ABG 把这两个长方形和正方形联系在一起
）•
1
•••在正方形 ABCD 中，S A ABG — AB AB 边上的高，
2
1
二S A ABG
S AABCD （三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半
）
2
1
冋理，S A ABG — S EFGB •
•••正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等. 长方形的宽 8 8 10 6.4（厘米）•
【例2】 长方形ABCD 的面积为36cm 2, E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影 部分面积是
多少？
【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接 BH 、HC ，如下图:
可得：
S
EHB
-S 2
AHB 、
S
FHB
—S CHB 2
、 S
DHG
— S DHC
2
,
S A BCD
S AHB S CHB
S CHD
36
即 S EHB S
BHF
S
DHG —(S AHB
S CHB
S C HD )
-36
2
18 ;
而
S
EHB
S
BHF
S DHG
s
阴影
S
EBF
S
EBF
1
-BE BF 1
AB) 1
(二 BC) 1 36 4.5
2
2
2 2 8
所以阴影部分的面积是： 解法二：特殊点法•找 那么图形就可变成右图：
S 阴影 18 S EBF 18 4
・5 13・
5
A
D (H)
E 、
—
G
B F C
这样阴影部分的面积就是DEF的面积，根据鸟头定理，则有
s 阴影 S ABCD S AED S BEF S CFD 36
- - 36 - - - 36 -- 2 2 2 2 2 2 2
【巩固】在边长为6厘米的正方形 ABCD 内任取一点P ,将正方形的一组对边二等分，
另一组对边三
等分，分别与 P 点连接,求阴影部分面积.
【解析】（法1）特殊点法.由于P 是正方形内部任意一点， 可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，
贝U 阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的 丄和-, 4 6
所以阴影部分的面积为 62 （- -
） 15平方厘米. 4 6
（法2）连接PA 、PC .
由于 PAD 与 PBC 的面积之和等于正方形 ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形 的面积之和等于正方形 ABCD 面积的-,同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正
4 方形ABCD 面积的1 ,所以阴影部分的面积为 62 （-丄）15平方厘米.
6 4 6
【例3】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为
70, AB 8 , AD 15，四边形EFGO
的面积为 _________ .
【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形 AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三 角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形 EFGO 的面积.
由于长方形 ABCD 的面积为15 8 120，所以三角形BOC 的面积为120 1
30 ,所以三角
4
形AOE 和DOG 的面积之和为120 3
70 20 ； 4
又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为120 1
- 30，所以四边形EFGO
2 4
的面积为30 20 10.
另解：从整体上来看，四边形 EFGO 的面积 三角形AFC 面积 三角形BFD 面积 白色部 分的面积，而三角形 AFC 面积 三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即 60,白色部分的 面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即120 70 50 ,所以四边形的面积为
60 50 10 .
36 13.5
.
如图，长方形 ABCD 的面积是36, E 是AD 的三等分点，
AE 2ED ，则阴影部分的面积 为 ________ .
1 1 3 — 6 -
2.7 .
2
5
已知ABC 为等边三角形，面积为 400, D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面 积和为
143，求阴影五边形的面积.（丙是三角形HBC ）
所以 DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与 三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形 ABC 的
半，即为200.
即
400 S 丙 20
0 200
S
AMHN
，所以 S ^
S AMHN
.
又？阴
影
S ADF S 甲 S 乙
S AMHN
，所以
S
阴影
S 甲
s 丙
S
ADF
1 143
400 43 .
4
如
图， 已知 CD 5 , DE 7 ,
EF 15, FG 6，线段AB 将图形分成两部分，左边部分 【例5】
根据图形的容斥关系，有 S ABC
S 丙
S ABN S AMC S AMHN
,
面积是38,右边部分面积是 65,那么三角形 ADG 的面积是 ______________
【巩固】 【解析】 如图，连接0E .
根据蝶形定理,
ON : ND
S COE
: S
CDE
OM : MA
BOE
： S
BAE
1S
S BDE
2
：
S BAE
OED
~ S 矩形ABCD
4
S OEA 1 1 2
S CAE ：S CDE 1:1
，所以
S OEN
2S OED ；
1：4，所以 S OEM 1 S OEA .
5
2S OED 6 ,所以阴影部分面积为：
【例4】 【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点, 对
应的边平行，根据面积比例模型，
【例6】 如图在 △ ABC 中，D,E 分别是 AB,AC 上的点，且AD: AB 2:5 , AE : AC 4:7 , S A ADE 平方厘米，求 △ ABC 的面积.
【解析】
连接 BE , S A ADE : S A ABE AD ： AB 2:5 (2 4) : (5 4),
S
\ ABE : S A ABC AE : AC
4
: 7 (4
5
) ： (7 5),所以 S A ADE
: S A ABC
(2 4)
: (7
5)
,设
S A ADE 8份，则S A ABC 35份，Sx ADE 16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70 平方厘米，△
ABC 的面积是70平方厘米•由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角
三角形的面积比等于对应角 (相等角或互补角)两夹边的乘积之比
根据题意可知
,
CF 5 7 15 27
；
DG 7
15 6 28;
15
12
21
所以， S BEF
S
CBF ,
S BEC
S CBF , S AEG
S S
ADG , S AED
2/
27
28
21
15
7
12
于是： S ADG S CBF 65 ； S
ADG
S
CBF
38 ；
28
27
28
2/
可得S ADG 40 . 故三角形 ADG 的面积是 40
—S 28
ADG
16
【巩固】如图，三角形 ABC 中，AB 是AD 的5倍
1，那么三角形 ABC 的面积是多少？
AC 是AE 的3倍，如果三角形 ADE 的面积等于
【解析】连接BE .
••• EC 3AE
…S VABC 3S VA BE 又 T AB 5AD --S V ADE
S VABE 5 S VABC 15，…S VABC
【巩固】如图，三角形 ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD DC 4 , BE 3 , AE 6，乙 部分面积是
甲部分面积的几倍？
A
C
A
G
【解析】连接AF , BD .
所以S EFGH
S
A AEH
S
A CFG
S
A DHG
S
A BEF
S
ABCD
8 8 15+3+2
36 .
平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ ABC 的面积是50平方厘米.由 此我
们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角 （相等角或互补角）
两夹边的乘积之比
的面积是2，求平行四边形 ABCD 与四边形EFGH 的面积比.
【解析】 连接AD .
••• BE 3, AE 6
二 AB 3BE , S VABD
3
S VBD
E
又
••• DC 4,
…S V ABC
2
S VABD ，… S VABC
6
S VBD E , S 乙
5S 甲 .
如图在 △ ABC
中，
D 在BA 的延长线
上，
E 在AC 上, AE: EC 3: 2 , S A ADE 12平方厘米，求 △ ABC 的面积
连接 BE , ADE : S ^ ABE
AD
: AB
S A ABE : S A ABC AE : AC 3: (3 2) 所以 S A ADE
: S A ABC (3 2) : 5
(3 2:5 AB: AD 5:2 , (2 3):(5 3)
(3 5): (3 2) 5 ,
2) 6:25，设 S A ADE 6 份，则 S ^ ABC 25 份，S ^ADE 12
【例8】 如图，平行四边形 ABCD , BE AB ，CF
2CB ，GD 3DC ，HA
4AD ，平行四边形 ABCD
A A
C
【解析】
【例7】
且
所以S EFGH
S
A AEH
S
A CFG
S
A DHG
S
A BEF
S
ABCD
8 8 15+3+2
36 .
【解析】连接AC 、BD •根据共角定理
.
S A ABC
AB BC 1 1 1 S
A FBE
BE BF 1 3 3 又 S A ABC
1，所以 S A FBE 3 .
冋理可得 S A GCF 8 , S A DHG 15 , S A AEH
8
.
•••在△ ABC 和厶BFE 中， ABC 与 FBE 互补,
【例9】 如图所示的四边形的面积等于多少?
【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积
我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：
把三角形OAB 绕顶点0逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形 OAB 将旋转到三 角形OCD 的位置•这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为 12的正方形，且这个正 方形的面积就是原来四边形的面积 •
因此，原来四边形的面积为 12 12 144.（也可以用勾股定理） ACDE ，中心为 0，求 OBC 的面积.
【解析】如图，将 OAB 沿着O 点顺时针旋转90，到达 OCF 的位置.
由于 ABC 90 , AOC 90，所以 OAB OCB 180 •而 OCF OAB , 所以 OCF OCB 180，那么B 、C 、F 三点在一条直线上.
由于OB OF , BOF AOC 90，所以 BOF 是等腰直角三角形，且斜边BF 为5 3 8, 所以它的面积为82 1
16 .
4
根据面积比例模型，
OBC 的面积为16 - 10 .
8
【例11】如图，以正方形的边 AB 为斜边在正方形内作直角三角形 ABE , AEB 90 , AC 、BD 交
于O .已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形 OBE 的面积.
所以
S
ABCD
S EFGH
2 36 1
18
【例10】如图所示，ABC 中, ABC 90，
AB
3 , BC 5，以AC 为一边向 ABC 外作正方形
【解
析】
【例
12】
【解
析】
如图，连接DE，以A点为中心，将那么
EAF EAB BAF EAB 直角梯形，且AF AE
3 , 所以梯形AFBE的面积为：
1 2
3 — 12( cm ).
2
ABE是直角三角形，根据勾股定理,
^AB2
2
又因为
S ABD
那么S BDE
所以S OBE
17( cm2).
ADE顺时针旋转90至U ABF的位置.
DAE 90
S
ABD
S
ABE
S
ADE
S
ABD
1
2 S BDE2・5 ( cm?).
，而AEB也是90，所以四边形AFBE是
AB2
S
AFBE
2 2
AE BE
17 12 5(
325234，所以
2
cm )，
如下图，六边形ABCDEF中，AB ED，
平行于CD，BC平行于EF，对角线FD垂直于BD，已知请问
六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？
AF CD , BC EF ,且有AB平行于ED, AF
FD 24厘米，BD 18厘米，
CD与AF重合，将DEF平移使得ED与AB重合，这样EF、
BGFD，它的面积与原六边形的面积
ABCDEF的面积为如图，我们将BCD平移使得
BC都重合到图中的AG 了 .这样就组成了一个长方形
相等，显然长方形BGFD的面积为24 18 432平方厘米，所以六边形
432平方厘米.
【例13】如图，三角形ABC的面积是1 , E是AC的中点，点D在BC上，且BD :DC 1:2 , AD与BE交于点F .则四边形DFEC的面积等于__________ .
【解析】在本题中，四边形 ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”
，无外乎两种处理方法：
⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形•看 到题目中给出条件 S VABD ： S/BCD 1： 3，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解 法•又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法， 但是第二种解法需要一个中
介来改造这个” 不良四边形”，于是可以作 AH 垂直BD 于H ,CG
垂直BD 于G ，面积比转化为高之比.再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之 比，得出结果•请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意 掌握并使用蝶形定理解决问题.
解法一：••• 解法二：作
••• S
ABD
AO : OC S ABD AH BD 于 H , -S
3
BCD , • AH
:S BDC CG
1： 3 OC 2 3 6 ,••• OC:OD 6:3 2:1 .
BD 于 G •
-CG
，-
■. S AOD
DOC ,
【解析】方法一：连接CF ，根据燕尾定理， 仏 ED 丄,占 善1, S A ACF DC 2 S A CBF EC
方法二：连接DE ，由题目条件可得到 S A ABD -S A ABC
-
3 3
【例14】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O （如图所示）.如果三角形 ABD 的面积等于三角 形
BCD 的面积的1，且AO
3
& ADE
-
S A 2
1
ADC
—
2
2S 3 S A ABC
1 BF
，所以
-
3
FE
S
A ABD
1
S
A ADE
1
1
1 1 1 1 1 S
1 S A DEF
S A DEB
S
A BEC
― S ABC
2
2 3
2 3
2
12 '
而 S A CD E
2 1 S A ABC 1
• 所以则四边形DFEC 的面积等于 5
3 2
3
12 【巩固】如图，长方形 ABCD 的面积是2 平方厘米，EC
2DE , F 是DG 的中点.阴影部分的面积
是多少平方厘米？
A 设 & BDF 1份，则
S A DCF 2 份，S A ABF
5 S
5 所以S DCEF
S
A ABC
12
12
3 份，S A AEF S A EFC 3份，如图所标
【解析】 设S A DEF 1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示
S
阴影 12 S A pc 。

2 , DO 3，那么CO 的长度是 DO 的长度的 倍.
y
1
二 AO —CO ，二 OC 2 3 6 ,••• OC:OD 6:3 2:1 .
3
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成 4个三角形，其中三个三角形的面积已知,
求：⑴三角形 BGC 的面积；（2） AG:GC ？
【解析】连接AE , FE
.
【解析】⑴根据蝶形定理，S V BGC 1 2 3，那么S VBGC
6
；
【例15】 如图，平行四边形 依次是2、4、4和 ABCD 的对角线交于 O 点，△ CEF 、△OEF 、△ODF 、△BOE 的面积
6.求：⑴求 A OCF 的面积；⑵求 A GCE 的面积. 【解析】
【例16】
△ BCD 的面积为 2 4 6 16，那么A BCO 和
⑴根据题意可知， 16 2 8，所以△ OCF 的面积为8 4 4;
⑵由于△ BCO 的面积为8, △ BOE 的面积为 2:4 1: 2，所以 S 根据蝶形定理，EG : FG 1
那么 S GCE
S CEF
1 2
S COE : S COF 2
COE 1 -2 3
如图，长方形 ABCD 中， 米，求长方形ABCD 的面积.
BE: EC 2:3
6, 所以A OCE 的面积为8 GCE : S GCF DF : FC 1:2，三角形 DFG CDO 的面积都是
6 2 ,
EG :FG 1:2 ,
的面积为2平方厘
1
因为BE: EC 2:3 , DF : FC 1:2，所以S vDEF 3 1 _1)S
5 3 2)S＜方形ABCD
S长方形ABCD .
因为S yAED 2 S^方形ABCD，AG : GF 1
2 10
15:1 ,所以
S VAGD 5S VGDF 10平方厘米,
1
所以S VAFD12平方厘米.因为S VAFD - S长方形ABCD，所以长方形ABCD的面积是72平
6
方厘米.
所以S阴影：S正方形1: 3 ,所以S阴影1平方厘米.
S A ECD 3 （平方厘米），那么S WABCD
12 （平方厘米）.
【例18】已知ABCD是平行四边形，BC:CE
分的面积是________ 平方厘米.
【解析】连接AC .
【解
析】
【例17】如图，正方形
因为M是AD边上的中点，所以AM : BC
S A
AMG :
S A
ABG :
S A
MCG :
S A
BCG 12:(1 2
):(1
S A MCD 1 2 3份，所以正方形的面积为
1:2，根据梯形蝶形定理可以知道
2）:221: 2:2:4 ,设S A AGM
1 2 2 4 3 12 份，S 阴影2
1份，则
2 4份,
【巩
固】
在下图的正方形ABCD中,
为1平方厘米，那么正方形
E是BC边的中点，AE与BD相交于F
ABCD面积是平方厘米.
点，三角形BEF的面积
【解
析】
连接DE ,根据题意可知BE: AD 1:2 ,根据蝶形定理得S梯形（12）29（平方厘
米）,
3: 2，三角形ODE的面积为6平方厘米•则阴影部
【巩
固】
【分
析】
【巩
固】
【解
析】
由于ABCD是平行四边形，BC:CE 3: 2，所以CE : AD 2:3 ,
根据梯形蝶形定理，S VCOE : S VAOC : S V DOE : S VAOD 咗'2 3: 2 3: 3? 4:6:6:9 ,所以
6（平方厘米），S VAOD 9（平方厘米），又S V ABC
21（平方厘米）•
S V AOC
阴影部分面积为6 15
右图中ABCD是梯形,
阴影部分的面积是
ABED是平行四边形,
平方厘米.
连接AE •由于AD与BC是平行的，所以
根据蝶形定理，S OCD S OAE S OCE
所以S OCD 6（平方厘米）•
S VAC D 6 9 15（平方厘米）,
已知三角形面积如图所示（单
位:
AECD也是梯形，那么
S OAD 4 9 36,
右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形, 阴
影部分的面积是平方厘米.
连接AE •由于AD与BC是平行的，所以
根据蝶形定理，S OCD S OAE S OCD4
（平方厘米）•
另解：在平行四边形ABED中,
所以S AOE S ADE S AOD 12 根据蝶
形定理，阴影部分的面积为
平方厘米）,
OCD S
2
OCD
OAE
•
36 ,
已知三角形面积如图所示
AECD也是梯形,
S OCE S OAD
（单
位:
平方厘米）,
那么S OCD S OAE •
2
8 16，故S OCD 16 ,所以
1
2
8 4（平方厘
米），
8 2 4
16
4（平方厘米）
•
8 12 （平方厘
米）,
【例19】如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块,
那么余下的四边形OFBC的面积为_______
已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米, 平
方厘米.
111
【解析】连接DE 、CF •四边形EDCF 为梯形，所以S EOD S V FOC ，又根据蝶形定理,
厘米），S ECD 4 8 12（平方厘米）•那么长方形 ABCD 的面积为12 2 24平方厘米，四 边形OFBC
的面积为24 5 2 8 9（平方厘米）•
【例20】如图， ABC 是等腰直角三角形， DEFG 是正方形，线段 AB 与CD 相交于K 点•已知正方
形DEFG 的面积48, AK:KB 1:3，贝U BKD 的面积是多少？
【解析】由于DEFG 是正方形，所以 DA 与BC 平行，那么四边形 ADBC 是梯形•在梯形 ADBC 中， BDK
和 ACK 的面积是相等的•而 AK:KB 1:3，所以 ACK 的面积是 ABC 面积的
1
1
,那么 BDK 的面积也是 ABC 面积的-• 1 3 4 4
由于 ABC 是等腰直角三角形，如果过 A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么 M 是BC 的中点， 而且AM DE ,可见 ABM 和 ACM 的面积都等于正方形 DEFG 面积的一半，所以 ABC 的 面积与正方形DEFG 的面积相等，为48.
1
那么BDK 的面积为48 1 12 •
4
【例21】下图中，四边形 ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB , BC , CD ,
DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数
-，那么，
n
（m n ）的值等于 _________ •
【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白 部分面积
都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积.
如下图所示，在左图中连接 EG .设AG 与DE 的交点为M •
左图中AEGD 为长方形，可知 AMD 的面积为长方形 AEGD 面积的1 ,所以三角形 AMD 的 4
S EOD S FOC
S EOF S COD , 所以S EOD S FOC S EOF S COD 2 8 16，所以S EOD 4（平方
面积为12 - -
- •又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面
2 4 8
积为1 - 4
- •
8 2
如上图所示，在右图中连接 AC 、EF .设AF 、EC 的交点为N •
可知EF // AC 且AC 2EF •那么三角形 BEF 的面积为三角形 ABC 面积的1 ,所以三角形
4
BEF 的面积为12 ---,梯形 AEFC 的面积为--—.
2 4
8
2 8 8
在梯形AEFC 中，由于EF : AC 1:2 ,根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为： 12：1 2:1 2: 22 1:2: 2: 4，所以三角形 EFN 的面积为—
1
1
，那么四边形 8 1 2
2
4 24
1 1 1
BENF 的面积为- 一 -.而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部
8 24 6 分的面积为1
1
4 1
. 6
3
那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为 1: 1
3: 2，即m 3 , 2 3 n 2
那么m n 3 2 5 .
【例22】 如图， △ ABC 中，DE , FG , BC 互相平行， AD DF FB ,
则ADE : S 四边形DEGF : S 四边形FGCB ____________________ •
所以 S A ADE : S \ AFG AD
: AF 1: 4 , S A ADE : S A ABC
AD
: AB 1:9 ,
因此 S A AFG 4 份，S A ABC 9 份, 进而有S 四边形DEGF 3份，S 四边形FGCB 5份，所以S ^ ADE : S 四边形DEGF : S 四边形FGCB
【巩固】如图， DE 平行BC ,且 AD 2 , AB 5 , AE 4，求AC 的长.
【解析】
设S A ADE 1份，根据面积比等于相似比的平方,
1: 3: 5
111
ABCD 的面积是1, E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于
M ，求 BMG 的面积.
AB:CM GB:GE
BF AB: :FC EM 1:1，因此CM 4 ,根据题意有CE 3 ,再根据另 一个沙漏有
4:7 ，所以 S A ABG
-
4 S
4 4 7 A
A BE
11
(4 4 2)
32 石.
方
法 -二二
: 连 接 AE,EF , 分另U 求 S A ABF 4 2 2 4 , S A AEF
4 4 4 1 2 3 2 2 4 7 ，根据蝶形定理 Sx ABF : S A AEF BG ：
GE 4:7 ,
4
4
32
所以S A ABG
-
ABE (4 4 2)
连接
AE ,延长AF , DC 两条线交于点M ,
构造出两个沙漏，所以有
47 11
11
【解析】 【巩固】 【解析】 由金字塔模型得 AD: AB AE:AC DE : BC 2:5，所以AC 4 △ ABC 中，DE , FG , MN , PQ , BC 互相平行, AD DF FM MP PB ，贝U S A ADE : S 四边形DEGF : S 四边形FGNM : S 四边形MNQP : S 四边形PQCB
如图, 设ADE
1
份，
S A ADE : S A AFG
AD 2
:AF 1:4 ,因此
5 10 S A AFG 4
份，进而有S 四边形DEGF
3份，同理有
S
四边形FGNM
5
份，S 四边形MNQP 7份，
S 四边形
PQCB
9份.
所以有
S A ADE
: S
四边形DEGF : S 四边形FGNM : S 四边形
MNQP : S 四边形 PQCB
1: 3: 5:7: 9
【例23】如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4 , F 是BC 边的中点,
E 是DC 边上的点，且
DE: EC 1:3 , AF 与 BE 相交于点 G ，求 S A ABG
【解析】方法
【例24】如图所示，已知平行四边形 A B
G
F
M
6 3
【解析】 解法一:由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得EF//BD ，而
EB:CD BG:GD 1:2 所以 CH :CF GH : EF 2:3 ,
并得G 、H 是BD 的三等分点，所以 BG GH ，所以
解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图,
可得，AI : BC AE :EB 1:1，从而可以确定 M 的点的位置，
BM : MF BC: IF 2:3
,BM 2
BF , BG 5
1 3 BD （鸟头定
理）,
2 1
2 1 1
1
可得 S BMG
-S BDF — — —S Y ABCD
5 3
5 3 4 30
【例25】 如图，ABCD 为正方形, 面积为多少？
AM NB DE FC 1cm 且 MN 2 cm ,
请问四边形 PQRS 的
【解析】 （法1）由AB//CD ，有聾 MN MQ QC 所以S SPQR 1 -MC 2 1
1 ，所以PQ (1 1 2) PC DC 1 -MC
2 2 / 2、 (cm ). ，所以 PC 」MC
3 2PM ，
^MC , 6 MQ QC 些，所以 EC 1 所以 S SPQR 占 S AMCF 的一， 6 （法2）如图，连
结
AE ，贝U
S
ABE
2
、
8( cm ),
BG:EF BM
:MF 2:3 ，所以 BM 2 BF , S
BFD
1 S ABD
5
2
又因为BG 1
S
BMG
1 2 S
BFD
1 2
1
1
BD , 所以
3
3 5
3 5
4 30
FD :BC FH : :HC 1:2 ,
1 1 1
■— S Y ABCD
2 2 4
而空空，所以空些AB EF
而S MBQ S ANS
EF
1 3
2
1
所以MP -MC
3
，则
S ABR S ANS S MBQ
EF
1 4 -
2
1
2
2
16
2 ，S ABR
2、
3( cm ),
2 16 2、
8 ( cm ).
3 3
MP
PC，
S MNP
S MNP
2
—S ABE
3
因为些
DC
4 2
-（cm2），阴影部分面积等于
3
2 / 2、
3
【例26】如右图，三角形ABC中, BD: DC CE: EA 4:3，求AF : FB .
4:9
【解
析】
根据燕尾定理得S A AOB : S A AOC BD : CD 4:9 12: 27
【点
评】
AOB : BOC AE : CE 3：4
（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以S^AOC : S A BOC27:16 AF : FB
本题关键是把△AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜, 如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
12:16
【巩
固】
如右图，三角形ABC 中，BD:DC 3:4，AE: CE 5:6，求AF:FB.
【解
析】
【巩
固】
【解
析】
【点
评】
根据燕尾定理得S A AOB : S A AOC BD : CD 3: 4
S A AOB : S A BOC AE : CE 5： 6
(都有A AOB的面积要统一，所以找最小公倍数)
所以S A AOC : S A BOC 20 :18 10:9 AF : FB
如右图，三角形ABC中，BD:DC 2:3，
15: 20
15:18
EA:CE 5: 4,求AF:FB.
2:310:15
根据燕尾定理得S A AOB : S A AOC BD : CD
5: 4
（都有△ AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以
S
A AOC : S A BOC15:8 AF : FB
本题关键是把△ AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法,
S A AOB : S A BOC AE : CE 10:8
在我们用比例解题中屡见不鲜,
如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量!
【例27】如右图，三角形 ABC 中，AF:FB BD : DC CE:AE 3:2，且三角形 ABC 的面积是1，
【巩固】如图， ABC 中BD 2DA , CE 2EB , AF 2FC ，那么 ABC 的面积是阴影三角形面积
的 ________ 倍.
4
9 S
ACG : S ABG : S
BCG
4:6 :9 , 则 S ACG
,S BCG
19
19
那么 S AGE S AGC
2 4 8 ；
5
5 19 95
同样分析可得S ACH 9 ，则 EG : EH S ACG : S ACH 4 : 9 , EG : EB S ACG : S ACB 4:19 , 3： 2，所以 19 所以 EG:GH : HB 4:5:10，同样分析可得 AG:GI : ID 10:5: 4 ,
【解析】连接BG S
A AGC 6 份
根据燕尾定理， S ^ AGC : S ^ BGC AF : FB 3: 2 6:4 , S ABG ： S ^ AGC BD :DC 得 S ^ BGC 4 （份），S ^ ABG 9（份），则 S A ABC 19（份）, 因此 S A AGC 6
S ^ ABC
19
同理连接 A I 、CH 得
6
〈BIC 6 ,所以比GHI 19 6 6 6 1
S ^ ABC 19 S ^ ABC 19 S ^ ABC
19
19
3: 2 9:6
三角形GHI 的面积是1，所以三角形 ABC 的面积是19
则三角形ABE 的面积为 ________ ，三角形AGE 的面积为 ________ ，三角形GHI 的面积为
由于CE:AE 3:2，所以AE 2
AC , 5 故S 2S 2 ； ABE S ABC
5 5 根据燕尾定理， S ACG : S ABG CD :BD 2:3 ,S BCG : S ABG CE : EA 所以S BE 存B AE _5 2
10 5 S GHI
©S B ,E 色丄丄 19 19 5 19 【巩固】 如右图，三角形 ABC 中，AF: FB 求三角形ABC 的面积. BD: DC CE: AE 3: 2，且三角形 GHI 的面积是1 , 【分析】连接AH 、BI 、CG •
连接BG 设S A BGC 1份，根据燕尾定理
AGC
: S A BGC AF : FB 2 :1 , S A ABG : S A AGC
【分析】 【巩固】 如图，连接AI •
根据燕尾定理， S BCI : S ACI BD : AD 2:1 所以，S ACI ・S BCI ・S ABI 1:2:4
，那么，S
同理可知 ACG 和
2
ABC 面积的1 2 7 S
BCI : S ABI CF
2
S
BCI
S
ABC
1 2 4
:AF 1:2 , 7
ABC -
ABH 的面积也都等于 ABC 面积的-,
7
所以阴影三角形的面积等于 1 3丄，所以 ABC 的面积是阴影三角形面积的 7倍.
7 如图在△ ABC 中，-DC
DB EA FB 1,求^ GT 的面积
EC FA 2
△ ABC 的面积
【点评】 2 ABG 4 （
份），则
S
A ABC
所以
S A GHI
S
A ABC
7（份），因此
S
A AGC
S A ABC 2 S -,同理连接AI 、CH 得 7 S A ABC
比BIC S A ABC
如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变
万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题 思路，因此我们有对称法作辅助线 •
【例28】如图，三角形 ABC 的面积是1 , BD DE EC , CF FG GA ,三角形ABC 被分成9部
分，请写出这9部分的面积各是多少 ？
【解析】 BD: DC 2:1 ,得 S A AGC 2（份）,
【解析】
【巩固】
【解析】
A
A
G
Q
P
F
M N
B D E C
根据燕尾定理，S A ABP ::S A CBP AG :GC1:2 ,
S\ ABP :
S A ACP BD :CD1:2,设S A ABP 1
（份），
则S△ ABC 1 2
2 5
（份）,
所以1S A ABP
1
5
同理可得，S A ABQ-,S A ABN而S A ABG
1
, 所以S A APQ
213，S
A AQG
121 72375353721 '同理S
S A BPM
3
S A BDM1,所以S四边形PQMN 1 2
39
352 2 73570
1395115 1 _1115
Sg边形MNED--- 5S四边形NFCE S边形GFNQ
3357042321426321642
设BG与AD交于点P, BG与AE交于点Q BF与AD交于点M BF与AE交于点N.连接CP
CQ CM CN
1,点D、E是BC边的三等分点, F、G是AC边的三等分点,
如图，ABC的面积为
那么四边形JKIH的面积是多少?
占
八
、
、
连接CK、CI、CJ .
根据燕尾定理，S ACK : S ABK CD : BD 1:
所以S ACK: S ABK : S CBK 1:2:4，那么S ACK
S
ABK : S
1
1 2 4
CBK
1
7
AG:CG 1:2，
1
—S ACK
3
S AGK
1
21
类似分析可得S AGI 2
15
又S ABJ : S CBJ AF : CF 2:1，S ABJ : S ACJ BD : CD 2:1 ，可得S ACJ
那么，S CGKJ
丄丄17
4 21 84
根据对称性，可知四边形CEHJ
S
CGKJ
2 S
AGI
S
ABE
17
84
的面积也为17，那么四边形
84
1 61 61 9
1 61，所以四边形JKIH的面积为1 °—
3 70 70 70
JKIH 周围的图形的面积之和为
_2
15
【例29】右图，△ABC中，G是AC的中点, D、E、F是BC边上的四等分点, AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知△ ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ ABC
的面积是多少平方厘米?
影部分面积
【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！
令BI 与CD 的交点为 M AF 与CD 的交点为N, BI 与AF 的交点为P, BI 与CE 的交点为Q 连接 AM
BN CP
⑴求s 四边形ADMI :在△ ABC 中，根据燕尾定理，
同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是
△ ABC
面积的-
6
⑵求S 五边形DNPQE :在△ ABC 中，根据燕尾定理
S A ABM : S A CBM AI : CI 1: 2 S A ACM : S A CBM
AD : BD 1:2 设S A ABM
1 （
份），则 S A CBM
2
（份），S A
ACM
1（份）, S
A ABC
4（份）,
所以 S A ABM S A ACM -
S
S A ABC ,
所以S A ADM
-S
S A ABM 3
S A ABC , S A AIM 12
所以S 四边形ADMI （— 12 —）S A
ABC
12 -S S A ABC ‘ 6
S A ABC , 12
S
A ABN : S
A ACN
BF : CF
1: 2 S
A ACN : S
A BCN AD : BD 1:2,
所以S A ADN
1S S A ABN - - 1 S A ABC — S A ABC ,冋理 S A BEQ 1S S A ABC
3 3 7 21
21
在A ABC 中, 根据燕尾定理 S A ABP : S A ACP BF :CF 1:2, S A ABP : S A CBP AI
: CI
1: 2
【解析】 连接CM 、CN •
根据燕尾定理， 1
S
S A ABC
5
再根据燕尾定理, S\ ABM
以AN:NF
4:3
S=CGN
根据题意，有 【例30】如图，面积为 S
A ABN : S
A CBN
那么
S
A AFC
-S A ABC
5
S A ANG
S\ AFC
AG ：GC AG : GC 5 1
S
S
A ABC
7 4
2 S A ABC 28
28S
7.2， 1:1，
1:1 △ ABC -
BD ：CD 1:3，所以
，所以 S A ABN : S A FBN
S
A CBN : S
A FBN
4:3，所
所以
可得S A ABC
336（平方厘米）
l 的三角形 ABC 中, D E 、F 、G H 、 I 分别是AB BC CA 的三等分点，求阴
S A ABM : S A CBM
S
A ABM : S
A ACM
【解析】S
A BDE:S A ABC(BD BE):(BA BC)(11):(23)1:6,
S
A CEF:S A ABC (CE CF):(C
B CA)(13):(24)3:8
S\ ADF:S A ABC (AD AF):(AB AC)(21):(34)1:6
设S A ABC 24份，则S A BDE 4 份，S A ADF4
份，
S A CEF 9 份，S A DEF 24 4 4 9 7
份，
恰好是7平方厘米，所以S A ABC24平方厘米
练习2. 如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA AB, CB BF , DC CG , HD DA，求四边形ABCD的面积.
所以
1
S A ABP—S A ABC
5
所
S
五边形DNPQE S A ABP S A ADN S A BEP
111
S A ABC
11
S
S A ABC
5 21 21105
同理另外两个五边形面积是△ ABC面积的11，所以S
阴影1
1
-3
11313
105610570
BC CA的三等分点，求中课后练习:
在厶ABC中根据燕尾定
理，
S A ABR :S A ACR BG:CG.2:1 ,
S\ ABR : S A CBR AI : CI1:2
所以S A ABR-
S A
ABC，
同理S
2
S
A ACS
S
A
ABC，
S A C QB
2
S
S
A ABC
777
所以S A RQS 1
2 22-，同理S\
MNP
1
7 7777
根据容斥原
理，
和上题结果S
六边形
11131
777010
练习1.已知△ DEF的面积为7平方厘米, BE CE, AD 2BD,CF 3AF，求△ ABC的面积.
D
E、
F、G H、I分别是AB
【例31】如图，面积为I的三角形ABC中, 心
六边形面积•
CR
【解析】设深黑色六个三角形的顶点分别为P、S、M Q连接
N
、
R
【解
析】
练习3.
【解
析】
练习4.
D
B
C G
D
A B
F
连接BD •由共角定理得S A BCD : S A CGF
冋理S A ABD : S A AHE1:2，即S A AHE
所以S A AHE S A CGF2(S A CBD
(CD CB)：(CG
2 S A ABD
S
A ADB) 2S H边形ABCD
连接AC，同理可以得到S A DHG
S
四边形EFGH AHE S A C GF S A HDG
S A
BEF
S A BEF
所以S四边形ABCD 66 5 13.2平方米
正方形ABCD的面积是120平方厘米,
面积是 _____ 平方厘米.
2S
四边形ABCD
S
四边形ABCD
CF) 1：2，即S A CGF
5S
四边形ABCD
2S A
CDB
E是AB的中点，F是BC的中点，四边形
EBG和CHF的面积.
由题意可得到：EG:GC EB:CD 1:2，所以可得：S EBG丄S BCE
3
欲求四边形BGHF的面积须求出
将AB、DF延长交于M点，可得:
BM : DC MF : FD BF :FC 1:1 ,
1
而EH : HC EM : CD (—AB AB): CD 2 3: 2，得CH -CE
BGHF 的
2255
S 1
S BCE
】AB BC112030
224
窃边形BGHF S EBC
!S
EBC
!S
EBC
Z S
S EBC
3515
1 1
2 1
而CF — BC，所以S CHF —_ S BCE — S BCE
本题也可以用蝶形定理来做，连接EF ,确定
7
30 14 •
15
H的位置（也就是FH : HD），同样也能解出.
如图，已知AB AE
S
ABC
S
ACE
S
CDE ——
4cm , BC DC ,BAE BCD 90 , AC 10cm ,则
2
cm。