中考数学专题总复习专题十一四边形的综合应用试题

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中考数学压轴题专项训练：四边形的综合(含答案)

中考数学压轴题专项训练：四边形的综合(含答案)2020年数学中考压轴题专项训练：四边形的综合1.如图，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，且AB＝AD+BC，E是DC的中点，连结BE并延长交AD的延长线于G。

1) 证明：因为 AD∥BC，所以∠DGE＝∠XXX，∠GDE＝∠BCE。

又因为 E 是 DC 的中点，即 DE＝CE，所以△DEG≌△CEB（AAS），从而 DG＝BC。

2) 解：当 F 运动到 AF＝AD 时，FD∥BG。

3) 解：结论：FH＝HD。

因为 GE＝BG，又因为△ABG为等腰直角三角形，所以 AE ⊥ BG。

由于 FD∥BG，所以 AE ⊥ FD。

又因为△AFD 为等腰直角三角形，所以 FH＝HD。

2.如图，在矩形ABCD中，过 BD 的中点 O 作 EF⊥BD，分别与 AB、CD 交于点 E、F。

连接 DE、BF。

1) 证明：因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AB∥CD。

因此∠DFO＝∠BEO，又因为∠DOF＝∠EOB 且 OD＝OB，所以△DOF≌△BOE（AAS），从而 DF＝BE。

因此四边形BEDF 是平行四边形。

又因为 EF⊥BD，所以四边形 BEDF 是菱形。

2) 解：因为 DM＝AM，DO＝OB，所以 OM∥AB，AB＝2OM＝8.设 DE＝EB＝x，在直角三角形 ADE 中，有 x^2＝4^2+（8﹣x）^2，解得 x＝5.因此 ON＝BE＝5√2.3.(1) 如图1，四边形 EFGH 中，FE＝EH，∠EFG+∠EHG＝180°，点 A，B 分别在边 FG，GH 上，且∠AEB＝∠FEH，求证：AB＝XXX。

2) 如图2，四边形 EFGH 中，FE＝EH，点 M 在边 EH 上，连接 FM，EN 平分∠FEH 交 FM 于点 N，∠ENM＝α，∠FGH＝180°﹣2α，连接 GN，HN。

①找出与 NH 相等的线段，并加以证明。

中考数学第一轮复习专题训练之十一多边形及四边形含答案

中考数学第一轮复习专题训练之十一多边形及四边形含答案2012年中考数学第一轮复习专题训练（十一）多边形及四边形一、填空题：（每题 3 分，共 36 分）１、五边形的内角和为＿＿＿＿。

２、在□ABCD 中，∠A ＋∠C ＝200°，则∠A ＝＿＿＿＿。

３、矩形的两边长分别是 3cm 和 4cm ，则对角线长＿＿＿＿cm 。

４、等腰梯形的中位线长为 6，腰长为 5，则周长为＿＿＿＿。

５、如果矩形一条较短的边是 5，两条对角线的夹角是 60°，则对角线长是＿＿＿＿。

６、菱形两条对角线的长分别是 12 和 16，则它的边长为＿＿＿＿。

７、如图，正方形的周长为 8cm ，则矩形EFC 的周长为＿＿＿＿。

８、两条对角线＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的四边形是正方形。

９、等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为 15cm ，19cm ，则它的腰长为＿＿＿＿＿。

10、顺次连续四边形ABCD 各边的中点，组成＿A E FB GCD A BE C D F＿＿＿四边形。

11、如图，一张矩形的纸片，要折出一个正方形，只要把一个角沿折痕AE 翻折上去，使AB 和AD边上的AF 重合，则四边形ABEF就是一个正方形，判断的根据是＿＿＿＿＿＿＿＿。

12、如图，请写出等腰梯形ABCD（AB ∥CD ）特有而一般梯形不具有的三个特征：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

二、选择题：（每题 4 分，共 24 分）１、下列多边形中，不能铺满地面的是（）A 、正三角形B 、正方形C 、正五边形D 、正六边形２、一个多边形的内角和等于外角和的 2 倍，则它的边数是（）A 、5B 、6C 、7D 、8 ３、四个内角都相等的四边形是（）A 、矩形B 、菱形C 、正方形D 、平行四边形４、符合下列条件的四边形不一定是菱形的是（）AB C DA 、四边都相等B 、两组邻边分别相等C 、对角线互相垂直平分D 、两条对角线分别平分一组对角５、已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝CD ，BD ⊥CD ，则∠C ＝（）A 、30°B 、45°C 、60°D 、75° ６、如图，延长正方形ABCD 的一边BC 至E ，使CE ＝AC ，连结AE 交CD 于F ，则∠AFC 的度数是（）A 、112.5°B 、120°C 、122.5°D 、135°三、解答题：（每题 9 分，共 54 分）１、已知五边形ABCD 中，AE ∥CD ，∠A ＝100°，∠B ＝120°，求∠C 的度数。

中考数学复习《四边形》专题综合训练题含答案试卷分析解析

届初三数学中考复习四边形专题复习综合训练题1. 如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是BC 边上的动点(点M 不与B 、C 重合)，CN ⊥DM ，CN 与AB 交于点N ，连结OM 、ON 、MN .下列五个结论：①△CNB ≌△DMC ；②△CON ≌△DOM ；③△OMN ∽△OAD ；④AN 2＋CM 2＝MN 2；⑤若AB ＝2，则S △OMN 的最小值是12，其中正确结论的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．52. 矩形具有而菱形不具有的性质是( )A ．两组对边分别平行B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．两组对角分别相等A ．一个四边形如果既是矩形又是菱形，那么它一定是正方形B ．有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形是正方形C ．对角线相等的菱形是正方形D ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形4．若顺次连结四边形ABCD 各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．对角线互相垂直的四边形D ．对角线相等的四边形5. 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O 点，E ，F 分别是AB ，BC 边上的中点，连结EF.若EF ＝3，BD ＝4，则菱形ABCD 的周长为( )A ．4B ．4 6C ．47D ．286．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连结EF，则△AEF的面积是( )A．4 3 B．3 3 C．2 3 D.37. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是( D )A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF C．EF＝2 5 D．AF＝EF8. 在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别是6和8，则菱形的周长是____，面积是____．9. 如图，已知矩形ABCD的对角线长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的周长等于____cm.10. 如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，P是对角线BC上一动点，则PE＋PC的最小值是____．11. 如图，平行四边形ABCD中，AD＝5 cm，AB⊥BD，点O是两条对角线的交点，OD＝2，则AB＝____cm.12. 如图：在ABCD中，E,F是对角线AC上的两个点；G,H是对角线B,D上的两点.已知AE=CF,DG=BH,求证：四边形EHFG是平行四边形.13. 已知：如图，E,F分别是平行四边形ABCD 的边AD,BC的中点。

中考数学压轴题专项训练：四边形的综合(含答案)

2020年数学中考压轴题专项训练：四边形的综合1．如图，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，且AB＝AD+BC，E是DC的中点，连结BE并延长交AD的延长线于G．（1）求证：DG＝BC；（2）F是AB边上的动点，当F点在什么位置时，FD∥BG；说明理由．（3）在（2）的条件下，连结AE交FD于H，FH与HD长度关系如何？说明理由．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DGE＝∠CBE，∠GDE＝∠BCE，∵E是DC的中点，即DE＝CE，∴△DEG≌△CEB（AAS），∴DG＝BC．（2）解：当F运动到AF＝AD时，FD∥BG．理由：由（1）知DG＝BC，∵AB＝AD+BC，AF＝AD，∴BF＝BC＝DG，∴AB＝AG，∵∠BAG＝90°，∴∠AFD＝∠ABG＝45°，∴FD∥BG．（3）解：结论：FH＝HD．理由：由（1）知GE＝BG，又由（2）知△ABG为等腰直角三角形，所以AE⊥BG，∵FD∥BG，∴AE⊥FD，∵△AFD为等腰直角三角形，∴FH＝HD．2．如图，在矩形ABCD中，过BD的中点O作EF⊥BD，分别与AB、CD交于点E、F．连接DE、BF．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若M是AD中点，联结OM与DE交于点N，AD＝OM＝4，则ON的长是多少？（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DFO＝∠BEO，∵∠DOF＝∠EOB，OD＝OB，∴△DOF≌△BOE（AAS），∴DF＝BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．（2）解：∵DM＝AM，DO＝OB，∴OM∥AB，AB＝2OM＝8，∴DN＝EN，ON＝BE，设DE＝EB＝x，在Rt△ADE中，则有x2＝42+（8﹣x）2，解得x＝5，∴ON＝．3．（1）如图1，四边形EFGH中，FE＝EH，∠EFG+∠EHG＝180°，点A，B分别在边FG，GH 上，且∠AEB＝∠FEH，求证：AB＝AF+BH．（2）如图2，四边形EFGH中，FE＝EH，点M在边EH上，连接FM，EN平分∠FEH交FM 于点N，∠ENM＝α，∠FGH＝180°﹣2α，连接GN，HN．①找出图中与NH相等的线段，并加以证明；②求∠NGH的度数（用含α的式子表示）．（1）证明：如图1中，延长BH到M，使得HM＝FA，连接EM．∵∠F+∠EHG＝180°，∠EHG+∠EHM＝180°，∴∠F＝∠EHM，∵AE＝HE，FA＝HM，∴△EFA≌△EHM（SAS），∴EA＝EM，∠FEA＝∠HEM，∵∠EAB＝∠FEH，∴∠FEA+∠BEH＝∠HEM+∠BEH＝∠BEM＝∠FEH，∴∠AEB＝∠BEM，∵BE＝BE，EA＝EM，∴△AEB≌△MEB（SAS），∴AB＝BM，∵BM＝BH+HM＝BH+AF，∴AB＝AF+BH．（2）解：①如图2中，结论：NH＝FN．理由：∵NE平分∠FEH，∴∠FEN＝∠HEN，∵EF＝EH，EN＝EN，∴△ENF≌△ENH（SAS），∴NH＝FN．②∵△ENF≌△ENH，∴∠ENF＝∠ENH，∵∠ENM＝α，∴∠ENF＝∠ENH＝180°﹣α，∴∠MNH＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α，∵∠FGH＝180°﹣2α，∴∠MNH＝∠FGH，∵∠MNH+∠FNH＝180°，∴∠FGH+∠FNH＝180°，∴F，G，H，N四点共圆，∵NH＝NF，∴＝，∴∠NGH＝∠NGF＝∠FGH＝90°﹣α．4．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点M、N分别是边AC、AB上的动点，连接MN，将△AMN沿MN所在直线翻折，翻折后点A的对应点为A′．（1）如图1，若点A′恰好落在边AB上，且AN＝AC，求AM的长；（2）如图2，若点A′恰好落在边BC上，且A′N∥AC．①试判断四边形AMA′N的形状并说明理由；②求AM、MN的长；（3）如图3，设线段NM、BC的延长线交于点P，当且时，求CP的长．解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，∵∠A＝∠A，∠ANM＝∠C＝90°，∴△ANM∽△ACB，∴＝，∴＝，∴AM＝．（2）①如图2中，∵NA′∥AC，∴∠AMN＝∠NMA′，由翻折可知：MA＝MA′，∠AMN＝∠NMA′，∴∠MNA′＝∠A′MN，∴A′N＝A′M，∴AM＝A′N，∵AM∥A′N，∴四边形AMA′N是平行四边形，∵MA＝MA′，∴四边形AMA′N是菱形．②连接AA′交MN于O．设AM＝MA′＝x，∵MA′∥AB，∴＝，∴＝，解得x＝，∴AM＝，∴CM＝，∴CA′＝＝＝，∴AA′＝＝＝，∵四边形AMA′N是菱形，∴AA′⊥MN，OM＝ON，OA＝OA′＝，∴OM＝＝＝，∴MN＝2OM＝．（3）如图3中，作NH⊥BC于H．∵NH∥AC，∴＝＝∴＝＝∴NH＝，BH＝，∴CH＝BC﹣BH＝3﹣＝，∴AM＝AC＝，∴CM＝AC﹣AM＝4﹣＝，∵CM∥NH，∴＝，∴＝，∴PC＝1．5．如图，四边形ABCD为平行四边形，AD＝1，AB＝3，∠DAB＝60°，点E为边CD上一动点，过点C作AE的垂线交AE的延长线于点F．（1）求∠D的度数；（2）若点E为CD的中点，求EF的值；（3）当点E在线段CD上运动时，是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CB，∠ADC+∠DAB＝180°，∵∠DAB＝60°，∴∠ADC＝120°．（2）如图1中，作AH⊥CD交CD的延长线于H．在Rt△ADH中，∵∠H＝90°，∠ADH＝60°，AD＝2，∴AH＝AD•sin60°＝，DH＝AD•cos60°＝，∵DE＝EC＝，∴EH＝DH+DE＝2，∴AE＝＝＝，∵CF⊥AF，∴∠F＝∠H＝90°，∵∠AEH＝∠CEF，∴△AEH∽△CEF，∴＝，∴＝，∴EF＝．（3）如图2中，作△AFC的外接圆⊙O，作AH⊥CD交CD的郯城县于H，作OK⊥CD于K，交⊙O于M，作FP∥CD交AD的延长线于P，作MN∥CD交AD的延长线于M，作NQ⊥CD于Q．∵DE∥PF，∴＝，∵AD是定值，∴PA定值最大时，定值最大，观察图象可知，当点F与点M重合时，PA定值最大，最大值＝AN的长，由（2）可知，AH＝，CH＝，∠H＝90°，∴AC＝＝＝，∴OM＝AC＝，∵OK∥AH，AO＝OC，∴KH＝KC，∴OK＝＝，∴MK＝NQ＝﹣，在Rt△NDQ中，DN＝＝＝﹣，∴AN＝AD+DN＝+，∴的最大值＝＝+．6．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P是射线BC上一动点（点P不与点B重合），连接AP、DP，点E是线段AP上一点，且∠ADE＝∠APD，连接BE．（1）求证：AD2＝AE•AP；（2）求证BE⊥AP；（3）直接写出的最小值．（1）证明：∵∠DAE＝∠PAD，∠ADE＝∠APD，∴△ADE∽△APD，∴＝，∴AD2＝AE•AP（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ABC＝90°，∴AB2＝AE•AP，∴＝，∵∠BAE＝∠PAB，∴△ABE∽△APB，∴∠AEB＝∠ABP＝90°，∴BE⊥AP．（3）∵△ADE∽△APD，∴＝，∴＝，∵AD＝2，∴DE最小时，的值最小，如图，作△ABE的外接圆⊙O，连接OD，OE，易知OE＝1，OD＝，∴DE≥OD﹣OE＝﹣1，∴DE的最小值为﹣1，∴的最小值＝．7．在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE．（1）如图1，点F为AE的中点，连接CF．已知tan∠FBE＝，BF＝5，求CF的长；（2）如图2，过点E作AE的垂线交CD于点G，交AB的延长线于点H，点O为对角线AC 的中点，连接GO并延长交AB于点M，求证：AM+BH＝BE．解：（1）Rt△ABE中，BF为中线，BF＝5，∴AE＝10，FE＝5，作FP⊥BC于点P，Rt△BFP中，，∴BP＝3，FP＝4，在等腰三角形△BFE中，BE＝2BP＝6，由勾股定理求得，∴CP＝8﹣3＝5，∴；（2）∵∠ACD＝∠BAC＝45°，AO＝CO，∠AOM＝∠COG，∴证明△AMO≌△CGO（ASA），∴AM＝GC，过G作GP垂直AB于点P，得矩形BCGP，∴CG＝PB，∵AB＝PG，∠AEB＝∠H，∠ABE＝∠GPH，∴△ABE≌△GPH（ASA），∴BE＝PH＝PB+BH＝CG+BH＝AM+BH．8．阅读理解：如图1，若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，试在垂美四边形ABCD中探究AB2，CD2，AD2，BC2之间的关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连结CE、BG、GE、CE交BG于点N，交AB于点M．已知AC＝，AB＝2，求GE的长．解：（1）如图2，四边形ABCD是垂美四边形；理由如下：连接AC、BD交于点E，∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）猜想结论：AB2+CD2＝AD2+BC2，证明：如图1，在四边形ABCD中，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得：AB2+CD2＝AO2+BO2+OD2+OC2AD2+BC2＝AO2+BO2+OD2+OC2∴AB2+CD2＝AD2+BC2，（3）如图3，连接CG，BE，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，FMNG图 3EDCAB∴△GAB≌△CAE（SSS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠BMN＝90°，∴∠BNC＝90°，即BG⊥CE，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得：EG2+BC2＝CG2+BE2∵，AB＝2，∴BC＝1，，，∴EG2＝CG2+BE2﹣BC2＝6+8﹣2＝13，∴．9．已知：如图，长方形ABCD中，∠A＝∠B＝∠B＝∠D＝90°，AB＝CD＝4米，AD＝BC＝8米，点M是BC边的中点，点P从点A出发，以1米/秒的速度沿AB方向运动再过点B沿BM方向运动，到点M停止运动，点O以同样的速度同时从点D出发沿着DA方向运动，到点A停止运动，设点P运动的时间为x秒．（1）当x＝2秒时，线段AQ的长是 6 米；（2）当点P在线段AB上运动时，图中阴影部分的面积发生改变吗？请你作出判断并说明理由．（3）在点P，Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BP＝DQ？若存在，求出点P 的运动时间x的值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，∵DQ＝2，∴AQ＝AD﹣DQ＝8﹣2＝6，故答案为6．（2）结论：阴影部分的面积不会发生改变．理由：连结AM，作MH⊥AD于H．则四边形ABMH是矩形，MH＝AB＝4．∵S阴＝S△APM+S△AQM＝×x×4+（8﹣x）×4＝16，∴阴影面积不变；（3）当点P在线段AB上时，BP＝4﹣x，DQ＝x．∵BP＝DQ，∴4﹣x＝x，∴x＝3．当点P在线段BM上时，BP＝x﹣4，DQ＝x．∵BP＝DQ，∴x﹣4＝x，∴x＝6．所以当x＝3或6时，BP＝DQ．10．A，B，C，D是长方形纸片的四个顶点，点E、F、H分别是边AB、BC、AD上的三点，连结EF、FH．（1）将长方形纸片ABCD按图①所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，点B'在FC'上，则∠EFH的度数为90°；（2）将长方形纸片ABCD按图②所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，若∠B'FC'＝18°，求∠EFH的度数；（3）将长方形纸片ABCD按图③所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，若∠EFH＝m°，求∠B'FC'的度数为180°﹣2m°．解：（1）∵沿EF，FH折叠，∴∠BFE＝∠B'FE，∠CFH＝∠C'FH，∵点B′在FC′上，∴∠EFH＝（∠BFB'+∠CFC'）＝×180°＝90°，故答案为：90°；（2）∵沿EF，FH折叠，∴可设∠BFE＝∠B'FE＝x，∠C'FH＝∠CFH＝y，∵2x+18°+2y＝180°，∴x+y＝81°，∴∠EFH＝x+18°+y＝99°；（3）∵沿EF，FH折叠，∴可设∠BFE＝∠B'FE＝x，∠C'FH＝∠CFH＝y，∴∠EFH＝180°﹣∠BFE﹣∠CFH＝180°﹣（x+y），即x+y＝180°﹣m°，又∵∠EFH＝∠EFB'﹣∠B'FC'+∠C'FH＝x﹣∠B'FC'+y，∴∠B'FC'＝（x+y）﹣∠EFH＝180°﹣m°﹣m°＝180°﹣2m°，故答案为：180°﹣2m°．11．勾股定理是数学史上非常重要的一个定理．早在2000多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法．在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI．（1）连接BI、CE，求证：△ABI≌△AEC；（2）过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N．①试说明四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等；②请直接写出图中与正方形BCFG的面积相等的四边形．（3）由第（2）题可得：正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝正方形ACHI的面积，即在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2．（1）证明：∵四边形ABDE、四边形ACHI是正方形，∴AB＝AE，AC＝AI，∠BAE＝∠CAI＝90°，∴∠EAC＝∠BAI，在△ABI和△AEC中，，∴△ABI≌△AEC（SAS）；（2）①证明：∵BM⊥AC，AI⊥AC，∴BM∥AI，∴四边形AMNI的面积＝2△ABI的面积，同理：正方形ABDE的面积＝2△AEC的面积，又∵△ABI≌△AEC，∴四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等．②解：四边形CMNH与正方形BCFG的面积相等，理由如下：∵Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝正方形ACHI的面积，由①得：四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等，∴四边形CMNH与正方形BCFG的面积相等；（3）解：由（2）得：正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝正方形ACHI的面积；即在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2；故答案为：正方形ACHI，AC2．12．在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D 落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为18 °．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG 的长．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵∠BAC＝54°，∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°，由折叠的性质得：∠DAE＝∠FAE，∴∠DAE＝∠DAC＝18°；故答案为：18；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，由折叠的性质得：AF＝AD＝10，EF＝ED，∴BF＝＝＝8，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+x2＝（6﹣x）2，解得：x＝，即CE的长为；（3）连接EG，如图3所示：∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，由折叠的性质得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE，∴∠EFG＝90°＝∠C，在Rt△CEG和△FEG中，，∴Rt△CEG≌△FEG（HL），∴CG＝FG，设CG＝FG＝y，则AG＝AF+FG＝10+y，BG＝BC﹣CG＝10﹣y，在Rt△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2＝（10+y）2，解得：y＝，即CG的长为．13．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，点P从点A出发，以每秒一个单位的速度沿A→B→C的方向运动；同时点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿B→C→D的方向运动，当其中一点到达终点后两点都停止运动．设两点运动的时间为t秒．（1）当t＝7 时，两点停止运动；（2）设△BPQ的面积面积为S（平方单位）①求S与t之间的函数关系式；②求t为何值时，△BPQ面积最大，最大面积是多少？解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝6cm，∴BC+AD＝14cm，∴t＝14÷2＝7，故答案为7．（2）①当0＜t＜4时，S＝•（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t．当4≤t＜6时，S＝•（6﹣t）×8＝﹣4t+24．当6＜t≤7时，S＝（t﹣6）•（2t﹣8）＝t2﹣10t+24．②当0＜t＜4时，S＝•（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴t＝3时，△PBQ的面积最大，最小值为9．当4≤t＜6时，S＝•（6﹣t）×8＝﹣4t+24，∵﹣4＜0，∴t＝4时，△PBQ的面积最大，最大值为8，当6＜t≤7时，S＝（t﹣6）•（2t﹣8）＝t2﹣10t+24＝（t﹣5）2﹣1，t＝7时，△PBQ的面积最大，最大值为3，综上所述，t＝3时，△PBQ的面积最大，最大值为9．14．综合实践：问题情境数学活动课上，老师和同学们在正方形中利用旋转变换探究线段之间的关系探究过程如下所示：如图1，在正方形ABCD中，点E为边BC的中点．将△DCE以点D为旋转中心，顺时针方向旋转，当点E的对应点E'落在边AB上时，连接CE'．“兴趣小组”发现的结论是：①AE'＝C'E'；“卓越小组”发现的结论是：②DE＝CE'，DE⊥CE'．解决问题（1）请你证明“兴趣小组”和“卓越小组”发现的结论；拓展探究证明完“兴趣小组”和“卓越小组”发现的结论后，“智慧小组”提出如下问题：如图2，连接CC'，若正方形ABCD的边长为2，求出CC'的长度．（2）请你帮助智慧小组写出线段CC'的长度．（直接写出结论即可）（1）证明：①∵△DE'C'由△DEC旋转得到，∴DC'＝DC，∠C'＝∠DCE＝90°．又∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝90°，∴DA＝DC'，∵DE'＝DE'，∴Rt△DAE≌Rt△DC'E′（HL），∴AE'＝C'E'．②∵点E为BC中点，C'E'＝AE'＝CE，∴点E'为AB的中点．∴BE′＝CE，又∵DC＝BC，∠DCE＝∠CBE'＝90°，∴△DCE≌△CBE'（SAS），∴DE＝CE'，∠CDE＝∠E'CB，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠E'CB+∠CED＝90°，∴DE⊥CE'．（2）解：如图2中，作C′M⊥CD于M，交AB于N．∵AB∥CD，C′M⊥CD，∴C′M⊥AB，∴∠DMC′＝∠C′NE′＝∠DC′E′＝90°，∴∠MDC′+∠DC′M＝90°，∠DC′M+∠E′CN＝90°，∴∠MDC′＝∠E′C′N，∴△DMC′∽△C′NE′，∴＝＝＝2，设NE′＝x，则AM＝AN＝1+x，C′M＝2x，C′N＝（1+x），∵MN＝AD＝2，∴2x+（1+x）＝2，解得x＝，∴CM＝2﹣（1+）＝，MC＝，∴CC′＝＝＝．15．在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN的两边分别与AB，AC相交于M，N两点，且DM＝DN．（1）如图甲，若∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝9，∠MDN＝120°，ND∥AB．①写出∠MDA＝90 °，AB的长是18 ．②求四边形AMDN的周长．（2）如图乙，过D作DF⊥AC于F，先补全图乙再证明AM+AN＝2AF．解：（1）①∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，∵ND∥AB，∴∠NDA＝∠BAD＝30°，∴∠MDA＝∠MDN﹣∠NDA＝120°﹣30°＝90°，∵∠C＝90°，∠BAC＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AC＝AB，∴AB＝2AC＝18，故答案为：90，18；②∵∠ABC＝30°，ND∥AB，∴∠NDC＝30°，又∵∠MDN＝120°，∴∠MDB＝30°，∴∠MAD＝∠NAD＝∠ADN＝∠MBD＝30°，∴BM＝MD，DN＝AN，∵DM＝DN，∴BM＝MD＝DN＝AN，在Rt△ADM中，设MD＝x，则AM＝2x，BM＝MD＝DN＝AN＝x，∵AB＝18，∴3x＝18，∴x＝6，∴AM＝12，MD＝DN＝AN＝6，∴四边形AMDN的周长＝AM+MD+DN+AN＝12+6+6+6＝30；（2）补全图如图乙所示：证明：过点D作DE⊥AB于E，如图丙所示：∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，∴∠DEM＝∠DFN＝90°，DE＝DF，在Rt△DEA和Rt△DFA中，，∴Rt△DEA≌Rt△DFA（HL），∴AE＝AF，在Rt△DEM和Rt△DFN中，，∴Rt△DEM≌Rt△DFN（HL），∴EM＝FN，∴AM+AN＝AE+EM+AF﹣NF＝2AF．。

(四川版)中考数学专题总复习专题十一四边形的综合应用试题

专题十一四边形的综合应用(针对四川中考特殊四边形的综合应用)1．(导学号14952502)(2017·广元预测)在▱ABCD中，点P和点Q是直线BD上不重合的两个动点，AP∥CQ，AD＝BD.(1)如图①，求证：BP＋BQ＝BC；(2)请直接写出图②，图③中BP，BQ，BC三者之间的数量关系，不需要证明；(3)在(1)和(2)的条件下，若DQ＝1，DP＝3，则BC＝__2或4__．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵AP∥CQ，∴∠APQ＝∠CQB，∴△ADP≌△CBQ，∴DP＝BQ，∵AD＝BD，AD＝BC，∴BD＝BC，∵BD ＝BP＋DP，∴BC＝BP＋BQ(2)图②，BQ－BP＝BC，理由：∵AP∥CQ，∴∠APB＝∠CQD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠ABP＝∠CDQ，∵AB＝CD，∴△ABP≌△CDQ，∴BP＝DQ，∴BC＝AD＝BD＝BQ－DQ＝BQ－BP；图③，BP－BQ＝BC，理由：同理得△ADP≌△CBQ，∴PD＝BQ，∴BC＝AD＝BD＝BP－PD＝BP－BQ(3)图①，BC＝BP＋BQ＝DQ＋PD＝1＋3＝4，图②，BC＝BQ－BP＝PD－DQ＝3－1＝2，∴BC＝2或42．(导学号14952503)(2016·南平)已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点(其中EP＜PD)．(1)如图1，若点F在CD边上(不与D重合)，将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD，PF分别交射线DA于点H，G.①求证：PG＝PF；②探究：DF，DG，DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论；(2)拓展：如图2，若点F在CD的延长线上(不与D重合)，过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为(1)中DF，DG，DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．解：(1)①∵∠GPF＝∠HPD＝90°，∠ADC＝90°，∴∠GPH＝∠FPD，∵DE平分∠ADC，∴∠PDF ＝∠ADP ＝45°，∴△HPD 为等腰直角三角形，∴∠DHP ＝∠PDF ＝45°，在△HPG 和△DPF中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠PHG ＝∠PDF ，PH ＝PD ，∠GPH ＝∠FPD ，∴△HPG ≌△DPF (ASA )，∴PG ＝PF ；②结论：DG ＋DF ＝2DP ，由①知，△HPD 为等腰直角三角形，△HPG ≌△DPF ，∴HD ＝2DP ，HG ＝DF ，∴HD ＝HG ＋DG ＝DF ＋DG ，∴DG ＋DF ＝2DP (2)不成立，数量关系式应为：DG －DF ＝2DP ，如图，过点P 作PH⊥PD 交射线DA 于点H ，∵PF ⊥PG ，∴∠GPF ＝∠HPD ＝90°，∴∠GPH ＝∠FPD ，∵DE 平分∠ADC ，且在矩形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∴∠HDP ＝∠EDC ＝45°，∴△HPD 为等腰直角三角形，∴∠DHP ＝∠EDC ＝45°，且PH ＝PD ，HD ＝2DP ，∴∠GHP ＝∠FDP ＝180°－45°＝135°，在△HPG 和△DPF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GPH ＝∠FPD ，∠GHP ＝∠FDP ，PH ＝PD ，∴△HPG ≌△DPF ，∴HG ＝DF ，∴DH ＝DG －HG＝DG －DF ，∴DG －DF ＝2DP3．(导学号 14952504)(2017·自贡预测)如图①，AD 为等腰直角△ABC 的高，点A 和点C 分别在正方形DEFG 的边DG 和DE 上，连接BG ，AE.(1)求证：BG ＝AE ；(2)将正方形DEFG 绕点D 旋转，当线段EG 经过点A 时(如图②所示)．①求证：BG⊥GE；②设DG 与AB 交于点M ，若AG∶AE＝3∶4，求GM MD的值．解：(1)∵AD 为等腰直角△ABC 的高，∴AD ＝BD ，∵四边形DEFG 为正方形，∴∠GDE ＝90°，DG ＝DE ，在△BDG 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD ，∠BDG ＝∠ADE ，DG ＝DE ，∴△BDG ≌△ADE (SAS )，∴BG ＝AE (2)①如图，连接AD ，∵四边形DEFG 为正方形，∴△DEG 为等腰直角三角形，∴∠1＝∠2＝45°，由(1)得△BDG≌△ADE ，∴∠3＝∠2＝45°，∴∠1＋∠3＝45°＋45°＝90°，即∠BGE ＝90°，∴BG ⊥GE ；②设AG ＝3x ，则AE ＝4x ，即GE ＝7x ，∴DG ＝22GE ＝722x ，∵△BDG ≌△ADE ，∴BG ＝AE ＝4x ，在Rt △BGA 中，AB ＝BG 2＋AG 2＝（4x ）2＋（3x ）2＝5x ，∵△ABD为等腰直角三角形，∴∠4＝45°，BD ＝22AB ＝522x ，∴∠3＝∠4，而∠BDM ＝∠GDB ，∴△DBM ∽△DGB ，∴BD ∶DG ＝DM∶BD ，即522x∶722x ＝DM ∶522x ，解得DM ＝25214x ，∴GM ＝DG －DM ＝722x －25214x ＝1227x ，∴GM MD ＝1227x 25214x ＝24254．(导学号 14952505)(2016·扬州)已知正方形ABCD 的边长为4，一个以点A 为顶点的45°角绕点A 旋转，角的两边分别与边BC ，DC 的延长线交于点E ，F ，连接EF.设CE ＝a ，CF ＝b.(1)如图1，当∠EAF 被对角线AC 平分时，求a ，b 的值；(2)当△AEF 是直角三角形时，求a ，b 的值；(3)如图3，探索∠EAF 绕点A 旋转的过程中a ，b 满足的关系式，并说明理由．解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCF ＝∠DCE ＝90°，∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ACB ＝∠ACD ＝45°，∴∠ACF ＝∠ACE ，∵∠EAF 被对角线AC 平分，∴∠CAF ＝∠CAE ，在△ACF 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACF ＝∠ACE ，AC ＝AC ，∠CAF ＝∠CAE ，∴△ACF ≌△ACE (ASA )，∴CF ＝CE ，∵CE ＝a ，CF ＝b ，∴a ＝b ，又∵△ACF≌△ACE ，∴AF ＝AE ，∴∠AEF ＝∠AFE ，∵∠EAF ＝45°，∴∠AEF ＝∠AFE ＝67.5°，∵CE ＝CF ，∠ECF ＝90°，∴∠AEC ＝∠AFC ＝22.5°，∵∠CAF ＝∠CAE ＝22.5°，∴∠CAE ＝∠CEA ，∴CE ＝AC ＝42，即a ＝b ＝42 (2)当△AEF 是直角三角形时，①当∠AEF＝90°时，∵∠EAF ＝45°，∴∠AFE ＝45°，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴AF 2＝2FE 2＝2(CE2＋CF 2)，AF 2＝2AE 2＝2(AB 2＋BE 2)，∴2(CE 2＋CF 2)＝2(AB 2＋BE 2)，∴CE 2＋CF 2＝AB 2＋BE 2，∴CE 2＋CF 2＝16＋(4＋CE )2，∴CF 2＝8(CE ＋4)①，∵∠AEB ＋∠BEF ＝90°，∠AEB ＋∠BAE ＝90°，∴∠BEF ＝∠BAE ，∴△ABE ∽△ECF ，∴AB CE ＝BE CF ，∴4CE ＝CE ＋4CF，∴4CF ＝CE (CE ＋4)②，联立①②得，CE ＝4，CF ＝8，∴a ＝4，b ＝8；②当∠AFE ＝90°时，同①的方法得，CF ＝4，CE ＝8，∴a ＝8，b ＝4(3)ab ＝32，理由：如图，∵AB ∥CD ，∴∠BAG ＝∠AFC ，∵∠BAC ＝45°，∴∠BAG ＋∠CAF ＝45°，∴∠AFC ＋∠CAF ＝45°，∵∠AFC ＋∠AEC ＝180°－(∠CFE ＋∠CEF )－∠EAF ＝180°－90°－45°＝45°，∴∠CAF ＝∠AEC ，∵∠ACF ＝∠ACE ＝135°，∴△ACF ∽△ECA ，∴AC EC ＝CF AC，∴EC ×CF ＝AC 2，即ab ＝2AB 2＝32，∴ab ＝325．(导学号 14952506)(2017·南充预测)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，点A 在第一象限，点C 在第四象限，点B 在x 轴的正半轴上．∠OAB＝90°且OA ＝AB ，OB ，OC 的长分别是一元二次方程x 2－11x ＋30＝0的两个根(OB ＞OC)．(1)求点A 和点B 的坐标；(2)点P 是线段OB 上的一个动点(点P 不与点O ，B 重合)，过点P 的直线l 与y 轴平行，直线l 交边OA 或边AB 于点Q ，交边OC 或边BC 于点R.设点P 的横坐标为t ，线段QR 的长度为m.已知t ＝4时，直线l 恰好过点C .当0＜t ＜3时，求m 关于t 的函数关系式；(3)当m ＝3.5时，请直接写出点P 的坐标．解：(1)∵方程x 2－11x ＋30＝0的解为x 1＝5，x 2＝6，∴OB ＝6，OC ＝5，∴B 点坐标为(6，0)，作AM⊥x 轴于M ，如图，∵∠OAB ＝90°且OA ＝AB ，∴△AOB 为等腰直角三角形，∴OM ＝BM ＝AM ＝12OB ＝3，∴A 点坐标为(3，3) (2)作CN⊥x 轴于N ，如图，∵t ＝4时，直线l 恰好过点C ，∴ON ＝4，在Rt △OCN 中，CN ＝OC 2－ON 2＝52－42＝3，∴C 点坐标为(4，－3)，设直线OC 的解析式为y ＝kx ，把C (4，－3)代入得4k ＝－3，解得k ＝－ 34，∴直线OC 的解析式为y ＝－34x ，设直线OA 的解析式为y ＝ax ，把A (3，3)代入得3a ＝3，解得a ＝1，∴直线OA 的解析式为y ＝x ，∵P (t ，0)(0＜t ＜3)，∴Q (t ，t )，R (t ，－34t )，∴QR ＝t －(－34t )＝74t ，即m ＝74t (0＜t ＜3) (3)设直线AB 的解析式为y ＝px ＋q ，把A (3，3)，B (6，0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧3p ＋q ＝3，6p ＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－1，q ＝6.∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋6，同理可得直线BC 的解析式为y ＝32x －9，当0＜t ＜3时，m ＝74t ，若m ＝3.5，则74t ＝3.5，解得t ＝2，此时P 点坐标为(2，0)；当3≤t ＜4时，Q (t ，－t ＋6)，R (t ，－34t )，∴m ＝－t ＋6－(－34t )＝－14t ＋6，若m ＝3.5，则－14t ＋6＝3.5，解得t ＝10(不合题意，舍去)；当4≤t ＜6时，Q (t ，－t ＋6)，R (t ，32t －9)，∴m ＝－t ＋6－(32t －9)＝－52t ＋15，若m ＝3.5，则－52t ＋15＝3.5，解得t ＝235，此时P 点坐标为(235，0)，综上所述，满足条件的P 点坐标为(2，0)或(235，0)。

2024年中考数学专题复习：四边形综合

2024年中考数学专题复习：四边形综合一、选择题（本大题共10道小题）1. (2023绵阳)如图,在边长为3的正方形ABCD 中,∠CDE ＝30°,DE ⊥CF,则BF 的长是( ) A.1 B. 2 C. 3 D.22. (2023•芜湖模拟)如图所示,四边形ABCD 是正方形,G 是BC 上的一点,DE ⊥AG 于点E,BF ∥DE 且交AG 于点F.若3AB ＝5EF,则S 阴影:S 正方形ABCD 的值为( )A.5:9B.3:5C.17:25D.16:253. (2023·包头中考)如图,在△ABC 中,AB ＝AC,△DBC 和△ABC 关于直线BC 对称,连接AD,与BC 相交于点O,过点C 作CE ⊥CD,垂足为C,与AD 相交于点E,若AD ＝8,BC ＝6,则2OE ＋AE BD的值为( )A.43B.34C.53D.544. (2023·湖北武汉)七巧板是大家熟悉的一种益智玩具,用七巧板能拼出许多有趣的图案.小李将块等腰直角三角形硬纸板(如图①)切割七块,正好制成一副七巧板(如图②),已知AB=40cm,则图中阴影部分的面积为( )A.25cm 2B.3100cm 2C.50cm 2D.75cm 25. (2023·重庆中考)如图,正方形ABCD 的对角线AC,BD 交于点O,M 是边AD 上一点,连接OM,过点O 作ON ⊥OM,交CD 于点N.若四边形MOND 的面积是1,则AB 的长为( )A.1B. 2C.2D.2 26. (2023·广西玉林)一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形:a.两组对边分别相等b.一组对边平行且相等c.一组邻边相等d.一个角是直角顺次添加的条件:①a→c→d;②b→d→c;③a→b→c则正确的是( )A.仅①B.仅③C.①②D.②③7. (2023绍兴)如图,菱形ABCD中,∠B＝60°,点P从点B出发,沿折线BC－CD方向移动,移动到点D停止.在△ABP形状的变化过程中,依次出现的特殊三角形是( )第17题图A.直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B.直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D.等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形8. (2023春•西城区校级期中)四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,点M,N,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA的中点.有下列四个推断:①对于任意四边形ABCD,四边形MNPQ都是平行四边形;②若四边形ABCD是平行四边形,则MP与NQ交于点O;③若四边形ABCD是矩形,则四边形MNPQ也是矩形;④若四边形MNPQ是正方形,则四边形ABCD也一定是正方形.所有正确推断的序号是( )A.①②B.①③C.②③D.③④9. (2023·湖北随州)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具,如图,在正方形纸板ABCD 中,BD为对角线,E,F分别为BC,CD的中点,AP⊥EF分别交BD,EF于O,P两点,M,N分别为BO,DC 的中点,连接AP,NF,沿图中实线剪开即可得到一副七巧板,则在剪开之前,关于该图形,下列说法:①图中的三角形都是等腰直角三角形;②四边形MPEB是菱形;③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的14.正确的有( )A.只有①B.①②C.①③D.②③10. (2023·贵州铜仁)如图,正方形ABCD的边长为2,点E是BC的中点,AE与BD交于点P,F 是CD上的一点,连接AF分别交BD,DE于点M,N,且AF⊥DE,连接PN,则下列结论中:;④△PMN≌△DPE正确的是( )①S△ABM=S△FDM;②PN=;③tan∠EAF=34A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④二、填空题（本大题共8道小题）11. 已知:如图,在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE,则∠BED= 度.12. (2023•济南)如图,正方形AMNP的边AM在正五边形ABCDE的边AB上,则∠PAE＝.13. (2023春•西城区校级期中)正方形ABCD的顶点B,C都在平面直角坐标系的x轴上,若点A的坐标是(1,3),则点C的坐标为.14. (2023·云南中考)已知△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点,∠ABC的平分线与线段AC交于点D.若△ABC的一条边长为6,则点D到直线AB的距离为____.15. [2023·东营]如图,正方形纸片ABCD的边长为12,点F是AD上一点,将△CDF沿CF折叠,点D落在点G处,连接DG并延长交AB于点E.若AE=5,则GE的长为.16. [2023·天津]如图,正方形ABCD的边长为4,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在BC,CD的延长线上,且CE=2,DF=1,G为EF的中点,连接OE交CD于点H,连接GH,则GH的长为.17. (2023·襄阳中考)如图,正方形ABCD 的对角线相交于点O,点E 在边BC 上,点F 在CB 的延长线上,∠EAF ＝45°,AE 交BD 于点G,tan ∠BAE ＝12,BF ＝2,则FG ＝____.18. 如图,在正方形ABCD 外取一点E,连接DE,AE,CE,过点D 作DE 的垂线交AE 于点P,若DE ＝DP ＝1,PC ＝ 6.下列结论:①△APD ≌△CED;②AE ⊥CE;③点C 到直线DE 的距离为3;④S 正方形ABCD ＝5＋2 2.其中正确结论的序号为________.三、解答题（本大题共6道小题）19. (2023•甘肃模拟)如图,在矩形ABCD 中,E 是边AD 上点.连接BE,过点C 向BE 作垂线,交BE 于点F,交DA 的延长线于点G.且满足AG ＝DE.(1)求证:BF ＝EF;(2)若AE ＝CD ＝2,求CG 的长.20. (2023·北京朝阳·模拟预测)如图,菱形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O,分别过点C 、作CE ∥BD,DE ∥AC,CE 和DE 交于点E(1)求证:四边形ODEC 是矩形;(2)当∠ADB ＝60°,AD ＝10时,求CE 和AE 的长.21. (2023•万柏林区模拟)主题背景在课外小组活动中,“创新小组”对“正方形旋转”问题进行了探究.如图1,正方形ABCD的顶点A在正方形EFGH的对角线EG上,正方形EFGH的顶点E是正方形ABCD对角线的交点.AD与EF相交于点P,AB与EH相交于点Q,连接BF和CH.猜想证明(1)猜想线段BF和CH有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由;深入探究(2)如图2,正方形EFGH固定不动,将正方形ABCD绕点E顺时针方向旋转角α(0＜α＜45°),延长FE,HE分别交BC,CD于点M,N,连接MN,NP,PQ,QM,求证:四边形MNPQ是正方形; 拓展延伸(3)已知,正方形ABCD的边长为2,正方形EFGH的边长为3,在正方形ABCD旋转过程中,若BA的延长线恰好经过点F,请你直接写出AP的长.22. (2023春•海淀区校级期中)在正方形ABCD中,P是边BC上一动点(不与点B、C重合),E 是AP的中点,过点E作MN⊥AP,分别交AB、CD于点M,N.(1)判定线段MN与AP的数量关系,并证明;(2)连接BD交MN于点F.①根据题意补全图形;②用等式表示线段ME,EF,FN之间的数量关系,直接写出结论.23. (2023·汕头市澄海区模拟)如图,已知在矩形ABCD中,AD＝10 cm,AB＝4 cm,动点P从点A出发,以2 cm/s的速度沿AD向终点D移动,设移动时间为t(s).连接PC,以PC为一边作正方形PCEF,连接DE,DF.(1)求正方形PCEF的面积(用含t的代数式来表示,不要求化简),并求当正方形PCEF的面积为25 cm2时t的值;(2)设△DEF的面积为S(cm2),求S与t之间的函数关系式,并求当t为何值时,△DEF的面积取得最小值,这个最小值是多少?(3)求当t为何值时?△DEF为等腰三角形.24. (2023·河北唐山)问题提出(1)如图①,△ABC是等边三角形,AB=12,若点O是△ABC的内心,则OA的长为 ;问题探究(2)如图②,在矩形ABCD中,AB=12,AD=18,如果点P是AD边上一点,且AP=3,那么BC边上是否存在一点Q,使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在,求出PQ的长;若不存在,请说明理由.问题解决(3)某城市街角有一草坪,草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成,如图③所示.管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头,以后,他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水,并且在用喷灌龙头浇水时,既要能确保草坪的每个角落都能浇上水,又能节约用水,于是,他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB(即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB,然后再转回,这样往复喷灌.)同时,再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了.如图③,已测出AB=24m,MB=10m,△AMB的面积为96m2;过弦AB的中点D作DE⊥AB交AB于点E,又测得DE=8m.请你根据以上信息,帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时,才能实现他的想法？为什么？(结果保留根号或精确到0.01米)。

2019年中考数学真题分类训练-专题十一：四边形含答案

2019年中考数学真题分类训练-专题十一：四边形含答案一、选择题1．（2019盐城）如图，点D、E分别是△ABC边BA、BC的中点，AC=3，则DE的长为A．2 B．43C．3 D．32【答案】D2．（2019孝感）如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC=4，DE=AF=1，则GF的长为A．135B．125C．195D．165【答案】A3．（2019台州）如图是用8块A型瓷砖（白色四边形）和8块B型瓷砖（黑色三角形）不重叠、无空隙拼接而成的一个正方形图案，图案中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为A：1 B．3：2 C3 1 D2：2【答案】A4．（2019安徽）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是A．0 B．4 C．6 D．8【答案】D5．（2019株洲）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是A．对角线垂直且相等B．四边都互相垂直C．四个角都相等D．是轴对称图形，但不是中心对称图形【答案】C6．（2019威海）如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是A．∠ABD=∠DCE B．DF=CF C．∠AEB=∠BCD D．∠AEC=∠CBD【答案】C7．（2019湖州）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是A．B5C．352D10【答案】D8．（2019天津）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(2,0)，(0,1)，点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于A B．3C．5D．20【答案】C9．（2019池河）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是A．∠B=∠F B．∠B=∠BCF C．AC=CF D．AD=CF【答案】B10．（2019绍兴）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为A．245B．325C1234D2034【答案】A11．（2019重庆）下列命题正确的是A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．四条边相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形【答案】A12．（2019铜仁）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=7，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为A．12 B．14 C．24 D．21【答案】A13．（2019海南）如图，在ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为A．12 B．15 C．18 D．21【答案】C14．（2019广州）如图，ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是A．EH=HGB．四边形EFGH是平行四边形C．AC⊥BDD．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍【答案】B15．（2019铜仁）如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是A．360°B．540°C．630°D．720°【答案】C16．（2019庆阳）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是A．180°B．360°C．540°D．720°【答案】C17．（2019绍兴）正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积A．先变大后变小B．先变小后变大C．一直变大D．保持不变【答案】D18．（2019云南）一个十二边形的内角和等于A．2160°B．2080°C．1980°D．1800°【答案】D19．（2019福建）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为A．12 B．10 C．8 D．6【答案】B20．（2019咸宁）若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为A．45°B．60°C．72°D．90°【答案】C21．（2019湖州）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD的面积是A．24 B．30 C．36 D．42【答案】B22．（2019湘西州）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【答案】D二、填空题23．（2019长沙）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE=50m，则AB的长是__________m．【答案】10024．（2019十堰）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE=3，则菱形的周长为__________．【答案】2425．（2019温州）三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB=∠AOE=90°，菱形的较短对角线长为2cm ．若点C 落在AH 的延长线上，则△ABE 的周长为__________cm ．【答案】226．（2019杭州）如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF 、GH 折叠（点E 、H 在AD 边上，点F 、G 在BC 边上），使得点B 、点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A 点，D 点的对称点为D ¢点，若90FPG ??，A EP ¢△的面积为4，D PH ¢△的面积为1，则矩形ABCD 的面积等于__________.【答案】 27．（2019达州）如图，ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是AB 的中点，△BEO 的周长是8，则△BCD 的周长为__________．【答案】1628．（2019湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为2的正方形ABCD 可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH 内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q 、R 分别与图2中的点E 、G 重合，点P 在边EH 上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH 的边长是__________．【答案】29．（2019天津）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若5DE ，则GE的长为__________．【答案】49 1330．（2019武汉）如图，在ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AE=EF=CD，∠ADF=90°，∠BCD=63°，则∠ADE的大小为__________．【答案】21°31．（2019益阳）若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数是__________．【答案】532．（2019绍兴）把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点O为正方形的中心，点E，F分别为AB，AD的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是__________．【答案】2或10或233．（2019新疆）五边形的内角和为__________度．【答案】54034．（2019广东）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是__________．【答案】8三、证明题35．（2019江西）如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD．求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2AO，BD=2OD，∵OA=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．36．（2019嘉兴）如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线B D．请添加一个条件，使得结论“AE=CF”成立，并加以证明．证明：添加的条件是BE=DF（答案不唯一）．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABD=∠BDC，又∵BE=DF（添加），∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF．37．（2019衢州）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=DF，连结AE，AF.求证：AE=AF.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D，∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=CF．38．（2019福建）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF=BE．求证：AF=CE．【答案】见解析．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°，AD=BC，在△ADF和△CBE中，AD CBD B DF BE⎧=∠=∠=⎪⎨⎪⎩，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF=CE．39．（2019云南）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=OC，BO=OD，且∠AOB=2∠OAD．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠AOB：∠ODC=4：3，求∠ADO的度数．证明：（1）∵AO=OC，BO=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠AOB=∠DAO+∠ADO=2∠OAD，∴∠DAO=∠ADO，∴AO=DO，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，∵∠AOB：∠ODC=4：3，∴∠AOB：∠ABO=4：3，∴∠BAO：∠AOB：∠ABO=3：4：3，∴∠ABO=54°，∵∠BAD=90°，∴∠ADO=90°–54°=36°．40．（2019岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E.F分别为A D．CD边上的点，DE=DF，求证：∠1=∠2．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，在△ADF和△CDE中，AD CDD D DF DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠1=∠2．41．（2019湖州）如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若∠AFB=90°，AB=6，求四边形BEFD的周长．证明：（1）∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，∴DF∥BC，EF∥AB，∴DF∥BE，EF∥BD，∴四边形BEFD是平行四边形；（2）∵∠AFB=90°，D是AB的中点，AB=6，∴DF=DB=DA12=AB=3，∵四边形BEFD是平行四边形，∴四边形BEFD是菱形，∵DB=3，∴四边形BEFD的周长为12．42．（2019甘肃）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB=FB．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG=∠C=90°，AD=DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF=90°=∠CDE+∠ADF，∴∠DAG=∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；（2）如图，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE=CE，又∵∠C=∠HBE=90°，∠DEC=∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH=DC=AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH=90°，∴Rt△AFH中，BF=12AH=AB．43．（2019怀化）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，AD∥BC，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°，在△ABE和△CDF中，B DAEB CFD AB CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）∵AD∥BC，∴∠EAF=∠AEB=90°，∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°，∴四边形AECF是矩形．44．（2019杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC 的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1=S2．（1）求线段CE的长；（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD=HG．解：（1）设正方形CEFG的边长为a，∵正方形ABCD的边长为1，∴DE=1﹣a，∵S1=S2，∴a2=1×（1﹣a），解得11 22a=--（舍去），251 22a=-，即线段CE512-；（2）证明：∵点H为BC边的中点，BC=1，∴CH=0.5，∴DH52==，∵CH=0.5，CG5122=-，∴HG=，∴HD=HG．45．（2019安徽）如图，点E在Y ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE.（1）求证：△BCE≌△ADF；（2）设Y ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求ST的值.证明：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC ∥，180BAD ABC ∴∠+∠=︒，又AF BE ∥，180BAF ABE ∴∠+∠=︒，BAD ABE EBC FAD BAD ABE ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠， EBC FAD ∴∠=∠，同理可得：ECB FDA ∠=∠，在BCE △和ADF 中，EBC FADBC AD ECB FDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BCE ≌△ADF ；（2）连接EF ，∵△BCE ≌△ADF ，,BE AF CE DF ∴==，又,AF BE DF CE ∥∥，∴四边形ABEF ，四边形CDFE 为平行四边形， ∴,ABEAFECDEFEDSSSS==，∴AFEFEDABECDEAEDF S SSST S=+=+=四边形，设点E 到AB 的距离为h 1，到CD 的距离为h 2，线段AB 到CD 的距离为h ，则h =h 1+h 2， ∴()1212111222T AB h CD h AB h h =⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+1122AB h S =⋅⋅=，即S T=2.46．（2019长沙）如图，正方形ABCD ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，且DE =CF ，AF 与BE 相交于点G ．（2）若AB=4，DE=1，求AG的长．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，∵DE=CF，∴AE=DF，在△BAE和△ADF中，AB ADBAE ADF AE DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴BE=AF；（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，∴∠EBA=∠FAD，∴∠GAE+∠AEG=90°，∴∠AGE=90°，∵AB=4，DE=1，∴AE=3，∴BE2243+，在Rt△ABE中，12AB×AE=12BE×AG，∴AG=435⨯=125．47．（2019宁波）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD 的对角线BD上．（2）若E为AD中点，FH=2，求菱形ABCD的周长．证明：（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EH=FG，EH∥FG，∴∠GFH=∠EHF，∵∠BFG=180°﹣∠GFH，∠DHE=180°﹣∠EHF，∴∠BFG=∠DHE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF=∠EDH，∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG=DE；（2）连接EG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC，AD∥BC，∵E为AD中点，∴AE=ED，∵BG=DE，∴AE=BG，AE∥BG，∴四边形ABGE 是平行四边形， ∴AB =EG ， ∵EG =FH =2， ∴AB =2，∴菱形ABCD 的周长为8．48．（2019滨州）如图，矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将BCE △沿BE 折叠，点C 落在AD 边上的点F 处，过点F 作FGCD 交BE 于点G ，连接CG ．（1）求证：四边形CEFG 是菱形；（2）若6,10AB AD ==，求四边形CEFG 的面积．证明：（1）由题意可得，BCE BFE △≌△， ∴,BEC BEF FE CE ∠=∠=， ∵FG CE ∥，∴FGE CEB ∠=∠，∴FGE FEG ∠=∠，∴FG FE =，∴FG EC =， ∴四边形CEFG 是平行四边形，又∵,CE FE =∴四边形CEFG 是菱形；（2）∵矩形ABCD 中，6,10,AB AD BC BF === ， ∴90,10BAF AD BC BF ∠=︒===，∴8AF =，∴2DF =，设EF x =，则,6CE x DE x ==-，∵90FDE ∠=︒，∴()22226x x +-=，解得103x =， ∴103CE =，∴四边形CEFG 的面积是：1020233CE DF ⋅=⨯=． 49．（2019杭州）如图，已知正方形ABCD 的边长为1，正方形CEFG 的面积为1S ，点E 在CD 边上，点G 在BC 的延长线上，设以线段AD 和DE 为邻边的矩形的面积为2S ，且12S S =. （1）求线段CE 的长；（2）若点H 为BC 边的中点，连结HD ，求证：HD HG =.解：根据题意，得AD =BC =CD =1，∠BCD =90°. （1）设CE =x （0<x <1），则DE =1－x ，因为S 1=S 2，所以x 2=1－x ，解得x （负根已舍去），即CE 51-. （2）证明：因为点H 为BC 边的中点，所以CH =12，所以HD 5，因为CG =CE =512，点H ，C ，G 在同一直线上，所以HG =HC +CG =1251-5，所以HD =HG .50．（2019舟山）如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 在对角线BD 上．请添加一个条件，使得结论“AE =CF ”成立，并加以证明．【答案】添加的条件是BE=DF（答案不唯一）．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABD=∠BDC，又∵BE=DF（添加），∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF．51．（2019台州）我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．（1）已知凸五边形ABCDE的各条边都相等．①如图1，若AC=AD=BE=BD=CE，求证：五边形ABCDE是正五边形；②如图2，若AC=BE=CE，请判断五边形ABCDE是不是正五边形，并说明理由：（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假”）如图3，已知凸六边形ABCDEF的各条边都相等．①若AC=CE=EA，则六边形ABCDEF是正六边形；（__________）②若AD=BE=CF，则六边形ABCDEF是正六边形．（__________）证明：（1）①∵凸五边形ABCDE的各条边都相等，∴AB=BC=CD=DE=EA，在△ABC、△BCD、△CDE、△DEA、△EAB中，AB BC CD DE EA BC CD DE EA AB AC BD CE DA BE====⎧⎪====⎨⎪====⎩，∴△ABC≌△BCD≌△CDE≌△DEA≌EAB（SSS），∴∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=∠EAB，∴五边形ABCDE是正五边形；②若AC=BE=CE，五边形ABCDE是正五边形，理由如下：在△ABE、△BCA和△DEC中，AE BA DC AB BC DE BE AC CE==⎧⎪==⎨⎪==⎩，∴△ABE≌△BCA≌△DEC（SSS），∴∠BAE=∠CBA=∠EDC，∠AEB=∠ABE=∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC，在△ACE和△BEC中，AE BC CE EC AC BE=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ACE≌△BEC（SSS），∴∠ACE=∠CEB，∠CEA=∠CAE=∠EBC=∠ECB，∵四边形ABCE内角和为360°，∴∠ABC+∠ECB=180°，∴AB∥CE，∴∠ABE=∠BEC，∠BAC=∠ACE，∴∠CAE=∠CEA=2∠ABE，∴∠BAE=3∠ABE，同理：∠CBA=∠D=∠AED=∠BCD=3∠ABE=∠BAE，∴五边形ABCDE是正五边形；（2）①若AC=CE=EA，如图3所示：则六边形ABCDEF是正六边形；假命题；理由如下：∵凸六边形ABCDEF的各条边都相等，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，在△AEF、△CAB和△ECD中，EF AB CD AF CB ED AE CA EC==⎧⎪==⎨⎪==⎩，∴△AEF≌△CAB≌△ECD（SSS），如果△AEF、△CAB、△ECD都为相同的等腰直角三角形，则∠F=∠D=∠B=90°，而正六边形的各个内角都为120°，∴六边形ABCDEF不是正六边形；故答案为：假；②若AD=BE=CF，则六边形ABCDEF是正六边形；假命题；理由如下：如图4所示：连接AE、AC、CE、BF，在△BFE和△FBC中，EF CB BE FC BF FB=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△BFE≌△FBC（SSS），∴∠BFE=∠FBC，∵AB=AF，∴∠AFB=∠ABF，∴∠AFE=∠ABC，在△FAE和△BCA中，AF CBAFE CBA EF AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FAE≌△BCA（SAS），∴AE=CA，同理：AE=CE，∴AE=CA=CE，由①得：△AEF、△CAB、△ECD都为相同的等腰直角三角形，则∠F=∠D=∠B=90°，而正六边形的各个内角都为120°，∴六边形ABCDEF不是正六边形；故答案为：假．52．（2019绍兴）有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB=AE=6，BC=5，∠A=∠B=90°，∠C=135°，∠E ＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．解：（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，如图1所示：过点C作CF⊥AE于F，S1=AB•BC=6×5=30；②若所截矩形材料的一条边是AE，如图2所示：过点E作EF∥AB交CD于F，过点F作FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H，则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，∵∠C=135°，∴∠FCH=45°，∴△CHF为等腰直角三角形，∴AE=FG=6，HG=BC=5，BG=CH=FH，∴BG=CH=FH=FG﹣HG=6﹣5=1，∴AG=AB﹣BG=6﹣1=5，∴S2=AE•AG=6×5=30；（2）能；理由如下：在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G，则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，∵∠C=135°，∴∠FCG=45°，∴△CGF为等腰直角三角形，∴MG=BC=5，BM=CG，FG=DG，设AM=x，则BM=6﹣x，∴FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11﹣x，∴S=AM×FM=x（11﹣x）=﹣x2+11x=﹣（x﹣5.5）2+30.25，∴当x=5.5时，S的最大值为30.25．。

中考数学专题复习《四边形综合题》测试卷(附带答案)

中考数学专题复习《四边形综合题》测试卷(附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一单选题1．如图下列给出的条件中不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（）A ．,AB CD AD BC ∥∥B ．,AB CD B D =∠=∠C ．,AB CD AB CD =∥D ．,AB CD AD BC == 2．如图在ABCD 中E 是CD 上一点连结AE BE 若点F 是ABE 的重心则:AEF ABCD S S =△（）A ．14B ．16C ．25D ．1123．如图矩形ABCD 和矩形CEFG 1AB = 2BC CG == 4CE = 点P 在边GF 上点Q 在边CE 上且PF CQ = 连结AC 和PQ M N 分别是,AC PQ 的中点则MN 的长为（）A ．3B ．6C 37D ．172 4．如图在ABCD 中 BM 是ABC ∠的平分线交CD 于点M 且4MC = ABCD 的周长是26 则DM 等于（）A ．3B ．4C ．5D ．65．如图平行四边形ABCD 中 E F 、是对角线BD 上不同的两点下列条件中不能得出四边形AECF 一定为平行四边形的是（）A ．BE EF =B ．BE DF =C ．DAF BCE ∠=∠D ．AF CE ∥ 6．如图点E 在正方形ABCD 的边AB 上点F 在BC 延长线上且AE CF = 点M 是EF 的中点连接MC 若F α∠= 则CMF ∠的度数为（）A ．60α︒-B ．452α︒- C ．302α︒- D ．45α︒-7．在下列给出的条件中不能判定四边形ABCD 一定是平行四边形的是（） A ．AB CD = AD BC =B ．AB CD ∥ AD BC = C ．AB CD ∥ AB CD =D ．AB CD ∥ AD BC ∥ 8．如图在ABCD 中E 为边BC 延长线上一点连结AE DE ．若ADE 的面积为2 则ABCD 的面积为（）A ．4B ．5C ．3D ．6二填空题9．如图在矩形ABCD 中 6,10,AB AD E ==为CD 的中点若P Q 、为BC 边上的两个动点且2PQ = 则线段AP QE +的最小值为．10．如图在平行四边形ABCD 中对角线AC BD ，相交于点O 已知BOC 与AOB 的周长之差为3 平行四边形ABCD 的周长为26 则BC 的长度为．11．如图在ABC 和ABD △中 90ACB ADB ∠=∠=︒ ,,E F G 分别是,,AB AC BC 的中点若1DE = 则FG = ．12．如图在平行四边形ABCD 中 10AB = 15BC = 面积为120 点P 是边AD 上一点连接PB 将线段PB 绕着点P 旋转90︒得到线段PQ 如果点Q 恰好落在直线AD 上那么线段AQ 的长为13．如图平行四边形ABCD 的对角线交于点,10,22O AB AC BD =+= 则COD △的周长为．三解答题14．如图在ABCD 中 O 为线段AD 的中点延长BO 交CD 的延长线于点E 连接AE BD 、 =90BDC ∠︒．(1)求证：四边形ABDE 是矩形(2)连接OC 若2AB = BD = 求OC 的长．15．如图点C 是BE 的中点四边形ABCD 是平行四边形．(1)求证：四边形ACED 是平行四边形(2)若AB AE = 四边形ACED 是什么特殊的平行四边形请说明理由．16．如图所示 ABC 中 D 是BC 边上一点 E 是AD 的中点过点A 作BC 的平行线交CE 的延长线于F 且AF BD = 连接BF ．(1)求证：D 是BC 的中点(2)若AB AC = 试判断四边形AFBD 的形状并证明你的结论．17．如图在ABCD 中过AC 中点O 的直线分别交CB AD 的延长线于点EF ．(1)求证：BE DF =(2)连接FC 若EF AC ⊥ 2DF = FDC △的周长为16 求ABCD 的周长．18．如图在四边形ABCD 中 AB DC 5cm AD BC == 12cm AB = 6cm CD = 点P 从A 开始沿AB 边向B 以每秒3cm 的速度移动点Q 从C 开始沿CD 边向D 以每秒1cm 的速度移动如果点P Q 分别从A C 同时出发当其中一点到达终点时运动停止．设运动时间为t 秒．(1)求证：当32t =时四边形APQD 是平行四边形(2)PQ 是否可能平分对角线BD ？若能求出当t 为何值时PQ 平分BD 若不能请说明理由(3)若DPQ 是以PD 为腰的等腰三角形求t 的值．参考答案：1．B2．B3．C4．C5．A6．D7．B8．A914510．811．112．2或1413．2114．（1）证明：∵O 为AD 的中点 ∵AO DO =∵四边形ABCD 是平行四边形∵AB CD∵BAO EDO ∠=∠又∵AOB DOE ∠=∠∵()ASA AOB DOE △△≌∵AB DE =∵四边形ABDE 是平行四边形∵=90BDC ∠︒∵90BDE ∠=︒∵平行四边形ABDE 是矩形（2）解：如图过点O 作OF DE ⊥于点F∵四边形ABDE 是矩形∵2DE AB == 12OD AD = 12OB OE BE == AD BE =∵OD OE =∵OF DE ⊥ ∵112DF EF DE === ∵OF 为BDE △的中位线∵12OF BD ==∵四边形ABCD 是平行四边形∵2CD AB ==∵3CF CD DF =+=在Rt OCF 中由勾股定理得：OC ==即OC15．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∵AD BC ∥ 且AD BC =∵点C 是BE 的中点∵BC CE =∵AD CE =∵AD CE ∥∵四边形ACED 是平行四边形（2）解：四边形ACED 是矩形理由如下： ∵四边形ABCD 是平行四边形∵AB DC =∵AB AE =∵DC AE =由（1）可知四边形ACED 是平行四边形 ∵平行四边形ACED 是矩形．16．（1）证明：AF BC ∥AFE DCE ∴∠=∠点E 为AD 的中点AE DE ∴=在AEF △和DEC 中AFE DCE AEF DEC AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)AEF DEC ∴△≌△AF CD ∴=AF BD =CD BD ∴=D ∴是BC 的中点（2）若AB AC = 则四边形AFBD 是矩形．理由如下： AEF DEC △≌△AF CD ∴=AF BD =CD BD ∴=AF BD AF BD =∴四边形AFBD 是平行四边形AB AC = BD CD =90ADB ∴∠=︒∴平行四边形AFBD 是矩形．17．（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形 AD BC ∴∥ AO CO = AD BC = OAF OCE ∴∠=∠ E F ∠=∠在AOF 和COE 中OAF OCE F EAO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AOF ∴∵()AAS COEAF CE ∴=AF AD CE BC ∴-=-BE DF ∴=（2）解：连接CFEF AC ⊥ AO CO =EF ∴垂直平分ACAF CF ∴= FDC △的周长为1616DF CF CD ∴++= 即2216AD CD +++= 12AD CD ∴+=∴ABCD 的周长为()224AD CD +=．18．（1）证明：12631< ∴当4t =秒时两点停止运动在运动过程中3AP t = CQ t = 123BP t ∴=- 6DQ t =- 当32t =时 39622DQ =-= 39322AP =⨯= AP DQ ∴= 又四边形ABCD 为等腰梯形AP DQ ∴∴四边形APQD 为平行四边形（2）解：PQ 能平分对角线BD 当3t =秒时 PQ 平分对角线BD ．理由如下：连接BD 交PQ 于点E 如图1所示：若PQ 平分对角线BD 则DE BE = CD AB ∥第 11 页共 11 页 12∴∠=∠ 34∠∠=在DEQ 和BEP △中3412DE BE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS DEQ BEP ∴≌DQ BP ∴=即四边形DPBQ 为平行四边形6123t t ∴-=-解得3t = 符合题意∴当3t =秒时 PQ 平分对角线BD ．（3）解：分两种情况：∵当PQ PD =时作DN AB ⊥于N QM AB ⊥于M CE AB ⊥与E如图2所示：则DN QM = 1()32AN BE AB CD ==-= ME CQ t ==33PN AP AN t ∴=-=- 94PM BP BE ME t =--=- PQ PD =PN PM ∴=3394t t ∴-=- 解得：127t =∵当6PD DQ t ==-时由勾股定理得：222224(94)PD DN PM t =+=+- 2224(94)(6)t t ∴+-=-整理得：21560610t t -+=解得Δ0< 方程无解综上所述：若DPQ 是以PD 为腰的等腰三角形 t 的值为127．。

中考压轴题—三角形、四边形综合(解析版)--2024年中考数学

中考压轴题-三角形、四边形综合1.线段、角的计算与证明问题中考的解答题一般是分两到三部分的。

第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。

第二部分往往就是开始拉分的中难题了。

对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。

线段与角的计算和证明，一般来说难度不会很大，只要找到关键“题眼”，后面的路子自己就“通”了。

2.图形位置关系中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。

在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。

3.动态几何从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。

动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。

另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。

4.几何图形的归纳、猜想问题中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。

对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的。

5.阅读理解问题如今中考题型越来越活，阅读理解题出现在数学当中就是最大的一个亮点。

阅读理解往往是先给一个材料，或介绍一个超纲的知识，或给出针对某一种题目的解法，然后再给条件出题。

对于这种题来说，如果考生为求快速而完全无视阅读材料而直接去做题的话，往往浪费大量时间也没有思路，得不偿失。

所以如何读懂题以及如何利用题就成为了关键。

解题策略1.学会运用数形结合思想数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想.数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。

中考数学总复习《四边形的综合题》练习题附带答案

中考数学总复习《四边形的综合题》练习题附带答案一、单选题1．如图，两个平行四边形的面积分别为18、12，两阴影部分的面积分别为a、b （a＞b），则(a−b)等于（）A．3B．4C．5D．6 2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ABD＝60°，则∠BOC的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°3．若一个多边形的内角和是外角和的2.5倍，则该多边形为（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形4．如图，矩形ABCD对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4，则矩形的对角线AC 为（）A．4 B．8 C．4√3D．10 5．一个长方形的周长为28厘米，长的2倍比宽的3倍多3厘米，则这个长方形的面积是（）A．45平方厘米B．35平方厘米C．25平方厘米D．20平方厘米6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分BO，AE=√3cm，则OD=（）A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm 7．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=8 ，将纸片沿EF折叠使点B与点D 重合，折痕EF与BD相交于点O，则DF的长为()A．3B．4C．5D．6 8．如图，⊙O的半径为4，点P是⊙O外的一点PO=10，点A是⊙O上的一个动点，连接PA，直线l垂直平分PA，当直线l与⊙O相切时PA的长度为（）A．10B．212C．11D．434 9．已知平行四边形一边长为8，一条对角线长为6，则另一条对角线α满足（）A．10＜α＜22B．4＜α＜20C．4＜α＜28D．2＜α＜1410．如图，两张等宽的纸条交又重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（）A．a2B．5cm C．2√7cm D．6cm 11．如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE=CF，连接CE、DF，将∠BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到∠CDF的位置，则旋转角是（）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°12．Rt∠ABC 两直角边的长分别为6cm 和8cm ，则连接这两条直角边中点的线段长为( ) A ．10cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm二、填空题13．如图，点E 在边长为2的正方形ABCD 内，满足∠AEB ＝90°，若∠DAE ＝30°，则图中阴影部分的面积为．14．把一把直尺和一块三角板如图放置，若∠1=42°，则∠2的度数为 °.15．已知 ▱ABCD 中一条对角线分 ∠A 为35°和45°，则 ∠B = 度. 16．如图，在一块长AB =26m ，宽BC =18m 的长方形草地上，修建三条宽均为3m 的长方形小路，则这块草地的绿地面积（图中空白部分）为 m 217．如图，在∠ABC 中，∠ABC ＝90°，E 为AC 的中点，AD∠BE 交BC 于D ，若AD＝152，BE ＝5，则BD ＝ .18．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5．点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的最大值是．三、综合题19．如果抛物线C1：y=ax2+bx+c与抛物线C2：y=−ax2+dx+e的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C2是C1的“对顶”抛物线.（1）求抛物线y=x2−4x+7的“对顶”抛物线的表达式；（2）将抛物线y=x2−4x+7的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线y=x2−4x+7形成两个交点M、N，记平移前后两抛物线的顶点分别为A、B，当四边形AMBN是正方形时求正方形AMBN的面积.（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，那么系数b与d，c与e之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系.20．解答题（1）如图1，在平行四边形ABCD 中，已知点E 在AB 上，点F 在CD 上，且AE=CF ．求证：DE=BF ；（2）如图2，AB 是∠O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与∠O 相切于点D ，若∠C=20°，求∠CDA 的度数．21．如图，▱ABCD 放置在平面直角坐标系申，已知点A （-2，0）、B （-6，0）、D（0，3）．点C 在反比例函数y=k x的图象上。

2020年中考数学总复习专题演练《四边形综合》(含解析)

中考数学复习专题训练：《四边形综合》1．问题发现：（1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，点E是AC的中点，点F在BC边上，将△ECF沿着EF折叠后得到△EPF，连接BP并使得BP最小，请画出符合题意的点P；问题探究：（2）如图②，已知在△ABC和△EBD中，∠ACB＝∠BDE＝90°，AC＝BC＝4，BD ＝DE＝2，连接CE，点F是CE的中点，连接AF，求AF的最大值．问题解决：（3）西安大明宫遗址公园是世界文化遗产，全国重点文物保护单位，为了丰富同学们的课外学习生活，培养同学们的探究实践能力，周末光明中学的张老师在家委会的协助下，带领全班同学去大明宫开展研学活动．在公园开设的一处沙地考古模拟场地上，同学们参加了一次模拟考古游戏．张老师为同学们现场设计了一个四边形ABCD的活动区域，如图③所示，其中BD为一条工作人员通道，同学们的入口设在点A处，AD⊥BD，AD∥BC，∠DCB＝60°，AB＝2米．在上述条件下，小明想把宝物藏在距入口A尽可能远的C 处让小鹏去找，请问小明的想法是否可以实现？如果可以，请求出AC的最大值及此时△BCD区域的面积，如果不能，请说明理由．2．已知：如图，在菱形ABCD中，AC＝2，∠B＝60°．点E为边BC上的一个动点（与点B、C不重合），∠EAF＝60°，AF与边CD相交于点F，联结EF交对角线AC于点G．设CE＝x，EG＝y．（1）求证：△AEF是等边三角形；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）点O是线段AC的中点，联结EO，当EG＝EO时，求x的值．3．已知在正方形ABCD和正方形CEFG中，直线BG，DE交于点H．（1）如图1，当B，C，E共线时，求证：BH⊥DE．（2）如图2，把正方形CEFG绕C点顺时针旋转α度（0＜α＜90），M，N分别为BG，DE的中点，探究HM，HN，CM之间的数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，∠PDG＝45°，DH⊥PG于H，PH＝2，HG＝4．直接写出DH的长．4．[问题引入]（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD两边上的点，且AE⊥BF，垂足为点P．求证：AE＝BF；[类比探究]（2）如图2，把（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，且AD＝2AB，其余条件不变，请你推断AE、BF满足怎样的数量关系，并说明你的理由；[实践应用]（3）如图3，Rt△ABC中，∠BAC＝30°，把△ABC沿斜边AC对折得到Rt△ADC，E、F分别为CD、AD边上的点，连接AE、BF，恰好使得AE⊥BF，垂足为点P．请求出的值．5．如图，已知正方形ABCD中，BC＝4，AC、BD相交于点O，过点A作射线AM⊥AC，点E是射线AM上一点，联结OE交AB边于点F．以OE为一边，作正方形OEGH，且点A在正方形OEGH的内部，联结DH．（1）求证：△HDO≌△EAO；（2）设BF＝x，正方形OEGH的边长为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）联结AG，当△AEG是等腰三角形时，求BF的长．6．阅读材料：等腰三角形具有性质“等边对等角”．事实上，不等边三角形也具有类似性质“大边对大角”，如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，那么∠ACB＞∠ABC．证明如下：将AB沿△ABC的角平分线AD翻折（如图2），因为AB＞AC，所以点B落在AC的延长线上的点B′处．于是，由∠ACB＞∠B′，∠ABC＝∠B′，可得∠ACB＞∠ABC．（1）灵活运用：从上面的证法可以看出，折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法．由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”，如图3，在△ABC中，如果∠ACB＞∠ABC，那么AB＞AC．小明的思路是：沿BC的垂直平分线翻折……请你帮助小明完成后面的证明过程．（2）拓展延伸：请运用上述方法或结论解决如下问题：如图4，已知M为正方形ABCD的边CD上一点（不含端点），连接AM并延长，交BC 的延长线于点N．求证：AM+AN＞2BD．7．探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．点D、E均在边BC 边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．8．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC剪开，再把△ADC沿AB方向平移，得到图2，其中A'D交AC于E，A'C'交BC于F．（1）在图2中，除△ABC与△C'DA'外，指出还有哪几对全等三角形（不能添加辅助线和字母），并选择一对加以证明；（2）设AA'＝x．①当x为何值时，四边形A'ECF是菱形？②设四边形A'ECF的面积为y，求y的最大值．9．在正方形ABCD中，BD为对角线，点E在BD上，过点E作EF⊥CE，交AB于点F，连接CF．（1）如图①，求证：∠ECF＝45°；（2）如图②，作FG⊥AB，交BD于点G，求证：DE＝GE；（3）在（2）的条件下，如图③，延长FG交CE于点K，延长CE交AD于点M，连接MG、BK，若MG＝2EK，GK＝2，求线段BK的长．10．如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN ＝45°．（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM 的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长．11．如图，菱形ABCD中，AB＝10，连接BD，点P是射线BC上一点（不与点B重合），AP与对角线BD交于点E，连接EC．（1）求证：AE＝CE；（2）若sin∠ABD＝，当点P在线段BC上时，若BP＝4，求△PEC的面积；（3）若∠ABC＝45°，当点P在线段BC的延长线上时，请直接写出△PEC是等腰三角形时BP的长．12．如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的一动点（不与点B，C重合），点B关于直线AP的对称点为E，连接AE．连接DE并延长交射线AP于点F，连接BF．（1）若∠BAP＝α，直接写出∠ADF的大小（用含α的式子表示）；（2）求证：BF⊥DF；（3）连接CF，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明．13．已知正方形OABC在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，等腰直角三角形OEF的直角顶点O在原点，E，F分别在OA，OC上，且OA＝4，OE＝2．将△OEF绕点O逆时针旋转，得△OE1F1，点E，F旋转后的对应点为E1，F1．（Ⅰ）①如图①，求E1F1的长；②如图②，连接CF1，AE1，求证△OAE1≌△OCF1；（Ⅱ）将△OEF绕点O逆时针旋转一周，当OE1∥CF1时，求点E1的坐标（直接写出结果即可）．14．菱形ABCD中，E，F为边AB，AD上的点，CF，DE相交于点G．（1）如图1，若∠A＝90°，DE＝CF，求证：DE⊥CF；（2）如图2，若∠EGC+∠B＝180°．求证：DE＝CF；（3）如图3，在（1）的条件下，平移线段DE到MN，使G为CF的中点，连接BD交MN于点H，若∠FCD＝15°，BN＝，请直接写出FG的长度．15．我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结BE，CG，GE．①求证：四边形BCGE是垂美四边形；②若AC＝4，AB＝5，求GE的长．16．（1）观察猜想如图①，点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE＝90°，AD＝AE，则△ADB和△EAC是否全等？（填是或否），线段AB、AC、BD、CE之间的数量关系为．（2）问题解决如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝6，AB＝6，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连接BD，求BD的长．（3）拓展延伸如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝5，AD＝，DC＝DA，CG⊥BD于点G，求CG的长，17．已知，在▱ABCD中，AB⊥BD，AB＝BD，E为射线BC上一点，连接AE交BD于点F．（1）如图1，若点E与点C重合，且AF＝2，求AD的长；（2）如图2，当点E在BC边上时，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H，连接FH．求证：AF＝DH+FH；（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，过点D作DG⊥AE于G，M为AG的中点，点N在BC边上且BN＝1，已知AB＝4，请直接写出MN的最小值．18．如图，在矩形ABCD中，E是AB边上的一个动点，把△BCE沿CE折叠，使点B落在点F处，过点F作GH∥CE，分别交AB、CD于点G、H．（1）求证：△EFG是等腰三角形；（2）如图①，若F是GH中点，求∠FGE的度数；（3）如图②，若点G与点A重合，AB＝30，BC＝20，求FH的长．19．在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（4，0），点C，D在x轴上方，且四边形ABCD的面积为32，（1）若四边形ABCD是菱形，求点D的坐标．（2）若四边形ABCD是平行四边形，如图1，点E，F分别为CD，BC的中点，且AE⊥EF，求AE+2EF的值．（3）若四边形ABCD是矩形，如图2，点M为对角线AC上的动点，N为边AB上的动点，求BM+MN的最小值．20．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC与长方形DEFG的位置如图所示，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点B的横坐标为a，点D，E在x 轴的负半轴上（点E在点D的右侧），点G的坐标为（b，﹣b），DE＝OA，实数a，b 的值满足．（1）求点F的坐标；（2）长方形DEFG以每秒1个单位长度的速度向右平移t（t＞0）秒得到矩形D'E'F'G'，点D'，E'，F'，G'分别为点D，E，F，G平移后的对应点，设矩形D'E'F'G'与正方形OABC 重合部分的面积为S，用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的范围；（3）在（2）的条件下，在长方形DEFG出发运动的同时，点P从点O出发，沿正方形的边以每秒2个单位长度的速度顺时针方向运动（即O→C→B→A→O→C），连接PD'，PG'，当三角形PD'G'的面积为15时，求S＞0时相应的t值，并直接写出此时刻S值及点P的坐标．参考答案1．解：（1）如图①中，点P即为所求．当E，P，B共线时，BP的值最小．（2）如图②中，取BC的中点P，连接PA，PF．∵∠BDE＝90°，BD＝DE＝2，∴BE＝BD＝4，∴CF＝EF，CP＝PB＝2，∴PF＝BE＝2，∵∠ACP＝90°，AC＝4，CP＝2，∴PA＝＝＝2，∵AF≤PA+PF，∴AF≤2+2，∴AF的最大值为2+2．（3）如图③中，作△ABD的外接圆⊙O交CD于E，连接OE，EB，AC．∵∠DBC＝90°，∠DCB＝60°，∴∠CDB＝30°，∴∠EOB＝60°，∵EO＝EB，∴△EOB是等边三角形，BE＝OB＝，∵∠ECB＝60°，∴点C的运动轨迹是圆弧，不妨设圆心为P，连接PC，PE，PB，则∠EPB＝2∠ECB＝120°，作PT⊥BE于T，在Rt△PET中，∠PET＝30°，ET＝BT＝BE＝，∴PE＝PB＝PC＝＝，∵∠EBO＝60°，∠EBP＝30°，∴∠ABP＝90°，在Rt△ABP中，AP＝＝＝13，∵AC≤PA+PC，∴AC≤13+，∴AC的最大值为13+，此时A，P，C共线，如图③﹣1中，作CW⊥AB于W．∵PB∥CW，∴＝＝，∴＝＝，∴CW＝+1，BW＝2，∴BC＝＝＝，＝•BC•BD＝•BC•BC＝×（26+2）＝13+．∴S△BCD2．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AC＝AB，∴∠BAE+∠EAC＝60°，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACF＝60°，∵∠EAF＝60°，即∠EAC+∠CAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，在△AEB和△AFC中，，∴△AEB≌△AFC（ASA），∴AE＝AF，∴△AEF为等边三角形；（2）解：过点A作AH⊥BC于点H，∵△AEF为等边三角形，∴AE＝EF＝，∠AEF＝60°，∵∠ABH＝60°，∴，BH＝HC＝1，∴EH＝|x﹣HC|＝|x﹣1|，∴EF＝＝，∵∠AEF＝∠B＝60°，∴∠CEG+∠AEB＝∠AEB+∠BAE＝120°，∴∠CEG＝∠BAE，∵∠B＝∠ACE＝60°，∴△BAE∽△CEG，∴，∴，∴y＝EG＝（0＜x＜2），（3）解：∵AB＝2，△ABC是等边三角形，∴AC＝2，∴OA＝OC＝1，∵EG＝EO，∴∠EOG＝∠EGO，∵∠EGO＝∠ECG+∠CEG＝60°+∠CEG，∠CEA＝∠CEG+∠AEF＝60°+∠CEG，∴∠EGO＝∠CEA，∴∠EOG＝∠CEA，∵∠ECA＝∠OCE，∴△COE∽△CEA，∴，∴CE2＝CO•CA，∴x2＝1×2，∴x＝（x＝﹣舍去），即x＝．3．（1）证明：∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝CD，CG＝CE，∠BCG＝∠DCE ＝90°，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴∠CBG＝∠CDE，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠HBE+∠BEH＝90°，∴∠BHE＝90°，∴BH⊥DE；（2）解：MH2+HN2＝2CM2，理由：∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝CD，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴∠CBG＝∠CDE，BG＝DE，∵∠DPH＝∠CPM，∴∠DHP＝∠BCP＝90°，∴∠MHN＝90°，∵M，N分别为BG，DE的中点，∴BM＝BG，DN＝DE，∴BM＝DN，∵BC＝CD，∴△BCM≌△DCN（SAS），∴CM＝CN，∠BCM＝∠DCN，∴∠MCN＝∠BCP＝90°，∴MH2+HN2＝CM2+CN2＝2CM2；（3）解：∵DH⊥PG，∴∠DHP＝∠DHG＝90°，把△PDH沿着PD翻折得到△APD，把△GDH沿着DG翻折得到△DGC，∴AD＝DH＝CD，∠A＝∠C＝∠DHP＝90°，∠ADP＝∠HDP，∠GDH＝∠GDC，AP＝PH＝2，CG＝HG＝4，∵∠PDG＝45°，∴∠ADC＝90°，延长AP，CG交于B，则四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，设DH＝AD＝AB＝BC＝x，∴PB＝x﹣2，BG＝x﹣4，∵PG2＝PB2+BG2，∴62＝（x﹣2）2+（x﹣4）2，解得：x＝3+（负值舍去），∴DH＝3+．4．证明：[问题引入]（1）∵正方形ABCD，∴∠ABC＝∠C，AB＝BC，∵AE⊥BF，∴∠APB＝∠BAP+∠ABP＝90°，∵∠ABP+∠CBF＝90°，∴∠BAP＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF；（2）BF＝2AE，理由如下：∵矩形ABCD，∴∠ABC＝∠C，AD＝BC＝2AB，∵AE⊥BF，∴∠APB＝∠BAP+∠ABP＝90°，∵∠ABP+∠CBF＝90°，∴∠BAP＝∠CBF，且∠ABE＝∠BCF＝90°，∴△ABE∽△BCF，∴＝2，∴BF＝2AE；（3）如图3，过点B作BH⊥AD于H，连接BD，∵把△ABC沿斜边AC对折得到Rt△ADC，∴AD＝AB，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝∠BAC＝30°，∴∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，且BH⊥AD，∴AD＝AB＝2AH，BH＝AH，∴，∵∠ADC+∠EPF+∠DEA+∠DFB＝360°，∴∠DEA+∠DFB＝180°，且∠DFB+∠BFA＝180°，∴∠DEA＝∠BFH，∵∠BHF＝∠ADE＝90°，∴△ADE∽△BHF，∴＝＝5．解：（1）∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，AO＝OD，∵四边形OEGH是正方形，∴∠EOH＝90°，OE＝OH，∴∠AOE＝∠DOH，∴△HDO≌△EAO（SAS）；（2）如图1，过O作ON⊥AB于N，则AN＝BN＝ON＝AB＝2，∵BF＝x，∴AF＝4﹣x，∴FN＝2﹣x，∴OF＝＝＝，∴EF＝y﹣，∵AM⊥AC，∴AE∥OB，∴，∴＝，∴；（3）①当AE＝EG时，△AEG是等腰三角形，则AE＝OE，∵∠EAO＝90°，∴这种情况不存在；②当AE＝AG时，△AEG是等腰三角形，如图2，过A作AP⊥EG于P，则AP∥OE，∴∠PAE＝∠AEO，∴△APE∽△EAO，∴＝，∵AE＝AG，∴PE＝y＝，AE＝＝，∴＝，解得：x＝2，②当GE＝AG时，△AEG是等腰三角形，如图3，过G作GQ⊥AE于Q，∴∠GQE＝∠EAO＝90°，∴∠GEQ+∠EGQ＝∠GEQ+∠AEO＝90°，∴∠EGQ＝∠AEO，∵GE＝OE，∴△EGQ≌△OEA（AAS），∴EQ＝AO＝2，∴AE＝2EQ＝4＝，∴x＝，∴BF＝2或．6．解：（1）将∠B沿BC的中垂线DE翻折（如图3），使点B落在点C处．∵∠ACB＞∠ABC，∴CD在△ABC的内部，D落在AB上．连接DC，∵DE为BC的中垂线，∴DB＝DC，在△ADC中，AD+DC＞AC，∴AD+DB＞AC，即AB＞AC；（2）如图4，延长DC到点E，使得CE＝CN，连接AE交BC于点F，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝∠ACN＝135°，∵AC＝AC，∴△ACE≌△ACN（SAS），∴AE＝AN，过点C作PQ⊥AC，分别交AN、AE于点P、Q，由∠ACP＝∠ACQ＝90°可知AP＞AC、AQ＞AC，∴AP+AQ＞2AC，∵∠ACD＞∠E，∠ACD＝45°，∠QCE＝45°，∴∠QCE＞∠E，∴QE＞CQ，同理可得PC＞PM，由全等或对称性可得PC＝CQ，∴QE＞PM．∴AM+AN＝AM+AE＝AM+AQ+QE＞AM+AQ+PM＝AP+AQ，又∵AP+AQ＞2AC，∴AM+AN＞2AC，∵正方形ABCD中，AC＝BD．∴AM+AN＞2BD．7．解：（1）①如图1，∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠ADC+∠ADG＝90°∴F、D、G共线，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，∵，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，故答案为：EF＝BE+DF；②成立，理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，则AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC+∠ADG＝180°，∴C、D、G在一条直线上，与①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，∵，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝BE+DF；（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，由勾股定理得：BC＝＝4，如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF．则AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，∵∠DAE＝45°，∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，∴∠FAD＝∠DAE＝45°，在△FAD和△EAD中，∴△FAD≌△EAD（SAS），∴DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x，∵BC＝4，∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x，∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°，∴∠FBD＝90°，由勾股定理得：DF2＝BF2+BD2，x2＝（3﹣x）2+12，解得：x＝，即DE＝．8．解：（1）△AA′E≌△C′CF，△A′BF≌△CDE，由题意得，四边形A′DCB是矩形，∴A′B＝DC，∴AA′＝CC′，∵AB∥CD，∴∠BA′F＝∠C′，由题意得，∠BA′F＝∠A，∴∠A＝∠C′，在△AA′E和△C′CF中，，∴△AA′E≌△C′CF（ASA）；（2）①设A′E＝a，A′F＝b，∵A′F∥AC，∴＝，即＝，解得，b＝，同理＝，解得，a＝x，当A′E＝A′F时，四边形A′ECF是菱形，∴＝x，解得，x＝，∴当x＝时，四边形A′ECF是菱形；②由①得，四边形A′ECF的面积为y＝3×（4﹣x）﹣×（3﹣x）×（4﹣x）×2＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣2）2+3，∴当x＝2时，y的最大值为3．9．解：（1）如图①，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ABD＝∠CBD＝45°，且BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（SAS）∴AE＝CE，∠BAE＝∠BCE，∵∠ABC+∠FEC+∠BCE+∠EFB＝360°，∴∠BCE+∠BFE＝180°，∠BFE+∠AFE＝180°，∴∠AFE＝∠BCE，∴∠BAE＝∠AFE，∴EF＝AE＝EC，且∠FEC＝90°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°；（2）如图②，延长FG交CD于H，∵GF⊥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴四边形BCHF是矩形，∴FH＝BC＝CD，∠FHC＝90°，∵∠AFE＝∠BCE，∴∠EFH＝∠ECH，且EF＝EC，FH＝CD，∴△EFH≌△ECD（SAS）∴∠FHE＝∠CDE＝45°，且∠FHD＝90°，∴∠FHE＝∠CDE＝∠DGH＝∠DHE＝45°，∴EG＝EH，EH＝DE，∴EG＝DE；（3）如图③，延长FK交CD于H，连接FM，过点M作MP⊥FH于P，∵AD∥BC∥FH，∴∠MDE＝∠KGE，且DE＝EG，∠MED＝∠GEK，∴△MED≌△KEG（ASA）∴ME＝EK＝MK，MD＝GK＝2，∵MG＝2EK，∴MK＝MG，且MP⊥FH，∴GP＝PK＝1，∵∠ADH＝∠DHF＝∠MPH＝90°，∴四边形MDHP是矩形，∴MD＝PH＝2，∴GH＝3，∴FH＝BC＝AB＝AD＝3+FG，∴AM＝1+FG，∵FG⊥AB，∠ABD＝45°，∴△BFG是等腰直角三角形，∴BF＝FG，∴AF＝3，∵ME＝EK，EF⊥MK，∴FM＝FK＝FG+2，∵FM2＝AM2+AF2，∴（FG+2）2＝（FG+1）2+9，∴FG＝3，∴BK＝＝．10．解：（1）BM+DN＝MN，理由如下：如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABE＝90°＝∠D，在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∴∠EAN＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAM＝45°＝∠NAM，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，又∵ME＝BE+BM＝BM+DN，∴BM+DN＝MN；故答案为：BM+DN＝MN；（2）（1）中的结论不成立，DN﹣BM＝MN．理由如下：如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF，则∠ABM＝90°＝∠D，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，即∠MAF＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠FAN＝45°，在△MAN和△FAN中，，∴△MAN≌△FAN（SAS），∴MN＝NF，∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，∴DN﹣BM＝MN．（3）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝6，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ABM＝∠MCN＝90°，∵CN＝CD＝6，∴DN＝12，∴AN＝＝＝6，∵AB∥CD，∴△ABQ∽△NDQ，∴＝＝＝＝，∴＝，∴AQ＝AN＝2；由（2）得：DN﹣BM＝MN．设BM＝x，则MN＝12﹣x，CM＝6+x，在Rt△CMN中，由勾股定理得：62+（6+x）2＝（12﹣x）2，解得：x＝2，∴BM＝2，∴AM＝＝＝2，∵BC∥AD，∴△PBM∽△PDA，∴＝＝＝，∴PM＝AM＝，∴AP＝AM+PM＝3．11．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE ＝∠CBE ，AB ＝BC ，在△ABE 和△CBE 中，，∴△ABE ≌△CBE （SAS ），∴AE ＝CE ；（2）解：连接AC ，交BD 于O ，如图1所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，AD ＝AB ＝4，∠AOB ＝90°，OB ＝OD ，OA ＝OC ，∴△BEP ∽△DEA ， ∴＝＝， ∴＝（）2＝，∵sin ∠ABD ＝＝＝， ∴OA ＝2， OB ＝＝＝4， ∴BD ＝2OB ＝8， ∴＝，解得：DE ＝，∴BE ＝BD ﹣DE ＝8﹣＝， ∴S △DEA ＝OA •DE ＝×2×＝， S △ABE ＝OA •BE ＝×2×＝＝S △BEC ， ∴S △BEP ＝S △DEA ＝×＝， ∴S △PEC ＝S △BEC ﹣S △BEP ＝﹣＝；（3）解：①由（1）得：△ABE ≌△CBE ，∴∠BAE ＝∠BCE ，当∠BAE ＝90°时，则∠BCE ＝90°，∴∠ECP＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠EBC＝22.5°，∠CPE＝45°，∴△PEC是等腰直角三角形，∴CE＝CP，∠BEC＝90°﹣22.5°＝67.5°，过点E作∠FEC＝45°交BC于F，如图2所示：则CE＝CP＝CF，EF＝CF，∠BEF＝∠BEC﹣∠FEC＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠BEF＝∠EBC，∴EF＝BF，∴CF+CF＝BC＝10，∴CF＝＝10（﹣1），∴BP＝BC+CP＝BC+CF＝10+10（﹣1）＝10；②由（1）得：△ABE≌△CBE，∴∠AEB＝∠CEB，当∠BAE＝105°时，∠AEB＝180°﹣105°﹣22.5°＝52.5°，∴∠AEC＝2∠AEB＝105°，∴∠CEP＝75°，∵∠APB＝180°﹣105°﹣45°＝30°，∴∠ECP＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠ECP＝∠CEP，∴△PEC是等腰三角形，过点A作AN⊥BP于N，如图3所示：则△ABN是等腰直角三角形，∴AN＝BN＝AB＝5，∵∠APB＝30°，∴tan30°＝，即＝，∴PN＝5，∴BP＝BN+PN＝5+5，综上所述，△PEC是等腰三角形时BP的长为10或5+5．12．（1）解：由轴对称的性质得：∠EAP＝∠BAP＝α，AE＝AB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠DAE＝90°﹣2α，AD＝AE，∴∠ADF＝∠AED＝（180°﹣∠DAE）＝（90°+2α）＝45°+α；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵点E与点B关于直线AP对称，∴∠AEF＝∠ABF，AE＝AB．∴AE＝AD．∴∠ADE＝∠AED．∵∠AED+∠AEF＝180°，∴在四边形ABFD中，∠ADE+∠ABF＝180°，∴∠BFD+∠BAD＝180°，∴∠BFD＝90°∴BF⊥DF；（3）解：线段AF，BF，CF之间的数量关系为AF＝BF+CF，理由如下：过点B作BM⊥BF交AF于点M，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠ABM＝∠CBF，∵点E与点B关于直线AP对称，∠BFD＝90°，∴∠MFB＝∠MFE＝45°，∴△BMF是等腰直角三角形，∴BM＝BF，FM＝BF，在△AMB和△CFB中，，∴△AMB≌△CFB（SAS），∴AM＝CF，∵AF＝FM+AM，∴AF＝BF+CF．13．（Ⅰ）①解：∵等腰直角三角形OEF的直角顶点O在原点，OE＝2，∴∠EOF＝90°，OF＝OE＝2，∴EF＝＝＝2，∵将△OEF绕点O逆时针旋转，得△OE1F1，∴E1F1＝EF＝2；②证明：∵四边形OABC为正方形，∴OC＝OA．∵将△OEF绕点O逆时针旋转，得△OE1F1，∴∠AOE1＝∠COF1，∵△OEF是等腰直角三角形，∴△OE1F1是等腰直角三角形，∴OE1＝OF1．在△OAE1和△OCF1中，∴△OAE1≌△OCF1（SAS）；（Ⅱ）解：∵OE⊥OF，∴过点F与OE平行的直线有且只有一条，并与OF垂直，当三角板OEF绕O点逆时针旋转一周时，则点F在以O为圆心，以OF为半径的圆上．∴过点F与OF垂直的直线必是圆O的切线，又点C是圆O外一点，过点C与圆O相切的直线有且只有2条，不妨设为CF1和CF2，此时，E点分别在E1点和E2点，满足CF1∥OE1，CF2∥OE2．当切点F1在第二象限时，点E1在第一象限．在直角三角形CF1O中，OC＝4，OF1＝2，cos∠COF1＝＝＝，∴∠COF1＝60°，∴∠AOE1＝60°．∴点E1的横坐标＝2cos60°＝1，点E1的纵坐标＝2sin60°＝，∴点E1的坐标为（1，）；当切点F2在第一象限时，点E2在第四象限．同理可求：点E2的坐标为（1，﹣）．综上所述，当OE1∥CF1时，点E1的坐标为（1，）或（1，﹣）．14．解：（1）证明：∵菱形ABCD中，∠A＝90°∴菱形ABCD是正方形∴AD＝DC，∠A＝∠CDF＝90°在Rt△ADE与Rt△DCF中∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL）∴∠ADE＝∠DCF∴∠DCF+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝∠ADC＝90°∴∠CGD＝90°∴DE⊥CF（2）证明：∵四边形ABCD是菱形∴AD＝CD，∠B＝∠ADC，AD∥BC∴∠A+∠B＝180°∵∠EGC+∠B＝180°，∠EGC+∠CGD＝180°∴∠A＝∠EGC＝∠DGF，∠CGD＝∠B＝∠ADC ∵∠A＝∠DGF，∠ADE＝∠GDF∴△ADE∽△GDF∴∴∵∠CGD＝∠CDF，∠DCG＝∠FCD∴△DCG∽△FCD∴∴∵AD＝DC∴DE＝CF（3）如图，过点N作NP⊥CD于点P，连接FM∴∠CPN＝∠MPN＝90°∵四边形ABCD是正方形∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，BC＝CD∴四边形BCPN是矩形∴NP＝BC＝CD，PC＝BN＝在Rt△NPM与Rt△CDF中∴Rt△NPM≌Rt△CDF（HL）∴PM＝DF设PM＝DF＝x，则CM＝PC+PM＝+x∵由（1）得MN⊥CF，G为CF中点∴MN垂直平分CF∴MF＝MC∴∠MFC＝∠FCD＝15°∴∠DMF＝∠MFC+∠FCD＝30°∴Rt△DMF中，MF＝2DF＝2x，DM＝DF＝x ∴2x＝+x∴x＝∴DF＝，CM＝2，CD＝CM+DM＝2+∵∠GCM＝∠MCF，∠CGM＝∠CDF＝90°∴△CGM∽△CDF∴＝∴2CG2＝CD•CM＝（2+）＝8+4∴CG2＝4+2＝12+2+（）2＝（1+）2∴FG＝CG＝1+15．（1）证明：∵垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得：AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（2）①证明：连接BG、CE相交于点N，CE交AB于点M，如图2所示：∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠BMN＝90°，即CE⊥BG，∴四边形BCGE是垂美四边形；②解：∵四边形BCGE是垂美四边形，∴由（1）得：CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝＝＝3，∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴CG＝AC＝4，BE＝AB＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，∴GE＝．16．解：（1）观察猜想结论：AB+AC＝BD+CE，理由如下：如图①，∵DB⊥BC，EC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∠DAE＝90°，∴∠D+∠DAB＝∠DAB+∠EAC＝90°，∴∠D＝∠EAC，在△ADB和△EAC中，，∴△ADB≌△EAC（AAS），∴BD＝AC，EC＝AB，∴BC＝AB+AC＝BD+CE，故答案为：是，AB+AC＝BD+CE；（2）问题解决如图②，过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，由（1）得：△ABC≌△DEA（AAS），∴DE＝AB＝6，AE＝BC＝＝＝12，Rt△BDE中，BE＝AB+AE＝18，由勾股定理得：BD＝＝＝6；（3）拓展延伸如图③，过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，则四边形DEBF是矩形，同（1）得：△CED≌△AFD（AAS），∴CE＝AF，DE＝DF，∴四边形DEBF是正方形，设AF＝x，则BF＝DE＝DF＝x+5，在Rt△ADF中，由勾股定理得：x2+（x+5）2＝（）2，解得：x＝，或x＝﹣（舍去），∴AF＝，DF＝，∴BD＝DF＝，四边形ABCD的面积＝正方形DEBF的面积＝（）2＝，△ABD的面积＝AB×DF＝×5×＝，∴△BCD的面积＝四边形ABCD的面积﹣△ABD的面积＝BD×CG＝﹣＝51，∴CG＝＝6．17．（1）解：如图1中，∵AB＝BD，∠BAD＝45°，∴∠BDA＝∠BAD＝45°，∴∠ABD＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴E、C重合时BF＝BD＝AB，在Rt△ABF中，∵AF2＝AB2+BF2，∴（2）2＝（2BF）2+BF2，∴BF＝2，AB＝4，在Rt△ABD中，AD＝＝4；（2）证明：如图2中，在AF上截取AK＝HD，连接BK，∵∠AFD＝∠ABF+∠2＝∠FGD+∠3，∠ABF＝∠FGD＝90°，∴∠2＝∠3，在ABK和△DBH中，，∴△ABK≌△DBH，∴BK＝BH，∠6＝∠1，AK＝DH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠4＝∠1＝∠6＝45°，∴∠5＝∠ABD﹣∠6＝45°，∴∠5＝∠1，在△FBK和△FBH中，，∴△FBK≌△FBH，∴KF＝FH，∵AF＝AK+KF，∴AF＝DH+FH；（3）解：连接AN并延长到Q，使NQ＝AN，连接GQ，取AD的中点O，连接OG，∵∠AGD＝90°，∴点G的轨迹是以O为圆心，以OG为半径的弧，且OG＝4，当O，G，Q在同一条直线上时，QG的值最小，∴OQ＝10，OG＝4，∴GQ最小值为6，∵MN是△AGQ的中位线，∴MN的最小值为3．18．解：（1）∵把△BCE沿CE折叠，使点B落在点F处，∴∠BEC＝∠FEC，∵GH∥CE，∴∠FGE＝∠CEB，∠GFE＝∠FEC，∴∠EGF＝∠EFG，∴EG＝EF，∴△EFG是等腰三角形；（2）如图①，取CE的中点M，连接FM，∵把△BCE沿CE折叠，使点B落在点F处，∴∠EFC＝∠B＝90°，∴EM＝FM，∵AB∥CD，GH∥CE，∴四边形GECH是平行四边形，∴GH＝CE，∵F是GH中点，∴FG＝EM，∴四边形GEMF是平行四边形，∴GE＝FM，由（1）知，GE＝EF，∴EG＝GF＝EF，∴△EFG是等边三角形，∴∠FGE＝60°；（3）由（2）知，BE＝EF，AE＝EF，∴AE＝BE＝AB＝15，∴CH＝AE＝15，∴DH＝30﹣15＝15，∴AH＝＝＝25，如图②，过E作EN⊥AF于N，∴∠ANE＝∠B＝90°，∵CE∥AH，∴∠EAN＝∠BEC，∴△AEN∽△ECB，∴＝，∴＝，∴AN＝9，∴AF＝18，∴FH＝25﹣18＝7．19．解：（1）如图1，过D作DH⊥AB于H，∵A（﹣4，0），B（4，0），∴OA＝OB＝4，∴AB＝8，∵四边形ABCD的面积为32∴8DH＝32，∴DH＝4，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝8，∴AH＝＝＝4，∴OH＝AH﹣OA＝4﹣4，∴D（4﹣4，4）；（2）如图1，延长EF交x轴于G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠C＝∠FBG，∠CEF＝∠FGB，∵CF＝BF，∴△CEF≌△BGF（AAS），∴EF＝FG，CE＝BG，∴EG＝2EF，过E作EP⊥x轴于P，∴EP＝DH＝4，∵CD＝AB＝8，∴设D（a，4）则C（8+a，4），∵点E为CD的中点，∴E（4+a，4），∴AP＝8+a，PG＝4﹣a，∴PE2＝AP•PG，∴（8+a）•（4﹣a）＝16，∴a＝2﹣2（负值舍去），∴AP＝6+2，PG＝6﹣2，∴AE＝＝4，EG＝＝4，∴AE+2EF＝AE+EG＝4+8；（3）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝4，∴AC＝＝4，作B关于AC的对称点M′，连接BM′交AC于E，则BM′＝2BE＝2×＝2×＝，过M′作M′N⊥AB于N交AC于M，则此时，BM+MN的值最小，且BM+MN的最小值＝M′N，∵∠M′EM＝∠CEB＝90°，BE＝，BC＝4，∴CE＝，∴CM＝2CE＝，∴AM＝，∴AM2﹣AN2＝BM2﹣BN2，∴（）2﹣AN2＝42﹣（8﹣AN）2，∴AN＝，∴MN＝＝，∴M′N＝，∴BM+MN的最小值为．20．解：（1）∵，∴a﹣4＝0，b+6＝0，∴a＝4，b＝﹣6，∵四边形OABC是正方形，点B的横坐标为a，∴OA＝4，∵四边形DEFG为长方形，点G的坐标为（b，﹣b），∴F的纵坐标为：﹣b＝6，OD＝6，∵DE＝OA，∴OE＝OD﹣DE＝OD﹣OA＝6﹣4＝2，∴F（﹣2，6）（2）∵OE＝2，AD＝2OA+OE＝2×4+2＝10，AE＝OA+OE＝4+2＝6，长方形DEFG以每秒1个单位长度的速度向右平移，∴当0＜t≤2，t≥10时，S＝0；当2＜t≤6时，点E'在OA上，如图1所示：S＝OC•OE′＝4（t﹣2）＝4t﹣8；当6＜t＜10时，点D'在OA上，如图2所示：S＝AB•AD'＝4（10﹣t）＝40﹣4t；∴S＝；（3）∵D′G′＝DG＝6，当三角形PD'G'的面积为15时，∴点P到D′G′的距离为5，∵长方形DEFG以每秒1个单位长度的速度向右平移，点P从点O出发，沿正方形的边以每秒2个单位长度的速度顺时针方向运动（即O→C→B→A→O→C），∵当点P再次运动到AO、OC时，△PD'G'的面积＜15，∴分两种情况：①当t＝3s时，点P在BC的中点处，如图3所示：即PC＝2，DG向右平移了3个单位长度，OD′＝OD﹣3＝6﹣3＝3，此时，PC+OD′＝2+3＝5，即点P到D′G′的距离为5，P的坐标为：（2，4），OE′＝D′E′﹣OD′＝4﹣3＝1，∴S＝OC•OE′＝4×1＝4；②当t＝5s时，点P在AB的中点处，如图4所示：即AP＝2，DG向右平移了5个单位长度，OD′＝OD﹣5＝6﹣5＝1，此时，OA+OD′＝4+1＝5，即点P到D′G′的距离为5，P的坐标为：（4，2），OE′＝D′E′﹣OD′＝4﹣1＝3，∴S＝OC•OE′＝4×3＝12．。

中考数学总复习《四边形的综合题》专项练习及答案

中考数学总复习《四边形的综合题》专项练习及答案班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．若某多边形的内角和等于外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．6B．8C．10D．122．如图，正方形ABCD的边长为4，点P从点A出发，沿正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC 的面积y与点P运动的路程x间的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．3．若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（）A．5或6B．6或7C．5或6或7D．6或7或84．如图，将边长相等的正方形、正五边形和正六边形摆放在平面上，则∠1为()A．32∘B．36∘C．40∘D．42∘5．在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AO=4，BO=3，则菱形的边长AB等于（）A．10B．8C．6D．56．下列各组图形中，不一定相似的是（）A．任意两个等腰直角三角形B．任意两个等边三角形C．任意两个矩形D．任意两个正方形7．如图，▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,DE平分∠ADC交BC于点E,∠BCD=60°,AD=2AB,连接OE.下列结论：①S▱ABCD=AB⋅BD；②DB平分∠ADE；③AB=DE；④S△CDE=S△BOC，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它绕着BC中点D顺时针旋转一定角度（小于90°）后得到△A′B′C′，恰好使B′C′△AB，A'C′与AB交于点E，则A′E的长为（）A．3B．3.2C．3.5D．3.69．下列角度中，是多边形内角和的只有（）A．270°B．560°C．630°D．1 800°10．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形EFCD的周长为（）A．28B．26C．24D．2011．如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE△BC于E，连接OE，若△ABC＝140°，则△OED的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°12．如图，在平面直角坐标系内，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A，D在x轴的负半轴上，点F在AB上，点B，E均在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，若点B的坐标为(−1，6)，则正方形ADEF的周长为（）A．4B．6C．8D．10二、填空题13．矩形ABCD中，AB=6，BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE△△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为数.14．如图，在一块长AB=26m，宽BC=18m的长方形草地上，修建三条宽均为3m的长方形小路，则这块草地的绿地面积（图中空白部分）为m215．如图，点E、F分别在矩形ABCD的边BC、CD上，DE与AF相交于点P．已知DF＝6，AP＝5√6．若将矩形ABCD沿AF折叠后，点D恰好与点E重合，则PF＝；△ABE的面积为．16．如图，已知BE和CF是△ABC的两条高，△ABC=48°，△ACB=76°，则△FDE=．17．正方形的对角线长为2，则正方形的边长为cm.面积为cm2.18．如图，PA,PB分别切△ O于点A,B，若∠P=700，点C为△ O上任一动点，则∠C的大小为°.三、综合题19．如图，AB△CD，AB=CD，点E，F在BC上，且BE=CF．（1）求证：△ABE△△DCF；（2）试证明：以A，F，D，E为顶点的四边形是平行四边形．20．如图，四边形ABCD是菱形，△ABC＝60°，AB＝10，连接BD，点P是BC上的点，连接AP，交BD于点E，连接EC（1）求证：△ABE△△CBE；（2）求菱形ABCD的面积；（3）当点P在线段BC的延长线上时是否存在点P，使得△PEC是直角三角形？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．21．已知，平行四边形ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE=DF，连接AE、EC、FC、AF．（1）如图1，求证：四边形AECF 是平行四边形．（2）如图2，当EF =2BD 时在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个三角形，使写出的每个三角形面积都等于三角形ABD 面积的32．22．综合与实践（1）问题发现如图1，已知△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ，求△AEB 的度数及线段AD ，BE 之间的数量关系；（2）类比探究如图2，若△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，△ACB=△DCE=90°，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE填空：①△AEB 的度数为；②线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系为．（3）拓展延伸在（2）的条件下，若BE=4，CM=3，则四边形ABEC 的面积为．23．如图，若 △A 1B 1C 1 是由ABC 平移后得到的，且 △ABC 中任意一点 P(x,y) 经过平移后的对应点为 P 1(x −5,y +2)（1）求点小A1,B1,C1的坐标。

中考数学总复习《四边形的综合题》专项测试卷-附参考答案

中考数学总复习《四边形的综合题》专项测试卷-附参考答案一、单选题(共12题；共24分)1．如图在平行四边形ABCD中，已知AC=6cm，若△ACD的周长为16cm，则平行四边形ABCD的周长为（）A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm2．一个十边形的内角和等于（）A．1800°B．1660°C．1440°D．1200°3．下列命题正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形；B．有三个角是直角的四边形是矩形；C．对角线相等的四边形是矩形；D．对角线互相平分的四边形是矩形；4．6张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，则按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（）A．a＝2b B．a＝3b C．a＝4b D．a＝b5．如图，菱形ABCD中，∠ABC=150°，DH⊥AB于H，交对角线AC于E，过E作EF⊥AD于F．若△DEF的周长为3+√3，则菱形ABCD的面积为（）A．18B．14+8√3C．7+4√3D．12+6√36．小明在计算某多边形的内角和时，则由于马虎漏掉了一个角，结果得到970°，则原多边形是一个（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形7．如图，四边形ABCD四边的中点分别为E，F，G，H，对角线AC与BD相交于点O，若四边形EFGH的周长是3，则AC＋BD的长为（）A．3B．6C．9D．128．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”.若Rt△ABC 是“匀称三角形”，且∠C=90°，AC>BC则AC：BC：AB为（）A．√3：1：2B．2：√3：√7C．2：1：√5D．无法确定9．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，FE交AC于O点，交CB的延长线于G点，那么S△AOF：S△COG＝（）A．1：4B．1：9C．1：16D．1：2510．□ABCD中，△B＝50°，则△C＝()A．40°B．50°C．130°D．140°11．用一批完全相同的正多边形能镶嵌成一个平面图案的是（）A．正五边形B．正六边形C．正七边形D．正八边形12．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，图中等腰三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题(共6题；共8分)13．如图，在矩形ABCD中AB=6，BC=9点P是矩形ABCD内一动点，且SΔABP=SΔCDP，则PC+PD的最小值为.14．如图，AD是锐角△ABC的BC边上的高，正方形EFGH的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，若BC＝15，AD＝10，则EF的长为.15．如图，在矩形ABCD中AB=4，BC=6对角线AC的垂直平分线分别交AC，AD，BC于点.O，E，F，连结AF，CE，则AEBF=16．已知一个多边形的所有内角与它的一个外角之和是2400°，那么这个多边形的边数是，这个外角的度数是.17．如图，□ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到□AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则△C=18．图是一张矩形纸片ABCD，点E在AB边上，把△ADE沿直线DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，点G在BC边上，把△CDG沿直线DG折叠，使点C恰好落在线段DF上的点H处，∠EDG=°.若BF+CG=32FG ，则CGCD=.三、综合题(共6题；共65分)19．如图，在△ACB中∠ABC=90°，点D是斜边AC上的一点DA=DB，点F是AB的中点，过点C作CE//BD交FD的延长线于点E．（1）求证：四边形CBDE是平行四边形；（2）联结BE、AE，如果∠CBE=45°，求证：AB=3BC．20．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F F在边CD上，且FC= AE连接AF和BF.（1）求证：四边形DEBF是矩形；（2）若AF平分∠DAB，FC=6和DF=10，求BF的长.21．已知：在△ABC中，AB=AC，AD△BC于点D，分别过点A和点C作BC、AD边的平行线交于点E．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）连结BE，若cos∠ABD=12，AD= 2√3求BE的长．22．如图，在△ABC中AD⊥BC，垂足为D，与BC=12,AD=6,tanC=3 2 .（1）求sin∠ABD的值；（2）过点B作BE⊥BC，若BE=10求AE的长.23．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．（1）求证：△ADE△△ABF；（2）若BC=12，DE=5，求△AEF的面积．24．如图，在梯形ABCD中，AD△BC，△B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从A点开始沿边AD以每秒1cm的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿CB以每秒3cm的速度向B移动，P、Q同时出发．（1）当运动多少秒时，则四边形PQCD是平行四边形？（2）当运动多少秒时，则四边形PQCD是直角梯形？（3）多少秒后，梯形PQCD是等腰梯形？参考答案1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】A 8．【答案】B 9．【答案】B 10．【答案】C 11．【答案】B 12．【答案】D 13．【答案】3√13 14．【答案】6 15．【答案】13516．【答案】15；60° 17．【答案】105 18．【答案】45；2519．【答案】（1）证明： ∵DA =DB∴ΔADB 是等腰三角形 ∵ 点 F 是 AB 的中点 ∴DF ⊥AB ∴∠AFD =90° ∵∠ABC =90° ∴∠AFD =∠ABC ∴EF//BC ∵EC//DB∴ 四边形 CBDE 是平行四边形（2）解： ∵DF ⊥AB ，点 F 是 AB 的中点 ∴EF 垂直平分 AB∴DF =12BC∵四边形CBDE是平行四边形∴BC=DE∴EF=DF+DE=32BC∵BE平分∠ABC∴∠FBE=45°∴∠FBE=∠FEB=45°∴BF=EF∴BF=32BC∴AB=2BF=3BC 20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴CD//AB∵FC=AE∴CD−FC=AB−AE即DF=BE∴四边形DEBF是平行四边形又∵DE⊥AB∴∠DEB=90°∴平行四边形DEBF是矩形；（2）解：∵AF平分∠DAB∴∠DAF=∠BAF∵CD//AB∴∠DFA=∠BAF∴∠DFA=∠DAF∴AD=DF=10在Rt△AED中，AE=FC=6，由勾股定理得：DE=√AD2−AE2=√102−62=8由（1）得四边形DEBF是矩形∴BF=DE=8.21．【答案】（1）证明：∵AE // BC，CE // AD∴四边形ADCE是平行四边形∵AD △BC，AB=AC∴△ADC=90°∴平行四边形ADCE是矩形（2）解：连接DE,如图：在Rt△ABD中，△ADB =90°∵cos∠ABD=1 2∴BD AB=12∴设BD=x，AB=2x∴AD= √3x∵AD= 2√3∴x=2∴BD=2∵AB=AC，AD△BC∴BC=2BD=4∵矩形ADCE中，EC=AD= 2√3, BC=4∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得BE= √BC2+EC2= √42+(2√3)2= 2√7 22．【答案】（1）解：在Rt△ADC中∵AD=6,tanC=3 2∴CD=4∴BD=12－4=8在Rt△ABD中，根据勾股定理可得AB=√BD2+AD2=10∴sin∠ABD=ADAB=610=35（2）解：作AF△BE于点F∵BE⊥BC∴四边形ADBF是矩形∴AF=BD=8，AD=BF=6∴EF=10－6=4在Rt△AEF中，根据勾股定理可得AB=√AF2+EF2=4√5 23．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形∴AD=AB，△D=△ABC=90°而F是CB的延长线上的点∴△ABF=90°在△ADE和△ABF中∵{AB=AD∠ABF=∠ADEBF=DE∴△ADE△△ABF（SAS）（2）解：∵BC=12，∴AD=12在Rt△ADE中，DE=5，AD=12∴AE= √AD2+DE2=13∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90°得到∴AE=AF，△EAF=90°∴△AEF的面积= 12AE2= 12×169=84.524．【答案】（1）解：根据题意得：PA=tcm，CQ=3tcm，则PD=AD﹣PA=24﹣t（cm）．∵AD△BC即PD△CQ∴当PD=CQ时，则四边形PQCD为平行四边形即24﹣t=3t解得：t=6即当t=6s时，则四边形PQCD为平行四边形（2）解：当PA=BQ时，则四边形PQCD是直角梯形∴t=26﹣3t∴t= 13 2即t= 132s时，则四边形PQCD是直角梯形（3）解：过D作DE△BC于E则四边形ABED为矩形∴BE=AD=24cm∴EC=BC﹣BE=2cm当PQ=CD时，则四边形PQCD为等腰梯形，如图所示：过点P作PF△BC于点F，过点D作DE△BC于点E则四边形PDEF是矩形∴EF=PD，PF=DE在Rt△PQF和Rt△CDE中{PF=DEPQ=CD∴Rt△PQF△Rt△CDE（HL）∴QF=CE∴QC﹣PD=QC﹣EF=QF+EC=2CE即3t﹣（24﹣t）=4解得：t=7即当t=7s时，则四边形PQCD为等腰梯形．第11页共11。

2020年九年级数学典型中考压轴题训练：《四边形综合》含答案

2020年九年级数学典型中考压轴题训练：《四边形综合》1．如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，3）、B（9，5），C（14，0），动点P与Q同时从O点出发，运动时间为t秒，点P沿OC 方向以1单位长度/秒的速度向点C运动，点Q沿折线OA﹣AB﹣BC运动，在OA、AB、BC 上运动的速度分别为3，，（单位长度/秒），当P、Q中的一点到达C点时，两点同时停止运动．（1）求AB所在直线的函数表达式；（2）如图2，当点Q在AB上运动时，求△CPQ的面积S关于t的函数表达式及S的最大值；（3）在P、Q的运动过程中，若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点，求相应的t值．解：（1）设AB所在直线的函数表达式为y＝kx+b，把A（3，3）、B（9，5）代入得：，解得：，∴AB所在直线的函数表达式为y＝x+2；（2）如图1，由题意得：OP＝t，则PC＝14﹣t，过A作AD⊥x轴于D，过B作BF⊥x轴于F，过Q作QH⊥x轴于H，过A作AE⊥BF于E，交QH于G，∵A（3，3），∴OD＝3，AD＝3，由勾股定理得：OA＝6，∵B（9，5），∴AE＝9﹣3＝6，BE＝5﹣3＝2，Rt△AEB中，AB＝＝4，tan∠BAE＝＝＝，∴∠BAE＝30°，点Q过OA的时间：t＝＝2（秒），∴AQ＝（t﹣2），∴QG＝AQ＝，∴QH＝+3＝t+2，在△PQC中，PC＝14﹣t，PC边上的高为t+2，t＝＝4（秒），∴S＝（14﹣t）（t+2）＝﹣+t+14（2≤t≤6），∴当t＝5时，S有最大值为；（3）①当0＜t≤2时，线段PQ的中垂线经过点C（如图2），过Q作QG⊥x轴于G，由题意得：OQ＝3t，OP＝t，∠AOG＝60°，∴∠OQG＝30°，∴OG＝t，∴CG＝14﹣t，sin60°＝，∴QG＝×3t＝t，在Rt△QGC中，由勾股定理得：QG2+CG2＝QC2＝PC2，可得方程（）2+（14﹣t）2＝（14﹣t）2，解得：t1＝，t2＝0（舍），此时t＝，②当2＜t≤6时，线段PQ的中垂线经过点A（如图3），∴AQ＝AP，过A作AG⊥x轴于G，由题意得：OP＝t，AQ＝（t﹣2），则PG＝t﹣3，AP＝（t﹣2），在Rt△AGP中，由勾股定理得：AP2＝AG2+PG2，可得方程：（3）2+（t﹣3）2＝[（t﹣2）]2，解得：t1＝，t2＝（舍去），此时t＝；当PQ的垂直平分线经过点C时，如图3﹣1中，易知QC＝PC＝14﹣t，QG＝t+2，CG＝14﹣t，在Rt△QCG中，（14﹣t）2＝（t﹣2）2+（14﹣t）2，整理得t2﹣4t+6＝0，△＜0，无解．此种情形不存在．③当6＜t≤10时，i）线段PQ的中垂线经过点C（如图4），∴PC＝CQ，由（2）知：OA＝6，AB＝4，BC＝10，t＝+＝6，∴BQ＝（t﹣6），∴CQ＝BC﹣BQ＝10﹣（t﹣6）＝25﹣t，可得方程为：14﹣t＝25﹣t，解得：t＝；ii）线段PQ的中垂线经过点B（如图5），∴BP＝BQ，过B作BG⊥x轴于G，则BG＝5，PG＝t﹣9，BQ＝（t﹣6），由勾股定理得：BP2＝BG2+PG2，可得方程为：（5）2+（t﹣9）2＝[（t﹣6）]2，解得：t1＝，t2＝（舍去），此时t＝，综上所述，t的值为或或或．2．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE＝DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH．（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是CH＝AB；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．解：（1）如图1，连接BE，，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠BCD＝∠ABC＝90°，∵点E是DC的中点，DE＝DF，∴点F是AD的中点，∴AF＝CE，在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE，∴∠1＝∠2，∵EH⊥BF，∠BCE＝90°，∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∵∠3+∠4＝90°，∠1+∠HBC＝90°，∴∠4＝∠HBC，∴CH＝BC，又∵AB＝BC，∴CH＝AB．故答案为：CH＝AB．（2）当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论CH＝AB仍然成立．如图2，连接BE，，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠BCD＝∠ABC＝90°，∵AD＝CD，DE＝DF，∴AF＝CE，在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE，∴∠1＝∠2，∵EH⊥BF，∠BCE＝90°，∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∵∠3+∠4＝90°，∠1+∠HBC＝90°，∴∠4＝∠HBC，∴CH＝BC，又∵AB＝BC，∴CH＝AB．（3）如图3，，∵CK≤AC+AK，∴当C、A、K三点共线时，CK的长最大，∵∠KDF+∠ADH＝90°，∠HDE+∠ADH＝90°，∴∠KDF＝∠HDE，∵∠DEH+∠DFH＝360°﹣∠ADC﹣∠EHF＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∠DFK+∠DFH＝180°，∴∠DFK＝∠DEH，在△DFK和△DEH中，∴△DFK≌△DEH，∴DK＝DH，在△DAK和△DCH中，∴△DAK≌△DCH，∴AK＝CH又∵CH＝AB，∴AK＝CH＝AB，∵AB＝3，∴AK＝3，AC＝3，∴CK＝AC+AK＝AC+AB＝，即线段CK长的最大值是．3．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．解：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∠FAB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，∵DE＝2BE，∴BD＝CD＝3BE，∴CE＝CD+DE＝5BE，∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴，∵QB＝3，∴NC＝5，∵AN＝CN，∴AC＝2CN＝10，∴AB＝AC＝10．4．如图，线段AB＝8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．（1）求证：△AEP≌△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；（3）求△AEF的周长．解：（1）证明：∵四边形APCD正方形，∴DP平分∠APC，PC＝PA，∴∠APD＝∠CPD＝45°，∴△AEP≌△CEP（SAS）；（2）CF⊥AB，理由如下：∵△AEP≌△CEP，∴∠EAP＝∠ECP，∵∠EAP＝∠BAP，∴∠BAP＝∠FCP，∵∠FCP+∠CMP＝90°，∠AMF＝∠CMP，∴∠AMF+∠PAB＝90°，∴∠AFM＝90°，∴CF⊥AB；（3）过点C作CN⊥PB．∵CF⊥AB，BG⊥AB，∴FC∥BN，∴∠CPN＝∠PCF＝∠EAP＝∠PAB，又AP＝CP，∴△PCN≌△APB（AAS），∴CN＝PB＝BF，PN＝AB，∵△AEP≌△CEP，∴AE＝CE，∴AE+EF+AF＝CE+EF+AF＝BN+AF＝PN+PB+AF＝AB+CN+AF＝AB+BF+AF＝2AB＝16．5．已知：正方形ABCD，等腰直角三角形的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；（2）在（1）的条件下，若DE＝1，AE＝，CE＝3，求∠AED的度数；（3）若BC＝4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，当三角板的一边DF 与边DM重合时（如图2），若OF＝，求CN的长．解：（1）CE＝AF；证明：在正方形ABCD，等腰直角三角形CEF中，FD＝DE，CD＝CA，∠ADC＝∠EDF＝90°∴∠ADF＝∠CDE，∴△ADF≌△CDE，∴CE＝AF，（2）∵DE＝1，AE＝，CE＝3，∴EF＝，∴AE2+EF2＝AF2∴△AEF为直角三角形，∴∠AEF＝90°∴∠AED＝∠AEF+DEF＝90°+45°＝135°；（3）∵M是AB中点，∴MA＝AB＝AD，∵AB∥CD，∴＝＝＝，在Rt△DAM中，DM＝＝＝2，∴DO＝，∵OF＝，∴DF＝，∵∠DFN＝∠DCO＝45°，∠FDN＝∠CDO，∴△DFN∽△DCO，∴＝，∴＝，∴DN＝，∴CN＝CD﹣DN＝4﹣＝6．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB．（1）求OA、OB的长．（2）若点E为x轴上的点，且S△AOE＝，试判断△AOE与△AOD是否相似？并说明理由．（3）在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F为顶点的三角形是等腰三角形？如果存在，请直接写出点F的坐标．解：（1）x2﹣7x+12＝0，因式分解得，（x﹣3）（x﹣4）＝0，由此得，x﹣3＝0，x﹣4＝0，所以，x1＝3，x2＝4，∵OA＞OB，∴OA＝4，OB＝3；（2）S△AOE＝×4•OE＝，解得OE＝，∵＝＝，＝＝，∴＝，又∵∠AEO＝∠OAD＝90°，∴△AOE∽△AOD；（3）∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，∴BC＝AD＝6，∵OB＝3，∴OC＝6﹣3＝3，由勾股定理得，AC＝＝＝5，易求直线AB的解析式为y＝x+4，设点F的坐标为（a，a+4），则AF2＝a2+（a+4﹣4）2＝a2，CF2＝（a﹣3）2+（a+4）2＝a2+a+25，①若AF＝AC，则a2＝25，解得a＝±3，a＝3时，a+4＝×3+4＝8，a＝﹣3时，a+4＝×（﹣3）+4＝0，所以，点F的坐标为（3，8）或（﹣3，0）；②若CF＝AC，则a2+a+25＝25，整理得，25a2+42a＝0，解得a＝0（舍去），a＝﹣，a+4＝×（﹣）+4＝，所以，点F的坐标为（﹣，），③若AF＝CF，则a2＝a2+a+25，解得a＝﹣，a+4＝×（﹣）+4＝﹣，所以，点F的坐标为（﹣，﹣），综上所述，点F的坐标为（3，8）或（﹣3，0）或（﹣，）或（﹣，﹣）时，以A、C、F为顶点的三角形是等腰三角形．7．如图①，在矩形ABCD中，点P从AB边的中点E出发，沿着E﹣B﹣C匀速运动，速度为每秒2个单位长度，到达点C后停止运动，点Q是AD上的点，AQ＝10，设△APQ的面积为y，点P运动的时间为t秒，y与t的函数关系如图②所示．（1）图①中AB＝8 ，BC＝18 ，图②中m＝20 ；（2）当t＝1秒时，试判断以PQ为直径的圆是否与BC边相切？请说明理由；（3）点P在运动过程中，将矩形沿PQ所在直线折叠，则t为何值时，折叠后顶点A的对应点A′落在矩形的一边上．解：（1）∵点P从AB边的中点E出发，速度为每秒2个单位长度，∴AB＝2BE，由图象得：t＝2时，BE＝2×2＝4，∴AB＝2BE＝8，AE＝BE＝4，t＝11时，2t＝22，∴BC＝22﹣4＝18，当t＝0时，点P在E处，m＝△AEQ的面积＝AQ×AE＝×10×4＝20；故答案为：8，18，20；（2）当t＝1秒时，以PQ为直径的圆不与BC边相切，理由如下：当t＝1时，PE＝2，∴AP＝AE+PE＝4+2＝6，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴PQ＝＝＝2，设以PQ为直径的圆的圆心为O'，作O'N⊥BC于N，延长NO'交AD于M，如图1所示：则MN＝AB＝8，O'M∥AB，MN＝AB＝8，∵O'为PQ的中点，∴O''M是△APQ的中位线，∴O'M＝AP＝3，∴O'N＝MN﹣O'M＝5＜，∴以PQ为直径的圆不与BC边相切；（3）分三种情况：①当点P在AB边上，A'落在BC边上时，作QF⊥BC于F，如图2所示：则QF＝AB＝8，BF＝AQ＝10，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝18，由折叠的性质得：PA'＝PA，A'Q＝AQ＝10，∠PA'Q＝∠A＝90°，∴A'F＝＝6，∴A'B＝BF﹣A'F＝4，在Rt△A'BP中，BP＝4﹣2t，PA'＝AP＝8﹣（4﹣2t）＝4+2t，由勾股定理得：42+（4﹣2t）2＝（4+2t）2，解得：t＝；②当点P在BC边上，A'落在BC边上时，连接AA'，如图3所示：由折叠的性质得：A'P＝AP，∴∠APQ'＝∠A'PQ，∵AD∥BC，∴∠AQP＝∠A'PQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴AP＝AQ＝A'P＝10，在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP＝＝6，又∵BP＝2t﹣4，∴2t﹣4＝6，解得：t＝5；③当点P在BC边上，A'落在CD边上时，连接AP、A'P，如图4所示：由折叠的性质得：A'P＝AP，A'Q＝AQ＝10，在Rt△DQA'中，DQ＝AD﹣AQ＝8，由勾股定理得：DA'＝＝6，∴A'C＝CD﹣DA'＝2，在Rt△ABP和Rt△A'PC中，BP＝2t﹣4，CP＝BC﹣BP＝18﹣（2t﹣4）＝22﹣2t，由勾股定理得：AP2＝82+（2t﹣4）2，A'P2＝22+（22﹣2t）2，∴82+（2t﹣4）2＝22+（22﹣2t）2，解得：t＝；综上所述，t为或5或时，折叠后顶点A的对应点A′落在矩形的一边上．8．已知：如图①，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P是AD的中点，点F是AB上的动点，PE⊥PF交BC所在直线于点E，连接EF．（1）EF的最小值是为 5 ；（2）点F从A点向B点运动的过程中，∠PFE的大小是否改变？请说明理由；（3）如图②延长FP交CD延长线于点M，连接EM、Q点是EM的中点．①当AF＝1时，求PQ的长；②请直接写出点F从A点运动到B点时，Q点经过的路径长为．解：（1）当PF和PE最短时，EF有最小值，此时点F与A重合，如图1所示：则四边形PABE是矩形，∴PE＝AB＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝4，∠A＝∠ADC＝90°，∵点P是AD的中点，∴PA＝3，即PF＝3，由勾股定理得：EF＝＝＝5，即EF的最小值为5；故答案为：5；（2）∠PFE的大小不改变，理由如下：作EG⊥AD于G，如图2所示：则EG＝CD＝4，∵PE⊥PF，∴∠EPF＝90°，∴∠APF+∠GPE＝90°，∵∠APF+∠AFP＝90°，∴∠AFP＝∠GPE，又∵∠A＝∠EPF＝90°，∴△APF∽△GEP，∴＝＝，∴tan∠PFE＝＝，∴∠PFE的大小不改变；（3）①如图，∵∠ADC＝90°，∴∠PDM＝90°，在△APF和△DPM中，，∴△APF≌△DPM（ASA），∴AF＝DM＝1，PF＝FM，∴CM＝4+1＝5，∵PE⊥PF，∴PE垂直平分FM，∴EF＝EM，设CE＝x，则BE＝6﹣x，由勾股定理得：EF2＝bf2+BE2＝32+（6﹣x）2，EM2＝CE2+CM2＝x2+52，∴32+（6﹣x）2＝x2+52解得：x＝，∴CE＝，EM＝＝，∵∠EPF＝90°，Q点是EM的中点，∴PQ＝EM＝；②如图③中，点Q的运动轨迹是线段QQ1．作QH⊥AD于H．当点F与A重合时，点Q是矩形CDPE对角线DE的中点，则QH＝2，DH＝，当点F与B重合时，点Q1在AD的延长线上，设BE1＝M1E1＝m，在Rt△CM1E1中，m2＝（m﹣6）2+82，解得：m＝，∴CE1＝﹣6＝，∴DQ1＝CE1＝，∴HQ1＝+＝，在Rt△HQQ1中，QQ1＝＝，∴点P的运动路径为；故答案为：．9．在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）．（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在请求出AD的长度；若不存在，请说明理由：（3）①求证：；②设AD＝x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式并求出当点D运动到何处时，y有最小值？解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC＝OA＝2，OC＝AB＝2，∠BCO＝∠BAO＝90°，∴B（2，2）；故答案为（2，2）；（2）存在；理由如下：∵OA＝2，OC＝2，∵tan∠ACO＝＝＝，∴∠ACO＝30°，∠ACB＝60°，分两种情况：①当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，如图1所示：∴∠DCE＝∠EDC＝30°，∴∠DBC＝∠BCD＝60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC＝BC＝2，在Rt△AOC中，∠ACO＝30°，OA＝2，∴AC＝2AO＝4，∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2＝2，∴当AD＝2时，△DEC是等腰三角形；②当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD＝CE，∠DBC＝∠DEC＝∠CDE ＝15°，如图2所示：∴∠ABD＝∠ADB＝75°，∴AB＝AD＝2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2；（3）①证明：过点D作MN⊥AB交AB于M，交OC于N，如图3所示：∵A（0，2）和C（2，0），∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，设D（a，﹣a+2），∴DN＝﹣a+2，BM＝2﹣a，∵∠BDE＝90°，∴∠BDM+∠NDE＝90°，∠BDM+∠DBM＝90°，∴∠DBM＝∠EDN，∵∠BMD＝∠DNE＝90°，∴△BMD∽△DNE，∴＝＝＝；②作DH⊥AB于H，如图4所示：在Rt△ADH中，∵AD＝x，∠DAH＝∠ACO＝30°，∴DH＝AD＝x，AH＝＝＝x，∴BH＝2﹣x，在Rt△BDH中，BD＝＝＝，∴DE＝BD＝，∴矩形BDEF的面积为y＝（）2＝（x2﹣6x+12）＝x2﹣2x+4，∴y＝（x﹣3）2+，∵＞0，∴x＝3时，y有最小值，即当点D运动到距A点的距离为3时，y有最小值．10．如图，已知正方形ABCD的边长为4、点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG、顶点G在线段PC上，对角线EG、PF 相交于点O．（1）若AP＝1，则AE＝；（2）①点O与△APE的位置关系是点O在△APE的外接圆上，并说明理由；②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；（3）在点P从点A到点B的运动过程中，线段AE的大小也在改变，当AP＝ 2 ，AE 达到最大值，最大值是 1 ．解：（1）∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，∴∠A＝∠B＝∠EPG＝90°，PF⊥EG，AB＝BC＝4，∠OEP＝45°，∴∠AEP+∠APE＝90°，∠BPC+∠APE＝90°，∴∠AEP＝∠BPC，∴△APE∽△BCP，∴，即，解得：AE＝；故答案为：；（2）①点O在△APE的外接圆上，理由是：证明：如图1，取PE的中点Q，连接AQ，OQ，∵∠POE＝90°，∴OQ＝PE，∵△APE是直角三角形，∴点Q是Rt△APE外接圆的圆心，∴AQ＝PE，∴OQ＝AQ＝EQ＝PQ，∴O在以Q为圆心，以OQ为半径的圆上，即点O在△APE的外接圆上；（到圆心的距离等于半径的点必在此圆上），故答案为：点O在△APE的外接圆上；②连接OA、AC，如图2所示，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∠BAC＝45°，∴AC＝＝4，∵A、P、O、E四点共圆，∴∠OAP＝∠OEP＝45°，∴点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，OA＝AC＝2，即点O经过的路径长为2；（3）设AP＝x，则BP＝4﹣x，由（1）得：△APE∽△BCP，∴，∴，∴AE＝（x﹣2）2+1，∴x＝2时，AE的最大值为1，即当AP＝2时，AE的最大值为1．故答案为：2，1．11．正方形ABCD的边长为6cm，点E、M分别是线段BD、AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N．（1）如图1，若点M与点D重合，求证：AF＝MN；（2）如图2，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B 出发，以cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为ts．①设BF＝ycm，求y关于t的函数表达式；②当BN＝2AN时，连接FN，求FN的长．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°，∵MN⊥AF，∴∠AHM＝90°，∴∠BAF+∠MAH＝∠MAH+∠AMH＝90°，∴∠BAF＝∠AMH，在△AMN与△ABF中，，∴△AMN≌△ABF，∴AF＝MN；（2）①∵AB＝AD＝6，∴BD＝6，由题意得，DM＝t，BE＝t，∴AM＝6﹣t，DE＝6﹣t，∵AD∥BC，∴△ADE∽△FBE，∴，即，∴y＝；②∵BN＝2AN，∴AN＝2，BN＝4，由（1）证得∠BAF＝∠AMN，∵∠ABF＝∠MAN＝90°，∴△ABF∽△MAN，∴＝，即＝，∴BF＝，由①求得BF＝，∴＝，∴t＝2，∴FN＝＝5cm．12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将对角线AC绕对角线交点O旋转，分别交边AD、BC于点E、F，点P是边DC上的一个动点，且保持DP＝AE，连接PE、PF，设AE＝x （0＜x＜3）．（1）填空：PC＝3﹣x，FC＝x；（用含x的代数式表示）（2）求△PEF面积的最小值；（3）在运动过程中，PE⊥PF是否成立？若成立，求出x的值；若不成立，请说明理由．解：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，DC＝AB＝3，AO＝CO∴∠DAC＝∠ACB，且AO＝CO，∠AOE＝∠COF∴△AEO≌△CFO（ASA）∴AE＝CF∵AE＝x，且DP＝AE∴DP＝x，CF＝x，DE＝4﹣x，∴PC＝CD﹣DP＝3﹣x故答案为：3﹣x，x（2）∵S△EFP ＝S梯形EDCF﹣S△DEP﹣S△CFP，∴S△EFP＝﹣﹣×x×（3﹣x）＝x2﹣x+6＝（x﹣）2+∴当x＝时，△PEF面积的最小值为（3）不成立理由如下：若PE⊥PF，则∠EPD+∠FPC＝90°又∵∠EPD+∠DEP＝90°∴∠DEP＝∠FPC，且CF＝DP＝AE，∠EDP＝∠PCF＝90°∴△DPE≌△CFP（AAS）∴3﹣x＝4﹣x则方程无解，∴不存在x的值使PE⊥PF，即PE⊥PF不成立．13．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上．∠OAB＝90°且OA＝AB，OB，OC的长分别是二元一次方程组的解（OB＞OC）．（1）求点A和点B的坐标；（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R．设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t＝4时，直线l恰好过点C．①当0＜t＜3时，求m关于t的函数关系式；②当m＝时，求点P的横坐标t的值．解：（1）方程组的解为：，∵OB＞OC，∴OB＝6，OC＝5，∴点B的坐标为：（6，0），过点A作AM⊥x轴于M，如图1所示：∵∠OAB＝90°且OA＝AB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴OM＝BM＝AM＝OB＝×6＝3，∴点A的坐标为：（3，3）；（2）①过点C作CN⊥x轴于N，如图2所示：∵t＝4时，直线l恰好过点C，∴ON＝4，CN＝＝＝3，∴点C的坐标为：（4，﹣3），设直线OC的解析式为：y＝kx，把C（4，﹣3）代入得：﹣3＝4k，∴k＝﹣，∴直线OC的解析式为：y＝﹣x，∴R（t，﹣t），设直线OA的解析式为：y＝k′x，把A（3，3）代入得：3＝3k′，∴k′＝1，∴直线OA的解析式为：y＝x，∴Q（t，t），∴QR＝t﹣（﹣t）＝t，即：m＝t；②分三种情况：当0＜t＜3时，m＝t，m＝，则t＝，解得：t＝2；当3≤t＜4时，设直线AB的解析式为：y＝px+q，把A（3，3）、B（6，0）代入得，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+6，∴Q（t，﹣t+6），R（t，﹣t），∴m＝﹣t+6﹣（﹣t）＝﹣t+6，∵m＝，∴﹣t+6＝，解得：t＝10＞4（不合题意舍去）；当4≤t＜6时，设直线BC的解析式为：y＝ax+b，把B（6，0）、C（4，﹣3）代入得，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝x﹣9，∴Q（t，﹣t+6），R（t，t﹣9），∴m＝﹣t+6﹣（t﹣9）＝﹣t+15，∵m＝，∴﹣t+15＝，解得：t＝；综上所述，满足条件的点P的横坐标t的值为2或．14．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是对角线BD上一动点，将线段CP绕点C顺时针旋转120°到CQ，连接DQ．（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图2，连接QP并延长，分别交AB、CD于点M、N．①求证：PM＝QN；②若MN的最小值为2，直接写出菱形ABCD的面积为8．（1）证明：四边形ABCD是菱形，∴BC＝DC，AB∥CD，∴∠PBM＝∠PBC＝∠ABC＝30°，∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°由旋转的性质得：PC＝QC，∠PCQ＝120°，∴∠BCD＝∠DCQ，∴∠BCP＝∠DCQ，在△BCP和△DCQ中，，∴△BCP≌△DCQ（SAS）；（2）①证明：由（1）得：△BCP≌△DCQ，∴BP＝DQ，∠QDC＝∠PBC＝∠PBM＝30°．在CD上取点E，使QE＝QN，如图2所示：则∠QEN＝∠QNE，∴∠QED＝∠QNC＝∠PMB，在△PBM和△QDE中，，∴△PBM≌△QDE（AAS），∴PM＝QE＝QN．②解：由①知PM＝QN，∴MN＝PQ＝PC，∴当PC⊥BD时，PC最小，此时MN最小，则PC＝2，BC＝2PC＝4，＝2××42＝8；∴菱形ABCD的面积＝2S△ABC故答案为：8．15．如图，在△ABC中，AB＝14，∠B＝45°，tan A＝，点D为AB中点．动点P从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，点P关于点D对称点为点Q，以PQ为边向上作正方形PQMN．设点P的运动时间为t秒．（1）当t＝秒时，点N落在AC边上．（2）设正方形PQMN与△ABC重叠部分面积为S，当点N在△ABC内部时，求S关于t的函数关系式．（3）当矩形PQMN的对角线所在直线将△ABC的分为面积相等的两部分时，直接写出t 的值．解：（1）如图1，作CG⊥AB于点G，设BG＝h，∵∠B＝45°，AB＝14，∴CG＝BG＝h，AG＝14﹣h，∵tan A＝＝，即＝，解得：h＝8，则AG＝6，∵DP＝DQ＝t，∴PN＝PQ＝2t，由PN∥CG知△APN∽△AGC，∴＝，即＝，解得：t＝，故答案为：．（2）①如图2，∵四边形PQMN是正方形，∴∠BQM＝90°，∵∠B＝45°，∴BQ＝MQ，即7﹣t＝2t，解得t＝，故当0＜t≤时，S＝（2t）2＝4t2；②如图3，∵∠BQF＝90°，∠B＝45°，∴BQ＝FQ＝7﹣t，∠BFQ＝∠MFE＝45°，则MF＝MQ﹣QF＝3t﹣7，∵∠M＝90°，∴ME＝MF＝3t﹣7，则S＝（2t）2﹣×（3t﹣7）2＝﹣t2+21t﹣（＜t＜）；综上，S＝．（3）S＝AB•CG＝×14×8＝56，△ABC①如图4，作HR⊥AB于点R，∵四边形PQMN为正方形，且PM为对角线，∴∠HPB＝∠B＝45°，∴HR＝PB＝×（14﹣7+t）＝，∵PM将△ABC面积平分，∴S△PBH ＝S△ABC，则•（7+t）•＝×56，解得t＝﹣7+4（负值舍去）；②如图5，作KT⊥AB于T，设KT＝4m，由tan A＝＝知AT＝3m，∵∠KQT＝45°，∴KT＝QT＝4m，则AQ＝3m+4m＝7m，又AQ＝14﹣（7﹣t）＝7+t，则7m＝7+t，∴m＝，∵直线NQ将△ABC面积平分，∴S△AKQ ＝S△ABC，即×7m×4m＝×56，整理，得：m2＝2，则（）2＝2，解得：t＝﹣7+7（负值舍去），综上，t的值为4﹣7或7﹣7．16．如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）．点P从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．（1）∠PBD的度数为45°，点D的坐标为（t，t）（用t表示）；（2）求证：PE＝AP+CE；（3）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？解：（1）如图1，由题可得：AP＝OQ＝1×t＝t（秒）∴AO＝PQ．∵四边形OABC是正方形，∴AO＝AB＝BC＝OC，∠BAO＝∠AOC＝∠OCB＝∠ABC＝90°．∵DP⊥BP，∴∠BPD＝90°．∴∠BPA＝90°﹣∠DPQ＝∠PDQ．∵AO＝PQ，AO＝AB，∴AB＝PQ．在△BAP和△PQD中，，∴△BAP≌△PQD（AAS）．∴AP＝QD，BP＝PD．∵∠BPD＝90°，BP＝PD，∴∠PBD＝∠PDB＝45°．∵AP＝t，∴DQ＝t．∴点D坐标为（t，t）．故答案为：45°，（t，t）．（2）延长OA到点F，使得AF＝CE，连接BF，如图2所示．在△FAB和△ECB中，，∴△FAB≌△ECB．∴FB＝EB，∠FBA＝∠EBC．∵∠EBP＝45°，∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠EBC＝45°．∴∠FBP＝∠FBA+∠ABP＝∠EBC+∠ABP＝45°．∴∠FBP＝∠EBP．在△FBP与△EBP中，，∴△FBP≌△EBP（SAS）．∴FP＝EP．∴EP＝FP＝FA+AP＝CE+AP．（3）①若PB＝PE，由△PAB≌△DQP得PB＝PD，显然PB≠PE，∴这种情况应舍去．②若EB＝EP，则∠PBE＝∠BPE＝45°．∴∠BEP＝90°．∴∠PEO＝90°﹣∠BEC＝∠EBC．在△POE和△ECB中，，∴△POE≌△ECB（AAS）．∴OE＝CB＝OC．∴点E与点C重合（EC＝0）．∴点P与点O重合（PO＝0）．∵点B（﹣4，4），∴AO＝CO＝4．此时t＝AP＝AO＝4．③若BP＝BE，在Rt△BAP和Rt△BCE中，，∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）．∴AP＝CE．∵AP＝t，∴CE＝t．∴PO＝EO＝4﹣t．∵∠POE＝90°，∴PE＝＝（4﹣t）．延长OA到点F，使得AF＝CE，连接BF，如图2所示．在△FAB和△ECB中，，∴△FAB≌△ECB．∴FB＝EB，∠FBA＝∠EBC．∵∠EBP＝45°，∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠EBC＝45°．∴∠FBP＝∠FBA+∠ABP＝∠EBC+∠ABP＝45°．∴∠FBP＝∠EBP．在△FBP和△EBP中，，∴△FBP≌△EBP（SAS）．∴FP＝EP．∴EP＝FP＝FA+AP＝CE+AP．∴EP＝t+t＝2t．∴（4﹣t）＝2t．解得：t＝4﹣4∴当t为4秒或（4﹣4）秒时，△PBE为等腰三角形．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点C的坐标为（0，4），点A为x轴正半轴上的一个动点，以AC为对角线作正方形ABCD（点B在点D右侧），设点A的坐标为（a，0）（a ≠4）．（1）当a＝2时．①求正方形ABCD的边长；②求点B的坐标．（2）0＜a＜4时，试判断△BOD的形状，并说明理由．（3）是否存在a，使得△AOC与△BOD全等？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解：（1）当a＝2时，如图1中，作DM⊥AO于M，DN⊥OC于N，连接OD、AC、BD，AC 与BD交于点G，①在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，OC＝4，OA＝2，∴AC＝＝＝2，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CDA＝90°，CD＝AD＝AB＝BC，∴2CD2＝20，∴CD＝，∴正方形边长为．②∵∠DMO＝∠MON＝∠DNO＝90°，∴四边形DMON是矩形，∴∠MDN＝∠CDA＝90°，∴∠CDN＝∠ADM，在△CDN和△ADM中，，∴△CDN≌△ADM，∴DN＝DM，CN＝AM，∴四边形DMON是正方形，设边长为a，B（m，n）则2+a＝4﹣a，∴a＝1，∴点D坐标（﹣1，1），∵DG＝GB，G（1，2），∴＝1，＝2，∴m＝n＝3，∴点B坐标为（3，3）．（2）结论：△BOD是直角三角形．理由：如图2中，作DM⊥AO于M，DN⊥OC于N，BH⊥OC于H，BG⊥OA于G．由（1）可知△CDN≌△ADM，同理可证△CBH≌△ABG，∴DN＝DM，BH＝BG，∴OD平分∠COM，OB平分∠COA，∴∠DOC＝∠BOC＝45°，∴∠DOB＝90°，∴△DOB是直角三角形．（3）①如图2中，当OA＝OD时，△AOC≌△ODB，设OA＝OD＝a，则DM＝OM＝ON＝DN＝a，∵CN＝AM，∴4﹣a＝a+a，∴a＝4﹣4．②如图3中，当OC＝OD＝4时，△AOC≌△BOD，设OA＝a，∵OC＝OD＝4，∴ON＝ND＝DM＝OM＝2，∵CN＝AM，∴4+2＝a﹣2，∴a＝4+4．综上所述当a＝4﹣4或4+4时，△AOC与△BOD全等．18．如图1，已知等腰Rt△ABC中，E为边AC上一点，过E点作EF⊥AB于F点，以为边作正方形，且AC＝3，EF＝．（1）如图1，连接CF，求线段CF的长；（2）将等腰Rt△ABC绕点旋转至如图2的位置，连接BE，M点为BE的中点，连接MC，MF，求MC与MF关系．解：（1）如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝3，∴AB＝3，过点C作CM⊥AB于M，连接CF，∴CM＝AM＝AB＝，∵四边形AGEF是正方形，∴AF＝EF＝，∴MF＝AM﹣AF＝﹣，在Rt△CMF中，CF＝＝＝；（2）CM＝FM，CM⊥FM，理由：如图2，过点B作BH∥EF交FM的延长线于H，连接CF，CH，∴∠BHM＝∠EFM，∵四边形AGEF是正方形，∴EF＝AF∵点M是BE的中点，∴BM＝EM，在△BMH和△EMF中，，∴△BMH≌△EMF（AAS），∴MH＝MF，BH＝EF＝AF∵四边形AGEF是正方形，∴∠FAG＝90°，EF∥AG，∵BH∥EF，∴BH∥AG，∴∠BAG+∠ABH＝180°，∴∠CBH+∠ABC+∠BAC+∠CAG＝180°．∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠CBH+∠CAG＝90°，∵∠CAG+∠CAF＝90°，∴∠CBH＝∠CAF，在△BCH和△ACF中，，∴△BCH≌△ACF（SAS），∴CH＝CF，∠BCH＝∠ACF，∴∠HCF＝∠BCH+∠BCF＝∠ACF+∠BCF＝90°，∴△FCH是等腰直角三角形，∵MH＝MF，∴CM＝FM，CM⊥FM；19．如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BC＝20cm，AD＝10cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒2cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线l从点A沿AD出发，以每秒1cm的速度沿AD方向匀速平移，分别交AB、AC、AD 于M、N、E．当点P到达点C时，点P与直线l同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）在运动过程中（点P不与B、C重合），连接PN，求证：四边形MBPN为平行四边形；（2）如图（2），以MN为边向下作正方形MFGN，FG交AD于点H，连结PF、PG，当0＜t ＜时，求△PFG的面积最大值；（3）在整个运动过程中，观察图（2）、（3），是否存在某一时刻t，使△PFG为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．（1）证明：∵l⊥AD，BC⊥AD，∴l∥BC，∴，∵AB＝AC，∴AM＝AN，∵∠BAC＝90°，∴ME＝NE，∴MN＝2AE＝2t，∵BP＝2t，∴MN＝BP，∴四边形MBPN为平行四边形；（2）解：∵四边形MFGN是正方形，∴FG＝MN＝MF＝2AE＝2t，∵EH＝MF＝2t，∴DH＝AD﹣AH＝10﹣3t，∴S＝FG•DH＝×2t×（10﹣3t）＝﹣3（t﹣）2+，△PFG∵a＝﹣3＜0，0＜t＜，∴当t＝时，S最大＝；△PFG（3）解：存在，当t＝或t＝5或t＝10时，△PFG为等腰三角形；理由如下：利用勾股定理得：PF2＝2（10﹣3t）2，PG2＝（10﹣3t）2+（10﹣t）2，又FG2＝（2t）2，当PF＝FG时，则2（10﹣3t）2＝（2t）2，解得：t＝，当PF＝PG时，2（10﹣3t）2＝（10﹣3t）2+（10﹣t）2，解得：t＝5，或t＝0（舍去）；当FG＝PG时，（2t）2＝（10﹣3t）2+（10﹣t）2，解得：t＝10，或t＝（舍去）；综上所述，t＝或t＝5或t＝10时，△PFG为等腰三角形．20．如图，在直角坐标系中，长方形ABCD（每个内角都是90°）的顶点的坐标分别是A（0，m），B（n，0），（m＞n＞0），点E在AD上，AE＝AB，点F在y轴上，OF＝OB，BF的延长线与DA的延长线交于点M，EF与AB交于点N．（1）试求点E的坐标（用含m，n的式子表示）；（2）求证：AM＝AN；（3）若AB＝CD＝12cm，BC＝20cm，动点P从B出发，以2cm/s的速度沿BC向C运动的同时，动点Q从C出发，以vcm/s的速度沿CD向D运动，是否存在这样的v值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v值；若不存在，请说明理由．解：（1）过E作EG⊥AO于G．∵∠EGA＝∠EAB＝∠AOB＝90°，∴∠EAG+∠AEG＝90°，∠EAG+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠AEG，∵AE＝AB，∴△EGA≌△AOB（AAS），∴EG＝OA＝m，AG＝OB＝n∴E（m，m+n）．（2）∵OB＝OF，∠BOF＝90°，∴∠OFB＝∠OBF＝45°，∵△EGA≌△AOB，∴AG＝OB＝OF，∴OA＝FG＝EG，∴∠GFE＝45°，∴∠EFB＝90°，∴∠NAE＝∠NFB＝90°，∵∠ANE＝∠FNB，∴∠AEN＝∠ABM，∵∠EAN＝∠BAM＝90°，EA＝BA，∴△EAN≌△BAM（ASA），∴AN＝AM．（3）如图，∵△ABP与△PCQ全等，∠ABP＝∠PCQ＝90°∴有两种情形：①当AB＝CD，PB＝CP时，t＝＝5（s），∴v＝，②当AB＝PC，CQ＝PB时，PB＝20﹣12＝8，∴t＝＝4（s），∴v＝＝＝2．。

四边形综合应用附答案

1、如图，在▱ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，试判断下列结论：①△ABE≌△CDF；②AG=GH=HC；③EG=12BG;④S△ABE=S△AGE，其中正确的结论是（）A．1个B．2个C．3个D．4个第1题2、如图，E是▱ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD=∠D，则下列结论不成立的是（）A．AD=CF B．BF=CF C．AF=CD D．DE=EF3、如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是：①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边△；④CG ⊥AE（）A．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④4、如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，则m的取值范围是（）A．10＜m＜12 B．2＜m＜22 C．1＜m＜11 D．5＜m＜65、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（）A．CF＞GB B．GB=CF C．CF＜GB D．无法确定6、如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB =S四边形DEOF中，错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7、如图，若正方体的边长为a，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积为_____________8、下列说法中错误的是（B ）A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两条对角线相等的四边形是矩形C．两条对角线互相垂直的矩形是正方形D．两条对角线相等的菱形是正方形9、下列说法正确的个数是（C ）（1）菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，O到菱形四条边的距离都相等；（2）两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（3）所有的定理都有逆定理；（4）矩形的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=4cm，则矩形的面积为16√3cm2；（5）球的主视图、左视图、俯视图都是圆．A．1个B．2个C．3个D．4个正确的有（1）（4）（5），共3个10、如图，梯形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BC，BE⊥AB交AC的延长线于E，EF⊥AD交AD的延长线于F，下列结论：①BD∥EF；②∠AEF=2∠BAC；③AD=DF；④AC=CE+EF．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：根据四边形ABCD是等腰梯形，可得出的条件有：AC=BD，∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD（可通过全等三角形ABD和BAC得出），OA=OB，OC=OD，∠ACB=∠ADB=90°（三角形ACB和BDA全等）．①要证BD∥EF就要得出∠ADB=∠EFD，而∠ADB=90°，∠EFD=90°，因此∠ADB=∠EFD，此结论成立；②由于BD∥EF，∠AEF=∠AOD，而∠AOD=∠OAB+∠OBA=2∠OAB，因此∠AEF=2∠OAB，此结论成立．③在直角三角形ABE中，∠OAB=∠OBA，∠OAB+∠OEB=∠OBA+∠OBE=90°，因此可得出∠OEB=∠OBE，因此OA=OB=OE，那么O就是直角三角形ABE斜边AE的中点，由于OD∥EF，因此OD就是三角形AEF的中位线，那么D就是AF的中点，因此此结论也成立．④由③可知EF=2OD=2OC，而OA=OE=OC+CE．那么AC=OA+OC=OC+OC+CE=2OC+CE=EF+CE，因此此结论也成立．故选D．11、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，CD=5，AB=11，点M、N分别为AB、CD的中点，则线段MN=_____________12、在如图所示的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5，BC=11，①中A1B1是连接两腰中点的线段，易知A1B1=8，②中A1B1，A2B2是连接两腰三等分点且平行于底边的线段，可求出A1B1+A2B2的值…，照此规律下去，③中A1B1，A2B2，…A10B10是连接两腰十一等分点且平行于底边的线段，则A1B1+A2B2+…+A10B10的值为（）A．50 B．80 C．96 D．10013、如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，那么S DMNS ABC=______________1315、把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ A ）A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形16、小明在加一多边形的角的和时，不小心把一个角多加了一次，结果为1500°，则小明多加的那个角的大小为（）A ．60°B ．80°C ．100°D ．120°17、小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，为铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有（）解：正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；正方形的每个内角是90°，4个能密铺；正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺．故选A ．18、为了美化校园环境，在学校广场用两种边长相等的正多边形地砖镶地面，现已有一种正方形，则另一种正多边形可以（ D ）A ．正三角形B ．正五边形C ．正六角形D ．正三角形或正八边形解答题： 1、如图，在矩形ABCD 中，已知AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE•⊥BD ，PE ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，求PE+PF 的长．分析连结PO ，则PE 、PF 可分别看作是OD 、OA 边上的高，而OA=OD ，故只需求出△AOP 、△DOP 的面积即可．解：连结OP ．由矩形ABCD ，AD=12，AB=5． ∴AC=BD=2OA=2OB=13． ∴OA=OD=6．5．而S 矩形=12×5=60．∴S △AOD =14×60=15．∴S △AOP +S △DOP =15．A ．正三角形、正方形、正六边形B ．正三角形、正方形、正五边形C ．正方形、正五边形D ．正三角形、正方形、正五边形、正六边形即12×OA×PF+12×OD×PE=15．∴12×6.5×（PE+PF）=15．∴PE+PF=60 13．2、如图等腰梯形ABCD中，上底AD=2，下底BC=8，M是腰AB的中点，若MD⊥CD，•则梯形的面积为多少？方法一：过D作DQ⊥BC于Q，作CD中点N，连结MN，交DQ于SMN为梯形ABCD中位线，∴MN=5,MN‖BC∴MS为梯形ABQD中位线∴MS=7/2,S为DQ中点，∵DQ⊥BC,MN‖BC，∴DQ⊥MN设DS=SQ=a，则MS²+DS²=MD²，则MD²=49/4 + a²，SN为△DQC中位线∴SN=3/2∴DN²=9/4 +a²∵MD⊥CD∴MD²+DN²=MN²∴49/4 + a²+ 9/4 +a²=25解得a=√21 /2，DQ=√21，S=1/2(2+8)*√21=5√21方法二：延长DM，BC交于点N。

中考数学总复习《四边形的综合题》练习题-附答案

中考数学总复习《四边形的综合题》练习题-附答案一、单选题(共12题；共24分)1．如图，矩形ABCD，R是CD的中点，点M在BC边上运动，E，F分别为AM，MR的中点，则EF的长随M点的运动()A．变短B．变长C．不变D．无法确定2．如图，在半径为6的⊙O中，正六边形ABCDEF与正方形AGDH都内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为（）A．27﹣9 √3B．18 √3C．54﹣18 √3D．543．如图，四边形ABCD中AC⊥BC，AD//BC ，BC=3 ，AC=4 ，AD=6 ，M是BD的中点，则CM的长为（）A．32B．2C．52D．34．如图，菱形ABCD与等边⊙AEF的边长相等，且E、F分别在BC、CD，则⊙BAD的度数是（）A．80°B．90°C．100°D．120°5．如图，已知矩形ABCD ，AD = 12，CD = 9 ，点R 、P 分别是DC ，BC 上的定点，点E 、F 分别是AP 、RP 的中点，若CR = 4 ，则EF =（）A．12B．6.5C．9D．不能确定6．如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分⊙BAD交BC边于点E，则EC等于（）A．1B．2C．3D．47．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是（）A．⊙BDC＝⊙ABD B．⊙DAB＝⊙DCBC．AD＝BC D．AC⊙BD8．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG 并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①⊙DEC＝⊙AEB；②CF⊙DE；③AF＝BF；④CHHF=23，其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．49．从n边形的一个顶点出发作对角线，这些对角线把这个n边形分成的三角形个数为（）A．（n+1）个B．n个C．（n﹣1）个D．（n﹣2）个10．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝10，BD=4，EF为过点O的一条直线，则图中阴影部分的面积为（）A．5B．6C．8D．1211．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，如果EF=2，那么菱形ABCD周长是()A．4B．8C．12D．1612．如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC垂足为E，且AB=√3，AC=2 ，BD=4，则AE的长为（）A．√32B．32C．√217D．2√217二、填空题(共6题；共8分)13．如图，矩形ABCD中CE=CB=BE，延长BE交AD于点M，延长CE交AD于点F，过点E作EN⊥BE，交BA的延长线于点N，FE=2，AN=3则BC=．14．在平行四边形ABCD中，若⊙A=130°，则⊙B=，⊙C=，⊙D=．15．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为(4，0)，点B在y轴上，若反比例函数y=kx(k≠0)的图象过点C，则k的值为．16．如图，在四边形ABCD中AD∥BC，AD=9m，BC=6cm点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以1cm/s的速度由点C向点B运动设运动时间为ts.当t=.时，PQ为平行四边形的一边.17．如图，▱ABCD中，⊙BAD=120°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE⊙BD，EF⊙BC，EF=5√3，则AB的长是18．如图①，在四边形ABCD中，AD⊙BC，⊙C=90°，CD=6cm．动点Q从点B出发，以1cm/S的速度沿BC运动到点C停止，同时，动点P也从B点出发，沿折线B→A→D运动到点D停止，且PQ⊙BC．设运动时间为t（s），点P运动的路程为y（cm），在直角坐标系中画出y关于t的函数图象为折线段OE和EF（如图②）．已知点M（4，5）在线段OE上，则图①中AB的长是cm．三、综合题(共6题；共66分)19．如图，在⊙ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，连结DE，CD=12AB．（1）求证：⊙B=2⊙DEC ；（2）已知CD=5，AD=6，求⊙CDE的面积．20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC=CD，⊙C=2⊙BAD．（1）求⊙BOD的度数；（2）求证：四边形OBCD是菱形；（3）若⊙O的半径为r，⊙ODA=45°，求⊙ABD的面积（用含r的代数式表示）．21．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊙AC，在BG上取点E，连接DE交AC的延长线于点F.（1）求证：DF=EF；（2）如果AD=2，⊙ADC=60°，AC⊙DC于点C，AC=2CF，求BE的长.22．已知在平面直角坐标系中，点C（0，2），D（3，4），在x轴正半轴上有一点A，且它到原点的距离为1．（1）求过点C、A、D的抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x轴的另一个交点为B，求四边形CABD的面积；（3）把（1）中的抛物线先向左平移一个单位，再向上或向下平移多少个单位能使抛物线与直线AD只有一个交点？23．在平面直角坐标系中，直线y=kx+4(k≠0)交轴于点A(8,0)，交y轴于点B．（1）k的值是；（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在轴和y轴上．①如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求▱OCED的周长；②当CE平行于轴，CD平行于y轴时，连接DE，若ΔCDE的面积为334，请直接写出点C的坐标．24．如图，⊙ABC中，⊙BCA=90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AC=2DE，求sin⊙CDB的值．参考答案1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】D 9．【答案】D 10．【答案】A 11．【答案】D 12．【答案】D 13．【答案】6+6√3 14．【答案】50°；130°；50° 15．【答案】-3 16．【答案】2或3 17．【答案】5 18．【答案】1019．【答案】（1）证明：∵AD 是⊙ABC 的高∴⊙ADB=90° ∵CE 是⊙ABC 的中线 ∴点E 是AB 的中点 ∴BE=DE=12AB∵ CD=12 AB∴BE=DE=CD∴⊙B=⊙BDE ，⊙DEC=⊙DCE ∵⊙BDE=⊙DEC+⊙DCE ∴⊙B=2⊙DEC（2）解：过点E 作EF⊙BC 于点F∵CD=12AB ，CD=5∴AB=10在Rt⊙ABD中BD=√AB2−AD2=√102−62=8∵DE是⊙ABD的中线∴S⊙DEB=12S⊙ABD=12×12×BD×AD=14×8×6=12=12×8EF解之：EF=3；∴S⊙CDE=12×5×3=7.520．【答案】（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O∴⊙C+⊙BAD=180°∵⊙C=2⊙BAD∴⊙C=120°，⊙BAD=60°∴⊙BOD=2⊙BAD=120°（2）解：如图1连接OC∵BC=CD∴⊙BOC=⊙DOC=60°∵OB=OC=OD∴⊙BOC和⊙DOC都是等边三角形∴OB=OC=OD=BC=DC∴四边形OBCD是菱形（3）解：如图2，连接OA，过点A作BO的垂线交BO的延长线于点N∵⊙BOD=120°，OB=OD ∴⊙ODM=30°∵⊙BOM=⊙DOM∴OM⊙BD∴OM= 12r，DM=√32r∴BD=2DM= √3r∴S⊙BOD＝√34r2∵⊙ODA=45°，OA=OD∴⊙OAD=⊙ODA=45°∴⊙AOD=90°∴S⊙AOD＝12r2∵⊙BOD=120°，⊙AOD=90°∴⊙AOB=150°∴⊙AON=30°∴AN= 12OA=12r∴S⊙AOB＝12r2∴⊙ABD的面积为√34r2+ 12r2+ 12r2=（1+ √34）r2．21．【答案】（1）证明：连接BD交AC于点O.∵四边形ABCD是平行四边形∴OB=OD ∵BG⊙AF ∴DF=EF.（2）解：∵AC⊙DC ，⊙ADC=60°，AD=2 ∴AC= √3 .∵OF 是⊙DBE 的中位线 ∴BE=2OF. ∵OF=OC+CF ∴BE=2OC+2CF.∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AC=2OC. ∵AC=2CF ∴BE=2AC=2 √3 .22．【答案】（1）解：根据题意可知A 的坐标为（1，0）设过C 、A 、D 三点的抛物线的解析式为：y ＝ax 2+bx+c （a≠0） ∵C （0，2），A （1，0），D （3，4）∴{c =2a +b +c =09a +3b +c =4解得 { a =43b =−103c =2故过C 、A 、D 三点的抛物线的解析式为：y ＝ 43x 2−103x +2（2）解：∵点B 为抛物线与x 轴的另一个交点，令y ＝0 则 43x 2−103x +2=0∴x 1＝1，x 2＝ 32∴点B 的坐标为 (32,0)作DE⊙x 轴于点E∴S 四边形CABD ＝S 梯形OEDC ﹣S ⊙AOC ﹣S ⊙BDE ＝ 12×(2+4)×3−12×2×1−12×(3−32)×4=5（3）解：把抛物线y ＝ 43x 2−103x +2即y ＝ 43(x −54)2−112向左平移一个单位得到的抛物线的解析式为：y ＝ 43(x −54+1)2−112即y ＝ 43x 2−23x 设抛物线y ＝ 43x 2−23x 向上或向下平移|k|个单位能使抛物线与直线AD 只有一个交点则向上或向下平移|k|个单位抛物线的解析式为：y ＝ 43x 2−23x +k 设过A 、D 两点的解析式为y ＝ax+b∵A （1，0），D （3，4）代入上式得 {a +b =03a +b =4解得 {a =2b =−2∴直线AD 的解析式为：y ＝2x ﹣2得 {y =43x 2−23x +k y =2x −2∴4x 2﹣8x+3k+6＝0∴⊙＝64﹣16（3k+6）＝0解得，k ＝﹣ 23即抛物线y ＝ 43x 2−23x 向下平移 23个单位，与直线AD 只有一个交点．23．【答案】（1）−12（2）解：①由（1）可知直线 AB 的解析式为 y =−12x +4 ．当 x =0 时点 B 的坐标为 (0,4)∴OB =4 ．点 E 为 OB 的中点∴BE =OE =12OB =2 ．点 A 的坐标为 (8,0)∴OA =8 ．四边形OCED是平行四边形∴CE//DABC AC=BE OE=1∴BC=AC∴CE是ΔABO的中位线∴CE=12OA=4．四边形OCED是平行四边形∴OD=CE=4，OC=DE ．在RtΔDOE中∠DOE=90°，OD=4∴DE=√OD2+OE2=2√5∴C平行四边形OCED=2(OD+DE)=2(4+2√5)=8+4√5．②点C的坐标为(−3,112)或(11,−32)24．【答案】（1）证明：∵DE⊙BC，CE⊙AB ∴四边形DBCE是平行四边形．∴CE=BD又∵CD是边AB上的中线∴BD=AD∴CE=DA又∵CE⊙DA∴四边形ADCE是平行四边形．∵⊙BCA=90°，CD是斜边AB上的中线∴AD=CD∴四边形ADCE是菱形；（2）解：过点C作CF⊙AB于点F由（1）可知，BC=DE设BC=x，则AC=2x在Rt⊙ABC中，AB= √AC2+BC2= √5x．∵12AB•CF=12AC•BC∴CF= AC⋅BCAB=2√55x．∵CD= 12AB=√52x∴sin⊙CDB= CFCD=45．。

2020中考数学压轴题揭秘专题11四边形问题试题(附答案)

专题11 四边形问题【典例分析】【考点1】多边形的内角和与外角和【例1】（2019·云南中考真题）一个十二边形的内角和等于( )A ．2160°B ．2080°C ．1980°D ．1800°【答案】D【解析】【分析】根据多边形的内角和公式进行求解即可.【详解】多边形内角和公式为2180()n -⨯︒，其中n 为多边形的边的条数，∴十二边形内角和为(122)1801800-⨯︒=︒，故选D.【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题的关键.【变式1-1】（2019·福建中考真题）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为( ).A ．12B ．10C ．8D ．6【答案】B【解析】【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．【详解】解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．故选：B ．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容．【变式1-2】（2019·四川中考真题）如图，六边形ABCDEF 的内角都相等，//AD BC ，则DAB ∠=_______°．【答案】60°．【解析】【分析】先根据多边形内角和公式(2)180n ︒-⨯求出六边形的内角和，再除以6即可求出B 的度数，由平行线的性质可求出DAB ∠的度数．【详解】解：在六边形ABCDEF 中，(62)180720︒︒-⨯=，7201206︒︒=， ∴120B ︒∠=，∵//AD BC ，∴18060DAB B ︒︒∠=-∠=，故答案为：60°．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，平行线的性质等，解题关键是能够熟练运用多边形内角和公式及平行线的性质．【考点2】平行四边形的判定与性质的应用【例2】（2019·四川中考真题）如图，ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，OE BD ⊥交AD 于点E ，连接BE ，若ABCD 的周长为28，则ABE ∆的周长为（）A ．28B ．24C ．21D ．14【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质和中垂线定理，再结合题意进行计算，即可得到答案.【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB OD =，AB CD =，AD BC =，∵平行四边形的周长为28，∴14AB AD +=∵OE BD ⊥，∴OE 是线段BD 的中垂线，∴BE ED =，∴ABE ∆的周长14AB BE AE AB AD =++=+=，故选：D ．【点睛】本题考查平行四边形的性质和中垂线定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和中垂线定理.【变式2-1】（2018·山东中考真题）如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，.添加一个条件使四边形为平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】把A、B、C、D四个选项分别作为添加条件进行验证，D为正确选项．添加D选项，即可证明△DEC≌△FEB，从而进一步证明DC＝BF＝AB，且DC∥AB，则四边形ABCD是平行四边形.【详解】∵∠F＝∠CDE，∴CD∥AF，在△DEC与△FEB中，，∴△DEC≌△FEB（ASA），∴DC＝BF，∠C＝∠EBF，∴AB∥DC，∵AB＝BF，∴DC＝AB，∴四边形ABCD为平行四边形．故选D.【点睛】本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.【变式2-2】（2019·江苏中考真题）如图，在▱ABCD 中，点M ，N 分别是边AB ，CD 的中点．求证：AN=CM ．【答案】见解析【解析】【分析】根据平行四边形的性质：平行四边的对边相等，可得//AB CD ，AB CD =，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得AN CM =.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD ．∵M，N 分别是AB 、CD 的中点， ∴CN=CD ，AM=AB ，∵CN∥AM，∴四边形ANCM 为平行四边形，∴AN=CM．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据条件选择适当的判定方法是解题关键.【变式2-3】（2018·江苏中考真题）如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，延长CE ，BA 交于点F ，连接AC ，DF ．（1）求证：四边形ACDF 是平行四边形；（2）当CF 平分∠BCD 时，写出BC 与CD 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）BC=2CD，理由见解析.【解析】分析：（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD．详解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE=∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，又∵∠FEA=∠CED，∴△FAE≌△CDE，∴CD=FA，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形；（2）BC=2CD．证明：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE=45°，∵∠CDE=90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD=DE，∵E是AD的中点，∴AD=2CD，∵AD=BC，∴BC=2CD．点睛：本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．【考点3】矩形的判定与性质的应用【例3】（2019·内蒙古中考真题）如图，在矩形ABCD 中，8AD =，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE BD ⊥，垂足为点E ，且AE 平分BAC ∠，则AB 的长为_____.83．【解析】【分析】由矩形的性质可得AO=CO=BO=DO ，可证△ABE≌△AOE，可得AO=AB=BO=DO ，由勾股定理可求AB 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴AO CO BO DO ===，∵AE 平分BAO ∠∴BAE EAO ∠=∠，且AE AE =，AEB AEO ∠=∠，∴ABE ∆≌AOE ∆（ASA ）∴AO AB =，且AO OB =∴AO AB BO DO ===，∴2BD AB =，∵222AD AB BD +=，∴22644AB AB +=， ∴83AB =故答案为：83．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用矩形的性质是本题的关键．【变式3-1】（2019·湖北中考真题）在Rt ABC 中，9030C A D E F ∠︒∠︒＝，＝，，，分别是AC AB BC ，，的中点，连接ED EF ，．()1求证：四边形DEFC 是矩形；()2请用无刻度的直尺在图中作出ABC ∠的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析.【解析】【分析】()1首先证明四边形DEFC 是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断． ()2连接EC DF ，交于点O ，作射线BO 即可．【详解】()1证明：D E F ，，分别是AC AB BC ，，的中点，////DE FC EF CD ∴，，∴四边形DEFC 是平行四边形，90DCF ∠︒＝，∴四边形DEFC 是矩形()2连接EC DF ，交于点O ，作射线BO ，射线BO 即为所求．【点睛】本题考查三角形中位线定理，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.【变式3-2】（2019·山东中考真题）如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ．（1）求证： △ABE≌△CDF ；（2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）2AC AB 时,四边形EGCF 是矩形，理由见解析.【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD ，AB∥CD，OB=OD ，OA=OC ，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，证出BE=DF ，由SAS 证明△ABE≌△CDF 即可；（2）证出AB=OA ，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG=90°，同理：CF⊥OD ，得出EG∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF 是平行四边形，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD ，OA=OC ，∴∠ABE=∠CDF，∵点E ，F 分别为OB ，OD 的中点， ∴BE=12OB ，DF=12OD ， ∴BE=DF，在△ABE 和△CDF 中，AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE CDF SAS ∴≅（2）当AC=2AB 时，四边形EGCF 是矩形；理由如下：∵AC=2OA，AC=2AB ，∴AB=OA，∵E 是OB 的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG=AE，OA=OC ，∴OE 是△ACG 的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四边形EGCF 是平行四边形，∵∠OEG=90°，∴四边形EGCF 是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.【考点4】菱形判定与性质的应用【例4】（2019·辽宁中考真题）如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，DC 的中点，若BD ＝4，EF ＝3，则菱形ABCD 的周长为__．【答案】413.【解析】【分析】连接AC，利用三角形的中位线定理求得AC的长，从而利用菱形的性质求得AO和BO的长，利用勾股定理求得边长后即可求得周长．【详解】解：如图，连接AC，∵E，F分别是AD，DC的中点，EF＝3，∴AC＝2EF＝6，∵四边形ABCD为矩形，BD＝4，∴AC⊥BD，AO＝3，BO＝2，∴AB2213+=AO BO∴周长为13故答案为：13【点睛】考查了菱形的性质，解题的关键是了解菱形的对角线互相垂直平分，难度不大．AC BD交于点O，过点A作【变式4-1】（2019·广西中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线,⊥于点H，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则AH=___．AH BC【答案】245【解析】【分析】根据菱形面积=对角线积的一半可求AC ，再根据勾股定理求出BC ，然后由菱形的面积即可得出结果.【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴4,BO DO AO CO ===，AC BD ⊥，∴8BD =， ∵1242ABCD S AC BD =⨯=菱形， ∴6AC =， ∴132OC AC ==， ∴225BC OB OC =+=，∵24ABCD S BC AH =⨯=菱形， ∴245AH =；故答案为：245．【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式.熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出BC 是解题的关键.【变式4-2】（2019·浙江中考真题）如图，矩形EFGH 的顶点E ，G 分别在菱形ABCD 的边AD ，BC 上，顶点F 、H 在菱形ABCD 的对角线BD 上.=；（1）求证：BG DEFH=，求菱形ABCD的周长。

中考数学总复习《四边形的综合题》练习题附带答案

中考数学总复习《四边形的综合题》练习题附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF 的大小为A．15°B．30°C．45°D．60°2．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且∠OCD=90°．若E是BC边的中点，BDD=20 ，AC=12 ，则OE的长为（）A．6B．5C．4D．33．一个正方形的边长增加了3cm，面积相应增加了45cm2，则这个正方形的边长为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm4．如图所示，某居民小区为了美化居住环境，要在一块三角形空地上围一个四边形花坛．已知四边形BCFE的顶点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF=8米，∠B=∠C=60°则四边形花坛的周长是（）A．24米B．32米C．40米D．48米5．如图，五边形ABCDE中，∠B=80°，∠C=110°，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC 的外角，则∠1+∠2+∠3等于（）A．90°B．190°C．210°D．180°6．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD//BC，AD=BC B．AB=DCC．OA=OC，OD=OB D．AB//DC7．如图，在□ABCD中，E为边CD上一点，将∠ADE沿AE折叠至∠AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为_______．A．36°B．52°C．48°D．30°8．如图，已知直线l1//l2，含30°角的三角板的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A在l2上，如果边AB与l2的交点D是AB的中点，那么∠1的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°9．小聪在作线段AB的垂直平分线时他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．长方形10．如图，正方形的周长为8个单位，在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表﹣3的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2017的点与正方形上的数字对应的是（）A．0B．2C．4D．611．如图，菱形ABCD中，BC=5 ，对角线AC等于8，DE⊥AB则DE的长为（）A．5B．6C．9.6D．4.812．如图，在矩形ABCD中，AB=4 ，BC=3 ，点E为AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠，点A落在A′处，连接A′C，若F，G分别为A′C，BC的中点，则FG的最小值为（）A．2B．√72C．√5−12D．1二、填空题(共6题；共7分)13．如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)、B(0，-3)，以点B为圆心、2 为半径的∠B上有一动点P.连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为．14．某古村落为方便游客泊车，准备利用长方形晒谷场长60m一侧，规划一个停车场，已知每个停车位需确保有如长5.5m，宽2.5m的长方形AEDF供停车，如图▱ABCD是其中一个停车位，所有停车位都平行排列，∠ABD为60°，则每个体车位的面积大约为m2（结果保留整数），这个晒谷场按规划最多可容纳个停车位．（√3≈1.7）15．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于度．16．已知一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数是17．如图，矩形ABCD中，AB=3 ，BC=4 ，CE是∠ACB的平分线与边AB的交点，则BE的长为．18．如图，在五边形ABCDE中∠A+∠B+∠E=300°，DP 、CP 分别平分∠EDC 、 ∠BCD则∠P=.三、综合题(共6题；共76分)19．如图,已知O是∠ABCD的对角线AC的中点,M是OA上任意一点(M不与O,A重合).（1）画一个与∠DAM关于点O成中心对称的∠BCN;（2）画一个与∠DCM关于点O成中心对称的图形;（3）连接DN,BM,试判断图中还有几个平行四边形.20．如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A=∠B＝90°，AB＝12，BC＝21，AD=16.动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为t（秒）.（1）设∠DPQ的面积为S，用含有t的代数式表示S.并写出t的取值范围.（2）当∠DPQ的面积为36时求运动时间t的值.（3）当四边形PCDQ是平行四边形，求t的值.21．如图，某校准备一面利用墙，其余三面用篱笆围成一个矩形花圃ABCD，已知旧墙可利用的最大长度为13m，篱笆长为24m，设垂直于墙的AB边长为xm.（1）若围成的花圃面积为70m2时求BC的长；（2）如图，若计划将花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为78m2，请你判断能否围成这样的花圃?如果能，求BC的长：如果不能，请说明理由.22．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．（1）用尺规作图法作菱形AECF，使点E、F分别在BC和AD边上；（2）求EF的长度．23．如图，已知：AB//DF，BC//ED，AC//EF（1）图中有几个平行四边形？将它们分别表示出来.（2）在（1）中选择一个进行证明.（3）证明：F是BC边上的中点.24．问题提出（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=2AD，E为CD的中点，则∠AEB∠ACB （填“＞”“＜”“=”）；（2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD边上的一个动点，当点P位于何处时∠APB最大？并说明理由；问题解决（3）如图③，在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距6米（即AB=6米），下边沿到地面的距离BD=11.6米．如果小刚的睛睛距离地面的高度EF为1.6米，他从远处正对广告牌走近时在P处看广告效果最好（视角最大），请你在图③中找到点P的位置，并计算此时小刚与大楼AD之间的距离．参考答案1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】A 8．【答案】C 9．【答案】B 10．【答案】B 11．【答案】D 12．【答案】D 13．【答案】3214．【答案】17；19 15．【答案】1440° 16．【答案】7 17．【答案】4318．【答案】60°19．【答案】（1）解：如图,在OC 上截取ON=OM,连接BN,则∠BCN 与∠DAM 关于点O 成中心对称.（2）解：∠BAN 与∠DCM 关于点O 成中心对称. （3）解：如图,∠BAN 与∠DCM 关于点O 成中心对称. ∴∠BAN∠∠DCM∴BN=DM ，∠BNA=∠DMC ∴BN∠DM∴DMBN 是平行四边形》故答案为：还有一个,即∠DMBN.20．【答案】（1）解：根据题意得：AQ=t ，∴DQ=16−t∴∠DPQ的面积S= 12×(16−t)×12=96−6t即S与t之间的函数关系式为：S=96−6t（0≤t≤10.5）（2）解：当S=6时96−6t=36解得：t=10∴t=10时∠DPQ的面积是36（3）解：∵PB=2t，∴PC=21−2t，若四边形PCDQ是平行四边形则DQ=PC∴16−t=21−2t解得：t=5，∴当t=5时四边形PCDQ是平行四边形21．【答案】（1）解：根据题意得：BC=（24-2x）m则（24-2x）x=70解得：x1=5，x2=7当x1=5时BC=14，x2=7时BC=10墙可利用的最大长度为13m，BC=14舍去.答：BC的长为10m.（2）解：不能围成这样的花圃.理由如下：依题意可知：（24-3x）x=78即x2-8x+26=0，∠=82-4×1×26=-40＜0所以方程无实数根答：不能围成这样的花圃.22．【答案】（1）解：如图，连接AC，分别以A、C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，连接两弧交点，即为线段AC的垂直平分线MN，MN与线段BC、AD分别交于点E、F，连接AE，CF，菱形AECF即为所求作．（2）解：AC交EF于点O∵四边形ABCD是矩形∴AB =CD =6，BC =AD =8，∠D =90° 由勾股定理得AC =√AD 2+CD 2=10 ∴OA =OC =5设AF =FC =x ，由勾股定理得x 2=(8−x)2+62解得x =254∵∠FOC =90°∴OF =√FC 2−OC 2=√(254)2−52=154∴EF =2OF =152∴EF 的长为152．23．【答案】（1）解：∵AB∠DF ，ED∠BC ，EF∠AC∴图中共有3个平行四边形，即 ▱AEFD 、 ▱BFDE 和 ▱CDEF ；（2）解：∵AB∠DF ，EF∠AC ∴AE∠DF ，EF∠AD∴四边形AEFD 是平行四边形.（3）证明：四边形 BFDE 和四边形 CDEF 都是平行四边形∴DE =BF DE =CF∴BF =CFF 是 BC 边上的中点.24．【答案】（1）＞问题探究（2）解：当点P 位于CD 的中点时∠APB 最大，理由如下：假设P 为CD 的中点，如图2，作∠APB 的外接圆∠O ，则此时CD 切∠O 于点P在CD 上取任意异于P 点的点E ，连接AE ，与∠O 交于点F ，连接BE ，BF ∵∠AFB 是∠EFB 的外角 ∴∠AFB ＞∠AEB ∵∠AFB=∠APB∴∠APB＞∠AEB故点P位于CD的中点时∠APB最大：（3）解：如图3，过点E作CE∠DF交AD于点C，作线段AB的垂直平分线，垂足为点Q，并在垂直平分线上取点O，使OA=CQ以点O为圆心，OA长为半径作圆，则∠O切CE于点G，连接OG，并延长交DF于点P，此时点P 即为小刚所站的位置由题意知DP=OQ= √OA2−AQ2∵OA=CQ=BD+QB﹣CD=BD+ 12AB﹣CD，BD=11.6米，12AB=3米，CD=EF=1.6米∴OA=11.6+3﹣1.6=13米∴DP= √132−32=4√10米即小刚与大楼AD之间的距离为4 √10米时看广告牌效果最好．。

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专题十一四边形的综合应用(针对四川中考特殊四边形的综合应用)1．(导学号14952502)(2017·广元预测)在▱ABCD中，点P和点Q是直线BD上不重合的两个动点，AP∥CQ，AD＝BD.(1)如图①，求证：BP＋BQ＝BC；(2)请直接写出图②，图③中BP，BQ，BC三者之间的数量关系，不需要证明；(3)在(1)和(2)的条件下，若DQ＝1，DP＝3，则BC＝__2或4__．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵AP∥CQ，∴∠APQ＝∠CQB，∴△ADP≌△CBQ，∴DP＝BQ，∵AD＝BD，AD＝BC，∴BD＝BC，∵BD ＝BP＋DP，∴BC＝BP＋BQ(2)图②，BQ－BP＝BC，理由：∵AP∥CQ，∴∠APB＝∠CQD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠ABP＝∠CDQ，∵AB＝CD，∴△ABP≌△CDQ，∴BP＝DQ，∴BC＝AD＝BD＝BQ－DQ＝BQ－BP；图③，BP－BQ＝BC，理由：同理得△ADP≌△CBQ，∴PD＝BQ，∴BC＝AD＝BD＝BP－PD＝BP－BQ(3)图①，BC＝BP＋BQ＝DQ＋PD＝1＋3＝4，图②，BC＝BQ－BP＝PD－DQ＝3－1＝2，∴BC＝2或42．(导学号14952503)(2016·南平)已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点(其中EP＜PD)．(1)如图1，若点F在CD边上(不与D重合)，将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD，PF分别交射线DA于点H，G.①求证：PG＝PF；②探究：DF，DG，DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论；(2)拓展：如图2，若点F在CD的延长线上(不与D重合)，过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为(1)中DF，DG，DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．解：(1)①∵∠GPF ＝∠HPD ＝90°，∠ADC ＝90°，∴∠GPH ＝∠FPD ，∵DE 平分∠ADC ，∴∠PDF ＝∠ADP ＝45°，∴△HPD 为等腰直角三角形，∴∠DHP ＝∠PDF ＝45°，在△HPG 和△DPF中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠PHG ＝∠PDF ，PH ＝PD ，∠GPH ＝∠FPD ，∴△HPG ≌△DPF (ASA )，∴PG ＝PF ；②结论：DG ＋DF ＝2DP ，由①知，△HPD 为等腰直角三角形，△HPG ≌△DPF ，∴HD ＝2DP ，HG ＝DF ，∴HD ＝HG ＋DG ＝DF ＋DG ，∴DG ＋DF ＝2DP (2)不成立，数量关系式应为：DG －DF ＝2DP ，如图，过点P 作PH⊥PD 交射线DA 于点H ，∵PF ⊥PG ，∴∠GPF ＝∠HPD ＝90°，∴∠GPH ＝∠FPD ，∵DE 平分∠ADC ，且在矩形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∴∠HDP ＝∠EDC ＝45°，∴△HPD 为等腰直角三角形，∴∠DHP ＝∠EDC ＝45°，且PH ＝PD ，HD ＝2DP ，∴∠GHP ＝∠FDP ＝180°－45°＝135°，在△HPG 和△DPF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GPH ＝∠FPD ，∠GHP ＝∠FDP ，PH ＝PD ，∴△HPG ≌△DPF ，∴HG ＝DF ，∴DH ＝DG －HG＝DG －DF ，∴DG －DF ＝2DP3．(导学号 14952504)(2017·自贡预测)如图①，AD 为等腰直角△ABC 的高，点A 和点C 分别在正方形DEFG 的边DG 和DE 上，连接BG ，AE.(1)求证：BG ＝AE ；(2)将正方形DEFG 绕点D 旋转，当线段EG 经过点A 时(如图②所示)．①求证：BG⊥GE；②设DG 与AB 交于点M ，若AG∶AE＝3∶4，求GM MD的值．解：(1)∵AD 为等腰直角△ABC 的高，∴AD ＝BD ，∵四边形DEFG 为正方形，∴∠GDE ＝90°，DG ＝DE ，在△BDG 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD ，∠BDG ＝∠ADE ，DG ＝DE ，∴△BDG ≌△ADE (SAS )，∴BG ＝AE (2)①如图，连接AD ，∵四边形DEFG 为正方形，∴△DEG 为等腰直角三角形，∴∠1＝∠2＝45°，由(1)得△BDG≌△ADE ，∴∠3＝∠2＝45°，∴∠1＋∠3＝45°＋45°＝90°，即∠BGE ＝90°，∴BG ⊥GE ；②设AG ＝3x ，则AE ＝4x ，即GE ＝7x ，∴DG ＝22GE ＝722x ，∵△BDG ≌△ADE ，∴BG ＝AE ＝4x ，在Rt △BGA 中，AB ＝BG 2＋AG 2＝（4x ）2＋（3x ）2＝5x ，∵△ABD为等腰直角三角形，∴∠4＝45°，BD ＝22AB ＝522x ，∴∠3＝∠4，而∠BDM ＝∠GDB ，∴△DBM ∽△DGB ，∴BD ∶DG ＝DM∶BD ，即522x∶722x ＝DM ∶522x ，解得DM ＝25214x ，∴GM ＝DG －DM ＝722x －25214x ＝1227x ，∴GM MD ＝1227x 25214x ＝24254．(导学号 14952505)(2016·扬州)已知正方形ABCD 的边长为4，一个以点A 为顶点的45°角绕点A 旋转，角的两边分别与边BC ，DC 的延长线交于点E ，F ，连接EF.设CE ＝a ，CF ＝b.(1)如图1，当∠EAF 被对角线AC 平分时，求a ，b 的值；(2)当△AEF 是直角三角形时，求a ，b 的值；(3)如图3，探索∠EAF 绕点A 旋转的过程中a ，b 满足的关系式，并说明理由．解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCF ＝∠DCE ＝90°，∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ACB ＝∠ACD ＝45°，∴∠ACF ＝∠ACE ，∵∠EAF 被对角线AC 平分，∴∠CAF ＝∠CAE ，在△ACF 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACF ＝∠ACE ，AC ＝AC ，∠CAF ＝∠CAE ，∴△ACF ≌△ACE (ASA )，∴CF ＝CE ，∵CE ＝a ，CF ＝b ，∴a ＝b ，又∵△ACF≌△ACE ，∴AF ＝AE ，∴∠AEF ＝∠AFE ，∵∠EAF ＝45°，∴∠AEF ＝∠AFE ＝67.5°，∵CE ＝CF ，∠ECF ＝90°，∴∠AEC ＝∠AFC ＝22.5°，∵∠CAF ＝∠CAE ＝22.5°，∴∠CAE ＝∠CEA ，∴CE ＝AC ＝42，即a ＝b ＝42 (2)当△AEF 是直角三角形时，①当∠AEF＝90°时，∵∠EAF ＝45°，∴∠AFE ＝45°，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴AF 2＝2FE 2＝2(CE2＋CF 2)，AF 2＝2AE 2＝2(AB 2＋BE 2)，∴2(CE 2＋CF 2)＝2(AB 2＋BE 2)，∴CE 2＋CF 2＝AB 2＋BE 2，∴CE 2＋CF 2＝16＋(4＋CE )2，∴CF 2＝8(CE ＋4)①，∵∠AEB ＋∠BEF ＝90°，∠AEB ＋∠BAE ＝90°，∴∠BEF ＝∠BAE ，∴△ABE ∽△ECF ，∴AB CE ＝BE CF ，∴4CE ＝CE ＋4CF，∴4CF ＝CE (CE ＋4)②，联立①②得，CE ＝4，CF ＝8，∴a ＝4，b ＝8；②当∠AFE ＝90°时，同①的方法得，CF ＝4，CE ＝8，∴a ＝8，b ＝4(3)ab ＝32，理由：如图，∵AB ∥CD ，∴∠BAG ＝∠AFC ，∵∠BAC ＝45°，∴∠BAG ＋∠CAF ＝45°，∴∠AFC ＋∠CAF ＝45°，∵∠AFC ＋∠AEC ＝180°－(∠CFE ＋∠CEF )－∠EAF ＝180°－90°－45°＝45°，∴∠CAF ＝∠AEC ，∵∠ACF ＝∠ACE ＝135°，∴△ACF ∽△ECA ，∴AC EC ＝CF AC，∴EC ×CF ＝AC 2，即ab ＝2AB 2＝32，∴ab ＝325．(导学号 14952506)(2017·南充预测)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O 是坐标原点，点A 在第一象限，点C 在第四象限，点B 在x 轴的正半轴上．∠OAB＝90°且OA ＝AB ，OB ，OC 的长分别是一元二次方程x 2－11x ＋30＝0的两个根(OB ＞OC)．(1)求点A 和点B 的坐标；(2)点P 是线段OB 上的一个动点(点P 不与点O ，B 重合)，过点P 的直线l 与y 轴平行，直线l 交边OA 或边AB 于点Q ，交边OC 或边BC 于点R.设点P 的横坐标为t ，线段QR 的长度为m.已知t ＝4时，直线l 恰好过点C .当0＜t ＜3时，求m 关于t 的函数关系式；(3)当m ＝3.5时，请直接写出点P 的坐标．解：(1)∵方程x 2－11x ＋30＝0的解为x 1＝5，x 2＝6，∴OB ＝6，OC ＝5，∴B 点坐标为(6，0)，作AM⊥x 轴于M ，如图，∵∠OAB ＝90°且OA ＝AB ，∴△AOB 为等腰直角三角形，∴OM ＝BM ＝AM ＝12OB ＝3，∴A 点坐标为(3，3) (2)作CN⊥x 轴于N ，如图，∵t ＝4时，直线l 恰好过点C ，∴ON ＝4，在Rt △OCN 中，CN ＝OC 2－ON 2＝52－42＝3，∴C 点坐标为(4，－3)，设直线OC 的解析式为y ＝kx ，把C (4，－3)代入得4k ＝－3，解得k ＝－ 34，∴直线OC 的解析式为y ＝－34x ，设直线OA 的解析式为y ＝ax ，把A (3，3)代入得3a ＝3，解得a ＝1，∴直线OA 的解析式为y ＝x ，∵P (t ，0)(0＜t ＜3)，∴Q (t ，t )，R (t ，－34t )，∴QR ＝t －(－34t )＝74t ，即m ＝74t (0＜t ＜3) (3)设直线AB 的解析式为y ＝px ＋q ，把A (3，3)，B (6，0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧3p ＋q ＝3，6p ＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－1，q ＝6.∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋6，同理可得直线BC 的解析式为y ＝32x －9，当0＜t ＜3时，m ＝74t ，若m ＝3.5，则74t ＝3.5，解得t ＝2，此时P 点坐标为(2，0)；当3≤t ＜4时，Q (t ，－t ＋6)，R (t ，－34t )，∴m ＝－t ＋6－(－34t )＝－14t ＋6，若m ＝3.5，则－14t ＋6＝3.5，解得t ＝10(不合题意，舍去)；当4≤t ＜6时，Q (t ，－t ＋6)，R (t ，32t －9)，∴m ＝－t ＋6－(32t －9)＝－52t ＋15，若m ＝3.5，则－52t ＋15＝3.5，解得t ＝235，此时P 点坐标为(235，0)，综上所述，满足条件的P 点坐标为(2，0)或(235，0)。

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