(完整word版)中考数学一次函数与反比例函数综合应用题

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一次函数和反比例函数综合问题(3易错7题型)—2024年中考数学(全国通用)(解析版)

一次函数和反比例函数综合问题目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）一次函数和反比例函数是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容.每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分.1．从考点频率看，一次函数和反比例函数的图象和性质是考查的基础，也是高频考点、必考点，所以对一次函数和反比例函数的图象和性质必须熟记.2．从题型角度看，以解答题的第三题或第四题为主，分值8分左右，着实不少！易错点一一次函数与反比例函数中由面积求点坐标【例1】（2024·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数图象5y x =−+与y 轴交于点A ，与反比例函数ky x=的图象的一个交点为(),4B a ，过点B 作AB 的垂线l ．(1)求点A 的坐标及反比例函数的表达式；(2)若点C 在直线l 上，且ABC 的面积为5，求点C 的坐标；S=ABCABCS=【例2】（2024·甘肃陇南·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数4y x =−与反比例函数ky x=的图象交于A ，B 两点，与x 轴相交于点C ，已知点A ，B 的坐标分别为()5,n n 和(),5m −．(1)求反比例函数的解析式； (2)点P 为反比例函数ky x=图象上任意一点，若2POC AOC S S =△△，求点P 的坐标．【例3】（2024·山东济宁·一模）如图，点()3,6A ，()6,B a 是反比例函数y x=的图象上的两点，连接OA 、OB ．(1)求a 的值； (2)求AOB 的面积；(3)若点C 的坐标为()9,0，点P 是反比例函数图象上的点，若POC △的面积等于AOB 面积的3倍，求点P的坐标． )AOB 的面积为AODBOES S=，由BOEAODAOEB S SS S=−四边形，可得AOBS=1273322POCAOBSOC PE S =⨯⨯==⨯，即可求解，【详解】（1）解：∵点()3,6A ，()6,B a 是反比例函数y x=的图象上的两点， ∴63m=，解得：18m =， ∴反比例函数解析式为：18y x=， ∴186a =，解得：3a =，故答案为：3a =，（2）解：过点A ，B ，作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为D ，E ，由（1）可知，点()3,6A ，()6,3B 是反比例函数18y x=的图象上的两点， ∴6AC =，3OD =，3BD =,6OE =，AODBOES S=，∵BOEAODAOEB AOEB S SS S−=−四边形四边形，∴()()()()()1112763632222AOBADEB SS AD BE DE AD BE OE OD ==+⋅=+⋅−=+−=梯形，故答案为：AOB 的面积为272，（3）解：设点P 坐标为18,p p ⎛⎫⎪⎝⎭，过点P ，作PE x ⊥轴，垂足为E ，∴18180PE p p=−=，9OC =， ∴1273322POCAOBSOC PE S =⨯⨯==⨯，即：118279322p ⨯⨯=⨯，解得：2p =或2p =−， ∴()2,9P 或()2,9P −−，故答案为：点P 的坐标为()2,9或()2,9−−．一次函数中平移问题【例1】（2024·河北邯郸·二模）如图，直线1:4l y x =+与y 轴，x 轴交于点A ，点B ，直线2l 与y 轴，x 轴交于点A ，点,2C OC OA =．(1)求点A 的坐标及直线2l 的解析式；(2)点13,22D m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在直线3l 上．①直接写出直线3l 的解析式；②若点D 在ABC 内部（含边界），求m 的取值范围；③横纵坐标都为整数的点为整点，将直线3l 向上平移n 个单位长度（n 为整数），直线3l 在第二象限恰有4个整点，直接写出n的值．=OC OA2①点在ABC 内部（含边界）【例2】（2024·河北石家庄·一模）如图，平面直角坐标系中，线段AB 的端点为(2,2)A ，(4,1)B ．直线:2l y x =+与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点，动点P 从点D 出发，沿y 轴以每秒1个单位长度的速度向下移动，设移动时间为t 秒．某同学设计了一个动画：线段AB 为蓝色光带，当有动点或动直线经过线段AB 时，蓝色光带会变成红色．(1)求直线AB 的解析式；(2)①若直线l 随点P 向下平移，当2t =时，蓝色光带是否变红？②点M 是直线l 上的一点，若点M 向下平移4个单位长度的过程中，能使蓝色光带变红，求点M 的横坐标M x 的取值范围；Q m n三点共线时，直接写出m与t的函数关系式．(3)当点C，点P与蓝色光带上的点(,)直线过直线又直线②点A）()20C −，易错点三一次函数与反比例函数中求线段和的最小值问题【例1】（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，一次函数8y x =+的图象与反比例函数()0ky x x=<的图象交于(),6A a ，B 两点．(1)求此反比例函数的表达式及点B 的坐标；(2)在y 轴上存在点P ，使得AP BP +的值最小，求AP BP +的最小值．则AP BP +的最小值A =【例2】（2023·辽宁盘锦·二模）如图，一次函数4y x =+的图象与反比例函数ky x=（k 为常数且0k ≠）的图象交于()1,A a −，B 两点．(1)求此反比例函数的表达式及点B 的坐标；(2)当反比例函数值大于一次函数值时，直接写出x 的取值范围；(3)在y 轴上存在点P ，使得APB △的周长最小，求点P 的坐标并直接写出APB △的周长．）解：点点点A题型一一次函数的图象和性质【例1】（2024·浙江·模拟预测）已知点()11,A m n ，()22,B m n ()12m m <在一次函数y kx b =+的图像上． (1)用含有1m ，1n ，2m ，2n 的代数式表示k 的值．(2)若123m m b +=，124n n kb +=+，2b >．试比较1n 和2n 的大小，并说明理由．【例2】（2024·浙江杭州·一模）设一次函数31y ax a =++（a 是常数，0a ≠）． (1)无论a 取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标： (2)若24x ≤≤时，该一次函数的最大值是6，求a 的值．【详解】（1）解：一次函数1，当3x =−时，11y =，∴无论a 取何值，该一次函数图象始终过定点(3,1)−；（2）解：当0a >时，当4x =时，一次函数14316y a a =++=，1．（2024·北京·一模）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象经过点()0,1，()2,2−，与x 轴交于点A ．(1)求该一次函数的表达式及点A 的坐标；(2)当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数y kx b =+（0k ≠）的值，直接写出m 的取值范围．解：一次函数2．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知一次函数10y mx n mn =+≠．(1)已知关于x 的一元二次方程20x mx n +−=必有两个不相等的实数根，试说明一次函数1y mx n =+的图象过第一和第二象限．(2)在（1）的条件下，已知另一函数2y nx m =+的图象与y 1图象的交点在第四象限，求不等式12y y >的解．【答案】(1)见解析解：∵关于x 的一元二次方程20x mx n +−=的解，可看作抛物线2y x =与直线y mx n =−+的交点，根据题意得，抛物线2y x =与直线y mx n =−+必有两个不同的交点， ∴0n >，∴一次函数1y mx n =+的图象过第一和第二象限；（2）解：∵2y nx m =+，0n >，∴直线2y nx m =+一定经过第一、三象限， ∵直线2y nx m =+与y 1图象的交点在第四象限，∴直线2y nx m =+一定经过第一、三、四象限， ∴0m <， ∴0m n −<， ∵12y y >， ∴mx n nx m +>+，整理得()m n x m n −>−， ∴1x <，即不等式12y y >的解集为1x <．题型二反比例函数的图象和性质【例1】（2024·陕西西安·一模）已知反比例函数3my x−=． (1)若该反比例函数图象在每一个象限内，y 都随着x 的增大而减小，求m 的取值范围； (2)若点()2,3A 在此反比例函数图象上，求反比例函数的解析式．1．（2024·福建南平·一模）反比例函数ky x=图象经过点(1,6)A ，(,3)B a ． (1)求a 的值；(2)若点(,)C m n 在反比例函数ky x=图象上，其中3n <，求m 的取值范围．题型三一次函数和反比例函数与不等式综合问题【例1】（2024·贵州毕节·一模）如图，一次函数()0y ax b a =+≠与反比例函数()0ky k x=≠的图象在第一象限交于()2,3A 和()3,B m 两点，与x 轴交于点C ．(1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出关于x 的不等式(0)kax b x x+>>的解集．）解：点又B【例2】（2024·陕西宝鸡·一模）如图所示，一次函数1y x m =−+图象与反比例函数2ky x=图象相交于点(,3)A n 和点(3,1)B −．(1)求反比例函数解析式； (2)当12y y >时，求x 的取值范围．1．（2024·山西朔州·一模）如图，反比例函数()1110,0k y k x x=>>与一次函数()2220y k x b k =+≠的图象交于()2,3A ，3,2B m ⎛⎫⎪⎝⎭两点．(1)求m 的值及一次函数的表达式． (2)直接写出当12y y >时，x 的取值范围．）解：反比例函数与一次函数的图象交于当24x <<时，12y y <，所以，当12y y >时， x 的取值范围为02x <<或4x >．2．（2024·江西九江·一模）如图一次函数y kx b =+的图象与反比例函数4y x=−的图象相交于点()1,A m −，(),1B n −．(1)求一次函数的解析式；(2)结合图象，直接写出不等式4kx b x+>−的解集．3．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，一次函数12y x =−的图象与反比例函数(0)y k x=≠的图象交于()(),12,A a B b −，两点，与x 轴相交于点C ．(1)求反比例函数的表达式；(2)观察图象，直接写出不等式112kx x−<的解集；(3)若(),0P m 为x 轴上的一动点，连接AP ，当APC △的面积为52时，求点P 的坐标．）解：函数）函数在112y x =−中，当y =解得：2x =，()2,0C ∴， ()0,P m ，APC S =△题型四一次函数和反比例函数中求三角形面积问题【例1】（2024·山西大同·一模）如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数()0ky k x=>的图象相交于点()6,32A n −−，点(),3B n −，与y 轴交于点C ．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)点D 是点C 关于x 轴的对称点，连接AD BD 、，求ABD △的面积．S=ABD【例2】（2024·吉林白山·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数5y x =−+的图象与反比例函数(0)ky k x=>的图象相交于()1,A m 、()4,B n 两点，与x 轴相交于点C ，连接OA 、OB ．(1)求反比例函数的解析式； (2)求AOB 的面积． AOBS=1．（2024·湖南长沙·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数32y x b =−+与反比例函数()0ky k x=≠交于()(),6,4,3A m B −两点，与y 轴交于点C ，连接,OA OB ．(1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求AOB 的面积．解：点解：点AOBAOCBOCS SS=+与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点()1,C a ，D 是反比例函数图象上的一个动点，过点D 向y 轴作垂线与一次函数图象交于点E ，其中点A 的坐标为(3,0)−．(1)求反比例函数的表达式；(2)连接,DB DC ，当DCE △的面积等于DBC △面积的2倍时，求点E 的坐标；(3)若P 是x 轴上的一个动点，连接,EP DP ，当DPE 与AOB 相似时，求点D 的纵坐标．坐标，根据DPE 与AOB 相似计算即可，注意分情况讨论．()033b =⨯−+∵过点D向y轴作垂线与一次函数图象交于点∴设12D mm⎛⎫⎪⎝⎭，，则点E纵坐标为∴1239y xm=+=，解得x412⎛⎫当AOB PED∽时，当时，AOB PED ∽，此时时，P AOB DE ∽，此时∴12PD m =，DE m ⎛=− ⎝∴1243PD m DE m m m ==⎛⎫−− ⎪⎝⎭时，E AOB PD ∽，此时时，P AOB ED ∽，此时，则N EPM PD ∽∴EM MP PEPN DN PD== 此时12EM DN m==，DE 当D AOB EP ∽时，PE PD 同理当AOB DPE ∽时，PD综上所述，当DPE 与AOB 相似时，求点题型五一次函数和反比例函数中求证问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·河南周口·一模）如图，反比例函数ky x=与正比例函数y ax =交于点()3,2A 和点C ，与正比例函数6y x =交于点B 和点D ．(1)求k 与a 的值，并求点B ，C ，D 的坐标； (2)求证：CBD ADB ∠=∠．1．（2024·湖南怀化·一模）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点．如图，一次函数y ax b =+（a 为常数，0a ≠）与反比例函数ky x=（k 为常数，0k ≠）的图象相交于点()25A ，和点()4B m −，．(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)过点A 作y 轴的垂线，过点B 作x 轴的垂线，相交于点C ；过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线，相交于点D ．求证：C ，O ，D 三点在同一条直线上．2．（2024·河南平顶山·一模）如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数y x=的图象交于第一象限(1,4)C ，D(4,m)两点，与坐标轴交于A 、B 两点，连接OC ，OD （O 是坐标原点）.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)当kax bx+<时，直接写出x的取值范围；(3)将直线AB向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？题型六一次函数和反比例函数中求线段长问题【例1】（2024·广东珠海·一模）如图1．直线21y x =+与y 轴交于点B ，与反比例函数()0ky x x=>的图象交于点()1,A a ．图2将线段AB 向右平移m 个单位长度()0m >，得到对应线段CD ，连接AC ，BD ．当点D 恰好落在反比例函数图象上时，过点C 作CF x ⊥轴于点F ，交反比函数图象于点E ．(1)求反比例函数表达式； (2)求EF 的长度．1．（2024·河南·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数1y ()0kx b k =+≠的图象与反比例函数2y ()0mm x=≠的图象相交于第二、四象限内的()1,3A −，(),1B a −两点，与y 轴交于点C ．(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)在x 轴上找一点P ，使PA PC −最大，求PA PC −的最大值及点P 的坐标．一次函数的解析式为Rt ADC中，由勾股定理可得题型七利用反比例函数的图象和性质探究平移问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·广东深圳·模拟预测）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数1yx=−的图象与性质．其探究过程如下：(1)绘制函数图象，如图，列表：下表是x与y的几组对应值，其中m=；描点：根据表中各组对应值,x y，在平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整；(2)通过观察函数图象，写出该函数的一条性质：．(3)利用函数图象，解不等式1230xx−+＜．观察图形得出函数的性质：图象关于y轴对称；故答案为：图象关于y轴对称；（3）【例2】（2024·陕西西安·一模）乐乐同学在学习了反比例函数的基础上，进一步探究函数21y x =-的性质．以下是他的研究过程，请补充完整．(1)如表是y 与x 的几组对应值．(2)在平面直角坐标系xOy 中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；(3)观察图象，发现这个函数图象为中心对称图形，则它的对称中心为______；(4)若直线2y x =与函数21y x =-的图象交于第一象限内一点(),P x y ，则下面关于x 的取值范围描述正确的是（）A ．1 1.25x <<B ．1.25 1.5x <<C ．1.5 1.75x <<D ．1.752x <<【详解】（1）解：①4x =时，413y ==−， 23m ∴=，故答案为：23；（2）解：如图：（3）解：观察图象，发现这个函数图象为中心对称图形，则它的对称中心为(1,0)；故答案为：(1,0)；（4）解：作出直线2y x =如图：把3y =代入2y x =求得 1.5x =，把3y =代入21y x =-，求得53x =，观察图象，若直线2y x =与函数21y x =-的图象交于第一象限内一点(,)P x y ，则x 的取值范围是51.53x <<， ∴关于x 的取值范围描述正确的是C ，故答案为：C ．1．（2024·山西大同·一模）中考新考法：注重过程性学习，某数学小组在研究函数221x y −+=+时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下：(1)①x 与y 的几组对应值如下表，请补全表格；②在上图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象；(2)我们知道，函数()()20,0,0y a x h k a h k =−+≠>>的图象是由二次函数2y ax =的图象向右平移h 个单位，再向上平移k 个单位得到的．类似地，请直接写出将2y x =−的图象经过怎样的平移可以得到221x y −+=+的图象；(3)若一次函数123y x =−+的图象与函数221x y −+=+的图象交于A B 、两点，连接OA OB 、，求AOB 的面积．【答案】(1)见解析，(2)向左平移1个单位，向上平移2个单位(3)5（2）2y x=−的图象向左平移1（3）一次函数123y x =−+的图象，如图，可知∴AOB 的面积为()12232⨯⨯+=。

2023年九年级中考数学专题专练--反比例函数与一次函数的综合【含答案】

2023年九年级中考数学专题专练--反比例函数与一次函数的综合1．如图，在平面直角坐标系中，点A(m ，n)（m ＞0）在双曲线y ＝上.4x （1）如图1，m ＝1，∠AOB ＝45°，点B 正好在y ＝（x ＞0）上，求B 点坐标； 4x （2）如图2，线段OA 绕O 点旋转至OC ，且C 点正好落在y ＝上，C(a ，b)，试求m 与a4x 的数量关系.2．如图，一次函数y=kx+3的图象与反比例函数y= 的图象交于P 、Q 两点，PA ⊥x 轴于点A ，mx 一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C ，点B，其中OA=6，且．12OC CA（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△APQ 的面积；（3）根据图象写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值．3．如图，已知一次函数y 1=k 1x+b （k 1为常数，且k 1≠0）的图象与反比例函数y 2= （k 2为常数，2k x 且k 2≠0）的图象相交于A （1，2），B （m ，﹣1）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若A 1（m 1，n 1），A （m 2，n 2），A 3（m 3，n 3）为反比例函数图象上的三点，且m 1＜m 2＜0＜m 3，请直接写出n 1、n 2、n 3的大小关系式；（3）结合图象，请直接写出关于x 的不等式k 1x+b ＞的解集．2k x 4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=x﹣2与双曲线y= (k≠0)相交于A，B 两点，且点Akx 的横坐标是3.（1）求k 的值；（2）过点P(0，n)作直线，使直线与x 轴平行，直线与直线y=x﹣2交于点M ，与双曲线y=kx (k≠0)交于点N ，若点M 在N 右边，求n 的取值范围.5．已知双曲线y= 和直线y=kx+4．6x （1）若直线y=kx+4与双曲线y= 有唯一公共点，求k 的值．6x（2）若直线y=kx+4与双曲线交于点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．当x 1＞x 2，请借助图象比较y 1与y 2的大小．6．如图，已知A （﹣2，﹣2），B （1，4）是一次函数y ＝kx+b （k≠0）的图象和反比例函数（m≠0）的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C.my x =（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOC 的面积；（3）结合图象直接写出不等式的解集.mkx b x +＜7．如图，在平面直角坐标系系中，一次函数y 1=kx+b(k0）与反比例函数y 2= （m≠0）的图象交mx 于第二、第四象限A ，B 两点，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，AD=4，sin ∠AOD= ，且点B 的45坐标为（n ，-2）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）将一次函数y 1=kx+b(k0）向下移动2个单位的函数记为y 3，当y 3<y 2时，求x 的取值范围。

综合题：一次函数二次函数反比例函数中考综合题复习

第一部分：一次函数考点归纳：一次函数：若y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k 是常数，k ≠0)，这时，y 叫做x 的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b ，这时，y 叫做常函数。

☆A 与B 成正比例 A=kB(k ≠0)直线位置与k ，b 的关系：（1）k ＞0直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角为锐角；（2）k ＜0直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角为钝角；（3）b ＞0直线与y 轴交点在x 轴的上方；（4）b ＝0直线过原点；（5）b ＜0直线与y 轴交点在x 轴的下方；平移1，直线x y 31=向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线。

2，直线143+-=x y 向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线________方法：直线y=kx+b ，平移不改变斜率k ，则将平移后的点代入解析式求出b 即可。

直线y=kx+b 向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;（“左加右减，上加下减”）。

练习：直线m:y=2x+2是直线n 向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n 上，则a=____________；函数图形的性质例题：1．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（）A．y=2x-1 B．y=3xC．y=2x2 D．y=-2x+12，一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（）A．一、二、三 B．二、三、四C．一、二、四 D．一、三、四3，若函数y=（2m+1）x2+（1-2m）x（m为常数）是正比例函数，则m的值为（）A．m>12B．m=12C．m<12D．m=-124、直线y kx b=+经过一、二、四象限，则直线y bx k=-的图象只能是图4中的（）5，若一次函数y=（3-k）x-k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（）A．k>3 B．0<k≤3 C．0≤k<3 D．0<k<36，已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（）A．y=-x-2 B．y=-x-6 C．y=-x+10 D．y=-x-17，已知关于x的一次函数27y mx m=+-在15x-≤≤上的函数值总是正数，则m的取值范围是（）A．7m>B．1m>C．17m≤≤D．都不对8、如图，两直线1y kx b=+和2y bx k=+在同一坐标系内图象的位置可能是（）9，一次函数y=ax+b与y=ax+c(a>0)在同一坐标系中的图象可能是（）xyo xyoxyoxyoA B C D10，,已知一次函数（1）当m 取何值时，y 随x 的增大而减小？（2）当m 取何值时，函数的图象过原点？函数解析式的求法：正比例函数设解析式为： ,一个点的坐标带入求k. 一次函数设解析式为：；两点带入求k,b1，已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A （3,4），且OA=OB（1）求两个函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；第二部分：二次函数（待讲）课前小测：1，抛物线3)2x (y 2-+=的对称轴是（）。

中考数学复习----《反比例函数之综合应用》知识点总结与练习题(含答案解析)

中考数学复习----《反比例函数之综合应用》知识点总结与练习题（含答案解析）知识点总结1. 反比例函数k 的集合意义：①过反比例函数图像上任意一点作坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴构成一个矩形，矩形的面积等于k 。

②过反比例函数图像上任意一点作其中一条坐标轴的垂线，并连接这个点与原点，则构成一个三角形。

这个三角形的面积等于2k 。

2. 待定系数法求反比例函数解析式：在反比例函数中只有一个系数k ，所以只需要在图像上找一个对应的点即可求出k 的值，从而求出反比例函数解析式。

3. 反比例函数与一次函数的不等式问题：若反比例函数()0≠=k x ky 与一次函数()0≠+=k b kx y 有交点，则不等式b kx xk +＞的解集取反比例函数图像在一次函数图像上方的部分所对应的自变量取值范围；等式b kx xk+＜的解集取反比例函数图像在一次函数图像下方的部分所对应的自变量取值范围。

反比例函数与一次函数的交点把自变量分成三部分。

练习题1、（2022•日照）如图，矩形OABC 与反比例函数y 1＝xk1（k 1是非零常数，x ＞0）的图像交于点M ，N ，与反比例函数y 2＝xk2（k 2是非零常数，x ＞0）的图像交于点B ，连接OM ，ON ．若四边形OMBN 的面积为3，则k 1﹣k 2＝（）A ．3B ．﹣3C ．23 D ．﹣23【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k 的几何意义即可得出结论．【解答】解：∵y 1、y 2的图像均在第一象限， ∴k 1＞0，k 2＞0，∵点M 、N 均在反比例函数y 1＝（k 1是非零常数，x ＞0）的图像上，∴S △OAM ＝S △OCN ＝k 1，∵矩形OABC 的顶点B 在反比例函数y 2＝（k 2是非零常数，x ＞0）的图像上，∴S 矩形OABC ＝k 2，∴S 四边形OMBN ＝S 矩形OABC ﹣S △OAM ﹣S △OCN ＝3， ∴k 2﹣k 1＝3， ∴k 1﹣k 2＝﹣3，故选：B ．2、（2022•牡丹江）如图，等边三角形OAB ，点B 在x 轴正半轴上，S △OAB ＝43，若反比例函数y ＝xk（k ≠0）图像的一支经过点A ，则k 的值是（）A ．233 B ．23C ．433 D ．43【分析】根据正三角形的性质以及反比例函数系数k 的几何意义，得出S △AOC ＝S △AOB ＝2＝|k |，即可求出k 的值．【解答】解：如图，过点A 作AC ⊥OB 于点C ， ∵△OAB 是正三角形， ∴OC ＝BC ，∴S △AOC ＝S △AOB ＝2＝|k |，又∵k ＞0， ∴k ＝4，故选：D ．3、（2022•郴州）如图，在函数y ＝x2（x ＞0）的图像上任取一点A ，过点A 作y 轴的垂线交函数y ＝﹣x8（x ＜0）的图像于点B ，连接OA ，OB ，则△AOB 的面积是（）A ．3B ．5C ．6D ．10【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义进行计算即可．【解答】解：∵点A 在函数y ＝（x ＞0）的图像上， ∴S △AOC ＝×2＝1，又∵点B 在反比例函数y ＝﹣（x ＜0）的图像上， ∴S △BOC ＝×8＝4， ∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝1+4 ＝5，故选：B ．4、（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B 在反比例函数y ＝x 3的图像上，顶点A 在反比例函数y ＝xk的图像上，顶点D 在x 轴的负半轴上．若平行四边形OBAD 的面积是5，则k 的值是（）A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣2【分析】设B （a ，），根据四边形OBAD 是平行四边形，推出AB ∥DO ，表示出A 点的坐标，求出AB ＝a ﹣，再根据平行四边形面积公式列方程，解出即可．【解答】解：设B （a ，）， ∵四边形OBAD 是平行四边形， ∴AB ∥DO ， ∴A （，），∴AB ＝a ﹣，∵平行四边形OBAD 的面积是5， ∴（a ﹣）＝5，解得k ＝﹣2，故选：D ．5、（2022•十堰）如图，正方形ABCD 的顶点分别在反比例函数y ＝xk 1（k 1＞0）和y ＝xk 2（k 2＞0）的图像上．若BD ∥y 轴，点D 的横坐标为3，则k 1+k 2＝（）A ．36B ．18C ．12D ．9【分析】连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，设AE＝BE＝CE＝DE ＝m，D（3，a），根据BD∥y轴，可得B（3，a+2m），A（3+m，a+m），即知k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），从而m＝3﹣a，B（3，6﹣a），由B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图像上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图像上，得k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，即得k1+k2＝18﹣3a+3a＝18．【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），∵BD∥y轴，∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），∵A，B都在反比例函数y＝（k1＞0）的图像上，∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝3﹣a，∴B（3，6﹣a），∵B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图像上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图像上，∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；故选：B ．6、（2022•邵阳）如图是反比例函数y ＝x1的图像，点A （x ，y ）是反比例函数图像上任意一点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接OA ，则△AOB 的面积是（）A ．1B ．C ．2D ．【分析】由反比例函数的几何意义可知，k ＝1，也就是△AOB 的面积的2倍是1，求出△AOB 的面积是．【解答】解：∵A （x ，y ）， ∴OB ＝x ，AB ＝y ，∵A 为反比例函数y ＝图像上一点， ∴xy ＝1，∴S △ABO ＝AB •OB ＝xy ＝1＝，故选：B ．7、（2022•内江）如图，在平面直角坐标系中，点M 为x 轴正半轴上一点，过点M 的直线l ∥y 轴，且直线l 分别与反比例函数y ＝x 8和y ＝xk的图像交于P 、Q 两点．若S △POQ ＝15，则k 的值为（）A ．38B ．22C ．﹣7D ．﹣22【分析】利用k 的几何意义解题即可．【解答】解：∵直线l ∥y 轴， ∴∠OMP ＝∠OMQ ＝90°，∴S △OMP ＝×8＝4，S △OMQ ＝﹣k ．又S △POQ ＝15， ∴4﹣k ＝15，即k ＝11，∴k ＝﹣22．故选：D ．8、（2022•东营）如图，△OAB 是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B 在反比例函数y ＝x1（x ＞0）的图像上，则经过点A 的函数图像表达式为．【分析】作AD ⊥x 轴于D ，BC ⊥x 轴于C ，根据△OAB 是等腰直角三角形，可证明△BOC ≌△OAD ，利用反比例函数k 的几何意义得到S △OBC ＝，则S △OAD ＝，所以|k |＝，然后求出k 得到经过点A 的反比例函数解析式．【解答】解：如图，作AD ⊥x 轴于D ，BC ⊥x 轴于C ， ∴∠ADO ＝∠BCO ＝90°，∵∠AOB ＝90°， ∴∠AOD +∠BOC ＝90°， ∴∠AOD +∠DAO ＝90°， ∴∠BOC ＝∠DAO ， ∵OB ＝OA ，∴△BOC ≌△OAD （AAS ），∵点B 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图像上， ∴S △OBC ＝， ∴S △OAD ＝， ∴k ＝﹣1，∴经过点A 的反比例函数解析式为y ＝﹣．故答案为：y ＝﹣．9、（2022•盐城）已知反比例函数的图像经过点（2，3），则该函数表达式为．【分析】利用反比例函数的定义列函数的解析式，运用待定系数法求出函数的解析式即可．【解答】解：令反比例函数为y ＝（k ≠0）， ∵反比例函数的图像经过点（2，3）， ∴3＝， k ＝6，∴反比例函数的解析式为y ＝．故答案为：y ＝．10、（2022•湖北）在反比例函数y ＝xk 1−的图像的每一支上，y 都随x 的增大而减小，且整式x 2﹣kx +4是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为．【分析】由整式x 2﹣kx +4是一个完全平方式，可得k ＝±4，由反比例函y ＝的图像的每一支上，y 都随x 的增大而减小，可得k ﹣1＞0，解得k ＞1，则k ＝4，即可得反比例函数的解析式．【解答】解：∵整式x 2﹣kx +4是一个完全平方式，∴k ＝±4， ∵反比例函数y ＝的图像的每一支上，y 都随x 的增大而减小，∴k ﹣1＞0，解得k ＞1， ∴k ＝4，∴反比例函数的解析式为y ＝．故答案为：y ＝．35．（2022•陕西）已知点A （﹣2，m ）在一个反比例函数的图像上，点A '与点A 关于y 轴对称．若点A '在正比例函数y ＝21x 的图像上，则这个反比例函数的表达式为．【分析】根据轴对称的性质得出点A '（2，m ），代入y ＝x 求得m ＝1，由点A （﹣2，1）在一个反比例函数的图像上，从而求得反比例函数的解析式．【解答】解：∵点A '与点A 关于y 轴对称，点A （﹣2，m ）， ∴点A '（2，m ），∵点A '在正比例函数y ＝x 的图像上， ∴m ＝＝1，∴A （﹣2，1），∵点A （﹣2，1）在一个反比例函数的图像上， ∴反比例函数的表达式为y ＝﹣，故答案为：y ＝﹣．11、（2022•攀枝花）如图，正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝xk 2的图像交于A （1，m ）、B 两点，当k 1x ≤xk2时，x 的取值范围是（）A ．﹣1≤x ＜0或x ≥1B ．x ≤﹣1或0＜x ≤1C ．x ≤﹣1或x ≥1D ．﹣1≤x ＜0或0＜x ≤1【分析】根据反比例函数的对称性求得B 点的坐标，然后根据图像即可求得．【解答】解：∵正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝的图像交于A （1，m ）、B 两点，∴B （﹣1，﹣m ），由图像可知，当k 1x ≤时，x 的取值范围是﹣1≤x ＜0或x ≥1，故选：A ．37．（2022•东营）如图，一次函数y 1＝k 1x +b 与反比例函数y 2＝xk 2的图像相交于A ，B 两点，点A 的横坐标为2，点B 的横坐标为﹣1，则不等式k 1x +b ＜xk2的解集是（）A ．﹣1＜x ＜0或x ＞2B ．x ＜﹣1或0＜x ＜2C ．x ＜﹣1或x ＞2D ．﹣1＜x ＜2【分析】根据两函数图像的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出不等式k 1x +b ＜的解集，此题得解．【解答】解：观察函数图像可知，当﹣1＜x ＜0或x ＞2时，一次函数y 1＝k 1x +b 的图像在反比例函数y 2＝的图像的下方，∴不等式k 1x +b ＜的解集为：﹣1＜x ＜0或x ＞2，故选：A ．12、（2022•朝阳）如图，正比例函数y ＝ax （a 为常数，且a ≠0）和反比例函数y ＝xk（k 为常数，且k ≠0）的图像相交于A （﹣2，m ）和B 两点，则不等式ax ＞xk的解集为（）A ．x ＜﹣2或x ＞2B ．﹣2＜x ＜2C ．﹣2＜x ＜0或x ＞2D ．x ＜﹣2或0＜x ＜2【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求得B （2，﹣m ），然后根据函数的图像的交点坐标即可得到结论．【解答】解：∵正比例函数y ＝ax （a 为常数，且a ≠0）和反比例函数y ＝（k 为常数，且k ≠0）的图像相交于A （﹣2，m ）和B 两点， ∴B （2，﹣m ），∴不等式ax ＞的解集为x ＜﹣2或0＜x ＜2，故选：D ．13、（2022•无锡）一次函数y ＝mx +n 的图像与反比例函数y ＝xm的图像交于点A 、B ，其中点A 、B 的坐标为A （﹣m1，﹣2m ）、B （m ，1），则△OAB 的面积是（） A ．3B ．413C ．27D ．415【分析】根据反比例函数图像上点的坐标特征求出m ，进而求出点A 、B 的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：∵点A （﹣，﹣2m ）在反比例函数y ＝上， ∴﹣2m ＝，解得：m ＝2，∴点A 的坐标为：（﹣，﹣4），点B 的坐标为（2，1）， ∴S △OAB ＝××5﹣××4﹣×2×1﹣×1＝，故选：D ．14、（2022•荆州）如图是同一直角坐标系中函数y 1＝2x 和y 2＝x2的图像．观察图像可得不等式2x ＞x2的解集为（）A ．﹣1＜x ＜1B ．x ＜﹣1或x ＞1C ．x ＜﹣1或0＜x ＜1D ．﹣1＜x ＜0或x ＞1【分析】结合图像，数形结合分析判断．【解答】解：由图像，函数y 1＝2x 和y 2＝的交点横坐标为﹣1，1， ∴当﹣1＜x ＜0或x ＞1时，y 1＞y 2，即2x ＞，故选：D ．15、（2022•怀化）如图，直线AB 交x 轴于点C ，交反比例函数y ＝xa 1−（a ＞1）的图像于A 、B 两点，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，若S △BCD ＝5，则a 的值为（）A．8B．9C．10D．11【分析】设点B的坐标为（m，），然后根据三角形面积公式列方程求解．【解答】解：设点B的坐标为（m，），∵S△BCD＝5，且a＞1，∴×m×＝5，解得：a＝11，故选：D．16、（2022•宁夏）在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压U一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积V与电路中总电阻R总（R总＝R+R0）是反比例关系，电流I与R总也是反比例关系，则I与V的函数关系是（）A．反比例函数B．正比例函数C．二次函数D．以上答案都不对【分析】由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，电流I与R总是反比例关系，可得V＝I（为常数），即可得到答案．【解答】解：由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，设V•R总＝k（k为常数），由电流I与R总是反比例关系，设I•R总＝k'（k为常数），∴＝，∴V＝I（为常数），∴I与V的函数关系是正比例函数，故选：B．17、（2022•宜昌）已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．根据下表判断a和b的大小关系为（）A．a＞b B．a≥b C．a＜b D．a≤b【分析】根据等量关系“电流＝”，即可求解．【解答】解：∵闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，∴40a＝80b，∴a＝2b，∴a＞b，故选：A．18、（2022•丽水）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A．设选用灯泡的电阻为R（Ω），下列说法正确的是（）A．R至少2000ΩB．R至多2000ΩC．R至少24.2ΩD．R至多24.2Ω【分析】利用已知条件列出不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：∵电压U一定时，电流强度I（A）与灯泡的电阻为R（Ω）成反比例，∴I＝．∵已知电灯电路两端的电压U为220V，∴I＝．∵通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A，∴≤0.11，∴R≥2000．故选：A．19、（2022•郴州）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻R（Ω）三者之间的关系：I＝U，测得数据如下：那么，当电阻R＝55Ω时，电流I＝A．【分析】由表格数据求出反比例函数的解析式，再将R＝55Ω代入即可求出答案．【解答】解：把R＝220，I＝1代入I＝得：1＝，解得U＝220，∴I＝，把R＝55代入I＝得：I＝＝4，故答案为：4．20、（2022•山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图像如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受的压强p的值为Pa．【分析】设p＝，把（0.1，1000）代入得到反比例函数的解析式，再把S＝0.25代入解析式即可解决问题．【解答】解：设p＝，∵函数图像经过（0.1，1000），∴k＝100，∴p＝，当S＝0.25m2时，物体所受的压强p＝＝400（Pa），故答案为：400．。

中考数学专题19 一次函数与反比例函数综合题型(解析版)

专题19 一次函数与反比例函数综合题型1. （2019·四川自贡中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数b kx y +=1（0≠k ）的图象与反比例函数)0(2≠=m xmy 的图象相交于第一、三象限内的A （3,5），B （a ，－3）两点，与x 轴交于点C . （1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2找一点P 使PB －PC 最大，求PB －PC 的最大值及点P 的坐标；（3）直接写出当21y y >时，x 的取值范围.【答案】见解析.【解析】解：（1）把A （3,5）代入2my x=，15=m ， ∴反比例函数的解析式为15y x=. 把B （a ，－3）代入15y x=，得a =－5， ∴B （－5，－3）把A （3,5），B （－5，－3）代入b kx y +=1得：⎩⎨⎧-=+-=+3553b k b k ，解得⎩⎨⎧==21b k ∴一次函数的解析式为y =x +2.（2）依题意得，直线AB 与y 轴交点即为P 点，在y =x +2中，令x =0，则y =2；令y =0，则x =－2， ∴点P 的坐标为（0,2），点C 的坐标为（－2,0），此时PB ，PC ，∴PB －PC 的最大值为.（3）当y 1>y 2时，x 的取值范围是－5＜x ＜0或x ＞3. 2.（2019·广东广州中考）已知2221()a P a b a b a b=-≠±-+，（1）化简P ；（2）若点（a ，b ）在一次函数2-=x y 的图象上，求P 的值. 【答案】见解析. 【解析】解：（1）2221a P ab a b =--+ =22222a a b a b a b ---- =22a b a b +- =1a b- （2）点（a ，b ）在一次函数2-=x y 的图象上， ∴b =a，即a －b， ∴P =1a b -3. （2019·广东广州中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点P （－1，2），AB ⊥x 轴于点E ，正比例函数y =mx 的图像与反比例函数3n y x-=的图像相交于A ，P 两点。

中考《第五讲：一次函数与反比例函数》专题复习含答案

中考数学专题辅导第五讲应用题（一次函数与反比例函数专题）选讲此部分内容包括：函数的应用（主要是一次函数与反比例函数），则属于中档题。

真题再现：1．(2008年苏州•本题8分)如图，帆船A和帆船B在太湖湖面上训练，O为湖面上的一个定点，教练船静候于O点．训练时要求A、B两船始终关于O点对称．以O为原点．建立如图所示的坐标系，轴、y 轴的正方向分别表示正东、正北方向．设A、B两船可近似看成在双曲线上运动，湖面风平浪静，双帆远影优美．训练中当教练船与A、B两船恰好在直线上时，三船同时发现湖面上有一遇险的C船，此时教练船测得C船在东南45°方向上，A船测得AC与AB的夹角为60°，B船也同时测得C船的位置（假设C船位置不再改变，A、B、C三船可分别用A、B、C三点表示)．(1)发现C船时，A、B、C三船所在位置的坐标分别为A( ，)、B( ，)和C( ，)；(2)发现C船，三船立即停止训练，并分别从A、O、B三点出发沿最短路线同时前往救援，设A、B两船的速度相等，教练船与A船的速度之比为3：4，问教练船是否最先赶到?请说明理由。

2．(2010年苏州•本题8分) 如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数(x＞0)的图象经过点B．(1)求k的值；(2)将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、MA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数(x＞0)的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式．3．（2014年•苏州•本题7分）如图，已知函数y＝－x＋b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与函数y＝x的图象交于点M，点M的横坐标为2．在x轴上有一点P (a，0)（其中a>2），过点P作x轴垂线，分别交函数y＝－x＋b和y＝x的图象于点C，D．(1)求点A的坐标；(2)若OB＝CD，求a的值．x4yx=y x=kyx=kyx=12124．（2014年•苏州• 8分）如图，已知函数y＝（x>0）的图象经过点A ，B ，点A 的坐标为(1，2)．过点A 作AC ∥y 轴，AC ＝1（点C 位于点A 的下方），过点C 作CD ∥x 轴，与函数的图象交于点D ，过点B 作BE ⊥CD ，垂足E 在线段CD 上，连接OC ，OD ． (1)求△OCD 的面积； (2)当BE ＝AC 时，求CE 的长．5．（2015年苏州•本题满分8分）如图，已知函数（x ＞0）的图像经过点A 、B ，点B 的坐标为（2，2）．过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为D ，AC 与BD 交于点F ．一次函数y=ax +b 的图像经过点A 、D ，与x 轴的负半轴交于点E ．（1）若AC =OD ，求a 、b 的值；（2）若BC ∥AE ，求BC 的长．6．（2016年苏州•本题满分8分）如图一次函数的图像与轴交于点A ，与反比例函数的图像交干点B (2,n)．过点B 作轴于点P ，P 是该反比例函数图像上的一点，且∠PBC=∠ABC ．求反比例函数和一次函数的表达式．7．（2017年苏州•本题满分8分）如图，在中，，轴，垂足为．反比例函数（）的图像经过点，交于点．已知，． kx12ky x=326y kx =+x (0)my x x=>BC x ⊥(34,1)n -C ∆AB C C A =B x AB ⊥A k y x =0x >C AB D 4AB =5C 2B =（1）若，求的值；（2）连接，若，求的长．8. （2017年南京市•本题满分3分）如图，已知点A 是一次函数y =x (x ≥0)图像上一点，过点A 作x 轴的垂线l ，B 是l 上一点(B 在A 上方)，在AB 的右侧以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，反比例函数(k )0)的图像过点B 、C ，若△OAB 的面积为6,求△ABC 的面积.9．（2017年南京市•本题满分8分）如图，已知一次函数y =kx +b 的图像与x 轴交于点A ，与反比例函数y =(x <0)的图像交于点B (-2,n )，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，点D (3-3n ,1)是该反比例函数图像上一点. (1)求m 的值；(2)若∠DBC =∠ABC ，求一次函数y =kx +b 的表达式.10．（2017年无锡市•本题满分12分）操作：“如图1，P 是平面直角坐标系中一点（x 轴上的点除外），过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，点C 绕点P 逆时针旋转60°得到点Q ．”我们将此由点P 得到点Q 的操作称为点的T 变换．（1）点P （a ，b ）经过T 变换后得到的点Q的坐标为；若点M 经过T 变换后得到点N （6，﹣），则点M 的坐标为．（2）A 是函数y =x 图象上异于原点O 的任意一点，经过T 变换后得到点B ．①求经过点O ，点B 的直线的函数表达式；②如图2，直线AB 交y 轴于点D ，求△OAB 的面积与△OAD 的面积之比．11．（2017年泰州市•本题满分12分）阅读理解：如图①，图形l 外一点P 与图形l 上各点连接的所有线段中，若线段PA 1最短，则线段PA 1的长度称为点P 到图形l 的距离．4OA =k C O D C B =B C O 12ky x=mx例如：图②中，线段P1A的长度是点P1到线段AB的距离；线段P2H的长度是点P2到线段AB的距离．解决问题：如图③，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（8，4），（12，7），点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向运动了t秒．（1）当t=4时，求点P到线段AB的距离；（2）t为何值时，点P到线段AB的距离为5？（3）t满足什么条件时，点P到线段AB的距离不超过6？（直接写出此小题的结果）模拟训练：1．(2017年常熟市•本题满分8分)如图，点、分别在轴和轴上， (点和点在直线的两侧)，点的坐标为(4,).过点的反比例函数的图像交边于点. (1)求反比例函数的表达式; (2)求点的坐标.2．（2018年蔡老师预测•本题满分8分如图，正比例函数y=2x 的图象与反比例函数y=的图象交于点A 、B ，AB=2，（1）求k 的值；（2）若反比例函数y=的图象上存在一点C ，则当△ABC 为直角三角形，请直接写出点C 的坐标．3．( 2017年张家港•本题满分8分) 货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行.轿车出发3h 后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶.设货车出发h 后，货车、轿车分别到达离甲地km 和km 的地方，图中的线段、折线分别表示、与之间的函数关系.(1)求点的坐标，并解释点的实际意义;(2)求线段所在直线的函数表达式; (3)当货车出发 h 时，两车相距50km.4．(2017年苏州市区•本题满分8分)如图，在平面直角坐标系中，函数（，是常数）的图像经过，，其中．过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，AC 与BD 交于点E ，连结，，．A B y x BC AB ⊥C O AB C n C (0)m y x x =>AC 1(,3)3D n +B x 1y 2y OA BCDE 1y 2y x D D DE ky x=0x >k (26)A ，(,)B m n 2m >A x C B y D AD DC CB（1）若的面积为3，求的值和直线的解析式；（2）求证：；（3）若∥ ，求点B 的坐标．5．(2017年昆山市•吴江区••本题满分7分)如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线相交于点，且，(1)求证:四边形是菱形;(2)如果，求出经过点的反比例函数解析式.6．(2017年高新区•本题满分8分) 如图，反比例函数y ＝的图象与一次函数y ＝kx +b 的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为(2，6)，点B 的坐标为(n ，1)．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)点E 为y 轴上一个动点，若S △AEB ＝10，求点E 的坐标．7．(2017年吴中区•本题满分8分)如图，一次函数的图象与反比例(为常数，且)的图象交于，两点。

微专题4 反比例函数的综合应用++课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)

+=+
①当AC,BO为对角线时,AC,BO的中点重合,∴
,
+4=0+0

=
解得
,
= −
经检验,t=4,k=-16符合题意,
此时点C的坐标为(4,-4);
25
②当CB,AO为对角线时,CB,AO的中点重合,
+=+
∴
,
+0=4+0

= −
解得
,
= −
经检验,t=-4,k=-16符合题意,

所以S△AOB=S△AOM+S△BOM= ×2×3+ ×2×1=4.

因为正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形,且坐标原点是对称中
心,
所以点B和点C关于点O成中心对称,所以BO=CO,所以S△ABC=2S△AOB=8.
17
类型2
求特殊三角形或特殊四边形
【思维切入】
1.动点三角形的形状问题:
∵点A(m,4)在y=2x+2上,
∴2m+2=4,∴m=1,
∴点A的坐标为(1,4),

∵点A(1,4)在y= 上,∴4= ,∴k2=4,∴y= .

8
(2)如图,连接DE,过点B作BF垂直于y轴,垂足为F,
联立
= +
=

= 1 = −2
,解得
,
,
= 4 = −2
3.动点四边形的问题转化为动点三角形问题:
动点菱形问题转化为动点等腰三角形问题;
动点矩形问题转化为动点直角三角形问题.

中考数学反比例函数和一次函数综合大题-含解析

将点 D 的坐标 1，4 代入反比例函数解析式得： 4 k ，
1
解得： k 4 ，
∴反比例函数解析式为：
y2
4 x
；
y 4 （2）解：联立 x ，
y 2x 2
x 1 x 2
解得：
y
4
或
y
2
，
∴ C 2， 2 ，
观察图象可得：当 y1 y2 时， x 的取值范围为 2 x 0 或 x 1．
பைடு நூலகம்
一、问答题
1．如图，直线
y1
2x
2
与坐标轴交于点
A、B，与双曲线
y2
k x
交于
C、D
两点，并
且 DA AB BC ．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当 y1 y2 时，根据图象直接写出此条件下 x 的取值范围；
【答案】(1)
y2
4 x
(2) 2 x 0 或 x 1．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．（1）先求得点 A、B 的坐标，再根据 DA AB BC ，且 A、B、C、D 四点共线，得到点 A
当 y1 0 时， 2x 2 0 ，解得： x= 1，
∴点 B 的坐标为 1，0 ，
∵ DA AB BC ，且 A、B、C、D 四点共线， ∴点 A 是线段 BD 的中点，
设点 D 的坐标为 x，y ，
试卷第 1页，共 16页
则
x
1
2
0
，
y
2
0
2
x 1
解得：
y
4
，
∴点 D 的坐标为 1，4 ，
试卷第 7页，共 10页
8．如图，函数

中考数学反比例函数综合经典题及答案

中考数学反比例函数综合经典题及答案一、反比例函数1．已知一次函数y=kx+b与反比例函数y= 交于A（﹣1，2），B（2，n），与y轴交于C 点．（1）求反比例函数和一次函数解析式；（2）如图1，若将y=kx+b向下平移，使平移后的直线与y轴交于F点，与双曲线交于D，E两点，若S△ABD=3，求D，E的坐标．（3）如图2，P为直线y=2上的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线AB于Q，交双曲线于R，若QR=2QP，求P点坐标．【答案】（1）解：点A（﹣1，2）在反比例函数y= 的图象上，∴m=（﹣1）×2=﹣2，∴反比例函数的表达式为y=﹣，∵点B（2，n）也在反比例函数的y=﹣图象上，∴n=﹣1，即B（2，﹣1）把点A（﹣1，2），点B（2，﹣1）代入一次函数y=kx+b中，得，解得：k=﹣1，b=1，∴一次函数的表达式为y=﹣x+1，答：反比例函数的表达式是y=﹣，一次函数的表达式是y=﹣x+1；（2）解：如图1，连接AF，BF，∵DE∥AB，∴S△ABF=S△ABD=3（同底等高的两三角形面积相等），∵直线AB的解析式为y=﹣x+1，∴C（0，1），设点F（0，m），∴AF=1﹣m，∴S△ABF=S△ACF+S△BCF= CF×|x A|+ CF×|x B|= （1﹣m）×（1+2）=3，∴m=﹣1，∴F（0，﹣1），∵直线DE的解析式为y=﹣x+1，且DE∥AB，∴直线DE的解析式为y=﹣x﹣1①．∵反比例函数的表达式为y=﹣②，联立①②解得，或∴D（﹣2，1），E（1，﹣2）；（3）解：如图2由（1）知，直线AB的解析式为y=﹣x﹣1，双曲线的解析式为y=﹣，设点P（p，2），∴Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣），PQ=|2+p+1|，QR=|﹣p﹣1+ |，∵QR=2QP，∴|﹣p﹣1+ |=2|2+p+1|，解得，p= 或p= ，∴P（，2）或（，2）或（，2）或（，2）．【解析】【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值，从而可得到反比例函数的解析式；把点A和点B的坐标代入一次函数的解析式可求得一次函数的解析式；（2）依据同底等高的两个三角形的面积相等可得到S△ABF=S△ABD=3，再利用三角形的面积公式可求得点F的坐标，即可得出直线DE的解析式，即可求出交点坐标；（3）设点P（p，2），则Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣），然后可表示出PQ与QR的长度，最后依据QR=2QP，可得到关于p的方程，从而可求得p的值，从而可得到点P的坐标.2．如图，一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA=OB．（1）求函数y=kx+b和y= 的表达式；（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB=MC，求此时点M 的坐标．【答案】（1）解：把点A（4，3）代入函数y= 得：a=3×4=12，∴y= ．OA= =5，∵OA=OB，∴OB=5，∴点B的坐标为（0，﹣5），把B（0，﹣5），A（4，3）代入y=kx+b得：解得：∴y=2x﹣5．（2）解：∵点M在一次函数y=2x﹣5上，∴设点M的坐标为（x，2x﹣5），∵MB=MC，∴解得：x=2.5，∴点M的坐标为（2.5，0）．【解析】【分析】（1）先求反比例函数关系式，由OA=OB，可求出B坐标，再代入一次函数解析式中求出解析式；（2）M点的纵坐标可用x 的式子表示出来，可套两点间距离公式，表示出MB、MC，令二者相等，可求出x .3．如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折现”）（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；（2）如图2，双曲线y= 与新函数的图象交于点C(1，a)，点D是线段AC上一动点(不包括端点)，过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．①试求△PAD的面积的最大值；②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形?若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）解：如图1，新函数的性质：1.函数的最小值为0；2.函数图象的对称轴为直线x=3.由题意得，点A的坐标为（-3，0），分两种情况：①当x-3时，y=x+3；②当x<-3时，设函数解析式为y=kx+b，在直线y=x+3中，当x=-4时，y=-1，则点（-4，-1）关于x轴的对称点为（-4，1），把点（-4，1），（-3，0），代入y=kx+b中，得：，解得：，∴y=-x-3.综上，新函数的解析式为y=.（2）解：如图2，①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，∴a=4，∵点C（1，4）在反比例函数y=上，∴k=4，∴反比例函数的解析式为y=.∵点D是线段AC上一动点，∴设点D的坐标为（m，m+3），且-3<m<1，∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，∴点P的坐标为（，m+3），∴PD=-m，∴S△PAD=（-m）（m+3）=m2-m+2=（m+）2+，∵a=<0，∴当m=时，S有最大值，最大值为，又∵-3<<1，∴△PAD的面积的最大值为.②在点D的运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形，理由如下：当点D为AC的中点时，其坐标为（-1，2），此时点P的坐标为（2，2），点E的坐标为（-5，2），∵DP=3，DE=4，∴EP与AC不能互相平分，∴四边形PAEC不能为平行四边形.【解析】【分析】（1）根据一次函数的性质，结合函数图象写出新函数的两条性质；利用待定系数法求新函数解析式，注意分两种情况讨论；（2）①先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，设出点D的坐标，进而得到点P的坐标，再根据三角形的面积公式得出函数解析式，利用二次函数的性质求解即可；②先求出A的中点D的坐标，再计算DP、DE的长度，如果对角线互相平分，则能成为平行四边形，如若对角线不互相平分，则不能成为平行四边形.4．如图，一次函数y=﹣x+3的图象与反比例y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．【答案】（1）解：∵点A（1，a）在一次函数y=﹣x+3的图象上，∴a=﹣1+3=2，∴点A（1，2）．∵点A（1，2）在反比例y= （k为常数，且k≠0）的图象上，∴k=1×2=2，∴反比例函数的表达式为y= ．联立一次函数与反比例函数关系式成方程组，得：，解得：，，∴点B（2，1）（2）解：作B点关于x轴的对称点B′（2，﹣1），连接AB’，交x轴于点P，连接PB，如图所示．∵点B、B′关于x轴对称，∴PB=PB′．∵点A、P、B′三点共线，∴此时PA+PB取最小值．设直线AB′的函数表达式为y=mx+n（m≠0），将A（1，2）、B（2，﹣1）代入y=mx+n，，解得：，∴直线AB′的函数表达式为y=﹣3x+5．当y=﹣3x+5=0时，x= ，∴满足条件的点P的坐标为（，0）．【解析】【分析】（1）将x=1代入直线AB的函数表达式中即可求出点A的坐标，由点A 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式，联立两函数表达式成方程组，通过解方程组即可求出点B的坐标；（2）作B点关于x轴的对称点B′（2，﹣1），连接AB’，交x轴于点P，连接PB，由两点之间线段最短可得出此时PA+PB 取最小值，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的函数表达式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标．5．【阅读理解】我们知道，当a＞0且b＞0时，（﹣）2≥0，所以a﹣2 +≥0，从而a+b≥2 （当a=b时取等号），【获得结论】设函数y=x+ （a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x= 即x= 时，函数y有最小值为2（1）【直接应用】若y1=x（x＞0）与y2= （x＞0），则当x=________时，y1+y2取得最小值为________．（2）【变形应用】若y1=x+1（x＞﹣1）与y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），则的最小值是________（3）【探索应用】在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），点B（0，﹣2），点P是函数y= 在第一象限内图象上的一个动点，过P点作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，设点P的横坐标为x，四边形ABCD的面积为S①求S与x之间的函数关系式；②求S的最小值，判断取得最小值时的四边形ABCD的形状，并说明理由．【答案】（1）1；2（2）4（3）解：①设P（x，），则C（x，0），D（0，），∴AC=x+3，BD= +2，∴S= AC•BD= （x+3）（ +2）=6+x+ ；②∵x＞0，∴x+ ≥2 =6，∴当x= 时，即x=3时，x+ 有最小值6，∴此时S=6+x+ 有最小值12，∵x=3，∴P（3，2），C（3，0），D（0，2），∴A、C关于x轴对称，D、B关于y轴对称，即四边形ABCD的对角线互相垂直平分，∴四边形ABCD为菱形．【解析】【解答】解：（1）∵x＞0，∴y1+y2=x+ ≥2 =2，∴当x= 时，即x=1时，y1+y2有最小值2，故答案为：1；2；（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴ = =（x+1）+ ≥2 =4，∴当x+1= 时，即x=1时，有最小值4，故答案为：4；【分析】（1）直接由结论可求得其取得最小值，及其对应的x的值；（2）可把x+1看成一个整体，再利用结论可求得答案；（3）①可设P（x，），则可表示出C、D的坐标，从而可表示出AC和BD，再利用面积公式可表示出四边形ABCD的面积，从而可得到S 与x的函数关系式；②再利用结论可求得其最得最小值时对应的x的值，则可得到P、C、D的坐标，可判断A、C关于x轴对称，B、D关于y轴对称，可判断四边形ABCD为菱形．6．如图，过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象分别交于两点A，C和B，D，连接AB，BC，CD，DA．（1）四边形ABCD一定是________四边形；（直接填写结果）（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时k1，k2之间的关系式；若不能，说明理由；（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，a=，b= ，试判断a，b的大小关系，并说明理由．【答案】（1）平行（2）解：∵正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y= 的图象在第一象限相交于A，∴k1x= ，解得x= （因为交于第一象限，所以负根舍去，只保留正根）将x= 带入y=k1x得y= ，故A点的坐标为（，）同理则B点坐标为（，），又∵OA=OB，∴ = ，两边平方得： +k1= +k2，整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，∵k1≠k2，所以k1k2﹣1=0，即k1k2=1；（3）解：∵P（x1， y1），Q（x2， y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，∴y1= ，y2= ，∴a= = = ，∴a﹣b= ﹣ = = ，∵x2＞x1＞0，∴＞0，x1x2＞0，（x1+x2）＞0，∴＞0，∴a﹣b＞0，∴a＞b．【解析】【解答】解：（1）∵直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，∴OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD 是平行四边形；故答案为：平行；【分析】（1）由直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，即可得到结论．（2）联立方程求得A、B点的坐标，然后根据OA=OB，依据勾股定理得出 = ，两边平分得 +k1= +k2，整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，根据k1≠k2，则k1k2﹣1=0，即可求得；（3）由P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，得到y1= ，y2= ，求出a= = = ，得到a﹣b= ﹣ = = ＞0，即可得到结果．7．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，直线y= x+ 交x轴于点B，交y轴于点A，过点C（1，0）作x轴的垂线l，将直线l绕点C按逆时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）.（1）当直线l与直线y= x+ 平行时，求出直线l的解析式；（2）若直线l经过点A，①求线段AC的长；②直接写出旋转角α的度数；（3）若直线l在旋转过程中与y轴交于D点，当△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形时，直接写出符合条件的旋转角α的度数.【答案】（1）解：当直线l与直线y＝ x＋平行时，设直线l的解析式为y＝ x ＋b，∵直线l经过点C（1，0），∴0＝＋b，∴b＝，∴直线l的解析式为y＝x−（2）解：①对于直线y＝ x＋，令x＝0得y＝，令y＝0得x＝−1，∴A（0，），B（−1，0），∵C（1，0），∴AC＝，②如图1中，作CE∥OA，∴∠ACE＝∠OAC，∵tan∠OAC＝，∴∠OAC＝30°，∴∠ACE＝30°，∴α＝30°（3）解：①如图2中，当α＝15°时，∵CE∥OD，∴∠ODC＝15°，∵∠OAC＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝15°，∴AD＝AC＝AB，∴△ADB，△ADC是等腰三角形，∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∴△DBC是等腰三角形；②当α＝60°时，易知∠DAC＝∠DCA＝30°，∴DA＝DC＝DB，∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形；③当α＝105°时，易知∠ABD＝∠ADB＝∠ADC＝∠ACD＝75°，∠DBC＝∠DCB＝15°，∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形；④当α＝150°时，易知△BDC是等边三角形，∴AB＝BD＝DC＝AC，∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形，综上所述：当α＝15°或60°或105°或150°时，△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形.【解析】【分析】（1）设直线l的解析式为y＝ x＋b，把点C（1，0）代入求出b即可；（2）①求出点A的坐标，利用两点间距离公式即可求出AC的长；②如图1中，由CE∥OA，推出∠ACE＝∠OAC，由tan∠OAC＝，推出∠OAC＝30°，即可解决问题；（3）根据等腰三角形的判定和性质，分情况作出图形，进行求解即可.8．综合实践问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动. 他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒.操作探究：（1）若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图1，下面的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？（2）如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字？（3）如图3，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体形纸盒.①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕.②若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形，用含x的代数式表示这个纸盒的高为________cm，底面积为________cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为________cm3.【答案】（1）解：A．有田字，故A不能折叠成无盖正方体；B．只有4个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体；C．可以折叠成无盖正方体；D．有6个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体．故答案为：C．（2）解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，所以与“保”字相对的字是“卫”（3）x；（20﹣2x）2；576【解析】【解答】（3）解：①如图，②设剪去的小正方形的边长为x（cm），用含字母x的式子表示这个盒子的高为xcm，底面积为（20﹣2x）2cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为=x（20﹣2x）2=4×（20﹣2×4）2=576（cm3）．故答案为：x，（20﹣2x）2， 576【分析】（1）由平面图形的折叠及正方体的展开图解答本题；（2）正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答；（3）①根据题意，画出图形即可；②根据正方体底面积、体积，即可解答．9．请完成下面题目的证明．如图,AB为⊙O的直径,AB=8,点C和点D是⊙O上关于直线AB 对称的两个点,连接OC,AC,且∠BOC<90°,直线BC与直线AD相交于点E,过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F,与直线AD相交于点G,且∠GAF=∠GCE（1）求证:直线CG为⊙O的切线；（2）若点H为线段OB上一点,连接CH,满足CB=CH；①求证:△CBH∽△OBC；②求OH+HC的最大值.【答案】（1）证明：由题意可知：∠CAB=∠GAF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠OCA+∠OCB=90°，∵∠GAF=∠GCE，∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，∵OC是⊙O的半径，∴直线CG是⊙O的切线；（2）证明：①∵CB=CH，∴∠CBH=∠CHB，∵OB=OC，∴∠CBH=∠OCB，∴△CBH∽△OBC解：②由△CBH∽△OBC可知：∵AB=8，∴BC2=HB•OC=4HB，∴HB= ，∴OH=OB-HB=∵CB=CH，∴OH+HC=当∠BOC=90°，此时BC=∵∠BOC＜90°，∴0＜BC＜令BC=x∴OH+HC= = =当x=2时，∴OH+HC可取得最大值，最大值为5【解析】【分析】（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，∠GAF=∠GCE，由圆的性质可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，从而可证明直线CG是⊙O的切线；（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易证∠CBH=∠OCB，从而可证明△CBH∽△OBC；②由△CBH∽△OBC可知：，所以HB= ，由于BC=HC，所以OH+HC=利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．10．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A，B，C，已知点A（﹣1，0），点B（3，0）（1）求抛物线的解析式（2）点D为抛物线的顶点，DE⊥x轴于点E，点N是线段DE上一动点①当点N在何处时，△CAN的周长最小？②若点M（m，0）是x轴上一个动点，且∠MNC＝90°，求m的取值范围．【答案】（1）解：函数的表达式为：y=a（x+1）（x﹣3）=a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a=﹣3，解得：a=1，故函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3（2）解：①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'（2，﹣3），连接AC'交DE于点N，则此时△CAN的周长最小．设过点A、C'的一次函数表达式为y=kx+b，则：，解得：，故直线AC'的表达式为：y=﹣x﹣1，当x=1时，y=﹣2，故点N（1，﹣2）；②如图2，过点C作CG⊥ED于点G．设NG=n，则NE=3﹣n．∵∠CNG+∠GCN=90°，∠CNG+∠MNE=90°，∴∠NCG=∠MNE，则tan∠NCG=n=tan∠MNE，故ME=﹣n2+3n，∴﹣1＜0，故ME有最大值，当n时，ME，则m的最小值为：；如下图所示，当点N与点D重合时，m取得最大值．过C作CG⊥ED于G．∵y=x2﹣2x﹣3= y=（x－1）2﹣4，∴D（1，－4），∴CG=OE=1．∵EG=OC=3∴GD=4－3=1，∴CG=DG=1，∴∠CDG=45°．∵∠CDM=90°，∴∠EDM=45°，∴△EDM是等腰直角三角形，∴EM=ED=4，∴OM=OE+EM=1+4=5，∴m=5．故：m≤5．【解析】【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x﹣3）=a（x2﹣2x﹣3），即可求解；（2）①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'（2，﹣3），连接AC'交DE于点N，则此时△CAN的周长最小，即可求解；②如图2，ME=﹣n2+3n，求出ME最大值，则可求出m的最小值；当点N与点D处时，m取得最大值，求解即可．11．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC．（1）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（2）在（1）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．【答案】（1）解：如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ABD＝90°，∴△ABC∽△ADB，∴∠ABC＝∠ADB，且∠ACB＝∠BCD＝90°，∴△ABC∽△BDC，∴∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵BC＝AC．∴BC＝3，∴AB＝＝＝5，∵，∴，∴CD＝，∴AD＝AC+CD＝4+ ＝，∴OD＝AD﹣AO＝，∴点D的坐标为：（，0）；（2）解：如图2，当∠APC＝∠ABD＝90°时，∵∠APC＝∠ABD＝90°，∠BAD＝∠PAQ，∴△APQ∽△ABD，∴，∴∴m＝，如图3，当∠AQP＝∠ABD＝90°时，∵∠AQP＝∠ABD＝90°，∠PAQ＝∠BAD，∴△APQ∽△ADB，∴，∴∴m＝；综上所述：当m＝或时，△APQ与△ADB相似．【解析】【分析】（1）如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，可证△ABC∽△ADB，可得∠ABC＝∠ADB，可证△ABC∽△BDC，可得，可求CD 的长，即可求点D坐标；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx＋m－1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．【答案】（1）解：将抛物线表达式变为顶点式，则抛物线顶点坐标为（1，-1）；（2）解：①m=1时，抛物线表达式为，因此A、B的坐标分别为（0，0）和（2，0），则线段AB上的整点有（0，0），（1，0），（2，0）共3个；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；又有抛物线表达式，令y=0，则，得到A、B两点坐标分别为（，0），（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，∴．【解析】【分析】（1）将抛物线表达式变为顶点式，即可得到顶点坐标；（2）①m=1时，抛物线表达式为，即可得到A、B的坐标，可得到线段AB上的整点个数；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；令y=0，则，解方程可得到A、B两点坐标分别为（，0），（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，即可得到结论．。

2023年中考数学专题练习：反比例函数与一次函数的综合

2023年中考数学专题练习--反比例函数与一次函数的综合1．如图， A B 、两点的坐标分别为 ()()2,0,0,3- ，将线段 AB 绕点 B 逆时针旋转90°得到线段BC ，过点 C 作 CD OB ⊥ ，垂足为 D ，反比例函数 ky x=的图象经过点 C .（1）直接写出点 C 的坐标，并求反比例函数的解析式；（2）点 P 在反比例函数 ky x=的图象上，当 PCD 的面积为3时，求点 P 的坐标. 2．如图，四边形ABCD 是矩形，点A 在第四象限y 1＝﹣ 2x 的图象上，点B 在第一象限y 2＝ kx 的图象上，AB 交x 轴于点E ，点C 与点D 在y 轴上，AD ＝ 32 ，S 矩形OCBE ＝ 32S 矩形ODAE .（1）求点B 的坐标.（2）若点P 在x 轴上，S △BPE ＝3，求直线BP 的解析式.3．如图，直线y=2x+4与反比例函数y=kx的图象相交于A （﹣3，a ）和B 两点（1）求k 的值；（2）直线y=m （m ＞0）与直线AB 相交于点M ，与反比例函数的图象相交于点N ．若MN=4，求m 的值；（3）直接写出不等式65x - ＞x 的解集． 4．如图，直线y=3x 与双曲线y= kx（k≠0，且x ＞0）交于点A ，点A 的横坐标是1．（1）求点A 的坐标及双曲线的解析式；（2）点B 是双曲线上一点，且点B 的纵坐标是1，连接OB ，AB ，求△AOB 的面积．5．如图，点A （m ，6）、B （n ，1）在反比例函数图象上，AD△x 轴于点D ，BC△x 轴于点C ，DC=5．（1）求m 、n 的值并写出该反比例函数的解析式．（2）点E 在线段CD 上，S △ABE =10，求点E 的坐标．6．如图，在矩形OABC 中，OA=3，OC=2，F 是AB 上的一个动点（F 不与A ，B 重合），过点F 的反比例函数kyx=（k ＞0）的图象与BC 边交于点E ．（1）当F 为AB 的中点时，求该函数的解析式；（2）当k 为何值时，△EFA 的面积最大，最大面积是多少？7．如图6，正比例函数 2y x = 的图象与反比例函数 ky x=的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC △x 轴于点C ，连接BC ，若△ABC 面积为2.（1）求k 的值；（2）在x 轴上是否存在点D ，使△ABD 为直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.8．如图，在平面直角坐标系中，直线EF 交x ，y 轴子点F ，E ，交反比例函数 ky x=（x ＞0）图象于点C ，D ，OE=OF= 52，以CD 为边作矩形ABCD ，顶点A 与B 恰好落在y 轴与x 轴上．（1）若矩形ABCD 是正方形，求CD 的长。

中考数学一次函数与反比例函数综合问题(函数)(含解析)

2019-2020全国各地中考数学压轴大题函数综合一、一次函数+反比例函数综合题1.（2019•嘉兴）如图，在直角坐标系中，已知点B（4，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y＝的图象上．（1）求反比例函数的表达式．（2）把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O'A'B'当这个函数图象经过△O'A'B'一边的中点时，求a的值．解：（1）过点A作AC⊥OB于点C，∵△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，OC＝OB，∵B（4，0），∴OB＝OA＝4，∴OC＝2，AC＝2．把点A（2，2）代入y＝，得k＝4．∴反比例函数的解析式为y＝；（2）分两种情况讨论：①点D是A′B′的中点，过点D作DE⊥x轴于点E．由题意得A′B′＝4，∠A′B′E＝60°，在Rt△DEB′中，B′D＝2，DE＝，B′E＝1．∴O′E＝3，把y＝代入y＝，得x＝4，∴OE＝4，∴a＝OO′＝1；②如图3，点F是A′O′的中点，过点F作FH⊥x轴于点H．由题意得A′O′＝4，∠A′O′B′＝60°，在Rt△FO′H中，FH＝，O′H＝1．把y＝代入y＝，得x＝4，∴OH＝4，∴a＝OO′＝3，综上所述，a的值为1或3．2.（2019•金华）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝2．（1）点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；（2）若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标；（3）平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．解：（1）过点P作x轴垂线PG，连接BP，∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝2，∴BP＝2，G是CD的中点，∴PG＝，∴P（2，），∵P在反比例函数y＝上，∴k＝2，∴y＝，由正六边形的性质，A（1，2），∴点A在反比例函数图象上；（2）D（3，0），E（4，），设DE的解析式为y＝mx+b，∴，∴，∴y＝x﹣3，联立方程解得x＝，∴Q点横坐标为；（3）E（4，），F（3，2），将正六边形向左平移两个单位后，E（2，），F（1，2），则点E与F都在反比例函数图象上；3.（2019•衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝那么称点T是点A，B的融合点．例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x＝＝1，y＝＝2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．①试确定y与x的关系式．②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．解：（1）x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，故点C是点A、B的融合点；（2）①由题意得：x＝（t+3），y＝（2t+3），则t＝3x﹣3，则y＝（6x﹣6+3）＝2x﹣1；②当∠DHT＝90°时，如图1所示，设T（m，2m﹣1），则点E（m，2m+3），由点T是点D，E的融合点得：m＝，解得：m＝，即点E（，6）；当∠TDH＝90°时，如图2所示，则点T（3，5），由点T是点D，E的融合点得：点E（6，15）；当∠HTD＝90°时，该情况不存在；故点E（，6）或（6，15）．4.（2019•温州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE．动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某一点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点B的坐标和OE的长．（2）设点Q2为（m，n），当＝tan∠EOF时，求点Q2的坐标．（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．解：（1）令y＝0，则﹣x+4＝0，∴x＝8，∴B（8，0），∵C（0，4），∴OC＝4，OB＝8，在Rt△BOC中，BC＝＝4，又∵E为BC中点，∴OE＝BC＝2；（2）如图1，作EM⊥OC于M，则EM∥CD，∵E是BC的中点∴M是OC的中点∴EM＝OB＝4，OE＝BC＝2∵∠CDN＝∠NEM，∠CND＝∠MNE∴△CDN∽△MEN，∴＝1，∴CN＝MN＝1，∴EN＝＝，∵S△ONE＝EN•OF＝ON•EM，∴OF＝＝，由勾股定理得：EF＝＝＝，∴tan∠EOF＝＝＝，∴＝＝，∵n＝﹣m+4，∴m＝6，n＝1，∴Q2（6，1）；（3）①∵动点P、Q同时作匀速直线运动，∴s关于t成一次函数关系，设s＝kt+b，∵当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合，∴t＝2时，CD＝4，DQ3＝2，∴s＝Q3C＝＝2，∵Q3（﹣4，6），Q2（6，1），∴t＝4时，s＝＝5，将或代入得，解得：，∴s＝﹣，②（i）当PQ∥OE时，如图2，∠QPB＝∠EOB＝∠OBE，作QH⊥x轴于点H，则PH＝BH＝PB，Rt△ABQ3中，AQ3＝6，AB＝4+8＝12，∴BQ3＝＝6，∵BQ＝6﹣s＝6﹣t+＝7﹣t，∵cos∠QBH＝＝＝＝，∴BH＝14﹣3t，∴PB＝28﹣6t，∴t+28﹣6t＝12，t＝；（ii）当PQ∥OF时，如图3，过点Q作QG⊥AQ3于点G，过点P作PH⊥GQ于点H，由△Q3QG∽△CBO得：Q3G：QG：Q3Q＝1：2：，∵Q3Q＝s＝t﹣，∴Q3G＝t﹣1，GQ＝3t﹣2，∴PH＝AG＝AQ3﹣Q3G＝6﹣（t﹣1）＝7﹣t，∴QH＝QG﹣AP＝3t﹣2﹣t＝2t﹣2，∵∠HPQ＝∠CDN，∴tan∠HPQ＝tan∠CDN＝，∴2t﹣2＝，t＝，（iii）由图形可知PQ不可能与EF平行，综上，当PQ与△OEF的一边平行时，AP的长为或．5.（2019•襄阳）如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝的图象在第一、第三象限分别交于A（3，4），B（a，﹣2）两点，直线AB与y轴，x轴分别交于C，D两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）比较大小：AD＝BC（填“＞”或“＜”或“＝”）；（3）直接写出y1＜y2时x的取值范围．解：（1）把A（3，4）代入反比例函数y2＝得，4＝，解得m＝12，∴反比例函数的解析式为y2＝；∵B（a，﹣2）点在反比例函数y2＝的图象上，∴﹣2a＝12，解得a＝﹣6，∴B（﹣6，﹣2），∵一次函数y1＝kx+b的图象经过A（3，4），B（﹣6，﹣2）两点，∴，解得，∴一次函数的解析式为y1＝x+2；（2）由一次函数的解析式为y1＝x+2可知C（0，2），D（﹣3，0），∴AD＝＝2，BC＝＝2，∴AD＝BC，故答案为＝；（3）由图象可知：y1＜y2时x的取值范围是x＜﹣6或0＜x＜3．6.（2019•天门）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q 从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ2＝y．（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）；（2）当PQ＝3时，求t的值；（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y＝（k≠0）经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．解：（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1所示．当运动时间为t秒时（0≤t≤4）时，点P的坐标为（3t，0），点Q的坐标为（8﹣2t，6），∴PE＝6，EQ＝|8﹣2t﹣3t|＝|8﹣5t|，∴PQ2＝PE2+EQ2＝62+|8﹣5t|2＝25t2﹣80t+100，∴y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）．故答案为：y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）．（2）当PQ＝3时，25t2﹣80t+100＝（3）2，整理，得：5t2﹣16t+11＝0，解得：t1＝1，t2＝．（3）经过点D的双曲线y＝（k≠0）的k值不变．连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示．∵OC＝6，BC＝8，∴OB＝＝10．∵BQ∥OP，∴△BDQ∽△ODP，∴＝＝＝，∴OD＝6．∵CB∥OA，∴∠DOF＝∠OBC．在Rt△OBC中，sin∠OBC＝＝＝，cos∠OBC＝＝＝，∴OF＝OD•cos∠OBC＝6×＝，DF＝OD•sin∠OBC＝6×＝，∴点D的坐标为（，），∴经过点D的双曲线y＝（k≠0）的k值为×＝．7.（2019•株洲）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，等腰△OAB的边OB与反比例函数y＝（m＞0）的图象相交于点C，其中OB＝AB，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（2，4），过点C作CH⊥x 轴于点H．（1）已知一次函数的图象过点O，B，求该一次函数的表达式；（2）若点P是线段AB上的一点，满足OC＝AP，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连结OP，记△OPQ 的面积为S△OPQ，设AQ＝t，T＝OH2﹣S△OPQ①用t表示T（不需要写出t的取值范围）；②当T取最小值时，求m的值．解：（1）将点O、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx得：4＝2k，解得：k＝2，故一次函数表达式为：y＝2x，（2）①过点B作BM⊥OA，则∠OCH＝∠QP A＝∠OAB＝∠ABM＝α，则tanα＝，sinα＝，∵OB＝AB，则OM＝AM＝2，则点A（4，0），设：AP＝a，则OC＝a，在△APQ中，sin∠APQ＝＝＝sinα＝，同理PQ＝＝2t，则P A＝a＝t，OC＝t，则点C（t，2t），T＝OH2﹣S△OPQ＝（OC•sinα）2﹣×（4﹣t）×2t＝4t2﹣4t，②∵4＞0，∴T有最小值，当t＝时，T取得最小值，而点C（t，2t），故：m＝t×2t＝．8.（2019•苏州）如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB＝2．（1）求k的值；（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，求的值．解：（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．∵OA＝AB，AH⊥OB，∴OH＝BH＝OB＝2，∴AH＝＝6，∴点A的坐标为（2，6）．∵A为反比例函数y＝图象上的一点，∴k＝2×6＝12．（2）∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，∴BC＝＝3．∵AH∥BC，OH＝BH，∴MH＝BC＝，∴AM＝AH﹣MH＝．∵AM∥BC，∴△ADM∽△BDC，∴＝＝．9.（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝﹣x+b的图象与函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣1，6），并与x轴交于点C．点D是线段AC上一点，△ODC与△OAC的面积比为2：3．（1）k＝﹣6，b＝5；（2）求点D的坐标；（3）若将△ODC绕点O逆时针旋转，得到△OD'C'，其中点D'落在x轴负半轴上，判断点C'是否落在函数y＝（x＜0）的图象上，并说明理由．解：（1）将A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b，得，6＝1+b，∴b＝5，将A（﹣1，6）代入y＝，得，6＝，∴k＝﹣6，故答案为：﹣6，5；（2）如图1，过点D作DM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，∵，∴，又∵点A的坐标为（﹣1，6），∴AN＝6，∴DM＝4，即点D的纵坐标为4，把y＝4代入y＝﹣x+5中，得，x＝1，∴D（1，4）；（3）由题意可知，OD'＝OD＝＝，如图2，过点C'作C'G⊥x轴，垂足为G，∵S△ODC＝S△OD'C'，∴OC•DM＝OD'•C'G，即5×4＝C'G，∴C'G＝，在Rt△OC'G中，∵OG＝＝＝，∴C'的坐标为（﹣，），∵（﹣）×≠﹣6，∴点C'不在函数y＝﹣的图象上．10.（2019•泰州）已知一次函数y1＝kx+n（n＜0）和反比例函数y2＝（m＞0，x＞0）．（1）如图1，若n＝﹣2，且函数y1、y2的图象都经过点A（3，4）．①求m，k的值；②直接写出当y1＞y2时x的范围；（2）如图2，过点P（1，0）作y轴的平行线l与函数y2的图象相交于点B，与反比例函数y3＝（x＞0）的图象相交于点C．①若k＝2，直线l与函数y1的图象相交点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求m﹣n的值；②过点B作x轴的平行线与函数y1的图象相交与点E．当m﹣n的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d．解：（1）①将点A的坐标代入一次函数表达式并解得：k＝2，将点A的坐标代入反比例函数得：m＝3×4＝12；②由图象可以看出x＞3时，y1＞y2；（2）①当x＝1时，点D、B、C的坐标分别为（1，2+n）、（1，m）、（1，n），则BD＝2+n﹣m，BC＝m﹣n，DC＝2+n﹣n＝2则BD＝BC或BD＝DC，即：2+n﹣m＝m﹣n，或m﹣（2+n）＝2即：m﹣n＝1或4；②点E的横坐标为：，d＝BC+BE＝m﹣n+（1﹣）＝1+（m﹣n）（1﹣），m﹣n的值取不大于1的任意数时，d始终是一个定值，当1﹣＝0时，此时k＝1，从而d＝1．11.（2019•泰安）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，∵B（5，0），∴OB＝5，∵S△OAB＝，∴×5×AD＝，∴AD＝3，∵OB＝AB，∴AB＝5，在Rt△ADB中，BD＝＝4，∴OD＝OB+BD＝9，∴A（9，3），将点A坐标代入反比例函数y＝中得，m＝9×3＝27，∴反比例函数的解析式为y＝，将点A（9，3），B（5，0）代入直线y＝kx+b中，，∴，∴直线AB的解析式为y＝x﹣；（2）由（1）知，AB＝5，∵△ABP是等腰三角形，∴①当AB＝PB时，∴PB＝5，∴P（0，0）或（10，0），②当AB＝AP时，如图2，由（1）知，BD＝4，易知，点P与点B关于AD对称，∴DP＝BD＝4，∴OP＝5+4+4＝13，∴P（13，0），③当PB＝AP时，设P（a，0），∵A（9，3），B（5，0），∴AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，∴（9﹣a）2+9＝（5﹣a）2∴a＝，∴P（，0），即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0）．12.（2019•威海）（1）阅读理解如图，点A，B在反比例函数y＝的图象上，连接AB，取线段AB的中点C．分别过点A，C，B作x 轴的垂线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数y＝的图象于点D．点E，F，G的横坐标分别为n﹣1，n，n+1（n＞1）．小红通过观察反比例函数y＝的图象，并运用几何知识得出结论：AE+BG＝2CF，CF＞DF由此得出一个关于，，，之间数量关系的命题：若n＞1，则+＞．（2）证明命题小东认为：可以通过“若a﹣b≥0，则a≥b”的思路证明上述命题．小晴认为：可以通过“若a＞0，b＞0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题．请你选择一种方法证明（1）中的命题．解：（1）∵AE+BG＝2CF，CF＞DF，AE＝，BG＝，DF＝，∴+＞．故答案为：+＞．（2）方法一：∵+﹣＝＝，∵n＞1，∴n（n﹣1）（n+1）＞0，∴+﹣＞0，∴+＞．方法二：∵＝＞1，∴+＞．13.（2019•聊城）如图，点A（，4），B（3，m）是直线AB与反比例函数y＝（x＞0）图象的两个交点，AC⊥x轴，垂足为点C，已知D（0，1），连接AD，BD，BC．（1）求直线AB的表达式；（2）△ABC和△ABD的面积分别为S1，S2．求S2﹣S1．解：（1）由点A（，4），B（3，m）在反比例函数y＝（x＞0）图象上∴4＝∴n＝6∴反比例函数的解析式为y＝（x＞0）将点B（3，m）代入y＝（x＞0）得m＝2∴B（3，2）设直线AB的表达式为y＝kx+b∴解得∴直线AB的表达式为y＝﹣；（2）由点A、B坐标得AC＝4，点B到AC的距离为3﹣＝∴S1＝×4×＝3设AB与y轴的交点为E，可得E（0，6），如图：∴DE＝6﹣1＝5由点A（，4），B（3，2）知点A，B到DE的距离分别为，3∴S2＝S△BDE﹣S△AED＝×5×3﹣×5×＝∴S2﹣S1＝﹣3＝．14.（2019•自贡）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于第一、象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标；（3）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．解：（1）把A（3，5）代入y2＝（m≠0），可得m＝3×5＝15，∴反比例函数的解析式为y2＝；把点B（a，﹣3）代入，可得a＝﹣5，∴B（﹣5，﹣3）．把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝kx+b，可得，解得，∴一次函数的解析式为y1＝x+2；（2）一次函数的解析式为y1＝x+2，令x＝0，则y＝2，∴一次函数与y轴的交点为P（0，2），此时，PB﹣PC＝BC最大，P即为所求，令y＝0，则x＝﹣2，∴C（﹣2，0），∴BC＝＝3．（3）当y1＞y2时，﹣5＜x＜0或x＞3．15.（2019•绵阳）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0且m≠3）的图象在第一象限交于点A、B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为E、D．已知A（4，1），CE＝4CD．（1）求m的值和反比例函数的解析式；（2）若点M为一次函数图象上的动点，求OM长度的最小值．解：（1）将点A（4，1）代入y＝，得，m2﹣3m＝4，解得，m1＝4，m2＝﹣1，∴m的值为4或﹣1；反比例函数解析式为：y＝；（2）∵BD⊥y轴，AE⊥y轴，∴∠CDB＝∠CEA＝90°，∴△CDB∽△CEA，∴，∵CE＝4CD，∴AE＝4BD，∵A（4，1），∴AE＝4，∴BD＝1，∴x B＝1，∴y B＝＝4，∴B（1，4），将A（4，1），B（1，4）代入y＝kx+b，得，，解得，k＝﹣1，b＝5，∴y AB＝﹣x+5，设直线AB与x轴交点为F，当x＝0时，y＝5；当y＝0时x＝5，∴C（0，5），F（5，0），则OC＝OF＝5，∴△OCF为等腰直角三角形，∴CF＝OC＝5，则当OM垂直CF于M时，由垂线段最知可知，OM有最小值，即OM＝CF＝．16.（2019•广元）如图，在平闻直角坐标系中，直线AB与y轴交于点B（0，7），与反比例函数y＝在第二象限内的图象相交于点A（﹣1，a）．（1）求直线AB的解析式；（2）将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求△ACD 的面积；（3）设直线CD的解析式为y＝mx+n，根据图象直接写出不等式mx+n≤的解集．解：（1））∵点A（﹣1，a）在反比例函数y＝的图象上，∴a＝＝8，∴A（﹣1，8），∵点B（0，7），∴设直线AB的解析式为y＝kx+7，∵直线AB过点A（﹣1，8），∴8＝﹣k+7，解得k＝﹣1，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+7；（2）∵将直线AB向下平移9个单位后得到直线CD的解析式为y＝﹣x﹣2，∴D（0，﹣2），联立，解得或，∴C（﹣4，2），E（2，﹣4），连接AC，则△CBD的面积＝×9×4＝18，由平行线间的距离处处相等可得△ACD与△CDB面积相等，∴△ACD的面积为18．（3）∵C（﹣4，2），E（2，﹣4），∴不等式mx+n≤的解集是：﹣4＜x＜0或x＞2．17.（2019•遂宁）如图，一次函数y＝x﹣3的图象与反比例函数y═（k≠0）的图象交于点A与点B（a，﹣4）．（1）求反比例函数的表达式；（2）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接OP，且过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，连接OC，若△POC的面积为3，求出点P的坐标．解：（1）将B（a，﹣4）代入一次函数y＝x﹣3中得：a＝﹣1将B（﹣1，﹣4）代入反比例函数y═（k≠0）中得：k＝4∴反比例函数的表达式为y＝；（2）如图：设点P的坐标为（m，）（m＞0），则C（m，m﹣3）∴PC＝|﹣（m﹣3）|，点O到直线PC的距离为m∴△POC的面积＝m×|﹣（m﹣3）|＝3解得：m＝5或﹣2或1或2∵点P不与点A重合，且A（4，1）∴m≠4又∵m＞0∴m＝5或1或2∴点P的坐标为（5，）或（1，4）或（2，2）18.（2019•宜宾）如图，已知反比例函数y＝（k＞0）的图象和一次函数y＝﹣x+b的图象都过点P（1，m），过点P作y轴的垂线，垂足为A，O为坐标原点，△OAP的面积为1．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为M，过M作x轴的垂线，垂足为B，求五边形OAPMB 的面积．解：（1）∵过点P作y轴的垂线，垂足为A，O为坐标原点，△OAP的面积为1．∴S△OP A＝|k|＝1，∴|k|＝2，∵在第一象限，∴k＝2，∴反比例函数的解析式为y＝；∵反比例函数y＝（k＞0）的图象过点P（1，m），∴m＝＝2，∴P（1，2），∵次函数y＝﹣x+b的图象过点P（1，2），∴2＝﹣1+b，解得b＝3，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+3；（2）设直线y＝﹣x+3交x轴、y轴于C、D两点，∴C（3，0），D（0，3），解得或，∴P（1，2），M（2，1），∴P A＝1，AD＝3﹣2＝1，BM＝1，BC＝3﹣2＝1，∴五边形OAPMB的面积为：S△COD﹣S△BCM﹣S△ADP＝×3×3﹣×1×1﹣×1×1＝．19.（2019•资阳）如图，直线y＝x与双曲线y＝（x＞0）相交于点A，且OA＝，将直线向左平移一个单位后与双曲线相交于点B，与x轴、y轴分别交于C、D两点．（1）求直线BC的解析式及k的值；（2）连结OB、AB，求△OAB的面积．解：（1）根据平移的性质，将直线y＝x向左平移一个单位后得到y＝x+1，∴直线BC的解析式为y＝x+1，∵直线y＝x与双曲线y＝（x＞0）相交于点A，∴A点的横坐标和纵坐标相等，∵OA＝，∴A（1，1），k＝1×1＝1；（2）作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，解得或∴B（，），∵S△AOB＝S梯形AEFB+S△BOF﹣S△AOE＝S梯形AEFB，∴S△AOB＝S梯形AEFB＝（1+）（1﹣）＝2．20.（2019•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．（1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．解：（1）由得，∴A（﹣2，4），∵反比例函数y＝的图象经过点A，∴k＝﹣2×4＝﹣8，∴反比例函数的表达式是y＝﹣；（2）解得或，∴B（﹣8，1），由直线AB的解析式为y＝x+5得到直线与x轴的交点为（﹣10，0），∴S△AOB＝×10×4﹣×10×1＝15．。

中考数学专练——反比例函数与一次函数的综合

2023年数学专练——反比例函数与一次函数的综合一、综合题1．如图，已知反比例函数kyx=与一次函数y x m=+的图象交于点B和点(14)A k-+，，一次函数的图象与x轴交于点C .（1）求出两个函数的表达式.（2）求AOB的面积.（3）直接写出kx mx+≥的解集.2．已知：如图，函数kyx=与28y x=-+的图象交于点A(1，a)、B(b，2)．（1）求函数kyx=的解析式以及点A、B的坐标;（2）观察图象，直接写出不等式k28xx≥-+的解集；（3）若点P是x轴上的动点，当AP+BP取得最小值时，直接写出出点P的坐标．3．如图，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝kx交于A，B两点，与x轴交于点C，点A的纵坐标为6，点B的坐标为（﹣3，﹣2）.（1）求直线和双曲线的解析式；（2）根据图象直接写出ax+b﹣kx＞0中x的取值范围.4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y x m=-+的图象与反比例函数(0)ky xx=>的图象交于A、B两点，已知()2,4A，(),2B n .（1）求反比例函数的表达式；（2）当 0x > 时，求不等式kx m x>-+ 的解集. 5．已知图中的曲线是函数 5m y x-=(m 为常数)图象的一支.（1）求常数m 的取值范围；（2）若该函数的图象与正比例函数y=2x 图象在第一象限的交点为 A （2，n ），求点A 的坐标及反比例函数的解析式.6．如图，一次函数y ＝kx+b 的图象与反比例函数y ＝的图象在第一象限交于点A （4，2），与y 轴的负半轴交于点B ，且OB ＝6，（1）求函数y ＝和y ＝kx+b 的解析式.（2）已知直线AB 与x 轴相交于点C ，在第一象限内，求反比例函数y ＝的图象上一点P ，使得S △POC ＝9.7．如图，直线 y kx b =+ y kx b =+ 与反比例函数 12y x=相交于 A(2)m -，、 B(n 3)，．（1）连接 OA 、 OB ，求 AOB 的面积；（2）根据（1）中的图象信息，请直接写出不等式12kx b x>+ 的解集． 8．如图，一次函数 1y kx b =+ 的图象与反比例函数 2my x=的图象交于点A （-3， 8m + ），B （ n ，-6）两点.（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求 AOB 的面积；（3）直接写出 12y y > 时，x 的取值范围.9．如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点.已知反比例函数 ky x=（ 0k > ）的图象经过点A （2，m ），过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且△AOB 的面积为12.（1）求k 和m 的值；（2）点C （x ，y ）在反比例函数 ky x=的图象上，求当1≤x≤3时，函数值y 的取值范围. 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ()0y kx b k =+≠ 与反比例函数 ()0my m x=≠ 的图像交于点 ()3,1A ，且过点 ()1,3B -- ．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）根据图像直接写出当 mkx b x+>时， x 的取值范围． 11．如图，已知反比例函数y 1＝1k x与一次函数y 2＝k 2x+b 的图象交于点A （1，8），B （﹣4，m ）两点.（1）求k 1，k 2，b 的值；（2）求△AOB 的面积；（3）请直接写出不等式1k x≤ 2k x+b 的解. 12．如图所示，一次函数y ＝kx+b 的图象与反比例函数y ＝mx的图象交于A(1，t+1)，B(t-5，-1)两点.（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若点(c ，p)和(n ，q)是反比例函数y ＝mx图象上任意两点，且满足c ＝n+1时，求 q p pq - 的值.（3）若点M(x 1，y 1)和N(x 2，y 2)在直线AB(不与A 、B 重合)上，过M 、N 两点分别作y 轴的平行线交双曲线于E 、F ，已知x 1＜-3，0＜x 2＜1，当x 1x 2＝-3时，判断四边形NFEM 的形状.并说明理由.13．如图，反比例函数 8y x=-与一次函数 2y x =-+ 的图象交于A 、B 两点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求△AOB 的面积．（3）当x 为何值时 8y x=-的函数值大于 2y x =-+ 的函数值，直接写出x 的取值范围14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x +2与函数y ＝kx（k ≠0）的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为（1，m ）．（1）求k ，m 的值；（2）直接写出关于x 的不等式2x +2＞kx的解集；（3）若Q 在x 轴上，△ABQ 的面积是6，求Q 点坐标．15．如图，一次函数 1y kx =+ 的图象与反比例函数 my x=的图象交于点 A 、 B ，点 A 在第一象限，过点 A 作 AC x ⊥ 轴于点 C ， AD y ⊥ 轴于点 D ，点 B 的纵坐标为－2，一次函数的图象分别交 x 轴、 y 轴于点 E 、 F ，连接 DB 、 DE .已知 4ADFS= ， 3AC OF = .（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求 DBE 的面积；（3）直接写出反比例函数的值大于一次函数的值的 x 的取值范围.16．如图，已知直线 5l y x =-+：（1）当反比例函数 (0,0)ky k x x=>> 的图象与直线 l 在第一象限内至少有一个交点时，求k 的取值范围（2）若反比例函数 (0,0)ky k x x=>> 的图象与直线 l 在第一象限内相交于点 11(,)A x y 、 22(,)B x y ，当 213x x -= 时，求k 的值并根据图象写出此时关的不等式 5kx x-+< 的解集17．如图，过直线 12y kx =+上一点 P 作 PD x ⊥ 轴于点D ，线段 PD 交函数 (0)my x x=> 的图像于点C ，点C 为线段 PD 的中点，点C 关于直线 y x = 的对称点 C ' 的坐标为 (13)，．（1）求k 、m 的值；（2）求直线 12y kx =+与函数 (0)my x x=> 图像的交点坐标；（3）直接写出不等式1(0)2m kx x x >+> 的解集． 18．如图，一次函数y ＝k 1x+b 的图象与反比例函数y ＝2k x的图象相交于点A(3，1)，B(﹣1，n)两点.（1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足k 1x+b≥2k x的x 的取值范围；（3）连接BO 并延长交双曲线于点C ，连接AC ，求△ABC 的面积.19．如图，双曲线 ()0ky k x=> 经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D.设点B 的坐标为（m ，n ）.（1）直接写出点E 的坐标，并求出点D 的坐标；（用含m ，n 的代数式表示）（2）若梯形ODBC 的面积为，求双曲线的函数解析式.20．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点D 为BC 边上的点，反比例函数y=k x（k≠0）在第一象限内的图象经过点D （m ，2）和AB 边上的点E （3，23）．（1）求反比例函数的表达式和m 的值；（2）将矩形OABC 的进行折叠，使点O 于点D 重合，折痕分别与x 轴、y 轴正半轴交于点F ，G ，求折痕FG 所在直线的函数关系式．答案解析部分1．【答案】（1）解：将点 (14)A k -+，代入 ky x= ，得 4k k -+= 解得 2k =∴ 反比例函数表达式为 2y x=， (12)A ，将点 (12)A ，代入 y x m =+ 得 21m =+1m ∴=∴ 一次函数的表达式为 1y x =+（2）解：由一次函数 1y x =+ 的图象与 x 轴交于点 C .令 0y = ，解得 1x =- ，则 (10)C -，则 1OC =联立 21y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得 1121x y =-⎧⎨=-⎩ ， 2212x y =⎧⎨=⎩ ()21B ∴--，()113=121222AOBA B SOC y y ∴=⋅⋅-⨯⨯--= （3）解：一次函数 1y x =+ 与反比例函数 2y x=交于点 (12)A ，， ()21B --，根据函数图象可得 kx m x+≥的解集为： 1x ≥ 或 20x -≤< 【解析】【分析】（1）将A （1，-k+4）代入y=kx中可得k 的值，进而可得反比例函数的解析式；将A （1，2）代入y=x+m 中求出m ，进而可得一次函数的解析式；（2）易得C （-1，0），则OC=1，联立反比例函数与一次函数的解析式求出x 、y ，可得B （-2，-1），接下来根据三角形的面积公式进行计算；（3）根据图象，找出一次函数在反比例函数图象上方部分所对应的x 的范围即可.2．【答案】（1）解：将A （1，a ），B （b ，2）代入y ＝﹣2x+8中得：a=6，b=3∴A （1，6），B （3，2），把A （1，6）代入y ＝kx中，可得k ＝6 ∴反比例函数解析式为y ＝6x，A 、B 两点坐标分别为A （1，6）、B （3，2）；（2）解：由图象得：不等式6x＜﹣2x+8的解集为1＜x ＜3或x ＜0；（3）（52，0）【解析】【解答】解：（3）如图，作点A 关于x 轴的对称点A′（1，-6），连结A′B 交x 轴于点P ，则点P 即为所求，此时AP+BP 的值最小．设直线A′B 的解析式为y ＝mx+n ， ∵B （3，2），A′（1，-6），∴326m n m n +=⎧⎨+=-⎩ ，解得 410m n =⎧⎨=-⎩， ∴直线A′B 的解析式为y ＝4x-10，当y ＝0时，y ＝52， ∴点P 的坐标为（52，0）．【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式求解a 、b ，再将点A 坐标代入反比例函数表达式求解k 即可；（2）结合图像，函数值大的图像在上方的原则直接写出答案即可；（3）利用“将军饮马”的方法，先作对称轴，再求解即可。

中考数学总复习《反比例函数与一次函数综合》专题训练-附答案

中考数学总复习《反比例函数与一次函数综合》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，已知反比例函数()10cy c x=≠和一次函数()20y kx b k =+≠的图象相交于点()2,3A -和()3,B a ．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)将一次函数2y 向下平移5个单位长度后得到直线3y ，当213y y y >>时，求x 的取值范围． 2．如图，反比例函数()0ky k x=>的图象经过正方形OABC 的顶点B ，一次函数1y x =+经过BC 的中点D ．(1)求反比例函数的表达式；(2)将ABD △绕点A 顺时针旋转90︒，点D 的对应点为E ，判断E 点是否落在双曲线上． 3．如图，反比例函数()0ky k x=< 的图象与矩形ABCO 的边相交于D 、E 两点()51E -，，且23AD BD =∶∶,一次函数经过D 、E 两点．(1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)求BDE △的面积．4．对于实数,a b ，我们可以用{}min ,a b 表示,a b 两数中较小的数，例如{}min 3,11-=- {}min 2,22=，类x x⎩⎭(1)求反比例函数的解析式；(2)请直接写出不等式2kx x -＞的解集；(3)点P 为反比例函数ky x=图像的任意一点，若3POC AOC S S =△△，求点P 的坐标． 7．如图，一次函数y mx n =+()0m ≠的图象与反比例函数ky x=()0k ≠的图象交于第二、四象限内的点(),3A a 和点()6,B b ．过点A 作x 轴的垂线，垂足为点C ，AOC 的面积为3(1)分别求出一次函数y mx n =+()0m ≠与反比例函数ky x=()0k ≠的表达式； (2)结合图象直接写出kmx n x>＋的解集； (3)在x 轴正半轴上取点P ，使PA PB -取得最大值时，求出点P 的坐标．8．如图，直线y ＝2x ＋6与反比例函数=ky x(k ＞0)的图象交于点A (1，m )，与x 轴交于点B ，平行于x 轴的直线y ＝n (0＜n ＜6)交反比例函数的图象于点M ，交AB 于点N ，连接BM ．x，求AOB 的面积；根据图象，请直接写出满足不等式1y kx b =+C ，点A 的坐标为(2)若点E 是点C 关于x 轴的对称点，求ABE 的面积． 11．已知平面直角坐标系中，直线AB 与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点()1,3A 和点()3,B n ，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ．(1)求反比例函数的表达式及n 的值；(2)将OCD 沿直线AB 翻折，点O 落在第一象限内的点E 处，EC 与反比例函数的图象交于点F ． △请求出点F 的坐标；△将线段BF 绕点B 旋转，在旋转过程中，求线段OF 的最大值． 12．如图，正比例函数(0)y kx k =≠与反比例函数my (m 0)x=≠的图象交于A 、B 两点，A 的横坐标为4-，B 的纵坐标为6-．(1)求反比例函数的表达式． (2)观察图象，直接写出不等式mkx x<的解集． (3)将直线AB 向上平移n 个单位，交双曲线于C 、D 两点，交坐标轴于点E 、F ，连接OD 、BD ，若OBD 的面积为20，求直线CD 的表达式．13．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y （微克/毫升）与服药时间x 小时之间函数关系如图所示．②的面积是OCD．如图，已知一次函数y轴交于点，若ACD的面积为16．如图，菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，点A 的坐标为()1,0，点()44D ,在反比例函数()0k y x x=>的图象上，直线23y x b =+经过点C ，与y 轴交于点E ，与x 轴交于点M ，连接AC 、AE ．(1)求k 、b 的值； (2)求ACE △的面积；(3)在x 轴上取点P ，求出使PC PE -取得最大值时点P 的坐标． 17．已知反比例函数1k y x=图象经过点(3,2)A ，直线:(0)l y kx b k =+<，经过点(2,0)C -，经过点A 且垂直于x 轴的直线与直线l 相交于B ．(1)求1k 的值；(2)若ABC 的面积等于15，求直线l 的解析式；(3)点G 在反比例函数的图象上，点Q 在x 轴上，问是否存在点G 和点Q ，使以G ．Q 及（2）中的C ．B 四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由． 18．（综合与探究）如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数()0ky x x=<的图象过点()4,2C -，点D 的纵坐标为4，直线CD 与x 轴，y 轴分别交于点,A B ．Rt AOB直角边上的一个动点，当16PCD AOBS S=时，求点关于y轴的对称点为x轴的对称点为,N 使得以点,,M N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，标；若不存在，请说明理由．．如图，已知直线y=x参考答案：3．(1)5y x =- 1722y x =+(2)944．(1)B (2)直线1x = 5．(1)1y x =- 2y x= (2)(1,0)C 12x <≤6．(1)3y x= (2)10x -＜＜或3＞x (3)()1,3或()1,3--7．(1)反比例函数的表达式为6y x =-，一次函数表达式为122y x =-+．(2)2x <－或06x << (3)()10,0P 8．(1)8y x= (2)39．(1)反比例函数的表达式为：22y x=-(2)32AOBS=(3)20x -<<或1x >10．(1)一次函数解析式1y x 4=-，反比例函数解析式212y x= (2)32ABE S =△11．(1)3y x= 1n =(2)△F 点坐标为3(4,)4；△线段OF 的最大值为17104+12．(1)24y x=-(2)40x -<<或>4x。

2023年中考数学专题练习--反比例函数与一次函数的综合

2023年中考数学专题练习--反比例函数与一次函数的综合1．如图，在平面直角坐标系 xoy 中，平行四边形 ABCD 的顶点A 、D 在x 轴上，顶点B 在y 轴上，顶点C 在反比例函数 ()0ny n x=≠ 的图象上，直线 ()0AB y kx b k =+≠：与反比例函数的图象交于点 ()3M m -，，已知平行四边形 ABCD 的面积为6.（1）求反比例函数的表达式及m ；（2）若 4AD = ，求直线 AB 的表达式.2．如图，四边形ABCD 为正方形，点A 的坐标为（0，1），点B 的坐标为（0，﹣2），反比例函数y=kx的图象经过点C ，一次函数y=ax+b 的图象经过A 、C 两点．（1）AB= ，点C 的坐标为，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为．（2）若点P 是y 轴正半轴上一点，△AMP 的面积恰好等于正方形ABCD 的面积，求P 点的坐标．3．如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函y=mx的图象交于点A ﹙﹣2，﹣5﹚C ﹙5，n ﹚，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ．（1）求反比例函数y=mx和一次函数y=kx+b 的表达式；（2）连接OA ，OC ．求△AOC 的面积．（3）直接写kx+b ﹣mx＞0的解集． 4．已知一次函数y 1=k 1x+b 与反比例函数y 2=2k x相交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，过点A 作AE△x 轴于点E ，点O 为DE 中点，连接CE ，已知S △ADE =4，tan△DCO= 12．（1）求y 1和y 2的解析式；（2）将△ACE 绕着点E 顺时针旋转90°得△A'C'E ，连接AA'、BA'，求△AA'B 的面积．5．如图所示，在直角坐标系中，点A 是反比例函数y 1=kx的图象上一点，AB△x 轴的正半轴于B 点，C 是OB 的中点；一次函数y 2=ax+b 的图象经过A 、C 两点，并交y 轴于点D （0，﹣2），若S △AOD =4．（1）写出点C 的坐标；（2）求反比例函数和一次函数的解析式；（3）当y 1＜y 2时，求x 的取值范围．6．如图，已知一次函数y=k 1x+b 的图象分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，且与反比例函数y=2k x交于C ，E 两点，点C 在第二象限，过点C 作CD△x 轴于点D ，OA=OB=4，OD=2．（1）求反比例函数和一次函数的解析式．（2）求△OCE 的面积．7．如图，一次函数y=x+m 的图象与反比例函数y=kx的图象交于A ，B 两点，且与x 轴交于点C ，点A 的坐标为（2，1）．（1）求m 及k 的值；（2）求点C 的坐标，并结合图象写出不等式组0＜x+m≤kx的解集． 8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)m y x x =>的图象经过点342A ⎛⎫⎪⎝⎭，，点B 在y 轴的负半轴上，AB 交x 轴于点C ，C 为线段AB 的中点.（1）m = ，点C 的坐标为；（2）若点D 为线段AB 上的一个动点，过点D 作//DE y 轴，交反比例函数图象于点E ，求ODE 面积的最大值.9．如图，一次函数 ()0y kx b k =+≠ 的图象与 x 轴交于点 3,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，与反比例函数 ()0ay a x=≠ 的图象在第一象限交于点 ()4,B m ，过点 B 作 BC x ⊥ 轴上点 C ， ACD 的面积为 154 .（1）求反比例函数 ay x= 的解析式；（2）求证：BCD 是等腰三角形.10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=ax+b （a ，b 是常数，且a≠0）的图象与反比例函数 ky x=（k 是常数，且k≠0）的图象交于一、三象限内的A ，B 两点，与x 轴交于点C ，点A 的坐标为（2，m ），点B 的坐标为（n ，﹣2），tan△BOC= 25．（1）求点B的坐标及反比例函数和一次函数的表达式；（2）将直线AB沿y轴向下平移6个单位长度后，分别与双曲线交于E，F两点，连结OE，OF，求△EOF的面积．11．如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y= kx的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．（1）求出a、b、k的值；（2）求△ABO的面积；（3）请写出ax+b＜kx的解集．12．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=﹣8x的图象交于A、B两点，A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2．求：（1）一次函数的表达式；（2）△AOB的面积；（3）根据图象，当x在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？13．如图，反比例函数kyx=经过点()1,2A；（1）求反比例函数的解析式；（2）点C在y轴的正半轴上，点D在x轴的正半轴上，直线CD经过点A，直线CD交反比例函数图象于另一点B，若OC OD=，求点B的坐标．14．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= mx的图象相交于A、B两点．利用图中条件（1）求反比例函数与一次函数的关系式；（2）根据图象写出使该一次函数的值大于该反比例函数的值的x的取值范围；（3）求出△AOB的面积．15．如图，一次函数的图象与y轴交于C（0，4），且与反比例函数y= kx（x＞0）的图象在第一象限内交于A（3，a），B（1，b）两点，（1）求△AOC的面积；（2）若222a ab b -+ =2，求反比例函数和一次函数的解析式．16．如图所示，反比例函数y=kx（k≠0）的图象与一次函数y=ax+b 的图象交于M （2，m ），N （﹣1，﹣4）两点．（1）求反比例函数和一次函数的关系式．（2）根据图象写出使反比例函数值大于一次函数的值的x 的取值范围．17．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形DOBC 是矩形，且D （0，4），B （6，0）．若反比例函数 1k y x=（ x ＞0）的图象经过线段OC 的中点A （3，2），交DC 于点E ，交BC 于点F ．设直线EF 的解析式为 2y k x b =+ ．（1）求反比例函数和直线EF 的解析式；（2）求△OEF 的面积；（3）请结合图象直接写出不等式 12k k x b x+-＞0的解集． 18．如图，已知函数 (00)ky k x x=>>，的图象与一次函数 5(0)y mx m =+< 的图象相交不同的点A 、B ，过点A 作AD△ x 轴于点D ，连接AO ，其中点A 的横坐标为 0x ，△AOD 的面积为2.（1）求 k 的值及 0x =4时 m 的值；（2）记 []x 表示为不超过 x 的最大整数，例如： []1.41＝， []22＝，设 .t OD DC = ，若 3524m -<<- ，求 2m t ⎡⎤⋅⎣⎦ 值 19．如图，一次函数 1y k x b =+ 的图象与反比例函数 2k y x=的图象相交于 A 、 B 两点，其中点 A 的坐标为 ()14-，，点 B 的坐标为 ()4n ， .（1）根据图象，直接写出满足 21k k x b x+> 的 x 的取值范围；（2）求这两个函数的表达式；（3）点 P 在线段 AB 上，且 12AOP BOP S S ∆∆=：：，求点 P 的坐标. 20．如图，一次函数y=kx+b 的图象分别与反比例函数y=ax的图象在第一象限交于点A （4，3），与y 轴的负半轴交于点B ，且OA=OB ．（1）求函数y=kx+b 和y=ax的表达式；（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB=MC，求此时点M的坐标．答案解析部分1．【答案】（1）解：过点C 作CE△x 轴于点E ，如图所示：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD BC ， ∵△BOA=△CED=90°， ∴BO CE ，∴四边形BOEC 为平行四边形， ∵△CED=90°，∴四边形BCEO 为矩形，∵矩形BCEO 与平行四边形ABCD 同底等高， ∴矩形BCEO 的面积等于平行四边形ABCD 的面积， ∴k=6，∴反比例函数的表达式为 6y x=；把x=-3代入 6y x = 得： 623y ==-- ，即 2m =- ；（2）解：∵平行四边形ABCD 的面积为6，AD=4， ∴6342OB == ，即点B 的坐标为 30 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设直线AB 的关系式为： 'y k x b =+ ，把 302B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ()32M --，代入得： 323'2b k b ⎧=⎪⎨⎪-+=-⎩ ，解得： 7'632k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ， ∴直线AB 的关系式为： 7362y x =+ . 2．【答案】（1）3；（3，﹣2）；y=﹣ 6x；y=﹣x+1（2）解：∵由题意得， 61y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ ，解得 23x y =-⎧⎨=⎩ 或 32x y =⎧⎨=-⎩ ， ∴M （﹣2，3）设P （0，y ）， ∵S 正方形ABCD =9， ∴12 AP×2=9，即 12|y ﹣1|=9，解得y=19或y=17， ∴P （0，19）或（0，17）3．【答案】（1）解：∵反比例函数y=mx的图象经过点A ﹙﹣2，﹣5﹚， ∴m=（﹣2）×（﹣5）=10． ∴反比例函数的表达式为y=10x． ∵点C ﹙5，n ﹚在反比例函数的图象上， ∴n=105=2． ∴C 的坐标为﹙5，2﹚．∵一次函数的图象经过点A ，C ，将这两个点的坐标代入y=kx+b ，得5225k bk b -=-+⎧⎨=+⎩ 解得 13k b =⎧⎨=-⎩， ∴所求一次函数的表达式为y=x ﹣3（2）解：∵一次函数y=x ﹣3的图象交y 轴于点B ， ∴B 点坐标为﹙0，﹣3﹚． ∴OB=3．∵A 点的横坐标为﹣2，C 点的横坐标为5，…（7分） ∴S △AOC =S △AOB +S △BOC =12 OB•|﹣2）+ 12 OB×5= 12 OB （2+5）= 212（3）解：x 的范围是：﹣2＜x ＜0或x ＞54．【答案】（1）解：∵O 是DE 的中点，CO△AE ，∴CO 是△ADE 的中位线， ∴AE=2CO ，设CO=m ， ∴AE=2m ， ∵tan△DCO= 12， ∴12DO CO = ， ∴DO= 12m ，∴DE=m ， ∵S △ADE =4， ∴12DE•AE=4， ∴m 2=4， ∴m=2，∴C （0，2），A （1，4），将点A （1，4）代入y 2= 2k x， ∴k 2=4，将A （1，4）和C （0，2）代入y 1=k 1x+b ，∴124b k b =⎧⎨+=⎩ ， ∴解得 122k b =⎧⎨=⎩， ∴y 1=2x+2，y 2=4x（2）解：过点B 作BF△x 轴于点F ，联立 224y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：x=﹣2或x=1， ∴B （﹣2，﹣2），∴BF=2，令y=0代入y 1=2x+2， ∴D （﹣1，0），由题意可知：A′E=AE=4， ∴A′D=OD+OE+AE=6， ∴△AA'B 的面积为：12 A′D•BF+ 12A′D•AE=18，5．【答案】（1）解：设点C 的坐标为（m ，0），∵C 是OB 的中点， ∴OC=BC ．在△COD 和△CBA 中， 90DCO ACB OC BC DOC ABC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△COD△△CBA （ASA ）， ∴OD=BA ． ∵点D （0，﹣2），∴点A 的坐标为（2m ，2）． ∴S △AOD =S △ABC +S △DOC =2S △DOC =2× 12OC•OD=2m=4， ∴m=2，∴点C 的坐标为（2，0）（2）解：∵m=2， ∴点A 的坐标为（4，2）． ∵点A 在反比例函数y 1= kx的图象上， ∴k=4×2=8，∴反比例函数的解析式为y 1=8x；将C （2，0）、D （0，﹣2）代入y 2=ax+b 中，022a bb =+⎧⎨-=⎩ ，解得： 12a b =⎧⎨=-⎩ ， ∴一次函数的解析式为y=x ﹣2（3）解：联立两函数解析式成方程组，82y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ，解得： 24x y =-⎧⎨=-⎩ 或 42x y =⎧⎨=⎩ ， ∴两函数图象的另一个交点为（﹣2，﹣4）．观察函数图象可知：当﹣2＜x ＜0 或x ＞4时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴当y 1＜y 2时，x 的取值范围为﹣2＜x ＜0 或x ＞4．6．【答案】（1）解：∵OB=OA=4，∴B 的坐标是（0，4），A 的坐标是（4，0），根据题意得 1440b k b =⎧⎨+=⎩ ，解得 114k b =-⎧⎨=⎩ ，则一次函数的解析式是y=﹣x+4．当x=﹣2时，y=2+4=6，则C 的坐标是（﹣2，6）． ∵C 在y=2k x上， ∴k2=﹣12．则反比例函数的解析式是y=﹣12x（2）解：根据题意得 412y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得： 28x y =-⎧⎨=⎩ 或62x y =⎧⎨=-⎩ ，则E 的坐标是（6，﹣2）． ∴S △OCE =S △OAC +S △OAE =12 ×4×6+ 12×4×2=16 7．【答案】（1）解：由题意可得：点A （2，1）在函数y=x+m 的图象上，∴2+m=1即m=﹣1，∵A （2，1）在反比例函数 ky x= 的图象上， ∴12k= ， ∴k=2（2）解：∵一次函数解析式为y=x ﹣1，令y=0，得x=1， ∴点C 的坐标是（1，0），由图象可知不等式组0＜x+m≤kx的解集为1＜x≤2 8．【答案】（1）m=6；（2，0）（2）解：设直线AB 对应的函数表达式为y kx b =+.将342A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，(20)C ，代入得34220k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得3432k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 所以直线AB 对应的函数表达式为3342y x =-. 因为点D 在线段AB 上，可设33(04)42D a a a ⎛⎫-<≤ ⎪⎝⎭，，因为//DE y 轴，交反比例函数图象于点E .所以6E a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.所以221633333273(1)2428488ODESa a a a a a ⎛⎫=⋅⋅-+=-++=--+ ⎪⎝⎭. 所以当a=1时，ODE 面积的最大值为278.9．【答案】（1）解：∵点 3,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，点 ()4,B m ∴点 C 坐标为 ()4,0 ∴35422AC =-= ∴11524ACDSAC OD =⋅⋅= ∴1515224OD ⨯⋅= ∴3OD =∴点 D 坐标为 ()0,3-把 ()0,3D - ， 3,02A ⎛⎫⎪⎝⎭ 代入 y kx b =+ 得： 3302b k b =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得 23k b =⎧⎨=-⎩∴直线的解析式为 23y x =-把点 ()4,B m 代入 23y x =- 得 2435m =⨯-= ∴()4,5B ∴4520a =⨯=则反比例函数的解析式为 20y x=（2）解：∵()4,5B ， ()4,0C ， ()0,3D - ∴5BC = ， 4OC = ， 3OD = 在 Rt COD 中， 225CD OD OC =+= ∴BC CD =∴BCD 是等腰三角形.10．【答案】（1）解：过B 作BM△x 轴于M ，∵B （n ，﹣2），tan△BOC=25 ， ∴BM=2，tan△BOC=2OM = 25，∴OM=5，即B的坐标是（﹣5，﹣2），把B的坐标代入y= kx得：k=10，即反比例函数的解析式是y= 10x，把A（2，m）代入得：m=5，即A的坐标是（2，5），把A、B的坐标代入y=ax+b得：5225k bk b=+⎧⎨-=-+⎩，解得：k=1，b=3，即一次函数的解析式是y=x+3（2）解：∵将直线AB沿y轴向下平移6个单位长度后的解析式为y=x﹣3，解：310y xyx=-⎧⎪⎨=⎪⎩，∴52xy=-⎧⎨=-⎩或25xy=⎧⎨=⎩，∴E（﹣5，﹣2），F（2，5），∴△EOF的面积= 12×3×2+12⨯3×5=212．11．【答案】（1）解：将A（﹣2，1）代入y= kx，得k=﹣2，又由题意知B（1，n）在y= kx的图象上，所以n=﹣2，即B（1，﹣2，又A、B两点都在y=ax+b的图象上，则212a ba b-+=⎧⎨+=⎩，解得a=﹣1，b=﹣1，综上所述a=﹣1，b=﹣1，k=﹣2（2）解：设直线AB交X轴于C点，则S△AOB=S△AOC+S△BOC= 3 2（3）解：由图象可知当﹣2＜x＜0或x＞1时，ax+b＜kx．12．【答案】（1）解：反比例函数y=﹣8x的图象交于A、B两点，且A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，∴A点的纵坐标为和B点的横坐标都为4，∴A（﹣2，4），B（4，﹣2），∵一次函数y=kx+b的图象过A、B两点，∴把A、B两点坐标代入可得2442k bk b-+=⎧⎨+=-⎩，解得12kb=-⎧⎨=⎩，∴一次函数表达式为y=﹣x+2（2）解：如图，设一次函数与y 轴交于点C ，则C 点坐标为（0，2）， ∴OC=2，∴S △AOB =S △AOC +S △BOC =12 OC•2+ 12OC•4=6（3）解：结合图象可知一次函数的图象在反比例函数图象的上方时，对应的x 的取值范围为x ＜﹣2和0＜x ＜4，∴一次函数的值大于反比例函数的值时对应的x 的取值范围为x ＜﹣2和0＜x ＜4．13．【答案】（1）解：将点 ()1,2A 代入反比例函数解析式中，得21k=解得：k=2∴反比例函数的解析式为 2y x=；（2）解：设直线CD 的解析式为y=ax ＋b ，将x=0代入可得y=b ∴点C 的坐标为（0，b ）， ∵OC OD =∴点D 的坐标为（b ，0）将点A 和点D 的坐标代入y=ax ＋b 中，得20k bbk b =+⎧⎨=+⎩解得： 13k b =-⎧⎨=⎩∴直线CD 的解析式为y=-x ＋3联立 23y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩ 解得： 12x y =⎧⎨=⎩ 或 21x y =⎧⎨=⎩，其中（1,2）为点A 的坐标 ∴点B 的坐标为（2,1）14．【答案】（1）解：由图可知，点A （﹣2，1），点B （1，n ），∵一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A 、B 两点， ∴12m=- ，得m=﹣2， ∴21n -= ，得n=﹣2， ∴212k b k b -+=⎧⎨+=-⎩ 解得， 11k b =-⎧⎨=-⎩即反比例函数的解析式为 2y x-=，一次函数的解析式为y=﹣x ﹣1 （2）解：根据函数图象，一次函数的值大于该反比例函数的值的x 的取值范围是x ＜﹣2或0＜x ＜1 （3）解：∵直线y=﹣x ﹣1与x 轴的交点坐标为（﹣1，0）， ∴121122AOBS-⨯--⨯=+= 112+ = 32 15．【答案】（1）解：作AD△y 轴于D ，∵A （3，a ）， ∴AD=3，∵一次函数的图象与y 轴交于C （0，4）， ∴OC=4，∴S△AOC= 12OC•AD=12×4×3=6（2）解：∵A（3，a），B（1，b）两点在反比例函数y= kx（x＞0）的图象上，∴3a=b，222a ab b-+=2，∴a2﹣2ab+b2=4，∴a2﹣2a•3a+（3a）2=4，整理得，a2=1，∵a＞0，∴a=1，∴A（3，1），∴k=3×1=3，设直线的解析式为y=mx+n，∴431nm n=⎧⎨+=⎩，解得14mn=-⎧⎨=⎩，∴反比例函数和一次函数的解析式分别为y= 3x和y=﹣x+4．16．【答案】（1）解：∵点N（﹣1，﹣4）在反比例函数y= kx（k≠0）的图象上，∴k=（﹣1）×（﹣4）=4，∴反比例函数的关系式为y= 4x；∵点M（2，m）在反比例函数y= 4x的图象上，∴m= 42=2，∴点M（2，2）．将M（2，2）、N（﹣1，﹣4）代入y=ax+b中，得： 224a b a b =+⎧⎨-=-+⎩ ，解得： 22a b =⎧⎨=-⎩ ，∴一次函数的关系式为y=2x ﹣2（2）解：根据函数图象的上下位置关系可得：当x ＜﹣1或0＜x ＜2时，反比例函数值大于一次函数值 17．【答案】（1）解：∵四边形DOBC 是矩形，且D （0，4），B （6，0）， ∴C 点坐标为（6，4），∵点A 为线段OC 的中点，∴A 点坐标为（3，2），∴k 1=3×2=6，∴反比例函数解析式为 6y x = ；把x=6代入 6y x = 得x=1，则F 点的坐标为（6，1）；把y=4代入 6y x =得x=32，则E 点坐标为（ 32 ，4），把F （6，1）、E （ 32 ，4）代入y=k 2x+b 得，2261342k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩. 解得：2235k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩.∴直线EF 的解析式为y= 23- x+5；（2）解：△OEF 的面积=S 矩形BCDO -S △ODE -S △OBF -S △CEF =4×6-12×4×32-12×6×1-12×(6-32)×(4-1).=454.（3）解：不等式 120k k x b x +-> 的解集为 32 ＜x ＜6.18．【答案】（1）解：设A （x 0，y 0），则OD=x 0，AD=y 0，∴S △AOD = 12 OD•AD= 12 x 0y 0=2，∴k=x 0y 0=4；当x 0=4时，y 0=1，∴A （4，1），代入y=mx+5中得4m+5=1，m=-1（2）解：∵45y x y mx ⎧⎪⎨⎪+⎩＝＝，∴4x ＝mx+5，整理得，mx 2+5x-4=0，∵A 的横坐标为x 0，∴mx 02+5x 0=4，当y=0时，mx+5=0，x=- 5m ，∵OC=- 5m ，OD=x 0，∴m 2•t=m 2•（OD•DC ），=m 2•x 0（- 5m -x 0），=m （-5x 0-mx 02），=-4m ，∵- 32 ＜m ＜- 54 ，∴5＜-4m ＜6，∴[m 2•t]=519．【答案】（1）解：观察图象可知当 1x <- 或 04x << ，k 1x+b> 2k x（2）解：把 ()14A -，代入 2k y x = ，得 24k =- ， ∴4y x =- ，∵点 ()4B n ，在 4y x =- 上，∴1n =- ，∴()41B -，，把 ()14A -，， ()41B -，代入 11y k x b =+ 得 11441k b k b -+=⎧⎨+=-⎩ ，解得 113k b =-⎧⎨=⎩ ，∴3y x =-+（3）解：设 AB 与 y 轴交于点 C ， ∵点 C 在直线 3y x =-+ 上，∴()03C ，， ()()113147.522AOB A B S OC x x ∆=⋅+=⨯⨯+= ，又 12AOD BOP S S ∆∆=：：，∴17.5 2.53AOP S ∆=⨯= ， 5BOP S ∆= ，又 131 1.52AOC S ∆=⨯⨯= ，∴点 P 在第一象限，∴ 2.5 1.51COP S ∆=-= ，又 3OC = ，∴1312P x ⨯⨯= ，解得 23P x = ，把 23P x = 代入 3y x =-+ ，得 73P y = ， ∴2733P ⎛⎫⎪⎝⎭， .20．【答案】（1）解：把点A （4，3）代入函数y= ax 得：a=3×4=12，∴y= 12x ． OA= 2234+=5，∵OA=OB ，∴OB=5，∴点B 的坐标为（0，﹣5），把B （0，﹣5），A （4，3）代入y=kx+b 得： 543b k b =-⎧⎨+=⎩解得： 25k b =⎧⎨=-⎩∴y=2x ﹣5（2）解：∵点M 在一次函数y=2x ﹣5上，∴设点M 的坐标为（x ，2x ﹣5）， ∵MB=MC ， 2222(255)(255)x x x x +-+=+--解得：x=2.5，∴点M 的坐标为（2.5，0）．。

人教中考数学反比例函数综合题含详细答案

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A （﹣1，a），B（b，1）两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；（3）求△PAB的面积．【答案】（1）解：当x=﹣1时，a=x+4=3，∴点A的坐标为（﹣1，3）．将点A（﹣1，3）代入y= 中，3= ，解得：k=﹣3，∴反比例函数的表达式为y=﹣（2）解：当y=b+4=1时，b=﹣3，∴点B的坐标为（﹣3，1）．作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，如图所示．∵点B的坐标为（﹣3，1），∴点D的坐标为（﹣3，﹣1）．设直线AD的函数表达式为y=mx+n，将点A（﹣1，3）、D（﹣3，﹣1）代入y=mx+n中，，解得：，∴直线AD的函数表达式为y=2x+5．当y=2x+5=0时，x=﹣，∴点P的坐标为（﹣，0）（3）解：S△PAB=S△ABD﹣S△BDP= ×2×2﹣ ×2× =【解析】【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A的坐标利用待定系数法，即可求出反比例函数的表达式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，由点B的坐标可得出点D的坐标，根据点A、D的坐标利用待定系数法，即可求出直线AB的函数表达式，再由一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）根据三角形的面积公式结合S△PAB=S△ABD﹣S△BDP，即可得出结论．2．如图，已知一次函数y= x+b的图象与反比例函数y= （x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C在y轴上．（1）当△ABC的周长最小时，求点C的坐标；（2）当 x+b＜时，请直接写出x的取值范围．【答案】（1）解：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求，如图所示．∵反比例函数y= （x＜0）的图象过点A（﹣1，2），∴k=﹣1×2=﹣2，∴反比例函数解析式为y=﹣（x＜0）；∵一次函数y= x+b的图象过点A（﹣1，2），∴2=﹣ +b，解得：b= ，∴一次函数解析式为y= x+ ．联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组：，解得：，或，∴点A的坐标为（﹣1，2）、点B的坐标为（﹣4，）．∵点A′与点A关于y轴对称，∴点A′的坐标为（1，2），设直线A′B的解析式为y=mx+n，则有，解得：，∴直线A′B的解析式为y= x+ ．令y= x+ 中x=0，则y= ，∴点C的坐标为（0，）（2）解：观察函数图象，发现：当x＜﹣4或﹣1＜x＜0时，一次函数图象在反比例函数图象下方，∴当 x+ ＜﹣时，x的取值范围为x＜﹣4或﹣1＜x＜0【解析】【分析】（1）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求．由点A为一次函数与反比例函数的交点，利用待定系数法和反比例函数图象点的坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点A、B的坐标，再根据点A′与点A关于y轴对称，求出点A′的坐标，设出直线A′B的解析式为y=mx+n，结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线A′B的解析式，令直线A′B解析式中x为0，求出y的值，即可得出结论；（2）根据两函数图象的上下关系结合点A、B的坐标，即可得出不等式的解集．3．已知点A，B分别是x轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A，B，C，D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．（1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；（2）若某函数是反比例函数y= （k＞0），他的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式；（3）若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它的图象的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标________，写出符合题意的其中一条抛物线解析式________，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数________．【答案】（1）解：如图1，当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时，∵OC=0D=1，∴正方形ABCD的边长CD= ；∠OCD=∠ODC=45°，当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，设小正方形的边长为a，易得CL=小正方形的边长=DK=LK，故3a=CD= ．解得a= ，所以小正方形边长为，∴一次函数y=x+1图象的伴侣正方形的边长为或（2）解：如图2，作DE，CF分别垂直于x、y轴，易知△ADE≌△BAO≌△CBF此时，m＜2，DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2﹣m，∴OF=BF+OB=2，∴C点坐标为（2﹣m，2），∴2m=2（2﹣m），解得m=1．反比例函数的解析式为y= ．（3）（3，4）；y=﹣ x2+ ；偶数【解析】【解答】解：（3）实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合①当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：另外一个顶点为（4，1），对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；②当点A在x 轴正半轴上，点 B在 y轴正半轴上，点D 坐标为（3，4）时：不存在，③当点A 在 x 轴正半轴上，点 B在 y轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时：不存在④当点A在x 轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时：另外一个顶点C为（﹣1，3），对应的函数的解析式是y= x2+ ；⑤当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时，另一个顶点C的坐标是（7，﹣3）时，对应的函数解析式是y=﹣；⑥当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（﹣4，7）时，对应的抛物线为y= x2+ ；∵由抛物线的伴侣正方形的定义知，一条抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现的，∴所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数．【分析】解答此题时，要特别注意认真读题，分析题意，注意已知条件点A，B分别是x 轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点。

2020年中考数学二轮专项——反比例函数与一次函数结合(含答案)

2020年中考数学二轮专项——反比例函数与一次函数结合1. 如图，一次函数y ＝kx ＋3的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、D ，与反比例函数y ＝mx 的图象在第四象限相交于点P ，并且P A ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，已知B (0，－6)且S △DBP ＝27.(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)若反比例函数y ＝nx的图象与△ABP 总有公共点，直接写出n 的取值范围．第1题图2. (2019金牛区一诊)如图，正比例函数y ＝kx 与反例函数y ＝mx (x ＞0)的图象有一个交点A ，AB ⊥x 轴于点B ，平移正比例函数y ＝kx 的图象，使其经过点B (2，0)，得到直线l ，直线l 与y 轴交于点C (0，－3)．(1)求k 和m 的值；(2)点M 是直线OA 上一点，过点M 作MN ∥AB ，交反比例函数y ＝mx (x ＞0)的图象于点N ，若线段MN＝3，求点M 的坐标．第2题图3. (2019成都黑白卷)一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象分别交于点A (1，4)和点B (4，n )，与坐标轴分别交于点C 和点D.(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)若点P 是x 轴上一动点，当△ABP 为直角三角形时，求点P 的坐标．第3题图4. (2019武侯区一诊)如图，已知一次函数y ＝mx －4(m ≠0)的图象分别交x 轴，y 轴于A (－4，0)，B 两点，与反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象在第二象限的交点为C (－5，n )．(1)分别求一次函数和反比例函数的表达式；(2)点P 在该反比例函数的图象上，点Q 在x 轴上，且P ，Q 两点在直线AB 的同侧．若以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求满足条件的点P 和点Q 的坐标．第4题图5. (2019襄阳)如图，已知一次函数y 1＝kx ＋b 与反比例函数y 2＝mx 的图象在第一、第三象限分别交于A (3，4)，B (a ，－2)两点，直线AB 与y 轴，x 轴分别交于C , D 两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)比较大小：AD ____BC (填“>”或“<”或“＝”)； (3)直接写出y 1<y 2时x 的取值范围．第5题图6. (2019广元)如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与y 轴交于点B (0，7)，与反比例函数y ＝－8x 在第二象限内的图象相交于点A (－1，a )．(1)求直线AB 的解析式；(2)将直线AB 向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C 和点E ，与y 轴交于点D ，求△ACD 的面积；(3)设直线CD 的解析式为y ＝mx ＋n ，根据图象直接写出不等式mx ＋n ≤－8x的解集．第6题图7. (2019内江)如图，一次函数y ＝mx ＋n (m ≠0)的图象与反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象交于第二、四象限内的点A (a ，4)和点B (8，b )．过点A 作x 轴的垂线，垂足为点C ，△AOC 的面积为4.(1)分别求出a 和b 的值；(2)结合图象直接写出mx ＋n <kx的解集；(3)在x 轴上取点P ，使P A －PB 取得最大值时，求出点P 的坐标．第7题图8. (2019青羊区一诊)如图，在平面直角坐标系xOy 中，B (3，－1)是反比例函数y ＝kx 图象上的一点，过B 点的一次函数y ＝－x ＋b 与反比例函数交于另一点A.(1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求△AOB 面积；(3)在A 点左边的反比例函数图象上求点P ，使得S △POA ∶S △AOB ＝3∶2.第8题图参考答案1. 解：(1)∵一次函数y ＝kx ＋3的图象交y 轴于点D ， ∴OD ＝3， ∵B (0，－6)， ∴BD ＝3＋6＝9， ∵S △DBP ＝27， ∴BP ＝6，∴P 点的坐标是(6，－6)，把P (6，－6)代入y ＝kx ＋3得k ＝－32，∴一次函数的表达式是y ＝－32x ＋3，把P (6，－6)代入y ＝mx 得m ＝－36，∴反比例函数的表达式是y ＝－36x；(2)∵A (6，0)，B (0，－6)，P (6，－6)，反比例函数y ＝nx 的图象与△ABP 总有公共点，当反比例函数图象过P 点时，n ＝－36，∴n 的取值范围是－36≤n ＜0.第1题解图2. 解：(1)∵平移正比例函数y ＝kx 的图象，得到直线l ，直线l 与y 轴交于点C (0，－3)， ∴直线l 的解析式为y ＝kx －3， ∵点B (2，0)在直线l 上， ∴2k －3＝0，解得k ＝32，由题意知AB ＝OC ＝3，则点A (2，3)， ∴m ＝2×3＝6；(2)由(1)知直线OA 的解析式为y ＝32x ，反比例函数的解析式为y ＝6x，设点M (a ，32a )，则N (a ，6a )，∴MN ＝|32a －6a|＝3，解得a ＝1＋5或a ＝5－1(负值舍去)，则点M 的坐标为(1＋5，3＋352或(5－1，35－32)． 3. 解：(1)∵点A (1，4)在y ＝kx 的图象上，∴k ＝1×4＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x ，∵点B (4，n )在y ＝4x 的图象上，∴n ＝1，即A (1，4)，B (4，1)，把A 、B 两点坐标代入y ＝ax ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝44a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝5，∴一次函数的表达式为y ＝－x ＋5； (2)设P (x ，0)，①当∠ABP ＝90°时，AB 2＋BP 2＝AP 2，即(4－1)2＋(1－4)2＋(4－x )2＋12＝(x －1)2＋(－4)2，解得x ＝3， ∴P (3，0)；②当∠P AB ＝90°时，P A 2＋AB 2＝PB 2，即(x －1)2＋(－4)2 ＋(4－1)2＋(1－4)2＝(4－x )2＋12，解得x ＝－3， ∴P (－3，0)；③当∠APB ＝90°时，P A 2＋PB 2＝AB 2，即(x －1)2＋(－4)2＋(4－x )2＋12＝(4－1)2＋(1－4)2，化简得x 2－5x ＋8＝0， ∵b 2－4ac ＝－7<0，∴方程无解，故此时P 点不存在．综上所述，点P 的坐标为(3，0)或(－3，0)． 4. 解：(1)∵点A 在一次函数y ＝mx －4的图象上，∴－4m －4＝0， ∴m ＝－1.∴一次函数的解析式为y ＝－x －4. ∵点C (－5，n )在直线y ＝－x －4上， ∴n ＝－(－5)－4＝1， ∴C (－5，1)．∵点C (－5，1)在反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象上，∴k ＝－5×1＝－5.∴反比例函数的表达式为y ＝－5x；(2)由(1)知，C (－5，1)，直线AB 的解析式为y ＝－x －4， ∴B (0，－4)．设点Q (q ，0)，P (p ，－5p)，∵以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，且P ，Q 两点在直线AB 的同侧， ①当BP 与CQ 是对角线时， ∵BP 与CQ 互相平分， ∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＋02＝q －52－5p －42＝1＋02，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－1q ＝4，∴P (－1，5)，Q (4，0); ②当BQ 与CP 是对角线时， ∵BQ 与CP 互相平分， ∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＋02＝p －520－42＝－5p ＋12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1q ＝－4，∴P (1，－5)，Q (－4，0)，此时，点C ，Q ，B ，P 在同一条线上，不符合题意，舍去，即若以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，则点P (－1，5)，点Q (4，0)．5. 解：(1)∵点A (3，4)在反比例函数的图象上， ∴m ＝3×4＝12.∴反比例函数的解析式为y 2＝12x. ∴点B 的坐标为(－6，－2)．将点A (3，4)、B (－6，－2)代入一次函数中得，⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝4－6k ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23b ＝2， ∴一次函数的解析式为y 1＝23x ＋2；(2)＝；【解法提示】当x ＝0时，y 1＝2.当y 1＝0时，x ＝－3.∴点C 的坐标为(0，2)，点D 的坐标为(－3，0)．∴AD ＝42＋（3＋3）2＝213，BC ＝62＋（2＋2）2＝213.∴AD ＝BC .(3)x ＜－6或0＜x ＜3.【解法提示】观察函数图象可知，当x ＜－6或0＜x ＜3时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，即y 1＜y 2.6. 解：(1)∵点A (－1，a )在反比例函数y ＝－8x 的图象上，∴a ＝－8－1＝8，∴A (－1，8)， ∵点B (0，7)，∴设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋7， ∵直线AB 过点A (－1，8)， ∴8＝－k ＋7，解得k ＝－1， ∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋7；(2)∵将直线AB 向下平移9个单位后得到直线CD 的解析式为y ＝－x －2， ∴D (0，－2)， ∴BD ＝7＋2＝9，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －2y ＝－8x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－4， ∴C (－4，2)，E (2，－4)，如解图，连接BC ，则△CBD 的面积＝12×9×4＝18，由平行线间的距离处处相等可得△ACD 与△CDB 面积相等， ∴△ACD 的面积为18； (3)∵C (－4，2)，E (2，－4)，∴不等式mx ＋n ≤－8x的解集是－4≤x ＜0或x ≥2.第6题解图7. 解：(1)由第二象限的点A (a ，4)及△AOC 的面积为4，易得a ＝－2. 又∵A (－2，4)在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴k ＝－8，∴反比例函数的解析式为y ＝－8x，又∵B (8，b )在反比例函数y ＝－8x 的图象上，∴b ＝－1；(2)－2＜x ＜0或x ＞8；(3)∵A (－2，4)关于x 轴对称的点A ′(－2，－4)，则直线A ′B 与x 轴交点即为所求P 点． ∵ B (8，－1)，设直线A ′B 的解析式为y ＝cx ＋d (c ≠0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＋d ＝－48c ＋d ＝－1，解得⎩⎨⎧c ＝310d ＝－175，∴直线A ′B 的解析式为y ＝310x －175，∴直线A ′B 与x 轴的交点为(343，0)，即点P 的坐标为(343，0)．8. 解：(1)∵一次函数y ＝－x ＋b 过B (3，－1)， ∴－3＋b ＝－1，b ＝2，∴一次函数的表达式为y ＝－x ＋2；∵B (3，－1)是反比函数y ＝kx 图象上的一点，∴k ＝3×(－1)＝－3，∴反比例函数的表达式为y ＝－3x ；(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3xy ＝－x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝3，∴A (－1，3)．如解图，设直线y ＝－x ＋2与y 轴交于点C ，则C (0，2)， ∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △COB ＝12×2×1＋12×2×3＝4；(3)如解图，连接P A ，过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，则S △AOM ＝S △PON ＝32.∵S △POA ＋S △PON ＝S 四边形AMNP ＋S △AOM ， ∴S △POA ＝S 四边形AMNP ， ∵S △POA ∶S △AOB ＝3∶2， ∴S △POA ＝32S △AOB ＝32×4＝6.设P (x ，－3x )，∵A (－1，3)，∴S 四边形AMNP ＝12(NP ＋AM )·MN ＝6，∴12(－3x ＋3)·(－1－x )＝6，解得x ＝－2± 5， ∵点P 在A 点左边， ∴x ＜－1， ∴x ＝－2－ 5，∴P (－2－ 5，3 5－6)．第8题解图。

中考数学总复习《一次函数与反比例函数的实际应用》专题训练-附含答案

中考数学总复习《一次函数与反比例函数的实际应用》专题训练-附含答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min 时，材料温度降为600℃．煅烧时温度()y ℃与时间()min x 成一次函数关系；锻造时，温度()y ℃与时间()min x 成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是32℃．(1)分别求出材料煅烧和锻造时y 与x 的函数关系式；(2)根据工艺要求，当材料温度低于480℃时，需停止操作，那么锻造的操作时间有多长？2．已知某蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I （单位：A ）与电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．(1)求出这个反比例函数的解析式；(2)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，求出用电器可变电阻应控制在什么范围．3．南宁市五象新区有长24000m的新建道路要铺上沥青．(1)写出铺路所需时间t(天)与铺路速度v(m/天)的函数关系式．(2)负责铺路的工程公司现有的铺路机每天最多能铺路400m，预计最快多少天可以完成铺路任务？(3)为加快工程进度，公司决定投入不超过400万元的资金，购进10台更先进的铺路机．现有甲、乙两种机器可供选择，其中每种机器的价格和日铺路能力如下表．在原有的铺路机连续铺路40天后，新购进的10台机器加入铺路，公司要求至少比原来预计的时间提前10天完成任务．问有哪几种方案？请你通过计算说明选择哪种方案所用资金最少．4．张先生以按揭方式(首付一部分，剩余部分按每月分期付款)购买了价格为16万元的汽车，交了首付款之后每月还款y元，x个月结清，y与x之间的函数关系如图所示，根据图象提供的信息解答下列问题．(1)确定y与x之间的函数关系式，并求出首付款的金额．(2)张先生若打算120个月结清余款，每月应付多少元？(3)若打算每月付款不超过1500元，问：张先生至少几个月才能结清余款？5．一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天. (1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系?(2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土?6．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示，当010x ≤<和1020x ≤<时，图象是线段；当2045x ≤≤时，图象是反比例函数的一部分．(1)求点A 对应的指标值；(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要18分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．7．越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为t小时，平均速度为v千米/小时（骑行速度不超过40千米/小时）．根据以往的骑行经验，v、t的一些对应值如下表：v（千米/小时）15202530t（小时）2 1.5 1.21(1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；(2)如果这位骑行爱好者上午8：30从家出发，能否在上午9：10之前到达上海蟠龙天地？请说明理由；t≤≤，求平均速度v的取值范围．(3)若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间t满足0.8 1.68．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈，这就是有趣的“瞎转圈”现象.经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的x>），其图象如图所示，半径y（米）是其两腿迈出的步长之差x（厘米）的反比例函数（0请根据图象中的信息解决下列问题：x10．周末，学校组织全体团员进行社会实践活动，活动结束后，李杰要把一份1600字的社会调查报告录入电脑.设他录入文字的速度为v字/分，完成录入所需的时间为t分钟.(1)求t与v之间的函数关系式；(2)当李杰录入文字的速度v为100字/分，完成录入的时间t为多少？11．某公司从2009年开始投入技术改造资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如表：年度2009201020112012投入技改资金x（万元） 2.534 4.5产品成本y（万元/件）7.26 4.54（1）试判断：从上表中的数据看出，y与x符合你学过的哪个函数模型？请说明理由，并写出它的解析式．（2）按照上述函数模型，若2013年已投入技改资金5万元①预计生产成本每件比2012年降低多少元？①如果打算在2013年把每件产品的成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元？12．如图，学校打算用材料围建一个面积为18平方米的矩形ABCD的生物园，用来饲养小兔，其中矩形ABCD的一边AB靠墙，墙长为8米，设AD的长为y米，CD的长为x米．(1)求y与x之间的函数表达式；(2)若围成矩形ABCD的生物园的三边材料总长不超过18米，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案．13．某公司生产一种产品，月销售量为x吨（0x>），每吨售价为7万元，每吨的成本y（万-与月销元）由两部分组成，一部分是原材料费用a固定不变，另一部分人力等费用，y a售量x成反比，市场部研究发现月销售量x吨与月份n（n为1~12的正整数）符合关系式22=-+（k为常数），参考下面给出的数据解决问题．226x n n k月份n（月）12成本y（万元/吨）5 5.6销售量为x（吨/月）120100-与x的函数关系式；（1）求y a（2）求k的值；（3）在这一年12个月中①求月最大利润；m+个月的利润相差最大，直接写出m的值．①若第m个月和第()114．某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在24周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为T（单位：千套），当0＜x≤8时，T与x+4成反比；当8＜x≤24时．T﹣2与x成正比，并预测得到了如表中对应的数据．设第x周销售该软件每千套的利润为K（单位：千元），K与x满足如图中的函数关系图象：x/周824T/千套1026(1)求T与x的函数关系式；(2)观察图象，当12≤x≤24时，K与x的函数关系式为________．(3)设第x周销售该学习软件所获的周利润总额为y（单位：千元），则：①在这24周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由．①该公司销售部门通过大数据模拟分析后认为，最有利于该学习软件提供售后服务和销售的周利润总额的范围是286≤y≤504，求在此范围内对应的周销售量T的最小值和最大值．15．如图，某人对地面的压强p（单位：2N/m）与这个人和地面接触面积S（单位：2m）满足反比例函数关系．10,80，求函数解析式；(1)图象上点A坐标为()(2)如果此人所穿的每只鞋与地面的接触面积大约为2400cm，那么此人双脚站立时对地面的第 11 页共 13 页压强有多大？(3)如果某沼泽地面能承受的最大压强为2320N/m ，那么此人应站立在面积至少多大的木板上才不至于下陷（木板的质量忽略不计）？参考答案： 1．(1)燃烧时函数解析式为()1283206y x x =+≤<；锻造时函数解析式为()48006y x x=≥ (2)4min2．(1)48I R = (2)4.8Ω以上的范围内．3．解：（1）铺路所需要的时间t 与铺路速度V 之间的函数关系式是24000vt =. （2）当v=400时，24000400t ==60（天）. （3）解：设可以购买甲种机器x 台，则购买乙种机器（10-x ）台，则有解之，得3≤x≤5.因此可以购买甲种机器3台、乙种机器7台；甲种机器4台、乙种机器6台；甲种机器5台，乙种机器5台；总共三种方案.第一种方案所花费费用为：45×3+25×7=310万；第二种方案花费为：4×45+6×25=330万；第三种方案花费为：5×45+5×25=350万，因此选择第一种方案花费最少.4．见解析11．（1）反比例函数关系y=第12页共13页(2)44K x=-+；(3)①存在，不变的值为240；①当周利润总额的范围是286≤y≤504时，对应的周销售量T的最小值是11千套，最大值是18千套．15．(1)函数解析式为800 pS =(2)4210N/mp=(3)此人应站立在面积至少22.5mS=大的木板上才不至于下陷。

中考数学专题复习《一次函数与反比例函数的综合》检测题真题(含答案)

一次函数与反比例函数的综合运用（2016·青海西宁·2分）如图，一次函数y=x+m的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．（1）求m及k的值；（2）求点C的坐标，并结合图象写出不等式组0＜x+m≤的解集．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）把点A坐标代入一次函数y=x+m与反比例函数y=，分别求得m及k的值；（2）令直线解析式的函数值为0，即可得出x的值，从而得出点C坐标，根据图象即可得出不等式组0＜x+m≤的解集．【解答】解：（1）由题意可得：点A（2，1）在函数y=x+m的图象上，∴2+m=1即m=﹣1，∵A（2，1）在反比例函数的图象上，∴，∴k=2；（2）∵一次函数解析式为y=x﹣1，令y=0，得x=1，∴点C的坐标是（1，0），由图象可知不等式组0＜x+m≤的解集为1＜x≤2．m（m≠0）（2016·贵州安顺·10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=x的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO=2．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点B的坐标．解：（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D由A（n，6），C（﹣2，0）可得，OD=n，AD=6，CO=2∵tan∠ACO=2∴=2，即=2∴n=1∴A（1，6）将A（1，6）代入反比例函数，得m=1×6=6∴反比例函数的解析式为将A（1，6），C（﹣2，0）代入一次函数y=kx+b，可得解得∴一次函数的解析式为y=2x+4（2）由可得，解得x1=1，x2=﹣3∵当x=﹣3时，y=﹣2∴点B坐标为（﹣3，﹣2）（2016·四川泸州）如图，一次函数y=kx+b（k＜0）与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1）（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．解：（1）∵点A（4，1）在反比例函数y=的图象上，∴m=4×1=4，∴反比例函数的解析式为y=．（2）∵点B在反比例函数y=的图象上，∴设点B的坐标为（n，）．将y=kx+b代入y=中，得：kx+b=，整理得：kx2+bx﹣4=0，∴4n=﹣，即nk=﹣1①．令y=kx+b中x=0，则y=b，即点C的坐标为（0，b），∴S△B O C=bn=3，∴bn=6②．∵点A（4，1）在一次函数y=kx+b的图象上，∴1=4k+b③．联立①②③成方程组，即，解得：，∴该一次函数的解析式为y=﹣x+3．4．（2016·四川南充）如图，直线y=x+2与双曲线相交于点A（m，3），与x轴交于点C．（1）求双曲线解析式；（2）点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．【分析】（1）把A坐标代入直线解析式求出m的值，确定出A坐标，即可确定出双曲线解析式；（2）设P（x，0），表示出PC的长，高为A纵坐标，根据三角形ACP面积求出x的值，确定出P坐标即可．【解答】解：（1）把A（m，3）代入直线解析式得：3=m+2，即m=2，∴A（2，3），把A坐标代入y=，得k=6，则双曲线解析式为y=；（2）对于直线y=x+2，令y=0，得到x=﹣4，即C（﹣4，0），设P（x，0），可得PC=|x+4|，∵△ACP面积为3，∴|x+4|3=3，即|x+4|=2，解得：x=﹣2或x=﹣6，则P坐标为（﹣2，0）或（﹣6，0）．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．5．（2016·四川攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直与x轴，垂足为点B，反比例函数y=（x＞0）的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB=4，AD=3，（1）求反比例函数y=的解析式；（2）求cos∠OAB的值；（3）求经过C、D两点的一次函数解析式．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）设点D的坐标为（4，m）（m＞0），则点A的坐标为（4，3+m），由点A的坐标表示出点C的坐标，根据C、D点在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、m的二元一次方程，解方程即可得出结论；（2）由m的值，可找出点A的坐标，由此即可得出线段OB、AB的长度，通过解直角三角形即可得出结论；（3）由m的值，可找出点C、D的坐标，设出过点C、D的一次函数的解析式为y=ax+b，由点C、D的坐标利用待定系数法即可得出结论．【解答】解：（1）设点D的坐标为（4，m）（m＞0），则点A的坐标为（4，3+m），∵点C为线段AO的中点，∴点C的坐标为（2，）．∵点C、点D均在反比例函数y=的函数图象上，∴，解得：．∴反比例函数的解析式为y=．（2）∵m=1，∴点A的坐标为（4，4），∴OB=4，AB=4．在Rt△ABO中，OB=4，AB=4，∠ABO=90°，∴OA==4，cos∠OAB===．（3））∵m=1，∴点C的坐标为（2，2），点D的坐标为（4，1）．设经过点C、D的一次函数的解析式为y=ax+b，则有，解得：．∴经过C、D两点的一次函数解析式为y=﹣x+3．（2016·重庆市A卷·10分）在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图形与反比例函数y=（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，tan∠AOH=，点B 的坐标为（m，﹣2）．（1）求△AHO的周长；（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．解：（1）由OH=3，tan∠AOH=，得AH=4．即A（﹣4，3）．由勾股定理，得AO==5，△AHO的周长=AO+AH+OH=3+4+5=12；（2）将A点坐标代入y=（k≠0），得k=﹣4×3=﹣12，反比例函数的解析式为y=；当y=﹣2时，﹣2=，解得x=6，即B（6，﹣2）．将A、B点坐标代入y=ax+b，得，解得，一次函数的解析式为y=﹣x+1．（2016·山东省菏泽市·3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=与直线y=﹣2x+2交于点A（﹣1，a）．（1）求a，m的值；（2）求该双曲线与直线y=﹣2x+2另一个交点B的坐标．解：（1）∵点A 的坐标是（﹣1，a ），在直线y =﹣2x +2上， ∴a =﹣2×（﹣1）+2=4，∴点A 的坐标是（﹣1，4），代入反比例函数y =， ∴m =﹣4．（2）解方程组解得：或，∴该双曲线与直线y =﹣2x +2另一个交点B 的坐标为（2，﹣2）．（2016·山东省东营市·9分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，与反比例函数y ＝x m 的图象在第二象限交于点C ，CE ⊥x 轴，垂足为点E ，tan ∠ABO ＝12，OB ＝4,OE ＝2． (1)求反比例函数的解析式；(2)若点D 是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D 作DF ⊥y 轴，垂足为点F ，连接OD 、BF ，如果S △BAF ＝4S △DFO ，求点D 的坐标.(l )∵OB ＝4，OE ＝2，∴BE ＝OB ＋OE ＝6. ∵CE ⊥x 轴,∴∠CEB ＝90°.在Rt △BEC 中，∵tan ∠ABO ＝12，∴CE BE ＝12．即CE 6＝12，解得CE ＝3. 结合图象可知C 点的坐标为（一2，3），将C （―2，3）代入反比例函数解析式可得3＝m－2.解得m ＝－6．反比例函数解析式为y ＝－6x ．(2)解：方法一：∵点D 是y ＝－6x 的图象上的点，且DF ⊥y 轴， ∴S △DFO ＝12×|－6|＝3.∴S △BAF ＝4S △DFO ＝4×3＝12.∴12AF •OB ＝12.∴12×AF ×4＝12. ∴AF ＝6.∴EF ＝AF －OA ＝6－2＝4. ∴点D 的纵坐标为－4.把y ＝－4代入y ＝－6x ，得－4＝－6x .∴x ＝32. ∴D （32，一4）．方法二：设点D 的坐标为（a ，b ）.∵S △BAF ＝4S △DFO ，∴12AF •OB ＝4×12OF •FD .∴(AO ＋OF ) OB ＝4OF •FD . ∴[2＋（－b ）]×4＝－4ab .∴8－4b ＝－4ab .又∵点D 在反比例函数图象上，∴b ＝－6a .∴ab ＝－6.∴8－4b ＝24.解得：b ＝－4. 把b ＝－4代ab ＝－6中，解得：a ＝32. ∴D （32，一4）．（2016·四川宜宾）如图，一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =（x ＞0）的图象交于A （2，﹣1），B （，n ）两点，直线y =2与y 轴交于点C ．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△ABC 的面积．解：（1）把A （2，﹣1）代入反比例解析式得：﹣1=，即m =﹣2，∴反比例解析式为y =﹣，把B （，n ）代入反比例解析式得：n =﹣4，即B （，﹣4），把A 与B 坐标代入y =kx +b 中得：，解得：k =2，b =﹣5，则一次函数解析式为y =2x ﹣5；（2）∵A （2，﹣1），B （，﹣4），直线AB 解析式为y =2x ﹣5，∴AB ==，原点（0，0）到直线y =2x ﹣5的距离d ==，则S △A B C =AB •d =．（2015呼和浩特，23，7分）7分)如图，在平面直角坐标系中A 点的坐标为(8，y ) ，AB ⊥x 轴于点B , sin ∠OAB = 45 ，反比例函数y = kx 的图象的一支经过AO 的中点C ，且与AB 交于点D. （1）求反比例函数解析式;（2）若函数y = 3x 与y = kx 的图象的另一支交于点M ，求三角形OMB 与四边形OCDB 的面积的比. 解：（1） ∵A (8，y ) 又∵AB ⊥x 轴于点B∴点B 横坐标为8，∴∠ ABO =90° 又∵点B 在x 轴上 ∴OB =8.在Rt △ABO 中， ∵sin ∠OAB = 45 =OAOB∴OA =8×54 =10 ∴.∴A (8，6)又∵C 点为OA 的中点，O 点为坐标原点∴C (4，3)又∵C (4，3)在函数y = kx 上 ∴3=4k，即k =12 ∴反比例函数解析式为y =x12.（2）法一：将四边形切成两个三角形，算△OCB 的面积和△BCD 的面积，再求和先求直线y = 3x 与y =x12的交点M 的坐标，列如下方程组∴M (2，6)或M （－2，－6）又∵M 为函数y = 3x 与函数y =x12在第三象限的交点 ∴M （－2，－6）.∴S △OMB = 12·OB·|－6| = 12×8×6 =24 ∵S 四边形OCDB = S △OBC +S △BCD =12+12·DB ·4 又∵D 在双曲线上，且D 点横坐标为8 ∴D (8，32)，即BD =32 ∴S 四边形OCDB =12+3=15 ∴S △OMB S 四边形OCDB = 85 .法二：算出△ABO 的面积，再减去△ACD 的面积先求直线y = 3x 与y =x12的交点M 的坐标，列如下方程组∴M (2，6)或M （－2，－6）又∵M 为函数y = 3x 与函数y =x12在第三象限的交点 ∴M （－2，－6）.∴S △OMB = 12·OB·|－6| = 12×8×6 =24 又 ∵D 在双曲线上，且D 点横坐标为8∴D (8，32)，即AD =AB －BD =6－32=29 ∴S △ACD = 12·AD·|8－4|=12×29×4=9 又∵S △ABO = 12·OB·AB = 12×8×6 =24 ∴S 四边形OCDB = S △ABO －S △ACD =24－9=15∴S △OMB S 四边形OCDB = 85 .（2015•四川广安，第20题6分）如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，且与反比例函数y =（k ≠0）的图象在第一象限交于点C ，如果点B 的坐标为（0，2），OA =OB ，B 是线段AC 的中点．（1）求点A 的坐标及一次函数解析式．（2）求点C 的坐标及反比例函数的解析式．解：（1）∵OA =OB ，点B 的坐标为（0，2），∴点A （﹣2，0），点A 、B 在一次函数y =kx +b （k ≠0）的图象上，∴，解得k =1，b =2，∴一次函数的解析式为y =x +2．（2）∵B 是线段AC 的中点，∴点C 的坐标为（2，4），又∵点C 在反比例函数y =（k ≠0）的图象上，∴k =8；∴反比例函数的解析式为y =．（2015•四川泸州,第23题8分）如图，一次函数(0)y kx b k =+<的图象经过点C (3，0)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3.（1）求该一次函数的解析式；（2）若反比例函数myx的图象与该一次函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，且AC=2BC，求m的值。

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2016年中考数学一次函数与反比例函数综合应用题专项训练
1.如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数
的图象交于A （﹣6，2）、B
（4，n ）两点，直线AB 分别交x 轴、y 轴于D 、C 两点．（1）求上述反比例函数
和一次函数的解析式；（2）若AD=tCD ，求t ．
2.如图，已知正比例函数y = ax （a ≠0）的图象与反比例函致x
k
y =
（k ≠0）的图象的一个交点为A （－1，2－k 2），另—个交点为B ，且A 、B 关于原点O 对称，
D 为OB 的中点，过点D 的线段OB 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于C 、
E ．（1）写出反比例函数和正比例函数的解析式；（2）试计算△COE 的面积是△ODE 面积的多少倍．
3.右图中曲线是反比例函数x
n y 7
+=
的图象的一支．（1）这个反比例函数图象的另一支位于哪个象限？常数n 的取值范围是什么？（2）若一次函数3
43
2+-=x y 的图象与反比例函数的图象交于点A ，与x 轴交于点B ，△AOB 的面积为2，求n
的值．
4.如图，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点
E
D B A
x
y O
C
A
B
O
x
y
y
A B ，，直线1l ，2l 交于点C ．
（1）求点D 的坐标；（2）求直线2l 的解析表达式；（3）求ADC △的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请直接．．写出点P 的坐标．
5.如图，已知直线y=ax+b 经过点A(0，-3)，与x 轴交于点C ，且与双曲线相交于点B(-4,-a),D ．⑴求直线和双曲线的函数关系式；⑵求△CDO （其中O 为原点）的面积．
6.已知如图，点A （m ，3与点B （n ，2）关于直线y = x 对称，且都在反比例函
数x
k
y
图象上，点D 的坐标为（0，－2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）若过B 、D 的直线与x 轴交于点C ，求sin ∠DCO 的值．
7.如图，在直角坐标系中，O 为原点．点A 在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函
y
A
x O
数
12
y
x
=的图象经过点
A．（1）求点A的坐标；（2）如果经过点A的一次函数图
象与y轴的正半轴交于点B，且OB AB
=，求这个一次函数的解析式．
8.如图．反比例函数
x
y
8
-
=与一次函数2
+
-
=x
y的图像交于于A、B两点．(1)
求A、B两点的坐标；(2)求△AOB的面积．（3）若P（x，
1
y）,Q（x，
2
y）分
别是双曲线
x
y
8
-
=和直线2
+
-
=x
y上的两动点，写出
2
1
y
y≥的x的取值范围.
9.如图，已知Rt△AOB的锐角顶点A在反比例函数y=
m
x的图象上，且△AOB的
面积为3，已知OB=3，（1）求反比例函数的解析式；（2）一条直线过A点且交x
轴于C点，已知tan∠ACB=
7
2
，求直线AC的解析式.
C
y
x
A
O B。