中考数学复习课件26
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第 26 讲
点与圆、直线与圆的位置关系
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考点一 点与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外． 如果圆的半径是 r，点到圆心的距离为 d，那么：(1)点在圆上⇔d＝r；(2)点在圆内⇔d<r； (3)点在圆外⇔d>r. 2．过三点的圆 (1)经过三点作圆： ①经过在同一直线上的三点不能作圆； ②经过不在同一直线上的三点， 有且只有一个圆． (2)三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三 角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形． (3)三角形外接圆的作法：①确定外心：作任意两边的中垂线，交点即为外心；②确定半 径：两边中垂线的交点到三角形任一个顶点的距离作为半径．
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12．(2010· 武汉)如图，⊙O 的直径 AB 的长为 10，弦 AC 长为 6，∠ACB 的平分线交⊙O 于 D，则 CD 的长为( ) A．7 B．7 2 C．8 2 D．9
【解析】连结 BD、 AD，作 BE⊥CD 于 E， ∵AB 是直径， ∴∠ACB＝ 90° .∵ AC＝ 6， AB＝ 10， 根据勾股定理得 BC＝ 8.∵CD 平分 ∠ACB， ∴∠BCD ＝ 45° .∵ BE⊥CD， ∴CE＝ BE.∵BC＝ 8，根据勾股定理得 CE＝ BE＝ 4 2.∵ AD＝ BD，AB 是直径，∴BD＝ 5 2.在 Rt△BDE 中， BD＝ 5 2， BE＝ 4 2， ∴DE＝ 3 2， ∴CD＝ CE＋ DE＝ 7 2，故选 B.
考点四 切线长定理 1．切线长：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切 线长． 2．切线长定理 ：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线 ．．．．． 平分这两条切线的夹角．
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(第 2 题)
2．如图，从⊙O 外一点 P 引⊙O 的两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，如果∠APB ＝60° ，PA＝8，那么弦 AB 的长是( B ) A．4 B．8 C． 4 3 D．8 3
【答案】27°
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14．(2010· 河南)如图，AB 切⊙O 于点 A，BO 交⊙O 于点 C，点 D 是 OMA 上异于点 C、 A 的一点．若∠ABO＝32° ，则∠ADC 的度数是________．
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15． (2011 中考预测题)如图， 从⊙O 外一点 P 引⊙O 的两条切线 PA、 PB， 切点分别是 A、 B，若 PA＝8 cm，C 是 AB 上的一个动点(点 C 与 A、B 两点不重合)，过点 C 作⊙O 的切线， 分别交 PA、PB 于点 D、E，则△PED 的周长是________．
3．⊙ O 的半径 与⊙ O 的位置关系是( A．相交 B．相切 C．相离 D ．无法确定
A
)
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4．如图，CD 切⊙O 于点 B，CO 的延长线交⊙O 于点 A. 若∠C＝36° ，则∠ABD 的度数 是( B ) A．72° B．63° C．54° D．36 °
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考点二 直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系的有关概念 (1)直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时的直线叫做圆的割线； (2)直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，唯一的公共点叫做切点，这时的直线 叫圆的切线； (3)直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 2．直线和圆的位置关系的性质与判定 如果⊙O 的半径为 r， 圆心 O 到直线 l 的距离为 d， 那么： (1)直线 l 和⊙O 相交⇔d<r； (2) 直线 l 和⊙O 相切⇔d＝r；(3)直线 l 和⊙O 相离⇔d>r.
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考点三 切线的判定和性质 1．切线的判定方法 (1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； (3)过半径外端点且和这条半径垂直的直线是圆的切线． 2．切线的性质 (1)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径； (2)推论 1：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心； (3)推论 2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
【答案】16 cm
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16．(2010· 杭州)如图，已知△ABC，AC＝BC＝6，∠C＝ 90° .O 是 AB 的中点，⊙O 与 AC、BC 分别相切于点 D 与点 E.点 F 是⊙O 与 AB 的一个交点，连结 DF 并延长交 CB 的延 长线于点 G，则 CG＝________.
【解析】连结 DO，∵⊙O 与 AC 相切于点 D，则 DO⊥AC.∵∠ C＝90° ， ∴DO∥CG， 由 DO＝ OF，可推得 BF＝ BG.由 AC＝ BC＝ 6， ∠C＝ 90° ，得 AB＝ 6 2， ∴AO ＝ 3 2.在 Rt△ADO 中，∠A＝45° ，∴DO＝3， BF＝AB－ AO－ OF＝3 2－ 3，∴CG＝BC＋GB＝6＋ 3 2－3＝3＋3 2.
【答案】B
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二、填空题(每小题 4 分，共 16 分)
13．(2009· 河北)如图，AB 与⊙O 相切于点 B，AO 的延长线交⊙O 于点 C，连结 BC.若 ∠A＝36° ，则∠C＝________.
【解析】 连结 OB， 则 OB⊥AB， 又∠A＝36° ， ∴∠AOB＝54° .又 OB＝OC， ∠C＝∠OBC 1 ＝ ∠AOB＝27° . 2
(第 4 题)
(第 5 题)
5．如图，⊙O 的半径 OA＝10 cm，弦 AB＝16 cm，P 为 AB 上一动点，则点 P 到圆心 O 的最短距离为 6cm.
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4．(2011 中考预测题)如图，已知⊙O 的半径为 R，AB 是⊙O 的直径，D 是 AB 延长线 上一点，DC 是⊙O 的切线，C 是切点，连结 AC，若∠CAB＝30° ，则 BD 的长为( )
A．2R C．R
B. 3R 3 D. R 2
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5．(2009 中考变式题)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，连结 BC 交⊙O 于点 D，连结 AD，若∠ABC＝45° ，则下列结论正确的是( )
1 A． AD＝ BC 2
1 B． AD＝ AC 2
C．AC>AB
D．AD>DC
点与圆、直线与圆的位置关系
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考点一 点与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外． 如果圆的半径是 r，点到圆心的距离为 d，那么：(1)点在圆上⇔d＝r；(2)点在圆内⇔d<r； (3)点在圆外⇔d>r. 2．过三点的圆 (1)经过三点作圆： ①经过在同一直线上的三点不能作圆； ②经过不在同一直线上的三点， 有且只有一个圆． (2)三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三 角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形． (3)三角形外接圆的作法：①确定外心：作任意两边的中垂线，交点即为外心；②确定半 径：两边中垂线的交点到三角形任一个顶点的距离作为半径．
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12．(2010· 武汉)如图，⊙O 的直径 AB 的长为 10，弦 AC 长为 6，∠ACB 的平分线交⊙O 于 D，则 CD 的长为( ) A．7 B．7 2 C．8 2 D．9
【解析】连结 BD、 AD，作 BE⊥CD 于 E， ∵AB 是直径， ∴∠ACB＝ 90° .∵ AC＝ 6， AB＝ 10， 根据勾股定理得 BC＝ 8.∵CD 平分 ∠ACB， ∴∠BCD ＝ 45° .∵ BE⊥CD， ∴CE＝ BE.∵BC＝ 8，根据勾股定理得 CE＝ BE＝ 4 2.∵ AD＝ BD，AB 是直径，∴BD＝ 5 2.在 Rt△BDE 中， BD＝ 5 2， BE＝ 4 2， ∴DE＝ 3 2， ∴CD＝ CE＋ DE＝ 7 2，故选 B.
考点四 切线长定理 1．切线长：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切 线长． 2．切线长定理 ：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线 ．．．．． 平分这两条切线的夹角．
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(第 2 题)
2．如图，从⊙O 外一点 P 引⊙O 的两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，如果∠APB ＝60° ，PA＝8，那么弦 AB 的长是( B ) A．4 B．8 C． 4 3 D．8 3
【答案】27°
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14．(2010· 河南)如图，AB 切⊙O 于点 A，BO 交⊙O 于点 C，点 D 是 OMA 上异于点 C、 A 的一点．若∠ABO＝32° ，则∠ADC 的度数是________．
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15． (2011 中考预测题)如图， 从⊙O 外一点 P 引⊙O 的两条切线 PA、 PB， 切点分别是 A、 B，若 PA＝8 cm，C 是 AB 上的一个动点(点 C 与 A、B 两点不重合)，过点 C 作⊙O 的切线， 分别交 PA、PB 于点 D、E，则△PED 的周长是________．
3．⊙ O 的半径 与⊙ O 的位置关系是( A．相交 B．相切 C．相离 D ．无法确定
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4．如图，CD 切⊙O 于点 B，CO 的延长线交⊙O 于点 A. 若∠C＝36° ，则∠ABD 的度数 是( B ) A．72° B．63° C．54° D．36 °
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考点二 直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系的有关概念 (1)直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时的直线叫做圆的割线； (2)直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，唯一的公共点叫做切点，这时的直线 叫圆的切线； (3)直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 2．直线和圆的位置关系的性质与判定 如果⊙O 的半径为 r， 圆心 O 到直线 l 的距离为 d， 那么： (1)直线 l 和⊙O 相交⇔d<r； (2) 直线 l 和⊙O 相切⇔d＝r；(3)直线 l 和⊙O 相离⇔d>r.
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考点三 切线的判定和性质 1．切线的判定方法 (1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； (3)过半径外端点且和这条半径垂直的直线是圆的切线． 2．切线的性质 (1)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径； (2)推论 1：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心； (3)推论 2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
【答案】16 cm
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16．(2010· 杭州)如图，已知△ABC，AC＝BC＝6，∠C＝ 90° .O 是 AB 的中点，⊙O 与 AC、BC 分别相切于点 D 与点 E.点 F 是⊙O 与 AB 的一个交点，连结 DF 并延长交 CB 的延 长线于点 G，则 CG＝________.
【解析】连结 DO，∵⊙O 与 AC 相切于点 D，则 DO⊥AC.∵∠ C＝90° ， ∴DO∥CG， 由 DO＝ OF，可推得 BF＝ BG.由 AC＝ BC＝ 6， ∠C＝ 90° ，得 AB＝ 6 2， ∴AO ＝ 3 2.在 Rt△ADO 中，∠A＝45° ，∴DO＝3， BF＝AB－ AO－ OF＝3 2－ 3，∴CG＝BC＋GB＝6＋ 3 2－3＝3＋3 2.
【答案】B
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二、填空题(每小题 4 分，共 16 分)
13．(2009· 河北)如图，AB 与⊙O 相切于点 B，AO 的延长线交⊙O 于点 C，连结 BC.若 ∠A＝36° ，则∠C＝________.
【解析】 连结 OB， 则 OB⊥AB， 又∠A＝36° ， ∴∠AOB＝54° .又 OB＝OC， ∠C＝∠OBC 1 ＝ ∠AOB＝27° . 2
(第 4 题)
(第 5 题)
5．如图，⊙O 的半径 OA＝10 cm，弦 AB＝16 cm，P 为 AB 上一动点，则点 P 到圆心 O 的最短距离为 6cm.
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4．(2011 中考预测题)如图，已知⊙O 的半径为 R，AB 是⊙O 的直径，D 是 AB 延长线 上一点，DC 是⊙O 的切线，C 是切点，连结 AC，若∠CAB＝30° ，则 BD 的长为( )
A．2R C．R
B. 3R 3 D. R 2
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5．(2009 中考变式题)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，连结 BC 交⊙O 于点 D，连结 AD，若∠ABC＝45° ，则下列结论正确的是( )
1 A． AD＝ BC 2
1 B． AD＝ AC 2
C．AC>AB
D．AD>DC