第二章 线性空间与度量空间(理工大)
第二节线性空间的定义与简单性质
注 ◆ 例 8 中集合 V 满足线性空间定义中的其 他七条公理, 可见第五条虽然比较简单, 但是不可 由其他七条推出.
◆ 在 8 条公理中只有第一条加法满足交换律不 是独立的.
证明 ∵ 2( )＝2 2 ＝(1＋1) ＋(1 ＋1) ＝(1 ＋1 )＋(1 ＋1 )＝(＋ )＋( ＋ )＝ ＋( ＋ )＋ ,
, , , … 表示线性空间 V 中的元素，用小写的
拉丁字母 a, b, c, … 表示数域 P 中的数.
注 ◆ 向量空间的定义可简单记为 “1128 ” ，
即一个数域 P，这是基础域； 一个集合Ｖ； 两个
运算，又叫做线性运算；八条规则，其中前四条是
加法的运算律，这时称Ｖ对加法做成一个加群，第
例 3 全体定义在区间 [a,b]上的连续函数组成 的集合V, 对于函数的加法及实数与连续函数的乘 法, 构成实数域上的一个线性空间. 用 C [a,b] 表示.
例 4 数域 P 上一元多项式环 P[ x ]， 按通常 的多项式加法和数与多项式的乘法，构成数域 P 上 的一个线性空间. 如果只考虑其中次数小于 n 的多 项式，再添上零多项式也构成数域 P 上的一个线性 空间，用 P[ x ]n 表示. 但是，数域 P 上的 n 次多 项式集合对同样的运算不构成线性空间，因为两个 n 次多项式的和可能不是 n 次多项式.
证明 + 0 = 1 + 0 = (1 + 0) = 1 = .
所以
0 = 0 .
k0 + k = k (0 +) = k
所以
k0 = 0 .
(-1) + = (-1) + 1 =[(-1) + 1] = 0 =0 ,
所以
第二章-泛函分析初步-修订版_496203655
第二章：泛函分析初步 (Fundamentals on functional)《现代应用数学手册——现代应用分析卷》，《现代应用数学手册》编委会，清华出版社 《数学分析》（第二卷第4版），B.A.卓里奇著，蒋铎等译，高教出版社§2.1 线性空间定义（数域，Number field ）：设P 是某些复数构成的集合，包括0元和1元。
如果P 对四则运算封闭，即P 中任意两数的和、差、积、商（除数不为零）仍是P 中的数，则称P 为一个数域。
例如，集合C R Q 、、都是数域，而整数的全体Z 则不是数域。
定义（线性空间，Linear space ）：设W ≠∅（W 为非空集合，符号∅代表空集），满足下列两个条件： 第一，W 中的元对“+”构成交换群，即,,W ∀∈X Y Z ，有： ⅰ）W +∈X Y（加法封闭性） ⅱ）()()++=++X Y Z X Y Z （结合律） ⅲ） 0W ∃∈，使0+X X =（存在唯一零元） ⅳ）W ∃-∈X ，使()-+=0X X （存在唯一逆元/负元） ⅴ）+=+X Y Y X（交换律）（满足前2条，构成半群；满足前4条，构成群；满足5条，构成加法交换群，又称为Abel 加群，简称Abel 群。
）第二，,,,W αβ∀∈∀∈X Y P (数域)，对数乘（scalar multiplication ）封闭，即有：ⅵ）()()W αβαβ=∈X X ⅶ）()αβαβ+=+X X X ⅷ）()ααα+=+X Y X Y ⅸ）⋅1X X =（存在1元）则称W 是数域P 上的线性空间。
加法和数乘统称为集合W 在数域P 上的线性运算（linear operation ）。
注1：加法封闭 + 数乘封闭 ⇔ i i W C α∀∈∀∈X ，，则1Ni i i W α=∈∑X 。
关于线性空间，简而言之，规定了非空集合W 在数域P 上的线性运算“+”和“⋅”，则W 、P 、+、⋅ 一起称为一个线性空间，也称作向量空间（vector space ），记作（W ；P ；+，⋅），并把W 中的元称为向量。
11 度量空间的定义与极限
知右端二次三项式的判别式不大于零，于是可得(1.1)式成立．进一步有 Hölder 不等式
∑ ab
i =1
n
i i
≤ (∑ ai ) p (∑ bi ) q
p q i =1 i =1
n
1
n
1
其中 p, q ≥ 1 且
1 1 + =1． p q
闵可夫斯基(Minkowski)不等式(和): 任给 2n 个实数 a1 , a2 ,", an , b1 , b2 ,", bn ，有
≤ max | f (t ) − g (t ) | + max | g (t ) − h(t） |
t∈[ a ,b ] t∈[ a ,b ]
∀f (t ), g (t ), h(t ) ∈ C[a, b] 及 ∀t ∈ [a, b] 均有
= d ( f , g ) + d ( g , h) ，
故 d ( f , h) = max | f (t ) − h(t ) |≤ d ( f , g ) + d ( g , h) ． 称 (C[a, b], d ) 为连续函数空间， 简记为 C[a, b] ． □
1 1
即 d ( x, z ) ≤ d ( x, y ) + d ( y, z ) ．从而得证 d 是一个距离函数．□ 注 2：称 ( R n , d ) 为 n 维欧氏空间，d 称为欧氏距离或标准欧氏距离．今后若不作特殊申明， 凡提到度量空间 R n ，均指由(1.3)式的欧氏距离所定义的． 注 3：在 R n 中我们还可以定义其他的距离：
d1 ( x, y ) = max | xk − yk | ； d 2 ( x, y ) = ∑ | xk − yk | ．
泛函分析第2章度量空间与赋范线性空间
泛函分析第2章度量空间与赋范线性空间泛函分析是数学中的一个重要分支，研究函数空间上的函数和运算的性质。
在泛函分析中，度量空间和赋范线性空间是两个基本的概念。
本文将介绍这两个概念以及它们的性质。
度量空间是一个集合X，其中定义了一个度量函数d：X×X→R，满足以下条件：1.非负性：对于任意的x，y∈X，有d(x,y)≥0，且当且仅当x=y时，d(x,y)=0；2.对称性：对于任意的x，y∈X，有d(x,y)=d(y,x)；3.三角不等式：对于任意的x，y，z∈X，有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)。
度量函数d可以看作是度量空间X中点之间的距离，由其性质可以推导出许多重要结论。
例如，由三角不等式的性质可以得出X中点列的收敛性质，即对于度量空间X中的点列{x_n}，如果存在x∈X，使得对于任意的ε>0，存在正整数N，当n≥N时，有d(x_n,x)<ε，那么称{x_n}收敛于x。
赋范线性空间是一个向量空间V，其中定义了一个范数函数∥·∥：V→R，满足以下条件：1.非负性：对于任意的x∈V，有∥x∥≥0，且当且仅当x=0时，∥x∥=0；2. 齐次性：对于任意的x∈V和实数a，有∥ax∥=，a，∥x∥；3.三角不等式：对于任意的x，y∈V，有∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥。
范数函数∥·∥可以看作是赋范线性空间V中向量的长度或大小，具有度量空间的部分性质，如非负性和齐次性。
范数函数还满足一条重要的性质，即∥x+y∥≥，∥x∥-∥y∥，这被称为三角不等式强化定理。
度量空间和赋范线性空间都具有一些不同的性质和概念。
例如，度量空间中存在序列的收敛性质，而赋范线性空间中存在序列的收敛性质以及序列的Cauchy性质。
同时，度量空间和赋范线性空间都可以构建拓扑结构，使其成为一个拓扑空间。
在拓扑空间中，点列的收敛性质和序列的Cauchy性质是等价的。
此外，度量空间和赋范线性空间都是完备的，即满足序列的Cauchy 性质的序列都收敛于空间中的一些点。
《高等代数与解析几何》教学大纲
《咼等代数与解析几何》课程教学大纲一、课程基本信息1、课程名称：高等代数与解析几何（上、下）2、课程编号：03030001/23、课程类别：学科基础课4、总学时/学分：160/105、适用专业：信息与计算科学6、开课学期：第一、二学期二、课程与人才培养标准实现矩阵说明掌握自然科学基础知识和数学专业所需的技术基础及专业知识，掌握分析问题、解决问题的科学方法；通过所学专业基础知识，获取数学专业知识的能力，更新知识和应用知识的能力。
三、课程的地位性质与目的本课程是数学与应用数学专业学生的重要的基础课程，是现代信息科学中不可缺少的数学工具。
高等代数与解析几何最突出的特点就是代数与几何在知识与理论上的有机结合，在思想和方法上的融会贯通。
主要目的是掌握本门课程的基本理论和基本方法；同时通过本课程的教学，锻炼和提高学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力，培养学生创新能力，提高学生的数学素养。
四、学时分配表五、课程教学内容和基本要求总的目标：通过本课程的学习要求学生对高等代数与解析几何的基本概念、基本定理有比较全面、系统认识，能把几何的观点与代数的方法结合起来，“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”，逐步培养学生运用几何与代数相结合的方法分析问题、解决问题的能力，培养学生抽象的思维能力及空间想象能力。
本课程各章的教学内容和基本要求如下：第一章向量代数【教学内容】1、向量的线性运算2、向量的共线与共面3、用坐标表示向量4、线性相关性与线性方程组5、n维向量空间6、几何空间向量的内积7、几何空间向量的外积8、几何空间向量的混合积【基本要求】理解向量的概念，掌握向量的线性运算、内积、外积、混合积运算；熟悉向量间垂直、共线、共面的条件；会用坐标进行向量的运算。
【教学重点及难点】重点：向量的概念，向量的线性运算、内积、外积、混合积运算；用坐标进行向量的运算。
难点：向量间垂直、共线、共面的条件。
第二章行列式【教学内容】1、映射与变换2、置换的奇偶性3、矩阵4、行列式的定义理解n阶行列式的概念及性质，掌握常见类型的行列式的计算；熟悉克拉默法则。
信号与系统——泛函分析初步
再如，若一个能量有限信号可以分解成无穷多个分量，即其各分量 平方可和
可证明，按内积构成的内积空间，也是一个Hilbert空间。 Cauchy-Schwarz不等式：为内积空间，，有
定义（和、直和，Sum、Direct sum）：
设是的线性子空间，称为子空间的和。如果，即p个子空间彼此无 交集，则这些子空间的和称为直和，记为：。
定理：设是的线性子空间，则 （1）子空间的交也是的子空间； （2）子空间的和也是的子空间； （3）是直和 对于，可唯一表示成
，其中。
§2.3 距离空间（度量空间）
其中，为定义域，为值域。
图2-1 算子的映射作用 定义（数域，Number field）：包括0、1且对四则运算封闭 的数集。 定义（泛函，Functional）：值域是实／复数域的算子称为 泛函。 注：定积分，距离，范数，内积，函数（第三种定义），（普 通）函数均为泛函。 定义（线性算子）：为线性空间，，若对，
Hilbert第六问题：任何物理学理论、物理定 律、实验结论，都可以从一组数学公理出发通
过演绎得到。
希尔伯特第六问题，体现了一种对于统一的追求。
泛函分析：属于基于公理的分析体系，不在于计算，
而着眼于概念演绎，更普适、更一般、更深刻地理
解、解释数学物理问题。
1. 内积空间：
定义（内积，Inner product）：设为实或复线性空间，若对 （复数域），均有一实数或复数与之对应，记为，满足：
注意2：满足三条公里的距离定义可以有多种。因此，同一个集合
与不同定义的距离结合，构成不同的度量空间。
第一章非线性分析绪论(理工大)解析
第一章 非线性分析绪论
一.分析数学的发展历程：
1.初创 现代分析数学的发展应该起源于微积分的
发明和极限理论的建立。即使仅仅是对“数 “的理论的完善也归功于极限论的建立。
经过16世纪中叶到17世纪初的酝酿，牛顿 （1642——1727）和莱布尼茨（1646—— 1716）终于在17世纪下半叶创立了微积分。
梅莱，海涅，康托把无理数看成柯西列。 戴德金采用对有理数分割的办法，建立 了不依赖于极限论的实数理论。
4. 20世纪分析学的发展
勒贝格（1875-1941）——创立可列可加 测度的积分论，形成实变函数论。
以实分析为基础的概率论和随机过程， 称为现代分析。
复变函数论的发展，形成复分析。 以函数空间为背景的泛函和算子理论— —泛函分析。 此外还有傅立叶分析等。
在此之前，通过略去高次项（即忽略高阶 无穷小量）。帕斯卡，费马，沃利斯，巴罗等 著名学者使微积分学产生萌芽。
牛顿的流数术（微积分）是他一生三大发 明之一。
流数术：
给定函数y x2 0
时间的刹那用o表示（即dt）
x, y 的刹那用xo和yo表示
（即dx dx dt, dy dy dt）
社,1989
理论教学：32学时
学分：
2学分
课程代码：000250
课程类型：学位课
课程性质：专业基础课
考试方法
1. 期终考试占70%;
2. 平时成绩占20％，包括作业和 课堂回答问题； 3. 创新成绩占10％，根据课堂内 容所进行的创新活动，如科技小论 文、心得体会、对课程改革的建议 等，以读书报告的形式提交两次.
dt
dt
以x xo及y yo代替 x, y代入 方程得到
y yo - (x2 2xxo x2o2 ) 0 由于y - x2 0,故有
高等代数(线性空间)
例子
例 1 所有平面向量的集合 V = {( x, y ) x, y ∈ R} 构成实 数域 R 上的线性空间，其加法运算和数量乘积就是 普通的向量的加法和数乘运算。
例 2 集合 V 加法和数乘运算
k ( x1 , x 2 ,
= {( x 1 , x 2 , , x n ) x1 , x 2 , , x n ∈ R}
推出 k 1
= k2 == ks = 来自 。例3 向量组0,α 1 ,α 2 , ,α s 是线性相关的。 例 4 对只由一个向量 α 组成的向量组来说，若 α = 0 ，则是线性相关的；否则，是线性无关。 例 5 在三维空间 R 3 中，向量e1 = (1,0,0) ，e2 = (0,1,0) ， e3 = (0,0,1) 是线性无关的。 任何一个三维向量α = (a1,a2 ,a3 ) 都可写成e1 , e2 , e3 的线性组 合a = a1e1 + a 2 e2 + a 3 e3 。
全为零的实数 k 1 , k 2 ,
k1 ≠ 0
, k s 使得 ∑ k iα i = 0 。不妨设
i =1
s
，则有
⎛ k2 ⎞ ⎛ k3 ⎞ α1 = ⎜ ⎜− k ⎟ ⎟α 2 + ⎜ ⎜− k ⎟ ⎟α 3 + ⎝ 1⎠ ⎝ 1⎠
+ li−1αi−1 + li+1αi+1 +
充分性: 如 果 αi = l1α1 + 即α 1 ,α 2 ,
α s + 1 能用向量组 B
线性表出，因此也能用向量组 C
线性表出，即
α s +1 = ∑ k jα j +
j =1 s j = s +1
线性空间线性空间的定义及性质知识预备集合笼统的说
第一讲线性空间一、线性空间的定义及性质[知识预备]★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体。
集合的表示：枚举、表达式集合的运算：并（），交（）另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。
★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。
比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。
实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。
1．线性空间的定义：设V是一个非空集合，其元素用zx,,等表示；K是一个数域，y其元素用m,等表示。
如果V满足[如下8条性质，分两类]:k,l（I）在V中定义一个“加法”运算，即当Vx∈，时，有唯一的和y+（封闭性），且加法运算满足下列性质:x∈yV（1）结合律z=+)()(；+y+zxyx+（2）交换律x+；=yyx+（3）零元律存在零元素O，使x+；x=O（4）负元律 对于任一元素V x ∈，存在一元素V y ∈，使O y x =+，且称y 为x 的负元素，记为)(x -。
则有O x x =-+)(。
（II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当K k V x ∈∈,时，有唯一的V kx ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质: （5）数因子分配律 ky kx y x k +=+)(； （6）分配律 lx kx x l k +=+)(； （7）结合律 x kl lx k )()(=； （8）恒等律 x x =1； 则称V 为数域K 上的线性空间。
注意以下几点：1）线性空间是基于一定数域来的。
同一个集合，对于不同数域，就可能构成不同的线性空间，甚至对有的数域能构成线性空间，而对其他数域不能构成线性空间。
2）两种运算、八条性质。
数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则是抽象的、形式的。
3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性是否满足。
第2章 内积空间
(a 1 , a 2 ) (a 2 , a 1 ) A T A 即 A 为实对称矩阵。 x T Ax (a , a ) 0 即 A 为实正定矩阵。
,a n 定理1 设A为n维欧氏空间V的基a1 ,a 2 , 的度量矩阵，则
(1)矩阵A为实对称正定矩阵；
(2) a , b V , a x1a1 + x2a2 + + xnan , b y1a1 + y2a2 + + ynan ,
内积的作用：研究高维空间中的几何问题 内积的公理化定义要点
内积(a，b)是二元运算：V×V→ R (a，b)的公理性质 (a，b)是任何满足定义的运算。
欧氏空间的例子
例1. 线性空间 R n { ( x1 , x 2 , , x n ) T | x1 , x 2 , , x n R }
设 a 1， a 2， ,a n 是 n 维 实 内 积 空 间 V 的 一 个 基 ，
向量a 与b 在该基下的坐标为
x ( x1 , x 2 , , x n ) T , y ( x1 , x 2 , , x n ) T
a x 1a 1 + x 2 a 2 + + x n a n ,
n 例5 在实线性空间R n中，对于任意两个 n阶矩阵A，B， 定义 n n T ( A, B ) tr ( AB ) aij bij
i 1 j 1
则 ( A, B 是内积，向量空间 )
8
是欧氏空间。 R nn
欧氏空间的性质
由定义知
(5) (a , b +g ) = (a, b ) + (a, g ) (6) (a, kb ) = k(a, b )
泛函分析第2章_度量空间与赋范线性空间[1]
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第2章 度量空间与赋范线性空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念。
事实上，它是n 维欧几里得空间n R 的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。
它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。
因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。
2.1 度量空间的基本概念 2.1.1 距离（度量）空间的概念在微积分中，我们研究了定义在实数空间R 上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R 上现有的距离函数d ，即对y x y x d R y x -=∈),(,,。
度量是上述距离的一般化：用抽象集合X 代替实数集，并在X 上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。
【定义2.1】 设X 是一个非空集合，),(∙∙ρ：[)∞→⨯,0X X 是一个定义在直积X X ⨯上的二元函数，如果满足如下性质：（1） 非负性 y x y x y x X y x =⇔=≥∈0,(,0),(,,ρρ； （2） 对称性 ),(),(,,x y y x X y x ρρ=∈（3） 三角不等式 ),(),(),(,,,y z z x y x X z y x ρρρ+≤∈；则称),(y x ρ是X 中两个元素x 与y 的距离（或度量）。
此时，称X 按),(∙∙ρ成为一个度量空间（或距离空间），记为),(ρX 。
注：X 中的非空子集A ，按照X 中的距离),(∙∙ρ显然也构成一个度量空间，称为X 的子空间。
当不致引起混淆时，),(ρX 可简记为X ,并且常称X 中的元素为点。
例2.1 离散的距离空间设X 是任意非空集合，对X 中任意两点,,x y X ∈令1 (,)0 x yx y x y ρ≠⎧=⎨=⎩显然，这样定义的),(∙∙ρ满足距离的全部条件，我们称(,)X ρ是离散的距离空间。
这种距离是最粗的。
它只能区分X 中任意两个元素是否相同，不能区分元素间的远近程度。
巴拿赫空间理论
巴拿赫空间理论（Banach space）是192O年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常巴拿赫空间用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。
大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。
编辑本段线性空间巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”的线性空间﹐泛函分析研究的基本对象之一。
数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。
从外尔斯特拉斯﹐K.(T.W.)以来﹐人们久已十分关心闭区间[a﹐b ]上的连续函数以及它们的一致收敛性。
甚至在19世纪末﹐G.阿斯科利就得到[a﹐b ]上一族连续函数之列紧性的判断准则﹐后来十分成功地用于常微分方程和复变函数论中。
巴拿赫空间1909年里斯﹐F.(F.)给出[0﹐1]上连续线性泛函的表达式﹐这是分析学历史上的重大事件。
还有一个极重要的空间﹐那就是由所有在[0﹐1]上次可勒贝格求和的函数构成的空间(1<p <∞)。
在1910～1917年﹐人们研究它的种种初等性质﹔其上连续线性泛函的表示﹐则照亮了通往对偶理论的道路。
人们还把弗雷德霍姆积分方程理论推广到这种空间﹐并且引进全连巴拿赫空间续算子的概念。
当然还该想到希尔伯特空间。
正是基于这些具体的﹑生动的素材﹐巴拿赫﹐S.与维纳﹐N.相互独立地在1922年提出当今所谓巴拿赫空间的概念﹐并且在不到10年的时间内便发展成一部本身相当完美而又有着多方面应用的理论。
编辑本段Banach空间完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。
是用波兰数学家巴拿赫(Stefan Banach ）的名字命名的。
巴拿赫空间巴拿赫的主要贡献是引进了线性赋范空间概念，建立了其上的线性算子理论，证明了作为泛函分析基础的三个定理，哈恩--巴拿赫延拓定理，巴拿赫--斯坦豪斯定理即共鸣之定理、闭图像定理。
这些定理概括了许多经典的分析结果，在理论上和应用上都有重要价值。
线性空间 知识点总结
线性空间知识点总结本文将从定义、性质、例子、拓扑结构等多个方面对线性空间进行总结，以帮助读者更全面地理解这一概念。
一、线性空间的定义线性空间的定义较为抽象，它可以用来表示向量、矩阵、多项式等各种类型的数学对象。
线性空间是一个非空集合V，配上两个操作：加法和数乘。
加法指的是将两个向量或数学对象相加得到一个新的向量或数学对象，数乘指的是将一个标量与一个向量或数学对象相乘得到一个新的向量或数学对象。
具体来说，给定一个域F，一个线性空间V满足以下条件：1. 对于V中的任意两个元素x、y，它们的和x+y也属于V。
2. 对于V中的任意元素x和任意标量c，它们的数乘cx也属于V。
3. 加法满足结合律和交换律。
4. 加法单位元（零向量）存在。
5. 数乘满足分配律。
6. 数乘满足标量乘1等于自身。
换句话说，线性空间V是一个满足上述条件的非空集合，它配备了加法和数乘这两种运算，并且这两种运算满足一定的性质。
二、线性空间的性质线性空间有许多重要的性质，这些性质不仅体现了线性空间的内在结构，也为线性空间的进一步研究提供了重要的基础。
下面介绍线性空间的一些主要性质：1. 线性空间中的元素有唯一加法逆元。
对于线性空间V中的任意元素x，存在一个唯一的元素-y，使得x+y=0，其中0表示线性空间V中的零向量。
2. 线性空间中的元素满足交换律和结合律。
即对于线性空间V中的任意元素x、y、z，有x+y=y+x，(x+y)+z=x+(y+z)。
3. 线性空间中的元素满足分配律。
即对于线性空间V中的任意元素x、y、z和任意标量c，有c(x+y)=cx+cy，(c+d)x=cx+dx。
4. 线性空间中的元素满足数乘单位元的性质。
即对于线性空间V中的任意元素x，有1∙x=x。
5. 线性空间中的元素满足数乘交换律。
即对于线性空间V中的任意元素x和任意标量c、d，有c(dx)=(cd)x。
6. 线性空间中的元素满足数乘结合律。
即对于线性空间V中的任意元素x和任意标量c、d，有(c+d)x=cx+dx。
线性空间的概念与性质
线性空间和线性变换§1.1 线性空间的概念与性质§1.2 线性空间的基与维数§1.3 线性变换主要讨论线性空间及线性变换的一些基本概念与基本定理，在此基础上使大家能利用这些基本概念与定理解决相关问题。
§1.1 线性空间的概念与性质一、线性空间的定义线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念。
线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题。
定义1.设V 是一个非空集合，K是一个数域(有理数域、实数域或复数域)。
在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法:给出了一种法则，对于任意两个元素α,β∈V，总有唯一的一个元素γ∈V与之对应，称为α与β的和，记作：γ=α+β。
在数域K与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法:对于任一数λ∈K与任一元素α，总有唯一的一个元素δ∈V与之对应，称为λ与α的数量乘积，记作δ=λα。
如果上述定义的两种运算满足以下八条运算规律，那么V 就称为数域K 上的线性空间（或向量空间）。
(1) (2) ()()(3) (4) (5) 1(6) ()()(7) ()λμλμλμλμλμ∈∈+=+++=++∃∈∀∈+=∀∈∃∈+===+=+αβγV Rαββααβγαβγ0V αV α0ααV βV αβ0ααααααα设、、，、，对，都有，，都有加法：(1)-(4) 数量乘积：(5)(6) 数乘与加法：(7)(8)。
说明:1.凡满足以上八条规律的加法及数乘运算，称为线性运算。
2.线性空间的元素（向量空间中的向量）不一定是有序数组。
3.判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间。
线性空间的判定方法:(1)一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性。
2.1 度量空间
第2章 拓扑空间2.1 度量空间2.1.1 度量空间的一些基本概念定义2.1.1 设X 是一个非空集合，1:X X ρ⨯→R 为一个映射，若对,,x y z X ∀∈，有 (1)(,)0x y ρ≥，并且(,)0x y x y ρ=⇔=； （非负性） (2)(,)(,)x y y x ρρ=； （对称性） (3) (,)(,)(,)x y x z y z ρρρ≤+； （三角不等式）则称ρ为X 的度量(metric )；(,)X ρ成为度量空间或距离空间，并且当度量ρ自明而无须特别指出时，径称X 为度量空间；对,x y X ∀∈，实数(,)x y ρ称为从点x 到y 的距离。
度量空间X 的任意非空子集M ，就以X 中的度量ρ作为M 上的度量，则(,)M ρ也是度量空间，称(,)M ρ（或M ）为X 的子空间。
例2.1.1 离散度量空间。
设X 为任一非空集，1:X X ρ⨯→R 定义如下：对(,)x y X X ∀∈⨯， 容易验证ρ确为X 的度量，并称(,)X ρ为离散度量空间(discrete metric space )。
定义2.1.2 设(,)X ρ为度量空间，x X∈，对任给的实数0ε>，集合 称为x 的ε-邻域（或：以x 为中心，以ε为半径的开球; 或：以x 为中心，以ε为半径的（球形）邻域，简称为x 的球形邻域）。
注1 在一般的度量空间中，球形邻域可能只含一点。
如：离散度量空间(,)X ρ，对于不同的两点,x y ，恒有(,)1x y ρ=，于是对任意正数1ε<，每一点0x 的ε-邻域0(,)U x ε中只含有一点0x ，即00(,){}U x x ε=. 注2 若在一个空间X 中同时定义了两个度量ρ及1ρ，且1(,)(,)x y x y ρρ≠，则X 按ρ及1ρ分别所成的度量空间应该看成不同的度量空间。
一般地，若X 中不止一点，则在X 中可以引进许多度量，成为不同的度量空间。
线性空间和线性变换概况PPT课件
3 5
A
4
2
在基F11,F12,F21,F22下的坐标。
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1.3 线性子空间
(a) 线性子空间 设V1是数域F上的线性空间V上一个非空子集合， 且对已有的线性运算满足以下条件：
1. 如果x,y∈V1，则x+y∈V1； 2. 如果x∈V1，k∈F，则kx∈V1； 则称V1是V的线性子空间(linear subspace)或子空间。
则称x1,…,xm是线性相关(linearly dependent)的。否 则称x1,…,xm是线性无关(linearly independent)的。
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例5 在Rn中，分别讨论下面两个向量组的线性相关 性：
例6 讨论下面2阶矩阵的线性相关性：
a 1
1 a
1 1
1 1
A1 1
1 , A2 1
• 范数、序列、级数：定义了范数，我们就可以定义矩阵序列、矩阵级数及其极限， 并讨论其收敛和发散性。
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• 矩阵函数：以矩阵为变量的函数称为矩阵函数。Jordan标准形在此起了很重要的 作用。
• 函数矩阵与矩阵微分方程：将矩阵的概念推广，元素为任意函数的矩阵称为函数 矩阵。这样我们可以求矩阵的导数、微分、积分，并求解相应的微分方程。
一、线性空间概念 (a) 数域
数域(field)：关于四则运算封闭的数的集合。 ✓任何数域都含有元素0和元素1；
✓典型数域：复数域C，实数域R，有理数域Q； ✓任意数域F都包括有理数域Q。
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阿贝尔群V和数域F上的线性运算具有良好性质，则<V，F>构
(b) 线性空间 成一个线性空间。
给定非空集合V ，数域F，如果满足：
第二章 赋范线性空间1
5
凸集在求解极值问题中是一个十分重要的条件。 命题：凸集的交是凸集；凸集的直和是凸集。
凸锥（convex core）： C ⊂ X , C ≠ ∅ 。若对任意的 x1, x2 ∈ C ，θ1,θ2 > 0 ，有θ1x1 + θ2 x2 ∈ C ，则 称 C 为 X 的一个凸锥，例如 R+n = {x = (ξ1,",ξn ) ∈ Rn | ξi > 0, i = 1,", n}
则 F : C[a,b] → R 是连续（泛）函数。
证明：
三 完备性
设 X 为一个度量空间，如果 X 任意一个 Cauchy 序列在 X 中都有极限，则称 X 是完备的度量空
间。
例2.6 Rn 关于任何 p ≥ 1的距离都是完备的， n ≥ 1。
例2.7
C[a, b] 关于 d∞ 是完备的，而关于 d1 ， d2 都不是完备的。
定义 ||
x
|| p
=
⎛ ⎜⎝
∞ i =1
| ξi
|p
⎞1/ ⎟⎠
p
。由
Minkowski
不等式可知， (l
则 称 X 为 一 个 赋 范 线 性 空 间 （ normalized linear space）或赋范空间，|| ||为 X 的范数（norm）。|| x || 称为向量 x 的范数。
范数实际上是向量“模”或“长度”的统一称谓。
例2.9 n 维欧氏（Euclid）空间 R n （ Cn ）
∑ 对
证明：考虑 C[0,1] ，赋予距离 d1 。
3
⎧⎪0,
⎪
取
xn
(t
)
=
⎪⎨nt ⎪
−
2.1 度量空间
证明：由于 ∅ 不含任何点，故不含非内点的点，因此 ∅ 是开集。显然，X 是 X 中每一
点的邻域，故 X ∈ T ，这就证明了 (T1)。现证明 (T2)。设 Fλ (λ ∈ I) 是 X 中的任意一族开
集，令 A
=
∪ Aλ，对于 ∀x
λ∈I
∈
A, ∃λ0
∈
I，使得 x
∈
Aλ0 ，由 于 Aλ0
是X
1
CONTENTS
2
X 称为空间 (X, d) 的基集 (underlying set)，X 的元素 x 称为空间 (X, d) 的点。给定 x, y ∈ X，称 d (x, y) 为 x, y 之间的距离。(M1) 至 (M3) 称为度量公理。“三角不等式”的名称源 于初等几何的启示，如图 2 所示。
1 p
+
1 q
= 1,
∑∞
n=1
|xn|p
< +∞,
∑∞
n=1
|yn
|q
< +∞，则例１
－１０空间 lp (1 ≤ p < ∞) 空间
∑ ∞
( ∑ ∞
)1/p
( ∑ ∞
)1/q
|xnyn| ≤
|xn|p
|yn|q
n=1
n=1
n=1
Proof. 令 u = tp−1，则 t = uq−1，对任意正数 α, β，由于 αβ 是图 4 中长方形的面积，因此
0.1 度量空间
在微积分中，我们探讨了定义在实直线 R 上的函数。回顾一下便知，在求极限时，我们利 用了 R 上的距离函数 d，即对 R 上的任意两点 x, y，它们之间的距离定义为 d (x, y) = |x − y|， 如图 1 所示。在平面和三维空间中，情况也相似。
几何空间的线性结构与度量结构(解几)知识点整理
几何空间的线性结构与度量结构(解几) 1.向量的内积1)射影与分量(有一个已知单位分量)●内射影：平行于已知分量●外射影：垂直于已知分量●实数u记作a在已知向量上的分量，记作∏e (a)●夹角<a,e>●性质：∏e（a+b）=∏e（a）+∏e(b)●∏e(ua)=u∏e(a)2)内积：定义：a.b=ⅠaⅠⅠbⅠcos<a,b>●线性性质1.ua.b=u(a.b)●2.（a+ c).b=a.b+a.c●两向量乘积等于对应坐标乘积之和●度量参数：仿射坐标系（基向量）d1,d2,d3的乘积，九个数3)方向角与方向余弦●方向角：向量与基向量d1,d2,d3,所成的角●方向余弦：方向角的余弦值，三个方向叫的余弦值的平方之和等于12.向量的外积(仍为向量)1)定义：(大小)Ⅰa× bⅠ=ⅠaⅠⅠbⅠsin<a,b>2)方向：与a, b构成的平面垂直，成右手系3)几何意义：以a, b为邻边的平行四边形的面积4)运算规则：1.当a≠0时a× b= a×b2(b2为b沿着a下的外射影)●2.反交换律：a× b=－bxa●3.（ua）× b= u（a×b）= （ub）×a●4.左分配律：a×( b+c)= a× b+ a×c●5.右分配律：（b+c）× a=b× a+c×a●用坐标计算向量的外积：详见书上36页5)二重外积●a×（b×c）= （a.c）b－（a.b）c●雅可比公式：a×（b×c）+ b×（a×c）+ c×（bxa）=0●若（a×b）× c= a×（b×c）则ac平行或共线●海伦公式：S三角形=√p（p－a）（p－b）（p－c）3.向量的混合积1)定义：a×b.c（几何意义：表示以a,b,c为棱的平行六面体的体积）记作（a,b,c）2)性质●1. a× b. c=0abc共面●2.（a,b,c）=（b,c,a）=（c,a,b）●3. a× b.c>0则a,b, c呈右手系3)运算：见40-434)共轭向量组：(axb,bxc,cxa)=(a,b,c)∧25)拉格朗日恒等式：(axb).（cxd）●推论：（axb）∧26)柯西不等式：（a.b）∧2= a∧2+ b∧2（a, b共线时等号成立）4.向量以及线性运算1)分类：●1.自由向量\非自由向量●2.零向量，单位向量2)若存在非零实数c, d使得ca+ db=0则两向量共线3)三角不等式：Ⅰa+bⅠ≦ⅠaⅠ+ⅠbⅠ4)共面共线定理：●线性组合：一组向量组的系数●共线●三点共线：aOA+ bOB+cOC=0(且abc不全为零)●a, b共线，唯一的数f使得b=fa●M在线段A B上，有OM= fOA+ gOB且f+ g=1●axb=0●共面●三向量线性相关，系数不全为零●axb.c=05.几何空间的线性结构1)位置向量，有固定起点，非自由向量2)仿射标架\仿射坐标系：任意一个点O和一个基，d1,d2,d3,称为几何空间的～●性质：●可表性●唯一性●形式【O；d1,d2,d3,】(四元组)3)三点或两向量共线：16-18一定要详见4)线段的定比分点：●AC=fCB点c分线段AB成定比f ●门内劳斯定理：20.三点共线●切瓦定理：21三线共点。
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5
§2.1 线性空间
• 线性空间W上的算子L为线性算子
N N L i Xi i L Xi i 1 i 1
• 零状态线性系统系统算子为线性算子
6
§2.2 线性子空间
• 线性子空间：设 Ø ≠V W， V是W的线性 子空间 对X, Y V , , , 有 X + Y V • 直和：设 W1 , W2 ,, Wp是W的子空间,若X W ,
N N , 使 xn , xm , n, m N ,
则称 xn n 1 是 W , 中的柯西序列。
– 例： xn , xm xm xn
m, n
lim xm xn 0
12
§2.3 距离空间－完备度量空间
• W , 中任意收敛序列是柯西序列 • W , 中的柯西序列未必收敛到W , 中
– 极限运算在完备时可行 – 如何完备化？ – W不要求线性空间
14
ⅴ. X + Y = Y + X （交换律）
3
§2.1 线性空间
– (2)对 X,YW， α,βC（复数域）有： ⅵ. X X W ⅶ. X X + X ⅷ. X + Y = X + Y ⅸ. 1 X = X 称W为线性空间；若α,βC ，则W为复线性空 间；若α,βR，则W为实线性空间。
x0是 xn n 1 的极限
xn , x0 0 , 当n lim xn x0
n
• 定理：在 W , 中，每个收敛点列有唯一的 极限点。
11
§2.3 距离空间－完备度量空间
• 柯西序列——Cauchy Sequence 设 xn n 1 是 W , 中的点列,若对 0 ,
§2.3 距离空间
X , Y xi yi
i 1
n
2 X , Y xi yi i 1 X , Y max xi yi
n i
1
2
10
§2.3 距离空间－收敛
• 收敛： 度量空间W , 中的点列 xn n 1 收敛于x0
4
§2.1 线性空间
N 1)加法封闭 • Xi W , i 有i Xi W 2)数乘封闭 i 1
• C [ a, b [ a, b 上所有连续函数的全体 是线性空间。 • span X1 , X2 ,, Xn 是由X1 , X2 ,, Xn张成的线性
第二章 线性空间与度量空间
1
第二章 线性空间与度量空间
• §2.1 线性空间 • §2.2 线性子空间 • §2.3 距离(度量)空间
2
§2.1 线性空间
• 线性空间：设W≠Ø（W为非空集合）
– (1) W中元对“+”构成交换群，即对 X,Y,ZW, 有 ⅰ. X + Y W（加法封闭性） 半群 ⅱ. X + Y + Z = X + Y + Z （结合律） ⅲ. 0 W , 使0 + X = X （存在零元） 群 交换群 ⅳ. X W , 使 X + X = 0（存在逆元）
– 例：
1 n 1 n
, W [ 0,1 , X Y ,
X , Y W
n 1
1 是柯西序列,但 0, n , 0 [ 0,1 n n 1
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§2.3 距离空间－完备度量空间
• 完备度量空间——Complete Metric Space W , 称为完备度量空间，指其中所有柯 西序列都收敛。
8
§2.3 距离空间
• 例： , X,Y X Y
• 例：C [ a, b
X t , Y t max X t Y t 例： n , X , Y n xn yn
ii. X, Y Y, X （可交换性） iii. X, Z X, Y Y, Z （三角不等式）
i. X, Y 0, 且 X, Y 0 X = Y （正定性）
• X, Y 称为W上的距离， W , 为度量空间。
X可唯一表示成X = X1 + + X p , 其中Xi W
i 1,, p , 则称W 是W1 , W2 ,, Wp的直和,
记为:W W1 W2 Wp。
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§2.3 距离空间（度量空间—— Metric Space）
• 距离空间：设W≠Ø ，称W为距离空间，指在 R W中定义了映射： X, Y : W W （包 括0）， X,YW 满足以下三条公理：