四川省南充高级中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题

四川省南充高级中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学
试题
一、单选题
1．复数2的实部是（ ）
A ．2 B
C ．2
D ．0
2．已知{}2,4,5,{|3}A B x x ==≥，则A B =I （ ）
A ．{5}
B ．{4,5}
C ．{3,4,5}
D ．{2,3,4,5} 3．已知x y z >>，0x y z ++=，则下列不等式一定成立的是（ ）
A ．xy yz >
B ．xy xz >
C ．xz yz >
D ．||||x y y z >
4．已知函数()()2log 2,02,0x x x f x k x ⎧-<=⎨-≥⎩
，若()()23f f -=，则k =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2
5．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足1x ∀，2(0,)x ∈+∞且12x x ≠，有
()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，且()()()f x y f x f y =+，2(4)3
f =，则不等式(2)(3)1f x f x -->的解集为（ ）.
A ．(0,4)
B ．(0,)+∞
C ．(3,4)
D ．(2,3)
6．已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
7．函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2ϕπ<）的部分图象如图所示，则π2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）.
A
．B
．C
．D ．1-
8．已知4AB =，π4
ABC ∠=，点C 为动点，点P 为线段BC 上的点且满足2BP PC =u u u r u u u r ，当A P B P ⋅u r u r 取最小值时，ABC V 的外接圆的面积为（ ）.
A ．π
B ．3π
C ．4π
D ．5π
二、多选题
9．如图，在三棱锥P EDF -的平面展开图中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，正方形ABCD 的边长为2，则在三棱锥P EDF -中（ ）
A ．PEF !的面积为12
B ．PD EF ⊥
C ．平面PEF ⊥平面DEF
D ．三棱锥P EDF -的体积为13
10．在ABC V 中，下列结论正确的是（ ） A ．若sin 2sin 2A B =，则ABC V 为等腰三角形
B ．若sin cos B A =，则AB
C V 是直角三角形
C ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC V 是钝角三角形
D ．若cos cos cos 222
a
b c A
B
C ==，则ABC V 是等边三角形
11．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23
（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.下列说法正确的是（ ）
A ．沙漏中的细沙体积为31024πcm 81
B ．沙漏的体积是3128πcm
C ．细沙全部漏入下部后，此锥形沙堆的高度约为2.37cm
D ．该沙漏的一个沙时大约是1985秒（π 3.14≈）
三、填空题
12．已知向量(3,2),(1,)m m =-=r r a b ， 若a b ⊥v v ， 则
m =. 13．某校按分层随机抽样的方法从高中三个年级抽取部分学生进行调查，从三个年级中抽取的人数比为如图所示的扇形面积比，已知高二年级共有学生1200人，并从中抽取了40人，则从高一年级中抽取人．
14．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()f x 单调递减，则不等式()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭
的解集为.
四、解答题
15．在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E .DF AB P 且交AC 于点F ，
(1)求|2|BE DF +u u u r u u u r 的值
(2)求()
DE DF DA +⋅u u u r u u u r u u u r 的最小值.
16．某校高一年级有男生200人，女生100人.为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本为30的样本，并观测样本的指标价（单位：cm ），计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39.下表是抽取的女生样本的数据；
记抽取的第i 个女生的身高为i x （1i =，2，3，…，10），样本平均数160x =，方差215=s .
3.9，215925281=，216928561=.
(1)若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在[]160,165范围内的人数；
(2)用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数μ和标准差σ，求μ，σ的值；
(3)如果女生样本数据在()2,2x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差.
17．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，60D ∠=︒．
(1)若3AC =，求ACD V 周长的最大值；
(2)若2CD AB =，75BCD ∠=︒，求tan DAC ∠的值．
18．已知定义在[]4,4-上的奇函数()f x ，当[]4,0x ∈-时，()143x x a f x =
+． (1)求函数()f x 的解析式；
(2)若[]2,1x ∃∈--，使得不等式()1123
x x m f x -≤-成立，求实数m 的取值范围． 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，AB AD ⊥，PA PD =，
1AB =，2AD =，AC CD =
(1)求证：PD 平面PAB.
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
(3)在棱PA上是否存在点M，使得//
BM平面PCD?若存在，求出AM
AP
的值；若不存在，请说
明理由.。