人教版九年级数学上册二次函数定义

2
即 d= 1 n2- 3 n
2
2
3、某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量。 如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
y=20(1+x)2
即 y=20x2+40x+20
认真视察以上出现的三个函数解析式，分别说出 哪些是常数、自变量和函数．
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示情势:
(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数 是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
函数解析式 自变量 函数
y=6x2
x
y
d= 1 n2- 3 n
n
d
2
2
y=20x2+40x+20 x
y
这些函数有什 么共同点？
这些函数自变 量的最高次项 都是二次的！
二次函数
y=6x2
m 1 n2 1 n
2Hale Waihona Puke 2y 20 x2 40 x 20
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是 常数,a≠ 0)的函数，叫做二次函数。
其中，x是自变量，a是二次项系数， c是常数项。
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是 常数,a≠ 0)的函数，叫做二次函数。
特征：
（1）函数关系式必须是 整式。
（2）二次项系数 a≠0。
（3）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有一次 项和常数项，但不能没有二次项
二次函数的一般情势:
第二十二章 二次函数
22.1.1二次函数定义
复习： 变量与函数
定义：在一个变化过程中：产生变化 的量叫做 变量 ；不变的量叫做 常 量；
一般地，在一个变化过程中，如果 有两个变量X和Y，并且对于X的每 一个确定的值，Y都有唯一确定的 值与其对应，那么我们就说X是自 变量，Y是X的函数
一次函数的概念：
C.s 2t 2 2t 1
D.y x2 1
x
2.y (m 3)xm2 7 3x 1是二次函数，
则m m=-3
3、已知二次函数y=x²+px+q，当x=1时，函数值为4， 当x=2时，函数值为－5，求这个二次函数的解析式．
小结 拓展
回味无穷
定义中应该注意的几个问题:
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数.
一般地，函数y= kx ＋b (k、b 为常数k ≠０ )叫做一次函数。特别地 当b=0时，函数y= k x (k ≠０ )叫做正比 例函数。
练一练
（1）若y=5x3m-2是正比例函数，m= 1
。
（2）若 y (m 2)xm23 是正比例函数，m= -2 。
变 量 之 间函 的数 关 系
一次函数
(4) y=(x+3)²－x²
(5)y= _x1_²－x
(6) v=8π r²
解: (1)y=3(x-1)²+1
(4) y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2
=3(x2-2x+1)+1
=3x2-6x+3+1 即 y=6x+9
即 y=3x2-6x+4
不是二次函数.
是二次函数.
二次项系数: 3 一次项系数: -6
(2) k为何值时，y是x的二次函数？
Image 解（1）根据题意得
∴k=1时,y是x的一次函数。
2.当x 1时，二次函数y k 2mx3 ( 3 k m)x2 m
4 的值为3 ，求k 2 m2的值。
2
1.下列函数解析式中，一定是二次函数的是（ C ）
A.y 3x 1
B.y ax2 bx c
+(m-3)x+m 是二次函数？
解:由题意得
m2—2m-1=2 m+1 ≠0
∴m=3
注意:二次函数的二次项系数不能为零
驶向胜利 的彼岸
练习1.关于x的函数y (m 1)xm2m
是二次函数, 求m的值.
解: 由题意可得
m2 m 2 m 1 0
解得，m 2 当m 2时，函数为二次函数。
注意:二次函数的二次项系数不能为零
y=ax²+bx+c (a,b,c是常数,a≠ 0)
二次函数的特殊情势：
当b=0时，y=ax²+c 当c=0时，y=ax²+bx 当b=0,c=0时，y=ax²
例下列函数中，哪些是二次函数？若是,分 别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
(1) y=3(x－1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3－2t²
练习2若函数 y (m2 1)xm2m 为二次函数， 求m的值。
解：因为该函数为二次函数，
则
m 2 m 2(1) m 2 1 0(2)
解（1）得：m=2或-1
解（2）得： m 1且m 1
所以m=2
1.已知函数 y (k 2 k)x2 kx 2
No (1) k为何值时，y是x的一次函数？
y=kx+b (k≠0)
正比例函数
y=kx (k≠0)
二次函数
讨论与思考：
1、正方形的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积 为y，显然对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数， 他们的具体关系是可以表示为什么？
y=6x2
x
2、多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
d= 1 n(n-3)
(5)y= _1_ -x x²
常数项: 4
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
不是二次函数. (6) v=8π r² 是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数.
二次项系数: 8π
二次项系数: -2 一次项系数: 0 常数项: 3
一次项系数: 0 常数项: 0
知识运用
例2:m取何值时， 函数y= (m+1)x m2 2m 1