广东省汕头市文光第一初级中学2021-2022学年高二数学理测试题含解析

广东省汕头市文光第一初级中学2021-2022学年高二数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设x＞0,y＞0，，，则M、N的大小关系是（）
A．M＞N B．M＜N C．M≥N D ．M≤N 参考答案：
B
2. 命题“，”的否定是( )
A.，
B.，
C.，
D.不存在，
参考答案：
A
3. 已知命题p：“?x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（）
A．?x∈R，e x﹣x﹣1＞0 B．?x?R，e x﹣x﹣1＞0
C．?x∈R，e x﹣x﹣1≥0D．?x∈R，e x﹣x﹣1＞0
参考答案：
A
【考点】特称命题；命题的否定．
【分析】利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定，可写出命题的否定．
【解答】解：∵命题p：“?x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，
∴命题￢p：?x∈R，e x﹣x﹣1＞0，
故选：A
【点评】题考查特称命题、含逻辑连接词的否定形式，属于基础题．
4. 右图是某算法流程图的一部分，其
算法的逻辑结构为 ( )
（A）顺序结构
（B）判断结构
（C）条件结构
（D）循环结构
参考答案：
D
略
5. 某医疗研究所为了检验新开发的流感疫苗对甲型H1N1流感的预防作用，把1000名注射了疫苗的人与另外1000名未注射疫苗的人的半年的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种疫苗不能起到预防甲型H1N1流感的作用”，并计算出，则下列说法正确的 A．这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的有效率为1％
B．若某人未使用该疫苗，则他在半年中有99％的可能性得甲型H1N1
C．有1％的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”
D．有99％的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”
参考答案：
D
6. 点（-1，2）关于直线y = x-1的对称点的坐标是（）
A．(3,2) B．(-3,-2) C．(-3,2) D．( 3,-2)
参考答案：
D
略
7. 三个共面向量、、两两所成的角相等，且，，，则等于（）
A．或6 B． 6 C．D．3或6
参考答案：
A
略
8. 张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是（）
A. 12
B. 24
C. 36
D. 48
参考答案：
B
分析：先安排首尾的两位家长，再将两个小孩捆绑作为一个整体，与剩下的两位家长作为三个元素安排在中间即可得到结论．
详解：先安排首尾两个位置的男家长，共有种方法；将两个小孩作为一个整体，与剩下的另两位家长安排在两位男家长的中间，共有种方法．由分步乘法计数原理可得所有的排法为种．
故选B．
点睛：求解排列、组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”
9. 甲乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为70%，则甲乙两人下一盘棋，最可能出现的情况是（）
A．甲获胜B．乙获胜C．二人和棋 D．无法判断
参考答案：
C 10. 设a∈R，则a＞1是＜1的（）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
参考答案：
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】计算题．
【分析】判断充要条件，即判断“a＞1?”和“?a＞1”是否成立，可结合y=的图象进行判断
【解答】解：a＞1时，由反比例函数的图象可知，反之若，如a=﹣1，不满足a＞1，
所以a＞1是的充分不必要条件
故选A
【点评】本题考查充要条件的判断，属基本题型的考查，较简单．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知直线过点,直线过点,
若,则常数的值是
.
参考答案：
12. 直线ax﹣2y+2=0与直线x+（a﹣3）y+1=0平行，则实数a的值为．
参考答案：
1
考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．
专题：计算题．
分析： 利用两直线平行的条件，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得实数a 的值． 解答： 解：直线ax ﹣2y+2=0与直线x+（a ﹣3）y+1=0平行，
∴
，解得 a=1．
故答案为 1．
点评： 本题考查两直线平行的条件，利用一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得实数a 的值．
13. 抛物线的焦点坐标是 ；
参考答案： (1/4a,0)
14. 观察下列不等式：
≥
，
≥
，
≥
，…，由此猜测第个不等式为 ；
参考答案：
（
）
略
15. 奇函数f （x ）的定义域为（﹣5，5），若x∈[0，5）时，f （x ）的图象如图所示，则不等式f （x ）＜0的解集为 ．
参考答案：
（﹣2，0）∪（2，5）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】由奇函数的图象关于原点对称便可得出f （x ）在（﹣5，0]上的图象，这样根据f （x ）在（﹣5，5）上的图象便可得出f （x ）＜0的解集．
【解答】解：根据奇函数的图象关于原点对称得出f （x ）在（﹣5，0]上的图象如下所示：
∴f（x ）＜0的解集为（﹣2，0）∪（2，5）． 故答案为：（﹣2，0）∪（2，5）．
16. ＝________.
参考答案：
本题考查定积分
因为
，所以函数
的原函数为
，所以
则
17. 曲线
与轴围成图形的面积等于__________．
参考答案：
．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设函数f （x ）=（x+a ）lnx ，g （x ）=．已知曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线
2x﹣y=0平行．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）是否存在自然数k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数m（x）=min{f（x），g（x）}（min{p，q}表示p，q中的较小值），求m（x）的最大值．
参考答案：
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a=1；
（Ⅱ）求出f（x）、g（x）的导数和单调区间，最值，由零点存在定理，即可判断存在k=1；
（Ⅲ）由（Ⅱ）求得m（x）的解析式，通过g（x）的最大值，即可得到所求．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x+a）lnx的导数为f′（x）=lnx+1+，
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1）=1+a，
由切线与直线2x﹣y=0平行，
则a+1=2，解得a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=（x+1）lnx，f′（x）=lnx+1+，
令h（x）=lnx+1+，h′（x）=﹣=，
当x∈（0，1），h′（x）＜0，h（x）在（0，1）递减，
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）递增．
当x=1时，h（x）min=h（1）=2＞0，即f′（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）递增，即有f（x）在（k，k+1）递增，
g（x）=的导数为g′（x）=，
当x∈（0，2），g′（x）＞0，g（x）在（0，2）递增，
当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）在（2，+∞）递减．
则x=2取得最大值，
令T（x）=f（x）﹣g（x）=（x+1）lnx﹣，T（1）=﹣＜0，T（2）=3ln2﹣＞0，
T（x）的导数为T′（x）=lnx+1+﹣，
由1＜x＜2，通过导数可得lnx＞1﹣，即有lnx+1+＞2；
e x＞1+x，可得﹣＞，
可得lnx+1+﹣＞2+=＞0，
即为T′（x）＞0在（1，2）成立，
则T（x）在（1，2）递增，
由零点存在定理可得，存在自然数k=1，
使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，m（x）=，其中x0∈（1，2），且x=2时，g（x）取得最大值，且为g（2）=，
则有m（x）的最大值为m（2）=．
19. 在ABC中，已知，，，求b及A
参考答案：
解析：∵
=cos
=
=
∴
求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos
∴
解法二：∵sin
又∵＞
＜
∴＜，即＜＜
∴
20. 某省确定从2021年开始，高考采用“3十l+2”的模式，取消文理分科，即“3”包括语文、数学、外语，为必考科目，“1”表示从物理、历史中任选一门；“2”则是从，生物、化学、地理、政治中选择两门，共计六门考试科目．某高中从高一年级2000名学生（其中女生900人）中，采用分层抽样的方法抽取n名学进行讲行调查．
（1）已知抽取的n名学生中含男生110人，求n的值及抽取到的女生人数；
（2）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的以名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目）．下表是根据调查结果得到的2×2列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；
（3）在（2）的条件下，从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人，再从这6名学生中抽取2人，对“物理’’的选课意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率，
附：，其中n＝a+b+c+d．
参考答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
(1)本题可根据分层抽样的相关性质列出等式，即可计算出抽取的总人数，再用抽取的总人数减去男生人数即可得出女生人数；
(2)首先可以根据题意以及(1)中结果将列联表补充完整，然后通过列联表中的数据计算出，即可得出结果；
(3)本题首先可以通过分层抽样的相关性质计算出男生人数以及女生人数，然后写出所有的可能事件以及满足题意“至少有1名女生”的事件，最后通过概率的相关计算公式即可得出结果。

【详解】（1）因，所以，女生人数为.
（2）列联表为：
的观测值，
所以有99.5%的把握认为选择科目与性别有关.
（3）从90个选择物理的学生中采用分层抽样的方法抽6名，
这6名学生中有4名男生，记为、、、；2名女生记为、，
抽取2人所有的情况为、、、、、、、、、、、、、、，共15种，
选取的2人中至少有1名女生情况的有、、、、、、、、，共9种，
故所求概率为。

21. （满分10分）已知：集合A={ x∣2<x≤4},集合B={ x∣2x<3}，求A B
参考答案：
解：由已知得：B={ x∣-1<x<3}……………………5分
∵A={ x∣2<x≤4}
∴A B= { x∣2<x≤4}{ x∣-1<x<3}={ x∣2<x<3}为所求。

10分
略
22. 已知p：，q：.若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
参考答案：
解：：
：
∵是的充分不必要条件，∴，
即
∴且两个等号不同时成立，解得
故实数的取值范围是.。