四川省棠湖中学2018届高三下学期第二次月考数学(理)试题

2018年春四川省棠湖中学高三年级第二学月考试数学（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数2(2)z i =-的虚部为（ ）A ．-4B ．4iC ．4i -D ．32.已知集合22(,)145x y A x y ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，2{(,)|}B x y y x ==，则A B 的子集个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．03.若,x y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．1 C. -2 D ．-14.为弘扬我国优秀的传统文化，市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布(78,16)N .试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（ ）A ．0.13%B ．1.3%C ．3%D ．3.3%参考数据：若2(,)X N μσ ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=.5.一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形， 侧视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于（ ） A ．33 B ．3 C.233D ．26.我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“有个金球里面空，球高尺二厚三分，一寸自方十六两，试问金球几许金？”意思是：有一个空心金球，它的直径12寸，球壁厚0.3寸，1立方寸金重1斤，试问金球重是多少斤？（注3π≈）（ ）A ．125.77B ．864C ．123.23D ．369.69 7.在ABC ∆中，,""B A >是B A sin sin >的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件8.执行下面的程序框图，如果输入1a =，1b =，则输出的S =（ ） A ．7 B ．20 C.22 D ．54 9．若3)4tan(=-πα，则=-αα2cos 32sin =（ ）A ．57 B ．57- C ．4- D ．58- 10.椭圆C ：22143x y +=的左、右顶点分别为1A 、2A ，点P 在C 上，且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）A ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.在ABC ∆中，若23()2||CA AB CB AB AB ⋅+⋅= ，则1tan tan A B+的最小值为（ ） A ．5 B ．25 C ．6 D ．6212.已知A 、B 是函数2,()()(2),()x a e x a f x f a x x a -⎧-≥=⎨-<⎩（其中常数0a >）图象上的两个动点，点(,0)P a ，若PA PB ⋅的最小值为0，则函数()f x 的最大值为（ ）A ．21e -B ．e e -C ．2ee- D ．1e - 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量a ，b 满足a b ⊥ ，||2a = ，|2|23a b +=，则||b = ．14．已知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，且()45f =，若()215f x +<，则x 的取值范围是 ．15.在三角形OPQ 中，M 、N 分别是边OP 、OQ 的中点，点R 在直线MN 上，且OR xOP yOQ =+ (,)x y R ∈，则代数式2212x y x y +--+的最小值为 ．16．设函数()232(0)2f x x ax a =->与()2g x a lnx b =+有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b 的最大值为 .三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；17～21每题12分，选做题10分，共70分）17．（本小题满分12分） 已知函数3()3sin cos 22f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin (3)x π++. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及对称中心；（Ⅱ）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3c =，3()2f C =，且s i n 2s i n B A =，求a ，b 的值.18.（本小题满分12分）1993年，国际数学教育委员会（IC MI ）专门召开过“性别与数学教育”国际研讨会，会议讨论内容之一是视觉和空间能力是否与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选择情况如下表：（单位：人）几何题 代数题 总计 男同学 22 8 30 女同学81220总计 30 20 50（Ⅰ）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（Ⅱ）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5~7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6~8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；（III ）现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生中被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X .附表及公式2()P k k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.879 10.828()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++19.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，且60ABC ∠=，E 是DP 中点.（Ⅰ）证明：//PB 平面ACE ；（Ⅱ）若AP PB =，2AB PC PB ==，求平面EAC 与平面PBC 所成二面角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知长度为32的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上运动，动点P 满足2BP PA =，设动点P 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点(4,0)且斜率不为零的直线l 与曲线C 交于两点M 、N ，在x 轴上是否存在定点T ，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数.若存在，求出定点T 的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由.21．函数()()()21ln 122f x x ax a x a =-++--∈R . （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若0a >，求证：()32f x a≥-.请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x ty t =-⎧⎨=-+⎩（t 为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22sin cos θρθ=.（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求AOB ∆的面积.23.选修4-5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()|1||2|f x x x =++-的最小值为a ． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若p ，q ，r 为正实数，且p q r a ++=，求证：2223p q r ++≥．2018年春四川省棠湖中学高三年级第二学月考试数学（理科）答案一．选择题题号 1 2 3 4 5 6 选项 A A B A C C 题号 7 8 9 10 11 12 选项 CBBDBD二．填空题13.2 14.),23()25,(+∞--∞ 15.4216.221e17．解：（Ⅰ）223ππ()3sin cos sin (3π)3sin cos sin 22f x x x x x x x⎛⎫⎛⎫=-+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭311π1sin 2cos 2sin 222262x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以最小正周期πT =；由π2π6x k k -=∈Z ，，得对称轴中心为ππ1.2122k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，，（Ⅱ）由3()2f C =得π13πsin 2sin 216226C C ⎛⎫⎛⎫-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴，ππ11ππππ0π22666623C C C C <<-<-<-==∵，∴，∴，∴，sin 2sin B A =∵，由正弦定理得2b a =，①由余弦定理22222π2cos 32cos3c a b ab C a b ab =+-=+-，∴，②由①②解得1 2.a b ==，18．（本小题满分12分）解:（1）由表中数据得2K 的观测值2250(221288)50 5.556 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以根据统计有97.5%和空间能力与性别有关. …………3分 （2）设甲，乙解答一道几何题的事件分别为,x y 分钟，则基本事件满足的区域为5768x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，如图所示设事件A 为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为x y >∴由几何概型，得()11112228P A ⨯⨯==⨯，即乙比甲先解答完的概率为18 …………7分（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C =种，其中甲、乙两人没有一个人被抽取到有2615C =种；恰有一人被抽到有112612C C ⋅=；两人都被抽到有221C =种.X ∴可能取值为0,1,2，()15028P X ==，()1231287P X ===，()1228P X == X 的分布列为X 0 1 2P1528 37 128所以()15311012287282E x =⨯+⨯+⨯=． …………12分 19．（Ⅰ）证明：如图3，连接BD ，BD AC F = ，连接EF ，∵四棱锥P ABCD -的底面为菱形， ∴F 为BD 中点，又∵E 是DP 中点， ∴在BDP △中，EF 是中位线，//EF PB ∴，又∵EF ⊂平面ACE ，而PB ⊄平面ACE ，//PB ∴平面ACE ．（Ⅱ）解：如图，取AB 的中点Q ，连接PQ ，CQ ，∵ABCD 为菱形，且60ABC ∠=︒，∴ABC △为正三角形，CQ AB ⊥∴．设2AB PC ==，2AP PB ==∴，3CQ =∴，且PAB △为等腰直角三角形，即90APB ∠=︒， PQ AB⊥，AB ⊥∴平面PQC ，且1PQ =，222PQ CQ CP +=∴，PQ CQ ⊥∴，如图，建立空间直角坐标系，以Q 为原点，BA 所在的直线为x 轴，QC 所在的直线为y 轴，QP 所在的直线为z 轴，则(000)Q ，，，(100)A ，，，(030)C ，，，(001)P ，，，(100)B -，，，(230)D ，，，31122E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，， 31022AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，，，(130)AC =- ，，，(101)PB =-- ，，，(031)PC =- ，，， 设1111()n x y z =，，为平面AEC 的一个法向量， 则1100n AE n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即11113102230y z x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，，可取1(313)n =-，，． 设2222()n x y z =，，为平面PBC 的一个法向量，则2200n PC n PB ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，，即2222300y z x z ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，， 可取2(313)n =-，，．于是121212||5|cos |7||||n n n n n n 〈〉==，． 所以平面EAC 与平面PBC 所成二面角的正弦值为267．20.解：（1）设(,)P x y ，(,0)A m ，(0,)B n ，由于2BP PA =，所以(,)2(,)x y n m x y -=--(22,2)m x y =--，即222x m x y n y =-⎧⎨-=-⎩，所以323m x n y⎧=⎪⎨⎪=⎩，又32AB =，所以2218m n +=，从而2299184x y +=. 即曲线C 的方程为：22182x y +=. （2）由题意设直线l 的方程为：4x my =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，由224182x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(4)880m y my +++=，所以1221222284846432(4)0m y y m y y m m m ⎧+=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪∆=-+>⎪⎩.故1212()8x x m y y +=++2324m =+，21212124()x x m y y m y y =++22648164m m -+=+， 假设存在定点(,0)T t ，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数，则MT NT k k ⋅1212()()y y x t x t =--1221212()y y x x t x x t=-++2228(8)4(4)t m t =-+-.当280t -=，且40t -≠时，MT NT k k ⋅为常数，解得22t =±. 显然当22t =时，常数为3224+；当22t =-时，常数为3224-， 所以存在两个定点1(22,0)T ，2(22,0)T -，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数，当定点为1(22,0)T 时，常数为3224+；当定点为2(22,0)T -时，常数为3224-. 21．解：（Ⅰ）xx ax x x a ax a ax x x f )1)(1(1)1()1(1)(2+-=--+=-++-='． ① 当a ≤0时，0)(<'x f ，则)(x f 在)0(∞+，上单调递减； ② 当0>a 时，由0)(>'x f 解得a x 1>，由0)(<'x f 解得ax 10<<． 即)(x f 在)10(a ，上单调递减；)(x f 在)1(∞+，a上单调递增； 综上，a ≤0时，)(x f 的单调递减区间是)0(∞+，；0>a 时，)(x f 的单调递减区间是)10(a，，)(x f 的单调递增区间是)1(∞+，a．(Ⅱ) 由（Ⅰ）知)(x f 在)10(a ，上单调递减；)(x f 在)1(∞+，a 上单调递增，则121ln )1()(min --==aa a f x f ． 要证)(x f ≥a 23-，即证121ln --a a ≥a 23-，即a ln +11-a ≥0，即证a ln ≥a11-构造函数11ln )(-+=aa a μ，则22111)(a a a a a -=-='μ，由0)(>'a μ解得1>a ，由0)(<'a μ解得10<<a ，即)(a μ在)10(，上单调递减；)(a μ在)1(∞+，上单调递增； ∴ 01111ln )1()(min =-+==μμa ，即11ln -+aa ≥0成立．11 从而)(x f ≥a23-成立． 22．【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由曲线C 的极坐标方程为22sin cos θρθ=，得22cos 2sin ρθρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程是22x y =．由直线l 的参数方程为21x t y t =-⎧⎨=-+⎩，，（t 为参数），得直线l 的普通方程10x y +-=．（Ⅱ）由直线l 的参数方程为21x t y t =-⎧⎨=-+⎩，，（t 为参数），得222212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，，（t 为参数），代入22x y =，得262120t t -+=，设A B ，两点对应的参数分别为12t t ，， 则12126212t t t t +== ，， 所以22121212||||()4(62)41226AB t t t t t t =-=+-=-⨯=，因为原点到直线10x y +-=的距离|1|222d -==， 所以112||263222AOB S AB d ==⨯⨯= △．23.解：（1）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=，当且仅当12x -≤≤时，等号成立， 所以()f x 的最小值等于3，即3a =．（2）由（1）知3p q r ++=，又因为p ，q ，r 是正数，∴22222222()(111)(111)()9p q r p q r p q r ++++≥⨯+⨯+⨯=++=，即2223p q r ++≥．。