2018届高三第一次联考理数学试题(含答案)
2018届高三数学(理)一轮复习考点规范练:第八章立体几何39Word版含解析
2018届高三数学(理)一轮复习考点规范练:第八章立体几何39Word版含解析考点规范练39空间几何体的表面积与体积基础巩固1.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()A.1B.2C.4D.82.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()A.1+B.1+2C.2+D.23.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为()A. B.1 C. D.4.(2016山东,理5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为()A.πB.πC.πD.1+π5.已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为()A. B.4π C.2π D. ?导学号37270348?6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛7.棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积是.8.某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为.9.(2016邯郸一模)已知三棱锥P-ABC内接于球O,PA=PB=PC=2,当三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和最大时,球O的表面积为.?导学号37270349?10.在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形,设点M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P-A1MN的体积是.11.已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20 cm和30 cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高.12.一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为1的平行四边形,侧视图是一个长为、宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的表面积S.能力提升13.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为()A. B. C. D. ?导学号37270350?14.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.+πB.+πC.+2πD.+2π15.(2016浙江,理11)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.16.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F 分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.高考预测17.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥S-ABC的体积为()A.3B.2C.D.1 ?导学号37270351?参考答案考点规范练39空间几何体的表面积与体积1.B解析由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成.∴S表=2r×2r+2r2+πr×2r+4πr2=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2.2.C解析由三视图可得该四面体的直观图如图所示,平面ABD⊥平面BCD,△ABD与△BCD 为全等的等腰直角三角形,AB=AD=BC=CD=取BD的中点O,连接AO,CO,则AO⊥CO,AO=CO=1.由勾股定理得AC=,因此△ABC与△ACD为全等的正三角形,由三角形面积公式得S△ABC=S△ACD=,S△ABD=S△BCD=1,所以四面体的表面积为2+3.C解析由题意知,球心在侧面BCC1B1的中心O上,BC为△ABC所在圆面的直径,所以∠BAC=90°,△ABC的外接圆圆心N是BC的中点,同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中点.设正方形BCC1B1的边长为x,Rt△OMC1中,OM=,MC1=,OC1=R=1(R为球的半径),所以=1,即x=,则AB=AC=1.所以侧面ABB1A1的面积S=1=4.C解析由三视图可知,上面是半径为的半球,体积为V1=,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积V2=1×1=,故选C.5.D解析因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半,所以半径r==1,所以V球=13=故选D.6.B解析设底面圆半径为R,米堆高为h.∵米堆底部弧长为8尺,2πR=8,∴R=∴体积V=πR2h=π5.∵π≈3,∴V(立方尺).∴堆放的米约为22(斛).7.32解析由三视图,可得棱长为4的正方体被平面AJGI截成两个几何体,且J,I分别为BF,DH的中点,如图,两个几何体的体积各占正方体的一半,则该几何体的体积是43=32.8解析由三视图可知,四棱柱高h为1,底面为等腰梯形,且底面面积S=(1+2)×1=,故四棱柱的体积V=S·h=9.12π解析由题意三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,三棱锥P-ABC 的三个侧面的面积之和最大,三棱锥P-ABC的外接球就是它扩展为正方体的外接球,求出正方体的体对角线的长为2,所以球的直径是2,半径为,球的表面积为4π×()2=12π.10解析由题意,可得直三棱柱ABC-A1B1C1如图所示.其中AB=AC=AA1=BB1=CC1=A1B1=A1C1=1.∵M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,∴MN=,NP=1.∴S△MNP=1=∵点A1到平面MNP的距离为AM=,11.解如图所示,三棱台ABC-A1B1C1中,O,O1分别为两底面中心,D,D1分别为BC和B1C1的中点,则DD1为棱台的斜高.由题意知A1B1=20,AB=30,则OD=5,O1D1=,由S侧=S上+S下,得3(20+30)×DD1=(202+302),解得DD1=,在直角梯形O1ODD1中,O1O==4(cm),所以棱台的高为4 cm.12.解(1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底面是边长为1的正方形,高为,所以V=1×1(2)由三视图可知,该平行六面体中,A1D⊥平面ABCD,CD⊥平面BCC1B1,所以AA1=2,侧面ABB1A1,CDD1C1均为矩形.S=2×(1×1+1+1×2)=6+213.A解析如图,分别过点A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,容易求得EG=HF=,AG=GD=BH=HC=,所以S△AGD=S△BHC=1=所以V=V E-ADG+V F-BHC+V AGD-BHC=2V E-ADG+V AGD-BHC=2+1=14.A解析由三视图可知,该几何体是一个组合体,其左边是一个三棱锥,底面是等腰直角三角形(斜边长等于2),高为1,所以体积V1=2×1×1=;其右边是一个半圆柱,底面半径为1,高为2,所以体积V2=π·12·2=π,所以该几何体的体积V=V1+V2=+π.15.7232解析由三视图,可知该几何体为两个相同长方体组合而成,其中每个长方体的长、宽、高分别为4 cm,2 cm,2 cm,所以其体积为2×(2×2×4)=32(cm3).由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形,所以其表面积为2×(2×2×2+4×2×4)-2×(2×2)=72(cm2).16.解(1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH==6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为17.C解析如图,过A作AD垂直SC于D,连接BD.由于SC是球的直径,所以∠SAC=∠SBC=90°.又∠ASC=∠BSC=30°,又SC为公共边,所以△SAC≌△SBC.由于AD⊥SC,所以BD⊥SC.由此得SC⊥平面ABD.所以V S-ABC=V S-ABD+V C-ABD=S△ABD·SC.由于在Rt△SAC中,∠ASC=30°,SC=4,所以AC=2,SA=2由于AD= 同理在Rt△BSC中也有BD=又AB=,所以△ABD为正三角形.所以V S-ABC=S△ABD·SC=()2·sin 60°×4=,所以选C.。
2018年高考全国一卷理科数学答案及解析
2018年普通高等学招生全国统一考试(全国一卷)理科数学参考答案与解析一、选择题:本题有12小题,每小题5分,共60分。
1、设z=,则|z|=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i )i -(,所以|z|=1【考点定位】复数2、已知集合A={x|x 2-x-2>0},则A =A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-1x 2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0},所以{x|-1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是:A 、新农村建设后,种植收入减少。
B 、新农村建设后,其他收入增加了一倍以上。
C 、新农村建设后,养殖收入增加了一倍。
D 、新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
【答案】A【解析】由题可得新农村建设后,种植收入37%*200%=74%>60%,【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列{a n}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d),整理得:2d+3a1=0; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为:A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f(x)为奇函数,有f(x)+f(-x)=0整理得:f(x)+f(-x)=2*(a-1)x2=0 ∴a=1f(x)=x3+x求导f‘(x)=3x2+1f‘(0)=1 所以选D【考点定位】函数性质:奇偶性;函数的导数6、在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=A、--B、--C、-+D、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43)AC 41AB 41(-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图,圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开:注意到B 点在41圆周处。
江苏南京、盐城市2018届高三数学一模试题有答案
江苏南京、盐城市2018届高三数学一模试题(有答案)南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分160分,考试时间120分钟)注意事项:1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分160分,考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分.3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.参考公式:柱体体积公式:,其中为底面积,为高.一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1.已知集合,,则▲.2.设复数为虚数单位),若为纯虚数,则的值为▲.3.为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间,现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查,所得数据均在区间[50,100]上,其频率分布直方图如图所示,则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在(单位:分钟)内的学生人数为▲.4.执行如图所示的伪代码,若,则输出的的值为▲.5.口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中一次随机摸出2个球,则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为▲.6.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则实数的值为▲.7.设函数的值域为,若,则实数的取值范围是▲.8.已知锐角满足,则的值为▲.9.若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是▲.10.设为等差数列的前项和,若的前2017项中的奇数项和为2018,则的值为▲.11.设函数是偶函数,当x≥0时,=,若函数有四个不同的零点,则实数m的取值范围是▲.12.在平面直角坐标系中,若直线上存在一点,圆上存在一点,满足,则实数的最小值为▲.13.如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”.若四点均位于图中的“晶格点”处,且的位置所图所示,则的最大值为▲.14.若不等式对任意都成立,则实数的最小值为▲.二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)15.(本小题满分14分)如图所示,在直三棱柱中,,点分别是的中点.(1)求证:∥平面;(2)若,求证:.16.(本小题满分14分)在中,角的对边分别为已知.(1)若,求的值;(2)若,求的值.17.(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计),一边长为6分米,另一边足够长.现从中截取矩形(如图甲所示),再剪去图中阴影部分,用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示,重叠部分忽略不计),其中是以为圆心、的扇形,且弧,分别与边,相切于点,.(1)当长为1分米时,求折卷成的包装盒的容积;(2)当的长是多少分米时,折卷成的包装盒的容积最大?18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的下顶点为,点是椭圆上异于点的动点,直线分别与轴交于点,且点是线段的中点.当点运动到点处时,点的坐标为.(1)求椭圆的标准方程;(2)设直线交轴于点,当点均在轴右侧,且时,求直线的方程.19.(本小题满分16分)设数列满足,其中,且,为常数.(1)若是等差数列,且公差,求的值;(2)若,且存在,使得对任意的都成立,求的最小值;(3)若,且数列不是常数列,如果存在正整数,使得对任意的均成立.求所有满足条件的数列中的最小值.20.(本小题满分16分)设函数,().(1)当时,若函数与的图象在处有相同的切线,求的值;(2)当时,若对任意和任意,总存在不相等的正实数,使得,求的最小值;(3)当时,设函数与的图象交于两点.求证:.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分(本部分满分40分,考试时间30分钟)21.[选做题](在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)A.(选修4-1:几何证明选讲)如图,已知为⊙的直径,直线与⊙相切于点,垂直于点.若,求切点到直径的距离.B.(选修4-2:矩阵与变换)已知矩阵,求圆在矩阵的变换下所得的曲线方程. C.(选修4-4:坐标系与参数方程)在极坐标系中,直线与曲线()相切,求的值.D.(选修4-5:不等式选讲)已知实数满足,求当取最大值时的值.[必做题](第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)22.(本小题满分10分)如图,四棱锥的底面是菱形,与交于点,底面,点为中点,.(1)求直线与所成角的余弦值;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.23.(本小题满分10分)已知,.(1)求的值;(2)试猜想的表达式(用一个组合数表示),并证明你的猜想.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分. 1.2.13.12004.15.6.67.8.9.10.403411.12.13.2414.100二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15.证明:(1)因为是直三棱柱,所以,且,又点分别是的中点,所以,且.所以四边形是平行四边形,从而.……………4分又平面,平面,所以∥面.……………6分(2)因为是直三棱柱,所以底面,而侧面,所以侧面底面.又,且是的中点,所以.则由侧面底面,侧面底面,,且底面,得侧面.……………8分又侧面,所以.……………10分又,平面,且,所以平面.……………12分又平面,所以.……………14分16.解:(1)因为,则由正弦定理,得. (2)分又,所以,即.……………4分又是的内角,所以,故.……………6分(2)因为,所以,则由余弦定理,得,得.……………10分从而,……………12分又,所以.从而.……………14分17.解:(1)在图甲中,连接交于点.设,在中,因为,所以,则.从而,即.……………2分故所得柱体的底面积.……………4分又所得柱体的高,所以.答:当长为1分米时,折卷成的包装盒的容积为立方分米.…………………6分(2)设,则,所以所得柱体的底面积.又所得柱体的高,所以,其中.…………………10分令,则由,解得.…………………12分列表如下:+0-增极大值减所以当时,取得最大值.答:当的长为2分米时,折卷成的包装盒的容积最大.…………………14分18.解:(1)由,得直线的方程为. (2)分令,得点的坐标为.所以椭圆的方程为.…………………4分将点的坐标代入,得,解得.所以椭圆的标准方程为.…………………8分(2)方法一:设直线的斜率为,则直线的方程为.在中,令,得,而点是线段的中点,所以.所以直线的斜率.………………10分联立,消去,得,解得.用代,得.………………12分又,所以,得.………………14分故,又,解得.所以直线的方程为.………………16分方法二:设点的坐标分别为.由,得直线的方程为,令,得.同理,得.而点是线段的中点,所以,故.…………………10分又,所以,得,从而,解得.…………………12分将代入到椭圆C的方程中,得.又,所以,即,解得(舍)或.又,所以点的坐标为.……………14分故直线的方程为.…………………16分19.解:(1)由题意,可得,化简得,又,所以.………………4分(2)将代入条件,可得,解得,所以,所以数列是首项为1,公比的等比数列,所以.……6分欲存在,使得,即对任意都成立,则,所以对任意都成立.………………8分令,则,所以当时,;当时,;当时,.所以的最大值为,所以的最小值为.………………10分(3)因为数列不是常数列,所以.①若,则恒成立,从而,,所以,所以,又,所以,可得是常数列.矛盾.所以不合题意.………………12分②若,取(*),满足恒成立.………………14分由,得.则条件式变为.由,知;由,知;由,知.所以,数列(*)适合题意.所以的最小值为.………………16分20.解:(1)由,得,又,所以,.当时,,所以,所以.………………2分因为函数与的图象在处有相同的切线,所以,即,解得.………………4分(2)当时,则,又,设,则题意可转化为方程在上有相异两实根. (6)分即关于的方程在上有相异两实根.所以,得,所以对恒成立.………………8分因为,所以(当且仅当时取等号),又,所以的取值范围是,所以.故的最小值为.………………10分(3)当时,因为函数与的图象交于两点,所以,两式相减,得.………………12分要证明,即证,即证,即证.………………14分令,则,此时即证.令,所以,所以当时,函数单调递增.又,所以,即成立;再令,所以,所以当时,函数单调递减,又,所以,即也成立.综上所述,实数满足.………………16分附加题答案21.(A)解:如图,连接,,因为直线与⊙相切于点,所以,又因为垂直于,所以,所以,①在⊙中,所以,②………………5分由①②得,即,又,,所以,所以,又,所以,即到直径的距离为4.………………10分(B)解:设是圆上任意一点,则,设点在矩阵对应的变换下所得的点为,则,即,解得,………………5分代入,得,即为所求的曲线方程.………………10分(C)解:以极点O为原点,极轴为轴建立平面直角坐标系,由,得,得直线的直角坐标方程为.………………5分曲线,即圆,所以圆心到直线的距离为.因为直线与曲线()相切,所以,即.……………10分(D)解:由柯西不等式,得,即.而,所以,所以,………………5分由,得,所以当且仅当时,.所以当取最大值时的值为.………………10分22.解:(1)因为是菱形,所以.又底面,以为原点,直线分别为轴,轴,轴,建立如图所示空间直角坐标系.则,,,,.所以,,,,.则.故直线与所成角的余弦值为.………5分(2),.设平面的一个法向量为,则,得,令,得,.得平面的一个法向量为.又平面的一个法向量为,所以,,.则.故平面与平面所成锐二面角的余弦值为 (10)分23.解:(1)由条件,①,在①中令,得.………………1分在①中令,得,得.………………2分在①中令,得,得.………………3分(2)猜想=(或=).………………5分欲证猜想成立,只要证等式成立.方法一:当时,等式显然成立,当时,因为,故.故只需证明.即证.而,故即证②.由等式可得,左边的系数为.而右边,所以的系数为.由恒成立可得②成立.综上,成立.………………10分方法二:构造一个组合模型,一个袋中装有个小球,其中n个是编号为1,2,…,n的白球,其余n-1个是编号为1,2,…,n-1的黑球,现从袋中任意摸出n个小球,一方面,由分步计数原理其中含有个黑球(个白球)的n个小球的组合的个数为,,由分类计数原理有从袋中任意摸出n个小球的组合的总数为.另一方面,从袋中个小球中任意摸出n个小球的组合的个数为.故,即②成立.余下同方法一.………………10分方法三:由二项式定理,得③.两边求导,得④.③×④,得⑤.左边的系数为.右边的系数为.由⑤恒成立,可得.故成立.………………10分。
山东省淄博市2018届高三下学期第一次模拟考试数学(理)
山东省淄博市2018届高三下学期第一次模拟考试数学(理)淄博市2017-2018学年度高三模拟考试试题理科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若集合 $A=\{x\in N|2x\leq 8\},B=\{0,1,2,3,4\}$,则$A\cap B=$A。
$\{0,1,2,3\}$B。
$\{1,2,3\}$C。
$\{0,1,2\}$D。
$\{0,1,2,3,4\}$2.在复平面内,复数 $z$ 满足 $z(1+i)=1-2i$,则 $z$ 对应的点位于A。
第一象限B。
第二象限C。
第三象限D。
第四象限3.若 $0.43a=3,b=0.4,c=\log_{0.4}3$,则A。
$b<a<c$B。
$c<a<b$XXX<c<b$D。
$c<b<a$4.若 $\sin2\alpha=\frac{\sin(\alpha-\pi/2)}{2\cos(\alpha+\pi/2)}$,则 $\sin\alpha$ 的值为A。
$\frac{5}{7}$B。
$\frac{5}{3}$C。
$-\frac{3}{5}$D。
$-\frac{5}{3}$5.已知某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是A。
$\frac{2}{3}$B。
$\frac{5}{6}$C。
$1$D。
$2$6.设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量 $X$,且$X\sim N(800,502)$。
记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 $2X\sim N(\mu,\sigma^2)$ 的概率为 $p$,则 $p$ 的值为(参考数据:若 $P(\mu-\sigma<X\leq\mu+\sigma)=0.6826$,$P(\mu-2\sigma<X\leq\mu+2\sigma)=0.9544$,$P(\mu-3\sigma<X\leq\mu+3\sigma)=0.9974$)A。
高考数学考点导数的几何意义以及应用#
考点09 导数的几何意义以及应用【高考再现】热点一导数的几何意义1.<2018年高考<课标文))曲线在点(1,1>处的切线方程为________2.<2018年高考<广东理))曲线在点处的切线方程为_______________【答案】【解读】,所以切线方程为,即.热点二导数的几何意义的应用3.<2018年高考<重庆理))设其中,曲线在点处的切线垂直于轴.(Ⅰ> 求的值。
(Ⅱ> 求函数的极值.【解读】(1>因,故因为曲线在点处的切线垂直于轴,故该切线斜率为0,即4.<2018年高考<山东文))已知函数为常数,e=2.71828是自然对数的底数>,曲线在点处的切线与x轴平行.(Ⅰ>求k的值。
(Ⅱ>求的单调区间。
(Ⅲ>设,其中为的导函数.证明:对任意.5.<2018年高考<湖北文))设函数,为正整数,为常数, 曲线在处的切线方程为.(1>求的值。
(2>求函数的最大值。
(3>证明:.【点评】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解函数的极值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值,最值等。
另外,要注意含有等的函数求导的运算及其应用考查.6.<2018年高考<北京文))已知函数(>,.(1>若曲线与曲线在它们的交点(1,>处具有公共切线,求的值。
(2>当时,求函数在区间上的最大值为28,求的取值范围.当时,函数在区间上的最大值小于28.因此,的取值范围是7.<2018年高考<北京理))已知函数(>,.(1>若曲线与曲线在它们的交点(1,>处具有公共切线,求的值。
2018年高三北京市朝阳区2018届高三(一模)数学
理科数学 2018年高三北京市朝阳区2018届高三(一模)数学(理)试题解析单选题略略略略略略略略填空题略略略略略略略略略略略略单选题(本大题共8小题,每小题____分,共____分。
)1.已知全集为实数集,集合,,则A.B.C.D.2.复数满足,则在复平面内复数所对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.直线的参数方程为(为参数),则的倾斜角大小为A.C.D.4.已知为非零向量,则“”是“与夹角为锐角”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班,每天有且只有1人值班,每人至少安排一天且甲连续两天值班,则不同的安排方法种数为A.B.C.D.6.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于A.C.D.7.庙会是我国古老的传统民俗文化活动,又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动,如“砸金蛋”(游玩者每次砸碎一颗金蛋,如果有奖品,则“中奖”).今年春节期间,某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会,每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前,甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测,预测结果如下:甲说:“我或乙能中奖”;乙说:“丁能中奖”;丙说:“我或乙能中奖”;丁说:“甲不能中奖”.游戏结束后,这四位同学中只有一位同学中奖,且只有一位同学的预测结果是正确的,则中奖的同学是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁8.在平面直角坐标系xOy中,已知点,,动点满足,其中,则所有点构成的图形面积为A.B.C.D.填空题(本大题共12小题,每小题____分,共____分。
)9.执行如图所示的程序框图,若输入,则输出的值为________.10.若三个点中恰有两个点在双曲线上,则双曲线的渐近线方程为_____________.11.函数()的部分图象如图所示,则____;函数在区间上的零点为____.12.已知点,若点是圆上的动点,则面积的最小值为____.13.等比数列满足如下条件:①;②数列的前项和.试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式____.14.已知,函数当时,函数的最大值是____;若函数的图象上有且只有两对点关于轴对称,则的取值范围是____.15. (本小题满分13分)在中,已知,.(Ⅰ)若,求的面积;(Ⅱ)若为锐角,求的值.16.(本小题满分14分)如图1,在矩形中,,,为的中点,为中点.将沿折起到,使得平面平面(如图2).(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;(Ⅲ)在线段上是否存在点,使得平面若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.17.(本小题满分13分)某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.例如,学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目,则学生甲的选考方案确定,“物理、化学和生物”为其选考方案.某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向,随机选取30名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:(Ⅰ)估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人(Ⅱ)假设男生、女生选择选考科目是相互独立的.从选考方案确定的8位男生中随机选出1人,从选考方案确定的10位女生中随机选出1人,试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率;(Ⅲ)从选考方案确定的8名男生中随机选出2名,设随机变量求的分布列及数学期望.18. (本小题满分13分)已知函数.(Ⅰ)当时,(ⅰ)求曲线在点处的切线方程;(ⅱ)求函数的单调区间;(Ⅱ)若,求证:.19. (本小题满分14分)已知椭圆的离心率为,且过点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点,直线过坐标原点且与直线的斜率互为相反数.若直线与椭圆交于两点且均不与点重合,设直线与轴所成的锐角为,直线与轴所成的锐角为,判断与大小关系并加以证明.20. (本小题满分13分)已知集合是集合的一个含有8个元素的子集.(Ⅰ)当时,设,(i)写出方程的解;(ii)若方程至少有三组不同的解,写出的所有可能取值;(Ⅱ)证明:对任意一个,存在正整数,使得方程至少有三组不同的解.答案单选题1. C2. A3. C4. B5. B6. D7. A8. C 填空题9.410.11.12.213.14.15.(Ⅰ)由,得,因为,所以.因为,所以.故的面积.………………….7分(Ⅱ)因为,且为锐角,所以.所以.………….13分16.(Ⅰ)由已知,因为为中点,所以.因为平面平面,且平面平面,平面,所以平面.又因为平面,所以.………….5分(Ⅱ)设为线段上靠近点的四等分点,为中点.由已知易得.由(Ⅰ)可知,平面,所以,.以为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系(如图).因为,,所以.设平面的一个法向量为,因为,所以即取,得.而.所以直线与平面所成角的正弦值……….10分(Ⅲ)在线段上存在点,使得平面.设,且,则,.因为,所以,所以,所以,.若平面,则.即.由(Ⅱ)可知,平面的一个法向量,即,解得,所以当时,平面.……….14分17.(Ⅰ)由题可知,选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人,选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人,该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有人.……….3分(Ⅱ)由数据可知,选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为;选考方案确定的10位女生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为.所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为.…….8分(Ⅲ)由数据可知,选考方案确定的男生中有4人选择物理、化学和生物;有2人选择物理、化学和历史;有1人选择物理、化学和地理;有1人选择物理、化学和政治.由已知得的取值为.,,或.所以的分布列为12所以.…….13分18.当时,..(ⅰ)可得,又,所以在点()处的切线方程为. ….3分(ⅱ)在区间()上,且,则.在区间()上,且,则.所以的单调递增区间为(),单调递减区间为(). ….8分(Ⅱ)由,,等价于,等价于. 设,只须证成立.因为,,由,得有异号两根.令其正根为,则.在上,在上.则的最小值为.又,,所以.则.因此,即.所以所以.….….13分19.Ⅰ)由题意得解得,,.故椭圆的方程为.….….5分(Ⅱ).证明如下:由题意可设直线的方程为,直线的方程为,设点,,,.要证,即证直线与直线的斜率之和为零,即.因为.由得,所以,.由得,所以.所以..所以.….….14分20.(Ⅰ)(ⅰ)方程的解有:. (2)分(ii)以下规定两数的差均为正,则:列出集合的从小到大8个数中相邻两数的差:1,3,2,4,2,3,1;中间隔一数的两数差(即上一列差数中相邻两数和):4,5,6,6,5,4;中间相隔二数的两数差:6,9,8,9,6;中间相隔三数的两数差:10,11,11,10;中间相隔四数的两数差:12,14,12;中间相隔五数的两数差:15,15;中间相隔六数的两数差:16这28个差数中,只有4出现3次、6出现4次,其余都不超过2次,所以的可能取值有4,6.…………………………………………………………6分(Ⅱ)证明:不妨设,记,,共13个差数.假设不存在满足条件的,则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6,从而. …………①又,这与①矛盾!所以结论成立.……………………………………………………………………13分解析单选题略略略略略略略略填空题略略略略略略略略略略略略。
山东省临沂市2018届高考数学一模试卷(理科)Word版含解析
山东省临沂市2018届高考一模试卷(理科数学)一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,集合A={﹣1,1},B={1,4},则A∩(∁U B)=()A.{﹣1,1} B.{﹣1}C.{1}D.∅2.已知数据x1,x2,x3,…,x50,500(单位:公斤),其中x1,x2,x3,…,x50,是某班50个学生的体重,设这50个学生体重的平均数为x,中位数为y,则x1,x2,x3,…,x50,500这51个数据的平均数、中位数分别与x、y比较,下列说法正确的是()A.平均数增大,中位数一定变大B.平均数增大,中位数可能不变C.平均数可能不变,中位数可能不变D.平均数可能不变,中位数可能变小3.设随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),则函数f(x)=x2+2x+ξ不存在零点的概率为()A.B.C.D.4.已知a∈R,则“a<1”是“|x﹣2|+|x|>a恒成立”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.定义min,则由函数f(x)的图象与x轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为()A.B.C.D.6.已知点F1,F2为双曲线的左,右焦点,点P在双曲线C的右支上,且满足|PF2|=|F1F2|,∠F1F2P=120°,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.7.如图所示的程序框图,输出S的值为()A.B.C.D.8.已知x,y∈R,且满足,则z=|x+2y|的最大值为()A.10 B.8 C.6 D.39.如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形,NB=2PN,则三棱锥N﹣PAC与三棱锥D﹣PAC 的体积比为()A.1:2 B.1:8 C.1:6 D.1:310.已知抛物线x2=4y,直线y=k(k为常数)与抛物线交于A,B两个不同点,若在抛物线上存在一点P(不与A,B重合),满足,则实数k的取值范围为()A.k≥2 B.k≥4 C.0<k≤2 D.0<k≤4二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.已知i是虚数单位,m,n∈R,且m+2i=2﹣ni,则的共轭复数为_______.12.二项式的展开式中,常数项等于_______(用数字作答).13.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)是偶函数,它的部分图象如图所示.M是函数f(x)图象上的点,K,L是函数f(x)的图象与x轴的交点,且△KLM为等腰直角三角形,则f(x)=_______.14.若a>0,b>0,则的最小值是_______.15.定义在区间[x1,x2]上的函数y=f(x)的图象为C,M是C上任意一点,O为坐标原点,设向量,且实数λ满足x=λx1+(1﹣λ)x2,此时向量.若|≤K恒成立,则称函数y=f(x)在区间[x1,x2]上可在标准K下线性近似,其中K是一个确定的实数.已知函数f(x)=x2﹣2x在区间[1,2]上可在标准K下线性近似,那么K 的最小值是_______.三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知函数f(x)=sin2wx﹣sin2(wx﹣)(x∈R,w为常数且<w<1),函数f(x)的图象关于直线x=π对称.(I)求函数f(x)的最小正周期;(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,f(A)=.求△ABC面积的最大值.17.为迎接2022年北京冬奥会,推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动,该滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为,;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为,;两人滑雪时间都不会超过3小时.(Ⅰ)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;(Ⅱ)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ.求ξ的分布列与数学期望E(ξ).18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BCA=45,AP=AD=AC=2,E为PA的中点.(Ⅰ)设面PAB∩面PCD=l,求证:CD∥l;(Ⅱ)求二面角B﹣CE﹣D的余弦值.19.已知等差数列{a n}的公差d=2,其前n项和为S n,数列{a n}的首项b1=2,其前n项和为T n,满足.(Ⅰ)求数列{a n}、{b n}的通项公式;(Ⅱ)求数列{|a n b n﹣14|}的前n项和W n.20.已知椭圆E: +=1,A、B分别是椭圆E的左、右顶点,动点M在射线1:x=4(y>0)上运动,MA交椭圆E于点P,MB交椭圆E于点Q.(1)若△MAB垂心的纵坐标为﹣4,求点的P坐标;(2)试问:直线PQ是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.21.已知函数f(x)=sinx﹣ax.(Ⅰ)对于x∈(0,1),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围;(Ⅱ)当a=1时,令h(x)=f(x)﹣sinx+lnx+1,求h(x)的最大值;(Ⅲ)求证:.山东省临沂市2018届高考一模试卷(理科数学)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,集合A={﹣1,1},B={1,4},则A∩(∁U B)=()A.{﹣1,1} B.{﹣1}C.{1}D.∅【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】求出全集中y的值确定出U,再由B利用补集的定义求出B的补集,找出A与B补集的交集即可.【解答】解:由全集U中y=log2x,x=,1,2,16,得到y=﹣1,0,1,4,即全集U={﹣1,0,1,4},∵A={﹣1,1},B={1,4},∴∁U B={﹣1,0},则A∩(∁U B)={﹣1},故选:B.2.已知数据x1,x2,x3,…,x50,500(单位:公斤),其中x1,x2,x3,…,x50,是某班50个学生的体重,设这50个学生体重的平均数为x,中位数为y,则x1,x2,x3,…,x50,500这51个数据的平均数、中位数分别与x、y比较,下列说法正确的是()A.平均数增大,中位数一定变大B.平均数增大,中位数可能不变C.平均数可能不变,中位数可能不变D.平均数可能不变,中位数可能变小【考点】众数、中位数、平均数.【分析】根据平均数与中位数的定义,分析这组数据,即可得出正确的结论.【解答】解:根据题意得,数据x1,x2,x3,…,x50,是某班50个学生的体重,其平均数应在50公斤左右,再增加一个数据500,这51个数据的平均数一定增大,而中位数有可能不变,如:按大小顺序排列后,第25、26个数据相等时,其中位数相等.故选:B.3.设随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),则函数f(x)=x2+2x+ξ不存在零点的概率为()A.B.C.D.【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义;函数的零点;古典概型及其概率计算公式.【分析】函数f(x)=x2+2x+ξ不存在零点,可得ξ>1,根据随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),可得曲线关于直线x=1对称,从而可得结论.【解答】解:∵函数f(x)=x2+2x+ξ不存在零点,∴△=4﹣4ξ<0,∴ξ>1∵随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),∴曲线关于直线x=1对称∴P(ξ>1)=故选C.4.已知a∈R,则“a<1”是“|x﹣2|+|x|>a恒成立”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】要判断“a<1”是“|x﹣2|+|x|>a恒成立”的条件,我们可先构造函数y=|x﹣2|+|x|并求出函数的值域,然后转化为一个恒成立的判断与性质问题,最后结合充要条件的定义,进行判断.【解答】解:函数y=|x﹣2|+|x|的值域为[2,+∞)则当a<1时,|x﹣2|+|x|>a恒成立反之若,|x﹣2|+|x|>a,则说明a小于函数y=|x﹣2|+|x|的最小值2恒成立,即a<2故“a<1”是“|x﹣2|+|x|>a恒成立”的充分不必要条件故选:A.5.定义min,则由函数f(x)的图象与x轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为()A.B.C.D.【考点】定积分在求面积中的应用.【分析】根据题目给出的函数定义,写出分段函数f(x)=min{x2, },由图象直观看出所求面积的区域,然后直接运用定积分求解阴影部分的面积.【解答】解:由=x2,得:x=1,又当x<0时,<x2,所以,根据新定义有f(x)=min{x2, }=,图象如图,所以,由函数f(x)的图象与x轴、x=2直线所围成的封闭图形为图中阴影部分,其面积为S=x2dx+dx=|+lnx|=+ln2,故选:C.6.已知点F1,F2为双曲线的左,右焦点,点P在双曲线C的右支上,且满足|PF2|=|F1F2|,∠F1F2P=120°,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.【考点】双曲线的简单性质.【分析】运用余弦定理可得|PF1|=2c,再由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a,即为2c﹣2c=2a,运用离心率公式计算即可得到所求值.【解答】解:由题意可得|PF2|=|F1F2|=2c,∠PF2F1=120°,即有|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|cos∠PF2F1=4c2+4c2﹣2•4c2•(﹣)=12c2,即有|PF1|=2c,由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a,即为2c﹣2c=2a,即有c=a,可得e==.故选:A.7.如图所示的程序框图,输出S的值为()A.B.C.D.【考点】程序框图.【分析】题目给出了当型循环结构框图,首先引入累加变量s和循环变量n,由判断框得知,算法执行的是求2n cosnπ的和,n从1取到100,利用等比数列求和公式即可计算得解.【解答】解:通过分析知该算法是求和2cosπ+22cos2π+23cos3π+…+2100cos100π,由于2cosπ+22cos2π+23cos3π+…+2100cos100π=﹣2+22﹣23+24﹣…+2100==.故选:C.8.已知x,y∈R,且满足,则z=|x+2y|的最大值为()A.10 B.8 C.6 D.3【考点】简单线性规划.【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值.【解答】解:作出不等式组,对应的平面区域如图:(阴影部分)由z=|x+2y|,平移直线y=﹣x+z,由图象可知当直线y=﹣x﹣z经过点A时,z取得最大值,此时z最大.即A(﹣2,﹣2),代入目标函数z=|x +2y |得z=2×2+2=6 故选:C .9.如图,四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为平行四边形,NB=2PN ,则三棱锥N ﹣PAC 与三棱锥D ﹣PAC 的体积比为( )A .1:2B .1:8C .1:6D .1:3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】根据两个棱锥的底面和高与棱锥P ﹣ABC 的底面与高的关系得出两棱锥的体积与棱锥P ﹣ABC 的关系,得出答案.【解答】解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴S △ABC =S △ACD . ∴V D ﹣PAC =V P ﹣ACD =V P ﹣ABC .∵NB=2PN ,∴NB=PB ,∴V N ﹣ABC =V P ﹣ABC ,∴V N ﹣PAC =V P ﹣ABC ﹣V N ﹣ABC =V P ﹣ABC .∴.故选:D .10.已知抛物线x 2=4y ,直线y=k (k 为常数)与抛物线交于A ,B 两个不同点,若在抛物线上存在一点P(不与A ,B 重合),满足,则实数k 的取值范围为( ) A .k ≥2 B .k ≥4 C .0<k ≤2 D .0<k ≤4 【考点】抛物线的简单性质.【分析】由题意可得设A(2,k),B(﹣2,k),P(m,),运用向量的数量积的坐标表示,由换元法可得二次方程,由判别式大于等于0和两根非负的条件,运用韦达定理,解不等式即可得到所求范围.【解答】解:由y=k(k>0),代入抛物线x2=4y,可得x=±2,可设A(2,k),B(﹣2,k),P(m,),由,可得(2﹣m,k﹣)•(﹣2﹣m,k﹣)=0,即为(2﹣m)(﹣2﹣m)+(k﹣)2=0,化为m4+m2(1﹣)+k2﹣4k=0,可令t=m2(t≥0),则t2+t(1﹣)+k2﹣4k=0,可得△=(1﹣)2﹣(k2﹣4k)≥0,即1≥0恒成立,由韦达定理可得﹣(1﹣)≥0,k2﹣4k≥0,解得k≥4.故选:B.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.已知i是虚数单位,m,n∈R,且m+2i=2﹣ni,则的共轭复数为i.【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数相等,求出m,n然后求解复数的代数形式.【解答】解:m,n∈R,且m+2i=2﹣ni,可得m=2,n=﹣2,====﹣i.它的共轭复数为i.故答案为:i.12.二项式的展开式中,常数项等于1215(用数字作答).【考点】二项式定理.【分析】在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于0,求出r的值,即可求得常数项【解答】解:展开式的通项公式为,由6﹣3k=0得k=2,所以常数项为,故答案为1215.13.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)是偶函数,它的部分图象如图所示.M是函数f(x)图象上的点,K,L是函数f(x)的图象与x轴的交点,且△KLM为等腰直角三角形,则f(x)=cosπx.【考点】正弦函数的图象.【分析】由函数的最值求出A,由函数的奇偶性求出φ的值,由周期求出ω,可得函数的解析式.【解答】解:由题意可得A=,φ=2kπ+,k∈Z,再结合0<φ<π,可得φ=,函数f(x)=sin(ωx+)=cosωx.再根据•=,可得ω=π,函数f(x)=cosπx,故答案为:cosπx.14.若a>0,b>0,则的最小值是2+3.【考点】基本不等式.【分析】化简可得=++3,从而利用基本不等式求解即可.【解答】解:=2+++1=++3≥2+3,(当且仅当=,即a=b时,等号成立);故答案为:2+3.15.定义在区间[x1,x2]上的函数y=f(x)的图象为C,M是C上任意一点,O为坐标原点,设向量,且实数λ满足x=λx1+(1﹣λ)x2,此时向量.若|≤K恒成立,则称函数y=f(x)在区间[x1,x2]上可在标准K下线性近似,其中K是一个确定的实数.已知函数f(x)=x2﹣2x在区间[1,2]上可在标准K下线性近似,那么K的最小值是.【考点】向量的线性运算性质及几何意义.【分析】y N﹣y M=λf(x1)+(1﹣λ)f(x2)﹣+2[λx1+(1﹣λ)x2]=,由题意可得:=|y N﹣y M|=||≤|λ(1﹣λ)|,再利用基本不等式的性质即可得出.【解答】解:y N﹣y M=λf(x1)+(1﹣λ)f(x2)﹣+2[λx1+(1﹣λ)x2]=+﹣+2[λx1+(1﹣λ)x2]=,|x1﹣x2|≤|1﹣2|=1,由题意可得:=|y N﹣y M|=||≤|λ(1﹣λ)|≤=,由于|≤K恒成立,∴,∴K的最小值为.故答案为:.三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知函数f(x)=sin2wx﹣sin2(wx﹣)(x∈R,w为常数且<w<1),函数f(x)的图象关于直线x=π对称.(I)求函数f(x)的最小正周期;(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,f(A)=.求△ABC面积的最大值.【考点】正弦函数的图象;三角函数中的恒等变换应用.【分析】(1)化简f(x),根据对称轴求出ω,得出f(x)的解析式,利用周期公式计算周期;(2)由f(A)=解出A,利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值,代入面积公式得出面积的最大值.【解答】解:(I)f(x)=cos2ωx﹣[﹣cos(2ωx﹣)]=cos(2ωx﹣)﹣cos2ωx=﹣cos2ωx+sin2ωx=sin(2ωx﹣).令2ωx﹣=+kπ,解得x=.∴f(x)的对称轴为x=,令=π解得ω=.∵<w<1,∴当k=1时,ω=.∴f (x )=sin (x ﹣).∴f (x )的最小正周期T=.(2)∵f ()=sin (A ﹣)=,∴sin (A ﹣)=.∴A=.由余弦定理得cosA===.∴b 2+c 2=bc +1≥2bc ,∴bc ≤1.∴S △ABC ==≤.∴△ABC 面积的最大值是.17.为迎接2022年北京冬奥会,推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动,该滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为,;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为,;两人滑雪时间都不会超过3小时.(Ⅰ)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;(Ⅱ)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ.求ξ的分布列与数学期望E (ξ). 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】(Ⅰ)甲、乙两人所付费用相同即为0,40,80元,求出相应的概率,利用互斥事件的概率公式,可求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;(Ⅱ)确定变量的取值,求出相应的概率,即可求得ξ的分布列与数学期望. 【解答】解:(Ⅰ)甲、乙两人所付费用相同即为0,40,80元.…都付0元的概率为P 1==,都付40元的概率为P 2==,都付80元的概率为P 3=(1﹣)(1﹣)=,故所付费用相同的概率为P=P 1+P 2+P 3=.(Ⅱ)由题意甲、乙两人所付的滑雪费用之和ξ的可能取值为0,40,80,120,160,P (ξ=0)==,P (ξ=40)==,P (ξ=80)=+=,P (ξ=120)=+=,P (ξ=160)=(1﹣)(1﹣)=,ξ 0 40 80 120 160数学期望E (ξ)=+=80.18.如图,在四棱锥P ﹣ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,AC ⊥AD ,AB ⊥BC ,∠BCA=45,AP=AD=AC=2,E 为PA 的中点.(Ⅰ)设面PAB ∩面PCD=l ,求证:CD ∥l ; (Ⅱ)求二面角B ﹣CE ﹣D 的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法;棱锥的结构特征. 【分析】(Ⅰ)根据线面平行的判定定理以及性质定理即可证明CD ∥l ;(Ⅱ)建立空间直角坐标系,求出对应平面的法向量,利用向量法进行求解即可. 【解答】证明:(Ⅰ)取CD 的中点H ,∵AC ⊥AD ,AB ⊥BC ,∠BCA=45,AP=AD=AC=2, ∴AH ⊥CD ,∠CAH=∠CAB=45°, 即∠BAH=90°,即四边形ABCH 是矩形, 则AB ∥CH ,AB ∥CD∵CD ⊄面PAB ,AB ⊂面PAB , ∴CD ∥面PAB ,∵CD ⊂面PCD ,面PAB ∩面PCD=l , ∴根据线面平行的性质得CD ∥l .(Ⅱ)∵AC=2,∴AB=BC=AH=,DH=,建立以A 为原点,AH ,AB ,AP 分别为x ,y ,z 轴的空间直角坐标系如图:则A (0,0,0),B (0,,0),C (,,0),P (0,0,2),E (0,0,1),D (,﹣,0),=(﹣,﹣,1),=(,0,0),=(0,﹣2,0)设平面BPC的一个法向量为=(x,y,z),则,则x=0,令y=,则z=2,即=(0,,2),设平面PCD的一个法向量为=(x,y,z),,则y=0,令x=,则z=2,=(,0,2),则cos<,>====,即二面角B﹣CE﹣D的余弦值是.19.已知等差数列{a n}的公差d=2,其前n项和为S n,数列{a n}的首项b1=2,其前n项和为T n,满足.(Ⅰ)求数列{a n}、{b n}的通项公式;(Ⅱ)求数列{|a n b n﹣14|}的前n项和W n.【考点】数列的求和;等差数列的通项公式.【分析】(I)由,可得=T1+2=22,解得a1.利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得a n,S n.可得2n+1=T n+2,利用递推关系可得b n.(II)令c n=a n b n﹣14=(2n﹣1)•2n﹣14.可得:c1=﹣12,c2=﹣2,n≥3,c n>0.n≥3,W n=c1+c2+…+c n ﹣2c1﹣2c2.W n=1×2+3×22+…+(2n﹣1)2n﹣14n+28,令Q n=1×2+3×22+…+(2n﹣1)2n,利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.【解答】解:(I)∵,∴=T1+2=2+2=4=22,∴+1=2,解得a1=1.∴a n=1+(n﹣1)×2=2n﹣1.∴S n==n2.∴2n+1=T n+2,∴当n≥2时,2n+1﹣2n=T n+2﹣(T n+2)=b n,﹣1∴b n=2n,当n=1时也成立.∴b n=2n.(II)令c n=a n b n﹣14=(2n﹣1)•2n﹣14.∴c1=﹣12,c2=﹣2,n≥3,c n>0.∴n≥3,W n=﹣c1﹣c2+c3+…+c n=c1+c2+…+c n﹣2c1﹣2c2.W n=1×2+3×22+…+(2n﹣1)2n﹣14n+28,令Q n=1×2+3×22+…+(2n﹣1)2n,2Q n=1×22+3×23+…+(2n﹣3)•2n+(2n﹣1)•2n+1,∴﹣Q n=2(2+22+…+2n)﹣2﹣(2n﹣1)•2n+1=2×﹣2﹣(2n﹣1)•2n+1=(3﹣2n)•2n+1﹣6,∴Q n=(2n﹣3)•2n+1+6.∴W n=.20.已知椭圆E: +=1,A、B分别是椭圆E的左、右顶点,动点M在射线1:x=4(y>0)上运动,MA交椭圆E于点P,MB交椭圆E于点Q.(1)若△MAB垂心的纵坐标为﹣4,求点的P坐标;(2)试问:直线PQ是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)设M(4,m),由A(﹣2,0),B(2,0),垂心H(4,﹣4),由BH⊥MA,运用直线斜率公式和斜率之积为﹣1,可得m,再由直线MA与椭圆求得交点P;(2)设M(4,m),由A(﹣2,0),B(2,0),可得MA的方程为y=(x+2),代入椭圆方程,运用韦达定理,解得P的坐标;同理求得Q的坐标,运用直线的斜率公式可得PQ的斜率,由点斜式方程可得PQ的方程,再由恒过定点思想,即可得到所求定点.【解答】解:(1)设M(4,m),由A(﹣2,0),B(2,0),垂心H(4,﹣4),由BH⊥MA,可得k BH•k MA=﹣1,即有•=﹣1,可得m=,由MA的方程:y=(x+2),代入椭圆方程,可得8x2+4x﹣48=0,解得x=﹣2,或,即有P(,);(2)设M(4,m),由A(﹣2,0),B(2,0),可得MA的方程为y=(x+2),代入椭圆方程,可得(36+m2)x2+4m2x+8m2﹣288=0,由﹣2x P=,可得x P=,y P=(x P+2)=;又MB:y=(x﹣2),代入椭圆方程,可得(4+m2)x2﹣4m2x+8m2﹣32=0,由2+x Q=,可得x Q=,y Q=(x Q﹣2)=﹣,即有直线PQ的斜率为k==,则直线PQ:y﹣=(x﹣),化简即有y=(x﹣1),由x﹣1=0,解得x=,y=0.故直线PQ恒过定点(,0).21.已知函数f(x)=sinx﹣ax.(Ⅰ)对于x∈(0,1),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围;(Ⅱ)当a=1时,令h(x)=f(x)﹣sinx+lnx+1,求h(x)的最大值;(Ⅲ)求证:.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式求出a的范围即可;(Ⅱ)求出h(x)的导数,解关于导函数的不等式求出h(x)的单调区间,从而求出h(x)的最大值即可;(Ⅲ)构造函数f(x)=ln(1+x)﹣x,利用导数法可证得ln(1+x)≤x(当x≠0时,ln(1+x)<x),令x=,利用对数函数的运算性质及累加法求和即可证得结论成立.【解答】解:(Ⅰ)f(x)=sinx﹣ax,f′(x)=cosx﹣a,若对于x∈(0,1),f(x)>0恒成立,即a<cosx在(0,1)恒成立,故a≤0;(Ⅱ)a=1时,h(x)=lnx﹣x+1,(x>0),h′(x)=﹣1=,令h′(x)>0,解得:0<x<1,令h′(x)<0,解得:x>1,∴h(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减,∴h(x)的最大值是h(1)=0;证明:(Ⅲ)构造函数g(x)=ln(1+x)﹣x,则g′(x)=﹣1=,当﹣1<x<0时,g′(x)>0,g(x)在(﹣1,0)上单调递增;当x>0时,g′(x)<0,g(x)在(0,+∞)上单调递减;所以,当x=0时,g(x)=ln(1+x)﹣x取得极大值,也是最大值,所以,g(x)≤g(0)=0,即ln(1+x)≤x,当x≠0时,ln(1+x)<x.令x=,则ln(1+)=ln(n+1)﹣lnn<,即ln(n+1)﹣lnn<,∴ln2﹣ln1<1,ln3﹣ln2<,…,lnn﹣ln(n﹣1)<,ln(n+1)﹣lnn<,以上n个不等式相加得:ln(n+1)﹣ln1<1+++…+,即.。
21 平面向量中最值、范围问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板含解析
【高考地位】平面向量中的最值和范围问题,是一个热点问题,也是难点问题,这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围,如:向量的模、数量积、夹角及向量的系数.解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系,通过函数的值域解决问题,同时,平面向量兼具“数”与“形”的双重身份,解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合.在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题,其试题难度属中高档题. 【方法点评】方法一 利用基本不等式求平面向量的最值使用情景:一般平面向量求最值问题解题模板:第一步 利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系;第二步 运用基本不等式求其最值问题; 第三步 得出结论。
例1.已知点A 在线段BC 上(不含端点),O 是直线BC 外一点,且20OA aOB bOC --=,则221a ba b b+++的最小值是___________ 【答案】222例2 如右图所示,已知点G 是ABC ∆的重心,过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,N M 两点,且,AM x AB AN y AC ==,则2x y +的最小值为( )A .2B .13C .3223+ D .34【答案】C【变式演练1】如图所示,已知点G 是ABC ∆的重心,过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点,且,AM x AB AN y AC ==,则x y +的最小值为( )A .2B .13C .43D .34【答案】CMNA BGQ考点:向量共线,基本不等式求最值【变式演练2】已知点A(1, 1),B(4,0),C(2,2).平面区域D由所有满足AP AB ACλμ=+(1≤≤a,1≤≤b)的点P(x,y)组成的区域.若区域D的面积为8,则a+b的最小值为.【答案】4考点:1、平面向量的线性运算;2、基本不等式. 【变式演练3】平行四边形ABCD 中,60,1,2,BAD AB AD P ∠===为平行四边形内一点,且22AP =,若),(R AD AB AP ∈+=μλμλ,则2u λ+的最大值为 . 6【解析】试题分析:对),(R AD AB AP ∈+=μλμλ两边平方可得()()22AP AB AD λμ=+可化为222222APAB AB AD ADλλμμ=+⋅⋅+,据已知条件可得22122λμ=+≥,即λμ≤,又()22212223λλμ=++=+≤,则λ+≤. 考点:向量的数量积运算;基本不等式方法二 利用向量的数量积m n m n ⋅≤求最值或取值范围使用情景:涉及数量积求平面向量最值问题解题模板:第一步 运用向量的加减法用已知向量表示未知向量;第二步 运用向量的数量积的性质求解; 第三步 得出结论。
2018年高考(四川省)真题数学(理)试题及答案解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科(四川卷)参考答案第I 卷(选择题 共50分)一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合2{|20}A x x x =--≤,集合B 为整数集,则A B ⋂=A .{1,0,1,2}-B .{2,1,0,1}--C .{0,1}D .{1,0}-【答案】A2.在6(1)x x +的展开式中,含3x 项的系数为A .30B .20C .15D .10【答案】C3.为了得到函数sin(21)y x =+的图象,只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A .向左平行移动12个单位长度B .向右平行移动12个单位长度 C .向左平行移动1个单位长度 D .向右平行移动1个单位长度【答案】A4.若0a b >>,0c d <<,则一定有A .a b c d > B .a b c d < C .a b d c > D .a b d c< 【答案】D5.执行如图1所示的程序框图,如果输入的,x y R ∈,则输出的S 的最大值为A .0B .1C .2D .3【答案】C6.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有A .192种B .216种C .240种D .288种【答案】B7.平面向量a=(1,2), b=(4,2), c=ma+b (m R ∈),且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角,则m =A .2-B .1-C .1D .2【答案】D8.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点O 为线段BD 的中点。
设点P 在线段。
高三数学全真模拟考试试题(一)理(含解析)
荆州中学2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(模拟一)选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合,则A、 B、C、 D、【答案】D【解析】【分析】分别求出集合,,再利用交集定义就可求出结果【详解】则故选【点睛】本题主要考查了集合的交集及其运算,属于基础题、2、欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里特别重要,被誉为“数学中的天桥"、依照欧拉公式可知,表示的复数位于复平面中的A、第一象限 B。
第二象限 C、第三象限 D、第四象限【答案】B【解析】【分析】由欧拉公式(为虚数单位)可得:,再利用诱导公式化简,即可得到答案【详解】由欧拉公式(为虚数单位)可得:表示的复数对应的点为,此点位于第二象限故选【点睛】本题主要考查的是欧拉公式的应用,诱导公式,复数与平面内的点的一一对应关系,考查了学生的运算能力,转化能力。
3、要得到函数的图象,只需将函数的图象A。
向左平移个周期B、向右平移个周期C、向左平移个周期D、向右平移个周期【答案】D【解析】【分析】利用函数的图象变换规律,三角函数的周期性,得出结果【详解】将函数的图象向右平移个单位,可得的图象,即向右平移个周期故选【点睛】本题考查了三角函数图像的平移,运用诱导公式进行化简成同名函数,然后运用图形平移求出结果,本题较为基础。
4。
某地区空气质量监测表明,一天的空气质量为优良的概率是,连续两天为优良的概率是,已知某天的空气质量为优良,则随后一天空气质量为优良的概率是A。
B。
C、 D、【答案】A【解析】试题分析:记“一天的空气质量为优良”,“第二天空气质量也为优良”,由题意可知,因此,故选A、考点:条件概率。
视频5、如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体各面中直角三角形的个数是A、 2 B。
高考数学母题题源系列专题07三角函数图像与应用理
考点:三角函数性质
10.【江苏省启东中学高三上学期期中模拟数学试卷】将函数 ( )的图象,向左平移 个单位,得到 函数的图象,若 在 上为增函数,则 的最大值为_____ _____.
【答案】
考点:三角函数图像及性质
【母题原题4】【2016江苏,理14】在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是▲.
【答案】8
【考点】三角恒等变换,切的性质应用
【名师点睛】消元与降次是高中数学中的主旋律,利用三 角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口,斜三角形 中恒有 ,这类同于正、余弦定理,是一个关于切的等量关系,平时应多总结积累常见的三角恒等变形,提高转化问题能力,培养消元意识.此类问题的求解有两种思路:一是边化角,二是角化边.
7.求解三角函数对称性的方法:
(1)求函数 的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题:①由 的对称中心是 , ,所以 的中心,由方程 解出 即可;②因为 的对称轴是 , ,所以可由 解出 ,即为函数 的对称轴;注意 的对称中心为 ;
(2) 对于函数 ,其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函 数的零点,因此在判 断直线 或点 是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验 的值进行判断.
【命题规律】1.高考对三角函数的图象与性质的考查往往集中于正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质;函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质,主要考查三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶性、最值、对称性、图象平移及变换等).
2.高考中主要涉及如下题型:(1)考查周期、单调性、极 值等简单性质;(2)考查与三角函数有关的零点问题;(3)考查图象的识别.
【考点】两角和正切公式
2018届吉林省长春市普通高中高三一模考试数学试题卷
2018届吉林省长春市普通高中高三一模考试题数学试题卷(理科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设为虚数单位,则(?1+2i)(2?i)=()A. 5iB. ?5iC. 5D. -5【答案】A【解析】由题意可得:(?1+2i)(2?i)=?2+4i+i?2i2=5i.本题选择A选项.2. 集合{a,b,c}的子集的个数为()A. 4B. 7C. 8D. 16【答案】C【解析】集合{a,b,c}含有3个元素,则其子集的个数为23=8.本题选择C选项.3. 若图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y关于测试序号x的函数图像,为了容易看出一个班级的成绩变化,将离散的点用虚线连接,根据图像,给出下列结论:①一班成绩始终高于年级平均水平,整体成绩比较好;②二班成绩不够稳定,波动程度较大;③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平,但在稳步提升.其中正确结论的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】通过函数图象,可以看出①②③均正确.故选D.4. 等差数列{a n}中,已知|a6|=|a11|,且公差d>0,则其前n项和取最小值时的n的值为()A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】因为等差数列中,,所以,有,所以当时前项和取最小值.故选C......................5. 已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图,则其中位数和众数分别为()A. 95,94B. 92,86C. 99,86D. 95,91【答案】B【解析】由茎叶图可知,中位数为92,众数为86. 故选B.6. 若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=?√3x上,则角α的取值集合是()A. {α|α=2kπ?π3,k∈Z} B. {α|α=2kπ+2π3,k∈Z}C. {α|α=kπ?2π3,k∈Z} D. {α|α=kπ?π3,k∈Z}【答案】D【解析】因为直线y=?√3x的倾斜角是2π3,所以终边落在直线y=?√3x上的角的取值集合为{α|α=kπ?π3,k∈Z}或者{α|α=kπ+2π3,k∈Z}.故选D.7. 已知x>0,y>0,且4x+y=xy,则x+y的最小值为()A. 8B. 9C. 12D. 16【答案】B【解析】由题意可得:4y +1x=1,则:x+y=(x+y)(4y +1x)=5+4xy+yx≥5+2√4xy×yx=9,当且仅当x=3,y=6时等号成立,综上可得:则x+y的最小值为9.本题选择B选项.点睛:在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误.8. 《九章算术》卷五商功中有如下问题:今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何.刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图,设网格纸上每个小正方形的边长为1丈),那么该刍甍的体积为()A. 4立方丈B. 5立方丈C. 6立方丈D. 12立方丈【答案】B【解析】由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥,三棱柱的体积为3,四棱锥的体积为2,则刍甍的体积为5.故选B.9. 已知矩形ABCD的顶点都在球心为O,半径为R的球面上,AB=6,BC=2√3,且四棱锥O?ABCD的体积为8√3,则R等于()A. 4B. 2√3C. 4√7D. √139【答案】A【解析】由题意可知球心到平面ABCD的距离 2,矩形ABCD所在圆的半径为2√3,从而球的半径R=4.故选A.10. 已知某算法的程序框图如图所示,则该算法的功能是()A. 求首项为1,公差为2的等差数列前2017项和B. 求首项为1,公差为2的等差数列前2018项和C. 求首项为1,公差为4的等差数列前1009项和D. 求首项为1,公差为4的等差数列前1010项和【答案】C【解析】由题意可知S=1+5+9+?+4033,为求首项为1,公差为4的等差数列的前1009项和.故选C.点睛:算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项.11. 已知O为坐标原点,设F1,F2分别是双曲线x2?y2=1的左、右焦点,点P为双曲线上任一点,过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线,垂足为H,则|OH|=()A. 1B. 2C. 4D. 12【答案】A【解析】延长交于点,由角分线性质可知根据双曲线的定义,,从而,在中,为其中位线,故.故选A.点睛:对于圆锥曲线问题,善用利用定义求解,注意数形结合,画出合理草图,巧妙转化.12. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+π)=f(?x),当x∈[0,π2]时,f(x)=√x,则函数g(x)=(x?π)f(x)?1在区间[?3π2,3π]上所有零点之和为()A. πB. 2πC. 3πD. 4π【答案】D【解析】f(x+π)=f(−x)=?f(x)?T=2π,g(x)=(x−π)f(x)−1=0?f(x)=1x?π作图如下:,四个交点分别关于(π,0)对称,所以零点之和为2×2π=4π,选D.点睛:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 已知角α,β满足?π2<α?β<π2,0<α+β<π,则3α?β的取值范围是__________.【答案】(?π,2π)【解析】结合题意可知:3α?β=2(α?β)+(α+β),且:2(α?β)∈(?π,π),(α+β)∈(0,π),利用不等式的性质可知:3α−β的取值范围是(−π,2π).点睛:利用不等式性质求某些代数式的取值范围时,多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围.解决此类问题一般是利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围,是避免错误的有效途径.14. 已知平面内三个不共线向量a ⃑,b ⃑⃑,c ⃑两两夹角相等,且|a ⃑|=|b ⃑⃑|=1,|c ⃑|=3,则|a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑|=__________. 【答案】2【解析】因为平面内三个不共线向量a ⃑,b ⃑⃑,c ⃑两两夹角相等,所以由题意可知,a ⃑,b ⃑⃑,c ⃑的夹角为120°,又知|a ⃑|=|b ⃑⃑|=1,|c ⃑|=3,所以a ⃑.b ⃑⃑=?12 ,a ⃑?c ⃑=b ⃑⃑?c ⃑=?32,|a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑|= √1+1+9+2×(?12)+2×(?32)+2×(?32)=2 故答案为2.15. 在ΔABC 中,三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若(12b?sinC)cosA =sinAcosC ,且a =2√3,ΔABC 面积的最大值为__________. 【答案】3√3【解析】由(12b −sinC)cosA =sinAcosC 可得12bcosA =sin (A +C )=sinB ,cosA2=sinB b=sinA a,得 tanA =√3,A =π3,由余弦定理12=b 2+c 2?bc ≥2bc?bc =bc , ΔABC 面积的最大值为12×12×√32=3√3,当且仅当b =c 时取到最大值,故答案为3√3.【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式,属于难题.在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外,恒等变形过程中,一般来说 ,当条件中同时出现ab 及b 2 、a 2 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 16. 已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形,则圆锥体积的最大值为__________. 【答案】2√3π【解析】设圆锥的底面半径为R ,由题意可得其体积为:V =13Sℎ=13×πR 2×√9?R 2=2π×√R 2×R 2×(9?R 2)=23π×3√3=2√3π.当且仅当R =√6时等号成立.综上可得圆锥体积的最大值为2√3π.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17. 已知数列{a n}的前n项和S n=2n+1+n?2.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n=log2(a n?1),求证:1b1b2+1b2b3+1b3b4+?+1b n b n+1<1.【答案】(Ⅰ)a n=2n+1;(Ⅱ)证明见解析.【解析】试题分析:(Ⅰ)利用已知条件,推出新数列是等比数列,然后求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)化简b n=log2(a n?1)=log22n=n,则1b n b n+1=1n−1n+1,利用裂项相消法和,再根据放缩法即可证明结果.试题解析:(Ⅰ)由{S n=2n+1+n−2S n−1=2n+(n−1)−2(n≥2),则a n=2n+1(n≥2). 当n=1时,a1=S1=3,综上a n=2n+1.(Ⅱ)由b n=log2(a n−1)=log22n=n.1 b1b2+1b2b3+1b3b4+...+1b n b n+1=11×2+12×3+13×4+...+1n(n+1)=(1−12)+(12−13)+(13−14)+...+(1n−1n+1)=1−1n+1<1. 得证.18. 长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉,在我市推出的第二季名师云课中,数学学科共计推出36节云课,为了更好地将课程内容呈现给学生,现对某一时段云课的点击量进行统计:(Ⅰ)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节,求选出的点击量超过3000的节数.(Ⅱ)为了更好地搭建云课平台,现将云课进行剪辑,若点击量在区间[0,1000]内,则需要花费40分钟进行剪辑,若点击量在区间(1000,3000]内,则需要花费20分钟进行剪辑,点击量超过3000,则不需要剪辑,现从(Ⅰ)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑,求剪辑时间X的分布列与数学期望.【答案】(Ⅰ)2;(Ⅱ)1003.【解析】试题分析:(Ⅰ)因为 36节云课中采用分层抽样的方式选出6节,所以12节应选出12×636=2节;(Ⅱ)X的所有可能取值为0,1,2,3,根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率,从而可得分布列,由期望公式可得结果..试题解析:(Ⅰ)根据分层抽样,选出的6节课中有2节点击量超过3000. (Ⅱ)X的可能取值为0,20,40,60P(X=0)=1C62=115P(X=20)=C31C21C62=615=25P(X=40)=C21+C32C62=515=13P(X=60)=C31C62=315=15则X的分布列为0 20 40 60即EX=1003.19. 如图,四棱锥P?ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(Ⅰ)证明:PB∥平面AEC;(Ⅱ)设PA=1,∠ABC=60°,三棱锥E?ACD的体积为√38,求二面角D?AE?C的余弦值.【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)√1313.【解析】试题分析:(Ⅰ) )连接BD交AC于点O,连接OE,根据中位线定理可得PB//OE,由线面平行的判定定理即可证明PB//平面AEC;(Ⅱ)以点A为原点,以AM方向为x轴,以AD方向为y轴,以AP方向为z轴,建立空间直角坐标系,分别求出平面CAE与平面DAE的一个法向量,根据空间向量夹角余弦公式,可得结果.试题解析:(Ⅰ)连接BD交AC于点O,连接OE在△PBD中,PE =DEBO =DO }?PB//OE OE?平面ACE PB?平面ACE}?PB//平面ACE(Ⅱ)V P−ABCD =2V P−ACD =4V E−ACD =√32,设菱形ABCD 的边长为aV P−ABCD =13S ?ABCD ?PA =13×(2×√34a 2)×1=√32,则a =√3.取BC 中点M ,连接AM .以点A 为原点,以AM 方向为x 轴,以AD 方向为y 轴,以AP 方向为z 轴, 建立如图所示坐标系.D(0,√3,0),A(0,0,0),E(0,√32,12),C(32,√32,0) AE⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(0,√32,12),AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(32,√32,0), n 1⃑⃑⃑⃑⃑=(1,−√3,3),n 2⃑⃑⃑⃑⃑=(1,0,0) cosθ=|n1⃑⃑⃑⃑⃑⃑?n 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑||n 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑|?|n 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=√1+3+9=√1313, 即二面角D −AE −C 的余弦值为√1313.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离. 20. 已知椭圆C 的两个焦点为F 1(?1,0),F 2(1,0),且经过点E(√3,√32).(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过F 1的直线与椭圆C 交于A,B 两点(点A 位于x 轴上方),若AF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λF 1B ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑,且2≤λ<3,求直线的斜率k 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)x 24+y 23=1;(Ⅱ)0<k ≤√52. 【解析】试题分析:(1)由题意可得a =2,c =1,b =√3,则椭圆方程为x 24+y 23=1. (2)联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理得到关于实数k 的不等式,求解不等式可得直线的斜率k 的取值范围是k=√52. 试题解析:(1)由椭圆定义2a =|EF 1|+|EF 2|=4,有a =2,c =1,b =√3,从而x 24+y 23=1.(2)设直线l:y =k (x +1)(k >0),有{y =k (x +1)x 24+y 23=1 ,整理得(3k 2+4)y 2−6k y −9=0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),有y 1=−λy 2,y 1y 2=−λ(1−λ)2(y 1+y 2)2,(1−λ)2λ=43+4k 2,λ+1λ−2=43+4k 2, 由于2≤λ<3,所以12≤λ+1λ−2<43,12≤43+4k 2<43,解得0<k ≤√52. 3+4k 2=8,k =±√52,由已知k =√52.21. 已知函数f (x )=e x ,g (x )=ln (x +a )+b .(Ⅰ)若函数f (x )与g (x )的图像在点(0,1)处有相同的切线,求a,b 的值; (Ⅱ)当b =0时,f (x )?g (x )>0恒成立,求整数a 的最大值;(Ⅲ)证明:ln2+(ln3?ln2)2+(ln4?ln3)3 +?+[ln(n +1)?lnn]n <ee?1. 【答案】(Ⅰ)1,1;(Ⅱ)2;(Ⅲ)证明见解析.【解析】试题分析:(Ⅰ)求出f′(x )与g′(x ),由f(1)=g(1)且f ′(1)=g ′(1)解方程组可求a,b 的值;(Ⅱ)f (x )−g (x )>0恒成立等价于e x ≥ln(x +a)恒成立,先证明当a ≤2时恒成立,再证明a ≥3时不恒成立,进而可得结果;(Ⅲ))由e x >ln(x +2),令x =−n+1n,即e−n+1n>ln(−n+1n+2),即e −n+1>ln n (−n+1n+2),令n =1,2,3,4... ,各式相加即可得结果.试题解析:(Ⅰ)由题意可知,f(x)和g(x)在(0,1)处有相同的切线, 即在(0,1)处f(1)=g(1)且f ′(1)=g ′(1), 解得a =1,b =1.(Ⅱ)现证明e x ≥x +1,设F(x)=e x −x −1, 令F ′(x)=e x −1=0,即x =0,因此F(x)min =F(0)=0,即F(x)≥0恒成立, 即e x ≥x +1, 同理可证lnx ≤x −1.由题意,当a ≤2时,e x ≥x +1且ln(x +2)≤x +1,即e x ≥x +1≥ln(x +2), 即a =2时,f(x)−g(x)>0成立.当a ≥3时,e 0<lna ,即e x ≥ln(x +a)不恒成立. 因此整数a 的最大值为2. (Ⅲ)由e x >ln(x +2),令x =−n+1n,即e−n+1n>ln(−n+1n+2),即e −n+1>ln n (−n+1n+2)由此可知,当n =1时,e 0>ln2, 当n =2时,e −1>(ln3−ln2)2, 当n =3时,e −2>(ln4−ln3)3, ……当n =n 时,e −n+1>[ln(n +1)−lnn]n .综上:e 0+e −1+e −2+...+e −n+1>ln2+(ln3−ln2)2+(ln4−ln3)3+...+[ln(n +1)−lnn]n11−1e>e 0+e −1+e −2+...+e −n+1>ln2+(ln3−ln2)2+(ln4−ln3)3+...+[ln (n +1)−lnn ]n .即ln2+(ln3−ln2)2+(ln4−ln3)3+...+[ln(n +1)−lnn]n <ee−1.(二)选考题:请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22. 选修4-4:坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点P 的直角坐标为(1,2),点M 的极坐标为(3,π2),若直线过点P ,且倾斜角为π6,圆C 以M 圆心,3为半径. (Ⅰ)求直线的参数方程和圆C 的极坐标方程; (Ⅱ)设直线与圆C 相交于A,B 两点,求|PA|?|PB|. 【答案】(Ⅰ){x =1+√32ty =2+12t(t 为参数),ρ=6sinθ;(Ⅱ)7. 【解析】试题分析:(1)根据直线参数方程形式直接写出直线的参数方程,根据直角三角形关系得ρ=6sinθ,即为圆C 的极坐标方程(2)利用ρsinθ=y,x 2+y 2=ρ2将圆C 的极坐标方程化为直接坐标方程,将直线参数方程代入,利用韦达定理及参数几何意义得|PA |?|PB |=|t 1t 2|=7 试题解析:(Ⅰ)直线的参数方程为{x =1+√32t,y =2+12t, (t 为参数), 圆的极坐标方程为ρ=6sinθ .(Ⅱ)把{x =1+√32t,y =2+12t,代入x 2+(y −3)2=9,得t 2+(√3−1)t −7=0, ∴t 1t 2=−7,设点A,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则|PA |=|t 1|,|PB |=|t 2|,|PA |?|PB |=7. 23. 选修4-5:不等式选讲设不等式||x +1|?|x?1||<2的解集为A .(Ⅰ)求集合A ;(Ⅱ)若a,b,c ∈A ,求证:|1?abcab?c |>1.【答案】(Ⅰ){x|?1<x <1};(Ⅱ)证明见解析.【解析】试题分析:(1)根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组,分别求解,最后求并集(2)利用分析法证明,将所求不等式转化为(1−a 2b 2)(1−c 2)>0,再根据a,b,c ∈A ,证明(1−a 2b 2)(1−c 2)>0试题解析:(1)由已知,令f(x)=|x +1|−|x −1|={2(x ≥1)2x(−1<x <1)−2(x ≤−1)由|f(x)|<2得A ={x|−1<x <1}.(2)要证|1−abcab−c |>1,只需证|1−abc|>|ab −c|,只需证1+a 2b 2c 2>a 2b 2+c 2,只需证1−a 2b 2>c 2(1−a 2b 2)只需证(1−a 2b 2)(1−c 2)>0,由a,b,c ∈A ,则(1−a 2b 2)(1−c 2)>0恒成立.点睛:(1)分析法是证明不等式的重要方法,当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系,较难发现条件和结论之间的关系时,可用分析法来寻找证明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.(2)利用综合法证明不等式,关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.。
2017-2018学年安徽省合肥八中、淮南二中等十校联考高三第一学期摸底数学试卷(理科)〖详解wor
百度文库一一让每个人平等地提升自我2021-2021学年安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等十校联考高三第一学期摸底数学试卷〔理科〕、选择题:本大题共 12个小题,每题 5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只 有一项为哪一项符合题目要求的1. (5 分)设集合 A={x|x2 —4x+3<0}, B = {x|3x―6>0},那么 AAB=()A . (-2, 1)B. (-2, 3)C. (1, 2)D, (2, 3)2. (5分)i 是虚数单位,假设复数(1-mi) (1 + i)的实部与虚部相等,那么实数m=()A . - 1B. 0C. 1D. 23. (5分)向量□= (3, -2), b= (1, -4),假设向量4^+b 与a -止平行,那么实数 入中生有一颗类似芦苇的植物,露出水面一尺,假设把它引向岸边,正好与岸边齐〔如图所 示〕,问水有多深,该植物有多长?其中一丈为十尺.假设从该葭上随机取一点,那么该点取 自水下的概率为〔〕“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何.〞其意思是:有一水池一丈见方,池 5. 〔5分〕?九章算术?勾股章有一 “引葭赴岸〞问题:那么 f (iog25)=()L1B.二(5分)函数 =3 x+0 ) (A>0, 3>.,假设将函数f 〔x 〕的图象向左平移 g-个单位,那么所得图象对应的函数可以为〔6. 102〔5分〕函数1+工 ,|X |<1,其中 a>0 且 awl,假设 f ( — 1) =f (2),7. 8. 〔5分〕执行如下图的程序框图,那么输出的〔5分〕假设实数x, yi 的值为〔C. 6击的最小值是〔D -1D. 79.10的图象如下图,»A • 尸-2si 门〔2x1 J : 〕 B- 尸2sin ⑵।手 〕4冗 耳冗C.二 一 ,n :二门,'D. 一「一 一 1 门 i 一 二H:—:10. 〔5分〕假设两个正实数 x, y 满足/L ■+ :=1,且 4+去-6冗恒成立,那么实数 m 的取值范围是〔 〕 A. 〔-8, 2〕 B.〔-巴 8〕 U 〔 2, +8〕 C. 〔-2, 8〕D. 〔-8, - 2〕 U 〔8, +8〕11. 〔5分〕在平面直角坐标系 xOy 中,点A 〔-1, 1〕在抛物线 C: x 2= ay 〔aw0〕上,抛 物线C 上异于点A 的两点P, Q 满足的二黑赢〔入<0〕,直线OP 与QA 交于点R, △ PQR 和△ PAR 的面积满足Sh PQR = 3S APAR ,那么点P 的横坐标为〔 〕 A.-4B. - 2C. 2D. 412. 〔5分〕函数f 〔x 〕 = 〔 1+ax+x 2〕 e x -x 2,假设存在正数x0,使得f〔x0〕< 0,那么实数a 的取值范围是〔 〕 A. [e- 2, +8〕B, 〔-8, e- 2]C. [—-2,D. 〔-co,工-2]ee二、填空题〔每题 5分,,茜分20分,将答案填在做题纸上〕13. 〔5分〕在〔x-2〕 8 〔x+1〕的展开式中,x7的系数为 .〔用数字作答〕 14. 〔5分〕k 可-2, - 1],那么双曲线x 2+ky 2=1的离心率的取值范围是15. 〔5分〕某三棱锥的三视图如下图,那么该三棱锥的四个面中最大的面积为俯视图一*、一一、八一、、“一… ,,」a1,a2,…,an 〔nC N 〕满足 an+an+1 = an+2+an+3,就称该数列为相侧视图16. 〔5分〕假设有穷数列邻等和数列〞,各项都为正整数的数列 {an }是项数为8的“相邻等和数列〞 =8, a2+a3=9,那么满足条件的数列{an }有 个.三、解做题〔本大题共 6小题,共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤 .〕17. 〔10分〕递增的等比数列 {an }和等差数列{bn },满足ai+a4=18, a2a3=32, b2是 ai 和a2的等差中项,且b3=a3- 3.〔I 〕求数列{an }和{bn }的通项公式;(I )求AC, CD 的长;[60, 70), [70, 80), [80, 90), [90 , 100]分组,得到如下图的频率分布直方图.〔I 〕假设同一组数据用该组区间的中点值代表,估计参加这次知识竞赛的学生的平均成 绩;〔n 〕估计参加这次知识竞赛的学生成绩的中位数〔结果保存一位小数〕;〔出〕假设规定80分以上〔含80分〕为优秀,用频率估计概率,从全体参赛学生中随机 抽取3名,记其中成绩优秀的人数为E,求E 的分布列与期望.,且 ai+a2(□)假设 ,求数列{Cn }的前n 项和Sn.18. (12 分)如图,在^ ABC 中,C= — 456,COS -ZADB=-Z -. 、J 5 ,不•西=48,点D 在BC 边上,且 AD =19. 〔12分〕2021年?诗词大会?火爆荧屏,某校为此举办了一场主题为“爱诗词、爱祖国〞 的诗词知识竞赛,从参赛的全体学生中抽出60人的成绩作为样本.对这 60名学生的成绩进行统计,并按[40, 50〕, [50, 60〕, (n)求 cos/ BAD 的值.20. (12分)在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,AC=AB, PA ,平面 ABCD ,E, F 分别是AB, PD 的中点.(n)假设 AB=2AP=2,求平面PAD 与平面PCE 所成锐二面角的余弦值.21. (12分)椭圆Ci :(a>b>O )的离心率为—,椭圆Ci 截直线y=x 所得的b 22弦长为织〞.过椭圆Ci 的左顶点A 作直线l 与椭圆交于另一点 M,直线l 与圆C2: (x5-4) 2+y 2=r 2 (r>0)相切于点 N. (I )求椭圆C1的方程;(n)右AN=^MN ,求直线।的方程和圆C2的半径r. 22. (12 分)设函数 f(K )=-^^-+x-a+2(a6R) .(I)当曲线y = f (x)在点(1, f (, 1))处的切线与直线 y=x 垂直时,求a 的值; (n)假设函数尸(力二£(*)记一有两个零点,求实数 a 的取值范围.成绩(I )求证:AF//平面 PCE;4x2021-2021学年安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等十校联考高三第一学期摸底数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1 .【解答】解:求解不等式可得:A={x|1<x<3}, B={x|x>2},A n B= {x|2v xv 3},写为区间的形式即(2, 3).应选:D.2 .【解答】解:♦「( 1-mi) (1 + i) = 1 + m+ (1 - m) i的实部与虚部相等,-- 1 + m= 1 - m,解得m=0.应选:B.3 .【解答]解:4 为+b=4 (3, — 2) + (1, — 4) = (13, —12),己一入b= (3—入,—2+4 X),;向量4a+b与0—北平行,13 (—2+4 A +12 (3— X) =0,解得上一工.4应选:C.4 .【解答】解:由题意知,函数f (x)的定义域为(-8, 0) U (0, +8),:•一_「,,.Jn Jk A L Jite -e e -e・♦・函数f (x)是偶函数,排除C、D;又f(l)二一排除B,e-e应选:A.5 .【解答】解:设水深为x尺,那么(x+1) 2=x2+52,解得x=12,即水深12尺.又葭长13尺,…_ 一一1 2那么所求概率:,6 .【解答】解::函数f(x)=,1+工,其中a>0且aw 1,.••f ( - 1) = ----------- W ----- =且,f (2) = a2,1+ C-l)2 2•••f (― 1) =f (2), •••包工〞,2 S解得a= ',2log14"f (log25) = (1) 1.叼5=普)2 =±应选:D.7 .【解答] 解:当S= 0, i=1时,不满足S> 1,那么S=9, i = 2; -w-当S= —, i= 2 时,不满足S> 1,那么S= —, i = 3;2 4当S= —, i= 3 时,不满足S> 1,那么S= —, i = 4;4 12当S=HL, i = 4时,不满足S> 1,那么S=筌,i = 5;12 24当S=2», i=5 时,满足S>1,24故输出的i值为5,应选:B.8 .【解答】解:作出实数x, y满足〞对应的平面区域如图:L设z=3±£=1+X二二,那么z的几何意义为过Q ( - 1, 1)的直线的斜率加1;z+1 x+1由图象可知当直线经过点A时,直线QBA的斜率最小,G二1 1 91q由, ,解得A (1, 3),此时QA的斜率k=-7—= 4,[x=2y 2 1+1 4应选:C.根据余弦函数图象:工卫2" 8' B 2解得:T=兀. 利用周期公式:- ,■ 3解得:3=2.根据函数的图象,当 x='L 时,二o ,8 8贝u : 2?工f K kn+三〔k Cz 〕,82解得:氏kn+W-〔k &〕. 4由于回|<-^-, 解得0=21, 4 那么:., 「ill.,将函数f 〔X 〕的图象向左平移 三个单位,2得到। ,,整理得:g 〔i 〕=-2sin 〔2x-4^〕. 应选:A.【解答】解::Vx+Wy=〔Vx+Wy 〕〕〔JL+3〕 当x=4y,即x=36且y=9时,虫后取最小值16. <4+4>々>3-6口恒成立,贝U 16>m 2-6m,解关于m 的不等式可得-2vmv8, 应选:C.11 .【解答】解:,一点A (― 1, 1)在抛物线 C: x 2= ay (aw0)上,,a= 19. 10 【解答】 解:根据余弦函数的图象的对称性求得: A=2,>16,••・抛物线方程为:x2=y.•••抛物线C上异于点A的两点P, Q满足而工£了(入<0),直线OP与QA交于点R,可得图形如下,且OA//PQ, (P在第二象限).,「koA=-1,可设PQ 的方程为:y= - x+b, P (x1, y1), Q (x2, y2)OA II PQ, S AF AQ=S;A POQ, ? S A PAR= S A ORQ•--S APQR=3S A PRA,'-S A PQR=3S A ORQ••.PR: OR=3: 1? OA: PQ = 1: 3PQ= 30A = 3&由,r= *+b得x% b=o,JX可x1+x2= — 1, x1x2= - bPQ=<1 + 1 ./"])2_4"卜’=3,厄,解得b= 2可得P ( - 2, 4)12 .【解答】解:当a=- 2 时,函数f (x) = ( 1 - 2x+x2) ex-x2,显然x=1 时,f (1)=-1<0,满足题意,排除选项A, C.当2 = 3- 2 时,函数 f (x) = ( ex+1 — 2x+x2) e' — x2= (1—x) 2ex+ e^〔x — x2= (1—x)2ex+x (ex+1- x),x>0时,(1-x) 2ex>0, x (e x+1-x) >0,所以不存在满足题意的正数xo,使得f (xo) <0,排除选项B.应选:D.填空题〔每题 5分,?茜分20分,将答案填在做题纸上〕「2?22-「1?2=96. 故答案为:96.其焦点在x 轴上,2其标准方程为 箕2茎「二1, k 、21其离心率e 2= £—2a又由 kq-2, - 1], 那么有 Wwe 2w2, 2 即丞wg 加,2故答案为: 曲,收•【解答】解:由题意知,该三棱锥的直观图如图中的A- BCD 所示,那么$ABCD 至黑1 X 2二1,江的而乂近X 2=V^,①好匚至乂在X 1=^故其四个面中最大的面积为可得:a2= 8 - a, a3=1+a, a4=7—a, a5=2+a, a6= 6- a, a7= 3+a, as= 5 - a. :数歹U {an}各项都为正整数,13 【解答】解:〔x — 2〕 8=C?x8-;x 7?2+/?22-.x ?27i?28,(x-2) 8 (x+1)的展开式中,x 7的系数为14 【解答】解:根据题意,双曲线的方程为x 2+ky 2=1,且 kC[ —2, - 1],L I -I ,k15 ,△ABD =V * 近又^[2 _3那么有离心率eC16故答案为:,设 a1 = a,-,I _ *解得:1 w aw 4, a CN ,那么满足条件的数列{an}有4个.故答案为:4.三、解做题(本大题共6小题,共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.)a [ + 3, a 二1817 .【解答】(I)由题意知,〞已1%二行2%二32%<为’七二2解得1 1,射16设等比数列{an}的公比为q,111q = 2,由题意知,•. I :,那么等差数列{bn}的公差d=2,'1• bn= b2+ ( n - 2) d = 3+2 (n - 2) = 2n - 1.(n) r ---------- ------- -<-- ----- -% (2n-D(2n+l) 2 ^2n-l 2n+l)4吟(*i)+…4易r忌T)__ 之18 .【斛答】斛:(I )在^ ABD 中,.8S NADB==",5. 4sinN ADB 5sin / CAD = sin (/ ADB - / ACD& 乂返也乂返必--- A-■—A ".5 2 5 2 10在4ADC中,由正弦定理得——芈——二sinZADC AC_CD〞一返一叵,5 10 2解得:AC=8,CD=^.(n) CA,CB:48, C=—.4V2•・一’・,1:, )sinz_ADBcQs -cusz_ADBsin—£5 ________ AL, sinZCAD sinZACD解得:口二6b,二-1 : 1,在△ ABC 中,:叱2_2XgX6&X *二2疝, 〔2715产+ 〔5料〕2-〔研〕* /2X2后 X5VS 节19 .【解答】解:〔I 〕 设样本数据的平均数为:X , 那么 三二45 乂0. 05+55X0. 15+65 乂0.2+75X0.3+85X0. 2+95 乂0. 1=72. .,估计参赛学生的平均成绩为 72.5分.〔n 〕设样本数据的中位数为 a,由0.05+0.15+0.2+0.3 >0.5知aC 〔70, 80〕. • ・0.05+0.15+0.2+ 〔a — 70〕 X 0.03 = 0.5,解得 ^^^^73,3, 故估计参加这次知识竞赛的学生成绩的中位数约为73.3分.〔出〕由题意知,样本中 80分以上〔包括80分〕的概率为 旦, 10 那么随机抽取一名学生的成绩是优秀的概率为 旦,,hB 〔3,旦〕.1010・"需=.〕=喘〕3裁,p 〔a=i 〕=c ;x 磊X 〔4〕2二就;P02〕pX 扁号掇;pg 步号尸后a[〔.二3X 卷号.20.【解答】 证实:〔I 〕取PC 中点H,连接EH 、FH.・•.E 为AB 的中点,ABCD 是菱形,,AE//CD,且AE 』CD, 2又F 为PD 的中点,H 为PC 的中点,,FH // CD,且FHh^CD , AE// FH ,且AE=FH,那么四边形 AEHF 是平行四边形, AF // EH .又 AF?平面 PCE, EH?面 PCE,・•.AF//平面 PCE.解:〔n 〕取BC 的中点为 O, ABCD 是菱形,AC=AB,第12页〔共18页〕在4ABD 中,由余弦定理可得:G 口 s/BAD=令y=- 1,那么丑=2, .•・平面PCE 的一个法向量为 7=〔我,-L 2〕, 又平面PAD 的一个法向量为ir= 〔1, 0, 0〕..一,-一、—m *n cosv ip,门〉 ~I m I , I n |Vo V【解答】解:〔I 〕由题意知, 工妾,即一 / 4, •- a 2=4b 2, a / a "•.・由椭圆C1截直线y=x 所得的弦长为 丝°,5AO± BC,AO, AD , AP 所在直线分别为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系 A - xyz,B (V5, -i, o), c(V5,i, o), D (O ,PCO, 0, 1), E 除卷,0), T), EC=(淬,y* 0),访二(泥,2, 0).〕,设平面的法向量为7=21即平面PAD 与平面PCE 所成锐二面角的余弦值为・♦.弦在第一象限的端点的坐标为(2杏,等),—^―-I一=1,将a2=4b2代入上式,解得a=2, b=1.5a2 5b22.♦・椭圆Ci的方程为:+/二i;(n)由(I)知, A (― 2, 0),设M (xi, yi), N(X2, y2),• -* 4 —,, • -• 1 -r 40 .. 」一- AN=yMN,一姗万视,倚y2=4yi,设直线l的方程为x= ?y- 2 (入W 0),s= X y-2联立* 丫?9,得〔 ,+4〕 y2-4'=0, v 二―—全+ /=1 1联立*町,得〔?+1〕 y2— 12 少+36 — r2= 0,&-4产+/二产..A n . 2 36 口6 入• △= 0,• • r =_G—,且疗_$—X 2+12 X 2+1••• 6}二4・4:,解得了工得x2+l X 2+452 r2 = 2 0,,直线I的方程为:5K ±2浜片10二0,圆C2的半径r= 2泥.22.【解答】解:(I)由题意知,函数f(x)的定义域为(0, +8),£'〔¥〕二.〔1口:_]〕+], f 〔1〕 = 1 - a= - 1,解得a=2. x2(n)假设函数卜6)二£@)+^—有两个零点,4z那么方程且皿^F+240—二0恰有两个不相等的正实根,x 4x2即方程-皂1口工+ x ^―(a_2) x+~~二0恰有两个不相等的正实根.4x2设函数晨K)=-&lnx+ J-Ca-2)工+^■,.』,%口 / 力、a_ 2s2-(a-2)x-a (2x-a) (x+1)g lx)=2K-(a-2) x------- ----------------- 二 ------------当aw.时,g' (x) >0恒成立,那么函数g (x)在(0, +°0)上是增函数,・♦・函数g (x)最多一个零点,不合题意,舍去;当a>0时,令g' (x) >0,解得x>—,令g' (x) < 0,解得.<算<且,2 2那么函数g (x)在(0, 内单调递减,在伊 +8)上单调递增.易知x—0时,g 〔x〕 >0恒成立,要使函数g 〔x〕有2个正零点, 2 2贝U g〔x〕的取小值名瑞.〕<o,即一皂]—〔0一2〕义"^"+今一<0, 即Flrr1+a<0,丁a> 0,1 成?1,解得a>2e,即实数a的取值范围为〔2e, +8〕■ ■>_>|, Z" .♦y ( 1—一"x2+(——— 5 0y -♦_x+y ~>一»♦_♦_■6—,第17页〔共18页〕'Ll - -一I,“1. ■■ ,■I a-i—IIS ■" .■■■I ,,"。
精品解析:【全国百强校】河北省衡水中学2023届高三9月大联考数学(理)试题(解析版)
衡水金卷2018届全国高三大联考理数第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 已知集合,,则()A. B.C. D.【解析】C【解析】..................................所以,.故选C.2. 记复数地虚部为,已知复数(为虚数单位),则为()A. B. C. D.【解析】B【解析】.故地虚部为-3,即.故选B.3. 已知曲线在点处地切线地倾斜角为,则()A. B. C. D.【解析】C【解析】由,得,故.故选C.4. 2023年8月1日是中国人民解放军建军90周年,中国人民银行为此发行了以此为主题地金银纪念币.如下图所示是一枚8克圆形金质纪念币,直径,面额100元.为了测算图中军旗部分地面积,现用1粒芝麻向硬币内投掷100次,其中恰有30次落在军旗内,据此可估计军旗地面积大约是()A. B. C. D.【解析】B【解析】利用古典概型近似几何概型可得,芝麻落在军旗内地概率为,设军旗地面积为S,由题意可得:.本题选择B选项.5. 已知双曲线:(,)地渐近线经过圆:地圆心,则双曲线地离心率为()A. B. C. D.【解析】A【解析】圆:地圆心为,双曲线地渐近线为.依题意得.故其离心率为.故选A.6. 已知数列为等比数列,且,则()A. B. C. D.【解析】A【解析】依题意,得,所以.由,得,或(由于与同号,故舍去).所以..故选A.7. 执行如图地程序框图,若输出地地值为,则①中应填()A. B. C. D.【解析】C【解析】由图,可知.故①中应填.故选C.8. 已知函数为内地奇函数,且当时,,记,,,则,,间地大小关系是()A. B. C. D.【解析】D【解析】函数是奇函数,则,即当时,,构造函数,满足,则函数是偶函数,则,当时,,据此可得:,即偶函数在区间上单调递减,且:,结合函数地单调性可得:,即:.本题选择D选项.点睛:对于比较大小、求值或范围地问题,一般先利用函数地奇偶性得出区间上地单调性,再利用其单调性脱去函数地符号"f",转化为考查函数地单调性地问题或解不等式(组)地问题,若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|).9. 已知一几何体地三视图如下图所示,俯视图是一个等腰直角三角形和半圆,则该几何体地体积为()A. B. C. D.【解析】A【解析】由三视图可知该几何体是一个半圆柱与一个地面是等腰直角三角形地三棱锥构成地组合体,故其体积.故选A.点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间地关系,遵循"长对正,高平齐,宽相等"地基本原则,其内涵为正视图地高是几何体地高,长是几何体地长;俯视图地长是几何体地长,宽是几何体地宽;侧视图地高是几何体地高,宽是几何体地宽.由三视图画出直观图地步骤和思考方法:1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面地直观图;2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右地高度;3、画出整体,然后再根据三视图进行调整.10. 已知函数(,)地部分图像如下图所示,其中.记命题:,命题:将地图象向右平移个单位,得到函数地图象,则以下判断正确地是()A. 为真B. 为假C. 为真D. 为真【解析】D【解析】由,可得.解得.因为,所以,故为真命题;将图象所有点向右平移个单位,得.地图象,故为假命题,所以为假,为真,为假,为真.故选D.11. 抛物线有如下光学性质:过焦点地光线经抛物线反射后得到地光线平行于抛物线地对称轴;反之,平行于抛物线地对称轴地入射光线经抛物线反射后必过抛物线地焦点.已知抛物线地焦点为,一条平行于轴地光线从点射出,经过抛物线上地点反射后,再经抛物线上地另一点射出,则地周长为()A. B. C. D.【解析】B【解析】令,得,即.由抛物线地光学性质可知经过焦点,设直线地方程为,代入.消去,得.则,所以..将代入得,故.故.故地周长为.故选B.点睛:抛物线地光学性质:从抛物线地焦点发出地光线或声波在经过抛物线周上反射后,反射光线平行于抛物线地对称轴.12. 已知数列与地前项和分别为,,且,,,,若,恒成立,则地最小值是()A. B. C. D.【解析】B【解析】已知,,两式子做差得到,故数列是等差数列,由等差数列地通项公式得到,故,故裂项求和得到,由条件恒成立,得到K 地最小值为.故解析选B .点睛:本题考查到了通项公式地求法,从而得到数列是等差数列,再求出,根据裂项求和地方法可以求出前n 项和。
高中数学(一轮复习)最基础考点系列:考点6 含逻辑联结词命题的真假判断 含解析
专题6 含逻辑联结词命题的真假判断含逻辑联结词命题的真假判断★★★○○○○命题p∧q、p∨q、非p的真假判定p q p∧q p∨q 非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真简记为“p∧q p与p真假相反”.判断含有逻辑联结词命题真假的关键及步骤(1)判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义,应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断.(2)判断命题真假的步骤根据复合命题真假求参数的步骤(1)根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况); (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围;(3)根据给出的复合命题的真假推出每个命题的真假情况,从而求出参数的取值范围.已知命题p :关于x 的不等式a x>1(a >0,且a ≠1)的解集是{x |x <0},命题q :函数y =lg(ax2-x +a )的定义域为R ,如果p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题,则实数a 的取值范围为________________.[解析] 由关于x 的不等式a x>1(a >0,且a ≠1)的解集是{x |x <0},知0<a <1.由函数y =lg(ax 2-x +a )的定义域为R ,知不等式ax 2-x +a >0的解集为R ,则⎩⎪⎨⎪⎧a >0,1-4a 2<0,解得a >12.因为p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题,所以p 和q 一真一假,即“p 假q 真”或“p 真q 假”,故⎩⎪⎨⎪⎧a >1,a >12或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,a ≤12,解得a >1或0<a ≤12,即a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12∪(1,+∞). [答案] ⎝⎛⎦⎥⎤0,12∪(1,+∞)1.若命题p :函数y =x 2-2x 的单调递增区间是[1,+∞),命题q :函数y =x -1x的单调递增区间是[1,+∞),则( ) A .p ∧q 是真命题 B .p ∨q 是假命题 C .非p 是真命题D .非q 是真命题2.已知命题p :当a >1时,函数y =log 12(x 2+2x +a )的定义域为R ;命题q :“a =3”是“直线ax +2y =0与直线2x -3y =3垂直”的充要条件,则以下结论正确的是( ) A .p ∨q 为真命题 B .p ∧q 为假命题 C .p ∧非q 为真命题D .非p ∨q 为假命题解析:选A 当a >1时,一元二次方程x 2+2x +a =0的判别式Δ=4-4a <0,则x 2+2x +a >0对任意x ∈R 恒成立,故函数y =log 12(x 2+2x +a )的定义域为R ,故命题p 是真命题;直线ax +2y =0与直线2x -3y =3垂直等价于a ×2+2×(-3)=0,解得a =3,故“a =3”是“直线ax +2y =0与直线2x -3y =3垂直”的充要条件,故命题q 是真命题.所以p ∨q 为真命题,p ∧q 为真命题,p ∧非q 为假命题,非p ∨q 为真命题.故选A.3.设命题p :函数f (x )=lg(ax 2-4x +a )的定义域为R ;命题q :不等式2x 2+x >2+ax 在x ∈(-∞,-1)上恒成立,如果命题“p ∨q ”为真命题,命题“p ∧q ”为假命题,则实数a 的取值范围为________.1.已知命题:p α∃∈R ,使得sin 2cos 3αα+=;命题π:0,,2q x x sinx ⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭,则下列判断正确的是( )A. p 为真B. q ⌝为假C. p q ∧为真D. p q ∨为假KS5U 】甘肃省武威市第六中学2018届高三第一次阶段性过关考试数学(文)试题 【答案】B【解析】()sin 2cos 55,5sin αααθ⎡⎤+=+∈-⎣⎦,θ是参数,∵3>5,∴∀α∈R , 23sin cos αα+≠; 故命题p 为假命题,设()f x x sinx =-,则()'10f x cosx =-…, 则函数f (x )为增函数, ∵则当x >0时,f (x )>f (0),即x −sin x >0,则x >sin x ,故命题q 是真命题, 则q ⌝为假,其余为假命题, 故选:B.2.已知命题p :若复数z 满足()()5z i i --=,则6z i =;命题q :复数112i i ++的虚部为15i -,则下面为真命题的是( ) A.()()p q ⌝⌝∧ B. ()p q ⌝∧ C. ()p q ⌝∧ D. p q ∧【来源】【全国市级联考】湖南省益阳市、湘潭市2018届高三9月调研考试数学(理)试题 【答案】C【解析】复数z 满足()()5z i i --=,所以56z i i i=+=-,所以命题p 为真; 复数()()()112131212)125i i i ii i i +-+-==++-,虚部为15-,所以命题q 为假. A.()()p q ⌝⌝∧为假;B. ()p q ⌝∧为假;C. ()p q ⌝∧为真;D. p q ∧为假.故选C.3.下列命题中正确命题的个数是( )(1)命题“若2320x x -+=,则1x =”的逆否命题为“若1x ≠,则2320x x -+≠”;(2)在回归直线ˆ12yx =+中, x 增加1个单位时, y 减少2个单位; (3)若p 且q 为假命题,则,p q 均为假命题;(4)命题0:,p x R ∃∈使得20010x x ++<,则:,p x R ⌝∀∈均有210x x ++>.A. 1B. 2C. 3D. 4KS5U 】广东省珠海市2017-2018学年度第一学期高三摸底考试文科数学4.已知命题p :关于x 的方程x 2-ax +4=0有实根;命题q :关于x 的函数y =2x 2+ax +4在[3,+∞)上是增函数.若p ∨q 是真命题,则实数a 的取值范围是________. 解析:若命题p 是真命题,则Δ=a 2-16≥0,即a ≤-4或a ≥4;若命题q 是真命题,则-a4≤3,即a ≥-12.因为p ∨q 是真命题,所以a ∈R. 答案:R5.已知命题p :方程22167x y m m -=+-表示椭圆,命题q : 2,2210x R mx mx m ∃∈++-≤,.(1)若命题q 为真,求实数m 的取值范围;(2)若p q ∨为真, q ⌝为真,求实数m 的取值范围.KS5U 】河南省鲁山县一中2017-2018学年高二第一次月考(文)数学试卷 【答案】(1)(],1-∞ (2)()1,7【解析】试题分析:(1)命题p 为真,就是对应不等式有解,m=0时恒成立, 0m ≠时结合二次函数图像列条件解得实数m 的取值范围;本题也可利用参变分离法求解 (2)先根据椭圆标准方程分母符号得p m 为真的取值范围,再根据p q ∨为真, q ⌝为真,得p q 为真为假,解不等式得实数m 的取值范围.试题解析:(Ⅰ)∵命题q 为真,当0m > 时, ()2044210101m m m m m ∆≥⇒≥-⇒≤≤∴<≤;当0m ≤ 时,不等式恒成立.综上, 1m ≤ .(Ⅱ)若p 为真,则60,7067m m m +>-<⇒-<< ,.∵若p q ∨为真, q ⌝为真,∴p q 为真为假∴1,6717m m m >-<<∴<< 6.设命题:关于的不等式的解集是;命题:.若为假命题,求实数的取值范围.KS5U 】甘肃省武威市第六中学2018届高三第一次阶段性过关考试数学(理)试题 【答案】【解析】试题分析:由复合命题的真假得命题为真命题,命题为假命题,由为真命题得,由为假命题得,求其交集即可.试题解析:由为假命题,得:命题为真命题,命题为假命题.由命题为真命题,得,;由命题为假命题,得:为真命题,,解得:; 因此,所求实数的取值范围是.7.已知命题p :“∀x ∈[1,2],x 2-a ≥0”,命题q :“∃x 0∈R,x +2ax 0+2-a =0”,若命题“p 且q ”是真命题,求实数a 的取值范围.KS5U 】【全国百强校】宁夏育才中学2018届高三上学期第一次月考(理)数学试题 【答案】a ≤-2或a =1.8.已知命题甲:或,命题乙:或,当甲是真命题,且乙是假命题时,求实数的取值范围.KS5U】【全国百强校】河北省武邑中学2017-2018学年高二上学期第一次月考数学(文)试题【答案】【解析】试题分析:乙为假命题即为求乙集合的补集,进而同甲集合取交即可.试题解析:当甲真乙假时,集合.______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ______。
2018北京市朝阳区高三(一模)数学(理)含答案
2018北京市朝阳区高三(一模)数 学(理) 2018.3(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分第一部分(选择题 共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知全集为实数集R ,集合2{30}A x x x =-<,{21}x B x =>,则RA B ()=A .(0][3,),-∞+∞B .(0,1]C .[)3+∞,D .[1),+∞ 2.复数z 满足(1+i)i z =,则在复平面内复数z 所对应的点位于A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 3.直线l 的参数方程为=3,1+3x t yt-(t 为参数),则l 的倾斜角大小为A .6π B . 3π C . 32π D .65π4.已知a b ,为非零向量,则“0a b >⋅”是“a 与b 夹角为锐角”的A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件5.某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班,每天有且只有1人值班,每人至少安排一天且甲连续两天值班,则不同的安排方法种数为A .18B .24C .48D .96 6.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于A .34B .23C .12D .137.庙会是我国古老的传统民俗文化活动,又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动,如“砸金蛋”(游玩者每次砸碎一颗金蛋,如果有奖品,则“中奖”).今年春节期间,某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会,每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前,甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测,预测结果如下:俯视图正视图侧视图1甲说:“我或乙能中奖”; 乙说:“丁能中奖”; 丙说:“我或乙能中奖”; 丁说:“甲不能中奖”.游戏结束后,这四位同学中只有一位同学中奖,且只有一位同学的预测结果是正确的,则中奖的同学是A .甲B .乙C .丙D .丁8.在平面直角坐标系xOy 中,已知点(3,0)A ,(1,2)B ,动点P 满足OP OA OB λμ=+,其中,[0,1],[1,2]λμλμ∈+∈,则所有点P 构成的图形面积为A . 1B . 2C . 3D . 23第二部分(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上. 9.执行如图所示的程序框图,若输入5m =,则输出k 的值为________.10.若三个点(2,1),(2,3),(2,1)---中恰有两个点在双曲线222:1(0)x C y a a-=>上,则双曲线C 的渐近线方程为_____________.11.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,2A ωϕπ>><)的部分图象如图所示,则=ω ;函数()f x 在区间[,3ππ]上的零点为 .12.已知点(2,0),(0,2)A B -,若点M 是圆22220x y x y +-+=上的动点,则ABM ∆面积的最小值为 . 13.等比数列{}n a 满足如下条件:①10a >;②数列{}n a 的前n 项和1n S <. 试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式 .14.已知R a ∈,函数211(+1)0π()sin 2,0.22x x x a x x f x x --+⎧+<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩+, ,当0x >时,函数()f x 的最大值是 ;若函数()f x 的图m >50输出k 结束开始 输入m k =0m =2m -1 是k =k +1否象上有且只有两对点关于y 轴对称,则a 的取值范围是 .三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)在ABC ∆中,已知sin A =,2cos b a A =. (Ⅰ)若5ac =,求ABC ∆的面积; (Ⅱ)若B 为锐角,求sin C 的值. 16.(本小题满分14分)如图1,在矩形ABCD 中,2AB =,4BC =,E 为AD 的中点,O 为BE 中点.将ABE ∆沿BE 折起到A BE ',使得平面A BE '⊥平面BCDE (如图2). (Ⅰ)求证:A O CD '⊥;(Ⅱ)求直线A C '与平面A DE '所成角的正弦值;(Ⅲ)在线段A C '上是否存在点P ,使得//OP 平面A DE '? 若存在,求出A PA C''的值;若不存在,请说明理由.17.(本小题满分13分)某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.例如,学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目,则学生甲的选考方案确定,“物理、化学和生物”为其选考方案.某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向,随机选取30名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:(Ⅰ)估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人?(Ⅱ)假设男生、女生选择选考科目是相互独立的.从选考方案确定的8位男生中随机选出1人,从选考方案图1EABCDOA '图2CBDEO确定的10位女生中随机选出1人,试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率; (Ⅲ)从选考方案确定的8名男生中随机选出2名,设随机变量221,2,ξ⎧=⎨⎩名男生选考方案相同名男生选考方案不同,,求ξ的分布列及数学期望E ξ.18. (本小题满分13分)已知函数ln 1()x f x ax x-=-. (Ⅰ)当2a =时,(ⅰ)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;(ⅱ)求函数)(x f 的单调区间;(Ⅱ)若12a <<,求证:)(x f 1<-. 19. (本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2,且过点(1,2.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过椭圆C 的左焦点的直线1l 与椭圆C 交于,A B 两点,直线2l 过坐标原点且与直线1l 的斜率互为相反数.若直线2l 与椭圆交于,E F 两点且均不与点,A B 重合,设直线AE 与x 轴所成的锐角为1θ,直线BF 与x 轴所成的锐角为2θ,判断1θ与2θ大小关系并加以证明. 20. (本小题满分13分)已知集合128{,,,}X x x x =是集合{2001,2002,2003,,2016,2017}S =的一个含有8个元素的子集.(Ⅰ)当{2001,2002,2005,2007,2011,2013,2016,2017}X =时,设,(1,8)i j x x X i j ∈≤≤,(i )写出方程2i j x x -=的解(,)i j x x ;(ii )若方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解,写出k 的所有可能取值;(Ⅱ)证明:对任意一个X ,存在正整数k ,使得方程(1,8)i j x x k i j -=≤≤至少有三组不同的解.2018北京市朝阳区高三(一模)数学(理)参考答案二、填空题:(本题满分30分)三、解答题:(本题满分80分) 15. (本小题满分13分)解:(Ⅰ)由2cos b a A =,得cos 0A >,因为sin A =,所以cos 5A =.因为2cos b a A =,所以4sin 2sin cos 25B A A ===. 故ABC ∆的面积1sin 22S ac B ==. ………………….7分 (Ⅱ)因为4sin 5B =,且B 为锐角,所以3cos 5B =.所以sin sin()sin cos cos sin 25C A B A B A B =+=+=.………….13分16.(本小题满分14分)证明:(Ⅰ)由已知2AB AE ==,因为O为BE 中点,所以A O BE '⊥. 因为平面A BE '⊥平面BCDE ,且平面A BE'平面BCDE BE =,A O '⊂平面A BE ',所以A O '⊥平面BCDE .又因为CD ⊂平面BCDE ,所以A O CD '⊥. ………….5分 (Ⅱ)设F 为线段BC 上靠近B 点的四等分点,G 为CD 中点.由已知易得OF OG ⊥.由(Ⅰ)可知,A O '⊥平面BCDE , 所以A O OF '⊥,A O OG '⊥.以O 为原点,,,OF OG OA '所在直线分别为,,x y z 轴 建立空间直角坐标系(如图). 因为2A B '=,4BC =,所以(00(110),(130),(130),(110)A B C D E ,,,,,,,,'---. 设平面A DE '的一个法向量为111(,,)x y z =m ,因为(132),(020)A D DE ,,,,'=--=-, 所以 0, 0,A D DE ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即111130,20. x y y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩取11z =-,得1)=-m . 而A C '=(1,3,.所以直线A C '与平面A DE '所成角的正弦值sin 3θ== ……….10分 (Ⅲ)在线段A C '上存在点P ,使得//OP 平面A DE '. 设000(,,)P x y z ,且(01)A PA Cλλ'=≤≤',则A P AC λ''=,[0,1]λ∈. 因为(00(130)A C ,,',所以000(,,(,3,)x y z λλ=, 所以000,3,x y z λλ==,所以(,3)P λλ,(,3)OP λλ=.若//OP 平面A DE ',则OP ⊥m.即0OP ⋅=m .由(Ⅱ)可知,平面A DE '的一个法向量1)=-m,0-=,解得1[0,1]2λ=∈, 所以当12A P A C '='时,//OP 平面A DE '. ……….14分17.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)由题可知,选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人,选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人,该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有1018420=1401830⨯⨯人. ……….3分(Ⅱ)由数据可知,选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为21=84; 选考方案确定的10位女生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为310. 所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为13341040⨯=.…….8分 (Ⅲ)由数据可知,选考方案确定的男生中有4人选择物理、化学和生物;有2人选择物理、化学和历史;有1人选择物理、化学和地理;有1人选择物理、化学和政治. 由已知得ξ的取值为1,2.2242281(1)4C C P C ξ+===, 1111422228()213(2)4C C C C P C ξ++⨯+===,或3(2)1(1)4P P ξξ==-==. 所以ξ的分布列为所以13712444E ξ=⨯+⨯=. …….13分 18. (本小题满分13分)(Ⅰ)当2a =时,ln 1()2x f x x x-=-.2222ln 22ln ()2x x xf x x x ---'=-=. (ⅰ)可得(1)0f '=,又(1)3f =-,所以()f x 在点(1,3-)处的切线方程为3y =-. ….3分 (ⅱ)在区间(0,1)上2220x ->,且ln 0x ->,则()0f x '>. 在区间(1,+∞)上2220x -<,且ln 0x -<,则()0f x '<.所以()f x 的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). ….8分 (Ⅱ)由0x >,()1f x <-,等价于ln 11x ax x--<-,等价于21ln 0ax x x -+->. 设2()1ln h x ax x x =-+-,只须证()0h x >成立.因为2121()21ax x h x ax x x--'=--=,12a <<,由()0h x '=,得2210ax x --=有异号两根.令其正根为0x ,则200210ax x --=. 在0(0,)x 上()0h x '<,在0(,)x +∞上()0h x '>.则()h x 的最小值为20000()1ln h x ax x x =-+-0011ln 2x x x +=-+- 003ln 2x x -=-.又(1)220h a '=->,13()2()30222a h a '=-=-<,所以0112x <<.则0030,ln 02x x ->->.因此003ln 02x x -->,即0()0h x >.所以()0h x >所以()1f x <-. ….….13分19. (本小题满分14分)解:(Ⅰ)由题意得22222,111.2c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩解得a =1b =,1c =.故椭圆C 的方程为2212x y +=. ….….5分(Ⅱ)12=θθ.证明如下:由题意可设直线1l 的方程为(1)y k x =+,直线2l 的方程为y kx =-,设点11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)E x y ,33(,)F x y --.要证12=θθ,即证直线AE 与直线BF 的斜率之和为零,即0AE BF k k += . 因为13231323AE BF y y y y k k x x x x -++=+-+ 13231323(1)(1)k x kx k x kx x x x x +++-=+-+ 2121231323[2()2]()()k x x x x x x x x x +++=-+.由22(1),1,2y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(12)4220k x k x k +++-=,所以2122412k x x k -+=+,21222212k x x k -=+.由22,1,2y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(12)2k x +=,所以232212x k =+. 所以2221212322244442()20121212k k x x x x x k k k --+++=++=+++.2121231323[2()2]0()()AE BFk x x x x x k k x x x x ++++==-+.所以12=θθ. ….….14分20. (本小题满分13分)解:(Ⅰ)(ⅰ)方程2i j x x -=的解有:(,)(2007,2005),(2013,2011)i j x x =.……2分 (ii )以下规定两数的差均为正,则:列出集合X 的从小到大8个数中相邻两数的差:1,3,2,4,2,3,1; 中间隔一数的两数差(即上一列差数中相邻两数和):4,5,6,6,5,4;中间相隔二数的两数差:6,9,8,9,6; 中间相隔三数的两数差:10,11,11,10; 中间相隔四数的两数差:12,14,12; 中间相隔五数的两数差:15,15; 中间相隔六数的两数差:16这28个差数中,只有4出现3次、6出现4次,其余都不超过2次,所以k 的可能取值有4,6.…………………………………………………………6分 (Ⅱ)证明:不妨设12820012017x x x ≤<<<≤,记1(1,2,,7)i i i a x x i +=-=,2(1,2,,6)i i i b x x i +=-=,共13个差数.假设不存在满足条件的k ,则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6,从而 127126()()2(126)749a a a b b b +++++++≥++++=. …………①又127126818721()()()()a a a b b b x x x x x x +++++++=-++--81722()()2161446x x x x =-+-≤⨯+=,这与①矛盾!所以结论成立.……………………………………………………………………13分。
2017-2018学年河南省天一大联考高三(上)10月段考数学试卷(理科)
2017-2018学年河南省天一大联考高三(上)10月段考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1.(5分)已知向量,若,则m=()A.﹣4 B.4 C.﹣3 D.32.(5分)函数f(x)=x+lnx﹣3的零点位于区间()A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)3.(5分)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若a5=3,S6=28S3,则a3=()A.B.C.3 D.94.(5分)将函数f(x)=3sin(5x+φ)的图象向右平移个单位后关于y轴对称,则φ的值可以是()A. B.C. D.5.(5分)已知m>n>0,则下列说法错误的是()A. B.C.D.6.(5分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S6=4a2,a3=3,则a10=()A.﹣3 B.3 C.﹣6 D.67.(5分)已知函数,若a<﹣2,b>2,则“f(a)>f(b)”是“a+b<0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.(5分)已知函数f(x)=,若关于x的方程f(x)﹣k(x+2)=0有3个实数根,则实数k的取值范围是()A.(0,)B.(0,)C.(0,1) D.(0,)9.(5分)已知sinα=﹣(α∈[,2π]),若=2,则tan(α+β)=()A.B.C.﹣D.﹣10.(5分)已知实数x,y满足,若z=mx+y的最大值为10,则m=()A.1 B.2 C.3 D.411.(5分)已知数列{a n}满足a1=﹣1,a n+1=|1﹣a n|+2a n+1,其前n项和为S n,则下列说法正确的个数为()①数列{a n}是等差数列;②a n=3n﹣2;③S n=.A.0 B.1 C.2 D.312.(5分)已知m,n∈(0,+∞).若m=+2.则当+2n2﹣﹣取得最小值时,m+n=()A.2 B.4 C.6 D.8二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)不等式2x2﹣9x+9>0的解集为.14.(5分)已知实数a∈(﹣3,1),b∈(,),则的取值范围是.15.(5分)若函数在(1,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是.16.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,且,记h为AC边上的高,则h的取值范围为.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.(10分)已知数列{a n}的首项为a1=1,且a n+1=2(a n+1)(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若,求数列的前n项和T n.18.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=4,D在线段AC上,∠DBC=.(1)若△BCD的面积为24,求CD的长;(2)若,且c=12,求CD的长.19.(12分)已知向量.(1)若m=4,求函数f(x)=的单调递减区间;(2)若向量满足,求m的值.20.(12分)已知等比数列{a n}的前n项和为,等差数列{b n}的前5项和为30,b7=14.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)求数列{a n•b n}的前n项和T n.21.(12分)已知函数.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)已知点M(1,0),曲线Y=f(x)在点P(x0,y0)(﹣1≤x0≤1)处的切线l与直线x=1交于点N,求△OMN(O为坐标原点)的面积最小时x0的值,并求出面积的最小值.22.(12分)已知函数.(1)若m=1,求曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程;(2)探究函数F(x)=xf(x)的极值点的情况,并说明理由.2017-2018学年河南省天一大联考高三(上)10月段考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1.(5分)已知向量,若,则m=()A.﹣4 B.4 C.﹣3 D.3【解答】解:根据题意,向量,若,则•=2×(﹣6)+(﹣3)m=0,解可得m=﹣4,故选:A.2.(5分)函数f(x)=x+lnx﹣3的零点位于区间()A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)【解答】解:函数f(x)=x+lnx﹣3,(x>0)∴f′(x)=1+,可得f′(x)>0,f(x)为增函数,f(1)=1+0﹣3=﹣2<0,f(2)=2+ln2﹣3=ln2﹣1<0,f(3)=3+ln3﹣3=ln3>0,∵f(2)f(3)<0,所以f(x)的零点所在区间为(2,3),故选B;3.(5分)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若a5=3,S6=28S3,则a3=()A.B.C.3 D.9【解答】解:若q=1时,a5=3,∴a1=3,∴6a1=28a1,显然不成立,∴q≠1,由a5=3,S6=28S3,可得,解得q=3,a1=,∴a3=×9=,故选:B4.(5分)将函数f(x)=3sin(5x+φ)的图象向右平移个单位后关于y轴对称,则φ的值可以是()A. B.C. D.【解答】解:将函数f(x)=3sin(5x+φ)的图象向右平移个单位,得到:y=3sin[5(x﹣)+φ]=3sin(5x﹣+φ),得到的图象关于y轴对称,则:φ﹣=k(k∈Z),解得:φ=k(k∈Z),当k=﹣2时,φ=﹣.故选:D.5.(5分)已知m>n>0,则下列说法错误的是()A. B.C.D.【解答】解:根据对数函数的单调性可得A正确,∵m>n>0,∴m+1>n+1∴m(m+1)>n(n+1),∴>,故B正确,根据幂函数的单调性可得C正确,对于D,﹣==,∵1﹣mn与0无法比较大小,故D错误,故选:D.6.(5分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S6=4a2,a3=3,则a10=()A.﹣3 B.3 C.﹣6 D.6【解答】解:设等差数列{a n}的公差为d,∵S6=4a2,a3=3,∴6a1+d=4(a1+d),a1+2d=3,解得a1=,d=﹣.则a10=﹣×9=﹣3.故选:A.7.(5分)已知函数,若a<﹣2,b>2,则“f(a)>f(b)”是“a+b<0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解:由2|x|﹣4>0,解得x>2或x<﹣2,关于原点对称.又f(﹣x)=f(x).可得函数f(x)在定义域内为偶函数.x>2时,f(x)=5x﹣在(2,+∞)上单调递增.∴a+b<0⇔2<b<﹣a⇔f(b)<f(﹣a)=f(a),∴“f(a)>f(b)”是“a+b<0”的充要条件.故选:C.8.(5分)已知函数f(x)=,若关于x的方程f(x)﹣k(x+2)=0有3个实数根,则实数k的取值范围是()A.(0,)B.(0,)C.(0,1) D.(0,)【解答】解:在同一坐标系中画出分段函数y=f(x)的图象与y=k(x+2)的图象,由图可知:当k∈(0,k AQ)时,分段函数f(x)的图象与y=k(x+2)的图象有三个交点,A(0,1),Q(﹣2,0),k AQ==,实数k的取值范围是(0,).故选:D.9.(5分)已知sinα=﹣(α∈[,2π]),若=2,则tan(α+β)=()A.B.C.﹣D.﹣【解答】解:∵sinα=﹣(α∈[,2π]),∴cosα==,∴tanα==﹣,∵==sinα+cosα•tanβ═﹣+tanβ=2,∴tanβ=,则tan(α+β)===,故选:A.10.(5分)已知实数x,y满足,若z=mx+y的最大值为10,则m=()A.1 B.2 C.3 D.4【解答】解:由实数x,y满足,作出可行域如图,易知A(3,1),B(3,4),C(0,1).化目标函数z=mx+y为y=﹣mx+z,当直线z=mx+y经过B点时,取得最大值10;∴10=3m+4,解得m=2.故选:B.11.(5分)已知数列{a n}满足a1=﹣1,a n+1=|1﹣a n|+2a n+1,其前n项和为S n,则下列说法正确的个数为()①数列{a n}是等差数列;②a n=3n﹣2;③S n=.A.0 B.1 C.2 D.3【解答】解:数列{a n}满足a1=﹣1,a n+1=|1﹣a n|+2a n+1,可得a2=|1﹣a1|+2a1+1=2﹣2+1=1,a3=|1﹣a2|+2a2+1=0+2+1=3,a4=|1﹣a3|+2a3+1=2+6+1=9,则a4﹣a3=6,a3﹣a2=2,即有a4﹣a3≠a3﹣a2,则数列{a n}不是等差数列,故①不正确;a n=3n﹣2,不满足a1=﹣1,故②不正确;若S n=满足n=1时,a1=S1=﹣1,但n=2时,a2=S2﹣S1=﹣(﹣1)=1,当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=﹣=3n﹣2,n≥2,n∈N*.=|1﹣a n|+2a n+1,代入a n+1左边=3n﹣1,右边=3n﹣2﹣1+2•3n﹣2+1=3n﹣1,=|1﹣a n|+2a n+1恒成立.则a n+1故③正确.故选:B.12.(5分)已知m,n∈(0,+∞).若m=+2.则当+2n2﹣﹣取得最小值时,m+n=()A.2 B.4 C.6 D.8【解答】解:m,n∈(0,+∞).若m=+2.则m=>0,解得n>1.则+2n2﹣﹣=+2n2﹣﹣=+2n2=f(n).f′(n)==,令f′(n)≥0,解得n≥2,可得n=2,m=4时,f(n)取得最小值时,m+n=6.故选:C.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)不等式2x2﹣9x+9>0的解集为(﹣∞,)∪(3,+∞).【解答】解:不等式2x2﹣9x+9>0,即为(x﹣3)(2x﹣3)>0,解得x>3或x<,解集为(﹣∞,)∪(3,+∞).故答案为:(﹣∞,)∪(3,+∞).14.(5分)已知实数a∈(﹣3,1),b∈(,),则的取值范围是(﹣12,8).【解答】解:∵b∈(,),∴∈(4,8),∵a∈(﹣3,1),∴∈(﹣12,8).故答案为:(﹣12,8).15.(5分)若函数在(1,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是[,+∞).【解答】解:∵函数在(1,+∞)上单调递增,∴≥0在(1,+∞)上恒成立,即m≥在(1,+∞)上恒成立,令g(x)=,则g′(x)=,当x∈(1,)时,g′(x)>0,当x∈(,+∞)时,g′(x)<0,故当x=时,g(x)取最大值,故实数m的取值范围是[,+∞),故答案为:[,+∞).16.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,且,记h为AC边上的高,则h的取值范围为(0,] .【解答】解:∵,∴sinBcosC=2sinAcosB﹣sinCcosB,即sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB,∴sin(B+C)=2sinAcosB,即sinA=2sinAcosB,∴cosB=,∴B=.=acsinB=bh,∵S△ABC∴h=,由余弦定理可得cosB==,∴a2+c2=ac+3≥2ac,∴0<ac≤3.∴0<h≤.故答案为:(0,].三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.(10分)已知数列{a n}的首项为a1=1,且a n+1=2(a n+1)(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若,求数列的前n项和T n.【解答】解:(1)数列{a n}的首项为a1=1,且a n+1=2(a n+1)(n∈N*).+2=2(a n+2),则:a n+1所以:{a n+2}是以3为首项,2为公比的等比数列.则:,解得:.(2)由于=n,则:=,所以:+…+,解得:.18.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=4,D在线段AC上,∠DBC=.(1)若△BCD的面积为24,求CD的长;(2)若,且c=12,求CD的长.【解答】解:(1)由S=•BD•BC•=24,△BCD解得:BD=12,在△BCD中,CD2=BC2+BD2﹣2BC•BD•cos45°,即CD2=32+BD2﹣8BD,故CD2=32+144﹣8×12,解得:CD=4;(2)∵tanA=,且A∈(0,π),故sinA=,cosA=,由题意得=,即=,解得:sinC=,∵C∈(0,),∴cosC=,∴sin∠BDC=sin(C+)=,在△BCD中,由正弦定理得=,解得:CD=2.19.(12分)已知向量.(1)若m=4,求函数f(x)=的单调递减区间;(2)若向量满足,求m的值.【解答】解:(1)向量.∴函数f(x)==4sinxcosx+msin2x=2sin2x﹣当m=4时,可得f(x)=2sin2x﹣2cos2x+2=2sin(2x﹣)+2.由≤2x﹣,得:≤x≤+kπ.∴函数f(x)=的单调递减区间为[,],k∈Z.(2)由=(),即,∵x∈(0,)由sin2x+cos2x=1可得sinx=,cosx=.那么m=sin2x=.20.(12分)已知等比数列{a n}的前n项和为,等差数列{b n}的前5项和为30,b7=14.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)求数列{a n•b n}的前n项和T n.【解答】解:(1)等比数列{a n}的前n项和为,∴n≥2时,a n=S n﹣S n=﹣=3n﹣1,﹣1n=1时,a1=S1=1对于上式也成立.∴a n=3n﹣1.设等差数列{b n}的公差为d,∵前5项和为30,b7=14.∴5b1+=30,b1+6d=14,联立解得:b1=d=2.∴b n=2+2(n﹣1)=2n.(2)a n b n=2n•3n﹣1.∴T n=2(1+2×3+3×32+…+n•3n﹣1),3T n=2[3+2×32+…+(n﹣1)•3n﹣1+n•3n],﹣2T n=2(1+3+32+…+3n﹣1)﹣2n•3n=﹣2n•3n,解得:T n=+.21.(12分)已知函数.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)已知点M(1,0),曲线Y=f(x)在点P(x0,y0)(﹣1≤x0≤1)处的切线l与直线x=1交于点N,求△OMN(O为坐标原点)的面积最小时x0的值,并求出面积的最小值.【解答】解:(1)由题意得:f′(x)=e x﹣x,令m(x)=e x﹣x,故m′(x)=e x﹣1,令m′(x)=0,解得:x=0,故m(x)在(﹣∞,0)递减,在(0,+∞)递增,故[m(x)]min=m(0)=1,故e x﹣x>0,即f′(x)>0,故函数f(x)在R递增;(2)由题意,切线l的斜率为f′(x0)=﹣x0,由此得切线l的方程为y=(﹣)=(﹣x0)(x﹣x0),令x=1,得y=(2﹣x0)(﹣x0),=|OM|•|y|=|(1﹣x0)(﹣x0)|,x0∈[﹣1,1],∴S△MON设g(x)=(1﹣x)(e x﹣x),x∈[﹣1,1],则g′(x)=﹣(x﹣1)(e x﹣1),令g′(x)=0,解得:x=0或x=1,故g(x)在(﹣1,0)递减,在(0,1)递增,故g(x)min=g(0)=1,即x0=1时,△MON的面积有最小值1.22.(12分)已知函数.(1)若m=1,求曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程;(2)探究函数F(x)=xf(x)的极值点的情况,并说明理由.【解答】解:(1)由题意,f′(x)=+1,故f′(2)=2,由f(2)=3,故所求切线方程为:y﹣3=2(x﹣2),即2x﹣y﹣1=0,∴曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程2x﹣y﹣1=0;(2)F(x)=xf(x)=xln(x﹣1)+x2+mx,F′(x)=ln(x﹣1)++2x+m,记g(x)=F′(x)﹣m,g′(x)=﹣+2=,令g′(x)=0,则x=,当x∈(1+,)时,g′(x)<0,当x∈(,e+1)时,g′(x)>0,∴当x=时,g(x)取的极小值6﹣ln2,由g(+1)=e++2,g(e+1)=2e++4,F′(x)=0,则g(x)=﹣m,①当﹣m≤6﹣ln2,即m≥ln2﹣6,F′(x)≥0恒成立,函数F(x)在(+1,e+1)上无极值点,②当6﹣ln2<﹣m<e++2,即﹣e﹣﹣2<m<ln2﹣6,F′(x)有两个不同解,函数F(x)在区间(+1,e+1)有两个极值点;③当e++2≤﹣m<2e++4,即﹣2e﹣﹣4<m<﹣e﹣﹣2时,F′(x)有一个解,函数F(x)在区间(+1,e+1)有一个极值点;④当﹣m≥2e++4,即m≤﹣2e﹣﹣4,F′(x)≤0,函数F(x)在区间(+1,e+1)上无极值点.。
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鄂南高中华师一附中黄冈中学黄石二中荆州中学孝感高中襄阳四中襄阳五中2018届高三第一次联考数学试题(理)命题学校:荆州中学命题人:刘学勇审题人:朱代文审定学校:孝感高中审定人:幸芹一、选择题 (本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1.已知集合1 {,},(),3x M yy x x x R N y y x R⎧⎫==-∈==∈⎨⎬⎩⎭,则()A.M N=B.N M⊆C.RM C N=D.RC N M2. 复数(12)(2)z i i=++的共轭复数为()A.-5i B.5i C.15i+D.15i-3. 将函数()3sin(2)3f x xπ=-的图像向右平移(0)m m>个单位后得到的图像关于原点对称,则m的最小值是()A.6πB.3πC.23πD.56π4. 已知函数22()logf x x x=+,则不等式(1)(2)0f x f+-<的解集为()A.(,1)(3,)-∞-+∞B.(,3)(1,)-∞-+∞C.(3,1)(1,1)---D.(1,1)(1,3)-5. 已知命题:,p a b R∃∈,a b>且11a b>,命题:q x R∀∈,3sin cos2x x+<.下列命题是真命题的是()A.p q∧B.p q⌝∧C.p q∧⌝D.p q⌝∧⌝6. 将正方体(如图1)截去三个三棱锥后,得到如图2所示的几何体,侧视图的视线方向如图2所示,则该几何体的侧视图为()⊂≠7. 下列说法错误的是( )A .“函数()f x 的奇函数”是“(0)0f =”的充分不必要条件.B .已知A BC 、、不共线,若0PA PB PC ++=则P 是△ABC 的重心. C .命题“0x R ∃∈,0sin 1x ≥”的否定是:“x R ∀∈,sin 1x <”.D .命题“若3πα=,则1cos 2α=”的逆否命题是:“若1cos 2α≠,则3πα≠”. 8. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知103010,130S S ==,则40S =( )A .-510B .400C . 400或-510D .30或409. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶,算法至今仍是多项式求值比较先进的算法.已知20172016()2018201721f x xx x =++++,下列程序框图设计的是求0()f x 的值,在“ ”中应填的执行语句是( )A .n i =B .1n i =+C .n =2018i -D .n =2017i - 10. 已知34πθπ≤≤,且1cos 1cos 622θθ+-+=,则θ=( )A .101133ππ或B .37471212ππ或C .131544ππ或D . 192366ππ或 11. 已知△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边,(62)(62)0aBC bCA c AB +-++=,则△ABC 的形状为( )A. 锐角三角形 B . 直角三角形 C. 钝角三角形 D . 无法确定12. 我国古代太极图是一种优美的对称图.如果一个函数的图像能够将圆的面积和周长分成两个相等的部分,我们称这样的函数为圆的“太极函数”.下列命题中错误..命题的个数是( ) 1:P 对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一;2:P 如果一个函数是两个圆的太极函数,那么这两个圆为同心圆; 3:P 圆22(1)(1)4x y -+-=的一个太极函数为32()33f x x x x =-+; 4:P 圆的太极函数均是中心对称图形;5:P 奇函数都是太极函数; 6:P 偶函数不可能是太极函数.A. 2B. 3C.4D.5 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知平面向量(2,1),(2,).a b x ==且(2)()a b a b +⊥-,则x = . 14.曲线2y x =与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为 .15.已知等差数列{}n a 是递增数列,且1233a a a ++≤,7338a a -≤,则4a 的取值范围为 .16.()f x 是R 上可导的奇函数,()f x '是()f x 的导函数.已知0x >时()(),(1)f x f x f e '<=,不等式()22ln(10ln(1)x x f x x e +<++≤的解集为M ,则在M 上()sin6g x x =的零点的个数为 .三、解答题(本大题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
) 17.(12分)已知向量3sin(),3sin (),(sin ,cos ),()22a x x b x x f x a b ππ⎛⎫=--==⋅ ⎪⎝⎭. (1)求()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的取值集合M ; (2)在△ABC 中,,,a b c 是角,,A B C 的对边若24C M π+∈且1c =,求△ABC 的周长的取值范围.18.(12分)已知数列{}n a 满足12211,4,44n n n a a a a a ++===-. (1)求证:1{2}n n a a +-是等比数列; (2)求{}n a 的通项公式. 19.(12分)四棱锥S ABCD -中,AD ∥BC ,,BC CD ⊥060SDA SDC ∠=∠=,AD DC =1122BC SD ==,E 为SD 的中点.(1)求证:平面AEC ⊥平面ABCD ; (2)求BC 与平面CDE 所成角的余弦值.20.(12分)已知某工厂每天固定成本是4万元,每生产一件产品成本增加100元,工厂每件产品的出厂价定为a 元时,生产x 件产品的销售收入是21()5004R x x x =-+(元),()P x 为每天生产x 件产品的平均利润(平均利润=总利润总产量).销售商从工厂每件a 元进货后又以每件b 元销售, ()b a c a λ=+-,其中c 为最高限价()a b c <<,λ为销售乐观系数,据市场调查,λ是由当b a -是c b -,c a -的比例中项时来确定.(1)每天生产量x 为多少时,平均利润()P x 取得最大值?并求()P x 的最大值; (2)求乐观系数λ的值;(3)若600c =,当厂家平均利润最大时,求a b 与的值.21.(12分)已知函数2()(2),1xf x x e ax bx x =-++=是()f x 的一个极值点. (1)若1x =是()f x 的唯一极值点,求实数a 的取值范围; (2)讨论()f x 的单调性;(3)若存在正数0x ,使得0()f x a <,求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答。
如果多做,则按所做第一个题目计分。
22.(10分)已知曲线1C 的极坐标方程为22cos sin θρθ=,2C的参数方程为22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数). (1)将曲线1C 与2C 的方程化为直角坐标系下的普通方程; (2)若1C 与2C 相交于A B 、两点,求AB .23.(10分)已知()211f x x x =++-.(1)求()f x 在[]1,1-上的最大值m 及最小值n . (2),a b R ∈,设1am bn +=,求22a b +的最小值.鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中2018届高三第一次联考数学参考答案(理)一、选择题C A B C A ——D A B C D —— B C 二、填空题 13.12-14.4315.(]4,11- 16. 2 三、解答题17.(1)(cos )a x x =-,2()sin cos f x a b x x x =⋅=-1sin 2sin(2)22232x x x π=--=--()f x ∴的最大值为12-………………4分 此时22,32x k πππ-=+即512x k ππ=+k z ∈ 5,12M x x k k z ππ⎧⎫∴=+∈⎨⎬⎩⎭………………6分(2)24C M π+∈ 52412C k πππ∴+=+ 23C k ππ=+,(0,)C π∈ 3C π∴=………………7分1c =由2222cos c b a ab c =+-得222c a b ab =+-22223()()()3()44a b a b a b ab a b ++=+-≥+-= 2a b ∴+≤ ………………10分又1a b +> ………………11分故23a b c <++≤,即周长的范围为(]2,3∈. ………………12分 18.(1)由2144n n n a a a ++=-得21112242(2)n n n n n n a a a a a a ++++-=-=- 21212(2)2()0n n n a a a a -=-==-≠211222n n n na a a a +++-∴=-{}12n n a a +∴-是等比数列. ………………6分(2)由(1)可得112122(2)2n nn n a a a a -+-=-=111222n n n n a a ++∴-= 2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12,公差为12的等差数列22n n a n∴= 12n n a n -=⋅. ………………12分19.(1)E 为SD 的中点,01,602AD DC SD SDA SDC ==∠=∠=.ED EC AD DC ∴===设O 为AC 的中点,连接,EO DO 则EO AC ⊥//,AD BC BC CD ⊥ .AD BC ∴⊥又OD OA OC ==EOC EOD ∴∆≅∆ 从而EO OD ⊥AC ABCD = DO ⊂面ABCD 0AC DO =EO ∴⊥面ABCD EO ⊂面AEC ∴面EAC ⊥面ABCD ………………6分(2)设F 为CD 的中点,连接OF EF 、,则OF 平行且等于12AD AD ∥BC EF ∴∥BC不难得出CD ⊥面OEF (EO CD ⊥ FO CD ⊥) ∴面ECD ⊥面OEFOF 在面ECD 射影为EF ,EFO ∠的大小为BC 与面ECD 改成角的大小设AD a =,则2aOF =EF =os 3OF c EFO EF <== 即BC 与ECD改成角的余弦值为3.(亦可以建系完成) ………………12分20.依题意总利润=21500100400004x x x -+-- =21400400004x x -+- 21400400001400004()4004x x P x x x x-+-∴==--+200400200.≥-+= 此时1400004x x=400x =即,每天生产量为400件时,平均利润最大,最大值为200元 ………………6分 (2)由()b a c a λ=+-得b ac aλ-=- b a -是,c b c a --的比例中项2()()()b a c b c a ∴-=--两边除以2()b a -得()()1(1)c a b a c a c a c ab a b a b a b a------==----- 111(1)λλ∴=-⋅解得12λ=. ………………8分(3)厂家平均利润最大,4000040000100()100200400400a x P x x ∴=++=++=元 每件产品的毛利为b a -()1)b a c a λ∴-=-=-3)b ∴=元400a ∴=(元),3)b =元. ………………12分21.(1)()(1)2xf x x e ax b '=-++,1x =是极值点()0f x '∴= ,故20a b +=, 2b a =- ()(1)(2)x f x x e a '=-+1x =是唯一的极值点20x e a ∴+≥恒成立或20x e a +≤恒成立由20xe a +≥恒成立得2xa e ≥-,又0xe > 0a ∴≥由20xe a +≤恒成立得2xa e ≤-,而xe -不存在最小值, 20xe a ∴+≤不可能恒成立.0a ∴≥ ………………4分(2)由(1)知,当0a ≥时,1x < , ()0f x '< ; 1x > , ()0f x '>.()f x ∴在(,1)-∞递减,在(1,)+∞上递增.当02ea -<<时,ln(2)1a -< ln(2)x a <-,()0f x '>; ln(2)1a x -<< , ()0f x '<; 1x >, ()0f x '>. ()f x ∴在(,ln(2))a -∞-、(1,)+∞上递增,在(ln(2),1)a -上递减。