高三第一次联考数学(文科)

五校高三第一次联考数学（文科）一、填空题：（412'⨯）1．函数()f x =的定义域为 2．已知集合},A x x a a R =≥∈，{}11,B x x x R =-≤∈，且B A ⊆,则实数a 的取值范围是3．若,x y R ∈，且0x y +=，则22x y +的最小值为4．已知1sin cos ,,842ππααα⋅=<<则cos sin αα-的值为 5．222213521lim()1111n n n n n n →∞-++++=++++6．若复数2(3)(,()z a a i a R =--+∈2007= 7．已知6x π=-是方程3)(3=+αx tg 的一个解，(,0)απ∈-，则α=8．设{}n a 为公比1q >的等比数列，若2004a 和2005a 是方程24830x x -+=的两根，则20062007a a +=_____9．已知,,a b c 是锐角三角形ABC 中,,A B C ∠∠∠的对边，若3,4a b ==，且ABC S ∆=则c =10.已知定义在区间(1,1)-上的函数()f x 是奇函数，当(0,1)x ∈时，2()log f x x =，则11()2f -的值为 11．若函数2log y x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,2，则区间[],a b 的长度b a -的最小值为 。

12.函数6()4()f x kx k Rkx =+-∈，若2x =+()0f x =的根，则f 的值为 。

二、选择题：（44'⨯）13.下列函数中，既为偶函数又在),0(π上单调递增的是 （ ）（A ）x y tan = （B ）)cos(x y -=（C ）)2sin(π-=x y （D ）2cot x y = 14.已知数列{}n a ,那么“对于任意的n N *∈，点(),n n P n a 都在直线21y x =+上”是“{}n a 为等差数列”的 （ ）(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充要条件 (D)既非充分条件又非必要条件15.若一条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，则称此曲线为双重对称图形。

下列四条曲线中，双重对称曲线的条数是 （ ）(1)11y x =- (2)221y x x =+- (3)2sin(2)3y x π=+ (4)1y x =+（A ）1 （B ） 2 （C ） 3 （D ）416.定义A D D C C B B A ****,,,的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)， A ）、（B ( )（B ）（A ）D A D B **, （B ）C A D B **, （C ）D A C B **, （D ）D A D C **,二、解答题：（121214141618''''''+++++） 17．已知U R =，12log (3)2A x x ⎧⎫=-≥-⎨⎬⎩⎭，512B x x ⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，求A B ⋂18．已知定义在R 上的函数()sin cos ,(0,0,0)f x a x b x a b ωωω=+>>>周期为3)4(,2)(,=≤ππf x f （1）写出()f x 的表达式；（2）求函数()f x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间。

19．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为1 1616tay⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭（a为常数），如图所示。

（1）从药物释放开始，写出每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，试问至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？20．函数xaxxf-=2)(的定义域为]1,0(（a为实数）.(1) 当1-=a时，求函数)(xfy=的值域；(2) 判断函数)(xfy=的单调性（不必证明）；(3) 若5)(>xf在(0,1]上恒成立，求a的取值范围.（毫克）（小时）21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111,(2)n n a na n S +==+(n N *∈)（1）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ，并求limn n n S a →∞； （3）若数列{}n b 满足：112b =，11n n n b b S n n ++=+(n N *∈)，求数列{}n b 的通项公式.22．已知函数2()24(,,,0)f x ax bx c a b c R a =++∈≠（1）函数()f x 的图像与直线y x =±均无公共点，求证：24161b ac -<-（2）若0a >，0b >，且(0)(1)(1)1f f f ==-=试求()f x 的解析式；（3）若34c =，对任意的,[0,2]x R b ∈∈不等式()f x x b ≥+恒成立，求a 的取值范围。

2007学年度五校高三第一次联考（2007.12）数学（文科）答案一、填空题：（412'⨯）1、(,2)-∞；2、(],0-∞；3、2； 4、- 5、1； 67、23π-； 8、18； 910、2-； 11、34； 12、8-； 二、选择题：（44'⨯）13、C ； 14、A ； 15、C ； 16、B ；三、解答题：（121214141618''''''+++++）17、解：A: 23031132x x x x -->⎧<⎧⎪⇒⎨⎨⎛⎫≥--≤⎩ ⎪⎪⎝⎭⎩, 故[1,3)A =- _-------------4分 A =(-∞,-1)⋃[3,+∞)——-------------------6分B ： 510232x x -≥⇒-<≤+，故(2,3]B =-——-----------------10分 A B ⋂=(-2,-1)⋃{3}——--------------------12分18、解：ω（1）=2---------------------------------------------------1分24sin cos 122b a a b b ππ⎧+=⎧=⎪⎪⎨⎨+==⎪⎩⎪⎩2a 5分f (x)2x cos 2x ∴=+-----------------------------6分(2)f (x)2sin(2x )7657x ,2x ,22666ππππππ=+--------------⎡⎤⎡⎤∈⇒+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分-- 当572x ,,66226πππππ⎡⎤⎡⎤+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-和时，也即x ,,2362ππππ⎡⎤⎡⎤∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-和时，函数单调递减。

--------------------------------------------------10分当x ,36ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦-时，函数单调递增。

----------------------------------------12分 19、解：（1）依题意，两函数都经过点1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭，药物释放过程中，110(0)10y t t =≤≤，药物释放完毕后，11011()()1610t y t -=>，所以110101()16t t y -⎧⎪=⎨⎪⎩ 1(0)101()10t t ≤≤>--------------8分 （2）当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，由11010.25()0.616t t -=⇒=-----------------------------13分 答：需要经过0.6小时，学生方可进教室。

——————————————14分20、解：（1）显然函数()y f x =的值域为)+∞；——————-4分（2）当0a >时()y f x =在(0,1]上为单调增函数。

——————5分当0a =时，()2f x x =在(0,1]上为单调增函数。

——————6分当0a <时，()2a f x x x -=+1≥，即(,2]a ∈-∞-时，()y f x =在(0,1]上为单调减函数。

——8分1<，即(2,0)a ∈-时，⎛ ⎝为()y f x =的单调减区间，⎤⎥⎦为()y f x =的单调增区间。

——10分（3）当(0,1]x ∈时()5f x >在定义域上恒成立，即225a x x <-在(0,1]x ∈时恒成立。

设2()25g x x x =-，当(0,1]x ∈时()[3,0)g x ∈-，只要3a <-即可，a 的取值范围是(,3)-∞-。

——————————————————---14分21、解：（1）将11n n n a S S ++=-代入已知1(2)n n na n S +=+， 整理得121n n S S n n+=+.()n N *∈ -----------------------------4分 又由已知111S =，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为2的等比数列. -------------------6分（2）由（I ）的结论可得12n n S n-=， ∴12n n S n -=. ----------------------------------------7分 当n ≥2时，()()12221212221(1)2n n n n n n n a S S n n n n n -----=-=⋅--=⋅-+=+，由已知11a =，∴当1n =时， 2(1)21n n -+=， ∴ 2(1)2n n a n -=+()n N *∈. ----------------10分 ∴22limlim lim 2111n n n n n S n a n n →∞→∞→∞===++ ------------------------------------------------------12分 （3）由11n n n b b S n n ++=+()n N *∈，得1121n n n b b n n -+=++， 由此式可得2121n n n b b n n --=+-，312212n n n b b n n ---=+--，3232232b b -=+，2221221b b -=+. 把以上各等式相加化简得11112122122n n n b n---=+=--， ----------------------------14分 ∴(21)2n n n b =-()n N *∈---------------------------------------------------------------------16分22、解：（1）函数()f x 与直线y x =无公共点，既有224ax bx c x ++=无实数解 故2(21)160b ac ∆=--< 即2441160b b ac -+-< ——3分同理 函数()f x 与直线y x =-无公共点，既有2441160b b ac ++-<——4分两式相加 得282320b ac +-< 即 24161b ac -<- ————6分 （2）由(0)(1)(1)1f f f ==-= 则(0)41f c ==———————————————————————---7分2424a b c a b c ++=-+ ——————————————————————---8分 22(24)(24)a b c a b c ∴++=-+(4)00,40b a c b a c ∴+=>∴+=， 又10,41,1,4a c a c >=∴==-从而12b =—————————————————11分 2()1f x x x ∴=+-———————————————————————————---12分（3）34c =则2()23f x ax bx =++ 由()f x x b ≥+恒成立 即： 2(21)30ax b x b +-+-≥对x R ∈恒成立，所以20(21)4(3)0(*)a b a b >⎧⎨∆=---≤⎩————————————————————13分 由(*)式 24414(3)b b a b -+≤- 对[0,2]b ∈恒成立 244143b b a b -+∴≥- 设2441()3b b g b b-+=-则只需max 4()a g b ≥———————---16分 25()4(3)203g b b b=-+-- 当2b =时max ()9g b = 49a ∴≥ 又0a > 即a 的取值范围是9[,)4+∞————————————————18分。