高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-5 5.4.1 柯西不等式》5

课题：二维柯西不等式教学设计
教学目标:
1．掌握二维柯西不等式的代数形式、向量形式和三角不等式．
2．掌握柯西不等式的一般形式．
3．能利用柯西不等式解决不等式证明和最值问题．
教学重点:
理解并掌握柯西不等式及其推广形式．
教学难点:
柯西不等式在证明不等式和求最值中的应用．
教学过程:
课堂探究
一、复习准备：
提问：二元均值不等式有哪几种形式？
答案：(0,0)2
a b a b +≥>>及几种变式 二、教学过程
探究1：证明不等式：a 2＋b 2c 2＋d 2≥ac ＋bd 2
分析一：比较法证明；
分析二：分析法证明．
设计意图：通过课前自主预习，复习回顾不等式的证明方法，让学生初步认识柯西不等式的代数形式
定理1 柯西不等式：
若a ，b ，c ，d 为实数，则 a 2＋b 2c 2＋d 2≥ac ＋bd 2 ，当且仅当 ad ＝bc 时，等号成立．
问题①：在柯西不等式中，取等号的条件可以写成错误!＝错误!吗？
分析：不可以．当b ·d ＝0时，柯西不等式成立，但错误!＝错误!不成立．
设计意图：体会柯西不等式的广泛性和一般性
②讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？
证法三：综合法222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++
222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+ 要点：展开→配方
证法四：函数法设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则
22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立
∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即…
设计意图：开拓学生思维。

③讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？
222||c d ac bd +≥+ 或222||||
c d ac bd
+≥+
ac bd +
巩固练习：已知122=+b a ，122=+y x ，求证：by ax +1．
分析：直接使用柯西不等式证明．
设计意图：熟悉柯西不等式的结构特征及简单应用
探究2：设在平面直角坐标系xOy 中有向量),(),,(d c b a ==βα，|α||β|与|α·β|的大小关系如何
设计意图：找到柯西不等式的几何意义
定理2 柯西不等式的向量形式：
设α，β为平面上的两个向量，则 |α||β|≥|α·β| ，当且仅当 α和β共线平行 时，等号成立
应用一：证明不等式
,b 为实数,求证：a 4 b 4 a 2 b 2≥ a 3 b 32
, b 都是正实数,且a b =1,求证:
设计意图：熟悉柯西不等式在证明不等式中的应用
（1）分析：根据形式直接使用柯西不等式．
证明：由柯西不等式得 )]()()[())((2222222244b a b a b a b a ++=++≥222)(b b a a ⋅+⋅233)(b a += （2）分析：将y
x 11+与y x +相乘，再利用柯西不等式． 证明：))(11(2111y x y x y x ++=+≥2)1
1(212=+y y x x
114a b
+≥
应用二：求最值
设计意图：熟悉柯西不等式在求最值中的应用
探究3：设R d c b a ∈,,,，求证：2222d c b a +++≥22)()(d b c a +++，等号当且仅当ad ＝bc 时成立．
分析：两边平方后用分析法证明
设计意图：进一步体会柯西不等式的应用，为引入三角形不等式做铺垫
定理3 三角形不等式：
设1，2，3，1，2，3∈R ，那么
错误!＋错误!≥错误!
问题：三角形不等式的几何意义是什么？
分析：三角形的两边之和大于第三边，等号成立时三点共线．
三、课堂小结
1．二维柯西不等式的代数形式，向量形式，三角形式的结构特征．
2．应用柯西不等式证明不等式和求最值时注意等号成立的条件．
3．使用柯西不等式时的转化与化归思想．
四、课堂检测
.12.122的最小值，求已知y x y x +=+.434.222的最值，求已知y x y x -=+.2101-5y .3的最大值
求函数x x -+=→
→→→→→→→→≥+γαγββαγβα---：为平面上的向量，证明，，
巩固练习：设.y =1.求函数222,,,8, 24,:444 4, 4, 4.333
x y z R x y z x y z x y z ∈++=++=≤≤≤≤≤≤2.已知且 求证
3. ≥求证。