基于数学运算素养提升的教学设计案例

基于数学运算素养提升的教学设计案例
——以点到直线距离公式的推导和应用为例
一、教学内容与核心素养分析
1．地位和作用：点到直线的距离是在学生学习直线方程的基础上，进一步研究两直线位置关系的一节内容，我们知道若两条直线相交，进一步的量化关系是角度，如果两条直线平行，则进一步的量化关系是距离，而两平行线间的距离是通过点到直线距离来解决的．此外，在研究直线与圆的位置关系、曲线上点到直线的距离以及解析几何中有关三角形面积的计算等问题时，都要涉及点到直线的距离．所以点到直线的距离公式是平面解析几何的一个重要知识点．由于这一节是直线内容的结尾部分，学生已经具备了直线的有关知识（如交点、垂直、向量、三角形等），初步体会了用代数方程研究几何性质的过程和方法，因此，一方面公式的推导成为可能，另一方面公式的推导也是检验学生是否真正掌握所学知识的一个很好的课题，也为后续内容的学习起到了承上启下的作用．通过公式推导的获得，可以培养学生分析问题、解决问题的能力，以及自主探究和合作学习的能力．
2．内容分析：点到直线的距离既是两点间距离公式的延续，也为两平行线间距离的推导以及直线与圆位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定基础，所以本节课的教学内容主要有两个，第一，用点的坐标和直线的方程对点和线进行定量研究，进一步体会坐标法的思想；第二，利用图形中的几何特征和代数式的结构特征简化运算，进一步提升学生的数学运算素养．
3．核心素养分析：经常听到老师抱怨学生的运算能力差，但很少老师关注这是否和我们平时的课堂教学相关或如何改进我们的教学以提高学生的数学运算能力．依据国家最新发布的高中生数学核心素养中明确界定了数学运算素养的内涵即在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，主要包括理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序和求得运算结果等．
点到直线距离公式是解析几何中基本而重要的一个公式，推导此公式的方法众多，公式推导中所蕴含丰富的思维方法和运算方式．为此，第一课时的教学重点并不仅仅是公式的记忆与应用，而是应放在以数学运算为教学视角着重选取一些具有代表性的推导方法，充分让学生经历公式推导过程，体会直接运算中的繁杂、转化运算中的求简和创新运算中的至简三个重要运算层次，进而提升学生的数学运算素养．
教师在教学设计中应该有意识探寻运算教学的切入点，在概念课教学中特别是一些重要公式的推导过程中常常具有思想方法多元和算法多样的特性，教师应该舍得花时间让学生体验运算的复杂性和求简性．我们认为运算的直接性是运算的低级水平，运算的合理性是运算的中级水平，运算的创新性是运算的高级水平，既能算得快又能算得好应是师生的共同追求．
二、目标和目标解析
1．理解点到直线距离公式的推导过程，掌握点到直线距离公式及其简单应用； 2．在分析、实践、对比和讨论的过程中，进一步熟练用代数方法解决几何问题的能力，培养学生运用等价转化、数形结合等思想方法解决问题的能力，培养学生综合运用知识解决问题的能力；
3．能根据图形特点和代数式的结构特征简化运算，初步体会数学运算素养的内涵．
三、教学问题诊断分析
我们发现教师在教学上常常有重思维方法而轻具体运算的教学倾向，其主要原因是将运算单纯理解为计算，弱化了数学运算的内涵．由此必须转变观念树立积极培养学生数学运算素养的意识并确信运算教学是数学教学的重要组成部分，学生的运算能力通过教师的针对性课堂教学可以有效培养的．
四、教学支持条件分析
为了充分暴露学生的思维过程，所以课前准备好坐标纸让学生动手实践，并利用实物投影仪展示学生的操作过程（没有实物投影仪时，也可以用相机或手机拍摄学生的坐标纸并连接至电脑进行投影展示）．
五、教学过程设计
（一）弄清问题
问题1：由前面已学知识可知，平面直角坐标系中的点与直线分别可以用点的坐标和直线的方程表示，不妨设点),(00y x P ，设直线)0(0:2
2
≠+=++B A C By Ax l ，此时点P 与直线l 的相对位置就是确定的，如何用点P 的坐标00,x y 和直线方程中的参数,,A B C 来表示点P 到直线l 的距离d ？
分析1：先考虑特殊情况．当0=A 时，B C By B C
y d +=+=00；当0=B 时，A
C Ax A C
x d +=+
=00． 分析2：再考虑一般情况．点P 与直线l 的相对位置是由点P 的坐标和直线l 的方程唯一确定的，所以用点的坐标和直线方程中的参数来表示点P 到直线l 的距离d 就具有了合理性，那么当0,0≠≠B A 时如何推导点P 到直线l 的距离d ．
设计意图：从学生最近发展区出发，开门见山地提出问题，引发学生认知冲突，激发学生的学习积极性．
（二）拟定计划
问题2：我们已经弄清楚了所面对的问题，接下来请同学们各抒己见，说说你打算用什
O
O
么方法求出点P到直线l的距离d？并谈谈你的思路是怎么样的？
分析1：直接过P作直线l的垂线，垂足为Q．由PQ l
⊥，以及直线l的斜率为
A
B
-，可得l的垂线PQ的斜率为
B
A
，因此，垂线PQ的方程可以求
出．直线PQ与直线l的交点，即垂足Q点的坐标也可以求出．于
是P与Q间的距离||
PQ可以求出．
分析2：过P作y轴平行线交l于点N，先求出点N的坐标，
利用PNQ
Rt∆中PNQ
∠与直线倾斜角的等量关系，通过解
PNQ
Rt∆来求PQ长度．
分析3：类比平面内两点间距离的推导过程，可以尝试构造
直角三角形来推导点到直线的距离公式，即过P作y轴平行线交
l于点N，过P作x轴平行线交l于点M，通过解Rt PNM
∆来
求PQ长度．
设计意图：让学生充分讨论，研究如何解决这个问题，把学
生的想法完全暴露出来，在讨论的过程中加深问题中的条件与结
论间逻辑关系的理解，为接下来的方案实施作好铺垫．
（三）实施计划
解法1（繁杂中培养顽强细心的运算品格）：这是学生容易想到的想法，直接自然，但教科书以运算繁琐舍弃了这种做法而另辟蹊径．俗话说“没有对比就没有伤害”，为了让学生明白运算复杂在何处，怎样运算才能突破运算的瓶颈而获取成功，建议应采取学生先独立运算再相互合作方式展开教学．
设0
:=
+
+C
By
Ax
l①,
易得直线PQ方程为)
(
x
x
A
B
y
y-
=
-
即0
=
-
+
-Bx
Ay
Ay
Bx②.
由①+
⨯A②B
⨯得AC
ABy
x
B
x
B
A-
-
=
+
2
2
2)
(
即
2
2
2
B
A
AC
ABy
x
B
x
+
-
-
=
图1
N
O
由①-⨯B ②A ⨯得BC y A ABx y B A -+-=+02
022)(
即2
2020B A BC y A ABx y +-+-=
故2
02
202020220022
)()(y B
A BC y A ABx x
B A A
C ABy x B PQ -+-+-+-+--= 222020222002)()(B A BC y B ABx B A AC ABy x A +---++---==2
2222200)
()
()(B A B A C By Ax ++++ )()(222
00B A C By Ax +++=，从而2200B
A C By Ax PQ +++=． 设计意图：学生的解法往往是先解方程组求得Q 点坐标，再利用两点间的距离公式求出Q P ,两点间的距离，这是典型的坐标法．但是如果能在化简过程中注意结构的相似性即发现公因式，这样就能突破化简中的瓶颈，或者也可以只求Q 点横坐标进而利用直线上两点距离公式求解，在简化运算、繁简对比的过程中培养学生的运算品格进而提升学生的数学运算素养．
解法2（转化中强化运算选择的转换能力）：上述直接方法运算量确实较大——想得简单但是做得复杂，能不能找到一种更加简便的方法使得运算量变小——想得复杂做得简单，分析2、分析3中的方法可以避免求垂足Q 的坐标，我们一起来试一试．
利用分析2：易得),(00B
C
Ax x N +-
， 故B
C
By Ax NP ++=
00，设直线的倾斜角为α，
则α为钝角时，2
PNQ π
α=
+∠；α为锐角时，
2
PNQ π
α=
-∠．
由22
2
)(1tan 1sec B
A
-+=+=αα，得2
2
cos B
A B +=
α．
在Rt PNQ ∆中，由αcos NP PQ =
2200B A B B C
By Ax +⋅++=
2200B
A C By Ax +++=．
N O
O
设计意图：通过直角三角形的构造求得PQ 简化了运算，关键在于三角形内角与直线倾斜角关系，进一步转化为斜率形式，同理我们可过P 作x 轴平行线来选取直角三角形．
易知),(00y A M -
，),(00B
x N -， 则B
C
By Ax PN A C By Ax PM ++=
++=
0000,,而2
2002
2002
2
)()(B C By Ax A C By Ax PN
PM MN +++++=+=C By Ax AB
B A +++=
002
2.
在PAB Rt ∆中，由三角形面积关系PN PM MN d ⋅=⋅得2
2
00B
A C
By Ax d +++=
.
设计意图：通过构造直角三角形，在利用相应的几何性质转化运算的过程中强化运算选择的转换能力进而提升学生的数学运算素养．
解法3（创新中创设目标条件的运算捷径）：能否通过比较问题条件和目标，通过创造寻找路径实现条件与目标间的联系而达到运算至简．
分析1：设),(y x Q ，由题意得
1)(00-=-⋅--B
A
x x y y ，即0)()(00=---x x B y y A ①，将直线:0l Ax By C ++=转化为)()()(0000C By Ax y y B x x A ++-=-+-②， 把①和②看成关于0x x -，0y y -的方程组，解得 00022()A Ax By C x x A B -++-=
+，00022
()B Ax By C y y A B
-++-=+． 于是，2
2
00||()()d PQ x x y y ==-+-2200222
()()
()
A B Ax By C A B +++=+ 002
2
Ax By C A B
++=+
分析2：
由①+2②2
得200202022)(])())[((C By Ax y y x x B A ++=-+-+,
又因为||d PQ ==2
2
00B
A C
By Ax d +++=
．
设计意图：式子②的变形充分考虑了与条件①的联系，同时注意目标距离中存在0
x x -与0y y -，两式平方和充分考虑了式子的结构和目标的关系,此法也体现出解析几何中常用的设而不求解题技巧.
通过点到直线距离公式多种方法的推导着重展现了直接运算中的繁杂、转化运算中的求简与创新运算中的至简三个重要层次，让学生经历了一次运算为主导的学习体验，尽管第一课时对运用公式求解相关问题类型接触较少，但我们认为还是值得尝试的.
（四）回顾反思
问题3：小结一下刚才的学习过程，我们得了以下结论：（1）当0=A 时，
B C By B C y d +=+
=00；当0=B 时，A
C Ax A C
x d +=+=00；（2）当0AB ≠时，2
2
00B
A C
By Ax d +++=
.特殊情况下的的距离公式和一般情况下的距离公式是否可以统一起
来呢？
可以验证，当0=A ，或0B =时，上述公式仍然成立.
问题4：（1）请你回顾一下点到直线距离公式的推导过程，并对比各种解法间的优势与不足，谈谈你的想法.
（2）请对本节课的学习做一个简单的自我评价，找出学习中存在的问题与不足. 生1：点到直线的距离公式推导方法有很多，有一些代数味道浓但是运算较为复杂——想想容易但是做起来难，有一些几何味道浓但是运算相对简单——想得复杂但是做起来容易.总而言之，单纯的死算是不可取的.
生2：在数学运算的具体实施过程中，要充分利用图形的几何性质（如构造平行线、垂线、构造直角三角形）来简化运算，也要时刻关注代数式的结构特征（如整体代换、设而不求等）实现运算的至简.
设计意图：使学生意识到数学运算不完全等同于数学计算，简化计算是数学运算的一项基本任务，同时也培养学生反思的意识和习惯，帮助学生把所学的知识系统化，结构化.
六、目标达成检测
1．求下列点到直线的距离：
（1）(1,2)A -， :32l x =； （2）(2,3)B -， :3430l x y ++=； （3） (1,0)C ，
0l y +=； （4）(1,2)D -， :430l x y +=；
2．已知点(1,3)A ，(3,1)B ，(1,0)C -，求ABC ∆的面积． 3．（2008浙江理科20改编）已知抛物线C 的方程为
)
(2
1
2x x y +=，l 是过点)0,1(-Q 的直线，M 是抛物线C 上
(不在l 上)的动点．B A
,在l 上，l MA ⊥，x MB ⊥轴，求出直线l 的方程，使得QA
QB
2
为常数．
题3答案详解
分析：解题的关键是如何求得QA ，事实上通过点到直线距离公式的运算教学，QA 的计算问题已然得心应手．
解法1 ：直接求出垂足A 的坐标从而求得QA
设l 方程为)1(+=x k y ，))(2
1,
(02
00x x x M +，易得直线MA 方程为 )(12002
0x x k x x y --=+-，消去y 得2
20201)12(2k k x k x k x A +-++=，
从而112
++=A x k QA ==+++++20202
11
)12(21k x k x k k 2001112k
x x k ++⋅+ 又))1(,(00+x k x B ，所以1102
++=x k QB 故
=QA
QB
2
12
11)1(002
2++++x k
x k k ，当
12
=k
即2=k 时=QA
QB
2
55．
解法2 ：通过选取与线段AQ 有关的直角三角形求解从而得到QA ， 延长直线MA 交x 轴于点D (如图5),由解法1易得
O
2
)
(
2
k
x
x
x
x
D
+
+
=,则
1
2
)
(
2
+
+
+
=
k
x
x
x
DQ1
2
10
+
⋅
+
=
kx
x.
在QAD
Rt∆中，DQ
QA⋅
=α
cos
=
2
1
1
1
2
k
x
x
k
+
+
⋅
+
α(为直线l的倾斜角)，下同解法1．
解法3：可以类比教材利用等面积法求解QA
过点Q分别作y
x,轴平行线交直线MA于E
D,,
由解法1易得⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
+
-)
1
2
)(
1
(,10
0k
x
x
E，
故)
1
2
)(
1
(0
0k
x
x
QE+
+
=.又=
DE2
2QE
QD+
2
2
)
1
2
(
)1
2
(
1
k
x
kx
x+
+
+
+
=
2
2
)
1
2
)(
1(
1
k
x
k
x+
+
+
=
k
x
k
x
1
2
1
10
2
+
+
+
=(若用直线上两点距离公式求DE则会简化计算).
在DEQ
Rt∆中由
DE
QE
QD
QA
⋅
=
k
x
k
x
k
x
x
kx
x
1
2
1
1
)
1
2
)(
1
(
)1
2
1
(
2
+
+
+
+
+
⋅
+
⋅
+
== 2
1
1
1
2
k
x
x
k
+
+
⋅
+
，下同解法1．
O。